1

13 Hydrodynamik

Chrysopelea Paradisi

Crash Kurs 3.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr

Klausur 10.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr

Hilfsmittel

Taschenrechner, Din A5 Blatt, handbeschrieben

2

Strömungstypen

laminar turbulent

3

Ideale Flüssigkeiten... damit sind auch Gase gemeint

In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie

Zigarettenrauch

Übergang von laminarerzu turbulenter Strömung

Was sind die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit?- keine Wechselwirkung der Teilchen innerhalb der Flüssigkeit- Geschwindigkeit an jedem Punkt in der Flüssigkeit ist konstant- Flüssigkeit ist inkompressibel- an keinem Ort in der Flüssigkeit gibt es einen resultierenden Drehimpuls

4

KontinuitätsgleichungMassenflussrate

tm

m ΔΔ

=φ

111V lAΔ=Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 1

222V lA Δ=Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 2

1111

111112 vA

tlA

tV

tm

m ρρρφ =ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

=

2222

222221 vA

tlA

tV

tm

m ρρρφ =ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

=

222111

2211

vv AA

tm

tm

mm

ρρ

φφ

=⇓

=ΔΔ

=ΔΔ

=

Kontinuitätsgleichung

keine Flüssigkeit geht verlorenFlussrate muss konstant sein!

constAA

const

m ==⇓

==

φ

ρρ

2211

21

vv

Flüssigkeit inkompressibel

Konsequenzengroßer Querschnitt -> niedrige Strömungsgeschwindigkeitgeringer Querschnitt -> hohe Strömungsgeschwindigkeit

Vergleiche Massenfluss an zwei Teilstücken einer RöhreWichtig: kein Tropfen der Flüssigkeit geht verloren. Also muß sich

etwas ändern, wenn man die Bedingungen modifiziert!

spezielle Bedingungen für

inkompressibles Medium wie z.B. Flüssigkeit

1 2

Volumen

Volumen

alles was pro Zeiteinheit hier herein fließt,kommt hier auch in derselben Zeit wieder raus

5

Wasserhahn

11vA

12

21212

21

22

2vv

2vv

AAghAA

gh

<←

+=

+=

Warum verengt sich der Querschnitt des Wasserstahls?

Wassertropfengeschwindigkeit erhöht sich durch freien Fall

Kerzen ausblasen beim Kindergeburtstag

6

Anzahl der Kapillaren im Körper

Bedingungen in den Kapillaren Durchmesser 10 μm

Fließgeschwindigkeit 600 μm/s

Bedingungen in der AortaDurchmesser 2 cmFließgeschwindigkeit 30 cm/s

2AortaAorta rA π=

2KapKapKap rnA π=

Kontinuitätsgleichung

( )( )

9

264

22-

2

2

22

107.6m105

sm106

m10sm0.30

vv

vv

vv

⋅=⋅⋅

=

=

=

=

−−Kap

KapKap

AortaAortaKap

KapKapKapAortaAorta

KapKapAortaAorta

n

rrn

rnr

AA

ππ

Abschätzung über Anzahl der Kapillaren im Körper

also etwa 10 Billionen

7

Bernouilli-Gleichung

Annahme einer idealen FlüssigkeitFlüssigkeit inkompressibel

laminare Strömunggeringe Viskosität (Zähigkeit)

constp

pp

=++

⇓

++=++

gyv²21

gyv21 gyv

21

1

22221

211

ρρ

ρρρρ

BernoulligleichungErhaltungssatz

Test: statische Flüssigkeit

( )ghp

ypp

SD ρρ=

−+=⇓

==

2112

21

yg

m/s 0.0v v

Test: kein Höhenunterschied

222

211

21

v21 v

21

ρρ +=+

⇓

==

PP

constyy

Daniel Bernouilli1700-1782

bekannt aus Kap. 12

Schweredruck

Was sagt die Gleichung z.B. ausBei hohem Druck reduziert sich

die Fliessgeschwindigkeit

Flüssigkeit bewegt sich nicht

1211 gyv

21 ρρ ++p

2222 gyv

21 ρρ ++p

Strömung wird durch drei Beiträge charakterisiert

Druck, Geschwindigkeit

Höhe

8

Bernouilligleichung

Wir stellen eine Behauptung aufHoher Druck bedeutet hohe Geschwindigkeit der Flüssigkeit

