HA 6. semester Forfatter: Morten M. Andreassen Andreas …pure.au.dk/portal/files/36184850/Bacheloropgave.pdf · HA 6. semester Forfatter: Morten M. Andreassen . Andreas S. Knudsen

HA 6. semester Forfatter: Morten M. Andreassen Andreas S. Knudsen Bachelorvejleder: Stig V. Møller

Empirisk undersøgelse af ”size” og ”value” præmien på det danske aktiemarked for perioden 1991 - 2010

Aarhus University Business and Social Sciences

2011

Abstract For a long time, the existence of the size and value premium has been known, especially from the studies by Fama & French. They showed that the size and value premium where proxies for unknown risk factors. Referring to Fama's (1970) definition of an efficient market, it is not possible to beat the market with stock prices reflecting all available information. The only way an investor can achieve higher returns than the market is by holding riskier assets.

Since Markowitz (1952) wrote the article about how investors only make their choices regarding stocks based on risk and expected return, there has been a lot of investigating in this field. Firstly the CAPM was established which became quite popular during the 70’s especially as a result of Blacks findings. Efficient Market Hypothesis is one of the essential assumptions of CAPM, which sets price assets. Early studies of the CAPM show a “flat” condition, since the constant is greater than the risk-free rate and the coefficient is less than the market premium. Later studies showed that the CAPM was unable to explain variation in the average excess return. This was the setting for the discharge of the APT model, where a number of other factors that could explain the variation in the average excess return were identified. The most prominent anomalies are derived from Banz (1981) who demonstrated a significant size effect and Chan, Hambo, & Lakonishok (1991) who demonstrated a significant correlation for the value effect. Whether these abnormalities are caused by unknown risk factors or irrational investor behaviour, financial theorists have had some disagreements.

Motivated by the findings above this thesis examines the existents of a value and size premium on the Danish stock market. This research examines 195 companies in the period of July 1991 to June 2010. Therefore an examination of the systematic risk, and its ability to explain the variation in the average excess return on portfolios formed after the Fama & French (1992) criteria. The thesis uses portfolio analysis and regression analysis to determine the existence of a value and size premium. For the regression analysis, the Fama & Macbeth (1973) approach is used to control for the correlation in the residuals.

The portfolio analysis shows a significant value premium on the Danish stock market in the period July 1991 – June 2010 of 0.90% (t = 2.53). The size premium in the portfolio analysis is insignificant for the investigated period. The portfolio with the smallest companies and highest BE/ME has the highest average excess returns per month, which is consistent with Fama & French (1992). The advantage of the portfolio analysis is that the size and value effects are isolated because of calculation of SMB and HML, which therefore reduces the problem of correlation between ME and BE/ME. The founded value premium for Danish stock market cannot be explained by CAPM. By using the 4x4 ME-BE/ME portfolios the systematic risk is insignificant for the whole period. By splitting the whole period in to four sub periods it can be seen that for the period April 1996 to December 2000, the systematic risk is statistically significant, where the rest of the periods are insignificant. For further investigation of CAPM and which dimensions it fails to explain, CAPM is further tested on 5 ME portfolios and 5 BE/ME portfolios. CAPM fails to explain both the ME and the BE/ME dimension, but because of the high-founded correlation between ME and BE/ME, it can be difficult to see which dimensions are the problem. The 4x4 ME-BE/ME is sorted dependently which therefore basically gives the same results as the ME portfolios.

For validation of the findings in the portfolio analysis, the regression analysis is performed as well. By constructing two proxies for the size and value effect, the statistically correlation between theses proxies and the average excess return can be observed. Neither of the two proxies for value and size is statistically significant for the whole period. By looking at sub periods it can be observed that the effects are not stationary. This result does not validate the results of the portfolio analysis, but

because of problems by only sorting either ME or BE/ME the results of the regression analysis cannot be credible. The missing stationary effect for the sub period’s lead to the discussion of the value premium is a cost of survivor bias or irrationality for the investors

INDHOLDSFORTEGNELSE

1. INTRODUKTION 1

1.1 PROBLEMFORMULERING 1 1.2 AFGRÆNSNING 2 1.3 METODEAFSNIT 2

2. TEORETISK AFSNIT 4

2. 1 DEN EFFICIENTE MARKEDSHYPOTESE 4 2.2 ANORMALITETER 4 2.3 CAPITAL ASSETS PRICING MODEL 5 2.4 ARBITRAGE PRICING THEORY MODEL 7 2.5 BEHAVIORAL FINANCE 7

3. EMPIRISKE BEVISER 9

3.1 EMPIRISKE TESTS AF CAPM 9 3.2 EMPIRISKE BEVISER MOD CAPM 10 3.2.1 EMPIRISKE BEVISER FOR ”SIZE EFFEKT” 11 3.2.2 EMPIRISKE BEVISER FOR ”VALUE EFFEKT” 12 3.2.3 OPSUMMERING AF ”SIZE EFFEKTEN” OG ”VALUE EFFEKTEN” 13

4. DESIGN AF EMPIRISK STUDIE 16

4.1 PORTEFØLJEANALYSE 16 4.1.1 PORTEFØLJEDANNELSE 17 4.1.2 TEST PÅ “VALUE” OG “SIZE” PRÆMIEN 18 4.2 ØKONOMETRISK METODE 19 4.2.1 FAMA & MACBETH (1973) 19 4.2.2 ERRORS-IN-VARIABLE VED ESTIMERING AF OLS 20 4.2.3 BRUG AF FAMA & MACBETH (1973) FOR TEST PÅ CAPM 21 4.2.4 BRUG AF FAMA & MACBETH (1973) FOR TEST PÅ ”SIZE” OG ”VALUE” 22 4.3 DATAINDSAMLING 22 4.3.1 TIDSPERIODE 22 4.3.2 DATA 23 4.3.3 SCREENING AF DATA 23 4.3.4 VARIABLE 24 4.3.4.1 Den risikofrie rente 24 4.3.4.1 Markedsindekset 24

5. EMPIRISKE RESULTATER 25

5.1 BESKRIVENDE STATISTIK 25 5.1.1 OPSUMMERING 28 5.2 EMPIRISK TEST AF CAPM 28 5.2.1 HELE PERIODEN 28 5.2.1.1 Opsummering 32 5.2.2 DELPERIODER 32 5.2.2.1 OPSUMMERING 35 5.3 UNDERSØGELSE AF BOOK-TO-MARKET OG MARKET EQUITY 35 5.3.1 HELE PERIODEN 35 5.3.1.1 Opsummering 39 5.3.2 DELPERIODER 39 5.3.2.1 Opsummering 44

6. FUNDERING OVER EMPIRISKE RESULTATER 45

7. KONKLUSION 46

REFERENCER 48

Figur- og tabeloversigt Figur 1 __________________________________________________________________________________________________________ 6 Figur 2 _________________________________________________________________________________________________________ 33 Figur 3 _________________________________________________________________________________________________________ 40 Figur 4 _________________________________________________________________________________________________________ 41 Tabel 1 ________________________________________________________________________________________________________ 26 Tabel 2 ________________________________________________________________________________________________________ 26 Tabel 3 ________________________________________________________________________________________________________ 27 Tabel 4 ________________________________________________________________________________________________________ 29 Tabel 5 ________________________________________________________________________________________________________ 30 Tabel 6 ________________________________________________________________________________________________________ 31 Tabel 7 ________________________________________________________________________________________________________ 34 Tabel 8 ________________________________________________________________________________________________________ 36 Tabel 9 ________________________________________________________________________________________________________ 37 Tabel 10 _______________________________________________________________________________________________________ 38 Tabel 11 _______________________________________________________________________________________________________ 43 Tabel 12 _______________________________________________________________________________________________________ 44

Empirisk undersøgelse af ”size” og ”value” præmien på det danske aktiemarked for perioden 1991 - 2010 1

1. Introduktion Det er almen kendt, at en investor forsøger at optimere porteføljen på baggrund af risiko og det forventede afkast. I tidens løb har investorer forsøgt med deres individuelle strategier at slå markedet, hvilket jævnfør Fama (1970) ikke er muligt på det efficiente marked. På et efficient marked vil aktiekurserne på alle tidspunkter afspejle den tilgængelige information. Der hersker således jævnfør Fama (1970) ”no free lunch” på et efficient marked.

CAPM har, siden dens opstandelse, været frontfigur inden for den finansielle teori ved prisfastsættelse af aktiver. Modellens popularitet i 1970’erne begrundes med dens intuitive og simple forståelse. Siden 1980’erne er der foretaget et stigende antal empiriske studier, som har dokumenteret, at modellen alene ikke kan forklare variationen i aktivets afkast. Derimod antyder disse empiriske studier, at en række andre variable forklarer variationen i afkastet bedre end CAPM. Dette har medført en række anormaliteter blandt andet ”weekend effekten”, ”januar effekten”, ”value effekten” og ”size effekten”. Hvorvidt disse anormaliteter er forårsaget af misspecifikationer i modellen, eller irrationelt adfærd på markedet har længe været debatteret.

De mest hyppigt citeret anormaliteter er henholdsvis ”size effekten” og ”value effekten”. Eksistensen af disse effekter har gennem længere tid været anerkendt og valideret af en række forskellige empiriske metodologier. De fleste empiriske studier har udelukkende fokuseret på det amerikanske marked, og ofte med udgangspunkt i Fama & French’s porteføljer. Internationale studier har endvidere påvist, at ”size effekten” og ”value effekten” ikke blot er et amerikansk fænomen, men nærmere et globalt. Det gør det derfor interessant at undersøge, hvorvidt disse præmier eksisterer på det danske aktiemarked.

En række senere studier har sat spørgsmålstegn vedrørende effekternes vedvarenhed. For eksempel er det blevet påvist, at ”size effekten ” forsvinder i 1980’erne (Cochrane 2001), og i perioden 1991 – 2010 af Fama & French (2011). ”Value effekten” derimod har vist sig at være mere kontinuær og signifikant gennem tiden. Alligevel har en række nyere studier ligeledes påvist, at denne effekt forsvinder i enkelte perioder. Schwert (2003) argumenterer for, at effekternes forsvinden skyldes den øgede publiceret opmærksom, hvilket har initieret effekternes forsvinden.

Undersøgelser af det danske aktiemarked eksisterer i et begrænset omfang, hvilket kan tilskrives, at det danske aktiemarked generelt kendetegnes ved at være relativt lille med en begrænset omsætningshastighed. Ganske få studier har undersøgt det danske aktiemarked med henblik på at finde en eventuel ”size” eller ”value” præmie, samt hvorvidt disse præmier er forklaret af CAPM. Denne afhandling vil derfor forsøge at afdække den manglende undersøgelse på dette område.

1.1 Problemformulering Gennem amerikanske studier af Fama & French (1992) er det blevet påvist, at der forekommer en ”size” og ”value” præmie i det gennemsnitlige excess return på amerikanske aktier (NYSE, AMEX og NASDAQ), samt en række andre markeder verden over (Fama & French, 2011). Da der ikke eksisterer tidligere studier omkring disse præmier på det danske aktiemarked, initierer det grundlaget for afhandlingen.

Det overordnede mål for denne afhandling er at undersøge, om der eksisterer en ”size” og ”value” præmie på det gennemsnitlige excess return på det danske aktiemarked for perioden 1991 - 2010, og i så fald om CAPM kan forklare dette.


1.2 Afgrænsning Denne afhandling afgrænser sig fra brug af preranking 𝛽 ’s til porteføljesortering i regressionsanalysen. Dette er selvom flere studier pointerer, at det er en nødvendighed for at kunne skelne mellem effekterne (Fama & French 1992). Afgrænsningen sker grundet den forholdsvis lille stikprøve. Endvidere afgrænses der fra brug af andre markedsindeks end det konstruerede i afhandlingen. Derudover medtages forklaringsgraderne ikke for modellerne i afhandlingen. Det skyldes, at formålet med afhandlingen ikke er at sammenligne modellers forklaringskraft, men derimod at vurdere enkelte variables signifikans. På samme vis vil der i afhandlingen ikke kommenteres på de statistiske forudsætninger i forhold til empirien, da Gauss Markow forudsætninger sjældent kan opfyldes i empiriske undersøgelser.

1.3 Metodeafsnit Den samlede analyseramme for denne afhandlingen tager udgangspunkt i henholdsvis en række teoretiske studier, samt en række empiriske studier. Den teoretiske vinkel danner grundlag for de fundamentale principper indenfor asset pricing. Den giver således en samlet forståelse for sammenhængen mellem aktivers afkast og risiko. Den empiriske vinkel sammenkobler det teoretiske fundament med virkelighedens verden. Den danner således et grundlag for, hvordan en empirisk undersøgelse bør opstilles samt et sammenligningsgrundlag for undersøgelsens resultater. På den måde gør den empiriske vinkel det muligt at validere de fundne resultater.

Den samlede analyseramme danner det grundlæggende fundament for den videre undersøgelse af, hvorvidt der eksisterer en ”size” og ”value” præmie for det danske aktiemarked. Den empiriske undersøgelse foretages primært med udgangspunkt i en porteføljeanalyse samt en regressionsanalyse. Porteføljeanalysen har udgangspunkt i Fama & French studier. På den måde vil ”size effekten” og ”value effekten” blive undersøgt ud fra to metoder. Disse sammenholdes med hinanden og kan derfor ses som en form for validering.

Det er på samme måde interessant at se, hvorvidt CAPM er i stand til at forklare de eventuelle præmier. CAPM analysen vil tage udgangspunkt i Fama & Macbeth (1973) test på CAPM. Testen vil primært foretages på de anvendte porteføljer i porteføljeanalysen. Derudover inddrages der på samme måde porteføljer sorteret udelukkende på ME og BE/ME. Jævnfør Cochrane (2001) kan det derved undersøges, hvorvidt CAPM er i stand til at forklare en af disse effekter. Det kræver dog, at der en tydelig sammenhæng mellem henholdsvis BE/ME eller ME og det gennemsnitlige excess return. På samme måde vil disse porteføljer anvendes til at kontrollere robustheden af eventuelle fundne ”size” og ”value” præmier for det danske aktiemarked. Dette gøres ved at inddrage en proxy for henholdsvis ”size” og ”value”. Disse vil på samme måde inddrages i det risikojusterede marked for derved at se på, hvorvidt de eventuelle fremfundne effekter opsnappes af den systematiske risiko.

Denne afhandling indledes med en uddybning af det teoretiske fundament (kapitel 2) samt opsummering af empiriske studier af disse modeller (kapitel 3). Herefter følger kapitel 4 med en beskrivelse af det empiriske design, hvor der beskrives, hvordan problemformuleringen besvares. Kapitel 5 omhandler de empiriske resultater, hvor der først følger en analyse af ”size” og ”value” præmien for det danske aktiemarked. Der undersøges herefter, hvorvidt CAPM er i stand til forklare disse, hvilket sammenholdes med andre porteføljer for at teste robustheden. Ligeledes underbygges de eventuelle fremfundne ”size” og ”value” præmier i én regressionsanalyse for


ligeledes at undersøge robustheden. I kapitel 6 funderes der over de fremfundne resultater, og der afrundes med en konklusion i kapitel 7.


2. Teoretisk Afsnit I dette kapitel præsenteres CAPM samt APT modellen, da disse modeller hyppigt er anvendt i empiriske undersøgelser. Det er som udgangspunkt nødvendigt at have en forståelse for modellernes sammensætning samt forudsætninger, da de senere anvendes i den empiriske undersøgelse. Forud for beskrivelsen af disse modeller vil der først blive redegjort for markedsefficiens jævnfør Fama (1970). Endvidere defineres begrebet anormalitet, da dette er essentielt for afhandlingen.

2. 1 Den efficiente markedshypotese Hypotesen om at der skulle eksistere et efficient marked har i mange år været en af finansieringsteoriens helt centrale antagelser. Denne filosofi stammer helt tilbage til starten af 50’erne og er senere opsamlet af Fama (1965) som den efficiente markedshypotese (EMH). Sidenhen ændrede Fama (1970) definitionen af EMH til, at prisen kun skulle inkludere relevant information frem for al information. Siden da er antagelsen om EMH hyppigt anvendt i empiriske undersøgelser. Den fundamentale tankegang i EMH bygger på, at det ikke er muligt at slå markedet givet de offentlige informationer, der er tilgængelig på investerings tidspunktet. Ifølge Fama (1970) er et efficient marked defineret som,

”A market in which prices always “fully reflect” available information”

Markedet er således efficient i det tilfælde, at de reelle priser øjeblikkelig ændres i takt med, at der bliver offentliggjort ny information. Ifølge tankegangen i EMH om at investorer altid er på udkig efter arbitrage muligheder, kan der således ikke eksistere nogle undervurderede eller overvurderede aktier. EMH forudsætter, at det er umuligt at slå markedet, også selvom investorer prøver gennem nøje udvælgelse og markedstiming. Den eneste måde, hvorpå investorer kan opnå et højere afkast end markedet, er ved at købe mere risikofyldte aktiver. En forudsætning for EMH er, at kapitalmarkedet er perfekt og friktionsfrit, hvilket vil sige, at alle investorer har adgang til al tilgængelig information uden omkostninger. Fama (1970) påpeger endvidere, at der forekommer tre former for et efficient markedet, alt afhængig af informationsmængden; Svag, Semi-stærk og Stærk. I den svage markedsefficiens form afspejler priserne al historisk publiceret information. Ud fra de historiske afkast er det ikke muligt at forudsige fremtidige afkast, og derved opnå et anormalt afkast i forhold til den påtagede risiko. Der herskes ofte bred enighed om, at mange finansielle markeder er af denne form for markedsefficiens. I den semi-stærke form afspejles priserne af henholdsvis al den historiske information samt offentlige information. Hvis markedet er efficient i denne form antages det endvidere, at priserne justerer sig straks efter, at der offentliggøres nyt tilgængelig information. Investorer kan således ikke opnå et højere afkast ved at investere i denne informationskilde. Denne form for efficiens er ofte testet gennem eventstudier, der undersøger, hvor hurtigt kurser tilpasser sig ny information. Når det efficiente marked er i den stærke form, afspejler priserne al information. Det vil sige al historisk og offentlig information samt al insider information. Det skal derfor gælde, at information, der endnu ikke er offentliggjort, allerede er inkorporeret i prisen. Det er således ikke muligt for nogle investorer at opnå et højere afkast, selvom man ejer informationer, der endnu ikke er offentlig tilgængelige. Dette er en meget streng og urealistisk antagelse, og det er derfor ikke en overraskelse, at den stærke form for efficiens generelt ikke er accepteret.

2.2 Anormaliteter På et efficient marked kan investorer vælge mellem en række værdipapirer under den forudsætning, at prisen fuldt ud reflekterer den tilgængelige information. Selvom de fleste


markeder antages at være efficiente, må der være én form for inefficiens på disse markeder, der vil føre til anormalier. Anormaliteter i asset-pricing er empirisk afvigelse, der strider mod den teoretiske opfattelse. Ifølge Fama’s (1970) EMH kan disse anormaliteter ikke eksistere på lang sigt.

Siden 1980’erne er der blevet påvist en række forskellige anormaliteter i det gennemsnitlige excess return. Hvorvidt disse er relateret til ukendte risikofaktorer (Fama & French, 1992), eller om de skyldes irrationel investor adfærd, har længe været diskuteret i de finansielle kredse. Fama (1970) påpeger endvidere et fortolkningsproblem af et anormalt afkast, som han kalder ”Joint Hypothesis” problemet. Problemet opstår, da man ikke er i stand til at skelne, om en funden anormalitet skyldes, at EMH afvises, eller om den anvendte model er misspecificeret. Den lange diskussionen omkring opstandelsen og betydningen af disse anormaliteters opstandelse kan derfor ikke afsluttes foreløbig.

2.3 Capital Assets Pricing Model Sharpe (1964), Lintner (1965) samt Black (1972) udledte SLB modellen, der senere hen er kendt som Capital Assets Pricing modellen (CAPM). Modellen er siden dens opstandelse en af de meste anvendte og diskuterede modeller indenfor den traditionelle finansieringshistorie. Dens intuitive simple forudsigelse har vagt så stor popularitet, at modellen i dag er en af finansieringsteoriens store milesten. Den fundamentale tankegang i CAPM er opbygget af en række tidligere studier af henholdsvis Markowitz (1952) og Tobin (1958). Markowitz (1952) grundlagde to-parameter modellen, der antager, at investorer træffer deres beslutninger udelukkende på baggrund af middelværdien og variansteori. Ved at observere, hvordan investorer i 1950’erne diversificerede deres porteføljer, kunne Markowitz udlede, at investorer søger at maksimere middelværdien på deres porteføljer samtidig med, at de søger at minimere variansen. Markowitz kunne således identificere en efficient rand af porteføljer, hvorved én investor optimerer sin investeringsbeslutning og dermed nytte. Tobin (1958) videreudviklede Markowitz’s teori og nedbrød den i to faser. Jævnfør Tobin (1958) bestemmes først én kombination af en række risikofyldte aktiver, hvorefter denne kombination kombineres med ét risikofrit aktiv. Via denne metode kunne Tobin (1958) således forstå, hvordan risikoaverse investorer fordeler deres investeringer mellem risikofrie og risikofyldte aktiver. Endvidere kunne Tobin (1958) forklare, at en kombination mellem det risikofyldte og risikofrie aktiv, kan fortolkes som en ret linje, der viser sammenhængen mellem afkast og risiko. På baggrund af overstående kunne Sharpe (1964) udlede den famøse Capital Market Line (CML) med udgangspunkt i Markowitz’s (1952) og Tobin’s (1958) undersøgelser. CML er en portefølje bestående af ét risikofyldt aktiv (portefølje af risikofyldte aktiver) og ét risikofrit aktiv. Det forventede afkast kan beregnes på følgende måde for porteføljen.

𝐸�𝑅𝑝� = 𝐸�𝑅𝑓� + 𝜎𝑝𝐸(𝑅𝑚) − 𝐸(𝑅𝑓)

𝜎𝑚

hvor, 𝐸(𝑅𝑝) er afkastet på porteføljen, 𝜎𝑝 er standardafvigelsen på porteføljen, 𝐸(𝑅𝑚) er afkastet

på det risikofyldte aktiv, 𝐸(𝑅𝑓) er afkastet på det risikofrie aktiv og 𝜎𝑚 er standardafvigelsen for det risikofyldte aktiv. For den videre udledning af CML se appendiks 1.


Figur 1

Markowitz efficiente rand og CML

Kilde: Egen tilvirkning

Figur 1 illustrerer Markowitz’s efficiente rand, samt CML. Ifølge CML investerer investorerne i en kombination af ét risikofyldt aktiv samt ét risikofrit aktiv. Dette er i stedet for at investere i blot risikofyldte aktiver, som Markowitz’s efficiente rand er et udtryk for. Porteføljer, hvor der investeres i ét risikofyldt aktiv samt ét risikofrit aktiv, vil for hvert punkt have en lavere varians ved samme middelværdi end én portefølje udelukkende bestående af risikofyldte aktiver. Årsagen til dette er, at standardafvigelsen for det risikofrie aktiv pr. definition er nul. Det eneste punkt, hvor investor er indifferent, er punkt A (markedsporteføljen).

Baseret på CML videreudviklede Sharpe (1964) & Lintner (1965) Sharpe-Lintner’s CAPM. Modellen beregner , hvordan risikoen på et aktiv skal prisfastsættes. Før CAPM fuldt ud kan forklares, er det nødvendigt at kortlægge de antagelser, der ligger til grund for modellen. - Investorer laver deres investeringsbeslutninger baseret på det forventede afkast og standard

afvigelsen. - Investorer er rationel og risiko avers. - Investorer tilslutter sig Markowitz metode i forhold til portefølje diversificering. - Investorer investerer inden for den samme tidshorisont. - Investorer har de samme forventninger omkring forventet afkast samt variansen på afkastet

(homogene forventninger). - Der eksisterer et risikofrit aktiv, hvorved investor kan låne for hvilket som helst beløb. - Kapitalmarkedet er konkurrencepræget og gnidningsfrit.

For nærmere uddybelse af forudsætninger og antagelser for CAPM se appendiks 2.

𝐸�𝑅𝑝� = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑗�𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓�

Ovenstående er et udtryk for Sharpe-Lintner’s CAPM. Dette udtryk værdiansætter et aktiv udelukkende på baggrund af den risikofrie rente, afkastet på markedsporteføljen samt aktivets korrelation med den systematiske risiko (𝛽𝑗) givet forudsætningerne og antagelserne er opfyldt for CAPM. En højere 𝛽 indikerer dermed et højere forventet afkast og på den måde belønnes investor for at holde risiko. I ligevægt på kapitalmarkedet vil efficiente porteføljer ligge på CML og SML. Dette er ikke tilfældet for enkelte aktiver, der kun vil ligge på SML, hvilket skyldes den høje grad af usystematisk risiko.

Jævnfør Sharpe (1964) skal den systematisk risiko (𝛽) fortolkes som sensitiviteten af hvor meget et aktiv kovarierer med markedsporteføljen. Det vil sige, det er den del af aktivets forskellighed, som


kan blive forklaret af en enkelt faktor. Den systematiske risiko viser derfor minimums risikoen for en portefølje, som ikke kan fjernes ved diversificering af aktiver. Derimod er den ikke-systematiske risiko den risiko, som kan fjernes ved brug af diversificering.

Grundet succes af tidlige studier af CAPM af blandt andet Black (1972), hvilket sammenholdt med modellen relative simpelhed, gjorde modellen til frontløber inden for finansiering.

2.4 Arbitrage Pricing Theory Model Som et alternativ til ligevægtsmodellen CAPM, hvor det forventede afkast kun afhænger af den systematiske risiko, har Ross (1976) udledt Arbitrage Pricing Theory (APT). Udgangspunktet for udledningen af APT skyldes, at der eksisterer flere vigtige karakteristika relateret til afkastets variation over tid og på tværs af aktiver, som CAPM ikke kan forklare. Modellen postulerer, at afkastet for en virksomhed er influeret af en række forskellige risikofaktorer, modsætningsvis til CAPM, hvor den systematiske risiko er den eneste risikofaktor. Den mest populære multifaktormodel i dag er Fama & Frenchs 3-faktor model, hvor det forventede afkast forklares af tre faktorer, én markedsportefølje, én size portefølje og én value portefølje.

Ross (1976) argumenterede for, at aktivers afkast kan repræsenteres som en lineær regression for et lille antal faktorer, og at det forventede afkast bestemmes ud fra principper om fravær af arbitrage. Modellen kan opskrives på følgende måde.

𝐸�𝑅𝑗� = 𝑅𝐹 + 𝜆1𝑏𝑖1 + ⋯+ 𝜆𝑗𝑏𝑖𝑗

hvor 𝜆1 … 𝜆𝑗 er risikopræmien for hver risikofaktor b (i1,…,ij).

En af svaghederne ved APT er, at modellen ikke er i stand til at identificere de risikofaktorer, som er relateret til det forventede afkast. APT udtrykker ligeledes ikke, hvor mange faktorer, eller hvilken størrelse risikopræmien skal være for disse, hvilket gør det svært at teste modellen. Faktorer kan enten være eksogent givet eller konstruerede faktorer på baggrund af porteføljer.

Ligesom CAPM og andre økonomiske modeller bygger APT på en række stringente forudsætninger, som sjældent holder i virkeligheden. APT adskiller sig fra CAPM ved at være mindre stringent i forudsætningerne omkring investorers præferencer i forhold til risiko og afkast. For eksempel loven om én pris, hvilket er en vigtig forudsætning, der betyder, at aktiver med samme risiko skal have samme pris. Hvis der ikke eksisterer nogen arbitragemulighed, betyder det, at det ikke er muligt at genere et anormalt afkast. APT bygger ikke på identifikation af den ”sande” markedsportefølje, som CAPM, hvilket betyder, at teorien kan testes. APT modellen angiver, at der ikke eksisterer nogen form for arbitrage, hvis konstanten i ovenstående ligning er lig med den risikofrie rente.

En række forskere inden for finansiering mener, at APT modellen er en bedre model til forklare variationen i afkastet, da APT modellen forklarer CAPM anormalier. Dette er ikke overraskende grundet en række studier, hvor CAPM fejler, og hvor afkastet er bestemt ud fra en række forskellige faktorer (Reinganum 1981).

2.5 Behavioral Finance Der har været megen diskussion af troværdigheden af Fama’s (1970) efficiente markedshypotese siden dens opstandelse. En del af denne kritik er fremført af tilhængerne til Behavioral finance teorien. Behavioral finance fokuser på det menneskelige adfærd, samt hvordan denne kan påvirke det kapitale marked. En af de primære antagelser i EMH er, at investorer tænker og handler rationelt. Behavioral finance sætter spørgsmål ved denne rationalitetsantagelse og giver dermed sit bud på, hvordan investorers forventninger er påvirket af en række psykologiske faktorer.


Behavioral finance anvender sociale, kognitive og følelsesladede faktorer til at forstå investorers beslutninger, samt til at kunne forklare anormaliteter på aktiemarkedet. Behavioral finance anerkender, at individer bruger tommelfingerregler og mentale genveje (Heuristikker) til at håndtere og gennemskue komplekse problemstillinger. Da individer benytter sig af disse heuristikker, påpeger Behavioral finance, at individer ofte træffer irrationelle beslutninger frem for rationelle. Behavioral finance forsøger således at hjælpe med at forstå, hvorfor og hvordan markedet kan være inefficient i nogle perioder, samt hvordan dette kan skabe anormaliteter i det gennemsnitlige excess return.


3. Empiriske beviser Siden Sharpe (1964), Lintner (1965) og Black (1972) udledte CAPM, er der foretaget en lang række empiriske tests af CAPM. De fleste empiriske undersøgelser har været foretaget på det amerikanske marked, men senere hen er disse undersøgelser udvidet med et internationalt perspektiv. Formålet med de empiriske undersøgelser har været tosidet. På den ene side har det været interessant at undersøge konsistensen af CAPM, mens det på den anden side har været interessant at finde nye uopdagede risikopræmier relateret til det gennemsnitlige afkast. Den store opmærksomhed omkring CAPM har gjort, at denne model er en af de hyppigst citerede modeller i den finansielle litteratur. Det følgende afsnit vil først præsentere nogle af de mest essentielle studier af CAPM. Herefter vil en række modsigende studier af CAPM og fremfundne anormalier opsummeres.

3.1 Empiriske tests af CAPM Empiriske test på CAPM er ofte baseret på tre implikationer angående sammenhængen mellem det forventede afkast og markedets 𝛽. Den første implikation tester, hvorvidt det forventede afkast for alle aktiver er lineært relateret til 𝛽, og at ingen andre variable har forklaringsstyrke. Den anden implikation tester, hvorvidt 𝛽 er positiv. Det testes således på, hvorvidt det forventede afkast for et risikofyldt værdipapir er større end det forventede afkast for et værdipapir, hvor afkastet ikke korrelerer med markedsafkastet. Endvidere gælder det jævnfør Sharpe (1964) & Lintner (1965), at aktiver, som ikke korrelerer med markedet ,har et forventet afkast svarende til den risikofrie rente.

Sharpe-Lintner og Blacks version af CAPM mener, at markedsporteføljen er mean-variance-efficient. Sammenholdt med teorien betyder dette, at markedsporteføljen kan identificeres som tangenten til Markowitz’s efficiente rand. Det betyder derfor, at forskellen i det forventede afkast på tværs af virksomheder og porteføljer fuldt ud kan forklares af 𝛽. Derved vil ingen andre variable være i stand til at styrke forklaringen (Sharpe, 1964, Lintner, 1965, Black, 1972).

De tidlige studier af CAPM fokuserer alene på Sharpe-Linthers modelforudsigelse omkring konstantleddet samt forholdet mellem det forventede afkast og markedets 𝛽. Sharpe-Lintners version af CAPM, afvises blandt andet af Black, Jensen & Scholes (1972), da forholdet mellem �̂� og det gennemsnitlige excess return er for ”fladt”. Årsagen til dette skyldes, at konstanten er større end den risikofrie rente, samtidig med, at koefficienten for 𝛽 er mindre end det gennemsnitlige excess return for markedet. De tidlige studier af Sharpe-Lintners version af CAPM bestod udelukkende af tværsnitsregressioner. Jensen (1968) var den første, der noterede, at forholdet mellem det forventet afkast og 𝛽 ligeledes indebærer en tidsserietest. Sharpe-Lintner’s CAPM udtrykker, at den gennemsnitlige værdi for en virksomheds excess return er fuldstændig forklaret af den realiseret risikopræmie. Dette indebærer, at ”Jensens alpha”, konstanten i tidsserieregressionen er nul for hver virksomhed.

Det flade forhold mellem �̂�𝑗 og det gennemsnitlige excess return påvises på samme vis af Black, Jensen & Scholes (1972), hvor konstanten for tidsserieregressionen er positiv for virksomheder med lave værdier af �̂�𝑗’s og negative for virksomheder med høje værdier af �̂�𝑗’s. Dette stemmer på samme måde overens med Jensen (1968), at en positiv bias i 𝛼�𝑗 er grundet negativ bias i �̂�𝑗.

Der opstår imidlertid to problemer i disse tests. For det første at estimaterne for 𝛽 bliver upræcise, hvilket resulterer i målefejl. Derudover opstår der problem i form af en korrelation mellem residualerne. Positiv korrelation i residualerne producerer nedadgående bias ved brug af ordinary least squares (OLS) for standard fejlen for den estimeret 𝛽.


For at forbedre præcisionen af de estimerede 𝛽’s foreslår blandt andet Black, Jensen & Scholes (1972), at estimeringen af 𝛽 skal foretages på porteføljer frem for individuelle virksomheder. Estimering af 𝛽 for diversificeret porteføljer er mere præcist end estimater for individuelle aktiver. Black, Jensen & Scholes (1972) anvender preranking af 𝛽’s, da man derved opnår unbiased estimater for parametrene 𝛼 og 𝛽. Da man på denne måde observerer uafhængige estimater for 𝛽 undgås bias, og derfor vil målefejlen for disse estimater være uafhængig af fejlen i koefficienterne anvendt i rangering. Gruppering af data bevirker, at antallet af 𝛽’s og den statistiske styrke mindskes. For at minimere dette problem sorteres porteføljerne således, at den første portefølje indeholder aktiver med de laveste 𝛽’s og den sidste portefølje indeholder de højeste 𝛽’s. (Fama & French 2004).

Fama & Macbeth (1973) eliminerer problemet vedrørende korrelationen i residualerne. Tidligere studier påviser, at korrelationen i residualerne producer en nedadgående bias ved brug af OLS estimater for standardfejlen i tværsnittets hældning. En løsning til dette er ifølge Fama og Macbeth (1973) at estimere tværsnitsregressionen over det månedlige afkast for måned til måned. Dette gøres i stedet for estimering af én enkelt tværsnitsregression baseret på det gennemsnitlige afkast. Ved Fama & Macbeth (1973) tilgang er standardfejlene på den gennemsnitlige konstant og hældning bestemt ved måned til måned variationen i regressionskoefficienterne. Metoden indfanger effekten af residual korrelationen i regressionseffekterne, men fjerner problemet ved at estimere korrelationen. Fama & Macbeth (1973) anvender en stokastisk model for at teste på en række forudsætninger for CAPM.

𝑅𝑗,𝑡 = 𝛾0𝑡 + 𝛾1𝑡𝛽𝑗 + 𝛾2𝑡𝛽𝑗2 + 𝛾3𝑡𝑠𝑗 + 𝜂𝑗𝑡

hvor 𝑅𝑖𝑡 er afkastet for portefølje j for tidspunkt t, 𝛽𝑗2 er den kvadreret værdi af 𝛽𝑗, 𝑠𝑗 er variansen for fejlleddet for virksomhed j, og 𝜂𝑗𝑡 er fejleddet af tværsnittet for virksomhed j over tidspunkt t.

Fama & Macbeth (1973) opstiller fire hypoteser for den ovenstående stokastiske model.

C1 (linearitet) – 𝐸(𝛾2𝑡) = 0

C2 (ingen systematisk effekt ved ingen 𝛽) – 𝐸(𝛾3𝑡) = 0

C3 (positivt forventede afkast-risiko tradeoff) – 𝐸(𝛾1𝑡) = 𝐸(𝑅𝑚𝑡) − 𝐸(𝑅0𝑡) > 0

Sharpe-Lintner (S-L) hypotese – 𝐸(𝛾0𝑡) = 𝑅𝑓𝑡

Fama & Macbeth (1973) mente i høj grad, at empirisk litteratur førhen havde overset C1 forudsætningen. Deres empiriske resultater beviste, at der gennemsnitligt var et positivt tradeoff mellem afkast og risiko. Dertil kunne de ikke afvise hverken C1 eller C2.

Jævnfør Roll (1977) er der en del kritik rettet mod CAPM og de tests, som er blevet foretaget. Dette skyldes, at der kan slås tvivl om, hvorvidt der er foretaget en egentlig test af CAPM. Derimod er der reelt set testet på, hvorvidt en proxy for markedsporteføljen er efficient på baggrund af en række porteføljer. Dette skyldes, at den sande markedsportefølje ikke er observerbar. Problemet er, at proxyen for markedsporteføljen kan godt være mean-variance efficient, selvom verdensporteføljen måske ikke er mean-variance efficient.

3.2 Empiriske beviser mod CAPM CAPM, udarbejdet af Sharpe (1964), Lintner (1965) og Black (1972), har i en længere periode været en af finansieringsteoriens helt store milesten og dermed formet måden, hvorpå akademikere fortolker gennemsnitlig aktieafkast og risiko. Som tidligere beskrevet påpeger CAPM, at den systematiske risiko af en given virksomhed kan bestemmes af en enkelt variabel, der viser


værdipapirets følsomhed over for ændringer på markedet. CAPM har siden dens opstandelse været efterfulgt af en del kritik blandt flere empiriske studier. Disse studier har påvist, at der eksisterer et antal anormale faktorer, som tilsyneladende påvirker det gennemsnitlige aktieafkast. De mest prominente anormale faktorer i litteraturen er virksomhedstørrelsen, book-to-market, kapitalstruktur, samt earnings to price forhold. Samlet set har de empiriske modsigelser til CAPM skabt stor anledning til at betvivle modellens validitet, og dermed påbegyndt en ende for CAPM regimet. De efterfølgende afsnit redegør for de empiriske studier af henholdsvis ”size effekten” og ”value effekten” samt opsummerer Fama & French (1992, 1993) hyppigt citeret værk.

3.2.1 Empiriske beviser for ”Size effekt” Empiriske undersøgelser af sammenhængen mellem virksomheders størrelse og det gennemsnitlige aktieafkast, kan spores tilbage til det banebrydende arbejde af Banz (1981) og Reinganum (1981). Banz (1981) beviste, at en virksomheds market equity, ME, styrkede forklaringen af variationen i det gennemsnitlige aktieafkast efter have kontrolleret for risikoen. ME er beregnet som den aktuelle aktiepris multipliceret med antallet af udstedte aktier, og er ifølge Banz en god proxy for en virksomheds størrelse. Endvidere identificerede Banz (1981), at små virksomheder, indikeret ved en lav ME, genererer et for højt gennemsnitligt aktieafkast givet deres 𝛽. Store aktier genererer modsat et for lavt afkast givet deres 𝛽. Banz fandt således ud af, at der eksisterer en negativ sammenhæng mellem en akties størrelse og dens gennemsnitlige afkast. Dette resultat er efterfølgende blevet refereret som ”size effekten” i litteraturen. Da der ikke forekommer noget teoretisk fundament for ”size effekten”, pointerer Banz, at denne ”size effekt” kan skyldes, at ”size” blot er proxy for andre ukendte faktorer korreleret med ”size”. Endvidere påpeger Banz, at ”size effekten” kan skyldes utilstrækkelige oplysninger om små virksomheders værdipapirer, hvilket kan medføre en begrænset diversificering i disse virksomheder. En beholdning af disse små virksomheder kan derfor resultere i et højere risikojusteret afkast. Reinganum (1981) testede forholdet mellem ”size” og E/P i en virksomhed i sammenhæng med dens gennemsnitlige afkast. Reinganum (1981) kunne ligesom Banz (1981) påvise en anormal faktor, E/P, i det gennemsnitlig afkast. Reinganum (1981) fandt efterfølgende ud af, at når man kontroller for E/P, eksisterer der stadig en stærk ”size effekt” i det gennemsnitlige afkast. Ligeledes fandt han ud af, at hvis man kontroller for size ebber E/P effekten ud, hvilket vil sige, at E/P egentlig bare er en proxy for ”size”. Reinganum kunne endvidere påvise, at denne ”size effekt” ikke skyldes markedsinefficiens, men desto nærmere at CAPM er misspecificeret.

Banz (1981) og Reinganum (1981) konkluderer begge, at deres resultat er et bevis på, at CAPM er misspecificeret og ikke, at markedet er inefficient. Sagt med andre ord antager Banz og Reinganum implicit, at den forventede ”size effekt” er stationær over perioden. Brown, Kleidon & Marsh (1983) påpeger et problem ved denne antagelse, da de i deres undersøgelse afviser, at ”size effekten” er stationær. Dette giver ikke belæg for, at CAPM skulle være misspecificeret, som Banz (1981) og Reinganum (1981) ellers påpeger. Banz (1981) argumenterer for, at der eksisterer en ikke-lineær negativ sammenhæng mellem ”size” og det gennemsnitlige afkast. Konsistent med Banz (1981) har Brown, Kleidon & Marsh (1983) heller ikke fundet en lineære sammenhæng mellem ”size” og det gennemsnitlige afkast. De påviste en approksimativ lineær sammenhæng mellem ln(size) og det gennemsnitlige afkast. Brown, Kleidon & Marsh (1983) argumenterer endvidere for, at det er vigtig at bruge den logaritmiske skala, da det gennemsnitlige excess return er højre skæv.

Siden Banz (1981) banebrydende bevis af ”size effekten” i det gennemsnitlige afkast har denne effekt gevaldigt manifesteret sig rundt i de akademiske kredse. Flere empiriske studier har undersøgt, hvorvidt denne effekt i det gennemsnitlige afkast udelukkende er sample specifik, eller


om der eksisterer en risikorelateret effekt i det gennemsnitlige afkast relateret til size. Der har derfor hersket en del bud på, hvorfor der eksisterer en ”size effekt” i det gennemsnitlige afkast, men ingen af disse har entydigt kunne forklare denne sammenhæng (Schwert, 1983).

3.2.2 Empiriske beviser for ”value effekt” Omkring samme tid med ”size effektens” opstandelse kunne Basu (1977, 1983) konstatere, at virksomheder med høje E/P ratios genererer positive abnorme afkast i forhold til CAPM. I en model, hvor ”size” og betaværdien for markedet var inkluderet, fandt Basu (1983) ud af, at en virksomheds E/P styrkede modellens forklaringsevne af variationen i det gennemsnitlige tværsnitsafkast. Dette skabte, ligesom den fundne ”size effekt”, et stort incitament til videre undersøgelse af denne anormale faktorer. Mange af de efterfølgende undersøgelser har påpeget, at det positive afkast er relateret til porteføljer med et henholdsvis højt dividende udbytte (D/P) eller en høj book-to-market (BE/ME) værdi. Et par af disse er henholdsvis udarbejdet af DeBondt & Thaler (1987) og Rosenberg, Reid & Lanstein (1985). I deres undersøgelse af det amerikanske aktiemarked, fandt de frem til, at det gennemsnitlige afkast er positiv relateret til forholdet mellem en virksomheds bogførte værdi og dens markedsværdi (BE/ME). Siden da er denne sammenhæng bedre kendt som ”value effekten” i den empiriske litteratur.

Konsistent med Rosenberg, Reid & Lanstein (1985) resultat kunne Chan, Hambo, & Lakonishok (1991) ligeledes påpege, at BE/ME har en væsentlige rolle i forklaring af det gennemsnitlige afkast for japanske aktier. Chan & Chen (1991) postulerer, at BE/ME faktoren agerer som proxy for den del af variationen i den systematiske risiko, der opfanges i det gennemsnitlige afkast relateret til ”financial distress”. Virksomheder, med høj BE/ME værdi, vil i så fald kræve et højere forventet afkast som kompensation for ekstra risiko grundet virksomhedens ringe fremtidsudsigter. Denne antagelse bakkes op af Fama & French (1993), der ligeledes finder en positiv sammenhæng mellem det gennemsnitlige afkast og en virksomheds BE/ME. På grund af denne sammenhæng er virksomheder med en lav BE/ME kendetegnet som ”Growth stocks”, og virksomheder med en høj BE/ME er kendetegnet som ”Value stocks” blandt flere investorer.

Hvorvidt ”value effekten” i det gennemsnitlige afkast skyldes kompensation for at holde ekstra risiko eller andre forhold, er den finansielle litteratur uenig om. Lakonishok, Shleifer & Vishny (1994), der har påvist en stærk ”value” præmie i det amerikanske aktieafkast, mener, at ”value” præmien er opstået som konsekvens af, at markedet undervurderer ”value stocks” og overvurderer ”growth stocks”. Når disse misprisfastsættelser er korrigeret, vil ”value stocks” have høje afkast og ”growth stocks” lave afkast. Essensen i Lakonishok, Shleifer & Vishny (1994) er således at ”value” præmien skyldes irrationel investor adfærd, og ikke fordi den er proxy for risiko. Fama & French (1992) samt Chan & Chen (1991), tilhængere af den teoretiske finansierings teori, mener derimod, at ”value” præmien afspejler risikokompensation, som CAPM ikke kan forklare. En forholdsvis høj BE/ME værdi, typisk forårsaget af et dyk i virksomhedens aktiepris, signalerer derfor, at virksomheden har ringe indtjeningsudsigter. Et helt tredje studie, Black (1993), MacKinlay (1995) og Lo & MacKinlay (1990), argumenterer for, at den fremfundne value præmie udelukkende er sample specifik for de empiriske analyser eller skyldes ”data snooping”. Kothari, Shanken & Sloan (1995) argumenterer for, at det abnorme afkast af virksomheder med en høj BE/ME, er et resultat af problemet ”survivor bias”, da det kun er virksomheder, der har overlevet, der er medtaget i dataene. Den øgede kritik skabte incitament for Fama & French (1998) til at tjekke ”value effektens” samlede konsistens og validitet ved at undersøge internationale aktieafkast for perioden 1975-1995. Formålet med denne undersøgelse (Fama & French, 1998) var således at identificere, hvorvidt ”value” præmien i det gennemsnitlige aktieafkast kun er relateret til det amerikanske


aktiemarked, eller om det er et globalt fænomen. De har således kunnet påvise, at 11 ud af de 12 undersøgte lande har konsistente ”value” præmier i forhold til litteraturen. Dette resultat er endvidere konsistent med Arshanapalli et al (1998), Chan, Hamao, & Lakonishok (1991) og Capaul, Rowley & Sharpe (1993) undersøgelse. Det er således ikke kun et ”lokalt” amerikansk fænomen, at ”value stocks” tenderer til at have højere gennemsnitlige afkast end ”growth stocks”, men nærmere et globalt.

3.2.3 Opsummering af ”size effekten” og ”value effekten” Følgende afsnit tager udgangspunkt i Fama & French videnskabelige artikler ”The Cross-section of Expected Stock Returns” samt ”Common risk factors in the returns on stocks & bonds” fra henholdsvis 1992 og 1993. Formålet med Fama & French (1992) videnskabelige artikel er dels at evaluere de fremfundne empiriske anomalier (size , kapitalstruktur, E/P og book-to-market equity) fælles rolle med markedets 𝛽 på det gennemsnitlige amerikanske aktieafkast. Derudover testes hvor godt disse respektive forklarende variable, isoleret og samlet set, fungerer som proxy for risikofaktorer relateret til det forventede afkast. Hensigten med Fama & French (1992,) arbejde er dermed at adskille redundante faktorer, som er proxy for hinanden i modellen samt undersøge hvorvidt CAPM kan forklare disse anormalier.

Til at beregne BE/ME, E/P samt en virksomheds kapitalstruktur har Fama & French benyttet sig af en virksomheds markedsværdi i slutningen af december år t-1, hvorimod markedsværdien for juni bliver brugt til at beregne en virksomheds size, ME. Til at estimere parametrenes risikopræmier har Fama & French anvendt Fama & MacBeth (1973) tværsnitsmetodologi samt dannet en række porteføljer på baggrund af de undersøgte risikofaktorer. Ud fra de dannede porteføljer undersøgte Fama & French (1992) det gennemsnitlige afkast på ikke-finansielle virksomheder, der figurerer på NYSE, AMEX og NASDAQ for perioden 1963-1990. Her fastslog de ligesom Reinganum (1981b) og Lakonishok & Shapiro (1986), at der forekommer en ringe relation mellem markedets 𝛽 og det gennemsnitlige afkast. Selvom 𝛽 er den eneste forklarende variable i modellen, er konklusionen den samme. Dette er en direkte modsigelse til CAPM’s simple forudsigelse, at det gennemsnitlige afkast er positiv relateret til 𝛽.

Af samme undersøgelse viste der sig derimod, et stærkt univariant forhold mellem det gennemsnitlige afkast og en given ”size”, ”value”, ”kapitalstruktur” og ”E/P” effekt som tidligere empiriske undersøgelser ligeledes har påvist. Dette resultat er en direkte indikation af CAPM’s manglende forklaringskraft. Fama & French (1992) fandt tilsvarende Banz (1981), via en multivariat test, ud af at ”size” er negativ relateret til det gennemsnitlige afkast. Denne sammenhæng er robust, når der kontrolleres for andre variable i undersøgelsen. Analogisk med Rosenberg, Reid & Lanstein (1985), kunne Fama & French (1992) ligeledes påvise en positiv BE/ME effekt i det gennemsnitlige afkast, der ligesom ”size” er robust over for ændringer i modellen. Endvidere fandt Fama & French (1992) ud af, at ”value effekten” i det gennemsnitlige excess return er fritaget effekten af den systematiske risiko. Dette skyldes, at der eksisterer en ringe variation i post-ranking 𝛽, når porteføljerne er formet på baggrund af BE/ME.

Fama & French (1992) opdagede, at den partielle effekt af en virksomheds kapitalstruktur på det gennemsnitlige afkast, blot var en proxy for ”value effekten”. En høj BE/ME kan tolkes som, at en virksomheds markedskapitalstruktur er relativ høj i forhold til dens bogførte kapitalstruktur. Fama & French (1992) fandt endvidere ud af, at relationen mellem E/P og det gennemsnitlige afkast er U formet, som også tidligere studier har påpeget (Jaffe, Keim, & Westerfield, 1989). Alene kan E/P godt forklare noget af variationen i det gennemsnitlige tværsnitsafkast, men hvis man tilføjer size og BE/ME til modellen ebber denne effekt ud. Dette er konsistent med Reinganum (1981)


undersøgelse. Fama & French (1992) fandt således ud af, at hvis der kontrolleres for ”size effekten” og ”value effekten” forsvinder de to andre risikofaktorers (kapitalstruktur, E/P) partielle effekt på det gennemsnitlige afkast. Det samme gør sig gældende for den systematiske risiko, hvilket antyder, at CAPM er misspecificeret. ”Size effekten” kan derimod ikke forklare ”value effekten” eller omvendt, hvilket indikerer, at begge faktorer er nødt til at medtages, for at forklare det gennemsnitlige afkast. Til gengæld kunne Fama & French (1992) fastslå at ”value effektens” signifikans er relativ større end ”size effektens” i det gennemsnitlige afkast. Differencen i det gennemsnitlige afkast mellem ”value stocks” og ”growth stocks” er næsten dobbelt så stor, som differencen i det gennemsnitlige afkast mellem de mindste og største virksomheder.

Den gennemsnitlige korrelation mellem ME og BE/ME er -0,26 for individuelle virksomheder. Fama & French fremhæver, at denne negative korrelation angiver, at små kapitaliserede virksomheder (små ME) har højere sandsynlighed for at have ringe fremtidsudsigter. Dette resulterer i, at disse små virksomheder vil have lave aktiekurser samt høje BE/ME. Omvendt vil store kapitaliserede virksomheder have større sandsynlighed for have gode økonomiske fremtidsudsigter, højere aktiekurser, lave BE/ME og dermed lavere gennemsnitlige aktieafkast. Det vil sige, at en del af ”size effekten” i en regression over det gennemsnitlige afkast, er delvis forårsaget af, at små kapitaliserede virksomheder tenderer til at have højere BE/ME. Fama & French påpeger, at denne sammenhæng mellem ME og BE/ME ikke skal overdrives. Dette begrundes, da korrelationen mellem de to faktorer er forholdsvis lav. Til gengæld kan Fama & French konkludere, at ”size” og ”value” er velfungerende proxyer for den sensitivitet i den systematiske risiko, der er relateret til henholdsvis en virksomheds størrelse og ”financial distress”.

Fama & French (1993) har efterfølgende udvidet sammenhængen mellem det gennemsnitlige aktieafkast og ”size effekten” samt ”value effekten”. For at kunne fortolke en isoleret effekt af ”size” eller ”value” i det gennemsnitlige afkast formede Fama & French (1993) to nye porteføljer, SMB og HML, på baggrund af 25 i forvejen dannet ME-BE/ME porteføljer. Porteføljen SMB (Small minus Big) er dannet således, at den forsøger, at efterligne de risikofaktorer i afkastet, der er relateret til ”size”. SMB viser den månedlige difference mellem det gennemsnitlige afkast på ”small-stock” porteføljer og det gennemsnitlige afkast på ”big-stock” porteføljer. Denne difference skulle gerne være fritaget for en eventuel ”value effekt” og fokuserer derfor kun på afkastets adfærd for henholdsvis små og store virksomheder. Porteføljen HML (High minus Low) er dannet således, at den forsøger at efterligne de risikofaktorer i det gennemsnitlige afkast, der er relateret til ”value”. HML viser den månedlige difference mellem det gennemsnitlige afkast på ”value stocks” og det gennemsnitlige afkast på ”growth stocks”. Denne difference skulle derfor gerne være fritaget for en eventuel ”size effekt” og fokuserer derfor kun på afkastets adfærd for henholdsvis ”value stocks” og ”growth stocks”. Fama & French (1993) værdivægter de 25 porteføljer for at minimere variansen på afkastet, samt for at give et realistisk billede af investorers investerings muligheder. Ved at gennemføre en tværsnitsregression af det gennemsnitlige afkast med SMB og HML som forklarende variable, konstaterede Fama & French (1993), at differencen i det gennemsnitlige afkast er godt forklaret af ”size” og ”value” faktorerne. Dog kunne de ikke forklare, hvorfor den gennemsnitlige præmie for en aktie er større end præmien for en risikofri obligation. Dette medførte, at Fama & French (1993) udledte deres kendte 3-faktor model, indeholdt af én markedsfaktor samt de to proxyer for risikofaktorer relateret til ME og BE/ME. 3-faktor modellen synes at forklare det gennemsnitlige afkast over amerikanske aktier på NYSE, AMEX og NASDAQ for perioden 1963-1990 rimelig godt. Dette er selvom konstanten afvises for at være lig nul ved et signifikansniveau på 5%. Idet konstanten er forskellig fra nul, indikerer det, at 3-faktor modellen


ikke kan forklare al variation i det gennemsnitlige afkast. En forklaring på dette kan findes i den manglede ”size effekt” i ”growth-stocks” porteføljen. Den respektive ”size” og ”value” præmie skal, ifølge Fama & French (1993), fortolkes som en slags ekstra kompensation for at bære en øgede risiko. En forudsætning for denne hypotese er, at ”size effekten” og ”value effekten” er rationel, og derfor ikke skyldes overreaktioner på markedet. Fama & French (1993) har derfor undersøgt dette, men er ikke kommet frem til at de fundne effekter på det gennemsnitlige afkast skyldes overreaktioner på markedet, som Behavioral Finance påpeger. Fama & French mener derfor, at ”size effekten” og ”value effekten” er relateret til ukendte risikofaktorer.


4. Design af empirisk studie I dette kapitel vil det blive redegjort for, hvordan afhandlingens empiriske metodelogi er opbygget. Først præsenteres porteføljeanalysen, hvorefter det er muligt at kvantificere de forskellige porteføljer. Til porteføljeanalysen dannes porteføljerne på baggrund af Fama & French (1993). Dette er essentielt, da SMB og HML anvendes til beregning af ”size” præmie og ”value” præmie. SMB og HML vil tage udgangspunkt i 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Derefter følger den økonometriske metodelogi med udgangspunkt i Fama & Macbeth (1973), hvor der dannes nye porteføljer på baggrund af forskellige sorteringskriterier. Kapitlet afsluttes med en beskrivelse af databehandlingen, som tager udgangspunkt i Fama & French (1992;1993).

4.1 Porteføljeanalyse Dette afsnit redegør for kvantificeringen af porteføljerne, således det er muligt at måle størrelsen af de forskellige porteføljer. Vaihekoski (2004) udpensler en række vigtige kriterier, som bør tages stilling til for at kunne kvantificere porteføljerne. De mest centrale kriterier, der bør tages stilling til, er vægtning af afkastet, prisformatet samt måling af afkastet.

Ud fra tidligere studier anvendes et værdivægtet eller ligevægtet afkast til beregning af porteføljernes afkast. Ved et værdivægtet afkast fremhæves de større aktier, hvorimod et ligevægtet afkast fremhæver tværsnittet af alle tilgængelige aktier i porteføljen. Jævnfør Vaihekoski (2004) har den værdivægtede tilgang en række fordele frem for ligevægtstilgangen. Empirisk giver det værdivægtede afkast en lavere autokorrelation, som følge af ”thin trading” (Campbell, Lo & Mackinlay 1997). Denne afhandling vil anvende det værdivægtede afkast, men ulempen ved denne tilgang er, at det danske aktiemarked er præget af en række store virksomheder, og mange små, hvilket betyder, at de store virksomheder dominerer kursudviklingen. Derfor vil der ligeledes anvendes ligevægtet afkast som en del af følsomhedsanalysen. Dette fremgår af bilag 7.

Afkastindekset (RI), fra Datastream, repræsenterer den teoretiske værdivækst, forudsat, at dividenderne er reinvesteret til køb af yderlige aktier. RI er konstrueret ved brug af årsbaseret udbytteprocent.

𝑅𝐼𝑣,𝑡 = 𝑅𝐼𝑣,𝑡−1 ∙𝑃𝐼𝑣,𝑡

𝑃𝐼𝑣,𝑡−1∙ �1 +

𝐷𝑌𝑣,𝑡

100∙

1𝑁�

hvor 𝑅𝐼𝑣,𝑡 er afkastindekset for virksomhed v for måned t, 𝑅𝐼𝑣,𝑡−1 er afkastindekset for virksomhed v for tidspunkt t-1, 𝑃𝐼𝑣,𝑡 er prisindekset for virksomhed v for tidspunkt t og 𝑃𝐼𝑣,𝑡−1 er prisindekset for virksomhed v for tidspunkt t-1. 𝐷𝑌𝑣,𝑡 er afkastprocenten på dividenden for virksomhed v for tidspunkt t.

En central problemstilling i porteføljeanalyse er, hvordan afkastet måles. Traditionelt set er der to alternativer, enten kan det procentvise afkast eller det logaritmiske afkast anvendes. Det procentvise afkast er ofte brugt i praksis, og har fordelen ved at være nem at forstå. Derimod er det logaritmiske afkast blevet standard i finansielle undersøgelser. Fordelen ved det logaritmiske afkast er, at det tenderer til at være approksimativt normalfordelt, hvilket skyldes symmetrien i logaritmen. Endvidere er heteroskedasticity reduceret ved brug af det logaritmiske afkast (Vaihekoski, 2004). Resultaterne som repræsenteres i den empiriske analyse gør brug af det procentvise afkast, da det er intuitivt nemmere forståeligt.

𝑅𝑣,𝑡 =�𝑅𝐼𝑣,𝑡 − 𝑅𝐼𝑣,𝑡−1�

𝑅𝐼𝑣,𝑡−1


hvor 𝑅𝑣,𝑡 er afkastet for virksomhed v for tidspunkt t.

Det månedlige afkast for portefølje j beregnes på baggrund af den værdivægtede tilgang.

𝑅𝑗,𝑡 = � 𝑊𝑣,𝑡 ∙ 𝑅𝑣,𝑡

𝑉

𝑣=1

hvor 𝑊𝑣,𝑡 er vægten for virksomhed v for tidspunkt t og V er summen af antal virksomheder.

For at sammenligne de forskellige porteføljers afkast, kan det gennemsnitlige månedlige afkast beregnes. Derved dannes et nemt og overskueligt overblik over porteføljens performance for hele analyseperioden.

𝑋�𝑗 =∑ 𝑅𝑗,𝑡𝑁𝑡=1

𝑁

hvor 𝑋�𝑗 er det gennemsnitlige afkast for portefølje j, og N er antallet af måneder.

For at sammenligne de forskellige porteføljers performance beregnes standardafvigelsen. Dette gøres på baggrund af Markowitz (1952) og hans begrundelse for at investorer vælger ud fra to-parametermodellen (afkast/risiko).

𝑆 =∑ �𝑋𝑗,𝑡 − 𝑋�𝑗�𝑁𝑡=1

2

𝑁 − 1

hvor Xj,t er afkastet for portefølje j for tidspunkt t, og 𝑋�𝑗 er det gennemsnitlige afkast for portefølje j.

Endvidere kan det testes, hvorvidt gennemsnittet for den respektive portefølje er signifikant forskellig fra nul ved anvendelse af følgende t-statistik.

𝑡 =𝑋�𝑗

𝑠/√𝑁

hvor 𝑡𝑛−1 er den observerede værdi, og N er antallet af måneder i stikprøven. Ved forkastelse af hypotesen (𝑋�𝑗 = 0) gælder det, at portefølje j har et gennemsnitligt statistisk signifikant afkast som er forskelligt fra nul.

4.1.1 Porteføljedannelse For at undersøge ”size” præmien og ”value” præmien for det danske aktiemarked, anvendes Market Equity (ME) og Book-to-Market (BE/ME) som sorteringsvariable i henhold til Fama & French (1993). Derved kan den isolerede effekt af henholdsvis ”size” og ”value” måles.

ME betragtes i afhandlingen som et estimat for markedsstørrelsen af en given virksomhed. Pr. definition er ME beregnet på følgende vis.

𝑀𝐸𝑣,𝑡 = 𝑃𝑣,𝑡 ∙ 𝑚𝑣,𝑡

hvor 𝑃𝑣,𝑡 er prisen for en aktie for virksomhed v for tidspunkt t og 𝑚𝑣,𝑡 er antallet af stiftede aktier i virksomhed v for tidspunkt t. BE/ME beregnes som forholdet mellem en given virksomheds bogførte størrelse og dens markedsstørrelse. Virksomheder med negative BE/ME vil ikke blive medtaget i porteføljesammensætningen for den pågældende periode.


Porteføljerne er formet på baggrund ME og BE/ME, hvor virksomhederne opdeles i fire ME-porteføljer på baggrund af disse ME breakpoints. De mindste 25% (Small-Small), de næste 25% (Small-Big), de efterfølgende 25% (Big-Small) og de største 25% (Big-Big). De fire ME-porteføljer er derefter yderligere opdelt i fire porteføljer på baggrund af de følgende BE/ME breakpoints inden for hver ME-portefølje. De nedre 25% (Lav), de efterfølgende 25% (Middel-lav), de efterfølgende 25% (Middel-høj) og de øvre 25% (Høj). Der er således dannet fire BE/ME porteføljer inden for hver ME-portefølje. På baggrund af ovenstående opdeling er der i alt dannet 4x4 porteføljer; SS1, SS2, SS3, SS4, SB1, SB2, SB3, SB4, BS1, BS2, BS3, BS4, BB1, BB2, BB3 og BB4. Eksempelvis indeholder porteføljen SS1 virksomheder der tilhører ME gruppen (Small-Small), som ligeledes tilhører BE/ME gruppen (Lav). Konstruktionen af de 16 portefølje gentages hvert år d. 1. juli. Et eksempel på porteføljedannelsen kan ses i appendiks 3.

Porteføljerne er dannet afhængigt af hinanden, hvilket er inkonsistent med Fama & French (1992;1993), der danner porteføljerne ud fra skæringen mellem ME-porteføljerne og BE/ME porteføljerne. På den måde er de uafhængige af hinanden. Grunden til at det er valgt ikke at danne uafhængige porteføljer, skyldes det lave antal af virksomheder set i forhold til antallet af dannede porteføljer. Dette vil i nogle tilfælde medføre porteføljer uden virksomheder.

Jævnfør Vaihekoski (2004) gælder der en hårfin balance mellem antallet af porteføljer samt antallet af virksomheder i de respektive porteføljer. Ifølge Vaihekoski (2004) skal antallet af porteføljer være højt, samtidig med af antallet af virksomheder ikke må komme under en fastsat minimumsgrænse. Desværre eksisterer der ikke et teoretisk belæg for en sådan minimumsgrænse af antallet af virksomheder. For at undersøge hvor følsomme resultaterne er over for antallet af porteføljer, samt måden hvorpå porteføljerne er sorteret, inddrages 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Disse porteføljer sorteres uafhængigt for derved at måle resultaternes påvirkning af antallet af porteføljer, samt påvirkning af uafhængig sortering.

2x3 ME-BE/ME porteføljerne dannes på samme vis som i Fama & French (2011), hvor 2x3 porteføljerne er sorteret uafhængigt af ME og BE/ME. Virksomhederne inddeles på samme vis som ved 4x4 ME-BE/ME porteføljerne, hvor medianen for ME beregnes. Inden virksomhederne sorteres i henholdsvis små og store virksomheder beregnes de nederste 30%, de midterste 40% og de øverste 30% for BE/ME. Herefter inddeles virksomhederne i henholdsvis SL, SM, SH, BL, BM og BH, hvor BH repræsenterer de store virksomheder der samtidig har en høj BE/ME.

4.1.2 Test på “value” og “size” præmien For at teste hvorvidt der har eksisteret henholdsvis en “value” præmie og en “size” præmie for perioden juli 1991 – juni 2010 formes der to porteføljer, HML og SMB. Porteføljen SMB (Small minus Big) er dannet således, at den forsøger at efterligne de risikofaktorer i afkastet, der er relateret til ”size”. SMB udtrykker den månedlige difference mellem det gennemsnitlige excess return på ”small-stock” porteføljer og det gennemsnitlige excess return på ”big-stock” porteføljer. På samme vis forsøger HML (high minus low) at efterligne de risikofaktorer i det gennemsnitlige afkast, der er relateret til BE/ME. HML viser den månedlige difference mellem det gennemsnitlige excess return for ”value” virksomheder og det gennemsnitlige excess return for ”growth” virksomheder og beregnes således.

Jævnfør Fama & French (2011) beregnes SMB samt HML ud fra 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Da selve porteføljeanalysen relaterer til deres undersøgelse for det europæiske marked, beregnes SMB og HML på samme vis.


𝑆𝑀𝐵 = �13∗ 𝑆𝐿 +

13∗ 𝑆𝑀 +

13∗ 𝑆𝐻� − �

13∗ 𝐵𝐿 +

13∗ 𝐵𝑀 +

13∗ 𝐵𝐻�

𝐻𝑀𝐿 = �12∗ 𝑆𝐻 +

12∗ 𝐵𝐻� − �

12∗ 𝑆𝐿 +

12∗ 𝐵𝐿�

På baggrund af de to ovenstående udtryk kan følgende hypoteser opstilles.

𝐻0: 𝑆𝑀𝐵 = 0

𝐻0:𝐻𝑀𝐿 = 0

Disse hypoteser tester via en simpel t-test på, hvorvidt der har eksisteret en signifikant præmie for perioden juli 1991- juni 2010. Hvis 𝐻0 afvises, betyder dette, at der eksisterer enten en negativ eller positiv signifikant præmie, som er relateret til enten virksomhedens ME eller BE/ME.

Denne porteføljeanalyse anvendes i kombination med Fama & Macbeth (1973) tværsnitsregression til at undersøge ”size” og ”value” præmien på det danske aktiemarked.

4.2 Økonometrisk metode I den empiriske analyse af blandt andet den teoretiske funderet model CAPM anvendes OLS. Dette er selvom Lewellen, Nagel og Shanken (2010) påpeger, at GLS estimering kan afhjælpe problemet med den stærke faktorstruktur i Fama & French porteføljer. Til estimering af OLS estimaterne anvendes Fama & Macbeths metode (1973). Dette giver umiddelbart et problem med ”errors-in-variable”, hvilket reduceres ved brug af porteføljer frem for individuelle virksomheder .

4.2.1 Fama & Macbeth (1973) Fama & Macbeth’s (1973) tilgang anvendes som en grundlæggende analyseramme for den økonometriske analyse. Fama & Macbeth (1973) udviklede en tværsnitsregressionsmetode til at teste CAPM’s hypotese om, hvorvidt variationen i det forventede afkast er forklaret af virksomhedens 𝛽 . Jævnfør Fama (1973) vil man være nødt til kontrollere for potentiel tværsnitskorrelation i residualerne. Når fejlleddet er korreleret, er OLS konsistent, men OLS teorien er forkert. Dette vil resultere i, at standardfejlen bliver lille, hvilket betyder, at t-statistikken bliver stor, og sandsynligheden for at afvise 𝐻0 øges. En god approksimation for at minimere denne korrelation er at anvende månedlige afkast frem for daglige afkast, men da der ofte eksisterer anormaliteter, vil disse kovariere på tværs af aktiverne. Fama & Macbeth metoden er derfor anvendelig, da denne ikke kontrollerer for fejl i estimering af 𝛽’s. Da man ikke kan observere de ”sande” 𝛽, indebærer Fama & Macbeth (1973) metode en to-trins procedure med historisk data, der tillader �̂� at variere over tid. Ved at bruge denne metode bliver standardfejlene korrigeret for tværsnitskorrelation i residualerne. For hver periode t køres følgende regression.

𝑅𝑗,𝑡 = 𝛾0,𝑡 + 𝛾1,𝑡𝛽𝑗 + 𝜀𝑗,𝑡

for alle porteføljer j, hvor J er antallet af porteføljer (j=1,…,J), og N er de observerede perioder (t=1,…,N). Dette betyder, at deres køres N antal regressioner, hvor hver regression bruger J observationer. Herved fås der tidsserieestimater for koefficienten 𝛾�𝑗,𝑡 . Alternativt kunne der anvendes forskellige værdier af 𝛾�𝑗 over tid, men jævnfør Cochrane (2001) er det ligeså brugbart at estimere enkelte 𝛽′𝑠 for hver portefølje j for hele tidsperioden. Denne afhandling tager udgangspunkt i estimering af enkelte 𝛽’s for hver portefølje j for hele tidsperioden. Dette er inkonsistent med Fama & Macbeth (1973), der anvender 5årig rullende 𝛽’s til estimeringen af det forventede afkast.


Som estimater for de forventede værdier anvendes gennemsnittet af tidsserien, hvorpå det kan testes, hvorvidt disse estimater er signifikant forskellige fra nul ved en simpel t-test.

𝛾�𝑖 er estimeret ved et simpelt gennemsnit af estimaterne for hver periode:

𝛾�𝑖 =1𝑁∙� 𝛾�𝑖𝑡

𝑁

𝑡=1

og beregning af variansen for estimaterne:

𝜎�𝑦𝑖 =1

𝑁(𝑁 − 1)� (𝛾�𝑖𝑡 − 𝛾�𝑖)

𝑁

𝑡=1

derved kan t-statistikken beregnes.

𝑡(𝛾𝑖) =𝛾�𝑖𝜎�𝛾𝑖

4.2.2 Errors-in-variable ved estimering af OLS Ved anvendelse af Fama & MacBeth (1973) tilgang til at teste CAPM vil der opstå et ”errors-in-variable” problem. Dette problem opstår, da man estimerer 𝛽 på baggrund af historisk data i stedet for at observere de ”sande” 𝛽’s. Følgende er den målte værdi af den systematiske risiko:

�̂�𝑗 = 𝛽𝑗 ±∈�𝑗

hvor 𝛽𝑗 er den sande (ikke observerbare) systematiske risiko for portefølje j, og ∈�𝑗 er målefejlen. Dette bevirker, at så længe �̂�𝑗 indeholder en målefejl, bliver OLS estimaterne for 𝛾𝑖 konsistente. Forudsat at 𝜀�̂� og ∈�𝑗 er uafhængige indbyrdes og er uafhængige for �̂�𝑗 i tværsnitsregressionen,

𝑝𝑙𝑖𝑚 𝛾�1 =𝛾1

1 + 𝜎2(∈�)/𝑠2(𝛽𝑗)

hvor 𝑆2(�̂�𝑗) er variansen for tværsnitsstikprøven for det ”sande” risikoparameter 𝛽𝑗. Ud fra dette betyder det, at selvom stikprøver er stor, vil 𝛾�0 være biased væk fra 0 og 𝛾�1 være biased mod 0. Dette betyder, at test for signifikans på forskellen på 𝛾0 = 0 og 𝛾1 ≤ 0 vil være misvisende (Black, Jensen & Scholes 1972).

Ifølge Black, Jensen & Scholes (1972) kan fejlen i de estimeret 𝛽 minimeres ved nøje at konstruere en række porteføljer. Grunden til dette skyldes at porteføljer har en lavere residual varians end individuelle virksomheder. Derudover vil individuelle virksomheders 𝛽 ofte variere over tid, grundet ændringer i for eksempel virksomhedens størrelse. Porteføljers 𝛽 er derimod mere stabile over tid, og derfor nemmere at måle korrekt. Dette skyldes, at porteføljerne konstrueres hvert år. Estimaterne vil i så fald være bias, men konsistente. Dette betyder, at i stedet for at gennemføre regressioner for hver individuel virksomhed, gennemføres der for hver portefølje j. Alternativt kunne der eksplicit justeres for variansen på de endelige estimater af modellen. Denne metode er kaldt ”the Shanken correction” (Shanken, 1992).

1 + (�̂�𝑚 − 𝛾�0)2/𝜎�𝑚2

hvor er det gennemsnitlige excess return for markedsporteføljen. er variansen for

markedsporteføljen. En stor værdi af Shankens korrektion har betydning for, hvorvidt det fejles i at afvise 𝐻0. Jævnfør Cochrane (2001) er korrektionen en god ide at inddrage som en form for følsomhed i de tilfælde, hvor 𝐻0 afvises.


4.2.3 Brug af Fama & Macbeth (1973) for test på CAPM Testen på CAPM testes på en række forskellige porteføljer. Den primære test foretages på 4x4 ME-BE/ME porteføljerne samt 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Derudover testes CAPM på porteføljer sorteret udelukkende på henholdsvis BE/ME og ME. Derved kan det testes, hvorvidt CAPM er i stand til at forklare både ME og BE/ME dimensionen. Den sekundære test har udgangspunkt i Cochrane (2001), som foreslår denne tilgang , til at teste hvorvidt CAPM er i stand til at forklare bestemte karakteristika.

Til undersøgelse af ME dimensionen sammensættes 5 porteføljer, hvor virksomhederne inddeles på udelukkende ME. Nedre 20% (ME1), de efterfølgende 20% (ME2), de efterfølgende 20% (ME3), de efterfølgende 20% (ME4) og de øvre 20% (ME5). Porteføljerne er formet således, at de forsøger at gengive den bagvedliggende risikofaktor i de månedlig afkast relateret til ME. For at sikre denne effekt er konsistent, dannes der nye porteføljer hvert år 1. juli. En virksomhed har således mulighed for at bevæge sig fra én portefølje til en anden, hvis den eventuelt er vokset væsentligt det pågældende år.

Porteføljedannelsen til undersøgelsen af BE/ME dimensionen tager ligesom ME dimensionen udgangspunkt i Cochrane (2001). Porteføljerne er formet således, at de forsøger at gengive den bagvedliggende risikofaktor i de månedlig afkast relateret til BE/ME. Ligesom ME-porteføljerne dannes der nye BE/ME porteføljer hvert år for at sikre en konsistent effekt. Der vil umiddelbart ikke kunne opstå et fortolkningsproblem af ”value effekten”, som ved måling af ”size effekten”, da der af tidligere studier ikke fremgår en stærk korrelation mellem BE/ME og 𝛽 (Fama & French 1992).

Porteføljedannelsen af ME samt BE/ME følger de samme betingelser som opstillet i porteføljeanalyseafsnittet. Det betyder, at der anvendes et værdivægtet afkast, og beregning af afkast fra måned til måned vil følge det procentvise afkast.

Til test på CAPM vil den stokastiske model jævnfør Fama & Macbeth (1973) anvendes.

𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓𝑡 = 𝛾0,𝑡 + 𝛾1,𝑡𝛽𝑗 + 𝛾2,𝑡𝛽𝑗2 + 𝛾3,𝑡𝑠𝑗 + 𝜂𝑗,𝑡

hvor 𝑅𝑗𝑡 afkast for portefølje j for tidspunkt t, 𝛽𝑗2 er den kvadreret værdi af 𝛽𝑗, 𝑠𝑗 er variansen for fejlleddet for portefølje j og 𝜂𝑗𝑡 er fejleddet for tværsnittet for portefølje j over tidspunkt t.

Endvidere vil følgende implikationer testes på baggrund af den stokastiske model.

C1 (linearitet) – 𝐸(𝛾2𝑡) = 0

C2 (ingen systematisk effekt ved ingen 𝛽) – 𝐸(𝛾3𝑡) = 0

C3 (positivt forventede afkast-risiko tradeoff) – 𝐸(𝛾1𝑡) = 𝐸(𝑅𝑚𝑡) − 𝐸(𝑅0𝑡) > 0

Sharpe-Lintner (S-L) hypotese – 𝐸(𝛾0𝑡) = 𝑅𝑓𝑡

C1 tester på den lineære sammenhæng mellem 𝛾1 og det forventede afkast. C2 tester på hvorvidt ingen andre risikofaktorer end 𝛽 kan forklare variationen i det forventede afkast. C3 tester på om risikopræmien er positiv, hvilket betyder, at investor belønnes for at optage risiko. S-L hypotesen tester på, om konstanten er et udtryk for den risikofrie rente. Da der i afhandlingen anvendes excess return, testes der i stedet på, om S-L hypotesen er lig med nul. Hvis det fejles at afvise C1, C2 og S-L hypotesen samtidig med at C3 afvises, holder betingelserne for CAPM. Disse hypoteser vil blive testet i den primære analyse, hvorimod kun C3 samt S-L hypotesen testes i den sekundære analyse, hvor ME og BE/ME dimensionerne testes.


Hvis det fejles at afvise C1, C2 og S-L hypotesen samtidig med at C3 afvises, kan det ikke afvises, at CAPM kan forklare variationen i det forventede afkast. Dette er under en række antagelser omkring modellens forudsætninger samt de økonometriske forudsætninger (Gauss-Markow).

4.2.4 Brug af Fama & Macbeth (1973) for test på ”size” og ”value” Til test på “size effekten” og “value effekten” tages der udgangspunkt I APT modellen, hvor henholdsvis en proxy for “size” og “value” inkluderes, for validering af SMB og HML. Nedenstående modeller tager udgangspunkt i Fama & French (1992) for test på ”size effekten”.

𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓𝑡 = 𝛾0 + 𝛾1𝛽𝑗 + 𝛿1 ln�𝑀𝐸𝑗� + 𝜂𝑗,𝑡

hvor 𝑅𝑗𝑡 er afkastet for portefølje j for tidspunkt t, og ln (𝑀𝐸𝑗) er den naturlige logaritmiske værdi af ME for portefølje j. ln (𝑀𝐸𝑗) er valgt som proxy for ”size”, på baggrund af tidligere studier af henholdsvis Brown, Kleidon & Marsh (1983) og Fama & French (1992).

For test på ”value effekten” tages der udgangspunkt i følgende model.

𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓𝑡 = 𝛾0 + 𝛾1𝛽𝑗 + �̂�1 ln�𝐵𝐸𝑀𝐸𝑗

� + 𝜂𝑗,𝑡

hvor 𝑅𝑗𝑡 er afkastet for portefølje j for tidspunkt t, og ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑗) er den naturlige logaritmiske værdi af BE/ME for portefølje j. ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑖) er valgt som proxy for ”value”, på baggrund af tidligere studier af henholdsvis Kothari, Shanken & Sloan (1995) og Fama & French (1992).

Endvidere vil følgende implikationer testes på baggrund af de ovenstående APT modeller.

𝐻0: 𝐸�𝛿1� = 0

𝐻0: 𝐸��̂�1� = 0

Hypoteserne tester på, om der eksisterer henholdsvis en ”size effekt” og ”value effekt,” som CAPM ikke kan forklare over det forventede afkast. Hvis 𝐻0 afvises betyder det, at det ikke kan afvises, at der eksisterer en risikofaktor i det forventede afkast relateret til enten en virksomheds ME eller en virksomheds BE/ME.

Som de to modeller giver udtryk for, testes disse i et risikojusteret marked. På samme måde testes der udelukkende på ”size effekten” og ”value effekten”.

4.3 Dataindsamling Følgende afsnit redegør for den valgte tidsperiode, data samt screening af data for den empiriske

undersøgelse, relateret til det danske aktiemarked. Endvidere defineres der to proxies for

henholdsvis den risikofrie rente samt markedsporteføljen.

4.3.1 Tidsperiode Tidsperioden for undersøgelsen er valgt på baggrund af en række forskellige faktorer. Fama & French (1992) anvender én tidsperiode på 27 år (1962 – 1989), der ikke er mulig for denne empiriske undersøgelse. Dette skyldes jævnfør af Parum (1999), at data 20 år tilbage på det danske aktiemarked er næsten umuligt at indsamle, hvis der ønskes datatilgængelighed samt valide data. Da der ønskes en lang analyseperiode i afhandlingen, behandles data for perioden 1991 – 2010. Data for perioden 1989 – 1990 er ikke medtaget, på trods af introduktion af KFX indekset i 1989, medførte en markant bedre dataregistrering end man havde tidligere. Da datatilgængeligheden


stadig er ustabil de første par år, starter analyseperioden først i 1991 for at sikre stabilitet på markedet.

Da der ligeledes ikke findes et teoretisk belæg for den valgte tidsperiode, findes det relevant, at foretage en følsomhedsanalyse for den valgte tidsperiode. På den måde vil stationariteten af resultaterne blive undersøgt ved estimering inden for mindre tidsperioder.

4.3.2 Data Datatræk til denne afhandlingen er foretaget via DataStream. Fordelen ved at anvende DataStream er, at tilgængeligheden af data for mindre virksomheder er forholdsvis høj. Da der forekommer en del mindre virksomheder på det danske aktiemarked, vil disse ikke være tilgængelige på for eksempel COMPUSTAT, men derimod DataStream. Der kan opstå en række problemer ved brug af databasen, DataStream. Da DataStream indsamler data fra forskellige databaser fra forskellige organisationer, kan der med rimelig sandsynlighed forekomme tab eller fejlrapportering via denne indsamlingsproces. Derudover kan der opstå problemet kaldet ”survivor bias”. Dette problem opstår i og med at virksomheder, der er gået konkurs før 2010, ikke fremgår i datamaterialet. Jævnfør Ince og Porter (2006) kan der være nogle problemer vedrørende brug af afkastindekset fra DataStream for virksomheder. Dette skyldes, at DataStream i afkastindekset afrunder til nærmeste hele tal, hvilket kan give en bias i de beregnede afkast. Umiddelbart er der ikke kendskab/tilgængelighed til en alternativ database med samme dataomfang over det danske aktiemarked som DataStream, hvilket gør det svært at sammenligne samt validere data fra DataStream. De ovenstående problemer kan have en betydning for den empiriske analyse, hvilket der derfor tages forbehold for.

Der er hentet månedlig data for virksomheder i Small Cap, Mid Cap og Large Cap på det danske aktiemarkedet for tidsperioden (1991-2010). Månedlig data er trukket, da dette er en god approksimation for korrelation i fejlleddet, som tidligere beskrevet. I alt er der samlet data for 195 virksomheder.

4.3.3 Screening af data Da der tidligere er anvendt Fama & French’s porteføljesammensætning, virker det naturligt i den forbindelse, at benytte sig af Fama & French’s screeningskriterier. I dette afsnit vil der derfor blive redegjort for de anvendte screeningskriterier henholdt datasættet.

For at en virksomhed er egnet til analysen, skal aktiekursen for den givne virksomhed være tilgængelig for hele året, hvor porteføljerne sammensættes. Ligeledes skal ME og BE/ME være tilgængelig for juli år t-1, da porteføljesammensætningen her foretages. Virksomheder med negativ BE fjernes fra det pågældende år, hvor BE er negativ. De negative BE virksomheder inkluderes ligeledes ikke i beregning af markedsindekset, hvilket er inkonsistent med Fama & French (1992).

På Københavns Fondsbørs er der en række virksomheder, der er børsnoteret i to aktieklasser. I disse tilfælde ekskluderes A aktien, da den typisk er mindre likvid grundet den er holdt af familiemedlemmer og få store investorer. Fordelen ved korrektionen er, at risikoen fjernes for at en eventuel difference mellem de estimerede afkast skyldes likviditetsgraden.

I en række forskellige empiriske undersøgelse beskrives scenariet ”thin trading”, som fremkommer af en lav handelsaktivitet på markedet. Jævnfør Bartholdy & Peare (2004) skal virksomheder være handlet mindst 95% af alle handelsdage indenfor den estimerede periode for at undgå dette problem. Dette skyldes, at der ellers ikke vil være en kursudvikling for virksomheden i enkelte perioder. Hvis ikke dette kriterium er opfyldt, vil der opstå en bias i undersøgelsen. I denne


afhandling frasorteres virksomheder på deres månedlige handelsaktivitet, frem for antallet af handelsdage. Hvis virksomheden har to måneder ud af porteføljeåret, hvor kursen ikke er ændret, resulterer det i, at virksomheden fjernes. Virksomhederne medtages først året efter, i så tilfælde, at de opfylder kriteriet. Fænomenet skyldes nok ikke ”thin trading”, men nærmere manglende data.

Fama & French (1992) diskuterer, hvorvidt finansielle virksomheder bør medtages eller frasorteres. Fama & French argumenterer for, at den høje gearing hos finansielle virksomheder ikke har samme betydning som for ikke-finansielle virksomheder. Dette skyldes, at en høj gearing for ikke-finansielle virksomheder indikerer ”financial distress”, mens dette er normalt for finansielle virksomheder. De finansielle virksomheder ekskluderes ikke fra denne empiriske undersøgelse, da Fama & French kun fjerner disse, fordi de undersøger gældsstrukturen. Da dette ikke er aktuelt i denne afhandling, vil de finansielle virksomheder medtages i undersøgelsen.

4.3.4 Variable Estimering og test af CAPM kræves en proxy for den risikofrie rente samt en proxy for markedsporteføljen. Disse vil det følgende afsnit beskrives.

4.3.4.1 Den risikofrie rente Generelt er den risikofrie rente afkastet på en portefølje eller et værdipapir, der ikke har nogen kovariation til markedet. Hypotetisk er det muligt at konstruere en sådan portefølje, men givet de tidsmæssige omkostninger og den enorme kompleksitet, der er forbundet hermed, fokuseres der i stedet på lange statslige obligationer som proxy for denne. Selvom disse ikke er helt risikofrie, har de meget lave 𝛽’s (Koller, Goedhart & Wessels, 2010).

Den risikofrie rente til brug ved empiriske undersøgelser estimeres på baggrund af en 10årige dansk statsobligation (Statistikbanken.dk), da det må antages, at sikkerheden hos den danske stat er stor. Den 10årige statsobligations effektive rente er hyppigt anvendt blandt flere teoretikere, som estimat for den risikofrie rente. Generelt set anvendes ofte den 10årige tyske statsobligation, da tyske obligationer har højere likviditet og en lavere kreditrisiko end andre europæiske obligationer (Koller, Goedhart & Wessels, 2010). Da den 10årige tyske statsobligation konvergerer med den 10årige danske statsobligation, anvendes den danske statsobligation.

4.3.4.1 Markedsindekset Afkastet for markedsindekset (RM) beregnes som et værdivægtet markedsindeks ud fra de medtagede virksomheder i analysen. Alternativt kunne der have været anvendt markedsindekset for OMXC20 eller DataStream’s for det danske aktiemarked. Da disse indeks udelukkende er beregnet på baggrund af store virksomheder, findes det mere naturligt at udregne indekset ud fra de medtagede virksomheder i den empiriske undersøgelsen. På denne måde afhænger markedsindekset også af de mindre virksomheder. Jævnfør Roll (1977) kan der opstå problemer med at opnå en efficient markedsportefølje, da den ikke er observerbar. Dette kan resultere i , at CAPM tester på en mean-variance efficient portefølje, selvom den sande markedsportefølje muligvis ikke er efficient. Det værdivægtede markedsafkastet beregnes ud fra følgende formel:

𝑅𝑀𝑡 = � 𝑅𝑣,𝑡

𝑉

𝑣=1∙ 𝑊𝑣,𝑡


5. Empiriske Resultater I det følgende kapitel præsenteres de empiriske resultater. Først og fremmest foretages en porteføljeanalyse for at undersøge, hvorvidt der eksisterer en ”value” præmie og en ”size” præmie for det danske aktiemarked. Herefter følger en empirisk test af CAPM, hvor der ses på, hvorvidt modellen er i stand til at forklare variationen i det forventede excess return for porteføljer sorteret efter ME og BE/ME. Derefter undersøges det hvorvidt CAPM er i stand til at forklare henholdsvis ”size” dimensionen og ”value” dimensionen. Endvidere undersøges robustheden af porteføljeanalysen ved at inddrage en regressionsanalyse af den eventuelle ”size effekt” og ”value effekt”.

Til at vurdere resultaternes statistiske signifikans (signifikansniveau = 5 %) antages det, at den kritiske grænse er på 2 standard fejl fra nul ved en tosidet test. For en ensidet test antages den kritiske grænse at ligge på omkring 1.7 standard fejl fra nul. For yderlig at reducere problemet med ”errors-in-variable” inddragelse af Shankens korrektion. Det er dog kun relevant at inddrage og kommentere Shanken i de tilfælde hvor 𝐻0 afvises.

5.1 Beskrivende statistik Inden regressionsanalysen af CAPM gennemgås den beskrivende statistik for 4x4 ME-BE/ME samt 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Derudover undersøges markedspræmien, “size” præmien og “value” præmien, jævnfør de opstillede hypoteser i kapitlet ”Design af empirisk studie”. Disse undersøgelser opvejes med Fama & French’s (2011) studie af Europa for perioden 1991 – 2010.

Tabel 1 viser det gennemsnitlige excess return, standard afvigelse, t-statistik samt det gennemsnitlige antal virksomheder for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne. Det fremgår af tabellen, at der gennemsnitligt er ca. 6 virksomheder i hver af de 4x4 ME-BE/ME sorterede porteføljer. Dette er ikke overraskende, da porteføljedannelsen sker afhængigt af ME og BE/ME. For perioden 91/92 er det gennemsnitlige antal virksomheder i porteføljerne 2.75, mens det totale antal virksomheder er 44. Hvis man derimod ser på perioden 09/10 er det gennemsnitlige antal virksomheder i porteføljerne 10.25, og det totale antal virksomheder er 164 (se bilag 1). Denne store forskel skyldes manglende data fra DataStream, samt det at handelsaktiviteten er lav i de tidlige år af undersøgelsen.

Jævnfør kapitlet ”Design af empirisk studie” inddrages 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, hvilket begrundes med det lave antal af virksomheder i de første analyseår, samt undersøge hvorvidt antallet af porteføljer har en indvirkning. Tabel 2 viser det gennemsnitlige excess return, standard afvigelse, t-statistik samt det gennemsnitlige antal virksomheder for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Da porteføljerne er sorteret uafhængigt, bevirker det, at SL samt BH porteføljerne har et markant lavere gennemsnitligt antal porteføljer end de resterende porteføljer. Det skyldes, at der er få virksomheder i de ekstreme porteføljer.

Det gennemsnitlige månedlige excess return for 4x4 ME-BE/ME porteføljer varierer fra -0.24% (t=-0.45) til 2.33% (t=3.89) for henholdsvis portefølje SB1 og SS4. På årsbasis er dette en difference på 34.68%1

1 ((1 + 0.0233)^12 –1) – ((1 – 0.0024)^12 – 1)

, hvilket ud fra investorers synspunkt må antages være markant. Endvidere ses en klar sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return og BE/ME, når der kontrolleres for ME, hvilket er konsistent med tabel 2. Jo højere BE/ME desto større gennemsnitligt excess return. Denne sammenhæng kan ses i tre ud af de fire ME-porteføljer (SS, SB og BS). I den sidste ME-portefølje ser der ud til at eksistere en U formet sammenhæng mellem BE/ME og det


gennemsnitlige excess return. Hvis man derimod ser på sammenhængen mellem ME og det gennemsnitlige excess return, eksisterer der umiddelbart ikke nogen sammenhæng. Dette er konsistent med Fama & French’s (2011) studier af Europa, som ligeledes finder en betydelig sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return og BE/ME, men ingen decideret sammenhæng mellem ME og det gennemsnitlige excess return.

Tabel 1 Det gennemsnitlige excess afkast, standard afvigelse, t-statistik og antal virksomheder

for 4x4 size-BE/ME porteføljerne (i %) for perioden juli 1991 – juni 2010 Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 4 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 4 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t. De værdivægtet månedlige portefølje excess return er beregnet for Juli år t til Juni t+1. Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien ( procent). Det gennemsnitlige antal virksomheder i hver porteføljer er det månedlige gennemsnit antal virksomheder i tidsserien.

Generelt kan det ses, at det gennemsnitlige excess return er højest for porteføljen (SS4) med en lav ME samt en høj BE/ME, hvilket gør sig gældende både for tabel 1 og tabel 2 (SH). Dette er konsistent med Fama & French (1992) samt Fama & French (2011), hvor netop denne portefølje genererer det højeste gennemsnitlige excess return. Ud fra teorien om, at der eksisterer en ”size” præmie og ”value” præmie giver det intuitivt god mening, at de mindste virksomheder med højeste BE/ME opnår det højeste excess return over perioden.

Tabel 2 Det gennemsnitlige excess afkast, standard afvigelse, t-statistik og antal virksomheder

for 2x3 size-BE/ME porteføljerne (i %) for perioden juli 1991 – juni 2010 Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 2 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 3 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t. De værdivægtet månedlige portefølje excess return er beregnet for Juli år t til Juni t+1. Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien ( procent). Det gennemsnitlige antal virksomheder i hver porteføljer er det månedlige gennemsnit antal virksomheder i tidsserien.


I tabel 3 ses det, at markedspræmien for perioden 1991 – 2010 (den gennemsnitlige forskel mellem det månedlige værdivægtet markedsafkast og den månedlige effektive rente for den 10årige statsobligation) er positiv signifikant (0.86%) med en standardfejl på over 2 fra nul. Det vil sige, at investorer opnår et gennemsnitligt årlig excess return på 10.8%2. Sammenholdt med Fama & French (2011) har investeringer på det danske aktiemarked gennemsnitligt opnået 4.4%3

Den gennemsnitlige ”size” præmie for 4x4 ME-BE/ME porteføljer og 2x3 ME-BE/ME porteføljer er på henholdsvis 0.52% og -0.30%. En mulig årsag til denne forskellighed, kan ligge i måden hvorpå porteføljerne er sorteret, da de henholdsvis er sorteret uafhængigt og afhængigt. Hypotesen 𝑆𝑀𝐵 = 0 kan ikke afvises, da ingen af disse værdier er over 2 standardfejl fra nul. Fama & French (2011) kunne heller ikke påvise en “size” præmie i det gennemsnitlige afkast. Der kan være række årsager til den insignifikante “size” præmie i undersøgelsen. En årsag hertil kunne være, at der ikke længere eksisterer en “size” præmie i det gennemsnitlige afkast. En anden forklaring kan være, at de tidligere empiriske studiers fremfundne ”size” præmie skyldes, at “size” har ageret som en proxy for andre ukendte risikofaktorer relateret til det gennemsnitlige afkast (Banz, 1981). Til sidst påpeger andre studier, at den primære grund til at der ikke eksister en “size effekt”, skyldes markedsinefficient. Disse studier er uenige med Fama & French (1992) der mener, at ”size” er en proxy for en risikofaktor i det gennemsnitlige afkast, der er relateret til “size”.

højere excess return end det europæiske marked.

Tabel 3 Det gennemsnitlige excess afkast, standard afvigelse og t-statistik for Rm, SMB og HML

for henholdsvis 2x3 ME-BE/ME og 4x4 ME-BE/ME porteføljer (i %) for perioden juli 1991 – juni 2010 Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente . SMB (small minus big) er differencen mellem afkastet på små og store virksomheder, med samme gennemsnitlige BE/ME. HML (high minus low) er differencen mellem afkastet på høje og lave BE/ME virksomheder, med samme gennemsnitlige ME.

Den gennemsnitlige ”value” præmie er derimod positiv for både 4x4 ME-BE/ME porteføljer (0.86%) samt 2x3 ME-BE/ME porteføljer (0.90%). Disse værdier er signifikante med over 2 standardfejl fra nul, og derved afvises hypotesen om, at 𝐻𝑀𝐿 = 0. Resultaterne er konsistente set i forhold til Fama & French’s (2011) studier af Europa for perioden 1991 - 2010. Her eksisterer ligeledes en signifikant positiv ”value” præmie på 0.56% (t=3.50), hvilket er konsistent med denne empiriske undersøgelses resultater. Hvorvidt denne præmie er relateret til ukendte risikofaktorer eller overreaktioner kan diskuteres. Kothari, Shanken & Sloan, (1995) påpeger, at præmien skyldes bias i den data, der indsamles. Da virksomheder med høj BE/ME ofte er virksomheder, som er ”financial distressed”, er disse virksomheder i risikogruppen for at gå konkurs. Derved skabes der en klar bias, da det netop kun er de virksomheder, der har klaret sig igennem perioden, der fremgår i dataene.

2 (1 + 0.0086)^12 - 1 3 ((1 + 0.0086)^12 – 1) – ((1 + 0.0044)^12 -1)


De fundne resultater giver belæg for den videre undersøgelse af markedspræmien, ”size” præmien samt ”value” præmien. Det er interessant at teste, hvorvidt CAPM er i stand til at forklare disse præmier. Endvidere er det interessant at sammenholde de fremfundne resultater i porteføljeanalysen med en regressionsanalyse af både ”size” præmien og ”value” præmien for validering af resultaterne.

5.1.1 Opsummering De mindste virksomheder med højeste BE/ME opnår det højeste gennemsnitlige excess return, hvilket er uafhængigt af antallet af porteføljer. Der ses en klar sammenhæng mellem BE/ME og det gennemsnitlige excess return. Denne sammenhæng er ikke tydelig for ME og det gennemsnitlige excess return, hvor der kun er en sammenhæng for virksomheder med høj BE/ME. Dette bekræftes ligeledes i porteføljeanalysen, hvor der fremvises en signifikant “value” præmie samt en insignifkant “size” præmie. De fundne resultater er konsistente med Fama & French (2011).

5.2 Empirisk test af CAPM I følgende afsnit gennemgås den empirisk test af CAPM. Der ønskes undersøgt, hvorvidt CAPM, en teoretisk funderet model, kan forklare variationen i det forventede afkast på ME-BE/ME porteføljerne. Den empiriske undersøgelse vurderer de opstillede hypoteser; C1, C2, C3 samt S-L hypotesen, fra kapitlet ”Design af empirisk studie”. Først undersøges hele perioden, og derefter ses der nærmere på delperioderne. Udover dette vil de empiriske resultater blive sammenholdt med tidligere empiriske studier af CAPM.

For at teste C1 - C3 kræves det, ifølge SLB modellen, at en mean-variance-efficient portefølje identificeres. Forud for denne test forudsættes det, at kapitalmarkedet er perfekt samt at alle investorer har den samme tilgængelige information til rådighed. Sagt med andre ord skal EMH gælde. I så fald disse forudsætninger er opfyldt, gælder det, at investorernes vurdering af fremtidsværdien for en given portefølje er ens. Derudover forudsættes det, at short selling er tilladt. Der kan være en række problemer med disse forudsætninger for det danske aktiemarked, hvor én af de mere markante forudsætningsbrud er den danske beskatning af aktiegevinster. For en uddybende diskussion af CAPM’s forudsætninger set i forhold til det danske aktiemarked, se bilag 2.

5.2.1 Hele perioden Ud fra 19 år med månedlige afkast (228 observationer), beregnes OLS estimaterne for parametrene 𝛼�𝑗 og �̂�𝑗 for hver af de 16 porteføljer (j=1,…,16). Resultaterne er gengivet i tabel 4, der viser resultaterne for tidsserieregressionen.

De estimerede 𝛽’s for de 16 porteføljer, sammenholdt med tabel 1 indikerer at højere �̂�’s ikke er relateret til et højere excess return pr. måned. Dette ses, da der ikke eksister en positiv lineær sammenhæng mellem �̂�’s og højere BE/ME, som tilfældet var mellem det gennemsnitlige excess return og BE/ME (HML = 0.86, t = 2.27). Dette er inkonsistent med Fama & French (1992), som finder en negativ lineær sammenhæng mellem �̂� og BE/ME.

På tværs af ME-porteføljerne forekommer der en positiv sammenhæng i �̂�’s og ME. Jævnfør tabel 1 antydes der en svag negativ sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return og ME (SMB = -0.30, t = -1.02). Det kan derfor tyde på, som tidligere studier påpeger, at CAPM underestimere den ”sande” risiko for små virksomheder, og samtidig overestimere den ”sande” risiko for store virksomheder (Banz, 1981). Empirisk set har små virksomheder ofte en risiko, der ikke direkte er


afhængig af den systematiske risiko, men nærmere til størrelsen på virksomheden, såsom mangel på likviditet.

Tabel 4 Regression på excess afkast for 16 porteføljer sorteret på ME og BE/ME for RM - Rf: juli 1991 - juni 2010.

𝑹(𝒕) − 𝑹𝑭(𝒕) = 𝜶� + 𝜷�[𝑹𝑴(𝒕) − 𝑹𝑭(𝒕)] + 𝜺(𝒕) Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 4 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 4 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t.

Jævnfør Jensen (1968) vil en portefølje have en positiv konstant eller et anormalt afkast, hvis virksomhedens excess return er højere end det risikojusteret excess return. I undersøgelsen er der en generelt tendens til, at porteføljer med en høj BE/ME og lav ME har en positiv signifikant konstant. SS4 som gennem perioden opnår det højeste excess return pr. måned, har den største positive signifikante konstant. Det kan derfor tyde på, at der eksisterer et anormalt afkast i ”size”, ”value” eller en kombination af disse, som CAPM ikke er i stand til at forklare. Dette er konsistent med Fama & French (1993). Endvidere kan der i deres studier ses en positiv sammenhæng mellem BE/ME og konstanten, hvilket ikke fremgår tydeligt af tabel 4. Resultaterne for konstanten er konsistente med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Ud fra ovenstående resultater kan det tyde på, at CAPM ikke er er i stand til at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return. Dette er endvidere konsistent med ændring af antallet af porteføljer (tabel 5).


Tabel 5 Regression på excess afkast for 16 porteføljer sorteret på ME og BE/ME for RM - Rf: juli 1991 - juni 2010.

𝑹(𝒕) − 𝑹𝑭(𝒕) = 𝜶� + 𝜷�[𝑹𝑴(𝒕) − 𝑹𝑭(𝒕)] + 𝜺(𝒕) Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 2 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 3 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t.

De estimerede 𝛽’s anvendes herefter i en tværsnitsregression, hvor excess return pr. måned for porteføljerne regressers på �̂�𝑗 , �̂�𝑗2 samt 𝜎(𝜀�̂�) for hver tidsperiode t. I analysen anvendes tre forklarende variable, hvilket kan skabe problemer med multikollinaritet. Det er naturligt, at der vil opstå multikollinaritet, da �̂�𝑗2 pr. konstruktion vil korrelere perfekt med �̂�𝑗. Dette betyder, at der i den empiriske analyse opnås inkonsistente estimater. For at undgå dette problem i fortolkningen af de forskellige parametre regressers fire forskellige modeller.

Den estimerede CAPM er præsenteret i tabel 6 panel A. Her afvises hypotesen 𝛾0 = 0, hvilket indikerer, at porteføljerne har outperformet det risikojusterede marked for perioden juli 1991 – juni 2010. Dette er inkonsistent med tværsnitsregressionen for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, hvor standardfejlen på konstansleddet er 1.28 fra nul. Resultatet for tabel 6 panel A er robust over for Shankens korrektion. Det kan derfor være svært at konkludere, hvorvidt modellen opfylder kravet om, at konstanten ikke må være forskellig fra nul grundet følsomhedsberegning.

Resultatet for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne er konsistent med Black, Jensen & Scholes (1972) og en række andre studier, hvor konstanten ligeledes er større end den risikofrie rente (ved excess return er nul svarende til den risikofrie rente). Black, Jensen & Scholes (1972) finder derefter en risikopræmie som er mindre end det gennemsnitlige excess return for markedet, hvilket resulterer i et ”fladt” forhold. I denne undersøgelse fejler CAPM i at afvise 𝛾1 ≤ 0, hvilket betyder, at der ikke eksisterer nogen positiv risikopræmie for perioden. Sammenholdt med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, der ligeledes fejler i at afvise hypotesen, er denne konklusion robust. Det estimerede parameter, γ�1, er -0.50%, hvilket betyder, at virksomheder, der korrelerer perfekt med markedet (virksomhed med beta på 1,) belønnes med en risikopræmie på -0,50%. Jævnfør CAPM bør denne værdi være større end nul. Konkret betyder det, at en investor ikke bliver belønnet for at optage ekstra risiko. For en grafisk illustration se bilag 3.


Tabel 6 Regression på excess afkast for 16 porteføljer for RM: juli 1991 – juni 2010.

𝑹𝒋,𝒕 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜸�𝟎 + 𝜸�𝟏𝜷�𝒋 + 𝜸�𝟐𝜷�𝒋𝟐 + 𝜸�𝟐𝒔𝒋(𝜺�𝒊) + 𝜼𝒋𝒕 Panel A består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 samt en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡. Panel B består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 samt en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝜂𝑗𝑡. Panel C består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 samt en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̃�) + 𝜂𝑗𝑡. Panel D består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 samt en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝛾�3�̅�𝑗(𝜀�̃�) + 𝜂𝑗𝑡. Endvidere er Shankens korrektion vist.

En hypotese af Fama & French (1995) er, at der eksisterer en positiv sammenhæng mellem den ”sande” 𝛽 og gennemsnitligt excess return, men at relationen er tilsløret af støj fra 𝛽 estimaterne. En høj standard fejl i �̂�’s medfører at t-statistikken bliver mindre, og derved at det fejles i at afvise hypotesen om, hvorvidt 𝛾1 ≤ 0. Standard fejlen for 𝛾�1 (ikke vist) er på 0.000043. Sammenholdt med variationen i �̂�’s (0.446 – 1.117) må det antages, at det er relativt småt set i forhold til udsvinget i �̂�’s.

Af linearitetstesten (C1) fremgår det af panel B og panel D for tabel 6, at testen fejler i at afvise hypotesen om, at der ikke eksisterer et lineært forhold mellem forventede excess return og 𝛽. Sammenholdt med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne ændres denne konklusion ikke, da den på samme vis fejler i at afvise hypotesen. På samme vis fejler modellen i at afvise C2, 𝛾3 = 0. Der kan således konkluderes, at der ikke eksister andre risikofaktorer, som CAPM ikke kan forklare. Konklusionen er robust sammenholdt med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Det er vigtigt at holde for øje, at konklusioner ud fra tværsnitsregressioner kan bygge på en række estimeringsproblemer. Et af disse problemer er ”errors-in-variable”, som er beskrevet tidligere i afhandlingen. Da �̂�𝑗 indeholder målefejl, resulterer det i, at OLS estimaterne bliver inkonsistente. Dette skulle dog være reduceret ved dannelsen af ME og BE/ME porteføljer (Black, Jensen & Scholes, 1972). Derudover bør Shanken inddrages, men da C1-C3 fejler i at blive afvist for perioden, giver det matematisk ikke mening at inddrage denne. For 𝛾0 = 0 giver det god mening at inddrage Shanken, men det viser sig dog, at denne ikke har nogen betydning for konklusionen.

For at OLS estimaterne kan være efficiente, må det forudsættes, at der er varianshomoskedasticy og ingen autokorrelation. Da dette ofte ikke er tilfældet ved empirisk data, vil der derfor opstå et problem. På den måde skabes der problemer for Shankens korrektion, da korrektionen bygger på forudsætningerne om, at der ikke eksisterer heteroskedasticy og/eller autokorrelation.


Jævnfør Roll (1977) medfører brug af proxy ikke en reel test på CAPM, men nærmere én test på én mean-variance efficient portefølje. Test på CAPM bliver dog nødt til at anvende en proxy for markedsporteføljen, da den ”sande” markedsportefølje ikke er observerbar. Det kan derfor være svært at validere testens resultat. Udover de empiriske forudsætninger gælder der en række forudsætninger for CAPM. Blandt andet gælder det, at der ikke eksisterer transaktionsomkostninger samt skat. Disse forudsætninger er reelt set ikke opfyldt på det danske aktiemarked, hvilket derved slås tvivl af CAPM’s berettigelse.

5.2.1.1 Opsummering For hele perioden viser det sig, at �̂�𝑗 ikke er signifikant positiv relateret til et højere gennemsnitligt excess return pr. måned, hvilket ikke påvirkes ved ændring af antallet af porteføljer. Dette underbygges ved Fama & Macbeth (1973) tværsnitsregression, hvor det påvises, at der for perioden eksister en negativ risikopræmie, samtidig med, at konstanten er signifikant forskellig fra nul. Overordnet set betyder dette, at CAPM ikke er i stand til forklare variationen i det gennemsnitlige excess return. Hvorvidt dette skyldes fordi modellen er misspecificeret eller om det er markedet der er inefficient kan diskuteres. Ligeledes er der en række forudsætninger og antagelser, som kan slås tvivl ved, samtidig med, at der opstår problemer ved selve estimeringen af de forskellige parametre.

Samlet set vurderes der, at CAPM ikke er i stand til at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return for afhandlingens data. Det er vigtig at bemærke, at det ikke kan generaliseres, at CAPM ikke er i stand til at forklare variationen i det forventede excess return for perioden juli 1991 – juni 2010. Dette er blot et resultat af denne afhandlings empiriske undersøgelse. Det kan derfor ikke afvises, at andre studier for samme markeder vil få andre resultater.

5.2.2 Delperioder For at teste hvorvidt de forrige afsnits resultater er stationære, opdeles den 19årige analyseperiode i fire lige store delperioder. Det vil sige, at hver delperiode indeholder 57 måneder. Nærmere specifikt ønskes det at undersøge, hvorfor CAPM ikke kan forklare variationen i det gennemsnitlige excess return, og om denne konklusion er stationær for hver delperiode. Dette afsnit medtager på samme vis 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, da forrige afsnit viste, at disse var inkonsistente med 4x4 ME-BE/ME porteføljerne.

Figur 2 viser tidsserieregression for det gennemsnitlige excess return excess return for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne for hver delperiode. Figuren indikerer, at resultaterne for 𝛼�𝑗 og �̂�𝑗 ikke har været stationære gennem hele perioden. Det ses, at der for delperiode 1 og 3 eksisterer en negativ lineær sammenhæng, mens der for delperiode 2 og 4 eksisterer en positiv sammenhæng. Dette er konsistent med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne (bilag 4). I de tilfælde hvor der eksisterer en positiv markedspræmie er 𝛼�𝑗 negativ. På samme måde er 𝛼�𝑗 positiv i de perioder, hvor den målte markedspræmie er negativ, hvilket er konsistent med Jensen (1968). Estimering af 𝛼�𝑗 og �̂�𝑗 kan ses i bilag 4.


Figur 2 Det gennemsnitlige excess return per måned versus den systematiske risiko opdelt

i 4 delperioder (57 måneder) for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 16 estimeret 𝛽 for tidsserien. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.

Jævnfør tabel 7, der viser tværsnitsregressionen af CAPM for hver af de 4 delperioder i 4x4 ME-BE/ME porteføljerne, ses det, at hypotesen 𝛾0 = 0 ikke afvises i tre ud af fire delperioder. Den eneste delperiode , hvorved 𝐻0 afvises, er delperiode 3 med en standardfejl på 5.43. Dette betyder, at der for perioden januar 2001 til september 2005 har været en signifikant tendens til, at virksomhederne har outperformet det risikojusterede marked. Resultatet er endvidere robust over for Shankens korrektion samt konsistent med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne (bilag 3). Den høje signifikans for delperiode 3 (t = 5.43) kan derfor forklare, hvorfor der eksisterer en samlet signifikans for hele perioden.

For tre ud af fire delperioder (delperiode 1, 3 og 4) eksisterer der ikke en positiv signifikant sammenhæng mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return. Hvis man derimod kigger på delperiode 2, ses der en positiv signifikant risikopræmie, hvilket betyder, at investor belønnes for at holde ekstra risiko. Nærmere specifikt vil en virksomhed som korrelerer perfekt med markedet (beta=1) opnå en positiv månedlig risikopræmie på 3.3%, hvilket er robust over for Shankens korrektion. Dette resultat viser en interessant iagttagelse. Hvor der i tidligere studier af blandt andet Black, Jensen & Scholes (1972) findes et ”fladt” forhold, gælder det modsatte for delperiode 2. Konstanten for denne delperiode er ikke forskellig fra nul, samtidig med koefficienten for �̂�𝑗 er væsentlig større end det gennemsnitlige excess return for markedet for denne delperiode (2.42%, t=3.50). Det vil sige at der for delperiode 2 eksisterer et ”stejlt” forhold kontra tidligere studier, som finder et ”fladt” forhold. Resultaterne for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne er derimod mere i overensstemmelse med CAPM, da 𝛾�0 = 0 og at 𝛾�1 ≈ 2.42 %. Den insignifikante risikopræmie for hele perioden kan derfor være forårsaget af de skiftende fortegn for delperioderne.


Ud fra tabel 7 kan hypotesen for linearitet (C1) ikke afvises at være lig med nul for hver af de fire delperioder. Resultatet er uafhængigt af hvilket panel, der ses på (panel B og panel D). Dette er inkonsistent med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne (bilag 3) for én periode (periode 3) ud af de fire undersøgte perioder, hvor det dog kun er panel D, der er optræder signifikant. En mulig årsag til dette skyldes sandsynligvis multikollinaritet. Overordnet set betyder dette, at hvis der eksister en signifikant risikopræmie, er denne lineær.

For tre ud af fire delperioder kan det endvidere ikke afvises, at der ikke eksister andre risikofaktorer, som ikke kan forklares af CAPM. For delperiode 4 er denne sammenhæng signifikant, hvilket formentlig skyldes, at denne delperiode er præget af den finansielle krise. Dette resultat er robust over for Shankens korrektion, men er inkonsistent med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne (bilag 4), hvor delperiode 3 er signifikant.

Tabel 7 Regression på excess afkast for 16 porteføljer for RM-Rf opdelt for 4 perioder.

𝑹𝒋,𝒕 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜸�𝟎 + 𝜸�𝟏𝜷�𝒋 + 𝜸�𝟐𝜷�𝒋𝟐 + 𝜸�𝟐𝒔𝒋(𝜺�𝒊) + 𝜼𝒋𝒕 Panel A består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡. Panel B består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝜂𝑗𝑡. Panel C består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̃�) + 𝜂𝑗𝑡. Panel D består af en regression med 16 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis 4X4 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝛾�3�̅�𝑗(𝜀�̃�) + 𝜂𝑗𝑡.

Endvidere er Shankens korrektion vist.

Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


5.2.2.1 Opsummering Samlet set har der ikke eksisteret stationaritet i parametrene for de undersøgte delperioder. Risikopræmien har skiftende fortegn for hver delperiode, hvor kun en delperiode optræder signifikant. Dette samme gør sig gældende for konstanten, hvor der ligeledes er skiftende fortegn og kun en delperiode, som optræder signifikant. Derudover tyder det ikke på, ud fra testen, at der ikke skulle eksistere et lineært forhold mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return. På samme vis er der ikke andre faktorer, som CAPM ikke umiddelbart kan forklare.

Den empiriske analyse er til dels følsom over for ændring i porteføljesammensætningen og måden hvorpå, der sorteres. Det er påvist, at 2x3 ME-BE/ME porteføljerne ikke er helt konsistent med resultaterne for analysen.

5.3 Undersøgelse af Book-to-Market og Market Equity I forrige afsnit blev det påvist, at der ikke eksister en signifikant sammenhæng mellem det forventede excess return og den systematiske risiko, for perioden juli 1991 – juni 2010 på det danske aktiemarked. Dette blev undersøgt for henholdsvis 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Endvidere kunne der ud fra porteføljeanalysen aflæses en signifikant ”value” præmie i det gennemsnitlige afkast. Af porteføljeanalysen kan der samtidig aflæses en ”size” præmie. Denne effekt er dog ikke signifikant som ”value” præmien, hvilket andre studier også påpeger (Fama& French 2011). For at evaluere hvorvidt CAPM fejler i at forklare ”size” dimensionen eller ”value” dimensionen, vil der i det kommende afsnit sorteres på henholdsvis ”size” og ”value” og derved teste CAPM. Som tidligere beskrevet foreslår Cochrane (2001) denne fremgangsmetode, da man derved tester på, hvorvidt disse effekter er anormalier. Derfor er det vigtigt, at der er sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return og karakteristikken.

Derudover er det interessant at undersøge, om andre modeller er i stand til at forklare variationen af disse effekter. Ved at inddrage en proxy for ”size” for ME porteføljerne, og ligeledes en proxy for ”value” for BE/ME porteføljerne (Fama & French 1992), kan der derved testes robustheden af den fremfundne ”value” præmie og ”size” præmie. 4x4 ME-BE/ME porteføljer inddrages ikke, da de per konstruktion vil give en effekt. Endvidere testes disse effekter op i mod et risikojusteret marked.

5.3.1 Hele Perioden Tabel 8 viser den beskrivende statistik for henholdsvis de 5 ME samt 5 BE/ME sorterede porteføljer. Af denne tabel kan det aflæses, at de mindste virksomheder gennemsnitlig genererer et excess return på 0.82% mere end de største virksomheder per måned, hvilket er konsistent med SMB for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne. For BE/ME porteføljerne opnår virksomheder med høj BE/ME et gennemsnitligt excess return på 0.50% større end virksomheder med en lav BE/ME, hvilket er konsistent med HML for både 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Sammenhængen mellem BE/ME og det gennemsnitlige excess return er markant bedre, når der tages højde for ME. Dette skyldes jævnfør Fama & French (1992), at der er en negativ korrelation (-0.26) mellem disse, hvilket indebærer, at små virksomheder har større sandsynlighed for ligeledes at have dårlige fremtidsudsigter. Omvendt har store virksomheder en større sandsynlighed for gode økonomiske fremtidsudsigter. Effekten af BE/ME vil derfor fremkomme tydeligere ved at justere for ME, som tilfældet var for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne.

På tværs af BE/ME porteføljerne stiger standardafvigelsen, hvilket intuitivt giver mening ud fra antagelsen af, at standardafvigelsen er synonym for risikoen. Dette stemmer overens med blandt andet Fama & French (1992), som antyder, at virksomheder med høj BE/ME fundamentalt er mere risikofyldte. For ME porteføljerne kan denne entydige sammenhæng ikke ses på samme måde.


Tabel 8 Beskrivende statistik af 5 ME samt 5 BE/ME porteføljer (i &) for perioden juli 1991 – juni 2010

Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 5 ME-porteføljer. Ligeledes er alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne allokeret i 5 BE/ME- porteføljer. De værdivægtet månedlige portefølje excess return er beregnet for Juli år t til Juni t+1. Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien (procent).

Da tabel 8 påviser en sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return på tværs af de to karakteristika, vil det kunne determineres, hvorvidt CAPM er i stand til at forklare det. For at teste hvorvidt CAPM er i stand til at forklare variationen i de gennemsnitlige excess return for henholdsvis de 5 ME og 5 BE/ME sorterede porteføljer, vil Fama & Macbeths metode (1973) blive anvendt.

Tabel 9 viser, at der umiddelbart ingen relation er mellem excess return og den systematiske risiko for de 5 BE/ME porteføljer. Det tyder derfor på, at CAPM ikke er i stand til at forklare den tidligere observerede variation relateret til ”value effekten”, hvilket indikerer, at den stærke sammenhæng mellem excess return og BE/ME ikke er forårsaget af en 𝛽 effekt. Dette er konsistent med Fama & French (1992), hvor denne sammenhæng ligeledes ikke kommer til udtryk gennem 𝛽 effekten.

For tabel 8 kunne det umiddelbart ikke afvises, at der eksister en negativ sammenhæng mellem virksomhedens størrelse og det gennemsnitlige excess return. Derfor må det forventes, at små mere risikofyldte virksomheder vil have højere estimeret 𝛽 end større virksomheder. Der ses dog en helt anden sammenhæng i tabel 9 mellem ME og den systematiske risiko, hvor den estimeret 𝛽 varierer fra 0.653 (ME1) for de mindste virksomheder til 1.020 (ME5) for de største virksomheder. Jævnfør CAPM vil virksomheder med højere systematisk risiko genere et højere excess return, hvilket ikke er tilfældet for tabel 8. Igen viser det sig, at CAPM overestimerer den ”sande” risiko for store virksomheder og underestimerer den ”sande” risiko for små virksomheder, som tidligere beskrevet i afhandlingen. Over- og underestimeringen kan ifølge Das (kap 14, 1993) skyldes, at små virksomheder er uregelmæssigt handlet, samt det faktum, at niveauet af information er mindre tilgængeligt og offentliggjort for mindre virksomheder. Markedet er således ikke efficient i forhold til Fama (1970) definition. For en grafisk illustration af tabel 9, se bilag 5.


Tabel 9 Regression på excess return for 5 ME og 5 BE/ME sorteret porteføljer for RM –Rf: juli 1991 – juni 2010

𝑹(𝒕) − 𝑹(𝒇) = 𝜶� + 𝜷�[𝑹𝑴(𝒕) − 𝑹(𝒇)] + 𝜺(𝒕) Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME porteføljerne og BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) og BE/ME sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010).

Overordnet set tyder de ovenstående resultater på, at den systematiske risiko ikke er i stand til at forklare ”size effekten” og ”value effekten”. Dette giver anledning til at teste denne hypotese for henholdsvis de 5 ME porteføljer og 5 BE/ME porteføljer. Udover denne test, testes der på, hvorvidt der for perioden har eksisteret en statistisk signifikant sammenhæng mellem det gennemsnitlige excess return og henholdsvis ”size” og ”value” paramenterne. Som proxy for ”size” og ”value” anvendes henholdsvis ln(ME) og ln(BE/ME), da tidligere studier har påvist, at der eksisterer en logaritmisk sammenhæng mellem disse og det gennemsnitlige excess return (Fama & French, 1992). I så fald der eksisterer en signifikant sammenhæng, er det endvidere relevant at teste denne op imod et risikojusteret marked. Dette gøres for at undersøge, hvorvidt 𝛽 er i stand til at opsnappe effekten af henholdsvis ”size” eller ”value”.

Tabel 10 viser tværsnitsregressionen af henholdsvis CAPM, 1-faktor og 2-faktor modellen. Ud fra tabellen kan det ses, at CAPM ikke er i stand til at forklare variationen i ME eller BE/ME porteføljerne. Det ses, at risikopræmien er negativ for både de 5 ME-porteføljer og 5 BE/ME-porteføljer, hvilket er en direkte modsigelse af CAPM. Endvidere er konstantleddet signifikant forskelligt fra nul for de 5 ME porteføljer. Dette betyder, at porteføljerne har outperformet markedet for perioden, hvilket ikke er overraskende, givet resultaterne for tidsserien. Jævnfør Jensens alpha (1968) kan det derfor tyde på et anormalt afkast i ME dimensionen.

De ovenstående resultater bekræfter, at CAPM ikke er i stand til at forklare de fundne effekter af ”size” og ”value” i porteføljeanalysen. Da CAPM fejler i at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return relateret til henholdsvis ”size” og value”, indikerer dette resultat, at disse effekter er anormaliteter. Dette postulat er ifølge Cochrane (2001) ikke overraskende. Cochrane påpeger, at det kan være svært at estimere CAPM på baggrund af enten ME eller BE/ME sorteret porteføljer. Af tabel 9 fremgår det, at variationen i det gennemsnitlige excess return relateret til ME, er positivt relateret til �̂�. Omvendt producerer BE/ME en variation i det gennemsnitlige excess return, der er negativt relateret til �̂�. Dette mønster mellem variationen i �̂� og henholdsvis ME og BE/ME er modsat af, hvad tidligere studier har påvist (Fama & French 1992 og Cochrane 2011). Jævnfør Fama & French (1992) kan dette problem undgås ved at sortere porteføljerne på både ME og BE/ME. Ifølge Fama & French (1992) vil dette endvidere give bedre estimater. Hvis man sammenholder tabel 10 med tabel 6, kan det dog aflæses, at parameterestimatet for risikopræmien samt t-


statistikken stort set er ens for henholdsvis 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og de 5 ME-porteføljer. Grunden til at parameterestimaterne for henholdsvis ME sorteret porteføljer og 4x4 ME-BE/ME porteføljerne er ens må skyldes, at der eksisterer en høj korrelation mellem ME og BE/ME. 4x4 ME-BE/ME porteføljerne er sorteret afhængigt, hvor der først er sorteret på ME, hvilket betyder, at 4x4 ME-BE/ME i bund og grund er ME-porteføljer blot med flere observationer. Det kan endvidere bekræftes, da estimaterne for parametrene af 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, som er sorteret uafhængigt, er forskellig i forhold til ME-porteføljerne.

Tabel 10 CAPM , 1-faktor og 2-faktor model regression på det månedlige

excess return for RM –Rf: juli 1991 – juni 2010 Panel A består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡 (CAPM). Panel B består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + �̂�1ln (𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (1-faktor modellen ME) og 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + �̂�1ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (1-faktor modellen BE/ME) Panel C består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛿1ln (𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (2-faktor modellen ME) og 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + �̂�1ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 2-faktor modellen BE/ME.

De estimerede parametre for tværsnitsregressionen af 1-faktor modellen (panel B), kan det som forventet aflæses et signifikant konstantled for ME-porteføljerne. Dette resultat skyldes, at små virksomheder har et højere gennemsnitligt excess return (tabel 9). Signifikansen af konstantleddet er ligeledes robust over for Shankens korrektion. Af Panel B kan det endvidere bekræftes, at der eksisterer en negativ ”size” præmie (-0.001), hvilket betyder, at større virksomheder tenderer til at opnå et lavere gennemsnitlige excess return, end hvad mindre virksomheder kan opnå. Helt specifikt betyder dette, at hvis ME stiger med 1%, falder det gennemsnitlige excess return -0.00001 procentpoint. Det skal dog bemærkes, at denne præmien relateret til ”size” ikke er signifikant større end nul (t = -1.22), hvilket er konsistent med tidligere resultater i afhandlingen. Det kan derfor ikke konkluderes, at der eksisterer en statistisk ”size” præmie i det gennemsnitlige excess return. Som tidligere beskrevet påpeger Fama & French (1992), at det ikke er muligt at separere en ”size effekt” for en ”𝛽 effekt” i det gennemsnitlige excess return. Den lave signifikans kan derfor skyldes konsekvensen af dette.

Konstanten for de 5 BE/ME porteføljer er på samme måde signifikant forskellig for nul. Dette er ikke overraskende, da konstanten i tværsnitsregressionen viser afkastet for en standard portefølje, hvor det vægtede gennemsnit for de forklarende variable er nul. I denne test er konstanten vægtet mod porteføljer med en relativ høj BE/ME. Dette skyldes, at når BE/ME =1 er ln(BE/ME) = 0, hvor fire ud af de fem BE/ME porteføljer har et gennemsnitlig BE/ME under 1, hvilket er konsistent med Fama & French (1992). Resultatet er endvidere robust over for Shankens korrektion.


Risikopræmien relateret til BE/ME er som forventet positiv (0.40%). Ligesom ”size” præmien skal det dog bemærkes, at denne ”value” præmie relateret til BE/ME ikke er signifikant (t =1.639).

Den lave signifikans for henholdsvis ”size” præmien og ”value” præmien kan skyldes det lave antal observationer (antal porteføljer) i tværsnitsregressionen. Dette vil pr. konstruktion medføre en lavere t-statistik og dermed lavere signifikans. Sammenholdt med tidligere studier af Fama & French (1992, 1993), hvor der anvendes 25 og 100 porteføljer, kan det derfor argumenteres for at anvende et højere signifikansniveau ved empiriske undersøgelse med små stikprøver. Det kan derfor diskuteres, hvorvidt disse præmier relateret til henholdsvis ”size” og ”value” er statistiske signifikante, da disse er følsomme over for ændringer i signifikansniveauet.

Ovenstående resultater indikerer, at der ikke eksisterer en ”size” præmie og ”value” præmie, samt at CAPM ikke er i stand til at forklare det gennemsnitlige excess return for hele perioden.

Panel C viser de risiko-justerede effekter for henholdsvis ”size” og ”value”. Af panel C ses det, at ”size præmien” er signifikant negativt samt at ”value præmien” ikke er signifikant. Som tidligere nævnt kan det være svært at se den isolerede effekt af ”size” og ”value”, der ikke er relateret til ”𝛽 effekten”, da korrelation mellem disse er forholdsvis høj (0.86 mellem �̂�𝑗 og ln (𝑀𝐸𝑗), -0.858

mellem �̂�𝑗 og ln (𝐵𝐸𝑀𝐸𝑗

)) . Jævnfør Fama & French (1992), der finder en negativ korrelation mellem

�̂�𝑗 og MEj, vil dette medføre, at det er svært, se variationen i �̂�, der ikke er relateret til ME. Det vil sige, at der opstår et væsentlig fortolkningsproblem, når man kun former porteføljerne på baggrund af ME. For at tillade en variation i ”size” der ikke er relateret til den systematiske risiko, vil det være nødvendigt at opdele de 5 ME-porteføljer i yderligere 5 porteføljer på baggrund af hver akties estimeret preranking 𝛽. Fama & French (1992) finder ingen korrelation mellem BE/ME og �̂�, hvilket dog er inkonsistent med denne undersøgelse. Den fundne ”size effekt” kan derfor være svært at validere.

5.3.1.1 Opsummering De ovenstående resultater viser, at der ikke eksisterer en sammenhæng mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return for henholdsvis ME dimensionen og BE/ME dimensionen for danske aktier i perioden 1991 - 2010. Det kan derfor tyde på, at resultaterne for porteføljeanalysen er anormalier, da CAPM ikke er i stand til at forklare disse. Det kan dog være svært at isolere disse effekter fra hinanden, grundet en opdaget korrelation mellem BE/ME og ME.

For hele perioden eksisterer der hverken en signifikant ”size effekt” eller ”value effekt”, som resultaterne for porteføljeanalysen ellers hentyder til. Dette skyldes primært den negative korrelation mellem ME og BE/ME, som tidligere beskrevet. I det risikojusterede marked bliver ”size effekten” imidlertid signifikant, mens ”value effekten” forbliver insignifikant.

5.3.2 Delperioder Siden ”size effekten” og ”value effekten” opstandelse har en række senere studier (Black, 1993 & Mackinlay, 1995) påvist, at disse effekter kan være sample specifikke og ustationære i givne perioder. Det er derfor interessant at undersøge, hvorvidt disse effekter er stationære over hele analyseperioden, samt om dette kan være årsagen til de insignifikante effekter. For at undersøge dette opdeles perioden i fire lige store delperioder på samme vis som ved test på CAPM for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne. Det er således muligt at undersøge stationariteten af ”size effekten” og ”value effekten” for hver delperiode, samt hvorvidt CAPM kan forklare effekterne i givne delperioder. For at give et overblik over stationariteten er figur 3 og figur 4 konstrueret. Figur 3 viser sammenhængen mellem det gennemsnitlige excess return og ln(ME).


Figur 3 Det gennemsnitlige excess return per måned versus ln(ME) opdelt i 4 delperioder (57 måneder) for 5 ME-

porteføljerne Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Ln(ME) er gennemsnittet for tidserien af porteføljernes månedlige gennemsnitlige logaritmisk størrelse. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.

Figur 3 giver en indikation af, om der eksisterer én ”size effekt” i hver delperiode, samt om denne effekt er konstant over perioden. Det kan ses af figuren, at for delperiode 1 og 3 ser det ud som om der eksisterer en negativ sammenhæng mellem en virksomheds logaritmiske størrelse og det gennemsnitlige excess return. Denne sammenhæng ser endvidere ud til at være forholdsvis stærk. Omvendt ser det ud til, at der ikke eksisterer nogen sammenhæng mellem ln(ME), og det gennemsnitlige excess return for delperiode 2 og 4. Især for delperiode 4 kan det ses, at der ingen sammenhæng er mellem ”size” og det gennemsnitlige afkast. Det har før vist sig svært at give en entydig forklaring af delperiode 4, der er påvirket af den finansielle krise, og er formentlig også årsagen til denne ikke-eksistrende sammenhæng mellem ”size” og det gennemsnitlige excess return. Det er mere interessant at bemærke for figur 3, at ”size effekten” ikke er stationær igennem delperioderne. Dette ses da hældningen skifter fortegn, samt effektens styrke varierer på tværs af perioderne. Den ringe stationaritet kan således give en forklaring på, hvorfor ”size effekten” ikke er signifikant for hele perioden. Das (Kap.14, 1993) påpeger ligeledes, at flere empiriske studier har vist, at ”size effekten” er svag, modsat eller helt forsvundet i nogle perioder. Det kunne derfor godt tyde på, at de fundne ”size effekter” har skyldes markeds inefficiens nærmere end ukendte risikofaktorer relateret til en virksomheds størrelse.

Figur 4 viser sammenhængen mellem det gennemsnitlige excess return pr. måned og ln(BE/ME). Det kan aflæses af figuren, at der for delperiode 1 og 3 ser ud til at eksistere en positiv sammenhæng mellem den ln(BE/ME) og det gennemsnitlige excess return. Ligeledes ser det ud til, at styrken af denne positive sammenhæng er stærk. Det gælder derimod for delperiode 2, at der er en svag negativ sammenhæng mellem ln(BE/ME) og det gennemsnitlige excess return. For


delperiode 4 eksisterer der en forholdsvis stærk negativ sammenhæng. Da denne periode førhen har givet inkonsistente resultater, kan ”value effekten” for denne periode være svær at tolke på.

Figur 4 Det gennemsnitlige excess return per måned versus ln(ME) opdelt i 4 delperioder (57 måneder) for 5 ME-

porteføljerne Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Ln(BE/ME) er gennemsnittet for tidserien af porteføljernes månedlige gennemsnitlige logaritmisk størrelse. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010

Overordnet set tyder det på, at der ikke har eksisteret stationaritet i henholdsvis ”size effekten” og ”value effekten”. Dette kan henholdsvis ses af figur 3 og 4. Som tidligere nævnt har flere studier påpeget dette stationaritetsproblem ved disse effekter (DAS, Kap 14, 1993). Schwert (2003) argumenterer for, at efter anormaliteter er dokumenteret og analyseret i litteraturen, har de ofte en tendens til at forsvinde, være omvendte eller have en dæmpet effekt. Schwert (2003) mener endvidere, at disse anormaliteter (profitmuligheder) siden deres opdagelse er blevet arbitrerede væk af markedet, og derfor at disse blot gør markedet mere efficient, hvilket er konsistent med EMH. En hypotese til disse skiftende effekter i figur 4, kunne derfor afspejle markedsreaktioner på forrige periodes anormalitet. Chou, Chou & Wang (2004) kunne via deres out-of-sample undersøgelse ligeledes konsistentere, at “size effekten” og “value effekten” forsvinder i de respektive perioder 1982-2001 og 1990-2001 på det amerikanske marked. Chou, Chou & Wang (2004) finder dog ligeledes ud af, via et robusthedstjek, at der eksisterer en “size effekt” i januar måned og en BE/ME effekt, når januar måned ikke er medtaget. Den grafiske illustration for sammenhængen mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return ses i bilag 6, hvor tidsserieestimaterne ligeledes fremgår.

De ovenstående formodninger omkring ”size effekten” og ”value effekten” for hver delperiode kan ligesom før statistisk testes ved hjælp af Fama & Macbeth (1973) tværsnitsregression. Tabel 12 viser tværsnitsregressionen for hver delperiode over det gennemsnitlige excess return for CAPM , 1 – faktor modellen samt 2 - faktor modellen. I forrige afsnit kunne aflæses, at CAPM kunne forklare det gennemsnitlige excess return for delperiode 2. Det samme resultat gør sig gældende, når


porteføljerne udelukkende er blevet sorteret på ME. Ud fra tabel 11 kan det ses, at den estimerede værdi af risikopræmien for delperiode 2 er 0.032. Denne risikopræmie er signifikant med 3.34 standardfejl fra nul og robust overfor Shanken. Det vil sige, at investorerne opnår et månedligt afkast, der er 3.2% højere end den risikofrie rente, ved at holde markedsporteføljen. Delperiode 2 er den eneste delperiode, hvor 𝛾�1 er større end nul. Hvis man derimod ser på konstantleddet for delperiode 2 er dette ikke signifikant forskelligt fra nul med en standardfejl på -1.73. CAPM kan således godt forklare det gennemsnitlige excess return for delperiode 2, når porteføljerne er sorteret på ME, hvilket er konsistent med forrige afsnits resultat.

For panel B ses det, at der i delperiode 1 eksisterer en negativt signifikant ”size” præmie på (-0.003, t = -2.147), men følsom overfor Shanken. Den estimerede præmie for ln(ME) er som forventet negativ. For delperiode 3 kan det ligeledes argumenteres for, at der eksisterer en negativ signifikant ”size” præmie på –(0.002, t = -1.678). Da CAPM ikke kan forklare det gennemsnitlige afkast i disse perioder, kan det således tyde på, at der forekommer en ”size effekt” i det gennemsnitlige afkast, som CAPM ikke er i stand til at forklare. Det er endvidere interessant at bemærke, at der i de signifikante delperioder ligeledes er et signifikant konstantled. Dette giver intuitivt god mening, da konstantleddet som tidligere benævnt er vægtet mod de små virksomheder.

For det risikojusterede marked er det specielt relevant at notere sig, at der for delperiode 1 stadig eksisterer en tilnærmelsesvis signifikant ”size” præmie, når der justeres for risikoen. Denne delperiode er dog følsom overfor Shanken. For delperiode 3 ser det således ud til, at den systematiske risiko opsnapper “size effekten”, hvilket kunne indikere, at den fundne “size effekt” i det gennemsnitlige excess return delvis er relateret til den systematiske risiko. Igen kan det være svært at tolke direkte på det risikojusterede marked, da der eksisterer en næsten perfekt korrelation mellem �̂�𝑗 og 𝑙𝑛(𝑀𝐸𝑗), og derfor svært at udtale sig om, hvorvidt denne effekt reelt eksisterer. Delperiode 2 er som forventet den eneste periode, hvorved den systematiske risiko er signifikant større end nul, mens konstanten og ln(ME) er insignifikante. Dette resultat styrker blot konklusion om, at CAPM kan forklare variationen i det gennemsnitlige afkast for delperiode 2. Da der ikke forekommer noget teoretisk fundament for “size effekten” i delperiode 1, kan det ikke konkluderes, hvorvidt denne effekt reelt er relateret til ”size” eller blot er en proxy for andre ukendte risikofaktorer. Det kan endvidere hellere ikke afvises, at denne size effekt skyldes irrationalitet på markedet. Dette paradoks er som tidligere nævnt refereret som ”Joint hypothesis” problemet (Fama, 1970). Den lave signifikans for hele perioden, skyldes formentlig, at der kun eksister en statistisk signifikant ”size effekt” for én enkelt periode.


Tabel 11

CAPM , 1-faktor og 2-faktor model regression på det månedlige excess return for RM –Rf: juli 1991 – juni 2010 (ME porteføljerne)

Panel A består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡 (CAPM). Panel B består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + �̂�1ln (𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (1-faktor modellen). Panel C består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛿1ln (𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (2-faktor modellen).


Tabel 12 viser tværsnitsregressionen for hver delperiode over det gennemsnitlige excess return for CAPM , 1 – faktor modellen samt 2 - faktor modellen, for porteføljer sorteret efter BE/ME. For panel A gælder det ikke længere, at CAPM kan forklare variationen i det forventede excess return for delperiode 2. Delperiode 2, som før har vist sig at have en signifikant risikopræmie, er ikke længere signifikant med én standardfejl på 1.14 fra nul. Derfor må det gælde, at CAPM ikke er i stand til forklare variationen i BE/ME dimensionen, men kun variationen i ME dimensionen for denne delperiode.

For panel B, hvor der udelukkende ses på, hvorvidt ln(BE/ME) er i stand til forklare variationen i det gennemsnitlige excess return ses det, at der for tre ud af fire perioder ikke eksisterer en signifikant ”value effekt”. For delperiode 3 eksisterer der en signifikant ”value effekt” med én standardfejl på 3.4 fra nul. Dette resultat er robust i forhold til Shankens korrektion. Det gælder ligeledes, at konstanten er signifikant for delperiode 3, hvilket er konsistent med tidligere resultater. Ikke overraskende er der én negativ ”value effekt” for delperiode 2 og 4, som tidligere antydet af figur 5. Disse resultater er dog ikke signifikante, men indikerer at ”value effekten”, ligesom ”size effekten” er ustabil over hele perioden.


Tabel 12 CAPM , 1-faktor og 2-faktor model regression på det månedlige excess return

for RM –Rf: juli 1991 – juni 2010 (BE/ME porteføljerne) Panel A består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡 (CAPM). Panel B består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + �̂�1ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (1-faktor modellen). Panel C består af en regression med 5 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗,𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + �̂�1ln (𝐵𝐸/𝑀𝐸𝑗) + 𝜂𝑗𝑡 (2-faktor modellen).


I det risikojusterede marked i panel C er den fundne ”value effekt” for delperiode 3 ikke længere gældende, når �̂�𝑗 tilføjes som en forklarende variabel. Dette betyder at �̂�𝑗 opsnapper variationen i BE/ME porteføljerne som ln(BE/ME) kunne forklare. Generelt ses at alle medtagne variable er insignifikante. Dette skyldes formentlig, at ”value effekten” er stærkere, når det sorteres både på ME og BE/ME, som tidligere resultater indikerer.

5.3.2.1 Opsummering Generelt er både ”size effekten” og ”value effekten” ustationær for de fire delperioder. Effekterne er skiftende både med fortegn og hældning. CAPM er i stand til at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return for delperiode 2. I denne periode eksisterer der hverken en ”size effekt” eller ”value effekt” jævnfør regressionsanalysen. CAPM er kun signifikant ved sortering for ME. Det kan være svært at udtale sig, om CAPM fejler i at forklare variationen ved sortering for BE/ME for delperiode 2, da der ikke er nogen decideret sammenhæng mellem BE/ME og det gennemsnitlige excess return.

”Size” og ”value” præmien er signifikante for henholdsvis delperiode 1 og 3 i 1-faktor modellen. Ved at estimere disse præmier i et risikojusteret marked reduceres de respektive præmier. Samlet set er effekterne ustationære over delperioderne, hvilket medfører, at de ikke er signifikant over hele perioden. De ustationære ”size effekter” og ”value effekter” kan antyde, at disse ikke er relateret til ukendte risikofaktorer, men nærmere skyldes markedsinefficiens.


6. Fundering over empiriske resultater Af den empiriske undersøgelse af det danske aktiemarked for perioden juli 1991 – juni 1991 viste porteføljeanalysen en signifikant positiv ”value” præmie og en insignifikant ”size” præmie. I regressionsanalysen blev disse resultater tildels beskæftiget, da der i nogle delperioder eksisterede signifikante ”value effekter” og ”size effekter”. Da CAPM ikke er i stand til at forklare disse effekter, kunne det tyde på, at der eksisterer anormaliteter.

Tidligere studier har påvist, at korrelationen mellem ME og BE/ME er forholdsvis lav på det amerikanske aktiemarked. Dette kunne tyde på ikke at være gældende for det danske aktiemarked, da der observeres en betydende korrelation mellem ME og BE/ME. Det kan derfor være svært at validere de separerede effekter af henholdsvis ”size” og ”value”, da det tyder på, at korrelationen mellem ME og BE/ME er forholdsvis høj. I de delperioder hvor der tilnærmelsesvis eksisterer en ”size effekt” er på samme vis de perioder, hvor der tilnærmelsesvis eksisterer en ”value effekt”. Det kan derfor tyde på, at den ene effekt er proxy for den anden effekt, da der i disse tilfælde testes på separate porteføljesammensætninger. Derfor vil det være interessant for videre undersøgelse, at undersøge hvorvidt de respektive effekter eksisterer i en model, hvor begge er inkluderet.

Det kan endvidere diskuteres hvorvidt den fundne ”value” præmie skyldes markedsinefficiens, eller at der er en ukendt risikofaktor relateret til ”financial distress”. Den fundamentale tankegang i EMH er, at det ikke er muligt at slå markedet, givet alle informationer er tilgængelige for investeringstidspunktet, det vil sige loven om én pris. Jævnfør Fama & French (1992) er ”value” præmien en kompensation for at holde øget risiko, hvor andre derimod mener, at ”value” præmien

skyldes adfærdsmæssige faktorer (Lakonishok, Shelifer & Vishny, 1994). Antaget at ln �𝐵𝐸𝑀𝐸� er en

valid proxy for ”financial distress”, kan det ud fra resultaterne af delperioderne ikke bekræftes, at ”value” præmien er en kompensation for at holde øget risiko. Den ringe stationæritet kan være et udtryk for, at ”value” præmien nærmere er en konsekvens af irrationel investoradfærd og derved markedsinefficiens. En helt anden teori går på at ”value” præmien skyldes bias i de data, som er hentet.

Afhandlingen tager udgangspunkt i det danske aktiemarked, hvor der kun er få virksomheder tilgængelig sammenlignet med andre kapitalmarkeder. Det vil sige, denne undersøgelse bygger på en relativ lille stikprøve sammenlignet med andre studier. Det kunne derfor være interessant at se, hvorvidt undersøgelsens resultater er konsistente ved at øge stikprøven. En forøgelse af stikprøven kunne være ved at inddrage Sverige og Norge, da det må antages, at deres kapitalmarkeder ligger tæt op af det danske. Endvidere vil det være interessant at øge den observerede tidsperiode for derved at undersøge om ”value” præmien er stikprøve specifik.

Ud fra et empirisk synspunkt kan det diskuteres, hvorvidt 𝛽’s er stationære over perioden, som afhandlingen antager. Til vurdering af dette kunne der være anvendt Chow test, der undersøger ”structural breaks”. Derved kunne det bedømmes, hvorvidt rullende 𝛽’s vil gøre resultaterne mere valide.

Samlet set må de fundne resultater vurderes at være konsistente med tidligere empiriske studier, hvilket gør at resultaterne kan valideres. Som altid er dette dog forudsat at model forudsætningerne og de økonometriske forudsætninger er opfyldt.


7. Konklusion Jævnfør Fama’s (1970) definition af et efficient marked, er det ikke muligt at slå markedet, da aktiepriserne afspejler al tilgængelig information. Den eneste måde hvorved en investor kan opnå et højere afkast end markedet, er ved at holde mere risikofyldte aktiver. EMH er en af de essentielle antagelser i CAPM, som prisfastsætter aktiver. Tidlige studier af CAPM påviser et ”fladt” forhold, da konstanten er større end den risikofrie rente, samt koefficienten er mindre end markedspræmien. Senere studier påviste, at CAPM ikke var i stand til at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return. Dette dannede rammen for udledningen af APT modellen, hvor en række andre faktorer, som kunne forklare variationen i det gennemsnitlige excess return, blev identificeret. De mest prominente anormaliteter er udledt af blandt andet Banz (1981), som påviste en signifikant ”size effekt” og Chan, Hambo, & Lakonishok (1991), som påviste en signifikant sammenhæng for ”value effekten”. Hvorvidt disse anormaliteter er forårsaget af ukendte risikofaktorer eller irrationel investoradfærd har de finansielle teoretikere være en del uenige om. Fama & French (1992) undersøgte sammenhængen mellem de fundne anormaliteter, og kunne således udlede 3-faktor modellen (Fama & French, 1993). Porteføljedannelsen til brug i 3-faktormodellen, gør det endvidere muligt at måle den isolerede ”size” præmie og ”value” præmie.

Porteføljeanalysen for det danske aktiemarked for perioden juli 1991 – juni 2010 påviste, at de mindste virksomheder med højeste BE/ME opnåede det højeste gennemsnitlige excess return, hvilket var uafhængigt af antallet af porteføljer. ”Value” præmien (HML) på det danske aktiemarked for perioden juli 1991 –juni 2010 var på 0.86% (t = 2.27) for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og 0.90% (t = 2.53) for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. Derimod var der ingen entydig effekt for ”size”, hvilket indikerer, at ”size effekten” ikke eksisterer på det danske aktiemarked for den undersøgte periode. Resultaterne for porteføljeanalysen er konsistente med Fama & French (2011).

Ved brug af Fama & Macbeth’s (1973) metodologi blev CAPM estimeret på baggrund af de sorterede porteføljer anvendt i porteføljeanalysen. Derved kunne det testes, hvorvidt CAPM var stand til at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return og på den måde undersøge, hvorvidt CAPM forklarede de fundne præmier for det danske aktiemarked for perioden juli 1991 – juni 2010. Tværsnitsregressionen påviste en insignifikant risikopræmie, samtidig med en positiv signifikant konstant, hvilket er en direkte modsigelse af CAPM. Dette kan derfor betyde, at CAPM ikke kan forklare den signifikante ”value” præmie for juli 1991 – juni 2010 for det danske aktiemarked. Der kan dog slås tvivl ved, hvorvidt antagelserne samt forudsætningerne for CAPM er opfyldt gennem analyseperioden for det danske aktiemarked samt statistiske forudsætninger.

Endvidere blev det undersøgt, hvorvidt den manglende forklaringskraft skyldes afvigelser for enkelte delperioder. Der forekommer en ringe stationaritet gennem de 4 delperioder, hvilket kan aflæses ud fra de skiftende fortegn for risikopræmien for hver delperiode. Delperiode 2 er den eneste delperiode hvor der eksisterer en positiv signifikant risikopræmie. For de resterende delperioder er denne præmie insignifikant. Derudover gælder det for delperiode 2, at konstanten er insignikant, samtidig med, at C1 og C2 hypoteserne ikke afvises. Det ser således ud til, at CAPM kan forklare variationen i det gennemsnitlige excess return for perioden april 1996 – december 2000.

De empiriske resultater er til dels følsom over for ændring i porteføljesammensætningen og måden, hvorpå der sorteres. Det er påvist, at 2x3 ME-BE/ME porteføljerne ikke er konsistent med resultaterne for analysen. En anden anvendt metode vil formentlig ligeledes give et andet resultat, hvilket gør det svært at generalisere de fundne resultater.


Det blev undersøgt, hvorvidt CAPM fejler i at forklare variationen i det gennemsnitlige excess return i henholdsvis ME dimensionen og BE/ME dimensionen. Resultaterne påviste, at CAPM fejlede i at forklare sammenhængen mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return for begge dimensioner. For delperiode 2 gælder det dog stadig, at CAPM er i stand til at forklare variationen for ME dimensionen. Det kan derfor tyde på, at resultaterne for porteføljeanalysen er anormaliteter, da CAPM ikke er i stand til at forklare disse. Det kan dog være svært at separere disse effekter fra hinanden, grundet en opdaget korrelation mellem BE/ME og ME.

For måling af robustheden for porteføljeanalysen blev proxyer for ”size” og ”value” testet i en APT model. Således blev det påvist via en regressionsanalyse, at ”size” og ”value” ikke er statistiske signifikant. Signifikansen af disse kan dog diskuteres grundet antallet af observationer. Da tidligere studier har påpeget en ringe stationaritet i disse effekter, blev det undersøgt, hvorvidt den samlede signifikans for hele perioden er en konsekvens af dette. Generelt er både ”size effekten” og ”value effekten” ustationær for de fire delperioder. Effekterne er skiftende både med fortegn og hældning og kan således være en forklaring på de insignifikante resultater.

Samlet set må det konkluderes, at der for perioden juli 1991 – juni 2010 for det danske aktiemarked har eksisteret en signifikant ”value” præmie. Hvorvidt denne præmie er proxy for andre risikofaktorer, så som ME, eller om den afspejler den ”sande” risiko relateret til ”financial distress”, kan det ikke vides sikker på. Endvidere kan den ringe stationaritet være et tegn på, at denne anormalitet nærmere skyldes markedsinefficiens eller bias i dataene, end en ukendt risikofaktor som Fama & French (1992) påpeger.


Referencer

Arshanapalli, Bala, T. Daniel Coggin, and John Doukas. "Multifactor Asset Pricing Analysis of International Value Investment Strategies." Journal of Portfolio Mangement 24, no. 4 (1998): 10-23.

Videnskabelige artikler:

Banz, Rolf W. "The Relationship between Return and Market Value of Common Stocks." Journal of Financial Economics 9, no. 1 (1981): 3-18. Bartholdy, Jan, and P Peare. "Estimation of Expected Return: CAPM vs. Fama and French." International Review of Financial Analysis 14 (2005): 407-427. Basu, Sanjoy. "Investment Performance of Common Stocks in Relation to Their Price-Earnings Ratios: A Test of The Efficient Market Hypothesis." Journal of Finance 32, no. 3 (1977): 663-682. Basu, Sanjoy. "The Relationship between Earnings' Yield, Market Value and Return for NYSE common stocks: Futher evidence." Journal of Financial Economics 12 (1983): 129-156. Black, Fischer. "Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing." Journal of Business 45, no. 3 (1972): 444-455. Black, Fischer. "Estimating Expected Return." Financial Analysts Journal 49, no. 5 (1993): 36:. Black, Fischer, Michael C. Jensen, and Myron Scholes. "The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests." Studies in the Theory of Capital Markets: New York Praeger, 1972: 79-121. Brown, Philip, Allan W. Kleidon, and Terry A. Marsh. "New Evidence on the Nature of Size related Anomalies in Stock Prices." Journal of Financial Economics 12 (1983): 33-56. Capaul, Carlo, Ian Rowley, and William F. Sharpe. "International Value and Growth Stock Returns." Financial Analysts Journal 49, no. 1 (1993): 27-36. Chan, K. C, and Nai-fu Chen. "Structural and Return Characteristics of Small and Large Firms." Journal of Fiance 46 (1991): 1467-1484. Chan, K. C, Yasushi Hamao, and Josef Lakonishok. "Fundamentals and Stock Returns in Japan." Journal of Finance 46 (1991): 1739-1789. Chou, Pin-Huang, Robin K. Chou, and Jane-Sue Wang. "In the Cross-Section of Expected Stock Return: Fama and French ten years later." Finance letters, 2004: 18-22. DeBondt, Werner F. M., and Richard Thaler. "Futher Evidence on Investor Overreaction and Stock Market Seasonality." Journal of Finance 42 (1987): 557-581. Fama, Eugene F. "The Behavior of Stock-Market Prices." Journal of Business 38, no. 1 (1965): 34-105.


Fama, Eugene F. "Efficient Capital Market: A Review of Theory and Empirical Work." Journal of Finance 25, no. 2 (1970): 383-417. Fama, Eugene F. "A Note on the Market Model and the Two-Parameter Model." Journal of Finance 28, no. 5 (1973): 1181-1185. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “The Cross-Section of Expected Stock Returns.” Journal of Finance 47, no. 2 (1992): 427-465. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds.” Journal of Financial Economics 33, no. 1 (1993): 3-56. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “Size and Book-to-Market Factors in Earnings and Returns.” Journal of Finance 50, no. 1 (1995): 131-155. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “Value versus Growth: The International Evidence.” Journal of Finance 53, no. 6 (1998): 1975-1999. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence.” Journal of Economic Perspective 18 (2004): 25-46. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. “Size, Value, and Momentum in International Stock Returns .” Chicago Booth Research Paper , 2011: 36:. Fama, Eugene F., and James D. MacBeth. “Risk, Return and Equilibrium: Empirical Tests.” Journal of Political Economy 81, no. 3 (1973): 607-637. Ince, Ozgur, and R. Burt Poter. “Individual Equity Return Data from Thomson Datastream: Handle with Care!” Journal of Financial Research 29 (2006): 463-479. Jaffe, Jeffrey, Donald B. Keim, and Randolph Westerfield. “Earnings Yields, Market Values, and Stock Returns.” Journal of Finance, 1989: 135-148. Jensen, Michael C. “The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964.” Journal of Finance 23 (1968): 389-416. Kothari, S. P., Jay Shanken, and Richard G. Sloan. “Another Look at the Cross-Section of Expected Stock Returns.” Journal of Finance 1 (1995): 185-224. Lakonishok, J., and A.C. Shapiro. “Systematic Risk, Total Risk, and Size as Determinants of Stock Market Returns.” Journal of Banking and Finance 10 (1986): 115-132. Lakonishok, Josef, Andrei Shleifer, and Robert W. Vishny. “Contrarian Investment, Extrapolation, and Risk.” The Journal of Finance, 5 (1994): 1541-1578. Lewellen, Jonathan, Stefan Nagel, and Jay Shanken. “A Skeptical Appraisal of Asset Pricing Tests.” Journal of Financia lEconomics 96 (2010): 175-194.


Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and The Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47 (1965): 13-37. Lo, Andrew W., and A. Craig MacKinlay. “Data-Snooping Biases in Tests of Financial Asset Pricing Models.” The Review of Financial Studies 3 (1990): 431-467. MacKinley, A. Craig. “Multifactor Models do not Explain Deviations From the CAPM.” Journal of Financial Economics 38 (1995): 3-28. Markowitz, Harry M. “Portfolio Selection.” The Journal of Finance 7, no. 1 (1952): 77-91. Parum, Claus. "Udviklingen i det danske organiserede aktiemarked ." Nationaløkonomisk Tidskrift, 1999: 284-304. Reinganum, Marc R. “ Misspecification of Capital Asset Pricing: Empirical Anomalies Based on Earnings.” Journal of Financial Economics 9 (1981): 19-46. Reinganum, Marc R. “A New Empirical Perspective on The CAPM.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 16 (1981 b): 439-462. Roll, Richard. “A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests Part I: On Past and Potential Testability of the Theory.” Journal of Financial Economics 4 (1977): 129-176. Rosenberg, Barr, Kenneth Reid, and Ronald Lanstein. “Persuasive Evidence of Market Inefficiency.” Journal of Portfolio Management 11 (1985): 48-55. Ross, Stephen. “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing.” Journal of Economic Theory 14 (1976): 341-360. Schwert, G. William. “Size and Stock Returns, and Other Empirical Regularities.” Journal of Financial Economics 12 (1983): 3-12. Schwert, G. William. “Anomalies and Market Efficiency .” Handbook of the Economics of Finance, 2003: 939-974. Shanken, Jay. “On Estimation of Beta-Pricing models.” Review of Financial Studies 5 (1992): 1-33. Sharpe, William. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19 (1964): 425-443. Tobin, James. “Liquidity Preference as Behavior Towards Risk.” Review of Economic Studies 25, no. 1 (1958): 65-68. Vaihekoski, Mika. “Portfolio Construction for Tests of Asset Pricing Models.” Institutions & Instruments 13 (2004): 1-39.


Campbell, John Y., Andrew W. Lo, and MacKinlay Craig A. The Econometrics of Financial Markets. Princeton, 1997.

Bøger:

Cochrane, John H. Assets Pricing. Princeton, 2001. Das, Dilip. K. International Finance: Contemporary Issues. Routledge, 1993. Koller, Tim, Marc Goedhart, and David Wessels. Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies. Wiley, 2010.

Danmarks Statistik. Danmarks Statistik - statistikbanken.dk . http://www.statistikbanken.dk (accessed Marts 15, 2011).

Webaddresser:

Appendiks-bilagsliste

APPENDIKS 1: UDLEDNING AF CML ..................................................................................................... 1

APPENDIKS 2: FORUDSÆTNINGER FOR CAPM ................................................................................. 2

APPENDIKS 3: DANNELSER AF PORTEFØLJER ................................................................................. 3

BILAG 1: ANTAL VIRKSOMHEDER OVER TID ................................................................................. 11

BILAG 2: DISKUSSION AF FORUDSÆTNINGER FOR CAPM ......................................................... 12

BILAG 3: ANALYSE AF CAPM FOR HELE PERIODEN ..................................................................... 15

BILAG 4: ANALYSE AF CAPM FOR DELPERIODER ......................................................................... 16

BILAG 5: ANALYSE AF BE/ME OG ME FOR HELE PERIODEN ..................................................... 20

BILAG 6: ANALYSE AF BE/ME OG ME FOR DELPERIODERNE ................................................... 22

BILAG 7: ANALYSE CAPM (LIGEVÆGTET MARKEDSINDEKS) ................................................... 25

BILAG 8: SAS KODE .................................................................................................................................. 26


1

Appendiks 1: Udledning af CML Udledning af CML på baggrund af Sharpes konklusioner.4

Porteføljen består af en kombination af en række risikofyldte aktiver ( ) samt et risikofrit

aktiv ( ) . angiver andelen af det risikofrie aktiv og angiver andelen af de

risikofyldte aktiver. Disse indsættes i formlen for middelværdi og varians, og derved fremkommer afkastet for porteføljen.

Dette kan ligeledes indsættes i variansformlen

Da det vides at standardafvigelsen er vil følgende fremstå

Da det risikofrie aktiv pr. definition ikke har nogen standardafvigelse, kan følgende indsættes i standardafvigelsesformlen, , og derved fås

isoleres herefter og indsættes i formlen for afkastet

Derved fås formlen for CML. 4 Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Sharpe (1964)


2

Appendiks 2: Forudsætninger for CAPM På baggrund af følgende forudsætninger og antagelser udledte Sharpe senere hen CAPM. 1) Investorer laver deres investeringsbeslutninger på baggrund af det forventede afkast og standard afvigelsen.

Dette indikerer at investoren i CAPM bruger de samme to parameter. Dette kan r epræsenteret i en nyttefunktion.

Hvor indikerer det forventede afkast, og er den forudsagte standard afvigelse af

2) Investorer er rationel og risiko avers. For at acceptere større risiko må investorer blive kompenseret ved et højere forventede afkast. Investorernes nytte afhænger af varians og middelværdi på følgende måde:

3) Investorer tilslutter sig Markowitz metode i forhold til portefølje diversificering. CAPM forudsætter at den risiko-avers investor tilskriver Markowitz’s metode for at reducere portefølje risikoen ved at kombinere aktiver med modvægtige kovarianser eller korrelationer.

4) Investorer investerer for den samme periode af tid. Alle investorer investerer for den samme tidshorisont. Længden af perioden er ikke

relevant. 5) Investorer har de samme forventninger omkring forventet afkast samt variansen på afkastet.

For at opnå Markowitz efficiente rand, som er brugt til udviklingen af CAPM, forudsættes det at alle investorer har de samme forventninger i forhold til inputs som er brugt til udledning af de efficiente porteføljer: aktivernes afkast, varians og kovarians.

6) Der er en risikofri rente og investorer kan låne, og for hvilket som helst beløb i den risikofrie rente.

Det forudsættes at der er en risikofri rente tilstede. Derudover forudsættes det at investorer ikke kun kan tjene den risikofrie rente, men hvis de ønsker at låne, kan de låne til den risikofrie rente.

7) Kapital markedet er konkurrencepræget og gnidningsfrit. Konkret set betyder dette, at antallet af købere og sælgere er tilstrækkelig mange, og at investorerne er små i forhold til markedet, således individuelle investorer ikke kan influere aktivets pris. Derudover er markedsprisen bestemt på baggrund af ligevægten mellem udbyd og efterspørgsel.

Forudsætning 1-5 omhandler hvordan investoren træffer beslutninger, og forudsætning 6-7 er forudsætninger omkring kapital markedet.


3

Appendiks 3: Dannelser af porteføljer Da afhandlingen I høj bygger på selvstændigt dataudtræk og dernæst dannelse af forskellige porteføljer, følger der derfor en guide til hvordan porteføljerne er dannet. Guiden tager udgangspunkt i sortering af 4x4 ME-BE/ME porteføljerne. Da der er den værdivægtet tilgang der anvendes vil denne porteføljedannelse være en smule anderledes end ved det ligevægtet. Ved ligevægtet afkast anvendes step 5 og 6 ikke.

1. Step I det første step formateres afkastet således, at hvis afkastet for den pågældende måned ikke er tilgængelig for det værdien -999. Dette gør det senere hen nemmere ikke at medtage disse

virksomheder i beregninger i forhold til ME og BE/ME.


4

2. Step Herefter fjernes BE/ME for de virksomheder hvor deres “afkast” er lig med 999 og får værdien nul. De resterende virksomheder bibeholder oplysninger om BE/ME.


5

3. Step Hvis BE/ME er større end nul inddrages ME for virksomheden. Hvis dette er ikke er tilfældet medtages denne oplysninger for virksomheden ikke. Herefter beregnes 25%, 50% og 75% kvartiler, hvorefter de forskellige virksomheder som har ME i dette år rankes i henholdsvis rank 1, 2, 3 og 4. De virksomheder hvor intet ME figurerer får rank 4, hvilket dog ikke har en betydning, da de sorteres fra i BB (rank 4) senere hen. Herefter flyttes virksomhederne til henholdsvis SS, SB, BS og BB på baggrund af den opnåede ranking.


6

4. Step I de enkelte ME porteføljer beregnes 25%, 50% og 75% kvartilerne hvor virksomhederne rankes på baggrund af BE/ME. Herefter deles de enkelte virksomheder i fire BE/ME porteføljer inden for den respektive ME portefølje.


7

5. Step Inden for de respektive porteføljer beregnes afkast for porteføljerne. Hvis virksomheden har en værdi over nul i den første række, er dette en indikation af at de er medtaget i den respektive portefølje. Hvis ikke fås værdien -999, da derved kan sorteres fra i næste step.


8

6. Step I dette step beregnes de enkelte vægte for de forskellige virksomheder, da der i opgaven anvendes værdivægtet gennemsnit. Hvis virksomheder har et decideret afkast (større end -999) indsættes ME for virksomheden. Summen beregnes sammen for de medtaget virksomheder og i den næste tabel beregnes vægten. Summen af vægtene er lig med 1. Dette gøres for alle porteføljer, eksemplet her er fra portefølje SS1.


9

7. Step I arket SS1 weighted beregnes det vægtet gennemsnit ved beregne produktet af vægten ganget med afkastet for den respektive virksomhed. Afkastet for den respektive portefølje frem går af kolonne GC.


10

8. Step I det sidste step samles afkastene for de respektive porteføljer i et enkelt ark og bliver derefter samlet med afkastene for de forskellige år (frem går ikke).


11

Bilag 1: Antal virksomheder over tid Ud fra nedenstående tabel kan det ses at antallet af virksomheder stiger hvert år. Derudover kan det ses, at der i en nogle periode er få virksomheder i hver portefølje, hvilket ligeledes ligger til grundlag for inddragelse af 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Antal virksomheder i 4x4 ME-BE/ME porteføljerne i perioden juli 1991 - juni 2010 Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 4 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 4 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t. De værdivægtet månedlige portefølje excess return er beregnet for Juli år t til Juni t+1. Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien ( procent). Det gennemsnitlige antal virksomheder i hver porteføljer er det månedlige gennemsnit antal virksomheder i tidsserien.


12

BILAG 2: Diskussion af forudsætninger for CAPM Som tidligere skrevet er CAPM en model der forsøger at forklare det forventede aktieafkast over en given periode. Da det ikke er muligt at kende markedets ”sande” forventninger må man anvende historiske data til at teste modellen. Før man kan estimere CAPM’s parameter, er man nødt til at gøre nogle antagelser omkring fordelingen af de observerede værdier.

Det er vigtig at bemærke at disse forudsætninger ikke er en del af CAPM, men er en del af testen på CAPM. Man forsøger således ikke blot at teste CAPM, men ligeledes at teste hvorvidt disse forudsætninger er opfyldt. Dette er også kendt som en ”Joint Hypothesis” (Fama, 1970). I dette bilag vurderes disse antagelser i sammenhæng med det danske aktiemarked.

Empiriske forudsætninger Stationære afkast fordelinger – Da investorer i CAPM kender afkastets fordelingen over en given investerings horisont, er det en fordel at antage at denne fordeling er stationær, når man skal estimere parametrene af fordelingen. Ligeledes er det er en fordel at antage at afkastene er uafhængige over tid. Til sammen leder det hen til antagelsen om identiske og uafhængige fordelte aktie afkast.

Markets proxy - I CAPM kan markeds porteføljen let identificeres, men i praksis er denne portefølje svær observerbar ( Roll’s kriterier).

Investeringshorisonten – CAPM fortæller os ikke noget omkring investeringshorisonten på de porteføljer som investorer har investeret i. Det kunne være en dag, uge, måned eller et år. I denne afhandling antages det, ligesom i mange tidligere empiriske studier, at den approksimative investeringshorisont er på en måned.

Økonomiske forudsætninger

Markeds efficient – For at markedet kan være efficient, antages det at investorenes forventninger er rationelle givet forudsætningerne omkring stationære fordelinger.

1) Investorer maksimere deres investeringsbeslutninger på baggrund af det forventede afkast og standard afvigelsen. Størstedelen af de danske aktier er i dag ejet af institutionelle virksomheder og andre større selskaber. Det må derfor antages at disse har diversificeret deres porteføljer. For at denne forudsætning kan være opfyldt skal det gælde at afkastene er normalfordelte. På den måde kan risikoen måles ud fra variansen. Det kan diskuteres hvorvidt de faktiske afkast er normalfordelte, og så fald, hvorvidt denne forudsætning er opfyldt. Der kan derfor argumenteres for at investorerne ikke udelukkende vælger deres optimale porteføljer på baggrund af aktiens middelværdi og varians. Hvilket betyder at denne forudsætning umiddelbart ikke virker til at være opfyldt, og kan give problemer for modellens forklaringskraft.

Forudsætningerne set i relation til det danske aktiemarked

2) Investorer er rationel og risikoavers. Tidlige studie af amerikanske aktieinvestorer, fandt ud af de amerikanske investorer har en konstant relativ risikoaversion. Man vil derfor godt kunne argumentere for at dette også vil gælde for de danske investorer og dermed at investorerne har en kvadratisk nyttefunktion. Andre studier har påpeget, at en investors risikoaversion afhænger af markedssituationen. På den måde kan man sige at investorerne er mere villig til at bære en større risiko, når markedet er i medvind. Alligevel antages det dog at investorerne generelt er risikoavers og derfor at denne forudsætning er opfyldt.


13

3) Investorer investerer i samme tidshorisont. CAPM antager at investerings horisonten er ens for alle investorerne. Dette må antages at være rimelig urealistisk da der kan være stor variation på hvor lang en horisont investorer maksimere deres afkast på. Nogle investere i forhold til deres pension mens andre dagshandler. Det kan derfor ikke argumenteres for at investeringshorisonten er ens for alle investorer.

4) Investorer har de samme forventninger omkring forventet afkast samt variansen på afkastet. CAPM forudsætter at alle investorer har homogene forventninger til afkast og risiko. Før dette kan lade sig gøre forudsættes det at alle investorer har samme informationsmængde tilgængelig. Hvorvidt dette er opfyldt kan diskuteres, men det virker alligevel som en rimelig forudsætning da stort set alle informationer er offentliggjort på internettet. Ligeledes har Danmark nogle strenge krav til offentliggørelsen af årsrapporter for børsnoteres virksomheder. Det må derfor formodes at investorer har den samme mængde information til rådighed. Det antages endvidere at ingen benytter sig af eller har insider viden. På trods af at der kan argumenteres for at alle investorer har adgang til samme informationer, er det usandsynligt at de har samme forventninger. Ofte kan man se forskellige analytikere være uenige omkring en virksomheds fremtidige indtjenings prospekt. Ligeledes må man antage at en aktieanalytikere alt andet lige har en bedre muligheder for at estimere en akties fremtidige kursmål end en person der ikke så ofte investere.

5) Der eksistere en risikofri rente hvorved investorer samtidig kan ind og udlåne til et hvilket som helst beløb. For at denne forudsætning kan være opfyldt skal det gælde at der eksister en entydig risikofri rente hvorved alle investorer, store som små, kan låne til. Det vil sige alle investorer kan låne den mængde de ønsker til samme rente, uanset deres individuelle kredit vurderinger. Denne forudsætning er selvfølgelig stærk kritisable og rimelig urealistisk. Der vil formentlig altid være en øvre grænse for hvor meget en virksomhed kan geare sig selv, og dermed for lov at låne. Taget betragtning af disse argumenter, kan det alligevel godt accepteres at der findes en entydig risikofri rente på markedet.

6) Kapital markedet er konkurrencepræget og gnidningsfrit. Konkret set betyder dette, at antallet af købere og sælgere er tilstrækkelig mange, og at investorerne er små i forhold til markedet, således individuelle investorer ikke kan influere aktivets pris. Derudover er markedsprisen bestemt på baggrund af ligevægten mellem udbyd og efterspørgsel. Der kan sagtens argumenteres for at denne forudsætning er opfyldt, men man bliver dog nød til at være opmærksom på at de fleste investorer på det danske marked udgøres af store private eller institutionelle investors. Man kan derfor argumenter for, at disse kan være med til at påvirke aktiekursen i enkelte tilfælde. Endvidere gælder det at der eksistere en forholdsvis lav omsætningshastighed på det danske aktie marked. Hvilket kunne give et problem i forhold til CAPM forudsætning om at alle aktier kan sælges uden problemer.

7) Ingen transaktions omkostninger - CAPM argumentere for at der ikke må eksistere nogle transaktions omkostninger, således alle er i stand til at investere på markedet. Der kan sagtens argumenteres for at denne forudsætninger opfyldt da transaktionsomkostningen i Danmark (kurtage) er relativt lille set i forhold til det investerede beløb, hvis man handler online. Derfor antages det at denne forudsætninger opfyldt.

8) Alle aktiver er fuld delelige - CAPM forudsætter at en investor har mulighed for at holde præcis den andel aktie han har lyst til. Dette er selvfølgelig ikke mulig i den virkelige verden. Alligevel kan en investor via en investeringsforening købe en aktie i en gruppe, og


14

på den måde opnå en andel af en eller flere aktier. Man kan derfor argumentere for at denne forudsætning er opfyldt.

9) Der findes ingen skat – Dette er en urealistisk forudsætning, især på det danske aktie marked. Faktisk er der flere eksperter der mener at det høje beskatningsniveau samt en meget kompliceret skattestruktur er årsagen til det lave antal af private aktieinvestorer i Danmark. Det kan derfor antages at denne forudsætning ikke er opfyldt, hvilket kan have betydning på CAPM forklaringsevne.


15

Bilag 3: Analyse af CAPM for hele perioden Nedenstående figur viser sammenhængen mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return per måned for perioden juli 1991 – juni 2010. Der ses alt i alt én svag negativ sammenhæng mellem den systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return, hvilket er en direkte modsigelse af CAPM. Som det kan ses er dette ikke konsistent med 2x3 ME-BE/ME porteføljerne, da der her eksisterer en svag positiv sammenhæng.

Det gennemsnitlige excess return per måned versus den systematiske risiko for perioden juli 1991 – juni 2010 (228 måneder) for henholdsvis 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 16 og 6 estimeret 𝛽 for tidsserien. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden


16

Bilag 4: Analyse af CAPM for delperioder Nedenstående tabeller anfører tidsserieestimaterne for henholdsvis 4x4 ME-BE/ME porteføljerne og 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Regression på excess afkast for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne for RM - Rf:

Opdelt i 4 perioder for perioden juli 1991 - juni 2010. 16 porteføljer

𝑹𝒕 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜶�𝒋 + 𝜷�𝒋[𝑹𝑴𝒕 − 𝑹𝑭𝒕] + 𝜺𝒕

Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 4 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 4 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; 2 = april, 1996 – december, 2000; 3 = januar, 2001 – september, 2005; 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


17

Regression på excess afkast for 6 ME-BE/ME porteføljer for RM - Rf: Opdelt i 4 perioder for perioden juli 1991 - juni 2010. 6 porteføljer

𝑹𝒕 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜶�𝒋 + 𝜷�𝒋[𝑹𝑴𝒕 − 𝑹𝑭𝒕] + 𝜺𝒕 Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 2 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter sorteret i 3 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; 2 = april, 1996 – december, 2000; 3 = januar, 2001 – september, 2005; 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


18

Nedenstående figur illusterer tidsserieregressionen for det gennemsnitlige excess return for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne for hver delperiode. Disse er sammenholdt med tidsserieregressionen for det gennemsnitlige excess return for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne for hver delperiode.

Det gennemsnitlige excess return per måned versus den systematiske risiko opdelt i 4 delperioder (57 måneder)

for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne.

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 6 estimeret 𝛽 for tidsserien. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


19

Nedenstående tabel viser tværsnitsregressionen for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne som på samme måde sammenholdes med resultaterne for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne.

Regression på excess afkast for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne for RM-Rf : Opdelt for 4 perioder.

𝑹𝒋,𝒕 − 𝑹𝑭𝒋,𝒕 = 𝜸�𝟎 + 𝜸�𝟏𝜷�𝒋 + 𝜸�𝟐𝜷�𝒋𝟐 + 𝜸�𝟐𝒔𝒋�𝜺�𝒋� + 𝜼𝒋,𝒕

Panel A består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑡 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡. Panel B består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑡 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1𝛽𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝜂𝑗𝑡. Panel C består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̂�) + 𝜂𝑗𝑡. Panel D består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̂�) + 𝜂𝑗𝑡.



20

Bilag 5: Analyse af BE/ME og ME for hele perioden Nedenstående er en grafisk illustration af den estimeret 𝛽 for de enkelte porteføljer i de

forskellige dimensioner.

Systematisk risiko versus gennemsnitlig excess return pr. måned for BE/ME dimension

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 5 estimeret 𝛽 for tidsserien for henholdsvis ME og BE/ME porteføljerne. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden.

Systematisk risiko versus gennemsnitlig excess return pr. måned for ME dimension


21

Nedenstående er en grafisk illustration af den lineære sammenhæng mellem henholdsvis ln(ME) og ln(BE/ME) og det gennemsnitlige excess return per måned

ln(ME) versus gennemsnitligt excess return for ME dimension Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Ln(ME) er gennemsnittet for tidserien af porteføljernes månedlige gennemsnitlige logaritmisk størrelse. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden.

ln(BE/ME) versus gennemsnitligt excess return for BE/ME dimension

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Ln(BE/ME) er gennemsnittet for tidserien af porteføljernes månedlige gennemsnitlige logaritmisk størrelse. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden.


22

Bilag 6: Analyse af BE/ME og ME for delperioderne Nedenstående tabeller anfører tidsserie estimaterne for henholdsvis BE/ME dimensionen og ME dimensionen.

Regression på excess afkast for BE/ME dimensionen for RM - Rf:


𝑹𝒋 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜶�𝒋 + 𝜷�𝒋[𝑹𝑴𝒕 − 𝑹𝑭𝒕] + 𝜺𝒋

Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til BE/ME sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 5 BE/ME-porteføljer.

Regression på excess afkast for ME dimensionen for RM - Rf:


𝑹𝒋 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜶�𝒋 + 𝜷�𝒋[𝑹𝑴𝒕 − 𝑹𝑭𝒕] + 𝜺�𝒋

Rm er det værdivægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente. Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 5 ME-porteføljer.


23

Nedenstående er en grafisk illustration af den lineære sammenhæng mellem systematiske risiko og det gennemsnitlige excess return per måned for de fire delperioder.

Systematisk risiko versus gennemsnitligt excess return for ME dimension for de 4 delperioder

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 5 estimeret 𝛽 for tidsserien af ME porteføljerne. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


24

Systematisk risiko versus gennemsnitligt excess return for BE/ME dimension for de 4 delperioder

Det gennemsnitlige månedsafkast er gennemsnittet af de månedlige portefølje excess return i tidsserien. Den systematiske risiko er de 5 estimeret 𝛽 for tidsserien af BE/ME porteføljerne. Endvidere er der lavet en tendenslinje samt vist forklaringsgraden. Delperiode 1 = juli, 1991 – marts, 1996; Delperiode 2 = april, 1996 – december, 2000; Delperiode 3 = januar, 2001 – september, 2005; Delperiode 4 = oktober, 2005 – juni 2010.


25

Bilag 7: Analyse CAPM (ligevægtet Markedsindeks)

Regression på excess afkast for 4x4 ME-BE/ME porteføljerne for RM - Rf:


𝑹𝒋 − 𝑹𝑭𝒕 = 𝜶�𝒋 + 𝜷�𝒋[𝑹𝑴𝒕 − 𝑹𝑭𝒕] + 𝜺𝒋

Rm er det ligevægtet månedlige afkast for virksomhederne i ME-BE/ME porteføljerne. Rf er den risikofrie månedlige rente.

Porteføljerne er formet årligt. Breakpoints til ME (pris gange udstedte aktier) sorteringen er determineret i Juli år t (t = 1991-

2010). Alle virksomheder der opfylder sorteringskriterierne er allokeret i 4 ME-porteføljer. Hver ME-portefølje er derefter

sorteret i 4 BE/ME – porteføljer ved at bruge BE/ME for år t.

Regression på excess afkast for 16 porteføljer for RM: juli 1991 – juni 2010.

𝑹𝒋,𝒕 − 𝑹𝑭𝒋,𝒕 = 𝜸�𝟎 + 𝜸�𝟏𝜷�𝒋 + 𝜸�𝟐𝜷�𝒋𝟐 + 𝜸�𝟐𝒔𝒋�𝜺�𝒋� + 𝜼𝒋,𝒕

Panel A består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑡 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝜂𝑗𝑡. Panel B består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑡 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1𝛽𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝜂𝑗𝑡. Panel C består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̂�) + 𝜂𝑗𝑡. Panel D består af en regression med 6 observationer på baggrund af estimerede 𝛽 for 2x3 ME-BE/ME porteføljerne. 𝑅𝑗 − 𝑅𝑓 =𝛾�0 + 𝛾�1�̂�𝑗 + 𝛾�2�̂�𝑗2 + 𝛾�3𝑠𝑗(𝜀�̂�) + 𝜂𝑗𝑡.



26

Bilag 8: SAS kode Den følgende kode er anvendt til estimering af parametrene. Den viste kode er standard koden anvendt i opgaven. Ved test på en række ekstra variable tilføjes disse blot i koden, ved at ændre antallet af parametre estimeret. I tværsnitsregressionen tilføjes der ekstra kode til estimering af betingelser i forhold til Fama & Macbeth (1973) test på CAPM. Dette bevirker dog blot at gamma2 og gamma 3 tilføjes og t-statistik og p-værdi beregnes på samme måde som for de andre parametre. proc iml;

use data;

READ all var _num_ into r;

n=228;

*Antallet af medtagne observationer i analysen;

j=16;

*Antallet af regressioner (Y) som estimeres i analysen;

K=2;

*Antallet af parameter som estimere i analysen;

Y=r[1:n,2:17];

*Definition af Y matricen;

ExcessMarket=r[1:n,25]-r[1:n,26];

*Markedsportef¯ljensafkast minus den risikofrie rente;

Market=r[1:n,25];

*Definition af markedet, anvendes senere;

X=J(n,1,1)||ExcessMarket; *Definition af X matricen;

/* Tidsserieregression */

*Laver vores "tomme" matrice til at holde estimaterne;

B=J(j,k,0);

Var=J(k,k,0);

SE=J(j,k,0);

T_test=J(J,k,0);

P_value=J(j,k,0);

R2=J(j,1,0);

R2_adj=J(j,1,0);

Varresiduals=J(j,1,0);

mean=J(j,1,0);


27

do i=1 to j by 1;

B[i,]=(inv(X`*X)*X`*Y[,i])`;

*Beregnings beta koefficienterne;

Var=(ssq(Y[,i]-X*B[i,]`))/(n-k)*inv(X`*X);

*Beregning af variansen;

SE[i,]=sqrt(var[1,1])||sqrt(var[2,2]);

*Beregning af variansen for de enkelte parametre;

t_test[i,]=B[i,]/SE[i,];

*Simpel t-test for de enkle parametre;

R2[i]=1-(ssq(Y[,i]-X*B[i,]`)/(N-1))/(ssq(Y[,i]-sum(Y[,i]/N))/(N-1)); *Beregning af forklaringsgraden;

R2_adj[i]=1-(ssq(Y[,i]-X*B[i,]`)/(N-K))/(ssq(Y[,i]-sum(Y[,i]/N))/(N-1)); *Beregning af den justeret forklaringsgrad;

P_value[i,]=2*(1-CDF('T',abs(t_test[i,1]),n-k))||2*(1-CDF('T',abs(t_test[i,2]),n-k));

*Beregning af p-værdi;

Varresiduals[i]=(ssq(Y[,i]-X*B[i,]`)/(n-1))/(n-k);

*Beregning af variansen for fejlleddet, anvendes senere til test pÂ CAPM;

end;

/* Gemmer en række af de beregnet estimater, disse bliver senere i koden merget til et enkelt datasæt */

create beta from b[colname={'constant' 'rm-rf'}];

append from b;

create residuals from varresiduals[colname={'residuals'}];

append from varresiduals;

create t_test from t_test[colname={'a' 'b'}];

append from t_test;

create R2_adj from R2_adj[colname={'R2_adj'}];

append from R2_adj;

/* Tværsnitsregression */

q=2;

*Antal parameter estimeret i cross section, kan vÊre forskelligt fra K i tidsserie, derfor symbolet q;


28

beta=(b[,2]);

*Definer de estimeret betas i Èn Jx1 matrice;

gamma_all=j(q,n,0);

*Samler alle gamma estimater i en QxN matrice;

X_1=j(j,1,1)||beta;

*Definition af X_1 matricen;

Y_1=r[1:n,2:17]`;

*Transponering af de forventede excess returns, således vi har en JxN matrice;

Do i=1 to n;

Y_2=Y_1[,i];

*Definition af y matricen ved at tage en række ud fra de forventede excess returns;

gamma=inv(X_1`*X_1)*X_1`*Y_2;

*Beregner OLS for hvert enkelt gamma for n;

gamma_all[,i]=gamma;

*Samler alle gammas på tværs af tiden;

end;

gamma_hat=gamma_all*j(n,1,1)/n; *Finder gennemsnittet for hvert af de to estimater;

gamma_hat0=gamma_hat[1,1]; *Udtager skalarpunktet gamma0;

gamma_hat1=gamma_hat[2,1]; *Udtager skalarpunktet gamma1;

gamma0=gamma_all[1,]; *Udtager en vektor for gamma0;

gamma1=gamma_all[2,]; *Udtager en vektor for gamma1;

Difference0=gamma0-gamma_hat[1,1];

*Beregner differencen mellem de observerede gamma0 og det estimeret gamma0;

Difference1=gamma1-gamma_hat[2,1];

*Beregner differencne mellem de observerede gamma1 og det estimeret gamma1;

SSD0=difference0*difference0`; *Beregner sum of squares;

SSD1=difference1*difference1`; *Beregner sum of squares;

var0=(1/(n*(n-1)))*SSD0; *Beregner variansen for gamma0;

var1=(1/(n*(n-1)))*SSD1; *Beregner variansen for gamma1;


29

omega_g0=gamma_hat0/var0**0.5; *Beregner test statistikken for gamma0;

omega_g1=gamma_hat1/var1**0.5; *Beregner test statistikken for gamma1;

pvalue_g0=2*(1-CDF('T',abs(omega_g0),n-1)); *Beregner den tosidet p-værdi gamma0;

pvalue_g1=1-CDF('T',omega_g1,n-1); *Beregner den ensidet p-værdi for for gamma1;

print gamma_hat0 gamma_hat1 var0 var1;

print omega_g0 omega_g1;

print pvalue_g0 pvalue_g1;

*Shanken Correction;

average_market=(J(1,n,1)*market)/n;

*Beregner det gennemsnitlige excess return for markedet;

sigma_market=((market-average_market)`*(market-average_market))/n;

*Beregner variansen for excess return for markedet;

shanken_var0=var0*(1+((average_market-gamma_hat0)**2)/sigma_market);

*Beregner variansen for gamma0 hvor der tages hensyn til Shanken;

shanken_var1=var1*(1+((average_market-gamma_hat0)**2)/sigma_market);

*Beregner variansen for gamma1 hvor der tages hensyn til Shanken;

Shanken_correction=(1+((average_market-gamma_hat0)**2)/sigma_market);

*The Shanken Correction;

Shanken_g0=gamma_hat0/(shanken_var0)**0.5;*Den nye t-statistik for gamma0;

Shanken_g1=gamma_hat1/(shanken_var1)**0.5;*Den nye t-statistik for gamma1;

pvalue_shanken0=2*(1-CDF('T',abs(shanken_g0),n-1));


30

*Beregner den to sidet p-vÊrdi gamma0;

pvalue_shanken1=1-CDF('T',shanken_g1,n-1);

*Beregner den Ën sidet p-vÊrdi for for gamma1;

print shanken_correction;

print shanken_g0 shanken_g1;

print pvalue_shanken0 pvalue_shanken1;

quit;

Documents

HA 6. semester Forfatter: Morten M. Andreassen Andreas …pure.au.dk/portal/files/36184850/Bacheloropgave.pdf · HA 6. semester Forfatter: Morten M. Andreassen . Andreas S. Knudsen