HARMONIJSKI_VALOVI - skripte

fizika – 3. razred HARMONIJSKI VALOVI

Nina Obradović, prof. 1

Nft

=tTN

=

3. razred – HARMONIJSKI VALOVI

1. Osnovni pojmovi – harmonijski valovi

Jedan od načina prenošenja energije kroz prostor je valovito gibanje. Valovi koji se šire kroz elastična sredstva su mehanički valovi. Elastično sredstvo je sredstvo čije su čestice vezane elastičnim silama. Val je pojava prenošenja titranja kroz elastično sredstvo putem usklađenog ( kolektivnog ) gibanja čestica tog sredstva, pri čemu se kroz sredstvo prenosi energija. val na vodi VRSTE VALOVA I. prema načinu titranja čestica : 1. longitudinalni - čestice titraju duž pravca po kojem se val širi

- širi se kroz sva tri agregatna stanja (primjer: zvučni val) - ima zgušnjenja i razrijeđenja

2. transverzalni val - čestice titraju okomito na pravac širenja vala - širi se samo u čvrstom agregatnom stanju

II. prema načinu prijenosa energije titranja čestica :

• progresivni (putujući) val - giba se u određenom smjeru i pritom se energija prenosi sa čestice na česticu

• stojni val - je takav val kod kojega neke čestice titraju, a neke stalno miruju; suprotno progresivnom valu, pri stojnom valu energija se ne širi prostorom

III. prema obliku i sredstvu na kojem nastaje :

• linearni – val na žici • površinski – val na vodi, kombinacija longitudinalnih i transverzalnih valova • prostorni – zvučni val ( http://gbs.glenbrook.k12.il.us/Academics/gbssci/phys/Class/sound/tfl.gif )

Sl.1. Ravni val Sl.2. Kuglasti val Definicije osnovnih veličina : valna fronta – prednji dio vala valne plohe – plohe koje pokazuju širenje vala u prostoru valna zraka – okomita na valnu plohu; paralelna sa brzinom širenja vala T - period vala ; vrijeme za koje se val proširi za jednu valnu duljinu odgovara periodu titranja čestica N – broj titraja; broj valova λ - valna duljina ; najmanja udaljenost između dvije čestice koje titraju jednakom fazom f - frekvencija ; broj valova u jedinici vremena ; odgovara frekvenciji titranja čestica v - brzina širenja vala , tj. FAZNA brzina; to je brzina kojom se širi prednji dio vala, tzv. valna fronta

( Napomena : ova brzina NE odgovara brzini titranja čestica , tvv ωcos0= )



fv λ= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sm

Tv λ=

• Fazna brzina vala (njom se širi određena faza vala) povezana je s valnom duljinom i frekvencijom :

ili Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina se ne mijenja sa frekvencijom. Produkt frekvencije i duljine uvijek će bit isti u istom mediju, jer ovisi samo o titranju izvora vala. Energije vala je proporcionalna sa kvadratom amplitude vala. To je posljedica činjenice što je i energija titranja čestica proporcionalna sa kvadratom amplitude (prema zakonu očuvanja energije).

Postanak mehaničkog transverzalnog vala :

Izvor počinje titrati u 0=t .

Energija titranja se prenosi na susjedne čestice – titrače.

Nakon 4Tt = val se proširio za

četvrtinu valne duljine ; pritom je titrač napravio četvrt titraja.

Nakon 2Tt = val se proširio za

pola valne duljine ; pritom je titrač napravio pola titraja. ..... itd .... Energija vala se prenosi kroz elastično sredstvo. Nakon Tt = val se proširio za cijelu valnu duljinu ; pritom je titrač napravio pola titraja.

Valna duljina može se definirati i kao udaljenost između dva susjedna brijega ( dola ).

brijeg

dol



0y−

0y+

0y+

0y−

2λ λ

Tπω 2

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = −1s

srad

λλλ =⇒== TvT

fv

Grafički prikaz transverzalnog vala na 1D – el. sredstvu : Jednodimenzionalno elastično sredstvo ( 1D – el. sredstvo ) je ono kojemu je jedna dimenzija puno veća od druge dvije.

y – elongacija čestice

0y – amplituda x – udaljenost pojedine čestice od izvora vala Za titranje čestica vala vrijedi prikaz : T/2 T

2. Jednadžba harmonijskog vala

Titranje čestice u izvoru : ( )tyy ωsin0= Grafički prikaz titranja :

−ω kutna brzina ( kružna frekvencija )

−0y amplituda titranja

0=y , početna elongacija izvora vala

Titranje čestice koja je od izvora udaljena za x : ( )[ ]τω −= tyy sin0

−τ vrijeme za koje se val proširi od izvora ( 0=x ) do točke koja se nalazi na udaljenosti x

