Gustavo Serebrenick Análise da estabilidade de colunas ...Stability analysis of slender columns partially buried in a non-linear elastic foundation. Rio de Janeiro, 2004. 115p. M.Sc

Gustavo Serebrenick

Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.

Orientador: Paulo Batista Gonçalves

Rio de Janeiro

Novembro de 2004

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221065/CA

Gustavo Serebrenick

Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Paulo Batista Gonçalves Presidente/Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Ricardo Azoubel da Mota Silveira UFOP

Profa. Djenane Cordeiro Pamplona Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial

do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 04 de Novembro de 2004

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Gustavo Serebrenick

Graduou-se em Engenharia Civil, ênfase em Estruturas, pela PUC-Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro) em Dezembro de 2000. Desenvolveu seu trabalho final de curso sobre o tema Concreto de Alto Desempenho.

Ficha catalográfica

CDD: 624

Serebrenick, Gustavo Análise da estabilidade de colunas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear / Gustavo Serebrenick ; orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil, 2005. 115 f. : il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil . Inclui referências bibliográficas 1. Engenharia civil – Teses. 2. Colunas. 3. Estabilidade. 4. Fundação não-linear. 5. Flambagem. 6. Estacas parcialmente enterradas. I. Gonçalves, Paulo Batista. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

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Aos meus pais, Edmundo e Sylvia.

À minha irmã, Renata.

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Agradecimentos

Ao Prof. Paulo Batista Gonçalves por sua orientação, serenidade e pelos

conhecimentos transmitidos principalmente ao longo desse último ano.

Ao Prof. Ricardo Azoubel M. Silveira pelo seu enorme apoio e

receptividade durante o período de estudos em Ouro Preto-MG.

Aos meus pais e à minha irmã, por tudo o que eles representam para mim.

Ao meu avô, Abrahão Serebrenick (I.M.), pelos ensinamentos e pelo prazer

que me proporcionou durante o nosso convívio em comum.

Aos meus demais familiares e amigos, que me acompanham e apóiam em

todos os momentos.

Aos colegas da PUC-Rio, em especial Antônio Eduardo Gonçalves

Sampaio, Eduardo Pasquetti e Patrícia Cunha de Assis pelo importante apoio dado

durante algumas etapas desta Dissertação.

Ao colega Bruno Moreira pela hospitalidade dada na ocasião da minha ida à

Ouro Preto.

A PUC-Rio e aos demais professores do Departamento de Engenharia Civil.

A CAPES pelo auxílio financeiro concedido, incentivo este, fundamental

para a realização deste trabalho.

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Resumo

Serebrenick, Gustavo; Gonçalves, Paulo B. Análise da estabilidade de colunas esbeltas parcialmente enterradas em uma fundação elástica não-linear. Rio de Janeiro, 2004. 115p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O presente trabalho tem por objetivo estudar o comportamento de colunas

esbeltas parcialmente enterradas, quando submetidas a um carregamento axial de

compressão. A fundação é representada, ora por um modelo linear, o qual

considera que a reação exercida pelo solo é proporcional às deflexões da coluna,

ora por um modelo não-linear no qual esta relação de proporcionalidade não é

mais verificada. Para a modelagem da coluna, é usada a teoria inextensional de

barras esbeltas. Inicialmente, mostra-se como são deduzidas as equações

diferenciais do problema a partir dos funcionais de energia da coluna. No

problema linear, buscam-se obter as cargas críticas e modos críticos da coluna.

Neste caso, sua solução analítica é encontrada a partir da resolução do problema

de valor de contorno usando-se um programa de álgebra simbólica. Também é

obtida uma solução aproximada através do método de Ritz. Um estudo

paramétrico detalhado analisa a influência das condições de apoio da coluna e

altura e rigidez da fundação na carga e modo críticos. Entretanto, no caso não-

linear, as equações diferenciais são mais complexas, não permitindo a obtenção de

uma solução analítica. É utilizado, então, o método de Ritz, no qual as soluções

analíticas obtidas para o problema linear (autofunções) são usadas como funções

de interpolação. Em seguida, chega-se à uma equação não-linear de equilíbrio, da

qual se obtém o caminho pós-crítico da coluna. Os resultados do problema não-

linear são comparados com os obtidos através do método dos elementos finitos.

Palavras-chave Colunas, estabilidade, fundação não-linear, flambagem, estacas parcialmente enterradas.

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Abstract

Serebrenick, Gustavo; Gonçalves, Paulo B. (Advisor). Stability analysis of slender columns partially buried in a non-linear elastic foundation. Rio de Janeiro, 2004. 115p. M.Sc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. In this thesis the behavior of slender, partially embedded columns under

axial compressive forces is studied. The foundation is either represented by a

linear model, which considers that the soil reaction is proportional to the column’s

deflections or by a non-linear model in which this proportionality relation is not

observed. The inextensional slender beam theory is used to model the column.

Initially, the governing differential equations are deduced from the energy

functional of the column-foundation system. In the linear problem, the critical

loads and corresponding critical modes are looked for. In this case, an analytic

solution is obtained by the solution of the associated boundary value problem,

using a symbolic algebra software. An approximate solution is also found by

Ritz’s method. A parametric study is conducted to study the influence of the

column boundary conditions and foundation’s height and stiffness on critical

loads and modes. However, in the non-linear case, differential equations are much

more complex and an analytical solution is not possible. So, the Ritz’s method is

used once again, in which the analytic solutions of the linear problem

(eigenfunctions) are used as interpolation functions. After that, a non-linear

equilibrium equation is obtained together with the column post-buckling path.

These results are compared with the ones obtained using the finite element

method.

Key-words Columns, stability, non-linear foundation, buckling, partially embedded piles.

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Sumário 1. Introdução...........................................................................................19

1.1. Objetivo......................................................................................... 20

1.2. Organização do texto.................................................................... 22

2. Formulação do problema....................................................................24

2.1. Funcional de energia não-linear da coluna................................... 24

2.2. Contribuição da fundação elástica................................................ 28

2.3. Funcional completo de energia não-linear.................................... 30

2.4. Funcional de energia linear...........................................................30

2.5. Funcional completo de energia linear........................................... 31

2.6. Equações diferenciais da coluna.................................................. 31

2.7. Solução analítica do problema de autovalor................................. 33

2.8. Solução aproximada de Rayleigh-Ritz.......................................... 41

3. Resultados da análise linear.............................................................. 44

3.1. Nota sobre a apresentação dos resultados.................................. 44

3.2. Influência da rigidez da fundação................................................. 45

3.2.1. Influência na carga crítica.....................................................45

3.2.2. Influência no modo crítico.....................................................48

3.3. Influência da altura da fundação................................................... 50



3.4. Influência das condições de apoio................................................ 56



3.5. Análise da coluna com a extremidade inferior livre.......................61

3.5.1. Influência da rigidez da fundação......................................... 61

3.5.1.1. Influência na carga crítica............................................ 61

3.5.1.2. Influência no modo crítico............................................ 64

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3.5.2. Influência da altura da fundação...........................................65

3.5.2.1. Influência na carga crítica............................................ 65

3.5.2.2. Influência no modo crítico............................................ 68

3.6. Comparação dos resultados com o método de Ritz..................... 69

3.7. Diagramas de momento fletor e esforço cortante......................... 72

4. Formulação do problema não-linear...................................................75

4.1. Equações diferenciais para a coluna com um trecho sem fundação

e outro sob fundação elástica não-linear........................................ 75

4.2. Equações diferenciais para a coluna com um trecho sem fundação

e outro sob fundação elástica linear.................................................... 78

4.3. Método de Ritz – caminho pós-crítico não-linear..........................79

5. Resultados da análise não-linear....................................................... 82

5.1. Resultados obtidos pelo método de Ritz para a coluna com

fundação elástica linear....................................................................... 83

5.1.1. Influência da rigidez da fundação......................................... 83

5.1.2. Influência da altura da fundação...........................................86

5.1.3. Influência das condições de contorno.................................. 87

5.2. Resultados obtidos pelo método de Ritz para a coluna com

fundação elástica não-linear................................................................ 89

5.3. Resultados obtidos pelo programa de elementos finitos.............. 91

5.3.1. Influência das imperfeições na coluna..................................92

5.4. Comparação dos resultados......................................................... 93

5.4.1. Comparação entre os caminhos pós-críticos....................... 94

5.4.2. Comparação entre as cargas críticas................................... 96

5.5. Diagramas de momento fletor e esforço cortante......................... 97

6. Conclusões.......................................................................................100

6.1. Sugestões................................................................................... 102

7. Referências Bibliográficas................................................................ 103

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8. Apêndices.........................................................................................105

8.1. Introdução .................................................................................. 105

8.2. Apêndice A..................................................................................105

8.3. Apêndice B..................................................................................111

8.4. Apêndice C..................................................................................113

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Lista de Figuras Figura 1.1 Representação do problema estudado. 21

Figura 2.1 Coluna deformada. 25

Figura 2.2 Elemento infinitesimal deformado. 26

Figura 2.3 Condições de contorno homogêneas para diferentes

tipos de apoio. 39

Figura 2.4 Função seno como aproximação para a função que

mede os deslocamentos transversais em uma

coluna bi-apoiada. 42

Figura 3.1 Problema padrão. 44

Figura 3.2 Variação de �cr em função de K. 46

Figura 3.3 Variação de �cr em função de K, no formato semi-

log. 47

Figura 3.4 Modos críticos da coluna para K=10 e K=100. 48

Figura 3.5 Modos críticos da coluna para K=500, K=1.000,

K=10.000 e K=100.000. 49

Figura 3.6 Variação de �cr em função de K, para cinco valores

distintos de h. 51

Figura 3.7 Variação de �cr em função de K, para cinco valores

distintos de h, no formato semi-log. 52

Figura 3.8 Variação de �cr em função de h, para três valores de

K. 54

Figura 3.9 Primeiro modo crítico da coluna para cinco valores

de h, em função de K. 55

Figura 3.10 Definição das condições de apoio. 56

Figura 3.11 Variação de �cr em função de K, para cinco

condições de apoio distintas. 58

Figura 3.12 Variação de �cr em função de K, para cinco

condições de apoio distintas, no formato semi-log. 59

Figura 3.13 Primeiro modo crítico da coluna para cinco

condições de apoio distintas. 60

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Figura 3.14 Condições de apoio para a coluna com a

extremidade inferior livre. 61

Figura 3.15 Variação de �cr em função de K, para a coluna com

quatro condições de apoio distintas. 63

Figura 3.16 Variação de �cr em função de K, para a coluna com

quatro condições de apoio distintas, no formato

semi-log. 63

Figura 3.17 Primeiro modo crítico da coluna com a extremidade

inferior livre e com quatro condições de apoio

distintas na extremidade superior. 64

Figura 3.18 Variação de �cr em função de h, para as quatro

condições de contorno da coluna com a

extremidade inferior livre e K=1.000. 66

Figura 3.19 Variação de �cr em função de h, para as quatro

condições de contorno da coluna com a

extremidade inferior livre e K=10.000. 67

Figura 3.20 Variação do primeiro modo crítico da coluna com a

extremidade inferior livre para quatro condições de

apoio distintas em função da variação na relação

h=H/L, para K=1.000. 68

Figura 3.21 Variação do primeiro modo crítico da coluna com a

extremidade inferior livre para quatro condições de

apoio distintas em função da variação na relação

h=H/L, para K=10.000. 69

Figura 3.22 Variação do erro cometido ao se utilizar cada função

de aproximação. 72

Figura 3.23 Diagramas de momento fletor linear e esforço

cortante linear. 74

Figura 5.1 Problema padrão. 83

Figura 5.2 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-

apoiada, com fundação até a metade de seu

comprimento, em função de diversos valores

adotados para K. 84

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Figura 5.3 Variação das cargas com as deflexões em colunas

com as mesmas condições citadas na Figura 5.2. 85


apoiada, com fundação elástica com K = 10.000, em

função de três relações distintas de H/L. 86



Figura 5.6 Condições de contorno. 87

Figura 5.7 Variação do caminho pós-crítico de uma coluna com

fundação até metade do seu comprimento e

K=10.000, em função de cinco condições de apoio

distintas. 88




apoiada, com fundação até metade do seu

comprimento e K = 1.000, em função de diversos

valores adotados para Knl. 90


apoiada, com fundação até metade do seu

comprimento e K = 10.000, em função de diversos

valores adotados para Knl. 91

Figura 5.11 Influência da imperfeição da coluna no caminho pós-

crítico. 93

Figura 5.12 Caminhos pós-críticos obtidos através dos dois

métodos. 95

Figura 5.13 Caminho pós-crítico. 98

Figura 5.14 Diagramas de momento fletor linear e esforço

cortante não-linear. 99

Figura 8.1 Situação analisada nos apêndices. 105

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Lista de Tabelas Tabela 2.1 Modelos de fundação elástica. 29

Tabela 2.2 Condições de continuidade, definidas pelas

coordenadas locais. 39

Tabela 3.1 Valores de �cr associados a valores de K. 45

Tabela 3.2 Valores de �cr associados a valores de K, para h=0. 50

Tabela 3.3 Valores de �cr associados a valores de K, para

h=0,25. 50

Tabela 3.4 Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,5. 50

Tabela 3.5 Valores de �cr associados a valores de K, para

h=0,75. 51

Tabela 3.6 Valores de �cr associados a valores de K, para h=1. 51

Tabela 3.7 Valores de �cr associados a crescentes valores de h,

para K=100. 53


para K=1.000. 53


para K=10.000. 54

Tabela 3.10 Posição dos deslocamentos transversais máximos

para a coluna com cinco relações distintas de h=H/L,

e K = 10.000. 56

Tabela 3.11 Valores de �cr associados a valores crescentes de K,

para a condição de apoio 1. 57







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Tabela 3.16 Valores de �cr associados a crescentes valores de K

(condição de apoio 6). 61








para K=1.000 e K=10.000 (condição de apoio 6). 65







Tabela 3.24 Valores de �cr para três valores distintos de K. 70

Tabela 3.25 Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se

utilizar funções de aproximação com diferentes

números de termos (K=10). 71



números de termos (K=1.000). 71



números de termos (K=10.000). 71

Tabela 5.1 Dados do problema analisado pelo método dos

elementos finitos. 92

Tabela 5.2 Comparação entre as cargas críticas. 96

Tabela 5.3 Pontos do caminho pós-crítico. 98

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Lista de Símbolos Romanos A área da seção transversal da coluna; matriz dos coeficientes de um

sistema de equações

Aj coeficientes da função de interpolação �j no método de Rayleigh-Ritz;

E módulo de elasticidade transversal (ou módulo de Young);

F força de reação exercida pelo solo;

H altura da fundação;

H1 coordenada local do topo do trecho 1 da coluna,

H2 coordenada local do topo do trecho 2 da coluna,

I momento de inércia da seção transversal;

K parâmetro adimensional de rigidez elástico-linear da fundação; Knl parâmetro adimensional de rigidez elástico-não-linear da fundação; L comprimento total da coluna;

M momento fletor;

N1..N5 valores numéricos presentes na equação de equilíbrio não-linear;

P carga axial atuante na coluna;

Paprox carga crítica calculada pelo Método de Ritz;

Pexato carga crítica calculada pela solução analítica;

P1 ponto intermediário da coluna quando esta se encontra em seu estado

inderformado;

P2 ponto intermediário da coluna quando esta se encontra sob a ação da

carga P;

Q esforço cortante; 1

0�R raio de curvatura da estrutura indeformada;

1�fR raio de curvatura do eixo deformado;

U energia interna de deformação; Uf energia de flexão; Ufd energia interna de deformação da fundação elástica; Um energia de membrana;

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V vetor das constantes do problema de autovalor;

Vnorm vetor normalizado das constantes do problema de autovalor;

Vp potencial das cargas externas; W trabalho realizado pelas forças não-conservativas; aij elemento da matriz A, localizado na linha i e na coluna j;

ampnorm amplitude normalizada de um autovetor;

ds comprimento infinitesimal do elemento curvo;

dx elemento linear na direção do eixo axial;

fn função de aproximação do método de Rayleigh-Ritz; h razão entre os comprimentos da fundação e da coluna;

i número imaginário;

k, k1, k2 constantes de rigidez elástico-linear da fundação;

k3 constante de rigidez elástico-não-linear da fundação;

m parâmetro adimensional para o momento fletor ;

mnl parâmetro adimensional para o momento fletor não-linear;

n número de termos usados na função de aproximação;

q parâmetro adimensional para o esforço cortante ;

qnl parâmetro adimensional para o esforço cortante não-linear;

u deslocamento axial; vj elemento do vetor V, localizado na posição j;

w deslocamento transversal;

xw, primeira derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, dxdw ;

xxw, segunda derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 2

2

dxwd ;

xxxw, terceira derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 3

3

dxwd ;

xxxxw, quarta derivada do deslocamento w em relação ao eixo x, ou, 4

4

dxwd ;

w1(x) função que mede o deslocamento transversal no trecho da coluna sem

fundação;

w2(x) função que mede o deslocamento transversal no trecho da coluna com

fundação;

wmáx deslocamento transversal máximo; x coordenada axial;

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Gregos �i raízes da equação característica;

�j função em seno constituinte da função de aproximação fn;

� parâmetro adimensional de carga; �cr parâmetro adimensional de carga crítica; �� energia potencial total; �aprox funcional de energia linear, aproximado pelo método de Rayleigh-Ritz;

�� carga utilizada para representar as imperfeições da coluna;

� ângulo formado entre o eixo x e o eixo da viga deformada;

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1. Introdução

A análise do comportamento de colunas enterradas em fundação elástica

tem atraído a atenção de pesquisadores por um longo período de tempo. Isso se

deve principalmente à sua grande aplicação prática em problemas reais do dia-a-

dia em Engenharia Estrutural. Pode-se citar, por exemplo, pilares esbeltos em

edifícios industriais, pontes e estruturas off-shore, estacas de fundação de

edifícios, dentre muitas outras aplicações nessa área.

