1

Gottlob Frege

Logikai vizsgálódások

Gottlob Frege

Logikai vizsgálódások

Válogatott tanulmányok

Osiris, 1999

Szerkesztette:

MÁTÉ ANDRÁS

A kommentárokat és a bevezetést írta, a fordítást szakmailag ellenőrizte:

RUZSA IMRE

Fordította:

MÁTÉ ANDRÁS (I – VIII.)

BIMBÓ KATALIN (IX.)

ISBN

© Ruzsa Imre 1980

© Máté András, 1980; Bimbó Katalin, 1988 Hungarian translations

2

TARTALOM

Gottlob Frege

I. Fogalomírás, a tiszta gondolkodás formulanyelve, az aritmetika nyelvének

mintája szerint

II. Függvény és fogalom

III. Fogalom és tárgy

IV. Jelentés és jelölet

V. Az aritmetika alaptörvényei, I. kötet

VI. Az aritmetika alaptörvényei, II. kötet

VII. Logikai vizsgálódások, I. rész: A gondolat

VIII. Logikai vizsgálódások, II. rész: A tagadás

IX. Logikai vizsgálódások, III. rész: Összetett gondolatok

Irodalomjegyzék

Frege szakkifejezéseinek és szimbólumainak fordítása

3

GOTTLOB FREGE

Száz évvel ezelőtt, 1879-ben, vékonyka, mindössze 88 oldal terjedelmű könyv

jelent meg Halléban. Szerzője dr. Gottlob Frege, a jénai egyetem 31 éves

magántanára. A könyvecske címe: Begriffsschrift, eine der arithmetischen

nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, röviden: Begriffsschrift,

magyarul: Fogalomírás. Eltekintve néhány recenziótól, a mű a századfordulóig

teljesen észrevétlen maradt, és semmiféle hatást nem fejtett ki a tudomány

fejlődésére. Pedig ez a könyv a 19. század utolsó harmadának egyik legjelentősebb

szellemi alkotását tartalmazza. Ma már a Begriffsschrift megjelenésének évét

tekintik — és teljes joggal — a modern logika (szimbolikus vagy matematikai

logika) születési évének, a könyv szerzőjét pedig — ugyancsak indokoltan —

korunk Arisztotelészének.

A logika megújításának, egy calculus ratiocinator megalkotásának gondolata

még Leibniztől származik. A gondolat realizálása azonban mintegy két évszázadot

váratott magára. A múlt század derekán az angol George Boole konstruált egy

logikai algebrát, amelyet mások — köztük a német Ernst Schröder —

módosítottak és továbbfejlesztettek. Módszerét és kapacitását tekintve azonban a

Boole–Schröder-algebra összehasonlíthatatlan Frege művével; ez utóbbi teljesen

előzmény nélküli a logikai és a matematikai irodalomban. Lenyűgöző nagyságát

éppen az adja, hogy ennek ellenére szinte tökéletes alkotás, amelynek alapjaihoz

az azóta eltelt száz esztendő semmit nem tett hozzá, legföljebb külsőleg

mutatósabbá és belsőleg komfortosabbá tette az épületet.

Meglepő lehet, hogy ez a fiatal tudós 30 éves korára ilyen nagy jelentőségű

eredményhez jutott. Meglepődésünket csak fokozza az a tény, hogy maga elé

tűzött kutatási programjában egyáltalán nem szerepelt a logika megreformálásának

gondolata. Mint filozofikus hajlamú matematikus, élénken érdeklődött

diszciplínájának „végső alapjai” iránt, és mélységesen elégedetlen volt a korabeli

formalista felfogásokkal. Arra a meggyőződésre jutott, hogy az aritmetika tiszta

logikai tudomány, és céljául tűzte ki ennek szabatos bebizonyítását. E cél felé

haladva észlelte, hogy a tradicionális logika apparátusa teljesen alkalmatlan a

matematikai definíciók és bizonyítások reprodukálására. (Ugyanilyen alkalmatlan

a Boole–Schröder-féle algebra is, amely az állítások finomszerkezeti felbontását

nem teszi lehetővé.) Így a kitűzött feladat arra késztette, hogy olyan logikai

apparátust alkosson, amelynek keretében a matematikai bizonyítások egzaktul

elemezhetők. (Frege azonban kezdettől fogva tisztában volt azzal, hogy logikája

nem speciálisan a matematika logikája, hanem a szabatos gondolkodásé általában.)

Meglepő, hogy ennek a „mellékfeladatnak” a megoldása egy nekifutásra sikerült.

Frege örömmel regisztrálhatta, hogy Fogalomírása magában foglalja a

tradicionális logika minden helytálló eredményét, „tudja” mindazt, amit Schröder

algebrája tud, és ugyanakkor messze túlszárnyalja ezeket.

A Begriffsschrift megírása után Frege folytatja eredeti programját. Miközben

filozófiailag tisztázza a természetes szám fogalmát, észreveszi, hogy a

4

matematikai rekonstrukció megkívánja a fogalomírás, a logikai apparátus

továbbfejlesztését. Ezzel párhuzamosan, a matematikai formalizmussal folytatott

polémiájában kulcskérdésként jelenik meg a jel és a jel mögötti tartalom

kapcsolata. Fölismeri, hogy ez a kapcsolat két komponensre bontható: egyrészt a

jel megjelöl egy tárgyat, ez a denotátuma, másrészt ezt meghatározott módon

jelöli, s ez alkotja a jel értelmét vagy jelentését. Két jel jelölhet egyazon tárgyat

különböző módon, s így megegyezhet denotátumában, de különbözhet értelmében.

Ez az analízis azért fontos, mert bizonyos kontextusokban egy jel (pl. név) nem a

denotátumára, hanem az értelmére referál. Ennek az újabb „mellékproblémának” a

vizsgálatával Frege a logikai szemantika megalapozójává és az általános

szemantika egyik úttörőjévé válik. E témakörbe tartozó eredményei szerves részét

alkotják a mai szemiotikának, a jelek általános tudományának is.

Nem részletezzük itt Frege munkásságának jelentőségét; a méltatást elvégzik a

kötetünkben található eredeti Frege-tanulmányok és a hozzájuk csatlakozó

kommentárok. Elég lesz azt kiemelnünk, hogy Frege tudományos munkásságában

három, egymással szorosan összefonódó komponens mutatható ki:

(1) A modern szimbolikus logika megalapozása.

(2) Úttörő szemantikai vizsgálatok.

(3) A matematika megalapozása és a matematika filozófiája körébe vágó

kutatások.

A kötetünkben szereplő, I…VII sorszámozású tanulmányok közül a logika

megalapozásával főleg az I, II, VI alatti munkák foglalkoznak. Szemantikai

problémák valamennyi tanulmányban szerepelnek, kiemelkedően fontosak e

tekintetben a II, III, IV és a VII, VIII, IX alatti cikkek. A matematika alapjaival

döntően a II, V, VI számú munkák foglalkoznak.

Frege későbbi írásai is meglehetősen rideg fogadtatásra találtak a kortársak

körében. A matematika formalista felfogását bíráló írásait az akkoriban uralkodó

irányzat éppen olyan rosszindulattal támadta és mellőzte, mint Georg Cantor és

Richard Dedekind formalizmusellenes megnyilvánulásait. Logikai nézetei pedig

mélységesen ellenkeztek a logikában akkoriban uralkodó pszichologista

felfogással. Műveinek sikertelenségéhez egy külsődleges ok is hozzájárult: az a

szokatlan szimbólumrendszer, amelyet Frege a Fogalomírásban kialakított. Az I és

a V alatti műveiben gyakran oldalakon keresztül nem fordul elő szó, csak a

hieroglifákhoz hasonló szimbólumok sokasága. Ráadásul Frege formulái

„kétdimenziósak”: amit a mai jelöléstechnika szerint egy sorba írunk, az az ő

írásmódja szerint csaknem mindig „mélységben” is tagolódik, vagyis több sort

foglal el, s az egyes sorok közötti kapcsolatokat függőleges és vízszintes vonalak

reprezentálják. Így pl. azt a sémát, amelyet ma így írunk: „ ~ (A B) (C ~ D)”,

Frege így jelölte:

(1.ábra kliséről. Számozás nem kell.)

Sok támadás érte Fregét — teljesen indokolatlanul — e jelöléstechnika miatt is.

Pedig Frege csupán átvitte a logikára azt az elvet, amelyet a korabeli

matematikában már széltében elismertek és alkalmaztak: azt, hogy a tartalom

egyértelmű és tömör, áttekinthető kifejezésére a mesterséges szimbólumok nyelve

alkalmasabb, mint a köznyelv. (És itt hozzá kell fűznünk, hogy a szimbólumok

5

szabatos használata tekintetében Frege meghaladta legtöbb matematikus kortársát:

ő minden bevezetett jel jelentését pontosan rögzíti.) Ami a jelrendszer

„kétdimenziós” formáját illeti, abban sincs semmi támadható; teljesen „logikus”,

és egyben-másban még szemléletesebb is, mint a ma használatos lineáris írásmód.

(Akikre riasztóan hat, azokra a lineáris elrendezés sem hat kevésbé riasztóan.)

Valójában kizárólag nyomdatechnikai okok szólnak az egydimenziós, lineáris

írásmód előnyben részesítése mellett. .

Bár Frege egy-két évtizeddel előreszaladt kortársaihoz képest, a problémák,

amelyeket vizsgált és megoldott, egyáltalán nem „légből kapottak” voltak, hanem

mélyen gyökereztek a kor logikai és matematikai tényanyagában, vagyis

megoldásra érett problémák voltak. Ezt egyértelműen bizonyítja, hogy Fregéhez

képest némi késéssel ugyan, de tőle teljesen függetlenül, más kutatók is

eredményesen foglalkoztak e problémákkal. Így az amerikaiCharles Sanders

Peirce (akinek ilyen tárgyú írásai akkor nem váltak Európában ismertté) a

szemiotika, az elemi (kvantifikációmentes) logika, és a matematika filozófiája

területén sok helyütt érintkezik Frege eredményeivel. A századforduló éveiben az

olasz Giuseppe Peano az aritmetika megalapozásához ugyancsak kidolgoz egy

„fogalomírást”, amelyben már kvantifikáció is szerepel (persze a Fregeétől eltérő

jelölésrendszerrel). Az aritmetika megalapozása és a számosság általános

fogalmának kidolgozása terén Cantor és Dedekind munkássága is sok pontban

érintkezik Fregeével.

Frege vonalvezetéséhez legközelebb állt Bertrand Russell, aki a századfordulón

ugyancsak a matematika „végső alapjainak” felkutatását tűzte ki célul.

Megismerve és felhasználva Peano munkásságát, hozzálátott az aritmetika logikai

megalapozásához, és lényegében megismételte Frege művét. Csak ezután kerültek

kezébe Frege írásai, amelyekből megtudta, hogy Frege csaknem húsz évvel

megelőzte őt. Alighanem ő volt Frege első olyan olvasója, aki tökéletesen

megértette.

Bár Russell nem titkolta el, hogy (tudtán kívül) Fregét ismételte, a modern

logikát és az aritmetika logikai redukcióját a közvélemény hosszú ideig mégis

Peano, Russell és A. N. Whitehead (Russell munkatársa) alkotásának tartotta. (A

mai jelöléstechnika túlnyomó részben valóban tőlük származik.) Frege számára a

szimbolikus logika kezdeti sikerei sem hozták meg a megérdemelt elismerést. Két

hátráltató körülmény is közrejátszott ebben. Az egyik azoknak a logikai

ellentmondásoknak a fölfedezése, amelyek mind Cantor halmazelméletét, mind az

aritmetika logikai megalapozását összeomlással fenyegették. (Elhárításukra

Russell és Whitehead dolgozták ki az első védelmi kísérletet.) A második tény az

első világháború kitörése.

A két világháború közötti időszakban Frege logikai munkássága, legalább a

szimbolikus logika művelői körében, már kezd ismertebbé válni, és kifejezetten az

ő eredeti rendszerére vonatkozó kutatási eredmények is születnek.

A második világháború után, a logikai szemantika intenzív kibontakozása

nyomán fedezik föl valójában Fregét, mint e diszciplína atyját. Valóságos Frege-

reneszánsz kezdődik. Újra kiadják, továbbá számos idegen nyelvre lefordítják

műveit, folytatják és továbbfejlesztik logikai és szemantikai eszméit. Szépen

6

illusztrálja ezt a következő statisztika a Fregéről szóló (világnyelveken írt)

tanulmányokról:

1920 és 1944 között: 24 cikk.

1945 és 1960 között: 82 cikk.

1961 és 1970 között: 142 cikk és 3 könyv.

A hetvenes évektől , mindenekelőtt Michael Dummett első nevezetes Frege-

monográfiájának megjelenésétől kezdve (ld. az Irodalomjegyzékben, [52]) Frege

életműve egyértelműen az európai filozófiai klasszikus teljesítményei között foglal

helyet ; a vele foglalkozó irodalom úgyszólván áttekinthetetlenné válik.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege 1848. november 11-én született Wismarban.

Szülei ott leányiskolát vezettek. Frege 1869-től 1871-ig Jénában, majd 1873-ig

Göttingenben tanult matematikát, itt is doktorált. 1874-től a jénai egyetem

magántanára, majd 1879-től 1917-ig professzora. Az egyetemen éppoly

elszigeteltségben tanított, mint amilyen visszhang nélkül maradtak írásai is:

munkásságát az egyetem vezetősége „alárendelt jelentőségűnek és az egyetem

számára minden különös előnyt nélkülözőnek” minősítette, és így nem tette

lehetővé, hogy asszisztensek, munkatársak köre csatlakozzék Fregéhez. — 1917-

ben visszavonult, s haláláig Bad Kleinenben élt. 1925. július 26-án halt meg.

Wismarban temették el.

KÖTETÜNK TARTALMÁRÓL

Kötetünk részben a Logika, szemantika, matematika címmel a Gondolat Kiadónál

1980-ban megjelent és azóta elfogyott kötet új kiadása, de kimaradtak belőle Az

aritmetika alapjai ból közölt részletek, mivel ez a mű időközben teljes egészében

megjelent magyarul, viszont kibővítettük a tartalmat Frege Logikai vizsgálódások

című, késői tanulmánysorozatával, melynek magyar fordítása kötetben még nem

jelent meg. Kötetünk anyaga Frege életművének valamennyi szakaszáról

áttekintést nyújt.Az I cikk a pályakezdő és egyúttal a logika történetében új

korszakot nyitó Begriffsschrift (Fogalomírás) első és második fejezetének

fordítása, kiegészítve a kihagyott utolsó fejezet tartalmi ismertetésével. A II, III és

IV cikk három, csaknem egyidőben készült tanulmány teljes fordítása, melyek így,

együttesen lényegében teljes képet adnak Frege középső alkotói korszakában

vallott logikai és szemantikai nézeteiről. Az V és VI cikk Frege fő művéből, Az

aritmetika alaptörvényeiből válogat néhány részletet, melyeket a mű egészének

tartalmi ismertetésével egészítünk ki. A VII, VIII és IX cikk Frege végső

álláspontját fejti ki a logika filozófiai alapjairól. A cikkek sorrendje az eredeti

megjelenés időrendjét követi.

Valamennyi cikket elláttunk kommentárokkal; ezeket az apró betűs szedés

különbözteti meg a Frege-szöveg fordításától. A kommentárokat, az eredeti szöveg

megszakításával, mindig ott helyeztük el, ahol éppen szükségesnek mutatkoztak.

Ezzel az eljárással azt a célt követtük, hogy a mai olvasó számára közvetlenül

érthető szöveget adjunk. Ugyane célból fölcseréltük Frege jelöléstechnikáját a

napjainkban szokásossal, amelyet az olvasók nagyobb része bizonyára ismer. Ez

7

helyenként a szöveghű fordítástól való eltéréseket vont maga után; a fontosabb

eltéréseket a kommentárban jelezzük. — Néhány szavas magyarázatok a

főszövegben is előfordulnak; ezeket szögletes zárójelek közé írva tesszük

fölismerhetővé. A kommentárokhoz számítjuk a kihagyott részek tartalmi

ismertetését is (ezek is apró betűsek).

A kommentárokkal nemcsak a szöveg megértéséhez óhajtunk segítséget

nyújtani, hanem — amennyire az adott keretek között lehetséges — ahhoz is, hogy

az olvasó Frege műveit kapcsolatba tudja hozni a logika, a szemantika és a

matematika filozófiája jelenlegi állásával.

Szerkesztői lábjegyzeteket nem alkalmazunk; a lapalji jegyzetek kivétel nélkül

Frege jegyzetei. Néhány jelentéktelen lábjegyzetet elhagytunk.

A kötet végén Irodalomjegyzék található. Itt adjuk meg először is a kötetünkben

szereplő fordítások eredetijének bibliográfiai adatait, majd Frege csaknem összes

munkáinak jegyzékét, s végül az (akár a főszövegben, akár a kommentárban)

idézett egyéb művek jegyzékét. Az irodalomjegyzék után Frege

„kulcskifejezéseinek” szótára s fogalomírása jelrendszerének a mai jelöléstechnika

szerinti fordítása található.

A hivatkozások során az idézett műveket az Irodalomjegyzékben szereplő,

szögletes zárójelek közé írt sorszámukkal nevezzük meg. A kötetünkben szereplő

művekre a római számos [I]…[IX] kódokkal utalunk, a többi munka arab

sorszámot visel. Frege gyakran hivatkozik saját műveire; ha az idézett mű

fordítása kötetünkben szerepel, akkor a hivatkozásban a kötetbeli (római számos)

kódot tüntetjük föl.

Ruzsa Imre

8

(2. ábra, számozás nélkül, aláírással:)

A Begriffsschrift egy lapja

9

I

FOGALOMÍRÁS

A TISZTA GONDOLKODÁS FORMULANYELVE, AZ ARITMETIKA

NYELVÉNEK MINTÁJA SZERINT

(1879)

ELŐSZÓ

Egy tudományos igazság felismerése rendszerint a bizonyosság több fokán halad

át. Az általános tétel, melyet először talán elégtelen számú egyedi eset alapján

gondoltak ki, fokozatosan megszilárdul oly módon, hogy következtetések révén

más igazságokkal kerül kapcsolatba, akár úgy, hogy olyan következményeket

vezetnek le belőle, amelyeket más módon már igazoltak, akár megfordítva úgy,

hogy már elfogadott tételek következményének bizonyul. Ezért fölvethető egyrészt

az a kérdés, hogy milyen úton lehet fokozatosan eljutni egy tételhez, másrészt az,

hogy milyen módon lehet a tételt végezetül legbiztosabban megalapozni. Az első

kérdést különböző emberek vonatkozásában esetleg különbözőképpen kell

megválaszolni; a második határozottabb, és megválaszolása a tárgyalt tétel benső

lényegével függ össze. A legbiztosabb nyilvánvalóan a tisztán logikai bizonyítási

mód, amely eltekint a dolgok különös természetétől, s így kizárólag azokra a

törvényekre támaszkodik, amelyeken minden megismerés nyugszik. Ezért az olyan

igazságokat, amelyek megalapozást igényelnek, két típusba soroljuk: az egyik

típusban a bizonyítás tisztán logikailag lehetséges, a másikban viszont tapasztalati

tényekre kell támaszkodnia. Előfordulhat azonban, hogy egy tétel az első fajtához

tartozik, ám érzéki tevékenység nélkül mégsem juthat soha emberi szellem a

tudatára.1 Tehát nem a pszichológiai keletkezési mód, hanem a bizonyítás

legtökéletesebb módja szolgál a felosztás alapjául. Amikor azt a kérdést tettem fel

magamnak, hogy az aritmetikai ítéletek melyik típusba tartoznak e kettő közül,

először azt kellett megvizsgálnom, hogy mennyire lehet jutni pusztán

következtetésekkel az aritmetikában, csakis a gondolkodás minden különösség

fölé emelkedett törvényeire támaszkodva. Eljárásom az volt, hogy először

megkíséreltem a sorozaton belüli elrendezettség fogalmát a logikai következtetésre

visszavezetni, hogy innen a számfogalomhoz léphessek tovább. Hogy itt ne

furakodjék be észrevétlenül valami szemléletes, azt teljesen a következtetésláncok

hézagtalanságának kellett biztosítania. Miközben ezt a követelményt a

legszigorúbban kielégíteni igyekeztem, akadályba ütköztem a nyelv

elégtelenségében, amely, a kifejezés minden adódó nehézkessége mellett, annál

1 Mivel a számunkra ismeretes lényeknél nem lehetséges érzéki tevékenység

nélkül szellemi fejlődés, minden ítéletre az utóbbi érvényes.

10

kevésbé engedte elérnem azt a szabatosságot, amelyet célom megkívánt, minél

bonyolultabbá váltak az összefüggések. Ebből a szükségletből keletkezett a jelen

Fogalomírás gondolata. E fogalomírás tehát először is arra szolgál, hogy egy

következtetéslánc helyességét a legbiztosabb módon ellenőrizzük és minden

észrevétlen belopódzó előfeltevést kimutassunk, miáltal az utóbbiak eredetük

szerint megvizsgálhatóakká válnak. Ezért minden olyan dolognak a kifejezésétől

eltekintünk, amelynek a következtetés szempontjából nincs jelentősége. Azt, ami

számomra kizárólag fontos, a 3. §-ban fogalmi tartalomnak nevezem. Ezt a

magyarázatot mindig figyelembe kell vennünk, ha formulanyelvem lényegét

helyesen akarjuk felfogni. Innen adódott a „fogalomírás” elnevezés is. Mivel

először is olyan összefüggések kifejezésére szorítkoztam, amelyek a dolgok

különös tulajdonságaitól függetlenek, használhattam a „tiszta gondolkodás

formulanyelve” kifejezést is. Az aritmetika formulanyelvének mintául vétele,

amire a címben utaltam, inkább az alapgondolatokra vonatkozik, mintsem az

egyes részletekre. Olyan törekvések, hogy a fogalomnak ismertetőjegyei

összegeként való felfogásával teremtsek egy mesterkélt hasonlóságot, éppenséggel

távol álltak tőlem. Legközvetlenebbül a betűk használati módjában érintkezik

formulanyelvem az aritmetikáéval.

Fogalomírásomnak az élet nyelvéhez való viszonyát, úgy vélem, azzal

világíthatom meg legjobban, ha a mikroszkópnak a szemhez való viszonyával

vetem össze. Utóbbi, alkalmazhatóságának terjedelme és azon mozgékonysága

révén, mellyel a legkülönbözőbb körülményekhez alkalmazkodni képes, nagy

fölényben van a mikroszkóppal szemben. Optikai készülékként tekintve persze sok

fogyatékosságot mutat, amelyek csak a szellemi élettel való benső kapcsolata

következtében maradnak rendszerint figyelmen kívül. Amikor azonban

tudományos célok nagy követelményeket támasztanak a megkülönböztetés

élességével szemben, a szem elégtelennek bizonyul. A mikroszkóp viszont ilyen

célokra a legtökéletesebben megfelel, de éppen ezáltal minden másra

hasznavehetetlen.

Hasonlóképpen a jelen fogalomírás is egy meghatározott tudományos célokra

kigondolt segédeszköz, amelyet nem szabad amiatt elítélni, hogy másra nem

alkalmas. Ha ezeknek a céloknak bizonyos mértékben meg is felel, mindazonáltal

hiányolhatók írásomban az új igazságok. Emiatt azzal a tudattal vigasztalhatom

magamat, hogy a módszerek továbbfejlesztése is előmozdítja a tudományt. Nem

tartja-e Bacon is jelentősebbnek egy olyan eszköz fölfedezését, mellyel minden

könnyen megtalálható, mint egyes dolgokét, és nem leli-e az újabb kor összes

nagy tudományos előrehaladása a módszerek javításában eredetét?

Leibniz is felismerte egy célszerű jelölési mód előnyeit, talán túl is becsülte. Az

ő gondolata az egyetemes karakterisztikáról, a calculus philosophicus vagy

ratiocinatorról2 túl hatalmas volt ahhoz, hogy a megvalósítására tett kísérlet

túljuthasson a puszta előkészületeken. A lelkesedés, mely szerzőjét elragadta

annak mérlegelésekor, hogy az emberiség szellemi energiáinak milyen

megsokszorozódása származhatna egy, a dolgok lényegét találó jelölésmódból,

lebecsültette vele a nehézségeket, amelyek egy ilyen vállalkozás előtt

2 Lásd erről Trendelenburg: Historische Beitrage zur Philosophie. 3. Band.

11

tornyosulnak. De ha ez a magasztos cél egy nekiiramodással nem is érhető el, nem

kell kételkednünk a lassú, lépésenkénti megközelítésben. Ha egy feladat teljes

általánosságában megoldhatatlannak tűnik, időlegesen korlátozzuk magunkat; így

talán, fokozatos kiterjesztéssel, sikerülni fog a leküzdése. A leibnizi gondolat

egyes területekre vonatkozó megvalósulását láthatjuk az aritmetikai, geometriai,

kémiai jelekben. Az itt javasolt fogalomírás ezekhez egy újabbat fűz, éspedig a

középpontban állót, amely az összes többit érinti. Innen kiindulva kísérelhető meg

a siker legjobb kilátásaival a meglevő formulanyelvek hézagainak kitöltése,

mindeddig elválasztott területeiknek egyetlen tartománnyá való összekapcsolása,

és a kiterjesztés olyan területekre, ahol eddig az ilyen nyelv hiányzott.

Mindenekelőtt ott várom fogalomírásom eredményes használatát, ahol a

bizonyítás helyességét különösen fontosnak kell tartani, mint a differenciál- és

integrálszámítás megalapozásában.

Még könnyebbnek látszik számomra e formulanyelv hatáskörének kiterjesztése

a geometriára. Mindössze az itt előforduló szemléletes viszonyok számára kell

néhány jelet hozzákapcsolni. Ezen a módon egyfajta analysis situst kapnánk.

Ehhez csatlakozhatna a tiszta mozgástanra, majd a mechanikára és a fizikára

való átmenet. Az utóbbi két területen, ahol a gondolati szükségszerűség mellett a

természeti is érvényesül, a leginkább előrelátható a jelölésmód továbbfejődése a

megismerés előrehaladásával. De ez nem ok arra, hogy addig várjunk, amíg az

ilyen átalakulások lehetősége kizártnak nem tűnik.

Ha a filozófiának feladata, hogy megtörje a szó uralmát az emberi szellem

felett, amennyiben fényt derít azokra a tévedésekre, amelyek a nyelvhasználat

következtében a fogalmak összefüggései tekintetében gyakran csaknem

elkerülhetetlenül keletkeznek, amennyiben a gondolatokat megszabadítja attól,

amivel őket egyedül a nyelvi kifejezőeszközök természete terheli, úgy

fogalomírásom, ezekre a célokra továbbfejlesztve, hasznos eszközzé válhat a

filozófusok számára. Persze, ahogyan ez egy külső ábrázoló eszköz esetén nem is

lehet másként, ez sem adja vissza tisztán a gondolatokat; azonban egyrészt ezek az

eltérések az elkerülhetetlenre és ártalmatlanra korlátozhatók, másrészt már azáltal,

hogy ezek egészen másfélék, mint amilyenek a nyelvre jellemzőek, védelem

adódik ezen kifejezési eszközök egyikének egyoldalú befolyása ellen.

Úgy vélem, hogy a logikát már ezen fogalomírás feltalálása is előmozdította.

Remélem, hogy a logikusok, ha nem riadnak vissza az idegenszerűség első

benyomásától, nem tagadják majd meg egyetértésüket azoktól az újításoktól,

amelyekre engem a tárgyban bennerejlő szükségszerűség késztetett. Ezek az

eltérések a megszokottól abban lelik igazolásukat, hogy a logika mindeddig még

túl szorosan kapcsolódott a nyelvhez és a nyelvtanhoz. Különösen a szubjektum és

a predikátum fogalmának az argumentum, ill. a függvény fogalmával való

helyettesítését vélem maradandónak. Könnyű felismerni, hogy a tartalomnak egy

argumentum függvényeként való felfogása mily fogalomalkotóan hat. Figyelmet

érdemelhet még a

ha, és, nem, vagy, van, némely, minden

szavak jelentése közötti összefüggések kimutatása is.

12

Külön említést érdemel még a következő.

A 6. §-ban bevezetett korlátozást egyetlen következtetésmódra az teszi

indokolttá, hogy egy ilyen fogalomírás megalapozásakor az ősalkotórészeket

olyan egyszerűeknek kell fölvenni, amennyire csak lehetséges, ha

áttekinthetőséget és rendet akarunk biztosítani. Ez nem zárja ki, hogy később, a

rövidség érdekében, közvetlenné tegyünk olyan átmeneteket több ítélettől egy

újhoz, melyek az egyetlen következtetésmód révén csak közvetett úton

lehetségesek. Ez valóban ajánlatos lehet későbbi alkalmazások esetén. Ezáltal

további következtetésmódok keletkeznének.

Utólag vettem észre, hogy a (31) és a (41) formulák összevonhatók az egyetlen

— (~ ~ a = a)

formulába, s ezzel még néhány további egyszerűsítés lehetségessé válik.

Mint az elején megjegyeztem, az aritmetika volt a kiindulópontja annak a

gondolatmenetnek, amely engem a fogalomíráshoz vezetett. Erre a tudományra

szeretném először alkalmazni is, megkísérelvén fogalmainak további elemzését és

tételeinek mélyebb megalapozását. Egyelőre a harmadik részben található egy és

más, amely ebbe az irányba mutat. A jelzett út további követése, a szám, a

mennyiség stb. fogalmának megvilágítása további vizsgálódások tárgyát képezi,

mélyekkel közvetlenül ezen írás után fogok jelentkezni.

Jéna, 1878. december 18-án.

Az előszó végén ígért mű — a Fogalomírásban megkezdett út folytatása — az 1884-ben

megjelent Az aritmetika alapjai c. monográfia ([9], magyarul [51]).

I. A JELÖLÉSEK MAGYARÁZATA

1. §. Az általános mennyiségtanban használatos jelek két típusba sorolhatók. Az

elsőbe tartoznak a betűk, amelyek mindegyike vagy egy határozatlanul hagyott

számot, vagy egy határozatlanul hagyott függvényt képvisel. Ez a határozatlanság

lehetővé teszi, hogy a betűkkel olyan tételek általánosan érvényes voltát juttassuk

kifejezésre, mint

(a+b)c = ac+bc.

A másik típus olyan jeleket foglal magába, mint +, –, , 0,1, 2; ezek

mindegyikének saját jelentése van.

13

A jelek két típusa megkülönböztetésének ezt az alapgondolatát, melyet sajnos a

mennyiségtanban nem visznek tisztán keresztül,3 folytatom tovább, hogy a tiszta

gondolkodás átfogóbb területén általánosan használhatóvá tegyem. Az összes

alkalmazott jelet felosztom tehát egyrészt olyanokra, melyeket különbözőképpen

lehet érteni, másrészt olyanokra, melyeknek teljesen meghatározott értelmük van.

Az elsők a betűk, és ezek rendszerint az általánosság kifejezésére szolgálnak.

Minden határozatlanság mellett is ragaszkodnunk kell azonban ahhoz, hogy ha egy

betűnek egyszer jelentést adunk, akkor jelentését az adott összefüggésben mindig

megtartja.

A szokásos kifejezéseket használva, e §-ban Frege a változók és a konstansok éles elhatárolására

törekszik. A Fogalomírás formulanyelvében a konstansok sohasem betűk, hanem speciális

szimbólumok. A formulanyelv változóiként Frege latin és gót kisbetűket használ; magyarázatukra

a megfelelő helyen visszatérünk. Latin és görög nagybetűket használ a jelen I. részben, alapvetően

azzal a céllal, hogy a formulanyelv konstansainak jelentését és használati módját elmagyarázza.

Ezek a betűk tehát nem tartoznak a formulanyelvhez. A következő § 4. lábjegyzete szerint az

olvasó tetszőleges értelmet tulajdoníthat nekik, bizonyos korlátozásokon belül, amelyek később

következnek.

AZ ÍTÉLET

2. §. Ítéletet mindig a

—

jel segítségével fejezünk ki, mely az ítélet tartalmát megadó jeltől vagy

jelsorozattól balra áll. Ha a vízszintes vonal bal szélén levő kis függőleges vonalat

elhagyjuk, ez az ítéletet puszta képzetkapcsolattá változtatja, melyről leírója nem

nyilvánítja ki, hogy igaznak tekinti-e, vagy sem. Például ha

— A4

azt az ítéletet jelenti, hogy „a különböző nemű mágneses pólusok vonzzák

egymást”, úgy

—A

nem ezt az ítéletet jelenti, hanem pusztán a különböző nemű mágneses pólusok

kölcsönös vonzásának képzetét hivatott az olvasóban felidézni, esetleg azért, hogy

következtetéseket vonjon le belőle és ezzel ellenőrizze a gondolat igazságát.

Ebben az esetben olyan körülírást használunk, mint „az a körülmény, hogy” vagy

„az a mondat, hogy”.

3 Gondoljunk az 1, log, sin, lim jelekre.

4 A latin nagybetűket rövidítésekként használom, melyeknek, ha más

magyarázatot nem adok, az olvasó tetszőleges értelmet tulajdoníthat.

14

Nem minden tartalmat lehet a jele elé helyezett — jellel ítéletté tenni, így pl. a

„ház” képzetét sem. Megkülönböztetünk ezért megítélhető és nem megítélhető

tartalmakat.5

A — jelben a vízszintes vonal a reá következő jeleket egy egésszé foglalja

össze, és erre az egészre vonatkozik az az állítás, amit a vízszintes vonal bal végén

a függőleges kifejez. A vízszintes vonalat tartalomvonalnak, a függőlegest

ítéletvonalnak nevezhetnénk. A tartalomvonal más esetben is arra szolgálhat, hogy

valamilyen jelnek a rákövetkező jelek egészére való vonatkozását fejezze ki. Ami

a tartalomvonalra következik, annak mindig megítélhető tartalommal kell bírnia.

A „megítélhető tartalom” kifejezésére a köznyelvben a kijelentő mondatok szolgálnak. Későbbi

írásaiban (lásd pl. [IV], [VII]) Frege a „megítélhető tartalmat” gondolatnak nevezi. Az iménti

fejtegetésekben lényeges a megítélhető tartalom (a gondolat) és az ítélet megkülönböztetése: az

ítélet a gondolat igazságának felismerése vagy elfogadása. A tradicionális logikában ez az éles

megkülönböztetés hiányzott: hol a gondolati tartalmat, hol a gondolat igazságának elismerését

tekintették ítéletnek. — Napjainkban a megítélhető gondolati tartalmat többnyire állításnak vagy

kijelentésnek nevezik a szimbolikus logikában.

A ‘— ’ jelben a vízszintes vonal (—), amelyet Frege itt tartalomvonalnak nevez, akkor jut

szerephez, ha a megítélendő tartalom jele összetett kifejezés: ekkor a tartalomvonal kapcsolja össze

a részeket egyetlen egésszé (hogy miként, azt később látni fogjuk). Kötetünkben azonban eltérünk

Frege eredeti jelölésmódjától, s ha a megítélendő tartalom jele összetett kifejezés, akkor

zárójelekkel fogjuk össze egyetlen egésszé. Így a vízszintes vonalra mint önálló jelre nem lesz

szükségünk. Ezért a továbbiakban a ‘—’ jelet mint egészet használjuk az ítélés jeleként, s nem

tulajdonítunk külön jelentést a vízszintes résznek. Megjegyezzük, hogy Frege későbbi írásaiban

(lásd [II]) a vízszintes vonal önálló szimbólumként, egy bizonyos függvény jeleként lép föl.

3. §. A szubjektum és a predikátum megkülönböztetésének nincs helye

ítéletábrázolásomban. Ennek igazolásához megjegyzem, hogy két ítélet tartalma

kétféleképpen különbözhet: először úgy, hogy azok a következmények, amelyek

az egyikből bizonyos más ítéletekkel összekapcsolva következnek, folynak a

másikból is ugyanazokkal a más ítéletekkel összekapcsolva; és másodszor úgy,

hogy ez nem áll fenn. Az a két mondat, hogy „Plataénál a görögök legyőzték a

perzsákat” és „Plataénál a perzsák vereséget szenvedtek a görögöktől” az első

módon különbözik. Bár némi különbséget érzünk értelmükben, a megegyezés van

túlsúlyban. A tartalomnak azt a részét, amely mindkettőben ugyanaz, fogalmi

tartalomnak nevezem. Mivel a fogalomírás szempontjából csak ennek van

jelentősége, nem kell különbséget tennünk két olyan mondat között, amelynek

fogalmi tartalma megegyezik. Ha azt mondják, hogy „szubjektum az a fogalom,

amelyről az ítélet szól”, ez éppúgy illik a tárgyra is. Ezért csak azt lehetne

mondani, hogy „szubjektum az a fogalom, amelyről az ítélet főképpen szól”. A

szubjektum szórendbeli helye kitüntetett hely, ahová azt tesszük, amire különösen

rá akarjuk irányítani a hallgató figyelmét. (Lásd a 9. §-t is.) Ennek például olyan

5 Ezzel szemben az a körülmény, hogy házak vannak (vagy hogy van ház), már

megítélhető tartalom (vö. § 12). Utóbbinak azonban a „ház” képzet csak egy része.

A „Priamus háza fából volt” mondatban nem lehet a „ház” helyére „az a

körülmény, hogy ház létezik”-et helyettesíteni.

15

célja lehet, hogy megvilágítsa az ítéletnek más ítéletekkel való összefüggését, és

ezzel megkönnyítse a hallgató számára a teljes összefüggés felfogását. Az olyan

nyelvi jelenségeknek tehát, amelyek csak a beszélő és a hallgató kölcsönhatásából

származnak, amennyiben például a beszélő tekintetbe veszi a hallgató elvárásait és

azokat már a mondat kimondása előtt helyes irányba akarja terelni, formális

nyelvemben nincs megfelelőjük, mert az ítéletekből itt csak az jön számításba, ami

befolyásolja a lehetséges következményeket. Minden, ami egy helyes

következtetéshez szükséges, teljes mértékben kifejezésre jut; ami azonban nem

szükséges, azt többnyire nem is jelezzük; semmit sem hagyunk a találgatásra.

Ebben teljesen a matematikai formulanyelv példáját követem, amelyben

szubjektumot és predikátumot ugyancsak legfeljebb erőszakkal lehet

megkülönböztetni. Elképzelhető olyan nyelv, amelyben az a mondat, hogy

„Arkhimédész életét vesztette Szirakúza bevételekor” a következőképpen

fejezhető ki: „Arkhimédész erőszakos halála Szirakúza bevételekor tény”. Itt

megkülönböztethetünk, ha akarunk, szubjektumot és predikátumot, de a

szubjektum foglalja magában az egész tartalmat, és a predikátumnak csak az a

célja, hogy ezt ítéletté tegye. Az ilyen nyelvben az összes ítélet számára csak

egyetlen predikátum lenne, nevezetesen a „tény”. Látható, hogy itt a szokásos

értelemben vett szubjektumról és predikátumról nem lehet szó. Ilyen nyelv a

fogalomírás, és a — jel az összes ítélet közös predikátuma.

Formulanyelvem első vázlataiban a nyelv példája arra csábított, hogy az

ítéleteket szubjektumból és predikátumból állítsam össze. De hamar

meggyőződtem arról, hogy ez sajátos célomnak hátrányára van, és csak

haszontalan terjengősségekhez vezet.

4. §. A következő megjegyzések az ítéletekre vonatkozó megkülönböztetések

jelentőségét óhajtják céljaink szempontjából megvilágítani.

Megkülönböztetnek általános és különös ítéleteket: ez tulajdonképpen nem az

ítéletek, hanem a tartalmak különbsége. Azt kellene inkább mondani, hogy

„általános tartalmú ítélet”, „különös tartalmú ítélet”. Ezek a tulajdonságok

ugyanis akkor is megilletik a tartalmat, ha nem ítéletként, hanem mondatként

szerepel. (Lásd a 2. §-t.)

Ugyanez érvényes a tagadásra is. Pl. indirekt bizonyításban ezt mondják:

„feltéve, hogy az AB és a CD szakaszok nem egyenlők.” Itt az a tartalom, mely

szerint AB és CD nem egyenlő szakaszok, tagadást foglal magában, de ezt a

tartalmat, bár megítélhető, nem állítják ítéletként. A tagadás tehát a tartalomhoz

tartozik, akár fellép a tartalom ítéletként, akár nem. Ezért tehát célszerűbbnek

tartom a tagadást a megítélhető tartalom jegyének tekinteni.

A kategorikus, hipotetikus és diszjunktív ítéletek megkülönböztetésének,

nézetem szerint, csak nyelvtani jelentősége van.6

Az apodiktikus ítélet abban különbözik az asszertorikustól, hogy benne

kifejezésre jut olyan általánosabb ítéletek fennállása, amelyekből a tétel

levezethető, míg az asszertorikusban hiányzik az ilyen jelzés. Ha egy tételt

szükségszerűnek mondok, úgy jelzem az ítéletem alapját. Mivel azonban ez nem

6 Az indokolás az írás egészéből fog kiderülni.

16

érinti az ítélet fogalmi tartalmát, az apodiktikus ítélet formájának számunkra nincs

jelentősége.

Ha egy tételt lehetségesnek tüntetnek fel, akkor a beszélő vagy tartózkodik az

ítélettől, amennyiben jelzi, hogy nem ismer olyan törvényt, amelyből a tétel

tagadása következne, vagy azt mondja, hogy általánosan tagadni a tételt hamis

lenne. Az utóbbi esetben a szokásos elnevezés szerint részleges állító ítélettel7 van

dolgunk. Példa az első esetre: „Lehetséges, hogy a Föld egyszer összeütközik egy

más égitesttel”; a másodikra pedig: „A meghűlésnek halál lehet a

következménye”.

A 4. §-ban Frege nem utasítja el a tradicionális logikai kategóriákat, csupán megvilágítja, hogy

ezek egy része nem az ítéletekre, hanem tartalmukra vonatkozik. A megfelelő helyeken e

megjegyzésekre még visszatérünk. A modális szavakat (szükségszerű, lehetséges) tartalmazó

állítások tárgyalása kétségtelenül elnagyolt. Mivel a Fogalomírás megalkotásának fő motivációja

az aritmetika logikai alapjainak tisztázása volt, a modális állítások elemzésének problémáját, mint e

szempontból érdektelent, Frege itt félretolhatta. Későbbi írásaiban azonban tárgyal olyan

problémákat, amelyek — egyebek között — a modális logika szempontjából is nagy jelentőségűek.

(Lásd [IV].) Explicit formában azonban sohasem foglalkozott a modalitások problémáival.

A FELTÉTELESSÉG

5. §. Ha A és B megítélhető tartalmakat8 jelentenek, a következő négy eset

lehetséges:

(1) A-t állítjuk és B-t állítjuk;

(2) A-t állítjuk és B-t tagadjuk;

(3) A-t tagadjuk és B-t állítjuk;

(4) A-t tagadjuk és B-t tagadjuk.

— (B A)

azt az ítéletet jelenti, hogy ezek közül a lehetőségek közül a harmadik nem áll fenn,

hanem a többi három közül valamelyik. Ha tehát „(B A)”-t tagadjuk, ez azt

jelenti, hogy a harmadik lehetőség áll fenn, azaz hogy A-t tagadjuk és B-t állítjuk.

Azon esetek közül, amelyekben „(B A)”-t állítjuk, kiemeljük a következőket:

(1) A feltétlenül állítandó. Ekkor B tartalma teljesen közömbös. Jelentse pl. —

A azt, hogy 3 · 7 = 21, B jelentse azt a körülményt, hogy a Nap süt. Most a fenti

négy eset közül csak az első kettő lehetséges. Nem szükséges, hogy a két tartalom

között oksági összefüggés álljon fenn.

(2) B tagadandó. Ekkor A tartalma közömbös. Jelentse pl. B azt a körülményt,

hogy a perpetuum mobile lehetséges, A pedig azt, hogy a világ végtelen. Oksági

kapcsolatnak A és B között nem kell fennállnia.

7 Lásd 12. §.

8 2. §.

17

(3) Felállítható a — (B A) ítélet anélkül is, hogy tudnánk, A és B állítandó-e

vagy tagadandó. Jelentse pl. B azt a körülményt, hogy a Hold első vagy utolsó

negyedben van, A pedig azt, hogy félkörnek látszik. Ebben az esetben — (B A)

a „ha” kötőszó segítségével fordítható: „ha a Hold első vagy utolsó negyedben

van, félkörnek látszik”. De jelölésünk nem fejezi ki azt az oksági kapcsolatot,

amely a „ha” szóban rejlik, habár ilyen ítélet csak oksági alapon állítható föl.

Ugyanis ez a kapcsolat valami általános, ami azonban itt még nem jut kifejezésre.

(Lásd a 12. §-t.)

A ‘’ jelet, amely a két tartalmat összekapcsolja, nevezzük feltételjelnek. Az

ítélet jelétől jobbra eső kifejezést zárójelekkel fogjuk össze egyetlen egésszé, így

az ítélet a kifejezés egész tartalmára vonatkozik.

Frege „— (B A)” helyett a következő jelölést alkalmazza

(3. ábra, számozás nélkül)

Ennek megfelelően az utolsó bekezdés helyett ténylegesen a következő szöveg szerepel: „A két

vízszintes vonalat összekötő függőlegest nevezzük feltételvonalnak. A felső vízszintesnek a

feltételvonaltól balra eső része a

(4. ábra, számozás nélkül)

jelkapcsolat imént megadott jelentésének tartalomvonala; ezen kell minden olyan jelet elhelyezni,

amely a kifejezés egész tartalmára vonatkozik. A vízszintes vonalnak az A és a feltételvonal közötti

része A tartalomvonala. A B-től balra eső vízszintes pedig B tartalomvonala."

Itt már kiviláglik a vízszintes vonal szerepe, melyre a 2. §-hoz fűzött kommentárban utaltunk: az

összetett kifejezés alkatrészeit vonalak kapcsolják össze, s e vonalak rendszerét végül egy

vízszintes vonaldarab köti az ítélés függőleges vonalához. A mai jelölésmódban a tartalom

behatárolását, egységbe foglalását a zárójelek jelzik, s így nincs szükség külön tartalomvonalakra.

Megjegyezzük, hogy ha külön sorban szerepel egy ítélet, akkor a tartalmat behatároló zárójelpár el

is hagyható, a félreértés veszélye nélkül.

Ezek után könnyű felismerni, hogy

— (C (B A))

tagadja azt az esetet, amikor A tagadandó, B és C pedig állítandó. Ezt ugyanúgy

kell gondolatban összeállítanunk (B A)-ból és C-ből, mint (B A)-t B-ből és A-

ból. Ezért tehát először is tagadjuk azt az esetet, amikor (B A)-t tagadják és C-t

állítják. (B A) tagadása azonban azt jelenti, hogy A-t tagadjuk és B-t állítjuk.

Innen adódik a fentebbi megállapítás. Ha oksági kapcsolat áll fenn, így is lehet

mondani: „A szükségszerű következménye B-nek és C-nek”; vagy: „Ha a B és a C

körülmények föllépnek, úgy A is föllép”.

Nem kevésbé fölismerhető, hogy

— ((B A) C)

azt az esetet tagadja, amikor (B A)-t állítják és C-t tagadják. Ha A és B között

18

oksági kapcsolatot tételezünk föl, így fordíthatjuk: „abból, hogy A szükségszerű

következménye B-nek, arra lehet következtetni, hogy C fennáll”.

Az eredeti szövegben a formulát követő sorban „amikor (B A)-t állítják és C-t tagadják” helyett

„amikor B-t állítják, A-t és C-t pedig tagadják” szerepel. Ez nyilvánvaló tévedés; a formula

második magyarázata a helyes. E tévedést először E. Schröder említi a könyvről írott recenziójában

(1880).

Az e §-ban bevezetett „(B A)” kifejezést ma kondicionálisnak mondjuk, melynek előtagja B,

utótagja pedig A. A kondicionálisnak akár az utótagja, akár az előtagja lehet kondicionális; ezt

illusztrálja Frege két példája. A zárójelekkel való takarékoskodás érdekében megállapodunk abban,

hogy a kondicionális utótagjában föllépő kondicionálist nem tesszük zárójelek közé; tehát pl. „(C

(B A))” helyett „(C B A)”-t írunk. Az előtagban föllépő kondicionálist azonban

zárójelekkel határoljuk; így „((B A) C)” eredeti formáját megtartjuk. Ez jó összhangban van

Frege eredeti jelölésével is:

(5. ábra, számozás nélkül)

Bertrand Russell materiális implikációnak nevezte a kondicionálist, s ez az alapjában helytelen

elnevezés ma is eléggé elterjedt. Frege sohasem használta ezt a kifejezést.

E könyvében Frege még nem hivatkozik igazságértékekre, s ezért fogalmazása a kondicionális

jelentésének kifejtésekor kissé nehézkes. Igazságértékekre hivatkozva, tömören így

fogalmazhatunk: „(B A)” hamis állítás, ha B igaz, A pedig hamis állítás; minden más esetben „(B

A)” igaz állítás. Mint látjuk, Frege „igaz” helyett az „állítjuk” vagy „állítandó”, „hamis” helyett a

„tagadjuk” vagy „tagadandó” kifejezéseket használja. Az igazságértékek bevezetésére a [II]

munkában kerül sor.

6. §. Az 5. §-ban adott magyarázatból adódik, hogy a —(B A) és a —B

ítéletekből egy új ítélet, az — A következik. A négy fentebb felsorolt esetből a

harmadik — (B A) következtében, a második és a negyedik pedig — B

következtében kizárt, így tehát csak az első marad fenn. Ezt a következtetést

ilyenféleképpen lehetne felírni:

— (B A), — B

—A.

Ha A és B helyén hosszú kifejezések állnának, ez körülményes lenne, mert

mindegyiket kétszer kellene írni. Ezért a következő rövidítést használom. Minden

olyan ítéletet, amely egy bizonyítás során előfordul, számmal jelölök meg, melyet

ott, ahol ez az ítélet először fordul elő, tőle jobbra helyezek el. Jelölje például (x) a

— (B A) ítéletet, vagy egy olyat, amely ezt különös esetként tartalmazza. Ekkor

a következtetést így írom:

(x) : —B

—A

Itt az olvasóra bízom, hogy —B-ből és —A-ból a —(B A) ítéletet összeállítsa

magának és ellenőrizze, hogy megegyezik-e az említett (x) ítélettel.

Ha például a —B ítéletet (xx) jelöli, ugyanezt a következtetést így is írom:

19

—(B A) :: (xx)

—A

A kettőzött kettőspont itt arra utal, hogy most a fentitől különböző módon kell a

két kürt ítéletből az (xx) segítségével jelzett —B ítéletet képezni.

Ha például még a —C ítéletet (xxx) jelöli, akkor az alábbi kétlépéses

következtetést:

—(C B A) :: (xxx)

—(B A) :: (xx)

—A

még rövidebben így írom:

—(C B A) :: (xxx), (xx)

—A

A logikában Arisztotelész nyomán következtetési módok egész sorát szokták

említeni; én csak ezt az egyet használom — legalábbis minden olyan esetben,

amikor egynél több ítéletből vezetek le egy újat. Ugyanis azt az igazságot, amely

valamely más következtetési módban foglaltatik, ki lehet fejezni ítélettel ilyen

formában: Ha N és M fennáll, akkor A is fennáll, jelekkel: —(N M A).

Ebből, valamint az —N és az —M ítéletekből aztán következik —A, mint

fent. Így lehet visszavezetni a tetszőleges következtetési mód szerinti

következtetéseket a mi esetünkre. Mivel ezek szerint lehetséges egyetlen

következtetési móddal célt érni, az áttekinthetőség azt tanácsolja, hogy így is

járjunk el. Ehhez járul még, hogy különben sem volna semmi ok arra, hogy

megálljunk az arisztotelészi következtetési módoknál, hiszen mindig újabbakat

tehetnénk hozzá a végtelenségig: a 13. §-tól a 22. §-ig a formulákkal kifejezett

ítéletek mindegyikéből megalkotható lenne egy-egy következtetési mód. Az

egyetlen következtetési módra való ezen korlátozódással azonban nem valamilyen

pszichológiai tételt mondunk ki, hanem csupán egy formai kérdést döntünk el a

legnagyobb célszerűségnek megfelelően. Azon ítéletek közül, amelyek az

arisztotelészi következtetési módok helyére lépnek, néhány szerepelni fog a 22. §-

ban az 59, 62, 65 sorszámok alatt.

E §-ban Frege bevezeti azt az egyetlen következtetési módot, amelyre már az Előszóban felhívta a

figyelmet: a leválasztási szabályt (tradicionális elnevezéssel: modus ponens). Emeljük ki, hogy e

szabályt Frege nem pusztán deklarálja, hanem szemantikailag bizonyítja, visszavezetvén

helyességét a kondicionális jelentésére (igazságfeltételére).

A szabály alkalmazásakor a vízszintes vonal fölé írjuk először (balról jobbra haladva) a „—(B

A)” alakú fő premisszát, másodszor a fő premisszában szereplő kondicionális előtagját állító

„—B” ítéletet, végül a vízszintes vonal alá kerül a „—A” konklúzió, a fő premisszában szereplő

kondicionális utótagját állító ítélet. (Ha a két premissza nem fér ki egy sorban, az előbbi sorrendet

az egymás alá írás esetén is tartjuk.) Egy bizonyítás során valamely premissza helyett a hivatkozási

20

száma is szerepelhet (ha azt már korábban bizonyítjuk). Ragaszkodva a fenti sorrendhez, a szabály

alkalmazása során nem keletkezhet félreértés; valójában a kettőspont és a kettőzött kettőspont

alkalmazása fölösleges. (Frege eredeti jelölésmódjában azonban volt funkciója.)

Valójában Frege egyéb következtetési módokat is használ a Fogalomírásban, de ezeket csupán

szabályoknak nevezi. Ugyanis ezek egypremisszás következtetések. E tekintetben Frege követi a

tradicionális logika hagyományát, amely szerint egy következtetésben két premisszának kell

lennie. (A modern logika nem alkalmaz ilyen korlátozást.) A kérdéses szabályokra előfordulásuk

helyén visszatérünk.

A TAGADÁS

7. §. Ha egy megítélhető tartalom jele elé hullámvonalat (~) írunk, ezzel azt a

körülményt fejezzük ki, hogy a tartalom nem áll fenn. Így pl.

—~ A

azt jelenti, hogy „A nem áll fenn”. A hullámvonalat tagadásjelnek nevezem.

Az eredeti Frege-szöveg hű fordítása a következő: „Ha a tartalomvonal alsó részén egy kis

függőleges vonalat helyezünk el, ezzel azt a körülményt fejezzük ki, hogy a tartalom nem áll fenn.

Így pl.

(6. ábra, számozás nélkül)

azt jelenti, hogy „A nem áll fenn”. Ezt a kis függőleges vonalat tagadásvonalnak nevezem. A

vízszintes vonalnak a tagadásvonaltól jobbra levő része A tartalomvonala, a tagadásvonaltól balra

található rész viszont A tagadásának tartalomvonala.” — Összhangban az eddigiekkel, a

tartalomvonalakat tagadásjel föllépése esetén sem jelöljük.

Ítéletvonal nélkül éppúgy nem állítható fel most sem ítélet, mint máskor a

fogalomírásban. „~ A” csak annak a képzetnek a megalkotására szólít föl, hogy A

nem áll fenn, annak kifejezése nélkül, hogy ez az elgondolás igaz-e.

Most néhány olyan esetet tárgyalunk, amelyekben a feltételesség és a tagadás

jelei összekapcsolódnak.

—(B ~ A)

ezt jelenti: „az az eset, amelyben B állítandó és A tagadása tagadandó, nem áll

fenn”; más szavakkal: „az a lehetőség, hogy mindkettőt, A-t és B-t is állítsuk, nem

áll fenn”; vagy: „A és B kizárják egymást”. Tehát csak a következő három eset

marad:

A-t állítjuk és B-t tagadjuk;

A-t tagadjuk és B-t állítjuk;

A-t tagadjuk és B-t tagadjuk.

21

—(~ B A)

ezt jelenti: „Az az eset, amelyben A tagadandó és B tagadása állítandó, nem áll

fenn”; avagy: „nem lehet együtt A-t is, B-t is tagadni”. Csak a következő

lehetőségek maradnak fenn:

A-t állítjuk és B-t állítjuk;

A-t állítjuk és B-t tagadjuk;

A-t tagadjuk és B-t állítjuk.

A és B együttesen kitöltik az összes lehetőséget. A „vagy” és „vagy-vagy”

kifejezések kétféle módon használatosak:

„A vagy B”

első jelentése ugyanaz, mint amit (~ B A) jelent, tehát az, hogy semmi nem

gondolható el A-n és B-n kívül. Pl.: ha egy gáztömeg fölmelegszik, megnövekszik

a térfogata vagy a nyomása. A második esetben azonban az

„A vagy B”

kijelentés egyesíti (B ~ A) és (~ B A) jelentését, azaz hogy először is A-n és B-

n kívül nem lehetséges harmadik, másodszor pedig A és B kizárják egymást. A

négy lehetőség közül ez esetben a következő kettő marad fenn:

A-t tagadjuk és B-t állítjuk;

A-t állítjuk és B-t tagadjuk.

Az „A vagy B” kifejezés két használati módja közül az előbbi, amely nem zárja ki

A és B együttes fennállását, a fontosabbik, és a „vagy” szót mi ebben a jelentésben

fogjuk használni. Talán alkalmas dolog a „vagy” és a „vagy-vagy” jelentése között

azt a megkülönböztetést tenni, hogy csak az utóbbi tartalmazza mellékjelentésként

a kölcsönös kizárást. Ez esetben (~ B A) mint „A vagy B” fordítható.

Hasonlóképpen, (~ C ~ B A) jelentése: „A vagy B vagy C”.

—~ (B ~ A) azt jelenti, hogy „tagadjuk (B ~ A)-t”, vagyis „fellép az az

eset, amelyben A is, B is állítandó”. Az a három lehetőség, amely (B ~ A) esetén

fennáll, most tehát kizárt. Ezek szerint —~ (B ~ A) így fordítható: „A is, B is

tény”. Könnyen látható az is, hogy ~ (C B ~ A) mint „A és B és C” adható

vissza. Ha „vagy A, vagy B”-t a kizárással, mint mellékjelentéssel együtt akarjuk

ábrázolni, úgy „(B ~ A) és (~ B A)” az, amit ki kell fejezni. A megoldás:

~ ((~ B A) ~ (B ~ A)) vagy ~ ((B ~ A) ~ (~ B A)).

Itt az „és”-t a feltételesség és a tagadás jelének segítségével fejeztük ki, de

tehetnénk fordítva is: a feltételességet is lehet az „és” valamilyen jelével és a

22

tagadás jelével ábrázolni. Be lehetne vezetni például „C & D”-t C és D együttes

tartalmának jelölésére, és akkor „(B A)”-t a „~ (B & ~ A)” kifejezés adná vissza.

A másik utat választottam, mert úgy tűnt számomra, hogy a következtetés így

egyszerűbben fejezhető ki. Az „és” és „de” közötti különbség olyan jellegű, hogy

ebben a fogalomírásban ez nem fejeződik ki. A beszélő „de”-t használ, ha azt

akarja jelezni, hogy ami következik, eltér attól, amit sejteni lehetne.

—~ (B A)

ezt jelenti: „a négy lehetőség közül a harmadik lép fel, nevezetesen az, hogy A

tagadandó és B állítandó”. Tehát így fordítható:

„B fennáll és (de) A nem”.

Ugyanígy lehet a —~ (~ A ~ B) jelkapcsolatot lefordítani.

—~ (~ A B)

ezt jelenti: „az az eset lép fel, amikor A-t is, B-t is tagadjuk”. Tehát így fordítható:

„sem A, sem B nem tény”.

A „vagy”, „és”, „sem-sem” szavak, magától értetődően, itt csak annyiban

jönnek számításba, amennyiben megítélhető tartalmakat kötnek össze.

Ebben a §-ban Frege bevezeti a negáció (tagadás) műveletét, továbbá elemzi a kondicionális és a

negáció egyszerűbb kombinációit. Mint a kondicionális bevezetésekor, itt is igazságfeltételekkel

definiálja „~ A” jelentését, nem pedig nyelvi kifejezési forma segítségével (noha explicite nem

hivatkozik igazságértékekre).

A negáció és a kondicionális felsorolt kombinációi, a mai logikai jelölésekkel, így fejezhetők ki:

(a) (~ B A) mint (A B) (olv.: „A vagy B”), alternáció; annak kifejezésére, hogy A, B egyike,

esetleg mindkettő, igaz.

(b) (B ~ A) mint (~ A ~ B).

(c) ~ (B ~ A) mint (A & B) (olv.: „A és B”), konjunkció.

(d) ~ ((~ B A) ~ (B ~ A)) mint (A B) (olv.: „vagy A, vagy B”), diszjunkció, a ‘vagy’

kizáró értelmének kifejezésére.

(e) ~ (B A) mint (B & ~ A).

(f) ~ (~ A B) mint (A B) (olv.: „sem A, sem B”). Kifejezhető (~ A & ~ B) alakban is.

Összefüggések: (a) negációja (f), (b) negációja (c). Megjegyezzük, hogy (d) negációja annak,

amit „A akkor, de csak akkor, ha B” nyelvi formában szokás kifejezni; ezt „(A B)”-vel jelöljük,

és bikondicionálisnak mondjuk, mert „((A B) & (B A))” alakban is kifejezhető. A konjunkció,

az alternáció, a diszjunkció és a bikondicionális kommutatív formák: bennük a tagok sorrendje

fölcserélhető (a tartalom és az igazságérték megváltozása nélkül). A kondicionális viszont nem

kommutatív: „(A B)” és „(B A)” egyike lehet igaz, miközben a másik hamis.

23

Frege mesterien mutatja ki, hogy bizonyos logikai kötőszavak (és, vagy stb.) hogyan fejezhetők

ki a két alapjel (, ~) segítségével. