Grunderna för Differentialkalkylen.

A k ti d e m i s k A f h a n d l i n g ,

som

med vidtberömda Pbilosophiska Facultetens samtycke

under inseende af

MAG. C A KL J O H A N M A L M S T E NProfessor i Rena M athematiken,

Ledamot af K ongl. Wetenskaps Akademien i Stockholm och Kongl. W etenskaps Societeten i Upsala

iöl* P h i lo s o p h is k a G raden

författad och ulgifven

af

T O B I A S O B E R T T H A L É NW estm . Dal. Stip. Mclanderhj.

tiil offentlig granskning framstalles

pä (ïuslavianska Lärosalen d. 31 Maj 1854

p. v. t. f. rn.

U P S A L A ,C. A . L e f f l e r , 1 8 5 L

LEKTORN VII) ELEM ENTAR-l Xr o VEKKET I W ESTERAS,

LEDAMOTEN AF KONGL. VETENSKAPS-AKADEMIEN

I STOCKHOLM OCH KONGL. VETEN SK A PS-

SOCIETETEN I UPSALA

m a g . h m s b s l u m i i s a , N i n u i s

m e d v ö r d n a d o c h ta c k s a m h e t

tillegnadt

af

FÖRFATTAREN.

D iffe ren tia l- och Integralkalkylen räknar , som bekant ä r , sin tillvaro från sednare hälften af 17:de seklet; men ändock harman icke ännu lyckats nöjaktigt bestämm a, hvilken bör anses såsom dess egentliga uppfinnare. Utan a t t närmare vidröra den för alla väl bekanta striden emellan Nevvtonska och Leibnitzska skolan angående denna upptäck t , anmärka vi endast , a t t N e w t o n och L e i b n i t z äro de m än, vi i första rum m et hafva a t t tacka för denna kalkyls framdragande i ljuset. Dess vidare utveckling tillhör de båda bröderna B e r n o u l l i , E u l e r , D ’A l e m b e r t , L a g r a n g e , L H u i l i e r , C a u c h y m. fl. Emedlertid må man ej t ro , a t t alla dessa utm ärkta Mathematici, vid tillämpandet af differentialkalkylen, hy lla t samma åsigter i afseende på dess princip. Tvärtom hafva dessa åsigter varit särdeles olika och haft till följd många inkast , genom hvilka några till och med velat sätta i fråga, huruvida hela denna del af Mathematikenegde ens något vetenskapligt värde.

En kort framställning af de vigtigaste bland dessa olikaåsigter, äfvensom af några bland de mot dem gjorda anm ärkningar, hafva vi trott icke skulle sakna allt intresse.

§• I-

I . N e w t o n , troget fasthållande kontinuitetsbegreppet vid talens och de geometriska storheternas uppkomst, tilldelar un der e tt gifvet tidsögonblick variabla quantiteter vissa tillväxter, svarande mot hvar och en variabels hastighet vid dess variation. Det är limes fö- förhållandet mellan tvenne sådana till

växter, då de indefinit konvergera mot o , eller, såsom han sjelf kallar d e t , dessa til lväxters "första och sista förhållande” , som han utm ärker med förhållandet mellan de båda motsvarande variablernas hastigheter eller ’f lu x io n e r ' . Denna limes tecknar han , förutsatt a t t de ifrågavarande variablerna vore

y och X , K-, der y är hastigheten eller fluxionen af y, och x

ä r etc.Tages nyssnämnde tidsmoment oändligt li te t , så förhålla

sig sagde ”tillväxter’ till hvarandra visserligen icke ex a c t , men dock i det närmaste ("quam -proxime ) som fluxionerna. För öfrigt medgifver h an , ehuru han icke skarpt framhåller det, a t t i sL f. fluxionerna kunna hvilka mot dem proportionela quantite ter som helst begagnas, och han har dermed i sjelfva verket förklarat, a t t fluxionerna behöfva hvarken vara = o, eller oändligt små quantiteter, utan i allmänhet fin i ta quantite ter , hvilkasomhelst, blott deras ömsesidiga förhållande är såsom nyss sades *).

Från början intager han visserligen begreppet t id , men fasthåller detta icke så s t räng t , utan medgifver a t t denna (tiden) kan u tbytas och ersättas af en variabel quantitet hv ilken- somhelst, blott man betraktar dess rörelse eller variation såsom uniform **). Denna variabels fluxion, som således blir de andra fluxionernas mätande enhe t, anser han vara = 1.

Fluxioner af fluxioner behandlar han ock, sam t utmärker t. ex. den 3:e flux. af x med tecknet £.

De anmärkningar man gjort särskildt mot N e w t o n s flu— xionstheori röra förnämligast begreppen rörelse, t id och / um, hvilka, "främmande” för Mathematiken, han der in tv in g a t’“ ). Men om man å ena sidan måste medgifva, a t t han, genom införandet af en ny un ifo n n t varierande quanti tet i st. f. tiden, icke lyckats häfva, utan blott dölja de svår ighete r, som vidlåda hans theori, anse vi dock å den andra sidan, att de gjorda inkasten betydligt böra förmildras, när man ser huru

*) Is. N e w to m opera, quae exstant omnia. London 1779. T . 1 p. 333 o. f.

