Guıa unificada de ejercicios para

Calculo Diferencial e Integral 1

Guillermo Grabinsky Steider

ITAM, 2017

1 Igualdades y desigualdades

1. Obten el conjunto solucion de cada una de las siguientes igualdades ydesigualdades:

(a) |2x+ 4|+ 5 = 11

(b)∣∣x2 + 2

∣∣ ≤ 3

(c)∣∣∣ 1−xx−4

∣∣∣ > 0

(d) x2−43x ≥ 1

(e) 4x2+52+x ≥ 1

(f) x2+x ≤ 2x

(g) |x+ 5| < 2 |x− 1|(h)

∣∣ 13x −

127

∣∣ < 0.1

(i)∣∣ 3x+2

x − 113

∣∣ < 0.2

(j) (2x−3)(x+5)−x2+6x−6 ≥ 0

(k) (x−1)(x+1)x2−x−12 < 0

2. Escribe los siguientes intervalos I como el conjunto solucion de una de-sigualdad de la forma |x− x0| < δ para algunas x0 ∈ R y δ > 0

(a) I = (0, 3)

(b) I = (−3, 2)

(c) I = (3, 3 + a) (a > 0)

3. Prueba: |a+ b| = |a|+ |b| ↔ ab ≥ 0

4. Prueba que:

(a)|a− b| ≤ |a+ b| ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ R

1

(b)||a| − |b|| ≤ |a− b|, a, b ∈ R

5. Prueba por induccion:Si a1, a2, ..., an ∈ R entonces |a1 + a2 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ · · · |an|

6. Prueba que:

|xy| ≤(x2 + y2

2

)∀x, y ∈ R

7. Prueba que:

−1

2≤ x

1 + x2≤ 1

2∀x ∈ R

8. Obten el conjunto solucion de la desigualdad:∣∣2x2 + x− 1∣∣ ≥ x2 + 1

9. Determina todos los valores de x que satisfacen:√(x2 − 5x+ 6)2 = x2 − 5x+ 6

10. Determina un valor de δ > 0 que garantice que si

|x+ 2| < δ entonces∣∣x2 − 4

∣∣ < 110

11. Determina un valor de δ > 0 que garantice que si

0 < |x+ 2| < δ entonces 2x− 5 dista de −9 en menos de 110

2 Dominios y graficas

1. Determina el dominio de las siguientes funciones:

(a)

f(x) =

√4− x2

x2 − 5x+ 6+

√4x

x2 + 1

(b)

f(x) =

√x(x− 1)(x− 5)

x2 + 2x+

1

(x2 − 9)2

(c)

f(x) =√x2 − 9 +

√4− x2

2

(d)

f(x) =3x(x2 − 1)

(x− 3)(x− 2)+√x2 − 1

(e)

f(x) =

√9− x2x

+1

(x+ 2)2

(f)

f(x) =1

x2 − 4x+

√5 + x

−x2 − 3x+ 10

(g)

f(x) =

√4− x2

x2 + x− 6+√x2 − 9

(h)

f(x) =

√x2 + 3x

2−√

2− x

(i)

f(x) =

√∣∣∣∣x− 2

2

∣∣∣∣− ∣∣∣∣x− 1

3

∣∣∣∣(j) g(x) = f(f(f(x))) si

f(x) =1

1− x

(k) f ◦ g si

f(x) =√x− 1; y g(x) = 1√

2−x

(l) f ◦ f sif(x) =

√2− x

(m) f ◦ g si

f(x) =√

1x −√

6 y g(x) = 1√x2−3x+4

(n)

g(x) =1

2f

(x+

1

3

)− f

(x− 1

4

)si el dominio de f es [0, 1]

2. Traza la grafica de y = f(x) si:

3

(a) f(x) =

−2 si x ≤ 3−x+ 1 si −3 < x < −1|x|+ 1 si −1 ≤ x < 2

0 si x = 21− x si 2 < x ≤ 3

1 si 3 < x

(b) f(x) =

|x| − 2 si |x| ≤ 1−x2 si 1 < |x| ≤ 2−4 si |x| > 2

3. Traza la grafica de y = f(x) si:

(a) f(x) = |x− 3|+ 3

(b) f(x) = 3− |x|(c) f(x) = ||x| − 3|(d) f(x) =

∣∣x2 − 9∣∣+ 3

(e) f(x) =∣∣x2 − 5x+ 6

∣∣3 Composicion de funciones

1. Completa la siguiente tabla:

f g g ◦ fa 3x+ 7 2x− 1b 1

x xc x2 |x|d x

x−1xx−1

e 1 + 1x x

f√x− 5

√x3 − 5

2. Supon que f(x) = 2x− 3, obten g, h : R→ R tales que:f(g(x)) = x+ 7 y h(f(x)) = x+ 7, ∀x ∈ R

3. Prueba que las siguientes funciones y = f(x) son biyectivas y obtenx = f−1(y) si:

(a) f : R→ R, con f(x) = mx+ b, (m 6= 0)

(b) f : (−1, 1)→ R, con f(x) = x1−|x|

(c) f : R→ R, con f(x) = (x− 3)3 − 1

4. Define: f(x) =

{1x si x < 0√x si x ≥ 0

y g(x) =

{1x2 si x < 0−√x si x ≥ 0

Determina f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g, 1g y fg ası como sus dominios. Traza

la grafica de cada una.

4

5. Calcula la inversa de cada una de las funciones invertibles del ejercicioanterior.

6. Sean f(x) = 2x+ 3 y g, h : R→ R tales que

(f ◦ g)(x) = x+ 1 = (h ◦ f)(x)

para toda x ∈ R. Determina g y h.

7. Sean

f(x) = 1− x y g(x) =

{−1 si x < 01 si x > 0

Obten g ◦ f y f ◦ g.

8. Sea

g(x) =

{1− x si x < 0x2 − 1 si x ≥ 0

Determina g ◦ g.

9. Sean

f(x) =

{x2 si |x| ≤ 1−x2 si |x| > 1

y g(x) =

{√−x si x < 0−√x si x ≥ 0

Obten g ◦ f .

10. Sean f(x) =

√−x si x < −1−1 si −1 ≤ x < 0x− 1 si 0 ≥ x

y g(x) =

2x si x ≤ −10 si −1 < x < 1

1− x2 si < 1 ≤ xObten f ◦ g y g ◦ f .

11. Sean

f(x) =

−1 si x < 00 si x = 01 si x > 0

y g(x) = x(1− x2)

Obten f ◦ g y g ◦ f asi como los puntos de discontinuidad de cada una deellas.

