Guia Resuelta Teoremas de Circuitos

8/16/2019 Guia Resuelta Teoremas de Circuitos

1/28

GUÍA RESUELTA TEOREMAS DE CIRCUITOS

1.- Determinar el circuito equivalente e T!evenin entre la" terminale" A # $e la "i%uiente re.

2j 4j 10j

* *

A

B

°∠010

Ω2 Ω2

Soluci&n'

ParaTH V

( ) ( )

jV V

j jV

J z V V

jA j Z

Vfv J

Vfv J Z

J z J z V

j z Z

j z

j z

j z

I z I z V V

AB

AB

Th AB

AB

Th

1010

5.25.24

5.25.222

010

22

4

102

22

121

11

1

111

12122

111

21

2

1

1212222

+=−=

==

−=+

°∠==

=+=+==

Ω=Ω+=

Ω+=+==

ParaTH Z

:


2/28

( ) ( )

Ω+=+

=Ζ

∆==

Ω=+−++=∆

+++=∆Ω=Ζ

Ω+=Ζ

Ω+=Ζ

+

+=

Ζ Ζ

Ζ Ζ =∆

j j

j

Cof

Z Z Z

j j j Z

j j Z

j

j

j

j j

j j Z

TH eq 6622

24

2416204204

1610222

4

22

102

224

4102

11

21

22

11

2221

1211

(.- O)tener el equivalente e T!evenin entre la" terminale" A # $ el "i%uiente circuito.

1=k

Soluci&n'

Para resolver este circuito se aplica el método del intercambio defuentes, esto es tratando de conectar las fuentes de corriente en paralelo o lasfuentes de voltaje en serie.

Ω+=

Ω+=

Ω−=

Ω+=

j z

j z

j z

j z

614

28

812

410

4

3

2

1


3/28

Aº03.142425.0 j0588.02353.0 j28

02

z

02I

A01I

Aº79.219284.0 j3448.08621.0 j410

010

z

010I

33

2

11

−∠=−=+∠

=∠

=

∠=

−∠=−=+

°∠=

°∠=

Ω+=

++

=

−=−+=

j3683.07876.3

z

1

z

1

z

1

1z

jA286.06268.1IIII

321

A

321A

jV4841.0267.6) j3683.07876.3)( j286.06268.1(zIVc AA −=+−==


4/28

Ω+=+=

−=+=

j3683.67876.17zzZ

jV4841.0267.1812VcV

4ATh

Th

*.- Em+leano el circuito equivalente e ,orton calcular la corriente # el voltae en la im+eancia e car%a /10

# 00023 conectaa entre lo" +unto" A # $ el "i%uiente circuito.

Soluci&n' seg rad k /1000,1 == ω

Las impedancias propias mutuas del circuito son!


5/28

Ω−=Ω=Ω+=Ω+=Ω+=

Ω−=Ω=

j z

j

j

L 510

4z 2j5z

8j3z 10j2z

5z 4j-4.5z

353

52

41

Por estructura de dos terminales determinamos la "#$ poniendo en corto circuitola fuente de voltaje.

Ω+=+

+−

=

∆

=

Ω+−=

++

++=∆

Ω+=+=

Ω+=+++=

Ω+=++=

j j

j

cofZ

Z

Z

j j

j Z

j z Z

j Z

j z z z Z

Th 3262.553.8138

5.1531

5.153113j8 65

6j5 85.11

65z

1382zzzz

85.11

11

35312

3554322

32111

Aplicamos el método de mallas para determinar el voltaje.

Las ecuaciones de mallas son!


6/28

j J j J j

J j J j

J Z J Z

Vfv J Z J Z

302)138(1)65(

02)65(1)85.11(

021

21

2221

2111

=+++ =+++

=+=+

Z 11-5j!5!2j!3!8j!8j8!13jΩ Z 21

Z 21

5!2j!4j5!6jΩ Z 22

5!2j!4.5-4j!2!10j11.5!8jΩ

A jA J I

A jA J

j j j j

jV Z

Z

Z

Z

J

N °∠=+=−=°−∠=−−=

++−++°∠+−

=−=∆

=

5052.1662.19847.02

13052.11662.19848.02

)65)(65()85.11)(138(

)9030(650

V

2 2121

11

%l circuito e&uivalente de 'orton es el si(uiente!

A$ora podemos calcular el voltaje corriente de la impedancia de car(a.


