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Graziani - acustica (cap. 2)

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acustica (cap.2)

Text of Graziani - acustica (cap. 2)

  • Capitolo 2

    Elementi di Acustica e Psicoacustica

    Carlo Drioli Nicola Orio

    Copyright c

    1999 by Carlo Drioli and Nicola Orio. All rights reserved.

    2.1 Acustica: introduzione

    La percezione sonora normalmente legata alle vibrazioni del timpano nellorecchio. Queste vibra-zioni sono provocate da piccole variazioni di pressione nellaria. La variazione di pressione dellaria quindi lequivalente fisico del suono. Questo fenomeno pu essere visualizzato appoggiando unfoglio di carta sopra il cono di un altoparlante: quando viene emesso un suono, il foglio inizia a vi-brare. Infatti il movimento verso lesterno della membrana dellaltoparlante determina un aumentodi pressione e quindi spinge in fuori il foglio di carta. Inversamente il movimento verso linternodella membrana determina una diminuzione di pressione ed attrae il foglio verso laltoparlante. Lamembrana del timpano ha un comportamento analogo a quello del foglio di carta: un incremento dipressione spinge la membrana del timpano verso linterno, mentre una diminuzione di pressione laattrae verso lesterno. I movimenti del timpano sono quindi trasmessi alla coclea che li trasforma inimpulsi elettrici che vengono inviati al cervello attraverso le terminazioni nervose.

    2.2 Oscillazioni e ondeDato che il suono corrisponde a variazioni di pressione nellaria, naturale che le propriet di questevariazioni determinino le propriet del suono percepito. Molti suoni musicali presentano variazioniregolari di pressione. In particolare la regolarit implica che un determinato andamento della pressionesi ripeta nel tempo. Viene definita forma donda la ripetizione di tale andamento. In questo caso ilsuono detto periodico e la durata della singola forma donda detta periodo, indicato con il simboloT e misurato in secondi. Se la funzione p t indica landamento della pressione nel tempo in un puntodello spazio, per un suono periodico si ha la relazione:

    p t p t T

    Nel caso opposto, in cui landamento della pressione privo di qualsiasi regolarit, il segnale associatoviene percepito come rumore. Il rumore pu essere diviso di due classi principali:

    2.1

  • 2.2 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    rumore impulsivo: determinato da rapide variazioni di pressione circoscritte nellarco di po-chi millisecondi. Un tipico esempio di rumore impulsivo si ha quando un corpo rigido vienepercosso. Va notato che il rumore impulsivo viene regolarmente generato durante la produzionedi suoni musicali, si pensi ad esempio al suono di chitarra nel quale chiaramente percepibileil rumore prodotto dal plettro sulla corda; oppure al suono di pianoforte dove fondamentaleper il riconoscimento del timbro il rumore prodotto dal martelletto sulla corda.

    rumore stazionario: ha generalmente una elevata estensione temporale ma comunque privodi regolarit. Tipici esempi di rumore stazionario sono il rumore prodotto dal vento o quelloproveniente da uno schermo televisivo in assenza di segnale (effetto neve). Per questo gene-re di segnali audio si ricorre generalmente ad una descrizione statistica dellandamento dellapressione.

    I suoni periodici1 sono alla base della musica occidentale e di molti altri repertori, per cui a questiverr posta particolare attenzione.

    2.2.1 Suoni periodiciE noto, dal teorema di scomposizione in serie di Fourier, che ogni funzione periodica pu esseresuddivisa nella somma di funzioni elementari. Per segnali reali, come nel caso dellandamento dellapressione in un mezzo trasmissivo, vale la relazione:

    p t a0

    n 1

    an sin 2pint

    T n

    Dalla formula risulta quindi che un suono periodico, di periodo T , scomponibile nella somma, pesatadai termini an, di sinusoidi di periodo T T 2 T 3 T 4 Nella formula inoltre presente il terminen che tiene conto della fase iniziale di ognuna delle sinusoidi, che in generale pu essere diversa perogni funzione elementare. Considerando che il suono solitamente si propaga in aria, ove gi presenteun termine costante dato dalla pressione atmosferica e tenendo conto che lorecchio sensibile allevariazioni di pressione, il termine a0 viene usualmente trascurato. In Figura 2.1 vengono riportatigli andamenti delle forme donda rispettivamente associate a una sinusoide, ad un segnale periodicocostituito da una somma di 16 sinusoidi in rapporto armonico tra loro e ad un segnale rumorosostazionario.

    In campo musicale si soliti descrivere un suono periodico in termini di frequenza, usualmenteindicata con il simbolo f e misurata in Hertz (Hz). Il legame tra periodo T e frequenza f descrittodalla formula

    f 1T

    La scomposizione di un suono periodico di frequenza f in forme donda elementari, indica che questeavranno rispettivamente frequenze f 2 f 3 f 4 f La sinusoide di frequenza f , pari alla frequenzadel suono periodico di partenza, detta fondamentale mentre le sinusoidi di frequenza multipla interadi f vengono dette parziali. Si fa riferimento alle forme donda elementari che costituiscono un suonocon il termine armoniche.

    La frequenza associata alla sensazione di altezza (pitch) di un suono: maggiore la frequenza,maggiore risulta laltezza del suono, in altre parole il suono risulta pi acuto. Gli esseri umani sono

    1Spesso viene compiuta dagli autori la distinzione tra suono e rumore in base alla presenza o meno di periodicit. Inquesto contesto si preferito usare la terminologia alternativa suono periodico e suono aperiodico.

  • 2.2. OSCILLAZIONI E ONDE 2.3

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

    tempo (ms)

    [a]

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

    tempo (ms)

    [b]

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

    tempo (ms)

    [c]

    Figura 2.1: Andamento nel tempo di tre segnali rispettivamente con andamento: [a] sinusoidale, [b]periodico (somma di 15 sinusoidi), [c] aperiodico

    in grado di percepire suoni nellintervallo di frequenze da circa 20 Hz a circa 16 kHz, anche se alcunisoggetti sono in grado di percepire suoni in intervalli pi ampi, ma comunque contenuti tra i 16 Hze i 20 kHz. Lestensione di un pianoforte, cos come lestensione di unorchestra sinfonica, va da27.5 Hz a 3729.3 Hz. Al di sotto di 15 Hz, le variazioni di pressione non vengono pi percepitecome un singolo suono ma come una rapida successione di impulsi. Frequenze al di sopra dellasoglia di udibilit (ultrasuoni) non vengono percepite, quindi il filtraggio del segnale audio al disopra dei 20 kHz non ne altera la qualit percepita. E per questa ragione che, ricordando il teoremadel campionamento di Shannon, la frequenza di campionamento dei Compact Disc (44.1 kHz) esufficiente per una perfetta ricostruzione del segnale analogico originario dal punto di vista percettivo.

    2.2.2 I suoni reali

    Come si visto, la sinusoide la pi semplice forma donda perch non ulteriormente scomponibile.I suoni prodotti dagli strumenti musicali acustici non hanno per mai un andamento cos semplice. Isuoni naturali infatti sono sempre costituiti da serie di armoniche, che contribuiscono a dare ricchezzaai suoni musicali. Si prendano come esempio i modi di vibrazione di una corda, fissata ai due estremi,a sezione costante e lunghezza L. Si pu dimostrare, ricordando nozioni di fisica sul moto oscillatorio,che la corda vibra alle frequenze:

    fi ipi S LLdove S la tensione della corda e L la massa per unit di lunghezza. Quindi la forma donda diun suono prodotto da una corda la risultante di un insieme di sinusoidi a frequenza multipla di una

  • 2.4 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    frequenza fondamentale. Analogamente, considerando i modi di vibrazione di un tubo acustico, sipu dimostrare che un tubo aperto da entrambe le estremit pu vibrare alle frequenze:

    fi ipicLdove c la velocit del suono in aria e L la lunghezza del tubo. Da entrambi gli esempi propostirisulta chiaro inoltre che una delle tecniche pi efficaci per lanalisi dei suoni lanalisi di Fourier,ovvero la scomposizione dei suoni prodotti dagli strumenti musicali acustici in elementi fondamentali(le sinusoidi).

    In realt, i suoni prodotti dagli strumenti musicali non hanno mai un comportamento cosi rego-lare. Innanzitutto le armoniche hanno un rapporto che solo approssimativamente pu essere espressocome rapporto tra interi.. Ad esempio la corda reale si differenzia dalla corda ideale principalmentea causa di questa inarmonicit: le parziali risultano avere dei rapporti leggermente maggiori dei nu-meri interi previsti dalla teoria (si dice in questo caso, usando il lessico musicale, che le parziali sonocrescenti rispetto alla fondamentale). Alcuni suoni reali inoltre sono caratterizzati proprio a causadellassenza di armonicit; il caso delle campane, nelle quali non nemmeno presente il terminerelativo alla fondamentale e le armoniche hanno rapporti solo approssimativamente armonici. Una se-conda caratteristica dei suoni reali che questi non sono mai esattamente periodici: le forme donda siripetono nel tempo assumendo degli andamenti simili, ma non del tutto uguali. Lorecchio percepiscequindi un andamento approssimativamente periodico, ma percepisce anche le variazioni nella formadonda, che contribuiscono a dare dinamicit al suono prodotto. Infatti una delle caratteristiche deisuoni di sintesi appunto leccessiva regolarit del loro sviluppo temporale. Questo spesso si traducenella percezione di un suono che rapidamente diventa poco interessante per lascoltatore.

