Grundlagen der aquatischen Physik

W. Kinzelbach, IfU

Inhalt• Transportprozesse in der aquatischen Umwelt• Strömungsvorgänge (Flüsse, Seen, Grundwasser)• Mischungsvorgänge• Chemische Reaktionen

Einige Grundbegriffe

• Wasser

Volumen V m3

Abfluss Q m3/s• Schadstoffe etc.

Masse M g

Konzentration c g/m3

Fracht Qc g/s

Tracereinleitung Rhein 1

Tracereinleitung Rhein 2

Abwassereinleitung Ostsee

Rauchfahne Ätna

Rauchfahne Schornstein

Tchernobyl-Fahne (26.4.1986)

CKW-Fahnen im GrundwasserRaum Heidelberg (1981)

Warmwassereinleitung Donau

Gemeinsamkeiten: Prozesse

• Mittlere Verfrachtung: Advektion• Vermischung

– Molekulare Diffusion– Turbulente Diffusion– Dispersion

• Quellen und Senken– Chemische und biologische Umwandlung– Adsorption, Sedimentation

Advektion bei uniformer Strömung

u

u 1s

Einheitsfläche Volumen, das in der nächsten Sekunde die Einheitsfläche quert

Masse, die pro Sekunde durch die Einheitsfläche tritt:

cuj

(kg/m2/s)

Zeitliche und räumliche Variabilität von Strömungsfeldern

Heterogenität eines AquifersLaminare Strömung

Turbulente Geschwindigkeitsvariationen

Advektion bei zeitlich und/oder räumlich variabler (turbulenter) Strömung

cuj

ccc uuu

cc)cccc(

)cc)((

uuuuuu

uucuj

Mittlere AdvektionTurbulente DiffusionMittelung über Raum:Dispersion

cuJ A

Mittelung über Zeit:

Typische Advektionsgeschwindigkeiten

• Fluss 1 m/s

• See 1 mm/s

• Grundwasser 1 m/d

• Bodenzone 1 m/a

Mischungsprozesse

• Molekulare Diffusion (durch Molekularbewegung)

• Turbulente Diffusion (durch Wirbel)

• Dispersion (durch systematische räumliche Variabilität der Strömungsgeschwindigkeit)

Molekulare Diffusion

Durch das Ficksche Gesetz beschrieben

cDJ mm

Diffusionskoeffzient Dm in Wasser in der Grössenordnung10-9 m2/s

Einheit: kg/m2/s

Turbulente Diffusion

Wird in Analogie zum Fick‘schen Gesetz beschrieben

cJT

Turbulente Diffusionskoeffizienten im Fluss ungleich in vertikaler und transversaler Richtung. Näherungsformeln:

Einheit: kg/m2/s

*

*

067.0

6.0

hu

hu

vertikal

ltransversa

mit EghIu *

h Wassertiefe, IE Reibungsgefälle

Grössenordnung: 0.01-0.1 m2/s

Fickscher Diffusionsprozess

2 2 /sDt Dx u

Schwerpunkt:

xs = ut

Breite der Verteilung:

21

2

dD

dt

stantconDmitcDJD

Oder:

Dispersion

Wird in Analogie zum Fick‘schen Gesetz beschrieben

cKJD

Einheit: kg/m2/s

*

22

011.0hu

buK mit

EghIu *

h WassertiefeIE Reibungsgefälle

Näherungsformel für Fluss:

Grössenordnung: 1-100 m2/s

Wirkungsweise der Dispersion

DifferentielleAdvektionwird durch lateraleturbulente Diffusionasymptotischzu Dispersion, diedem Fickschen Gesetz folgt.