5

4 Lımites (Primera Parte)

Obten los siguientes lımites:

1.

limx→3

x2 − 6x+ 9

x2 − 9

2.

limx→0

√4 + 3x−

√4− 3x

x

3.

limx→1

√2− x− 1

2−√x+ 3

4.

limx→0|x|√

1

x2− 1

5.

limx→0

√2 + 3x−

√2− 3x

x

6.

limh→0

√h2 + 6h+ 9− 3

h

7.

limx→3

x2 − 6x+ 9

x2 − 9

8.

limx→0

|2x+ 1| − |2x− 1|x

9.

limx→a

√x−√a

x− a(a > 0)

10.

limx→a−

√x−√−a

|x+ a|, (a < 0)

11.

limx→9+

∣∣81− x2∣∣

√x− 3

12.

limx→−1+

x2 + x+ 1

− |1 + x|

6

13.

limx→0+

(1

x12

− 1

)14.

limx→3−

√x− 2− 1

|x− 3|

15.

limx→2−

√2x(x2 − 4)

|x− 2|

16.

limx→0+

√4−√

2x−√

4 +√

2x√x

17.

limx→9+

81− x2

3−√x

18.

limx→2+

3− xx2 − 4

19.

limx→−1+

|x+ 1|(1 + x2)2

20.

limx→1−

−1

(x− 1)23

21.

limx→∞

√x

x2 − 1− 1− x

4x

22.lim

x→−∞

(√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1

)23.

limx→∞

√1 + x2

x

24.limx→∞

(√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1)

25.limx→∞

(√x2 + 2x− x)

7

26.

limx→−∞

√x2 + 1

2x− 3

27.

limx→0+

x

√1

x− 1

28.

limx→∞

√x2 + x

x− 1

29.

limx→−∞

1

x

√x2 − 1

30.

limx→∞

x

√1

1 + x2

31.

limx→∞

(√x+√x−

√x−√x

)

5 Lımites trigonometricos

1.

limx→0

sin2(x)

1− cos(x)

2.

limx→0

x tan(x)

cos(x)− 1

3.

limx→0

sin(ax)

sin(bx)(b 6= 0)

4.

limx→−2−

sin(x+ 2)

|4− x2|

5.

limx→0

sin(x)− tan(x)

x2 tan(x)

6.

limx→∞

sin(x)

x

7.

limx→∞

x+ cos(x)

x+ sin(x)

8

8.

limx→0

sin(sin(x))

sin(x)

9.

limx→0

sin2(x)

1− cos(x)

10.

limx→0

x sin(x)

1− cos(x)

11.

limθ→0

sin(2θ)

2θ − θ2

12.

limx→0

sin(7x)− tan(5x)

2x

13.

limx→0

tan2(x)

1− cos(x)

14.

limx→0

cos(x)− 1

x tan(x)

15.

limθ→0

sin2(aθ)

aθ3 + bθ2, a, b 6= 0

16.

limx→0+

sin(x)√x

17.

limθ→π

2−

∣∣sin(θ − π2 )∣∣

θ2 −(π2

)218.

limx→∞

x2(

1− cos

(1

x

))19.

limx→∞

x tan

(1

x

)

9

6 Lımites (Segunda Parte)

1. Supon que limx→0+

f(x) = A y limx→0−

f(x) = B

Calcula los siguientes lımites laterales en terminos de A y B:

(a) limx→0+

f(x3 − x)

(b) limx→0+

f(x2 − x4)

(c) limx→0−

f(x− sin(x))

2. Usa los teoremas sobre lımites para obtener:

(a) limx→−1

(2f(x)+g2(x))2

2h(x)−g(x)

(b) limx→−1

f2(x)g(x)(2h(x)+1)3

Si limx→−1

f(x) = 3, limx→−1

g(x) = 2 y limx→−1

h(x) = −1

3. Si limx→4

f(x)−5(x−2)2+1 = 3, prueba que lim

x→4existe y obten su valor.

4. Supon que f esta definida en una vecindad V de x0 = 7 pero no necesari-amente en x0 y que:12 −

(x−74

)2 ≤ f(x) ≤ 12 +

(2x−14

7

)4 ∀x ∈ V − x0Obten lim

x→7f(x) y justifica.

5. Sea f : (0,∞)→ R una funcion tal que:2x−3x ≤ f(x) ≤ 2x2+8x+7

x2 ∀x > 0Calcula lim

x→∞f(x) y justifica.

6. Construye un ejemplo en el que se cumpla que limx→2

f(x) y limx→2

g(x) no

existen pero que limx→2

f(x)g(x) si existe y que sea igual a 3.

7. Sea el siguiente lımite

limx→3

2f(x)− 2

(2− x)2 + 2= 2

Usa las propiedades de lımites para demostrar que limx→3

f(x) existe y de-

termina su valor.

8. El limx→0

g(x) existe. Determina su valor para que se cumpla que

limx→−4

(limx→0

g(x))

= 2

.

10

9. Enunciar con detalle la definicion formal correspondiente a

limx→x−0

f(x) = −∞

.

10. Sean los lımiteslimx→x0

(f(x) + g(x)) = A

limx→x0

(f(x)− g(x)) = B

(a) Demuestra que limx→x0

f(x)g(x) existe y obten su valor.

(b) Si ademas A 6= B demostrar que limx→x0

f(x)g(x) existe y obten su valor.

7 Lımites (Tercera Parte)

1. Determina δ = δ(ε) > 0 tal que si 2 < x < 2 + δentonces

∣∣x2 + 3x− 4− 6∣∣ < ε

2. Prueba formalmente que:

(a) limx→−3−

−x2 + 2x+ 1 = −14

(b) limx→0

1x2+1 = 1

(c) limx→3

f(x) = 1, si

f(x) =

(x− 2)2 si x < 32 si x = 3

|2− x| si x > 3

(d) limx→0

f(x) = 1 si

f(x) =

{1− x si x < 01 + x2 si x > 0

3. Prueba formalmente:Si lim

x→x0

f(x) = 0 y |g(x)| ≤M ∀x 6= x0 (M > 0 constante)

entonces limx→x0

f(x)g(x) = 0

Concluye que:limx→0

x sin(1x

)= 0

4. Supon que f satisface:|f(x)− l| ≤M |x− x0|2, (M > 0 constante)Prueba formalmente que lim

x→x0

f(x) = l

5. Sea ε ∈ (0, 1) fija. Determina δ(ε) > 0 que garantice que si 0 < |x− 1| < δentonces

∣∣ 1x

∣∣ < ε

11

6. Prueba formalmente que:

(a) limx→∞

x2+xx2−1 = 1

(b) limx→2−

10(x−2)3 = −∞

(c) limx→−∞

xx−1 = 1

(d) limx→∞

x2+3x+1 =∞

(e) limx→−∞

1x2+1 = 0

(f) limx→−∞

√x2 + 1 =∞

7. Prueba formalmente (usando la definicion) que:

(a) limx→0

f(x) = 2 si f(x) =

{−3x+ 2 si x < 0x2 + 2 si x > 0

(b) limx→1

f(x) = −1 si f(x) =

−2x+ 1 si x < 13 si x = 1−x si x > 1

(c)

limx→2

2x− x2

x− 2= −2

(d)

limx→0

x

x2 + 1= 0

Sugerencia: demostrar que ∣∣∣∣ x

x2 + 1

∣∣∣∣ ≤ |x|(e) Si |f(x)| ≤M y |g(x)| ≤

√|x|, ∀x 6= 0, entonces

limx→0

f(x)g(x) = 0

(f)

limx→0−

x cos

(1√−x

)= 0

(g)

limx→0

1

x2=∞

(h)

limx→∞

x2 + x

1− x2= −1

(i)

limx→−∞

t2 − tt2 − 1

= 1

12

8 Continuidad (Primera Parte)

1. Sea

f(x) =

√

2− x si x < a1 si x = a

2x2 − 1 si x > a

Determina el valor de a de manera que f sea continua en a.

