Grundlagen der Nachrichtentechnik: Inhalt

Grundlagen der Nachrichtentechnik

I. Kontinuierliche Signale u. Systeme

1. Fouriertransformation

2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen

3. Eigenschaften v. Ubertragungskanalen

II. Analoge Ubertragung

1. Analoge Modulationsverfahren

2. Empfangerstrukturen

3. Einfluss von Rauschen

III. Diskretisierung v. Quellensignalen

1. Abtasttheorem

2. Pulsamplitudenmodulation

3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation

4. Pulscodemodulation

5. Prinzip des Zeitmultiplex

IV. Digitale Ubertragung

1. Struktur e. Datenubertragungssystems

2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung

3. Rauschangepasstes Empfangsfilter

4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit

5. Digitale Modulationsverfahren

komplett auf Folien teilweise mit Folienunterstutzung

Inhalt Kapitel 2 Seite 1

2. Aquivalente Tiefpass-Darstellung von

Bandpass-Signalen

2.1 BP-TP-Transformation

2.2 Hilberttransformation

2.3 Analytische Signale

1UniversitätBremen

Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer

2. Äquivalente Tiefpass2. Äquivalente Tiefpass--Darstellung von BandpassDarstellung von Bandpass--SignalenSignalen

0 ω

XTP(jω)Tiefpass

−2ω0

XBP(jω)

ω0−ω0 ω 0−2ω0 ω

XBP(j(ω + ω0)) ∆= XTP(jω)

xTP(t) = xBP(t) · e−jω t

Leistung: ExBP(t)2 = 2· 2 2ExTP(t)2 = √22·

√2 e−jω t

hTP(t)xBP(t) xTP(t) = xTP(t) + j xTP(t)

xTP(t) = xTP(t) ∗ hTP(t)

2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

konj.komplex

2UniversitätBremen

Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer

Alternative Struktur (Quadraturfilter)Alternative Struktur (Quadraturfilter)

Konstruktion des Filters

XBP(jω)

ω0−ω0 ω 0 ω

XTP(jω)

ω

X+BP(jω) 2 = 1√

2X+(j(ω + ω0))

2

----------------------------------

=1

+

H+(jω)

H+(jω)

H+(jω) = Hg(jω) +Hu(jω)reelleImpulsantwort

xBP(t)1√2 e−jω t

hBP(t)

hBP(t) xTP(t)j

ω0−ω0

Hu(jω) = j [

−jHu(jω)]ωω0

−ω0

−ω0

1

ωω0−ω0

ωω0 Quadratur-Netzwerk

2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

3UniversitätBremen

Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer

Impulsantwort eines einseitigen BandpassesImpulsantwort eines einseitigen Bandpasses

2

ωω0ωω0

H+BP(jω)HTP(jω)

h+(t) = 2 hTP(t)︸ ︷︷ ︸reell

·ejω t = 2hTP(t) · cos(ω0t) + j [2hTP(t) · sin(ω0t)]

hBP (t) ∆= 2hTP(t) · sin(ω0t)

hBP(t) ∆= 2hTP(t) · cos(ω0t) Bandpass-Impulsantwort

hilberttransformierender Bandpass(90°-Phasendrehung)

2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

4UniversitätBremen

Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer

TiefpassTiefpass--BandpassBandpass--UmsetzungUmsetzung

0 ω

XTP(jω)

ωω0

X+BP(jω)

ω0−ω0 ω

√2XBP(jω)

Rex+BP(t)

2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

Rex(t) = 12 [x(t) + x∗(t)]

12

hTP(t)xTP(t)e+jω t

xBP(t)Re·x+BP(t)

√2

FRex(t) = [X(jω) +X∗(−jω)]∆= RaX(jω)

2.2 Hilberttransformation Seite 2

2.2 Hilberttransformation

reelles Zeitsignal:

x(t) •− X(jω) mit ReX(jω) = ReX(−jω), ImX(jω) = −ImX(−jω)Phasendrehung um 90 (genauer: -90 fur ω > 0, 90 fur ω < 0, da Phase ungerade)

Hilberttransformation:

x(t) = Hx(t) •− X(jω) = sgn(ω) · e−jπ/2 · X(jω) =

−jX(jω) fur ω > 0

0 fur ω = 0

jX(jω) fur ω < 0

Interpretation als lineares System (Hilberttransformator) mit der Ubertragungsfunktion

HH(jω) = −jsgn(ω) Bandbegrenzung: HHB(jω)