τxv = ⇒

vx

=τ x – udaljenost čestice (točke) od izvora vala

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Tvxt

Ty

vxt

Tyy πππ 22sin2sin 00

t 0

y



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

λπ x

Ttyy m2sin0

( )kxtyy mωsin0=

xΔ

πϕλ 2:: Δ=Δx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=λππ x

Ttyy 22sin0 m

Dobivamo : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xt

Tyy

λππ 22sin0

Grafički prikaz vala ( y/x graf ) : Općenito možemo pisati : val se širi udesno

val se širi ulijevo ili : Drugi oblik jednadžbe :

λπ2

=k [ ]1−m , valni broj – broj valova po metru

Općeniti zapis jednadžbe vala ( izvor je počeo titrati već prije ) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΦ+

⋅⋅=

λππ x

Ttytxy 22sin),( 0 m

Grafički prikaz vala sa pomakom u fazi ( izvor je počeo titrati već prije ) : Razlika hoda :

1. između 2 čestice u valu

12 xxx −=Δ , udaljenost dvije čestice vala Mjerna jedinica : [ ] mx =Δ

ili [ ] λ=Δx

Ako se xΔ izrazi preko kuta, onda se naziva razlika faza ( fazni pomak ) i označava se : ϕΔ

xxkt Δ=Δ=Δ=Δλπωϕ 2

x1 x2

2 1

x

y

x

y

ΔΦ



2 zπϕλ

Δ = ⋅ 0,rad⎡ ⎤⎣ ⎦

zz

Dakle, razlika u fazi ( fazna razlika ) između titranja čestice udaljene od izvora vala za xΔ i titranja čestice u izvoru vala ( 0=x ) jednaka je razlici faza između bilo koje dvije čestice koje su međusobno udaljene xΔ :

xΔ⋅=Δλπϕ 2 [ ]0,rad

2. između 2 vala – kada su valovi JEDNAKI

Valovi moraju biti KOHERENTNI : .

.konst

konstf=Δ

=ϕ

Napomena : oznaka „ xΔ “ se preimenuje u oznaku „z“

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λπ x

Ttytxy 2sin),( 01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= zx

Ttytxy

λπ2sin),( 02

−z razlika hoda

12 xxz −= [ ]λ,m , razlika faza

3. Odbijanje i lom valova

I. Odbijanje – refleksija: odbijanje vala od prepreke

prepreka – neko drugo elastično sredstvo, drugačijih elastičnih svojstava od sredstva u kojem se val dotada širio Promatrat ćemo širenje pulsa na zategnutom užetu. Zaključci koje izvedemo za puls vrijede općenito i za val.

PULS – pulsni val → „poluval“ ; ili 1 brijeg ili 1 dol ( nastaje djelovanjem jednog impulsa sile )

a) REFLEKSIJA na ČVRSTOM KRAJU

Ako je uže pričvršćeno na jednom kraju, puls će se reflektirati. Pritome nastaje promjena faze za π - brijeg se reflektira kao dol, a dol kao brijeg. Amplituda je ostala ista.

val 1

x

val 2

y



(2 1) 0, 1, 2, 3,...2

z k kλ= + = ± ± ± 2 (2 1)z kπϕ ϕ π

λΔ = ⋅ ⇒ Δ = +

...3,2,1,0 ±±±=⋅= kkz λ πϕλπϕ 22

⋅=Δ⇒⋅=Δ kz

Znači, upadni i reflektirani puls imaju razliku faza : πϕ =Δ tj. razliku hoda : 2λ

=z

Kada razmatranje proširimo na valove, zaključak glasi :

Kod refleksije vala na čvrstom kraju dolazi do promjene faze između upadnog i reflektiranog vala i to tako da su valovi u protufazi . Uočite da se amplituda valova nije promijenila.

Za sinusne valove npr. možemo pisati : ( )kxtyy −= ωsin01 , upadni val ( )πω ++= kxtyy sin02 , reflektirani val

Valovi su u protufazi. Sasvim općenito to znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka neparnom višekratniku polovice valne duljine, a razlika faza neparnom višekratniku od π.

Napomena : u gornjim jednadžbama k je samo broj (nije valni broj iz jednadžbe vala)

a. REFLEKSIJA na SLOBODNOM KRAJU

Ako kraj debelog užeta spojimo s tankom uzicom i proizvedemo puls, na spoju se taj puls reflektira s istom fazom - brijeg se odbija kao brijeg, a dol kao dol. Amplituda je ostala ista.

Znači, između upadnog i reflektiranog pulsa nema promjene u fazi : 0=Δϕ tj. 0=z Kaže da su upadni i reflektirani pulsevi u fazi.

Kada razmatranje proširimo na valove, zaključak glasi : Kod refleksije vala na slobodnom kraju ne dolazi do promjene faze između upadnog i reflektiranog vala. Za takve valove se kaže da su u fazi.