2. Sea

f(x) =

{x2−9x−3 si x 6= 3

5 si x = 3

¿Es f continua en x = 3? Justifica la respuesta.

3. Sea

f(x) =

2x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 3x2 + bx+ c si 3 < x < 5

2x+ 3 si 5 ≤ x

Determina b y c de manera que f sea continua en su dominio. Justifica larespuesta.

4. Determina el valor de a, b y c de manera que hagan continua a f en x = −1y x = 1, si:

f(x) =

−(x− a) + 1 si x < −1

2 si x = −1(x+ 1)2 + b si −1 < x < 1cx+ 3 si 1 ≤ x

Justifica la respuesta.

5. Sea f : [0, 3]→ R definida por:

f(x) =

ax+ 1 si 0 ≤ x < 1bx− x2 si 1 ≤ x < 2

x2 − bx+ 4 si 2 ≤ x ≤ 3

Determina el valor de a y de b para que f sea continua en [0,3]. Justificala respuesta.

6. Determina el valor de a, b y c para que

f(x) =

ax+ b si −∞ < x < −1bx2 + 1 si −1 ≤ x < 1

c si x = 1√x2 − 1 si x < 1

sea continua por la izquierda en x0 = −1 y continua en [1,∞) Justificala respuesta.

13

7. Determina el valor de a y de b para que

f(x) =

ax+ b si x < − 12

3 si − 12 ≤ x ≤ 2

2x+ b si x > 2

sea continua en (−∞,− 12 ] y en [2,∞). Traza la grafica final.

8. Determina si f es continua, continua por la derecha. por la izquierda odiscontinua en x si

f(x) =

√√x+ 3− 2x

9. La Secretarıa de Hacienda de cierta republica ha determinado que untrabajador que percibe menos que 1000 denarios anuales no pagara im-puestos, aquel que perciba desde 1000 hasta 5000 denarios anuales pagaraal fisco 10% de su salario, mientras que quien perciba mas de 5000 denariospagara al fisco una cuota fija de 500 denarios mas el 20% de la cantidadque exceda a 5000 denarios. Si x denota el salario

(a) Determina la funcion de pago de impuestos y = p(x), ası como sudominio.

(b) Analiza la continuidad de p.

10. Define:

f(x) =

√1− x2 si 0 ≤ x < 1a si x = 1

bx− 1 si 1 < x < 2c si x = 2

x2 + dx+ 3 si 2 < x ≤ 3Determina el valor de a, b, c, d para que f sea continua en todo punto deldominio.

11. Define:

f(x) =

ax+ 1 si 0 < x < 12x− x2 si 1 ≤ x ≤ 2

x2 − bx+ 4 si 2 < x ≤ 3Determina el valor de a, b para que f sea continua en (0, 3]. Traza lagrafica final.

12. Determina los valores de a y b para que la funcion

f(x) =

−x2 + bx+ 3 si x < −2

7 si x = −2(x− a)2 si x > −2

sea continua en R.

Traza la grafica final de las funciones en los ejercicios 10, 11 y 12.

14

13. Sea f(x) =

−1 si x < 00 si x = 01 si x > 0

y sea g(x) = x(1− x2)

Determina todos los puntos en los que f ◦ g y g ◦ f son discontinuas.

14. Proporciona un ejemplo de funciones f y g tales que:

(a) Ni f ni g son continuas en x0 = 2 pero f + g, f − g, fg son continuasen x0.

(b) g es discontinua en x0 = 0, f es discontinua en g(x0) pero f ◦ g escontinua en x0.

15. Obten una forma analıtica y traza la grafica de una funcion f que poseatodas las siguientes propiedades:

(a) D(f) = [−4, 4]

(b) f(−4) = f(−2) = 1 y f(2) = f(4) = 2

(c) f es continua por la derecha en 2, f es continua solo por la izquieraen −2, es discontinua en 0 y es continua en todos los demas puntos.

(d) limx→−2−

f(x) = 0 y limx→2−

f(x) = 1

9 Aplicaciones del Teorema del Valor Interme-dio

1. Sean f, g : [a, b] → R continuas tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b).Demuestra que existe c tal que f(c) = g(c).

2. Demuestra que x3−19x+1 y 21−2x2 coinciden en tres y solo tres valoresde x.

3. Sea f : [0, 1] → [0, 1] continua. Usa el Teorema de Valor Intermedio deBolzano para probar que existe c ∈ [0, 1] tal que f(c) = 1− c

4. Seaf : R→ R continua tal que f(x) 6= 0 ∀x ∈ R.Prueba que f(a)f(b) > 0 ∀a, b ∈ R

5. Sean f, g : R→ R funciones continuas. Supon que f(x) 6= 0 ∀x ∈ R y quef2(x) = g2(x) ∀x ∈ R. Prueba que f(x) = g(x) ∀x ∈ R of(x) = −g(x) ∀x ∈ R.(Sugerencia: 0 = f2(x)− g2(x) = (f(x)− g(x))(f(x) + g(x))).

6. Obten todas las funciones continuas f : R→ R tales que f2(x) = x2

∀x ∈ R. (Similar al anterior, nota que f(0) = 0).

7. Supon que: f : [−1, 1]→ R es continua y satisface: x2 + f2(x) = 1∀x ∈ [−1, 1]. Prueba que f(x) =

√1− x2 o f(x) = −

√1− x2 ∀x ∈ R.

Interpreta graficamente. (Sugerencia: Nota que f(x) ∈ [0, 1] ∀x ∈ [−1, 1],es similar al Ej. 5).

15

8. Sea f : [a, b] → R continua y sea m=mınf y M=maxf . Usa el Teoremadel Valor Intermedio para probar que: Im(f) = [m,M ]. (Notese queestamos usando el teorema MIN-MAX de Weiertrass).

9. Sea f, g : [a, b] → R continuas. Supon que Im(f) es un subconjunto deIm(g). Prueba que ∃ c ∈ [a, b] tal que f(c) = g(c). (Usa el Teorema delValor Intermedio aplicado a h = f − g). (Ilustra).

10. Prueba: Si p es un polinomio de grado impar, entonces Im(p) = (−∞,∞).

11. Prueba que las graficas de y = x7 − 2x3 y de 3x2 − 4 se intersectan.(Justificar).

12. Demostrar la siguiente afirmacion:la ecuacion

1

5 + cos(x)= x+ 1

tiene al menos una solucion.

13. Sea f : [0, 1]→ [0, 1] continua tal que f( 12 ) 6= 1 y sea

g(x) = 4x(x− 1). Demostrar que f y g coinciden en al menos dos puntosde [0, 1] (Sugerencia: considerar la funcion h = f − g).

14. Sea f : [0, 2] → [0, 1] definida por f(x) = (x − 1)2 y sea g : [0, 2] → [0, 1]continua y tal que g(1) 6= 0. Demostrar que existen c1 y c2 ∈ [0, 2] dospuntos tales que f(ci) = g(ci), i = 1, 2. (Sugerencia: examinar la funcionf − g en [0, 1] y en [1, 2]).

15. Sea f : [a, b] → R continua tal que f(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b] entoncesf(c)f(d) > 0 para toda c, d ∈ [a, b].