**) N e w t o m opera. I. p. 407.***) M o n t u c l a , Hist, de Math. Paris 1802. T . I I I . p . 269.

sagde begrepp, rörelse, tid etc., af honom infördes, derföre att

han skarpt velat framhålla nödvändigheten af att icke förlora

kontinuiteten ur sigte.2 . L e i b n i t z utgick från theorien om oändligt små quan

titeter, samt förstod dermed quanti te ter , hvilka hvarförsig visserligen icke äro = o, men dock mindre, än hvilken bestämbar quantitet som helst. Dessa oändligt små quantiteter, hvilka

han benämnde differentialer , skiljde han i olika ordningar och ansåg sig hafva rättighet att förkasta dem af högre oänd

liga-litenhets ordning i jemförelse med dem af lägre. Med

d x och dy u tmärkte han , förutsatt a t t variablerna voro x och 1/ , dessa variablers oändligt små tillväxter af 1:a ordningen d.

ä. deras 1:a differentialer *).Förhållandet emellan tvenne sådana oändligt små quanti

te ter eller differentialer af 1:a ordningen t. ex. ^ svarade hos

L e i b n i t z mot det af N e w t o n begagnade förhållandet mellan de

variablas tillväxter under e tt oändligt litet t idsmoment, således

i det närmaste mot förhållandet mellan fluxionerna.Den n:te differentialen af variabeln x tecknade han d”x .De oändligt små quantiteterna hafva rönt mycket mot

stånd. Man har ansett: dem vara af föga bättre natur, än de

odelbara quantiteterna och derföre förklarat hela deras theori vara nonsens**). Felet, har dock härvid varit , a t t man velat

fixera de oändligt små quant, såsom finita quantite ter ***). Redan N e w t o n visade dock , a t t de , ehuru mot o konvergerande,

äro till sin storlek fullkomligt indeterminerade5 . E u l e r a n m ä r k t e , a t t , o m f ö r h å l l a n d e t m e l l a n t v e n n e

differantialer, kortligen ^ , närm ar sig en fix gräns , ju min

dre differentialerna b l i , denna fixa gräns dock aldrig förr kan

exact erhållas, än dy och d x bli exact — o. Skall således differentialkalkylen kunna göra anspråk på samma stränghet i

bevis och noggrannhet i resu lta t , som öfriga delar af m a th e -

*) M o n t u c l a . T . II. p. 385.**) M o n t u c la . T. 1II. p. 26!).

*“ ) J f r A o a r d h E sta i sur la Metaph, du Cal. l)J/\ Stöckli. 1848. p. 34.

j ) N k w to n i opera. T . I. p. 251.

m atiken, måste man anse di flerent ialerna vara identiskt — o*). Men detta hindrar dock icke, a t t dessa nollor sinsemellan kunna vara olika. Tvärtom — sade han — är detta nödvändigt, ty likasom det gäller, då fråga är om finita quantiteter, att den förra af quantiteterna m d x och d x ä r m gånger större än den sednare, så måste ock, särdeles som sagde förhållande fortfar a t t ega ru m , huru liten d x än må v a ra , detsamma inträffa, då d x och följaktligen m d x blir = o, d. v. s. den ena noll- valören måste va ra m gånger större än den andra.'*) E - medlertid sade E u l e r , att det egentligen icke är differentialerna, utan fast mer limes för deras förhållande, som man i differentialkalkylen har a t t afse.*“ )

Mot E u l e r har man anm ä rk t , a t t någon numerisk skillnad mellan tvenne quanti te ter , hvardera — o, icke är tänkbar. Q uantite ter , som upphört a t t ex is tera , kunna sinsemellan icke ega något förhållande.

4 . C a r n o t upptog nu frågan om differentialernas na tu r , men i st. f. a t t i likhet med sina föregångare söka dölja de svår ighete r, som städse visat sig, uttalade han öppet och ä r ligt, a t t e t t fel alltid uppstå r , när differentialerna betraktas såsom oändligt små quantiteter. Emedlertid sökte han dock visa , a t t resultatet icke förthy blir fullkomligt rigtigt. Ty — an m ärker han — då det rätta resultatet i samma mån uppnås, som vi göra differentialerna sm å , men dessa kunna tänkas så små vi b eh ag a , så kunna vi ock få de begångna felen att blioändligt sm å ; — ja , hvad mera ä r , dessa fel, som med ochgenom differentialerna införas i kalkylen, måste äfven sjelfva helt och hållet derur försvinna genom eliminering af sagde differentialer, hvilka i grunden endast böra anses såsom hjelp- quantiteter. Men denna eliminering försiggår just i Integralkalkylen. Det fel som sålunda blifvit i differentialkalkylen genom begagnande af differentialerna begånget, kommer att u p p - häfvas genom ett fel i motsatt riktning i integralkalkylen; — det uppstår således en kompensation a f fel.-\-)

*) E u i .e r , Instit. Cnlc. Difl". Berl. 1755. Præf. p . XII.**) E u l e r , Inst. C. D . p. 79.***) E u l e r , I. C. D . p. VII o . f.j ) C a r n o t , Reflex, on the Metaph. princ. o f the Infinit. Anat. O x

ford. 1832. p. 14.

