¿HACIA DÓNDE VA LA EDUCACIÓN ESTADÍSTICA?

Carmen Batanero

Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, batanero@goliat.ugr.es

Blaix

(En prensa)

RESUMEN

Aunque hace apenas unos años era muy escaso el numero de personas que se interesaba por los problemas de la enseñanza y aprendizaje de la estadística, en la actualidad asistimos a un aumento notable de las publicaciones, diseños curriculares e investigación relacionados con este tema. El propósito de este articulo es hacer un breve resumen de este desarrollo en el ámbito internacional y reflexionar sobre la situación actual y perspectivas futuras de la educación estadística en nuestro país.

Recientemente la estadística se ha incorporado, en forma generalizada, al currículo de matemáticas de la enseñanza primaria y secundaria y de las diferentes especialidades universitarias en la mayoría de países desarrollados Las razones de este interés hacia la enseñanza de la estadística han sido repetidamente señaladas por diversos autores, desde comienzos de la década de los ochenta. Por ejemplo en Holmes (1980) encontramos las siguientes:

La estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los medios informativos. Para orientarse en el mundo actual, ligado por las telecomunicaciones e interdependiente social, económica y políticamente, es preciso interpretar una amplia gama de información sobre los temas más variados.

Es un útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos conocimientos básicos del tema. La estadística es indispensable en el estudio los fenómenos complejos, en los que hay que comenzar por definir el objeto de estudio, y las variables relevantes, tomar datos de las mismas, interpretarlos y analizarlos.

Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia objetiva; hemos de ser capaces de usar los datos cuantitativos para controlar nuestros juicios e interpretar los de los demás; es importante adquirir un sentido de los métodos y razonamientos que permiten

transformar estos datos para resolver problemas de decisión y efectuar predicciones (Ottaviani, 1998).

Ayuda a comprender otros temas del curriculum, tanto de la educación obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o conceptos estadísticos.

Otro aspecto que fue ya señalado por Fischbein (1975) es el carácter exclusivamente determinista que el currículo de matemáticas ha tenido hasta hace unos años, y la necesidad de mostrar al alumno una imagen más equilibrada de la realidad: "En el mundo contemporáneo, la educación científica no puede reducirse a una interpretación unívoca y determinista de los sucesos. Una cultura científica eficiente reclama una educación en el pensamiento estadístico y probabilístico".

Más recientemente, Begg (1997) señala que la estadística es un buen vehículo para alcanzar las capacidades de comunicación, tratamiento de la información, resolución de problemas, uso de ordenadores y trabajo cooperativo y en grupo, a las que se da gran importancia en los nuevos currículos. Además, la probabilidad y la estadística se pueden aplicar fácilmente, puesto que no requieren técnicas matemáticas complicadas. Sus aplicaciones, proporcionan una buena oportunidad para mostrar a los estudiantes la utilidad de la matemática para resolver problemas reales, siempre que su enseñanza se lleve a cabo mediante una metodología heurística y activa, enfatizando la experimentación y la resolución de problemas.

Todas estas razones han impulsado la investigación y el desarrollo curricular en el campo especifico de la estadística. Ejemplos de proyectos curriculares desarrollados de acuerdo a estas ideas son, por ejemplo los del Schools Council Project on Statistical Education en el Reino Unido (1957-1981) y el Quantitative Literacy Project en Estados Unidos (1985-98). Los materiales didácticos, el software educativo, investigaciones, revistas, reuniones y congresos sobre la enseñanza de la estadística han crecido espectacularmente en los últimos años.

Por otro lado, el interés por la enseñanza y comprensión de la estadística no es exclusivo de la comunidad de educación matemática. La preocupación por las cuestiones didácticas y por la formación de profesionales y usuarios de la estadística ha sido una constante de los propios estadísticos, y las investigaciones sobre el razonamiento estocástico han tenido un gran auge en el campo de la psicología. En lo que sigue analizamos los trabajos sobre educación estadística llevados a cabo en estos tres campos. Nuestro objetivo es proporcionar información a los profesores e investigadores, con el fin de interesarlos por la enseñanza de la estadística y impulsar el desarrollo de la investigación sobre educación estadística en nuestro país.

EDUCACIÓN ESTADÍSTICA DENTRO DE LA ESTADÍSTICA

La relación entre el desarrollo de un país y el grado en que su sistema estadístico produce estadísticas completas y fiables es clara, porque esta información es necesaria para la toma de decisiones acertadas de tipo económico, social y político. La formación adecuada, no sólo de los técnicos que producen estas estadísticas, sino de los profesionales y ciudadanos que deben interpretarlas y tomar a su vez decisiones basadas en esta información, así como de los que deben colaborar en la obtención de los datos requeridos es, por tanto, un motor del desarrollo.

La educación estadística ha sido una preocupación crucial del Instituto Internacional de Estadística (ISI) desde su fundación en 1885, que se concretó oficialmente en 1948 en el establecimiento del Comité de Educación, encargado de promover la formación estadística, colaborando, para este fin, con la UNESCO y otros organismos internacionales, y marcando el comienzo de un programa sistemático de apoyo a la educación (Vere-Jones, 1997).

En aquel momento, un objetivo común a las Naciones Unidas y al ISI era mejorar la información estadística disponible en los países en vías de desarrollo, lo que implicaba la necesidad de preparar suficiente numero de técnicos estadísticos en estos países. Las responsabilidades del Comité de Educación incluyeron el desarrollo de diplomaturas y licenciaturas en estadística en los que se formarían los profesores y técnicos estadísticos. Una de las primeras actividades de este comité fue la creación de los Centros de Internacionales de Educación Estadística en Calcuta y Beirut, para atender las necesidades formativas de los países de su respectivo entorno geográfico.

Asimismo, el Comité ha colaborado en la producción y difusión de ayudas para la enseñanza, por ejemplo la preparación de libros de texto universitarios, de bibliografías específicas y diccionarios de términos estadísticos. Subcomités especiales se dedicaron a impulsar la introducción de la estadística en las escuelas, el papel de la mujer en la estadística, y la promoción de conferencias sobre la educación estadística, dando origen, en particular a los ICOTS (International Conference on Statistical Education) que se iniciaron en 1982 en la Universidad de Sheffield y han continuado cada cuatro años.

Otro tipo de conferencias iniciadas por el Comité de Educación, como satélites del ICME (International Congress of Mathematics Education), son las Round Table Conference sobre temas específicos de educación estadística, que han sido los siguientes: "Estadística en la escuela" ( en las conferencias de Viena, 1973; Varsovia, 1975 y Calcuta, 1977), "La enseñanza universitaria de la estadística en los países en vías de desarrollo" ( celebrada en La Haya, 1968), "Enseñanza de la estadística y ordenadores", ( en las conferencias de Oisterwijk, 1970 y Camberra, 1984), y "Formación de profesores" (celebrada en Budapest, 1988).

La puesta en marcha en el Centro de Educación Estadística de la Universidad de Sheffield de la revista Teaching Statistics dirigida a los profesores y el éxito de la misma a

lo largo de sus 21 años de existencia mostró el interés de los profesores por los aspectos didácticos y la necesidad de compartir y discutir los problemas educativos.

En 1991 el ISI decide crear una nueva sección, a la que se transferirían las responsabilidades y objetivos que hasta entonces había tenido el Comité de Educación. Nace así IASE (International Association for Statistical Education), con igualdad de derechos y obligaciones que el resto de las secciones del Instituto, participando en la elaboración de sus revistas y organización de sus Sesiones bianuales, contribuyendo a su financiación y teniendo representación en sus organismos directivos. El objetivo principal de IASE es el desarrollo y mejora de la educación estadística en el ámbito internacional. En la actualidad cuenta con unos 500 miembros, que son personas interesadas en la enseñanza de la estadística en cualquiera de los niveles educativos, el desarrollo de software estadístico, la enseñanza de la estadística en empresas o industria, preparación de expertos estadísticos para las unidades estadísticas en el gobierno y el desarrollo curricular, libros de texto y materiales didáctico. Como indica Hawkins (1999), la Sociedad tiene un triple objetivo:

Como organización profesional, proporciona un foro de discusión para todos los que de algún modo se interesan por la educación estadística;

Como sociedad de investigación, se encamina hacia la constitución de una disciplina autónoma;

Al ser el brazo educativo del ISI, toma el liderato y responde a las cuestiones sobre educación y formación estadística y promueve la educación estadística, especialmente en los países en desarrollo.

Entre las responsabilidades asumidas por esta sociedad, se encuentran la organización de las conferencias ICOTS a partir del ICOTS IV ( celebrada en Marrakesh 1994) y de las Round Table Conference asociadas al ICME, habiendo organizado hasta la fecha las dedicadas a "Enseñanza del análisis de datos" (celebrada en Quebec, 1992) y "Impacto de las nuevas tecnologías en la investigación" (que tuvo lugar en Granada en 1996).

La diversidad de temas que interesan a los educadores estadísticos se ha reflejado en el programa del V ICOTS, celebrado en 1988 en Singapur, cuyo lema: Expanding the network, hizo alusión a la voluntad de expansión y filosofía de trabajo en equipo de la sociedad. Esta filosofía también se tradujo en la misma organización del trabajo científico del congreso, donde las sesiones fueron coordinadas por mas de una treintena de personas funcionando en forma arborescente y comunicadas entre sí. Los grandes temas: "Educación en la escuela", "educación post-secundaria", "educación en el centro de trabajo", "educación y sociedad", "perspectiva internacional de la educación estadística", "investigación", "el papel de la tecnología", y "otros factores que determinan la educación estadística", se han derivado en unos 200 trabajos presentados y siete listas de discusión organizadas para continuar el trabajo a distancia.

Se han promovido además otras conferencias. En 1993 tuvo lugar la Primera Reunión Científica de IASE en Perugia, y la Segunda Reunión Científica de IASE se celebró en El Cairo en 1994. IASE ha realizado presentaciones de su trabajo en otras conferencias con

sesiones de educación estadística como la Conferencia conjunta de IAOS/IASS, Aguas Calientes, México, 1998 (Ottaviani, 1998), la IV Conferencia Internacional Iraní de Estadística, Teherán, 1998 (Batanero, 1998 a), y la IV Conferencia de Sociedades latinoamericanas de Estadística, Mendoza, 1999 (Ottaviani, 1999).

IASE ha promovido también la publicación de libros, entre los cuales los más recientes son la colección de trabajos sobre estadística presentados en ICME 8 (Phillips, 1996) las Actas de la Conferencia que se celebró en Tartu, Estonia sobre Educación Estadística y Estadística Computacional (Tiit, 1997) y The Assessment Challenge in Statistics Education editado por I. Gal y J. Garfield (1997), que discute los problemas teóricos y prácticos de la evaluación del razonamiento estadístico.

Actualmente se ha iniciado la preparación de la próxima Round Table Conference asociada al ICME 9, que tendrá lugar en Tokio en el año 2000 y estará dedicada a estudiar el problema de la "Formación de investigadores en el uso de la Estadística". Vemos que la preocupación por la educación estadística no acaba con la etapa universitaria, puesto que una formación básica estadística es imprescindible hoy día a los investigadores en diversas ciencias, no solo para poder valorar y tomar decisiones sobre los diseños de su investigación, sino para poder leer la literatura científica de su especialidad y para poder comunicarse con los estadísticos profesionales, a propósito del análisis de sus datos. Asimismo las sesiones que IASE ha organizado en la 52 sesión del ISI (Helsinki, 1999) han abarcado desde la formación de profesores, el papel de la visualización, el uso de datos estadísticos oficiales en la enseñanza y la evaluación hasta la controversia actual sobre el uso de los tests de significación.

LA PERSPECTIVA PSICOLÓGICA: INVESTIGACIÓN SOBRE EL RAZONAMIENTO ESTOCÁSTICO

La influencia que, en el campo de la psicología, han tenido las investigaciones sobre el razonamiento estocástico es tal que Pérez Echeverría (1990) habla de la "revolución probabilista" para referirse a este impacto, equiparándolo al que ha tenido la perspectiva cognitiva. Esta importancia se debe al giro que estos estudios han implicado en los trabajos sobre razonamiento humano, donde se ha pasado de un modelo de actuación acorde a la lógica formal, a concebir un decisor que actúa de acuerdo a un sistema probabilístico complejo, utilizando heurísticas adquiridas en su relación empírica con lo cotidiano. Trabajos como los recogidos en Kahneman y cols. (1982), que tocan entre otros puntos el razonamiento correlacional, la inferencia, la probabilidad condicional y regla de Bayes, han contribuido a este cambio de paradigma en los estudios psicológicos.

Un concepto fundamental en estos trabajos es el de heurística o estrategia inconsciente que reduce la complejidad de un problema probabilístico, suprimiendo parte de la información. Aunque las heurísticas ayudan en muchos casos a obtener una solución aproximada al problema, en otros producen sesgos en las conclusiones obtenidas, con las

consiguientes implicaciones en las decisiones tomadas. Consideremos, por ejemplo, el siguiente ítem adaptado de Kahneman y cols. (1982).

Ejemplo 1. En un hospital maternal se lleva un registro del sexo de los recién nacidos. ¿Cuál de los dos sucesos siguientes te parece que tiene más probabilidad?

A. Que entre los próximos 10 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas.

B. Que entre los próximos 100 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas.

C. Las dos cosas me parecen igual de probables.

La respuesta correcta a este ítem es la A, aunque la mayoría de los sujetos suelen considerar correcta la respuesta C. Esto es debido a que sólo tienen en cuenta que la proporción de niñas en las dos muestras es la misma, sin tener en cuenta el tamaño de las muestras, que es también un dato del problema, ya que las muestras pequeñas son más variables que las grandes. Al suprimir un dato (el tamaño de la muestra) se ha reducido la complejidad del problema, pero se ha producido una solución incorrecta. Razonamientos como el mostrado en el ejemplo (la heurística de la representatividad) han sido estudiados por los psicólogos, en diversos contextos de aplicación, tales como diagnóstico médico o juicios legales.

Por otro lado, y a partir de los estudios de Piaget e Inhelder (1951), la adquisición de las ideas de aleatoriedad y probabilidad, del razonamiento combinatorio, de la intuición de la frecuencia relativa, distribución y convergencia, así como de la capacidad de cuantificación de probabilidades ha sido analizada en los niños desde sus primeros años a la adolescencia, determinándose, en consecuencia diferentes etapas en el desarrollo del razonamiento probabilístico. Otros autores han estudiado también la influencia de creencias previas y concepciones animistas de los niños sobre su capacidad de percepción de lo aleatorio. La importancia que estos trabajos tienen para los profesores es que permiten seleccionar de una forma racional el tipo de tareas probabilísticas que podemos proponer a nuestros alumnos en función de su edad. Los instrumentos de evaluación construidos en estas investigaciones son también útiles para valorar los conocimientos y modos de razonamientos de nuestros alumnos.

Mención particular merecen los trabajos de Fischbein (1975) y otros posteriores del mismo autor, ya que constituyeron uno de los primeros puentes de unión entre la psicología y la educación matemática. Interesado no solo por la formación de los conceptos formales, sino por la aparición de intuiciones parciales sobre los conceptos estocásticos, se preocupó también del efecto de la instrucción. Sus investigaciones apoyan decididamente la conveniencia de adelantar la educación estocástica y también muestran que, sin instrucción, es difícil que se desarrolle un razonamiento estocástico adecuado, incluso una vez que se alcanza la etapa de las operaciones formales.

Fischbein fue uno de los fundadores del grupo PME (Psychology of Mathematics Education) que en 1999 celebra su 23 reunión anual y es, en la actualidad el principal foro

de investigadores en educación matemática. En 1994 se creó un grupo de trabajo sobre estocástica dentro de PME, que sigue trabajando en la actualidad. Uno de los proyectos que este grupo tiene en marcha es la elaboración de una monografía donde se haga un resumen de las principales investigaciones en el campo de la educación estadística y se discutan sus implicaciones didácticas.

ESPECIFICIDAD DE LA ESTADÍSTICA DENTRO DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

El interés por la enseñanza de la estadística, dentro de la Educación Matemática, viene ligado al rápido desarrollo de la estadística como ciencia y como útil en la investigación, la técnica y la vida profesional, impulsado notablemente por la difusión de los ordenadores y el crecimiento espectacular de la potencia y rapidez de calculo de los mismos, así como por las posibilidades de comunicación. Todo ello ha facilitado el uso de la estadística a un numero creciente de personas, provocando, en consecuencia, una gran demanda de formación básica en esta materia, formación que ha sido encomendada, en los niveles no universitarios, a los profesores de matemáticas.

Los nuevos currículos de educación primaria y secundaria incluyen en forma generalizada recomendaciones sobre la enseñanza de la estadística. Sin embargo, en la práctica son todavía pocos los profesores que enseñan este tema y en otros casos se trata muy brevemente, o en forma excesivamente formalizada. Analizaremos, a continuación, la problemática que, para muchos profesores supone la enseñanza de la estadística.

Una primera dificultad proviene de los cambios progresivos que la estadística está experimentando en nuestros días, tanto desde el punto de vista de su contenido, como del punto de vista de las demandas de formación. Estamos caminando hacia una sociedad cada vez mas informatizada y una comprensión de las técnicas básicas de análisis de datos y de su interpretación es cada día más importante. Esto nos lleva a tener que enseñar estadística a alumnos con capacidades y actitudes variables, e incluso a los que siguen un bachillerato no científico, que no disponen de la misma base de conocimientos de cálculo que sus compañeros.

Al mismo tiempo, la estadística como ciencia, atraviesa un periodo de notable expansión, siendo cada vez más numerosos los procedimientos disponibles, alejándose cada vez mas de la matemática pura y convirtiéndose en una "ciencia de los datos", lo que implica la dificultad de enseñar un tema en continuo cambio y crecimiento. Por ejemplo, todo profesor que ha tratado de incorporar las calculadoras gráficas o el ordenador en su clase de estadística, conoce bien el trabajo añadido que supone la continua puesta el día en el manejo de estos recursos.

Por otro lado, el número de investigaciones sobre la didáctica de la estadística es aun muy escaso, en comparación con las existentes en otras ramas de las matemáticas. Por ello, no se conocen aun cuales son las principales dificultades de los alumnos en muchos conceptos importantes. Sería también preciso experimentar y evaluar métodos de

enseñanza adaptados a la naturaleza especifica de la estadística, a la que no siempre se pueden transferir los principios generales de la enseñanza de las matemáticas. Las investigaciones existentes no son muy conocidas por los profesores, ya que falta todavía mucha labor de difusión, especialmente de trabajos realizados fuera de nuestro país. Precisamente trabajos como este artículo o los publicados en la revista UNO, n. 5, quieren contribuir a llenar este hueco.

La misma naturaleza de la estadística es muy diferente de la cultura determinista tradicional en clase de matemáticas. Un indicador de ello es que aun hoy día prosiguen las controversias filosóficas sobre la interpretación y aplicación de conceptos tan básicos como los de probabilidad, aleatoriedad, independencia o contraste de hipótesis, mientras que estas controversias no existen en álgebra o geometría (Batanero y Serrano, 1995). Las dimensiones políticas y éticas del uso y posible abuso de la estadística y la información estadística contribuyen, asimismo, a la especificidad del campo.

La formación específica de los profesores en este ámbito especifico es prácticamente inexistente. En España sólo muy recientemente se ha iniciado una asignatura especifica de didáctica de la estadística en la Licenciatura en Ciencias y Técnicas estadísticas de la Universidad de Granada y creemos que este tipo de asignatura es prácticamente inexistente en otras universidades. Los profesores que provienen de la Licenciatura de Matemáticas no tienen una formación especifica en didáctica de la estadística y muchos de ellos tampoco en estadística aplicada. La situación es aun peor en lo que se refiere a los profesores de primaria, la mayor parte de los cuales no han tenido una formación ni siquiera básica ya no sobre la didáctica de la estadística, sino sobre los conceptos básicos de estadística o probabilidad.

Por otro lado, aunque existen libros de texto excelentes, la investigación didáctica está comenzando a mostrar como algunos errores conceptuales y pedagogía inadecuada se transmiten con una frecuencia mayor de lo que seria deseable en los libros de texto (Sánchez-Cobo, 1996; Ortiz, 1999).

Un ultimo punto es la naturaleza interdisciplinar del tema, que hace que los conceptos estadísticos aparezcan en otras materias, como ciencias sociales, biología, geografía, etc., donde los profesores, a veces se ven obligados a enseñar estadística, lo que puede ocasionar conflictos cuando las definiciones o propiedades presentadas de los conceptos no coinciden con las impartidas en la clase de matemáticas.

Parece, en consecuencia, necesario una mejor preparación previa y formación permanente del profesorado y un apoyo de los departamentos universitarios y grupos de investigación implicados para lograrlo. El papel de las sociedades profesionales, como la IASE es también decisivo, especialmente a partir de la constitución de grupos locales activos que sirvan de intermediarios entre los profesores, estadísticos profesionales e investigadores en educación estadística en sus distintas vertientes. En este sentido, una iniciativa importante es la que se está iniciando en la actualidad, de organizar un grupo Iberoamericano dentro de IASE.

¿COMO ENSEÑAR ESTADÍSTICA?

En las secciones anteriores hemos justificado la importancia de la formación estadística. Esperando haber convencido a los profesores del interés que para sus alumnos tienen los conocimientos estadísticos básicos, trataremos a continuación, de sugerir la forma es que debiéramos llevar a cabo esta enseñanza. Para ello, debemos reflexionar, en primer lugar, sobre los fines principales de esta enseñanza que son los siguientes:

Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de la estadística en la sociedad, conociendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que la estadística ha contribuido a su desarrollo.

Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método estadístico, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de la estadística puede responder, las formas básicas de razonamiento estadístico, su potencia y limitaciones.

Puesto que, como hemos dicho, estamos en presencia de una ciencia que cambia rápidamente, lo más importante no serán los contenidos específicos, sino el tratar de desarrollar en nuestros alumnos una actitud favorable, unas formas de razonamiento y un interés por completar posteriormente su aprendizaje.

La principal razón del estudio de la estadística es que los fenómenos aleatorios tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Tradicionalmente, la mayoría de las aplicaciones mostradas en el estudio de la probabilidad se refieren al campo de los juegos de azar, porque éste es familiar e interesante para los alumnos y porque los espacios muestrales en estas aplicaciones son finitos. Sin embargo, si queremos que el alumno valore el papel de la probabilidad y estadística, es importante que los ejemplos que mostramos en la clase hagan ver de la forma más amplia posible esta fenomenología, e incluyan aplicaciones de su mundo biológico, físico, social y político, como las descritas en Tanur (1989). Sin renunciar a los juegos de azar, aplicaciones como las características genéticas, la previsión atmosférica, el resultado de las elecciones, el crecimiento de la población, la extinción de las especies, el efecto del tabaco o drogas sobre la salud, la extensión de epidemias, los resultados deportivos, el índice de precios o el censo de la población son cercanas a los intereses de los alumnos.

Metodología de enseñanza

Ya hemos indicado que la probabilidad y la estadística son muy cercanas al mundo familiar al alumno y que, por tanto proporcionan una oportunidad extraordinaria de "matematizar", de mostrar al alumno el proceso de construcción de modelos, así como la diferencia entre "modelo" y realidad. Por otro lado, las teorías de aprendizaje aceptadas con mayor generalidad enfatizan el papel de la resolución de problemas, de la actividad del alumno en la construcción del conocimiento, así como de la formulación (lenguaje matemático), validación (demostración y razonamiento de las ideas matemáticas) e

institucionalización (puesta en común; acuerdo social en la construcción del conocimiento). El profesor no es ya un transmisor del conocimiento, sino un gestor de este conocimiento y del medio (instrumentos, situaciones) que permita al alumno progresar en su aprendizaje.

Cobran entonces un papel primordial los proyectos estadísticos y la experimentación con fenómenos aleatorios. Los proyectos permiten a los alumnos elegir un tema de su interés en el cual precisen definir los objetivos, elegir los instrumentos de recogida de datos, seleccionar las muestras, recoger, codificar, analizar en interpretar los datos para dar respuesta a las preguntas planteadas. Los proyectos introducen a los alumnos en la investigación, les permiten apreciar la dificultad e importancia del trabajo del estadístico y les hace interesarse por la estadística como medio de abordar problemas variados de la vida real.

La experimentación con fenómenos aleatorios (real o simulada) proporciona al alumno una experiencia estocástica difícil de adquirir en su relación empírica con lo cotidiano. Es precisamente esta falta de experiencia la que Fischbein sugiere podría causar el desarrollo de intuiciones estocásticas incorrectas. Trataremos con más detalle el tema de la experimentación en los siguientes apartados.

Materiales manipulativos

Como en cualquier otra rama de las matemáticas, el material manipulativo debe desempeñar un papel básico en los primeros niveles de enseñanza, por la necesidad que tienen los niños de contar con referentes concretos de los conceptos abstractos que tratamos de enseñarles. En este sentido los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática del NCTM (1991) afirman que en el estudio de la probabilidad en primaria y secundaria los estudiantes deben explorar situaciones de forma activa, experimentando y simulando modelos de probabilidad. Pero hay que tener en cuenta que el material en sí mismo no es suficiente, por lo que es esencial el tipo de situación didáctica que se organice en torno al material. Conviene también tener en cuenta algunos puntos específicos sobre el uso de tales materiales.

Una característica particular de los experimentos aleatorios es su carácter irreversible, destacado por Piaget e Inhelder (1951), para quienes la aleatoriedad se produce por la interferencia de una serie de causas, que actuando independientemente, llevan a un resultado impredecible. Una vez producido un resultado aleatorio, no es posible volver al estado inicial con seguridad. Por ejemplo, si al impulsar la aguja de una ruleta numerada obtenemos el número 5, un giro en sentido contrario no nos devuelve, en general, a la posición inicial.

Mientras que en el aprendizaje de las operaciones básicas en aritmética o de los conceptos geométricos, el niño puede explorar, mediante composición y descomposición una operación o propiedad dada (por ejemplo, al estudiar la suma de dos números o la

descomposición de un polígono en triángulos) con ayuda de material concreto (mediante las regletas o mediante modelos de polígonos), ello no es posible en el caso de los fenómenos aleatorios, debido a su carácter irreversible. Una repetición de la experiencia aleatoria tampoco sirve para comprobar un resultado, cosa que sí ocurre, por ejemplo, con las operaciones aritméticas.