16. El costo de fabricacion de q automoviles electricos es deC(q) = 5q3 + 13q2 + 14 miles de dolares, mientras que el ingreso corre-spondiente es de I(q) = q4 − 5q miles de dolares. Demostrar que existeun valor de q entre 2 y 10 en el que la fabrica ”sale a mano”, es decir lautilidad es igual a 0.

17. Un joyero fabrica anillos que vende a 350 dolares cada uno. El costo defabricacion se ajusta a la siguiente funcion C(q) = 3000

√q+ 2000 dolares

donde q es el numero de anillos producidos y vendidos. Probar que entre0 y 100 se tiene un punto de equilibrio.

18. En cierta empresa la funcion de costo esta dada por C(q) = 2q+ 72 dondeq representa el numero de unidades producidas, mientras que la funcionde ingreso esta dada por I(q) = 40

√q. Probar que existen dos valores de

q entre 0 y 400 que son puntos de equilibrio, es decir, la utilidad se anulaen esos puntos.

16

10 Continuidad (Segunda Parte)

A partir de la definicion formal (ε y δ) prueba que:

1.

f(x) =

{ −2 si x = 22x−x2

x−2 si x 6= 2

es continua en x0 = 2.

2.

f(x) =

{x2−4x+3x−1 si x 6= 1

−2 si x = 1

es continua en x0 = 1.

3.f(x) = 2−

√x+ 2

es continua en x0 = 2.

4.f(x) =

√|x2 − 4|

es continua en x0 = −2

5. Demostrar formalmente la siguiente:Proposicion: Si existe M > 0 tal que |f(x)− f(a)| ≤M |x− a| para todax ∈ R entonces f es continua en a.

11 Derivadas y regla de la cadena

1. Calcula f ′(x) si:

(a)

f(x) =

(x− 2

x3

) 35

.

(b)

f(x) =x

34

cos(√x2 + 1)

.

2. Calcula directamente de la definicion f ′(x0) si:

f(x) = 11+x2 y x0 = 1

.

17

3. Calcula f ′(0) si:

f(x) =

{0 si x = 0

sin(x2)x si x 6= 0

.

4. Calcula f ′(0) si:

f(x) =

{0 si x = 0

1−cos(x)x si x 6= 0

.

5. Calcula f ′(0) si:

f(x) =

{0 si x = 0

x2 sin(1x

)si x 6= 0

.

6. Calcula:

limh→0

sin(π + h)2 − sin(π)

h.

7. Sea f una funcion diferenciable en t0 = 0 y tal que:

limt→0

f(t)

sin(t)= 1

(a) Calcula limt→0

f(t)

(b) Calcula f ′(0)

8. Sea f : R → R tal que |f(y) − f(x)1 ≤ (y − x)2, ∀x, y ∈ R. Demuestraque f es constante. (Sugerencia: usa la definicion de derivada para probarque f ′(x) = 0, ∀x ∈ R).

9. Obten h′′(a) si:

h = g ◦ f y si g′′(x) = f ′′(x) = 2, ∀x

donde g′(f(a)) = 1, f ′(a) =√

2

10. Calcula: (√g ◦ f

)′(0) si f(0) = 3, f ′(0) = 2, g(3) = 4, g′(3) = 2

11. Obten:

(f ◦ g)′′(0) si g(0) = 3, g′(0) = 12 , f

′(3) = 12 , f

′′(3) = 2

12. Obten:

18

(f◦gg

)′(1) si f ′(2) = 1, g′(1) = 1, f(2) = 1, g(1) = 2

13. Calcula:

(g ◦ f − f2)′′(1) si f(1) = f ′(1) = f ′′(1) = 2, g(2) = g′(2) = g′′(2) = 3

14. Sea f, g funciones diferenciables. Supon que g−1 existe y es diferenciables.Si g(−1) = 1, g′(−1) = −2, f(−1) = 2, f ′(−1) = 2, obten:

(a) (f

1 + g

)′(−1)

(b) (f ◦ g−1

)′(1)

15. Sea f diferenciable tal que su inversa existe y es tambien diferenciable,calcula: ((

sin ◦f−1)2)′

(0) si f−1(0) = π4 , f

(π4

)= 2

16. Supon que: (f ◦ g + g2

)′(2) = 0 y que g(2) = 4, f ′(4) = 2

Obten g′(2).

17. Supon que:

f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = 1 y que g(1) = g′(1) = g′′(1) = 2

Obten f · (g ◦ f))′′(0).

18. Supon que f ′(3) = 2, f ′′(3) = 1, g(0) = 3, g′(0) = 1, g′′(0) = 0 calcula(f ◦ g)′′(0). Si ademas f(3) = −2, obten (f3)′′(3).

19. Obten dydx y evalua en x0 si:

(a) y =

(1+x−

13

1+x12

)4

, x0 = 1

(b) y =√

(3x2 + 1)(2x+ 2√x), x0 = 1

20. Calcula g′(1) si:

g(x) =

((x− 2

x3

) 37

+ 2x

) 15

19

21. Calcula f ′(0) si:

f(x) = 4

(√x2 + 4−

√x2 + 1√

x+ 1

) 12

.

22. Calcula g′(0) si:

g(x) = 24

√19−

√11−

√4 + 8x

.

23. Siu(1) = 2 , u′(1) = 2v(1) = 5 , v′(1) = 0

Determina:

(a)(

2u+√v

u2+2v

)′(1)

(b)(√

u+2uvu+2v

)′(1)

24. La grafica de la funcion y = ax2 + bx + c pasa por el punto P (1, 2) y estangente a la recta y = x en el origen. Determina a, b y c.

25. Sea f diferenciable en x0 y f(x0) = 0. Demuestra que si g es continuaen x0 (¡solo continua!) entonces fg es diferenciable en x0 y (fg)′(x0 =f ′(x0)g(x0).(Sugerencia: Usa la definicion de derivada). Concluye que:

x |x|, x 13 sin(x), x

23 sin(x), (1− cos(x)

√|x|)

son todas diferenciables en x0 = 0 y determina el valor de la derivada enx0.

26. ¿Para que los valores de a, m, b se tiene que la funcion:

f(x) =

3 si x = 0−x2 + 3x+ a si 0 < x < 1

mx+ b si 1 ≤ x ≤ 2se satisfacen las hipotesis del Teorema del Valor Medio?

12 Aplicaciones del Teorema del Valor Medio

1. Sean f, g : [a, b]→ R continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b).Supon que f(a) = g(a) y que f(b) = g(b).Demuestra que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = g′(c).

2. Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y diferenciables en (a,b). Si f(b) < f(a)entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) < 0.

20

3. Sea f : R → R diferenciable. Supon que existe c ∈ R tal que f ′(x) < 0 six ∈ (−∞, c) y f ′(x) > 0 si x ∈ (c,∞). Prueba que f(x) ≥ f(c) ∀x ∈ R(aplica TVM).

4. Sea f : [−8, 27] → R definida por f(x) = x23 . Muestra que la conclusion

del Teorema del Valor Medio no se satisface. ¿Por que?

