1

GREŠKE MJERENJA

Osnovni zadatak mjerne tehnike je da se odredi prava (stvarna) vrijednost mjerene veličine s

određenom tačnošću u određenim okolnostima. Šta to konkretno znači? U predhodnoj

definiciji navedeno je „pod određenim okolnostima“ to jest u laboratoriji, radionici,

industrijskoj hali ili vani na terenu. Jasno je i da moguća tačnost mjerenja ovisi o tim

okolnostima. Navedeno je također "s određenom tačnošću", što znači da se svaka veličina

neće uvijek mjeriti sa najvećom mogućom tačnošću, već samo onoliko tačno koliko je

potrebno. Udaljenost između Sarajeva i Mostara ne treba mjeriti s tačnošću od ±1 m.

Vjerojatno je vozaču svejedno da li je to 100 m više ili manje. Isto tako promjer osovine

nekog stroja mora biti tačnije izmjerena npr. sa tačnošću ±10 μm. Zašto se ipak sve ne mjeri

sa istom točnosti, razlog je jednostavan – što je greška mjerenja manja, to je mjerna oprema

skuplja, a i samo mjerenje je skuplje i dugotrajnije.

U definici mjerenja se kaže da je osnovni zadatak odrediti pravu (stvarnu) vrijednost mjerene

veličine. Šta je to prava vrijednost. Pomalo filozofski kaže se da je prava vrijednost neke

veličine ona vrijednost koju ta veličina stvarno ima. To je u stvari teorijski pojam i nije je

moguće praktično odrediti, tako da je ona praktično nepoznata. I uz primjenu najtačnijih

metoda i uređaja, općenito, dolazi do izvjesnog odstupanja između stvarne vrijednosti

mjerene veličine i izmjerene vrijednosti. To odstupanje se naziva greškom mjerenja. Pri

tome, treba imati na umu da je bilo koji mjerni proces podvrgnut djelovanju slučajnih pojava

koje su u većini slučajeva nepoznate. Zbog toga se svi mjerni procesi moraju tretirati kao

“slučajno utjecani procesi”.

Procjenjivanje (određivanje) stvarnih vrijednosti mjerene veličine sastoji se od dvije faze.

Prva faza je sam postupak mjerenja u kojoj se dobijaju neobrađeni rezultati mjerenja, a u

drugoj fazi se vrši analiza izmjerenih rezultata. Ove dvije faze su međusobno povezane, jer

nivo složenosti prve faze „diktira“ kompleksnost analize rezultata mjerenja i obratno.

Također, bitno je naglasiti da je neophodno vršiti obradu mjerenih rezultata čak i kod

najjednostavnijih mjerenja.

Greške mjerenja, bez obzira na uzrok koji dovodi do greške, mogu se podijeliti na:

grube greške,

sistematske greške, i

slučajne greške.

Grube greške nastaju, uglavnom, nepažnjom ili neznanjem osobe koja vrši mjerenje,

neadekvatnim rukovanjem mjernim sredstvom, netačnim očitavanjem mjernog sredstva ili

računanjem mjerne vrijednosti. Grube greške mogu nastati i zbog neispravnosti mjernog

sredstva ili pribora, kao i izborom neodgovarajućeg mjernog postupka ili zbog neuočavanja

uzroka greške.

Sistematske greške mjerenja nastaju zbog nesavršenosti mjernog postupka, mjernih sredstava,

nesavršenosti mjernog objekta ili predvidivih utjecaja sredine i osobe koja mjeri. Većina

sistematskih grešaka ima stalnu vrijednost, a time i određen predznak, a manji broj se mijenja

po predvidivom zakonu i to pri svim ponovljenim mjerenjima jedne fizikalne veličine.

Sistematska greška mjerenja se definiše kao komponenta greške mjerenja koja, tokom niza

mjerenja iste fizikalne veličine, ostaje stalna ili se mijenja na predvidiv način.

Zbog sistematskih grešaka rezultat mjerenja je uvijek netačan. Da bi se sistematske greške

eliminirale treba:

2

odstraniti njihove uzroke pravilnim izborom mjerne metode i mjernih sredstava kao i

obezbjeđivanjem referentnih uvjeta sredine, ili

odrediti i primjeniti odgovarajuće korekcije.

Svako korektno obavljeno mjerenje pretpostavlja eliminiranje najvećeg dijela sistematske

greške, na jedan od dva navedena načina. Ako se ne izvrši eliminiranje sistematske greške

rezultat mjerenja je netačan. Neminovno, jedan dio ovih grešaka ostaje prisutan, bilo zbog

njihovog nepoznavanja, bilo zbog nedovoljno preciznih korekcija. Ovaj dio greške često se

zove neisključena sistematska greška.

Može se predpostaviti da će kod primjene npr. odgovarajuće metode mjerenja otpora

izmjerena vrijednost uvijek biti manja od tačne vrijednosti, a samim tim će i greška mjerenja

uvijek imati isti predznak (biće negativna). Ovo je tipičan primjer sistematske greške

mjerenja.

Slučajne greške nastaju kao rezultat slučajnih procesa i kod svakog pojedinačnog mjerenja

imaju različitu vrijednost i različit predznak. Ako ista osoba više puta mjeri istu vrijednost

mjerene veličine pod istim uvjetima dobijaće se rezultati koji međusobno odstupaju jedan od

drugog. Slučajne greške mjerenja nije moguće predvidjeti pa se ne mogu eliminirati, odnosno

rezultat mjerenja se ne može korigovati.

