1 GRAEVINSKA AKUSTIKA

1.1 Subjektivne i objektivne karakteristike zvuka

Zvuk je svako mehaniko oscilovanje, frekvencije od 20Hz do 120Hz.

Ljudsko uho je vrlo osetljiv detektor zvuka jer moe da detektuje snagu zvuka reda veliine

W1710 (Sa aspekta energije, osetljivije je od oka!). Uho subjektivno karakterie zvuk.

Subjektivne veliine su:

1. Jaina

2. Visina

3. Boja

Ovima odgovaraju objektive veliine:

4. Intenzitet

5. Frekvencija

6. Spektar.

1.2 Jaina zvuka

Jaina zvuka zavisi od intenziteta zvuka. ovek uje promenu jaine srazmerno relativnoj

promeni intenziteta. Tj. jaina je srazmerna logaritmu intenziteta. Umesto jaine koristimo

veliinu nivo zvuka . Prema prethodno reenom je srazmeran logaritmu intenziteta, i ova

veza je otkrivena eksperimentalno.

I

dId

Dakle, ovek uje jainu zvuka koja je srazmerna logaritmu intenziteta, gde je intenzitet

objektivna karakteristika zvuka koja se moe meriti instrumentom.

Nivo zvuka se meri u decibelima, formula za izraunavanje nivoa zvuka:

dB log10log2000 I

I

p

p

Gde je:

2

12

0 10 mWI - intenzitet zvuka frekvencije 1000 Hz koji predstavlja prag ujnosti.

Pap 280 - amplituda na pritisak za zvuk od 1 kHz na pragu ujnosti.

Na slici je dat dijagram ujnosti:

Sa grafika vidimo da ovek jako loe uje glasove i vrlo visoke frekvencije (recimo iznad 16000

Hz)

Donja linija predstavnja prag ujnosti u funkciji frekvencije a gornja prag bola.

Za vrlo niske frekvencije ove krive su blizu to znai da je potrebna pobuda skoro do bola da bi

taj zvuk uli. Otuda zvune membrane za produkciju niskih frekvencija imaju veliku povrinu.

ovek najosetljivije uje zvuk frekvencije oko 3000 Hz.

1.3 Visina zvuka

Kao i intenzitet, ni frekvenciju ovek ne uje objektivno. Naime, visina tona , kju ovek

procenjuje, je srazmerna logaritmu frekvencije.

Ton je zvuk koji proizvode muziki instrumenti i ljudski glas. ist ton se sastoji od vie

frekvencija koje se dobijaju kao umnoak najnie, tj. osnovne frekvencije tona.

Skup frekvencija zajedno sa njihovim intenzitetima se naziva spektar tona.

ovek procenjuje frekvenciju zvuka preko oseaja visine tona, ali je utvreno merenjem da je

ona subjektivna i to u onom delu u kome se stvara predstava o stepenu poveanja frekvencije.

Naime, mi ujemo porast frekvencije izmeu susednih tonova kao poveanje visine za isti iznos

(za jedan ton ili poluton) a u stvarnosti to poveanje, izraeno u Hz je razliito i raste sa

porastom visine susednih tonova. ovek visine tonova deli prema muzikoj skali na osam nivoa:

od note do do krajnje note do . Tako, ton re smatramo da je duplo vii od tona do kao i za

tonove mi i fa . Meutim iznos za koji treba poveati frekvenciju note do da bi dobili notu re

nije isti kao za sluaj nota mi i fa .

Objektivno, svako udvostruenje frekvencije nekog tona predstavlja novu notu, a opseg

frekvencija izmeu susednih nota se naziva oktava.

Tako nota do ima frekvenciju 31.5 Hz, nota re 63 Hz, mi ima 125 Hz, fa 250 Hz, sol 500

Hz, la 1000 Hz, si 2000 Hz, do 4000 Hz i td. Primeujemo da prirast frekvencije od note do

note nije isti, a ovek taj prirast uje isto, kao jednu visinu vie.

Izraunajmo broj oktava u ujnom opsegu:

Promena visine tona koja odgovara jednoj oktavi: 2loglog2log ffvoktave

Visine koje odgovaraju granicama opsega ujenja: 20log)20(

20000log)20000(

1

2

Hzv

Hzv

31000log20log20000log opsegacujnogv

Broj oktava: 102log

3

oktave

opsegacujnog

v

vn

Dakle, imamo 10 oktava u ujnom opsegu, tj. trebalo bi da imamo 10 nota, meutim instrumenti

obino imaju opseg 7 oktava (najvii i najnii tonovi se ne koriste u muzici).