Za sinusne valove npr. Možemo pisati : ( )kxtyy −= ωsin01 , upadni val ( )kxtyy += ωsin02 , reflektirani (odbijeni) val

Valovi su u fazi. Sasvim općenito to znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku valne duljine, a razlika faza također je jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku od 2π.

Zaključak : Pri refleksiji na gušćem sredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za π prema upadnom valu, a pri refleksiji na rjeđem sredstvu nema pomaka u fazi. Također, pri refleksiji od čvrste zapreke reflektirani val ima jednaku amplitudu kao upadni, samo pomaknut u fazi, dok pri refleksiji na slobodnom kraju upadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze.



II. Lom – refrakcija valova

Uzrok promjene pravca širenja vala je promjena brzine širenja valova.

Frekvencija vala ovisi o titranju izvora vala pa je prilikom prijelaza vala iz jednog sredstva u drugo konstantna :

21 ff = 1λ > 2λ zbog : fv ⋅= λ 1v > 2v

v1 - brzina vala u prvom sredstvu; v2 - brzina vala u drugom sredstvu

ZAKON LOMA - Snellov zakon, koji kaže : 1. Upadna zraka, lomljena zraka i normala (okomica) leže u istoj ravnini 2. Omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma jednak je omjeru odgovarajućih brzina :

2

1

sinsin

vv

=βα

α – upadni kut β – kut loma

Kada val prelazi iz sredstva u kojem ima manju brzinu u sredstvo u kojem ima veću brzinu lomi se prema okomici na graničnu površinu. Kut upada je veći od kuta loma. (slika gore) Kada val prelazi iz sredstva u kojem ima veću brzinu u sredstvo u kojem ima manju brzinu lomi se od okomice na graničnu površinu. (npr. zrak)

Tada je kut β veći od kuta α . (npr. voda)

Za zvučni val to je slučaj kada npr. zvuk prelazi iz vode u zrak. izvor vala

4. Interferencija valova Interferencija je zbrajanje (superpozicija) elongacija valova. Elongacije se zbrajaju po iznosu i smjeru. Relativno jednostavna jednadžba koja opisuje rezultantni val može se dobiti SAMO u slučaju dva jednaka vala, koji npr. imaju razliku hoda z.

Dva vala su jednaka ako su koherentni, te ako imaju jednaku amplitudu.

val 2 val 1

x z

y



val 1 … 1 02 2siny y t xTπ π

λ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

val 2 … ( )2 02 2siny y t x zTπ π

λ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

z – razlika hoda

1 2 ?y y y= + = , INTERFERENTNI (rezultantni ili superponirani) val

Jednadžbu za superponirani val dobit ćemo koristeći transformacijske formule :

sin sin 2sin cos2 2

α β α βα β + −+ = ⋅ 2 2t x

Tπ πα

λ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

i 2 xπβ αλ

= −

Račun možete provesti sami, za vježbu. Dobije se jednadžba koju nazivamo : jednadžba interferentnog vala

02 22 cos sin

2z zy y t x

Tπ π πλ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 02 cos zy π

λ = rezy0 - amplituda interferentnog vala

Posebni slučajevi interferencije su tzv. konstruktivna i destruktivna interferencija.

interferencija interferencija

konstruktivna destruktivna

z z



0, 1, 2, 3,...z k kλ= = ± ± ±

KONSTRUKTIVNA INTERFERENCIJA

Nastaje kada se kroz sredstvo šire dva vala koja su međusobno u fazi. Treba obratiti pažnju da se valovi šire u istom smjeru. ( pogledajte jednadžbe za val1 i val2 na prethodnoj stranici ). Razmotrit ćemo širenje dva jednaka vala.

Valovi su jednaki : 1. koherentni su 2. imaju jednaku amplitudu i λ val 1 Valovi su u fazi. To znači da je razlika hoda komponentnih valova

jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku valne duljine :

val 2

2 2z kπϕ ϕ πλ

Δ = ⋅ ⇒ Δ = ⋅

rezultantni val

Sasvim općenito, konstruktivna val 1 interferencija izgleda kao na slici desno.

val 2

Vidimo da je amplituda rezultantnog vala veća nego kod komponentnih valova.

val 1 i val 2



(2 1) 0, 1, 2, 3,...2

z k kλ= + = ± ± ±

2 (2 1)z kπϕ ϕ πλ

Δ = ⋅ ⇒ Δ = +

DESTRUKTIVNA INTERFERENCIJA

Nastaje kada se kroz sredstvo šire dva vala koja su međusobno u protufazi. Treba obratiti pažnju da se valovi šire u istom smjeru. ( pogledajte jednadžbe za val1 i val2 na prethodnoj stranici ). Razmotrit ćemo širenje dva jednaka vala.