7/28

jV V

j j z I V

A I

j j

j j

Z Z

Z I I

L

L L L

L

N L

N N

L

5132.74131.5

)510)(8176.01325.0(

8176.01325.0

)3262.553.8()510(

)3262.553.8)(1662.19848.0(

+=

−+==

+=

++−

++=

+=

4.-Determinar el circuito equivalente e ,orton entre la" terminale" A # $ ela "i%uiente re.

1=k

Soluci&n' La corriente de 'orton se determina entre los puntos A B conectandoun cortocircuito entre estos puntos, como se encuentra entre ambas mallas sedeben de calcular las corrientes )1 )2.

jA j

j

j j

j j

j j

j

J

j J Z J Z

J Z J Z

J J I

j z

j z

j z

N

6432.16595.06423

8090

845

584

8410

510

10

10

5

84

84

1

222121

212111

21

12

2

1

−=+−

+=

+

+

+=

=+

=+

+=

=

+=

+=


8/28

A I

j I

j j I

jA

j j

j j

j j

j

J

N

N

N

°−∠=−=

++−=

+=

++

+

=

89.270397.1

486.0919.0

1568.12595.06432.16595.0

1568.12595.0

845

584

105

1084

2

Para calcular la N Z

las fuentes se cortocircuitan debido a &ue son fuentes devoltaje, en este caso los puntos A B se encuentran colocados entre ambasmallas se puede arre(lar el circuito de tal forma &ue los estos puntos pertene*can

+nicamente a una sola malla, esto es debido a &ue para aplicar correctamente lafrmula para calcular la impedancia e&uivalente en los puntos A B se debe deconectar una fuente ficticia de voltaje con la condicin de &ue este sea la mallan+mero 1.


9/28

Ω+==

+=++−=

++−−

−−+

=∆=

−−=+−−=+−=

+=−+++=−+=

+==

j Z Z

j j j

j j j

j j

CofZ Z Z

j j j z z Z

j j j j z z z Z

j z Z

eq N

eq

5.62

5.62686423

686834

3484

34584

681084842

84

11

12112

122122

111

.- Meiante el Teorema e intercam)io e 2uente" o)tener el circuitoequivalente e ,orton en la "i%uiente re.

Soluci&n!

Para obtener el circuito e&uivalente se debe de reducir el circuito desde el puntom-s alejado de los puntos A B tratando de dejar a las fuentes de voltaje en seriecon su respectivo elemento pasivo en serie o las fuentes de corriente en paralelocon su respectivo elemento pasivo en paralelo.


10/28

La fuente de voltaje de 12 olts la resistencia deΩ3

forman un circuitoe&uivalente de #$evenin, este se puede convertir en un circuito e&uivalente de'orton. %stos dos e&uivalentes se pueden reducir en un circuito e&uivalente

formado por la impedancia B Z

la fuente de corriente B I

, este +ltimo e&uivalente

se puede convertir en un e&uivalente de #$evenin

( ) Bc Z V ,

.

Ω=+

×=

=+=

Ω=

===

75.031

31

62

3

43

12

B

A B

A

A

Z

A I I

Z

A Z

V I

V Z I V B BC 5.4)75.0)(6( ==×=


11/28

Ω=+==+=75.88

5.1915

B D

C D

Z Z

V V V

A I

A I

Z

V I

G

F

D

D E

5.0105

25

10

228.275.8

5.19

==

==

Ω===

Ω=

++

=

−=−−=

413.2

10151

75.81

1

272.0

N

G F E N

Z

A I I I I

5.- A+licano el +rinci+io e "u+er+o"ici&n calcular la corriente en el elemento e m!o"


12/28

Soluci&n'

º902.0,/1000,1: ∠=== fc I seg rad k io!"#er#osic ω


13/28

( ) ( )

A$#% se% i

j j

I&

I

j j j

j j I

& &

& I

&

& I I

j$hos &

j j

j j

& &

& & &

j$hos &

j$hos j &

j$hos &

j$hos j ' j &

$ho

$ho

$ho

&

A

T

T

k T k

A

A

)474.721000(0757.0)1()(

474.720757.00722.00228.025

)5(

0813.0006.09844.15975.725

)25)(2.0(

9844.15975.7

415810

)415)(810(415

420)62(20

810

25)24(51000

200010410005

5

1

5

1

1

1

42

42

4

3

2

31

°+=°∠=+=+=

+−=+++

+=

+==

+=

−++

−+=

+=

−=

−=−+=

+=

+=−+=

−+= −

º9050,/2000,1: ∠=== fcV seg rad k io!"#er#osic ω


14/28


15/28

º9025,/10,2

1: ∠=== fvV seg rad k io!"#er#osic ω

A% !e% i

j j

j

z

V I

j z z z z

j j z

z

j ' j z

AB

T

T T

T

)496.8810(2172.0)("