5. Sean f, g : [a, b] → R continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b). Sif(a) = g(a) y f ′(x) < g′(x) ∀x ∈ R entonces prueba que f(x) < g(x)∀x ∈ [a, b].

6. Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Supon quef ′(c) 6= 0 ∀c ∈ (a, b), demuestra que f es inyectiva, es decir, si x 6= y en[a, b] entonces (f(x) 6= f(y)).

7. Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) y tal que|f ′(x)| ≤M ∀x ∈ (a, b). M > 0.Demuestra que |f(x)− f(y)| ≤M |x− y| ∀x, y ∈ [a, b]

8. Prueba:

(a) Si f(x) = 1x y 0 < a < b (o a < b < 0), entonces

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) si y solo si c =√ab.

(b) Si f(x) = Ax2 +Bx+ C, A 6= 0, entoncesf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) si y solo si c = a+b

2 .

9. Sea f : [a.b] → R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) y tal quef ′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) y f(a)f(b) < 0. Prueba que existe c ∈ (a, b) unicocon f(c) = 0.

10. Usa el Teorema de Rolle para probar que la ecuacion tan(x) = 1−x tienesolucion en (0, 1).(Sugerencia: Considera f(x) = (x− 1) sin(x) y calcula f(0), f(1), f ′(x)).

11. Sea f : [a, b] → R continua y diferenciable dos veces en (a, b). Supon quef tiene tres raices en [a, b]. Prueba que f ′ tiene al menos dos raices en(a, b) y que f ′′ tiene al menos una raiz en (a, b).

12. Sean f, g : [a,∞)→ R continuas en [a,∞) y diferenciables en [a,∞) talesque f(a) ≤ g(a):

(a) Si f ′(x) < g′(x), ∀x > a demostrar que f(x) < g(x), ∀x > a.

(b) Haz uso del inciso anterior para probar que√

1 + x < 1 + x2 , ∀x > 0.

13. Determinar el valor de a y de b de tal modo que la funcion

f(x) =

{x2 − 1 si 0 ≤ x ≤ 1

a(x− 1) + b si 1 < x ≤ 2

satisfaga las hipotesis deTVM en [a, b].

21

14. Probar que | sin(2x)− sin(x)| ≤ |x|, ∀x ∈ R. (Usa el TVM).

15. Demostrar que si b2−3ac < 0 (a 6= 0) entonces la cubica ax3+bx2+cx+dtiene exactamente una raız real. (Usa el TVI y el TVM).

16. Demostrar que la cubica x3 +3x2 +3x+c tiene exactamente una raız realindependiente del valor de c.

17. Sea f(x) = x12 (2− x)

32 . Probar que existen c y d en el dominio de f tales

que f ′(c) = 1 y f ′(d) = −1. (Usa el TVM).

18. Sea f : [0, 2] → R continua en [0, 2] y diferenciable en (0, 2) y tal quef ′(x) ≤ 2 para toda x ∈ (0, 2) con f(0) = 4. Estima el mayor valor quef(2) podrıa tomar.

19. Sean f : [0, 1] → [1, 2] continua y g : [0, 1] → R continua en [0, 1] ydiferenciable en (0, 1). Si g(0) = 0 y g′(x) ≥ 3, ∀x ∈ (0, 1). Demostrarque existe c ∈ (0, 1) tal que f(c) = g(c). Sugerencia: estima el menorvalor que g(1) podrıa tomar.

20. Sea u = u(c) una funcion de utilidad y donde c es el consumo (c ≥ 0).Si u es continua en [0,100], diferenciable en (0,100), concava ahı y conu(1) = u(100) = 0. ¿Es posible garantizar que u posee un maximo paraalgun c ∈ (0, 100)? (Justifica la respuesta).

13 Diferenciacion implıcita y tasas relacionadas

1. Encuentra las coordenadas de los puntos en donde la grafica de la relacionx2 + y3 = 2xy tiene una tangente horizontal.

2. Obten los puntos sobre la curva x2 − xy + y2 = 12 en los que la rectatangente es horizontal.

3. Determina las coordenadas de los puntos sobre la curva x2y2 + xy = 2donde la recta tangente tiene pendiente igual a -1.

4. Halla las coordenadas de los puntos en donde la curva x2 + xy + y2 = 7interseca al eje X y prueba que las rectas tangentes a la curva en esospuntos son paralelas. Obten tambien los puntos donde

dy

dx=dx

dy= 0

.

5. Encuentra la ecuacion de la recta tangente y la de la recta normal a lagrafica de la curva 2xy + π sin(y) = 2π en el punto P (1, π/2).

6. Determina los puntos de interseccion de las curvas x2 + y2 = 2 yx2 + xy + y2 = 1 y obten las ecuaciones de las rectas tangentes en esospuntos y verifica que las curvas son tangentes en esos puntos.

22

7. Probar que las tangentes a las curvas y2 = 4x3 y 2x2 + 3y2 = 14 sonperpendiculares en el punto P (1, 2).

8. Probar que la recta normal a traves de cualquier punto de la circunferenciax2 + y2 = 1 pasa por el origen.

9. Encuentra la ecuacion de la recta tangente y la de la recta normal a lagrafica de la curva x sin(2y) = y cos(2x) en el punto P (π/4, π/2).

10. Verifica que las graficas de las curvas siguientes son prependiculares enP (1, 2):

16y2 − 9x2 = 20

9x2 + 4y2 = 25

Ademas halla las ecuaciones de las rectas tangentes en ese punto e identi-fica las curvas.

11. Determina el valor de a y de b de tal modo que el punto P0(1, 1) pertenezcaa la curva 4x2 + ay2 = b y que la recta normal a traves de P0 sea4y − 3x = 1.

12. Determina los puntos de interseccion de las curvas xy = 1 y x2 + y2 = 2y demostrar que las curvas son tangentes en esos puntos.

13. La recta normal a la curva x2+2xy = 3y3 a traves del punto P (1, 1)intersecaa la curva en otro punto. Determina las coordenadas del otro punto.

14. Una partıcula se mueve alrededor de la circunferencia x2+y2 = 9. Cuandoel punto esta en (−

√3,√

6) la abscisa crece a razon de 20 unidades porsegundo. ¿A que tasa cambia la ordenada?

15. Una partıcula se mueve en el plano xy sobre la curva y =√x2 − 4 donde

x ≥ 2. La abscisa de P se mueve a razon de 5 unidades por segundo.¿Con que rapidez cambia la ordenada cuando x = 3?

16. Una partıcula se mueve en el plano xy sobre la curva y = x12 en el primer

cuadrante de tal modo que la distancia desde el origen aumenta a razon deuna unidad por segundo. Determina la razon en la que cambian la abscisay la ordenada en el instante en que x = 3.

17. Una partıcula se desplaza en el plano xy sobre la grafica de 4y = x2 + 2x.Determina las coordenadas del punto sobre la grafica en el que las tasasde cambio de la abscisa y de la ordenada sean iguales. (Supon que x, ydependen del tiempo).

18. Una partıcula se mueve sobre la grafica de y = x2 en el plano xy a unavelocidad constante de 10 cm/s. Denota por θ el angulo que forma larecta que une al origen con P (x, x2). Determina como cambia θ respectoal tiempo en el instante en que x = 3. (En radianes).