Oktave se dele na 12 polutonova.

Promena visine jednog polutona: 12 2log12

2log

12

oktavepolutona

vv

12 2loglog donje

gornje

f

f 06.1210 12

log

donjegornje

f

f

Gornja frekvencija polutona je za 6% vea od donje. Taj porast frekvencije za 6% na

muzikoj skali predstavlja jedan poluton.

Akord je meavina dva tona i nema svoju visinu jer frekvencije u spektru nisu ekvidistantne.

1.4 Boja tona

Vezuje se za izgled spektra tona, tanije za obvojnicu (anvelopu). Naime, ako spojimo vrhove

linija u spektru dobiemo obvojnicu. Njen oblik utie na doivljaj boje tona.

obvojnica

Ako dva instrumenta odsviraju isti ton istog intenziteta, dobija se isti raspored frekvencija, ali

intenziteti pojedinih frekvencija nisu isti, to daje razliite obvojnice pa se tonovi razlikuju.

I

ff 2f 3f 4f0 0 0 0 5f0 6f0 7f0

1.5 Vreme reverberacije

Definiemo vreme reverberacije kao interval u kome snaga zvunog polja opadne milion puta.

Izvodimo formulu za vreme reverberacije prostorije u kojoj objekti imaju malu apsorpciju zvuka.

Zvuno polje je zbog toga difuzno i homogeno, to znai da zvuk na neku povrinu pristie iz

svih pravaca i nastao je viestrukim odbijanjem od predmeta.

U prostoriji deluje zvuni izvor srednje snage iP . Kada pone da radi, emituje zvuni energiju

koja raste u prostoriji, ali i nestaje apsorpcijom. Apsorpcija je srazmerna snazi zvuka. Dakle, u

jednom trenutku se uspostavi ravnotea izmeu emisije i apsorpcije. Pod tim uslovima izvodimo

ovu formulu.

Posmatramo jako malu povrinu u okolini koordinatnog poetka i odreujemo ukupnu snagu

zvuka koja pada na nju.

d R

dS=rdRd

rd Rd

x

y

z

r

d

d

R

z

R

d

r Rd

x

Na slici je zamiljena polusfera, sa elementarnim prostornim uglom d koji predstavlja pravac

(levak) du kog pristie zvuk iz prostorije i pada na povrinu S . d iseca na povrini sfere

elementarnu povr dRrdrdRddS .

Iz pretpostavke o homogenosti polja (to znai da je intenzitet polja isti u svakoj taki) proizilazi

sledea proporcija:

d

I

dI

Tj. intenzitet zvuka dI koji pristie du prostornog ugla d se odnose na isti nain kao ukupan

intenzitet i ukupan ugao.

Prostorni ugao se definie kao kolinik povrine sferne kalote i kvadrata sfere.

2R

dSd kalote

def

Poto je prostorni ugao beskonano mali, imamo:

ddR

r

R

dRrd

R

dSd

22

rR sin ,

ddddR

Rd sin

sin , ddd sin

Intenzitet zvuka u fizici se definie kao kolinik zvune snage i povrine normalnog preseka kroz

koji ta snaga struji.

2 mWdef

S

PI

U naem sluaju, snaga je beskonano mala: dPdISn , cosSSn

R

r

d

Rd

z

x

d

R

dS kalote

R

r

d

z

S

Sn

nS je povrina normalna na pravac zvuka.

4

sincoscoscos2

ddSI

dISdISdISPd n

Sada sabiramo intenzitete zvukova koji pristiu na S du oboda levka opisanog sa .const , to je ekvivalentno integraciji prethodnog izraza po od 0 do 2 :

2

0

2 cossin4

ddSI

Pd

2cossin4

dSI

dP

dSI

dP cossin2

- Zvuna snaga koja pristie po omotau levka na S

Ukupna zvuna snaga bie kada prointegralimo po svim levcima to odgovara integraciji po

od 0 do 2

.

4

0sin42

sin

2)(sinsin

2cossin

22

2

2/

0

22/

0

2/

0

SISISId

SId

SIdPP

4

SIP Snaga koja pristie na S iz svih pravaca.