Wenn das Gegenteil der Fall wäre

hoch? vhoch

1

1p niedrig vniedrig

1

1p

Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung

höherer Druck

höherer Druck

höhere Strömungsgeschwindigkeitniedriger Druck

Auswirkungen von Bernoulli

2211 vv AA =

222

211

2121

v21 v

21

v v

ρρ +>+

>→>

pp

pp

dann stimmt Bernoulli nicht

also

Reduzierung der Fließgeschwindigkeit

9

Beweis der Bernoulligleichung

Ergebnis aus der MechanikÄnderung der kinetischen Energie

entspricht der geleisteten Arbeit am System

12 KEKEKEW −=Δ=

( )21

22

21

22

vv21

v21v

21

−Δ=Δ

↓

Δ−Δ=Δ

Δ=Δ

VKE

mmKE

Vm

ρ

ρ

Änderung der kinetischen Energie

Geleistete Arbeit im Gravitationfeld

)(

)(

12

12

yyVgW

yymgW

g

Vm

g

−Δ−=↓

−Δ−=Δ=Δ

ρ

ρ

Arbeit am System/ System leistet Arbeit

VpW

lpAlFW

P

VlAP

Δ=↓

Δ=Δ=Δ=Δ Flüssigkeit in den Bereich y1 drücken (positiv)

Flüssigkeit gegen den Druck P2 bewegen (negativ)

VpWp, Δ= 11

VpWp Δ−= 22,

( ) VppWVpVpW

WWW

P

P

PPP

Δ−−=Δ+Δ−=

+=

12

12

1,2,

( ) ( )

222211

21

121221

22

v21v

21

)(vv21

pgypgy

ppVyyVgV

WWKE Pg

++=++

−Δ−−Δ−=−Δ

+=Δ

ρρρρ

ρρ

qed

neu sortieren nach Indizes

ersetze Masse durch Dichte und Volumen

ersetze Masse durch Dichte und Volumen

das ist der zweite Terme der Bernoulligleichung

dritter Term der Bernoulligleichung

Arbeit, die die Flüssigkeit leisten muss

Arbeit, die an der Flüssigkeit geleistet wird

allgemein das ist der erste Terme der Bernoulligleichung

Energieerhaltung

10

Venturi RöhreStrömungsgeschwindigkeit inkompressibler Flüssigkeiten

0v210v

21 2

22211 ++=++ ρρ pp

1

221

2211

vv

vv

AA

AA

=

↓

=BernouilligleichungKontinuitätsgleichung

( )( )

( )( )2

22

1

2121

22

21

2112

222

2

21

21

2v

2v

v21v

21

AAppA

AAppA

pAAp

−−

=

↓

−−

=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ

ρ

ρρ

Druck in den engen Stellen der Röhre reduziert

Flüssigkeit steigt nach oben21

Bernouilli

21

gleichungtsKontinuitä

12 vv ppAA >→>→<

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 2

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 1

vgl Barometer

kein Höhenunterschied Δh=0

Ergebnis einsetzen

notwendige Messung Bestimmung des Druckunterschieds

11

... noch mehr Bernoulli

Versuch mit Buchseiten und Ökanistern

hohe Strömungsgeschwindigkeitverursacht Druckverringerung

Wind über Kamin erzeugt Unterdruck

klappernde Suppenlöffel

12

Aerodynamik

Windströmung um einen Tragflügel

Heinrich Hoffmann Der Struwwelpeter (1845)

13

Aerodynamik

Aerodynamischer AuftriebGeschwindigkeit des Flugzeug

Fläche und Form der TragflächeAnstellwinkel der Tragfläche

Luftwiderstand

Turbulenz

14

Bumerangphysik

BumerangWar einmal ein BumerangWar ein Weniges zu langBumerang flog ein Stück,

Aber kam nicht mehr zurückPublikum – noch stundenlang-

Wartete auf BumerangJoachim Ringelnatz

richtiges Flügelprofil

Fake

Rotation

Rotation mit Flugrichtunghohe relative Drehgeschwindigkeit

d.h. erhöhterAuftrieb

Luftströmung an Flügeln verursacht Auftrieb

Rotationsachse

Rotation gegen Flugrichtungrelative Drehgeschwindigkeit niedrig,d.h. geringerer Auftrieb

Flugrichtung

Unterschiedlicher Auftrieb an den Flügelenden verursacht Drehmoment

Bumeraung kippt in die Vertikale

15

Druckmessung in bewegten FlüssigkeitenGesamtdruck = statischer plus dynamischer Druck

Pivotrohr

statischer Druck dynamischer Druck

aus Differenz von Gesamt-und statischem Druck

dynstatres PPP +=potentelle

Energie

Staudruck

statischer Druck

Gesamtdruck m/s 0.0v =

2v21 ρ+= statres PP

kinetische Energie

welche Anteile tragen zum Druck bei?