El análisis de un experimento aleatorio va más allá del resultado inmediato y requiere la consideración de todos los sucesos posibles, es decir del espacio muestral del experimento. Por tanto, el uso del material para la clase de probabilidad, implica realizar una serie de experimentos, recoger sus resultados, calcular las frecuencias de los distintos resultados, elaborar tablas y gráficos, y comprobar conjeturas (hipótesis) sobre el experimento, es decir, organizar un estudio estadístico del experimento. Sólo cuando se recogen datos de una serie larga de experimentos se produce la convergencia y se aprecian regularidades en el comportamiento de los fenómenos aleatorios. De la misma forma, si lo que partimos es de una clase de estadística (situación de análisis de datos) será difícil olvidar completamente los problemas probabilísticos sobre la variabilidad, aleatoriedad, generalizabilidad de las conclusiones, posibilidad de predicción. Actividades diseñadas con esta filosofía se recogen, por ejemplo en Godino y cols (1987).

Simulación

Un uso característico del material en estocástica consiste en utilizarlo para sustituir un experimento aleatorio difícil de observar en la realidad, por otro equivalente. Por ejemplo, si los alumnos no se convencen de cuál es la respuesta correcta en el ejemplo 1 podríamos organizar en la clase una situación de simulación en la forma siguiente:

Ejemplo 2. Sustituimos el experimento consistente en observar el sexo de un recién nacido por el de lanzar una moneda, con el siguiente convenio: Si al lanzar la moneda obtengo una cara supongo que ha nacido un niño, en caso contrario que ha nacido una niña.

La mitad de la clase realiza experimentos lanzando a la vez 10 monedas y contando el número de veces que la proporción de "niñas" (caras) es mayor del 70 por ciento.

La otra mitad realiza el mismo experimento lanzando a la vez 100 monedas.

Un número moderadamente grande de ensayos, por ejemplo 10 por alumno, servirá para ver la diferencia entre las dos probabilidades del ejemplo 1. La situación puede mejorarse si los alumnos de cada grupo representan gráficamente la proporción de niñas obtenidas en cada repetición de su experimento, que servirá para mostrar que los valores medios coinciden pero no la variabilidad.

La simulación permite condensar el experimento en el tiempo y en el espacio y operar con el experimento simulado para obtener conclusiones válidas para el

experimento original. Además proporciona un método "universal" para obtener una estimación de la solución de los problemas probabilísticos. En la enseñanza de la estocástica en secundaria la simulación cobra papel importante, ya que, como se sugieren en los Estándares del NCTM ayuda al alumno a conocer las diferencias entre la probabilidad experimental y la teórica. El centro de atención de la docencia ya no se limita a enseñar técnicas combinatorias, sino que se da mayor importancia al análisis del problema y el diseño de un procedimiento adecuado de simulación.

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que la realización de experimentos, en sí misma (el enfoque frecuencial de la enseñanza de las probabilidades) permite encontrar una estimación de la solución del problema (incluso la solución para algunos problemas, como los de optimización). Pero no proporciona la justificación del porqué esa solución es correcta. Para el caso del ejemplo A la justificación de la solución requiere la enumeración de todas las posibilidades al lanzar las 10 o 100 monedas y el estudio de cuántas posibilidades hay asociadas a 0, 1, 2, .... 10 caras, en el primer experimento y 0, 1, 2,.... 100 en el segundo esto es, la distribución binomial. Será necesario un estudio matemático de esta distribución y no sólo el análisis estadístico de los datos, para probar de forma concluyente cuál es la solución correcta.

ALGUNAS TENDENCIAS FUTURAS

En los apartados anteriores hemos descrito el panorama actual de la educación estadística y analizado la forma en que debe llevarse a cabo esta enseñanza. Es indiscutible que el siglo XX ha sido el siglo de la estadística, que ha pasado a considerarse una de las ciencias metodológicas fundamentales y base del método científico experimental. La enseñanza de la estadística, sin embargo, aún se encuentra en sus comienzos, aunque como hemos descrito parece avanzar de una forma imparable. ¿Será el siglo XXI el siglo de la educación estadística? Analizaremos a continuación algunos indicadores que parecen dar una respuesta positiva a esta pregunta, así como sugerir algunos cambios previsibles en nuestros métodos de enseñanza de esta materia.

Un primer indicador de la expansión futura de la educación estadística son los trabajos previstos por IASE, como el congreso ICOTS VI en el 2002 y las sesiones de educación en la Conferencia ISI de Corea en 2001. Oras sociedades de estadística o de educación están también organizando de secciones especificas de educación estadística, como, por ejemplo, la ASA (American Statistical Association), AERA (American Educational Research Association), Royal Statistical Society, en Inglaterra, Sociedad estadística Japonesa, la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, etc..

Un tipo de agrupación diferente, es el International Study Group for Research in Learning Probability and Statistics formado por mas de 250 investigadores de unos 40 países, que se conectan a través del correo electrónico e intercambian información por medio de un Boletín distribuido electrónicamente y situado en Internet. La flexibilidad de este tipo de organización se debe a su bajo costo y eficiencia en la distribución de la

información, así como en la disponibilidad de ayuda de tipo diverso, desde el intercambio de trabajos, la lectura o revisión de trabajos en curso o el desarrollo de proyectos conjuntos.

Las revistas orientadas a los profesores de estadística son un indicador de la existencia de una problemática docente y de un interés de los profesores por mejorar su acción docente. El mejor exponente lo tenemos en Teaching Statistics, que ha cumplido ya 21 años de existencia durante los cuales se ha ido desarrollando y adquiriendo una identidad y calidad internacional reconocida. Además de los artículos sobre temas didácticos, la versión actual incluye temas históricos, curriculares, resúmenes de investigación, actividades para el aula, análisis de software y libros, bancos de datos con orientaciones para su uso en clase y las paginas centrales editadas por el IASE con noticias de la sociedad. Otras revistas similares son Induzioni en Italia y Stochatik in der Schüle, en Alemania, además de la ya citada Journal of Statistical Education, publicada en la North Carolina State University, que es una revista de educación estadística en el ámbito universitario con un servicio de información asociado.

Algunas de las asociaciones que hemos nombrado preparan boletines de noticias que distribuyen por Internet con un sistema semejante al de las revistas electrónicas, como la Newsletter del International Study Group for Research on Learning Probability and Statistics. A nivel docente podemos citar el boletín del Statistics Teacher Network, que es una asociación de profesores de estadística en los niveles de primaria y secundaria.

A la vista de todas estas posibilidades, surge la pregunta de hacia donde va la educación estadística y que tipo de enseñanza tendrá lugar en el futuro (Hawkins, 1997). Es difícil dar una respuesta, aunque los libros de texto se empiezan a transformar a ediciones electrónicas e incluso en formato accesible a la consulta, modificación y sugerencias a través de Internet. Es también sencillo obtener datos de todo tipo para que los estudiantes puedan realizar investigaciones sobre casi cualquier tema, incluso con pocos recursos disponibles. El profesor puede cargar estos conjuntos de datos de la Internet e introducirlos en las calculadoras gráficas de los alumnos que tienen una difusión mucho mayor. De este modo los alumnos pueden trabajar con los datos en casa o exportarlos a otros ordenadores o calculadoras. También pueden combinar diferentes conjuntos de datos en un mismo proyecto o "enviar" a la red sus propias colecciones de datos para que sean usadas por nuevos estudiantes en cualquier rincón del planeta (Batanero, 1998b).

Las listas de discusión entre profesores o entre alumnos, la "tutoría" de alumnos a distancia, cuando el trabajo del alumno no permite la comunicación directa con el profesor son ya hechos cada vez más cercanos y ya están siendo implementados en forma experimental en algunas escuelas y universidades, como, por ejemplo, la experiencia australiana de formación a distancia de profesores (Watson, 1999). La rapidez del cambio tecnológico hace previsible la extensión de estas nuevas formas de enseñanza y aprendizaje en un plazo de tiempo no muy lejano.

En nuestro país algunos grupos de profesores e investigadores hemos comenzado a interesarnos por la educación estadística. Por ejemplo, en la Universidad de Granada hay un grupo de investigación que ha producido algunas tesis doctorales sobre el tema y que está implicado activamente, tanto en IASE como en otros organismos implicados en la educación estadística. En otras Universidades como Jaén, Cádiz y Murcia se están también desarrollando grupos de investigación en el tema.

Es sin embargo necesario un gran esfuerzo y sobre todo la participación activa de los profesores si queremos participar en las nuevas tendencias educativas y extender el uso y la valoración de la estadística entre nuestros alumnos. Esperamos que este artículo contribuya a concienciar a los profesores de la necesidad de su cooperación en esta tarea que, sin duda repercutirá en la mejor preparación de sus alumnos y en el desarrollo económico de nuestro país.

Agradecimientos: Este trabajo forma parte del Proyecto PB96-1411. DGES. Madrid.

REFERENCIAS

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Anexo: Direcciones en Internet citadas en el trabajo

ASA Education: http://www.amstat.org/education/index.html

International Association for Statistical Education (IASE): http://www.stat.ncsu.edu/info/iase/

International Study Group for Research on Learning Probability and Statistics: http://www.ugr.es/local/batanero/

Journal of Statistical Education: http://www.stat.ncsu.edu/info/jse/

The RSS - Royal Statistical Society: http://www.maths.ntu.ac.uk/rss/index.html

1

ANEXO

Construcción e interpretación del diagrama de caja y brazos. Los diagramas de caja y brazos son gráficas muy apropiadas para mostrar el

comportamiento de los datos cuando interesa presentarlos estratificados por

alguna variable cualitativa, por ejemplo comparar por género el número de

reactivos correctos obtenidos en un examen de estadística, como se muestra

en la siguiente figura:

Además que facilitan la comparación entre grupos, permite una rápida

identificación de valores o datos atípicos (valores que son extremos en

relación al resto de los valores). Cuando estos valores se obtienen en un

diagrama de caja no deben ni ignorase ni eliminarse, sino analizar cómo es que

se han producido, a qué se deben, en dependencia del análisis se toma la

determinación de ignorarlos o excluirlos de un determinado estudio.

Pero, ¿cómo se construyen los diagramas de caja?, ¿qué información

proporcionan? A continuación, se dará respuesta a estas interrogantes.

Para la construcción del diagrama de caja y brazos es necesario realizar el

cálculo de los cuartiles, así que primeramente se atenderá tal asunto.

a) Cálculo de cuartiles.

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto ordenados en cuatro partes iguales. Existen tres cuartiles denotados usualmente por Q1, Q2 y Q3. El segundo cuartil es la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores ordenados; es decir el primer cuartil, es un valor tal que el 25% de las observaciones son menores o iguales que él y el 75% son mayores o iguales. El tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos, es decir el tercer cuartil es un valor tal que el 75% de las observaciones son menores o iguales y el 25% son mayores o iguales al valor de éste.

0 1 2 3 4 5 6

Hombre

Mujer

No de reactivos correctos

2

Se utilizan tres reglas para obtener los valores de los cuartiles:

Ejemplo 1. Las siguientes son las edades (en años) de las personas que han visitado un sitio de internet en un día determinado. Encuentre los cuartiles de las edades.

10, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 20, 20, 21, 23, 24, 24, 24, 25, 25,25, 25, 26, 26,

27, 27, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 33,34, 35, 35, 36, 38, 38, 38, 38, 38, 45, 47,

50, 51, 54, 55, 56, 59, 63, 66, 80, 85

Como los datos ya se encuentran ordenados se procede a encontrar la posición de los cuartiles utilizando las ecuaciones anteriores, teniendo en cuenta que el número total de datos es 52, es decir n=52. Para encontrar Q1, es decir el primer cuartil se tiene que está ubicado en

la posición

utilizando la regla tres tenemos que el

primer cuartil es el valor de la observación o dato que ocupa la ubicación 13, por lo tanto Q1=24 años.

(Ecuación 3.8)

del total

de observaciones ordenadas. (Ecuación 3.9)

(Ecuación 3.10)

Regla 1: Si la posición obtenida es un número entero, se elige como cuartil la

observación numérica específica en ese lugar.

Regla 2: Si la posición obtenida se encuentra justo en el medio de dos números

enteros, se selecciona la media aritmética de los valores correspondientes.

Regla 3: Si la posición obtenida no es un número entero o el valor medio entre dos

números enteros, una regla sencilla para aproximar el cuartil específico consiste en

redondear hacia arriba o hacia abajo la posición entera más cercana y elegir el

valor numérico de esa observación o dato. Aquí es prudente aclarar que en este caso

existen diferentes criterios para asignar el lugar del cuartil ya que algunos redondean

hacia abajo y en otros casos hacia arriba, lo mismo sucede en la paquetería e incluso

en las calculadoras.

3

Para el segundo cuartil tenemos que, está ubicado en la posición

, es decir, es el valor ubicado entre el dato que ocupa la

posición 26 y 27. Localizando dichos valores y aplicando la regla dos

tenemos que el segundo cuartil es Q2=

= 29.5 años

Finalmente el tercer cuartil, es el valor ubicado en la posición

, es el dato que ocupa la posición 40, Q3=38 años.

A continuación se ubican las posiciones de cada uno de los cuartiles.

10, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 20, 20, 21, 23, 24, 24, 24, 25, 25,25, 25, 26, 26, 27, 27,

27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 33,34, 35, 35, 36, 38, 38, 38, 38, 38, 45, 47, 50, 51, 54, 55,

56, 59, 63, 66, 80, 85

Es importante aclarar que existen diferentes criterios para calcular los cuartiles, ¿cuál es entonces el método correcto?, ¿cuál utilizar?, en la práctica no importa demasiado. Cuando se está interesado en conocer los valores de los cuartiles de un conjunto de datos grande, las diferencias entre los distintos métodos de cálculo son pequeñas.

a) Construcción del diagrama de caja y brazos.

Para la construcción de un diagrama de caja se siguen los siguientes pasos:

1. Se construye una escala de referencia, ya sea horizontal o vertical.

2. Se calculan los cuartiles (Q1,Q2 y Q3) y el rango intercuartílico (RI).

3. Se calculan dos valores f1 y f3 que llamaremos barreras interiores, de la

siguiente manera:

4. Se calculan los puntos a1 y a3. Llamados valores adyacentes. El punto a1

es el dato más cercano a f1 (f1 puede coincidir con un valor de los datos)

sin ser el menor de esa barrera, El punto a3 es el dato más cercano a f3

(f3 puede coincidir con un valor de los datos) pero no mayor que esa

barrera.

5. Se localizan todos los puntos en la escala horizontal o vertical, según se

haya elegido.

6. Se dibuja una caja con los extremos en el primer y tercer cuartil. Se

dibuja la mediana con una línea interior en el lugar adecuado.

7. Los valores adyacentes se unen a la caja por medio de líneas, esto

genera los brazos de las cajas.

8. Si existen datos que queden fuera de las barreras interiores, se

dibujaran con círculos abiertos. Estos datos se conocen como datos

atípicos.

4

Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a los tiempos de hospitalización, en días, después de una cirugía de cráneo.

8, 9, 9, 12, 13, 15, 15, 17, 23, 24, 21, 28, 33, 36, 37, 26, 38, 21, 45, 44, 78

Realizando los cálculos para los cuartiles se tiene:

Q1=14, Q2=23, Q3= 36;

El rango intercuatílico es RI=36-14=22, y las barreras interiores son:

f1= 14-1.5 (22)=-19, f3= 36+1.5 (22)=69

Solamente tenemos un dato que cae fuera las barreras interiores, en el lado

derecho, que es el 78. Se procede a construir el diagrama de caja, quedando

de la siguiente manera:

Tiempos de hospitalización

Del diagrama de caja podemos establecer análisis como los siguientes: El 78

es un dato atípico, el 50% de los pacientes duraron hospitalizados 23 o más

días, etc. Tenga en mente para el análisis la información que proporcionan los

cuartiles.

En el diagrama de caja se puede observar que los tiempos de hospitalización

están sesgados a la derecha. ¿Qué significa que los tiempos de

hospitalización están sesgados a la derecha? A continuación se dará

respuesta a esta interrogante.

En la figura siguiente se muestran cuatro distribuciones hipotéticas examinadas mediante sus diagramas de caja y brazos correspondientes.1

a) Cuando un conjunto de datos es perfectamente simétrico, como en la figura (a) y (d), la longitud del brazo izquierdo de la caja es igual a la longitud del brazo derecho, y la línea de la mediana dividirá a la caja en la mitad. En la práctica cuando las longitudes de los brazos son casi idénticas y la línea de la median divide a la caja casi a la mitad, se puede afirmar que un conjunto de datos es aproximadamente simétrico.

1 Información tomada Berson, Mark, Krehbiel Timoty y Levine David (2001) Estadística para

Administración. (pp. 130-131).México: Prentice Hall.

5

b) Si un conjunto de datos está sesgado a la izquierda, como se observa

en la figura (b), existe un denso agrupamiento de los datos en el extremo

alto de la escala (o en el lado derecho); 75% de los valores de los datos

se encuentran entre Q1 y el extremo del brazo derecho. Así el brazo

izquierdo de mayor longitud contiene solamente el 25 % de los datos

restantes.

c) Sí el conjunto de datos está sesgado a la derecha como en la figura (c),

la concentración o agrupamiento de los datos está en el extremo bajo de

escala (es decir, en el lado izquierdo del diagrama de caja y brazos). En

este caso, el 75% de los datos se encuentran entre el inicio del brazo

izquierdo y Q3, el 25% restante se encuentra el brazo derecho que es el

de mayor longitud.

Referencias bibliográficas

Berenson, Mark L., Timothy C Krehbiel y David M. Levin (2001). Estadística

para Administración, (pp. 1-129).México: Prentice Hall.

Glass, Gene V y Julián C Stanley (1986). Métodos Estadísticos Aplicados a

las Ciencias Sociales. (pp. 1-92). México: Prentice Hall.

EL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

Es una técnica estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor

numérico se divide en dos partes. El o los dígitos principales forman el tallo y los dígitos

secundarios las hojas. Los tallos están colocados a lo largo del eje vertical, y las hojas de

cada observación a lo largo del eje horizontal.

Ejemplo

La siguiente distribución de frecuencia muestra el número de anuncios comerciales

pagados por los 45 miembros de Greater Buffalo Automobile Dealer´s Association en

1999. Observemos que 7 de los 45 comerciantes pagaron entre 90 y 99 anuncios (pero

menos de 100). Sin embargo, ¿El numero de comerciantes pagados en esta clase se agrupan

en alrededor de 90, están dispersos a lo largo de toda clase, o se acumulan alrededor de 99?

No podemos saberlo.

# De anuncios comprados Frecuencia

80 a 90 2

90 a 100 7

100 a 110 6

110 a 120 9

120 a 130 8

130 a 140 7

140 a 150 3

150 a 160 3

sumatoria de la frecuencia= 45

Una técnica que se usa para presentar información cuantitativa en forma condensada

es el diagrama de tallo y hoja. En el ejemplo anterior no se da la identidad de los valores de

la clase de 90 a 100. Para ilustrar la construcción de un diagrama de tallo y hojas usando el

número de comerciales comprados, supongamos que las 7 observaciones en la clase de 90 a

100 sean 96, 94, 93, 94, 95, 96, 97. EL valor de tallo es el digito o dígitos principales, en

este caso el 9. Las hojas son los dígitos secundarios. EL tallo se coloca a la izquierda de una

línea vertical y los valores de las hojas a la derecha.

Los valores de las clases de 90 a 100, aparecerían como sigue:

9 | 6 4 3 4 5 6 7

Por ultimo, ordenamos los valores dentro de cada tallo de menor a mayor. El

segundo renglón del diagrama de tallo y hojas aparecería como sigue:

9 | 3 4 4 5 6 6 7

Con el diagrama de tallo y hojas podemos observar rápidamente que hubo 2

comerciantes que compraron 94 comerciales y que el número de anuncios comprados fue

desde 93 hasta 97. Un diagrama de tallo y hojas es semejante a una distribución de

frecuencia, pero con más información, esto es, valores de datos en lugar de marcas.

Diagrama de Tallo y Hoja

No puedo comenzar hablando del gráfico de Tallo y Hoja sin

referirme a su creador John Wilder Tukey.

Este Ingenioso Químico y Matemático dio su aporte a la estadística

con varias de las gráficas más usadas en el análisis de datos

exploratorio.

Sus principales contribuciones fueron:

La introducción de las modernas técnicas para estimar el espectro

de las series temporales. En 1965, en un artículo conjunto con J.

W. Cooley, publicado en la revista Mathematics of Computation,

introdujo el algoritmo de la transformada rápida de Fourier

(FFT), fundamental para crear el procesamiento digital de datos.

Fundó el Análisis Exploratorio de Datos o EDA (Exploratory

Data Analysis), una nueva aproximación a la estadística que usa

fuertemente un conjunto de técnicas basadas en el uso de

gráficos. Su libro Exploratory Data Analysis (1977) es el clásico

sobre este tema. EDA es una filosofía básicamente gráfica de

exploración de datos estadísticos. Destacan los gráficos "Box-

and-Whisker Plot" (Diagrama de caja y bigotes) , el "Stem-

and-Leaf Diagram" (Diagrama de tallo y hojas), los

“Radigramas” (rootograms) y los Diagramas de ajuste.

Entonces Continuando...

El Diagrama de Tallo y Hoja, a pesar de no ser un gráfico definitivo para

la presentación de datos, es fácil y rápido para realizar a mano, con el

se puede dar una mirada no pulida de los datos.

¿Qué podemos concluir al ver este gráfico???

1. El valor característico de la distribución (Promedio, moda,

etc)

2. La forma general de la distribución (simetría, asimetría a la

derecha, asimetría a la izquierda)

3. Grado de dispersión respecto del valor característico

4. Outlier (Observaciones individuales que se escapan del

patrón general de los datos)

5. Huecos(hoyos) en los datos

6. Cantidad de peaks

¿Cómo construirlo??

En un gráfico de tallo y hoja cada valor de datos es partido en

"un tallo" "y una hoja". "La hoja" es por lo general el último dígito del

número y los otros dígitos a la izquierda "de la hoja" forman "el tallo".

Por ejemplo, el número 136 sería partido como:

TALLO:13

HOJA: 6

1. Puede ordenar los datos de menor a mayor, esto ayudara a

la organización de los datos (Opcional)

2. Separe cada número en un tallo y una hoja.

3. Agrupe los números con los mismos tallos. Ponga los tallos

en una lista en orden creciente.

Veamos un Ejemplo con los siguientes 15 datos:

35, 36, 38, 40, 42, 42, 44, 45, 45, 47, 48, 49, 50, 50, 50

Algunos software como R, SPSS o MINITAB pueden separar el Tallo en

una parte inferior (hojas desde el cero al 4) y otra superior (hojas desde

el 5 al 9)

Este gráfico también puede ser usado para comparar dos grupos de

datos, trazando hojas al lado izquierdo y derecho del tallo.

Además facilita el calculo de cuantiles(percentiles, cuartiles, quintiles,

etc).

Su comando en R es:

>X<-c(35, 36, 38, 40, 42, 42, 44, 45, 45, 47, 48, 49, 50, 50, 50)

>stem(X)

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

3 | 568

4 | 0224

4 | 55789

5 | 000

> stem(X,scale=0.5)

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

3 | 568

4 | 022455789

5 | 000

GRAFICAS DE CAJA-BIGOTES

Los diagramas de Caja-Bigotes (boxplots o box and whiskers) son una presentación

visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la

dispersión y simetría.

Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de

los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente.

Construcción:

Comparar distribuciones

Diagrama de Caja a través de Excel

Construcción:

Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más

largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un

segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con

los cuartiles primero y tercero(recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana).

Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo

y máximo de la variable. Las lineas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos

bigotes tienen tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no

se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente.

Ejemplo distribución de edades

Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias (en tallos y hojas), que

representan la edad de un colectivo de 20 personas.

36 25 37 24 39 20 36 45 31 31

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

Ordenar los datos

Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la distribución

20 23 24 24 24 25 29 31 31 33

34 36 36 37 39 39 40 40 41 45

Calculo de Cuartiles

Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como

N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el

siguiente:

Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5

Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de la

variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; la

mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

me= Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5

Q3 , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En

nuestro caso, como 3N / 4 = 15, resulta

Q2=(39 + 39) / 2 = 39

Dibujar la Caja y los Bigotes

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( Xmín, Q1)

La primera parte de la caja a (Q1, Q2),

La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)

El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx).

Información del diagrama

Podemos obtener abundante información de una distribución a partir de estas

representaciones. Veamos alguna:

La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las

edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que

entre el 50% y el 75%.

El bigote de la izquierda (Xmím, Q1) es más corto que el de la derecha; por ello el

25% de los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores.

El rango intercuartílico = Q3 - Q1 = 14,5; es decir, el 50% de la población está

comprendido en 14,5 años.

Comparar distribuciones

La mayor utilidad de los diagramas caja-bigotes es para comparar dos o más conjuntos

de datos.

Comparación distribución de edades

Comparación entrenamientos de un corredor

Comparación clasificación liga

Comparación distribución de edades

Análogamente a lo realizado con los diagramas de tallo y hojas, comparamos,

mediante estos diagramas, esta distribución con la del otro ejemplo de distribución de

edades.

35 38 32 28 30 29 27 19 48 40

39 24 24 34 26 41 29 48 28 22

A partir de dicha comparación puede obtenerse bastante información de ambas

distribuciones.

Comparación entrenamientos de un corredor

Un corredor entrena para una determinada carrera y se toman los tiempos que

necesita para recorrer los 100m, durante 10 días consecutivos (cada día se toman varios

tiempos y se calculan mediana, cuartiles, valores mínimo y máximo)

Observamos que el desplazamiento de las gráficas de caja hacia la izquierda

indica que el entrenamiento ha dado resultado, ya que se tardan menos segundos en recorrer

la misma distancia, siendo la diferencia entre el máximo y el mínimo menor, como así

también la diferencia intercuartílica.

Comparación clasificación liga

Las puntuación de los equipos de la liga de la temporada 01/02 y 02/03 en primera

división se pueden comparar con un diagrama caja y bigotes, como aparece aquí:

Comentarios: No hay datos muy atípicos, es decir que no hay equipo que se haya

destacado por arriba o por abajo del resto de los equipos. Hay más diferencia de puntos

entre el primer y el último clasificado para la liga 02/03 que en la liga anterior. Los equipos

del tercer cuarto de la clasificación están más apelotonados en la liga 02/03.

Discusión sobre Diagramas de caja

Maestro: Ahora quisiera ayudarle con otro método de graficación que le permite

comparar diferentes categorías de datos. Se llama diagrama de caja y es de esta forma:

Cada una de las líneas verticales representa un número importante relacionado con el

conjunto de datos. La primera y la última línea (extremos izquierdo y derecho) se

trazan en los valores más bajos y más altos del conjunto. Las tres líneas que

conforman la caja se trazan en el 25%, 50%, y 75% de la línea de los datos. Estos

cinco números: el menor, el 25%, el 50%, el 75%, y el mayor se denominan un resumen de 5 números.

