43
1. ŠIRENJE PUKOTINE U okviru mehanike loma određuju se polja lokalnih naprezanja i deformacija oko vrška pukotine pomoću globalnih parametara, kao što su opterećenje i geometrija strojnog dijela. Principi određivanja polja lokalnih naprezanja i deformacija najčešće se dijele na linearno elastični pristup (en. Linear Elastic Fracture Mechanics – LEFM) i nelinearni pristup, koji se nadalje dijeli na elasto-plastični (eng. Elastic-Plastic Fracture Mechanics - EPFM) , viskoelastični i viskoplastični pristup Dat će se teorijske osnove linearno elastične mehanike loma s posebnim osvrtom na izračunavanje faktora intenziteta naprezanja metodom konačnih elemenata. Opisat će se najčešće korišteni kriteriji za određivanja smjera širenja pukotine. Također će se opisati mogućnosti izračunavanja faktora intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine, odnosno do kontakta površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenja. 1.1 ANALIZA POLJA NAPREZANJA U BLIZINI VRŠKA PUKOTINE Ako se postavi polarni koordinatni sustav s ishodištem u vrhu pukotine tada se polje naprezanja linearno elastičnog tijela s pukotinom može opisati izrazom [69]: () ( ) () 2 0 m m ij ij m ij m k f Ar g r = σ = θ+ θ , (1.1) gdje je: σ ij tenzor naprezanja, r i θ definiraju točku u polarnim koordinatama u odnosu na vršak pukotine (slika 1.1), k je konstanta, a f ij i g ij su bezdimenzijske funkcije ovisne o θ. Dijelovi izraza višeg reda ovise o geometriji. Rješenje za bilo koju geometriju uvijek sadrži izraz proporcionalan 1 r . Kada 0 r prvi dio izraza (1.1) teži u beskonačnost, a ostali dijelovi izraza su konstantni ili teže nuli. Dakle, izraz (1.1) opisuje singularnost naprezanja, budući je r =0 asimptota naprezanja.

hanics - EPFM) , viskoelastični imarjan.fesb.hr/~spodrug/mehanika loma/leml.pdf · edna je od najvažnijih značajki mehanike loma. Pomaci su također u potpunosti opi sani faktorom

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 1. Š

    IRE

    NJE

    PU

    KO

    TIN

    E

    U o

    kviru

    meh

    anik

    e lo

    ma

    odre

    đuju

    se

    polja

    loka

    lnih

    nap

    reza

    nja

    i def

    orm

    acija

    oko

    vrš

    ka p

    ukot

    ine

    pom

    oću

    glob

    alnih

    par

    amet

    ara,

    kao

    što

    su o

    pter

    ećen

    je i

    geom

    etrij

    a st

    rojn

    og d

    ijela.

    Prin

    cipi o

    dređ

    ivan

    ja po

    lja lo

    kaln

    ih n

    apre

    zanj

    a i d

    efor

    mac

    ija n

    ajčeš

    će s

    e di

    jele

    na li

    near

    no e

    lastič

    ni p

    ristu

    p (e

    n. L

    inea

    r E

    lastic

    Frac

    ture

    Mec

    hani

    cs –

    LE

    FM) i

    neli

    near

    ni p

    ristu

    p, k

    oji s

    e na

    dalje

    dije

    li na

    elas

    to-p

    lastič

    ni (e

    ng. E

    lastic

    -Plas

    tic F

    ract

    ure

    Mec

    hani

    cs -

    EPF

    M) ,

    visk

    oelas

    tični

    i

    visk

    oplas

    tični

    pris

    tup

    Dat

    će

    se t

    eorij

    ske

    osno

    ve l

    inea

    rno

    elast

    ične

    meh

    anik

    e lo

    ma

    s po

    sebn

    im o

    svrto

    m n

    a iz

    raču

    nava

    nje

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a m

    etod

    om k

    onač

    nih

    elem

    enat

    a. O

    pisa

    t će

    se n

    ajčeš

    će k

    orišt

    eni k

    riter

    iji z

    a od

    ređi

    vanj

    a sm

    jera

    širen

    ja pu

    kotin

    e. Ta

    kođe

    r će

    se o

    pisa

    ti m

    oguć

    nost

    i izr

    ačun

    avan

    ja fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    napr

    ezan

    ja pr

    i koj

    em d

    olaz

    i do

    zatv

    aran

    ja pu

    kotin

    e, od

    nosn

    o do

    kon

    takt

    a po

    vršin

    a pu

    kotin

    e za

    vrij

    eme

    djelo

    vanj

    a vr

    emen

    ski p

    rom

    jenjiv

    og o

    pter

    ećen

    ja.

    1.1

    AN

    AL

    IZA

    PO

    LJA

    NA

    PR

    EZ

    AN

    JA U

    BL

    IZIN

    I V

    RŠK

    A P

    UK

    OT

    INE

    Ako

    se p

    osta

    vi p

    olar

    ni k

    oord

    inat

    ni su

    stav

    s ish

    odišt

    em u

    vrh

    u pu

    kotin

    e ta

    da se

    pol

    je na

    prez

    anja

    linea

    rno

    elast

    ičnog

    tijel

    a s p

    ukot

    inom

    mož

    e op

    isati

    izra

    zom

    [69]

    :

    (

    )(

    ) ()

    2

    0

    mm

    ijij

    mij

    m

    kf

    Ar

    gr

    ∞ =

    σ=

    θ+

    θ

    , (1

    .1)

    gdje

    je: σ

    ij ten

    zor n

    apre

    zanj

    a, r i

    θ d

    efin

    iraju

    točk

    u u

    polar

    nim

    koo

    rdin

    atam

    a u

    odno

    su n

    a vr

    šak

    puko

    tine

    (slik

    a 1.

    1), k

    je k

    onst

    anta

    , a f ij

    i g ij

    su b

    ezdi

    men

    zijsk

    e

    funk

    cije

    ovisn

    e o

    θ.

    Dije

    lovi

    izra

    za v

    išeg

    reda

    ovi

    se o

    geo

    met

    riji.

    Rješ

    enje

    za b

    ilo k

    oju

    geom

    etrij

    u uv

    ijek

    sadr

    ži iz

    raz

    prop

    orcio

    nalan

    1r

    . Kad

    a 0

    r→

    prv

    i dio

    izra

    za (1

    .1) t

    eži u

    besk

    onač

    nost

    , a o

    stali

    dije

    lovi

    izra

    za su

    kon

    stan

    tni i

    li te

    že n

    uli.

    Dak

    le, iz

    raz

    (1.1

    ) opi

    suje

    singu

    larno

    st n

    apre

    zanj

    a, bu

    dući

    je r

    =0

    asim

    ptot

    a na

    prez

    anja.

  • x

    y

    puko

    tina

    σx

    σy

    τxy

    r θpu

    kotin

    a

    στ

    σr

    θ

    Slik

    a 1.

    1 D

    efin

    icija

    koor

    dina

    tnih

    osi

    Pozn

    ata

    su tr

    i glav

    na ti

    pa o

    tvar

    anja

    puko

    tine,

    prik

    azan

    a na

    slic

    i 1.2

    . To

    su I

    tip il

    i odc

    jepni

    tip,

    II ti

    p ili

    kliz

    ni ti

    p i I

    II ti

    p ili

    rasc

    jepni

    tip.

    x z

    yx

    x

    zz

    yy

    xx

    zz

    yy

    σ

    σ

    τ

    τ

    τ

    τ

    a)

    Tip

    I –

    odcj

    epni

    b)

    Tip

    II –

    kliz

    ni

    c) T

    ip II

    I – ra

    scje

    pni

    (en.

    ope

    ning

    ) (e

    n. in

    -plan

    e sh

    ear)

    (en.

    out

    -of-p

    lane

    shea

    r)

    Slik

    a 1.

    2 T

    ri os

    novn

    a tip

    a op

    tere

    ćenj

    a s p

    ripad

    ajući

    m ti

    povi

    ma

    puko

    tine

    Svak

    i nač

    in o

    tvar

    anja

    puko

    tine

    proi

    zvod

    i 1r

    sing

    ular

    itet u

    vrš

    ku p

    ukot

    ine,

    a ko

    nsta

    nta

    k i f

    unkc

    ija f ij

    ovi

    se o

    nač

    inu

    otva

    ranj

    a pu

    kotin

    e

    Kon

    stan

    ta k

    se z

    amjen

    juje

    s fak

    toro

    m in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    (FIN

    ) K, g

    dje

    je2

    Kk

    . Fak

    toru

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a do

    daju

    se in

    deks

    i tak

    o da

    se n

    azna

    či

    način

    otv

    aran

    ja pu

    kotin

    e. Sa

    da se

    pol

    je na

    prez

    anja

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e za

    izot

    ropn

    i lin

    earn

    o ela

    stičn

    i mat

    erija

    l mož

    e op

    isati

    slijed

    ećim

    izra

    zim

    a:

  • (

    )(

    ) ()

    II

    I

    0lim

    2ij

    ijr

    Kf

    r→

    σ=

    θπ

    , (1

    .2)

    (

    )(

    ) ()

    IIII

    II

    0lim

    2ij

    ijr

    Kf

    r→

    σ=

    θπ

    , (1

    .3)

    (

    )(

    ) ()

    III

    III

    III

    0lim

    2ij

    ijr

    Kf

    r→

    σ=

    θπ

    . (1

    .4)

    U sl

    učaju

    kad

    pos

    toji

    više

    nač

    ina

    otva

    ranj

    a pu

    kotin

    e, ta

    da se

    zbr

    ajanj

    em d

    obiv

    a po

    lje n

    apre

    zanj

    a:

    (

    )(

    )(

    )(

    )uk

    upno

    III

    III

    ijij

    ijij

    σ=

    σ+

    σ+

    σ

    (1.5

    )

    Pom

    oću

    Wes

    terg

    aard

    ovih

    funk

    cija

    napr

    ezan

    ja m

    ože

    se d

    oći d

    o an

    aliti

    čkog

    rješ

    enja

    rasp

    odjel

    e na

    prez

    anja

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e:

    I

    II1

    33

    cos

    1sin

    sinsin

    2co

    sco

    s2

    22

    22

    22

    xK

    Kr

    θθ

    θθ

    θθ

    σ=

    −−

    +

    π

    ,

    (1

    .6)

    I

    II1

    33

    cos

    1sin

    sinsin

    cos

    cos

    22

    22

    22

    2y

    KK

    r

    θ

    θθ

    θθ

    θ

    σ

    =+

    +

    π

    , (1

    .7)

    I

    II1

    33

    cos

    sinco

    sco

    s1

    sinsin

    22

    22

    22

    2xy

    KK

    r

    θ

    θθ

    θθ

    θ

    τ

    =+

    π

    . (1

    .8)

    za st

    anje

    ravn

    insk

    e de

    form

    acije

    :(

    )z

    xy

    σ=

    νσ

    .