496.882172.02172.00057.03115

25

3115

240)24(40

50

251040)105.0(25

1

321

3

2

1

°+=

°∠=+=+

==

Ω+=++=Ω+=−+=

Ω=

Ω+=−+=

º02,/20,2

1:

∠=== fc I seg rad k io!"#er#osic ω


16/28

A% !e% i

j I

j

j

Z Z

Z I I

j Z Z Z j j Z

j j Z

j j Z

Z

j j Z

AB

AB

(

( T AB

(

)61.520(15.1)(

61.515.11115.0145.1

501565

)1565)(02(

1565270)46(70

35)34(35

740)18(10

50

825)210(25

2

2

31

5

4

3

2

1

°+=

°∠=+=

++

+°∠=

+=

Ω+=+=Ω+=−+=

Ω+=−+=

Ω+=−+=

Ω=

Ω+=−+=

A% !e% !e% i AB )61.520(15.1)496.8810(2172.0)( °++°+=

7.- Determinar la +otencia activa reactiva a+arente # 2actor e +otencia encaa una e la" rama" e la "i%uiente re.

12/ 0

.oltsj

20j

10j

40j

Ω10 Ω0

1=k

Soluci&n' Para calcular cada una de las potencias &ue se pide en el problema sepuede calcular la potencia compleja de cada una de las ramas a &ue con esc-lculo se determina de una sola ve* las potencias real, reactiva, aparente factor de potencia. La potencia compleja se puede calcular mediante las si(uientesfrmulas!

22#V ) I Z I V ! =×=×=


17/28

%sta frmula como a se mencion inclue todas las potencias se obtienen de lasi(uiente forma!

La +otencia real es la parte real de la potencia complejaLa +otencia reactiva es la parte imaginaria de la potencia compleja

La +otencia a+arente es la magnitud de la potencia complejaEl 2actor e +otencia es el Coseno del ángulo de la potencia compleja

°−∠=−=+

==

°−∠=−=+

==

Ω−=Ω+=

964.301779.21206.18676.13050

127

726.475429.83213.67466.51110

127

3050

1110

22

11

2

1

j j Z

V I

j j z

V I

j z

j z

)(672.0..

726.47..

939.1084

)(79.802

81.729

726.47939.1084

79.80281.729

)1110()5429.8(

:1

1

1

1

2

1

2#

1

−=

°==

=

+=

=

°∠=

+=

+=

=

* F

CosCos * F

VA!

VA+,

-a%%s *

j

j

Z I !

+a$a

θ

)(857...

)º964.30(..

575.276

)(3.14216.237

964.30575.276

3.14216.237

)3050(7432.4

)3050()1779.2(

:2

1

1

1

2

2

2#

2

+=

==

=

−=

=

°−∠=

−=

−=

−=

=

* F

CosCos * F

VA!

VA+,-a%%s *

j

j

j

Z I !

+a$a

θ

8.-Determinar la +otencia activa reactiva a+arente # 2actor e +otencia encaa una e la" rama" e la "i%uiente re.

300j400j A°∠405.2

Ω00Ω400


18/28

Soluci&n'1=k

"1 "2 A°∠405.2

A j I

j

j

z z

z I I

A j I

j

j

z z

z I I

j z

j z

T

T

º58.22437.1056.02425.1

1001000

)300400(º405.2

º982.67793.1663.16725.0

1001000

)400600(º405.2

400600

300400

2

21

12

1

21

21

2

1

−∠=−=+

−∠=

+=

∠=+=+

+∠=

+=

Ω+=Ω−=


19/28

( ) ( )

( )

( )

( )−=°−=

=+=

=°−∠=

−=−=

=

83.0..

690.33c$%c$%

4059.1115

7158.618

0738.928

69.334059.1115

7158.6180738.9284006002437.1

1

1

2

2#

22#

2

2

12#

* F

VA!

,

-a%%s *

!

j j!

Z I !