A solução para problemas como o de uma coluna totalmente enterrada, ou

totalmente desenterrada, pode ser encontrada em livros clássicos de estabilidade,

como em Bazant e Cedolin (1991).

Andrade (1993) estudou o problema de estabilidade de colunas em contato

total ou parcial com uma base elástica, a partir de uma formulação baseada no

método de Ritz e uma solução modal baseada no método dos elementos finitos

hierárquicos, onde o deslocamento transversal da coluna é descrito por uma

combinação linear de polinômios de Hermite e polinômios de Legendre.

Mais recentemente, outros autores também desenvolveram trabalhos nesta

área, como Matsunaga (1999), Patel, et al. (1999), Nageswara Rao e

Venkateswara Rao (2003), entre outros.

Sampaio (2004) estudou o comportamento dinâmico de colunas semi-

enterradas, trabalho o qual partiu da mesma formulação desenvolvida nesta

Dissertação.

Um diferencial do problema estudado nesse trabalho com relação à

trabalhos anteriores desenvolvidos com base nesse assunto, deve-se o fato deste

trabalho envolver colunas parcialmente enterradas, assunto que ainda carece de

um estudo aprofundado, graças à sua complexidade matemática. Enquanto o

estudo de colunas totalmente enterradas ou totalmente desenterradas envolve um

sistema matemático matricial de dimensão quatro, o problema estudado nesse

trabalho (devido exatamente ao fato da coluna estar semi-enterrada) envolve um

sistema matemático matricial de dimensão oito, resultando assim em expressões

muito mais extensas e complexas.

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20

Todo projeto estrutural de elementos esbeltos deve satisfazer critérios bem

definidos que garantam a segurança da estrutura através da sua resistência aos

esforços atuantes e do impedimento de deformações e vibrações excessivas, que

possam ocasionar o comprometimento de sua estabilidade. Somente uma estrutura

projetada nesses moldes pode ser considerada segura e confiável.

Daí a importância de se conhecer o comportamento detalhado de colunas

com respeito à sua estabilidade, evitando-se, desta forma, que as mesmas sejam

submetidas a cargas e deformações que possam vir a comprometer a sua utilização

como elemento de sustentação.

1.1. Objetivo

O presente trabalho tem por objetivo estudar a estabilidade de colunas

esbeltas parcialmente enterradas, a partir da análise dos resultados obtidos para

suas cargas críticas, modos de flambagem, caminhos pós-críticos e diagramas de

esforço cortante e momento fletor.

O problema em questão constitui-se em uma coluna, que possui um trecho

de seu comprimento enterrado sob fundação elástica, sujeita à carregamento axial

de compressão em ambas as extremidades, conforme ilustrado na Figura 1.1.

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21

Figura 1.1 – Representação do problema estudado.

Na Figura 1.1, L é o comprimento total da coluna, H, a altura da fundação,

P, a carga axial de compressão aplicada no topo da coluna, F, a força de reação

exercida pela fundação e k e 3k , constantes de rigidez linear e não-linear da

fundação, respectivamente.

A coluna é subdividida em dois trechos. O primeiro, superior, sem

fundação, denominado trecho 1, e o segundo, trecho 2.

São definidas então as coordenadas globais e locais do sistema: as

coordenadas globais estão representadas nos pontos indicados, no lado direito da

coluna, e são utilizadas na formulação do problema no Capítulo 2 (itens 2.1 à 2.6).

Por sua vez, as coordenadas locais, representadas no lado esquerdo da

coluna, definem os limites de cada trecho, sendo utilizadas na formulação do

problema nos Capítulos 2 (item 2.7) e 4.

A fim de representar as condições de contorno do problema, foram

desenhados na Figura 1.1 apoios de primeiro e segundo gêneros. Entretanto, ao

longo deste trabalho, a coluna será analisada para diferentes tipos de apoios.

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22

Da mesma forma, a altura da fundação e o seu comportamento também

serão variados de modo a se obterem resultados para diversas situações.

A coluna é descrita pela formulação clássica de Navier e para a fundação

adota-se uma formulação geral que permite representar, através de uma escolha

criteriosa dos parâmetros de rigidez da fundação, os modelos de fundação elástica

mais encontrados na literatura.

O problema estrutural é analisado para duas situações. Na primeira é

adotado um comportamento elástico-linear para a fundação, no qual considera-se

que a reação exercida pelo solo é proporcional às deflexões da coluna, segundo o

modelo linear de Winkler. Já na segunda situação, a fundação é analisada por um

modelo elástico-não-linear, que considera que ocorre perda de rigidez do solo à

medida que se aumentam as forças exercidas sobre ele (Greimann, et al., 1987).

Todo o problema estrutural foi modelado com o auxílio de recursos

computacionais através do software MAPLE 7.0, de onde se extraíram os

resultados que serão apresentados ao longo dessa Dissertação.

1.2. Organização do Texto

Este trabalho foi dividido em oito capítulos, os quais são brevemente

descritos a seguir.

No presente capítulo é feita a apresentação do tema dessa Dissertação, dos

seus objetivos e dos fatores que motivaram a execução desse trabalho.

No Capítulo 2 é apresentada a formulação do problema linear, com a

dedução dos funcionais de energia e das equações diferencias, objetivando-se a

determinação das cargas críticas e modos críticos do problema. São apresentadas

também as soluções analíticas e aproximada, sendo, neste último caso, utilizado o

Método de Ritz.

No Capítulo 3 são apresentados os resultados das análises do problema

linear, incluindo-se variações no problema, com alterações na altura e rigidez da

fundação e condições de apoio da coluna.

No Capítulo 4 é formulado o problema não-linear a partir dos seus

funcionais de energia, objetivando-se analisar o comportamento não-linear da

coluna através do seu caminho pós-crítico.

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23

No Capítulo 5 são apresentados os resultados das análises do problema não-

linear, incluindo-se, novamente, variações no problema. Também são

apresentados os resultados obtidos através da utilização de um programa

computacional baseado no método dos elementos finitos, permitindo, assim, que

possam ser feitas comparações entre os resultados.

No Capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões baseadas nos

resultados obtidos, bem como algumas sugestões de assuntos que poderão vir a

ser abordados em trabalhos futuros.

No Capítulo 7 é apresentada a bibliografia consultada no desenvolvimento

deste trabalho.

Por fim, no Capítulo 8 são apresentados os Apêndices A, B e C, com alguns

dos programas desenvolvidos com o software de álgebra simbólica MAPLE e dos

quais se obtiveram os resultados apresentados nesse trabalho.

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2. Formulação do Problema

Neste capítulo é apresentada a formulação utilizada para a obtenção do

funcional de energia e das equações diferenciais do problema.

Partindo do funcional de energia, e utilizando as ferramentas do Cálculo

Variacional, chegam-se às equações diferencias, a partir das quais podem ser

obtidas as cargas críticas e os modos críticos.

Em seguida são apresentados os passos para a resolução do problema linear,

bem como suas soluções analítica e aproximada, sendo esta última obtida através

do Método de Ritz.

Nos itens 2.1 à 2.6 são utilizadas coordenadas globais para a coluna, e no

item 2.7, coordenadas locais, conforme ilustrado na Figura 1.1.

2.1. Funcional de Energia Não-Linear da Coluna

A energia potencial total de uma estrutura, denominada �, é dada pela soma

da energia interna de deformação (U), com o potencial das cargas externas (Vp),

ou seja:

pVU �� (2.1)

Na expressão anterior, U refere-se ao somatório da energia de membrana

gerada pela deformação axial (Um) e da energia de flexão gerada pelo

alongamento das fibras tracionadas e o encurtamento das fibras comprimidas (Uf),

podendo ser expressa, portanto, como:

dxEIdxEAUUULL

fm2

0

2

0 21

21

�� (2.2)

onde E é o módulo de elasticidade transversal da coluna (ou módulo de Young), I,

o momento de inércia da sua seção transversal, A, a área desta seção

transversal, � , a mudança de curvatura e �, a deformação específica da linha

neutra.

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25

Seguindo procedimento comumente adotado na literatura na análise de

colunas esbeltas (Dym e Shames, 1973), despreza-se a parcela relativa à

deformação axial, ficando-se apenas com a parcela relativa à energia de flexão, ou

seja:

dxEIUL

2

0 21

�� (2.3)

O trabalho realizado pelo sistema (W) é dado pelo produto da carga axial, P,

pelo encurtamento gerado na extremidade da coluna, ��conforme mostrado na

Figura 2.1. Logo, tem-se a equação:

�� PW (2.4)

Figura 2.1: Coluna deformada.

O sinal positivo do trabalho é explicado pelo fato da carga P e do

deslocamento axial �� estarem em um mesmo sentido.

Já o potencial das cargas externas é igual ao trabalho realizado, com sinal

invertido, ou seja,

�� PWVp (2.5)

Logo, substituindo-se as expressões (2.3) e (2.5) em (2.1), chega-se à

seguinte equação para� :

�� PdxEIL

2

0 21

�� (2.6)

Considerando-se a estrutura da Figura 2.1, tem-se que o deslocamento de

um ponto P1 para um ponto P2 pode ser descrito por um vetor de deslocamentos

que é decomposto em duas componentes, um deslocamento axial, u, e um

deslocamento transversal, w. Admitindo-se a hipótese da linha neutra da estrutura

ser inextensível, tem-se que o comprimento L da estrutura indeformada permanece

DBD


26

inalterado após a sua deformação. Dessa forma, pode-se dizer que o elemento

linear dx é igual ao elemento curvo ds, conforme ilustrado na Figura 2.2.

Figura 2.2: Elemento infinitesimal deformado.

Sendo assim, pode-se dizer que o elemento diferencial da Figura 2.2.a é

semelhante ao elemento diferencial da Figura 2.2.b, permitindo-se escrever as

seguintes relações entre estes elementos:

xwdxdw

dsdw ,sen �� (2.7)

),(sen 1xw�

�� (2.8)

onde � é o ângulo formado entre o eixo axial e o eixo da estrutura deformada.

A curvatura do eixo deformado é dada por:

2/121

),1(,

),,(sen,1

x

xxxxx

f ww

wR �

��

� (2.9)

onde fR/1 é o raio de curvatura do eixo deformado.

A curvatura da estrutura indeformada é:

011

0

�

�

�

R (2.10)

sendo 0/1 R o raio de curvatura do eixo indeformado.

A variação da curvatura é dada pela diferença entre a curvatura do eixo

deformado e a curvatura da estrutura indeformada, ou seja:

2/122/120 ),1(

,0

),1(,11

x

xx

x

xx

f ww

ww

RR �

��

�

�� (2.11)

Substituindo a expressão (2.11) em (2.3), tem-se:

dxw

wEIU

x

xxL

��

�

�

��

�

�

�� 2

2

0 ,1,

21

(2.12)

Expandindo a Equação 2.11 em séries de Taylor até a segunda ordem,

chega-se à aproximação:

DBD


27

��

��

�� 2,

211, xxx ww� (2.13)

Admitindo que as grandezas E e I são constantes ao longo da estrutura, e

substituindo (2.13) em (2.3), pode-se reescrever a energia interna de deformação

U da seguinte forma:

dxwwwwwEIUL

xxxxxxxx� ��

��

��

0

42222 ,,41,,,

21 (2.14)

Em seu trabalho, Andrade (1993) mostra que esta expressão é suficiente

para a descrição precisa do caminho pós-crítico da coluna, inclusive nas regiões

onde ocorrem grandes deslocamentos transversais. Dessa forma, a expressão

(2.14) é adotada para a energia interna de deformação.

Buscando-se descrever o potencial das cargas externas a partir dessas

mesmas grandezas, prossegue-se com as constatações a seguir.

O parâmetro �, relativo ao encurtamento da coluna, pode ser escrito em

termos do vetor de deslocamentos. Logo, a partir da Figura 2.2.b e com a

utilização do Teorema de Pitágoras, tem-se: 222 )()()( dwdudxds �� (2.15)

Dividindo todos os termos da Equação 2.15 por (dx)2, obtém-se 222

��

��

��

�

��

� ��

�

��

�

dxdw

dxdudx

dxds (2.16)

Admitindo-se que ds = dx, e derivando a Equação 2.16 com relação a x,

tem-se que: 22 ,),1(1 xx wu �� (2.17)

Desenvolvendo-se então a expressão anterior pode-se reescrevê-la na forma:

2/12 ),1(1 xwdxdu

�� (2.18)

Passando agora dx para o lado direito da equação e observando que

��L

du0

(2.19)

chega-se à:

� �dxwduL L

x� � ��

0 0

2/12 ),1(1 (2.20)

DBD


28

Substituindo (2.20) em (2.5), pode-se escrever:

� �dxwPVL

xp � ��

0

2/12 ),1(1 (2.21)

A partir da Equação 2.21, após expandir-se o termo 2/12 ),1( xw� até a quarta

ordem em séries de Taylor, chega-se à expressão final para o potencial das cargas

externas Vp, ou seja:

dxwwPVL

xxp � ��

��

��

0

42 ,81,

21 (2.22)

Finalmente, de posse das equações (2.14) e (2.22) referentes,

respectivamente, à energia interna de deformação e ao potencial das cargas

externas, pode-se escrever o funcional completo de energia potencial total da

coluna. Tem-se, portanto,

� ��

��

��

�

��

��

L

xxxxxxxxxx dxwwPdxwwwwwEI0

4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

� (2.23)

2.2. Contribuição da Fundação Elástica

Diversos modelos podem ser utilizados a fim de descrever o comportamento

da fundação.

Segundo Coskun (1999), o modelo de fundação elástica de Winkler

caracteriza-se como uma distribuição infinita, porém contínua, de molas lineares,

no qual a fundação aplica somente uma única reação na direção normal à coluna e

que é proporcional a deflexão desta. Dessa forma, a resistência da fundação pode

ser expressa através de um único parâmetro de rigidez, denominado por k.

Em função de sua simplicidade, combinado com um histórico de bons

resultados obtidos em trabalhos anteriores, o modelo de Winkler é o mais usado

na prática e será o modelo adotado para descrever o comportamento da fundação

também neste trabalho.

Ainda sobre o modelo de Winkler, sabe-se que sua maior limitação é o fato

deste modelo não considerar a existência de interações entre as molas. Dessa

forma, outros modelos encontrados na literatura utilizam mais de um parâmetro

DBD


29

para descrever o comportamento da fundação elástica. São os casos dos modelos

propostos por Hetényi (1946), Pasternack (1954), Reisenner (1958), dentre outros.

Com base nesses modelos, a força exercida pela fundação sobre a coluna, F,

pode ser descrita pela equação geral a seguir: 3

321 2,, wkwkwkkwF xxxxx �� (2.24)

onde 1k e 2k são constantes lineares de rigidez da fundação e w , xw, , xxw, e

xxxw, , funções correspondentes ao deslocamento transversal ao longo da coluna e

sua primeira, segunda e terceiras derivadas, respectivamente.

Nessa mesma expressão, k3 corresponde ao coeficiente de rigidez do termo

não-linear cúbico. O sinal positivo neste termo corresponde a uma fundação com

ganho de rigidez (ou hardening foundation), da mesma forma que o sinal negativo

neste mesmo termo está relacionado a uma fundação com perda de rigidez (ou

softening foundation).

No Capítulo 4, quando se adotará um comportamento não-linear para a

fundação elástica, se utilizará o modelo de Winkler Não-Linear com perda de

rigidez. Esse modelo foi escolhido baseado na suposição de que a maioria dos

solos apresenta esse tipo de comportamento à medida que se aumentam as forças

exercidas sobre eles.

A Tabela 2.1 apresenta as constantes consideradas nos modelos citados.

Modelos Constantes da fundação

Winkler (linear)

0,,

0

321 �

�

kkkk

Winkler Não-Linear

0,0

0

21

3

�

�

�

kkkk

Hetényi 0,

0,

31

2

�

�

kkkk

Pasternack 0,

0,

32

1

�

�

kkkk

Reissner 0,

0,

32

1

�

�

kkkk

Tabela 2.1: Modelos de fundação elástica.

DBD


30

A energia interna de deformação da fundação elástica, segundo o modelo de

Winkler linear, é dada por:

dxkwUH

fd2

0 21�� (2.25)

e segundo o modelo de Winkler Não-Linear com perda de rigidez, por:

dxwkdxkwUHH

fd4

30

2

0 21

21

�� (2.26)

2.3. Funcional Completo de Energia Não-Linear

O funcional completo de energia não-linear, expresso a seguir é obtido a

partir da soma das equações (2.23) com (2.26), ou seja,

� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

L

xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI0

4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

�

dxwkdxkwHH

43

0

2

0 21

21

�� (2.27)

No caso de se considerar a fundação elástica com comportamento linear, o

funcional de energia não-linear passa a ser dado por:

� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

L


4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

�

dxkwH

2

0 21��

(2.28)

2.4. Funcional de Energia Linear

O funcional de energia linear é obtido a partir da consideração de que a

coluna sofre pequenas rotações após a sua deformação. Com isso, tem-se que o

ângulo � , visto na Figura 2.2, é muito pequeno e, dessa forma, pode-se fazer a

aproximação a seguir:

1),1( 2/12�� xw (2.29)

Em conseqüência dessa aproximação, a energia interna de deformação

(2.12) pode ser escrita como:

DBD


31

dxEIwU xx

L2

0

,21�� (2.30)

e o potencial das cargas externas, como:

dxPwV x

L

p2

0

,21

�� (2.31)

Logo, o funcional de energia linear, usado apenas para pequenas rotações,

pode ser descrito pela equação

� � � ��

��

��

L

xxx dxwPwEI0

22 ,21,

21

� (2.32)

2.5. Funcional Completo de Energia Linear

Incluindo-se os termos relativos à fundação (obtidos em 2.25), o funcional

completo de energia linear adquire a forma:

� � � � dxkwdxwPwEIHL

xxx2

00

22

21,

21,

21

��

��

�� (2.33)

2.6. Equações Diferenciais da Coluna

Neste item faz-se a dedução das equações diferenciais da coluna para os

trechos com e sem fundação, a partir dos funcionais de energia obtidos em (2.33)

e (2.32), respectivamente.

Ambas as expressões são da forma:

dxwwwxf xx

L

x ),,,,(0� (2.34)

Para se determinar estas equações diferenciais são aplicadas as ferramentas

do Cálculo Variacional. Vários autores já resolveram este problema, como, por

exemplo, Chajes (1993) e Dym e Shames (1973).

Será apresentado a seguir, e de forma concisa, como se obter as equações

diferenciais a partir dos funcionais de energia.

Para um funcional como o da expressão (2.34), a Equação de Euler que

representa a equação diferencial do problema, é do tipo:

DBD


32

0)()( ´´2

2

´ �� www fdxdf

dxdf (2.35)

onde:

f: função que corresponde ao integrando do funcional de energia linear;

fw : derivada da função f com relação à w(x);

fw´: derivada da função f com relação à w´(x) e

fw´´: derivada da função f com relação à w´´(x).

Para o trecho da coluna sem fundação, a função f é aquela contida no

funcional da expressão (2.32), ou seja,

� � � ��

��

�� 22 ,

21,

21

xxx wPwEIf (2.36)

Calculando-se os termos fw, fw´ e fw´´, obtém-se:

0�wf (2.37)

��

��

��

� dxxdwPf w)( (2.38)

��

��

��

�� 2

2 )(dx

xwdEIf w (2.39)

os quais, quando substituídos em (2.35), fornecem:

0)()(0 2

2

2

2

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

dxxwdEI

dxd

dxxdwP

dxd (2.40)

Consequentemente,

0)()(2

2

4

4

��

��

��

�

��

�

dxxwd

EIP

dxxwd (2.41)

A Equação (2.41) corresponde ao trecho sem fundação da coluna, o qual se

denominará daqui por diante, trecho 1, e a função w(x) correspondente a este

trecho, w1(x).

Logo, reescrevendo a expressão (2.41) em função de w1(x), chega-se à:

0)()(

21

2

41

4

��

��

��

�

��

�

dxxwd

EIP

dxxwd

(2.42)

Seguindo o mesmo procedimento e partindo-se desta vez da expressão

(2.33), obtém-se a equação diferencial para o trecho sem fundação, ou trecho 2,

expressa a seguir.

DBD


33

0)()()(

222

2

42

4

��

��

��

�

��

�xw

EIk

dxxwd

EIP

dxxwd

(2.43)

onde w2(x) corresponde à função que define os deslocamentos transversais ao

longo do trecho 2 da coluna.

2.7. Solução Analítica do Problema de Autovalor

Neste item, objetiva-se, a partir das equações diferencias da coluna, em seus

trechos com e sem fundação, juntamente com as condições de contorno e de

continuidade do problema, encontrar a sua solução analítica.

Por se tratar de um problema de valor de contorno, sua solução analítica

corresponde a uma família de autovalores e autofunções que são, respectivamente,

as cargas de bifurcação e os respectivos modos de bifurcação, também chamados

de cargas críticas e modos críticos.

A introdução de parâmetros adimensionais, mostrados a seguir, é feita com

o objetivo de facilitar o desenvolvimento do problema, permitindo assim uma

maior eficiência na análise paramétrica.

De forma a considerar a coluna com comprimento total igual a um,

normalizam-se a coordenada axial, x, e os deslocamentos transversais, w,

dividindo-os pelo comprimento total da coluna, L.

Lxx � (2.44)

Lww � (2.45)

São também introduzidos os parâmetros adimensionais:

21 LEIP

�� (2.46)

4LEIkK � (2.47)

63 LEIkK nl � (2.48)

onde � , K e Knl correspondem, respectivamente, ao parâmetro de carga e aos

parâmetros de rigidez da fundação elástica linear e não-linear, respectivamente.

DBD


34

Assim, pode-se reescrever as equações (2.42) e (2.43) em função das novas

variáveis, isto é, a equação diferencial parametrizada para o trecho sem fundação

é dada por:

0)()(

21

222

41

4

��

��

��

�

��

�

dxxwd

dxxwd

�� (2.49)

e a equação diferencial parametrizada para o trecho com fundação:

0)()()(

222

222

42

4

��

��

��

�

��

�xKw

dxxwd

dxxwd

�� (2.50)

Como mostrado por Boyce e Di Prima (1998), a solução geral de uma

equação diferencial linear de quarta ordem, com coeficientes constantes é uma

expressão da seguinte forma:

� � xn

iii

ieCxw �

��

�

1

(2.51)

onde Ci são as constantes da solução geral, e �i as raízes da equação característica.

A solução geral de uma equação diferencial linear com coeficientes

constantes, terá um número de constantes igual ao número de sua ordem. Logo,

como as equações diferenciais deste problema são de quarta ordem, serão quatro

as constantes Ci envolvidas em cada uma destas equações.

Como a coluna está dividida em dois trechos (trecho 1 – sem fundação e

trecho 2 – com fundação), para facilitar o desenvolvimento do problema, cada

trecho terá a sua própria solução geral, ou seja,

Trecho sem fundação:

� � xxxx eCeCeCeCxw 432143211

��

�� (2.52)

Trecho com fundação:

� � xxxx eCeCeCeCxw 876587652

��

�� (2.53)

Com o objetivo de se escrever as equações características dos dois trechos

coluna, tem-se:

x44

n4

eCdx

)x(wd�

�� ; x22

n2

eCdx

)x(wd�

�� (2.54)

onde 1�n (trecho sem fundação) e 2�n (trecho com fundação).

Substituindo as expressões escritas em (2.54) na equação diferencial (2.49),

correspondente ao trecho sem fundação, chega-se à sua equação característica,

DBD


35

02224�� (2.55)

ou seja,

0)( 2222�� (2.56)

Assim, pode-se facilmente encontrar as seguintes soluções para �:

021 �� (2.57)

i�� 22

3 (2.58)

i�� 22

4 (2.59)

onde 1��i , número imaginário.

Substituindo as expressões (2.57), (2.58) e (2.59) na expressão (2.52), e

multiplicando-se a parcela correspondente a raiz repetida 2� por x, chega-se à

solução geral da equação diferencial do trecho da coluna sem fundação:

� � ixix eCeCxCCxw ��

�� 43211 (2.60)

ou, em termos de funções trigonométricas:

� � )cos()sen( 43211 xCxCxCCxw �� (2.61)

Da mesma forma, para o trecho com fundação, segue-se o mesmo

desenvolvimento. Nesse caso, a equação característica é:

02224�� K�� (2.62)

a qual possui as seguintes soluções para �:

K4222/1 44225 �� (2.63)

K4222/1 44226 �� (2.64)

K4222/1 44227 �� (2.65)

K4222/1 44228 �� (2.66)

Substituindo-se as raízes (2.63) à (2.66) na Equação 2.53, chega-se à

solução geral da equação diferencial para o trecho com fundação, expressa a

seguir.

� �

xKxK

xKxK

eCeC

eCeCxw)4222/1(

8)4222/1(

7

)4222/1(6

)4222/1(52

44224422

44224422

��

��

�

��

��

��

(2.67)

Fazendo uma análise mais detalhada dessas raízes, observa-se que,

dependendo da relação entre os valores de � e K, as mesmas podem vir a ser reais

DBD


36

ou imaginárias e que podem ser escritas soluções simplificadas para cada um

desses casos, conforme mostrado a seguir.

i�� 221

5 �

i�� 221

6 �

i�� 221

7 �� Caso 1)

4

44��

�K

i�� 221

8 ��

Nesse caso obtêm-se quatro raízes imaginárias iguais e de mesmo módulo,

sendo duas delas com sinal positivo e outras duas com sinal negativo. A solução

geral da equação diferencial é:

� � xxCxCxxCxCxw ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

22cos

22cos

22sen

22sen 87652

�� (2.68)

05 ��

i�� 6

07 �� Caso 2) 0�K

i�� 8

As raízes obtidas no caso 2 são iguais àquelas encontradas no problema sem

fundação e a solução geral da equação diferencial volta à da Equação (2.61).

DBD


37

iK42221 4422

5 ��

iK42221 4422

6 ��

iK42221 4422

7 �� Caso 3)

4

44��

�K

iK42221 4422

8 ��

No caso 3 as raízes são dadas por dois pares imaginários, e a solução geral

da equação diferencial é:

� �

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

��

��

xKCxKC

xKCxKCxw

42221cos422

21cos

42221sen422

21sen

44228

44227

44226

442252

��

��

(2.69)

iK 44225 422

21

��

iK 44226 422

21

��

iK 44227 422

21

�� Caso 4)

4

44��

�K

iK 44228 422

21

��

Este caso apresenta-se como o mais complexo, e após simplificar as

expressões das raízes �5, �6, �7 e �8, pode-se reescrevê-las da seguinte forma:

��

��

��

2sen

2cos

22

5��

�� irr

��

��

��

2sen

2cos

22

6��

�� irr

��

��

��

2sen

2cos

22

7��

�� irr

��

��

��

2sen

2cos

22

8��

�� irr

onde:

DBD


38

22

2��

Kr �

��

��

�� 14arctan 44

��

K

E, portanto, para este caso, a solução geral da equação diferencial fica

sendo:

� �

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

xrCxrCe

xrCxrCexw

xr

xr

2sen

22sen

2sen

22cos

2sen

22sen

2sen

22cos

872

cos22

652

cos22

2

��

��

��

��

��

��

(2.70)

Conforme dito anteriormente, as soluções das equações diferenciais para

cada trecho da coluna são dadas em função de quatro constantes. Como a coluna

foi dividida em dois trechos, o número total de constantes envolvidas é igual a

oito.

A fim de se obter os valores numéricos destas oito constantes, é preciso que

se tenham também oito equações, as quais são obtidas da seguinte forma: quatro

delas provêm das condições de contorno, ou seja, dos apoios nas duas

extremidades da coluna, e as outras quatro das condições de continuidade,

definidas na interface física entre os trechos com e sem fundação.

Com relação às condições de contorno, cada apoio fornece duas condições

de contorno homogêneas que podem ser em função dos deslocamentos

transversais, rotações, momentos ou cortantes, dependendo do tipo de apoio. A

Figura 2.3 mostra as condições de contorno homogêneas para diferentes condições

de apoio da coluna.

DBD


39

Figura 2.3: Condições de contorno homogêneas para diferentes tipos de apoio.

Com relação às condições de continuidade, sabe-se que elas são definidas

em um ponto intermediário localizado exatamente na interface física que

subdivide a coluna em seus dois trechos.

Para que se garanta a continuidade da coluna como um todo, é necessário

que, neste ponto, se imponham as relações estabelecidas na Tabela 2.2:

)()0( 221 Hxwxw ��

)´()0´( 221 Hxwxw ��

)´´()0´´( 221 Hxwxw ��

)´´´()0´´´( 221 Hxwxw ��

Tabela 2.2: Condições de continuidade, definidas pelas coordenadas locais. Após definidas as oito expressões a partir das condições de contorno e de

continuidade, tem-se então um sistema homogêneo composto por oito equações e

oito incógnitas que pode ser escrito na forma matricial:

0�Ac (2.71)

ou seja,

(2.72)

onde A é denominada matriz dos coeficientes e c, vetor das constantes. Na matriz

A, cada elemento aij corresponde ao coeficiente que multiplica a constante Cj na

equação i.

DBD


40

A solução trivial desse sistema fornece:

087654321 �� CCCCCCCC (2.73)

que corresponde à coluna na sua posição vertical, sem deformações transversais.

Para que um sistema de equações homogêneo tenha solução não-trivial é

necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero. Ao se

igualar o determinante da matriz A à zero, obtém-se uma equação em função do

parâmetro de carga �, denominada equação característica do problema de

autovalor, isto é:

0det �A (2.74)

As raízes dessa equação são as cargas críticas da coluna e a melhor forma de

se obter esses valores é através da análise do gráfico da equação característica.

Nesse gráfico, no eixo das ordenadas são plotados os valores do determinante, e,

no eixo das abscissas, os valores do parâmetro de carga �. As cargas críticas

correspondem aos valores de � quando a curva corta o eixo das abscissas.

Para a obtenção precisa desses pontos é importante fazer uma análise

numérica cuidadosa nos intervalos próximos aos pontos onde a curva muda de

sinal. Em uma simples rotina computacional, define-se um pequeno intervalo no

qual o seu limite inferior é um valor de � antes da mudança de sinal da curva, e o

limite superior, um ponto posterior a esta mudança. Calcula-se então o valor do

determinante para cada um dos pontos deste intervalo, repetindo-se esse mesmo

procedimento até que se obtenha um valor do determinante na ordem de grandeza

de 10-5, que pode ser considerada uma boa aproximação da solução exata.

Em todo problema de estabilidade, a estrutura analisada possui diversas

cargas críticas, sendo que aquela com o menor valor numérico dentre elas é

denominada primeira carga crítica ou carga de flambagem. Fisicamente

analisando, essa carga representa um valor numérico para o qual a estrutura perde

sua estabilidade.

As cargas críticas são os autovalores da matriz A, assim como os seus

autovetores estão associados aos modos críticos (também denominados modos de

flambagem). A cada autovalor está associado um autovetor, ou seja, a cada carga

crítica está associado um certo modo de flambagem da coluna.

Para se determinar os autovetores, arbitra-se uma das constantes

multiplicativas e obtém-se a solução do sistema (2.71).

DBD


41

Após se obter um autovetor, o mesmo deve ser normalizado. Isto é feito,

dividindo-se cada um de seus elementos pela norma do vetor, ou seja,

227

26

25

24

23

22

21 1�� vvvvvvvampnorm (2.75)

normnorm amp

V 1� (2.76)

onde ampnorm é a amplitude normalizada do autovetor V, vj são os elementos deste

autovetor, antes da sua normalização e Vnorm é o autovetor normalizado.

Em seguida, substituem-se os elementos do autovetor normalizado nas

soluções analíticas (2.61) e (2.67), encontrando-se, portanto, o modo crítico

correspondente (autofunção).

Finalmente, a fim de se obterem gráficos nos quais as amplitudes máximas

dos modos críticos sejam sempre unitárias, o deslocamento transversal calculado

em cada ponto desses gráficos foi dividido pelo valor máximo dos deslocamentos

ao longo de todo o comprimento da coluna. Dessa forma, todos os gráficos são

uniformizados, facilitando, assim, a observação dos resultados.

2.8. Solução Aproximada de Rayleigh-Ritz

A fim de se analisar a qualidade do programa desenvolvido, decidiu-se

determinar também a sua solução aproximada, a qual foi baseada no Método de

Rayleigh-Ritz (ou somente Método de Ritz). Esse método foi escolhido, pois se

apresenta como uma boa ferramenta na análise linear quando deseja-se estudar

sistemas que apresentem equações e condições de contorno complexas.

Através do método de Ritz substitui-se a solução analítica por uma função

de aproximação, fn, no funcional de energia da coluna. Essa função de

aproximação é usualmente expressa na forma de séries, de acordo com a

expressão,

j

n

jjn Af ��

�

�

1

(2.77)

onde Aj são constantes que multiplicam as funções �j adotadas, e n é o número de

termos usado na série.

A quantidade de termos empregados nesta função é determinante na

precisão da solução do problema. Ou seja, quanto mais termos forem utilizados na

DBD


42

função de aproximação adotada, mais próxima da solução exata será a solução

pelo Método de Ritz.

Por exemplo, para o caso particular de uma coluna bi-apoiada, suas

condições de contorno são definidas por:

0)0( ��xw ; 0)0´´( ��xw ; 0)( �� Lxw ; 0)0´´( ��xw (2.78)

A Figura 2.4 mostra que a função seno atende as condições de contorno

mencionadas anteriormente, logo sua adoção neste problema particular é, sem

dúvida, uma boa aproximação para a solução do mesmo.

Figura 2.4: Função seno como aproximação para a função que mede os deslocamentos

transversais em uma coluna bi-apoiada.

Definida a função de aproximação �j com o seu respectivo número de

termos, substitui-se a mesma no funcional de energia linear, definido em (2.33).

Integrando-se esse funcional ao longo do comprimento da coluna, obtém-se uma

função, �aprox, das amplitudes modais Aj.

Empregando-se então o princípio da energia potencial estacionária obtêm-se

as n equações de equilíbrio, definidas pelas equações:

0��

�

j

aprox

A�

j = 1 , n (2.79)

Assim, chega-se a um sistema com n equações e n incógnitas (Aj), cuja

resolução segue o mesmo raciocínio adotado no problema para a determinação das

cargas críticas a partir da solução analítica (item 2.7). Ou seja, monta-se a matriz

dos coeficientes que multiplicam as constantes Aj nas suas respectivas equações,

calcula-se o determinante desta matriz e iguala-o à zero. Em seguida, constrói-se o

y =

sen(

x)

L

DBD


43

gráfico determinante x �, onde os valores de � nos quais a curva corta o eixo das

abscissas representam as cargas críticas do problema (os seus autovalores).

DBD


3. Resultados da Análise Linear

Neste capítulo são apresentados todos os resultados das análises feitas para

o problema linear, incluindo variações na rigidez e na altura da fundação, e

também variações nas condições de apoio da coluna. Para todos esses casos é

verificada a influência destes parâmetros nas cargas críticas e modos críticos da

coluna.

No final do capítulo é feita ainda uma análise mais detalhada do problema

particular da coluna bi-apoiada, onde os resultados obtidos através da solução

analítica são comparados com aqueles obtidos pelo Método de Ritz para diferentes

números de termos utilizados na solução aproximada.

3.1. Nota sobre a Apresentação do Problema e dos Resultados

É importante mencionar que o problema analisado nesse capítulo refere-se à

coluna bi-apoiada, com fundação até a metade do seu comprimento, conforme

mostrado na Figura 3.1. No entanto, o problema se modificará na medida em que

forem sendo feitas alterações nas suas condições de apoio e altura e rigidez da

fundação, a partir do item 3.2.

Figura 3.1: Problema padrão.

DBD


45

Quanto aos resultados apresentados nesse capítulo, os mesmos serão dados

em função dos parâmetros �cr e K, relacionados à carga crítica e à rigidez da

fundação elástica, respectivamente.

Entretanto, caso deseje-se obtê-los em função de Pcr e k, pode-se facilmente

alternar entre esses parâmetros, utilizando-se as relações:

21 LEIPcr

cr�

� � (3.1)

4LEIkK � (3.2)

3.2. Influência da Rigidez da Fundação

3.2.1. Influência na Carga Crítica

Para o caso estudado neste item, foram calculados os valores das primeiras

cargas críticas da coluna à medida que se atribuíam valores distintos para a rigidez

da fundação elástica. A Tabela 3.1 apresenta estes resultados, calculados para K e

�cr.

K �cr 0,00 1,000,01 1,000,10 1,001,00 1,00

10,00 1,0320,00 1,0540,00 1,1060,00 1,1480,00 1,18

100,00 1,22500,00 1,70

1.000,00 1,865.000,00 2,10

10.000,00 2,2020.000,00 2,2950.000,00 2,40

100.000,00 2,46Tabela 3.1: Valores de �cr associados a valores de K.

DBD


46

Essa mesma análise também foi feita com os parâmetros de carga crítica e

rigidez da fundação elástica, expressos em função de Pcr e k. Isso foi feito de duas

maneiras: a primeira, através da modificação do programa com as devidas

alterações nas equações diferenciais do problema; e a segunda, através da

transformação direta pelas relações (3.1) e (3.2).

Comparando-se os resultados obtidos das duas maneiras, notou-se o

aparecimento de uma pequena diferença numérica entre os resultados, que variava

entre a ordem de grandeza de 10-11 a 10-5. Essa diferença não pode ser considerada

um erro, visto que o processo de cálculo envolve uma seqüência de operações

complexas, gerando assim essa diferença mínima entre os resultados obtidos das

duas maneiras.

Os resultados da Tabela 3.1 estão representados graficamente nas Figuras

(3.2) e (3.3), mostradas a seguir:

0 20000 40000 60000 80000 100000

K

0

0.5

1

1.5

2

2.5

�cr

Coluna bi-apoiada; h=0,5

K=100

Figura 3.2: Variação de �cr em função de K.

DBD


47

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000

K (log)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

�cr

Coluna bi-apoiada; h=0,5

Figura 3.3: Variação de �cr em função de K, no formato semi-log.

Na Figura 3.2 percebe-se a influência da rigidez da fundação na carga crítica

associada. Conforme esperado, quando se aumenta a rigidez da fundação, maiores

valores são obtidos para a carga crítica.

Fisicamente, isso é perfeitamente coerente já que, quanto mais rígido for o

meio no qual a coluna está apoiada, maior será a sua capacidade de resistir às

cargas atuantes.

Dispondo os valores de K em escala logarítmica, todos os valores de K e �cr

calculados podem ser observados com maior nitidez, como mostra a Figura 3.3.

Para valores baixos de K, a rigidez da fundação exerce grande influência na

carga crítica obtida no problema, e o crescimento da curva é muito maior do que o

ocorrido quando K atinge valores mais elevados. Nesse último caso, com a taxa de

crescimento sendo muito mais lenta, as cargas críticas tendem a se estabilizar.

Nesse momento, a capacidade de carga da coluna chega ao seu limite e não se

conseguem obter valores mais elevados mesmo que se continue aumentando ainda

mais a rigidez do meio.

DBD


48

3.2.2. Influência no Modo Crítico

A influência da rigidez da fundação no modo crítico da coluna também é

claramente identificada. Para essa análise foram tomados valores para K em um

intervalo entre 10 e 100.000, de modo a se comprovar tal influência.

Os modos críticos associados foram divididos em dois grupos com

comportamento bastante distintos entre si, e que são mostrados nas Figuras 3.4 e

3.5.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Coluna bi-apoiada; h=0,5K=10K=100

Figura 3.4: Modos críticos da coluna para K=10 e K=100.

DBD


49

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Coluna bi-apoiada; h=0,5K=500K=1.000K=10.000K=100.000

Figura 3.5: Modos críticos da coluna para K=500, K=1.000, K=10.000 e K=100.000.

Nos gráficos mostrados na Figura 3.4, observa-se que, por estarem sendo

plotados valores baixos de K, sua influência na rigidez da coluna não pode ser

muito notada, e a coluna flamba com uma forma muito semelhante ao de uma

coluna sem fundação, ou seja, com um formato senoidal, e apenas uma meia onda.

Já na Figura 3.5, onde os valores de K são bem mais elevados, nota-se o

efeito inverso, ou seja, há uma grande influência da rigidez da fundação no

comportamento da coluna, e a sua configuração deformada torna-se bastante

diferente da observada na Figura 3.4. Neste caso, pode-se notar que as

deformações transversais máximas tendem a se concentrar no trecho superior da

coluna, e não mais a meia altura, e que, quanto maior for o valor de K, mais

próximo ao topo da coluna ocorrerão essas deformações máximas.

Vale notar que para o caso da base elástica com K=100.000, praticamente

inexistem deformações transversais no trecho inferior da coluna. Nesse caso, é

como se a fundação funcionasse como um engaste, ou seja, como se esta fosse

composta por um material muito rígido, com características semelhantes ao de

uma rocha, e como se a coluna tivesse apenas a altura do trecho desenterrado,

sendo engastada na base.

DBD


50

3.3. Influência da Altura da Fundação

Conforme se varia a altura da fundação com relação ao comprimento total

da coluna, ou seja, ao se modificar a relação LHh /� , observa-se que o

comportamento da coluna também se altera. Isso ocorre tanto para os valores

obtidos para as cargas críticas quanto para os modos críticos associados.


Os resultados dessa análise são apresentados nas Tabelas 3.2 à 3.6, e nas

Figuras 3.6 e 3.7.

h=0 K �cr

1,00 1,0010,00 1,00

100,00 1,00500,00 1,00

1.000,00 1,005.000,00 1,00

10.000,00 1,00Tabela 3.2: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0.

h=0,25 K �cr

1,00 1,0010,00 1,00

100,00 1,04500,00 1,19

1.000,00 1,315.000,00 1,56

10.000,00 1,61Tabela 3.3: Valores de �cr associados a valores de K, para h=0,25.

h=0,50 K �cr

1,00 1,0010,00 1,03

100,00 1,22500,00 1,70

1.000,00 1,865.000,00 2,10


DBD


51

h=0,75 K �cr

1,00 1,0010,00 1,05

100,00 1,39500,00 2,18

1.000,00 2,395.000,00 3,15


h=1,00 K �cr

1,00 1,0110,00 1,05

100,00 1,42500,00 2,30

1.000,00 2,565.000,00 3,83

10.000,00 4,52Tabela 3.6: Valores de �cr associados a valores de K, para h=1.

0 2000 4000 6000 8000 10000

K

0

1

2

3

4

5

�cr

Coluna bi-apoiada; h=variávelh=0h=0,25h=0,5h=0,75h=1

Figura 3.6: Variação de �cr em função de K, para cinco valores distintos de h.

DBD


52

1 10 100 1000 10000

K (log)

0

1

2

3

4

5

�cr

Coluna bi-apoiada; h=variávelh=0h=0,25h=0,5h=0,75h=1

Figura 3.7: Variação de �cr em função de K, para cinco valores distintos de h, no formato

semi-log.

Observa-se através da Figura 3.6 um comportamento da coluna muito

semelhante para diversas relações de LHh /� .

As cinco curvas representadas seguem um mesmo padrão, com crescimento

inicial acentuado e tendência à estabilização para valores elevados de K.

Entretanto, para os casos 75,0�h e 1�h , a tendência a estabilização das

curvas ainda não pode ser notada neste gráfico, pois, para isso acontecer, seria

necessária a imposição de valores maiores para a rigidez da fundação.

Na Tabela 3.2, quando são apresentadas as cargas críticas da coluna para

0�h , observa-se que as mesmas possuem sempre o mesmo valor )1( �cr� , pois

o problema independe do valor de K já que não há fundação. Assim, nos gráficos

das Figuras 3.6 e 3.7, sua representação é dada por uma reta.

Comparando as curvas entre si, observa-se que as maiores cargas críticas

são obtidas para o caso da coluna totalmente enterrada )1/( �LH , e as menores

para a coluna sem fundação )0/( �LH . Ainda, quanto maior for o comprimento

enterrado da coluna, maiores serão as cargas críticas, comprovando-se assim a

importante influência exercida pela fundação na rigidez do sistema.

Novamente, o mesmo gráfico é também representado no formato semi-log,

para melhor visualização dos pontos analisados (Figura 3.7). Nesse gráfico pode-

DBD


53

se observar claramente que nos pontos iniciais dos gráficos, as cargas críticas

possuem valores muito próximos entre si, tendendo a se afastar à medida que

crescem os valores de K.

Também é possível analisar a influência da altura da fundação nas cargas

críticas da coluna, ao fixarem-se os valores de K, verificando-se como as cargas

críticas se modificam à medida que se alteram os valores de h.

Nas Tabelas 3.7, 3.8 e 3.9 são apresentados os valores das cargas críticas

associadas a diversas relações de LHh /� , com os valores de K estabelecidos em

100, 1.000 e 10.000.

K=100 h �cr

0,00 1,000,13 1,010,25 1,040,38 1,120,50 1,220,63 1,320,75 1,390,88 1,421,00 1,42

Tabela 3.7: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=100.

K=1.000 h �cr

0,00 1,000,13 1,060,25 1,310,38 1,600,50 1,860,63 2,130,75 2,390,88 2,541,00 2,56

Tabela 3.8: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000.

DBD


54

K=10.000 h �cr

0,00 1,000,13 1,320,25 1,610,38 1,850,50 2,200,63 2,710,75 3,440,88 4,321,00 4,52

Tabela 3.9: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=10.000.

Os valores apresentados nas Tabelas 3.7 à 3.9 são plotados na Figura 3.8.

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1

h = H/L

0

1

2

3

4

5

�cr

Coluna bi-apoiada; h=0,5K=100K=1.000K=10.000

Figura 3.8: Variação de �cr em função de h, para três valores de K.

Na Figura 3.8 comprova-se a constatação feita nas Figuras 3.6 e 3.7 de que a

rigidez do sistema está diretamente relacionada com o comprimento enterrado da

coluna. Na Figura 3.8 são apresentados apenas os casos da rigidez da base elástica

K = 100, 1.000 e 10.000, porém esse mesmo comportamento ocorre para qualquer

valor de K.


Os resultados dessa análise foram obtidos para valores de K iguais a 100,

1.000 e 10.000, e estão apresentados na Figura 3.9.

DBD


55

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Bi-apoiada; h = 0K qualquer

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Bi-apoiada; h = 0,25K = 100K = 1.000K = 10.000

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Bi-apoiada; h = 0,5K = 100K = 1.000K = 10.000

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Bi-apoiada; h = 0,75K = 100K = 1.000K = 10.000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra

Bi-apoiada; h = 1K qualquer

Figura 3.9: Primeiro modo crítico da coluna para cinco valores de h, em função de K.

Através dos gráficos representados na Figura 3.9, observa-se que conforme

é aumentada a relação LHh /� , maiores variações são observadas nos modos

críticos da coluna. Entretanto, essas variações são mais perceptíveis para valores

elevados da rigidez da fundação já que para valores baixos de K (ver curvas para

K=100, por exemplo), essas variações quase não são notadas, e a influência do

trecho enterrado é muito pequena.

Vale notar também que os deslocamentos transversais atingem os seus

valores máximos em posições diferentes da coluna à medida que se modifica o

comprimento do seu trecho enterrado.

DBD


56

A Tabela 3.10 mostra uma comparação entre as posições da coluna em que

são observados os deslocamentos transversais máximos, para cinco relações de

LHh /� .

H x 0,00 0,500,25 0,650,50 0,730,75 0,821,00 0,50

Tabela 3.10: Posição dos deslocamentos transversais máximos para a coluna com cinco

relações distintas de h=H/L, e K = 10.000.

Verifica-se que, conforme a relação LHh /� aumenta, os deslocamentos

transversais máximos tendem a ocorrer mais próximos ao topo da coluna.

Entretanto, para a coluna totalmente enterrada )1( �h , sua deformada retorna à da

coluna totalmente desenterrada )0( �h , com os deslocamentos máximos voltando

a ocorrer em 50,0�x , encerrando a tendência verificada para 10 �� h .

3.4. Influência das Condições de Apoio

Para analisar a influência das condições de contorno do problema nas cargas

críticas e modos críticos da coluna em contato com uma base elástica, foram feitas

análises para cinco tipos distintos de condições de apoio da coluna, conforme

mostrado na Figura 3.10.

Figura 3.10: Definição das condições de apoio.

DBD


57


Os resultados dessa análise são apresentados nas Tabelas 3.11 à 3.15, e nas

Figuras 3.11 e 3.12.

Condição de apoio 1 K �cr

1,00 1,0010,00 1,03

100,00 1,22500,00 1,70

1.000,00 1,865.000,00 2,10

10.000,00 2,20 Tabela 3.11: Valores de �cr associados a valores crescentes de K, para a condição de

apoio 1.


1,00 0,5010,00 0,51

100,00 0,56500,00 0,64

1.000,00 0,685.000,00 0,75


apoio 2.


1,00 1,4310,00 1,44

100,00 1,51500,00 1,73

1.000,00 1,865.000,00 2,11


apoio 3.

DBD


58


1,00 2,0010,00 2,01

100,00 2,09500,00 2,38

1.000,00 2,595.000,00 2,92


apoio 4.


1,00 1,0010,00 1,01

100,00 1,10500,00 1,27

1.000,00 1,355.000,00 1,49


apoio 5.

0 2000 4000 6000 8000 10000

K

0

1

2

3

4

�cr

h=0,5; cc=variávelcond. 1cond. 2cond. 3cond. 4cond. 5

Figura 3.11: Variação de �cr em função de K, para cinco condições de apoio distintas.

DBD


59

1 10 100 1000 10000

K (log)

0

1

2

3

4

�cr

h=0,5; cc=variávelcond. 1cond. 2cond. 3cond. 4cond. 5

Figura 3.12: Variação de �cr em função de K, para cinco condições de apoio distintas, no

formato semi-log.

Através das Figuras 3.11 e 3.12 observa-se a influência das condições de

contorno da coluna nos valores obtidos para as cargas críticas. Como esperado,

dependendo das condições de apoio da coluna, suas cargas críticas adquirem

valores diferentes.

Observa-se que as maiores cargas críticas são obtidas para a coluna bi-

engastada na base e com deslocamento axial livre no topo (condição 4), sendo esta

condição, portanto, a que fornece maior rigidez à estrutura. Da mesma forma, as

menores cargas críticas ocorrem para a coluna sob a condição 2 devido às

deslocabilidades estarem livres no topo.

Percebe-se, também, que, para as coluna bi-apoiada (condição 1) e

engastada e apoiada (condição 3), suas cargas críticas possuem valores muito

próximos entre si a medida que aumenta-se a rigidez da fundação (a partir de

700�K , aproximadamente). Já para 10�K , as colunas sob as condição 1 e 5

possuem cargas críticas praticamente idênticas.

Quanto à forma dos gráficos, observa-se uma semelhança com aqueles

apresentados nas análises anteriores feitas neste capítulo, onde há um crescimento

das cargas críticas com o aumento da rigidez da fundação e tendência à

estabilização das curvas para valores elevados de K. Quanto mais rígida for a

estrutura, maiores serão os valores de K nos quais estabilização ocorrerá.

DBD


60


Os resultados dessa análise foram obtidos para valores de K iguais a 100,

1.000 e 10.000, e estão apresentados na Figura 3.13.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)

Condição de apoio 1; h=0,5K=100K=1.000K=10.000

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)

Condição de apoio 4; h=0,5K=100K=10.000

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


Figura 3.13: Primeiro modo crítico da coluna para cinco condições de apoio distintas.

Na Figura 3.13 observa-se a grande influência das condições de apoio da

coluna nos seus respectivos modos de flambagem.

A rigidez da fundação também influi diretamente na forma da deformada

das colunas, as quais tendem a sofrer deslocamentos transversais cada vez

menores no seu trecho inferior à medida que a rigidez da fundação vai sendo

aumentada. Para as colunas com fundação com rigidez muito elevada

DBD


61

( 000.10�K , por exemplo), chega a ocorrer uma inversão nas curvaturas destas

colunas ao longo de seu comprimento, fazendo com que estas deformadas sejam

bastante irregulares, com a presença de mais de uma semi-onda.

3.5. Análise da Coluna com a Extremidade Inferior Livre

Colunas com a extremidade inferior livre, ou seja, sem nenhum tipo de

apoio, são comumente encontradas em problemas de Engenharia.

A fim de se analisar o comportamento destas colunas, foram feitas análises

para outras quatro condições de apoio, ilustradas na Figura 3.14.

Figura 3.14: Condições de apoio para a coluna com a extremidade inferior livre.

3.5.1. Influência da Rigidez da Fundação

3.5.1.1. Influência na Carga Crítica


1,00 0,0310,00 0,10

100,00 0,31500,00 0,56

1.000,00 0,645.000,00 0,75

10.000,00 0,78 Tabela 3.16: Valores de �cr associados a crescentes valores de K (condição de apoio 6).

DBD


62


1,00 0,1710,00 0,53

100,00 1,00500,00 1,29

1.000,00 1,555.000,00 2,10



1,00 0,5210,00 0,65

100,00 1,10500,00 1,45

1.000,00 1,715.000,00 2,65



1,00 0,5010,00 0,52

100,00 0,65500,00 1,01

1.000,00 1,245.000,00 1,48


DBD


63

0 2000 4000 6000 8000 10000

K

0

1

2

3

�cr

h=0,5; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9

Figura 3.15: Variação de �cr em função de K, para a coluna com quatro condições de

apoio distintas.

1 10 100 1000 10000

K (log)

0

1

2

3

�cr

h=0,5; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9

Figura 3.16: Variação de �cr em função de K, para a coluna com quatro condições de

apoio distintas, no formato semi-log.

DBD


64

3.5.1.2. Influência no Modo Crítico

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)

Condição de apoio 6; h=0,5K = 100K = 1.000K = 10.000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


Figura 3.17: Primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre e com

quatro condições de apoio distintas na extremidade superior.

DBD


65

3.5.2. Influência da Altura da Fundação

3.5.2.1. Influência na Carga Crítica

Condição de apoio 6 K=1.000 K=10.000

h �cr� �cr�

0,00 0,00 0,00 0,25 0,32 0,54 0,50 0,64 0,78 0,75 0,98 1,27 1,00 3,20 4,87

Tabela 3.20: Valores de �cr associados a crescentes valores de h, para K=1.000 e

K=10.000 (condição de apoio 6).


h �cr� �cr�

0,00 1,00 1,00 0,25 1,11 1,54 0,50 1,55 2,20 0,75 1,79 3,18 1,00 2,70 4,62




h �cr� �cr�

0,00 0,50 0,50 0,25 1,42 2,10 0,50 1,71 2,97 0,75 1,79 3,18 1,00 1,79 3,18



DBD


66


h �cr� �cr�

0,00 0,00 0,00 0,25 0,69 1,08 0,50 1,24 1,55 0,75 1,75 2,50 1,00 1,79 3,18



0 0.25 0.5 0.75 1

h = H/L

0

1

2

3

4

�cr

h=0,5; K=1.000; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9

Figura 3.18: Variação de �cr em função de h, para as quatro condições de contorno da

coluna com a extremidade inferior livre e K=1.000.

DBD


67

0 0.25 0.5 0.75 1

h = H/L

0

1

2

3

4

5

�cr

h=0,5; K=10.000; cc=variávelcond. 6cond. 7cond. 8cond. 9

Figura 3.19: Variação de �cr em função de h, para as quatro condições de contorno da

coluna com a extremidade inferior livre e K=10.000.

DBD


68

3.5.2.2. Influência no Modo Crítico

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)Condição de apoio 6; K = 1.000 h=variável

h=0,25h=0,50h=0,75

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)

Condição de apoio 7; K = 1.000h = variável

h=0,25h=0,50h=0,75

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


h=0,25h=0,50h=0,75

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


h=0,25h=0,50h=0,75

Figura 3.20: Variação do primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre

para quatro condições de apoio distintas em função da variação na relação h=H/L, para

K=1.000.

DBD


69

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Al

tura

(x)

Condição de apoio 6; K = 10.000 h=variável

h=0,25h=0,50h=0,75

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


h=0,25h=0,50h=0,75

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


h=0,25h=0,50h=0,75

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deslocamento w(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Altu

ra (x

)


h=0,25h=0,50h=0,75

Figura 3.21: Variação do primeiro modo crítico da coluna com a extremidade inferior livre

para quatro condições de apoio distintas em função da variação na relação h=H/L, para

K=10.000.

3.6. Comparação dos Resultados com o Método de Ritz

Para a análise dos resultados obtidos neste item, foram testadas funções de

aproximação com diferentes números de termos utilizados. Conforme mencionado

DBD


70

no item 2.8, uma boa função de aproximação é aquela que atende a todas as

condições de contorno do problema, fazendo com que sua convergência para o

resultado final seja muito mais rápida.

Para o caso particular de uma coluna bi-apoiada, foi visto que a função seno

atende às condições de apoio. Dessa forma, considera-se bastante adequado o seu

emprego como função de aproximação para a coluna com essas condições de

apoio.

Conforme usualmente adotado, essa função será expressa na forma de

séries. Entretanto, não se sabe a priori qual o número de termos necessário para se

encontrar uma boa aproximação. Sendo assim, foram testadas funções de

aproximação em forma de série de senos, com um a oito termos, ou seja,

��

�

8

1)(

iin xisenAf � (3.3)

Foram feitas análises para três valores de K, tomados em um intervalo

bastante amplo: K=10, K=1.000 e K=10.000. A Tabela 3.24 apresenta os valores

das cargas críticas obtidas através da solução analítica para a coluna bi-apoiada,

com os valores de K citados acima.

K �cr 10,00 1,03

1.000,00 1,8610.000,00 2,20

Tabela 3.24: Valores de �cr para três valores distintos de K.

Já as Tabelas 3.25, 3.26 e 3.27 apresentam os valores das cargas críticas

obtidas através do Método de Ritz para a mesma situação, utilizando-se diferentes

funções de aproximação, bem como o erro cometido ao se utilizar estas funções, o

qual é calculado a partir da expressão:

exato

exatoaprox

PPP

erro�

� (3.4)

onde Paprox é a carga crítica calculada pelo Método de Ritz e Pexato a carga crítica

calculada pela solução analítica.

DBD


71

K=10 n �cr Erro (%) 1 1,03 31069,7 �

�

2 1,03 51063,6 �

�

3 1,03 51063,6 �

�

4 1,03 61085,5 �

�

5 1,03 61085,5 �

�

6 1,03 61017,1 �

�

7 1,03 61017,1 �

�

8 1,03 71093,2 �

�

Tabela 3.25: Valores de �cr e do erro percentual cometido ao se utilizar funções de

aproximação com diferentes números de termos (K=10).

K=1.000

n �cr Erro (%) 1 2,48 11031,3 �

2 1,87 11052,3 �

�

3 1,86 21040,8 �

�

4 1,86 31088,8 �

�

5 1,86 31015,7 �

�

6 1,86 31045,1 �

�

7 1,86 31036,1 �

�

8 1,86 41001,4 �

�


aproximação com diferentes números de termos (K=1.000).

K=10.000 n �cr Erro (%) 1 7,23 21029,2 �

2 2,55 11056,1 �

3 2,21 11057,4 �

�

4 2,21 11039,2 �

�

5 2,20 21095,7 �

�

6 2,20 21061,2 �

�

7 2,20 21073,1 �

�

8 2,20 31019,6 �

�


aproximação com diferentes números de termos (K=10.000).

DBD


72

1 2 3 4 5 6 7 8

no de termos

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

erro

(%)

Coluna bi-apoiada; K = 1.000; h = 0,5

Figura 3.22: Variação do erro cometido ao se utilizar cada função de aproximação.

Analisando-se as Tabelas 3.25, 3.26 e 3.27 e a Figura 3.22, podem ser

tiradas algumas conclusões:

1a) A medida em que se utiliza um número maior de termos nas funções de

aproximação, diminui-se o erro cometido em relação às cargas críticas calculadas

através da solução analítica. Na Figura 3.22 está ilustrada essa situação para

K=1.000, entretanto esse comportamento se verifica para qualquer valor de K;

2a) Independentemente do número de termos utilizados nas funções de

aproximação, o erro cometido aumenta a medida em que se aumenta o valor de K;

3a) Esse erro torna-se especialmente importante quando se utilizam poucas

funções de aproximação para valores mais elevados de K;

4a) Ao se utilizar as funções de aproximação com um e dois termos, deve-se

tomar bastante cuidado, já que os erros cometidos podem ser bastante elevados,

chegando a atingir os 229% para K=10.000, utilizando-se apenas um termo na

função de aproximação.

3.7. Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante

A fim de se conhecer como variam o momento fletor e o esforço cortante ao

longo da coluna, foram construídos seus diagramas para valores de K iguais a 100,

1.000 e 10.000.

DBD


73

Para o caso linear, têm-se as seguintes expressões para o momento e o

cortante, respectivamente:

xxEIwEIM ,�� (3.5)

xxxEIwdx

dMQ ,�� (3.6)

Na formulação utilizada, emprega-se a coordenada x/L para representar o

comprimento da coluna. Assim, as expressões (3.5) e (3.6) podem ser reescritas

sob a forma a seguir de modo a representar da mesma maneira o momento fletor e

o esforço cortante ao longo do comprimento da coluna, ou seja:

EIMLwm xx �� , (3.7)

EIQLwq xxx

2

, �� (3.8)

Assim, após conhecidas as funções w(x) para os trechos enterrados e

desenterrados da coluna, basta calcular as segundas e terceiras derivadas destas

funções para se conhecer os diagramas de momento fletor e esforço cortante,

respectivamente. Esses diagramas apresentados a seguir representam a situação da

coluna após a flambagem, instante a partir do qual surgem também esforços de

flexão.

A Figura 3.23, mostrada a seguir, fornece os diagramas de momento fletor e

esforço cortante da coluna, para três valores distintos de K.

DBD


74

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Momento Fletor (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altu

ra (x

)

Diagrama de Momento Fletor - LinearK=100K=1.000K=10.000

(a)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esforço Cortante (q)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altu

ra (x

)

Diagrama de Esforço Cortante - LinearK=100K=1.000K=10.000

(b)

Figura 3.23: Diagramas de momento fletor linear e esforço cortante linear.

Observando-se o diagrama de momento fletor para K=100, verifica-se que

os esforços de tração e compressão ao longo do comprimento da coluna estão

sempre de um mesmo lado de sua seção transversal. Entretanto, isto não ocorre

para K=1.000 e K=10.000, quando esses esforços estão ora de um lado da seção,

ora do outro, resultando assim em maiores variações nos diagramas.

Vale notar também a correspondência dos gráficos quanto à relação (3.6),

ou seja, como a função esforço cortante é a derivada da função momento fletor,

todos os pontos de máximos locais do gráfico do momento correspondem a zeros

no gráfico do cortante. Para a situação em que K=1.000, esses pontos são 26,0�x

e 73,0�x .

DBD


4. Formulação do Problema Não-Linear

Neste capítulo é apresentada a resolução do problema não-linear, formulado

a partir do funcional de energia não-linear. É feita a análise do equilíbrio e da

estabilidade da coluna para dois casos: o primeiro, quando a fundação for

considerada com comportamento linear de acordo com o Modelo de Winkler

Linear; e o segundo, com a fundação com comportamento não-linear, de acordo

com o Modelo de Winkler Não-Linear.

Assim como formulado no Capítulo 2, deseja-se obter as equações

diferenciais não-lineares da coluna e as soluções destas.

No final deste capítulo é apresentada uma metodologia para resolução deste

problema através do Método de Ritz, objetivando-se obter uma função

aproximada que descreva o caminho pós-crítico não-linear da coluna.

Neste capítulo são utilizadas as coordenadas locais da coluna, definidas na

Figura 1.1.

4.1. Equações Diferenciais para a Coluna com um Trecho sem Fundação e outro sob Fundação Elástica Não-Linear

Inicialmente será analisado o problema da coluna com um trecho sem

fundação e outro com fundação elástica não-linear, tomando como ponto de

partida os funcionais de energia não-lineares.

Para o trecho da coluna sem fundação, o funcional de energia não-linear,

com os limites de integração definidos pelas coordenadas locais é dado por:

dxwwPwwwwwEIH

xxxxxxxxxx� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

1

0

4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

� , (4.1)

e para o trecho com fundação, por

DBD


76

dxwwPwwwwwEIH

xxxxxxxxxx� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

2

0

4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

�

dxwkdxkwHH

43

0

2

0

22

21

21

��

(4.2)

Observa-se que ambos os funcionais são da forma:

dxwwwxf xxx ),,,,(� (4.3)

ou seja, possuem os mesmos termos do funcional de energia quadrático descrito

pela expressão (2.34).

Para se deduzir as equações diferenciais não-lineares, são aplicadas mais

uma vez as ferramentas do Cálculo Variacional, da mesma forma como foi feito

no Capítulo 2. Já foi visto que a Equação de Euler para um funcional como o da

expressão (4.3) é a seguinte:

0)()( ´´2

2

´ � � www fdxdf

dxdf (4.4)

Para o trecho sem fundação, a função f é dada pela expressão:

��

��

��

�

� ��

�

�

� � 4242222 ,

41,

21,,

41,,,

21

xxxxxxxxxx wwPwwwwwEIf (4.5)

Calculando-se individualmente os termos fw, ´wf e ´´wf , obtém-se:

0�wf (4.6)

��

�

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

��

��

�

��

��

��

�

�

3

32

2

22

2

2

)()(221

)()()()(221

dxxdw

dxxdwP

dxxdw

dxxwd

dxxdw

dxxwdEIf w

(4.7)

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

�� 4

2

2

2

2

2

2

2

)()(21

)()(2)(2

21

dxxdw

dxxwd

dxxdw

dxxwd

dxxwd

EIf w (4.8)

Substituindo-os então na Equação de Euler e fazendo as simplificações

possíveis, chega-se à equação diferencial não-linear do trecho sem fundação:

DBD


77

0)()(41)()(

)()()(23

)()()(23

)()()(2

)()()()(4

4

4

42

4

4

4

42

2

2

2

223

2

2

3

33

2

2

3

2

2

3

3

2

2

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

dxxdw

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdP

dxxwdP

dxxdw

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEI

(4.9)

Para o trecho com fundação, parte-se do funcional obtido na Equação 4.2. A

função f, nesse caso, é dada pela expressão:

43

24242222

21

21,

41,

21,,

41,,,

21

wk

kwwwPwwwwwEIf xxxxxxxxxx

�

��

��

�

��

��

��

��

(4.10)

Em seguida são calculados os termos fw, ´wf e ´´wf , isto é:

33 )(2)( xwkxkwf w �� (4.11)

��

�

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

��

��

�

��

��

��

�

�

3

32

2

22

2

2

)()(221

)()()()(221

dxxdw

dxxdwP

dxxdw

dxxwd

dxxdw

dxxwdEIf w

(4.12)

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

�� 4

2

2

2

2

2

2

2

)()(21

)()(2)(2

21

dxxdw

dxxwd

dxxdw

dxxwd

dxxwd

EIf w (4.13)

Notar que os termos ´wf e ´´wf são os mesmos que os calculados

anteriormente para a coluna sem fundação.

Após a substituição dos três termos na Equação de Euler e sua conseqüente

simplificação, chega-se à equação diferencial não-linear deste trecho da coluna,

expressa em (4.14).

DBD


78

0)()(41)()(

)()()(23

)()()(23

)()()(2)(

)()()(4)(2)(

4

4

42

4

4

4

42

2

2

2

223

2

2

3

33

2

23

2

2

3

3

2

23

3

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

dxxdw

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdP

dxxwdP

dxxdw

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEIxwkxkw

(4.14)

Por fim, observa-se que esta equação é idêntica àquela obtida em (4.9) para

o caso da coluna sem fundação, diferindo-se apenas nos dois primeiros termos,

relativos à fundação.

4.2. Equações Diferenciais para a Coluna com Um Trecho Sem Fundação e Outro Sob Fundação Elástica Linear

A dedução das equações diferenciais não-lineares, para o caso da coluna

com trecho sob fundação elástica com comportamento linear é exatamente igual a

que foi feita no item anterior.

Para o trecho sem fundação, a equação já foi definida em (4.9) e para o

trecho com fundação elástica linear, parte-se do funcional de energia não-linear do

caso em questão, escrito em (4.15), com os seus limites de integração definidos

pelas coordenadas locais,

� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

2

0

4242222 ,41,

21,,

41,,,

21H

xxxxxxxxxx dxwwPwwwwwEI�

dxkwH

2

0

2

21

��

(4.15)

Seguindo o mesmo procedimento apresentado anteriormente, obtém-se a

equação diferencial descrita a seguir:

DBD


79

0)()(41)()(

)()()(23

)()()(23

)()()(2)(

)()()(4)(

4

4

42

4

4

4

42

2

2

2

223

2

2

3

33

2

23

2

2

3

3

2

2

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

dxxdw

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxdw

dxxwdP

dxxwdP

dxxdw

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEI

dxxwdEI

dxxwd

dxxdw

dxxwdEIxkw

(4.16)

Observe que partindo-se da equação (4.14) e:

a) eliminando-se os dois primeiros termos, obtém-se a equação diferencial

da coluna sem fundação (4.9);

b) eliminando-se apenas o segundo termo, obtém-se a equação diferencial

da coluna com fundação linear (4.16);

c) não eliminando-se nenhum termo, obtém-se a própria equação diferencial

da coluna com fundação não-linear (4.14).

4.3. Método de Ritz – Caminho Pós-Crítico Não-Linear

Como pode ser visto, as equações diferenciais não-lineares são equações

muito complexas e não possuem soluções analíticas. Dessa forma, buscam-se

outros métodos que tornem possível a resolução do problema não-linear.

O método adotado neste trabalho é o Método de Ritz, já descrito

anteriormente no Capítulo 2. Relembrando o que foi dito, esse método consiste

basicamente na substituição da solução analítica por uma função de aproximação

no funcional de energia. A função de aproximação possui, usualmente, a forma de

uma série onde cada termo deve respeitar as condições de contorno forçadas do

problema. Caso as funções também atendam as condições de contorno naturais, a

convergência torna-se mais rápida.

As funções de aproximação têm a seguinte forma:

j

n

jjn Af ��

�

�

1

(4.17)

DBD


80

Neste problema, as funções �j adotadas na análise não-linear são exatamente

as autofunções obtidas analiticamente no Capítulo 2, já que todas elas atendem às

condições de contorno e continuidade. Em virtude dessa escolha, um único termo

da série (4.17) já é suficiente para se obter uma solução precisa do caminho pós-

crítico na vizinhança do ponto crítico. Vale mencionar que essa escolha foi

motivada pelos bons resultados obtidos, combinados com sua simplicidade de

implementação computacional.

Como a coluna está subdividida em dois trechos, a função �j foi dividida em

duas partes.

��

��

��

22

11

0;0;

Hx(x)wHx(x)w

j� (4.18)

Vale lembrar que os limites de cada função estão definidos em termos das

coordenadas locais. Cada função deve ser substituída no seu funcional

correspondente. No caso da coluna sob fundação elástica linear, a função �j=w1(x)

é substituída no funcional da expressão (4.1) e a função �j=w2(x), em (4.15). Para

o caso da coluna sob fundação elástica não-linear, a substituição das funções

�j=w1(x) e �j=w2(x) devem ser, respectivamente, nos funcionais das expressões

(4.1) e (4.2).

Em ambos os casos, o funcional de energia não-linear resultante, col� , é

dado pela soma dos dois funcionais,

21 �� col (4.19)

onde 1� e 2� são os funcionais não-lineares da coluna dos seus trechos sem e com

fundação, respectivamente.

No programa desenvolvido com o software MAPLE 7.0, para que se

obtenham as expressões completas das soluções analíticas de cada trecho, é

preciso que se forneçam valores numéricos para os parâmetros de carga crítica e

de rigidez da fundação elástica. Ou seja, de uma forma geral, as soluções

analíticas w1(x) e w2(x) só podem ser escritas em função das constantes Cj (j=1..8),

as quais, como já foi visto, são determinadas pelas autofunções correspondentes.

Sendo assim, são escritas a seguir, de uma forma geral, as funções fn,

correspondentes à solução analítica do problema e adotadas em cada um dos

trechos da coluna.

DBD


81

Para o trecho sem fundação:

� � )cos()( 43211 xCxsenCxCCxwfn �� (4.20)

Para o trecho com fundação linear:

� �

)4222/1(8

)4222/1(7

)4222/1(6

)4222/1(52

44224422

44224422

xKxK

xKxKn

eCeC

eCeCxwf��

��

�

��

��

��

(4.21)

Pelo Método de Ritz, em seguida, multiplicam-se as expressões (4.20) e

(4.21) por uma constante, aqui denominada por �, que será o deslocamento

transversal máximo da coluna, já que o modo crítico foi normalizado de tal forma

que a amplitude máxima seja igual a um. As expressões resultantes são

denominadas � �xw m1 e � �xw m2 , ou seja,

� � � �

� � � �xwxwxwxw

m

m

22

11

�

�

�

�

(4.22)

Feito isso, substituem-se as expressões (4.22) no funcional de energia não-

linear, col� . Em seguida, faz-se a integração deste funcional resultante nos limites

correspondentes a cada um dos trechos da coluna. Prossegue-se diferenciando a

expressão resultante com relação a constante � e igualando-a à zero.

Após a simplificação dessa última expressão, obtém-se a equação de

equilíbrio não-linear que tem a seguinte forma polinomial:

0235

24

53

321 �� NNNNN (4.23)

onde N1, N2, N3, N4 e N5 são valores numéricos que multiplicam cada parcela desta

equação. A solução desse polinômio é uma expressão na qual � é dado em

função de �, na forma

� �� g� (4.24)

Finalmente, ao se plotar esta equação, tem-se o gráfico do caminho pós-

crítico da coluna.

DBD


5. Resultados da Análise Não-Linear

Neste capítulo são apresentados os resultados das análises feitas para o

problema não-linear, incluindo variações na rigidez e altura da fundação bem

como nas condições de apoio da coluna.

O problema é analisado para a fundação ora com comportamento linear,

segundo o Modelo Linear de Winkler, ora com comportamento não-linear,

segundo o Modelo Não-Linear de Winkler.

O objetivo maior neste ponto do trabalho é estudar o caminho pós-crítico da

coluna a partir do momento em que esta perde sua estabilidade.

Nos resultados apresentados, o caminho pós-crítico é representado através

de um gráfico no qual no eixo das abscissas são apresentados os valores dos

deslocamentos transversais máximos e no eixo das ordenadas, a relação entre

carga aplicada e a carga crítica da coluna.

O caminho pós-crítico também poderia ser representado através de

grandezas proporcionais às adotadas, como, por exemplo, tensão/tensão crítica �

deformação específica máxima, ou ainda, momento/momento crítico � curvatura

máxima.

Os resultados deste capítulo foram comparados com os obtidos através de

um programa computacional baseado no método dos elementos finitos.

Da mesma forma como foi feito no Capítulo 3, é novamente importante

mencionar que o problema aqui analisado refere-se à coluna bi-apoiada, com

fundação até metade do seu comprimento, conforme ilustrado na Figura 5.1. O

problema se modificará na medida em que forem sendo feitas alterações nas suas

condições de apoio e altura e rigidez da fundação.

DBD


83

Figura 5.1: Problema padrão.

5.1. Resultados Obtidos pelo Método de Ritz para a Coluna com Fundação Elástica Linear

Neste item são apresentados os resultados obtidos através do método de Ritz

para o caso da coluna com uma fundação elástica linear, conforme descrito no

Capítulo 4.

São analisados os casos da coluna sob diferentes condições de apoio e altura

e rigidez da fundação, de modo a se verificar a influência destes parâmetros no

comportamento do caminho pós-crítico da coluna.

5.1.1. Influência da Rigidez da Fundação

Nas Figuras 5.2.a e 5.2.b são apresentados os caminhos pós-críticos de uma

coluna bi-apoiada, com 5,0/ �� LHh , em função de diversos valores adotados

para o parâmetro de rigidez do solo, K.

DBD


84

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004�

/�cr

Caminho pós-críticoBi-apoiada; H/L = 0,5Variação da rigidez da fundação

K = 0,1

K = 1

K = 10

K = 100

K = 1.000

K = 10.000

K = 50.000

(a)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

�/�

cr


K = 0,1

K = 1

K = 10

K = 100

K = 1.000

K = 10.000

K = 50.000

(b)

Figura 5.2: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação até

a metade de seu comprimento, em função de diversos valores adotados para K.

A única diferença entre essas figuras é a escala em que estão apresentados

os resultados. Enquanto a primeira mostra o caminho pós-crítico em seu trecho

inicial, a segunda mostra esses mesmos resultados para maiores deflexões. No

eixo das ordenadas estão plotados os valores de cr�� / e todas as curvas partem

do valor um. Sendo assim, este ponto representa o início do caminho pós-crítico.

Para valores de cr�� / inferiores a um, a coluna ainda não atingiu a sua

carga crítica, logo não existem deformações transversais. Ou seja, até esse

momento, as únicas deformações sofridas pela coluna são deformações axiais, e

estes pontos constituem o caminho fundamental o qual é representado pelo eixo

vertical do gráfico máxcr w�� / .

Ao atingir a carga crítica, a coluna perde a estabilidade e passa a sofrer

também deformações transversais causadas pelos esforços de flexão. Desse

momento em diante, a carga pode aumentar ou diminuir à medida que a coluna

continua a deformar-se, o que irá depender do tipo de solo no qual parte da coluna

está imersa.

Pelos gráficos da Figura 5.2, observa-se que não existe uma relação direta

entre a rigidez da fundação e a rigidez efetiva do caminho pós-crítico. Nota-se,

DBD


85

inicialmente, que a curvatura do caminho pós-crítico decresce com a rigidez da

fundação, apresentando uma bifurcação simétrica estável. Entretanto, para valores

de K em torno de 100, há uma pequena mudança de concavidade, apresentando a

coluna uma bifurcação simétrica instável (visível para pequenas deformações, no

gráfico da Figura 5.2.a). A seguir a rigidez pós-crítica volta a crescer com o

aumento da rigidez da fundação. Cabe lembrar que a rigidez global do sistema

está intimamente ligada à forma do modo crítico bem como a relação entre a

energia interna de deformação do trecho enterrado e do trecho desenterrado.

Entretanto, quando esses mesmos resultados são plotados em um gráfico

onde o eixo das ordenadas representa a variação da carga aplicada � (e não mais

a relação cr�� / ), conforme mostrado na Figura 5.3, é possível notar diretamente a

influência da rigidez da fundação na capacidade de carga da estrutura.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.8

1.2

1.6

2

2.4

�


K = 1

K = 10

K = 100

K = 1.000

K = 10.000

K = 50.000

Figura 5.3: Variação das cargas com as deflexões em colunas com as mesmas

condições citadas na Figura 5.2.

Pode-se acrescentar ao que foi dito no parágrafo anterior que, quanto maior

for a rigidez da fundação, maiores serão as cargas que a coluna conseguirá

suportar para uma mesma deformação.

DBD


86

5.1.2. Influência da Altura da Fundação

Observa-se através da Figura 5.4 que, para o valor de K aqui analisado, o

caminho pós-crítico é sempre estável independente da relação LHh /� .

Entretanto, como no caso anterior, não há uma relação direta entre a curvatura

inicial do caminho pós-crítico e a profundidade da fundação. A influência da

rigidez na capacidade de carga da coluna pode ser melhor observada na Figura 5.5

que apresenta a variação da flecha máxima com o parâmetro de carga �.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.9996

1

1.0004

1.0008

1.0012

�/�

cr

Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundaçã o

h=0,25h=0,5h=0,75

(a)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

�/�

cr

Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundação

h=0,25h=0,5h=0,75

(b)

Figura 5.4: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação

elástica com K = 10.000, em função de três relações distintas de H/L.

DBD


87

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

�

Caminho pós-críticoBi-apoiada; K=10.000Variação da altura da fundação

h=0,25h=0,5h=0,75



5.1.3. Influência das Condições de Contorno

A influência das condições de contorno no caminho pós-crítico é ilustrada

nas Figuras 5.7 e 5.8, onde são mostrados os caminhos pós-críticos para uma

coluna semi-enterrada com K=10.000, considerando as cinco configurações já

analisadas no Capítulo 3 e reapresentadas na Figura 5.6.

Figura 5.6: Condições de contorno.

DBD


88

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

�/�

cr

Caminho pós-críticoH/L = 0,5; K=10.000Variação das condições de contorno

cond. 2

cond. 1

cond. 3

cond. 5

cond. 4

(a)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

1

1.04

1.08

1.12

�/�

cr


cond. 2

cond. 1

cond. 3cond. 5

cond. 4

(b)

Figura 5.7: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna com fundação até metade do

seu comprimento e K=10.000, em função de cinco condições de apoio distintas.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

�


cond. 2

cond. 1

cond. 3

cond. 5

cond. 4



DBD


89

Observa-se que para as condições de contorno aqui analisadas, o caminho

pós-crítico é sempre estável. Nota-se também que há uma influência marcante das

condições de contorno no comportamento pós-crítico da coluna.

Em resumo, observa-se uma grande influência de todas as variáveis no

caminho pós-crítico e, portanto, na capacidade de carga pós-flambagem da

estrutura.

5.2. Resultados Obtidos pelo Método de Ritz para a Coluna com Fundação Elástica Não-Linear

De modo a considerar a fundação com um comportamento não-linear, foi

adotado o modelo de Winkler Não-Linear. Esse modelo é muito utilizado para

representar a maioria dos solos usualmente encontrados na natureza, pois

considera que ocorre perda de rigidez à medida que se aumentam as forças

exercidas pela estrutura sobre o solo (Greimann, et al., 1987). Nesse caso,

diferentemente de em um modelo linear, a reação exercida pelo solo não é

proporcional às deflexões da coluna.

Desta forma, o funcional (2.27), apresentado no Capítulo 2, e reescrito em

(5.1), é o que representa o problema estudado neste item.

� ��

��

��

�

� ��

�

�

� �

L


4242222 ,41,

21,,

41,,,

21

�

dxwkdxkwHH

43

0

2

0 21

21

��

(5.1)

A fim de se verificar a influência da rigidez não-linear do solo no caminho

pós-crítico da coluna, foi construído o gráfico apresentado na Figura 5.9.

DBD


90

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.992

0.994

0.996

0.998

1

1.002�/�

cr

Caminho pós-críticoFundação Não-LinearBi-apoiada; H/L=0,5; K=1.000Variação da rigidez não-linear da fundação

Knl=1.000Knl=10.000Knl=100.000

(a)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

�/�

cr

Caminho pós-críticoFundação Não-LinearBi-apoiada; H/L=0,5; K=1.000Variação da rigidez não-linear da fundação

Knl=1.000Knl=10.000Knl=100.000

(b)

Figura 5.9: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação até

metade do seu comprimento e K = 1.000, em função de diversos valores adotados para

Knl.

A Figura 5.9 mostra que à medida que a rigidez da base aumenta, a coluna

sofre uma perda de rigidez global, passando a apresentar uma bifurcação instável.

Isso pode ser visto ao se tomar um valor constante para o deslocamento

transversal máximo e observar o valor correspondente da relação cr�� / . Nota-se,

no gráfico da Figura 5.9.a que, por exemplo, para uma deformação igual a 0,05, a

relação cr�� / da coluna com Knl = 1.000 é um pouco superior a 1,00, enquanto

para a coluna com Knl = 100.000, este valor é menor ( 994,0/ �cr�� ). Ou seja,

essa última coluna tem uma capacidade de suporte menor do que a primeira.

Na Figura 5.10, onde estão apresentados os resultados de um problema

idêntico ao anterior, porém com um valor maior para a rigidez linear do solo,

observa-se que a forma do caminho pós-crítico é muito semelhante à das figuras

anteriores, inclusive com a ordem das curvas sendo mantida. A diferença, nesse

caso, é que, por se tratar de uma coluna cuja fundação possui maior rigidez linear,

consegue-se atingir cargas com valores mais elevados do que as verificadas no

caso anterior.

DBD


91

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

wmáx

0.992

0.994

0.996

0.998

1

1.002�

/�cr

Caminho pós-críticoFund. não-linearBi-apoiada; H/L=0,5; K=10.000Variação da rigidez não-linear da fundação

K = 100.000K = 1.000.000K = 10.000.000

(a)

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

0.92

0.96

1

1.04

�/�

cr

Caminho pós-críticoFund. não-linearBi-apoiada; H/L=0,5; K=10.000Variação da rigidez não-linear da fundação

K = 100.000K = 1.000.000K = 10.000.000

(b)

Figura 5.10: Variação do caminho pós-crítico de uma coluna bi-apoiada, com fundação

até metade do seu comprimento e K = 10.000, em função de diversos valores adotados

para Knl.

Foi estudado também o caminho pós-crítico da coluna engastada e livre,

chegando-se à resultados muito semelhantes aos da coluna bi-apoiada.

5.3. Resultados Obtidos pelo Programa de Elementos Finitos

A título de comparação dos resultados aqui obtidos para a carga crítica e

para o comportamento inicial do caminho pós-crítico, a coluna também foi

analisada a partir de um programa computacional baseado no método dos

elementos finitos, desenvolvido por Silveira (1995).

Nesse programa, a coluna é discretizada em vinte elementos, os quais

correspondem a vinte e um pontos nodais, sendo que cada um deles possui três

deslocabilidades. Nessa análise, utilizou-se uma coluna com as características

apresentadas na Tabela 5.1.

DBD


92

E 1.000I 1L 10

Tabela 5.1: Dados do problema analisado pelo método dos elementos finitos.

No programa, as cargas são escritas em função da variável P, e a rigidez da

fundação, em função de k. A seguir, são apresentados os resultados fornecidos

pelo programa.

5.3.1. Influência das Imperfeições na Coluna

No programa dos elementos finitos foi simulada, inicialmente, a situação da

coluna com imperfeições.

Estas imperfeições podem ter várias origens. As mais comuns são:

(a) Imperfeições quanto à posição da aplicação da carga axial – neste caso a

coluna pode estar recebendo cargas de forma que haja uma excentricidade entre o

eixo vertical da coluna e o seu ponto de aplicação.

(b) Imperfeições quanto à geometria do eixo da coluna – geralmente

causadas por defeitos durante o seu processo de construção.

(c) Imperfeições nos apoios – nem sempre os apoios são executados ou

trabalham de forma a representar perfeitamente aqueles usados na modelagem do

problema.

Para a coluna engastada na base e livre no topo (condição 2), essas

imperfeições foram representadas através da introdução de uma pequena carga

lateral, �, no seu topo, fazendo com que o seu comportamento fosse visivelmente

modificado, como pode ser observado na Figura 5.11.

DBD


93

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

w/L (x/L=1)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P/P cr

Caminho pós-crítico - MEFEngastada e livre; h = 0,5; k = 1.000Variação da imperfeição da coluna

� = 0,1� = 0,01� = 0,001� = 0,0001

Figura 5.11: Influência da imperfeição da coluna no caminho pós-crítico.

Nesta análise, verifica-se que quanto menor for o valor da força �� que

caracteriza a imperfeição da coluna, mais as curvas se aproximam do eixo

vertical. Dessa forma, projeta-se que o caminho pós-crítico descrito pela coluna

sem imperfeições, seja representado no gráfico anterior através de uma reta que

coincide com o eixo das ordenadas até 1/ �crPP , seguido por uma reta paralela

ao eixo das abscissas.

Percebe-se, também, que uma coluna submetida a grandes imperfeições tem

sua rigidez diminuída, devido aos maiores deslocamentos observados, resultantes

do processo de carregamento.

5.4. Comparação dos Resultados

Para que fosse feita uma comparação entre os resultados obtidos pelos

programas baseados na utilização da solução analítica com aqueles obtidos pelo

DBD


94

programa de elementos finitos, fez-se necessário o estabelecimento de uma

correlação entre os dados do problema.

No programa de elementos finitos foram utilizados os seguintes dados:

10�L ; 000.1�k

Porém, todas as análises até este ponto do trabalho haviam sido feitas com a

consideração da coluna com comprimento unitário.

Dessa forma, resolveu-se reescrever os programas para a condição acima e

os resultados foram obtidos em função da variável P, garantindo-se, assim, uma

uniformidade entre os mesmos.

5.4.1. Comparação entre os Caminhos Pós-Críticos

A comparação entre os caminhos pós-críticos possui grande importância na

comparação entre os dois métodos, pois representa um resultado que só é obtido

no final do processo de cálculo realizado pelo programa desenvolvido neste

trabalho.

Sendo assim, caso fossem constatadas grandes diferenças entre os caminhos

pós-criticos, os possíveis erros seriam facilmente denunciados neste momento.

Para a comparação, foi escolhida, portanto, a situação da coluna bi-apoiada,

cuja fundação se estende até a meia-altura da coluna e com coeficiente de rigidez

linear igual a 1.000.

A Figura 5.12 apresenta os resultados, representados através dos caminhos

pós-críticos obtidos pelos dois métodos.

DBD


95

0 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.002

wmáx (x/L=0,5)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P/P cr

Caminho pós-críticoComparação entre os métodosBi-apoiada; H/L = 0,5; L=10; k=1.000

RitzMEF

Figura 5.12: Caminhos pós-críticos obtidos através dos dois métodos.

A curva cheia, correspondente ao caminho pós-crítico calculado através do

método de Ritz, caracteriza-se por uma reta paralela ao eixo das abscissas, com

1/ �PcrP , enquanto a curva tracejada, correspondente ao método dos elementos

finitos, aproxima-se bastante desta solução. As diferenças entre as duas soluções,

observadas apenas nos trechos inicias dos gráficos, tendem a inexistir para

maiores deflexões e se devem às pequenas imperfeições consideradas no modelo

de elementos finitos e que são necessárias para se obter o caminho não-linear de

equilíbrio. Essas diferenças podem ser minimizadas diminuindo-se as

imperfeições usadas na modelagem por elementos finitos.

A origem dessa diferença entre as soluções é explicada nos parágrafos

seguintes.

No programa baseado no método de Ritz, conforme descrito no Capítulo 4,

a solução analítica obtida para o problema linear é substituída no funcional de

energia não-linear, obtendo-se, assim, uma excelente aproximação para a solução

do problema não-linear.

Já no programa dos elementos finitos é necessário que se imponha uma

pequena imperfeição na coluna para que o programa funcione corretamente.

DBD


96

Assim, de modo a se representar esta imperfeição, foram aplicados momentos em

ambas as extremidades da coluna, com valor igual a 0,01.

5.4.2. Comparação entre as Cargas Críticas

Apesar das cargas críticas não serem resultados obtidos a partir da análise

não-linear, considera-se importante sua inclusão neste capítulo pois servem como

mais um elemento na comparação entre os resultados obtidos através da solução

analítica com aqueles fornecidos pelo programa de elementos finitos.

Na Tabela 5.2 são relacionadas algumas situações para as quais essas

comparações foram feitas, bem como os respectivos valores obtidos para as cargas

críticas.

Coluna bi-apoiada (cond. 1) 5,0/ �� LHh

k MEF Sol. analítica Diferença (%) 10 147,18 147,56 0,26

100 341,66 341,90 0,07 1.000 478,33 478,52 0,04

Coluna bi-apoiada (cond. 1) 1/ �� LHh

k MEF Sol. analítica Diferença (%) 10 199,63 200,00 0,18

100 647,80 648,09 0,04 1.000 2.013,28 2014,06 0,04

Coluna engastada e livre (cond. 2) 0/ �� LHh

k MEF Sol. analítica Diferença (%) 1.000 24,51 24,68 0,68

Coluna engastada e livre (cond. 2) 5,0/ �� LHh

k MEF Sol. analítica Diferença (%) 1.000 59,84 59,93 0,15

Tabela 5.2: Comparação entre as cargas críticas.

Analisando-se os resultados acima, observa-se que as cargas críticas obtidas

através dos dois métodos possuem valores muito próximos, com a diferença entre

elas sendo sempre inferior a 1%. Essa pequena diferença é devida a erros

numéricos inerentes aos programas, causados por arredondamentos de resultados

e propagados com os processos de cálculo.

Sendo assim, os resultados obtidos para as cargas críticas através de ambos

os programas podem ser considerados compatíveis.

DBD


97

Outras comparações poderiam ainda vir a ser apresentadas, envolvendo

cargas críticas e caminho pós-críticos, entretanto, considerando-se que todos os

resultados apresentados neste capítulo estavam de acordo com os fornecidos pelo

programa dos elementos finitos, considerou-se os mesmos suficientes para

comprovar que o programa desenvolvido neste trabalho, baseado na utilização da

solução exata, está correto.

5.5. Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante

Da mesma forma como foi feito no Capítulo 3 para o caso linear, neste item

são apresentados os diagramas de momento fletor e de esforço cortante para o

caso não-linear.

Como mostrado no Capítulo 3, as expressões do momento e do cortante são

dadas por

�EIM � (5.2)

dxdMQ � (5.3)

No problema não-linear, tem-se que

��

��

�� 2,

211, xxx ww� (5.4)

Logo, nesse caso, as expressões do momento e do cortante ficam

��

��

�� 2),(211, xxx wEIwM (5.5)

),(),(),(211, 22

xxxxxxx wwEIwEIwQ �

��

�� (5.6)

Já foi visto anteriormente neste capítulo, que no problema não-linear o

caminho pós-crítico é representado por uma curva que varia na medida em que a

coluna se deforma. A Figura 5.13 mostra o gráfico do caminho pós-crítico para a

situação da coluna bi-apoiada, com fundação até a metade da sua altura e

K=1.000.

DBD


98

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

wmáx

1.86

1.864

1.868

1.872

1.876

1.88

1.884

�

Caminho pós-críticoBi-apoiada; h = 0,5; K = 1.000

Figura 5.13: Caminho pós-crítico.

Sendo assim, para se construir os diagramas, faz-se necessário definir em

que pontos do processo a coluna está sendo analisada. São tomados, portanto, os

deslocamentos transversais máximos iguais a 0,02 e 0,20 e seus respectivos

valores de carga correspondentes.

wmáx P 0,02 1,860,20 1,88

Tabela 5.3: Pontos do caminho pós-crítico.

Os diagramas para o caso não-linear estão apresentados na Figura 5.14.

DBD


99

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Momento Fletor

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altu

ra

Diagrama de Momento Fletor - Não-LinearBi-apoiada, h=0,5; K=1.000

wmáx=0,02wmáx=0,20

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

Esforço Cortante

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altu

ra

Diagrama de Esforço Cortante - Não-LinearBi-apoiada, h=0,5; K=1.000

wmáx=0,02wmáx=0,20

Figura 5.14: Diagramas de momento fletor linear e esforço cortante não-linear.

Observa-se que, tanto nos diagramas de momento fletor como nos de

esforço cortante, há uma grande variação nas suas amplitudes na medida em que

se tomam pontos onde a deformação sofrida pela coluna é maior. Conforme era

esperado, esses esforços tendem a aumentar com o decorrer do processo de

carregamento.

Por fim, comparando-se estes diagramas com os obtidos para o caso linear,

percebe-se que ambos possuem exatamente a mesma forma, distinguindo-se

apenas nas amplitudes, que, neste caso, não foram normalizadas.

DBD


6. Conclusões

No presente trabalho é analisada a estabilidade de colunas, e tem como

principal objetivo de pesquisa apresentar uma solução analítica para o problema

de colunas semi-enterradas. Essa solução é obtida usando-se as ferramentas de

cálculo variacional e a teoria de equações diferenciais ordinárias, juntamente com

programas de álgebra simbólica.

A análise do problema linear iniciou-se com a dedução de um funcional de

energia, formulado a partir do Princípio da Energia Potencial Estacionária, do qual

se obtiveram as equações diferenciais para os trechos enterrados e desenterrados

da coluna. Após definidas as condições de contorno e continuidade, recai-se em

um problema de autovalor, do qual busca-se obter sua solução não-trivial a partir

das raízes da equação do determinante característico, que são as cargas críticas do

problema. Entretanto, esta equação é bastante extensa e complexa, com a presença

de diversos termos não-lineares envolvendo funções exponenciais e

trigonométricas e que apresenta grande sensibilidade numérica. Sua solução é

encontrada através de uma cuidadosa análise numérica, observando-se

graficamente os pontos onde a curva troca de sinal para, a seguir, usando o

método de regula-falsi, obter os zeros da equação com a precisão desejada. Os

modos críticos são determinados a menos de uma constante multiplicativa

arbitrária, a partir dos valores obtidos para as cargas críticas. As determinações

das constantes fornecem a solução analítica do problema, ou os modos críticos.

Cabe ressaltar que a solução analítica deste problema se tornou possível em

virtude dos programas de álgebra simbólica hoje disponíveis que permitem a

manipulação algébrica de expressões complexas. Basta lembrar que o

determinante característico de ordem 8 gera 8! termos, isto é, 8.064 parcelas não-

lineares.

Nos resultados obtidos na análise linear, enfatizou-se a análise das cargas

críticas e modos críticos para a coluna sob as mais diversas condições, incluindo

variações em suas condições de apoio, comprimento do trecho enterrado, bem

como a rigidez da fundação.

DBD


101

Verificou-se a influência da rigidez e altura da fundação elástica linear no

comportamento da coluna, comprovando-se que estes fatores estão diretamente

relacionados à rigidez da estrutura como um todo. Mostrou-se que, quanto

maiores forem os valores destes parâmetros, maiores serão as cargas críticas da

coluna, bem como menores serão as variações das deformações ao longo da

coluna, as quais tendem a atingir os seus valores máximos no trecho desenterrado,

em posições próximas ao topo da coluna.

Foi verificado, também, que a coluna totalmente enterrada e a coluna

totalmente desenterrada, possuem exatamente a mesma deformada, independente

de qualquer fator.

A influência das condições de apoio também foi verificada, observando que

as mesmas têm grande influência no valor da carga crítica e nos modos críticos.

Quanto à análise não-linear, também partiu-se da dedução de um funcional

de energia. Entretanto, após deduzidas as suas equações diferenciais, verificou-se

que as mesmas são complexas de tal forma que não possuem solução analítica,

sendo necessária a utilização de métodos aproximados para que se obtenha a

solução deste tipo de problema. Para isso, foi adotado o método de Ritz, o qual,

com base nos resultados obtidos, provou ser bastante eficiente. Nesse método

usou-se como funções de interpolação as autofunções obtidas do problema de

autovalor que atendem todas as condições de contorno e continuidade. Isso

possibilitou se obter, com apenas um modo, uma aproximação de qualidade para o

caminho pós-crítico na vizinhança do ponto de bifurcação.

Nesta etapa do trabalho, estudou-se o comportamento pós-crítico da coluna,

sendo o seu trecho inicial comparado com resultados obtidos através do método

dos elementos finitos.

Observou-se que, em geral, a coluna apresenta uma bifurcação simétrica

estável. Entretanto, verificou-se que não há uma relação direta entre a rigidez e a

altura da fundação na rigidez pós-flambagem da coluna. Isso ocorre devido à

variação da energia associada a cada modo crítico.

DBD


102

6.1. Sugestões

Sobre os trabalhos a serem realizados futuramente envolvendo o assunto

abordado nesta Dissertação, podem ser feitas as seguintes sugestões:

� análise do comportamento do caminho pós-crítico para maiores

deflexões, através da utilização do programa de elementos finitos e

implementação de modelos de fundações não-lineares neste mesmo

programa, permitindo uma validação da formulação aqui utilizada;

� análise do comportamento não-linear da coluna, quando submetida a

diversas imperfeições;

� execução de trabalhos experimentais, objetivando-se a descoberta de

novos modelos que melhor caracterizem o comportamento do solo. Pode-se,

por exemplo, buscar um modelo que leve em conta o atrito causado pelo

contato na interface solo-coluna;

� estudo do contato unilateral de colunas sob fundação não-linear.

DBD


7. Referências Bibliográficas

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Janeiro.

DBD


105

8. Apêndices

8.1. Introdução

Nos apêndices a seguir encontram-se exemplos dos programas utilizados ao

longo desta Dissertação, desenvolvidos com o programa de álgebra simbólica

MAPLE.

Os programas apresentados a seguir referem-se à coluna bi-apoiada, com

fundação até a metade da sua altura total e coeficiente de rigidez linear K = 100,

conforme representado na Figura 8.1.

Figura 8.1: Situação analisada nos apêndices.

No Apêndice B, é mostrado o programa no qual a função de aproximação

utilizada possui 8 termos.

8.2. Apêndice A

Programa para o Cálculo das Cargas Críticas e Modos Críticos

>restart: >with(DEtools): with(LinearAlgebra): >Digits:=28: Equação diferencial do trecho sem fundação: >eq1:=diff(w1(x),x,x,x,x)+(lambda^2*Pi^2*diff(w1(x),x,x))=0: >sol1:=dsolve(eq1):

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106

>w[1]:=rhs(sol1): >w[1,x]:=diff(w[1],x): >w[1,xx]:=diff(w[1],x,x): >w[1,xxx]:=diff(w[1],x,x,x): Equação diferencial do trecho com fundação: >eq2:=diff(w2(x),x,x,x,x)+(lambda^2*Pi^2*diff(w2(x),x,x))+(K*w2(x))=0: >sol2[inicial]:=dsolve(eq2): >sol2a:=subs(_C1=_C5,_C2=_C6,_C3=_C7,_C4=_C8,sol2[inicial]): > sol2:=rhs(sol2a): >w[2]:=sol2: >w[2,x]:=diff(w[2],x): >w[2,xx]:=diff(w[2],x,x): >w[2,xxx]:=diff(w[2],x,x,x): Condições de contorno definidas pelos apoios: >exp1:=eval(w[1],x=1/2): >exp2:=eval(w[1,xx],x=1/2): >exp3:=eval(w[2],x=0): >exp4:=eval(w[2,xx],x=0): Condições de continuidade: >w[1,x=0]:=eval(w[1],x=0): >w[2,x=a]:=eval(w[2],x=1/2): >w[1,x_x=0]:=eval(w[1,x],x=0): >w[2,x_x=a]:=eval(w[2,x],x=1/2): >w[1,xx_x=0]:=eval(w[1,xx],x=0): >w[2,xx_x=a]:=eval(w[2,xx],x=1/2): >w[1,xxx_x=0]:=eval(w[1,xxx],x=0): >w[2,xxx_x=a]:=eval(w[2,xxx],x=1/2): >exp5:=w[1,x=0]-w[2,x=a]: >exp6:=w[1,x_x=0]-w[2,x_x=a]: >exp7:=w[1,xx_x=0]-w[2,xx_x=a]: >exp8:=w[1,xxx_x=0]-w[2,xxx_x=a]: Solução trivial: >solve({exp1,exp2,exp3,exp4,exp5,exp6,exp7,exp8},{_C1,_C2,_C3,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8}): Cálculo dos elementos da matriz dos coeficientes: >a11:=coeff(exp1,_C1): >a21:=coeff(exp2,_C1): >a31:=coeff(exp3,_C1): >a41:=coeff(exp4,_C1): >a51:=coeff(exp5,_C1): >a61:=coeff(exp6,_C1): >a71:=coeff(exp7,_C1): >a81:=coeff(exp8,_C1): >a12:=coeff(exp1,_C2): >a22:=coeff(exp2,_C2): >a32:=coeff(exp3,_C2): >a42:=coeff(exp4,_C2): >a52:=coeff(exp5,_C2): >a62:=coeff(exp6,_C2): >a72:=coeff(exp7,_C2): >a82:=coeff(exp8,_C2):

DBD


107

>a13:=coeff(exp1,_C3): >a23:=coeff(exp2,_C3): >a33:=coeff(exp3,_C3): >a43:=coeff(exp4,_C3): >a53:=coeff(exp5,_C3): >a63:=coeff(exp6,_C3): >a73:=coeff(exp7,_C3): >a83:=coeff(exp8,_C3): >a14:=coeff(exp1,_C4): >a24:=coeff(exp2,_C4): >a34:=coeff(exp3,_C4): >a44:=coeff(exp4,_C4): >a54:=coeff(exp5,_C4): >a64:=coeff(exp6,_C4): >a74:=coeff(exp7,_C4): >a84:=coeff(exp8,_C4): >a15:=coeff(exp1,_C5): >a25:=coeff(exp2,_C5): >a35:=coeff(exp3,_C5): >a45:=coeff(exp4,_C5): >a55:=coeff(exp5,_C5): >a65:=coeff(exp6,_C5): >a75:=coeff(exp7,_C5): >a85:=coeff(exp8,_C5): >a16:=coeff(exp1,_C6): >a26:=coeff(exp2,_C6): >a36:=coeff(exp3,_C6): >a46:=coeff(exp4,_C6): >a56:=coeff(exp5,_C6): >a66:=coeff(exp6,_C6): >a76:=coeff(exp7,_C6): >a86:=coeff(exp8,_C6): >a17:=coeff(exp1,_C7): >a27:=coeff(exp2,_C7): >a37:=coeff(exp3,_C7): >a47:=coeff(exp4,_C7): >a57:=coeff(exp5,_C7): >a67:=coeff(exp6,_C7): >a77:=coeff(exp7,_C7): >a87:=coeff(exp8,_C7): >a18:=coeff(exp1,_C8): >a28:=coeff(exp2,_C8): >a38:=coeff(exp3,_C8): >a48:=coeff(exp4,_C8): >a58:=coeff(exp5,_C8): >a68:=coeff(exp6,_C8): >a78:=coeff(exp7,_C8): >a88:=coeff(exp8,_C8):

DBD


108

Montagem da matriz dos coeficientes: >A:=Matrix([[a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18],[a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28],[a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38],[a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48],[a51,a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58],[a61,a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68],[a71,a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78],[a81,a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88]]): >det:=Determinant(A): >K:=100: Plotagem do gráfico do determinante (determinante x lambda): >plot(Re(det),lambda=0..5.0,y=-1..1): Definição do intervalo de variação de lambda para observação do ponto onde ocorre troca de sinal (repetir este procedimento até que o determinante atinja a ordem de cinco casas decimais): >for lambda from 1.2 by 0.1 to 1.4 do determ[lambda]:=print(simplify(det)) end do: Definição do valor obtido para a primeira carga crítica: >lambda:=1.222755491: Cálculo dos novos elementos da matriz dos coeficientes: >b11:=simplify(a11): >b12:=simplify(a12): >b13:=simplify(a13): >b14:=simplify(a14): >b15:=simplify(a15): >b16:=simplify(a16): >b17:=simplify(a17): >b18:=simplify(a18): >b21:=simplify(a21): >b22:=simplify(a22): >b23:=simplify(a23): >b24:=simplify(a24): >b25:=simplify(a25): >b26:=simplify(a26): >b27:=simplify(a27): >b28:=simplify(a28): >b31:=simplify(a31): >b32:=simplify(a32): >b33:=simplify(a33): >b34:=simplify(a34): >b35:=simplify(a35): >b36:=simplify(a36): >b37:=simplify(a37): >b38:=simplify(a38): >b41:=simplify(a41): >b42:=simplify(a42): >b43:=simplify(a43): >b44:=simplify(a44): >b45:=simplify(a45): >b46:=simplify(a46): >b47:=simplify(a47): >b48:=simplify(a48): >b51:=simplify(a51): >b52:=simplify(a52):

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>b53:=simplify(a53): >b54:=simplify(a54): >b55:=simplify(a55): >b56:=simplify(a56): >b57:=simplify(a57): >b58:=simplify(a58): >b61:=simplify(a61): >b62:=simplify(a62): >b63:=simplify(a63): >b64:=simplify(a64): >b65:=simplify(a65): >b66:=simplify(a66): >b67:=simplify(a67): >b68:=simplify(a68): >b71:=simplify(a71): >b72:=simplify(a72): >b73:=simplify(a73): >b74:=simplify(a74): >b75:=simplify(a75): >b76:=simplify(a76): >b77:=simplify(a77): >b78:=simplify(a78): >b81:=simplify(a81): >b82:=simplify(a82): >b83:=simplify(a83): >b84:=simplify(a84): >b85:=simplify(a85): >b86:=simplify(a86): >b87:=simplify(a87): >b88:=simplify(a88): Montagem da nova matriz dos coeficientes: >B:=Matrix([[b11,b12,b13,b14,b15,b16,b17,b18],[b21,b22,b23,b24,b25,b26,b27,b28],[b31,b32,b33,b34,b35,b36,b37,b38],[b41,b42,b43,b44,b45,b46,b47,b48],[b51,b52,b53,b54,b55,b56,b57,b58],[b61,b62,b63,b64,b65,b66,b67,b68],[b71,b72,b73,b74,b75,b76,b77,b78],[b81,b82,b83,b84,b85,b86,b87,b88]]): Redução de ordem da matriz B através da eliminação da sua terceira coluna e última linha: >W:=Matrix([[b11,b12,b14,b15,b16,b17,b18],[b21,b22,b24,b25,b26,b27,b28],[b31,b32,b34,b35,b36,b37,b38],[b41,b42,b44,b45,b46,b47,b48],[b51,b52,b54,b55,b56,b57,b58],[b61,b62,b64,b65,b66,b67,b68],[b71,b72,b74,b75,b76,b77,b78]]): >V:=Vector([_C1,_C2,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8]): Montagem do sistema matricial: >Q:=W.V: Vetor correspondente à coluna eliminada da matriz B sem o elemento da sua última linha: >R:=Vector([-b13,-b23,-b33,-b43,-b53,-b63,-b73]): Resolução do sistema matricial: >sols:=solve({Q[1]=R[1], Q[2]=R[2], Q[3]=R[3], Q[4]=R[4], Q[5]=R[5], Q[6]=R[6], Q[7]=R[7]}, {_C1,_C2,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8}): >sols[1]:

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>sols[2]: >sols[3]: >sols[4]: >sols[5]: >sols[6]: >sols[7]: >V:=subs(sols[1],sols[2],sols[3],sols[4],sols[5],sols[6],sols[7],V): Cálculo da amplitude normalizada dos elementos do vetor das constantes: >ampnorm:=sqrt(((V[1])^2)+((V[2])^2)+((V[3])^2)+((V[4])^2)+((V[5])^2)+((V[6])^2)+((V[7])^2)+1): >Vnorm:=V/ampnorm: >C3:=1/ampnorm: Montagem do vetor normalizado das constantes: >C:=Vector([Re(Vnorm[1]),Re(Vnorm[2]),Re(C3),Re(Vnorm[3]),Vnorm[4],Vnorm[5],Vnorm[6],Vnorm[7]]): >ee1:=_C1=C[1]: >ee2:=_C2=C[2]: >ee3:=_C3=C[3]: >ee4:=_C4=C[4]: >ee5:=_C5=C[5]: >ee6:=_C6=C[6]: >ee7:=_C7=C[7]: >ee8:=_C8=C[8]: >w[1]: >w[2]: Autofunção w1(x) após a substituição das constantes: >w[1]:=subs(ee1,ee2,ee3,ee4,ee5,ee6,ee7,ee8,w[1]): Autofunção w2(x) após a substituição das constantes: >w[2]:=subs(ee1,ee2,ee3,ee4,ee5,ee6,ee7,ee8,w[2]): Plotagem dos gráficos das funções w1(x) e w2(x): >with(plottools):plot([w[1],x,x=0..0.5]):plot([w[2],x,x=0..0.5]): Comandos para exportação dos dados dos gráficos das funções w1(x) e w2(x): Para o gráfico de w1(x): >inf:=0: >inter:=0.01: >sup:=0.5: >cont:=0: for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >W1:=array(1..cont): >X:=array(1..cont): >cont:=0: >fd:=fopen("u:\\saidaw1.dat",WRITE,BINARY): >for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1: X[cont]:=x; W1[cont]:=simplify(w[1]): fprintf(fd,"%f , %f \n",X[cont],W1[cont]): end do: > fclose(fd):

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Para o gráfico de w2(x): >inf:=0: >inter:=0.01: >sup:=0.5: >cont:=0: for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >W2:=array(1..cont): >X:=array(1..cont): >cont:=0: >fd := fopen("u:\\saidaw2.dat",WRITE,BINARY): >for x from inf by inter to sup do cont:=cont+1: X[cont]:=x; W2[cont]:=simplify(w[2]): fprintf(fd,"%f , %f \n",X[cont],Re(W2[cont])): end do: >fclose(fd): 8.3. Apêndice B

Programa para o Cálculo das Cargas Críticas através do Método Aproximado de Ritz

>restart; >with(DEtools):with(LinearAlgebra): >Digits:=16: Função aproximada para os deslocamentos transversais: >w(x):=A1*sin(Pi*x)+A2*sin(2*Pi*x)+A3*sin(3*Pi*x)+A4*sin(4*Pi*x)+A5*sin(5*Pi*x)+A6*sin(6*Pi*x)+A7*sin(7*Pi*x)+A8*sin(8*Pi*x): Equação parametrizada de energia: >eq:=int((diff(w(x),x,x)^2)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w(x),x)^2),x=0..1)+int(K*w(x)^2,x=0..1/2): Equações de equilíbrio: >deq1:=diff(eq,A1): >deq2:=diff(eq,A2): >deq3:=diff(eq,A3): >deq4:=diff(eq,A4): >deq5:=diff(eq,A5): >deq6:=diff(eq,A6): >deq7:=diff(eq,A7): >deq8:=diff(eq,A8): Solução trivial do sistema: >solve({deq1,deq2,deq3,deq4,deq5,deq6,deq7,deq8},{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8}): Cálculo dos elementos da matriz dos coeficientes: >a11:=coeff(deq1,A1): >a12:=coeff(deq1,A2): >a13:=coeff(deq1,A3): >a14:=coeff(deq1,A4):

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>a15:=coeff(deq1,A5): >a16:=coeff(deq1,A6): >a17:=coeff(deq1,A7): >a18:=coeff(deq1,A8): >a21:=coeff(deq2,A1): >a22:=coeff(deq2,A2): >a23:=coeff(deq2,A3): >a24:=coeff(deq2,A4): >a25:=coeff(deq2,A5): >a26:=coeff(deq2,A6): >a27:=coeff(deq2,A7): >a28:=coeff(deq2,A8): >a31:=coeff(deq3,A1): >a32:=coeff(deq3,A2): >a33:=coeff(deq3,A3): >a34:=coeff(deq3,A4): >a35:=coeff(deq3,A5): >a36:=coeff(deq3,A6): >a37:=coeff(deq3,A7): >a38:=coeff(deq3,A8): >a41:=coeff(deq4,A1): >a42:=coeff(deq4,A2): >a43:=coeff(deq4,A3): >a44:=coeff(deq4,A4): >a45:=coeff(deq4,A5): >a46:=coeff(deq4,A6): >a47:=coeff(deq4,A7): >a48:=coeff(deq4,A8): >a51:=coeff(deq5,A1): >a52:=coeff(deq5,A2): >a53:=coeff(deq5,A3): >a54:=coeff(deq5,A4): >a55:=coeff(deq5,A5): >a56:=coeff(deq5,A6): >a57:=coeff(deq5,A7): >a58:=coeff(deq5,A8): >a61:=coeff(deq6,A1): >a62:=coeff(deq6,A2): >a63:=coeff(deq6,A3): >a64:=coeff(deq6,A4): >a65:=coeff(deq6,A5): >a66:=coeff(deq6,A6): >a67:=coeff(deq6,A7): >a68:=coeff(deq6,A8): >a71:=coeff(deq7,A1): >a72:=coeff(deq7,A2): >a73:=coeff(deq7,A3): >a74:=coeff(deq7,A4): >a75:=coeff(deq7,A5): >a76:=coeff(deq7,A6): >a77:=coeff(deq7,A7): >a78:=coeff(deq7,A8): >a81:=coeff(deq8,A1): >a82:=coeff(deq8,A2): >a83:=coeff(deq8,A3): >a84:=coeff(deq8,A4):

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>a85:=coeff(deq8,A5): >a86:=coeff(deq8,A6): >a87:=coeff(deq8,A7): >a88:=coeff(deq8,A8): Montagem da matriz dos coeficientes: >A:=Matrix([[a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18],[a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28],[a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38],[a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48],[a51,a52,a53,a54,a55,a56,a57,a58],[a61,a62,a63,a64,a65,a66,a67,a68],[a71,a72,a73,a74,a75,a76,a77,a78],[a81,a82,a83,a84,a85,a86,a87,a88]]): Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes: >det:=Determinant(A): Definição do valor de K: >K:=100: Plotagem do gráfico do determinante em função de lambda: >plot(det,lambda=0..3): Cálculo dos "zeros" da equação do determinante, ou seja, os valores de lambda crítico: >sols:=fsolve(det,lambda=0..3): 8.4. Apêndice C

Programa para a Determinação do Caminho Pós-Crítico pelo Método de Ritz

>restart: >with(DEtools):with(LinearAlgebra): >Digits:=28: Equação não-linear de energia: >eq:=(1/2)*(int((diff(w1(x),`$`(x,2))^2+diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),x)^4),x=0..1/2)+(int((diff(w2(x),`$`(x,2))^2+diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),x)^4),x=0..1/2)+int(K*w2(x)^2,x=0..1/2))): >K:=100: Soluções analíticas do primeiro modo para os dois trechos da coluna, multiplicadas pela deformação máxima, eta: >w1(x):=eta*(.3477919632084519324259548976-.6955839264169038648519097952*x+.2552517158943698746690828252*sin(1.222755491*Pi*x)+.6994747110113814273054096696*cos(1.222755491*Pi*x)): >w2ssimp(x):=eta*((-.9372549613267057111867346126e-1-.2204271039792308380897392562*I)*exp(-1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2-2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(.9372549613267057111867346126e-1+.2204271039792308380897392562*I)*exp(1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2-2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(-.9372549613267057111867346126e-1+.2204271039792308380897392562*I)*exp(-1/2*(-

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2.990261981541302162*Pi^2+2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)+(.9372549613267057111867346126e-1-.2204271039792308380897392562*I)*exp(1/2*(-2.990261981541302162*Pi^2+2*(2.235416679562828727954103469*Pi^4-400)^(1/2))^(1/2)*x)): >w2(x):=simplify(w2ssimp(x)): Parte da equação da energia correspondente ao trecho sem fundação, sem as integrais (apenas o integrando): >eq1:=(1/2)*((diff(w1(x),`$`(x,2))^2+diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),`$`(x,2))^2*diff(w1(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w1(x),x)^2+1/4*diff(w1(x),x)^4)): Parte da equação da energia correspondente ao trecho com fundação, sem as integrais (apenas o integrando): >eq2:=(1/2)*((diff(w2(x),`$`(x,2))^2+diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),`$`(x,2))^2*diff(w2(x),x)^4)-(lambda^2*Pi^2)*(diff(w2(x),x)^2+1/4*diff(w2(x),x)^4)): >eq3:=(1/2)*(K*w2(x)^2): Integração das equações nos limites correspondentes: >result1:=evalf(int(eq1,x=0..1/2)): >result2:=evalf(int(eq2,x=0..1/2)): >result3:=evalf(int(eq3,x=0..1/2)): Soma das expressões resultantes das integrações parciais da equação de energia: >result:=result1+result2+result3: Diferenciação da equação de energia com relação à constante eta: >deq:=diff(result,eta)=0: Obtenção das soluções da equação: >sols:=solve(deq): Equação do caminho pós-crítico obtida no passo anterior, com a exclusão dos eventuais termos imaginários: >lambda:=10./(.7493603222425851246429222776e61+.3103995191846389273196978993e62*eta^2)*(-1.*(.7493603222425851246429222776e59+.3103995191846389273196978993e60*eta^2)*(-.4292742585478404914157583436e62*eta^2-.9307860685020762120352519378e62*eta^4-.1120391842219411467898222441e62))^(1/2): Carga crítica já obtida anteriormente: >lcr:=1.222755491: Plotagem do gráfico do caminho pós-crítico: >plot([lambda/lcr],eta=-0..0.5): Exportação dos dados do gráfico do caminho pós-crítico: >inf:=0: >inter:=0.0002: >sup:=0.2: >cont:=0: for eta from inf by inter to sup do cont:=cont+1 end do: cont: >L:=array(1..cont): >ETA:=array(1..cont): >cont:=0: >fd := fopen("u:\\camposcr.dat",WRITE,BINARY): >for eta from inf by inter to sup do cont:=cont+1:

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ETA[cont]:=eta; L[cont]:=simplify(lambda): fprintf(fd,"%f , %.7f \n",ETA[cont],L[cont]): end do: >fclose(fd);

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Documents

Gustavo Serebrenick Análise da estabilidade de colunas ...Stability analysis of slender columns partially buried in a non-linear elastic foundation. Rio de Janeiro, 2004. 115p. M.Sc