Slučajna komponenta greške mjerenja se definiše kao komponenta greške mjerenja koja se

tokom niza mjerenja iste fizikalne veličine mijenja na nepredvidiv način.

Uzrok nastanka slučajnih grešaka su mehanički nedostaci u mjernom instrumentu, trenja u

ležajevima, promjenljivi prelazni otpor kontakata, promjena u naponu napajanja, itd. Svi ovi

uzroci djeluju istovremeno na različite načine i sa različitim intenzitetom pa se ne mogu

predvidjeti. Dakle, slučajne greške se ne mogu korigovati, ali se njihov utjecaj može smanjiti.

Za razliku od sistematske komponente greške mjerenja, koja rezultat mjerenja čini netačnim,

slučajna greška taj rezultat čini nepouzdanim, ne obavezno i netačnim. Slučajne greške su

predmet statističke analize.

Za jednu određenu fizikalnu veličinu egzistira njena prava (stvarna) vrijednost. Tu vrijednost,

čak i ako se eliminiraju sistematske greške nije moguće reproducibilno izmjeriti. To znači,

ako se ponovi više puta mjerenje iste veličine, pod istim uvjetima rezultati pojedinačnih

mjerenja, zbog prisustva slučajnih grešaka međusobno će se razlikovati.

Tako dobijen pojedinačni rezultat mjerenja predstavlja, u stvari, sumu stvarne vrijednosti

mjerene veličine, sistematske komponente greške i slučajne komponente greške:

slsisstvmj xxxx (1.)

Osnovni zadatak mjerenja fizikalne veličine može se predstaviti kao:

1. Snižavanje sistematske greške, ili ukoliko se ona može odrediti, korigovanje izmjerene

vrijednosti.

Dakle, treba provesti korekciju rezultata mjerenja s obzirom na sistematske greške,

odnosno moglo bi se reći da u mjernom rezultatu ne bi smjelo biti sistematskih grešaka.

Termin „ne bi smjelo biti“ za razliku od termina „ne smije biti“ govori o činjenici da u

mjernom rezultatu ne bi smjelo biti sistematske greške. Trebalo bi da su sistematske

greške korekcijom uklonjene iz mjernog rezultata. Razlog je vrlo jednostavan. Analizom

mjerenja se ustanovi iznos i predznak samo onih sistematskih grešaka za koje se pouzdano

može reći da su prisutne. To je npr. greška pokazivanja mjernog instrumenta koja je

3

nastala kao rezultat utjecaja temperature, spojnih vodova, napona i/ili frekvencije, valnog

oblika signala, itd. Uzroci za činjenje grešaka mjerenja koji se ne mogu utvrditi ili za koje

se ne zna, ne analiziraju se kao niti njihov utjecaj na rezultate što znači da će greške, njima

izazvane, ostati u mjernom rezultatu. Za to se jednostavno kaže: mjerni rezultat sadrži

sistematske greške nepoznatog uzroka koje su uključene u rezultat mjerenja.

2. Za ovako korigovanu vrijednost treba odrediti područje unutar koga se sa određenom

vjerovatnoćom, zbog djelovanja slučajnih grešaka, nalazi stvarna vrijednost.

Slučajne greške, kao što im samo ime govori, su od slučaja do slučaja (od mjerenja do

mjerenja) različite po iznosu i predznaku. Pošto su uvijek različite onda se nikakvom

analizom ne mogu ustanoviti, kako što ih tačno izaziva, tako i njihov predznak i iznos.

Zato se i kaže da se utjecaj slučajnih grešaka na mjerni rezultat može smanjiti samo

ponavljanjem mjerenja. Zbog toga što u rezultatu ostaju sistematske greške zbog

nepoznatog uzroka nema nikakvog smisla ponavljati mjerenja nekoliko stotina ili hiljada

puta (to je preskupo i traje predugo).

Greške pojedinačnog mjerenja

Po načinu kako se mjerne greške izražavaju razlikuju se apsolutne i relativne greške.

Apsolutna greška mjernog instrumenta je razlika između izmjerene vrijednosti (rezultata

mjerenja) i stvarne vrijednosti mjerene veličine:

stvmj xxx (2.)

Stvarna vrijednost mjerene veličine xstv je teoretski pojam i nju nije moguće praktično odrediti

pa se kao njoj najbliža, uzima vrijednost za koju je moguće predpostaviti da najmanje odstupa

od stvarne vrijednosti, odnosno koja se sa praktičnog stanovišta, može smatrati kao tačna

vrijednost xt. Tačna vrijednost xt nije jednoznačno definirana veličina, jer je u svakom

konkretnom slučaju potrebno ocijeniti da li je odstupanje između stvarne i tačne vrijednosti

zanemarivo (xstv xt). Sada se apsolutna greška mjerenja može odrediti kao:

tmj xxx (3.)

Apsolutna greška je algebarska veličina i pozitivna je kada je izmjerena vrijednost viša od

tačne vrijednosti, a negativna je kada je izmjerena vrijednost niža od tačne vrijednosti. Treba

naglasiti da se ne smije mješati apsolutna greška mjerenja sa apsolutnom vrijednošću greške

koja predstavlja modul greške i nije algebarska veličina.

