Herramientas matemáticas para la localización espacial

Análisis del desarrollo del trabajo por medio de un sistema coordenado

La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el movimiento espacial de su extremo. Así mismo, para que el robot pueda recoger una pieza es necesario conocer la posición y orientación de ésta con respecto a la base del robot.

Se aprecia entonces la necesidad de contar con una serie de herramientas matemáticas que permitan especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto.

Estas herramientas han de ser lo suficientemente potentes para permitir obtener de forma sencilla relaciones espaciales entre distinto objetos y en especial entre éstos y el manipulador.

Análisis del desarrollo del trabajo por medio de un sistema coordenado

Para localizar un cuerpo rígido en el espacio es necesario contar con una herramienta que permita la localización espacial de sus puntos. En un plano el posicionamiento tiene dos grados de libertad, y por tanto la posición de un punto vendrá definida por dos componentes independientes. En el caso de un espacio tridimensional será necesario emplear tres componentes.

La forma más intuitiva y utilizada para especificar la posición de un punto son coordenadas cartesianas.

Sistema cartesiano de referencia

Normalmente los sistemas de referencia se definen mediante ejes perpendiculares entre sí con un origen definido. Estos se denominan sistemas cartesianos, y en el caso de trabajar en el plano (2 dimensiones), el sistema de referencia OXY correspondiente queda definido por dos vectores coordenados OX y OY perpendiculares entre sí con un punto de intersección común O.

Sistema cartesiano de referencia Si se trabaja en el espacio (tres dimensiones), el sistema cartesiano OXYZ está compuesto por una terna ortonormal de vectores coordenados OX, OY y OZ, tal y como se ve en la siguiente figura.

Coordenadas cartesianas Si se trabaja en un plano, con su sistema coordenado OXY de referencia asociado, un punto a vendrá expresados por las componentes (x,y) correspondientes a los ejes coordenados del sistema OXY. Este punto tiene asociado un vector p(x,y), que va desde el origen O del sistema OXY hasta el punto a.

Por tanto, la posición del extremo del vector p está caracterizado por las dos componentes (x,y), denominadas coordenadas cartesianas del vector y que son las proyecciones del vector p sobre los ejes OX y OY.

Coordenadas polares y cilíndricas Para un plano es posible también caracterizar la localización de un punto o vector p respecto a un sistema de ejes cartesianos de referencia OXY utilizando las denominadas coordenadas polares p(r,θ). En esta representación, r representa la distancia desde el origen O del sistema hasta el extremo del vector p, mientras que θ es el ángulo que forma el vector p con el eje OX.

Coordenadas polares y cilíndricas En el caso de trabajar en tres dimensiones, un vector p podrá expresarse con respecto a un sistema de referencia OXYZ, mediante las coordenadas cilíndricas p(r,θ,z). Las componentes r y θ tienen el mismo significado que en caso de las coordenadas polares, mientras que la componente z expresa la proyección sobre el eje OZ del vector p.

Coordenadas esféricas También es posible utilizar coordenadas esféricas para realizar la localización de un vector en un espacio de tres dimensiones. Utilizando el sistema de referencia OXYZ, el vector p tendrá como coordenadas esféricas (r,θ,φ), donde la componente r es la distancia desde el origen O hasta el extremo del vector p; la θ componente es el ángulo formado por la proyección del vector p sobre el plano OXY con el eje OX y la componente φ es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.

Representación de la orientación Un punto queda totalmente definido en el espacio a través de los datos de su posición. Sin embargo, para el caso de un sólido, es necesario además definir cuál es su orientación con respecto a un sistema de referencia.

En el caso de un robot, no es suficiente con especificar cuál debe ser la posición de su extremo, sino que en general, es también necesario indicar su orientación.

Por ejemplo, en el caso de un robot que tenga que realizar sobre una pieza curva una operación de pulido, no bastará con especificar los puntos de la superficie para situar adecuadamente la herramienta, sino que será necesario también conocer la orientación de la herramienta que ha de realizar la operación.

Representación de la orientación Una orientación en el espacio tridimensional viene definida por tres grados de libertad o tres componentes linealmente independientes.

Para poder describir de forma sencilla la orientación de un objeto respecto a un sistema de referencia, es habitual asignar solidariamente al objeto un nuevo sistema, y después estudiar la relación espacial existente entre ambos sistemas.

