MATEMATIČKI FAKULTET - BEOGRAD

SEMINARSKI RAD IZ METODIKE NASTAVE MATEMATIKE 2

Tema:

Greške velikih matematičara

Student: Profesor:Jovanović Iva 232∕03 Zoran Lučić

B e o g r a dJun 2008.

Sadržaj

Greške .……………………………………………………………….. 3 Aristotelova greška ....…………………………………………... 3

Greške u oblasti teorije brojeva .....………………………………....... 3 Fermaov propust ..........…………………………………………. 3 U suprotnom smeru obavezno (ne)važi ..……………………….. 4 Ilustracija pogrešnog zaključivanja ...……………………..……. 5 Mersenovi brojevi .....…………………....…………………....... 6 Savršeni brojevi, ali samo parni ...........………………………… 6 Od 0 do 9 ......................………………………………............... 8 (Ne)rešivi problem …….………………………………………. 9 Neka rešenja se (ne) mogu zanemariti ...……………...……….. 9 Brojevi iz mašte …..………………....………………………. 10

Greške u oblasti teorije verovatnoće .…….………………………. 11 Glava, pismo, glava ... pojavilo se STOP! .....……………..... 11

Zanimljivi problemi praćeni greškama ....….…………….………. 13Literatura ……….………………….............................................…. 16

1

In rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi.1

Isac Newton (1704)

Matematika kao i svaka druga naučna oblast obiluje pogrešnim zaključcima i tvrđenjima. Ovde neće biti navedene i opisane neke uobičajne i očekivane greške koje se javljaju pri rešavanju kako teških tako i prostih matematičkih problema. Biće reči o greškama, previdima i omaškama koje su načinili veliki matematičari, slavni: Abel (Niels Abel), Koši (Augustin Louis Cauchy), Kejli (Artur Ceyley), Dekart (René Descartes), Ojler (Leonard Euler), Ferma (Pierre Fermat), Gaus (Carl Friedrich Gauss), Lagranž (Joseph Louis Lagrange), Lajbnic (Gattfried Wilhelm Leibnic) i drugi. Svako ko radi čini i greske, posebno onaj ko radi sa novim činjenicama i razvija nove grane matematike. Činjenica da su veliki matematičari pravili greške, izvodili pogrešne hipoteze ili davali netačne dokaze, ni na koji način ne utiče na njihov doprinos matematici, na njihove zasluge i slavu. Ove greške su se uglavnom javljale u procesu zasnivanja novih matematičkih disciplina, kao proizvod korišćenja mnogih zaključaka, tvrđenja i nedovoljno proverenih rezultata. Matematičari su ulagali velike napore u traganje za novim rezultatima, rešenjima ili dokazima koristeći skromne metode jer matematički aparat nije bio dovoljno razvijen u to vreme. To objašnjava činjenicu da su neke greške otkrivene čak vek ili dva nakon što su načinjene, dok su neke otkrivene tek u savremeno dobo uz pomoć računara. Kada razmatramo razlog pojave greške moramo uzeti u obzir još neke činjenice. Najpre, do modernog vremena nije se smatralo neophodnim da se dokazi objavljuju zajedno sa rezultatima. U srednjem veku bilo je čak uobičajno da se završni rezultati, rešenja ili formule predstave bez ikakvog pratećeg dokaza ili metode izvođenja. Desavalo se da su autori krili svoje dokaze, jer nisu zeleli da otkriju svoje metode. Razlog tome je bio strah da neko možda uvidi grešku, ispravi je i prepiše sebi nečiju zaslugu. Ova praksa se zadržala dugi niz godina. Poznati naučnici Galileo (Galilei), Hajgens (Christiaan Huygens) i ponekad Gaus su saopštavali neke od svojih rezultata samo delimično, tj. u kratkim crtama, bez detalja ili dokaza. Autori novih teorema često nisu ni vodili računa o svim detaljima u svojim dokazima. Dešavalo se da autor, urednici ili neki drugi autori poboljšaju dokaz nakon jedne, dve ili više decenija. Ponekad, greške koje su se pojavljivale u radovima uglednih matematičara nisu bile uočene ni od strane drugih velikih matematičara koji su koristili te radove i citirali delove u svojim radovima. Na taj način neke greške su se prenosile mnogo godina. Grešku načinjenu u dokazu o nemogućnosti kvadrature kruga od strane škotskog matematičara Džejmsa Gregorija (James Gregory) iz 1668., preuzeo je Njutn 1713., a zatim i Hajgens 1724. Grešku u tom dokazu otkrio je Rauz Bol 1892., više od 200 godina nakon što je načinjena. Ređi slučaj, mada podjednako važan jeste pokušaj nekih matematičara da opovrgnu originalna i ispravna tvrđenja i njihove dokaze. Ovo se takođe smatra greškom. Takve greške, odnosno osporavanja proučavao je matematičar M. Lecat u svojoj knjizi Erreurs de Mathématiciens. Veliki je broj matematičkih grešaka. One se mogu naći u svim oblastima koje matematika obuhvata.

1Greške u matematičkim problemima, čak i veoma male, nisu dozvoljene.