23

19. Una partıcula se mueve en el primer cuadrante del plano cy sobre la curvay = x

32 de tal modo que su distancia desde el origen aumenta a razon de

1 unidad por segundo. Determina la tasa a la que cambian la abscisa y laordenada en el instante en el que x = 3.

20. Las coordenadas en el plano xy de una partıcula son funciones del tiempot y se sabe que

dx

dt= −1

cm

s;dy

dt= −5

cm

s

Determinar la rapidez con la cual la partıcula se acerca al origen en elinstante en el que pasa por el punto P0 = (5, 12).

21. Dos corredores parten del mismo punto en el mismo instante. Uno sedirige al este a una velocidad de 24 km

h y el otro al sur a una velocidad de

10 kmh . Determina con que rapidez se estan alejando uno del otro media

hora despues.

22. Si cierto artıculo de coleccion se vende a p dolares, entonces los colec-cionistas comprarıan q = 1000

p artıculos al mes. Se estima que dentro de t

meses el precio del artıculo sea de p(t) = t32 + 42 dolares. Obten la tasa

en el que el ingreso esta cambiando cuando t = 4.

23. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a larazon de 720 cm3/min. El tanque tiene una altura de 200 cm y el radio enla parte superior es de 60 cm. ¿Cuan rapido sube el nivel de agua cuandoel tanque esta a un octavo de su capacidad y cuanto se tarda en llenar eltanque? El volumen de un cono circular recto de altura h y de radio r esde V = 1

3πr2h.

24. Arena cae sobre un montıculo de forma conica a una tasa constante de 10cm3/s. Si la altura del cono siempre es tres octavos del diametro de labase, determina:

(a) ¿Como cambia la altura del cono?

(b) ¿Como cambian la altura y el radio del cono en el instante en que laaltura del cono ha alcanzado los 60 cm?

25. El area superficial lateral S de un cono circular recto se relaciona con elradio de la base r y la altura h de la manera siguiente:

S = πr√r2 + h2

(a) ¿Como se relaciona dSdt con dr

dt si h no cambia con respecto al tiempot?

(b) ¿Como se relaciona dSdt con dr

dt y dhdt si r y h cambian con respecto al

tiempo t?

24

26. Supon que la relacion de demanda de un cierto producto es: p+2q+pq = 38en donde q se mide en miles de unidades y p es el precio en dolares porunidad. Supon ademas que el precio p (y en consecuencia la demanda q)cambian semanalmente, es decir p es una funcion del tiempo.

(a) ¿A que ritmo esta cambiando la demanda si el precio esta dismin-uyendo a razon de 0.40 dolares por semana, a un nivel de demandade q = 4?

(b) ¿Que ocurre ahora si el precio esta aumentando a razon de 0.20dolares por semana al mismo nivel de demanda?

27. La relacion de demanda de cierto artıculo es p+ pq + q2 = 17 en donde qse mide en miles de artıculos y p es el precio en dolares por artıculo. Sip (y en consecuencia q) se modifica cada semana, calcular a que tasa estacambiando la demanda q si el precio esta disminuyendo a razon de 0.10dolares por semana cuando p = 2.

28. Se estima que dentro de t anos la poblacion de cierta comunidad suburbanasera de p(t) = 20− 6

t+1 miles de habitantes. Un estudio ambiental revela

que el nivel de ozono en el aire sera de O(p) = 12

√p2 + p+ 58 PPM (partes

por millon) cuando la poblacion sea de p miles de habitantes. Hallar latasa a la que estara cambiando el nivel de ozono con respecto al tiempodentro de 2 anos.

14 Graficacion

1. Traza con todo detalle la grafica de las siguientes funciones y = f(x)indicando cuando corresponda:

(a) Dominio e imagen. Intersecciones con los ejes.

(b) Maximos y mınimos relativos (las coordenadas) ası como los puntossingulares (coordenadas).

(c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(d) Intervalos de convexidad y concavidad. Puntos de inflexion (coorde-nadas).

(e) Asıntotas verticales, horizontales y oblicuas.

(f) Calculo de lımites relevantes.

(g) Terminos dominantes.

Sı:

(a) f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 1.

(b) f(x) = 3x4 − 4x3 + 6.

(c) f(x) = (x2 − 1)5.

25

(d) f(x) = 4xx2+4 .

(e) f(x) = x2−3xx+1 .

(f) f(x) = x3+x−2x−x2 .

(g) f(x) = x3+22x .

(h) f(x) = 32x

23 − 3

5x35 .

(i) f(x) =√x+ 1√

x.

(j) f(x) = x12 (2− x)

32 .

2. Traza la grafica de una funcion continua en su dominio y que cumpla contodas las siguientes propiedades:

(a) D(f) = R \ {−1}.(b) f ′(x) > 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (0,∞).

(c) f es decreciente en (−1, 0).

(d) El unico punto crıtico es x = 0 y f(0) = 2.

(e) limx→−1−

f(x) =∞ = limx→−1+

f(x).

(f) f tiene asıntota oblicua y = x+ 1.

(g) limx→−∞

f(x) = 1.

15 Optimizacion

1. ¿Que valor de a y de b hacen que f(x) = x3 + ax2 + bx tenga un mınimolocal en x = 4 y un punto de inflexion en x = 1? (Justifica la respuesta).

2. Determina p, q y r de tal modo que la grafica de f(x) = px3 + px + rtenga:

(a) Un maximo relativo en el punto P0 = (−1, 5)

(b) Un mınimo relativo en el punto P1 = (1, 1)

(c) Un punto de inflexion cuya abscisa es x = 0

3. Supon que f ′(x) = (x − 1)2(x − 2)(x − 4). Determina las abscisas delos puntos en los que la grafica de f tiene un maximo relativo, mınimosrelativos y puntos de inflexion. (Justifa la respuesta).

4. Determina las restricciones de signo que hay que imponer a A, B y C paraque la funcion de utilidad u(q) = Aq2 +Bq+C, donde q son las unidadesproducidas, satisfaga todos los siguientes supuestos:

(a) Si no hay produccion entonces la utilidad es negativa.

(b) u es concava hacia abajo en todo valor de q.

26

(c) La utilidad maxima se alcanza en algun q positivo.

5. Halla el area maxima y la longitud correspondiente de los catetos quepuede tener un triangulo rectangulo cuya hipotenusa mide 5 unidades.

6. Determina las coordenadas del punto (x0, y0) perteneciente a la grafica dela semicircunferencia y =

√16− x2 mas proximo a (1,

√3).

7. Sean a, b ≥ 0 tales que a+ b = 20. Maximiza y minimiza:

(a) ab.

(b) a2 + b2.

(c)√a+√b.

(d) a+√b.

8. Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular con tapascuadradas que minimicen el costo de fabricacion si el material de los costa-dos cuesta el cuadruple del de las tapas y si el volumen debe ser de 1 m3.

9. Una ventana debe tener la forma de un rectangulo rematado en la partesuperior por un semicırculo y debe tener perımetro p. Encuentra las di-mensiones que hacen que la ventana admita mas luz, esto es que tengaarea maxima.

10. Se va a construir un campo deportivo de forma rectangular de largo x yrematado en cada extremo por un semicırculo de radio r. Si el perımetrototal debe ser de 400 m, determina las dimensiones que maximicen el area.