H jH( )w

w

j

-j

H jHB( )w

wg

-wg

j

-j

w

2.2 Hilberttransformation Seite 3

Impulsantwort des bandbegrenzten Hilberttransformators:

hHB(t) = − 1

2π

ωg∫

−ωg

j sgn(ω) ejωt dω = − 1

2π

ωg∫

−ωg

j sgn(ω) [cos(ωt)︸ ︷︷ ︸

ungerade→0

+j sin(ωt)]dω

= +2

2π

ωg∫

0

sin(ωt) dω =

[− cos(ωt)

πt

]ωg

ω=0

=1 − cos(ωgt)

πt= 2 fg ·

1 − cos(ωgt)

ωgt

Impulsantwort des idealen Hilberttransformators:

hH(t) =1

πt

[1 − lim

ωg→∞cos(ωg t)

︸ ︷︷ ︸→0

]→ hH(t) =

1/πt fur t 6= 0

0 fur t = 0

Hilberttransformation im Zeitbereich:

Hx(t) = x(t)∗hH(t) =1

π

∞∫

−∞

x(τ )

t − τdτ

Cauchy-

Hauptwert:limε→0

[ t−ε∫

−∞

x(τ )

t − τdτ +

∞∫

t+ε

x(τ )

t − τdτ

]

2.2 Hilberttransformation Seite 4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Impulsantwort eines bandbegrenzenden Hilberttransformators

Grenzwert bei t → 0:

limt→0

1 − cos(ωgt)

πt= lim

t→0

∂(1 − cos(ωgt))/∂t

∂πt/∂t=

1

πlimt→0

(ωg sin(ωgt)) = 0

2.2 Hilberttransformation Seite 5

Beispiel: Hilberttransformation eines Rechteckimpulses

r(t) =

1 fur −T

2≤ t ≤ T

2

0 sonst.→ Hr(t) =

1

π

∞∫

−∞

r(τ )

t − τdτ =

1

π

T/2∫

−T/2

1

t − τdτ

T/2∫

−T/2

1

t − τdτ = −ln|t − τ |T/2

−T/2 = ln

∣∣∣∣

t + T/2

t − T/2

∣∣∣∣

fur |t| >T

2

T/2∫

−T/2

1

t − τdτ = lim

ε→0

t−ε∫

−T/2

1

t − τdτ +

T/2∫

t+ε

1

t − τdτ

= lim

ε→0ln

[t + T/2

ε·∣∣∣∣

ε

t − T/2

∣∣∣∣

]

= ln

∣∣∣∣

t + T/2

t − T/2

∣∣∣∣

fur |t| ≤ T

2

Hr(t) = 1π·ln

∣∣∣t+T/2t−T/2

∣∣∣

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.2 Hilberttransformation Seite 6

Einige Satze der Hilberttransformation

• Linearitat: Ha1 x1(t) + a2 x2(t) = a1 Hx1(t) + a2 Hx2(t)

• Zeitinvarianz: x(t) = Hx(t) → x(t − ϑ) = Hx(t − ϑ)

• Umkehrung: x(t) = −Hx(t) = −HHx(t)

• Orthogonalitat:∞∫

−∞x(t) · Hx(t) dt = 0

• Filterung y(t) = x(t) ∗ h(t), y(t) = Hx(t) ∗ h(t) → y(t) = Hy(t)

→ Hx(t) ∗ h(t) = Hx(t) ∗ h(t) = x(t) ∗ Hh(t)

• gerade Zeitfunktion: x(t) = x(−t) → Hx(t) = −Hx(−t)

• ungerade Zeitfunktion: x(t) = −x(−t) → Hx(t) = Hx(−t)

2.2 Hilberttransformation Seite 7

Korrespondenzen der Hilberttransfomation

x(t) Hx(t) Voraussetzungen

cos(ω0t) sin(ω0t) ω0 > 0

sin(ω0t) − cos(ω0t) ω0 > 0

δ0(t) 1/(πt) –

sin(ωgt)

ωgt

1 − cos(ωgt)

ωgt–

1 fur |t| < T2

0 sonst1π · ln

∣∣∣t+T/2t−T/2

∣∣∣ –

s(t) · cos(ω0t) s(t) · sin(ω0t) S(jω) = 0 fur |ω| ≥ ω0

Weitere Korrespondenzen siehe Anhang 1 in

K.D. Kammeyer, Nachrichtenubertragung, Teubner 1996

2.2 Hilberttransformation Seite 8

Hilberttransformierte der Rechteck- und Dreieckschwingung

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

a) Rechteckschwingung

t/T →−1 −0.5 0 0.5 1

−4

−2

0

2

4Hilberttransformierte

t/T →

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

b) Dreieckschwingung

t/T →−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Hilberttransformierte

t/T →

2.3 Analytische Signale Seite 9

2.3 Analytische Signale

Zusammenfassung Quadraturnetzwerk-Ausgangssignale zu einem komplexen Signal:

z(t) = x1(t) + jHx1(t) = x1(t) + jx1(t)