2

G r e š k e

Aristotelova greška

Jedan od najstarijih i najtežih matematičkih problema, iz geometrije, je popunjavanje prostora spajanjem poliedara bez praznina ( „pukotina“ ). Ovaj problem ima dugu i zanimljivu istoriju koja vuče korene od naroda starog veka i Platonove teorije materije. Aristotel je prvi proučavao ovaj problem. On je tvrdio da i tetraedar, a ne samo kocka, popunjava prostor. Ovo tvrđenje je netačno, mada je greška otkrivena mnogo posle Aristotela.

slika 1. pravilni tetraedar ne popunjava prostor u potpunosti

M. Senechal je proučavao problem popunjavanja prostora i pokazao da pravilni tetraedri ne mogu da popune prostor bez pukotina. Četiri strane tetraedra su jednakostranični trouglovi iz čega sledi da je njihov diedarski ugao ( ugao između susednih strana ) jednak arccos (1 / 3), ili 7032. Ako bi se pet tetraedara postavilo oko jedne ivice, pojaviće se pukotina čija je ugaona mera manja od , iz čega sledi da pravilni tetraedri ne popunjavaju prostor kada se postave „licem u lice“. Ako bi uređenje bilo drugačije vrednost diedarskog ugao bi bila – , a tu pukotinu ponovo ne bi mogli da popunimo pravilnim tetraedrom.

Greške u oblasti teorije brojeva

Fermaov propust

Veliki francuski matematičar Pjer Ferma dao je neke od najznačasjnijih doprinosa matematici u oblasti teorije brojeva. On je obogatio matematiku sa dosta novih teorema. Sve njegove teoreme su do sada dokazane, tj. potvrđene, uključujući i Fermaovu poslednju teoremu. Ipak postoji jedan izuzetak, a to je Fermaova teorema o binarnim stepenima.

3

U pismu Kenelenu Digbiju 1658. godine, Ferma je dao pretpostavku da su brojevi oblika

Fn = , danas poznati kao Fermaovi brojevi, prosti brojevi. F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F 3 = 257,F 4 = 65 537 i pretpostavka je tačna za n = 0, 1, 2, 3, 4. Međutim, švajcarski matematičar Ojler je 1732. godine pokazao da za n = 5 Fermaova formula daje sledeći rezultat:

F5 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417,

što znači da F5 nije prost broj. Do sada nije pronađen nijedan novi Fermaov prost broj. Svi dosadašnji rezultati ukazuju na pretpostavku da je Fn složen broj za n > 4.

Interesantna stvar vezana za Fermaov broj F5 tiče se Zire Kolberna, čoveka koji je posedovao neverovatnu sposobnost da vrlo brzo računa napamet. Kada su mu postavili pitanje da li je Fermaov broj F5 = 4 294 967 297 prost, odgovorio je da nije jer ima delilac 641. Ovaj čovek iako dajući tačne odgovore nije umeo da objasni na koji način je dobijao rezultate. Maren Mersen je takođe tvrdio da Fermaovi brojevi uvek daju proste brojeve. Nemački matematičar Karl Fridrih Gaus je pokazao da se pravilni n – tostrani poligon može konstruisati Euklidovim alatom, samo pomoću šestara i lenjira, ako i samo ako je broj n oblika

n = 2m p1 p2 · · · pk ,gde je m nenegativan ceo broj a p1, . . . , pk različiti Fermaovi prosti brojevi, ili je n = 2m (m > 1). To znači da se pravilni poligoni sa 3, 5, 17, 257 i 65 537 stranica mogu konstruisati pomoću šestara i lenjira. Ovo Gausovo otkriće povećalo je opšte interesovanje za Fermaove proste brojeve. Gaus je u 19. godini konstruisao pravilan poligon sa 17 stranica. Postoji i veliki broj Euklidovih konstrukcija poligona od 17 ( = F2) staranica. 1832. godine F. J. Rihelot iz Keninsberga je proučavao konstrukciju pravilnog poligona od 257 stranica. Na najkomplikovaniji slučaj, konstrukciju pravilnog poligona od 65 537 stranica, matematičar Osvald Hermes je potrošio deset godina svog živata.

U suprotnm smer obavezno (ne)važi

1640. godine Pjer Ferma je otkrio, a Leonard Ojler je 1736. godine dokazao svojstvo danas poznato kao Mala Fermaova teorema:

„Ako je p prost broj i a proizvoljan prirodn broj, tada je ap – a deljivo sa p.“Ovo dokazujemo na sledeći način. Neka je p prost broj. Za a = 1 tvrđenje je tačno. Pretpostavimo da je p delilac broja ap – a i dokažimo da je p takođe delilac broja(a + 1)p – (a +1). Korišćenjem binomne formule dobija se

(a + 1)p – (a +1) = (ap – a) + ,

gde je svaki od binomnih koeficijenata

4

deljiv sa p ako je p prost broj i ako je 1 k p – 1. I zaista ako je p prost broj, on nije delilac broja k!. To znači da je broj p(p – 1) · · · (p – k + 1) deljiv sa k!, odnosno da je deljivo sa p. S obzirom da je prvi sabirak ap – a deljiv sa p, uzimajući u obzir induktivnu pretpostavku sledi da je (a + 1)p – (a +1) takođe deljivo sa p. Dokaz Fermaove teoreme sledi na osnovu induktivne pretpostavke. L. E. Dickson tvrdi da je slučaj ove teoreme za a = 2 bio poznat Kinezima još 500. godine p.n.e., i da su oni predstavili obratno tvrđenje:

„Ako p deli 2p – 2, tada je p prost broj.“

Ovo tvrđenje je 1680. godine ponovo otkrio i dokazao nemački matematičar Gotfrid Lajbnic. Međutim, D. Menkeé je utvrdio da obratno tvrđenje nije tačno, na primer kada je p = 341 = 11 × 31, i takođe je tvrdio da postoji beskonačno mnogo drugih vrednosti p za koje ne važi. Složeni brojevi p koji dele ap – a za svaki pozitivan ceo broj a, zovu se absolutnopseudo – prosti brojevi.