    U p

    olar

    nom

    koo

    rdin

    atno

    m su

    stav

    u st

    anje

    napr

    ezan

    ja ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

    je:

    2

    III

    1co

    sco

    s3

    sin2

    22

    2K

    Kr

    θθ

    θθ

    σ=

    π

    ,

    (1

    .9)

    2

    2I

    II1

    cos

    1sin

    sin1

    3sin

    22

    22

    2r

    KK

    θθ

    θ

    σ

    =+

    +−

    π

    ,

    (1.1

    0)

  • 2

    III

    1co

    ssin

    cos

    13s

    in2

    22

    22

    rK

    Kr

    θθ

    θθ

    θ

    τ

    =+

    π

    .

    (1

    .11)

    Pret

    hodn

    i izr

    azi v

    rijed

    e u

    okol

    ini b

    lisko

    j vrš

    ku p

    ukot

    ine,

    odno

    sno

    u po

    druč

    ju k

    oje

    se n

    aziv

    a zo

    nom

    s d

    omin

    antn

    om s

    ingu

    larno

    sti.

    Izva

    n te

    zon

    e

    napr

    ezan

    je je

    dom

    inan

    tno

    ovisn

    o o

    geom

    etrij

    i stro

    jnog

    dije

    la, o

    dnos

    no d

    rugo

    m d

    ijelu

    izra

    za n

    a de

    snoj

    stra

    ni je

    dnad

    žbe

    (1.1

    ).

    Iz iz

    raza

    (1.

    6) d

    o (1

    .11)

    vid

    ljivo

    je d

    a fa

    ktor

    i int

    enzi

    teta

    nap

    reza

    nja

    u po

    tpun

    osti

    opisu

    ju s

    tanj

    e na

    prez

    anja

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e. O

    va m

    oguć

    nost

    opisi

    vanj

    a st

    anja

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e sa

    mo

    s jed

    nim

    par

    amet

    rom

    jedn

    a je

    od n

    ajvaž

    nijih

    zna

    čajk

    i meh

    anik

    e lo

    ma.

    Pom

    aci s

    u ta

    kođe

    r u p

    otpu

    nost

    i opi

    sani

    fakt

    orom

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a:

    2

    2I

    II1

    cos

    12s

    insin

    12c

    os2

    22

    22

    2r

    uK

    KG

    θθ

    θθ

    −+

    ++

    π

    ,

    (1.1

    2)

    2

    2I

    II1

    sin1

    2cos

    cos

    12s

    in2

    22

    22

    2r

    vK

    KG

    θθ

    θθ

    +−

    −κ

    ++

    π

    ,

    (1.1

    3)

    gdje

    je G

    mod

    ul sm

    icanj

    a, a

    κ ko

    nsta

    nta

    koja

    ovisi

    o st

    anju

    nap

    reza

    nja:

    3 1−ν

    κ=

    - z

    a ra

    vnin

    sko

    stan

    je na

    prez

    anja,

    34

    κ=

    −ν

    - z

    a ra

    vnin

    sko

    stan

    je de

    form

    acije

    .

  • 1.2

    FA

    KT

    OR

    IN

    TE

    NZ

    ITE

    TA

    NA

    PR

    EZ

    AN

    JA

    Fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    je ov

    isan

    o du

    ljini

    i or

    ijent

    aciji

    puk

    otin

    e, ge

    omet

    riji s

    trojn

    og d

    ijela

    te ra

    spod

    jeli o

    pter

    ećen

    ja, i

    opć

    enito

    ima

    oblik

    :

    K

    aY=

    σπ

    , (1

    .14)

    gdje

    je Y

    fakt

    or o

    blik

    a, ko

    jim s

    e uz

    ima

    u ob

    zir u

    tjeca

    j geo

    met

    rije

    elem

    enta

    , dul

    jine

    puko

    tine

    i tip

    a op

    tere

    ćenj

    a. Fa

    ktor

    obl

    ika

    je jed

    nak

    jedan

    za

    puko

    tinu

    u

    besk

    onač

    noj p

    loči

    okom

    itoj n

    a jed

    nolič

    no o

    pter

    ećen

    je. A

    nalit

    ički i

    em

    pirij

    ski i

    zraz

    i za

    izra

    čuna

    vanj

    e fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    za u

    zork

    e jed

    nost

    avne

    geom

    etrij

    e s r

    azlič

    itim

    obl

    icim

    a pu

    kotin

    a, te

    razl

    ičito

    opt

    ereć

    enih

    mog

    u se

    pro

    naći

    u lit

    erat

    uri [

    70].

    Kak

    o st

    rojn

    i dije

    lovi

    najč

    ešće

    nisu

    jedn

    osta

    vne

    geom

    etrij

    e,

    te s

    u na

    jčešć

    e po

    dvrg

    nuti

    slože

    nom

    sta

    nju

    napr

    ezan

    ja, r

    azvi

    jene

    su m

    etod

    e iz

    raču

    nava

    nja

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a m

    etod

    om k

    onač

    nih

    elem

    enat

    a. U

    poče

    tnim

    stu

    dijam

    a iz

    raču

    nava

    nja

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a ko

    rište

    njem

    met

    ode

    kona

    čnih

    elem

    enat

    a, da

    bi

    se r

    iješio

    pro

    blem

    sin

    gular

    nost

    i po

    lja

    napr

    ezan

    ja, k

    orist

    ila s

    e ve

    oma

    gust

    a m

    reža

    elem

    enat

    a. K

    ako

    je k

    od e

    lastič

    nih

    mat

    erija

    la ne

    mog

    uće

    « 1r

    sin

    gular

    nost

    » po

    stići

    sta

    ndar

    dnim

    elem

    entim

    a,

    razv

    ijeni

    su

    hibr

    idni

    elem

    enti,

    tj.

    singu

    larni

    izo

    para

    met

    arsk

    i če

    tvrti

    nski

    elem

    enti

    [71]

    . Si

    ngul

    arni

    izo

    para

    met

    arsk

    i če

    tvrti

    nski

    elem

    ent

    je do

    bive

    n iz

    izop

    aram

    etar

    skog

    8-č

    vorn

    og k

    vadr

    atno

    g ele

    men

    ta, n

    a na

    čin d

    a se

    čvo

    rovi

    1, 4

    i 8

    grup

    iraju

    u v

    ršku

    puk

    otin

    e, a

    čvor

    ovi s

    a sr

    edin

    e st

    rani

    ce p

    rem

    ješta

    ju n

    a

    četv

    rtinu

    dul

    jine

    stra

    nice

    .

    1847

    3 6 25

    puko

    tina

    3 6 2

    1,4,

    8

    7

    3 6 2

    5x

    y L/4

    3/4 L

    L

    a) Iz

    opar

    amet

    arsk

    i 8-č

    vorn

    i kva

    drat

    ni e

    lem

    ent

    b) S

    ingu

    larni

    izop

    aram

    etar

    ski č

    etvr

    tinsk

    i ele

    men

    t

    Slik

    a 1.

    3 Iz

    opar

    amet

    arsk

    i 8-č

    vorn

    i kva

    drat

    ni e

    lemen

    t i si

    ngul

    arni

    izop

    aram

    etar

    ski č

    etvr

    tinsk

    i elem

    ent

  • Post

    oji n

    iz m

    etod

    a za

    izra

    čuna

    vanj

    e fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    koriš

    tenj

    em m

    etod

    e ko

    načn

    ih e

    lemen

    ata,

    a na

    jčešć

    e su

    kor

    išten

    e:

    M

    etod

    a ko

    relac

    ija p

    omak

    a (e

    n. D

    isplac

    emen

    t Cor

    relat

    ion

    Tech

    niqu

    e –

    DCT

    ) [72

    ]

    Fa

    ktor

    oslo

    bođe

    ne p

    oten

    cijaln

    e en

    ergi

    je do

    bive

    n m

    etod

    om m

    odifi

    cira

    nog

    inte

    grala

    zat

    vara

    nja

    puko

    tine

    (en.

    Mod

    ified

    Cra

    ck C

    losu

    re I

    nteg

    ral

    Tech

    niqu

    e –

    MCC

    ) [73

    ], [7

    4],

    M

    etod

    a J-i

    nteg

    rala

    dobi

    veno

    g po

    moć

    u ek

    viva

    lentn

    og p

    ovrš

    insk

    og in

    tegr

    ala (e

    n. E

    quiv

    alent

    Dom

    ain In

    tegr

    al –

    ED

    I) [7

    5]

    1.2.

    1 M

    ET

    OD

    A K

    OR

    EL

    AC

    IJA

    PO

    MA

    KA

    U m

    etod

    i kor

    elacij

    e po

    mak

    a se

    pom

    aci d

    obiv

    eni m

    etod

    om k

    onač

    nih

    elem

    enat

    a iz

    jedna

    čava

    ju s

    ana

    litičk

    im r

    ješen

    jem iz

    raže

    nim

    pre

    ko f

    akto

    ra in

    tenz

    iteta

    napr

    ezan

    ja.

    L

    r θ

    x, u

    y, v

    puko

    tina

    AB D

    C E

    L/4

    Slik

    a 1.

    4 Iz

    opar

    amet

    arsk

    i sin

    gular

    ni e

    lemen

    ti ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

  • Polje

    pom

    aka

    u m

    ože

    se d

    efin

    irati

    pom

    acim

    a čv

    orov

    a iz

    opar

    amet

    arsk

    og si

    ngul

    arno

    g če

    tvrti

    nsko

    g ele

    men

    ta (s

    lika

    1.4)

    :

    (

    )(

    )(

    )A

    AB

    CA

    CB

    ,3

    42

    24

    rr

    ur

    uu

    uu

    uu

    uL

    =+

    −+

    −+

    +−

    , (1

    .15)

    (

    )(

    )(

    )A

    AB

    CA

    CB

    ,3

    42

    24

    rr

    vr

    vv

    vv

    vv

    vL

    =+

    −+

    −+

    +−

    , (1

    .16)

    ovdj

    e je

    u A i

    v A p

    omak

    kru

    tog

    tijela

    u x

    odn

    osno

    y sm

    jeru.

    Rela

    tivni

    pom

    ak iz

    međ

    u dv

    ije to

    čke

    simet

    rične

    u o

    dnos

    u na

    x o

    s je:

    (

    )(

    )(

    )*

    ,,

    ,u

    ru

    ru

    −−θ

    (1

    .17)

    (

    )(

    )(

    )*

    ,,

    ,v

    rv

    rv

    −−θ

    . (1

    .18)

    Uvr

    štav

    anjem

    u iz

    raze

    (1.1

    5) i

    (1.1

    6) d

    obiv

    a se

    :

    (

    )(

    )(

    )(

    )(

    )*

    BD

    CE

    CE

    BD

    ,4

    24

    rr

    ur

    uu

    uu

    uu

    uu

    LL

    θ=

    −−

    −+

    −−

    ,

    (1.1

    9)

    (

    )(

    )(

    )(

    )(

    )*

    BD

    CE

    CE

    BD

    ,4

    24

    rr

    vr

    vv

    vv

    vv

    vv

    LL

    θ=

    −−

    −+

    −−

    .