Spektrum eines komplexen Signals mit der Eigenschaft Im· = HRe·Mit Fx1(t) = X1(jω) und Fx1(t) = −j sgn(ω) · X1(jω) folgt

Fz(t) = X1(jω) + j [−j sgn(ω)X1(jω)] = X1(jω) [1 + sgn(ω)]︸ ︷︷ ︸

=

2 fur ω > 0

0 fur ω < 0

allgemein: analytisches Signal zum reellen Signal x(t):

Fx(t) + jx(t) =: Fx+(t) =

2X(jω) fur ω > 0

0 fur ω < 0

Spektrum bei negativen Frequenzen wird ausgeloscht.

2.3 Analytische Signale Seite 10

Auch die komplex zusammengefasste Impulsantwort eines Quadraturnetzwerks ist ein

analytisches Signal:

h+(t) = h1(t) + j h1(t) = h0(t) · cos(ω0t) + j h0(t) · sin(ω0t) = h0(t) · ejω0t

→ H+(jω) = H0(j(ω − ω0)) = 0 fur ω < 0, (falls ωg < ω0)

Graphische Veranschaulichung des Spektrums eines analytischen Signals:

X j1( )w

X j j1( )w + X j1( )w

-w0

-w0

-w0

-w0

w0

w0

w0

w0

konjugiert

jX j1( )w^

X j j1( )/w

^

^

c)

a) b)

d)

w

w

w

w

2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 11

2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung reeller Bandpass-Signale

reelles Bandpass-Sig.: XBP (jω) = X∗BP (−jω)

analytisches Signal: x+BP (t) = xBP (t) + j xBP (t) −• X+

BP (jω) =

2XBP (jω), ω > 0

0, ω < 0

Verschiebung des Spektrums um ω0 nach links, d.h. zur Frequenz ω = 0

Definition der komplexen Einhullenden:

XTP (jω) = 1/√

2 ·X+BP (j(ω + ω0)) → Zeitbereich: xTP (t) = 1/

√2 · x+

BP (t) · e−jω0t

Bildung der komplexen Einhullenden im Spektralbereich: Graphische VeranschaulichungPSfrag replacements

XBP (jω) X+

BP(jω)

XTP (jω)

1

√

2

2

a) b)

c)

B

ω

ω ω

ω0

ω0ω0

−ω0

−ω0−ω0

2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 12

Schaltungstechnische Realisierung der komplexen Einhullenden

zwei aquivalente Strukturen von Quadraturmischern:

Quadraturstruktur:PSfrag replacements

xBP (t)

hBP (t)

hBP (t)

x+

BP (t)

1√

2.e−jω0t

xTP (t) , s(t)

j

Tiefpass-Struktur:PSfrag replacements

xBP (t)

√

2

hTP (t)

hTP (t)

x(t)

e−jω0t

xTP (t) , s(t)

Herleitung der Tiefpass-Struktur:

Es sei h+(t) = hBP (t) + j hBP (t) = hTP (t) · ejω0t

xTP (t) = [xBP (t) ∗ h+(t)] · e−jω0t =[

∞∫

−∞

hTP (τ ) ejω0τxBP (t − τ ) dτ]· e−jω0t

xTP (t) =

∞∫

−∞

hTP (τ ) e−jω0(t−τ)xBP (t − τ )︸ ︷︷ ︸

=:x(t−τ)

dτ → xTP (t) = hTP (t) ∗ x(t)

2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 13

Bedingung fur reelle”komplexe Einhullende“:

Fur reelle Zeitsignale gilt die konjugiert gerade Symmetrie des Spektrums,

also XTP (jω)!= X∗

TP (−jω), d.h. XBP (j(ω0 + ω))!= X∗

BP (j(ω0 − ω))

• Ist das Spektrum eines Bandpass-Signals bezuglich der Mittenfrequenz ω0 konjugiert

gerade, d.h. weist es einen geraden Betrag und eine ungerade Phase bezuglich ω0 auf,

so ist das zugehorige Tiefpass-Signal im Zeitbereich reell, d.h. es liegt der Spezialfall

einer reellen”komplexen Einhullenden“ vor.