Genom 2:ne falska prem isser är en sann slutsats möjlig.

5 . L agrange, som fullkom ligt frigjort sig från det förra

betraktelsesättet, framställde en theori för differentialkalkylen

fielt och hållet oberoende af de oändligt små quantiteterna och

lim esbegreppet, sam t reducerade denna kalkyl, genom att låta

ser ie-u tveck lin g utgöra grundvalen för den sam m a, till de finita

quantiteternas algebraiska analys. Härigenom gaf h a n , såsom

det sy n te s , åt differentialkalkylen sam m a noggrannhet och e v i

d e n s , som man varit van att finna inom öfriga delar af m a -

them atiken.För att finna allmänna formen på den serieutveck lin g ,

som en function f ( x ) vid insättning af x - \ ~ i i st. f. x , der i är en indeterm inerad q u a n tité!, bör g ifv a , begagnade han

följande förfarande.Skall det i f ( x - \ - i ) finnas någon a f i oberoende q u a n -

titet, så bör denna erhållas genom alt i f ( x + i ) sä tta i - o .

Men då f f x - \ - i ) för i — o blir f ( x ) , inses att

f ( x - \ - i ) — f ( x ) -f- en quan t . , so?n för i — o fö rsv in n e r ,

kortligen

f(x-\-i) = f(n) - f * • P ,eller

p f f r + i) — f ( - r )i »

der P är en ny och finit funct. af x och i. Genom att nu

använda alldeles sam m a raisonnem ent i afseende på P , som

n yss begagnades i afseende på f ( x - \ - i ) , kan m an, under antagande af att p t är den del af P , som för i o icke försv in n er , lätt erhålla

p = p , + < / \ ,

och på analog väg

p , = Pl + i p ,

o. s. v . , i allm änhet

P n -1 = P n + i P n 7

hvaraf genom su ccessiv insättning

f Ç x - \ - i ) = -j- p , . i -f- p , à 2-\-py i 3+ e t c . , . . (1 )

— en équation, som innehåller den allmänna formen for u tveck lingen af f f x - \ - i J ' )

Efter att derpå hafva redogjort för derivationslagen", enligt hvilken man vid quantiteterna

fÇ x^ ) > P \i > P2 i P i > ................................ »kan ur hvar och en föregående quantitet härleda dess e fter följande, tecknar han för enkelhets och likform ighets skull dessa

« » » resoelu ivePi ’ P2 > P i t • • ’ * resPektlve ,/ } i g , . 1 2 n i

sam t kallar täljarena i sagde bråk deriverade func tioner af den p r im it iva functionen f Ç x J , nem ligen f ' Ç x J 4 :sta deriverade fu n c t . , f “( x j 2:dra deriverade funct . 0 . s. v.

Slutligen visar han ock sam m anhanget em ellan dessa deriverade functioner och L e i b n i t z ’s differentialer, nem ligen a t t ,

då V = f C xJ > dessa f ‘CxJ i f “( x) ' • • • • äro liktydiga, dy d -y

m e d S > 3 ? > >Eör att ofvanstående serie ( 1 ) em edlertid skall vara sa n n ,

fordras dock bevis för dess konvergens , — ett b e v is , som a f L a g r a n g e icke blifvit lemnadt.

6 . Frågan om differentialernas natur var nu förnämligast genom Carnot bringad till den punkt, att med svaret på denna fråga skulle hela differentialkalkylen och alla genom den erhållna resultat kom m a att stå eller falla.

L ’H u i l i e r var d en , so m , genom att lägga f/m esb eg rep - pet till grund för ifrågavarande k a lk y l, först lem nade ett nöjaktigt svar på den framställda frågan. Slutligen har äfven C a u c b y behandlat detta äm ne och det med sam m a vetenskapliga strän gh et, som man är van att städse finna hos denne utm ärkte Mathematiker. Hans theori hvilar på följande grund.

Låt y vara en kontinuerlig function af x , kortligen

y = f T * J >.och låt a1y och J x vara dessa variablers arbiträra, men dock tillfölje af kontinuiteten hos den framställda functionen sam tidigt ( ”sim ultaném ent’’)**’) m ot 0 konvergerande tillväxter, blir

*) Journal de L ’Ecole Poli/techn., N euv. Cah. T . III. P aris 1809. p. 9.") Ibid. p. 17.***) N ödvändigheten al’ denna samtidiya konvergens mot 0 h os d y

efter några enkla transformationer och begagnande af limesd y f ( x + J x ) —f (x )

k m . ± = Um. -j-r .

Om man nu på något sä t t , vi lemna obeslämdt hvilket,*)

har funnit denna l im es , kortligendy

D = l tm - T x ’så får D , som i allmänhet är en function af x , för bestämdt

a r-värde en bestämd valör; men då så ä r , h indrar oss ju in

tet a t t uttrycka sagde D genom quoten mellan tvenne till sin

storlek f in i ta , men dock m determ inerade quantiteter A och

B , kort sagdt~ AD ~ 77 »

d. v. s ., för att nu närm are tydliggöra vår mening, låtom oss

antaga D — 1 , så m ås te , för B = 2 , A vara = 14, eller,

för B — 5 0 0 , A vara = 3 5 0 0 , o. s. v. Kalla vi nu A och

B differentialer, den förra af y och den sed na re af x , sam t

för tydlighets skull teckna dem dy och d x , så är ju d e r -

med icke sagdt a t t de med nödvändighet*1") skola vara = o ,

eller oändligt små quan ti te te r ; utan blott indeterminerade

och föröfrigt såsom sades***). Denna method, så lämplig den

ä r , dä fråga blott är om tvenne variabler , a t t lägga lim. ^

och d x inses om edelbart a f det redan sagda ; något bevis derför är ick e, såsom man velat p å stå , a f nöden. Jfr A g a r d h , E ssa i s. I. Me- taph. du (Jalc. Diff. p. 41. m. fl. st.

*) S e t. ex M oigno , Leç. de ( ’aie. Diff. et lntegr. T . I. p. 8 o . f.**) Att d y och dx ndgongång kunna vara = o , är naturligtvis lika

m öjligt, som att y oeh x i rä ta liniens équat. y — ax kunna vara = o.

***) Origtigt har sa le iles S chlömilch uppfattat b etydelsen af differentialerna, da han i sitt 18ö3 utgifna arbete: Campend, d. Ilöh. A nal. p. 14 (vid. équ. (4) o. (5)) säger: "Um die beständige Wiederholung der

Sylbe L im . zu ersparen, schreibt man sta tt L im . , und hier be

deuten d y und dx Differenzen, a u f welchen die Bedingung ruht, in N id l überzugehen; derartige Differenzen heissen D i f f e r e n z ia le und sind demnach nichts weiter als D ifferenzen, welche die N u ll zur Grenze haben.”

dyEm edan enl. Författ- b lott är ett fö rk o r ta d t skrifsätt för Lim.m t # dy

2 ^ , är tyd lig t, att tecknet Lim. alltid m äste tänkas framfor ^ , och

att d essa quantiteter äro vid hvarandra oskiljaktigt bundne; det är så ledes pä aenna grund om öjligt att från équ. (5) komma till équ. (7).

till grund för differentialen medför dock den svårigheten a t t en ny definition på differential måste sökas, då fråga blir om flere af hvarandra oberoende variabler. För a tt undvika en sådan inkonsequens, har C a u c h y gifvit en ny definition p å differential, framställd i "Exercices d'Anal, et de Pliys. M ath .' Paris 1844. T. III. , hvilken definition är sådan a t t det är likgiltigt huru många oberoende variabler förekomma i functionen; — det är denna vi i §. II. gå a tt framställa.

§• H-

7 . För att kunna jemföra tvenne eller flere variablers variation med hvarandra, är nödvändigt att de särskilda variablernas tillväxter jem föras m ed ett och sam m a mått. Antag då

Dertill konm ier, att det i eller fullständigare i lim. ^ är fråga

hvarken om d y eller d x , ty de fn n a s icke i lim. utan om en fullkom ligt ny quantitet.

Men om vi ock antaga att tecknet lim. far borttagas från -/x , och vi kåta hvardera af d essa quantiteter ”öfvergå i no ll”, hvaraf # = lim./ \ y 0

sa fö ljer, enär man enl. samma Förf. (Handb. d. A lg . A nal. 2 Aufl. p. *23 och *24) om £ i allmänhet alldeles ingenting vet, men enl. en annan Förf. (B.IÖRL1NG, A lgebra, 5:te Uppl. I D . p. 77) dock har s i g bekant, att division med nollor städ se är otillåten , att man icke ens ined det gjorda antagandet kan såsom Schlö .m ilcii af équ. (5) erhålla équ. (7 ), eller tvärtom. F e le t syn es ligga deri, att S c h lö m ilc ii , efter atti f .-ii-

o

x , y , z , . . . . iv

vara variabla quantiteter, af hvarandra fullkomligt oberoende, ocb ponera deras arbiträra, m en sam tidiga tillväxter ( accrois

sem en ts sim ultanés" vara

A x f A y , A z , . . . . Aiv ,

och antag dessutom quantiteten

CL

vara deras gem ensam m a m å tt, då cl är en variabel quantitet,

om hvilken vi ingenting annat bestäm m a, än att den är oberoende af de öfriga variablerna, m en dock samtidigt mad deras tillväxter konvergerar m ot o. Denna variabel cl har b lif-

vit kallad p r im it iv variabel, icke derföre att d en , genom att sam tidigt med A x , Ay , A z , . . . . Aiv konvergera m ot o , skulle uppliä fva de variablas oberoende af hvarandra, hvilket

den alldeles icke gör , utan em edan de variablas variation, den

m å nu ske huru som h e lst, af cl uppmätes.Söker man limes för förhållandet m ellan hvar och en af

näm nde tillväxterA x , A y , Az , . . . . Aiv

och

* »då de sam tidigt konvergera mot o , inses lä tt , att dessa limi

tes bli fullkom ligt arb iträ ra , så länge någon lag för förhållandet mellan de ifrågavarande variablernas tillväxter och den

prim itiva variabeln icke finnes. Men lim es för förhållandet e -

m ellan en variabel quantitets s inkrement As och den primitiva variabeln cl , då dessa quantiteter As och cl sam tidigt konvergera m ot o , är just hvad vi förstå med differentialen

af den ifrågavarande variabeln s , och denna differential teckna vi d s ,

d. ä. ds — lim. ~ ...............................................(2 )

Med stöd af ofvanstående kunna vi utsäga följande

D e f i n i t i o n . Differentialen a f en variabel quantitet s ä r den

i allmänhet fullkomligt arb iträra quantitet d s , som utgör l i m e s fö r förhållandet mellan den ifrågavarande variabla quantitetens s till sin storlek arbiträra inkrement A s och

den p r im it iva variabeln x , då dessa båda J s och x sam tid ig t konvergera mot o.

C o r o il . Mot h varje differens (likt ydrgt med inkrement,t i l lvä x t ) , korteligen J u , svarar en differential d u ; men då denna differential är en arbiträr quan ti te t , kan den vara o, oändligt liten quan ti te t , finit eller oändligt stor qu. Differentialen af en konstant qu. är städse = o.

8 . Låtom oss antaga

u — f ( x , y , z , . . . . w j , . . . (3)

der ii är en kontinuerlig function , och variablerna x , y , z . . . tv sinsemellan beroende eller oberoende, så kan man tänka sig dessa variabler på sådant sätt vara uppdelade i e tt visst antal r g rupper , a t t alla af hvarandra fullkomligt oberoende variabler , (d. v. s. sådana variabler, som väl k u n n a , men ej med nödvändighet måste samtidigt variera), äro fördelade i olika g rupper , men alla af hvarandra beroende variabler, (d. v. s. sådana variabler, som måste variera sam tid ig t) , äro sam manförde i en och sam m a grupp.

Förutsatt då a t t de nämnda grupperna äro

1:e x x { x , x A . . . . x m ,2:e y t/j y 2 y.å . . . . y„ ,

k:e z 3j z2 Zj . . . . zp ,

r:te w iv v tv, to , . . . . tv, , der ordningen grupperna em ellan är fullkom ligt arbiträr, och således hvilken som helst bland dem kan antagas vara den 1:sta och de öfriga sedan kunna följa på hvilket sätt som helst, så inses om edelbart, att v i, — då vi vilja utmärka att en eller flere hvilka som helst af grupperna sam tidigt variera, — kunna med bibehållande af all möjlig generalitet an taga , antingen att endast l.sta gruppen varierar, eller endast de 2:neförs ta grupperna samtidigt variera, eller e tc ..................... , tillsvi slutligen antaga alla r grupperna samtidigt variera.

*

Låter man nu

UQ , U, , Uk Uf *)

vara de konsekutiva n -v ä r d e n , som man erhåller genom sam

tidig variation, på sätt nyss sades , hos det antal grupper in

dex angifver, samt

^ l « 0 > ^'iUl » >• • • • > 4 Mk-l > • • • • ^ru r-lsagde variablers respektiva differenser, så a tt kortligen ^/ku k_, >

der k successive får betyda 1 , 2 , 3 , . . . . r , u tm ärker differensen mellan de tvenne konsekutiva w -värdena u k och n k_,,

så erhållesm , = u 0 + ^ , « o ,

U2 = U, + 4 m , ,

Mk — Mk_, - f - 4 Mk-1 »

M r = M r- I - f

o c h o m e d e lb a r t h ä r a f , d å v i p o n era ^/m — Mr— u0 ,

^ / m = 4 m 0 - j - 4 m , - f - . . . . - J - ^ k M k . 1 + — - f - 4 w r - l

eller kortligenk=r

^ ^ k Mk - t ........................................................(^ )k = i

Men då mot hvarje differens svarar en differential, er

hålles af équ. (5 ) genom division m ed ot, och begagnande aflimes

lim. — = 2 lim.a k = i «

d. ä.k = r

du = X ffkMk. j ...................................(6)k = l

*) Man sku lle , förutsatt att z , z , , z t , . . . . antagas vara de variabla inom Ar-gruppen, för korthetens skull i st. f.(a ). . . I/k = f [ * .... ; y + J y , + J z , . . . ; v ;... ; te] kunna teckna( b ) . . .uk = f [ J x , . . . \ J y , J z ,.. .;] och säiedes(C) . . . i i . = / [ o J .

LSta vi vidare z/ku 0 i allmänhet beteckna den partiela ti llväxt, som functionen u v inner , genom variation hos g ruppen k på det s ä t t , a t t /c-gruppen varierar, utan a tt någon annan grupp samtid ig t v a r ie r a r , så måste äfven mot denna differens svara en differential, hvilken vi teckna dku^ och kalla partiela differentialen a f u i afseende på gruppen k.

Kunde man nu visa, att d]iu k_i = dku 0 , så vore d u , hvilken vi kalla totala differentialen a f u , bringad att bero af en sum m a af te rm er , hvar och en af särdeles enkel na tur ; men det är just detta vi nu gå att visa.

Vi veta nemligen af föregående att

d K« k_, = lim.----------------------------- (7)

sam t att» • . . . f [ J z > — ■ • ; ] — / i ° l i o \dku 0 = l im . ................. ( 8 )

men man inser då omedelbart , a t t högra membra i dessa båda équat:r måste efter begagnande af lirnes bli identiska, och således a tt

^kMk-1 = ch uo ’d. v. s. a t t , då dwu skrifves i st. f. det dermed liktydiga dku {),

du = X dku ................................................. (9)k=l

d. ä.du = u -J— d.£u - |- d^u -{— . . . . - ) - dru ; .................( 10)

men derigenom är man ock förvissad om sanningen af följande

T h e o r e m . I. Totala differentialen a f en func tion ä r — sum m an a f func tionens alla partiela diff eren tia ler , hvar och en a f dessa sednare tagen i afseende på sin grupp.

C o r o l l . Skulle någon af de i den framställda functionen ingående variablerna betraktas såsom konstant, blir difle— rensen så väl som differentialen af functionen, tagna i afseende på den g ru p p , till hvilken nämnde variabel hö r , = o.

9 . Betrakta vi nu den händelse då alla de i lunctio- nen u ingående variablerna x , y , z , . . . . w äro af hva ra n dra fullkomligt oberoende, d. v. s. sådane att inga med nöd

vändighet variera samtidigt, så måste gruppernas antal ä fv e n -

som antalet af partiela differentialerna, tagne h va r och en i

afseende på sin variabel, bli lika med de variablas antal. I

st. f. a t t då såsom förut beteckna dessa differentialer med d ku , der k u tm ärk te gruppens ordningstal, har man af lätt in - sedt skäl kommit öfverens om beteckningen d ru , dyu , . . . o. s. v., då man vill utmärka partiela differentialen af u i afs. på variablerna x , y , . . . . o. s. v. Man kan derföre skrifva totala differentialen af u sålunda:

du — dxu -j— dyU -)- dzu -f- ....... —f~ dwu . . * (10^)

Men då équationenf ( J r ) —f( o )

dxu = Um. ■------ ---------- ,

som med tillbjelp af det nyss sagda lätt erhålles ur équ. ( 8 ) , jernte

d x = lim. ~

gifvai » i- f ( A x ) —f ( o ) ^

dxu = d x . Um. -------— ----- , (11 ;

och l im e s betecknas med någon af karakteristikerna

/ /-v n du *,Ux ’ J x 1 D rU , f a l }

blir

d*u =* / * ' • d x , och således, efter analogt förfarande i afseende på alla de öfriga

variablerna,du = f . d a s + f i . dy- \ - . . . . f - /^ . .dw.**) . . . (12)

Skulle nu de i functionen u ingående variablerna visserligen s in s e m e l la n vara oberoende, men dock functioner af

a n d r a v a r iab le r , och de équa tioner , som tillkännagifva d e t ta , vara

*) Man märke noga i afseende pä denna sista beteckning, att

j~c icke far anses såsom ett vanligt brak, der täljaren kan skiljas frän nämnaren, eller tvärtom. Nämnaren är nemligen här endast en sym- bol oeh star i st. f. index bos beteckn. dxu.

'*) Denna équat. (12) kallas, dä de partiela differentialerna af alla de i funet. u ingående variablerna der förekomma, functionens u totala differentialéquation; men om någon eller några af dessa part. differentialer saknas, benämnes équationen functionens xi partiela differential- cqxiatiori.

W = - s r ( 3 , , » 2 , «a erhålles på analog väg

g>j1. d g ,+ « r g t - ^ 1 + . . .+ < p g m. d | m> J

dy = ^ , . ^ 1+ ^ , . ^ , + . . . + v ^ n . ^ n , (/ • • • • (1 4 )

doo = -cr' .d ÿ -l-Tsr' .cteä+ . . . + -ro-' . c/é̂ , 1*1 * s s /

och équationen IV12) jemte sys tem et -14) bestämma då värdetpå du.

Nu skulle man vidare kunna tänka sig dessa Ç, , | 2 , rjl , , ÿ , vara functioner af nya variabler, o. s.

v. ; dock inses lätt, a t t förfarandet dervid skulle blifva analogt med d e t , som ofvan är visadt.

Vore de variabla x , y , s , . . . w i équ. (3) till an talet r och sinsemellan förbundne genom s équationer.F t ~ o , F 2 = o , F 3 = o , . . . . , F s — o , ( r > s j , . . . (15)är nödigt a tt verkställa eliminering, för a tt få u a t t endast bero på sinsemellan oberoende variabler, med hvilka, till antalet r — s , man vid finnandet af differentialen af funct. uförfar på sätt redan är visadt.

Återvända vi till équ. (12) och der antaga de r variablerna x , y , z , . . . . w vara så väl sinsemellan som af andra variabler fullkomligt o be roende , så är med behörigt a f -seende fästadt vid den i N:o 7 gifna definitionen på differentialfullt tydligt, a tt det i équ. (12 ) finnes lika många (r) arbiträra quan ti te te r , nemligen de oberoende variablernas differentialer, åt hvilka man kan gifva hvilka värden man behagar. Tilldelar man då åt alla dessa differentialer värdet 1 , så betecknas det derigenom erhållna specialvärdet på functionens u totala differential med f ‘ och kallas functionens u totala der iv a ta ' Analogt dermed benämnas f x , f f , . . . . , ’f u n ctionens u partiela derivator i afseende på de oberoende variablerna x f y , z . . . w. Genom att sålunda bestämma

värdet på de oberoende variablernas differentialer öfvergår

équ. (1 2 ) i

f + . / 7 ~ h / * + -------- + / w , .........................(1 6 )hvaraf man om edelbart inser sanningen af följande

Theorem II. Totala clerivatan a f en func tion ä r = sum m an a f functionens alla partiela der iva tor , då man nemligen med total ( och partiel) derivata a f en funct. menar hvad som. blir a f dess totala ( och partiela) d ifferen tia l, då de oberoende variablernas differentialer blifva = 4.

C o r o ll . I. Skulle i funct. u ingå någon variab el, somsjelf är funct. af en eller flere andra variabler, gäller om den

detsam m a, som nyss sades gälla om functionen w.

1 0 . Låt u = f ( x , y , z . . . w ) hafva sam m a b ety d e lse , som i N:o 9 stad gad es, så äro naturligtvis hvar och en

af de vid differentiationen erhållna partiela differentialerna af

funct. u , nem ligen dxu , dyu dww [é q u . (1 0 ± ) ] , i allm änhet vissa functioner af x , y , z , — w , kortligen nyavariabla qvan tite ter, hvilka vi tydligen kunna antaga vara

indelade i (s) grupper på ett sätt analogt med hvad i N:o 8

stadgades. B ibehålles då den i afseende på differenser redan

begagnade beteckningen och vi dessutom för korthetens skull

tecknadu — o , d i u ~ q i , d,u — p2 , . . . . , d, u ,

så erhållas differenser af dessa nya variabler a f formen

/4(1 , /.1k O , . '/ j j ç , ) [_ g = 1 , 2 3 ’ .. . r j )

då J

Emedan dessa differentialer sedan i sin ordning kunnabetraktas såsom nya variabler , finnas mot dem svarande differenser och differentialer, o. s. v.; alltnog, differentialer kunna i allmänhet erhållas af formen

d? d"2 d l . . . .dju , der ???, n , p . . . . q utmärka hela tal och öfre index utvisarhuru många gånger differentiation är gjord i afseende på dengrupp, som nedre index angifver*).

I afseende på dessa differentialer, hvilka kallas functio- nens u totala eller partie la s u c c e s s i v a d ifferen tia ler , dessa sednare tagna i afs. på särskilda genom indices utmärkta g rupper , är dock för det följande vigtigt att v e ta , huruvida differentiationsordningen vid successiv differentieiing är likgiltig eller icke. Dock ä r , för a t t vinna insigt häri, nog att visa rigtigheten af équationen

d kdsu = dsdku .

Detta åter inses deraf , at t , om dsi i - z , 4 kdtu blir s/kz ,och

J kz = ds [uk— u ) = d tJ ku ,hvaraf

dkd,u = dsdku .

Men deraf följer, a tt

dkd"u - dk ~ldsdkd*~]u — dsdk ~'d*~xdku — d"dk u , och vi kunna derföre framställa följande

T h e o r e m . III. Differentiations-ordningen ä r v id successiv differentiation fullkomligt likgiltig.

