Hawking-Strahlung

Black Holes aren‘t black!

Newton

Gravitationsgesetz: • Jeder Körper im Universum übt

auf jeden anderen Körper eine Kraft entlang der Verbindungslinie ihrer Zentren aus.

• Stärke proportional zum Massenprodukt und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung

r

r

r

mmGF

221

213111067.6 skgmG

Potenzielle Energie durch Gravitation

2r

GMmFF gravext

2r

GMmFgrav

r

GMm

rGMmdr

rGMmdr

r

GMmdrFW

rrrr

extdone

11

22

r

GMmE potgrav ..

Per definitionem:

Jedes Quant hat nach Planck die Energie E, die von der Frequenz f der elektromagnetischen Strahlung abhängt:

Quantenenergie

fhE Jsh 341062618.6

Je höher die Frequenz der Strahlung, desto energiereicher die Quanten!

Hohlraumstrahlung

Schwarzer Körper = theoretisch perfekter Absorber, der jegliche Strahlung aller Wellenlängen vollständig absorbiert

Intensitäten der verschiedenen Wellenlängen der Strahlung, die von schwarzem Körper ausgesandt, abhängig nur von Temperatur:

D.h. je größer die Temperatur des schwarzer Körpers, desto weiter verschiebt sich das Maximum zu kleineren Wellenlängen hin ->

Wien’sches Verschiebungsgesetz: T

mmK898.2max

Einstein - SRT

Äquivalenz von Masse und Energie:

2cmE

Schwarzschildradius

Größe eines Schwarzen Lochs = Schwarzschildradius = Ereignishorizont

Klassische Herleitung:

2

2

1mvEkin

R

mMGE BH

pot

222 2

2

1

2

1

c

MGR

R

MGc

R

MmGmc

potenzielle Energie in Entfernung R von Schwarzem Loch

Kinetische Energie eines Teilchens =

(m = Masse der von Singularität ausgesandten Photonen; M = Masse des SL; R = SSR)

Virtuelle Teilchen/Vakuumfluktuationen

Quantenphysik: Leerer Raum NICHT leer -> "virtuelle Teilchenpaare", deren Energie so gering ist, dass sie

nur für sehr kurze Zeit existieren f

t8

1

und daher nicht zu messen sind (virtuell), was aus Heisenbergs Unschärferelation folgt:

E

ht

hEt

44

- Ständige Annihilation mit entsprechendem Antiteilchen in

elektromagnetischer Strahlung (virtuelle Photonen)

- Neubildung in Paaren:

fhf

h

E

hthfE

8

1

24422

(E = Energie eines virtuellen Paares!)

Hawkingstrahlung

„Es gibt eine Theorie, nach der Schwarze Löcher durch diese "Hawking-Strahlung" über einen sehr langen Zeitraum hinweg Masse verlieren können. Dabei geht man von einem Vakuumzustand aus, in dem gemäß Heisenbergs Unschärferelation ständig virtuelle Paare aus Materie und Antimaterieteilchen entstehen und wieder verschwinden. Durch die starke Gravitationskraft des Schwarzen Loches kann es passieren, dass diese Paare getrennt werden und ein Teilchen ins Schwarze Loch fällt, während das andere ins All entkommt, also real wird. Dieser quantenmechanische Prozess könnte über viele Milliarden Jahre zum Auflösen von Schwarzen Löchern führen.“ (Astronews.com)

Hawkingstrahlung

Hawkingstrahlung

Newton Black Hole Aaaaahhh…

meets

Hawkingstrahlung

Wie viel Energie erhält ein virtuelles Photonenpaar und wo kommt sie her?

Das Einzige, was aus dem Innern jenseits des Schwarzschildradius entkommt, ist Gravitation -> Hawkingstrahlung beruht auf Gravitation

Gleichmäßige Beschleunigung (z. B. durch Gravitation) -> Teilchen bekommt kinetische Energie -> proportional zur Masse und zum Weg, auf dem es beschleunigt wird

damEddamddFdE m = Masse virtuelles Photona = Gravitationsbeschleunigung – Ortsfaktor (!!!)d = Weg, den das Photon in seiner Lebenszeit zurücklegt

Hawkingstrahlung

Warum geht das?

Virtuelle Photonen haben so kurze Lebensdauer (z.B. 24 nm für ein virtuelles Photon orangen Lichts), dass sie nicht weit kommen -> Gravitation = const -> Formel ok

Photon nicht beschleunigt, da mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs (Ortsfaktor = Kraft!), aber Frequenz ändert sich -> höhere Energie

<- Höhere Photonenenergie Niedrigere Photonenenergie ->

Hawkingstrahlung

tcd „Lebensweg“:

Lebensdauer:

Zusammen:f

ctcd

8

ft 8

1

Energie:f

camdamE

8

Hawkingstrahlung

Ortsfaktor über Newtons Gravitationsgesetz berechnen:

2r

mMGF

m

Fa

2

2

r

MG

mrmM

G

m

Fa

2

2

c

MGR

Hawkingstrahlung

1 Photon des virtuellen Photonenpaares muss ins Schwarze Loch

fallen, um Hawkingstrahlung zu produzieren,

-> Beide müssen dicht am Schwarzschildradius entstehen

-> Näherung: Schwarzschildradius = Abstand zwischen dem Photonenpaar und dem Schwarzen Loch:

GM

c

cM

G

MG

cM

G

MG

R

MGa

442

4

42

2

2

2

(Schwarzschildradius)

Hawkingstrahlung

In Energie einsetzen:

GMf

cm

f

c

GM

cm

f

camE

32848

54

Energie eines Photons der Hawkingstrahlung:

22

c

EmmcE

2221

22

c

hf

c

EmhfEhfE

GM

hc

GMf

c

c

hf

GMf

cmE

1632

2

32

35

2

5

Ein virtuelles Photonenpaar kriegt also von einem kleinen

Schwarzen Loch mehr Energie als von einem großen!!!

Lebensdauer eines Schwarzen Lochs

Schwarzes Loch zerstrahlt durch Hawkingstrahlung: Entkommendes Teilchen trägt Energie davon -> Schwarzes Loch verliert Masse -> nach Hawking ist irgendwann sämtliche Energie bzw. Masse zerstrahlt

Leistung der Hawkingstrahlung = seine Leuchtkraft:

4

23

454

15

2BHBH TA

ch

kTAL

222

6

1 30720 MG

chLP

kGM

hcTBH 2

3

16

= Stefan-Boltzmann-Konstante, A = Oberfläche Schwarzer Körper:

4

222 164c

MGRA SS

Lebensdauer eines Schwarzen Lochs

Abgestrahlte Energie = Energie, die das Schwarze Loch verliert

-> Leistung P der Hawkingstrahlung = Abnahme der Energie des SL

dt

dEP mit Einsteins Energie-Masse-Gleichheitssatz

2mcE

dt

dMc

dt

dMc

dt

dEP 2

2

2

dMMdtG

hc

dt

dMc

MG

hc 222

42

222

6

3072030720

21 PP

131522

4

1098.330720

: skgG

hcK

Lebensdauer eines Schwarzen Lochs

Integration: - Masse sinkt von Anfangsmasse M_0 auf 0 während das SL zerstrahlt- die bis zur vollständigen Zerstrahlung benötigte Zeit: 0 bis t_1

01

0

1

0

2

0

02

0

Mt

M

t

dMMdtKdMMdtK

33

30

1

0

3

0

0

1M

tKm

tKM

t

K

Mt

3

30

1 Lebensdauer:

D.h.: Massereiches Schwarzes Loch braucht proportional länger, um zu zerstrahlen

Lebensdauer eines Schwarzen Lochs

• Lebensdauer schon für Schwarze Löcher mit Sonnenmasse (10^30 kg) sehr hoch: 10^66 Jahre bis durch Hawking-Strahlung verdampft• Temperatur eines stellaren Schwarzen Lochs außerordentlich gering, nur etwa ein Millionstel Kelvin -> supermassereiche Schwarze Löcher in Kerngebieten von Galaxien noch kälter• Direkte Detektion der Hawking-Strahlung geradezu ausgeschlossen, zumal wegen sehr geringer Intensität durch andere Strahlungseffekte in der Umgebung des Loches z.B. den leuchtenden Akkretionsfluss überstrahlt• Außerdem: Hawking-Strahlung an Existenz des Ereignishorizonts gebunden -> kein Horizont, keine Hawking-Emission

• Hawking untersuchte Quantenfelder auf Hintergrund gekrümmter Raumzeiten. Felder, die mit Teilchen (Elektronen, Photonen, Neutrinos) assoziiert, quantisiert, Gravitationsfelder aber nicht -> mit ART beschrieben. Also: Hawkings Zugang = Konzept der semiklassischen QuantengravitationHat es aber nicht geschafft, Gravitation zu quantisieren!!

• Hawking-Strahlung im gekrümmten Raum hat in flachen Raumzeiten Gegenstück: Beschleunigungsstrahlung. Hier Frage: Welches Minkowski-Vakuum nimmt beschleunigter Beobachter wahr? Behandlung von masselosem Skalarfeld in flacher Minkowski-Metrik -> Unruh-Effekt (von William Unruh (1975) und Robert W. Wald (1984) ausgearbeitet)Aussage: Beschleunigter Beobachter nimmt Minkowski-Vakuum als thermisches Teilchenbad wahr! Letztendlich Hawking-Strahlung und Beschleunigungsstrahlung als Analoga notwendige Konsequenz des Äquivalenzprinzips

Schulphysik ade – Jetzt kommt Felix!

http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_h.html http://casa.colorado.edu/~ajsh/hawk.html www.wikipedia.de http://www.physik.uni-frankfurt.de/~stoecker http://www.astronews.com http://www.heise.de/tp/r4/artikel/18/18114/1.html

Quellenangabe