Odredimo izraz za apsorbovanu snagu u prostoriji (apsorpciju vre zidovi i stvari; svaki materijal

ima svoj koeficijent apsorpcije i povrinu S ).

444

IAS

IISPP

A

k

kk

k

kk

k

kka

kP zvuna snaga koja pada na k ti objekat u prostoriji;

kk P apsorbovana snaga k tog objekta;

ASk

kk apsorpcija prostorije

Sada postavimo jednainu bilansa zvune snage u prostoriji:

Snaga izvora je iP , apsorbovana snaga je aP , pa je trenutna snaga zvuka u prostoriji:

.

Dakle imamo:

4

IAP

dt

dEi ................................................................(*)

E energija zvunog polja

dt

dEpromena energije po jedinici vremena

VWE

W gustina energije ][ 3mJ

V zapremina prostorije

E ukupna zvuna energija u prostoriji

dt

dWV

dt

dE ,

c

IW , I intenzitet; c brzina

c

I

dt

dV

dt

dE

dt

dI

c

V

dt

dE

Zamenom u relaciju (*) dobijamo:

IA

Pdt

dI

c

Vi

4

Reimo jednainu po I . Ovo je diferencijalna jednaina prvog reda sa konstantnim

koeficijentima, reavamo je razdvajanjem promenjivih.

dtV

c

AIP

dI

i 44

ttI

I i

dtV

c

AIP

dI

0

)(

044

tV

c

AIP

AIPd

A

tI

I i

i

44

)4(1)(

0

ai PPP

tV

cAIP

A

I

i4

)4ln(1

0

tV

AcPAIP ii

44ln)4ln(

tV

Ac

P

AIP

i

i

44

4ln

tV

Ac

P

AIP

i

i

44

4ln

tV

Ac

P

AIP

ee ii

44

4ln

tV

Ac

i

eIP

A4

41

tV

Ac

i eA

PtI 41

4)( -promena intenziteta zvuka od trenutka ukljuenja 0t .

Posle dovoljno dugo vremena, intenzitet zvuka u prostoriji je:

A

PtII i

t

4)(lim

, ( 0e )

To dugo vreme je deli sekunde jer zvuk brzo putuje, to znai da se vrlo brzo uspostavlja

konstantan intenzitet:

A

PI i

4

Sada nas interesuje kako se menja intenzitet zvuka u prostoriji kada iskljuimo izvor. Neka je u

trenutku 0t : A

PI i

4)0( .

Jednaina bilansa snage glasi: aPP , ( 0iP ).

Dakle imamo:

IA

dt

dI

c

V

4

dtV

cA

I

dI

4

t

I(t)

tiskljucenja

A

Pi4

A

Pi4

tV

cA

e 41

tV

cA

e 4

tI

A

P

dtV

cA

I

dI

i 044

tV

cA

A

PI i

4

4lnln

tV

cA

i eA

PtI 4

4)(

Sada moemo da odredimo vreme reverberacije (odjeka):

TV

cA

i eA

PI4

6

4

10

)0( , T vreme reverberacije

Dakle, kad t bude T , smatraemo da je intenzitet opao na milioniti deo od )0(I .

TV

cA

ii eA

P

A

P46

410

4

TV

cA

410ln6

A

V

cT

10ln24,

s

mc 340

A

VT 165.0

1.6 Prenoenje buke

Posmatramo dve zatvorene prostorije koje deli pregradni zid povrine S iji je koeficijent

transmisije buke T . U prostoriji postoji izvor buke srednje snage iP .

1 2

Pi

P1 P2

S

Interesuje nas buka u prostoriji (2).

Zvuna snaga koja pada na pregradni zid povrine S iznosi:

4

11

SIP ,

1

1

4

A

PI i

1I intenzitet buke u prostoriji (1)

1A apsorpcija prostorije (1)

U drugoj prostoriji se uje samo deo te buke: 12 TPP

2P snaga zvuka koji prelazi u drugu prostoriju kroz zid

iPA

TSP

1

2

Definiemo zvunu izolovanost D kao razliku nivoa buke u prvoj i drugoj prostoriji:

0

2

0

121 log10log10

I

I

I

ID

S

A

T

A

P

A

P

A

P

A

P

I

ID

iATS

ii

2

2

1

2

2

1

2

1 log101

log10log104

4

log10log101

S

ARD 2log10 ,

TR

1log10

R izolaciona mo zida

Buka u prostoriji (2) zavisi od apsorpcije te prostorije i povrine pregradnog zida.