A n m . Då i hvarje grupp endast en variabel förekomm er , har man tagit för sed , att i enlighet med hvad i N:o9 visades i st. f. gruppens ordningstal begagna den variabla sjelf såsom index, t. ex. d™d*u.

i l . Vilja vi nu till

u f ( x , y , z . . . . it) ,hvars l:a differential exprimeras enl. N:o 8 sålunda

*) Att vi mena totala did'.,

d u = / ; d x + f y' d y . . . . - f / ' d i o , söka de successiva differentialerna, och, efter a tt hafva an ta git x , y , . . . tv sinsemellan oberoende, hvarigenom d x , d y . . . d w äro relative x , y , . . . w konstanta, ehuruväl de likasom x , y , . . . . w k u n n a vara functioner af nya variabler, för tydlighets skull kalla

du = a , d x = l-, dy = rj,... , d w = 8 ,hvadan

du = o = F (~ v , y , z , . . . , w , £ , y , 8);så blir 2:dra differentialen af u eller, som är de tsam m a, 1 :sta diff. af a enl, N:o 8 af följande form:

da = F't . d x + F'y .d y + . . . + F'w.d w + F ^ .d ^ + . . . + F \ d t i . • . (1 7 )

Men då vi, hvad särskildt beträffar F'x, med ledning af équ. ( i i ) veta a tt

F ’ = lim. FV * > - F(°>1 a 7

och sedan medelst équ. (12) utan svårighet erhålla

F [ = d x . + d y lim . ÆJ x ö J x J x

eller, då dessa limites u tby tas mot karakteristikerna

f l > f l , - - - f l K = f l d x + / ; ; dy 4 - . . . + f " xdw ,

sam t i afseende på F ^ på analogt sä t t erhålla^ , .b ( S + J £ ) - t ^

Fg = / j • h m . ;

blir slutligen, efter analogt förfarande med de öfriga partiela derivatorna af F och insättning,

d ° = { f x% • d x + / y i d y + . . . + / ; , x. d u i] d x +

C/xy • d x + f y t d y + . . . + fw .y • d w ] dy -f-

[ / r w dx Jrf"Mdy+ ... + / ; s . dw] dw +f x d£ + f y d y + . . . + f w . d8 ,

hvaraf med afseende fästad t på Th. III. och derpå verkställda transformationer

d 2u = f l d x '* + / J , . d y '2 d u r2 +'* y ? i dV •d x + A dz -d x + ‘ " + A .1 •d w . d x +

+ f z . ) d z . d y + . . . + A y . d w . d y +

f i t • dw . dt + + f l • d 2x + f . d 2y + -------+ f w. d 2w ................. (18)

Då de bland variablerna .v, y , z . . . . i u , som af allaandra variabler äro oberoende, hafva, enl. definit, på difF. p.9.jemförd med det i N:o 9 sagda , sina d iffr kons tan ta , insesatt dessa variablers 2:a d if fr äro — o. Följaktligen komma i équ. (18) alla de te rm er , som innehålla 2:a diffn af någon fullkomligt oberoende variabel, a t t försvinna.

Hvad slutligen beträffar den 3:e , 4:e . . . . n.te differentialen af funct. u , vilja vi endast antyda a t t den kanerhållas enligt en m ethod , analog med den nyss angifna.

SI utan m ä r k n i n g .12. D en egen tliga , men ock h ögst väsend tliga , skillnaden emellan

förra tiders och nutidens åsigter i afseende på differentialerna torde enl. föregående sålunda kunna sam m anfattas.

Fordom an sågos differentialerna vara oändligt sm å differenser, — dx och dy voro ju b lo tt ett annat sätt att skrifva d x och d y , då dessa sednare konvergerade m ot o , — men hvilkas (differensernas) valör endast approxim ativt, ehuru detta så nära som helst, kunde genom differentialerna uttryckas. R esu lta te t, vunnet genom en kalky l, der dylika differentialer b egagn ad es, borde aldrig och kunde aldrig med skäl göra anspråk på att vara annat, än en större eller mindre approximation till det rätta.

N u derem ot skilja sig differentialerna väsendtligt från differenserna , ty då d essa sednare konvergera indefinit mot o , äro differentialerna i allmänhet f n i ta quantiteter hvilka som helst, dock sådana att hvarochen af dem är — limes för förhållandet emellan den variablas arbiträra tillväxt och den primitiva variabeln, då d essa båda sam tidigt konvergera m ot o (se definit, på dill’, p. 9). M ed d essa differentialer far man i allmänhet företaga alldeles samma räkneoperationer, som för \ anliga algebraiska quantiteter äro tillåtna. N ågon approximation fö refinnes icke numera vid begagnandet af differentialerna, utan en relation emellan d em , framställd i en differentialcqnation, är likasom det derur erhållna resultatet fullkom ligt exact.

F ör att ytterligare påpeka huru skarpt man nu mera skiljer b egreppen differential och differens (taget i vidsträckt bem ärkelse), må vi slutligen näm na, a tt, likasom man nu egnar differentialkalkylen åt d ifferentialerna, man behandlar differenserna enligt en för dem särskild uppställd theori i differenskalkylen.