Spektrum eines symmetrischen Bandpass-Signals:

| ( )|X jBP w arg X j ( )BP w

-np

np

-w0

w0

-w0

w0 ww

2.5 Komplexwertige Systeme Seite 14

2.5 Komplexwertige Systeme

Anwendung der Betrachtungen zur komplexen Einhullenden auf die Impulsantwort eines

Bandpassfilters:

hTP (t) :=1

2h+

BP (t) · e−jω0t =1

2[hBP (t) + j hBP (t)] e−jω0t i.a.komplex

→ hTP (t) = h′(t) + j h′′(t) h′(t) = RehTP (t), h′′(t) = ImhTP (t)

• Im Gegensatz zur Signal-Definition wird bei Systemen der Faktor 12 eingefuhrt, um

im Tiefpass- wie im Bandpass-Bereich die gleiche spektrale Bewertung zu erreichen.

(Andernfalls wurde bei der Kaskadierung von Systemen der Verstarkungsfaktor akku-

mulieren!)

aquivalente Basisband- Darstellung

eines Bandpass-Systems: x tBP( ) h tBP( ) y tBP( ) x tTP( ) y tTP( )h tTP( )

Bandpaßsystem komplexes Basisbandsystem

2.5 Komplexwertige Systeme Seite 15

Komplexe Faltung

komplexes Eingangssignal: xTP = x′(t) + jx′′(t)

komplexe Impulsantwort: hTP (t) = h′(t) + jh′′(t)

jeweils zwei reelle Signale

yTP (t) = xTP (t) ∗ hTP (t) = [x′(t) + jx′′(t)] ∗ [h′(t) + jh′′(t)]

= x′(t) ∗ h′(t) − x′′(t) ∗ h′′(t) + j[x′(t) ∗ h′′(t) + x′′(t) ∗ h′(t)]

Schaltungsstruktur: Vier paarweise gleiche reelle Faltungen

x (t) h (t)

h (t)

' +

+h (t)'

"

h (t)"

'

x (t)"

y (t)'

y (t)"

+

++

2.5 Komplexwertige Systeme Seite 16

Ubertragungsfunktion eines komplexwertigen Filters: (analog: F· diskret: Z·)• hTP (t) = h′(t) + jh′′(t) −• H(jω) = Fh′(t) + jFh′′(t), H(−jω) 6≡ H∗(jω)

• hTP (k) = h′(k) + jh′′(k) −• H(z) = Zh′(k)︸ ︷︷ ︸

reellw. Syst.

+j Zh′′(k)︸ ︷︷ ︸

reellw. Syst.

komplexwertig

Zh′(k) = ZReh(k) = Z12

[h(k) + h∗(k)

] = 1

2

[analyt.Fkt. von z︷ ︸︸ ︷

H(z) + H∗(z∗)]

Zh′′(k) = ZImh(k) = Z 12j

[h(k) − h∗(k)

] = 1

2j

[H(z) − H∗(z∗)︸ ︷︷ ︸

analyt.Fkt. von z

]

Beispiel: H(z) =z

z − a→ H∗(z∗) =

[ z∗

z∗ − a

]∗=

z

z − a∗

ZReh(k) = RaH(z) =1

2

[H(z)+H∗(z∗)

]

ZImh(k) = IaH(z) =1

2j

[H(z)−H∗(z∗)

]

2.5 Komplexwertige Systeme Seite 17

Entsprechende Beziehung fur die Fourier-Ubertragungsfunktion: (analog/diskret)

FReh(t/k) = RaH(jω/ejΩ) =1

2

[H(jω/ejΩ) + H∗(−jω/e−jΩ)

]

FImh(t/k) = IaH(jω/ejΩ) =1

2j

[H(jω/ejΩ) − H∗(−jω/e−jΩ)

]

Anwendungen komplexwertiger Systeme in der Nachrichtentechnik:

• Systemtheorie der Bandpass-Signale und -Systeme

• Mathematische Beschreibung (Simulation) von Bandpasskanalen in der aquivalenten

Tiefpass- (Basisband-) Ebene

• Realisierung digitaler Modulationsverfahren in der komplexen Signalraumebene

• Gunstige schaltungstechnische Realisierung von Sendern u. Empfangern im Tiefpassbe-

reich (moderne digitale Strukturen)

• Korrektur nichtidealer Bandpasskanale durch komplexwertige Basisbandentzerrer usw.