    (1.2

    0)

    S dr

    uge

    se st

    rane

    ana

    litičk

    o rje

    šenj

    e re

    lativ

    nog

    pom

    aka

    za

    o18

    = d

    obiv

    a iz

    aps

    olut

    nih

    pom

    aka

    (1.1

    2) i

    (1.1

    3), u

    z iz

    raze

    (1.1

    7) i

    (1.1

    8), a

    glas

    i:

    II

    12r

    uK

    Gκ+

    , (1

    .21)

    I

    12r

    vK

    Gκ+

    . (1

    .22)

    Da

    bi iz

    razi

    (1.1

    5) i

    (1.2

    1), t

    e iz

    razi

    (1.1

    6) i

    (1.2

    2) b

    ili je

    dnak

    i, čla

    novi

    uz

    r m

    oraju

    biti

    jedn

    aki,

    pa se

    dob

    ivaju

    fakt

    ori i

    nten

    zite

    ta n

    apre

    zanj

    a:

    (

    )(

    )I

    BD

    CE

    24

    1G

    Kv

    vv

    vLπ

    =−

    −−

    κ+

    , (1

    .23)

    (

    )(

    )II

    BD

    CE

    24

    1G

    Ku

    uu

    uLπ

    =−

    −−

    κ+

    . (1

    .24)

  • 1.2.

    2 M

    ET

    OD

    A M

    OD

    IFIC

    IRA

    NO

    G I

    NT

    EG

    RA

    LA

    ZA

    TV

    AR

    AN

    JA P

    UK

    OT

    INE

    Met

    oda

    mod

    ificir

    anog

    zat

    vara

    nja

    puko

    tine

    zasn

    ovan

    a je

    na p

    retp

    osta

    vci d

    a uk

    olik

    o se

    puk

    otin

    a pr

    odul

    ji za

    infin

    itezi

    maln

    u vr

    ijedn

    ost ∆

    a, da

    će

    na je

    dnak

    oj

    udalj

    enos

    ti od

    vrš

    ka p

    ukot

    ine

    prije

    i po

    slije

    njen

    a pr

    odul

    jenja

    , puk

    otin

    e bi

    ti jed

    nako

    otv

    oren

    e (s

    lika

    1.5)

    .

    ∆a

    v r

    ax

    (=

    -

    , =

    )

    ∆θ

    π

    ∆a-

    x∆

    a-x

    x

    x

    y

    rasp

    odje

    la σ y

    σ

    θ (

    =

    , =

    0)

    r x

    y

    Slik

    a 1.

    5 P

    ukot

    ina

    prije

    i po

    slije

    prod

    uljen

    ja (ra

    sta)

    Tada

    je ra

    d po

    treba

    n za

    pro

    dulje

    nje

    puko

    tine

    za v

    rijed

    nost

    ∆a,

    jedna

    k ra

    du p

    otre

    bnom

    za

    zatv

    aran

    je pu

    kotin

    e za

    ∆a:

    (

    )(

    )0

    1,

    ,0

    2

    a

    yW

    vr

    ax

    rx

    dr∆

    ==

    ∆−

    θ=

    πσ

    =∫

    . (1

    .25)

    Fakt

    or o

    slobo

    đene

    ene

    rgije

    je o

    nda

    jedna

    k:

    (

    )(

    )I

    00

    0

    1lim

    lim,

    ,0

    2

    a

    ya

    a

    WG

    vr

    ax

    rx

    dra

    a

    ∆→

    ∆→

    ==

    =∆

    −θ

    σ=

    θ=

    ∆∆

    ∫.

    (1.2

    6)

  • Isto

    tako

    za

    tip II

    opt

    ereć

    enja:

    (

    )(

    )II

    00

    1lim

    ,,

    02

    a

    xya

    Gu

    ra

    xr

    xdr

    a

    ∆→

    ==

    ∆−

    θ=

    πτ

    =∆

    ∫.

    (1.2

    7)

    Prob

    lem se

    najp

    rije

    rješa

    vao

    u dv

    a ko

    raka

    , odn

    osno

    s dv

    ije a

    naliz

    e m

    etod

    om k

    onač

    nih

    elem

    enat

    a, jed

    na p

    rije

    prod

    uljen

    ja i d

    ruga

    nak

    on p

    rodu

    ljenj

    a pu

    kotin

    e.

    Rybi

    cki i

    Kan

    nine

    n [7

    6] su

    prv

    i rije

    šili p

    robl

    em sa

    sam

    o jed

    nom

    ana

    lizom

    met

    odom

    kon

    ačni

    h ele

    men

    ata,

    koris

    teći

    čet

    vrta

    sti e

    lemen

    t s č

    etiri

    čvo

    ra. R

    aju [7

    3]

    je pr

    oširi

    o m

    etod

    u za

    nes

    ingu

    larne

    i sin

    gular

    ne e

    lemen

    te b

    ilo k

    ojeg

    reda

    .

    ∆a

    x, u

    y, v

    puko

    tina

    ij

    l l'

    m

    m'F yi

    F xi

    F yj

    F xj

    v lu l

    u l'v l'

    v mu m

    u m' v m'

    k F

    F

    yk

    xk

    IJ

    Slik

    a 1.

    6 Č

    voro

    vi, s

    ile i

    pom

    aci u

    izop

    aram

    etar

    skim

    sing

    ular

    nim

    ele

    men

    tima

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e

  • Rad

    pret

    post

    avlje

    ne d

    istrib

    ucije

    nap

    reza

    nja

    na p

    omica

    nju

    gran

    ica

    elem

    enat

    a I i

    J (1

    .25)

    izjed

    nača

    va se

    sa ra

    dom

    sila

    F yi, F

    yj i F

    yk n

    a po

    mac

    ima

    v i, v j

    i v k

    :

    (

    )(

    )(

    )0

    11

    22

    a

    yyi

    iyj

    jyk

    kx

    vx

    dxF

    vF

    vF

    v∆

    σ=

    −+

    +∫

    (1

    .28)

    Dist

    ribuc

    ija n

    apre

    zanj

    a du

    ž ap

    scise

    se a

    prok

    simira

    s pr

    va tr

    i član

    a iz

    raza

    (1.1

    ):

    (

    )1

    23

    yA

    xA

    Ax

    =+

    +.

    (1.2

    9)

    Uvr

    štav

    anjem

    u iz

    raz

    (1.2

    8) iz

    raza

    (1.2

    9) i

    funk

    cije

    oblik

    a iz

    opar

    amet

    arsk

    og s

    ingu

    larno

    g če

    tvrti

    nsko

    g ele

    men

    ta, m

    ogu

    se iz

    raču

    nati

    kons

    tant

    e A

    1, A

    2 i

    A1. U

    vršt

    avan

    jem d

    obiv

    enih

    kon

    stan

    ti iz

    raže

    nih

    prek

    o sil

    a u

    čvor

    ovim

    a u

    izra

    z (1

    .26)

    te p

    rovo

    đenj

    em in

    tegr

    acije

    dob

    iva

    se iz

    raz

    za iz

    raču

    nava

    nje

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije [7

    4].

    Izra

    zi z

    a iz

    raču

    nava

    nje

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije z

    a sin

    gular

    ne e

    lemen

    te s

    u do

    sta

    kom

    plici

    rani

    , a p

    ogot

    ovo

    se d

    odat

    no k

    ompl

    icira

    ju z

    a slu

    čaj

    mješ

    ovito

    g tip

    a op

    tere

    ćenj

    a. Z

    bog

    toga

    se iz

    razi

    poj

    edno

    stav

    ljuju

    uzi

    man

    jem sa

    mo

    prvi

    h dv

    aju č

    lanov

    a iz

    raza

    (1.2

    9). T

    ada

    se d

    obiv

    a:

    (

    )(

    )(

    )(

    ){

    }I

    11'

    12'

    21'

    22'

    1 2yi

    mm

    ll

    yjm

    ml

    lG

    Ft

    vv

    tv

    vF

    tv

    vt

    vv

    a=

    −−

    +−

    +−

    +−

    ∆,

    (1.3

    0)

    (

    )(

    )(

    )(

    ){

    }II

    11'

    12'

    21'

    22'

    1 2xi

    mm

    ll

    xjm

    ml

    lG

    Ft

    uu

    tu

    uF

    tu

    ut

    uu

    a=

    −−

    +−

    +−

    +−

    ∆,

    (1.3

    1)

    gdje

    je:

    11

    1221

    223

    16

    ,

    620

    ,

    ,

    12

    2t

    tt

    =−

    −=

    =.

    U li

    near

    no e

    lastič

    nim

    uvj

    etim

    a ve

    za iz

    međ

    u fa

    ktor

    a os

    lobo

    đene

    ene

    rgije

    i fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    je:

    2

    2I

    III

    II, '

    'K

    KG

    GE

    E=

    =.

    (1.3

    2)

    gdje

    je:

    EE

    ′ = -

    za ra

    vnin

    sko

    stan

    je na

    prez

    anja,

    2

    1E

    E′ =

    −ν

    - za

    ravn

    insk

    o st

    anje

    defo

    rmac

    ije.

  • 1.2.

    3 M

    ET

    OD

    A J

    -IN

    TE

    GR

    AL

    A R

    UN

    AN

    OG

    S E

    KV

    IVA

    LE

    NT

    NIM

    PO

    VR

    ŠIN

    SKIM

    IN

    TE

    GR

    AL

    OM

    J-int

    egra

    l je

    proi

    zvol

    jni (

    ne o

    visi

    o ob

    liku

    kriv

    ulje)

    kriv

    uljn

    i int

    egra

    l (sli

    ka 1

    .7a)

    :

    d

    ik

    kij

    jku

    Jwn

    nx

    Γ

    ∂=

    −σ

    Γ

    ∫,

    1, 2

    k=

    (1

    .33)

    gdje

    je w

    gust

    oća

    ener

    gije

    defo

    rmac

    ije:

    0

    dij

    ijij

    ε∫

    . (1

    .34)

    Kriv

    uljn

    e in

    tegr

    ale (

    1.33

    ) je

    nesp

    retn

    o ra

    čuna

    ti m

    etod

    om k

    onač

    nih

    elem

    enat

    a, pa

    se

    inte

    grac

    ija d

    už k

    rivul

    je za

    mjen

    juje

    inte

    grac

    ijom

    po

    povr

    šini.