F. Prot (Proth) je (oko 1876. godine) tvrdio da ukoliko je p prost broj, tada 2p – 2 nije deljivo sa p2 . M. Majerson je pronašao kontraprimer za prost broj p = 1093. Broj 21093 – 2 ima 330 cifara, pa nije neobično što je u 19. veku bilo nemoguće naći kontraprimer.

Ilustracija pogrešnog zaključivanja

Ova interesantna stvar koja sledi ne smatra se direktno greskom. Takođe je vezana za deljivost brojeva i načinio ju je, a zatim i ubrzo otklonio, Lajbnic. Razmatrajući brojeve oblika nk – n, Lajbnic je tvrdio da je za svaki prirodan broj n i za prve neparne brojeve k = 3, 5, 7, broj n3 – n deljiv sa 3, broj n5 – n deljiv sa 5, broj n7 – n deljiv sa 7. Uzimajući u obzir ove specijalne slučajeve zaključio je da je nk – n deljivo sa k za svaki neparan broj k i proizvoljan prirodni broj n. Ipak, vrlo brzo je otkrio da 29 – 2 = 510 nije deljivo sa 9. Lajbnic je navodio ovaj primer kao ilustraciju pogrešnog zaključivanja posle nekoliko slučajeva koji zadovoljavaju datu opštu formulu, što je razlog zbog čega se navedena tvrdnja ne mora smatrati pogrešnom.

Nemački matematičar Kristijan Goldbah (Christian Goldbach) 1742. godine je našao sličan problem Lajbnicovom problemu deljivosti nekog izraza. Kristijan Goldbah je tvrdio da je svaki broj oblika

(a + b)p – ap – bp,

gde su a i b celi brojevi deljivi sa p ako i samo ako je p složen broj. Goldbah je ovaj problem predočio švajcarskom matematičaru Ojleru koji je ukazao na grešku.Ojler je našao sledeći kontraprimer: za a = 1, b = 1, p = 35 = 5 · 7 dobija se broj235 – 2 = 34 359 738 366 koji nije deljiv ni sa 5 ni sa 7. Ispostavilo se da je sledeće tvrđenje tačno:

5

Ako je p prost broj, tada je (a + b)p – ap – bp deljivo sa p.

Dokaz ovog trvrđenja se izvodi matematičkom indukcijom.

Mersenovi brojevi

Brojevi oblika Mp = 2p – 1, gde je p pozitivan prost broj, zovu se Mersenovi brojevi. Francuski matematičar Maren Mersen je tvrdio da ukoliko je 2p – 1 prost broj, tada je i p takođe prost broj. Greška je u tome da ovo tvrđenje ne važi uvek i u obrnutom slučaju. Mersen je tvrdio da za vrednosti p koje nisu veće od 257, broj 2p – 1 je prost samo za vrednosti 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257. Francuski matematičar Eduard Lika je 200. godina nakon Mersenovog otkrića utvrdio da za p = 127 broj 2p – 1 jeste prost, odnosno da je Mersenovo tvrđenje tačno.

2127 – 1 = 170 141 183 460 469 231 687 303 715 884 105 727

Grešku, odnosno propust Mersen je napravio ne ubacivši brojeve 61, 89 i 107, za koje ovo tvrđenje važi. Takođe greškom je uključio brojeve 67 i 257. I. M. Pervušin je 1883. godine otkrio da je broj 261 – 1 prost broj. Takođe jednu grešku je otrkio i Frenk Nilsen Koul 1903. godine dobivši da je

267 – 1 = 193 707 721 × 761 838 257 287,

to znači da broj 267 – 1 nije prost. Dva propusta otkrio je R. E. Pauers 1911. i 1914. godine, da su brojevi 281 – 1 i 2107 – 1 prosti. M. Kretik (Kraitchik) je otkrio da broj 2257 – 1 nije prost. Dosta posle Mersenovog otkrića pronađeni su prosti brojevi p veći od 257 koji su takođe zadovoljavaju tvrđenje. Do danas su otkrivena 43. Mersenova broja, poslednji 43. po redu nalazimo za p = 30 402 257. Broj 230402457 – 1 je najveći do sada prost broj koji ima 9 152 052 cifara. Zanimljivo je da traganje za Mersenovim brojevima ujedno predstavlja traganje za savršenim brojevima. Ako je 2p – 1 prost broj tada je 2p-1 (2p – 1) savršen broj.Formula 2p-1 (2p – 1) pripada Euklidu i generiše sve proste brojeve pod uslovom da je Mersenov broj prost broj. Na osnovi najvećeg Mersenovog broja dobijamo da je najveći, do sada nađeni, savršeni broj 230402456 (230402457 – 1).

Savršeni brojevi, ali samo parni

Šarl de Buvel je tvrdio da su svi brojevi dobijeni Euklidovom formulom 2p-1 (2p – 1) zap 39 savršeni brojevi. P. A. Kataldi je pronašao 8 brojeva koji ne zadovoljavaju pomenuto tvrđenje, odnosno nisu savršeni. Do greške je došlo zbog ne uzimanja u obzir činjenice da, Euklidova formula generiše savršene brojeve (sve parne) ako i samo ako je 2p – 1 prost broj. Euklid je prvi dao dokaz u IX Knjizi, Teorema 36. Mnogi matematičari su se bavili ovim tvrđenjem i jedan od dokaza dao je matematičer Leonard Judžin Dikson.

dokaz. Označimo sa (p) sumu svih delilaca broja p uklučujući i njega samog. Po definiciji znamo da je broj p savršen ako je jednak zbiru svih svojih delilaca razčličitih od njega samog.

6

Sledi da je onda (p) = 2p. Ako pretpostavimo da je 2n – 1 prost broj i da je p = 2n-1 (2n – 1), tada je: (p) = (2n-1 (2n – 1)) = (2n-1) (2n – 1) = (1 + 2 + · · · + 2n-1)2n

= 2 · 2n-1 (2n – 1) = 2p.

Sledi, p je savršen broj. Obrnuto, pretpostavimo da je za n > 1 i za m = 2n – 1, broj 2n-1m savršen. S obzirom da je 2nm = (2n-1m) = (2n – 1) (m), sledi da je (m) = m + m/(2n – 1) = m + 1. To znači da su 1 i m jedini delioci broja m, odnosno da je m = 2n – 1 prost broj. Na ovaj način je dokazan suprotan smer tvrđenja. Interesantno je da do sada nije otkriven nijedan neparan savršeni broj, pa prema tome matematičari veruju da su svi savršeni brojevi isključivo parni. Pojavljuju se razne pretpostavke vezane za neparan savršeni broj. Jednu pretpostavku je dao britanski matematičar Džejms Džozef Silvester, da ukoliko neparan savršeni broj postoji on mora da ima najmanje šest razlićitih prostih činilaca. Ova pretpostavka je dokazana, ali broj još uvek nije nađen.

Rene Dekart je takođe napravio jednu grešku vezanu za dobijanje savršenih brojeva. On je tvrdio da su svi brojevi oblika ps2 savršeni brojevi ukoliko je p prost broj. Dekart je dao sledeći primer za koji je smatrao da zadovoljava njegovo tvrđenje; p = 22021, s = 3 · 7 · 11 · 13 onda je ps2 = 198 585 576 189. Ali nije uočio da p nije prost broj, tj. p = 61 · 292. Ovu grešku je primetio L. E. Dickson.

Još neke od grešaka koje su se pojavile vezane za Mersenove brojeve bile su sledeće. Leonard Ojler je tvrdio da je Mersenov broj 2p – 1 prost broj za p = 41 i p = 47. C. B. Vinštajm je uočio da je broj 247 – 1 deljiv brojem 2351, a G. Plana da je 241 – 1 deljiv brojem13 367. G. Plana je takođe tvrdio da broj 253 – 1 nema činioce manje od 50 003, ali je A. Žerarden pronašao manji delilac, 6361. Francuski matematičar Nikolo Tartalja je zaključio da sume:

1 + 2 + 4, 1 +2 + 4 + 8, 1 +2 + 4 + 8 + 16, 1 +2 + 4 + 8 + 16 + 32, . . .

koje su ustvari Mersenovi brojevi 2p – 1, naizmenično predstavljaju proste i složene brojeve. Vrlo brzo dolazimo do zaključka da je ovo tvrđenje pogrešno. Brojevi u nizu idu redom 7 (prost broj), 15 (složen broj), 31 (prost broj), 63 (složen broj), 127 (prost broj), 255 (složen broj), sledeći član je 29 – 1 = 511 = 3 · 72 ponovo složen broj, a trebao je da se pojavi prost broj. Grešku u Tartaljanovom tvrđenju je otkrio L. E. Dickson.

7

Ojler je napravio nekoliko grešaka pokušavajući da nađe proste brojeve pomoću eksplicitnih formula. On je pretpostavio da formula + n + 41 daje proste brojeve, međutim vrlo brzo je došao do zaključka da formula ne važi za n > 39. Za n = 40 vrednost formule je 1681 = 41 . Broj koji smo dobili nije prost broj. Ojler je dao još tri formule pomoću kojih se nalaze prosti brojevi. Utvrđeno je da ni te formule kao i prethodna nisu korektne, jer postoje vrednosti za koje se dobijaju složeni brojevi. Formula 232n2 + 1 generiše 76 prostih brojeva, 2n2 + 29 generiše 29 prostih brojeva i formulan2 – 79n + 1001 generiše bar 80 prostih brojeva.

Od 0 do 9

Džon Hil je u svojoj knjizi Arithmetic both Theory and Practice napisao da je broj 11826 jedini broj čiji je kvadrat devetocifreni broj napisan svim cifarama od 1 do 9. Leonard Dikson je ukazao na gršku pronašavši još brojeva koj poseduju ovu osobinu. Vrlo jednostavan kompjutrski program rešava ovaj „problem“, tj. nalazi brojeve koji imaju ovu osobinu. Primer nekih takvih brojeva:

A A2

11826 139854276

12363 152843769

12543 157326848

14676 215384976

15681 245893761

18072 326597184

19023 361874529

20316 412739856

Interesantan problem vezan za brojeve, postavljen je u 19. veku. Problem se sastojao u nalaženju dva pozitivna racionalna broja čiji će zbir kubova biti 6. Francuski matematičar Adrien Mari Ležandr je dao dokaz iz koga sledi da je nemoguće naći brojeve koji će rešavati problem. Nekoliko godina kasnije britanski matematičar Henri Djudeni, koji se bavio sastavljanjem matematičkih zagonetki, oborio je Ležandrov dokaz i dao jednostavno rešenje:

6 .

Djudeni je takođe pronašao dva racionalna broja čiji zbir kubova daje vrednost 9. Ti brojevi su:

9.

Za izračunavanje Djudeni nije koristio računar.

(Ne)rešivi problem

8

Nijedan problem u istoriji matematike nije privukao toliku pažnju kao što je Fermaova poslednja teorema. Smatra se da su ova teorema odnosno njeni dokazi pobrojali najviše grešaka u istoriji matematike. Fermaova poslednja teorema nije dobila korektan dokaz preko 300. godina. Ovaj problem je postavio Pjer Ferma u 17. veku, a rešio ga je u 20. veku (1995. godine) Endru Vajls. Fermaov dokaz se nikada nije pojavio. Ojler je dokazao teoremu za n = 3, Ležandr za n = 5, Dirihle za n = 14, a Lame i Lebeg za n = 7. Ernst Kumer je dokazao ovu teoremu za celu klasu prostih brojeva poznatih pod imenom regularni prosti brojevi. On je za svoj dokaz za n 100 dobio nagradu od Francuske akademije nauka i 1858. godine je objavio kompletno rešenje Fermaove poslednje teoreme. Ipak, taj dokaz je sadržao grešku koju je našao Dirihle. Kumerov rad i nagrada od 100 000 maraka koju je raspisao nemac Paul Volfskel za dokaz Fermaove poslednje teoreme inspirisali su matematičare. Tada se pojavilo preko 1000 pogrešnih dokaza, što od strane matematičara amatera, što od strane velikih i slavnih. Čak i uz pomoć računara Fermaov problem je dokazan kao tačan sam za n od 3 do 4 000 000.

Jedna od prvih žena koja je dala značajan doprinos matematici bila je Sofi Žermen, francuska matematičarka. Ona je dokazala tačnost Fermaove poslednje teoreme , za slučaj kada su x, y, z različiti prosti brojevi i n prost broj manji od 100. U svom pismu Gausu ona je tvrdila da, ako su x, y i n celi brojevi i suma je oblika , gde su f i g celi brojevi, tada suma x + y mora biti istog oblika tj. za neke cele brojeve a i b. Gaus je odgovorio da je to tvrđenje pogrešno i za primer dao:

može biti da je 1511 + 811 = , ali je 15 + 8 .

Neka rešenja se (ne) mogu zanemariti

Negativni brojevi do modernog doba nisu bili u potpunosti shvaćeni i prihvaćeni kao danas. Veliki matematičari su često zanemarivali negativne brojeve, smatrajući da je došlo do greške tokom računa i da je to razlog zbog čega se takav broj pojavio. Britanski matematičar Ogastes De Morgan je smatrao da se negativan broj pojavljuje kao rešenje onih problema koji su pogrešno postavljeni. Sledeći primer ilustruje to njegovo zapažanje.

Otac ima 56 godina, a njegov sin 29. Kada će otac biti dva puta stariji od sina?

De Morgan rešavanjem jednačine 56 + x = 2(29 + x) dobija da je x = – 2. Ovaj rezultat je prema njegovom mišljenju apsurdan. Ako zamenimo x sa – x dobićemo jednačinu 56 – x = 2(29 – x), njenim rešavanjem dolazimo do rešenja x = 2. Rešenje nam govori da je otac pre dve godine, tj. kada je imao 54 godine, bio duplo starij od sina. Prvo rešenje znači „pre dve godine se dogodilo dupliranje“, a drugo „treba oduzeti 2 godine da bi se dobilo...“. De Morgan insistira na tome da je pogrešno postavljanje problema dovelo do negativnog rešenja. Smatrao je da je besmisleno razmatrati brojeve manje od 0.

Brojevi iz mašte

9

Kompleksni brojevi su takođe dugo ignorisani i predstavljali su misteriju matematičarima 18. veka. Ojler je pokušao da shvati šta zaista predstavljaju kompleksni brojevi. Nazvao ih je nemogućim ili imaginarnim brojevima, jer je smatrao da postoje samo u mašti. U svojoj knjizi Vollständige Anleitung zur Algebra (Kompletan uvod u Algebru), Ojler je napravo grešku u radu sa kompleksnim brojevima. Sledeći da je , dobio je da je . Ovaj princip računanja nije korektan. Tačno je , jer je .

Džon Valis je prvi matematičar koji je pokušao da pronikne u suštinu kompleksnih brojeva i njihovu geometrijsku interpretaciju. Njegova osnovna ideja može se objasniti pomoću slike2.

slika2. Valisova predstava imaginarne jedinice

Jedinični krug sa centrom u O seče x-osu u tački A dajući odsečak +1 i u tački B dajući odsečak –1. Presek kruga i y-ose daje tačku C koja predstavlja imaginarni broj. Poznato je da normala povučena iz OC na prečnik kruga iz tačke koja leži na kružnici predstavlja geometrijsku sredinu odsečaka i , na osnovu toga dobijamo da je . Dalje sledi da je

. Zaista danas tačka C predstavlja imaginarnu jedinicu , ipak Valis je pogrešio. On je posmatrao kao geometrijsku sredinu odsečaka koji leže na prečniku, pri čemu je jedan pozitivan a drugi negativan. Međutim, teorema o normali i segmentima primenjiva je samo za slučaj kada su segmenti pozitivni.