Na primjer, ako se izmjeri napon Umj = 12,5 V a „tačna“ vrijednost napona je Ut = 12,7 V

apsolutna greška mjerenja bi bila ΔU = – 0,2 V, a apsolutna vrijednost greške bila bi

| ΔU | = |-0,2| = 0,2 V.

Apsolutna greška materijalizovane mjere je razlika između izmjerene vrijednosti i naznačene

(nazivne) vrijednosti mjerene veličine:

NVmj xxx , (4.)

gdje je xNV –vrijednost naznačena na materijalizovanoj mjeri.

Jasno, ima i drugačijih tumačenja proračuna ove greške kod materijaliziranih mjera. Tako,

neki autori misle da bi grešku materijalizirane mjere trebalo računati tako da se od naznačene

vrijednosti oduzme „tačna vrijednost“.

Jednostavan primjer će pokazati da to nije ispravno. Neka se analiziraju mjerni otpornici kao

elektrotehnički elementi. Oni imaju na sebi naznačenu vrijednost, a uz nju i dozvoljena

odstupanja.

4

Na otporniku je naznačeno 1000 5%. To znači da proizvođač garantira da će svi otpornici

ove serije imati otpor najmanje 950 a najviše 1050 ( -5% do +5% 5% od 1000

iznosi 50 ). Neka se uzme da je mjerenje prilično tačno sa dozvoljenim odstupanjem (±50

Ω) i neka je ta izmjerena vrijednost 950 . To mjerenje je korektno jer je rezultat unutar

dozvoljenih granica. Ovo je što se tiče apsolutne greške mjerenja. Međutim, procentualna

greška je:

%263,5950

5000100

950

9501000%100

x

xxp

stv

stvNV%

tj. krivo bi zaključili da otpor odstupa za više od +5% pa da je neispravan (a odstupa za

dozvoljenih 50 ), a isto tako bi u slučaju, kada bi izmjerili da je iznos otpornika 1052 za

ovu grešku na ovaj način neispravno izračunali da mu je procentualna greška:

%943,41052

5200100

1052

10521000%100

x

xxp

stv

stvNV%

tj. i opet bi krivo zaključili da je ovaj otpornik ispravan jer odstupa za manje od -5% (iako je

neispravan jer odstupa za nedozvoljena 52 ).

Korekcija je negativna vrijednost apsolutne greške:

xK (5.)

Da bi se smanjila greška mjerenja vrlo često se koristi korekcija, to jest ispravak. Korekcija je

neki iznos koji se dodaje ili oduzima izmjerenoj vrijednosti mjerene veličine kako bi se

smanjila greška mjerenja. Naravno, uz ove vrijednosti je uvijek obavezno prisutna mjerna

jedinica.

Relativna greška mjerenja je količnik apsolutne greške i tačne vrijednosti:

tx

xg

(6.)

Relativna greška materijalizovane mjere je količnik apsolutne greške i naznačene (nominalne)

vrijednosti mjerene veličine:

NVx

xg

(7.)

Relativna greška se najčešće izražava u procentima.

Svedena relativna greška mjerenja je greška "svedena" na dogovorenu vrijednost i računa se

kao:

100DV

x%

(8.)

Dogovorena vrijednost je ona vrijednost koja je definisana propisima i ona je za instrumente

sa nulom na početku skale jednaka mjernom opsegu. U tom slučaju je:

100MO

x%

(9.)

Za instrumente sa nulom izvan skale dogovorena vrijednost je jednaka razlici gornje i donje

granice mjernog opsega. Za instrumente sa nulom unutar skale, dogovorena vrijednost je

jednaka zbiru apsolutnih vrijednosti gornje i donje granice mjernog opsega.

5

Najveća dozvoljena greška mjernog sredstva je najveća greška mjernog sredstva dozvoljena

njegovom tehničkom specifikacijom datom od strane proizvođača, metrološkim propisima ili

drugom regulativom vezanom za dato mjerno sredstvo.

U tehničkoj specifikaciji mjernog sredstva, koja je sastavni dio uputstva za rad date od strane

proizvođača obavezno se navodi ova vrsta greške koja se često zove i garantovana greška

mjernog uređaja. Time zapravo proizvođač garantuje da će se sva mjerenja koja se vrše ovim

mjernim sredstvom, obavljati sa greškom manjom ili jednakom najvećoj dozvoljenoj grešci.

Ova metrološka karakteristika za analogni mjerni instrument se najčešće daje u vidu klase

tačnosti mjernog instrumenta.

Granice grešaka analognih mjernih instrumenata koje odgovaraju indeksima klase tačnosti

definišu se kao najveća dozvoljena apsolutna vrijednost greške u procentima dogovorene

vrijednosti, odnosno:

100MO

xKT max

maxmax

(2.10.)

Prema propisima pokazni mjerni instrumenti se svrstavaju u osam klasa tačnosi i to:

0,05 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2,5 ; 5

Iz predhodnog izraza se vidi da je za određenu klasu tačnosti apsolutna greška mjerenja

konstantna, odnosno relativna greška je najveća u prvom dijelu skale. Većina proizvođača

analognih mjernih instrumenata ne preporučuje korištenje instrumenata u prvoj trećini skale,

dok neki proizvođači to čak i ne predviđaju tehničkom specifikacijom instrumenta.

Najveća dozvoljena mjerna greška digitalnog mjernog instrumenta obično se izražava u

obliku:

digMO%PV% ZYXG , (2.11.)

gdje su: X %PV – X procenata od pokazane vrijednosti (eng.. ”of reading”),

Y%MO – Y% procenata od mjernog opsega ili od kraja skale (eng. ”of range” ili ”of end

scale” ili ”full scale”), i

Zdig – Z vrijednosti zadnje cifre (digita) na displeju.

Ponovljivost i reproducibilnost mjerenja

Ponovljivost i reproducibilnost mjerenja su dvije važne karakteristike mjernog procesa koje

su u funkciji bliskosti uzastopnih rezultata mjerenja iste mjerene veličine. Definišu se kao:

Ponovljivost mjerenja je bliskost slaganja rezultata više uzastopnih mjerenja iste mjerene

veličine u kratkom vremenskom intervalu pri kojima su isti svi slijedeći elementi:

– metoda mjerenja, – izvršilac mjerenja, – mjesto mjerenja,

– mjerno sredstvo i – parametri okoline.

Ponovljivost se može kvantitativno izraziti u obliku rasipanja rezultata mjerenja.

Reproducibilnost mjerenja je bliskost slaganja rezultata mjerenja iste mjerene veličine, u

slučaju kada se pojedinačna mjerenja vrše u promjenjenim uvjetima kao što su metoda

mjerenja, izvršilac mjerenja, mjerno sredstvo, mjesto mjerenja, parametri okoline i vrijeme.

Pri navođenju reproducibilnosti potrebno je navesti koji se od navedenih uvjeta mijenja. I

ponovljivost se, kao i reproducibilnost može kvantitativno izraziti u obliku rasipanja rezultata

6

Tačnost i preciznost mjerenja

Pojam tačnosti mjerenja se vrlo rijetko koristi kao kvantitativni parametar u mjerenju. Tačnost

se koristi prvenstveno kao poredbeni pojam, na primjer uobičajeno je za jedno od dva

mjerenja reći da je tačnije od drugog.

Tačnost mjernog sredstva je sposobnost mjernog sredstva da pokazuje vrijednosti koje su

bliske stvarnoj vrijednosti mjerene veličine, odnosno tačnost je bliskost slaganja rezultata

mjerenja i stvarne vrijednosti mjerene veličine.

Tačnost mjerenja se izražava greškom mjerenja (najčešće relativnom).

Preciznost mjernog sredstva je u suštitni funkcija ponovljivosti. Kako je ponovljivost ovisna

prvenstveno od slučajnih grešaka, tako je i preciznost poslijedica slučajnih razlika pa se njena

procjena dobija statističkim metodama.

Preciznost mjernog sredstva je sposobnost mjernog sredstva da pokazuje vrijednosti koje su

međusobno bliske, odnosno preciznost je bliskost međusobnog slaganja rezultata mjerenja.

Preciznost mjerenja se izražava standardnom devijacijom rezultata mjerenja (najčešće

relativnom).

a) b) c) d)

Slika 2.1. Upoređivanje tačnosti i preciznosti

Preciznost, odnosno „nepreciznost“ ne smije se zamjeniti sa pojmom tačnosti. Poboljšanje

preciznosti nužan je uvjet za povećanje tačnosti.

Uočavanje razlike između ovih pojmova najjednostavnije je objasniti preko slike 2.1. Na slici

a je predstavljena visoka tačnost (tačna vrijednost bliska srednjoj vrijednosti) i visoka

preciznost (uzak interval rasipanja rezultata mjerenja oko srednje vrijednosti). Na slici b je

niska tačnost (veliko odstupanje tačne i srednje vrijednosti) i visoka preciznost (uzak interval

rasipanja rezultata mjerenja oko srednje vrijednosti). Slična analiza se može dati i za druga

dva primjera (c i d) na kojima je preciznost niska (širok interval rasipanja rezultata mjerenja

oko srednje vrijednosti).

Statistička analiza rezultata mjerenja

Ako se mjeri više puta ista konstantna mjerena veličina, uz predpostavku da su eliminirane

sistematske greške, pod istim uvjetima i sa istim instrumentima, dobijaju se rezultati, koji će

međusobno odstupati i rasipati se oko neke vrijednosti. Do rasipanja dolazi zbog slučajnih

grešaka, koje nije moguće uzeti u obzir putem korekcije, jer se mijenjaju po veličini i po

predznaku.

7

Srednja vrijednost slučajne varijable

Ako se pojedinačni rezultati mjerenja označe kao x1, x2 , x3, … ,xn-1 , xn apsolutne greške

pojedinačnog mjerenja mogu se računati kao:

x1 = x1 - xt , x2 = x2 - xt ... xn = xn - xt (12.)

Iz predhodnog sistema jednačina se dobije:

x1 + x2 + … + xn = x1 + x2 + … + xn – n xt (13.)

odakle je tačna vrijednost mjerene veličine:

n21n21t x...xxn

1x...xx

n

1x (14.)

Prvi član sa desne strane je aritmetička sredina rezultata mjerenja x pa se može pisati da je:

xxn

1xx

n

1iit (15.)

gdje je aritmetička sredina apsolutnih grešaka pojedinačnih mjerenja.

Kako svaka apsolutna greška pojedinačnog mjerenja može imati sa podjednakom

vjerovatnoćom pozitivnu i negativnu vrijednost to i može biti pozitivno i negativno sa

podjednakom vjerovatnoćom. Može se pisati sada:

xxt (16.)

Prema Gausovoj teoriji slučajnih grešaka, polazi se od dvije predpostavke (aksioma):

1. Pri velikom broju ponovljenih mjerenja, jednako vjerovatno nastaju slučajne greške

jednakih vrijednosti, ali suprotnog znaka.

2. Vjerovatnoća pojavljivanja malih grešaka veća je od vjerovatnoće pojavljivanja velikih

grešaka.

Na osnovu prve predpostavke može se zaključiti da će pri dovoljno velikom broju

ponovljenih mjerenja granična vrijednost težiti nuli:

0limn

(17.)

To znači da je najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine pri višestruko ponovljenim

mjerenjima, koja su jednako pouzdana, njena aritmetička sredina:

n

1iit x

n

1xx (18.)

Dakle, pri višestrukim mjerenjima konstantne fizikalne veličine aritmetička sredina rezultata

mjerenja najbolja je aproksimacija tačne vrijednosti mjerene veličine. Srednja vrijednost je

samo najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine, ali ne i prava vrijednost.

Standardna devijacija pojedinačnog mjerenja

Ako je neki mjerni postupak precizniji onda se manje razlikuju pojedinačni rezultati mjerenja.

Za ocjenu preciznosti mjernog postupka služi standardna devijacija ili srednja kvadratna

greška pojedinačnog mjerenja:

n

i

i xxn

s1

2

1

1 (19.)

8

Što je manja standardna devijacija s to je mjerni postupak precizniji i obratno.

Matematičari, koji rade s beskonačno velikim skupovima podataka, koriste u istu svrhu

standardnu devijaciju pojedinačnog mjerenja pa tada srednja aritmetička vrijednost postaje

očekivanje , a razlika između n – 1 i n je zanemariva, tako da se tada može pisati:

n s

n

1i

2

i xxn

1 (20.)

Relativna standardna devijacija definiše se kao odnos standardne devijacije i aritmetičke

sredine, to jest:

100xx1n

1

x

1100

x

s(%)s

n

1i

2

iR

(21.)

Da bi srednja vrijednost bila jednaka tačnoj vrijednosti mjerene veličine trebalo bi izvršiti

beskonačno mnogo mjerenja. Pošto se u praksi uvijek vrši konačan broj mjerenja to

izračunata srednja vrijednost odstupa od tačne vrijednosti za neku apsolutnu grešku .

Nepouzdanost srednje vrijednosti (tj. srednja kvadratna greška aritmetičke sredine) je

procjena odstupanja srednje vrijednosti od stvarne vrijednosti mjerene veličine i računa se kao:

n

1i

2

ixxx

1nn

1

n

ss (22.)

Ovaj podatak ima smisla samo za konačan broj n jer za slučaj kada n uvijek iznosi 0 što

se vidi iz predhodne jednačine, a kako se taj rezultat zna i ne govori ništa novo (zato se i

aritmetička sredina beskonačnog skupa podataka zove očekivanje, jer je to očekivana prava

vrijednost, pa onda i to očekivanje ne može odstupati od te prave vrijednosti tako da mora

biti jednako 0).

Relativna standardna devijacija aritmetičke sredine definiše se kao odnos standardne

devijacije aritmetičke sredine i aritmetičke sredine, to jest:

100xx1nn

1

x

1100

x

s(%)s

n

1i

2

i

x

xR

(23.)

Posebni slučajevi računanja statističkih veličina

U praksi se često javljaju dva posebna slučaja, a koja nisu obuhvaćena predhodno obrađenom

materijom.

Prvi slučaj je da rezultati mjerenja nisu međusobno ravnopravni, to jest da su neki od njih

više, a neki manje pouzdani. Ovaj slučaj je karakterističan za mjerenja iste veličine, koja se

obavljaju pod različitim uvjetima, a daju jedinstven rezultat.

9

Ako su pojedina mjerenja nejednako pouzdana potrebno je uvesti brojeve p1, p2, … , pn, koji

su mjera njihove različite pouzdanosti. Ovi brojevi se zovu težinski faktori i pouzdanijim

mjerenjima pridodaje se veći težinski faktor, to jest veća vrijednost p. Ako se uzme da je

preciznost mjerenja mjera pouzdanosti onda se iz poznate standardne devijacije si može

odrediti težinski faktor koristeći slijedeću relaciju:

2

i

is

Cp (24.)

gdje je C proizvoljno odabrana konstanta pogodna za računanje težinskih faktora.

Težinski faktori se određuju iz relacije:

2

nn

2

22

2

11 sp...spspC (25.)

Aritmetička sredina nejednako pouzdanih rezultata mjerenja i standardna devijacija su sada:

n

1iiin

1ii

n21

nn2211 xp

p

1

p...pp

xp...xpxpx

n

1i

2

iin

1ii

2 sp

p

1s (26.)

Drugi slučaj je kada se pri dobijanju velikog broja rezultata mjerenja javlja niz jednakih

rezultata koji se mogu grupisati. Ovo daje pregledniju sliku rezultata i ujedno pojednostavljuje

postupak proračuna.

Ako su rezultati mjerenja takvi da je frekvencija fi pojavljivanja pojedinih vrijednosti xi

srednja vrijednost rezultata mjerenja se dobije kao:

n

1iiin

1ii

n21

nn2211 xf

f

1

f...ff

xf...xfxfx

(27.)

Standardna devijacija u ovom slučaju iznosi:

n

1i

2

ii xxf1n

1s (28.)

Grafičko predstavljanje rezultata mjerenja

Pri mjerenju kontinualne veličine skup mjerenja čini diskretni skup podataka koji se razlikuju

za diferencijalno male priraštaje. Vrlo često se svi podaci grupišu u pogodno odabrane opsege

mjerne vrijednosti (grupe) i odredi se frekvencija pojavljivanja rezultata mjerenja u datoj

grupi. Najprikladniji način prikazivanja ovih rezultati je dijagram koji se zove histogram.

10

Histogram je grafički prikaz rezultata mjerenja u kome apscisa pokazuje skupove rezultata

mjerenja unutar opsega mjerene veličine, a ordinata učestanost njihovih ponavljanja.

Grupisanje rezultata u intervale histograma se vrši na ukupnom intervalu mjerenja

R(x)=xmax - xmin, (29.)

gde je xmax najveći, a xmin najmanji rezultat.

Pri crtanju histograma potrebno je odrediti optimalan broj mjernih intervala. Pri suviše

velikom broju intervala histogram grubo i bez dovoljnog razlaganja prikazuje raspodjelu

rezultata. Ukoliko je broj intervala suviše veliki neki od intervala mogu ostati prazni, to jest

javljaju se prekidi u prikazivanju raspodjele, a neki intervali mogu imati nerelano velike

vrijednosti. Broj intervala (grupa) histograma se najčešće računa ovisno od broja mjerenja n

kao:

1nm (30.)

Histogram mjerenja mora obuhvatiti sve izmjerene vrijednosti, a svaki pojedini rezultat mora

da pripada samo jednom intervalu. Pri crtanju dijagrama na apscisu se nanose intervali

histograma, a na ordinatu učestanost ponavljanja ili relativna učestanost ponavljanja. Kako je

teško praviti kvantitativne komparativne procjene različitih raspodjela učestanosti ako njihovi

intervali nisu jednaki, u mjernoj praksi se sve ove raspodjele učestanosti normalizuju u

odnosu na širinu intervala, tako da se rezultati mjerenja predstavljaju normalizovanim

histogramom.

Kod normalizovanog histograma na ordinatu se nanosi normalizovana učestanost Pi koja se

dobije na sljedeći način. Ako je učestanost pojavljivanja rezultata mjerenja fi u i-tom intervalu

širine xi =xi – xi-1 tada se relativna učestanost fri u i-tom intervalu dobije kao:

n

ff i

ri (31.)

gdje je: n – ukupan broj rezultata mjerenja.

Normalizovana učestanost u u i-tom intervalu wi jednaka je:

i

i

i

rii

xn

f

x

fP

(32.)

Ova normalizovana učestanost jednaka odnosu relativne učestanosti i širine intervala naziva

se gustoća relativne učestanosti rezultata mjerenja.

11

a) Normalizovani dijagram

b) gustoća raspodjele vjerovatnoće

Slika 2. Normalizovani histogram i gustoća raspodjele vjerovatnoće

Parametri vjerovatnoće rezultata mjerenja

Osnovni parametri koji karakterišu vjerovatnoću rezultata merenja su:

gustoća raspodjele vjerovatnoće mjerenja, i

funkcija raspodjele vjerovatnoće rezultata mjerenja.

Neka se analizira šta se dešava sa histogramom u slučaju kada se broj rezultata mjerenja

povećava i da u graničnom slučaju n → ∞, a da pri tome širina intervala histograma opada sve

do graničnog slučaja u kome xi → 0. Očigledno je da tada histogram predstavlja kontinualnu

funkciju f(x) koja je prikazana na slici 2.b. Ova nenegativna, realna i neprekidna funkcija

definisana je za svaki realan broj x i naziva se gustoća raspodjele vjerovatnoće rezultata

mjerenja i određuje se kao:

x

xxxxPxf ii

x

)()( lim

0

(33.)

pri čemu izraz )( xxxxP ii predstavlja vjerovatnoću da se rezultat mjerenja nalazi u

intervalu )( xxxx ii .

Vjerovatnoća da se rezultat mjerenja nalazi u konačnom ntervalu 21, xx jednaka je sada:

2

1

21

x

x

dxxfxxxP (34.)

Svaka funkcija raspodjele je normalna, kao što je to slučaj i sa histogramom. To znači da je

ukupna površina koju zatvaraju kriva i apscisa jednaka je jedinici, što se matematski može

napisati kao:

12

1

dxxf (35.)

Osim gustoće raspodjele vjerovatnoće mjerenja značajnu ulogu u analizi slučajnih veličina

ima i funkcija raspodjele vjerovatnoće rezultata mjerenja koja predstavlja vjerovatnoću da

rezultat mjerenja ima vrijednost koja je manja od neke veličine x i može se napisati kao:

x

dxxfxp (36.)

Funkcijom (36.) izračunava se vjerovatnoća da se neka mjerena vrijednost nalazi u intervalu

(-∞ , x). Funkcija je definisana za svaki realni broj x, neprekidna je i neopadajuća, a ima

vrijednost od 0 do 1.

Funkcije raspodjele slučajnih varijabli, koje se susreću u tehničkoj praksi, pokazuju pretežno

jedan karakterističan, zvonast oblik kao na Slici 3.

Gaus je datu funkciju raspodjele p(x)

analitički opisao kao:

2

2

1

2

1

s

xx

es

xf

(37.)

Ovako definisana funkcija raspodjele

zove se normalna ili Gausova

raspodjela vjerovatnoće rezultata

mjerenja.

Osnovne osobine ove funkcije

raspodjele su:

funkcija je pozitivna i neprekidna za

svaku vrijednost x

funkcija je simetrična u odnosu na

aritmetičku sredinu x = x

funkcija ima maksimum u tačci x = x jednak2s

1)x(p

funkcija ima dvije prevojne tačke za x = x s

površina ograničena krivom Gausa i apscisom jednaka je jedinici

funkcija ima oblik zvona čija strmina ovisi od s (za manje s funkcija ima strmiji oblik).

Vjerovatnoća P da će mjereni rezultat biti u intervalu (x1 , x2) određena je integralom:

2

1

2

x

x

s

xx

2

1

21 dxe2s

1)xxx(P

(38.)

Slika 3. Gausova funkcija raspodjele vjerovatnoće

13

Slika 4. Normalizovana Gausova raspodjela

Uvodeći kao smjenu bezdimenzionu promjenljivu dZsdxs

xxZ

,

dobije se standardizovana normalna funkcija raspodjele:

2

2

1

2

1)(

Z

ezf

(39.)

pa se sada relacija (38.) može pisati kao:

2

1

2Z

Z

Z2

1

21 dZe2

1)xxx(P

, (40.)

gdje su:

,s

xxZ 1

1

s

xxZ 2

2

Dati integral je analitički nerješiv i njegove

vrijednosti u ovisnosti od funkcije (vrijednosti)

Z date su u tablicama i to obično za vrijednosti

promjenjive Z od 0 do 3. U tabelama se obično

daje vrijednost integrala:

ZZ

dZeZP0

2

1 2

2

1

(41.)

Kako je ovako definisana funkcija

neparna za negativne vrijednosti

promjenljive Z vrijedi:

ZP1ZP (42.)

Ako vrijednostima promjenljivih Z1 i Z2,

iz tablica odgovara vjerovatnoća P(Z1) i

P(Z2), tada je vjerovatnoća P da se

rezultat mjerenja nalazi i intervalu (x1,

x2) jednaka:

12 ZPZPP (43.)

Područje pouzdanosti se definira kao područje unutar čijih granica se sa statističkom

sigurnošću P može očekivati stvarna vrijednost mjerene veličine pod predpostavkom

normalne raspodjele grešaka.

Ako se unutar granica pouzdanosti nalazi 50% rezultata mjerenja (polovina rezultata

mjerenja) te granice se nazivaju vjerovatnom greškom mjerenja.

Maksimalna greška proizilazi iz pravila 3s, koje se dosta često susreće u literaturi, a u kojem

se uvodi Z = 3, čemu odgovara vjerovatnoća od 99,73 % što praktično obuhvata sve rezultate

Slika 5. Kriva gustoće Gausove raspodjele

14

mjerenja pri normalnoj raspodjeli. Ukoliko se pojave i rezultati koji odstupaju za više od 3s

od aritmeričke sredine, onda se oni obično odbacuju, jer je njihov uzrok neka gruba greška.

Studentova – t raspodjela

Područje pouzdanosti se definiše kao područje unutar čijih granica se sa statističkom

sigurnošću P može očekivati stvarna vrijednost mjerene veličine. Ovakve granice, koje neće

biti prekoračene sa nekom vjerovatnoćom, nazivaju se granice pouzdanosti. Granice

pouzdanosti su jednoznačno određene ako je istovremeno data i vjerovatnoća.

U slučaju da je izvršen mali broj pojedinačnih mjerenja, područje pouzdanosti nije moguće

odrediti pomoću normalne raspodjele. Tada se koristi Studentova – t raspodjela koja definiše

područje pouzdanosti kao:

sn

tx , (44.)

gdje je t faktor koji se daje u tabelama i čija vrijednost ovisi od odabrane statističke sigurnosti

i broja pojedinačnih mjerenja.

Osnovna primjena studentove raspodjele je statistička analiza rezultata sa malim brojem

mjerenja kada je primjena normalne raspodjele matematički nekorektna. Za veći broj mjerenja

Studentova raspodjela praktično prelazi u normalnu raspodjelu, što je ostvareno već za n > 30.

Studentova raspodjela daje šire područje pouzdanosti u odnosu na normalnu raspodjelu za istu

vjerovatnoću. Ovo proširenje je utoliko veće što je broj mjerenja manji, a zahtjevana

vjerovatnoća veća.

Obrada rezultata posrednih mjerenja

U mjernoj praksi se često mjerena veličina koja je predmet interesovanja ne dobija direktno

mjerenjem, već posredno preko mjerenja drugih veličina koje su sa njom povezane nekom

funkcionalnom ovisnošću. Na primjer, neka se predpostavi da je veličina Y u funkcionalnoj

ovisnosti od rezultata mjerenja x1, x2, ... , xn :

n21 x,...,x,xfY (45.)

Kako je svaka od direktno mjerenih veličina xi poznata sa definisanom greškom, zadatak se

svodi na određivanje greške indirektno mjerene veličine, na osnovi poznavanja grešaka

pojedinih direktno mjerenih veličina.

Sistematska greška posredno mjerenih veličina

Ako su greške mjerenja veličina xi sistematske, odnosno ako se utjecaj slučajnih grešaka u

odnosu na sistematske greške može zanemariti tada je potrebno odrediti sistematsku grešku

posredno mjerene veličine Y.

Ako su poznate sistematske greške xi pojedinačnih rezultata mjerenja xi tada se može

odrediti sistematska greška veličine Y kao razlika između veličine Yi dobijene mjerenjima i

stvarne vrijednosti veličine Ys kao:

n21nn2211si x,...,x,xfxx,...,xx,xxfYYY (46.)

15

Razvojem u Tajlorov red uz zanemarivanje članova višeg reda, dobije se:

i

n

1i i

xx

fY

(47.)

S obzirom da parcijalne greške mogu biti različitog predznaka one se na taj način mogu

djelimično, ili čak potpuno, kompenzirati. Sigurne granice grešaka se dobijaju kao:

i

n

1i i

sig xx

fY

(48.)

Vidi se da su sve parcijalne greške u predhodnom izrazu uzete sa istim predznakom tako da

ne može doći do kompenzacije pojedinačnih grešaka. Ovaj način određivanja grešaka se u

praksi malo koristi jer on tretira najnepovoljniji slučaj koji je malo vjerovatan. Zato su ovako

dobijene granice greške nepotrebno široke.

U praksi se češće koriste statističke (vjerovatne) granice greške definisane kao:

21

i

n

i i

stat xx

fY

(49.)

Ovako izračunate granice greške mogu ponekad biti i prekoračene, pa se zato kod njih može

govoriti samo o njihovoj statističkoj sigurnosti.

Relativna sistematska greška se računa kao:

100Y

Y(%)gY

(50.)

Slučajne greške posredno mjerenih veličina

Ako su mjerene veličine xi izmjerene sa slučajnom greškom tako da su poznate srednje

vrijednosti ix i standardne devijacije si pojedinačnih rezultata mjerenja najvjerovatnija

vrijednost posredno mjerene veličine Y je:

)x,...,x,x(fY n21 (51.)

Standardna devijacija indirektno mjerene veličine Y se tada dobija kao:

2

x

n

1i i

Y is

x

fs

(52.)

odnosno relativno standardno odstupanje je:

100Y

s(%)s Y

ry (53.)

16

ODREĐIVANJE JEDNAČINE OPTIMALNE PRAVE METODOM

NAJMANJIH KVADRATA

U mjernoj praksi često treba odrediti odnose između dviju ili više mjernih veličina. Na

primjer kalibracijom nekog instrumenta dolazi se do “n” parova tačaka ulazne i izlazne

veličine (x1,y1), (x2,y2), … , (xk,yk), … , (xn,yn). Postupak je najjednostavniji ako između dviju

mjerenih veličina vlada linearan odnos. Tada za n izmjerenih vrijednosti parova (xi,yi)

određuje linearna funkcija:

bxay

(54.)

Ta funkcija naziva se pravac regresije.

Pri rješavanju ovog problema predpostavlja se da postoje samo slučajne greške, dok se smatra

da su sistematske greške otklonjene.

Zbog neizbježnih grešaka redovnim mjerenjem dobijeni odnosi odstupaju od stvarnih odnosa,

pa se traži rješenje kod kojeg je suma kvadrata odstupanja minimalna. Metoda najmanjih

kvadrata predstavlja najbolji postupak za određivanje optimalne prave kroz skup

eksperimentalnih tačaka.

Neka se analiziraju dva karakteristična

slučaja:

a) slučajne greške postoje samo kod

mjerenja izlazne veličine y dok su

greške ulazne veličine x zanemarive,

odnosno mjerenje ulazne veličine je

znatno preciznije.

b) slučajne greške postoje samo kod

mjerenja ulazne veličine x dok su

greške izlazne veličine y zanemarive,

odnosno mjerenje izlazne veličine je

znatno preciznije.

Slučaj a) Ako između dvije mjerene

veličine vlada linearan odnos tada se za n

ponovljenih mjerenja može pisati:

bxaybxay

bxaybxay

nnkk

;....;

;....;; 2211 (55.)

Greška k–tog mjerenja iznosi:

bxay kkk (56.)

Prema Gausovoj teoriji slučajnih grešaka, prava će biti optimalna kada je suma kvadrata

grešaka i minimalna. To jest:

Slika 6. Optimalna prava po metodi

najmanjih kvadrata

17

minbxay2

ii2

i (57.)

Uvjet minimuma je da parcijalni izvodi predhodnog izraza po a i b budu jednaki nuli.

0xbxay2

aiii

2

i

(58.)

0bxay2

bii

2

i

Iz predhodnog sistema jednačina dobija se da:

iii

2

i yxxbxa

(59.)

ii ynbxa

Rješavajući predhodne jednačine po a i b dobije se:

2

i

2

i

iiii

xxn

yxyxna ;

2

i

2

i

iiii

2

i

xxn

yxxyxb (60.)

Slučaj b) Ako se slučajne greške javljaju kod mjerenja ulazne veličine x, dok je mjerenje

izlaza y precizno, jednačina:

bxay , (70.)

može se napisati kao:

11 byaa

b

a

yx , (71.)

gdje su:

a

1a1 ;

a

bb1 (72.)

Primjenjujući isti postupak kao u slučaju a) dobije se:

2

i

2

i

iiii

1yyn

yxyxna ;

2

i

2

i

iiii

2

i

1yyn

yxyxyb (73.)

Iz predhodnih relacija lahko se dobiju koeficijenti a i b:

18

iiii

2

i

2

i

yxyxn

yyna ;

iiii

i

2

iiii

yxyxn

xyyxyb (74.)