De forma general, esta relación vendrá dada por la posición y orientación del sistema asociado al objeto respecto al de referencia. Para el análisis de los distintos métodos de representar orientaciones se supondrá que ambos sistemas coinciden en el origen, y que por tanto no existe cambio alguno de posición entre ellos.

Matrices de rotación Las matrices de rotación son el método más extendido para la descr ipc ión de o r i e n t a c i o n e s , d e b i d o p r i n c i p a l m e n t e a l a comodidad que proporciona el uso de álgebra matricial.

Supóngase que se tiene en el plano dos sistemas de referencia OXY y OUV con un mismo origen O, siendo el sistema OXY el sistema de referencia fijo y el sistema OUV el móvil solidario al objeto.

Matrices de rotación

Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY son ix, jy, mientras que los del sistema OUV son iu, jv.

Un vector p del plano se puede representar en ambos sistemas como:

[ ][ ] vvuu

Tvuuv

yyxxT

yxxy

pppp

pppp

jip

jip

⋅+⋅==

⋅+⋅==

,

,

Matrices de rotación Realizando una sencilla serie de transformaciones se puede llegar a la siguiente equivalencia:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

vyuy

vxux

v

u

y

x

donde

pp

pp

jjjjjiii

R

R

Es llamada la matriz de rotación, que define la orientación OUV con respecto al sistema OXY, y que sirve parar transformar las coordenadas de un vector en un sistema alas del otro. También recibe el nombre de matriz de cosenos directores. Es fácil comprobar que se trata de una matriz ortonormal, talque R-1 = RT.

Matrices de rotación En el caso de dos dimensiones la orientación viene definida por un solo parámetro independiente. Si se considera la posición relativa del sistema OUV girado un ángulo α sobre el OXY (ver figura) tras realizar los correspondientes productos escalares, la matriz R será de la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

αααα

coscossen

senR

Para el caso en el que α=0 los ejes coordenado de ambos sistemas coinciden, la matriz R corresponderá a la matriz unitaria.

Matrices de rotación En un espacio tridimensional, el razonamiento a seguir es similar. Supóngase los sistemas OXYZ y OUVW, coincidentes en el origen, siendo el OXYZ el sistema de referencia fijo, y el OUVW el solidario al objeto cuya orientación se desea definir.

Matrices de rotación Los vectores unitarios del sistema OXYZ serán ix, jy, kz, mientras que los del OUVW serán iu, jv, kw. Un vector p del espacio podrá ser referido a cualquiera de los sistemas de la siguiente manera:

[ ][ ] wwvvuu

Twvuuv

zzyyxxT

zyxxy

pppppp

pppppp

kjip

kjip

⋅+⋅+⋅==

⋅+⋅+⋅==

,,

,,

Y al igual que en dos dimensiones, se puede obtener la siguiente equivalencia:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

w

v

u

z

y

x

ppp

ppp

R

Matrices de rotación

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

ki

donde

kkjkikjjjjkijiii

R

Es la matriz de rotación que define la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ. Al igual que en dos dimensiones, también recibe el nombre de cosenos directores y se trata de una matriz ortonormal, tal que la inversa de la matriz R es igual a su transpuesta R-1=RT.

Matrices de rotación La principal utilidad de la matriz de rotación corresponde a la representación de la orientación de sistemas girados únicamente sobre uno de los ejes principales del sistema de referencia. En la figura, la orientación del sistema OUVW, con el eje OU coincidente con el eje OX, vendrá representada mediante la matriz:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

ααααα

cos0cos0

001),(

sensenxR

Matrices de rotación En la siguiente figura la orientación del sistema OUVW, con el eje OV coincidente con el eje OY vendrá representado por la matriz:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

ϕϕ

ϕϕϕ

cos0010

0cos),(

sen

senyR

Matrices de rotación En la siguiente figura la orientación del sistema OUVW, con el eje OW coincidente con el eje OZ vendrá representada mediante la matriz:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cos0cos

),( θθθθ

θ sensen

zR

Composición de rotaciones Las matrices de rotación pueden componerse para expresar la aplicación continua de varias rotaciones.