    2.3 Inviluppo dei suoniConsiderando la musica come una forma di comunicazione ottenuta attraverso lorganizzazione deisuoni, risulta evidente che un suono perfettamente periodico in senso matematico (ovvero un suonoche si ripete indefinitamente) non consente alcuna forma di comunicazione. I suoni musicali vengonoquindi organizzati nella scala dei tempi; in particolare ogni suono ha un inizio e una fine che vengonopercepiti dallascoltatore. Grossa importanza nella comunicazione musicale ha levoluzione nel tempodella forma donda. Come si visto un suono caratterizzato principalmente da una frequenza, legataalla percezione del pitch, e da una ampiezza delle oscillazioni della pressione, legata alla percezionedi intensit. Una forma donda elementare che evolve nel tempo pu quindi essere espressa dallaformula:

    s t

    A t sin 2pi f t dove f la frequenza del suono e A t linviluppo di ampiezza del segnale. Per meglio chiarireil concetto di inviluppo di ampiezza, prendiamo come esempio la generazione di un suono da unacorda di violino eccitata con larchetto. In condizioni di riposo la corda ha ovviamente vibrazionenulla, e quindi non produce alcun suono. Quando il violinista inizia a sfregare larchetto sulla corda,questa inizia a vibrare abbandonando la situazione di riposo. Esiste un periodo di tempo nel quale leoscillazioni della corda, da nulle, si fanno sempre pi ampie. Questa viene definita fase di attacco esolitamente indicata con il corrispondente termine inglese attack. Questa fase dura solitamente pochicentesimi di secondo, in relazione al tipo di strumento musicale. La fase successiva a quella di at-tack definita con il termine inglese decay: corrisponde ad un rapido assestarsi della ampiezza ad unvalore stabile dopo una sovraelongazione a cui stata portata dalla fase di attack. Anche il decay

  • 2.4. PROPAGAZIONE DEL SUONO 2.5

    0 50 100 150 200 250 300 350 400

    tempo (sec)

    attack

    decaysustain

    release

    Figura 2.2: Evoluzione del segnale musicale nel tempo: sono evidenziate le parti di attack, decay,sustain e release

    molto rapido. A questo punto, esaurito il transitorio di attacco, si realizzato un accoppiamento tralo sfregamento dellarchetto e le oscillazioni della corda. Questo corrisponde alla fase di sustain, chepu durare anche parecchi secondi, nella quale il suono viene appunto sostenuto dal musicista, checontinua a fornire lenergia necessaria per mantenere le vibrazioni. Lultima fase, che ha inizio nelmomento in cui il musicista smette di mantenere eccitato il sistema di vibrazione, viene denominatarelease (ovvero rilascio) e corrisponde al tempo in cui il corpo vibrante (nel nostro esempio la cordadi violino) smorza lentit delle vibrazioni, fino a portarsi nuovamente nello stato di quite. In Figu-ra 2.2 sono illustrate le quattro diverse fasi descritte. In questo caso la funzione inviluppo A t stataapprossimata con la successione di quattro segmenti, ma in generale pu assumere degli andamentimolto pi complessi, solitamente seguendo una curva esponenziale. Va peraltro sottolineato che spes-so, in sede di sintesi, si preferisce approssimare linviluppo con delle spezzate, poich si visto chela qualit sonora dei risultati non viene compromessa da questa approssimazione.

    2.4 Propagazione del suono

    Come detto, il suono ha natura oscillatoria: lo studio dellacustica musicale fa quindi riferimento allateoria delle onde. Il periodo e la frequenza sono quindi le caratteristiche principali a cui si far riferi-mento per lanalisi del comportamento di unonda acustica. Torniamo a fare riferimento al movimentodella membrana di un altoparlante, tenenendo conto che considerazioni analoghe possono essere com-piute, ad esempio, sul movimento oscillatorio di una colonna daria allinterno di un tubo acustico osulla membrana di uno strumento a percussione. Il movimento della membrana dellaltoparlante cau-sa compressione e rarefazione dellaria, che appunto corrispondono a variazioni di pressione acustica.Quando la membrana si sta muovendo verso lesterno, le molecole presenti nellaria vengono com-presse, determinando quindi un incremento della pressione locale. Questa incremento di pressione sipropaga agli strati daria adiacenti. Inversamente quando la membrana si muove verso linterno, sicrea una diminuzione di pressione che si propaga agli strati adiacenti. Ne risulta che le particelle dariasono spinte leggermente in avanti e indietro nella direzione di propagazione del suono. Oscillazionidi questo tipo vengono definite longitudinali, e sono tipiche della trasmissione del suono nellaria. Le

  • 2.6 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    oscillazioni possono anche essere perpendicolari alla direzione di propagazione del suono. Ad esem-pio in una corda percossa la deformazione, che e perpendicolare alla corda, si propaga lungo la cordastessa.

    Se andiamo a misurare la pressione dellaria lungo la direzione di propagazione di un suono pe-riodico, notiamo quindi una successione di aumenti e diminuzioni di pressione. Questa distribuzioneviene definita onda sonora. La distanza pi piccola tra due punti corrispondenti dellonda sonora (adesempio tra due massimi consecutivi) detta lunghezza donda. Essa comunemente indicata con ilsimbolo . La lunghezza donda dipende dal periodo e dalla velocit di propagazione del suono. Lavelocit del suono in aria viene solitamente indicata con la lettera c e, a temperatura ambiente (20o C), di circa 344 m/sec, ovvero 1238 km/h. La relazione tra periodo T , velocit del suono c e lunghezzadonda

    c TUtilizzando la definizione di frequenza data inprecedenza, si ottiene la seguente relazione:

    f cche pone in evidenza come la frequenza sia inversamente proporzionale alla lunghezza donda. Siriconosce questa relazione in molti strumenti musicali. Ad esempio le corde corrisponedenti alle notegravi del piano sono lunghe, mentre quelle corrispondenti alle note acute sono corte. Negli organi lenote basse sono generate dalle canne pi lunghe. Ricordando che le frequenze udibili sono contenutenellintervallo da 20 Hz a 16 kHz, sostituendo i valori numerici nella formula che lega frequenza elunghezza donda, otteniamo che le lunghezze donda dei suoni udibili vanno da circa 17 m (suonograve) a 21 cm (suono acuto). La velocit del suono nellaria dipende dalla temperatura, aumentadi circa 0 6 m/sec per grado centigrado, mentre indipendente dalla pressione atmosferica e dallafrequenza del suono.

    La velocit dipende inoltre anche dal mezzo in cui si propaga. In Tabella 2.1 vengono riportatele velocit di propagazione, a 0o C, per alcuni mezzi trasmissivi. Queste differenze implicano che lalunghezza donda di un suono ad una data frequenza vari a seconda del mezzo in cui si propaga. Adesempio, poich la velocit di propagazione in acqua circa 4 35 volte maggiore di quella in aria, ledue lunghezze donda in acqua e in aria manterranno la stessa proporzionalit.

    Mezzo trasmissivo Velocit (m/sec)Gomma 70Ossigeno 317Aria 331Azoto 337Idrogeno 1270Acqua marina 1440Acciaio 5050

    Tabella 2.1: Velocit di propagazione del suono a 0o C in alcuni mezzi trasmissivi

    2.4.1 Onde sferiche e onde pianeLa sorgente sonora pi semplice da analizzare la sfera pulsante. Si tratta evidentemente di unasituazione ideale in cui una sfera si contrae e si espande radialmente attorno ad una posizione media.

  • 2.4. PROPAGAZIONE DEL SUONO 2.7

    La variazione di pressione causata dalle pulsazioni della sfera si espande con la stessa efficenza intutte le direzioni, dando luogo ad una onda sferica. Unaltra semplice sorgente sonora pu essereconsiderato un pistone che si muove allinterno di un tubo. Se vengono trascurati gli effetti ai bordidel tubo, il movimento del pistone causer una variazione di pressione solamente lungo la direzionedel movimento. Avremo in questo caso una onda piana, che si propoga in ununica direzione. Adistanze sufficientemente elevate, il raggio di curvatura di unonda sferica pu essere consideratotrascurabile, e anche in questo caso londa si considera piana.

    In situazioni non ideali, la propagazione del suono non ha un andamento cos semplice. In par-ticolare, la propagazione in un mezzo non omogeneo d adito ad alcuni fenomeni analoghi a quelliriscontrati nella propagazione della luce. Tra questi i principali sono la diffrazione e la riflessione.