Dispersion folgt ausder gemittelten Betrach-tung und wird durchsystematische räumliche Variationen in der Geschwindigkeit verursacht

Turbulente Diffusion

Alle Stoffflüsse in der Übersicht

m mJ D c ��������������

cuJ A

Advektion

Molekulare Diffusion

Dispersion

Gesamtfluss Total mA T DJ J J J J ����������������������������������������������������������������������

ccuJZeit

T

cKcuJRaum

D

Massenbilanz: in 1D

x

x

Speicherung von gelöster Masse

Verluste aus Abbau nachReaktion 1. OrdnungGewinn durch Einträge

Erhaltungsgleichung für gelöste Masse

x+x

Zeitintervall [t, t+Dt]

, ( )Total xJ x, ( )Total xJ x x

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))total,x total,x inJ x J x x A t c V t q c x t

m t t m t

V=Ax

Transportgleichung 1D

cJ

t

��������������Verallgemeinerung auf 3D:

total,x inJ qc c

cx A t

( ) ( ) ( ( ) ( ))total,x total,x inJ x x J x qc c t t c tc

x A t

Im Limes:

Nach Einsetzen der Ausdrücke für die Flüsse

(u )(( ) )x in

m

c qcc cD K c

x x x A t

Turbulente Diffusion undDispersion

1D Transportgleichung

Advektion Molekulare Diffusion

Speicherung Quellen/Senken

StrömungsmodellKonti.-gleichungImpulsgleichungEnergiegleichungZustandsgleichungen

Diffusions/Dispersionsmodellz.B. Ficksches Gesetzmit anisotropem Dispersionstensor

Quellen/SenkenmodellZ. B.Chem AbbauBio. UmwandlungSedimentationAdsorption

t

c

x

cK

x

c

x

cD

x

cu m 2

2

2

2

2

2

Invarianten

• Typische Zeitskalen– Advektion TA = L/u

– Diffusion/Dispersion TD = L2/D

– Chemie (Reaktion 1. Ordnung) TC = 1/

• Dimensionslose Verhältnisse– Peclet Zahl Pe = TD/TA = uL/D

– Damköhlerzahl Da = TD/TC = (L2)/D

Strömung in Flüssen

Normalabfluss: Gleichgewicht zwischen Hangabtrieb und Reibung, Energiegefälle IE = Sohlgefälle IS

2/3 1/2Str hy Su k r I

u querschnittsgemittelte Fliessgeschwindigkeitkstr Stricklerbeiwertrhy hydraulischer Radius (Querschnittsfläche/Benetzter Umfang)

Q Abfluss

iEihyiStriiEihyiStri QQIrkAQIrku 2/13/2,,

2/13/2,,

Verallgemeinerung für gegliedertes Gerinne

Geschwindigkeitsprofile

• Vertikal: Logarithmisches Profil

• Horizontal: Z. B aus Normalabfluss im gegliederten Gerinne

w

)/()(*

wzlnu

zu

Ai, ui, Qi

z

Kritischer Abfluss

• Fr = 1 mit

gh

uFrerinneRechtecksgim

bgA

uFr :

b Wasserspiegelbreite

gh Flachwasserwellengeschwindigkeit

Fr < 1 StrömenFr > 1 Schiessen

Saint-Venant Gleichungen

• Kontinuitätsgleichung

• Impulsgleichung

qt

A

x

Q

)( sE IIgx

hg

x

uu

t

u

Für Rechtecksgerinne:Stationäre Gleichungen mit q = 0 und A = bh, Q = bhu liefern

21 Fr

II

dx

dh ES

Daraus: z. B. Staukurve

Staukurvenberechnung

Differenzenapproximation strömender Fall:Je eine Randbedingung oberstrom und unterstrom Berechnung stromauf von unterer Randbedingung her (Einstauhöhe am Wehr)

2

2

( )( ) ( )

1 ( )

( ( ))( ) ( )

1 ( ( ))

S E

S E

I I hh h x h x x

x x Fr h

I I h xh x x h x x

Fr h x

Starte Berechnung bei xWehr mit hWehr

Bei schiessendem Abfluss, Berechnung stromab, 2 Randbedingungen oberstrom

Wellendurchgang(kinematische Welle)

0

t

A

x

Q

/ /

/ /

Q h A u hc u

A h A h

und Annahme, dass überallNormalabfluss herrscht

liefert Wellengleichung für h mit Wellengeschwindigkeit

0h h

ct x

Q = uA, Normalabfluss bedeutet: Q = f(h), A=g(h)

Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit cWasserwelle (c) schneller als Schmutzwelle (u).