Así, si al sistema OUVW se le aplica una rotación de ángulo α sobre OX, seguida de una rotación de ángulo φ sobre OY y de una rotación de ángulo θ sobre OZ, la rotación global puede expresarse como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −==

αααα

ϕϕ

ϕϕθθθθ

αϕθcos0

cos0001

cos0010

0cos

1000cos0cos

),(),(),(sen

sensen

sensen

senxyz RRRT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+++−

=αϕαϕϕ

αϕθαθαϕθαθϕθαϕθαθαϕθϕθϕθ

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

sensensensensensensensensensensensensensensen

Composición de rotaciones Es importante considerar el orden en que se realizan las rotaciones, pues el producto de matrices no es conmutativo.

Así, si la rotación se hiciera primero un ángulo θ sobre OZ, seguida de una rotación de ángulo φ sobre OY, para finalizar con otra rotación de ángulo α sobre OX, la rotación global vendría expresada por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−==

1000cos0cos

cos0010

0cos

cos0cos0

001),(),(),( θθ

θθ

ϕϕ

ϕϕ

ααααθϕα sen

sen

sen

sen

sensenzyx RRRT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+−+

−=

ϕαθαθϕαθαθϕαϕαθαθϕαθαθϕα

ϕθϕθϕ

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscos

sensensensensensensensensensensensensensensen

Coordenadas y matrices homogéneas La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas por (n+1)-dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por p(wx,wy,wz,w), donde w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala.

De forma general, un vector p = ai + bj + ck, donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1cba

wcwbwaw

wzyx

p

Coordenadas y matrices homogéneas

Por ejemplo, el vector 2i + 3j + 4k se puede representar en coordenadas homogéneas como [2,3,4,1]T o como [4,6,8,2]T o también como [-6,-9,-12,-3]T.

Los vectores nulo se representan [0,0,0,n]T, donde n es no nulo.

Los vectores de la forma [a,b,c,0]T sirven para representar direcciones, pues representan vectores de longitud infinita.

Coordenadas y matrices homogéneas A partir de la definición de las coordenadas homogéneas surge inmediatamente el concepto de matriz de transformación homogénea. Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4 x 4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

EscaladoaPerspectivTraslaciónRotación

xx

xx

1131

1333

wfPR

T

Coordenadas y matrices homogéneas Se puede considerar que una matriz homogénea se halla compuesta por cuatro submatrices de distinto tamaño: una submatriz R3x3 que corresponde a una matriz de rotación; una submatriz p3x1 que corresponde al vector de traslación; una submatriz f1x3 que corresponde a una transformación de perspectiva, y una submatriz w1x1 que representa un escalado global.

En robótica generalmente sólo interesara conocer el valor de R3x3 y de p3x1, considerándose las componentes de f1x3 nulas y las de w1x1 la unidad.

Al tratarse de una matriz 4x4, los vectores sobre los que se aplique deberán contar con 4 dimensiones, que serán las coordenadas homogéneas del vector tridimensional que se trate.

Aplicación de las matrices homogéneas Se considera la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario, la matriz homogénea T resultará ser de la siguiente forma.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10101333 TraslaciónRotaciónxx PR

T

que representa la orientación y posición de un sistema O’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.

Aplicación de las matrices homogéneas Esta matriz sirve para conocer las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r en el sistema OXYZ a partir de sus coordenadas (ru, rv, rw) en el sistema O’XYZ:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11w

v

u

z

y

x

rrr

rrr

T

Aplicación de las matrices homogéneas También se puede utilizar para expresar la rotación y traslación de un vector respecto de un sistema de referencia fijo OXYZ, de tal manera que un vector rxyz rotado según R3x3 y trasladado según p3x1 se convierte en el vector r’xyz dado por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11'

''

z

y

x

z

y

x

rrr

rrr

T

Aplicación de las matrices homogéneas Una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:

1.  Representar la posición y orientación de un sistema girado y

trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

2.  Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

3.  Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo.

Traslación

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra trasladado un vector p = pxi + pyj + pzk con respecto al sistema OXYZ. La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogenea de traslación:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000100010001

)(z

y

x

ppp

pT

que es la denominada matriz de traslación.