    Taj s

    e

    alter

    nativ

    ni p

    ristu

    p iz

    raču

    nava

    nja

    J-int

    egra

    la na

    ziva

    met

    oda

    ekvi

    valen

    tnog

    pov

    ršin

    skog

    inte

    grala

    [75]

    .

    xx

    xx

    11

    22

    ΓΓ

    0

    n

    1

    Γ 0

    0

    B C

    A

    ΓΓ+

    -

    a)

    Koo

    rdin

    atni

    sust

    av i

    kriv

    ulja

    Γ ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

    b) P

    ovrš

    ina

    A o

    međ

    ena

    kriv

    uljam

    a Γ 0

    i Γ 1

    Slik

    a 1.

    7 K

    rivul

    je ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

  • Izra

    z (1

    .33)

    mod

    ificir

    a se

    mno

    ženj

    em s

    teži

    nsko

    m fu

    nkcij

    om q

    koj

    a im

    a vr

    ijedn

    ost j

    edna

    ku je

    dan

    na u

    nuta

    rnjo

    j kon

    turi

    Γ 0, a

    nul

    a na

    van

    jskoj

    kon

    turi

    Γ 1 (s

    lika

    1.7b

    ):

    0

    1

    di

    kk

    ijj

    kuJ

    wnn

    qx

    Γ+

    Γ

    ∂=

    −σ

    Γ

    ∫.

    (1.3

    5)

    Gor

    nji s

    e iz

    raz

    uz p

    ogod

    ne tr

    ansf

    orm

    acije

    mož

    e pi

    sati:

    (

    )0

    0

    linijs

    kid

    ik

    kij

    jk

    kuJ

    wnn

    qJ

    x+

    −Γ

    +Γ+

    Γ+

    Γ

    ∂=

    −−

    σΓ

    +

    ∫.

    (1.3

    6)

    U p

    reth

    odno

    m je

    izra

    zu p

    rvi i

    zraz

    na

    desn

    oj s

    trani

    inte

    gral

    duž

    zatv

    oren

    e ko

    ntur

    e0

    1+

    −Γ

    , koj

    a ne

    ukl

    juču

    je vr

    šak

    puko

    tine,

    a dr

    ugi i

    zraz

    s d

    esne

    stra

    ne p

    reds

    tavl

    ja in

    tegr

    ale n

    a ru

    bovi

    ma

    puko

    tine

    duž

    linija

    (B0

    iC0

    ).

    Inte

    gral

    duž

    zatv

    oren

    e ko

    ntur

    e iz

    izra

    za (1

    .36)

    prim

    jenom

    Sto

    keso

    va te

    orem

    a m

    ože

    se tr

    ansf

    orm

    irati

    u in

    tegr

    al iz

    nad

    povr

    šine

    A:

    (

    ) A0B0

    dd

    iji

    kij

    ijk

    kk

    jk

    kA

    A

    qu

    qw

    Jw

    Aq

    AJ

    xx

    xx

    x+

    ∂ε

    ∂∂

    ∂=

    −−

    σ−

    −σ

    +

    ∂∂

    ∂∂

    ∫∫

    . (1

    .37)

    Za

    linea

    rno

    elast

    ični m

    ater

    ijal d

    rugi

    izra

    z na

    des

    noj s

    trani

    pre

    thod

    nog

    izra

    za je

    jedn

    ak n

    uli.

    Tako

    đer

    J 1 za

    line

    arno

    elas

    tični

    mat

    erija

    l je

    ekvi

    valen

    tan

    fakt

    oru

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije iz

    raču

    nato

    m p

    omoć

    u m

    etod

    e vi

    rtualn

    og p

    rodu

    ljenj

    a pu

    kotin

    e [7

    7].

    Lini

    jski i

    nteg

    rali

    ()

    1B0

    C0J

    + k

    ada

    nisu

    opt

    ereć

    eni r

    ubov

    i puk

    otin

    e su

    jedn

    aki n

    uli.

    Lini

    jski

    inte

    grali

    ()

    2B0

    C0J

    + s

    u jed

    naki

    nul

    i, u

    sluča

    ju k

    ada

    nem

    a

    opte

    reće

    nja

    na ru

    bovi

    ma

    puko

    tine,

    sam

    o ka

    da je

    opt

    ereć

    enje

    tipa

    I ili

    tipa

    II,

    u slu

    čaju

    opt

    ereć

    enja

    mješ

    ovito

    g tip

    a (

    )2

    B0C0

    J+

    su

    razl

    ičiti

    od n

    ule,

    jer u

    tom

    sluča

    ju u

    z sin

    gular

    na n

    apre

    zanj

    a ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

    post

    oje

    i on

    a ne

    singu

    larna

    . Po

    stoj

    anje

    linijs

    kog

    inte

    grala

    raz

    ličito

    g od

    nul

    e po

    ništ

    ava

    pred

    nost

    i

    trans

    form

    acije

    kriv

    uljn

    og u

    pov

    ršin

    ski i

    nteg

    ral.

    Raču

    nanj

    e se

    lini

    jskih

    inte

    grala

    mož

    e iz

    bjeć

    i pro

    vođe

    njem

    met

    ode

    deko

    mpo

    zicij

    e [7

    5]. O

    vim

    se

    prist

    upom

    pol

    ja po

    mak

    a i n

    apre

    zanj

    a ra

    stav

    ljaju

    na

    simet

    rični

    (tip

    I)

    i an

    tisim

    etrič

    ni (

    tip I

    I) di

    o. P

    omoć

    u ta

    ko r

    asta

    vljen

    ih p

    omak

    a i

    napr

    ezan

    ja m

    ogu

    se d

    obiti

    dva

    sim

    etrič

    na i

    nteg

    rala

    J S1,

    i J S2

    , te

    dva

    antis

    imet

    rična

    inte

    grala

    J AS1

    i J A

    S2. I

    nteg

    rali

    J S2 i

    J AS2

    su je

    dnak

    i nul

    i (pr

    oduk

    t sin

    gular

    nog

    i nes

    ingu

    larno

    g na

    prez

    anja

    za

    rast

    avlje

    no si

    met

    rično

    i an

    tisim

    etrič

    no

    polje

    nap

    reza

    nja

    je jed

    nak

    nuli

    [75]

    ), pa

    je o

    nda

    za li

    near

    no e

    lastič

    ni m

    ater

    ijal,

    te u

    z uv

    jet d

    a ne

    ma

    opte

    reće

    nja

    na ru

    bovi

    ma

    puko

    tine:

  • (

    )(

    )I

    II

    S11

    1

    di

    iij

    ij

    A

    qu

    qJ

    Jw

    uu

    Ax

    xx

    ∂∂

    ∂=

    =−

    −σ

    ∂∂

    , (1

    .38)

    (

    )(

    )II

    IIII

    AS1

    11

    di

    iij

    ij

    A

    qu

    qJ

    Jw

    uu

    Ax

    xx

    ∂∂

    ∂=

    =−

    −σ

    ∂∂

    . (1

    .39)

    Kak

    o je

    za li

    near

    no e

    lastič

    ni m

    ater

    ijal J

    inte

    gral

    iden

    tičan

    fakt

    oru

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije, o

    nda

    se u

    z po

    moć

    izra

    za (1

    .32)

    mog

    u do

    biti

    fakt

    ori i

    nten

    zite

    ta

    napr

    ezan

    ja.

    Met

    odom

    kon

    ačni

    h ele

    men

    ata

    inte

    grali

    (1.3

    8) i

    (1.3

    9) se

    rješ

    avaj

    u ta

    ko d

    a se

    pro

    vodi

    inte

    grac

    ija n

    a ele

    men

    tima

    odab

    rani

    m d

    a pr

    edst

    avlja

    ju p

    ovrš

    inu

    A.

    Oda

    bran

    a po

    vršin

    a je

    najče

    šće

    roze

    ta tr

    okut

    astih

    izop

    aram

    etar

    skih

    sing

    ular

    nih

    elem

    enat

    a (s

    lika

    1.4)

    .

  • 1.3

    SMJE

    R Š

    IRE

    NJA

    PU

    KO

    TIN

    E

    Smjer

    šire

    nja

    puko

    tine

    ovisi

    o s

    tanj

    u na

    prez

    anja

    u bl

    izin

    i vrš

    ka p

    ukot

    ine.

    Razv

    ijeno

    je n

    iz k

    riter

    ija z

    a pr

    edvi

    đanj

    e sm

    jera

    širen

    ja pu

    kotin

    e u

    polju

    nap

    reza

    nja

    mješ

    ovito

    g tip

    a (k

    ombi

    nacij

    a tip

    a I

    i tip

    a II

    opt

    ereć

    enja)

    [78]

    , [79

    ]. V

    ećin

    a kr

    iterij

    a za

    pre

    dviđ

    anje

    smjer

    a šir

    enja

    puko

    tine

    prvo

    tno

    je ra

    zvije

    na z

    a st

    atičk

    o

    opte

    reće

    nje.

    Kak

    o ne

    pos

    toje

    krite

    riji r

    azvi

    jeni p

    oseb

    no z

    a pr

    omjen

    jivo

    opte

    reće

    nje,

    te ia

    ko p

    osto

    je zn

    ačajn

    e ra

    zlik

    e u

    smjer

    ovim

    a šir

    enja

    puko

    tine

    kod

    stat

    ičkog

    i pr

    omjen

    jivog

    opt

    ereć

    enja

    [80]

    , to

    se st

    atič

    ki k

    riter

    iji k

    orist

    e za

    pre

    dviđ

    anje

    širen

    ja pu

    kotin

    e i k

    od p

    rom

    jenjiv

    og o

    pter

    ećen

    ja.

    Prob

    lem je

    pre

    dsta

    vljen

    slik

    om 1

    .8, o

    dnos

    no p

    ločo

    m s

    puko

    tinom

    nag

    nuto

    m p

    od k

    utom

    β u

    odn

    osu

    na sm

    jer n

    omin

    alnog

    nap

    reza

    nja

    σ.

    2a

    βθ

    ∆a

    x

    y

    σ

    σ

    λσ

    λσ

    Slik

    a 1.

    8 P

    robl

    em p

    ukot

    ine

    pod

    kuto

    m β

    u o

    dnos

    u na

    smje

    r nom

    inaln

    og n

    apre

    zanj

    a

    Najč

    ešće

    kor

    išten

    i kr

    iterij

    i su

    : krit

    erij

    mak

    simaln

    og c

    irkul

    arno

    g na

    prez

    anja,

    krit

    erij

    min

    imum

    a gu

    stoć

    e en

    ergi

    je de

    form

    iranj

    a i

    krite

    rij m

    aksim

    uma

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije.

  • 1.3.