    2.4.2 Diffrazione

    Nel caso di una sorgente reale, come ad esempio il cono di un altoparlante o la campana di una tromba,lefficenza di irradiamento dipende dalla lunghezza donda. Questo effetto viene definito diffrazione.Se la dimensione della sorgente (ad esempio il raggio dellaltoparlante) piccola rispetto alla lun-ghezza donda, la sorgente pu essere considerata puntiforme e irradiante in tutte le direzioni con lastessa efficenza, generando quindi onde sferiche. Nel caso la lunghezza donda sia confrontabile conle dimensioni della sorgente, il suono viene irradiato con efficenza diversa a seconda della direzione.In particolare se la lunghezza donda minore della dimensione della sorgente vi un angolo al disopra del quale non vi praticamente irradiamento. In Figura 2.3 viene illustrata la diversa diffrazio-ne nel caso la dimensione dellapertura D sia, riespettivamente, minore o maggiore della lunghezzadonda .

    D

    [a] [b]

    D

    Figura 2.3: Effetto della diffrazione nei casi D in [a] e D in [b]

    Un primo effetto della diffrazione la direzionalit dei suoni acuti rispetto ai suoni bassi: perquesto motivo che molto pi semplice identificare la posizione di una sorgente se questa emette fre-quenze acute. Di questo fenomeno tengono conto gli apparecchi HiFi, nei quali le basse frequenze nonnecessitano di diffusione stereofonica.Inoltre a causa della diffrazione che le frequenze basse posso-no essere pi facilmente percepite anche in presenza di ostacoli che non consentono la propagazionediretta del suono, come ad esempio nel caso di stanze comunicanti. Leffetto della diffrazione inol-tre responsabile del tipo di propagazione della voce: essendo lapertura della bocca sufficientementepiccola rispetto alle frequenze di emissione sonora, le onde sonore hanno propagazione sferica.

    Inoltre la direzionalit della voce rinforzata dalleffetto di un secondo fenomeno, legato al com-portamento delle onde in presenza di ostacoli (nel caso della voce lostacolo la testa dello stessoparlante). Infatti quando unonda incontra un ostacolo di dimensioni piccole rispetto alla lunghezzadonda (suono grave, ostacolo piccolo), il suono viene diffratto e riesce a superare lostacolo. Nelcaso contrario (suono acuto, ostacolo grande) il suono non riesce a superare lostacolo e si crea una

  • 2.8 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    zona dombra. Questo avviene perch le onde sonore sono maggiormente riflesse che diffratte. Tor-nando al caso della voce, questo fenomeno spiega perch difficile capire il parlato ponendosi dietroad una persona, nonostante si percepisca comunque il suono: sono le basse frequenze quelle che mag-giormente riscono ad aggirare lostacolo, ma queste non sono sufficienti per rendede intelleggibile ilparlato (in particolare, come si vedr, non vengono riconosciuti i formanti).

    2.4.3 Riflessione

    In generale avviene una riflessione ogni volta che cambiano le caratteristiche del mezzo trasmissivo.La causa pi comune della riflessione la presenza di una discontinuit, ad esempio quando unondache si propaga in aria incontra un ostacolo. Ponendosi nel caso pi semplice, si pu suppore lostacolocome una parete liscia di dimensioni sufficientemente grandi rispetto alla lunghezza donda. In questocaso si ha che londa viene parzialmente riflessa e parzialmente assorbita, e che langolo di riflessione uguale allangolo di incidenza. La percentuale di onda assorbita dipende dal tipo di materiale.

    Nel caso londa si rifletta su di una superficie irregolare, ove le irregolarit abbiano dimensioniparagonabili alla lunghezza donda, si ha un tipo di riflessione detta eco diffuso, dove la direzionedi propagazione varia a seconda della lunghezza donda e della forma dellostacolo. Leffetto dellariflessione estremamente importante nella progettazione di sale da concerto e di teatri, e lacusticaarchitettonica divenuto un ramo molto importante dellacustica. A causa della riflessione alle pareti,allascoltatore infatti non giunge solamente il suono proveniente dagli strumenti musicali (o dalla vocedegli attori), ma anche una successione di onde riflesse che, a causa della maggiore distanza percorsa,giungono allascoltatore con un dato ritardo. Questo fenomeno noto con il nome di riverberazione,il cui controllo uno dei principali obiettivi dellacustica architettonica.

    Sono state progettate inoltre particolari camere nelle quali la riflessione delle pareti resa massima(camere ecoiche) o minima (camere anecoiche). In una camera ecoica, lelevata riflessione dellepareti, fa si che il suono in un punto giunga con lo stessa intensit da tutte le direzioni: le camereecoiche sono quindi utilizzate per effettuare misure della potenza acustica di un sistema. Al contrario,in una camera anecoica, la riflessione alle pareti pressoch nulla e quindi il suono che giunge inun determinato punto proviene esclusivamente dalla sorgente: le camere anecoiche sono appuntoutilizzate per studiare le caratteristiche delle sorgenti sonore.

    2.5 Intensit del suonoSi detto che lequivalente fisico del suono la variazione di pressione nellaria (la pressione si misurain pascal, simbolo Pa). Lentit delle variazioni di pressione legata alla percezione di volume sonoro(loudness): maggiore la variazione di pressione, maggiore il volume sonoro percepito. Spesso, piche non ai picchi nella variazione di pressione, si fa riferimento alla pressione efficace, simbolo pe f f ,che la media quadratica delle variazioni di pressione. Nel caso di un andamento sinusoidale dellapressione del tipo

    p P0 sin !2pitT "

    si ha pe f f P0 # $ 2. La minima pressione efficace che pu essere percepita di 0 % 00002 Pa, mentre lasoglia del dolore varia intorno ai 20 Pa, in relazione alla frequenza del suono come vedremo in seguitoparlando di psicoacustica.

    Si consideri di dover determinare il volume sonoro prodotto da una sorgente. Lesperienza comu-ne ci dice che la pressione efficace di un suono varia in relazione alla distanza della sorgente; inoltre,

  • 2.5. INTENSIT DEL SUONO 2.9

    come si visto parlando della diffrazione, una sorgente sonora pu irradiare in maniera diversa indifferenti direzioni. Infine il fenomeno della riflessione pu ulteriormente complicare la misurazio-ne, rendendola sensibile, non solo alla distanza e alla posizine rispetto alla sorgente, ma anche allapresenza di ostacoli o elementi riflettenti. E per questa ragione che una sorgente sonora viene carat-terizzata in base alla propria potenza acustica, ovvero in base al lavoro prodotto nellunit di tempo.Come ogni potenza, anche la potenza acustica si misura in watt (W). In Tabella 2.2 viene riportatala potenza acustica del parlato e di alcuni strumenti musicali. Gli strumenti musicali sono comunquecaratterizzati da una bassissima efficenza, ovvero il rapporto tra i watt acustici e i watt spesi si aggiraintorno all1%.

    Sorgente sonora Potenza (W)Parlato (normale) 10 & 5Parlato (litigio) 10

    &

    3

    Cantante lirico 0 ' 03Clarinetto 0 ' 05Tromba 0 ' 3Pianoforte 0 ' 4Trombone 6Orchestra 60

    Tabella 2.2: Potenza massima prodotta da alcune sorgenti sonore

    Si definisce intensit acustica (simbolo I) la potenza media trasmessa per unit di superficie nelladirezione di propagazione dellonda. Si pu dimostrare che, per onde piane e onde sferiche, vale larelazione:

    I (p2e f fc

    dove la densit del mezzo trasmissivo (in aria, a temperatura ambiente e a pressione atmosfericastandard ( 1 ' 21 kg/m3) e, al solito, pe f f la pressione efficace e c la velocit del suono nel mezzo.Considerando lintervallo di valori assunti dalla pressione efficace, si nota che lintensit acusticaassume valori in un range molto elevato, andando da circa 10

    &

    12 W/m2 per la soglia di udibilit acirca 1 W/m2 per la soglia del dolore.

    2.5.1 Decibel e misure del suono

    I valori di pressione, potenza e intensit acustica dei suoni si distribuiscono in un intervallo di valorimolto esteso. Per questa ragione queste grandezze sono comunemente espresse in scala logaritmica.Va inoltre osservato che la scala logaritmica ha un andamento pi vicino a quello delle scale percettiveche verranno illustrate nel capitolo 2.11. Viene definito come livello di pressione acustica (in inglesepressure level, con simpbolo PL) il logaritmo del rapporto tra la pressione misurata e una pressione diriferimento. In formule:

    PL ( 20 ) log ppre f

    dove si fa implicitamente riferimento alla pressione efficace. Il valore di PL adimensionale e vieneespresso in decibel (dB). In generale non necessario utilizzare una pressione di riferimento standard.Pu risultare comunque conveniente utilizzare come riferimento la minima pressione efficace udibile;

  • 2.10 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    in questo caso si parla di Sound Pressure Level (SPL) che viene quindi definito come:

    SPL * 20 + log p0 , 00002 -

    SPL * 20 + log p . 94

    Analogamente, anche la potenza e lintensit acustica vengono espresse in decibel utilizzando unvalore di riferimento. Il livello di intensit acustica (in inglese intensity level, simbolo IL) definitodalla formula:

    IL * 10 + log IIre f

    Anche in questo caso non necessario scegliere un riferimento standard. Dalla formula si ricavaagevolmente il raddoppiamento dellintensit corrisponde ad un aumento di 10 + log2 * 3 dB.

    La scelta di moltiplicare il logaritmo per un coefficiente 10 dovuta alla semplicit di notazioneche ne consegue: utilizzando come riferimento la minima intensit udibile, la scala in decibel assumevalori da 0 (soglia di udibilit) a 120 (soglia del dolore) e risulta quindi pi pratica della scala in Bel.Si pone in evidenza che il fattore moltiplicativo diverso per la misura di pressione e di intensit erispecchia la relazione di proporzionalit tra lintensit e il quadrato della pressione precedentementeespressa (si ricorda che lelevamento al quadrato nei logaritmi corrisponde alla moltiplicazione per 2).In Tabella 2.3 vengono riportati i valori in dB prodotti da un orchestra a seconda delle indicazioni divolume nella partitura e da diverse sorgenti sonore.

    Indicazione Sorgente sonora Intensit (dB)Silenzio 0Spillo che cade 10Sussurro a 1m 20Sala vuota 30

    ppp Libreria 40pp Interno auto silenziosa 50p Conversazione pacata 60

    mp Traffico 70mf Fabbrica 80f Metropolitana 90ff Discoteca 100fff Concerto rock 110

    Jet in partenza a 500m 120

    Tabella 2.3: Livello di intensit associato alle indicazioni di partitura (prima colonna) e prodotto daalcune sorgenti sonore (seconda colonna)

    Anche se la soglia del dolore intorno a 120 dB, una prolungata esposizione a sorgenti sonoredi elevata intensit pu causare danni permanenti allorecchio. In particolare considerata a rischiolesposizione a 100 dB, mentre le leggi sulla sicurezza obbligano luso di apposite cuffie negli ambientidi lavoro nel caso di prolungata esposizione ad un livello di intensit superiore a 85 dB.

    I valori riportati in Tabella 2.3 vanno presi come puramente indicativi. In particolare le indicazionidi partitura hanno solo una corrispondenza approssimativa con i valori in dB, poich dipendono dallarumorosit della sala, dalla dinamica degli strumenti e dalle diverse scelte esecutive. Inoltre si giaccennato al fatto che il valore dellintensit e della pressione variano con la distanza. Si prendaad esempio una sorgente approssimativamente puntiforme, a cui corrisponde la propagazione di un

  • 2.5. INTENSIT DEL SUONO 2.11

    onda sferica. Dalla definizione di intensit sappiamo che, a parit di potenza della sorgente, questarisulta proporzionale allinverso della superficie attraversata dallonda. La dimensione della superficiesferica S dipende dal raggio r e quindi dalla distanza dalla sorgente, secondo la relazione S / 4pir2.Nel caso si raddoppi la distanza la superficie risulta quadruplicata. Applicando la formula per ilcalcolo del livello di intensit si ottiene una variazione di 0 6 dB. Nel caso la sorgente sia, invece,una colonna di traffico la propagazione non sferica, ma cilindrica: il raddoppiamento della distanzaporta al raddoppiamento della superficie, a cui corrisponde una attenuazione di soli 0 3 dB. E perquesto motivo che il rumore causato dal traffico viene percepito a distanza maggiori che non il rumoredi sorgenti singole (ad esempio macchinari industriali).

    Il livello di intensit acustica dipende evidentemente anche dal numero di sorgenti presenti. Epossibile dimostrare che, nel caso di sorgenti tra loro scorrelate, lincremento massimo del livello diintensit dato dalla somma di due sorgenti di 3 dB e che questo si verifica quando le due sorgentihanno pari intensit. In Figura 2.4 viene illustrato landamento dellincremento del livello di intensitsonora nel caso di due sorgenti scorrelate, in funzione dellintensit di una delle due sorgenti (laltra fissa a 60 dB). Risulta evidente che nel caso di sorgenti con intensit molto diverse, leffetto dellasorgente con maggiore intensit risulta preponderante; ad esempio nel caso di due sorgenti a 60 dB e70 dB la risultante a 70 1 4 dB.

    0 20 40 60 80 100 1200

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    IL di una delle sorgenti (dB)

    Incr

    emen

    to d

    i IL

    (dB)

    Figura 2.4: Incremento del livello di intensit nel caso di due sorgenti, la prima fissa a 60 dB e laseconda variabile da 0 dB a 120 dB

  • 2.12 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    2.6 Psicoacustica: introduzione

    Con il termine musica si fa generalmente riferimento a un complesso di processi che vanno dallagenerazione di pattern sonori fino alla percezione e alla elaborazione del messaggio musicale da partedi un ascoltatore. Il processo di produzione e percezione del suono si pu schematizzare come unacatena di tre sistemi connessi detti sorgente, mezzo e ricevitore, le cui funzioni sono riportate inFigura 2.5.

    Figura 2.5: Le funzioni dei sistemi sorgente, mezzo e ricevitore

    In queste note si analizza il sistema ricevitore, cio come i suoni vengono elaborati ed interpretatidal sistema uditivo e dal cervello.

    2.7 Caratteristiche fisiche del suono e sensazioni uditiveSentiamo un suono quando il timpano dellorecchio viene eccitato da unonda di pressione aventecaratteristiche fisiche ben definite (come intensit o periodicit). La conseguenza per noi una per-cezione del fenomeno costituita da diverse sensazioni che ci permettono di distinguere quel suonorispetto ad altri. Le tre sensazioni primarie che accompagnano lascolto di un suono sono: altezza,intensit e timbro (in inglese, rispettivamente pitch, loudness e timbre). Queste sensazioni sono ilrisultato della elaborazione dellorecchio e del cervello e non sono grandezze misurabili direttamente(sono, invece, misurabili le quantit fisiche del suono che sono principali cause di altezza, intensit etimbro). Per suoni periodici (o quasi periodici), il pitch determinato principalmente dalla frequenzafondamentale (si ricorda che la frequenza fondamentale di un suono il numero di ripetizioni in unsecondo del pattern di vibrazione). Tra i suoni periodici si distinguono i suoni puri, formati cio dauna sola componente sinusoidale. Visto nel dominio della frequenza, un suono puro rappresentatocon una riga in corrispondenza della frequenza della sinusoide. Per un suono composto da pi armo-niche (sinusoidi), la frequenza fondamentale il massimo comun divisore della serie di frequenze checostituiscono lo spettro.

  • 2.7. CARATTERISTICHE FISICHE DEL SUONO E SENSAZIONI UDITIVE 2.13

    Lintensit percepita dipende dal flusso di energia che accompagna la vibrazione. Essa tuttaviadipendente anche da altri fattori quali pitch, durata e presenza di altri suoni.

    Il principale elemento che caratterizza il timbro lo spettro di energia. Come si avr modo divedere, levoluzione temporale dello spettro un elemento fondamentale per il riconoscimento e lacaratterizzazione dei suoni strumentali. Se un suono viene privato del proprio attacco, viene persa,nella gran parte dei casi, la capacit dellascoltatore di riconoscere chiaramente lo strumento acustico.

    Oltre alle sensazioni primarie appena viste, ne esistono altre che rivestono notevole importanzanel processo percettivo. La direzionalit una sensazione legata alla percezione dei suoni, ed legataalla differenza di fase con cui il suono giunge alle orecchie (differenza che dovuta alla direzionedi incidenza del suono). Consonanza e dissonanza sono infine due sensazioni (indotte, legate cio alcondizionamento culturale) provocate dalla sovrapposizione di due o pi suoni e dai battimenti dovutialla sovrapposizione (si parler nel seguito del fenomeno dei battimenti). Il rapporto fra le frequenzee la frequenza di battimento determinano il grado di consonanza e dissonanza percepito.

    I messaggi musicali sono composti da suoni che si avvicendano nel tempo e da pattern ritmici chesi ripetono nel tempo. Il tempo ha dunque un ruolo determinante nella costruzione di elementi essen-ziali del messaggio musicale come la melodia ed il ritmo. Nella Tabella 2.7 si mettono a confronto lesensazioni delludito con le scale dei tempi relative alla loro elaborazione e con lo stadio del processouditivo in cui tali sensazioni sono elaborate.

    SCALA DEITEMPI (s)

    LUOGO DI ELABO-RAZIONE

    SENSAZIONE INFLUENZA(Cultura,Ambiente, Stato)

    6 2 10 3 5 4 6 210 3 2

    orecchio interno altezza, intensit, tim-bro

    debole

    5 0 6 1 collegamento nervosotra orecchio e cortec-cia

    transitori, timbro, di-rezionalit, identifica-zione, discrimanzione

    7 0 6 1 corteccia cerebrale ritmo, messaggio mu-sicale

    emisfero sinistro breve termine (sequen-zializzazione, parlato)

    emisfero destro lungo termine (inte-grazione spaziale (vi-siva) e temporale (udi-tiva))

    forte

    Tabella 2.4: Scala dei tempi e luogo di elaborazione per le sensazioni

    Lindagine quantitativa sulle sensazioni appena viste condotta attraverso misure psicofisichesu soggetti umani. Oggetto delle misure (i cui dati sono trattati solitamente con metodi statistici)sono soglie, soglie differenziali, eguaglianza e scale di valori. Misure di soglia e soglia differenzialemirano a stabilire ad esempio a quale intensit un suono inizia ad essere percepito o qual la minimavariazione di frequenza per cui la sensazione di pitch cambia; misure di uguaglianza servono a stabiliread esempio quando due suoni a frequenza diversa hanno uguale intensit; misure su scale di valorimirano a stabilire ad esempio quando due suoni sono percepiti con altezza o intensit doppia o tripla.

  • 2.14 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    2.8 Lorgano delludito

    Il sistema uditivo umano ha una struttura complessa e svolge funzioni notevolmente avanzate. Nonsolo in grado di elaborare un ampio insieme di stimoli, ma pu identificare precisamente laltezzao il timbro di un suono, o la direzione da cui esso proviene. Molte funzioni del sistema uditivovengono svolte dallorgano che chiamiamo orecchio, ma grande enfasi di recente viene attribuita allaelaborazione che ha luogo nel sistema nervoso centrale. Per semplificarne la descrizione, lorecchio spesso diviso in tre parti principali: orecchio esterno, orecchio medio ed orecchio interno (Figura 2.6).Lorecchio esterno formato dalla pinna esterna e dal canale uditivo (meato). Lorecchio medioinizia con la membrana del timpano, alla quale attaccato il primo dei tre ossicini (chiamati martello,incudine e staffa) che compongono questo stadio. Il compito di questi ultimi quello di amplificare ilmoto del timpano (essi formano un sistema di leve) e di trasferirlo ad unaltra membrana, la finestraovale. Con la finestra ovale inizia lorecchio interno, formato principalmente dalla coclea. La cocleacontiene i meccanismi per trasformare le variazioni di pressione in corrispondenza del timpano inimpulsi nervosi che vengono interpretati dal cervello come suono.

    Figura 2.6: Le funzioni dei sistemi sorgente, mezzo e ricevitore

    Nel dettaglio, vediamo come la coclea ci aiuta a percepire laltezza (pitch) di un suono puro. Que-sto organo costituito da una cavit divisa in due da una membrana (membrana basilare) e contenenteun liquido incomprimibile (perilinfo) che passa da una parte allaltra della membrana attraverso una-pertura (elicotrema). Le vibrazioni trasmesse dallorecchio medio alla finestra ovale si trasmettono alfluido del dotto cocleare, che a sua volta provoca un moto della membrana basilare simile a quello diuna bandiera. Lungo la membrana basilare, circa 30000 recettori nervosi (cellule ciliate) convertonoil moto della membrana in segnali che sono a loro volta trasmessi ai neuroni del nervo acustico. E im-portante sottolineare che, a fronte di un suono puro di una data frequenza, il massimo della ampiezza

  • 2.8. LORGANO DELLUDITO 2.15

    di oscillazione della membrana basilare localizzato in una regione ben delimitata della membrana.La posizione di questa regione dipende dalla frequenza del suono. Per ogni frequenza c dunque unaregione di massima sensibilit della membrana (regione di risonanza). Pi bassa la frequenza e pila regione di risonanza prossima allApex (elicotrema). Lestensione delle frequenza udibili va da 16Hz a 20 kHz.

    Figura 2.7: Posizione della zona di risonanza sulla membrana basilare

    In Figura 2.7 si pu osservare come la posizione x (misurata dalla base, Figura 2.6) della regionedi massima risonanza varia al variare della frequenza f di un suono puro. Dalla figura possibiletrarre alcune considerazioni fondamentali:

    8 Lestensione di frequenze che va approssimativamente da 20 Hz fino a 4000 Hz copre circa idue terzi dellestensione della membrana basilare (dai 12 ai 35 mm dalla base). La rimanenteporzione della scala di frequenze (4000 - 16000 Hz) compressa nel rimanente terzo. Il rangedi frequenze visto corrisponde alle prime 7 ottave musicali, riconosciute come le pi importantiin musica.

    8 A fronte di un raddoppio della frequenza (salto di ottava) dello stimolo sinusoidale la regionedi risonanza subisce uno spostamento costante di 3.5-4 mm, indipendentemente dalla frequenzadi partenza. In altre parole, quando la frequenza f moltiplicata per un dato valore, la posi-zione del massimo di risonanza viene traslata di una certa quantit seguendo una legge di tipologaritmico.

  • 2.16 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    2.8.1 Percezione di altezza dei suoni puri e discriminazione del pitch (jnd di frequen-za)

    Il pitch una sensazione soggettiva. In molte scale musicali si tende a considerare lottava come unitfondamentale: note giudicate essere luna lottava dellaltra hanno frequenze luna il doppio dellaltra,anche se il rapporto di 2:1 non sempre esatto. Tuttavia esiste una discordanza, particolarmente evi-dente al di sopra dei 1000 Hz, fra la frequenza reale del suono puro e laltezza mediamente percepitadallascoltatore (Figura 2.8).

    Figura 2.8: Altezza in frequenza (linea tratteggiata) e giudizio medio (linea continua)

    Allo scopo di avere per il pitch una scala coerente con la curva di percezione dellaltezza, stataintrodotta la scala mel (Figura 2.9). Per definizione, infatti, a 1000 Hz corrispondono 1000 mel (conpressione sonora 60 db sopra la soglia di udibilit a 1000 Hz) e ad ogni ottava i mel si raddoppiano (osi dimezzano). La scala mel una scala psicofisica del pitch.

    La capacit di distinguere tra due stimoli pressoch uguali spesso caratterizzata, negli studipsicofisici, da una misura di minima differenza apprezzabile (just noticeable difference, jnd). Duestimoli sono giudicati uguali se differiscono per meno del jnd. In psicoacustica si incontrano misuredi jnd per molte delle sensazioni uditive. Gli studi sulla percezione del pitch hanno mostrato che iljnd di frequenza dipende, oltre che dal valore di frequenza iniziale dello stimolo, anche dallintensitsonora, dalla durata e dalla velocit di variazione della frequenza (per cambiamenti improvvisi lesoglie si abbassano anche di 30 volte). La Figura 2.10 mostra il jnd medio per suoni puri al variaredella frequenza. Si pu notare che la risoluzione di frequenza (definita come jndfc , con fc frequenzacentrale) massima intorno ai 2000 Hz e raggiunge il suo minimo alle basse frequenze.

    La descrizione del meccanismo di discriminazione delle frequenze (noto come teoria della loca-lizzazione) cerca di spiegare il fenomeno della percezione del pitch attraverso la conversione di unavibrazione temporale in una vibrazione nello spazio ad opera della coclea. Questa teoria spiega alcunifenomeni, ma non fornisce una spiegazione completa del funzionamento della percezione dellaltez-za. Non spiega, ad esempio, perch percepiamo suoni complessi come una sola entit avente unaaltezza ben definita, pur risuonando la membrana basilare in corrispondenza di ogni componente delsuono. N spiega perch percepiamo laltezza corretta anche in suoni complessi nei quali la compo-nente fondamentale sia stata eliminata (fenomeno noto come ricostruzione della fondamentale). Si

  • 2.8. LORGANO DELLUDITO 2.17

    Figura 2.9: Scala mel

    vedr in seguito come alla teoria spaziale ne venga affiancata unaltra, detta teoria temporale o dellaperiodicit, per cercare di spiegare questi fenomeni.

  • 2.18 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    Figura 2.10: Soglia differenziale (jnd) per la frequenza

  • 2.9. SOVRAPPOSIZIONE DI SUONI PURI 2.19

    2.8.2 Pitch e intensit dei suoni puri

    La frequenza dello stimolo sinusoidale risulta essere il parametro fondamentale nella determinazionedella sensazione di altezza. Tuttavia, esso non il solo. Gli esperimenti di Stevens (1937) hannomostrato che al crescere dellintensit dello stimolo da 40 a 90 db, per frequenze al di sopra dei 1000Hz il pitch percepito subisce un incremento, mentre per frequenza al di sotto dei 1000 Hz esso subisceun decremento rispetto allintensit iniziale. Per frequenze intorno ai 1000 Hz, la variazione quasinulla. Questi dati sono riassunti nel diagramma di Stevens e Wolkmann (Figura 2.11).

    Figura 2.11: Diagramma di Stevens e Wolkmann (1937)

    2.9 Sovrapposizione di suoni puri

    In tutti gli esperimenti di cui si trattato fin ora, si fatto implicitamente riferimento a stimoli uditivicomposti da una sola componente sinuoidale. Si vuole vedere adesso quali sono gli effetti prodottidalla sovrapposizione di due suoni puri. Classificheremo gli effetti risultanti in due famiglie: glieffetti del primo ordine e quelli del secondo ordine. Gli effetti del primo ordine sono caratterizzatidallessere elaborati nellorecchio interno (elaborazione meccanica), mentre quelli del secondo ordinesono caratterizzati dallessere elaborati in uno stadio successivo (elaborazione neurale).

    2.9.1 Gli effetti del I ordine

    Effetti del primo ordine emergono quando lo stimolo uditivo costituito da due suoni puri con stessafrequenza e fase, e la frequenza di uno dei due stimoli viene fatta crescere (o decrescere) gradualmente.Sia f1 la frequenza del primo suono e f2 quella del secondo e sia inizialmente f1 9 f2. Finch i duesuoni presentano stessa frequenza e stessa fase iniziale, la membrana basilare presenta una eccitazionein corrispondenza della posizione relativa alla frequenza comune, di ampiezza pari alla somma delleampiezze dei due stimoli. Quando la frequenza di uno dei due stimoli comincia a crescere ( f2 9f1 : f ) e fino a quando f non supera un certo valore fd, lascoltatore percepisce un unico suonoa frequenza f

    9 2 e modulato in ampiezza. Questa modulazione di ampiezza chiamata

  • 2.20 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    battimento del I ordine. La frequenza di battimento del primo ordine pari a f b [email protected] f2 B f1 C . Laspiegazione nella formula della somma di due suoni puri:

    sin1t D sin2t ? [email protected] 1 D 2 C t

    [email protected] 1 B 2 C t

    2(2.1)

    con t ? 2pi f t. Si vede che largomento del seno determina laltezza del suono ( f ? f1 E f22 ? f1 D f2 ),mentre largomento del coseno determina la frequenza di battimento fb ? 2 @ f2 F f12 C ? f2 B f1 ? f(figg. 2.12 e 2.13).

    Figura 2.12: Battimenti del I ordine: frequenza di battimento

    Figura 2.13: Battimenti del I ordine: pitch risultante (1 ? 1f1 G 2 ? 1f2 G ? 1f )

    Allaumentare del modulo di f oltre i 15Hz, la senzazione di battimento scompare, lasciando ilposto a una sensazione sgradevole di ruvidit (roughness). Quando f supera in modulo la grandezza

  • 2.9. SOVRAPPOSIZIONE DI SUONI PURI 2.21

    fD (soglia di discriminazione) i due suoni risultano distinguibili, pur esistendo ancora la sensazionedi ruvidit del suono. Solo quando il modulo di f supera una seconda soglia fCB, la sensazione deidue suoni distinti risulta netta e piacevole. La grandezza 2 fCB chiamata banda critica (Figura 2.14).

    Figura 2.14: Sensazioni uditive al variare della differenza di frequenza

    La Figura 2.15 mostra come la discrimanzione del pitch fD e la banda critica fCB dipendonodalla frequenza centrale. Dalla figura si pu vedere anche come alcuni intervalli musicali siano conso-nanti o dissonanti a seconda della frequenza centrale (semitono, tono e terza minore hanno rapporti difrequenza rispettivamente pari a 16/15, 9/8 e 6/5). Si noti come lintervallo di mezzo tono dissonantesu tutta lestensione delle frequenze, mentre lintervallo di terza minore risulta dissonante solo al disotto dei 600 Hz circa.

    Si pu notare, infine, che fra jnd e bande critiche vale la relazione approssimata: fCB H 30 jnd (2.2)

    Una banda critica corrisponde a circa 1.3 mm di membrana basilare e a circa 1300 ricettori.Tra gli effetti del primo ordine vi poi quello dei suoni di combinazione. Questi sono suoni

    che vengono percepiti anche se non sono originariamente presenti nello stimolo, e sono il risultatodi distorsioni non lineari presenti al passaggio del segnale da orecchio esterno a orecchio interno.Lesperimento descritto in precedenza viene condotto in questo caso aumentando lintensit dei duesuoni e facendo variare la frequenza f2 da f1 a 2 f1. Sia x lo stimolo costituito da due suoni puri esia y il segnale distorto a causa delle nonlinearit del passaggio fra orecchio esterno ed interno. Seesplicitiamo la funzione nonlineare fermandoci al termine del secondo ordine otteniamo le formule:

    xH

    k I sin1t J sin2t K (2.3)

  • 2.22 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    Figura 2.15: Banda critica e discrimazione del pitch al variare della frequenza centrale

    y L a0 M a1x M a2x2 (2.4)x2 L k2 N sin2 1t M sin2 2t M 2sin1t sin2t O

    L k2 12 PN 1 Q cos21t O M N 1 Q cos22t O M cos N 2 Q 1 O t Q cos N 2 M 1 O t R (2.5)

    I suoni di combinazione percepiti avranno frequenza f1 S f2 S f2 Q f1 S f1 M f2 S 2 f1 S 2 f2. Se nellosviluppo in serie di potenze della nonlinearit consideriamo termini superiori a quello del secondoordine, ulteriori suoni di combinazione sono calcolabili. In Figura 2.16 mostrato landamento deisuoni a frequenza fc1 L f2 Q f1, fc2 L 2 f1 Q f2, fc3 L 3 f1 Q 2 f2, al variare di f2 da f1 a 2 f1.

    Gli effetti dovuti alla nonlinearit vengono percepiti anche a fronte dellascolto di un solo suonodi intensit estremamente elevata. In questo caso saranno percepiti suoni a frequenze 2 f1 S 3 f1 S 4 f1, ...(armoniche auricolari).

    2.9.2 Gli effetti del II ordineGli effetti del II ordine sono il risultato dellelaborazione degli stimoli da parte del sistema nervoso. Segli effetti del primo ordine avevano origine gi sulla membrana basilare a causa della sovrapposizionedi due regioni di risonanza, quelli del secondo ordine hanno la caratteristica di non derivare da similicause fisiche. Analisi sperimentali hanno dimostrato che non vi sono tracce di essi nei pattern divibrazione del liquido cocleare e che quindi essi devono avere origine in uno stadio di elaborazionesuccessivo.

    Il fenomeno dei battimenti del secondo ordine consiste nella sensazione di modulazione di am-piezza che si avverte quando lo stimolo composto da due suoni puri che eccitano la membrana

  • 2.9. SOVRAPPOSIZIONE DI SUONI PURI 2.23

    Figura 2.16: Frequenza dei suoni di combinazione fc1, fc2 e fc3 evocati dalla sovrapposizione di duesuoni a frequenza f1 e f2

    basilare in regioni che non si sovrappongono. La frequenza f2 sia posta inizialmente ad un valoref2 T 2 f1. Si pu notare che per diverse differenze di fase iniziale fra le due componenti la formadonda cambia notevolmente (Figura 2.17). Se la differenza di fase si mantiene perfettamente costan-te, tuttavia, lascoltatore non percepir alcuna differenza. Quando la frequenza f2 viene leggermentestonata rispetto allottava ( f2 T 2 f1 U ), la differenza di fase non rimane pi costante. Il sistemauditivo percepisce in queste condizioni battimenti a frequenza fb T . Battimenti del secondo ordinesi ottengono anche stonando leggermente intervalli di quarta ( f2 T 4 V 3 f1) e di quinta (3 V 2 f1), confrequenze di battimento rispettivamente di fb T 3 e fb T 2 Hz. Questo fenomeno mette bene inrisalto come il senso delludito sia insensibile a differenze di fase costanti nel tempo, ma sensibile allavariazione nel tempo dello sfasamento.

    Una importante differenza tra battimenti del primo ordine e battimenti del secondo ordine laseguente: i primi presentano una modulazione di ampiezza senza mutazione della forma donda neltempo; i secondi, al contrario, presentano un cambiamento ciclico del pattern di vibrazione senza chevi sia mutazione nella ampiezza totale.

    Tra gli effetti del II ordine vi ancora quello del rintracciamento della fondamentale (o virtualpitch). Consideriamo in questo caso un suono composto da numerose componenti, esattamente armo-niche, con frequenze f1, 2 f1, 3 f1, ..., n f1. Il pitch percepito naturalmente il massimo comun divisoredella serie di armoniche, cio f1. Se ora viene generato uno stimolo simile al primo, ma da cui sia statatolta la prima armonica con frequenza f1 (o le prime l armoniche), la sensazione di pitch risultantedallascolto risulta uguale a quella del suono originario. Il sistema uditivo ha dunque ricostruito lacomponente mancante. Questa sensazione pi netta se sono presenti le armoniche pi prossime alla

  • 2.24 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    Figura 2.17: Sovrapposizione di due suoni puri con diverso sfasamento costante

    fondamentale (2 f1, 3 f1, 4 f1, ...), meno netta se sono presenti quelle a partire da un numero darmonicasuperiore al quarto.