Traslación Un vector cualquiera r, representado en el sistema O’UVW por ruvw, tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

111000100010001

1zw

yv

xu

w

v

u

z

y

x

z

y

x

prprpr

rrr

ppp

rrr

Traslación Y a su vez, un vector rx,y,z desplazado según T tendrá como componentes r’x,y,z:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

111000100010001

1'''

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

z

y

x

prprpr

rrr

ppp

rrr

Ejemplo Según la figura el sistema O’UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema OUVW son ruvw(-2,7,3).

Ejemplo Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) segun la transformación T(p) con p(6,-3,8).

Ejemplo Un sistema F ha sido movido 9 unidades a lo largo del eje x y 5 unidades a lo largo del eje z del sistema de referencia. Hallar la nueva localización del sistema:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

10008643.00766.03439.0819.0369.05628.0574.0527.0

F

Rotación Supóngase que ahora el sistema O’UVW sólo se encuentra rotado con respecto al sistema OXYZ. La submatriz de rotación R3x3 será la que defina la rotación. Se definen tres matrices para que se realice la rotación a lo largo de los ejes OX, OY y OZ del sistema OXYZ.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

ϕϕ

ϕϕϕ

cos0010

0cos),(

sen

senyT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

ααααα

cos0cos0

001),(

sensenxT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cos0cos

),( θθθθ

θ sensen

zT

Rotación Un vector cualquiera r, representado en el sistema girado O’UVW por ruvw, tendrá como componentes (rx, ry, rz) en el sistema OXYZ las siguientes:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11w

v

u

z

y

x

rrr

rrr

T

Rotación Y a su vez un vector rx,y,z rotado según T vendrá expresado por r’x,y,z según:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11'

''

z

y

x

z

y

x

rrr

rrr

T

Ejemplo Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T.

Ejemplo Un punto p(2,3,4)T esta unido a un sistema rotante. El sistema rota 90° con respecto al eje X del sistema de referencia. Halle las coordenadas del punto relativas al sistema de referencia y verifique el resultado gráficamente.

Traslación junto con rotación

La principal ventaja de las matrices homogéneas reside en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación.

En esta representación se realiza utilizando al mismo tiempo la matriz de rotación R3x3 y el vector de traslación p3x1 en una misma matriz de transformación homogénea.

Traslación junto con rotación La traslación y la rotación son transformaciones que se realizan en relación a un sistema de referencia.

Por lo tanto, si se requiere expresar la posición y orientación de un sistema O’UVW, originalmente coincidente con el de referencia y que ha sido rotado y trasladado según éste, habrá que tener en cuenta si primero se ha realizado la rotación o viceversa, pues se trata de transformaciones espaciales no conmutativas.

Traslación junto con rotación Se parte de un sistema OUVW coincidente con OXYZ al que se va a aplicar una traslación según un vector px,y,z y una rotación de 180° alrededor del eje OZ. Si primero se rota y después se traslada se obtiene un sistema final O’V’U’W’.

En cambio, si primero se traslada y después se rota se obtiene otro sistema final O’’U’’V’’W’’, que representa una localización totalmente distinta a la del sistema final anterior.

Se tendrá entonces matrices homogéneas distintas según se realice una traslación seguida de una rotación o una rotación seguida de una traslación. Eso se muestra en la siguiente figura.

Rotación seguida de traslación Para el caso de realizar primero una rotación sobre uno de los ejes coordenados del sistema OXYZ seguida de una traslación, las matrices homogéneas serán las que a continuación se expresan.

Rotación de un ángulo α sobre el eje OX seguido de una traslación de vector px,y,z:

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

1000cos0

cos0001

),,(z

y

x

psenpsenp

xαααα

α pT

Rotación seguida de traslación Rotación de un ángulo φ sobre el eje OY seguido de una traslación de vector px,y,z:

Rotación de un ángulo θ sobre el eje OZ seguido de una traslación de vector px,y,z:

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

1000cos0010

0cos

),,(z

y

x

psenppsen

yϕϕ

ϕφ

ϕ pT

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10001000cos0cos

),,(z

y

x

ppsenpsen

zθθθθ

θ pT

Traslación seguida de rotación Para el caso de realizar primero una traslación seguida de una rotación sobre los ejes coordenados del sistema OXYZ, las matrices homogéneas resultantes son las siguientes:

Traslación del vector px,y,z seguida de rotación de ángulo α sobre el eje OX.