    1 K

    RIT

    ER

    IJ M

    AK

    SIM

    AL

    NO

    G C

    IRK

    UL

    AR

    NO

    G N

    AP

    RE

    ZA

    NJA

    (M

    CN

    -KR

    ITE

    RIJ

    )

    Jeda

    n od

    prv

    ih p

    okuš

    aja p

    redv

    iđan

    ja sm

    jera

    širen

    ja pu

    kotin

    e u

    sluča

    ju k

    ombi

    nira

    nog

    opte

    reće

    nja

    tipov

    ima

    I i I

    I bi

    o je

    onaj

    Erd

    ogan

    a i S

    iha

    [81]

    . Oni

    su

    istra

    živa

    li šir

    enje

    puko

    tine

    u pl

    oči

    iz k

    rhko

    g m

    ater

    ijala,

    te

    su p

    redl

    ožili

    krit

    erij

    po k

    ojem

    je

    prav

    ac š

    irenj

    a pu

    kotin

    e ok

    omit

    na

    prav

    ac m

    aksim

    alnog

    cirku

    larno

    g na

    prez

    anja.

    Mat

    emat

    ički s

    e ov

    aj kr

    iterij

    mož

    e pi

    sati:

    2

    20,

    0

    θθ

    ∂σ∂

    σ=

    <∂θ

    ∂θ.

    (1.4

    0)

    Prim

    jenom

    MCN

    krit

    erija

    na

    izra

    z (1

    .9) d

    obiv

    a se

    :

    2

    11

    tan

    tan

    02

    22

    2I IIK K

    θθ

    −−

    =,

    (1.4

    1)

    3

    23

    33

    17

    cos

    cos

    sinsin

    sinco

    s0

    22

    22

    22

    22

    2II I

    K K

    θ

    θθ

    θθ

    θ

    −+

    −<

    . (1

    .42)

    Rješ

    avan

    jem iz

    raza

    izr

    ačun

    ava

    se k

    ut ši

    renj

    a pu

    kotin

    e:

    2

    12a

    rcta

    n8

    44

    µ

    θ=

    ±µ

    +

    (1

    .43)

    gdje

    je I

    IIK

    =om

    jer fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja.

    1.3.

    2 K

    RIT

    ER

    IJ M

    INIM

    UM

    A G

    UST

    E E

    NE

    RG

    IJE

    DE

    FO

    RM

    IRA

    NJA

    (S-

    KR

    ITE

    RIJ

    )

    Prem

    a kr

    iterij

    u m

    inim

    uma

    gust

    oće

    ener

    gije

    defo

    rmira

    nja

    [82]

    , pra

    vac

    širen

    ja pu

    kotin

    e pr

    olaz

    i kro

    z to

    čku

    na k

    ružn

    ici k

    oja

    je op

    isana

    oko

    vrš

    ka p

    ukot

    ine,

    a u

    kojo

    j je

    ener

    gija

    defo

    rmira

    nja

    min

    imaln

    a.

    Mat

    emat

    ički s

    e ov

    aj kr

    iterij

    mož

    e pi

    sati:

  • 2

    20,

    0

    SS

    ∂∂

    =>

    ∂θ∂θ

    (1

    .44)

    gdje

    je: S

    fakt

    or g

    usto

    će e

    nerg

    ije d

    efor

    mira

    nja,

    defin

    iran

    izra

    zom

    :

    0

    d dWS

    rV

    =

    gdje

    je d

    dW

    Vfu

    nkcij

    a gu

    stoć

    e en

    ergi

    je de

    form

    iranj

    a po

    jedi

    nici

    volu

    men

    a, a

    r 0 ud

    aljen

    ost

    od v

    rška

    puk

    otin

    e. K

    orišt

    enjem

    se

    izra

    za k

    oji o

    pisu

    ju p

    olje

    napr

    ezan

    ja (1

    .6) d

    o (1

    .8) m

    ože

    dobi

    ti fu

    nkcij

    a gu

    stoć

    e en

    ergi

    je d

    efor

    mira

    nja

    po je

    dini

    ci vo

    lum

    ena,

    čijim

    se

    uvrš

    tava

    njem

    u p

    reth

    odni

    izra

    z do

    biva

    fak

    tor

    gust

    oće

    ener

    gije

    defo

    rmira

    nja:

    2

    211

    I12

    III

    22II

    2S

    aK

    aK

    Ka

    K=

    ++

    (1

    .45)

    gdje

    su fa

    ktor

    i aij f

    unkc

    ije k

    uta

    θ:

    ()(

    )

    ()

    ()(

    )(

    )()

    11 12 13

    11

    cos

    cos

    ,16

    1sin

    2cos

    1 ,

    161

    11

    cos

    1co

    s3c

    os1

    .16

    aG

    aG

    aG

    =+

    θκ

    −θ

    π

    θ−

    κ−

    π

    +−

    θ+

    θ−

    π

    (1

    .46)

    Prim

    jenom

    S k

    riter

    ija n

    a iz

    raz

    (1.4

    5) d

    obiv

    a se

    :

    (

    )(

    )

    ()

    ()

    42

    23

    2

    22

    21

    tan

    21

    210

    tan

    24ta

    n2

    22

    21

    614

    tan

    23

    0,2

    θθ

    θ

    µ

    −µ

    −µ

    +−

    µ+

    θ

    +

    κ−

    µ+

    µ−

    +−

    κµ

    =

    (1

    .47)

    (

    )(

    ) ()

    ()

    22

    21

    sin8

    sin2

    11

    cos

    23

    cos2

    κ−

    θ−

    µθ

    −−

    µθ

    −θ

    >.

    (1.4

    8)

  • 1.3.

    3 K

    RIT

    ER

    IJ M

    AK

    SIM

    UM

    A F

    AK

    TO

    RA

    OSL

    OB

    EN

    E E

    NE

    RG

    IJE

    (G

    -KR

    ITE

    RIJ

    )

    Ana

    lizom

    utje

    caja

    malo

    g vi

    rtualn

    og p

    rodu

    ljenj

    a pu

    kotin

    e [8

    3] p

    redl

    ožen

    je k

    riter

    ij pr

    ema

    kojem

    u je

    prav

    ac š

    irenj

    a pu

    kotin

    e u

    smjer

    u m

    aksim

    uma

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije.

    Mat

    emat

    ički s

    e ov

    aj kr

    iterij

    mož

    e pi

    sati:

    2

    20,

    0

    GG

    ∂∂

    =<

    ∂θ∂θ

    . (1

    .49)

    Irw

    in [8

    4] je

    def

    inira

    o fa

    ktor

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije k

    ao m

    jeru

    ener

    gije

    dost

    upne

    za

    prod

    uljen

    je pu

    kotin

    e. Z

    a lin

    earn

    o ela

    stičn

    e m

    ater

    ijale

    u m

    ješov

    itom

    pol

    ju

    napr

    ezan

    ja, u

    kolik

    o je

    prod

    uljen

    je pu

    kotin

    e u

    ravn

    ini o

    rigin

    alne

    puko

    tine,

    ovisn

    ost

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije i

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a se

    mož

    e

    opisa

    ti iz

    razo

    m:

    2

    2I

    III

    IIK

    KG

    GG

    EE

    =+

    =+ ′

    ′.

    (1.5

    0)

    U s

    tvar

    nost

    i se

    ravn

    ina

    prod

    uljen

    ja pu

    kotin

    e u

    mješ

    ovito

    m p

    olju

    nap

    reza

    nja

    neće

    pod

    udar

    ati s

    rav

    nino

    m o

    rigin

    alne

    puko

    tine,

    te je

    sam

    im ti

    m iz

    raz

    (1.5

    0)

    pogr

    ešan

    . Međ

    utim

    , uko

    liko

    se fa

    ktor

    i int

    enzi

    teta

    nap

    reza

    nja

    u iz

    razu

    (1.5

    0) sh

    vate

    kao

    fakt

    ori i

    nten

    zite

    ta n

    apre

    zanj

    a in

    finite

    zim

    alno,

    pod

    kut

    om θ

    (slik

    a 1.

    8)

    prod

    uljen

    e pu

    kotin

    e, ta

    da iz

    raz

    (1.5

    0) v

    rijed

    i i g

    lasi:

    (

    )(

    )2

    2*

    *I

    IIK

    KG

    EE

    =+

    ′′

    , (1

    .51)

    gdje

    su

    * IK

    i * II

    K lo

    kaln

    i fak

    tor i

    nten

    zite

    ta n

    apre

    zanj

    a u

    vršk

    u in

    finite

    zim

    alno

    prod

    uljen

    e pu

    kotin

    e, ko

    ji se

    razl

    ikuj

    u od

    nom

    inaln

    ih K

    I i K

    II. P

    rem

    a [8

    5]* I

    K i

    * IIK

    se m

    ogu

    raču

    nati

    iz iz

    raza

    :

    *

    2I

    0lim

    2co

    sco

    s3

    sin2

    22

    III

    rK

    rK

    θθ

    θ

    =

    σπ

    =−

    ,

    (1

    .52)

    *

    2II

    II0

    lim2

    cos

    sinco

    s1

    3sin

    22

    22

    rI

    rK

    rK

    θθ

    θθ

    π=

    +−

    .

    (1

    .53)

    Fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    za in

    finite

    zim

    alno

    prod

    uljen

    u pu

    kotin

    u im

    a m

    aksim

    alnu

    vrije

    dnos

    t kad

    a je

    :

  • *

    **

    *I

    III

    II0

    KK

    KK

    ∂∂

    +=

    ∂θ∂θ

    . (1

    .54)

    Kak

    o je:

    *

    22

    *I

    III

    33

    3co

    ssin

    cos

    13s

    in2

    22

    22

    22

    KK

    K∂

    θθ

    θθ

    =−

    −−

    ≡−

    ∂θ

    .

    (1.5

    5)

    Proi

    zlaz

    i da

    će iz

    raz

    (1.5

    4) b

    iti z

    adov

    oljen

    kad

    a je

    * II0

    K=

    (odn

    osno

    * Id

    0dK

    ). Po

    što

    je:

    * I

    ∂∂σ

    ≡∂θ

    ∂θ

    proi

    zlaz

    i da

    je

    krite

    rij m

    aksim

    uma

    fakt

    ora

    oslo

    bođe

    ne e

    nerg

    ije,

    ukol

    iko

    se l

    okaln

    i fa

    ktor

    i ra

    čuna

    ju p

    rem

    a iz

    razi

    ma

    (1.5

    2) i

    (1.

    53)

    iden

    tičan

    krit

    eriju

    mak

    simaln

    og c

    irkul

    arno

    g na

    prez

    anja.

    Ova

    kav

    prist

    up p

    rihva

    ćen

    je i

    u [6

    9] i

    u [8

    6].

    Prem

    a [8

    3] i

    [87]

    * I

    Ki

    * IIK

    se ra

    čuna

    ju iz

    izra

    za:

    2

    * II

    II2

    43

    cos

    sin3

    cos

    2K

    KK

    θ ππ

    −θ

    π+

    θ

    ,

    (1.5

    6)

    2

    * IIII

    I2

    41

    cos

    sin3

    cos

    2K

    KK

    θ ππ

    −θ

    −θ

    π+

    θ

    .