Pri korišćenju beskonačnih redova matematičari 18. i 19. veka nisu vodili računa o uslovima koji moraju biti zadovoljeni da bi se „nešto“ primenilo u rešavanju problema. Oni su često primenjivali nemoguće i nedopustive ideje na divergentne redove što je dovelo do velikog broja grešaka i nekorektnih zaključaka. Lajbnic i Đirolamo Sakeri su zajedno diskutovali da li je moguće da suma alternirajućeg beskonačnog reda 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – . . .može imati vrednost 1/2.

Ako bi u geometrijskom redu , x imalo vrednost 1 dobili bi sumu

1/2. Ovaj rezultat nije tačan jer razvoj važi samo za < 1.

10

Ojler je takođe napravio nekoliko grešaka u ovoj oblasti. Za konstrukciju sledećeg dokaza koristio je geometrijski red za x 1. Uzimajući u obzir činjenicu

da je , Ojler je kombinujući dva reda:

i ,

došao do pogrešnog zaključka da je

.

Takođe je napravio grešku tvrdeći da ja 1 –3 + 5 – 7 + = 0. Ovu njegovu tvrdnju osporio je jedino Nikolas II Bernuli. Matematičari su 150 godina besmisleno manipulisali beskonačnim redovima. Jakob

Bernuli je 1696. godine došao do zaključka da kada se razvije u red ,

dobiće se da je 1 –1 + 1 – = za x = – 1. Ovu tvrdnju su neki matematičari prihvatili i

potvrdili kao tačnu koristeći Teoriju verovatnoće. Preuređivanjem članova divergentnog reda

lako se dokazivalo da je 1 = 0 ili = 0. Abel je smatrao da su divergentni redovi delo đavola.

Koši je dao pretpostavku da divergentni redovi nemaju sumu. Abel i Koši su zajedno sa Gausom postavili strogo sistematsku primenu beskonačnih redova i zasnovali teoriju konvergencije.

Greške u oblasti teorije verovatnoće

Glava, pismo, glava...pojavilo se, STOP!

Sve do 1933. godine kada je istaknuti ruski matematičar Andrej Nikolajevič Kolmogorov objavio svoju monografiju Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung i time utemeljio Teoriju verovatnoće na strogo aksiomatskom pristupu, bio je korišćen koncept jednakoverovatnih elementarnih događaja. Ovaj princip je davao zadovoljavajuća rešenja u mnogim praktičnim problemima, ali je takođe dovodio do mnogih paradoksa i neuspeha koji su proisticali iz neprihvatljive činjenice da je verovatnoća definisana sama po sebi u stvari preko jednakoverovatnih elementarnih događaja. Čak i veliki matematičari su pravili greške rešavajući probleme iz Teorije verovatnoće korišćenjem jednakoverovatnih događaja. Sledeća dva primera predstavljaju nepravilno rasuđivanje francuskog matematičara Žana le Ron Dalambera u igri bacanja novčića. Primer 1. Treba naći verovatnoću događaja da se pri dva bacanja novčića (na primer) glava pojavi bar jednom.

Dalamber je razlikovao tri slučaja:Prvi slučaj: pismo, pismo,

Drugi slučaj: pismo, glava,

11

Treći slučaj: glava se pojavila u prvom bacanju.

U trećem slučaju Dalamber je smatrao da nema potrebe za drugim bacanjem, jer nije bitan ishod s obzirom da se glava već pojavila. Tako da je prema Dalamberu ukupan broj mogućih ishoda 3, pri tome su drugi i treći slučaj povoljni, odakle sledi da je željena verovatnoća 2/3. Ovaj način razmišljana nije ispravan. Grešku, da tri slučaja nisu jednako verovatna, je uočio francuski matematičar Žozef Bertran. Da bi se dobili jednakoverovatni događaji neophodno je razložiti treći slučaj na dva ishoda: glava-glava i glava-pismo. Sada imamo četiri jednakoverovatna ishoda, od kojih su tri povoljna iz čega sledi da je verovatnoća dobijanja glave bar jednom 3/4. Do istog zaključka dolazimo razmatrajući slučaj bacanja dva novčića istovremeno, ukoliko tražimo verovatnoću da se bar na jednom od novčića dobije glava. U ovom primeru treba razmotriti četiri različita slučaja:

pismo, pismo – pismo, glava – glava, pismo – glava, glava.

Primer 2. Ovaj primer se odnosi na pogrešne zakljičke koji se donose usled neispravnog rasuđivanja o događajima sa jednakom verovatnoćom. Pretpostavimo da se pri bacanju novčića glava pjavi nekoliko puta u nizu (uzastopno). Mnogi veruju da je verovatnoća pojavljivanja pisma u sledećem bacanju veća od verovatnoće ponovnog pojavljivanja glave. Dalamber je bio takvog mišljenja, dok je Ojler smatrao da je takvo razmišljanje apsurdno. Postavlja se pitanje, kako je moguće da prethodni rezultati bacanja mogu uticati na bacanja koje ce tek uslediti!? Nezavisno od prethodnih bacanja, pojava pisma ili glave podjednako je verovatna u svakom narednom bacanju. Ukoliko je novčić ispravan verovatnoća pojavljivanja pisma ili glave u svakom od narednih bacanja uvek će biti 1/2, nezavisno od prethodnih događaja. Američki matematičar je razmatrao sličan primer sa kockom, i u svojoj knjizi New Mathematical Diversions from Scientific American kaže: „ Sve vrste glupih sistema za igranje ruleta i drugih igara na sreću se baziraju na pogrešnom uverenju da što se neki događaj više puta desio, to je manje verovatno da se ponovo dogodi. Vojnici u Prvom svetskom ratu su mislili da će biti bezbednije ako se sakriju u tek nastalu rupu od granete, nego da se sakriju u neku od starijih rupa jer su mislili da je manje verovatno da će granata eksplodirati dva puta za kratko vreme na istom mestu! ... Ovo verovanje je neosnovano.“ U igrama bacanja novčića ili kocke strogo se pretpostavlja da je novčić, odnosno kocka, „fer“, tj. da je homogenog sastava i da nije kontrolisan skrivenim magnetom ili nešto slično. Ako se desi da se dobije glava u prvih devet bacanja, postoji razlog za sumnju da je novčić asimetričan. Verovatnoća da se glava pojavi deset puta uzastopno je 1/210 = 1/1024, što je gotovo nemoguć događaj. Logika nas tera da verujemo da je verovatnoća da se glava pojavi i u narednom jedanaestom bacanju veća od 1/2.

Jedan od prvih problema u teoriji verovatnoće je izučavanje verovatnoće dobijanja određenog zbira poena pri bacanju nekoliko kockica za igru. Ako se bacaju dve kockice postoji 36 mogućnosti: (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . ,(6, 6).Minimalan zbir je 2, a maksimalan 12. Lajbnic je proučavao ovaj problem i došao do zaključka: „Šanse za dobijanje zbira 11 i 12 su jednake, dok je verovatnoća da se pojavi zbir 7 tri puta veća nego u slučaju 11 i 12.“ Lajbnic je ovde napravio grešku, jer postoji samo jedan povoljan događaj (6, 6) da se pojavi zbir 12, dva povoljna događaja (5, 6) i (6, 5) da se pojavi 11, i šest povoljnih događaja (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) i (6, 1) da se pojavi zbir 7. Broj svih

12

mogućih događaja je 36, pa će odgovarajuće verovatnoće biti = 1/36, = 2/36 = 1/18 i = 6/36 = 1/6. Ove vrednosti pokazuju da je Lajbnic bio u pravu samo za verovatnoću dobijanja zbira 7 u odnosu na verovatnocu pojavljivanja zbira 11. Lajbnicovu grešku je otkrio I. Todhanter.

Zanimljivi problemi praćeni greškama

Leonardo iz Pize, poznatiji kao Fibonači, se bavio sakupljanjem problema iz rekreativne i finansijske matematike. Rešavavajući opšte poznati problem o lavu i jami, koji glasi:

„Jama je duboka 50 stopa. Lav se popne 1/7 stope svakog dana i zatim sklizne 1/9 stope svake noći. Koliko će mu dana biti potrebno da izađe iz jame?“,

Fibonači je napravo grešku. Krenuo je od broja 63 koji je deljiv i sa 7 i sa 9. Izračunao je da će se lav za 63 dana popeti 9 stopa i skliznuti 7 stopa, sto bi značilo da lav napreduje 2/63 stope svakoga dana. Koristeći proporciju izračunao je da će lavu biti potrebno dana da se popne 50 stopa i stigne do vrha jame. Odgovor je pogrešan, jer će lavov pređeni put na kraju 1575. dana biti 8/63 od 50 stopa, što znači da će lav sledećeg nana stići do vrha. Kada jednom stigne do vrha, on sledeće noći neće skliznuti jer je izašao.

Latinski kvadrat reda n sastoji se od n različitih simbola, uređenih u obliku kvadratne šeme tako da se svaki simbol pojavljuje samo jednom u svakoj vrsti i samo jednom u svakoj koloni. To jest svaka vrsta i kolona predstavljaju jednu permutaciju od n simbola. Leonard Ojler je u nekom od svojih radova pisao o ovoj vrsti magičnih kvadrata. Dobili su ime latinski kvadrat jer je Ojler koristio latinska slova za simbole koje je trebalo rasporediti. Naredne slike su primeri latinskih kvadrata. Prvi kvadrat u nizu je četvrtog reda sačinjen od latiničnih slova a, b, c, d, drugi kvadrat je takođe latinski kvadrat četvrtog reda ispunjen sa četiri grčka slova. Treći kvadrat u nizu ispinjen je parovima u kojima je svako latinično slovo kombinovano jednom i samo jednom sa grčkim slovom. Kvadrat dobijen takvom kombinacijom zove se Ojlerov kvadrat ili grčko-latinski kvadrat. Za dva kvadrata od kojih je nastao kombinovani kvadrat kaže se da su ortogonalni kvadrati. Inače grčko-latinski kvadrati su našli primenu u kreiranju eksperimenata u biologiji, medicini, marketingu itd.

Grčko-latinski kvadrati

Ojler je poznavao grčko-latinske kvadrate reda 3, 4, 5. Pitao se šta je sa kvadratima reda 6, i taj problem je razmatrao kroz sledeći primer;

b a d cd c b ac d a ba b c d

b a d c

d c b a

c d a b

a b c d

13

Da li je moguće rasporediti 36 oficira od kojih svaki ima jedan od 6 različitih činova i pripada jednom od 6 različitih pukova, u kvadratnu formaciju 6 × 6, tako da svaka vrsta i kolona sadrži tačno jednog oficira svakog ranga iz svakog puka?Ovaj problem poznat je kao Ojlerov problem oficira.