Estudiante: ¿Resumen de qué, de los datos?

Maestro: Correcto. Anteriormente habíamos hablado del promedio de los datos como

el promedio de todos los puntos de datos. También existe otro número ‘en la mitad’ que es importante, se llama la mediana (M)

Estudiante: Yo sé eso. La mediana es el número de la mitad del conjunto de datos. Si

usted va a ordenar el conjunto de datos de menor a mayor, sepárelos en dos grupos,

ponga el grupo de puntos de menor valor en un lado de la escala y los de mayor valor

en el otro lado de la escala. La mediana será entonces el valor del medio (o punto de

balance) si hay un número impar de puntos de datos, como en el siguiente caso: 1 1 3

7 8 8 9, donde 7 es la mediana.

Maestro: Es correcto. La cantidad de números en los dos lados de la escala es el

mismo. Pero tenga en cuenta que si tiene un número par de valores, se debe sacar el

promedio de los dos valores de la mitad, y este promedio es la mediana. Este número

no se agrega a la lista, pues es simplemente el valor de la mediana, el cual marca el cincuentavo percentil de los datos.

Recuerde que no debe confundir la mediana con el promedio. La mediana tiene que ver

con el número de puntos de datos, en tanto que el promedio tiene que ver con el valor de los puntos de datos.

Veamos ahora la división de los dos grupos nuevamente en dos, para encontrar los extremos de la caja en el diagrama de caja.

Estudiante: ¿Quiere decir dividir los datos en cuartos?

Maestro: Si. Queremos hablar de los percentiles 25 y 75 de los datos. El

veinticincoavo percentil se llama el primer cuartil (Q1) o el cuartil bajo y el

percentil 75 el tercer cuartil (Q3) o cuartil alto.

Estudiante: ¿Qué es exactamente un cuartil?

Maestro: El cuartil bajo es la mediana del primer 50% de los datos. Y el cuartil alto es la mediana del último 50% de los datos.

Estudiante: ¿Entonces es simplemente otro punto en el conjunto de datos?

Maestro: Es similar a la mediana, siempre y cuando exista un número impar de

puntos de datos en el primer, o en el último 50% de los datos. Si hay un número par

de puntos, entonces el cuartil es el promedio de los números de la mitad, igual que

cuando encontramos la mediana.

Existen dos formas de encontrar los cuartiles. Ninguno de estos métodos es

considerado un estándar sobre la forma de encontrar los cuartiles bajos y altos, así es que su respuesta definitiva dependerá del método utilizado.

Estudiante: ¿Cuáles son esos dos métodos?

Maestro: Bueno, eso depende de si la mediana es parte o no del conjunto de datos. Si

ésta no hace parte de los datos originales, simplemente use los números de un lado de

la mediana, dependiendo de cuál cuartil está tratando de calcular. Sin embargo, es un

poco difícil cuando se están tratando de calcular los cuartiles alto y bajo de un conjunto de datos, si la mediana es un número del conjunto.

Estudiante: ¿Por qué se vuelve “más difícil” el cálculo?

Maestro: Porque existen dos maneras de calcular el cuartil cuando la mediana es un

número en el conjunto de datos. Uno es incluyendo la mediana en el cálculo del cuartil

tanto superior como inferior. El otro método que se utiliza es excluyendo la mediana en

el cálculo de ambos cuartiles.

¿Se acuerda cómo se calcula la mediana?

Estudiante: Sí. Tomábamos el número de la mitad de los datos cuando el conjunto

tenía un número impar de valores, y sacábamos el promedio de los dos valores de la mitad cuando había un número par de valores en el conjunto de datos.

Maestro: Correcto, y usamos un método similar para encontrar los diferentes

cuartiles. Si en nuestros cálculos escogemos usar la mediana en conjuntos donde la

mediana es un número del conjunto, entonces para encontrar el cuartil inferior

necesitamos ver todos los dígitos, desde el valor más bajo hasta la mediana, y

entonces calcular la mediana de esos números. La mediana de la mitad inferior del

conjunto de datos es el primer cuartil. ¿Puede adivinar cómo calcularíamos el tercer cuartil?

Estudiante: Me imagino que uno tiene en cuenta todos los números desde la mediana

hasta el número más grande, se calcula su mediana y ese número será igual al tercer

cuartil. Maestro: Es correcto. ¿Tiene alguna pregunta?

Estudiante: Ya vimos cómo calcular los cuartiles cuando la mediana forma parte del

conjunto de datos, pero ¿qué sucede si la mediana no forma parte del conjunto de datos?

Maestro: ¡Buena pregunta! Si la mediana no forma parte del conjunto de datos y uno

quiere calcular el cuartil superior, entonces simplemente se calcula la mediana de los números que están en el 50% superior del conjunto de datos.

Estudiante: Y para el cuartil inferior, simplemente se encuentra la mediana del 50% inferior del conjunto de datos.

Maestro: Exactamente. ¿Me puede dar dos ejemplos de conjuntos de datos para calcular la mediana?

Estudiante: Usemos 2 6 7 10 14 15 ya que tiene un número par en el conjunto de

datos, y luego podemos usar 1 4 9 12 16 23 24 como conjunto con un número impar de

datos. La mediana para el primer conjunto es 8.5 – (saqué el promedio de 7 y 10). La mediana para el segundo conjunto es 12, que es el número de la mitad.

Maestro: Bien ahora para los cuarteles. Para 2 6 7 10 14 15 el primer cuartil es 6 y el tercer cuartil es 14.

Estudiante: Correcto, ya entendí. Voy a ensayar ahora con el otro conjunto: 1 4 9 12

16 23 24. Si incluyo la mediana para calcular los cuartiles, entonces el primer cuartil es

el promedio de 4 y 9, o sea 6.5, y el tercer cuartil es el promedio de 16 y 23, o sea

19.5. Si no incluyo la mediana para calcular los cuartiles, entonces el cuartil bajo es 4 y el cuartil alto es 23.

Maestro: ¡Correcto! Hasta aquí hemos calculado la mediana, el primer cuartil, y el

tercer cuartil para el segundo conjunto de datos. ¿Qué más necesitamos para

completar nuestro resumen de cinco números?

Estudiante: Los valores más altos y los más bajos del conjunto de datos.

Maestro: Nuevamente muy bien. Luego usamos esos cinco números para dibujar nuestro diagrama de caja.

Estudiante: De acuerdo.

Bajo 1

Primer cuartil (Q1) 6.5

Mediana (Q2) 12

Tercer cuartil (Q3) 19.5

Alto 24

Maestro: El último par de números que son de interés son los rangos. El rango del

conjunto de datos es el valor más alto, menos el valor más bajo. El rango intercuartil

es cuando se resta el primer cuartil del tercer cuartil. ¿Sabe qué representa el rango

intercuartil?

Estudiante: El rango central de datos correspondientes al 50%.

Maestro: Correcto y ese rango central determina el largo de la caja. Entonces para el conjunto de datos 1 4 9 12 16 23 24 aquí está nuestro diagrama de caja:

© Copyright 1997-2005 The Shodor Education Foundation, Inc.

© Copyright 2005-2007 Traducción al Español - Fundación Gabriel Piedrahita Uribe

En esta lección

● Encontrarás e interpretarás la media, la mediana, y la moda para unosconjuntos de datos

● Crearás e interpretarás las gráficas de caja para unos conjuntos de datos

Para facilitar el entendimiento y la interpretación de un conjunto grande de datos,puedes presentar los valores en una gráfica y calcular las medidas numéricas, oestadísticas, que resumen los datos.

La media, la mediana, y la moda son estadísticas que dan una indicación delvalor típico de un conjunto de datos. Probablemente hayas aprendido sobre estasmedidas de tendencia central en anteriores cursos de matemáticas. Repasa estasmedidas, trabajando el Ejemplo A en tu libro y después, leyendo, el resto de lapágina 78. Aquí tienes un resumen de los puntos claves:

● La media, que a menudo se representa con el símbolo x�, es la suma de losvalores de los datos dividida entre el número de valores de datos.

● La mediana es el valor de en medio (si hay un número impar de valores) ola media de los dos valores de en medio (si hay un número par de valores)cuando los datos se colocan en orden.

● La moda es el valor que se presenta con más frecuencia.

● Cuando un conjunto de datos tiene uno o más valores que se apartan muchodel resto, por lo general la mediana es la mejor medida de lo que es típico,en lugar de la media.

● El símbolo �n

i�1

xi significa x1 � x2 � x3 � · · · � xn, donde x1, x2, . . . , xn

son los valores de dato individuales. Por tanto, la fórmula para la media den valores de datos es

x� �

● La recolección de datos de una muestra aleatoria (random sample) ayuda aasegurar que los datos no sean sesgados, o injustos.

Una buena descripción de un conjunto de datos incluye una medida de latendencia central, junto con información sobre la forma y la dispersión de losdatos. Una gráfica de caja es una herramienta útil para mostrar la forma y la

�n

i�1

xi

�n

Medidas de la tendenciacentral y las gráficas de caja

L E C C I Ó N

2.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 17©2004 Key Curriculum Press

(continúa)

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Lección 2.1 • Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja (continuación)

dispersión de los datos. A continuación se presenta una gráfica de caja de losdatos sobre las mochilas en tu libro.

Los segmentos que se salen de la “caja” se llaman “bigotes” (“whiskers”). Unagráfica de caja divide los datos en cuatro partes iguales. El bigote izquierdo, laparte izquierda de la caja, la parte derecha de la caja, y el bigote derechorepresentan cada uno un cuarto de los datos.

El resumen de cinco números da los valores de los puntos claves de una gráficade caja. El resumen de cinco números para los datos de las mochilas es 3, 7, 9,10, 33. Los cinco números son el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana,el tercer cuartil, y el valor máximo, respectivamente.

Para ayudarte a entender mejor las gráficas de caja, trabaja el Ejemplo B entu libro.

Los estadísticos usan la palabra forma para describir cómo se distribuyen los datos con relación a la posición de la medida de tendencia central. Los datossimétricos están balanceados o casi balanceados en el centro. Los datos sesgados(skewed) están distribuidos más hacia un lado del centro que hacia el otro.

Investigación: Tasas de pulsoLa investigación en tu libro implica la recolección de las tasas de los pulsos detodos los estudiantes del grupo. Si esto no es posible, usa los datos siguientes.

Pulso en reposo: 68, 76, 84, 80, 76, 72, 60, 68, 68, 80, 68, 80, 64, 64, 72, 76, 72,68, 56, 88, 80, 76, 68, 56, 64, 60, 92, 72, 84, 72

Pulso después del ejercicio: 148, 136, 157, 151, 121, 139, 137, 129, 127, 129,155, 141, 133, 153, 161, 153, 127, 135, 144, 146, 136, 131, 133, 159, 127, 142,133, 150, 164, 161

Para hallar el resumen de cinco números de los datos del pulso en reposo,empieza por ordenarlos.

56, 56, 60, 60, 64, 64, 64, 68, 68, 68, 68, 68, 68, 72, 72, 72, 72, 72, 76, 76, 76, 76,80, 80, 80, 80, 84, 84, 84, 88, 92

El valor mínimo de estos datos es 56 y el máximo es 92. Existen 30 valoresen el conjunto de datos, de modo que la mediana es la media de los valoresdécimoquinto y décimosexto, que es 72. El primer cuartil es la mediana de losprimeros 15 valores, es decir, 68. El tercer cuartil es la mediana de los 15 valoresmás altas, es decir 80.

Datos simétricos

Datos sesgados

5 10 15 20 3025

Peso (lb)0 35

MedianaMínimo MáximoQ1 Q3

El mínimo, Q1, la mediana, Q3, y el máximo se conocen colectivamente como el resumen de cinco números.

El borde derecho de la caja es el tercer cuartil, Q3, que es la mediana de los valores que están por encima de la mediana.

El borde izquierdo de la caja es el primer cuartil, Q1, que es la mediana de los valores que están por debajo de la mediana.

18 CHAPTER 2 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2004 Key Curriculum Press

(continúa)

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Así pues, el resumen de cinco números de la muestra de los datos de pulsos enreposo es 56, 68, 72, 80, 92. Siguiendo el mismo proceso, puedes determinar queel resumen de cinco números de la muestra de los pulsos después del ejercicioes 121, 133, 140, 153, 164. Usa los resúmenes de cinco números para construirlas gráficas de caja. Usando una escala de 50 a 170, podrás presentar ambosconjuntos de datos en el mismo eje.

He aquí unas conclusiones a las que puedes llegar a partir de las gráficas de caja.Trata de llegar a un mínimo de tres conclusiones más, por tu propia cuenta.

● El pulso mínimo después del ejercicio es de casi 30 latidos por minuto más queel pulso máximo en reposo.

● Ambos conjuntos de datos están sesgados, y los pulsos mayores que la medianaestán más dispersos que los pulsos menores que la mediana.

● La mediana de los pulsos después del ejercicio es casi el doble que los pulsos enreposo.

Pulso (latidos por minuto)50 70 90 110 130 150 170

Ejercicio

En reposo

Lección 2.1 • Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja (continuación)

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 19©2004 Key Curriculum Press

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Medidas de dispersión

En esta lección

● Encontrarás las medidas de dispersión de un conjunto de datos

● Encontrarás e interpretarás la desviación estándar de un conjunto de datos

● Usarás el alcance intercuartil (IQR) para identificar los externos de unconjunto de datos

Ambos conjuntos de datos que presentamos a continuación tienen una mediade 16 y una mediana de 16. Sin embargo, los dos conjuntos son claramentediferentes. Específicamente, los valores del primero conjunto de datos estánagrupados bastante cerca de las medidas centrales, mientras que en el segundoconjunto los valores están más dispersos.

Conjunto 1: 14, 14, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 18

Conjunto 2: 0, 2, 4, 8, 14, 18, 24, 24, 30, 36

Estos conjuntos de datos evidencian que una medida central por sí sola noda una visión completa de un conjunto de datos. En esta lección aprenderásalgunas maneras de describir la variabilidad, o dispersión (spread), de unconjunto de datos.

Investigación: Un buen diseñoEn esta investigación llevarás a cabo varios ensayos de un experimento. Si tuexperimento está bien diseñado y lo llevas a cabo de manera consistente, debesobtener un resultado parecido en cada ensayo.

Realiza uno de los dos experimentos descritos en tu libro. Aquí usaremos lamuestra de datos del Experimento del lanzamiento de bandas elásticas, pero túdebes seguir con tus propios datos.

Muestra de datos de las bandas elásticas (cm): 182.2, 135.9, 187.6, 162.5, 150.0,186.5, 180.0

Paso 1 Calcula la distancia media de tus ensayos. Para la muestra, la media es169.2 cm.

Paso 2 Resta la media de cada valor del conjunto de datos. Para la muestra,las diferencias son 13.0, �33.3, 18.4, �6.7, �19.2, 17.3, y 10.8, respectivamente.Estos valores te dan una idea del nivel de control existente en la planificación detu experimento. Si la mayor parte de las diferencias se acerca a 0, significa quefuiste capaz de realizar los intentos de forma consistente, obteniendo un resultadoparecido en cada ocasión.

Trata de encontrar una manera de calcular un solo valor que indica el nivel deconformidad entre tus resultados. Una posibilidad es encontrar el promedio de losvalores absolutos de las diferencias. Para esta muestra de datos, el valor es 17.0,lo que indica que, como promedio, cada valor se sitúa a 17 cm de la media.

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2.2CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 2 21©2004 Key Curriculum Press

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Lección 2.2 • Medidas de dispersión (continuación)

Paso 3 La desviación estándar es una medida de la dispersión de los datos conrespecto a la media. Descubre cómo usar tu calculadora para hallar la desviaciónestándar de un conjunto de datos (consulta Calculator Note 2B). Después,introduce los resultados de tu experimento y calcula la desviación estándar. Paraesta muestra de datos, la desviación estándar es 20.2 cm.

Paso 4 Antes de leer el texto siguiente, intenta encontrar una fórmula o unprocedimiento para hallar la desviación estándar sin calculadora. (Sugerencias:Una desviación es una diferencia entre un valor de datos y la media del conjuntode datos. La desviación estándar implica elevar al cuadrado y sacar la raízcuadrada).

Para calcular la desviación estándar, sigue estos pasos:

1. Encuentra las desviaciones restando la media de cada valor. (Ya hiciste esto enel Paso 2.) Para esta muestra de datos, las desviaciones son 13.0, �33.3, 18.4,�6.7, �19.2, 17.3, y 10.8.

2. Eleva al cuadrado cada desviación. Para esta muestra, los resultados son 169,1108.9, 338.56, 44.89, 368.64, 299.29, y 116.64.

3. Encuentra la suma de las desviaciones cuadradas. Para esta muestra, la sumaes 2445.91.

4. Divide la suma de las desviaciones cuadradas entre el número de datos menosuno. Este valor se llama la varianza de los datos. Para esta muestra, lavarianza es 407.65.

5. Saca la raíz cuadrada del resultado del paso anterior. El resultado es ladesviación estándar. Para la muestra, la desviación estándar es 20.2 cm.

Estos pasos para calcular la desviación estándar, s, pueden resumirse en una solafórmula:

s ���donde xi representa los valores individuales de los datos, n es el número devalores, y x� es la media.

Paso 5 Repite el experimento y obtén otro conjunto de siete u ocho ensayos.Mientras trabajas, sé lo más cuidadoso y consistente posible. Calcula la desviaciónestándar de los resultados. ¿Cómo se compara la desviación estándar del segundoconjunto de ensayos con la desviación estándar del primer conjunto? ¿Realizastelos ensayos de una manera más consistente la segunda vez?

Lee el texto en las páginas 87–89 de tu libro hasta el ejemplo, y asegúrate de quelo entiendes. Después encuentra la desviación estándar e identifica los externos(outliers) siguiendo el ejemplo en tu libro.

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i�1�xi � x��2

��n � 1

22 CHAPTER 2 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

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Histogramas y grados percentiles

En esta lección

● Construirás e interpretarás unos histogramas

● Encontrarás el grado percentil de un valor

● Aplicarás todas las estadísticas y gráficos que has aprendido para analizar unconjunto de datos

Un histograma muestra cómo se distribuyen los datos numéricos en diferentesintervalos, lo cual te da una visión clara de los agrupamientos y los vacíosexistentes en el conjunto de datos. Las columnas, llamadas barras (bins), de unhistograma indican cuántos valores de datos caen dentro de un intervalo dado.

El nivel de detalle mostrado en un histograma depende del ancho de las barras.Estos dos histogramas muestran los datos de las mochilas de la Lección 2.1.

El ancho de barra del gráfico a la izquierda es 6, mientras que el a la derecha es 3.Cada barra incluye el valor mínimo (de la izquierda), pero no el valor máximo(de la derecha). Así, por ejemplo, la segunda barra del histograma a la izquierdaincluye las mochilas que pesan 6 libras, pero no las que pesan 12 libras. Unamochila de 12 libras estaría contenida en la tercera barra.

El histograma a la derecha proporciona más detalles sobre la distribución que elhistograma a la izquierda. Por ejemplo, del histograma a la izquierda puedes verque hay cuatro mochilas que pesan menos de 6 libras. El histograma a la derechamuestra que cada una de estas cuatro mochilas pesa al menos 3 libras.

EJEMPLO Considera los histogramas anteriores.

a. ¿Cuál es el número total de mochilas representadas por los histogramas?

b. Describe la forma en que cada histograma muestra los agrupamientos y losvacíos en los datos.

c. Usa el histograma a la izquierda para determinar el intervalo que incluyeel peso mediano. Ahora usa el histograma a la derecha para determinar elintervalo que incluye la mediana. ¿Cuál histograma te da una estimación másprecisa de la mediana?

d. ¿Qué porcentaje de las mochilas pesa menos de 9 libras?

0 126 2418 3630

Peso de las mochilas (lb)

Nú

mer

o d

e m

och

ilas

2

0

4

6

8

10

12

0 12 24 36

Peso de las mochilas (lb)

Nú

mer

o d

e m

och

ilas

2

0

4

6

8

10

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2.3CONDENSADA

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Lección 2.3 • Histogramas y grados percentiles (continuación)

� Solución a. Usa cualquiera de los dos histogramas y suma el número de mochilas en cadabarra. Con el histograma a la izquierda, obtienes 4 � 19 � 5 � 1 � 1 � 30.Entonces, hay 30 mochilas representadas. (Verifica esta respuesta sumando lasfrecuencias de las barras en el histograma a la derecha.)

b. El histograma a la izquierda muestra que los pesos más comunes se encuentranentre 6 y 12 libras, que todas las mochilas, excepto dos, pesan menos de18 libras, y que ninguna pesa entre 24 y 30 libras. El histograma a la derechamuestra que los pesos más comunes se encuentran entre 9 y 12 libras, quetodas las mochilas, excepto siete, pesan entre 3 y 12 libras, y que ningunamochila pesa entre 21 y 33 libras.

c. Existe un total de 30 valores, de modo que la mediana se ubica entre losvalores 15° y 16°. En el histograma a la izquierda, el valor mediano seencuentra en la segunda barra, en la que se incluyen valores mayores queo iguales a 6 libras, y siempre menores que 12 libras. En el histograma ala derecha, la mediana se ubica en la cuarta barra, en la que se incluyenvalores mayores que o iguales a 9 libras y siempre menores que 12 libras.El histograma de la derecha da una estimación más precisa.

d. Usa el histograma a la izquierda porque tiene una barra con un valor final de9. Suma las frecuencias de las barras a la izquierda de 9. Obtienes 4 � 8 � 12.Así pues, �

13

20�, ó 40%, de las mochilas pesan menos de 9 libras.

Trabaja ahora el Ejemplo A en tu libro. Asegúrate que entiendes cómo crear unhistograma en tu calculadora.

El grado percentil (percentile rank) de un valor expresa el porcentaje de valoresque están debajo de ese valor. En la parte d del ejemplo anterior, el 40% de lasmochilas pesan menos de 9 libras, y por tanto, una mochila que pesa 9 librastiene un grado percentil de 40. Trabaja el Ejemplo B en tu libro para practicarlos percentiles y las desviaciones estándar.

Investigación: Comida a la carreraEn la investigación en tu libro se tepide que lleves a cabo un análisisestadístico sobre el valornutricional de los productosde comida rápida. Lee lainvestigación atentamentey después realiza tu análisisestadístico.

Si decides analizar el contenido degrasa en los productos, deberíasconsiderar estos estadísticas y gráficos.

24 CHAPTER 2 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2004 Key Curriculum Press

Todos losproductos Hamburguesas Pollo Pescado

Media �18.7 �15.6 �15.1 �27.5

Mediana 18 13 14 26.5

Desviaciónestándar �9.4 �6.2 9.3 8.7

Grasa (gramos)0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

Pescado

Pollo

Hamburguesas

Todos losproductos

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Matemáticas y su Didáctica para Maestros

ESTOCÁSTICA Y SUDIDÁCTICA PARA

MAESTROS

Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/Manual para el Estudiante Edición Febrero 2002

Carmen Batanero Juan D. Godino

Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

ESTOCÁSTICA Y SU DIDÁCTICA

PARA MAESTROS

Carmen Batanero Juan D. Godino

Estocástica y su didáctica

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ESTOCÁSTICA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS Los autores Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Ciencias de la Educación Universidad de Granada 18071 Granada ISBN: 84-932510-0-3 Depósito Legal: gr339-2002 Impresión: ReproDigital. C/ Baza, 6. La Mediana. Polígono Juncaril. Albolote. 18220-Granada. Distribución en Internet: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Publicación realizada en el marco del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología, BSO2002-02452.

Índice

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Página

Índice Capítulo 1: ESTADÍSTICA A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre estadística en primaria ....................................... B: Conocimientos matemáticos 1. Estadística y sus aplicaciones

1.1.¿Qué es la estadística? ....................................................................................... 1.2. Breves notas históricas ..................................................................................... 1.3. Panorama actual ............................................................................................... 1.4. Estudios estadísticos ........................................................................................

2. Variables estadísticas. Tablas y gráficos 2.1. Población, individuos y caracteres ................................................................... 2.2. Tipos de estudios estadísticos. Censos y muestras extraidas de una población 2.3. Variables estadísticas ....................................................................................... 2.4. Tablas de frecuencias ....................................................................................... 2.5. Gráficos estadísticos ......................................................................................... 2.6. Agrupación de variables en intervalos ............................................................. 2.7. Representación gráfica de frecuencias acumuladas ......................................... 2.8. Gráfico del tronco ............................................................................................

3. Características de posición central y dispersión de una distribución de frecuencias 3.1. Medidas de tendencia central .......................................................................... 3.2.Características de dispersión .............................................................................

4. Taller de matemáticas .................................................................................................. C. Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares

1.1. La estadística en la sociedad y la enseñanza obligatoria ............................. 1.2. Diseño curricular base del MEC ................................................................. 1.3. Principios y estándares para la matemática escolar del NCTM .................

2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje .................................................. 3. Situaciones y recursos

3.1. Investigaciones y proyectos ........................................................................ 3.2. Datos y fuentes de datos .............................................................................. 3.3. Recursos en Internet ....................................................................................

4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación 4.1. Comprensión de tablas y gráficos estadísticos ............................................ 4.2. Medidas de posición central ........................................................................ 4.3. Características de dispersión ....................................................................... 4.4. Ítemes de evaluación ...................................................................................

5. Taller de didáctica 5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didáctica ........................ 5.2. Análisis de respuestas a tareas de evaluación .............................................

Bibliografía ...............................................................................................

699

701 701 702 702

703 704 704 705 707 708 710 710

713 715 715

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Estocástica y su didáctica

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Capítulo 2: Probabilidad A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre probabilidad en primaria ..................................... B: Conocimientos matemáticos 1. Fenómenos estocásticos

1.1. Azar y lenguaje ........................................................................................................ 1.2. El azar en la realidad ...............................................................................................

2. Probabilidad. Asignación subjetiva de probabilidades 2.1. Experimento y suceso aleatorio ........................................................................ 2.2. Suceso seguro e imposible ................................................................................ 2.3. Asignación de probabilidades subjetivas .......................................................... 2.4 Probabilidad, como grado de creencia ..............................................................

3. Estimación de probabilidades a partir de las frecuencia relativas 3.1. Frecuencia absoluta y relativa. Estabilidad de las frecuencias relativas .......... 3.2. Estimación frecuencial de la probabilidad ........................................................ 3.3. Simulación de experimentos aleatorios .............................................................

4. Asignación de probabilidades. Regla de Laplace ......................................................... 5. Probabilidades en experimentos compuestos ...............................................................