    Il rintracciamento della fondamentale un fenomeno che si pu osservare anche con stimoli for-mati da due suoni puri. Ad esempio, se la coppia di suoni puri presenta rapporti di frequenze qualif2 WYX 3 Z 2 [ f1 o f2 WYX 4 Z 3 [ f1, il pattern di vibrazione risultante caratterizzato da periodo maggiore.In particolare, a livello neurale viene generata la sensazione di un suono a frequenza f0 WYX 1 Z 2 [ f1 ef0 W

  • 2.10. ELABORAZIONE DELLO STIMOLO UDITIVO NEL SISTEMA NERVOSO 2.25

    Figura 2.18: Ricostruzione della fondamentale (1 \ 1f1 ] 2 \ 1f2 ] 0 \ 1f0 )

    2.10 Elaborazione dello stimolo uditivo nel sistema nervoso

    Gli effetti del secondo ordine mettono in evidenza lincompletezza della teoria della localizzazioneper spiegare molti fenomeni uditivi. La percezione dei battimenti pu essere spiegata se si ipotizzaun sistema di analisi dei pattern temporali della vibrazione. Il meccanismo di ricostruzione dellafondamentale, daltra parte, pu essere spiegato anche con un sistema di analisi dellinformazioneneurale generata dalla particolare configurazione spaziale che leccitazione della membrana basilareassume a fronte di un suono complesso. Al fine di capire meglio le teorie proposte negli ultimi annisul funzionamento del processo uditivo, necessario introdurre alcune nozioni sul funzionamento delsistema nervoso uditivo.

    La prima funzione per il trasferimento dellinformazione localizzata sulla membrana basilare ver-so il sistema nervoso centrale espletata dalle cellule ciliate. Questi ricettori coprono la membranabasilare per tutta la sua estensione e fanno da ponte verso le terminazioni nervose. Essi sono soggettia una sollecitazione meccanica ogni volta che la membrana eccitata nella zona corrispondente eprovocano un impulso elettrico nelle terminazioni nervose ogni volta che tale sollecitazione superauna certa soglia. Le cellule che formano le terminazioni nervose, e che sono lelemento fondamentaledi elaborazione e trasmissione nel sistema nervoso, sono chiamate neuroni (fig 2.19). Nel neuronesi distinguono il corpo, i dentriti e gli assoni. I dentriti ed il corpo della cellula sono i ricettori deisegnali neurali provenienti da altre cellule, mentre attraverso lassone il neurone passa limpulso elet-trico ad altri neuroni nei punti di contatto con essi (sinapsi). I segnali neurali consistono in impulsielettrici (potenziali di azione) dellordine delle decine di millivolt e della durata di pochi millisecondi.Vi sono sinapsi di tipo eccitatorio e di tipo inibitorio. Quando, in un certo intervallo di tempo, unneurone riceve un numero di stimolazioni eccitatorie che supera di un certo valore di soglia il numerodi stimolazioni inibitorie, esso sar indotto a produrre uno stimolo a sua volta. Questo potenziale(eccitatorio o inibitorio a seconda della natura del neurone) verr trasmesso ad altre cellule nervosemediante le sinapsi presenti sullassone del neurone. E importante notare che un neurone emette un

  • 2.26 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    impulso elettrico in funzione della distribuzione temporale e spaziale dei segnali presinaptici.

    Figura 2.19: Neurone

    Possiamo ora descrivere come il sistema nervoso riceve le informazioni dallorgano della coclea.Quando un suono puro provoca il moto in corrispondenza di una zona di risonanza della membranabasilare le cellule ciliate vengono sollecitate e provocano un treno di impulsi elettrici nelle fibre ner-vose ad esse collegate. Avviene che la densit temporale degli impulsi nervosi dipende dalla velocitcon cui la posizione della membrana passa dalla Scala Vestibuli alla Scala Timpani (Figura 2.6).Linibizione della trasmissione si manifesta nel passaggio inverso e attivit minore si osserva in si-tuazione di velocit minima. La Figura 2.20 mostra landamento temporale del treno di impulsiprovovati da unonda periodica a bassa frequenza. Da questa analisi si evince che una fibra nervosadel nervo uditivo capace di trasmettere i seguenti tipi di informazioni: a) posizione della risonanzasulla membrana (ogni fibra nervosa associata a una zona); b) distribuzione temporale degli impulsie dunque periodicit e configurazione della forma donda.

    Possiamo ora chiederci come le informazioni sulla distribuzione temporale degli impulsi nervosipossa venire usata dal sistema nervoso per elaborare un effetto come i battimenti del secondo tipo. Sedue stimoli con frequenze a distanza di un ottava eccitano la coclea, due fibre nervose in corrispon-denza delle due zone di massima risonanza saranno attivate (informazione spaziale, che non spiega lasensazione del battimento). Tuttavia, alla particolare forma donda corrisponde un particolare patternperiodico di impulsi nervosi. La periodicit di tale pattern d informazioni sulla frequenza di ripeti-zione, mentre la particolare conformazione d informazioni sul pattern di vibrazione. La figura 2.21(un esempio di istogramma delle occorrenze di intervalli temporali tra spike un una fibra nervosa) duninformazione statistica legata al pattern di vibrazione. Questo tipo di analisi si ha verosimilmen-te per suoni a bassa frequenza, mentre alle alte frequenze linformazione dovuta al pattern diventaconfusa. Lanalisi dettagliata della distribuzione temporale degli impulsi richiede dunque un ulterioremeccanismo, detto comunemente di autocorrelazione temporale, che mette in rilievo le caratteristicheperiodiche del pattern impulsivo e che sopprime le altre, sulla base della comparazione del treno diimpulsi attuale con treni di impulsi precedenti.

  • 2.10. ELABORAZIONE DELLO STIMOLO UDITIVO NEL SISTEMA NERVOSO 2.27

    Figura 2.20: Treno di impulsi generato da unonda periodica

    Un simile meccanismo di correlazione temporale responsabile della sensazione di spazializza-zione del suono. Allo scopo di stabilire dei ritardi temporali e quindi per elaborare informazioni dilocalizzazione della sorgente sonora, il sistema nervoso si serve della crosscorrelazione fra segnalineurali provenienti dalle due orecchie. Un modello di crosscorrelazione neurale, in cui un neuro-ne attivato solo quando sia eccitato simultaneamente dalle due fibre nervose provenienti dalle dueorecchie, illustrato in figura 2.22.

    I sistemi di analisi temporale e spaziale ora descritti sono modelli a cui si fatto ricorso per spie-gare molti fenomeni percettivi, spesso legati a suoni puri o composti da componenti armoniche. Unulteriore fenomeno uditivo fondamentale quello per cui lascolto di un suono spettralmente riccocon componenti in relazione armonica fra loro produce un percetto unico avente pitch determinatodalla componente fondamentale, anzich dare luogo alla percezione di tanti suoni separati, ognunocon pitch legato alla frequenza della singola componente. Nessuna delle due teorie viste (temporalee spaziale) in realt in grado di fornire una spiegazione esauriente. Per spiegare come sia possibileassegnare ad un complesso spettrale un pitch unico, si fa allora lipotesi di esistenza di un sistemacentrale di elaborazione dellaltezza. Questo sistema agisce ad alto livello riconoscendo che strut-ture sonore di natura armonica riproducono sulla membrana basilare pattern simili per propriet (adesempio, al crescere dellordine della parziale le distanze fra zone di risonanza mantengono una certarelazione definita, si veda figura 2.23). La funzione dellelaboratore di altezza quella di assegnareun pitch unico a eventi di questo tipo. Attraverso criteri di matching con templates di base (sorta didatabase di pattern spaziali), lelaboratore anche in grado di assegnare un pitch a un suono senzafondamentale, elaborando il matching parziale.

  • 2.28 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    Figura 2.21: Istogramma del numero di occorrenze di dato tempo di intercorrenza fra spike successivinel nervo uditivo a fronte di un eccitazione composta da due suoni puri

    Figura 2.22: Modello di individuatore di differenze temporali interaurali

  • 2.10. ELABORAZIONE DELLO STIMOLO UDITIVO NEL SISTEMA NERVOSO 2.29

    Figura 2.23: Pattern spaziale sulla membrana basilare dovuto a un suono armonici

  • 2.30 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    2.11 Misure di intensit acusticaSi visto, quando si sono descritti orecchio medio e orecchio interno, che lampiezza delloscillazionedel timpano dovuta a un suono puro determina lampiezza dello scostamento della membrana basilare.Questa, a sua volta, determina la sensazione di intensit del suono. Lampiezza delloscillazione deltimpano in stretta relazione con i parametri fisici di variazione di pressione p e di flusso di potenzaacustica, o intensit, I. Lorecchio sensibile a un range dinamico estremamente ampio (10 ^ 12 _ 1 W

    m2)

    e limpraticit di una scala lineare ha portato alluso della misura di livello di intensit (o IL), espressoin dB. Vi sono degli evidenti vantaggi legati alluso questa scala: una scala logaritmica offre innan-zitutto una notevole compressione dei valori; una scala relativa, i valori sono riferiti a un valore diriferimento (soglia delludibile); lunit della scala ha un valore che rappresenta approssimativamentela minima variazione percepibile di intensit, definita jnd di intensit. Questo valore funzione dellafrequenza del suono puro, e dellintensit di partenza. Si pu comunque dire che il jnd di intensitassume valori massimi dellordine di 1 ` 5 dB e valori minimi intorno ai 0 ` 3 dB (figura 2.24).