Valovi su jednaki : 1. koherentni su 2. imaju jednaku amplitudu i λ

val 1

Valovi su u protufazi. To znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka neparnom višekratniku polovice valne duljine :

val 2

rezultantni val

Sasvim općenito, destruktivna interferencija izgleda kao na slici dolje :

val 1 Vidimo da je amplituda rezultantnog vala oslabljena u usporedbi sa amplitudom prvog vala. val 2 val 1 i val 2



0( , ) sin( )uy x t y t kxω= +

1nf n f= ⋅

( ) ( ){ } tkxykxtkxtyyyy ru ωωω cossin2sinsin 00 ⋅=−−+=+=

2λ⋅= nL

5. Stojni val

Stojni val nastaje interferencijom dva jednaka vala, koji putuju jedan nasuprot drugome, a međusobno su u protufazi. Stojni val se može dobiti npr. refleksijom progresivnog vala.

Stojni val posjeduje energiju, koju NE prenosi sa jednog mjesta sredstva na drugo.

Razmotrimo stojni val koji nastaje na sredstvu učvršćenom na oba kraja. Jednadžbe valova glase :

upadni progresivni val, (širi se u lijevo)

reflektirani val, (širi se u desno), pomaknut u fazi za π jednadžba stojnog vala

Rezultantni val više nije progresivni val, nema argumenta ωt+kx . Dobivamo točke koje stalno miruju : miruju čvorovi jednadžbe

vrijede za dolje opisan

najjače titraju trbusi slučaj 1.

Transverzalni stojni valovi na napetoj žici

1. Stojni val u žici učvršćenoj na oba kraja Kada je zatitran jedan kraj napete žice duljine L → val se reflektira → nastaje stojni val

rubni uvjeti: oba kraja žice učvršćena →u točkama x = 0 i x = L nastaju čvorovi stojnog vala

L – duljina žice

osnovni mod stojnog vala

prvi viši harmonik stojnog vala

drugi viši harmonik

treći viši harmonik

,....3,2,1=n

Budući da je : 2Lv f fn

λ= = ⇒ 2nvf nL

= ⋅ , frekvencija n-tog harmonika

Za n = 1 ⇒ 1 2vfL

= 1f − osnovna frekvencija stojnog vala ⇒

sin 0 ; 0,1,22n n

nkx x n nkπ λ

= ⇒ = = = K

0 0( , ) sin( ) sin( )ry x t y t kx y t kxω π ω= − + = − −

sin 1 (2 1) ; 0,1,24n nkx x n nλ

= ± ⇒ = + = K

1 0

2 0

0 0

1 2 0

( , ) sin( )( , ) sin( )

( , ) sin( ) sin( )

2 sin sin2

sin 0

2 1, 2,3n

y x t y t kxy x t y t kxy x t y t kx y t kx

y y y y kx t

kLkL n

L nn

ωω ϕω ω ϕ

πω

π

λ

= −= + += − + + +

⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

==

= = K



2 2 22ukE m f Aπ=

2. Stojni val na žici sa slobodnim krajem ili tzv. otvorena svirala L

osnovni mod

prvi viši harmonik ….... itd. općenito : , osnovna frekvencija

oznaka n-ti viši harmonik 01 ff ≡

, frekvencija n-tog harmonika 3. Titranje sredstva (štapa) kojemu je jedan kraj slobodan a drugi učvršćen ili zatvorena svirala

L

osnovni mod prvi viši harmonik

drugi viši harmonik

…..... itd. , osnovna frekvencija n-ti viši harmonik

, frekvencija n-tog harmonika ,....3,2,1=n

Zakon očuvanja energije kod stojnog vala

Za svaku česticu koja titra u valu vrijedi : 2 2.ukE konst f A= ⋅ 21.

2ukE konst kA= = ( kod stojnog vala amplituda iznosi : 02A y= )

Uz primjenu formula 2 km

ω = 2 2 24k m fω π= = 2 fω π= dobivamo :

2222220 4

21

21

21 AfmAmmvEuk πω ⋅=== ⇒

Ta nam činjenica objašnjava zašto se amplitude viših harmonika smanjuju. Naime, budući da frekvencije viših harmonika rastu, da bi gornji odnos ostao zadovoljen, moraju se smanjivati amplitude.

2L λ= 2Lλ⇒ =

vfλ

=2vfL

=

22

L λ λ= =v vf

Lλ= =

1 2vfL

=

02nvf n n fL

= ⋅ = ⋅

32

L λ=

4L λ= 4Lλ⇒ =

4vfλ

=

34

L λ=

43Lλ⇒ = 3

4vfλ

=

54

L λ=

45Lλ⇒ = 5

4vfλ

=

1 4vfL

=

(2 1) 4nvf nL

= −

1(2 1)nf n f= −

Documents

HARMONIJSKI_VALOVI - skripte