5.1. Resultados de un experimento compuesto .................................................... 5.2. Cálculo de probabilidades a partir del diagrama en árbol ............................ 5.3. Experimentos dependientes e independientes ..............................................

6. Taller de matemáticas .................................................................................................. C. Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares

1.1. Diseño curricular base del MEC .................................................................. 1.2. Principios y estándares para la matemática escolar del NCTM ..................

2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1. La intuición del azar .................................................................................... 2.2. La estimación de la frecuencia relativa ........................................................ 2.3. Estimación de posibilidades y noción de probabilidad ................................

3. Situaciones y recursos 3.1. Juegos y sorteos ............................................................................................ 3.2. Experimentación y estimación frecuencial de probabilidades ..................... 3.3. Construcción de dispositivos aleatorios ....................................................... 3.4. Recursos en Internet .....................................................................................

4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación ........................................... 5. Taller de didáctica

5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ........................ 5.2. Análisis de ítemes de evaluación .................................................................. 5.3. Análisis de entrevistas a niños ......................................................................

Bibliografía ..........................................................................................................

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Proyecto Edumat-Maestros

Director: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Estocástica y su Didáctica para Maestros

Capítulo 1:

ESTADÍSTICA

C. Batanero y J. D. Godino

698

Estadística

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A: Contextualización Profesional

ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ESTADÍSTICA EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: 1) Resuelve los problemas propuestos. 2) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la

solución. 3) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les atribuyes

(fácil, intermedio, difícil). 4) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la

tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. 5) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los

alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.

6) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.

Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria 1. Lee este texto y completa la tabla, en tu cuaderno, con el número de veces que aparece cada letra vocal. "UN SOL PARA CONOCER. UNA LUNA PARA SENTIR. UN LIBRO PARA APRENDER. UN MUNDO PARA VIVIR" - Representa los datos en un diagrama de barras. - ¿Cuántas letras vocales tiene el texto? - ¿Qué letra vocal es la moda en el texto? - Haz otra tabla para las consonantes y complétala - ¿Cuántas letras son consonantes? - ¿Qué letra consonante es la moda?

VOCALES FRECUENCIA

2. En este diagrama de barras se ha representado el número de hermanos que tienen los alumnos y alumnas de la clase de 6º. ¿Cuántas personas tienen un solo hermano? ¿Y cinco hermanos? ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en 6º? 3. El gasto mensual en electricidad de una familia en el último año ha sido el siguiente: E F M A My J Jl Ag S O N D 3.500 3.278 4.251 3.740 3.125 3.470 2.432 2.560 3.680 2.549 4.578 4.689

Número de hermanos

543210

F

recu

en

cia

s

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

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¿Cuál ha sido el gasto medio mensual? ¿Y el gasto medio diario? 4. La familia López ha recorrido esta semana las siguientes distancias: 3 km, 4 km, 5 km, 7 km, 6 km, 10 km u 8 km. ¿Qué media de kilómetros diarios ha hecho? 5. Construye un diagrama de barras para cada una de estas tablas de frecuencias

Colores Nº de coches ROJO 38 BLANCO 50 NEGRO 26 GRIS 20 AMARILLO 6

Equipos Puntos LEONES 20 OSOS 35 GUEPARDOS 25 GACELAS 40

6. Este histograma representa las alturas de un grupo de personas. - ¿Cuántas personas miden menos de 155 cm? ¿Y más de 155 cm? - ¿Cuántas personas forman el intervalo de mayor altura? 7. Los resultados, en centímetros, de la prueba de salto "a pies juntos" fueron: 167 150 190 153 120 186 130 142 181 163 146 183 171 136 184 151 149 136 146 139 142 107 167 155 Completa la tabla y construye un histograma. 8. La actividad profesional de las personas de una ciudad se ha representado en este gráfico de sectores. • ¿A qué actividad profesional se dedica el mayor

número de personas de esa ciudad? • Si las personas que trabajan son 20.000, 8.000 y

12.000, dí qué número corresponde a cada actividad.

9. En esta gráfica están representados los goles marcados en el primer tiempo de un partido de balonmano.

• ¿Cuál era el resultado en el minuto 5? • ¿En qué minuto iban empatados a goles? • ¿Qué equipo iba ganando en el primer tiempo?

Nº de personas ENTRE 0 y 120 ENTRE 121 y 150 ENTRE 151 y 180 MÁS DE 180

Servicios

Agricultura

Ganadería e industria

T I E M P O

30 25 20 15 10 5 0

Nº

DE

GO L

E S

8

6

4

2

0

LOCAL VISITANT

altura

Frec

uenc

ia

150 155 160 165 170 175 1800

4

8

12

16

20

Estadística

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B: Conocimientos Matemáticos

1. ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES

1.1.¿Qué es la estadística?

Son muchas las definiciones posibles de estadística, y entre ellas hemos elegido las dos siguientes que reflejan bien las características de esta ciencia:

"La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de colectivo. Está caracterizada por una información acerca de un colectivo o universo, lo que constituye su objeto material; un modo propio de razonamiento, el método estadístico, lo que constituye su objeto formal y unas previsiones de cara al futuro, lo que implica un ambiente de incertidumbre, que constituyen su objeto o causa final.1 La estadística es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la estadística es el razonamiento a partir de datos empíricos. La estadística es una disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la Matemática. Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección de métodos.2

1.2. Breves notas históricas Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado

pruebas de recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china (aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Números aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que precisamente fue un censo lo que motivó del viaje de José y María a Belén, según el Evangelio. Los censos propiamente dichos eran ya una institución el siglo IV a.C. en el imperio romano.

Sin embargo, sólo muy recientemente la estadística ha adquirido la categoría de ciencia. En el siglo XVII surge la Aritmética política, desde la escuela alemana de Conring, quien imparte un curso con este título en la universidad de Helmsted. Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis de datos numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya los elementos básicos del método estadístico. Para los aritméticos políticos de los siglos XVII y XVIII la estadística era el arte de gobernar; su función era la de servir de ojos y oídos al gobierno.

La proliferación de tablas numéricas permitió observar la frecuencia de distintos sucesos y el descubrimiento de leyes estadísticas. Son ejemplos notables los estudios de Graunt sobre tablas de mortalidad y esperanza de vida a partir de los registros estadísticos de Londres desde 1592 a 1603, o los de Halley entre 1687 y 1691 para resolver el problema de las rentas vitalicias en las compañías de seguros. En el siglo

1 Cabriá, S. (1994). Filosofía de la estadística. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Valencia. 2 Moore, D. S. (1991). Teaching Statistics as a respectable subject. En F. Gordon y S. Gordon (eds.),

Statistics for the Twenty-First Century, (pp. 14-25). Mathematical Association of America.

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XIX se descubren las leyes de los grandes números con Bernouilli y Poisson.

Otro problema que recibe gran atención por parte de los matemáticos de su tiempo, como Euler, Simpson, Lagrange, Laplace, Legendre y Gauss es el del ajuste de curvas a los datos. La estadística logra con estos descubrimientos una relevancia científica creciente, siendo reconocida por la British Association for the Advancement of Science, como una sección en 1834, naciendo así la Royal Statistical Society. En el momento de su fundación se definió la estadística como "conjunto de hechos, en relación con el hombre, susceptibles de ser expresados en números, y lo suficiente numerosos para ser representados por leyes".

Se crearon poco a poco sociedades estadísticas y oficinas estadísticas para organizar la recogida de datos estadísticos; la primera de ellas se creó en Francia en 1800. Como consecuencia, fue posible comparar las estadísticas de cada país en relación con los demás, para determinar los factores determinantes del crecimiento económico y comenzaron los congresos internacionales, con el fin de homogeneizar los métodos usados. El primero de ellos fue organizado por Quetelet en Bruselas en 1853. Posteriormente, se decidió crear una sociedad estadística internacional, naciendo en 1885 el Instituto Internacional de Estadística (ISI) que, desde entonces celebra reuniones bianuales. Su finalidad específica es conseguir uniformidad en los métodos de recopilación y obtención de resultados e invitar a los gobiernos al uso correcto de la estadística en la solución de los problemas políticos y sociales. En la actualidad el ISI cuenta con 5 secciones, una de las cuales, la IASE, fundada en 1991, se dedica a la promoción de la Educación Estadística.

1.3. Panorama actual

Aunque es difícil dividir la estadística en partes separadas, una división clásica hasta hace unos años ha sido distinguir entre estadística descriptiva y estadística inferencial.

La estadística descriptiva tiene como fin presentar resúmenes de un conjunto de datos y poner de manifiesto sus características, mediante representaciones gráficas. Los datos se usan para fines comparativos, y no se usan principios de probabilidad. El interés se centra en describir el conjunto de datos y no se plantea el extender las conclusiones a otros datos diferentes o a una población.

La inferencia estadística, por el contrario, estudia los resúmenes de datos con referencia a un modelo de tipo probabilístico. Se supone que el conjunto de datos analizados es una muestra de una población y el interés principal es predecir el comportamiento de la población, a partir de los resultados de la muestra.

Las capacidades de cálculo y representación gráfica de los ordenadores actuales permiten la obtención de una amplia variedad de gráficos y cálculos estadísticos de una forma sencilla y han hecho posible la aparición de una nueva filosofía en los estudios estadísticos: el análisis exploratorio de datos, introducido por Tukey. Es una perspectiva intermedia entre la estadística descriptiva y la inferencia y se da un papel importante a la visualización por medio de diferentes gráficos.

1.4. Estudios estadísticos La estadística se ocupa del diseño de estudios en los que sea necesario la recogida de datos, el análisis de estos datos, y la predicción o toma de decisiones a partir de los resultados. El siguiente ejercicio muestra un ejemplo de los tipos de predicciones que podemos hacer usando la estadística.

Estadística

703

Ejercicios 1. Se toma una caja con 100 bolas blancas y el profesor sustituye r de ellas por bolas negras sin que los alumnos vean cuántas ha sustituido. Por turno cada uno de los alumnos con los ojos cerrados toma 10 bolas de la caja y rellena la ficha siguente: Nombre------------ Nümero de bolas negras en la muestra Porcentaje de bolas negras en la muestra Estimación del número de bolas negras en la caja 2. El profesor en la pizarra completa con ayuda de los alumnos el siguiente gráfico de puntos. Se coloca un punto encima del valor del número de bolas negras en la muestra de 10, para cada uno de los alumnos.

Nümero de bolas negras en la muestra de 10 bolas

______________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. ¿Cuál será la mejor estimación del porcentaje de bolas negras en una muestra típica de 10 bolas? ¿Cuál será la mejor estimación del número de bolas negras en la caja? Finalmente se comprueba la fiabilidad de la estimación contando las bolas negras en la caja. 2. VARIABLES ESTADÍSTICAS. TABLAS Y GRÁFICOS 2.1. Población individuos y caracteres Proyecto 1. ¿Cómo son los alumnos de la clase? Objetivo: Se trata de elaborar un perfil de los alumnos, identificando el alumno típico y analizando si hay diferencias entre el chico y la chica típicos. Datos: Se preparará una lista de las características de los alumnos que queremos estudiar analizando las diferentes formas en que podrían obtenerse los datos: • Por simple observación: como el sexo, color de pelo y ojos, si usa o no gafas; • Se requiere una medición: como el peso, talla o longitud de brazos extendidos; • Habría que preguntar a los alumnos; es decir realizar una pequeña encuesta: número de

hermanos, cómo viene al instituto; cuánto deporte practica, etc. Los datos serán recogidos por los propios alumnos, mediante las diversas técnicas

señaladas. Se requerirá un metro y una báscula, para tomar datos de los alumnos con un mismo instrumento. Se prepara una ficha como la siguiente para recoger datos de cada uno de los alumnos de la clase:

SEXO: ¿HACES DEPORTE? (Nada, poco, mucho): PESO (kg.): ALTURA (cm.): LONGITUD DE LOS BRAZOS EXTENDIDOS EN CRUZ (cm.): NUMERO DE CALZADO: PESETAS QUE LLEVA EN ESTE MOMENTO EN EL BOLSILLO:

Una población (o universo) es el conjunto total de objetos que son de interés

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para un problema dado. Los objetos pueden ser personas, animales, productos fabricados, etc. Cada uno de ellos recibe el nombre de elemento (o individuo) de la población. En el proyecto 1 recogemos datos de diferentes variables para los alumnos de la clase. Cada alumno de la clase es un elemento de la población clase. Generalmente, en un estudio estadístico, estamos interesados en analizar algún aspecto parcial de los individuos que componen la población; por ejemplo, si se trata de personas, puede que nos interese, la altura, el peso, el color del pelo, el sueldo mensual que recibe, la opinión que le merece el partido que gobierna, etc. Estos aspectos parciales reciben el nombre de caracteres de los elementos de una población y son, por su naturaleza, variables, de forma que en distintos individuos pueden tomar valores o modalidades diferentes. Las variables de los estudios estadísticos reciben el nombre de variables estadísticas. Ejercicios: 4. ¿Cuáles son las posibles modalidades de las variables recogidas en la clase, cuyos datos se incluyen en la tabla 1? 5. Sugiere otras variables que podrías recoger en este proyecto y analiza sus modalidades. 2.2. Tipos de estudios estadísticos. Censos y muestras extraídas de una población El principal objetivo del análisis estadístico es conocer algunas de la propiedades de la población que interesa. Si la población es finita, el mejor procedimiento será la inspección de cada individuo (siempre que esto sea posible). Un estudio estadístico realizado sobre la totalidad de una población se denomina censo. Como todos recordais el último censo se ha llevado a cabo el año 2001. Sin embargo, la mayoría de los problemas de interés, implican, bien poblaciones infinitas, o poblaciones finitas que son difíciles, costosas o imposibles de inspeccionar. Esto obliga a tener que seleccionar, por procedimientos adecuados, un subconjunto de n elementos de la población, que constituyen una muestra de tamaño n, examinar la característica que interesa y después generalizar estos resultados a la población. Esta generalización a la población se realiza por medio de la parte de la Estadística que se conoce con el nombre de Inferencia Estadística. Por ejemplo, el día que se hizo la recogida de datos de la clase, se obtuvieron datos de 60 alumnos, aunque había en total 94 alumnos matriculados. El análisis de los datos de esta muestra puede servir, sin embargo, para sacar conclusiones de toda la clase. Para que estas conclusiones ofrezcan las debidas garantías es preciso comprobar que se cumple el requisito básico de que la muestra sea representativa. Los distintos métodos de selección de muestras representativas de una población se conocen con el nombre de métodos de muestreo. La infomación estadística se puede usar también para estimar probabilidades de sucesos relativos a la población de interés. Tabla 1: Datos sobre los alumnos n. sexo deporte peso altura longitud calzado ptas n. sexo deporte peso altura longitud calzado ptas

1 2 2 59 161 160 37 770 2 1 1 62 178 181 41 385 3 2 2 50 159 153 36 500 4 1 2 69 176 179 42 325 5 1 2 74 175 179 43 740

31 2 2 58 164 166 38 125 32 1 3 86 191 180 46 60 33 1 1 70 161 185 44 625 34 1 1 64 166 171 40 310 35 2 3 64 166 155 38 0

Estadística

705

6 2 3 62 169 165 37 2600 7 2 2 56 162 158 36 250 8 2 2 58 162 163 37 225 9 2 1 52 170 171 38 501 10 1 1 68 170 172 42 5450 11 1 3 72 184 185 43 7500 12 1 2 74 180 182 42 1785 13 1 2 66 175 177 41 0 14 2 2 60 170 168 38 200 15 2 1 60 165 161 38 4400 16 2 3 55 163 160 36 700 17 2 2 60 167 165 37 120 18 2 2 50 167 165 37 700 19 2 2 52 160 157 35 2016 20 2 1 53 164 160 37 875 21 2 2 58 163 166 38 285 22 2 2 74 175 178 40 560 23 2 2 63 173 180 39 3010 24 2 2 60 161 164 38 500 25 2 2 53 162 162 37 1000 26 1 3 82 174 180 41 275 27 1 2 68 178 180 42 175 28 2 1 64 172 175 37 690 29 2 2 65 165 165 40 605 30 2 1 46 160 158 37 5135 Sexo: 1= hombre; 2= mujer;

36 2 1 70 156 152 35 175 37 2 2 51 165 160 37 100 38 2 2 62 167 159 38 1200 39 2 2 58 160 160 37 215 40 1 3 71 185 187 43 700 41 1 3 68 175 172 42 475 42 1 3 74 183 178 45 1600 43 2 3 55 160 154 37 400 44 1 3 68 185 185 42 125 45 2 1 57 161 155 37 450 46 2 3 57 169 164 38 1115 47 2 1 68 158 150 36 400 48 1 2 69 172 172 41 0 49 2 3 50 155 155 37 500 50 2 1 58 163 162 38 1290 51 2 1 66 168 168 39 125 52 2 2 50 163 161 36 480 53 1 2 81 184 188 43 5120 54 2 1 60 165 160 36 255 55 2 2 50 155 155 35 500 56 1 2 65 179 171 35 90 57 1 2 65 164 158 36 700 58 2 2 62 174 179 40 0 59 2 2 58 162 160 36 200 60 2 2 63 172 171 41 2000 Deporte: 1=nada, 2=poco; 3= mucho

Ejercicios: 6. A partir de los datos de toda la clase, haz un recuento de las frecuencias en las diferentes modalidades para las variables sexo y hacer deporte. Si tomo una ficha al azar, ¿cuál sería la probabilidad de que corresponda a una chica? ¿y la de que el alumno en cuestión haga mucho deporte?

2.3. Variables estadísticas Para representar los distintos tipos de datos empleamos variables. Una variable es un símbolo que puede tomar valores diferentes. Cuando estos valores son los resultados de un recuento estadístico, la llamamos variable estadística, y representa generalmente un cierto carácter de los individuos de una población. Usualmente, las variables estadísticas se clasifican en cualitativas y cuantitativas, según que las modalidades del carácter que representan sean o no numéricas (Algunos autores no consideran las variables cualitativas, al considerar que también se puede asignar un número diferente a cada una de las modalidades de las variables cualitativas, con lo que quedarían asimiladas a las cuantitativas). Ejemplos de variables cualitativas son el grupo sanguíneo o la religión de una persona. Dentro de las variables cuantitativas se distingue entre variables discretas y continuas, siendo discretas aquellas que por su naturaleza sólo pueden tomar valores aislados -generalmente números enteros- y continuas las que pueden tomar todos los valores de un cierto intervalo. Así, los experimentos que consisten en el recuento de objetos, como pueden ser: número de miembros de una familia, número de nidos de aves en una parcela, etc. dan

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lugar a variables discretas, mientras que al medir magnitudes tales como el peso, el tiempo, capacidad, longitud, etc. se obtienen variables continuas. Ejercicios: 7. Clasificar las variables del estudio realizado en la clase, según su tipo. 8. Pon otros ejemplos de variables estadísticas cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. 2.4. Tablas de frecuencias El listado de los distintos valores o modalidades de una variable estadística, junto con las frecuencias (absolutas o relativas) de aparición de cada valor es el resumen más primario de una colección de datos y recibe el nombre de distribución de frecuencias. Las distribuciones de frecuencias de datos cualitativos pueden representarse mediante una tabla de frecuencias, como se muestra en la Tabla 2. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada modalidad. La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el total de casos en la muestra. El porcentaje es igual a la frecuencia relativa multiplicada por 100.

Tabla 2 : Distribución del 'color de los ojos' de los alumnos de una clase

Modalidad Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje Negro 15 0.50 50.0 marrón 7 0.233 23.3

azul 3 0.100 10.0 otros 5 0.166 16.6 Total 30 1.00 100

Cuando la variable es numérica interesa también calcular las frecuencias acumuladas. Para cada valor de la variable, la frecuencia acumulada es el número de elementos con un valor de la variable menor o igual que el dado. Se obtienen sumando a la frecuencia de un valor todas las anteriores. Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen dividiendo las frecuencias absolutas acumuladas por el número de datos. También pueden obtenerse sumando a la frecuencia relativa ordinaria todas las anteriores, como se muestra en la Tabla 3.

Tabla 3. Distribución de frecuencias del número de calzado Número de

calzado Frecuencia Frecuencia

relativa Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa acumulada

35 4 0.0667 4 0.0667 36 8 0.1333 12 0.2000 37 14 0.2333 26 0.4333 38 10 0.1667 36 0.6000 39 2 0.0333 38 0.6333 40 4 0.0667 42 0.7000 41 5 0.0833 47 0.7833 42 6 0.1000 53 0.8833 43 4 0.0667 57 0.9500 44 1 0.0167 58 0.9667 45 1 0.0167 59 0.9833 46 1 0.0167 60 1.0000

Ejercicios:

Estadística

707

9. ¿Cuál es el valor o valores más frecuentes del número de calzado? ¿Qué tanto por ciento de alumnos calzan el 40 o un número mayor de calzado? 10. ¿Cuáles son las principales diferencias en la distribución de frecuencias del número de calzado de chicos y chicas? (Usa la información dada en la tabla 1) 2.5. Gráficos estadísticos Las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas pueden representarse mediante tablas y gráficos. A menudo es preferible un gráfico, porque permite resaltar las principales características de la distribución. El denominado gráfico de barras permite ilustrar visualmente ciertas comparaciones de tamaño, especialmente cuando se precisa comparar dos muestras. En el diagrama de barras, cada uno de los valores de la variable correspondiente se representa en el eje de abscisas de un gráfico cartesiano, a intervalos igualmente espaciados. Para cada valor se dibuja una barra (o rectángulo) cuya altura ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa de dicho valor. Otro tipo de representación es el gráfico de línea poligonal, usado con ventaja para mostrar cambios de una variable a lo largo del tiempo. El gráfico de barras se puede usar para variables cualitativas pero el gráfico de líneas no.

Figura 1: Diagrama de barras (‘práctica de deporte’ según sexo) El gráfico de sectores (que informalmente se denomina a veces gráfico de la 'tarta' o 'pastel') muestra claramente cómo una cantidad total se reparte, así como el tamaño relativo de las distintas partes. El área de cada sector es proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa. En el gráfico de sectores cada modalidad o valor de la variable se representa por un sector circular cuyo ángulo central y, por lo tanto también su área, es proporcional a la frecuencia. Una forma sencilla de construirlo es multiplicando la frecuencia relativa por 360; de este modo se obtiene la amplitud del ángulo central que tendrá cada una de las modalidades observadas.

En la elaboración de gráficos estadísticos es fundamental la precisión, la claridad en los títulos, la elección del tipo de gráfico y el uso de escalas adecuadas. Si uno de estos aspectos no se tiene en cuenta, el gráfico puede dar una idea inadecuada de la información que se trata de comunicar.

1 2 3

Práctica de deporte

0

5

10

15

20

25

1 2 3

Práctica de deporte

chicos

chicas

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Figura 2: Gráfico se sectores de ‘práctica de deporte’

Ejercicios: 11. Representa mediante un diagrama de barras la distribución de la variable "práctica de deporte" y analiza las ventajas de cada una de las dos representaciones. 12. Busca en la prensa ejemplos de gráficos estadísticos realizados inadecuadamente, razonando dónde se hallan los errores en su elaboración. 13. Completa los datos de la Tabla 4 y represéntalos gráficamente.

Tabla 4: Frecuencia de la variable 'número de hermanos' Valor Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa acumulada

1 1 0.033 2 10 0.333 3 5 0.166 4 7 0.233 5 3 0.100 6 1 0.033 7 3 0.100

Total 30 1.00 2.6. Agrupación de variables en intervalos Cuando la variable estadística que estudiamos es continua, como la altura de los alumnos, los valores observados suelen ser distintos unos de otros, o las frecuencias pequeñas, con lo cual una tabla de frecuencias y su correspondiente representación gráfica no constituyen buenos resúmenes estadísticos. Por dicho motivo se procede a definir unos intervalos de valores y se recuentan las frecuencias de los valores en cada intervalo de clase (Tabla 5). Los extremos de este intervalo se denominan extremos de clase y el punto medio marca de clase. El histograma de frecuencias es la gráfica apropiada para representar estas tablas de frecuencias de datos agrupados en intervalos. En el histograma la frecuencia de cada intervalo se representa por medio de un rectángulo cuya área es proporcional a la frecuencia en dicho intervalo. Los histogramas pueden representar frecuencias absolutas o relativas. También podemos comparar una misma variable en dos muestras, utilizando histogramas con la misma amplitud de intervalos, como se muestra en la figura 4.

Gráfico de sectores

deporte123

25,00%

53,33%

21,67%

Estadística

709

Figura 3: Histograma de frecuencias absoluta de la altura de los alumnos

Figura 4: Histograma de frecuencias relativas de peso de alumnos según sexo

Tabla 5: Distribución de frecuencias de "pesetas en el bolsillo" Nº de clase

Límite inferior

Límite superior

Marca de clase

Frecuencia Frecuencia relativa

Frec. abs. acumulada

Frec. rel. acumulada

1 0 500 250 33 0.5500 33 0.5500 2 500 1000 750 13 0.2167 46 0.7667 3 1000 1500 1250 3 0.0500 49 0.8167 4 1500 2000 1750 3 0.0500 52 0.8667 5 2000 2500 2250 1 0.0167 53 0.8833 6 2500 3000 2750 1 0.0167 54 0.9000 7 3000 3500 3250 1 0.0167 55 0.9167 8 3500 4000 3750 0 0.0000 55 0.9167 9 4000 4500 4250 1 0.0167 56 0.9333 10 4500 5000 4750 0 0.0000 56 0.9333 11 5000 5500 5250 3 0.0500 59 0.9833 12 5500 6000 5750 0 0.0000 59 0.9833 13 6000 6500 6250 0 0.0000 59 0.9833 14 6500 7000 6750 0 0.0000 59 0.9833 15 7000 7500 7250 1 0.0167 60 1.0000

Histograma para altura

altura

Frec

uenc

ias

150 160 170 180 190 2000

4

8

12

16

20

sexo=1

sexo=2

Porc

enta

je

44 54 64 74 84 9445

25

5

15

35

55

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710

Ejercicio: 14. Con los datos de la tabla de frecuencias 5, representa gráficamente el histograma de frecuencias absolutas de las "pesetas en bolsillo" con intervalos de amplitud 500. 2. 7. Representación gráfica de frecuencias acumuladas En las figuras 5 y 6 representamos gráficamente las frecuencias acumuladas de las variables “número de calzado” y “pesetas en bolsillo”. En los dos casos obtenemos una gráfica creciente, pues las frecuencias acumuladas son mayores a medida que aumentamos el valor de la variable. Sin embargo, las gráficas son ligeramente diferentes. En la variable sin agrupar “número de calzado” tiene forma de escalera, correspondiendo a cada valor de la variable una altura igual a su frecuencia acumulada. En la variable agrupada marcamos en el extremo superior de cada intervalo de clase una altura igual a su frecuencia acumulada, uniendo a continuación los puntos obtenidos mediante una línea poligonal que se llama polígono acumulativo de frecuencias.

Figura 5: Diagrama de frecuencias acumuladas del “número de calzado”

Figura 6: Polígono acumulativo de frecuencias de las “pesetas en bolsillo”

2. 8. Gráfico del tronco El gráfico del tronco (en inglés -stem and leaf-) es utilizado para la representación de distribuciones de variables cuantitativas, consiguiendo con él, además de una gráfica de la distribución, la visualización de los valores de los datos que estamos estudiando. Para ejemplificarlo trabajaremos con el conjunto de datos que se muestra en la Figura 7, y que supondremos ha sido recogido en clase por los propios alumnos.

pesetas

Frec

uenc

ia

0 2 4 6 8(X 1000)

0

20

40

60

80

100

calzado

Frec

uenc

ia

34 36 38 40 42 44 46

0

20

40

60

80

100

Estadística

711

Peso en Kg. Varones Hembras 55 64 70 74 75 70 60 45 46 50 47 55 64 93 60 62 70 80 49 52 50 46 50 52 61 60 62 68 65 65 52 48 52 63 53 54 66 68 70 72 72 71 54 54 53 55 57 44 56 56 56 53 60 65 67 61 68 55 64 60 Figura 7

Para realizar este gráfico procederemos de la siguiente forma:

• Se redondean los datos a dos o tres cifras, expresando los valores con números enteros. En nuestro ejemplo, puesto que los datos disponibles constan sólo de dos cifras, este paso no es necesario.

• Se ordenan de menor a mayor, como se muestra en la Figura 8

44 45 46 46 47 48 49 50 50 50 52 52 52 52 53 53 53 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 60 60 60 60 60 61 61 62 62 63 64 64 64 65 65 65 66 67 68 68 68 70 70 70 70 71 72 72 74 75 80 93 Figura 8

• Se separan por la izquierda uno o más dígitos de cada dato, según el número de

filas que se quiera obtener, en general no más de 12 ó 15. Cada uno de estos valores se escriben uno debajo del otro, trazando una línea a la derecha de los números escritos. Estas cifras constituyen el "tronco".En nuestro caso tomaremos la primera cifra para formar con ella el "tronco".

• Para cada dato original se buscan los dígitos escritos de su tronco y a la derecha de los mismos se escriben las cifras que nos habían quedado. Estas cifras forman las "hojas".

De este modo obtenemos el gráfico del tronco para nuestros datos (Figura 9).

4 4 5 6 6 7 8 9 5 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 6 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 8 8 7 0 0 0 0 1 2 2 4 5 8 0 9 3 Figura 9: Gráfico del trondo del peso de los alumnos

Como se observa, el resultado es, en la práctica, un histograma de amplitud de intervalo 10, que además de mostrarnos la forma de la distribución, presenta todos los datos ordenados. Esta representación puede ser ampliada o condensada para aumentar o disminuir el número de filas, subdividiendo o fundiendo dos o más filas adyacentes. Por ejemplo, para extender el gráfico de la Figura 9, podemos subdividir en dos cada fila de la siguiente forma: marcamos con un asterisco las filas cuyos dígitos de la derecha varian de 0 a 4 y con un punto las filas cuyos dígitos de la derecha varian de 5 a 9. Este

C. Batanero y J. D. Godino

712

nuevo diagrama, que podemos observar en la Figura 10 recibe el nombre de gráfico del "tronco extendido".

4* 4 4. 5 6 6 7 8 9 5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5. 5 5 5 5 6 6 6 7 6* 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4 6. 5 5 5 6 7 8 8 8 7* 0 0 0 0 1 2 2 4 7. 5 8* 0 9. 3 Figura 10: Gráfico del tronco extendido del peso de los alumnos

Al comparar el gráfico del tronco con un histograma de frecuencias observamos las siguientes ventajas:

• Su fácil construcción, especialmente con papel cuadriculado. • Se pueden observar los datos con más precisión que en el histograma, pues los

rectángulos pueden ocultar diferencias importantes entre los valores, mientras que en el gráfico del tronco estas lagunas pueden ser fácilmente detectadas y observadas.

• Pueden obtenerse a partir de él rápidamente los estadísticos de orden, como los valores máximo y mínimo, la mediana, cuartiles, percentiles y sus rangos, así como la moda.

• Es fácil comparar dos muestras de datos en el mismo gráfico, como vemos en la figura 11.

Como contrapartida observamos que no podemos elegir la amplitud del intervalo, como en el caso del histograma, sino que viene impuesta por el sistema de numeración. Tampoco podemos escoger la escala de la representación gráfica, que viene impuesta por el espaciado del papel empleado.

CHICOS CHICAS 4* 4 4. 5 6 6 7 8 9 5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5. 5 5 5 6 6 6 7 4 4 2 2 1 0 0 6* 0 0 0 1 3 4 8 8 6 5 5 6. 5 7 8 2 2 1 0 0 0 0 7* 5 7. 0 8* 3 9. Figura 11: Gráfico del tronco extendido del peso para chicos y chicas

Estadística

713

3. CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y DISPERSIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Supongamos que tenemos que elegir en la clase al alumno/a cuyas características representen mejor cada una de las variables recogidas. ¿A quien elegirías? ¿Qué valores elegirías como mejor representante de cada una de las variables analizadas? En lo que sigue estudiaremos la forma de resumir una distribución de datos. 3.1. Medidas de tendencia central La comparación de dos distribuciones de frecuencias correspondientes, por ejemplo, a muestras distintas de una misma variable (como "número de hermanos", "altura", etc.), puede hacerse de una manera directa por medio de la tabla, o visualmente con ayuda de gráficos estadísticos. Pero también puede hacerse eligiendo un valor representativo de cada muestra. La media, la moda y la mediana son soluciones matemáticas idóneas para este problema según distintas circunstancias. Reciben el nombre de 'estadísticos' o características de posición (o tendencia) central. La media aritmética: Es la principal medida de tendencia central. Es el número que se obtiene sumando todos los valores de la variable estadística (xi) y dividiendo por el número de valores (N). Si un valor aparece varias veces debe ponderarse por su frecuencia (fi). Simbólicamente,

i ii

x fx

N=

∑

La media es la mejor estimación de una cantidad desconocida, cuando hemos hecho varias medidas de la misma. Esta es la propiedad de la media que usamos cuando calificamos a un alumno a partir de varias evaluaciones o cuando estimamos el tiempo de espera en la parada de un autobús. Por tanto sirve para resolver problemas como el siguiente:

Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6'2, 6'0, 6'0, 6'3, 6'1, 6'23, 6'15, 6'2 ¿Cuál sería la mejor estimación del peso real del objeto?

La media es la cantidad equitativa a repartir cuando tenemos diferentes cantidades de una cierta magnitud y queremos distribuirla en forma uniforme, como cuando hablamos del número medio de niños por familia o de la renta per cápita, o en el siguiente ejemplo:

Unos niños llevan a clase caramelos. Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno. ¿Cómo repartir los caramelos de forma equitativa?

Otras propiedades de la media son las siguientes:

1) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución. 2) El valor medio es influenciado por los valores de cada uno de los datos. 3) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. Incluso

puede no tener "sentido" para los datos considerados (como decir que el número medio de hijos en las familias españolas es 1.1).

4) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media. 5) La media es un "representante" de los datos a partir de los que ha sido calculada.

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714

6) La media se expresa en las mismas unidades de medida que los datos.

Ejercicios: 15. Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 58 kgs y el de los hombres de 72. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor? 16. La media en fluidez verbal de una clase de un colegio es de 400. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la puntuación de los 4 primeros es de 380, 420, 600, 400. ¿Cuál sería aproximadamente la puntuación esperada para el quinto estudiante? 17. Para aprobar cierta asignatura, un estudiante necesita obtener una puntuación media de 6 (o más) entre cuatro exámenes. Las puntuaciones de Pedro en los tres primeros fueron de 3'5, 6'6 y 6'2. ¿Qué puntuación mínima necesita obtener en el cuarto examen para aprobar la asignatura? 18. La edad media de los 175 alumnos de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adultos (profesores y personal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de todas las personas de esa escuela?

La moda Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia. Por ejemplo, en la Tabla 3 la moda del número de calzado es el 37. En una distribución puede haber más de una moda. Si existe una sola moda se llama unimodal, si existen dos bimodal, si hay más de dos se llama multimodal. En general es una medida de tendencia central poco eficaz ya que si las frecuencias se concentran fuertemente en algunos valores al tomar uno de ellos como representante los restantes pueden no quedar bien representados, pues no se tienen en cuenta todos los datos en el cálculo de la moda. Sin embargo, es la única característica de valor central que podemos tomar para las variables cualitativas. Además su cálculo es sencillo. La mediana Si suponemos ordenados de menor a mayor todos los valores de una variable estadística, se llama mediana al número tal que existen tantos valores de la variable superiores o iguales como inferiores o iguales a él. • Por ejemplo si en una familia los niños tienen 3, 5 y 8 años, la edad del niño

mediano es 5 años. La mediana es igual a 5. • Si nace un nuevo bebé (0 años) ahora tenemos dos niños medianos, uno de 3 y otro

de 5 años. En este caso hay una indeterminación y para resolverla tomamos como mediana el valor 4 (media entre 3 y 5).

Para calcular la mediana a partir de una tabla de frecuencias o de un polígono de frecuencias acumuladas, observamos que la frecuencia relativa acumulada que corresponde a la mediana es exactamente igual a 1/2. Por tanto, en la Tabla 3 (número de calzado) y ya que al número de calzado 37 corresponde una frecuencia acumulada 0’43 y al número 38 una frecuencia acumulada 0’60 la mediana es igual a 38. Esto lo podemos ver mejor en el diagrama de frecuencias acumuladas (figura 5). La mediana presenta ciertas ventajas como medida de tendencia central frente a la media en algunas distribuciones, ya que no se ve afectada por los valores extremos de las observaciones; por ello su uso es particularmente indicado en las distribuciones asimétricas. También se puede aplicar con variables estadísticas ordinales, mientras que la media no se puede aplicar en estos casos.

Estadística

715

3.2. Características de dispersión Las características de dispersión son estadísticos que nos proporcionan una medida del mayor o menor agrupamiento de los datos respecto a los valores de tendencia central. Todas ellas son valores mayores o iguales a cero, indicando un valor cero la ausencia de dispersión. Una de tales medidas puede ser la diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución de frecuencias, que recibe el nombre de recorrido (o rango). En su cálculo sólo intervienen dos valores (el máximo y el mínimo) por lo que es escasamente representativa de la dispersión del conjunto de datos.

• El rango para la distribución del “número de calzado” es igual a 11 ( 46 – 35). La medida de dispersión más utilizada es la desviación típica (s), que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la diferencia entre cada valor y la media dividida dicha suma por el número de valores; su cuadrado recibe el nombre de varianza y viene dada, por tanto, por la siguiente expresión:

2 22i i2 i i( - xf ) fx x= = -s xN N

∑ ∑

Ejercicios: 19. ¿Qué se puede decir sobre el resultado de un examen, si la distribución de las puntuaciones de los alumnos verifican lo siguiente?: a) La desviación típica es cero. b) El rango es grande, pero la desviación típica es pequeña c) El rango es pequeño, pero la desviación típica es grande. 20. Inventa un problema referido a calificaciones de matemáticas de un curso cuya media sea aproximadamente 5 y cuya desviación típica sea aproximadamente 2. 21. En los exámenes realizados por Lucía, la mediana fue de 8'8, su puntuación media fue de 9'0 y el rango fue 0'8. ¿Cuáles fueron las puntuaciones de los tres exámenes? 4. TALLER DE MATEMÁTICAS 1. En la tabla adjunta presentamos los resúmenes estadísticos de las variables consideradas en la encuesta realizada en clase.

a) Razona qué promedio es más adecuado para cada variable. b) ¿Cuál de las variables tiene mayor /menor dispersión? c) ¿Qué alumno (ver Tabla 1 de datos) sería más representativo en cada una de las

variables? d) ¿Hay algún alumno que sea representativo en todas las variables?

Estadísticos de las variables del muestreo realizado en clase

Variable Peso Altura Longitud Calzado Pesetas Media 62.38 168.46 167.7 38.8 1026.87 Mediana 62 166.5 165 38 500 Moda 58 161 160 37 0 Desviación típica 8.57 8.41 10.29 2.77 1530.50 Mínimo 46 155 150 35 0 Máximo 86 191 188 46 7500 Rango 40 36 38 11 7500 Tamaño de muestra 60 60 60 60 60

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2. En relación a los datos recogidos en clase (Tabla 1), a) ¿Son más altos los alumnos que practican mucho deporte? b) ¿Reciben las chicas más dinero que sus compañeros? Razona las respuestas basándote en lo que has aprendido sobre la estadística. 3. En este diagrama de dispersión, indica si existe relación entre la altura y el peso. Estima la altura de una persona que pesa 60 kg. ¿Podrías dibujar una recta que sirva para calcular aproximadamente la altura en función del peso? 4. A partir del gráfico del tronco de la variable "Longitud de brazos extendidos", que se muestra a continuación, calcula a) el máximo, mínimo, mediana y cuartiles. b) Calcula el tanto por ciento de alumnos con brazos más largos y más cortos que los tuyos.

15* 0234 15. 555578889 16* 00000001122344 16. 55556688 17* 1111222 17. 5788999 18* 000012 18. 55578

5. Al medir la altura en cm. que pueden saltar un grupo de escolares, antes y después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes. ¿Piensas que el entrenamiento es efectivo?

Altura saltada en cm. Alumno Ana Bea Carol Diana Elena Fanny Gia Hilda Ines Juana Antes del entrenamiento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115 Después del entrenamiento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117

6. A continuación reproducimos datos sobre número de pulsaciones por minuto en diversas especies animales3 3 Ejemplo tomado de Friel, Mokros y Russell (1992). Statistics: Middles, means and in-betweens. Palo Alto, CA: Dayle Seymour.

150

160

170

180

190

200

40 60 80 100

Peso kg

Alt

ura

cm

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1 6 Ballena 2 5 9 Camello, Tiburón 3 0 5 5 7 8 8 Elefante, Caballo, Trucha, Merluza, Salmón, Dorada 4 0 0 2 4 7 8 8 8 Mula, Burro, León, Foca, Caimán, Cocodrilo, Bacalao, Rana 5 5 5 9 9 Vaca, Oso, Carpa, Perca 6 6 Jirafa 7 0 0 0 0 5 Hombre, Ciervo, Avestruz, Cerdo, Oveja 8 0 Ganso 9 0 2 5 Perdiguero, Mastín. Fox Terrier 10 0 Collie 11 0 Delfín 12 0 5 Canguro, Pekinés 13 0 Gato 14 15 0 Conejo 16 17 0 Paloma 18 19 20 21 1 Pavo 22 23 24 0 Zorro 25 26 8 Pavo 27 28 29 30 0 1 Puercoespín, Aguila 31 2 Codorniz 32 0 Pollo 33 34 2 7 Halcón, Buitre 35 36 37 8 Cuervo 38 0 8 Grajo Comadreja 39 0 Ardilla 40 1 Gaviota . .

58 8 Murciélago 59 60 0 Ratón

a) ¿Te parece que la media sería un estadístico que representaría bien este conjunto de

datos? ¿Y la moda? b) ¿Encuentras que alguna de las especies es atípica, debido a que su número de

pulsaciones está claramente alejada de la mayoría? 7. Cuatro jugadoras de baloncesto se han sometido a la siguiente prueba: Cada una de ellas ha hecho 10 lanzamientos a canasta a una distancia de 1m, otros 10 lanzamientos desde 2m, y así sucesivamente hasta 8m. En cada caso se han anotado los siguientes encestes:

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Jugadora 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m A 9 10 6 4 2 0 1 0 B 7 6 7 4 2 4 1 0 C 3 4 0 1 0 2 1 3 D 10 8 9 9 6 7 4 5

¿Qué jugadora es más eficaz en el enceste?

Razona la respuesta usando resúmenes numéricos de los datos y la gráfica que se adjunta.

8. En la figura presentamos las frecuencias acumuladas de la altura de 1000 chicas. a) Calcula aproximadamente la mediana, máximo y mínimo. b) ¿Entre qué límites varía el 50 por ciento de los valores centrales? c) ¿Cuál es el valor de la altura tal que el 70 % de las chicas tiene una altura igual

o inferior (percentil del 70%)? d) Si una chica mide 1.65, ¿En qué percentil está? e) Compara tu altura con la de estas chicas. ¿Qué porcentaje de chicas son más

altas/ bajas que tú? f) ¿Qué valores de la estatura considerarías atípicos en esta distribución?

0

5

10

15

1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m

A

B

C

D

Frecuencias acumuladas de alturas de 1000 chicas

altura

porcentaje

140 145 150 155 160 165 170 175 180

0102030405060708090

100

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C: Conocimientos Didácticos

1. ORIENTACIONES CURRICULARES 1.1. La estadística en la sociedad y en la enseñanza obligatoria La Estadística ha cobrado gran desarrollo en los últimos años, contribuyendo al avance de la ciencia y la técnica y al crecimiento de la economía, por lo que la mayor parte de los países han introducido su enseñanza desde la educación primaria. La estadística es hoy una parte de la educación general deseable para los ciudadanos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los medios de comunicación. Las principales razones que fundamentan la enseñanza de la estadística son las siguientes: • Es útil para la vida posterior a la escuela, ya que en muchas profesiones se precisan

unos conocimientos básicos del tema. • Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico,

basado en la valoración de la evidencia objetiva, apoyada en los datos, frente a criterios subjetivos.

• Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educación obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o conceptos estadísticos.

Otro aspecto es el carácter exclusivamente determinista del currículo de matemáticas, y la necesidad de mostrar al alumno una imagen más equilibrada de la realidad, en la que hay una fuerte presencia de fenómenos aleatorios.

Además, puesto que la estadística elemental no requiere técnicas matemáticas complicadas y por sus muchas aplicaciones, proporciona una buena oportunidad para mostrar a los estudiantes las aplicaciones de la matemática para resolver problemas reales. La estadística es también un buen vehículo para alcanzar las capacidades de comunicación, resolución de problemas, uso de ordenadores, trabajo cooperativo y en grupo, a las que se da gran importancia en los nuevos currículos.

Cuando tenemos en cuenta el tipo de estadística que queremos enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre los fines principales de esta enseñanza que son los siguientes: • Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de la estadística en la

sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que la estadística ha contribuido a su desarrollo.

• Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método estadístico, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de la estadística puede responder, las formas básicas de razonamiento estadístico, su potencia y limitaciones.

1.2. Diseño Curricular Base del MEC

La recogida, organización y presentación de datos, así como la interpretación y las posibles predicciones basadas en los mismos, son conocimientos que tienen cada vez más importancia en nuestro medio social lo que hace deseable su aprendizaje y utilización. Las

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720

sencillas actividades estadísticas pueden representar para los alumnos de estas edades aplicaciones de las matemáticas al medio real, prestando significado al mismo, haciéndolo más inteligible. El objetivo general 6 para el área de Matemáticas de secundaria obligatoria formulado por el M.E.C. recoge el siguiente objetivo, relacionado con la estadística: "Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma". Este objetivo es desarrollado en el bloque de contenidos referido a organización de la información en los siguientes términos: Conceptos: 1. La representación gráfica 2. Las tablas de datos. 3. Tipos de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas lineales, etc. 4. Carácter aleatorio de algunas experiencias. Procedimientos: 1) Exploración sistemática, descripción verbal e interpretación de los elementos

significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares. 2) Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares

utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. 3) Elaboración de gráficos estadísticos con datos poco numerosos relativos a situaciones

familiares. 4) Expresión sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el

alumno. Actitudes: 1) Actitud crítica ante las informaciones y mensajes transmitidos de forma gráfica y

tendencia a explorar todos los elementos significativos. 2) Valoración de la expresividad del lenguaje gráfico como forma de representar muchos

datos. 3) Sensibilidad y gusto por las cualidades estéticas de los gráficos observados o

elaborados.

Respecto a criterios de evaluación sobre los contenidos estocásticos el M.E.C. especifica: 1) Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos

al entorno inmediato. 2) Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado de juegos de azar

sencillos, y comprobar dicho resultado. 1.3. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)4 Estas orientaciones curriculares proponen, para los niveles K-2 (infantil y primer ciclo de primaria ) que el currículo incluya experiencias con análisis de datos para que los alumnos sean capaces de:

• Clasificar objetos de acuerdo a sus atributos y organizar datos sobre los objetos. • Representar datos usando objetos concretos, dibujos y gráficos. Se indica que las actividades informales de clasificación y recuento pueden proporcionar un inicio de la comprensión y análisis de los datos por parte de los niños.

4National Council of Teachers of Mathematicas (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: Va, NCTM.

Estadística

721

Se animara a los niños a plantearse preguntas, organizar las respuestas y crear representaciones para sus datos, así como a razonar y comprobar sus ideas comparándolas con los datos.

En los niveles de 3º a 5º los niños deben ser capaces de: • Diseñar investigaciones para contestar una pregunta y considerar cómo los

métodos de recogida de datos afectan al conjunto de datos. • Recoger datos de observación, encuestas y experimentos. • Representar datos en tablas, gráficos de línea, puntos y barras. • Reconocer las diferencias al representar datos numéricos y categóricos. • Usar las medidas de posición central, particularmente la mediana y comprender

qué es lo que cada una indica sobre el conjunto de datos. • Comparar distintas representaciones de los mismos datos y evaluar qué aspectos

importantes del conjunto de dato se muestra mejor con cada una de ellas. • Proporcionar y justificar conclusiones y predicciones basadas en los datos y diseñar

estudios para estudiar mejor las conclusiones y predicciones.

En estos niveles se pretende que progresivamente los niños sean capaces de ver el conjunto de datos como un todo, describir su forma y usar las características estadísticas, como el rango y las medidas de tendencia central para comparar conjuntos de datos. Deben considerar que los datos son muestras recogidas de poblaciones mayores y llevar a cabo investigaciones y proyectos, considerando el ciclo: formular preguntas, recoger datos y representarlos.

Analizarán si sus datos proporcionan la información necesaria para responder sus preguntas. Podrían recoger datos o usar otros disponibles en la escuela o en la ciudad, por ejemplo, datos del censo o sobre el tiempo o datos disponibles en Internet. La experiencia con una variedad de gráficos les permitirá comprender los valores en los ejes horizontal y vertical, la utilidad de las escalas y cómo representar el cero en una gráfica. Los niños deberían también usar programas de ordenadores que les ayuden a representar gráficos, por ejemplo, la hoja electrónica. 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE Apenas hay estudios evolutivos del desarrollo de los conceptos estadísticos, siendo casi los únicos conceptos que no fueron tratados en los estudios de Piaget con sus colaboradores. Ello se debe a que la estadística sólo muy recientemente es objeto de enseñanza en las escuelas.

El único estudio de este tipo es realizado por Watson en Australia con unos 2200 niños desde el tercer curso de primaria para analizar cómo los niños progresan en la comprensión de las ideas de media, mediana y moda. Diferencia las siguientes etapas: • Uso coloquial de las palabras media mediana y moda: sin asignarles un significado

preciso; por ejemplo la palabra “media” pueden entenderla como “normal”, “frecuente”.

• Estructuras múltiples para los conceptos: son capaces de utilizar ideas como “centro” o “sumar y dividir” para describir la media, pero sólo resuelven problemas muy simples.

• Representación de los conceptos: conocen los algoritmos y los asocian con las ideas de media, mediana y moda. Son capaces de reconocer que la media, mediana y moda representan el conjunto de datos, pero no son capaces de usarlas para comparar dos conjuntos de datos o de estimarlas a partir de una representación

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gráfica. En los gráficos, los sujetos se concentran en los datos aislados, pero no en las tendencias.

• Aplicación progresiva de la media, mediana y moda a la resolución de problemas, incluyendo problemas de medias ponderadas o comparación de dos grupos. Identificación progresiva de las medidas de tendencia central a partir de la representación gráfica de un conjunto de datos.

Los niños comienzan por la primera etapa y van progresando con la edad y con la

instrucción, pero no hay un desarrollo completo si no va acompañado de una enseñanza.

3. SITUACIONES Y RECURSOS

Los resultados de diversas investigaciones proporcionan orientaciones sobre cómo ayudar a los niños en el desarrollo del razonamiento estadístico. Algunas de estas orientaciones son las siguientes: 1. Involucrar a los niños en el desarrollo de proyectos sencillos en los que deban

recoger sus propios datos a partir de la observación (¿de qué color son los ojos de los niños de la clase?), encuesta (¿qué tipos de trabajo hacen las madres y los padres de los niños?) y medida (¿tienen los pies, manos, hombros más grandes los niños que las niñas?).

2. Concienciar a los niños de que cada dato aislado forma parte de un todo (distribución de los datos) y que hay preguntas que no pueden contestarse con un sólo dato, sino con una distribución de datos.

3. Concienciar a los niños de las tendencias y variabilidad en los datos y cómo estas pueden usarse para responder preguntas sobre los datos o comparar varios conjuntos de datos.

4. Visualizar progresivamente que los datos recogidos son una muestra de una población más amplia y sobre cuáles son las condiciones para que los datos de la muestra puedan representar los datos de toda la población.

5. Animar a los niños a representar sus datos en tablas y gráficos, cuidando las cualidades estéticas y matemáticas de los gráficos de modo que los datos queden correctamente representados en ellos. Advertirles de la facilidad con que un gráfico puede ser engañoso.

En las siguientes secciones describimos algunos tipos de actividades y recursos para el estudio de la estadística en primaria. 3.1. Investigaciones y proyectos La estadística es hoy día una materia interdisciplinar que se utiliza no sólo en la clase de matemáticas, sino en otras disciplinas donde se convierte en herramienta de resolución de problemas. Los proyectos están concebidos para introducir en la clase una filosofía exploratoria y participativa, en tendencias con las recomendaciones recientes sobre metodología de enseñanza de la estadística. Lo deseable sería que los propios alumnos eligieran el tema en el que quieren trabajar y elaborasen sus propios proyectos en grupos de dos o tres alumnos. Para ser realistas, hemos de reconocer que son pocos los alumnos que se interesan por la estadística y que ésta es una materia aburrida para ellos. Por el contrario, los alumnos pueden interesarse en muchos temas diferentes y llegar a valorar la estadística como

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instrumento de investigación de los problemas que les gustaría resolver. En algunos países como Estados Unidos o Inglaterra es ya tradicional el celebrar en las escuelas competiciones de proyectos estadísticos y es posible que esta tendencia no tarde en llegar a nuestros centros. A continuación sugerimos algunos proyectos que podrían realizarse en los cursos 5º y 6º de educación primaria. Actividad 1: Intención de voto en las próximas elecciones al consejo escolar Se propone diseñar, llevar a cabo y analizar los datos de una encuesta en el centro para estudiar la intención de voto en el próximo consejo escolar, una vez que se conocen los candidatos a representantes de los alumnos. Los alumnos deben diseñar el cuestionario, seleccionar una muestra representativa de alumnos del centro, distribuir el cuestionario y analizar los datos. Algunas cuestiones relacionadas son: • ¿Qué preguntas debemos incluir en el cuestionario? ¿Están claras las preguntas? ¿Qué

variables identificativas del alumno podrían influir en su intención de voto? • ¿Cómo elegimos la muestra de alumnos? ¿Cuál es la población objetivo? ¿Cuál es la

población que podemos alcanzar? • ¿Sería la encuesta fiable si hay un porcentaje alto de no respuesta? ¿Cómo podemos motivar

la participación y disminuir la no respuesta? ¿Cómo y cuándo distribuimos el cuestionario y recogemos los datos?

• ¿Qué nos dicen los resultados? ¿Son diferentes en los distintos cursos? ¿En chicos y chicas? Actividad 2: ¿Se mejora con la práctica? 1. Estimación de tiempos: Intenta estimar la duración de un minuto. Para ello tu compañero coge un reloj que cuente segundos y te indica cuando debes comenzar a calcular el tiempo. Tú te concentras y cuando creas que ha pasado un minuto dices ¡ya!. Tu compañero mira el reloj y anota los segundos transcurridos. Comprobáis si el tiempo transcurrido es verdaderamente un minuto o en cuántos segundos te has equivocado. ¿Crees que si repites el experimento 10 veces, cada vez estimarás el minuto con más exactitud? ¿Mejoras con la práctica? 2. Estimación de distancias: Trabaja con un compañero. Uno dibuja un segmento con una regla graduada y mide su longitud;, el otro estima la longitud del segmento. Anotad la diferencia entre el valor estimado y el valor real del segmento. ¿Crees que si repites el experimento varias veces, cada vez estimarás mejor la longitud del segmento? ¿Mejoras con la práctica? 3. Durante la clase de gimnasia se recogen datos de cada alumno el primer día de clase y una vez transcurrido 3 meses. Podrían analizarse, entre otras las siguientes variables, para ver si la práctica ayuda a mejorar, qué alumno mejoró más globalmente y si mejoran más las chicas o los chicos: • tiempo en segundos para recorrer 50 metros • pulsaciones por minuto antes y después de correr los 50 metros • altura máxima que se puede saltar • longitud máxima que se puede saltar • Número de abdominales seguidos hasta cansarse • Número de canastas encestadas en 10 intentos Actividad 3: ¿Cuántas lentejas tiene un kilo de lentejas? Se trata de estimar el número aproximado de lentejas en un kilo, sin tener que contarlas todas. Puesto que el proceso de llenado de un paquete de lentejas tiene un componente aleatorio, este

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Puesto que el proceso de llenado de un paquete de lentejas tiene un componente aleatorio, este número variará de uno a otro paquete. Se plantea así un problema de estimación que es común a otros muchos contextos, por ejemplo, cuando se estima el número medio de glóbulos rojos en sangre de individuos adultos. Los alumnos por equipos podrían tratar de estimar el número de lentejas en paquetes seleccionados de varias marcas comerciales. Se presentaría el problema de que hay que especificar con claridad la variedad, pues existen diversos tamaños. Una vez fijada una variedad y comprados paquetes de diversas marcas cada equipo trataría de estimar el número de lentejas de su paquete.

Para ello se pueden tomar datos del número de lentejas en varias muestras de unidades de capacidad pequeñas, como el centímetro cúbico y resolver primero el problema de la estimación del número de lentejas en un cm3. Los alumnos recogerán datos de las muestras de cm3 representándolos gráficamente, y estudiando su distribución, media y desviación típica.

Calculado el volumen de los paquetes de kilo de lentejas, para calcular la distribución del número de lentejas en un paquete de kilo, se trata de hacer un cambio de variable en una distribución. Por tanto, la media y desviación típicas quedarán afectadas por el cambio de escala que pasa del cm3 al volumen del paquete. 3.2. Datos y fuentes de datos

Los proyectos en la clase de estadística se conciben como verdaderas investigaciones asequibles al nivel del alumno, donde tratamos de integrar la estadística dentro del proceso más general de investigación. Es decir, planteamos unos objetivos y preguntas que el alumno debe tratar de contestar. Para ello el alumno necesita recoger datos, que pueden provenir de diversas fuentes, ser obtenidos mediante diferentes técnicas, y corresponder a diversas escalas de medida y tipos de variables estadísticas, como se resume en la tabla siguiente:

Tipos de datos en los proyectos Procedencia de los datos Variables estadísticas incluidas Anuarios estadísticos Cualitativa Encuestas Cuantitativa pocos valores Experimento realizado en la clase Cuantitativa necesidad de agrupar Internet Técnica de recogida de datos Prensa Observación Simulación Encuesta Medida

Consideramos importante que el alumno tenga oportunidad de apreciar esta diversidad de datos estadísticos. Algunas veces los datos se encuentran disponibles, pero hay que saber localizarlos de diferentes fuentes, como libros o anuarios

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estadísticos. Por ejemplo, el gráfico adjunto, tomado del boletín de Cruz Roja Española, Diciembre, 2001 puede servir para plantear una actividad de comparación de dos conjuntos de datos, que podría apoyarse en otras representaciones gráficas alternativas.

La red Internet proporciona en la actualidad datos para cualquier tema por el que los alumnos estén interesados, bien a partir de servidores estadísticos específicos como Data Sets and Stories Library donde los profesores de estadística han puesto sus datos al servicio de la enseñanza, bien recurriendo a organismos oficiales como el INE, Eurostat, Unesco u otros.

En otras ocasiones los datos son recogidos por los alumnos mediante la realización de una encuesta o a través de un experimento. La encuesta requerirá la elaboración de un cuestionario, fijando los objetivos del mismo, eligiendo las variables explicativas y redactando las preguntas que permitan obtener la información deseada de una forma clara y concisa. La selección de una muestra representativa plantea problemas de tipo teórico y práctico, relacionados con la población objetivo y alcanzada, el marco de muestro, los métodos de selección, la administración del cuestionario y los problemas de no respuesta. La información que queremos recoger puede corresponder a diversos niveles que se corresponden con diferentes técnicas de obtención de datos: información consciente y conocida (encuesta), información desconocida, pero que puede deducirse de la observación e información no consciente ni observable (medida). 3.3. Recursos en Internet 1. Histogramas: http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_174_g_2_t_5.html

Esta página permite explorar el efecto de variar la anchura de los intervalos sobre la forma del histograma, así como de añadir o quitar datos. Proporciona también tablas de frecuencia para el histograma elegido, así como la media y mediana. Es posible también visualizar el efecto de los valores atípicos, tanto sobre el histograma como sobre la media y mediana.

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Creacion de gráficos interactivamente http://nces.ed.gov/nceskids/Graphing/

Usando esta página los alumnos pueden crear y modificar a su gusto una variedad de gráficos estadísticos, proporcionando los datos de entrada, que podrían ser datos tomados en clase por los alumnos. Los gráficos son interactivos y una vez creados es posible cambiar el formato o colores, suprimir o añadir nuevos datos. Los gráficos pueden ser impresos para ser utilizados en los proyectos por los estudiantes.

4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE: INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN 4.1. Comprensión de tablas y gráficos estadísticos

Los profesores suponen, a veces, que la elaboración de tablas y gráficos es muy

sencilla y dedican poco tiempo a su enseñanza. Sin embargo, elaborar una tabla de frecuencias o un gráfico supone ya una primera reducción estadística, pues se pierden los valores originales de cada uno de los datos individuales pasándose a la distribución de frecuencias. Este concepto es ya complejo, al referirse al conjunto de los datos y no a cada caso particular. Mientras que los niños comprenden bien propiedades que se refieren a individuos, como el color de pelo de una persona o su altura, les resulta más problemático comprender la idea de distribución del color de pelo de un grupo.

La destreza en la lectura crítica de datos es una necesidad en nuestra sociedad tecnológica, ya que encontramos tablas y gráficos en la prensa, comercio, así como en distintas asignaturas del currículo. Podemos distinguir cuatro niveles distintos de comprensión de los gráficos, que pueden aplicarse a las tablas y gráficos estadísticos. El objetivo de la educación estadística sería llevar a cada alumno a adquirir el mayor nivel para el cual esté capacitado: • Lectura literal (leer los datos): este nivel de comprensión requiere una lectura literal

del gráfico; no se realiza interpretación de la información contenida en el mismo. Por ejemplo, en la Figura 1, responder a la pregunta, ¿cuántos chicos practican mucho deporte?

• Interpretar los datos (Leer dentro de los datos): incluye la interpretación e integración de los datos en el gráfico; requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemáticas. Por ejemplo, en la Figura 1, responder a la pregunta de si practican más deporte los chicos o las chicas.

• Hacer una inferencia (Leer más allá de los datos): requiere que el lector realice

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predicciones e inferencias a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico. En la Figura 1, dar un razonamiento sobre si los datos se podrían aplicar a todos los chicos y chicas del colegio.

• Valorar los datos (Leer detrás de los datos). Supone valorar la fiabilidad y completitud de los datos, como hacer un juicio sobre si realmente las preguntas de la encuesta miden la práctica de deporte, o cómo podríamos medirlo de una forma más fiable.

Hay varios puntos que afectan a la comprensión de los gráficos y a su dificultad y

que deben ser tenidos en cuenta por los profesores: • conocimiento previo del tema al que se refiere el gráfico; si el alumno está o no

familiarizado con el contexto; • conocimiento previo del contenido matemático del gráfico, esto es, los conceptos

numéricos, relaciones y operaciones contenidas en el mismo; • conocimiento previo del tipo de gráfico empleado (gráfico de barras, pictograma, etc.).

Cuando los alumnos tratan de hacer los gráficos estadísticos cometen errores. Los

más habituales son los siguientes: • elección incorrecta del tipo de gráfico, como usar polígonos de frecuencias con

variables cualitativas; • la elección de las escalas de representación son poco adecuadas, o bien omitir las

escalas en alguno de los ejes horizontal o vertical, o en ambos; • no especificar el origen de coordenadas; • no proporcionar suficientes divisiones en las escalas de los ejes; • no respetar los convenios, como al obtener un diagrama de sectores en los que éstos no

son proporcionales a las frecuencias de las categorías. • mezclar datos que no son comparables en un gráfico, como comparar 30 sillas y 50 kg.

de carne. 4.2. Medidas de posición central Además de ser uno de los principales conceptos estadísticos, la media tiene muchas aplicaciones en cuestiones prácticas de la vida diaria. Que este concepto no es tan simple como parece lo puedes comprobar al tratar de resolver el siguiente problema:

Problema: Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 60 kilos. y el de los hombres de 90. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor?

Una reacción frecuente al resolver el problema anterior es decir que la media es 75 kilos. Sin embargo esta solución es errónea porque en el ascensor hay más hombres que mujeres. Las situaciones en las cuales se debe calcular una media ponderada son frecuentes: calcular la puntuación media en un curso, la velocidad media, o el índice de precios. También cuando calculamos la media a partir de una tabla de datos. No se puede olvidar que en este caso cada valor de la variable tiene que ponderarse por su frecuencia. También se cometen errores al calcular la media, mediana y moda. Algunos de los más frecuentes son: • Moda: Tomar la mayor frecuencia absoluta, en lugar del valor de la variable. • Mediana: No ordenar los datos para calcular la mediana; calcular el dato central de las

frecuencias absolutas ordenadas de forma creciente; calcular la moda en vez de la mediana; equivocarse al calcular el valor central.

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• Media: Hallar la media de los valores de las frecuencias; no tener en cuenta la

frecuencia absoluta de cada valor en el cálculo de la media. En otros casos el cálculo se hace correctamente, pero no se entiende el algoritmo de

cálculo. Esto se puede comprobar si le pides a un alumno que te diga 10 números diferentes cuya media sea igual a cuatro o bien que te dé el número que falta entre 5 sabiendo que la suma de los cuatro primeros es 23 y la media es igual a 5. Muchos no sabrán como hacerlo o lo harán con dificultad. 4.3. Características de dispersión El estudio de una distribución de frecuencias no puede reducirse al de sus promedios, ya que distribuciones con medias o medianas iguales pueden tener distintos grados de variabilidad. Un error frecuente es ignorar la dispersión de los datos cuando se efectúan comparaciones entre dos o más muestras o poblaciones.

Ejemplo: ¿Te parece por ejemplo, que demuestran igual constancia y deberían calificarse igual dos alumnos si en el primero tuvo un 10 en el examen teórico y un 0 en el práctico y otro que tuvo un 6 y un 4?

La desviación típica mide la intensidad con que los datos se desvían respecto de la media, pero muchos libros de texto no resaltan bien esta propiedad y ponen mayor énfasis en la heterogeneidad entre las observaciones que en su desviación respecto de la posición central.

Ejemplo: ¿Cuál de los dos conjuntos tiene mayor dispersión?

Conjunto A: 10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm. Conjunto B :10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm. Otras dificultades se refieren al cálculo, ya que algunos alumnos suponen que no hay que tener en cuenta los ceros para calcular la desviación típica o no ponderan los valores cuando hacen un cálculo a partir de la tabla de frecuencias. 4.4. Itemes de evaluación A continuación incluimos información sobre algunos ítemes usados en investigaciones sobre la comprensión de la estadística. Indicar cuál es la solución correcta y el tipo de razonamiento que subyace en las respuestas incorrectas. Item 1. El ayuntamiento de un pueblo quiere estimar el número promedio de niños por familia. Dividen el número total de niños de la ciudad por 50 (que es el número total de familias) y obtienen 2.2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) La mitad de las familias de la ciudad tienen más de 2 niños b) En la ciudad hay más familias con 3 niños que familias con 2 niños c) Hay un total de 110 niños en la ciudad d) Hay 2,2 niños por adulto en la ciudad e) El número más común de niños por familia es 2 Item 2. Supón que quieres comprar un coche nuevo y quieres decidir entre la marca A y B. En una revista de automóviles encuentras un estudio estadístico sobre reparaciones efectuadas el último años que muestra que la marca A tiene menos averías que la B. Sin embargo, te encuentras un amigo que te dice que compró el año pasado un coche B y no

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ha tenido más que problemas: primero se le estropeó la inyección de gasolina y gastó 25.000 pts, luego tuvo que cambiar el eje trasero y al final, ha vendido el coche porque se le fue la transmisión. ¿Que decisión tomarías, comprar un coche A o B? Ítem 3. Maria y Pedro dedican una media de 8 horas cada fin de semana a hacer deporte. Otros 8 estudiantes dedican cada semana una media de 4 horas a hacer deporte. a. ¿Cuál es el número medio de horas que hacen deporte cada fin de semana los 10

estudiantes?. b. María y Pedro dedican además 1 hora cada fin de semana a escuchar música y los

otros 8 estudiantes, 3 horas. ¿Cuál es el número medio de horas que escuchan música los 10 estudiantes?

c. ¿Cuál sería el número medio de horas que estos 10 estudiantes dedican, cada fin de semana, entre las dos actividades: hacer deporte y escuchar música?

5. TALLER DE DIDÁCTICA 5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas

Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de primaria (recomendamos buscar los libros que utilizaste personalmente, o bien los de algún familiar o amigo).

1. Busca ejemplos y ejercicios relacionados con las ideas estadísticas. 2. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres

potencialmente conflictivos. 3. Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para

los cursos 5º y 6º de primaria. 5.2. Análisis de respuestas a tareas de evaluación Un profesor ha pedido a sus alumnos que midan la cantidad de nieve caída cada día de una semana. Han obtenido los datos siguientes: Lunes, 6 cm, Martes, 4 cm, Miércoles, 4 cm, Jueves 1 cm y Viernes 0 cm. El profesor pide calcular la cantidad media de nieve que ha caído al día. Para cada una de las siguientes situaciones, describe los posibles motivos de las respuestas del alumno y cómo puede ayudarle un profesor a comprender el concepto o el procedimiento implicado: a) Isabel no entiende por qué la suma de 15 cm se tiene que dividir por 5 en lugar de 4

para saber el promedio de nieve caída. b) Carlos no comprende por qué la respuesta puede ser 3 en lugar de una de las

medidas. c) Isabel no comprende por qué la suma de las diferencias entre cada puntuación y la

media tiene que ser cero. 2. Supón que formas parte de un jurado de un concurso escolar sobre experiencias en la clase de ciencias. Jaime investigó si las plantas de guisantes crecen más bajo la luz solar o con una cantidad igual de luz procedente de una lámpara. La tabla siguiente contiene las mediciones que realizó.

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Altura de las plantas para cada una de las condiciones de

iluminación Luz solar 0'4 1'3 1'8 1'9 2'2 2'2 2'3 2'5 2'6 2'6 2'8 3 Luz artificial 1'3 1'5 1'8 2 2' 2'2 2'2 2'3 2'4 2'7 2'8 3 Jaime informó que la altura media de las 12 plantas de guisantes expuestas a la luz solar fue de 2.13 y la correspondiente a las otras 12 plantas expuestas a la luz artificial fue de 2.2. Concluyó que las plantas de guisantes crecen más bajo la luz artificial. Evalua la conclusión de Jaime. 3. Para cada uno de los ítemes siguientes analiza las respuestas de los alumnos, indicando si es o no correcta y explica el tipo de razonamiento seguido Ítem 1. Se han elegido 10 familias y el número medio de hijos entre las 10 familias es 1.2 hijos por familia. Los García tienen 4 hijos y los Pérez tienen 1 hijo, ¿cuántos hijos podrían tener las otras 8 familias para que la media de hijos en las diez familias sea 1.2 ? Justifica tu respuesta. Respuestas a. “Las otras 8 familias tienen que sumar un total de 7 niños. Porque al hacer esa media

necesitamos 12 niños”. b. “De las 8 familias, que 7 de ellas tengan 1 hijo y la octava que no tenga hijos, ...” c. “ Podrían tener dos niños. Porque la media es de 9’6 niños entre las 8 familias:

Familia 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª N. hijos 2 1 1 1’6 1 1 1 1

d. “Podrían tener un hijo por familia, pero no sabría explicar por qué. Creo que es porque de 10 familias que elijo, cojo 8 y si los divido me da 1’25”.

Ítem 2. Cuatro amigos se reúnen para preparar una cena. Cada uno de ellos trajo harina para hacer la masa de las pizzas. Como querían hacer cuatro pizzas del mismo tamaño, los que habían traído más harina regalaron a los que llevaron menos. ¿La cantidad de harina regalada por los que habían traído mucha fue mayor, menor o igual a la recibida por los que habían traído poca? ¿Por qué piensas eso? Respuestas § “Es igual porque al final se quedaron todos con la misma harina”. § “Es igual porque la cantidad de harina que dan los que tienen mucha es igual a la

cantidad de harina que los que la reciben”. § “Fue menor ya que al final tendrán que tener todos la misma cantidad”. Ítem 3. Tenemos seis números y el más grande es el 5. Sumamos estos números y dividimos la suma por seis. El resultado es 4. ¿Te parece posible? ¿Por qué?

§ “ Sí es posible, porque sí se puede hacer. Por ejemplo, cogemos cuatro veces el 5 y una vez

el 4, lo sumamos y lo dividimos entre 6 y el resultado es 4”. § “No es posible porque entre 6 números donde el mayor es 5 no pueden sumar 24”. § “No es posible porque en todo caso saldría –4 y no 4”. 4. Las siguientes tareas se han usado para detectar otros errores de comprensión de la media. Analiza qué propiedad se trata de evaluar y cuál es la respuesta correcta: 1) ¿Qué quiere decir que el número medio de niños por familia en España es 1’2? Danos

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un ejemplo de 10 familias de modo que le número medio de niños en las 10 familias sea igual a 1’2.

2) Unos niños traen tierra a clase para plantar macetas. Cada uno trae lo que puede y los que traen más tierra reparten a los que traen menos de modo que al final cada niño tiene 1’3 kilos de tierra. Si un niño nuevo viene a clase y deciden repartir a partes iguales, ¿Qué cantidad tendrá ahora cada niño?

3) La edad media de un grupo de niños es de 7’8 años. Cuál será la edad media de los niños dentro de seis meses?

BIBLIOGRAFÍA Batanero, C. (2000). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en

Educación Estadística. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. [Recuperable en, http://www.ugr.es/local/batanero/].

Batanero, C. (2000). Significado y comprensión de las medidas de tendencia central. UNO, 25, 41-58

Batanero, C., Godino, J. D. y Estepa, A. (1993). Análisis exploratorio de datos; sus posibilidades en la enseñanza secundaria. Suma, nº 9, 25-31.

Vallecillos, A. (2001). Análisis exploratorio de datos. En, E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria (pp. 559-589). Madrid: Síntesis.

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Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Estocástica y su Didáctica para Maestros

Capítulo 2:

PROBABILIDAD

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Probabilidad

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A: Contextualización Profesional

ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE PROBABILIDAD EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:

1) Resuelve los problemas propuestos. 2) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la

solución. 3) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les

atribuyes (fácil, intermedio, difícil). 4) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables

de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. 5) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para

los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.

6) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.

Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1. Indica cuáles de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles no: • Sacar una carta de una baraja española y observar si es de oros. • Observar si en las próximas 24 horas sale el sol. • Poner agua a enfriar y observar si se congela a cero grados. • Lanzar un tiro a una canasta de baloncesto y observar si el balón entra • Dejar caer un huevo desde un tercer piso y observar si se rompe al chocar con el

suelo. 2. En una bolsa hay 3 bolas amarillas, 4 azules y 1 verde. Indica con una cruz en la tabla siguiente el tipo de suceso en la experiencia de sacar una bola de la bolsa y anotar su color:

Seguro Posible Imposible Sacar una bola azul Sacar una bola roja Sacar una bola que no sea azul Sacar una bola que no sea roja

3. Un dado tiene 2 caras pintadas de verde, 2 caras pintadas de amarillo y 2 caras pintadas de rojo. Ana dice, "Yo gano si sale verde"; Bernardo dice, "Yo gano si sale

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amarillo o rojo" y Carlos dice, "Yo gano si no sale verde". ¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar cada niño y niña al tirar este dado? 4. Abel y Rosa juegan tirando un dado. Si sale un 5 gana Abel y si sale menos de 3 gana Rosa. ¿Cuántas veces habrá ganado cada uno, aproximadamente, después de tirar el dado 60 veces? 5. En una clase de 27 alumnos y alumnas, por cada 5 niñas hay 4 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que salga al recreo, tras el profesor, sea una niña? 6. Juana y Jesús juegan tirando dos monedas a la vez y van apuntando los resultados. Juana elige ganar "si salen dos caras", mientras que Jesús elige ganar "cuando sale una cara y una cruz". Observa los resultados obtenidos en 50 tiradas.

Doscaras C C ///// ///// /// Dos cruces + + ///// //// Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// ///// ///

• ¿Cuántas veces ha ganada Juana? • ¿Cuántas veces ha ganado Jesús? • ¿Cuántas veces no ha ganado ninguno?

Juana ha pedido la revancha y han vuelto a tirar otras 50 veces. Estos son los resultados.

Dos caras C C ///// ///// // Dos cruces + + ///// ///// //// Una cara y una cruz C + ///// ///// ///// ///// ////

• ¿Cuántas veces ha ganado ahora cada uno? • ¿Y si juntas los resultados de las dos partidas?

• ¿Cuál es el conjunto de todos los resultados posibles al tirar dos monedas al aire? • ¿Qué es más fácil en la experiencia anterior: sacar dos caras o sacar una cara y una

cruz? • Únete a un compañero o compañera y repetid la experiencia de Juana y Jesús.

Comparad vuestros resultados con los de las tablas obtenidas por ellos. ¿Crees que es una casualidad que haya ganado las dos partidas Jesús? ¿Por qué?

7. Copia y completa la tabla para la experiencia “sacar una bola del bombo su anotar su color”.

Probabilidad

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Casos favorables Probabilidad Sacar una bola roja 6 6/12= 1/2 Sacar una bola azul Sacar una bola que no sea amarilla Sacar una bola blanca Sacar una bola que no sea blanca

(Composición del bombo: 6 rojas, 4 amarillas y 2 azules)

7. ¿Cuál es la probabilidad, en cada caso, de que la bola caiga en un recipiente blanco? ¿Y en un recipiente negro?

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Probabilidad

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B: Conocimientos Matemáticos

1. FENÓMENOS ESTOCÁSTICOS La principal razón para introducir el estudio de las situaciones aleatorias y las nociones básicas sobre probabilidad en la enseñanza primaria es que las tales situaciones son frecuentes en la vida cotidiana. 1.1. Azar y lenguaje En nuestras conversaciones, juegos, cuentos y canciones infantiles, prensa y literatura encontramos con frecuencia referencias al azar. Por ejemplo, los niños usan canciones como “Pito –pito” para echar a suertes en el escondite o en el rescate, juegan al parchís, la oca, organizan sorteos, etc.

• Si buscamos la palabra aleatorio en el "Diccionario del uso del español" (M. Moliner

(1983) encontramos: "Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o el azar", siendo el azar la "supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divina".

• Si buscamos la palabra azar encontramos: "Del árabe 'zahr', flor, por la que se pintaba en una de las caras del dado".

Esta definición nos remite al juego de dados, un ejemplo típico de lo que todo el mundo acepta como fenómenos aleatorios, donde una característica es el carácter imprevisible del resultado. Hay muchas otras palabras relacionadas con “azar” y “aleatorio”: casual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevisible, inesperado inopinado, ocasional, .... También hay muchas expresiones que se usan en los juegos infantiles, con este mismo significado:

por suerte, por suerte, por chiripa, por chamba , de rebote, de rechazo, sin querer, sin intención, sin plan,...

Esta variedad de expresiones indica que los fenómenos aleatorios son cercanos a nuestra experiencia y que incluso los niños son capaces de observar el carácter imprevisible de estos fenómenos. 1.2. El azar en la realidad Al tratar de buscar ejemplos de fenómenos aleatorios encontramos cuatro grandes campos de aplicación de la estadística relacionados con el hombre: el mundo biológico, físico, social y político. Nuestro mundo biológico Dentro del campo biológico, vemos que muchas características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuento de hematíes, etc, dependen incluso del momento en que se miden.

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En medicina, la posibilidad de contagio o no en una epidemia, la edad en que se sufre una enfermedad infantil, la duración de un cierto síntoma, o la posibilidad de un diagnóstico correcto cuando hay varias posibles enfermedades que presentan síntomas parecidos varían de uno a otro chico. El efecto posible de una vacuna, el riesgo de reacción a la misma, la posibilidad de heredar una cierta enfermedad o defecto, o el modo en que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre son ejemplos de situaciones aleatorias. Cuando se hacen predicciones sobre la población mundial o en una región dada para el año 2050, por ejemplo, o sobre la posibilidad de extinción de las ballenas, se están usado estudios probabilísticos de modelos de crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la extensión de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo. En agricultura y zootecnia se utilizan estos modelos para prever el efecto del uso de fertilizantes o pesticidas, evaluar el rendimiento de una cosecha o las consecuencias de la extensión de una epidemia, nube tóxica, etc. Por último, y en el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del azar sobre el cociente intelectual o en la intensidad de respuesta a un estímulo, así como en los tipos diferentes de caracteres o capacidades de los individuos. El mundo físico Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio físico variable. ¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los meteorológicos?. La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. También lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de agua en un pantano, la magnitud de daños de una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasión del estudio de la estadística y probabilidad. También en nuestro mundo físico dependemos de ciertas materias primas como el petróleo, carbón y otros minerales; la estimación de estas necesidades, localización de fuentes de energía, el precio, etc, están sujetos a variaciones de un claro carácter aleatorio. Otra fuente de variabilidad aleatoria es la medida de magnitudes. Cuando pesamos, medimos tiempo, longitudes, etc, cometemos errores aleatorios. Uno de los problemas que se puede plantear es la estimación del error del instrumento y asignar una estimación lo más precisa posible de la medida. Por último, citamos los problemas de fiabilidad y control de la calidad de los aparatos y dispositivos que usamos: coche, televisor, etc. El mundo social El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio están llenos de situaciones en las que predomina la incertidumbre. El número de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varían de una familia a otra. En la escuela, ¿podemos prever las preguntas del próximo examen?; ¿quién ganará el próximo partido?, ... Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del transporte público que puede sufrir retrasos. ¿Cuántos viajeros usarán el autobús? ¿Cuántos clientes habrá en la caja del supermercado el viernes a las 7 de la tarde? En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías. Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos que hacer cola para conseguir las entradas, ... Cuando hacemos una póliza de seguros no sabemos si la cobraremos o por el

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contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variación en las cotizaciones,... El mundo político El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos inciertos y sobre los cuales necesita información. Por este motivo la administración precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de población hay muchas estadísticas cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno y todas estas estadísticas se refieren a distintas variables aleatorias relativas a un cierto colectivo. Entre las más importantes citaremos: el índice de precios al consumo, las tasas de población activa, emigración - inmigración, estadísticas demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc, de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias. 2. PROBABILIDAD. ASIGNACIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDADES 2.1. Experimento y suceso aleatorio Un ejemplo cotidiano de situación aleatoria es el pronóstico del tiempo. Para llevarlo a cabo se aplican las técnicas de recogida de datos estadísticos y para un día dado no sabemos con seguridad cuál será la temperatura o si lloverá. Sin embargo, dependiendo de la época del año unos sucesos nos parecen más probables que otros. Utilizamos la expresión "experimento aleatorio" para describir este tipo de situaciones. Ejercicios 1. Daniel y Ana son niños cordobeses. Acuden a la misma escuela y su profesor les ha pedido que preparen una previsión del tiempo para el día 24 de Junio, fecha en que comenzarán sus vacaciones. Puesto que están aún en el mes de Mayo, Daniel y Ana no pueden predecir exactamente lo que ocurrirá. Por ello, han buscado una lista de expresiones para utilizar en la descripción del pronóstico. He aquí algunas de ellas:

cierto; posible; bastante probable; hay alguna posibilidad; seguro; es imposible; casi imposible; se espera que; incierto; hay igual probabilidad; puede ser; sin duda, ...

¿Podrías acabar de clasificar estas palabras según la mayor o menor confianza que expresan en que ocurra un suceso? Busca en el diccionario nuevas palabras o frases para referirte a hechos que pueden ocurrir y compáralas con las dadas anteriormente. 2. Busca en la prensa frases o previsiones sobre hechos futuros en que se usen las palabras anteriores. Clasifícalas según la confianza que tienes en que ocurran. Compara tu clasificación con la de otros compañeros. En probabilidad llamamos "experimento" tanto a los verdaderos experimentos que podamos provocar como a fenómenos observables en el mundo real; en éste último caso, la propia acción de observar el fenómeno se considera como un experimento. Por ejemplo, la comprobación del sexo de un recién nacido se puede considerar como la realización de un experimento. Diferenciamos entre experimentos deterministas y aleatorios. Los primeros son aquellos que, realizados en las mismas circunstancias sólo tienen un resultado posible. Por el contrario, un experimento aleatorio se caracteriza por la posibilidad de dar lugar, en idénticas condiciones, a diferentes resultados.

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Suceso es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Distinguimos entre sucesos elementales, cuando no pueden descomponerse en otros más simples y suceso compuestos cuando se componen de dos o más sucesos elementales por medio de operaciones lógicas como la conjunción, disyunción o negación. Ejercicio 3. Poner tres ejemplos de experimentos aleatorios y deterministas. Para cada uno de ellos describir un suceso simple y otro compuesto. 2.2. Suceso seguro e imposible El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral o suceso seguro. Suele representarse mediante la letra E. Por ejemplo, el espacio muestral obtenido al lanzar un dado sería E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este espacio muestral es finito, pero podemos considerar un espacio muestral con infinitos resultados posibles. Por ejemplo, la duración de una lámpara podría variar en un intervalo continuo [0, 1000], donde hay infinitos puntos. Otros casos serían el peso o la talla de una persona tomada al azar de una población. Puesto que el suceso seguro consta de todos los resultados posibles, siempre se verifica. Teóricamente podríamos también pensar en un suceso que nunca pueda ocurrir, como obtener un 7 al lanzar un dado ordinario. Lo llamaremos suceso imposible y lo representamos por ∅. Ejercicios: 4. Describir el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos: a) lanzamiento simultáneo de dos monedas. b) suma de los puntos obtenidos al lanzar simultáneamente dos dados. 5. Describir un suceso imposible asociado a cada uno de los experimentos del ejercicio 2. 6. En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas se deben sacar sucesivamente para estar seguro de obtener una bola de cada color? 7. Dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez se llaman incompatibles. Por ejemplo, no pueden ocurrir a la vez los sucesos "obtener par" y "obtener impar" cuando lanzamos un dado. Tampoco podrían ocurrir a la vez "ser menor que 3" y "ser mayor que 5". ¿Podrías dar ejemplos de otros sucesos incompatibles? 2.3. Asignación de probabilidades subjetivas La asignación de probabilidades mediante palabras o expresiones no es muy precisa. Por ello, para asignar probabilidades a sucesos, se hace corresponder un valor numérico entre 0 y 1. Esto permite comparar diferentes sucesos, o bien situarlos sobre un gráfico, que llamaremos la escala de la probabilidad (Figura 1). Una vez realizado el ejercicio 1 individualmente o por parejas, pueden compararse los resultados de los diversos grupos. Puesto que cada alumno o grupo ha trabajado independientemente del resto, las probabilidades asignadas tienen un carácter subjetivo. Cada alumno podría usar diferente información o distintos criterios seguidos en su asignación.

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Finalmente, podremos obtener unas probabilidades en las que toda la clase se muestre de acuerdo, tomando el valor medio o la mediana de las probabilidades asignadas individualmente a los diversos sucesos por los diferentes alumnos.

Figura 1

2.4 Probabilidad, como grado de creencia Para medir la mayor o menor posibilidad de que ocurra un suceso en un experimento, le asignamos un número entre 0 y 1 llamado su probabilidad. La probabilidad varía entre 0 y 1 El suceso seguro siempre ocurre y el suceso imposible no puede ocurrir. Asignamos una probabilidad 0 a un suceso que nunca puede ocurrir, por ejemplo, que salga un 7 al lanzar el dado. Asignamos un 1 a un suceso que ocurre siempre que se realiza el experimento; por ejemplo, al lanzar una moneda es seguro que saldrá o "cara o cruz". Entre estos dos casos se encuentran el resto de los sucesos asociados a cada experimento. A pesar de que no sabemos cual de ellos ocurrirá en una prueba particular, algunos de ellos nos merecen más confianza que otros, en función de nuestros conocimientos sobre las condiciones de realización del experimento. Por medio de la probabilidad cuantificamos nuestro grado de creencia acerca de la ocurrencia de cada uno de los sucesos asociados a un experimento. A cualquier otro suceso distinto del "imposible" y del "seguro" se le asigna un número entre 0 y 1. Este valor lo asignamos de acuerdo con nuestra información y la creencia que tengamos en la ocurrencia del suceso. Por ello, diferentes personas podrían asignar una probabilidad distinta al mismo suceso. Por ejemplo, si nos preguntan por la probabilidad de que una cierta persona llegue a cumplir 25 años, diremos que es muy alta. Pero, si su médico sabe que esta persona sufre una enfermedad incurable dará un valor bajo para esta misma probabilidad.

Ejercicios: 8. Esperanza de vida: A partir de una tabla de vida, hacer predicciones sobre la probabilidad de vivir x años, o de vivir en el año 2010, según sea un chico o una chica, el profesor, etc. 9. Investigación. Discutir y ordenar las probabilidades de que se produzcan diversos inventos antes de 5, o 10 años (vacunas, viajes interplanetarios, energía,...)

Imposible

Hay igual probabilidad

Seguro

5

10

0

10

1

2 1 0

10

10

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10. Accidentes:. Escribir una serie de frases sobre la reducción o aumento del número de accidentes, probabilidad de que se produzcan en una fecha dada y ordenarlas de mayor a menor probabilidad. 11. Resultados de elecciones. Con motivo de algunas elecciones escolares, locales, etc, plantear la mayor o menor probabilidad de que resulte elegido un candidato, o de que logre todos los votos, los 2/3, etc. Para ello utiliza los gráficos de alguna encuesta publicada en la prensa local (por ejemplo, un gráfico de barras o sectores). 12. Recoger de la prensa los datos de las temperaturas máxima y mínima durante una semana en las capitales de provincia. Confeccionar una tabla estadística con estos datos. ¿Cuál crees que será la temperatura máxima y mínima más probable la próxima semana? 13. Busca dos gráficos estadísticos diferentes que hayan aparecido en la prensa local recientemente. Para cada uno de ellos describe el experimento aleatorio al que se refieren; los sucesos asociados y cuál de ellos es más probable. ¿Podrías hacer un gráfico alternativo para representar la información en cada uno de los casos?

3. ESTIMACIÓN DE PROBABILIDADES 3.1. Frecuencia absoluta y relativa. Estabilidad de las frecuencias relativas Cuando realizamos un experimento N veces, llamamos frecuencia absoluta del suceso A el número NA de veces que ocurre A. Al cociente h(A)=NA/N le llamamos frecuencia relativa del suceso. Se pueden observar las tres propiedades siguientes en las frecuencias relativas: 1. La frecuencia relativa del suceso varía entre 0 y 1; 2. La frecuencia relativa del suceso seguro siempre es 1 en cualquier serie de ensayos. 3. Supongamos que un suceso A se forma uniendo sucesos que no tienen elementos

comunes. En este caso, la frecuencia relativa del suceso A es la suma de las frecuencias relativas de los sucesos que lo componen.

Por ejemplo, al lanzar un dado, h(par)= h(2)+h(4)+h(6). El valor de la frecuencia relativa de un suceso no es fijo para N, puesto que se trata de un fenómeno aleatorio. Dos alumnos de la clase que realicen el mismo experimento 50 veces pueden obtener diferentes valores de las frecuencias absoluta y relativa del mismo suceso. Sin embargo, para una serie larga de ensayos, las fluctuaciones de la frecuencia relativa son cada vez más raras y de menor magnitud. Este hecho tiene una demostración matemática, en los teoremas conocidos como "leyes de los grandes números". También puede observarse experimentalmente; por ejemplo, en las estadísticas recogidas en grandes series de datos sobre natalidad, accidentes, fenómenos atmosféricos, etc. 3.2. Estimación frecuencial de la probabilidad La estabilidad de la frecuencia relativa en largas series de ensayos, junto con el hecho de que haya fenómenos para los cuales los sucesos elementales no son equiprobables, hace que pueda estimarse el valor aproximado de la probabilidad de un suceso a partir de la frecuencia relativa obtenida en un número elevado de pruebas. Este es el único método de asignar probabilidades en experimentos tales como "lanzar una

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chincheta" o "tener un accidente de coche en una operación retorno". Recuerda, no obstante, que el valor que obtenemos de esta forma es siempre aproximado, es decir, constituye una estimación de la probabilidad. Sabemos, por ejemplo, que, debido a las leyes genéticas la probabilidad de nacer varón o mujer es aproximadamente la misma. Sin embargo, si en un hospital hacemos una estadística de nacimientos no sería raro que un día dado, de diez recién nacidos, 7 u 8 fuesen varones. Sería más raro que fuesen varones 70 o más entre cien recien nacidos, y todavía más difícil que más del 70% de entre 100.000 recién nacidos lo fuesen. Con este ejemplo, vemos también que es muy importante el tamaño de la muestra en la estimación de las probabilidades frecuenciales. A mayor tamaño de muestra, mayor fiabilidad, porque hay más variabilidad en las muestras pequeñas que en las grandes. Ejercicios 14 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones te parece verdadera cuando lanzamos un dado? ¿Por qué? a) la probabilidad de obtener un 3 es mayor que la de obtener un 6 b) la probabilidad de obtener un 6 es mayor que la de obtener un 3; c) la probabilidad de obtener un 6 es igual que la de obtener un 3; d) la probabilidad de obtener un 1es mayor que 1/2 ; e) Asigna un valor numérico a la probabilidad de obtener un 1. 15. Experimentos con chinchetas. Por parejas, los alumnos lanzan una caja de chinchetas sobre una mesa, contando cuántas de ellas caen de punta o de cabeza. Con los resultados de toda la clase puede estimarse, aproximadamente, la probabilidad de estos dos sucesos y el profesor puede aprovechar para hacer observar a los chicos que existen ejemplos de experimentos en los que la aplicación de la regla de Laplace no es pertinente. 3.3. Simulación de experimentos aleatorios La realización de experimentos aleatorios usando dispositivos físicos, como dados, fichas, bolas, ruletas, etc. puede requerir bastante tiempo. A veces, incluso puede que no se dispongan de tales dispositivos en número suficiente para toda la clase. Una alternativa válida consiste en simular tales experimentos por medio de una tabla de números aleatorios. Este procedimiento incluso permite resolver problemas de probabilidad reales haciendo las simulaciones con un ordenador. Llamamos simulación a la sustitución de un experimento aleatorio por otro equivalente con el cual se experimenta para obtener estimaciones de probabilidades de sucesos asociados al primer experimento. La estimación de la probabilidad que se obtiene con el experimento simulado es tan válida como si se tratase del experimento real. Este es el método que se emplea para obtener previsiones en las siguientes situaciones: a) Experimentos complejos, como sería planificar el tráfico durante una operación

salida de vacaciones. b) Experimentos peligrosos, como estimar la temperatura de control o la velocidad de

reacción permitida en una central nuclear. c) Situaciones futuras: estudios ecológicos o sobre contaminación ambiental.

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Ejercicios 16. Explica cómo usar la tabla de números aleatorios de la figura 3, o los números aleatorios generados por tu calculadora, para simular los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda. Figura 2 b) Tirar un dado. c) Sacar bolas numeradas del 1 al 100 de una bolsa. d) Girar una ruleta como la de la figura 2. e) Observar el sexo de un recién nacido. f) Observar el sexo de 2 recién nacidos

8231 4167 2530 7720 5676 1581 1649 564 3295 5354 4496 8048 9488 3297 7785 6922 7832 9461 9526 1473 4871 0564 2895 0249 4688 3781 8989 5516 2423 1518 2179 8540 9166 3163 8419 7023 5233 9033 9349 1256 2125 5297 0125 8071 9371 5108 7098 6403 6207 1817

Figura 3: Tabla de números aleatorios 4. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES. REGLA DE LAPLACE Ejercicios 17. Cuando lanzamos un dado, obtenemos el espacio muestra E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que este dado está perfectamente construído. No tenemos, por tanto, motivos para dar ventaja a ninguno de los resultados. ¿Cuál sería la probabilidad de cada uno de los resultados elementales, P(1) = ; ... ; P(6)= ? Razona la respuesta. 18. En el espacio muestral obtenido al lanzar un dado podemos formar subconjuntos suyos o sucesos, por ejemplo, A = "obtener par" = {2, 4, 6 }. Escribe los elementos de los siguientes subconjuntos de E: B = "número impar" = C "número primo" = D = "número compuesto" = F = "múltiplo de 3" = Asigna probabilidades a cada uno de los sucesos B, C, D, E. Razona las respuestas. Si un espacio muestral consta de un número finito n de sucesos elementales y no tenemos motivo para suponer que alguno de ellos pueda ocurrir con mayor frecuencia que los restantes, la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales es 1/n En estos casos, podemos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades de los sucesos compuestos. Un suceso compuesto que se compone de k sucesos elementales, tiene, en este caso una probabilidad igual a k/n (regla de Laplace) En el caso de que tengamos motivos para pensar que algún suceso puede darse con mayor frecuencia que otros (por ejemplo, al usar un dado sesgado) o bien cuando el espacio muestral es infinito, no podemos aplicar esta regla.

B 45º A 135º C 90º D 90º

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Ejercicios 19. Un experimento consiste en lanzar un dado con forma de dodecaedro, con los números del 1 al 12 en sus caras. Encontrar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) Obtener un número par; b) Obtener un número primo; c) Obtener un divisor de 12. 20. Se toma un número comprendido entre 0 y 999 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cifra central sea mayor que las otras dos? 21. A un congreso asisten 100 personas. De ellas, 80 hablan francés y 40 inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hable los dos idiomas? Axiomas de la probabilidad En los apartados anteriores hemos visto tres modos diferentes de asignar probabilidades, según el tipo de experimento aleatorio: a) En el caso de espacios muestrales con un número finito de sucesos elementales en

los que pueda aplicarse el principio de indiferencia, calculamos las probabilidades usando la regla de Laplace.

b) Si no podemos usar la regla de Laplace, pero tenemos información estadística sobre las frecuencias relativas de aparición de distintos sucesos, podemos obtener una estimación frecuencial de las probabilidades.

c) En los demás casos, el único modo de asignar las probabilidades a los sucesos es de modo subjetivo.

En todos los casos, las probabilidades cumplen unas mismas propiedades, que se recogen en la definición axiomática de la probabilidad. Toda teoría matemática se desarrolla a partir de una serie de axiomas. Generalmente estos axiomas se basan en la abstracción de ciertas propiedades de los fenómenos que se estudian, que para el caso de la probabilidad son las tres primeras propiedades que hemos citado sobre las frecuencias relativas. Como consecuencia, se considera que la probabilidad es toda aplicación, definida en el conjunto de los sucesos asociados a un experimento aleatorio, que cumpla las tres siguientes propiedades: 1. A todo suceso A le corresponde una probabilidad P(A), número comprendido entre

0 y 1. 2. La probabilidad del suceso seguro es 1, P(E)=1. 3. La probabilidad de un suceso que es unión de sucesos incompatibles es la suma de

las probabilidades de los sucesos que lo componen. 5. PROBABILIDADES EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS Con frecuencia, los problemas de probabilidad involucran dos o más experimentos. Algunos ejemplos de estas situaciones son: • Lanzar al aire dos monedas, tres monedas, ... • Adivinar el sexo de una pareja de mellizos no idénticos, antes de hacer la ecografía. • El número de bombillas defectuosas en una caja de 10 bombillas

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• El número de estudiantes en una clase que ha estudiado la lección En estas situaciones, algunas reglas sencillas pueden ser útiles para calcular la

probabilidad. Estudiaremos algunos ejemplos para deducir estas reglas a partir de los mismos.

5.1. Resultados de un experimento compuesto Ejemplo: Al lanzar simultáneamente dos monedas, ¿es más fácil obtener una o dos caras? Solución: Se trata de un experimento compuesto de dos experimentos simples: • Primer experimento: Lanzar la primera moneda. E = { C, +} • Segundo experimento: Lanzar la segunda moneda. E = { C, +} Las posibilidades que se pueden presentar en el experimento compuesto se presentan en la tabla siguiente: Segundo Experimento Primer Experimento C + C CC C+ + +C ++ Observamos por tanto que la probabilidad de obtener dos caras es ¼ y la de obtener una cara es ½ puesto que tenemos dos posibilidades. Ejercicios 22. Describe con la ayuda de una tabla todos los sucesos que puedes obtener en los siguientes experimentos compuestos: a) Sexo de dos recién nacidos b) Números al lanzar dos dados a la vez c) Grupo sanguíneo de dos recién nacidos 23. De una bolsa con 3 bolas blancas y 3 bolas azules sacamos dos bolas. Describe todos los resultados si : a) Devolvemos la primera bola a la caja después de ver el color b) No la devolvemos 5.2. Cálculo de probabilidad a partir del diagrama en árbol Otra forma de representar las posibilidades en este experimento compuesto es mediante un diagrama en árbol, que nos sirve también para observar la forma en que se obtiene la probabilidad. Observa el diagrama que hemos construido para representar el experimento que consiste en lanzar dos monedas. En este diagrama anotamos, para cada experimento sus posibilidades y la probabilidad de los diferentes resultados

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Primer Experimento

½ ½

Segundo Experimento C + ½ ½ ½ ½

C + C + ¼ ¼ ¼ ¼

Experimento Compuesto CC C+ +C ++ Regla de cálculo: Puesto que la mitad de las veces obtenemos cara en el primer experimento y de esta mitad, la mitad de las veces obtenemos cara en el segundo, la probabilidad de obtener dos caras es la mitad de un medio, esto es un cuarto. • En el diagrama en árbol, la probabilidad final de un resultado es el producto de las

probabilidades en cada rama que lleva a este resultado. 5.3. Experimentos dependientes e independientes En el ejemplo del lanzamiento de dos monedas, el resultado de la segunda moneda no depende de lo que salió en la primera. Así observamos que: • Los resultados del segundo experimento serían los mismos, si no se hubiera llevado

a cabo el primero. • Los resultados del segundo experimento tienen la misma probabilidad, sin depender

del resultado del primero. La probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es ½ y esto no depende del resultado en el primer lanzamiento.

En otros casos, el segundo experimento depende del primero, por ejemplo:

• La probabilidad de aprobar un examen mejora con el número de exámenes. • La probabilidad de que una persona tenga un infarto es mayor si ha tenido otro

previamente. • La probabilidad de que un niño tenga los ojos azules es diferente, según el color de

los ojos de sus padres. También en estos casos podemos usar el diagrama en árbol, pero teniendo en cuenta que ahora las probabilidades del segundo experimento dependen del resultado del primero. Ejemplo: En una caja tengo tres bolas rojas y dos verdes. Tomo dos bolas al azar sin devolver la primera, ¿Cuál es la probabilidad de tomar las dos verdes? Solución: Puedo construir de nuevo el diagrama en árbol, teniendo en cuenta las probabilidades en cada experimento y cómo varían las del segundo en función de los resultados en el primero:

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Primer Experimento

3/5 2/5

Segundo Experimento R V 2/4 2/4 3/4 1/4

R V R V 3/10 3/10 3/10 1/10

Experimento Compuesto RR RV VR VV Observa que en el experimento compuesto, de nuevo la suma de todas las probabilidades es igual a uno. 6. TALLER DE MATEMÁTICAS 1. Se lanza un moneda tres veces seguidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces? 2. Se lanza un dado dos veces seguidas y se suman los puntos obtenidos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sean menor o igual que 10? 3. Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas:

- Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntos entre el mayor y el menor. - Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2 entonces Carmen gana 1 ficha. - Si resulta 3, 4, o 5 es Daniel quien gana una ficha. - Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan más. ¿Te parece que este juego es equitativo? Si tuvieras que jugar, ¿cuál jugador preferirías ser? ¿Cuántas fichas debería ganar cada jugador para que el juego sea equitativo sin cambiar el resto de las reglas?

4. En una caja con 10 bombillas hay 3 fundidas. Tomamos dos bombillas de la caja. • ¿Depende la probabilidad de que la segunda bombilla sea defectuosa de si la

primera estaba fundida? • Con ayuda del diagrama en árbol calcula la probabilidad de que las dos bombillas

sean defectuosas, de que ninguna esté fundida, de que al menos una esté fundida. ¿Cuál es el resultado más probable?

5. El 85 % de votantes en una ciudad acude a las elecciones. En una familia donde hay tres personas con edad de votar, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres hayan votado? 6. Un jugador de baloncesto que suele encestar el 70 por ciento de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales tiene que lanzar una personal. Esto implica que si el jugador acierta el primer lanzamiento puede repetir otro. Por tanto puedo obtener 0, 1 o 2 puntos en el juego, fallando el primer lanzamiento (0 puntos) acertando el primero y fallando el segundo (1 punto) o encestando los dos (2 puntos).

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a) Utiliza la tabla de números aleatorios para simular el experimento y estima la probabilidad de que el jugador obtenga 0, 1, 2 puntos. b) Con ayuda de un diagrama en árbol calcula la probabilidad de que el jugador obtenga 0, 1, 2 puntos. 7. Ponemos a un ratón al comienzo de este laberinto. ¿Cuál es la probabilidad de que

acabe en la parte A? ¿Y en la B? Simula este experimento y da una respuesta aproximada. Con la ayuda de un diagrama en árbol calcula las probabilidades de llega a A y a B.

8. Al lanzar tres monedas, Maria gana 1 euro si se obtiene 0 o 1 caras. Juan gana un euro si se obtienen 2 o 3 caras. María dice que el juego es justo porque solo hay 4 posibilidades y cada uno de ellos tiene ventajas con dos. Juan no está de acuerdo. a) ¿Quién tiene razón? b) ¿Cuál sería la cantidad de dinero que tiene que pagar Maria a Juan en caso que este gane, para que el juego sea equitativo?

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C: Conocimientos Didácticos

1. ORIENTACIONES CURRICULARES

1.1. Diseño Curricular Base del MEC

La probabilidad, como tal, no aparece como un tema específico en la educación primaria, aunque encontramos menciones al tema en forma implícita y explícita.

Por ejemplo, el objetivo general 6 para el área de matemáticas formulado por el

M.E.C. sugiere el trabajo con fenómenos aleatorios:"Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma". Este objetivo es desarrollado en el bloque de contenidos referido a organización de la información en los siguientes términos, donde se alude explícitamente a los experimentos aleatorios, dentro de los conceptos, recogiendo como tal “Carácter aleatorio de algunas experiencias”.

Dentro de los procedimientos en este mismo bloque se incluye también la

"expresión sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el alumno".

Respecto a criterios de evaluación sobre probabilidad especifica el número 11,

en el que se contempla claramente una introducción a la asignación de probabilidades en casos sencillos: "Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado de juegos de azar sencillos, y comprobar dicho resultado". 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) La probabilidad se contempla en estas orientaciones curriculares desde el jardín de infancia. En los niveles K-2 (infantil y primer ciclo de primaria) se especifica que todos los niños deben discutir sobre sucesos familiares a su experiencia les parecen fáciles o difíciles de ocurrir. Las ideas de probabilidad a estos niveles han de ser informales.

En los niveles 3-5 se espera que los niños alcancen competencia para:

• decribir sucesos como probables o improbables y discutir el grado de probabilidad usando palabras como seguro, igual probabilidad e imposible;

• predecir la probabilidad de los diferentes resultados de experimentos simples y comprobar las predicciones a través de la experimentación;

• comprender que podemos representar la probabilidad de un suceso por un número comprendido entre cero y uno.

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2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE

Desde muy pequeño el niño debe aprender a estimar, discriminar y diferenciar formas, distancias y cantidades. Las operaciones aritméticas básicas se pueden también concretizar en operaciones con objetos físicos (juntar o separar colecciones, etc.) que tienen la propiedad de ser reversibles (volver a los operandos primitivos al deshacer la operación). Por el contrario, no existe una experiencia concreta similar de lo aleatorio, ya que no podemos manipular estos fenómenos para producir un resultado específico, ni devolver los objetos a su estado inicial deshaciendo la operación. Por ejemplo, si hacemos girar la aguja en una ruleta, desde una posición inicial, impulsándola hacia la derecha, es muy poco probable que un impulso a la izquierda devuelva la aguja a su posición inicial. Esta falta de reversibilidad de los experimentos aleatorios sin duda influye en el desarrollo más tardío de las nociones de aleatoriedad y probabilidad.

2.1. La Intuición del Azar

El primer paso para comenzar a enseñar probabilidad es asegurarnos que los niños son capaces de diferenciar las situaciones aleatorias y deterministas.

Piaget e Inhelder (1951) pensaban que los niños pequeños no pueden comprender bien el azar, porque para ello tendrían que entender la relación de causa y efecto. Por ello piensan que no hay una intuición del azar innata en el niño, como no existía tampoco en el hombre primitivo, que atribuía los sucesos aleatorios a causas ocultas o a la "voluntad de los dioses".

Esta opinión es rechazada por Fischbein para quien la intuición primaria del azar, esto es, la distinción entre fenómeno aleatorio y determinista aparece antes de los 7 años. Fischbein se basa en la conducta de los niños al practicar juegos de azar, ya que en juegos sencillos, los niños son capaces de elegir la opción de mayor probabilidad. Esta comprensión es gradual y progresiva.

En los fenómenos aleatorios los resultados aislados son imprevisibles pero el conjunto de posibilidades puede determinarse mediante un razonamiento de tipo combinatorio, con lo que se vuelve previsible. Cuando se comprende esto aparece la idea de probabilidad, expresada por la razón entre las posibilidades de un caso particular y del conjunto de posibilidades. Esto ocurre en la etapa de las operaciones formales.

Fischbein sostiene que la distinción entre el azar y lo deducible no se realiza espontánea y completamente al nivel de las operaciones formales, porque está influenciado por las tradiciones culturales y educativas de la sociedad moderna, que orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas.

2.2. La estimación de la frecuencia relativa

Supuesto que un niño sea capaz de diferenciar los fenómenos aleatorios y deterministas, el segundo paso es que pueda estimar en una serie de experimentos cuáles son los sucesos que aparecen con mayor o menor frecuencia. Muchos psicólogos han llevado a cabo experimentos de aprendizaje probabilístico, en los cuales se trata de estudiar las predicciones de los sujetos ante situaciones en que un suceso se repite con una determinada frecuencia relativa.

Ejemplo. Se presenta al alumno dos luces de color diferente (pueden ser rojo y verde) que se irán encendiendo intermitente y aleatoriamente con una determinada frecuencia, por ejemplo, el 70 y el 30%, respectivamente. El sujeto debe predecir cuál de las dos luces se

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encenderá la próxima vez. Los resultados obtenidos en este tipo de experimentos apoyan fuertemente la

conclusión de que los niños adapta sus predicciones a las probabilidades de los sucesos que se le presentan como estímulo. Ello nos indica que los niños son capaces de apreciar las diferentes frecuencias relativas con que aparecen los resultados de los fenómenos aleatorios.

Esta predicción mejora con la edad, Como resultado de experiencias acumuladas, la intuición de la frecuencia relativa se desarrolla de un modo natural como consecuencia de las experiencias del niño con situaciones que implican sucesos aleatorios, en las que sea necesaria una estimación de las frecuencias relativas de los fenómenos. Es fácil pensar en tales experiencias en la vida diaria, por ejemplo, cuando estimamos el tiempo que transcurre entre un autobús y otro, o hacemos una previsión sobre si va a llover o no, según el día se presente más o menos nublado, etc. Al llegar a la adolescencia, incluso se pueden elegir estrategias adecuadas en función de las frecuencias de los sucesos aleatorios.

2.3. Estimación de posibilidades y noción de probabilidad

El niño puede hacer juicios probabilísticos, en situaciones sencillas, por ejemplo al elegir, entre dos urnas o cajas con diferente número de bolas blancas y negras, aquella que ofrezca más posibilidades de obtener una bola blanca. Hay que tener en cuenta que aquí aparece un problema de comparación de fracciones por lo que se seguirán las estrategias y etapas que se describen sobre proporcionalidad.

Los niños comienzan resolviendo problemas que impliquen comparación de probabilidades de un mismo suceso A en dos experimentos diferentes sólo en situaciones donde, bien el número de casos favorables o el número de casos no favorables a A son iguales en ambos experimentos (sus estimaciones se basan en comparaciones binarias). Posteriormente pasan a resolver problemas en que los casos se pueden poner en correspondencia mediante una proporción.

Los adolescentes progresan rápidamente en el cálculo de probabilidades, incluso cuando las fracciones a comparar tienen diferente denominador. Esto se observa con niños a partir de 12-13 años, e incluso a partir de 10 años con la ayuda de la instrucción. 3. SITUACIONES Y RECURSOS

Los resultados de diversas investigaciones proporcionan orientaciones sobre cómo ayudar a los niños en el desarrollo del razonamiento probabilístico. Algunas de estas orientaciones son las siguientes: 1. Proporcionar una amplia variedad de experiencias que permitan observar los

fenómenos aleatorios y diferenciarlos de los deterministas. 2. Estimular la expresión de predicciones sobre el comportamiento de estos fenómenos

y los resultados, así como su probabilidad. 3. Organizar la recogida de datos de experimentación de modo que los alumnos tengan

posibilidad de contrastar sus predicciones con los resultados producidos y revisar sus creencias en función de los resultados.

4. Resaltar el carácter imprevisible de cada resultado aislado, así como la variabilidad de las pequeñas muestras, mediante la comparación de resultados de cada niño o por parejas.

5. Ayudar a apreciar el fenómeno de la convergencia mediante la acumulación de resultados de toda la clase y comparar la fiabilidad de pequeñas y grandes muestras.

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En los siguientes apartados describimos algunos tipos de actividades y recursos para el estudio de la probabilidad en primaria. 3.1. Juegos y sorteos Los niños son muy aficionados a los juegos. En ellos el azar interviene en diferentes formas. Por ejemplo, los niños echan a suerte cuando juegan al escondite o al rescate porque ninguno quiere “quedarse”. Podemos aprovechar estas actividades infantiles para hacerles observar los resultados aleatorios y no aleatorios. Por otro lado los niños juegan al parchís, la oca y otros juegos de azar y en los que a veces también se mezclan las estrategias. Algunos de estos juegos contribuyen a la formación de creencias, como, por ejemplo, que el número cinco es el más difícil, cuando se lanza un dado. Todas estas actividades se podrían aprovechar en relación con la introducción de la probabilidad Actividad 1. “Pito pito” es una canción que usan los niños para echar a suertes. Dice así: “Pito pito gorgorito, donde vas tu tan bonito, a la vera de mi abuela, pim, pam fuera! (El que le toque se queda). a) ¿Conoces otras canciones para echar a suertes? ¿Cuándo las usais? b) Vamos a colocarnos en un corro y echar a suertes con “pito pito” ¿Sería justo comenzar siempre por el mismo niño? ¿Por qué? c) ¿Conoces otras formas de echar a suertes? d) ¿Podríamos poner los nombres de cada niño en un papel y elegir uno al azar? ¿Qué significa elegir al azar? ¿Cómo lo harías? ¿Es más fácil que salga el nombre de un niño o de una niña? 3.2. Experimentación y estimación frecuencial de probabilidades En este tipo de actividades se proporciona a los alumnos algunos dispositivos generadores de resultados aleatorios, como dados, monedas, fichas, ruletas, etc. La finalidad será que los alumnos experimenten y adquieran una experiencia de lo aleatorio, incluyendo la observación de la imprevisibilidad de resultados, la variabilidad de las pequeñas muestras y la convergencia gradual a la probabilidad teórica. Será necesario que el profesor organice la recogida de datos, la representación gráfica de los resultados y la discusión de los mismos. Se animará a los alumnos a expresar sus creencias previas sobre los fenómenos aleatorios y a contrastarlas con los resultados experimentales. La recogida de datos, organización en tablas y representación gráfica permite conectar este tema con la estadística. Actividad 2:

a) Imagina que estás jugando al parchís con un amigo. Para poder comenzar a mover la ficha es preciso obtener un cinco, pero tu amigo prefiere que se le exija obtener un 3, porque piensa que de este modo tiene ventaja. ¿Tú que opinas? ¿Puedes dejarle que comience a mover la ficha cuando le salga el 3, o es preciso que los dos juguéis a obtener el mismo número? Otro compañero sugiere que hagáis un experimento para resolver la discusión. Piensa que de este modo se puede saber quién tiene ventaja. Fíjate en la tabla que te presentamos a continuación. Trata de adivinar cuantas veces,

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aproximadamente, saldrá el 3 y cuantas el 5 si lanzas un dado 24 veces. Escribe este número en la columna "número esperado de veces".

Resultado Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Nº esperado de veces 1 2 3 4 5 6 Total 24 1 24

b) Lanza el dado 24 veces y anota los resultados en la tabla. El número de veces que sale cada cara del dado es su frecuencia absoluta. Si dividimos dicho número por el número total de lanzamientos (en este caso 24), obtenemos la frecuencia relativa de ese suceso. Calcula la frecuencia relativa de obtener 5 y la de obtener 3. ¿Cuál es mayor?. c) El profesor mostrará en la pizarra los resultados de toda la clase. Preparará con ellos una tabla y un gráfico de barras. Compara estos resultados con los vuestros y con la estimación que habéis hecho. d) Con el fin de apreciar la ley de estabilidad de las frecuencias relativas y comparar los valores de la probabilidad asignados según la regla de Laplace con el correspondiente concepto frecuencial, se recogerán todos los resultados de los distintos grupos en una hoja de registro como la siguiente:

Suceso observado: Pareja Nº Nº de

experimentos Frecuencia absoluta

Nº de experimentos acumulados (N)

Frecuencia acumulada (A)

Frecuencia relativa (A/N)

1 2 ......

e) En un diagrama cartesiano se representarán los puntos (N,A/N), número de experimentos acumulados, frecuencia relativa. A pesar de que la ley de estabilidad de las frecuencias relativas es válida sólo cuando n crece indefinidamente, los alumnos podrán apreciar una cierta regularidad o tendencia hacia el valor asignado "a priori", aunque el número de experiencias de clase sea limitado.

T e n d e n c i a d e l a m e d i a m u e s t r a lM e d i a m u e s t r a l = 3 . 5 4 8

0

1

2

3

4

5

6

1 18 35 52 69 86

103

120

137

154

171

188

205

222

239

256

273

290

307

324

341

358

375

392

409

426

443

460

477

494

n

Me

dia

mu

es

tra

l

M u e s t r a s e l e c c i o n a d a

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3.3. Construcción de dispositivos aleatorios En esta actividad se proporciona a los alumnos cartulina, tijeras y pegamento para construir dispositivos aleatorios con resultados equiprobables y no equiprobable. La finalidad es que los alumnos distingan los casos en que es posible o no es posible aplicar el principio de indiferencia. Asimismo, les permitirá apreciar la utilidad de la estimación frecuencial de la probabilidad en aquellos casos en que no puede aplicarse dicho principio. En la construcción de estos generadores aparecen conexiones con otros temas, como poliedros regulares y no regulares, desarrollo de poliedros, sector circular. Alternativamente estas actividades podrían plantearse en el estudio de los citados temas. Actividad 3: Un dado ordinario se puede construir recortando en cartulina el siguiente perfil

Figura 2

1) Construye un dado recortando en cartulina este perfil, pero numera dos caras con el

número 5 y ninguna con el 1. 2) Experimenta con este dado. Enumera, para este caso, el conjunto de todos los resultados

posibles. ¿Cuáles son sus probabilidades? 3) Construye un dado, recortando en cartulina el perfil dibujado. Pega un pequeño peso en la

cara del 1, por ejemplo, un botón. De este modo hemos construido un dado sesgado.¿Qué consecuencias tiene el hecho de que una cara del dado pese más que las restantes? En este caso, obtener un 1, ¿es más, menos o igual de probable que antes? ¿Puedes construir un dado sesgado de tal manera que casi siempre salga el 5?

4) Construye dados sesgados y no sesgados que tengan más de 6 resultados posibles. En las

figuras adjuntas presentamos algunos poliedros regulares. Construye dados sesgados y no sesgados con estos poliedros regulares. ¿Cuáles son los poliedros regulares con los que puedes construir dados no sesgados? ¿Podrías construir un dado no sesgado con un poliedro no regular?

Actividad 3: Construye una ruleta como la que representamos a continuación. Sólo necesitas un trozo de cartulina, un compás para trazar el contorno circular, un bolígrafo como eje de giro y un clip sujetapapeles parcialmente desenrollado.

a) Da un empujón al clip y observa en qué zona se para. Si se detiene en la zona rayada

decimos que ha ocurrido el suceso simple R; si se para en la blanca ocurre el suceso simple B. El conjunto de todos los sucesos elementales es, por tanto: E ={ R, B}

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b) Si tiramos 40 veces, ¿alrededor de cuántas veces ocurrirá R?; ¿y B? c) Haz este experimento con un compañero y completa la tabla siguiente:

Figura 3

Suceso Recuento Nº de veces obtenidos

Frecuencia relativa

Nºde veces esperado

R B Total 40 1 40

d) Compara tus resultados con los de los otros compañeros. e) Asigna probabilidades a los sucesos R y B: P(R) = ; P(B) = f) Inventa juegos de azar basados en los resultados de lanzar las ruletas que reproducimos a continuación

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3.4. Recursos en Internet 1. ¿Cuáles son tus posibilidades? http://nces.ed.gov/nceskids/probability/dice_handler.asp

Die1 Die2 Rolls Die1 Die2 Rolls Die1 Die2 Rolls

1 0 2

0 1 2

0 0 1

3 1 2

2 0 0

1 0 1

0 0 0

1 1 2

1 0 2

0 0 1

0 1 2

1 0 1

Permite experimentar el lanzamiento de dos dados. Se puede elegir el número de lanzamientos y se representan los resultados de dos formas diferentes: • Mediante una tabla con las

frecuencias de cada uno de los resultados posibles en el experimento;

• Con un diagrama de barras de la suma de los dos dados (frecuencias absolutas y porcentajes.

Se puede aumentar el número de experimentos y acumular los resultados. Este experimento permite plantear preguntas de predicción sobre cuáles sumas son más o menos probables al lanzar los dos dados y contrastar estas predicciones con los resultados. También sirve para analizar el “sesgo de equiprobabilidad” comparando las posibilidades de que los dos números sean iguales o diferentes.

Este experimento podría primero realizarse en la clase con dados reales. Los niños trabajarían por parejas con dados de diferente color (para diferenciar el orden de los mismos) y anotarían sus resultados en una tabla similar a la anterior. Deberían calcular el valor de la suma en cada uno de los casos posibles. Con los datos de toda la clase, se realizaría la gráfica en la pizarra para discutir cuál o cuáles sumas son más probables.

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2. ¿Es mejor cambiar? http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_117_g_1_t_5.html

Permite experimentar con una variante del problema de las tres puertas que consiste en lo siguiente: Hay que adivinar cuál, entre tres cartas es un Rey. Una vez elegida una de las cartas, se enseña una de las dos restantes (siempre una carta diferente del Rey). Antes de levantar la carta elegida se ofrece la posibilidad de cambiar a la otra carta que todavia no ha sido descubierta. ¿Cuál es la mejor estrategia, cambiar de carta o conservar la elección inicial?

Se trata de pensar antes de comenzar el juego las posibilidades que tenemos y adivinar cuál es la mejor estrategia. Seguidamente se experimenta el juego con la estrategia elegida o bien con las dos estrategias y se revisa la predicción inicial si es necesario. Finalmente se trata de razonar por qué la estrategia en cuestión da una mayor probabilidad y también el por qué nos engañan nuestras intuiciones sobre la probabilidad. 4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE: INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Uno de los estudios más completos de evaluación de la comprensión de la idea de probabilidad en los niños es el de Green. A continuación incluimos algunos de sus ítemes que contemplan tres aspectos diferentes: • El lenguaje de probabilidad: comprensión de los términos que usamos para

referirnos al azar y la probabilidad. • Razonamiento combinatorio: capacidad de enumerar todos los casos en un

experimento aleatorio. • Razonamiento probabilístico propiamente dicho. Item 1. Escribe una palabra o frase que signifique lo mismo que: a) Imposible b) Posible c) Igual posibilidad d) Poca posibilidad e) Muy probable

Este es un ítem de lenguaje y el orden de dificultad es el siguiente: a) b) d) e) c) para

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los niños de 11-12 años. Los porcentajes de acierto varían entre el 80% en la parte a) y el 50% en la parte c).

Item 2. En una clase de matemáticas hay 13 niños y 16 niñas. Cada nombre de los alumnos se escribe en un trozo de papel. Todos los trozos se ponen en un sombrero y el profesor saca uno sin mirar. Señala la frase correcta:

a) Es más probable que el nombre sea de un niño. b) Es más probable que el nombre sea de una niña. c) Es igual de probable que el nombre sea de un niño o de una niña. d) No lo se.

Este es un ítem de razonamiento probabilístico y evalúa la comprensión de la regla de Laplace que en este caso no se aplica al ser los sucesos no equiprobables. El índice de aciertos en los niños de 11-12 años es el 63%.

Item 3. Cuando se lanza un dado, ¿qué número o números son más difíciles de obtener? ¿o son todos iguales? Este es un ítem de razonamiento probabilístico y evalúa las creencias subjetivas de que algunos números son más difíciles de obtener que otros. Aproximadamente el 20% de los niños de entre 11-12 años piensan que al lanzar un dado el cinco es el número más difícil de obtener. Item 4. María y Esteban juegan a los dados. María gana un euro si el dado sale 2, 3, 4, 5 o 6. ¿Cúanto debe ganar Esteban para que el juego sea equitativo. Este es un ítem de razonamiento combinatorio y también evalúa la comprensión de la idea de juego equitativo. Sólo el 45% de los chicos entre 11 y 12 años sabe resolver el problema. Item 5. Se pidió a algunos niños lanzar una moneda 150 veces. Algunos lo hicieron correctamente. Otros hicieron trampas. Anotaron con la letra C la aparición de una cara y con + una cruz. Estos son los resultados de Daniel y Diana: Daniel: c+c++cc++cc+c+c++c++c+ccc+++ccc++c++c+c+c++cc+ccc+ c+c+cc+++cc++c+c++cc+c++cc+c++cc+cc+c+++c++cc++c++ c+c+cc+c++cc+c+c++ccc+cc++c+c++cc+++c+++c+c++ccc++ Diana: +cc+++c++++c+cc+++cc+cc+++cc+ccc+++c++++++c+c+c+c+ +++cccccc+ccc+c+cc+ccccc+ccc++ccc+c+ccccccccc++c+ ccccccc+++++cccc++c+c+cc+cc+cc++++++c+cc++ccc++ccc ¿Hicieron trampas Daniel o Diana? ¿Por qué? Este es un ítem de razonamiento probabilístico y solo el 30 % de los niños da la solución correcta (Diana). Los resultados no mejoran en los adultos quienes dan

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respuestas parecidas. Se supone que Diana hace trampas porque la serie tiene rachas largas, sin embargo, esto es lo que suele suceder en una serie de resultados aleatorios. Es interesante que los niños, sin embargo, pueden mostrar muchas ideas correctas sobre probabilidad con este ítem, por ejemplo: • Contar las caras y cruces en cada secuencia y comparar con el resultado teórico ½. • Argumentar que los resultados aleatorios con impredecibles. • Argumentar que la secuencia de Daniel es demasiado ordenada para ser aleatoria. Item 6. La probabilidad de que nazca un varón es 1/2. A lo largo de un año completo, habrá más días en los cuales al menos el 60% de los nacimientos corresponden a varones: a) en un hospital grande (100 nacimientos al día) b) en un hospital pequeño (10 nacimientos al día) c) no hay ninguna diferencia.

Este ítem es de razonamiento probabilístico y evalúa la comprensión del efecto que el tamaño de la muestra tiene sobre un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de nacer varón es ½. Este resultado puede variar, pero es más probable que varíe en una muestra pequeña, porque es menos fiable. Por tanto, la respuesta correcta es la b). De nuevo, tanto niños como adultos fallan en este ítem, donde el índice de aciertos es sólo el 20%. 5. TALLER DE DIDÁCTICA 5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas

Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de primaria (recomendamos buscar los libros que utilizaste personalmente, o bien los de algún familiar o amigo).

1. Busca ejemplos y ejercicios relacionados con las ideas de azar y probabilidad 2. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres

potencialmente conflictivos. 3. Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los

cursos 5º y 6º de primaria. 5.2. Análisis de ítems de evaluación y diseño de situaciones didácticas A. Analizar los conceptos matemáticos puestos en juego en los ítems siguientes y estudiar las posibles interpretaciones erróneas del enunciado así como las posibles concepciones que lleven a una respuesta errónea. B. Diseñar una situación de aprendizaje que permita concienciar a los alumnos de sus ideas erróneas respecto a estos problemas.

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Item 1. La probabilidad de que un niño nazca varón es aproximadamente 1/2. ¿Cuál de las siguientes secuencias de sexos es más probable que ocurra en seis nacimientos? a) VHHVHV; b) VHHHHV; c) las dos son igual de probables.

Item 2. En dos cajas, etiquetadas como A y B, se introducen las siguientes cantidades de canicas rojas y azules:

Caja Rojas Azules A 6 4 B 60 40

¿Cuál caja da más probabilidad de obtener una bola azul?

Item 3. a) Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable obtener, 5 en uno y 6 en otro, o 6 en ambos dados? b) Al lanzar una moneda, ¿qué es más probable obtener, cara en una y cruz en otra, o cara en ambas? c) Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable, obtener el mismo número en los dos, o diferentes números?

Item 4. Responde si estás de acuerdo con las siguientes afirmaciones y por qué: a) José procura entrar en clase, cada día, poniendo primero el pié derecho. Cree que

esto aumenta sus posibilidades de obtener buena nota. b) Lola rellenó en cierta ocasión un boleto de lotería con los siguientes números: 1,

7, 13, 21, 22, 36, y resulta que ganó. Como consecuencia piensa que debe jugar siempre el mismo grupo de número, porque de este modo ganará.

c) Olivia y Juana van a comprar un billete de lotería y sólo quedan dos números: el 123456 y el 378146. Olivia prefiere jugar al primero porque dice que es más fácil que en un sorteo resulten los números consecutivos. Juana, por el contrario, opina que la lotería es algo azaroso y, por tanto, el número 378146 tiene más posibilidades de salir.

d) Pedro ha participado en una lotería semanal durante los dos últimos meses. Hasta ahora no ha ganada nunca, pero decide continuar por la siguiente razón: “La lotería es un juego basado en la suerte, a veces gano, a veces pierdo. Yo ya he jugado muchas veces, y nunca he ganado. Por lo tanto, estoy más seguro que antes de que ganaré en alguna partida próxima”.

5.3. Análisis de entrevistas a niños Considera el juego siguiente: Te propongo un juego, y tú me dices si es justo o no: Con una baraja, vamos a jugar con las siguientes reglas: Sacamos una carta. Si sale una carta de oros, tú ganas 1 pts. y si sale una carta de otro palo distinto, yo gano 1 pts. ¿Es justo? Analiza la siguiente entrevista a un niño, indicando si su razonamiento es correcto

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J.M (10 años, 11 meses): No, no, porque tú lo tienes más fácil. Si a ti te sale una de bastos, te la llevas, te sale una de copas, te la llevas, te sale una de cualquier cosa que no sea oros y te la llevas. E: Entonces, ¿cómo cambiaríamos el premio para que fuese justo? J.M: Pues, que cada uno se lleve dos palos. E: Bueno, pero en vez de cambiar las reglas de las cartas, vamos a c ambiar el dinero del premio. J.M: Pues, tú te llevas una y yo me llevaría tres. BIBLIOGRAFÍA Azcárate, P. y Cardeñoso, J. M. (2001). Probabilidad. En, E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria (pp. 591-619)). Madrid: Síntesis. Cañizares, M. J., Batanero, C., Serrano, L. y Ortiz, J. J. (1999). Comprensión de la

idea de juego equitativo en los niños. Números, 37, 37-55. Cañizares, M. J. y Batanero, C. (1997). Influencia del razonamiento proporcional y de

las creencias subjetivas en la comparación de probabilidades. UNO, 14, 99-114. Godino, J., Batanero, C. y Cañizares, M. J. (1987). Azar y probabilidad. Fundamentos

didácticos y propuestas curriculares. Madrid: Síntesis. Green, D. R. (1983). A Survey of probabilistic concepts in 3000 pupils aged 2-16 years.

In D. R. Grey et al. (Eds.), Proceedings of the First International Conference on Teaching Statistics (v.2, p. 766 - 783). Universidad de Sheffield.

Pérez, P. (1995). Actividades de probabilidad para la enseñanza primaria. UNO, 5, 113-122.

Sáenz, C. (1999). Materiales para la enseñanza de la teoría de probabilidades. Madrid: ICE de la Universidad Autónoma.

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