11. Un almacen vende munecas a 40 pesos. A este precio los clientes hancomprado 50 en un mes. Se desea aumentar su precio tomando en consid-eracion que por cada peso de incremento se venderıa una muneca menosal mes. ¿A que precio deben venderse las munecas para maximizar elingreso?

12. En la manufactura y venta de unidades x unidades de cierta mercancıalas funciones de precio P y de costo C estan dadas respectivamente porP (x) = 5−0.002x y C(x) = 3+1.1x. Encuentra las expresiones de ingresomarginal, costo marginal y utilidad marginal y el valor de esta.

13. La companıa de juguetes Patito determino que sus costos totales paraproducir q juguetes son C(q) = 9720 + 500q − 1.5q2 + 0.005q3 y que larelacion de demanda esta dada por q = 600− 0.4p donde p es el precio deventa por unidad. Determina:

(a) El costo marginal y el costo promedio con respecto a q

(b) Obten el costo promedio mınimo y prueba que las curvas de costomarginal y costo promedio se intersectan en el punto que correspondeal costo promedio mınimo.

27

(c) Obten el ingreso maximo de la companıa, el ingreso marginal y elingreso promedio.

(d) ¿Cual es el ingreso maximo y a que nivel de produccion se alcanza?

14. La ecuacion de demanda de cierto artıculo es p = 200− 3q y la funcion decosto es C(q) = 75+80q−q2 donde 0 ≤ q ≤ 40. Bajo la suposicion de queel gobierno decreta un impuesto de T dolares por cada unidad producidapor el fabricante:

(a) Determina la funcion de utilidad del fabricante tomando en cuentaeste impuesto y obten el numero de unidades q que minimiza la util-idad del fabricante expresada como funcion de T .

(b) Si el fabricante deja fija su produccion q al nivel encontrado en elinciso (a), espresa el ingreso percibido por el gobierno como funcionde T y determina el valor de T que maximiza el ingreso del gobierno.

15. Producir y distribuir cierto artıculo cuesta c pesos por artıculo. Si estese vende a p cada uno, el numero de artıculos que pueden venderse a eseprecio sera de q = a

p−c + b(100 − p) donde a, b son constantes positivas.¿Cual es el precio de venta que dejara el ingreso maximo y cual es este?

16. Un anuncio publicitario debe tener 50 cm2 de material impreso con 4cm de margen arriba y abajo y con 2 cm de margen a los lados. ¿Quedimensiones debe tener el anuncio que requiera menor cantidad de papel?

17. Un fabricante que puede producir televisores a un costo de 250 dolarescada uno y estima que si se venden a x dolares cada uno, los consumidorescompraran 50−x televisores por dıa. ¿A que precio deben de venderse lostelevisores para maximizar la utilidad, cuantos televisores vendera y cuales la utilidad maxima?

18. Sea m ∈ (1,∞) constante. Prueba la desigualdad de Bernoulli:(1 + x)m ≥ 1 +mx ∀x ≥ −1(Sugerencia: Obten el mınimo de f(x) = (1 + x)m −mx en [−1,∞]).

19. Una agencia de viajes ofrece el siguiente plan para un tour sobre las sigu-ientes bases:Para un grupo de 50 personas (grupo mınimo) el costo es de $200 porpersona. Por cada persona adicional y hasta llegar a 80 (grupo maximo)la tarifa de todas las personas se reduce en $2. Si el costo fijo de la agenciaes de $6000 y de $32 por cada viajero, determina el tamano del grupo quemaximiza la utilidad y cual sea esta.

20. Una librerıa puede obtener cierto libro a un costo de $3 por cada uno. Lalibrerıa ha estado vendiendo el libro a $15 por ejemplar y a este preciovende 200 ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, lalibrerıa esta planeando bajar ese precio y estima que por cada dolar dereduccion en el precio del libro se venderan 20 libros mas al mes.

28

(a) ¿A que precio debe venderse el libro para generar el mayor beneficioposible, y cual es este?

(b) ¿Que cantidad adicional de libros es vendida al nuevo precio?

21. Un estudio de productividad efectuado en una fabrica, indica que un tra-bajador medio inicia su labor a las 8:00 A.M. habra producido Q(t) =−t3 + 9t2 + 12t unidades de producto t horas despues del inicio.

(a) ¿En que momento de la manana es el trabajador mas efeciente?Se define el momento de eficiencia maxima aquel en el que el ritmo deproduccion es maximo, tambien conocido como el punto de beneficiosdecrecientes.

(b) Proporciona un argumento que justifique los dos nombres dados aese punto.

22. Cada maquina de una maquiladora puede producir 50 unidades por hora.El costo de puesta a punto es de $80 dolares por maquina, mientras queel costo de operacion es de $5 dolares por hora para todas las maquinas.¿Cuantas maquinas deben usarse para producir 8000 unidades al menorcosto posible y cual es este costo mınimo?

23. Prueba que la suma de un numero positivo y su recıproco es mayor o igualque 2 y que es igual a 2 si y solo si el numero es igual a 1.

24. Halla el menor valor de aquella constante positiva m tal que haga:mx+ 1

x − 2 ≥ 0 ∀x > 0.

25. Obten el valor maximo de f(x) = cot(x)−√

2 csc(x) en (0, π).

26. Obten la ecuacion de la recta tangente a la grafica def(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2 a traves del punto en el que la pendiente esmınima, ası como las coordenadas del puntos de tangencia.

27. Determina las coordenadas del punto sobre la grafica de y = 8x2 + 1x en

el que la pendiente de la recta tangente alcanza un maximo relativo asıcomo dicho maximo relativo. ¿Podrıa haber un maximo absoluto?

28. Las posiciones sobre el eje Y y de dos partıculas son

y1 = sin(x)

y2 = sin(x+

π

3

)en todo tiempo xDetermina cuan alejadas pueden llegar a estar.

(Nota: cos(π3

)= 1

2 , sin(π3

)=√32 y cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)).

29

29. Determina las coordenadas del punto sobre la recta y = mx + b, (b 6=0) mas proximo al origen, ası como esa distancia mınima. (Sugerencia:minimizar la distancia al cuadrado). Compara con el resultado conocidode Geometrıa Analıtica.

30. Minimiza el cuadrado de la distancia de(12 , 16

)a la curva y =

√x.

16 Antiderivadas e integrales definidas

1. Halla la ecuacion de la curva en el plano xy que pasa a traves de P (1, 0)y cuya pendiente en cada punto es 3

√x. Traza su grafica.

2. Si f ′(x) = x3 y la grafica de f es tangente a la recta x + y = 0 en algunpunto P0, determina las coordenadas del punto P0 y la funcion f .

3. Determina y = f(x) de tal modo que

f ′(x) =1√x− 3√x, f(1) = 0.

Traza la grafica de y = f(x) indicando todo lo relevante.

4. Halla y = f(x) si:

(a) dydx = 1

x2 + x, (x > 0); y = 1 si x = 2.

(b) d2ydx2 = 0, dy

dx = 2; y = 2 si x = 0.

(c) d2ydx2 = 2

x3 , dydx = 1 si x = 1; y = 1 si x = 1.