    Figura 2.24: Valori di jnd di intensit per valori diversi di IL e frequenza del suono puro

    Nel paragrafo 2.5.1 stata introdotta una seconda scala logaritmica che definisce il livello di in-tensit acustica in funzione della pressione sonora (SPL). Sperimentalmente si osserva che suoni puricontinui, caratterizzati da stesso SPL ma a frequenze diverse, producono sensazioni diverse di inten-sit. Questo indica che lSPL non una buona misura dellintensit percepita se confrontiamo suonipuri a frequenza diversa. E stato dunque necessario trovare sperimentalmente i valori di eguale in-tensit percepita (curve isofoniche o curves of equal loudness) al variare della frequenza considerandocome riferimento lSPL a 1000 Hz. Il risultato riassunto nel diagramma di figura 2.25, dovuto aFletcher e Munson. Si noti, ad esempio, come un suono puro con SPL di 50 dB a 1000 Hz consi-derato piano mentre appena udibile a 60 Hz. In altre parole, per produrre la stessa sensazione diintensit alle basse frequenze necessaria molta pi energia di quella necessaria per produrre la stessasensazione alla frequenza di riferimento di 1000 Hz. Si pu notare ancora, osservando la curva cherappresenta la soglia delludibile, che la sensibilit dellorecchio diminuisce notevolmente alle bassefrequenze e alle frequenza alte al di sopra dei 6000 Hz.

    In stretta relazione con le curve isofoniche la definizione di Phon (o Loudness Level, LL): il LLdi un suono a frequenza f dato dal SPL di un suono a 1000 Hz che determina la stessa percezionedi intensit. Dire dunque che un suono a 80 Phon vuol dire fornire i valori della curva di isofoniarelativa a 80 SPL per tutte le frequenze. Si noti che la scala dei Phon non ancora una scala sog-gettiva (un raddoppio dei phon non determina un raddoppio dellintensit percepita). Gli studi per ladeterminazione di una scala soggettiva hanno portato alla definizione della scala dei Son (o subjective

  • 2.11. MISURE DI INTENSIT ACUSTICA 2.31

    Figura 2.25: Curve di eguale intensit percepita (Fletcher and Munson, 1933)

    loudness, L). In questa nuova scala la sonorit soggettiva raddoppia ogni 10 Phon. La relazione frascala dei Phon e scala dei Son illustrata in figura 2.26.

    La legge che lega i Son e lintensit del suono ( o la variazione di pressione p) si esprime conla formula approssimata L a C1 3

    b

    I a C2 3c

    p2, dove C1 e C2 sono parametri che dipendono dallafrequenza. E possibile valutare questa relazione anche per suoni composti dalla sovrapposizione dipi componenti sinusoidali. In questo caso importante distinguere i seguenti casi: per suoni le cuifrequenze cascano nella stessa banda critica, lintensit percepita risultante in relazione alla sommadelle intensit individuali: L a C1 3

    b

    I1 d I2 d I3 dfe e e . Quando le frequenze del suono complesso supe-rano i limiti della stessa banda critica, la relazione diventa L a C1 3

    b

    I1 d C2 3b

    I2 d C3 3b

    I3 dge e e . Quando,infine, le componenti sono molto diverse per frequenza e intensit lascoltatore tende a focalizzarelattenzione su una sola componente (quella a frequenza pi elevata o quella a intensit maggiore),attribuendo al suono complesso altezza e intensit di quella singola componente.

    I valori di sonorit soggettiva visti fanno riferimento a suoni puri di durata superiore al mezzosecondo. Questa assunzione necessaria perch, per tempi inferiori, la durata del suono influenza lasonorit soggettiva: pi breve il suono, pi basso risulta il livello percepito se lintensit del suono mantenuta costante. La figura 2.27 illustra la relazione al variare della durata fra leffettiva sonoritsoggettiva (r) e la sonorit soggettiva (L) di un suono stazionario di eguale frequenza e ampiezza.

  • 2.32 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    Figura 2.26: Confronto fra le scale dei Phon e quella dei Son

    Figura 2.27: Influenza della durata sulla sonorit soggettiva

  • 2.12. MASCHERAMENTO DEI SUONI 2.33

    2.12 Mascheramento dei suoni

    Ascoltando un suono composto da due suoni puri, non sempre lascoltatore percepisce le componentidistintamente. Quando, ad esempio, uno dei due suoni caratterizzato da unintensit molto maggioredellaltro, questultimo risulta inudibile o mascherato. Si definisce livello di mascheramento, MLlintensit del suono mascherato alla soglia del mascheramento. In figura 2.28 sono illustrate le curvedi mascheramento per diverse coppie di suoni puri. Si noti come in corrispondenza del punto in cui idue suoni assumono stessa frequenza (o luno frequenza doppia dellaltro), linsorgere di battimentidel primo e del secondo ordine abbassa notevolmente la soglia. In alcuni grafici questo effetto rimosso estrapolando i dati in corrispondenza dei punti critici (curve tratteggiate).

    Figura 2.28: Curve del Livello di Mascheramento per coppie di suoni puri

    Se I1 lintensit del suono mascherante e I2m lintensit del suono mascherato alla soglia delmascheramento, le relazioni seguenti definiscono il valore di jnd per il mascheramento:

    It h I1 i I2m h I1 j 1 iI2mI1k

    h

    I1 j 1 iI2mI0

    I0I1k

    h

    I1 j 1 i 10ML l IL1

    10k

    jndh

    10log ItI1h

    10logj

    1i

    10MLm IL110

    k

    dove It lintensit totale del suono risultante, I0 la soglia di udibilit e ML h 10log I2mI0 il livellodi masheramento.

  • 2.34 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

    2.13 La percezione del timbroLa parola timbro usata per denotare la "qualit" o il "colore" del suono. Il timbro quellattributoche ci permette di giudicare diversi due suoni che abbiano stessa intensit, stessa altezza (e stessadurata). Il timbro determinato in primo luogo dallo spettro di potenza dello stimolo, in secondoluogo dalla forma donda (fase), dall intensit e dalle caratteristiche temporali (durata).

    I principali parametri associati allo spettro di un suono sono laltezza (frequenza fondamentale),lintensit (integrale delle ampiezze delle parziali) e timbro (configurazione spettrale). Studi speri-mentali hanno mostrato che il timbro determinato dalla distribuzione della potenza acustica nellebande critiche, non dai rapporti di intensit delle varie armoniche con la fondamentale. A questo sco-po il range di frequenze udibili stato diviso in 24 bande di circa un terzo di ottava (corrispondenti allebande critiche)(Figura 2.29) ed stato poi misurato il grado di variazione timbrica percepita in funzio-ne del cambiamento di potenza distribuita nelle bande. Un esempio comune di deformazione timbricadovuto a spostamento della potenza nelle bande critiche leffetto prodotto dallaccelerazione di unnastro audio.

    Figura 2.29: Bande critiche

    Il timbro di un suono non tuttavia determinato esclusivamente dalla configurazione statica dellospettro. Qualsiasi suono reale caratterizzato da una continua evoluzione temporale dello spettro.La dinamicit dello spettro particolarmente accentuata nelle fasi di transitorio del suono (attack,decay e release), particolarmente importanti per il riconoscimento timbrico e per lidentificazionedello strumento. La fase sostenuta dei suoni strumentali comunque caratterizzata da variazionispettrali minori che conferiscono naturalezza al suono. La necessit di rappresentare levoluzionetemporale dello spettro di un suono, giustifica luso delle rappresentazione tempo-frequenza-intensit,di cui un esempio dato in figura 2.30.

  • 2.13. LA PERCEZIONE DEL TIMBRO 2.35

    Figura 2.30: Rappresentazione tempo-frequenza di un suono

  • 2.36 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI ACUSTICA E PSICOACUSTICA

  • Bibliografia

    [1] J. G. Roederer, The Physics and Psychophysics of Music, Springer Verlag, 1980.

    [2] J. R. Pierce, La Scienza del Suono, Zanichelli, 1988.

    NOTA: La trattazione degli argomenti relativi alla Psicoacustica costituisce un ampliamento delleoriginarie dispense del corso relative a questo argomento, di cui autore il Prof. G. B. Debiasi.

    2.37