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Graphic Lattices and Matrix Lattices Of Topological Coding · PDF file Graphic group lattices and (directed) Topcode-matrix lattices enable us to build up connections between traditional

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Text of Graphic Lattices and Matrix Lattices Of Topological Coding · PDF file Graphic group lattices...

  • Graphic Lattices and Matrix Lattices Of Topological Coding

    Contents

    1 Introduction and preliminary 1

    1.1 Research background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Cryptosystems resisting classical computers and quantum computers . . . . . . . . . . 1

    1.1.2 Homomorphic encryption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.3 Lattice encryption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.4 Encryption optical chip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.5 Graphs like Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.6 Our works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 An example for graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1 Topological authentication problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.1 Notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.2 Graph operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.3 Particular proper total colorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Graphic lattices 19

    2.1 Linearly independent graphic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2 Graphic lattices subject to a graph operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Graphic lattices subject to the vertex-coinciding operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3.1 Uncolored graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.3.2 Colored graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.4 Graphic lattices subject to the vertex-substituting operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.5 Matching-type graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.5.1 Matchings made by two or more graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5.2 Coloring matchings on a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5.3 Matchings made by graphs and colorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.6 Graphic lattice sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.7 Planar graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.8 Graphic lattices made by graph labellings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.8.1 Graphic lattices on felicitous labellings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.8.2 Graphic lattices on edge-magic and anti-edge-magic total labellings . . . . . . . . . . . 31

    2.8.3 Graphic lattices on (k, d)-edge-magic total labellings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.8.4 Graphic lattices on total graceful labellings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.8.5 Graphic lattices on multiple operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.9 Graph homomorphism lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.10 Graphic lattice homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.11 Dynamic graph lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    i

    ar X

    iv :2

    00 5.

    03 93

    7v 1

    [ cs

    .I T

    ] 8

    M ay

    2 02

    0

  • 2.12 Network lattices made by communities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3 Star-graphic lattices 38

    3.1 Leaf-coinciding and leaf-splitting operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.1.1 Colored leaf-coinciding operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.1.2 Colored leaf-splitting operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.1.3 Ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2 Graceful-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.1 Graceful-difference ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.2.2 Graceful-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3 Edge-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.3.1 Edge-difference ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.3.2 Edge-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.4 Felicitous-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.4.1 Felicitous-difference ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.4.2 Felicitous-difference star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.4.3 Dual felicitous-difference ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.5 Edge-magic star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.5.1 Edge-magic ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.5.2 Edge-magic star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3.5.3 All-dual edge-magic star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3.5.4 Optimal edge-magic ice-flower systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.6 4-ice-flower lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.7 General star-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.8 Star-type H-graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4 Colorings and theorems for graphic lattices 61

    4.1 Isomorphism, graph homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.2 Colorings for graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.3 Connections between colorings/labellings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4.4 Applications of equivalent colorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.4.1 Equivalent coloring-based lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.4.2 Encrypting graphs for topological authentications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.5 (p, s)-gracefully total numbers and (p, s)-gracefully total authentications . . . . . . . . . . . . 76

    4.6 Constructing gracefully graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.7 Constructing weak-gracefully graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5 Graphic group lattices 84

    5.1 Graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5.2 Graphic group lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.3 Networks encrypted by graphic lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.4 Tree-like networks encrypted by graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.5 Graphic groups as linearly independent colored graphic bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    5.6 Graphic sequence groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.7 Matching graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.7.1 Twin graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    ii

  • 5.7.2 Dual-coloring/lacelling graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.7.3 Other matching graphic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.8 Graphic group sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    6 Topcode-matrix lattices, topological coding lattices 96

    6.1 Topcode-matrix lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.1.1 Topcode-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.1.2 Topcode-matrix lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    6.1.3 Text-based strings from Topcode-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6.1.4 Algebraic operation of real-valued Topcode-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.2 Connection between graphic lattices and traditional lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.2.1 Topological coding lattice and tr