Ojler je pokazao da problem oficira, koji je ekvivalentan formiranju grčko-latinskog kvadrata reda n, može uvek da se reši ako je n neparno ili deljivo sa 4. On je takođe tvrdio da latinsko-grčki kvadrati reda 6, 10, 14, odnosno svi kvadrati čiji je red oblika n = 4k + 2, ne mogu biti konstruisani. Ova pretpostavka je poznata pod imenom Ojlerova hipoteza. Nekoliko matematičara dalo je dokaz Ojlerove hipoteze, ali je u svakom nađena greška. Francuski matematičar Gaston Tari dokazao je slučaj kada je n = 6, a za taj dokaz koristio je metod olovke-i-papira. Slučaj n = 10 kao i dokaz opšte formula n = 4k + 2, morali su da sačekaju pojavu računara. Sa pojavom računara Ojlerova hipoteza je oborena, jer za sve vrednosti n = 4k + 2 može se formirati grčko-latinski kvadrat. Na slici 3. prikazan je primer Parkerovog grčko-latinskog kvadrata korišćenjem cifara od 0 do 9, gde svaka leva cifra pripada prvom latinskom kvadratu a desna cifra drugom latinskom kvadratu.

slika 3. Parkerov grčko-latinski kvadrat 10. reda

Jedan od najčuvenijih problema bio je i Problem četiri boje. Ovaj problem okupirao je pažnji kako istaknutih matematičara, tako i amatera dugi niz godina. Formulacija ovog problema je vrlo jednostavna, što se ne bi moglo reći i za dokaz.

Da li su četiri boje dovoljne da se oboji mapa u ravni na takav način da susedne oblasti (to jest, one koje deli zajednička granična linija, a ne samo tačka) budu obojena različitim bojama.

Problem je nastao 1852. godine, student Frensis Gatri je poskušao da ga reši, ali bezuspešno. Njegov brat Frederik Gatri prosledio je ovaj problem svom profesoru De Morganu. De Morgan je objavio hipotezu i nekoliko matematičara je radilo na rešavanju ovog problema. 1879. godine Alfred Kempe je objavio svoj dokaz u matematičkom časopisu American Jurnal of Mathematics. U dokazu je korišćen metod Kempeovih lanaca. Godinu dana posle objavljivanja Kempeovog dokaza, Piter Tejt je objavio dva rada koja su sadržala dokaz teoreme četiri boje.

00 47 18 76 29 93 85 34 61 52

86 11 57 28 79 39 94 45 02 63

95 80 22 67 38 71 49 56 13 04

59 96 81 33 07 48 72 60 24 15

73 69 90 82 44 17 58 01 35 26

68 74 09 91 83 55 27 12 46 30

37 08 75 19 92 84 66 23 50 41

14 25 36 40 51 62 03 77 88 99

21 32 43 54 65 06 10 89 97 78

42 53 64 05 16 20 31 98 79 87

14

Deceniju kasnije teorema o četiri boje ponovo postaje hipoteza. Persi Džon Hivud je objavio rad u kome ukazuje na nekorektnosti u Kempeovom dokazu, dok je nedostatak u Tejtovom dokazu pronašao Peterson 1891. godine. Iako je i Kempeov i Tejtov dokaz sadržao grešku, sadržao je i neke dobre ideje koje su mogle da pomognu pri ponovnom pokušaju dokazivanja. Korišćenje Teorije grafova omogućilo je napredak u rešavanju problema četiri boje. Hipoteza o četiri boje dokazana je za neke specijalne slučajeve koji se odnose na mape sa konkretnim brojem oblasti koje treba obojiti. 1922. godine Frenklin je pokazao da se proizvoljna mapa sa manje ili tačno 25 oblasti može obojiti sa četiri boje. 1926. godine Rejnolds je dokazao isto za 27 oblasti, 1940. godine Vin je dokazao za 35 oblasti, a 1976. godine Majer za 95 oblasti. Finalni korak u rešavanju problema četiri boje napravio je H. Hiš. On je razvio dva važna pojma, svodljivost (reducibility) i pražnjenje (discharging). 1976. godine Kent Apel i Volfang Hejken su primenili Hišovu ideju i metodu svodljivosti koristeći Kempeove lance za rešavanje problema četiri boje. Pomoću računara su ispitali sve moguće graf-konfiguracije, ima ih 1476. Rešenje ovog problema u okviru dva rada objavljeno je u knjigama Evry planar map is four colorable, Parth I Discharging i Evry planar map is four colorable, Parth II Reducibility. Vremenom je algoritam za rešavanje problema četiri boje poboljšan. Teorema četiri boje je prva značajna teorema koja je dokazana korišćenjen računara. Danas se nađeni dokaz smatra potpuno kompletnim i zadovoljavajućim, uprkos tome da se za njega koristi računar pa je nemoguće ivršiti analitičku proveru. 1997. godine četiri matematičara N. Robertson, D. P. Sanders, T. Sejmor i R. Tomas su dala novo rešenje koje je sadržalo dosta detalja iz rešenja Apela i Hejkena, ali je bilo „ručno proverljivo“.

Literatura

15

1. Matematički vremeplov prilozi za istoriju matematike Autori: Miodrag Petković Ljiljana Petković Novi Sad 2006. godine

16