θ

10.- Am)a" 2uente" mo"traa" en la "i%uiente re o+eran a la mi"ma2recuencia. Determinar la +otencia com+lea a)"or)ia +or caa uno e lo"elemento" +a"ivo" el circuito.

Soluci&n' 5omo en el circuito se tienen dos fuentes &ue trabajan a la mismafrecuencia se puede aplicar el método de mallas para calcular las corrientescirculantes )1 )2 de esta forma obtener la potencia compleja en cada rama.


20/28

Ω−=

Ω−=

Ω−=

=+=+

Ω=

Ω−=

Ω+=

j Z

j Z

j Z

j J Z J Z J Z J Z

z

j z

j z

10

105

66

100100

5

10

46

12

22

11

222121

212111

3

2

1

A j

j j

j j

j j

j

J

A j

j j

j j

j j

j

J

°∠=+−=

−−

−−

−

−

=

°−∠=−=

−−−−

−

−

=

57.12198.147692.128462.7

10510

1066

10010

10066

4.648.98462.82308.4

10510

1066

105100

10100

2

1

VA z I !

jVA j z I !

jVA j z I !

A j J J I

A J I A J I

Z

Z

Z

065.1123)5()9871.14(

6.284)10()3348.5(

552.384828.576)46()805.9(

º66.1323348.5923.36154.3

º56.1219871.14º43.64805.9

22

33#

22

22#

2

1

2

11#

212

23

11

===

−=−==

+=+==

∠=+−=+=

∠==

−∠==

11.- Determinar el valor e L "i la 2recuencia e re"onancia e" e 17009: enel "i%uiente circuito.


21/28

−+

==

C L j +

V

Z

V I

ω ω 1

LC C L

10

1=⇒=− ω

ω ω

( )

( ) ( ) $H

C L

seg rad f

9.3102733.11309

11

/733.11309180022

622 =

×==

===

−ω

π π ω

1*.- Determinar el valor e C "i la 2recuencia e re"onancia e" e *0 9:.

( )( )

( ) ( ) F

LC

seg rad f

Hz f

µ ω

π π ω

763.185.1495.188

11

/495.1883022

30

22

00

0

===

===

=

15.- Calcular el voltae e2ica: la corriente e2ica: # la +otencia meia en larama ( el circuito mo"trao en la "i%uiente 2i%ura "i la 2uente ealimentaci&n e"t; aa +or la "erie e


22/28

Hz f A$# I 10,3 ==

Soluci&n' Para resolver un circuito cuando la fuente de alimentacin est- dada

por una serie, se anali*a mediante el principio de superposicin. 6e anali*a elcircuito con la primera fuente $aciendo las dem-s, después se anali*a el circuitocon la se(unda fuente $aciendo las dem-s cero, as7 sucesivamente, el resultadose e8presa como la suma de los resultados parciales debido a cada fuente si seest- calculando los valores instant-neos. %n caso de estar calculando el valor efica* de la corriente o el voltaje se deben de aplicar las si(uientes frmulas!

∑

∑∞

=

∞

=

+=

+=

1

22

0

1

220

2

1

2

1

ef

ef

V V V

I I I

%n caso de estar calculando la potencia media en al(+n elemento se debe deaplicar la frmula si(uiente!

( )

corrie%e/ade Ag"/o

vo/%ajede/ Ag"/o

Cos I V I V *

0

=

=

−+= ∑∞

=

β

α

β α 1

002

1

A$#% I

io!"#er#osic

954.03)(

:

==π


23/28

( )

( )

Vo/%s 'V

+ I V

A$# I

+ +

+ I I T

32

222

2

21

12

10632.7

1001)7632.0(

7632.0

100

1

25

1251)954.0(

−=°

=°=°

=°

+=

+=

seg rad f .

k .% % I

io!"#er#osic

831.62)10(22

1c$%23)(

:

===

==

π π

100

15501025

3

2

1

=

−= +=

&

j & j &

( ) ( )

Vo/%s j j)

I V

A$# j I

j j j

j

) )

) I I

j j

j

) )

) ) )

A

A

A

AT A

A

°∠=+=−

°∠==

∠=+=

+=−++−°∠

=+

=

−=−

−=

+=

606.860253.00253.00015.06007.69934.33

713.758789.0

º713.758789.08518.02169.0

8518.02169.06007.69934.331025

6007.69934.33905.1

6007.69934.3315150

)100)(1550(

12

1

2

1

32

32


24/28

seg rad .