Strömung in Seen

• Mittlere Aufenthaltszeit = V/Q

• Seenrückhalt )()( tQtQdt

dVoutin

Q(t)

Zeit

Qin

Qout

Warum Schnittpunktim Maximum?

Schichtung in Seen

• Dichte von Süsswasser als Funktion der Temperatur

• Stabile Schichtung im Sommer und eventuell im Winter, dazwischen Mischung

326 /)4(1071)( mtinundCinTmitTT

T

z

Sommer Herbst Winter Frühling

Thermokline

Hypolimnion

Epilimnion

Oberflächenseichen und interne Seichen

• Schwappungen• Wellengeschwindigkeit Oberflächenseiche• Wellengeschwindigkeit interne Seiche

ghc

1 1 1

E H

c g h mit g g undh h h

h mittlere Tiefe, hE Tiefe Epilimnion, hH Tiefe Hypolimnion

• Periode erste Oberwelle der Seiche

c

LTbzw

c

LT

2.

2L Länge See

Oberflächenseichen und interne Seichen

z

x

x

Epilimnion

Hypolimnion

Grundwasser: Fliessgesetz (1)

• Grundwasserströmung ist fast immer laminar• Lineares Energieverlustgesetz• Spezifischer Abfluss = Filtergeschwindigkeit v

• Darcy: v = kf I

– kf Durchlässigkeitsbeiwert

– I Piezometerhöhengefälle

• Abstandsgeschwindigkeit u = v/n

Darcy‘s Experiment

Q

h

L

A

Beobachtung:Q proportional zu A, hQ invers proportional zu LFolgerung: Q = k A h/L oder v = Q/A = k I

Grundwasser Fliessgesetz (2)

• Spezifische Energie H = z + p/g + v2/2g = h + v2/2g

• Im Grundwasser: v sehr klein, v2/2g vernachlässigbar H = h

• Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes

h-Kv K Durchlässigkeitstensor

Höhengleichenplan

• Durch Interpolation aus Messungen in Messstellen (Vorsicht: Lichtlot misst Abstich, daraus durch Subtraktion von eingemessener Kante: Piezometerhöhe)

• Einfachste Interpolation: Hydrologische Dreiecke und lineare Interpolation (siehe Übung)

GW

GOK

Abstich

Eingemessene Kante

NN

h

Wichtigste Formel

Q = AvF= AkfI = bmkfI = bTI

AvF

T Transmissivität T = mkf, b Breite, m Mächtigkeit

b

m

Brunnenformel

• Radiale Zuströmung zum Brunnen– Filtergeschwindigkeit im Abstand r

aus Kontinuität

Q = vrA = vr 2 r m

Daraus: vr = Q/(2rm)

vr

r

m

Q

Superpositionsprinzip

• Brunnen in Grundströmung: Pumprate Q

b

Aquifermächtigkeit m,Filtergeschwindigkeit der Grundströmung v0

Bestimme die Entnahmebreite b und den Staupunktsabstand xs

v0

Q

xs

Entnahmebreite und Staupunktsabstand

• Entnahmebreite aus Kontinuität:

Zufluss zu Entnahmebereich = PumprateQ = b m v0 oder b = Q/(mv0)

• Staupunktsabstand aus Bedingungv = vGrund + vBrunnen = 0 für Punkt auf x-Achse

v0 - Q/(2xsm) = 0 oder xs = Q/(v02m)

Chemische Reaktionen

• Reaktion 1. Ordnung, z. B. bakterieller Abbau, wenn Substrat limitierend ist

• Reaktion 0. Ordnung, z. B. bakterieller Abbau ohne Limitation durch Substrat oder Nährstoffe