Gesamtdruck

Prandtlrohr

Gesamtdruckstatischer Druck

16

Toricellis TheoremAusströmgeschwindigkeit aus einem Reservoir

gh

ghgh

obenunten

hhh

untenuntenobenoben

untenoben

2vv

v21v

21

22

22

+=

↓

+=+

−=

Toricellis Theorem

Atmosphärendruck an Oberfläche des Sees

gleiche Druckverhältnisse Atmosphärendruck auch beim Ausströmen der Flüssigkeit

untenuntenobenoben

untenuntenuntenobenobenoben

ghgh

pghpgh

ρρρρ

ρρρρ

+=+

↓

++=++

22

22

v21v

21

v21v

21

leichungBernoullig

Energieerhaltung Ergebnis identisch zu freiem Fall eines Körpers

Annahme reibungslose Bewegung

gh

mghmm

PEKEKE

BergTal

BergTal

BergBergTal

2vv

v21v

21

22

22

+=→

+=

+=

h

Druck auf die Flüssigkeitsoberfläche ist an beiden Stellen der Luftdruck

17

Torricelli

Schweredruck ghOH2ρ

2v21

2OHρ

geringer Schweredruckniedrige Ausflussgeschwindigkeitgroße Höhe

hoher Schweredruckhohe Ausflussgeschwindigkeitgeringe Höhe

Man kann zeigen, dass h/2 die größte Weite ergibt

h

18

LeistungEnergietransfer pro Zeiteinheit

Ergebnis aus Kap. Dynamik

tW

tEP

ΔΔ

=ΔΔ

=

==Zeit

ArbeitZeit

EnergieLeistung

constghp =++ ρρ 2v21

Start mit Gleichung von Bernoulli

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

sNm

sm³

m³Nm

ZeitVolumen

m³Nm

Dimensionsanalyse: resultierende Einheit für jeden Term identisch!

Energie pro Volumen

Energie pro Volumen multipliziert mit Volumen pro Zeit

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

m³Nm

mm

m²N

m²Nv

21][ 2 ghp ρρ

VVVV ghpghp φρφρφφρρ ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 22 v

21v

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=⇒tV ssrateVolumenflu Vφ

Vpφ VghφρVφρ 2v

21

Energie pro Zeit also Leistung

Änderung der Druckverhältnisse

Änderung der kinetischen Energie

Änderung der potentiellen Energie

und die physikalische Bedeutung?

Transfer von Energie an die Flüssigkeit

Erweitern dieser Gleichung mit einem Term, der angibt, welche

Flüssigkeitsmenge pro Sekunde fließt

Energiegleichung

19

Feuerwehr

Wasserdruck7 bar (7 MPa)

Annahmenkein Höhenunterschied

keine Änderung des Querschnitts

kW 93 W103.9s

m³101.33m²N107

00

ghv21

Pumpeder Leistung Notwendige

4

2-6

2

=⋅=Φ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

++Φ=

Φ+Φ+Φ=

pP

P

pP

pP

Pumpe

Pumpe

Pumpe

Pumpe ρρ

B-Rohr mit Düse 16 mm800 l/min

0gh

0v21 2

=Φ

=Φ

ρ

ρ

[ ] [ ]WsJ

sNm

sm³

m²N

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=PumpeP

20

Rotierender Ball in Medium

Ba

Erstaunliche Beobachtung bei folgendem Experiment

Herunter rollender Ball plumpst ins Wasser

Der Ball bewegt sich in entgegen gesetzter

Richtung zur Flugbahn

warum nicht so?

21

Analyse der StrömungsverhältnisseRotierender Ball in Medium

Unterdruckhohe Geschwindigkeit

Erster BeitragStrömung ohne Rotation

Zweiter BeitragZirkularstrom durch Rotation

Resultierende Kraft wirkt inRichtung des Unterdrucks

Überdruckniedrige Geschwindigkeit

22

Rotierender Ball in Medium

Ba

Der Ball rotiert wenn er ins Wasser fällt

Der Bernouillieffektwirkt auch in einem Medium wie Wasser

Kraftwirkung in Richtung der höheren Strömungsgeschwindigkeit,

d.h. des niedrigeren Druckes

Magnus Effekt

Gustav Magnus (1802 - 1870)

23

Bananenflanke"Manni Bananenflanke, ich Kopf - Tor" (Horst Hrubesch)

Ba

Flugbahn

SeitlicheKraft dem Ball

verliehenerDrall

BallBallWindLuftMagnus rF ωπρ 2v=

Pitcher beim Wurf eines Baseballs

Erfinder der BananenflankeManni Kaltz

Kraftbeitrag durch den Magnuseffekt

MagnusF

Kraftwirkung entspricht etwa dem Gewicht von ein paar Tafel Schokoladeoptimal Bedingungen bei Flanken über etwa 40 Meter

24

Tennisphysik

Back-SpinTop-Spin

Drive

25

Flettnerboote

mögliche resultierende Kraftwirkung

Windrichtung

Kreuzen gegen den Wind, allerdings nur unter einem geringen Winkel zur

Windrichtung

Motor notwendigDrehgeschwindigkeit des Zylinders etwa drei bis viermal höher als Windgeschwindigkeit

Effizienz etwa zehnmal so hoch wie ein vergleichbare starre Flügel bzw. Segel

26

Flettnerboote

Boot kann unter einem geringen Winkel gegen den Wind kreuzen

Flugzeug

Schiffsantrieb

27

The Physics of BaseballMechanics all in one

Kinematik

Newtonsche Dynamik

Impuls

Rotation und Drehmoment

Hydrodynamik

Schwingungen (Thema im SS)

28

Das war es für dieses Semester

aber erst im Sommersemester!