Prema standardima iz akustike zvuna izolacija zidova u stanovima je data na slici:

100 200 400 800 1600 3200

30

40

50

60

70

33

51

56dB

logf (Hz)

R[dB]

500Hz

42

Standard

Izmereno

Pomeren standard

(odstupanje u proseku

treba da bude 2dB)

nas zid ima 42dB

izolacionu moc

Pri eksperimentalnim merenjima izolacione moi zida za zvuke razliitih frekvencija dobija se

tzv. eksperimentalna kriva koja grubo podsea na onu iz standarda. Da bi procenili meru

priguenja zvuka prostorije, kriva iz standarda se pomera translatorno nanie do

eksperimentalne, ali tako da je razlika izmeu njih u proseku dB2 .

Vrednost za R na pomerenoj krivi za standard pri frekvenciji 500 Hz predstavlja meru

izolacione moi zida.

1.7 Koeficijent transmisije zvuka ravnog zida

Posmatramo homogen ravan zid i zvuni talas koji pod pravim uglom pada na njega. Sa leve

strane imamo upadni i reflektovani talas a sa desne proputeni.

Izvodimo formulu za koeficijent tansmisije zvuka T .

i

tdef

P

PT

tP zvuna snaga koja je prola kroz zid

iP zvuna snaga koja pada na zid

1T Ako uvedemo koordinatni sistem, jednaine talasa na slici su:

)sin(),( 1101 xktytxy ii

)sin(),( 11r01r xktytxy

x

d

0

2,c21,c1 1,c1

yr1

yi1yi2

yr2

yt

)sin(),( 2202 xktytxy ii

)sin(),( 22r02r xktytxy

))(sin(),( 10 dxktytxy tt

Da bi pojednostavili matematiku analizu, realne talase predstaviemo u kompleksnom obliku:

tjxjk

i

xktj

ii eeyeyy 11

10

)(

101

tjxjkxktj eeyeyy 11

1r0

)(

1r01r

tjxjk

i

xktj

ii eeyeyy 22

20

)(

202

tjxjkxktj eeyeyy 22

2r0

)(

2r02r

tjdxjk

t

dxktj

tt eeyeyy )(

0

))((

011

Levo od zida, ( 0x ) imamo dva talasa koji ine jedan rezultujui 1y :

tjxjkxjkii eeyeyyyy 11 1r0101r11 , 0x

U zidu ( dx 0 ):

tjxjkxjkii eeyeyyyy 22 2r0202r22 , dx 0

Desno od zida ( dx ):

tjdxjk

tt eeyy)(

01 , dx

Sada imamo granine uslove za povezivanje ovih talasa:

U 0x talasi 1y i 2y su isti:

)0()0( 21 xyxy

2r0201r010 yyyy ii ........................................................................................................... (1)

U dx talasi 2y i ty su isti:

)()(2 dxydxy t

t

djkdjk

i yeyey 02r02022

....................................................................................................... (2)

Sada povezujemo pritiske u 0x i dx ovih talasa:

U 0x (levo od zida):

)0()0( 21 xpxp

nogreflektovapritisak

y

gincidentnopritisak

i

ydx

ydE

dx

ydEp

1r

1

1

11

tjxjkxjkiy eejkyejkyEp 11 )()( 11r011011

tjxjkxjki eeyeyc

jcp

11 1r0101

2

111

tjxjkxjki eeyeycjp 11 1r010111 -pritisak levo od zida u kompleksnom obliku

Analogno, u zidu:

tjxjkxjki eeyeycjp 22 2r020222

Pritisak transmitovanog talasa:

tjdxjk

tt eeycjp )(011

1

Sada u 0x imamo:

2r02011

221r010 yy

c

cyy ii

........................................................................................... (3)

Za dx :

)()(2 dxpdxp t

tdjkdjki ycjeyeycj 0112r02022 22

t

djkdjk

i yc

ceyey 0

22

112r020

22

.......................................................................................... (4)

)3()1( :

2r0

11

2220

11

2210 112 y

c

cy

c

cy ii

)4()2( :

t

djk

i yc

cey 0

22

1120 12

2

2r0

11

2220

11

2210 1

2

11

2

1y

c

cy

c

cy ii

22

11

200

1

2 2

c

c

eyy

djk

it

..................................................................................................................... (*)

djk

it

i ec

c

y

y

c

c

c

c

y

y2

22

11

20

2r0

11

22

11

22

0

10 1114

1

........................................................ (**)