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

=

1000coscos0

coscos0001

),(,αααααααα

αzy

zy

x

psenpsensenppsen

p

xpT

Traslación seguida de rotación Traslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo φ sobre el eje OY.

Traslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo θ sobre el eje OZ.

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

=

1000coscos0

010cos0cos

),(,ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕsenppsen

psenppsen

yxz

y

zx

pT

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=

1000100

cos0coscos0cos

),(,z

yx

yx

ppsenpsensenppsen

zθθθθθθθθ

θpT

Ejemplo Un sistema OUVW ha sido girado 90° alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry , rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3, 4, -11).

Ejemplo Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90° alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r de coordenadas ruvw(-3, 4, -11).

Composición de matrices homogéneas Una matriz de transformación homogénea sirve, entre otras cosas, para representar el giro y la traslación realizados sobre un sistema de referencia.

Esta utilidad de las matrices homogéneas cobra aun mas importancia cuando se componen las matrices homogéneas para describir diversos giros y traslaciones consecutivos sobre un sistema de referencia determinado.

De esta forma, una transformación compleja podrá descomponerse en la apl icación consecutiva de transformaciones simple (giros básicos y traslaciones).

Composición de matrices homogéneas De forma general, a la hora de componer diversas transformaciones mediante matrices homogéneas, se han de tener en cuenta los siguiente criterios:

1.  Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O’UVW

son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4x4 identidad I4.

2.  Si el sistema O’UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

Composición de matrices homogéneas 3.  Si el sistema O’UVW se obtiene mediante rotaciones y

traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

Ejemplo Se quiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema O’UVW obtenido de a partir del sistema OXYZ mediante un giro de angulo -90° alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5, 5, 10) y un giro de 90° sobre el eje OZ.

Ejemplo Un punto p(7,3,2)T esta unido al sistema y es sujeto de la transformación que se describe a continuación. Halle las coordenadas del punto relativas al sistema de referencia. Dibuje cada una de las traslaciones y rotaciones.

(1) Rotación de 90° alrededor del eje Z, (2) Seguida de una rotación de 90° alrededor del eje Y, (3) Seguida de una traslación de [4, -3, 7].

),,(___aon

Ejemplo Asuma el punto p(7,3,2)T, unido al sistema es sometido a las mismas transformaciones pero son ejecutados en diferente orden. Halle las coordenadas del punto relativas al sistema de referencia. Dibuje cada una de las traslaciones y rotaciones.

(1) Rotación de 90° alrededor del eje Z, (2) Seguida de una traslación de [4, -3, 7], (3) Seguida de una rotación de 90° alrededor del eje Y.

),,(___aon

Transformaciones relativas a un sistema rotatorio

Asuma el mismo punto del ejemplo anterior y sometido a las mismas transformaciones, pero todo relativo al sistema rotatorio actual. Hallar las coordenadas del punto relativas al sistema de referencia después de que se ha completado la transformación. Dibuje cada una de las traslaciones y rotaciones.

(1) Rotación de 90° alrededor del eje a, (2) Seguida de una traslación de [4, -3, 7] a lo largo de n, o, a. (3) Seguida de una rotación de 90° alrededor del eje o.

Otras técnicas para la traslación y rotación Ángulos de Euler

Para la representación de orientación en un espacio tridimensional mediante una matriz de rotación es necesario definir nueve elementos.

Aunque la utilización de las matrices de rotación presente múltiples ventajas, existen otros métodos de definición de orientación que hacen únicamente uso de tres de componentes para su descripción. Este es el caso de los llamados ángulos de Euler.

Ángulos de Euler Todo el sistema OUVW solidario al cuerpo cuya orientación se quiere describir, puede definirse con respecto al sistema OXYZ mediante tres ángulos: φ, θ, ψ, denominados ángulos de Euler.

Girando sucesivamente el sistema OXYZ sobre unos ejes determinados de un triedro ortonormal los valores de φ, θ, ψ, se obtendrá el sistema OUVW.

Es necesario, por tanto, conocer además de los valores de los ángulos, cuáles son los ejes sobre los que se realizan los giros. Existen diversas posibilidades, siendo las tres más usuales las que se muestran a continuación:

Ángulos de Euler Ángulos de Euler ZXZ

Es una de las representaciones más habituales entre las que se realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giroscopio. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

1.  Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje

OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’. 2.  Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo θ con respecto al eje

OU’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’. 3.  Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψ con respecto al eje

OW’’, convirtiéndose así en el OU’’’V’’’W’’’.

Ángulos de Euler Es importante que estas operaciones se realicen en la secuencia especificada, pues las operaciones de giros consecutivos sobre ejes no son conmutativas.

Ángulos de Euler ZXZ.

Ángulos de Euler Ángulos de Euler ZYZ

Es otra de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Sólo se diferencia del anterior en la elección del eje sobre el que se realiza el segundo giro. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

1.  Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje

OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’. 2.  Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo θ con respecto al eje

OV’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’. 3.  Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψ con respecto al eje

OW’’, convirtiéndose así en el OU’’’V’’’W’’’.

Ángulos de Euler

Ángulos de Euler ZYZ.

Ángulos de Euler Roll, pitch y yaw

Se trata de la representación utilizada en aeronáutica. Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, al igual que en el caso anterior, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

1.  Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje

OX. Es el denominado Yaw. 2.  Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY.

Es el denominado Pitch. 3.  Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje

OZ. Es el denominado Roll.

Ángulos de Euler

Ángulos de Euler: roll, pitch y yaw.

Cuaternios Los cuaternios, definidos por Hamilton, pueden ser utilizados como herramienta matemática de gran versatilidad computacional para trabajar con giros y orientaciones. Son empleados por algunos robots comerciales como los ABB.

Un cuaternio Q está constituido por cuatro componentes (q0, q1, q2, q3) que representan las coordenadas del cuaternio en una base {e,i,j,k}. Es frecuente denominar parte escalar del cuaternio a la componente en e: q0, y parte vectorial al resto de componentes. De modo que un cuaternio se puede representar como:

[ ] [ ]v,,,, 321 sqqqqQ o ==

donde s representa la parte escalar, y v la parte vectorial.

Cuaternios Para la utilización de los cuaternios como metodología de representación de orientaciones se asocia el giro de un ángulo θ sobre el vector k al cuaternio definido por:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

2,2

cos),( θθθ senRotQ kk

luego la aplicación de la rotación expresada por el cuaternio Q a un vector r, vendrá definida por el producto:

Q ◦ (0,r) ◦ Q*

Cuaternios La composición de rotaciones con cuaternios resulta tan sencilla como multiplicar cuaternios entre sí. De tal forma que el resultado de rotar según el cuaternio Q1, para posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3, obtenido por la expresión:

Q3 = Q2 ◦ Q1

Hay que recordar que el producto de cuaternios no es conmutativo.

Cuaternios En el caso de componer rotaciones con traslaciones se procede como sigue: el resultado de aplicar una traslación de vector p seguida de una rotación Q al sistema OXYZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW, serán:

(0,rxyz) = Q ◦ (0,ruvw) ◦ Q* + (0,r)

El resultado de primero rotar y luego trasladar el sistema vendrá dado por:

(0,rxyz) = Q ◦ (0,ruvw + p) ◦ Q*

Cuaternios Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r’ de coordenadas:

(0,r’) = Q ◦ (0,r + p) ◦ Q*

Y si se aplica primero el giro y después la traslación p al vector r, éste se convertirá en el r’ a través de la expresión:

(0,r’) = Q ◦ (0,r) ◦ Q* + (0,p)

Cuaternios Se observa que la aplicación de cuaternio para la composición de rotaciones es un método computacional muy práctico, pues basta multiplicar cuaternios entre sí, lo que corresponde a una expresión de productos y sumas muy simple.

Transformación inversa de matrices Suponga que el robot en la siguiente figura se va a mover hacia la parte P para taladrar un hueco en la parte.

La posición de la base del robot relativa al sistema coordenado U esta descrito por un sistema R, la mano del robot está descrita por un sistema H, y el efector final (el final del taladro que será usado para taladrar el hueco) esta descrito por el sistema E.

La posición de la parte también esta descrita por el sistema P. La localización del punto donde el hueco será taladrado puede ser relacionado al sistema de referencia U a través de dos caminos independientes: uno a través de la parte y otro a través del robot. Por lo que podemos escribir:

EP

PU

EH

HR

RU

EU TTTTTT ==

Transformación inversa de matrices

Los sistemas universo, robot, mano, parte y efector final.

Transformación inversa de matrices Lo que significa que la localización del punto E en la parte se puede alcanzar moviendo U a P, y de P a E, o puede ser alcanzada alternativamente por transformaciones de U a R, de R a H y de H a E.

En realidad, la transformación UTR, o la transformación del sistema R relativo a U (sistema de referencia universo) es conocida, debido a que la localización de la base del robot debe ser conocida en cualquier configuración.

Por ejemplo, si un robot es instalado en una celda de trabajo, la localización de la base del robot será conocida, debido a que esta fijado a una mesa. Aún si el robot es móvil o está unido a una banda transportadora, su localización en cualquier instante será conocida, ya que el controlador deberá seguir la posición de la base del robot todo el tiempo.

Transformación inversa de matrices La HTE o transformación del efector final relativa a la mano del robot es conocida, ya que cualquier herramienta utilizada en el efector final es una herramienta conocida, y sus dimensiones y configuración son conocidas.

UTP o la transformación de la parte relativa al universo, es también conocida, ya que debemos saber donde esta colocada la parte si queremos taladrarle un hueco. Esta localización se puede conocer poniendo la parte en una guía mecánica, a través de sistemas de cámaras y visión, a través del uso de bandas transportadoras y sensores, u otros dispositivos similares.

PTE es también conocida, ya que necesitamos saber donde será taladrado el hueco en la parte. Consecuentemente, la única transformación desconocida es RTH, o la transformación de la mano del robot relativa a la base del robot.

Transformación inversa de matrices Esto significa que necesitamos encontrar cuales deben ser las variables de juntura del robot para poder colocar el efector final en el hueco para el taladrado. Por lo tanto, es necesario calcular esta transformación, que nos dirá que necesita ser logrado.

Para calcular esta matriz, a diferencia de las ecuaciones algebraicas, no podemos simplemente dividir el lado derecho por el izquierdo. Necesitamos pre- o postmultiplicar por las inversas de las matrices apropiadas para eliminarlas. Como resultado, tendremos:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1111 −−−− = EH

EP

PU

RU

EH

EH

HR

RU

RU TTTTTTTTT

Transformación inversa de matrices como (UTR)-1(UTR) = 1, y (HTE)(HTE)-1, el lado izquierdo de la ecuación se simplifica a RTH y obtenemos:

Podemos verificar la precisión de esta ecuación dándose cuenta de que (HTE)-1 es lo mismo que ETH. Así la ecuación puede rescribirse como:

11 −−= EH

EP

PU

RU

HR TTTTT

HR

HE

EP

PU

UR

EH

EP

PU

RU

HR TTTTTTTTTT === −− 11

Ejemplo En la configuración de un robot, una cámara está unida al quinto eslabón de un robot con seis grados de libertad. La cámara observa un objeto y determina su sistema relativo al sistema de la cámara. Usando la siguiente información, determine el movimiento necesario que el efector final tiene que hacer para agarrar el objeto.

Comparación de métodos de localización espacial

La comparación se realiza fundamentalmente en razón a su capacidad para la realización de cuatro cuestiones básicas de toda transformación.

1.  Capacidad de representación conjunta de posición y orientación. 2.  Representar la posición y orientación de un sistema rotado y

trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ. Que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

3.  Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

4.  Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

Comparación de métodos de localización espacial

Matrices de transformación homogénea

Sus principales ventajas residen en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación y en la comodidad con la que se puede realizar la composición de transformaciones.

Como su principal inconveniente presenta su alto nivel de redundancia (necesita definir 12 componentes para sólo 6 grados de libertad). Esto dificulta su implementación en computador.

Comparación de métodos de localización espacial

Ángulos de Euler

Los ángulos de Euler, en cualquiera de sus modalidades, sólo son capaces de representar orientación, y aunque permiten una notación compacta (sólo tres números reales), son difíciles de manejar para composición de rotaciones y para su aplicación sobre un vector.

Cuaternios

El cuaternio, como tal, sólo es capaz de representar la orientación relativa de un sistema O’UVW con respecto a otro, a través del uso de cuatro componentes. Sin embargo, es posible componer rotaciones junto con t r a s l a c i o n e s d e f o r m a b a s t a n t e s i m p l e y computacionalmente económica.