• Allgemein für bakterielle Abbau: Michaelis Menten-Kinetik

dcc

dt

( 0, konstant)dc

r rdt

dc ac

dt c K

0. Ordnung für c » K, 1. Ordnung für c « K

Lösung: exp-Funktion

Chemische Reaktionen

In Grundwasser (oder an Flusssediment) Adsorption

Lineare Adsorptionsisotherme bei kleinen Konzentrationen

c = gelöste Konzentration, ca = adsorbierte Konzentration

bewirkt Verzögerung des Transports um Retardierungsfaktor R

Ersetze:

a Dc K c

11 D matrix

nR K

n

u u R D D R

Kombination aller der TransportprozesseStrömungsrichtung

t=0

t=tAdvektion

Advektion und Dispersion

Advektion, Dispersion und Adsorption

Advektion, Dispersion, Adsorption und Abbau

x

x

x

x

x

Transportgleichung: 1-D Lösung

• Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss)

)exp(4

)(exp

2),(

2

tDt

utx

DtA

Mtxc

A durchströmter Querschnitt, D Diff./Disp.-koeffizient, u Fliessgeschwindigkeit, Abbaurate, für u = 0 rein diff. Lösung

Konzentrationsverlauf in x: Profil

Weitere Lösungen durch Superposition

• Im Raum

– Flächenquelle = Überlagerung von vielen Punktquellen– Undurchlässiger Rand durch Spiegelung

• In der Zeit

– Permanente Emission = Summe von instantanen Emissionen

Konzentrationsverlauf in t: Durchbruchskurve

Konzentration

Zeit

Vorsicht: nicht symmetrischSchreibe MATLAB-Programmfür Profil und Durchbruchskurve

3-D Lösung• Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0

mit Masse M in eindimensionale Strömung

Fliessrichtung parallel zur x-Achse

)exp(444

)(exp

8),,,(

222

ttD

z

tD

y

tD

utx

tDtDtD

Mtzyxc

zyxzyx

Dx,y,z Diff.-koeffizienten in x,y,z-Richtung u Fliessgeschwindigkeit, AbbaurateRandbedingungen durch Spiegelung

Transportmodell der TA-LuftGauss-Fahne

2

2

2 2

2 2

( , , ) exp2 ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( )exp exp exp( / )

2 ( ) 2 ( )

y z y

z z

Q yc x y z

u x x x

z H z Hx u

x x

Q Quellstärkeu mittlere WindgeschwindigkeitH effektive Emissionshöhez(x) = x Diffusionsparametery(x) = x abhängig von Stabilitätsklasse Abbaurate (einschl. Deposition) = 2Dt

Boxmodell (1)

• See mit Qin = Qout = Q, Zuflusskonzentration cin = konstant• Anfangskonzentration c = c0

• Stoff mit Abbaureaktion 1. Ordnung, Rate l, See vollständig durchmischt

• Massenbilanz

• Stationäre Lösung

• Instationäre Lösung

cVccQdt

Vcdin )(

)(

Q

Vmit

cc

dt

Vcd in

1

1

0)(

0)1

(exp)()( 0

tfürtccctc

Boxmodell (2)• Allgemeinerer Fall: Zuflusskonzentration nicht konstant

• Mit c0 = 0 und Startzeit t0 = - kann dies geschrieben werden als:

• f ist die Transferfunktion

• Der gemischte See entspricht einem Exponentialmodell (siehe auch gemischter Reaktor)

• Andere Transferfunktion

(Pfropfenströmung)

tdttftctct

inout

)()()(

)exp()/exp(1

)( tttf

))(

1(exp)(

1)

1(exp)(

0

0 tttctctct

in

))(exp()()( ttttf

Boxmodell (3)• Boxmodelle werden unter anderem verwendet für die

Interpretation von Umwelttracerdaten

• Beispiele Altersbestimmung von Grundwasser mit Tritium, Freonen, SF6

Input

Output

Time

Time

Verzögerung

L

Prinzip der Altersdatierung mit Tracern

Resultat:Porengeschwindigkeit

Mit Porosität erhält man spezifischen Abfluss

Mit Fläche erhält man Gesamtzufluss

L

u

A

qdAQ

unq

F11

F12

Atmosphärische CFC Konzentrationen in der südlichen Hemisphäre

Bomb 3H peak at different latitudes

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Year

ann

ual

ave

rag

e 3 H

(T

U)

Ottawa

Bamako

Pretoria

Khartoum

Tritiumpeak im Niederschlag aus atmosphärischen Atombombenversuchen