5. La utilidad marginal de cierta empresa es 100− 2q cuando se produccen qunidades. Si la utilidad de la empresa es de 700 dolares cuando se producen10 unidades. ¿Cual es la utilidad maxima y el nivel de produccion en elque se alcanza ese maximo?

6. El ingreso marginal de cierta empresa esta dado por I ′(x) = 10 − 0.02xdolares cuando se producen y se venden x artıculos.

(a) Obten la funcion de ingreso. (Claramente I(0) = 0).

(b) Si la funcion de costo esta dada por C(x) = 5x−0.00x2+100 dolares,determina el numero de unidades y el precio correspondiente quemaximiza la utilidad, ası como esta unidad maxima.

7. Escribe los siguientes lımites como integrales definidas y calcula su valor:

(a) limn→∞

(1n3 + 4

n3 + · · ·+ n2

n3

).

(b) limn→∞

∑nk=1

{3(kn

)2 − 7(kn

)+ 2}(

1n

).

(c) limn→∞

sin(πn )+···+sin((n−1)πn )

n .

30

8. Escribe las siguientes integrales definidas como el lımite de sumas de Rie-mann ası como en el ejercicio anterior:

(a)∫ 1

0

√1− s2ds.

(b)∫ 1

0cos(πθ + 2)dθ.

(c)∫ 3

2(3t2 + 2t− 1)

32 dt.

9. Se sabe que∫ 4

−1 f(x)dx = 5,∫ 2

−1 f(x)dx = 3 y∫ 4

2g(x)dx = −1, calcula:

(a)∫ 4

2(7f(x) +

√2g(x))dx.

(b)∫ 2

4(−5f(x) + 2x)dx.

10. Prueba que el valor de∫ π2

0

√1 + cos(x)dx

No puede exceder π√2

ni ser menor que π2 .

11. Sin calcular la integral y usando solamente metodos geometricos demues-tra que

1

2<

∫ 2

1

dx

x<

3

4.

12. Calcula∫ ba|t| dt en los siguientes casos:

(a) a < b < 0.

(b) a < 0 < b.

(c) 0 < a < b.

13. Supon que:

(a) f es continua y que∫ 2

1f(x)dx = 4. Prueba que existe c ∈ [1, 2] tal

que f(c) = 4.

(b) f, g : [a, b] → R son continuas (a < b) y que∫ ba|f(x)− g(x)| dx = 0.

Prueba que existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = g(c). (Usa el TVM paraintegrales).

14. Calcula:

(a) limh→0

1h

∫ h0

tan(t)dt

(b) limh→0

1h

∫ x+hx

duu+√u2+1

.

15. Calculad

dx

(∫ 3x2−1

2x

√t2 + 1dt

)

31

16. Calcula:

(a) ∫3x dx

(3x2 + 3)3

.

(b) ∫(1 +

√x)− 1

2 dx√x

.

(c) ∫cos(√x) dx

√x sin7(

√x)

(d) ∫sin(θ) cos(θ) dθ√

1 + sin2(θ)

(e) ∫2x2 cos(x3) dx

17. Evalua:

(a) ∫ 4

1

dx√x (√x+ 1)

3

(b) ∫ 36

4

√1 + 4

√x dx√

x

(c) ∫ π3

0

tan(θ) dθ√2 sec(θ)

18. Evalua las siguientes integrales definidas:

(a) ∫ 4

1

(1 +√u)

12

√u

du

.

(b) ∫ 1

0

1

(1 + 7s)23

ds

.

32

(c) ∫ 2

0

2t3√t4 + 9

dt

.

(d) ∫ π2

π2

4

cos(√u)√

udu

.

(e) ∫ π3

0

tan(θ√2 sec(θ)

dθ

.

(f) ∫ π2

0

sin(v) cos(v)√1 + 3 sin2(v)

dv

.

(g) ∫ π2

4

π2

25

cos(√x)√

x sin(√x)dx

.

(h) ∫ 3π

π

cot2(a

6

)da

.

19. Demuestra que:

(a) ∫f(ax+ b) dx =

1

aF (ax+ b) + C; si F ′(x) = f(x), a 6= 0

(b) Utiliza el inciso anterior para evualar las integrales∫sin(ax+ b) dx;

∫(ax+ b)n dx, n 6= −1

20. Sea

F (x) =

∫ 5x2

2x2

dt

t

Sin calcular la integral prueba que F es constante en (0,∞). (Usa la reglade Leibniz).

33

21. ¿Donde esta el error?∫ π

0

sec2(t)dt =

∫ π

0

d

dttan(t)dt = tan(t) |π0 = 0

.

22. Sea

y = x2 +

∫ x

1

dt

t

Prueba que y satisface:

(a) y(1) = 1.

(b) y′(1) = 3.

(c) y′′(x) = 2− 1x2 .

23. (a) Sea T (x) =∫ x0

ds1+s2 demuestra que T : R → R es creciente y que

P (0, 0) es su unico punto de inflexion.

(b) Supon que x =∫ y0

dt√1+4t2

. Demuestra que y′′ es proporcional a yy′ .

(Usa la regla de Leibniz).

24. Calcula F ′(x) si:

(a)

F (x) =

∫ 3

x

√1 + 3u7du

.

(b)

F (x) =

∫ sin(x)

cos(x)

dt

1 + t2

.

(c)

F (x) =

(∫ x

0

√1 + s2ds

)2

.

25. Halla f(4) si:

(a) ∫ x2

0

f(t)dt = x cos(πx)

.(Dos soluciones).

(b) ∫ f(x)

0

t2dt = π cos(πx)

.

34

(c) ∫ 0

f(x)

√tdt = π cos(πx)

.

26. Sea f : [0, 1]→ R continua. Prueba:∫ 1

0

f(t)dt = −∫ 1

0

f(1− t)dt

.

27. Sea F (x) una primitiva de f(x) = sin(x)x (x > 0). Expresa:∫ 3

1

sin(2t)

tdt

en terminos de F .

17 Areas

1. Obten el area de la region limitada por:

(a) La curva y2 = 4x y la recta 4x− 3y = 4.

(b) La recta y − x− 4 = 0 y la curva y = x2 − 2.

(c) Las curvas y = sin(x), y = cos(x) entre π/4 y 5π/4.

(d) La curva y =√x y la recta x+ y = 6.

(e) Las curvas y = cos(πx/2) y y = 1− x2 en el primer cuadrante.

(f) Las curvas x = y2 − 1 y x = |y|√

1− y2.

(g) Las curvas x = 3y − y2 y la rectax+ t = 3-

(h) Las curvas x = tan2(y) y x = −tan2(y) en −π/4 ≤ y ≤ π/4.

(i) Calcula el area de la region acotada por la recta y = 0 y la curvay = x

√4− x2.

(j) Calcula el area total en el primer y segundo cuadrante, limitada porla recta y = 1 y la curva y = (x+ 1)2 en el segundo cuadrante y pory = 1 y y = −x2 + 2x+ 1 en el primero. (Hacer un dibujo).

(k) Calcula el area de la region acotada por las curvas x = 12y

2 yy = 2x− 2. (Ilustra).

(l) Obten el area de la region limitada por las rectas y = x, y = 1 y la

curva y = x2

4 en el primer cuadrante.

35