)4()2( :

t

djky

c

cey 0

22

112r0 12

2

djk

t

ec

c

y

y2

22

11

0

2r0 12

1

Kada iskoristimo relaciju (*) imaemo:

djk

djk

i

ec

c

c

c

ey

y2

2

22

11

22

11

20

2r0 12

1

1

2

djk

i

e

c

c

c

c

y

y22

22

11

22

11

20

2r0

1

1

Zamenom ovog odnosa u izraz (**) dobijamo:

djkdjk

t

i ec

ce

c

c

c

c

c

c

c

c

y

y22

22

112

22

11

22

11

11

22

11

22

0

10 1

1

1

114

1

djkdjk

t

i ec

c

c

ce

c

c

c

c

y

y22

22

11

11

22

22

11

11

22

0

10 11114

1

djkdjk

t

i ec

c

c

ce

c

c

c

c

y

y22 1111

4

1

11

22

22

11

11

22

22

11

0

10

djkdjk

t

i ec

c

c

ce

c

c

c

c

y

y22

11

22

22

11

11

22

22

11

0

10 224

1

djkdjkdjkdjk

t

i eec

c

c

cee

y

y2222

11

22

22

11

0

10 24

1

jj

ee

c

c

c

cee

y

ydjkdjkdjkdjk

t

i

22

1

2

2222

11

22

22

11

0

10

2cos

jxjx eex

,

2sin

jxjx eex

Im

2

11

22

22

11

Re

2

0

10 sin2

1cos dk

c

c

c

cjdk

y

y

t

i

Poto u izrazu za koeficijent transmisije figurie odnos realnih amplituda, a ne kompleksnih,

potrebno je iz poslednjeg izraza odrediti taj odnos:

t

i

t

i

t

i

t

i

y

y

y

y

y

y

y

y

0

102

0

102

0

10

0

10 ReIm

dkc

c

c

cdk

y

y

t

i2

2

2

11

22

22

112

2

0

10 sin4

1cos

Dakle, imamo da je koeficijent transmisije:

dkc

c

c

cdk

y

yT

i

t

2

2

2

11

22

22

112

2

2

10

0

sin4

1cos

1

U praktinim primenama imamo da je: 12 dk

2

2c

k

, 2c brzina zvuka u zidu

Za beton ta brzina iznosi s

m3500 .

Ako je zid tanak onda je zaista 12 dk .

Pod tom pretpostavkom imamo:

22

22

2sin dkdk

1cos 22 dk

1122 cc

Pod ovim aproksimacijama koeficijent transmisije postaje:

22

2

2

11

22

4

11

1

dkc

cT

2

11

222

4

11

1

c

dkcT

,

2

2c

k

, szida mS

md 2 ( sm povrinska masa zida)

2

11

2

1

11 2

1

1

2

11

1

c

m

c

mT

ss

2

112

1

1

c

mT

s

Izolaciona mo zida:

112log20

1log10

c

m

TR s

Izolaciona mo zida direktno zavisi od povrinske mase zida.

Masivniji zid ima bolju izolacionu mo.

Na primer:

Zid od cm6 lakog betona povrinske mase 2110 mkg

ima priguenje dB35 .

Gipsana ploa debljine cm10 povrinske mase 2105 mkg

ima priguenje dB36 .

Puna opeka debljine cm5.11 povrinske mase 2270 mkg

ima priguenje dB47 .

Priguenje zvuka za prozore i vrata:

Jednostruka vrata: dB2520 , kao i jednostruki prozor.

Dupla vrata: dB4030 .

Dupli prozori: dB3530 .

log

R[dB]

2 OSVETLJENJE

2.1 Elektrino osvetljenje

Ve smo definisali spektralne zrane veliine, a sada opisujemo svetlosne izvore konanih

dimenzija.

2.1.1 Svetlosni izvor konanih dimenzija

Posmatrajmo svetlosni izvor u vidu tankog diska. Izvor je savreno difuzan, to znai da zrai po

Lamberovom zakonu, tj.: cos)( 0II .

