Graphes Conceptuels

J.F. Baget Inria

Objectifs

Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes– RdC: langage formel, syntaxe, sémantique,

mécanisme d’inférence– Graphes: syntaxe graphique et mécanismes

d’inférences par opérations de graphes (ici homomorphismes)

Plan

Prélude– Homomorphismes de graphes– Logiques, théorie des modèles

Graphes Conceptuels: syntaxe Graphes Conceptuels: sémantique Graphes Conceptuels: projection

Coloration de graphe

K-coloration:

associer à chaque sommet une des couleurs {1, ..., K} de façon à ce que tous les voisins aient une couleur différente.

Homomorphisme de graphe

Homomorphisme:

associer à chaque sommet de H un sommet de G de façon à ce que si x et y sont deux sommets voisins de H, alors leurs images sont voisines dans G.

H

GExercice: il existe un homomorphisme de H dans G et de G dans H

Coloration et homomorphismes

Propriété: G est K-colorable ssi il existe un homomorphisme de G dans Kn (le graphe complet à n sommets)

D’où le terme de classe de coloration: classe(G) = {H | il existe un homomorphisme de H dans G}

Exercice: quelle est la classe des graphes suivants?

Une propriété utile

Propriété: la composition de deux homomorphismes est un homomorphisme.

Exercice: preuve

Logique (version abstraite)

Logique L = (F, I, M)– F est un ensemble de formules (syntaxe)– I est un ensemble d’interprétations– M F x I

(f, i) M se lit « i est un modèle de f » (la formule f est vraie dans le monde i)

f est conséquence sémantique de f’ (f’ ├ f) si tous les modèles de f’ sont des modèles de f.

(sémantique)

Exemple 1

forme

rectangle

ovale

ovale bleu

ovale vert

bleu

vert

rectangle bleu

rectangle vert

Exercice: voir querectangle vert ├ rectangle

Exemple 2: Logique des propositions

Soit A un ensemble d’atomes SYNTAXE

– a A est une formule (un atome)– si f et f’ sont deux formules, alors (f et f’), (f ou f’), et

(non f) sont des formules.

SEMANTIQUE– Une interprétation est une application de A dans

{Vrai, Faux}– (f, i) M ssi la substitution des atomes a de f par

leur interprétation i(a) a pour valeur Vrai

Mécanismes d’inférences

Soit L = (F, I, M) une logique Soit ► une relation sur F x F La relation ►est dite correcte par rapport à L

ssi f ► f’ f ├ f’. La relation ►est dite complète par rapport à

L ssi f ├ f’ f ► f’.

Exercice: dessiner le graphe de la relation ► (i.e. ├) pour la logique de l’exemple 1.

Preuve de correction et complétude

Pour calculer la conséquence sémantique, on veut être plus efficace que: « pour chaque modèle de f, voir que c’est aussi un modèle de f’ » (en particulier, ce nombre peut être infini)

Donc on exhibe un algorithme pour calculer une relation binaire sur les formules, et on prouve la correction et la complétude de cette relation.

Ici, un schéma de preuve qui sera utilisé pour les graphes conceptuels.

Un schéma de preuve

Soit L = (F, I, M) une logique Soit C un ensemble (ens. de codage), tf: F →

C et ti: I → C Soit ► une relation sur C x C Soient les trois propriétés suivantes:

– (P1) ► est transitive– (P2) (f, i) M ssi ti(i) ► tf(f)

– (P3) qqsoit f F, il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i)

Schéma de preuve (suite)

Théorème: si (P1) et (P2) sont vérifiées, alors ► est correct par rapport à L. Si, de plus, (P3) est vérifié, alors ► est complet par rapport à L.

Démonstration (correction)

1) Supposons f, f’ deux formules et tf(f) ► tf(f’)

2) Si f n’a pas de modèle, alors f ├ f’, sinon soit i un modèle de f.

3) On a ti(i) ► tf(f) (P2)

4) Donc ti(i) ► tf(f’) (P1) 5) Donc i est un modèle de f’

(P2) 6) Donc f ├ f’

tf(f)

tf(f’)

ti(i)

1)

3)

4)

Démonstration (complétude)

1) Supposons f, f’ deux formules et f ├ f’

2) Tous les modèles de f sont des modèles de f’

3) En particulier il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i) (P3)

4) Comme i est aussi un modèle de f’ (2), alors ti(i) ► tf(f’) (P2)

5) Donc tf(f) ► tf(f’) (P1)

tf(f)

tf(f’)

ti(i)

5)

3)

4)

Graphes conceptuels [Sowa,84]

Syntaxe Sémantique Mécanisme d’inférence

Syntaxe (1): Le support

Support S = (TC, TR = (TR1, ..., TR

k), M, conf) TC, TR

1, ..., TRk sont des ensembles

partiellement ordonnés, 2 à 2 disjoints– TC est l’ensemble des types de concepts– TR

i est l’ensemble des types de relations d’arité i. M est l’ensemble des marqueurs individuels conf: M → TC est la relation de conformité.