A$# I

.% % I

io!"#er#osic

662.137)831.68(2

906366.0

2c$%3

)3(2)(

:

==

°∠=

=π

100

846.650

88.2125

3

2

1

=

−=

+=

)

j)

j)

( ) ( )

( )∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

+

−+=

+=

+=

°∠=+=−

+==

°∠=

°∠=+=−++

°−∠°∠==

−∠=−=−

−=

+=

1

00

1

220

1

220

22

22

1

32

32

2

1

2

1

2

1

087.720104.00099.00032.00363.34719.33

3205.01363.0

954.66348.0

961.663482.03205.01363.0036.3471.3388.2125

)183.56093.33)(906366.0(

º183.56093.330363.34719.33846.6150

100846.650

0

ef

ef

A

A

A

AT A

A

Cos I V I V *

V V V

I I I

Vo/%s j j

j

&

I V

A$#s I

j j j & &

& I I

j j

j

) )

& & &

β α

[ ]

( ) [ ] Vo/%sV

A$# I

ef

ef

02079.00104.00253.02

110632.7

014.1348.08787.02

17632.0

2223

222

=++×=

=++=

−

( )( ) ( ) ( )[ ]-a%%s *

CosCos *

0

0

015.0

954.66087.72348.00104.0713.75606.868789.00253.0217632.010632.7 3

=

−××+−××+×= −

16.- Calcular la corriente # el voltae e2ica: entre lo" +unto" A # $ en el "i%uiente circuito cuano la "erie e


25/28

seg rad .

A$# I

.% Cos I

Cos.% I I

% i

1

4

.....2

32

)(

=

=

−−=

π π π

Soluci&n'Soluci&n'

Vo/%sV

A$# I

A$# I

io!"#er#osic

0"

0"

636.02

4

:

0

0

==

== π

Vo/%s jV

j j Z I V

A$# j I

j

j j I

Z Z

Z I I

I

.% se.% I

% I

seg rad k

io!"#er#osic

AB

AB AB AB

AB

AB

co% T k

°−∠=−−=

+−−==

−∠=−−=

+−−

=

+=

°−∠=°∠−=

°+−=−=

==

406.907377.77376.70549.0

)215)(5064.00712.0(

º985113.05064.00712.0

25

)10)(273.1(

90273.190273.1

)90(273.12c$%)(

/1,1

:

1

11

1

1

21

π

ω


26/28

°−∠=°∠−=

°+−=−=

==

90424.090424.0

)902(424.02c$%3

)(

/1,1

:

I

.% se.% I

% I

seg rad k

io!"#er#osic

π

ω

°−∠=−=

+°−∠==

°−∠=

−−=+

−−=

901.856106.2604.21866.0

)415)(828.1001682.0(

828.1001681.0

1652.00316.05.325

)5.010)(424.0(

2

22

2

2

jV

j Z I V

I

j j

j j I

AB

AB AB AB

AB

AB

∑

∑∞

=

∞

=

+=

+=

1

22

0

1

22

0

2

1

2

1

ef

ef

V V V

I I I

seg rad . 2=

[ ]

[ ] Vo/%sV

A$# I

ef

ef

774.56106.27377.72

10

3805.01681.05113.02

10

222

222

=++=

=++=

17.- Determinar lo" +ar;metro" =:> en la "i%uiente re e o" +uerto".

Soluci&n'


27/28

021

111

=

= I

I

V Z

012

112

=

= I

I

V Z

021

221

=

= I I

V Z

012

222

=

= I I

V Z

&11 = Z

z11J =V

1

J 1= I

1

Z =V

1

I 1

V 1=V fv

z11 I 1=V 1

z11

Z 11=

V 1

I 1=13+3 j+8−4 j

Z 11=21− j

Z 21=

V 2

I 1

V 2=(8

−4 j) I 8−4 j

I 8−4 j

J 1= I

1

V 2

I 1=8−4 j=Z

21


28/28

I 1=0

Z 12=

V 1

I 2;Z

22=

V 2

I 2

z11 I

1=V fI

'(1)J

1= I

2 '(2)

Z 12=Z

21=8−4 j

V fI =V 2 '(3)

%*+*,/$ (2) , (3) (1) z

11 I

2=V

2

z11=Z

22=

V 2

I 2

Z 22 15!6j!8-4j23!2jΩ

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Guia Resuelta Teoremas de Circuitos