    (1.5

    7)

    Uvr

    štav

    anjem

    pre

    thod

    nih

    izra

    za u

    (1.5

    1) i

    prim

    jenom

    G-k

    riter

    ija (1

    .49)

    mož

    e se

    tako

    đer i

    zrač

    unat

    i kut

    pod

    koj

    im ć

    e do

    ći do

    pro

    dulje

    nja

    puko

    tine.

    Kao

    toč

    niji

    post

    upak

    izra

    čuna

    vanj

    a lo

    kaln

    ih f

    akto

    ra in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    prem

    a [8

    8] m

    ože

    se u

    svoj

    iti p

    ostu

    pak

    dan

    u [8

    3], d

    ok p

    rem

    a [8

    9] o

    ba

    post

    upka

    imaju

    zad

    ovol

    javaju

    ću to

    čnos

    t.

    Uz

    ova

    dva

    post

    upka

    izra

    čuna

    vanj

    a lo

    kaln

    ih fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    post

    oje

    i još

    nek

    i, pr

    vens

    tven

    o nu

    mer

    ički p

    ostu

    pci p

    rem

    a ko

    jima

    se lo

    kaln

    i

    fakt

    ori r

    ačun

    aju ra

    zliči

    tim p

    olin

    omni

    m a

    prok

    simac

    ijam

    a [8

    8].

  • 1.4

    BR

    ZIN

    A Š

    IRE

    NJA

    PU

    KO

    TIN

    E

    Kak

    o je

    rani

    je ka

    zano

    , uko

    liko

    je pl

    astič

    na z

    ona

    ispre

    d vr

    ška

    puko

    tine

    relat

    ivno

    mala

    u o

    dnos

    u na

    dul

    jinu

    puko

    tine,

    stan

    je ok

    o vr

    ška

    puko

    tine

    mož

    e se

    opisa

    ti sa

    mo

    s jed

    nim

    par

    amet

    rom

    - f

    akto

    rom

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a. Pr

    imjen

    a m

    ehan

    ike

    lom

    a u

    izra

    čuna

    vanj

    u br

    zine

    šire

    nja

    puko

    tine

    zasn

    ovan

    a je

    na

    prin

    cipu

    sličn

    osti.

    Pre

    ma

    prin

    cipu

    sličn

    osti

    dvije

    puk

    otin

    e op

    tere

    ćene

    pro

    mjen

    jivim

    opt

    ereć

    enjem

    , s

    ciklu

    som

    jed

    nako

    g ko

    nsta

    ntno

    g ra

    spon

    a fa

    ktor

    a

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a, im

    aju je

    dnak

    o po

    lje n

    apre

    zanj

    a i d

    efor

    mac

    ije o

    ko v

    rška

    puk

    otin

    e, a

    iz t

    oga

    proi

    zlaz

    i da

    će i

    brzi

    na š

    irenj

    a tih

    dvi

    ju p

    ukot

    ina

    biti

    jedna

    ka. D

    akle,

    por

    ast d

    uljin

    e pu

    kotin

    e po

    cik

    lusu

    je fu

    nkcij

    a ra

    spon

    a fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    (

    ),

    daf

    KR

    dN=

    (1.5

    8)

    gdje

    jem

    axm

    inK

    KK

    ∆=

    −, a

    min

    max

    RK

    K=

    .

    Na

    slici

    1.9

    dan

    je sh

    emat

    ski l

    og-lo

    g di

    jagra

    m o

    visn

    osti

    pora

    sta

    dulji

    ne p

    ukot

    ine

    po c

    iklu

    su o

    ras

    ponu

    fak

    tora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a. D

    ijagr

    am p

    rikaz

    uje

    tipičn

    u kr

    ivul

    ju ra

    sta

    puko

    tine

    u m

    etali

    ma.

    Podr

    uje

    Podr

    uje

    II

    č

    Podr

    uje

    II

    d da N

    ∆Kth

    ∆K c

    , log

    ∆K,

    log

    S

    lika

    1.9

    Tip

    ična

    kriv

    ulja

    rast

    a pu

    kotin

    e u

    met

    alim

    a

  • Uoč

    ljivo

    je d

    a je

    širen

    je pu

    kotin

    e na

    poč

    etku

    ubr

    zano

    (pod

    ručje

    I),

    zatim

    pre

    lazi u

    fazu

    sta

    biln

    og ra

    sta

    (pod

    ručje

    II),

    da

    bi k

    onač

    no p

    rešlo

    u fa

    zu k

    ritičn

    og

    širen

    ja pu

    kotin

    e (p

    odru

    čje II

    I).

    U p

    odru

    čju I

    brzi

    na ši

    renj

    a pu

    kotin

    e te

    ži n

    uli k

    ako

    se ra

    spon

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a pr

    ibliž

    ava

    prag

    u šir

    enja

    puko

    tine:

    th

    th,m

    axth

    ,min

    thK

    KK

    aY

    ∆=

    −=

    ∆σπ

    (1

    .59)

    gdje

    je a th

    dul

    jina

    zače

    te p

    ukot

    ine.

    Smat

    ralo

    se

    da je

    pra

    g šir

    enja

    puko

    tine

    kons

    tant

    a m

    ater

    ijala,

    ali

    su is

    traži

    vanj

    a po

    kaza

    la da

    ovi

    si i o

    koe

    ficije

    ntu

    asim

    etrij

    e

    ciklu

    sa, p

    reop

    tere

    ćenj

    u, te

    mpe

    ratu

    ri i u

    vjet

    ima

    okol

    ine

    [90]

    . Bro

    j par

    amet

    ara

    koji

    utječ

    u na

    pra

    g šir

    enja

    puko

    tine

    mož

    e se

    sm

    anjit

    i def

    inira

    njem

    efe

    ktiv

    nog

    prag

    a šir

    enja

    puko

    tine:

    th

    ,eff

    th,m

    axcl

    KK

    K∆

    =−

    (1

    .60)

    gdje

    je K c

    l fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    pri k

    ojem

    dol

    azi d

    o za

    tvar

    anja

    puko

    tine

    (pog

    lavlje

    1.5

    ).

    U p

    odru

    čju II

    puk

    otin

    a ra

    ste

    linea

    rno

    u lo

    g-lo

    g di

    jagra

    mu,

    pa

    se m

    ože

    opisa

    ti jed

    nadž

    bom

    :

    d d

    ma

    CK

    N=

    (1.6

    1)

    gdje

    su C

    i m

    kons

    tant

    e m

    ater

    ijala

    koje

    se o

    dređ

    uju

    eksp

    erim

    enta

    lno.

    Ova

    zak

    onito

    st p

    ozna

    ta je

    kao

    Par

    isov

    zako

    n. U

    spor

    edbo

    m p

    reth

    odni

    h dv

    aju iz

    raza

    (1.5

    8) i

    (1.6

    1) u

    očav

    a se

    da

    prem

    a Pa

    risov

    u za

    konu

    brz

    ina

    širen

    ja pu

    kotin

    e ne

    ovi

    si o

    koef

    icijen

    tu a

    simet

    rije

    ciklu

    sa R

    .

    U p

    odru

    čju II

    I puk

    otin

    a ub

    rzan

    o ra

    ste

    kako

    se ra

    spon

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a pr

    ibliž

    ava

    ∆Kc:

    C

    ICC

    ,min

    CK

    KK

    aY

    ∆=

    −=

    ∆σπ

    (1

    .62)

    gdje

    je a C

    krit

    ična

    dulji

    na p

    ukot

    ine,

    a K I

    C lom

    na ž

    ilavo

    st.

    Kak

    o Pa

    risov

    zak

    on v

    rijed

    i sam

    o u

    podr

    učju

    II p

    okuš

    avalo

    se p

    rona

    ći jed

    nadž

    be k

    oje

    bi o

    pisiv

    ale ra

    st p

    ukot

    ine

    i u d

    rugi

    m p

    odru

    čjim

    a ra

    sta.

    Jedn

    a od

    takv

    ih je

    For

    man

    ova

    jedna

    džba

    koj

    a op

    isuje

    rast

    puk

    otin

    e u

    podr

    učjim

    a II

    i II

    I:

    (

    )IC

    d d1

    ma

    CK

    NR

    KK

    ∆=

    −−

    ∆.

    (1.6

    3)

    Kles

    nil i

    Luc

    as m

    odifi

    cirali

    su P

    ariso

    v za

    kon

    uzim

    ajući

    u ob

    zir p

    rag

    širen

    ja pu

    kotin

    e, te

    tako

    dob

    ili je

    dnad

    žbu

    rast

    a pu

    kotin

    e ko

    ja vr

    ijedi

    u p

    odru

    čjim

    a

    I i II

    :

  • (

    )th

    d dm

    ma

    CK

    KN

    =∆

    −∆

    . (1

    .64)

    McE

    vily

    je ra

    zvio

    izra

    z ko

    ji vr

    ijedi

    za

    čitav

    u kr

    ivul

    ju ra

    sta

    puko

    tine,

    i koj

    i je

    za ra

    zlik

    u od

    pre

    thod

    nih

    jedna

    džbi

    , koj

    e su

    dob

    iven

    e em

    pirij

    ski,

    zasn

    ovan

    na je

    dnos

    tavn

    om fi

    zika

    lnom

    mod

    elu.:

    (

    )2th

    ICm

    ax

    d1

    da

    KC

    KK

    NK

    K

    =∆

    −∆

    +

    .

    (1

    .65)

    Iz s

    vih

    ovih

    jedn

    adžb

    i (1.

    61),

    (1.6

    3), (

    1.64

    ) i (1

    .65)

    inte

    grira

    njem

    mož

    e se

    dob

    iti v

    rijem

    e po

    trebn

    o za

    ras

    t puk

    otin

    e od

    nek

    e pr

    oizv

    oljn

    e do

    krit

    ične

    dulji

    ne. T

    akođ

    er sv

    i nav

    eden

    i izr

    azi v

    rijed

    e u

    sluča

    ju o

    pter

    ećen

    ja tip

    a I.

    Ispi

    tivan

    jem o

    pter

    ećen

    jem m

    ješov

    itog

    tipa

    (tip

    I i t

    ip I

    I) [9

    0] u

    očen

    o je

    da i

    mali

    ras

    pon

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a tip

    a II

    zna

    čajn

    o po

    veća

    va

    brzi

    nu š

    irenj

    a pu

    kotin

    e. Z

    bog

    toga

    su

    razv

    ijeni

    mod

    eli k

    oji u

    zim

    aju u

    obz

    ir i d

    oprin

    os o

    pter

    ećen

    ja tip

    a II

    , najč

    ešće

    kor

    išten

    jem

    ek

    viva

    lentn

    og f

    akto

    ra

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a u

    Paris

    ovoj

    jedn

    adžb

    i (1.

    61):

    (

    )eq

    d dm

    aC

    KN

    =∆

    . (1

    .66)

    Ideja

    kor

    išten

    ja ek

    viva

    lentn

    og f

    akto

    ra in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    je p

    oseb

    no p

    rivlač

    na je

    r je

    većin

    a po

    data

    ka o

    mat

    erija

    lima

    podv

    rgnu

    tih p

    rom

    jenjiv

    om

    opte

    reće

    nju

    dobi

    vena

    ispi

    tivan

    jima

    opte

    reće

    njim

    a ko

    nsta

    ntne

    am

    plitu

    de ti

    pa I,

    te b

    i bilo

    od

    velik

    e va

    žnos

    ti ka

    d bi

    se ti

    pod

    aci m

    ogli

    koris

    titi u

    kon

    stru

    iranj

    u

    s obz

    irom

    na

    zam

    or i

    u slu

    čaju

    opt

    ereć

    enja

    mješ

    ovito

    g tip

    a.

    Za

    odre

    điva

    nje

    ekvi

    valen

    tnog

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a m

    ože

    se k

    orist

    iti k

    riter

    ij m

    aksim

    alnog

    cirk

    ular

    nog

    napr

    ezan

    ja, te

    je u

    tom

    sluč

    aju iz

    izra

    za

    (1.9

    ), od

    nosn

    o iz

    raza

    (1.5

    2) [9

    1]:

    2

    00

    0eq

    III

    cos

    cos

    3sin

    22

    2K

    KK

    θθ

    θ

    =∆

    −∆

    (1.6

    7)

    gdje

    je θ 0

    smjer

    šire

    nja

    puko

    tine

    dobi

    ven

    iz M

    CN-k

    riter

    ija (1

    .43)

    .

    Tana

    ka [

    92]

    je ra

    zvio

    mod

    el za

    snov

    an n

    a pr

    etpo

    stav

    ci da

    plas

    tične

    def

    orm

    acije

    zbo

    g pr

    omjen

    jivog

    vlač

    nog

    napr

    ezan

    ja ne

    utje

    ču n

    a pl

    astič

    ne

    defo

    rmac

    ije z

    bog

    prom

    jenjiv

    og sm

    ičnog

    nap

    reza

    nja

    i obr

    nuto

    , te

    da je

    rezu

    ltira

    juće

    pol

    je po

    mak

    a zb

    roj p

    omak

    a us

    lijed

    oba

    ju ti

    pova

    opt

    ereć

    enja:

  • 4

    44

    eqI

    II8

    KK

    K∆

    =∆

    +∆

    . (1

    .68)

    Mješ

    oviti

    tip

    opte

    reće

    nja

    se o

    sim e

    kviv

    alent

    nim

    fakt

    orom

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a m

    ože

    uzet

    i u o

    bzir

    i pom

    oću

    fakt

    ora

    gust

    oće

    ener

    gije

    defo

    rmira

    nja,

    pa se

    u to

    m sl

    učaju

    mod

    ificir

    a Pa

    risov

    a jed

    nadž

    ba i

    glas

    i [93

    ]:

    (

    )d d

    na

    CS

    N=

    (1.6

    9)

    gdje

    je:

    ()

    () (

    )(

    )11

    0I

    I12

    0I

    IIII

    I22

    0II

    II2

    Sa

    KK

    aK

    KK

    Ka

    KK

    ∆=

    θ∆

    ∆+

    ∆+

    θ∆

    (1.7

    0)

    gdje

    je θ 0

    smjer

    šire

    nja

    puko

    tine

    dobi

    ven

    prim

    jenom

    S-k

    riter

    ija (1

    .47)

    , fak

    tori

    a 11,

    a 12,

    a 22 s

    u do

    bive

    ni u

    vršt

    enjem

    kut

    a θ 0

    u iz

    raze

    (1.4

    6), ∆

    K I i

    ∆KII su

    rasp

    oni

    FIN

    -a, a

    I

    K i

    IIK

    su sr

    ednj

    e vr

    ijedn

    osti

    FIN

    -a.

    U [

    94]

    je pr

    oved

    ena

    uspo

    redb

    a ek

    sper

    imen

    taln

    o do

    bive

    nih

    vjek

    ova

    trajan

    ja s

    vjek

    ovim

    a tra

    janja

    do p

    ojav

    e kr

    itičn

    e pu

    kotin

    e do

    bive

    nih

    ekvi

    valen

    tnim

    fakt

    orom

    int

    enzi

    teta

    nap

    reza

    nja

    (1.6

    7) i

    fak

    toro

    m g

    usto

    će e

    nerg

    ije d

    efor

    mira

    nja

    (1.7

    0).

    Ust

    anov

    ljeno

    je

    da i

    zraz

    (1.

    67)

    daje

    najb

    olje

    podu

    dara

    nje

    s

    eksp

    erim

    enta

    lnim

    pod

    acim

    a za

    sluč

    ajeve

    mješ

    ovito

    g tip

    a op

    tere

    ćenj

    a s d

    omin

    antn

    im o

    pter

    ećen

    jem ti

    pa I.

    Osim

    ovi

    h po

    stoj

    i i n

    iz d

    rugi

    h fa

    ktor

    a čij

    i se

    rezi

    me

    mož

    e pr

    onać

    i u [

    78],

    a u

    novi

    je vr

    ijem

    e ra

    zvije

    n je

    i fa

    ktor

    aku

    mul

    irane

    ene

    rgije

    elas

    tične

    defo

    rmac

    ije [9

    5].

  • 1.5

    ZA

    TV

    AR

    AN

    JE-O

    TV

    AR

    AN

    JE P

    UK

    OT

    INE

    Kon

    takt

    izm

    eđu

    povr

    šina

    puko

    tine

    za v

    rijem

    e dj

    elova

    nja

    vrem

    ensk

    i pro

    mjen

    jivog

    opt

    ereć

    enja

    nazi

    va se

    zat

    vara

    nje

    puko

    tine.

    Feno

    men

    zat

    vara

    nja

    puko

    tine

    opće

    je

    prih

    vaće

    n m

    ehan

    izam

    koj

    i pre

    sudn

    o ut

    ječe

    na n

    iz z

    nača

    jki k

    oje

    odre

    đuju

    pon

    ašan

    je pu

    kotin

    a, ka

    o št

    o su

    ,

    koef

    icijen

    t asim

    etrij

    e cik

    lusa

    opt

    ereć

    enja,

    vre

    men

    ski p

    rom

    jenjiv

    o op

    tere

    ćenj

    e pr

    omjen

    jive

    ampl

    itude

    , fen

    omen

    kra

    tkih

    puk

    otin

    a, m

    ikro

    stru

    ktur

    a, ok

    oliš

    i pra

    g

    širen

    ja pu

    kotin

    e [9

    6].

    Tri n

    ajzna

    čajn

    ija m

    ehan

    izm

    a za

    tvar

    anja

    puko

    tine

    prik

    azan

    a su

    na

    slici

    1.10

    [97]

    .

    Zat

    vara

    nje

    puko

    tine

    uslij

    ed p

    lastič

    nost

    i (e

    n. p

    lastic

    ity i

    nduc

    ed c

    rack

    clo

    sure

    ) na

    staje

    usli

    jed z

    aost

    alih

    plas

    tični

    h de

    form

    acija

    u m

    ater

    ijalu

    iza

    prop

    agira

    juće

    puk

    otin

    e (s

    lika

    1.10

    a). O

    vu je

    čin

    jenicu

    prv

    i uoč

    io 1

    968.

    god

    ine

    Elb

    er [9

    8] i

    od t

    ada

    je ov

    aj fe

    nom

    en p

    redm

    et m

    nogo

    broj

    nih

    istra

    živa

    nja,

    kojim

    a je

    pred

    lože

    no n

    iz a

    nalit

    ičkih

    i nu

    mer

    ičkih

    rješ

    enja.

    Teo

    rets

    kim

    mod

    elom

    zat

    vara

    nja

    puko

    tine

    uslij

    ed p

    lastič

    nost

    i Bud

    iansk

    yja i

    Hut

    chin

    sona

    [99

    ]

    dobi

    vene

    su

    funk

    ciona

    lne

    ovisn

    osti

    zaos

    talih

    plas

    tični

    h de

    form

    acija

    i CT

    OD

    (en.

    cra

    ck ti

    p op

    enin

    g di

    splac

    emen

    t) o

    opte

    reće

    nju.

    Kak

    o se

    ovi

    m p

    ristu

    pom

    nije

    mog

    ao o

    pisa

    ti ut

    jecaj

    povi

    jesti

    napr

    ezan

    ja in

    tenz

    ivno

    su

    se z

    apoč

    eli r

    azvi

    jati n

    umer

    ički m

    odeli

    u k

    ojim

    a se

    pod

    ručje

    zao

    stale

    plas

    tično

    sti p

    rikaz

    uje

    tank

    im sl

    ojev

    ima

    idea

    lno

    plas

    tično

    g m

    ater

    ijala

    (en.

    strip

    yiel

    d m

    odel)

    [100

    ], [1

    01].

    U n

    ajnov

    ije se

    vrij

    eme

    do rj

    ešen

    ja pr

    oblem

    a za

    tvar

    anja

    puko

    tine

    poku

    šava

    doći

    met

    odom

    kon

    ačni

    h ele

    men

    ata

    [102

    ].

    Zat

    vara

    nje

    puko

    tine

    uslij

    ed h

    rapa

    vost

    i i z

    atva

    ranj

    e pu

    kotin

    e us

    lijed

    kor

    ozije

    su

    meh

    aniz

    mi k

    oji s

    u do

    min

    antn

    i u p

    odru

    čju u

    z pr

    ag š

    irenj

    a pu

    kotin

    e te

    im u

    tjeca

    j slab

    i s ra

    stom

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a, od

    nosn

    o po

    veća

    vanj

    em p

    lastič

    ne z

    one

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e.

    Zat

    vara

    nje

    puko

    tine

    uslij

    ed h

    rapa

    vost

    i uzr

    okov

    ano

    je m

    ikro

    struk

    turo

    m m

    ater

    ijala.

    Naim

    e, i k

    od p

    ukot

    ina

    koje

    glob

    alno

    gled

    ajući

    ras

    tu d

    jelov

    anjem

    opte

    reće

    nja

    tipa

    I, he

    tero

    geno

    sti n

    a m

    ikro

    stru

    ktur

    alnom

    niv

    ou m

    ogu

    uzro

    kova

    ti m

    ješov

    ito s

    tanj

    e na

    prez

    anja

    oko

    vršk

    a pu

    kotin

    e. N

    a sli

    ci 1.

    10b

    prik

    azan

    je

    odm

    ak v

    rška

    puk

    otin

    e od

    rav

    nine

    sim

    etrij

    e, te

    usli

    jed t

    oga

    dola

    zi d

    o ut

    jecaja

    opt

    ereć

    enja

    tipa

    II i

    pom

    icanj

    a po

    vršin

    a pu

    kotin

    e ko

    je uz

    roku

    je nj

    eno

    zatv

    aran

    je. K

    od m

    ater

    ijala

    krup

    no z

    rnat

    e st

    rukt

    ure

    izra

    ženi

    ja je

    poj

    ava

    zatv

    aran

    ja pu

    kotin

    e us

    lijed

    hra

    pavo

    sti.

    Zat

    vara

    nje

    puko

    tine

    uslij

    ed k

    oroz

    ije p

    oseb

    no j

    e iz

    raže

    no u

    agr

    esiv

    nom

    oko

    lišu,

    a n

    asta

    je ka

    d če

    stice

    oks

    ida

    osta

    nu u

    klin

    jene

    izm

    eđu

    povr

    šina

    puko

    tine

    (slik

    a 1.

    10c)

    .

  • zaos

    tala

    plas

    tina

    defo

    rmac

    ijač

    a)

    za

    tvar

    anje

    puko

    tine

    b)

    za

    tvar

    anje

    puko

    tine

    c)

    zatv

    aran

    je pu

    kotin

    e

    us

    lijed

    plas

    tično

    sti

    uslij

    ed h

    rapa

    vost

    i

    us

    lijed

    kor

    ozija

    Slik

    a 1.

    10 D

    omin

    antn

    i meh

    aniz

    mi z

    atva

    ranj

    a pu

    kotin

    e [9

    7]

    Zat

    vara

    nje

    puko

    tine,

    ma

    koji

    joj b

    io u

    zrok

    , utje

    če n

    a ra

    spon

    fakt

    ora

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a ok

    o vr

    ška

    puko

    tine,

    te sa

    mim

    tim

    i na

    šire

    nje

    puko

    tine.

    Dio

    ciklu

    sa o

    pter

    ećen

    ja ko

    ji uz

    roku

    je oš

    teće

    nje

    sman

    juje

    se sa

    zat

    vara

    njem

    puk

    otin

    e, a

    to sm

    anjen

    je se

    uzi

    ma

    u ob

    zir e

    fekt

    ivni

    m fa

    ktor

    om in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    1.5.

    1 E

    FE

    KT

    IVN

    I F

    AK

    TO

    R I

    NT

    EN

    ZIT

    ET

    A N

    AP

    RE

    ZA

    NJA

    Efe

    ktiv

    ni je

    fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    onaj

    dio

    ciklu

    sa o

    pter

    ećen

    ja za

    koj

    i je

    puko

    tina

    potp

    uno

    otvo

    rena

    , a o

    dređ

    uje

    se iz

    izra

    za:

    ef

    fm

    axcl

    min

    cl

    eff

    max

    min

    min

    cl

    za

    K ,

    za

    K ,

    KK

    KK

    KK

    KK

    ∆=

    −≤

    ∆=

    −>

    (1

    .71)

    gdje

    je K c

    l mak

    simaln

    i fak

    tor

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a pr

    i koj

    em s

    u po

    vršin

    e pu

    kotin

    e sp

    ojen

    e, i o

    staju

    spo

    jene

    za v

    rijem

    e fa

    ze r

    aste

    reće

    nja.

    Pone

    kad

    se F

    IN

    zatv

    aran

    ja (K

    cl) u

    izra

    zu (1

    .71)

    zam

    jenju

    je s

    FIN

    otv

    aran

    ja (K

    op) d

    efin

    irani

    m k

    ao m

    inim

    alni f

    akto

    r int

    enzi

    teta

    nap

    reza

    nja

    pri k

    ojem

    je p

    ukot

    ina

    u po

    tpun

    osti

    otvo

    rena

    , i o

    staje

    otv

    oren

    a za

    vrij

    eme

    faze

    opt

    ereć

    enja.

    Kcl i

    K op s

    u ob

    ično

    istog

    reda

    veli

    čine,

    ali n

    isu n

    užno

    i jed

    naki

    kao

    što

    su p

    rikaz

    ani n

    a sli

    ci 1.

    11.

  • Uz

    efek

    tivni

    fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    čest

    o se

    zat

    vara

    nje

    puko

    tine

    opisu

    je i p

    aram

    etro

    m k

    oji s

    e na

    ziva

    om

    jer z

    atva

    ranj

    a:

    ef

    fm

    axcl

    max

    min

    KK

    KU

    KK

    K∆

    −=

    =∆

    −.

    (1.7

    2)

    Ova

    j om

    jer te

    ži je

    dini

    ci za

    puk

    otin

    e ko

    d ko

    jih n

    ema

    zatv

    aran

    ja, o

    dnos

    no te

    ži n

    uli u

    kolik

    o je

    puko

    tina

    zatv

    oren

    a du

    ž cje

    loku

    pnog

    cik

    lusa

    opt

    ereć

    enja.

    ∆K∆K

    eff

    KK

    min

    max

    KopK

    cl

    vrije

    me

    Slik

    a 1.

    11 D

    efin

    icija

    efek

    tivno

    g fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    Kak

    o se

    puk

    otin

    a ne

    mož

    e šir

    iti d

    ok je

    zat

    vore

    na, e

    fekt

    ivni

    m fa

    ktor

    om in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    se m

    odifi

    cira

    Paris

    ova

    jedna

    džba

    (1.6

    1):

    (

    )ef

    fd d

    ma

    CK

    N=

    ∆.

    (1.7

    3)

    Upo

    trebo

    m o

    vako

    def

    inira

    nog

    efek

    tivno

    g fa

    ktor

    a in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    eksp

    erim

    enta

    lni

    poda

    ci ra

    sta

    puko

    tine

    za r

    azlič

    ite k

    oefic

    ijent

    e as

    imet

    rije

    ciklu

    sa o

    pter

    ećen

    ja se

    stap

    aju u

    jedn

    u kr

    ivul

    ju.

    Najn

    ovija

    istra

    živa

    nja

    [24]

    uvo

    de n

    ovi k

    once

    pt d

    jelom

    ičnog

    zat

    vara

    nja

    puko

    tine

    (en.

    par

    tial c

    rack

    clo

    sure

    ) kod

    koj

    eg z

    nača

    jan u

    tjeca

    j na

    ošte

    ćenj

    e us

    lijed

    zam

    ora

    ima

    i opt

    ereć

    enje

    za

    koje

    je fa

    ktor

    inte

    nzite

    ta n

    apre

    zanj

    a isp

    od F

    IN-a

    otv

    aran

    ja. Z

    atva

    ranj

    e pu

    kotin

    e, od

    nosn

    o ko

    ntak

    t nj

    enih

    pov

    ršin

    a sa

    mo

    djelo

    mičn

    o za

    štiću

    je vr

    šak

    puko

    tine

    od u

    tjeca

    ja cik

    ličko

    g op

    tere

    ćenj

    a, jer

    do

    zatv

    aran

    ja ne

    dol

    azi u

    vrš

    ku p

    ukot

    ine,

    nego

    na

    malo

    j uda

    ljeno

    sti d

    iz

    a vr

    ška

  • puko

    tine.

    Ova

    poj

    ava

    je po

    goto

    vo iz

    raže

    na u

    bliz

    ini p

    raga

    šire

    nja

    puko

    tine,

    odno

    sno

    u po

    druč

    ju g

    dje

    dom

    inan

    tnu

    ulog

    u im

    aju z

    atva

    ranj

    e pu

    kotin

    e us

    lijed

    hrap

    avos

    ti i k

    oroz

    ije [1

    03]

    U [

    24]

    djelo

    mičn

    o za

    tvar

    anje

    puko

    tine

    je m

    odeli

    rano

    kru

    tim k

    linom

    deb

    ljine

    2t u

    met

    nutim

    u p

    ukot

    inu

    na u

    dalje

    nost

    i d o

    d vr

    ška

    puko

    tine

    (slik

    a 1.

    12a)

    .

    Djel

    omičn

    o za

    tvar

    anje

    zapo

    činje

    kada

    pov

    ršin

    e pu

    kotin

    e do

    takn

    u kl

    in (z

    a K c

    l), a

    daljn

    je sm

    anjen

    je op

    tere

    ćenj

    a za

    šilju

    je vr

    šak

    puko

    tine.

    Prom

    jena

    geom

    etrij

    e

    vršk

    a pu

    kotin

    e uz

    roku

    je po

    rast

    def

    orm

    acije

    ispr

    ed v

    rška

    puk

    otin

    e.

    2t

    d

    prof

    il pu

    kotin

    eza

    = K

    Kw

    2h

    d

    prof

    il pu

    kotin

    eza

    = K

    K op

    prof

    il pu

    kotin

    eza

    = K

    Km

    in

    a)

    puk

    otin

    a ot

    vore

    na k

    rutim

    klin

    om

    b) p

    ukot

    ina

    pod

    djelo

    vanj

    em v

    anjsk

    og o

    pter

    ećen

    ja

    be

    z dj

    elov

    anja

    doda

    tnog

    opt

    ereć

    enja

    Slik

    a 1.

    12 S

    hem

    atsk

    i prik

    az k

    once

    pta

    djel

    omič

    nog

    zatv

    aran

    ja pu

    kotin

    e

    Fakt

    or in

    tenz

    iteta

    nap

    reza

    nja

    zbog

    um

    etan

    ja kl

    ina,

    a be

    z dj

    elova

    nja

    doda

    tnog

    opt

    ereć

    enja

    je:

    kl

    in2E

    tK

    d=

    π.

    (1.7

    4)

    S dr

    uge

    stra

    ne F

    IN z

    atva

    ranj

    a se

    dob

    iva

    iz iz

    raza

    (1.2

    2) z

    a ,

    vh

    rd

    ==

    i ra

    vnin

    sko

    stan

    je na

    prez

    anja:

    I

    22

    Eh

    Kdπ

    =.

    (1.7

    5)

    Kad

    a je

    ht

    =do

    lazi d

    o ko

    ntak

    ta p

    ovrš

    ine

    puko

    tine

    i klin

    a, od

    nosn

    o do

    djel

    omičn

    og z

    atva

    ranj

    a pu

    kotin

    e. To

    zna

    či da

    jeI

    clK

    K=

    , kad

    a je

    ht

    =, i

    iz je

    dnad

    žbi

    (1.7

    4) i

    (1.7

    5) p

    roiz

    lazi:

  • kl

    in cl

    2K K

    . (1

    .76)

    Na

    slici

    1.12

    b pr

    ikaz

    ana

    je pr

    omjen

    a ge

    omet

    rije

    vršk

    a pu

    kotin

    e za

    vrij