Exemple de support

animal

chat souris

nourriture

croquettes

All

croquettes de souris

TC

TR3

mange regarde

TR2

apporte

M = {Mickey}

conf(Mickey) = souris

Syntaxe (2): Graphe conceptuel

Graphe conceptuel sur un support S, G = (V, H, , ) avec:– V un ensemble de sommets– H un ensemble d’hyperarcs : H → V+ associe à chaque hyperarc ses

extremités étiquette chaque sommet par un élément de TC

x (M {*} ) (type et marqueur – individuel ou générique); et chaque hyperarc d’arité k par un élément de TR

k. Notons que si un sommet a un marqueur individuel m, alors son type est conf(m).

Exemple

chat: *regarde

souris: Mickey

mange

croquettes: *

apporte

2

1

1

2

12

3

Sémantique (1): interprétation du support

Soit S = (TC, TR = (TR1, ..., TR

k), M, conf) un support

Une interprétation de S est une structure (D, ic, i1, ..., ik, im) où:– D est un ensemble (le domaine)– im: M → D

– ic: TC → 2D

– ij: TRj → 2Dj

Exemple d’interprétation

Mickey

animal

souris chat

nourriturecroquettes

im ic croquettes de souris

D

all

Exemple d’interprétation (suite)

i2(regarde) = {( , ), ( , )}

i2(mange) = {( , )}

i3(apporte) = {( , , )}

Modèle d’un support

Une interprétation (D, ic, i1, ..., ik, im) est un modèle d’un support (TC, TR = (TR

1, ..., TRk),

M, conf) ssi:– t <= t’ i(t) i(t’) (concepts ou relations)– i(m) ic(conf(type(m)))

Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple est un modèle du support.

Modèle d’un graphe conceptuel

Une modèle (D, ic, i1, ..., ik, im) d’un support S est un modèle d’un graphe G = (V, H, , ) ssi il existe : V → D tq:– si v est un sommet individuel de marqueur m, (v)

= im(marqueur(v))

– si v est un sommet, (v) ic(type(v))

– si (h) = (v1, ..., vk), alors ((v1), ..., (vk)) ik(type(h))

Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple est un modèle du graphe conceptuel.

Projection

Soient G et H deux graphes conceptuels sur S. Une projection de H dans G est une application : V(H) → V(G) telle que:– etiq((v)) <= etiq(v) (ordre produit sur ordre de TC

et * plus générique que marqueurs individuels, eux-même 2 à 2 incomparables)

– Pour tout h de H, avec (h) = (v1, ..., vk), il existe h’ dans G avec (h) = ((v1), ..., (vk)) et type(h’) <= type(h)

Exercice: voir que c’est bien une généralisation deHomomorphisme de graphe (d’où NP-complétude).

Exemple: projection

chat: *regarde

souris: *nourriture: *

apporte

2

1

12

3

Exercice: trouver une projection de ce graphe dans l’exemple précédent.

Forme normale

Un graphe conceptuel est dit sous forme normale si deux sommets individuels distincts ont toujours des marqueurs différents.

Un graphe conceptuel G est mis sous sa forme normale nf(G) en fusionnant les sommets individuels ayant même marqueur.

Théorème

H est conséquence sémantique de G si et seulement si il existe une projection de H dans nf(G).

Preuve: on va utiliser le shéma de preuve précédent.– C: graphes et interprétations sont codés par des

graphes– ►: homomorphisme

Transformations tf et ti

C: ensemble de graphes conceptuels tf: c’est l’identité

ti: construire le graphe G(i) de la façon suivante– associer à chaque élément d de D un sommet s(d).

Le type d’un sommet s(d) est la conjonction des types t tels que d ic(t)

Le marqueur d’un sommet s(d) est l’ensemble des marqueurs m tels que im(m) = d.

– pour 1 <= j <= K, pour t TRj, pour chaque (d1, ..., dK)

ij(t), rajouter un hyperarc h avec (h) = (s(d1), ..., s(dK)) et type(h) = t.

Exemple: graphe conceptuel d’une interprétation

chat: *regarde

souris: Mickey

mange

croquettes: *

apporte

2

1

1

2

12

3regarde

1

2