Izvodimo izraz za osvetljenost koju stvara ovakav izvor na osi diska, na rastojanju b od

njegovog centra, u okolini take A koja se nalazi na pomenutoj osi u ravni normalnoj na nju

(slika).

a

A

I(

I(0)

b

osa

diska

r

a

n

d

dr

b

A

dSA

a

r

dr

Najpre izraunavamo osvetljenost koja potie sa beskonano malog dela diska. Za element

povrine uzimamo beskonano tanak prsten, poluprenika r i debljine dr , povrine rdrdS 2. Svetlost se isijava sa male povrine diska.

Po definiciji osvetljenost je kolinik fluksa i povrine na koju pada AdS .

AA

def

dS

ddI

dS

ddE

A

A

A

n

dSR

dSdI

dSR

dSdI

dE22

cos

2

cos

R

dIdE

Sjaj je po definiciji kolinik intenziteta svetlosti koji takasti izvor izrai u beskonano mali

prostorni ugao du pravca koji zaklapa ugao na povr izvora.

cosdS

dIB

def

Ako izrazimo intenzitet svetlosti preko sjaja

B :

2

2cos

R

BdSdE

, cosBdSdI

2

2cos2

R

rdrBdE

cos

bR , tgbr ,

dbbddr

2cos

1)tg(

2

2

2

cos

coscos

1tg2

b

dbbB

dE

dinBdE coss2 - osvetljenost u okolini take A koja potie od svetlosti sa beskonano tankog prstena diska poluprenika r .

Ukupna osvetljenost z taki A bie suma doprinosa svih prstenova od 0r do ar .

Ovih prstenova ima beskonano mnogo jer su beskonano tanki (debljine dr ).

Suma prelazi u integral:

max

0 )(sin

coss2

d

dinBdEE

n

dS

d

izvor

zraenja

maxmax

0

2

02

sin2)(sins2

BdinBE

, max2sin BE ,

2

R

aBE ,

22

2

ba

aBE

2

1

a

b

BE

Za sluaj ab , dobijamo BE , a to je osvetljenost koju daje takasti izvor, pa se u ovim sluajevima za disk moe smatrati da je takasti izvor svetlosti.

2.2 Jaina svetlosti difuznog sfernog izvora

Odredimo koliki intenzitet svetlosti emituje sferni izvor poluprenika r u poluprostor.

Izvor je savreno difuzan (Sjaj u svakoj taki mu je konstantan).

Intenzitet svetlosti koji potie sa povrine Sd 2 je beskonano mali i iznosi:

ddBrSBddI cossincos 22 ,

2

0

2

0

2 cossin

ddBrdII

2

0

2 sinsin2

dBrI , 2

0

22

2

sin2

BrI

d

x

y

z

r

d

d

d2 S=r2sindd

r

0sin

2sin 222

BrI

2BrI

SBI , 2rS , ( S povrina preseka lopte po ekvatoru)

Znai, sferni izvor svetlosti moemo zameniti diskom poluprenika sfere.

2.3 tap konane duine kao svetlosni (homogen) izvor

Posmatramo tap, duine l , kao homogen svetlosni izvor i interesuje nas osvetljenost take A u

vertikalnoj ravni ispod njega (kao na slici):

Polazimo od izraza za osvetljenost takastog svetlosnog izvora duine dx u taki A :

2

cos

r

dIdEA

dI intenzitet svetlosti sa dela tapa duine dx

Poto je tap homogen svetlosni izvor vai proporcija: dx

dI

l

I

dxl

IdI

2

cos

r

dx

l

IdEA

Doprinos svih delia tapa osvetljenosti e biti integral poslednjeg izraza. Integraciju sprovodimo

po uglu , jer se dobija tablini integral (ako bi ili preko x imali bi tei integral za reavanje).

h

dx

n

A

d

l

svetlosni izvor u obliku

tankog stapa intenziteta I

dx

pod lupom:

rd

dxcos=rd

hr cos cos

hr

Za izraavanje dx preko ugla uoimo trougao ija je hipotenuza dx , imamo:

rddx cos

cos

rddx

2cos

hddx

Sada imamo:

d

hl

Id

h

h

l

I

r

dx

l

IdEA

cos

cos

coscos

cos

2

2

2

2

dlh

IdEA cos ,

2

1

cos

dlh

IdEE AA ,

2

1

sin

lh

IEA

12 sinsin lh

IEA

Sa slike imamo:

221sin

lLh

lL

222sin

Lh

L

Konano je:

2222 lLh

lL

Lh

L

lh

IEA

hn

A

l L

x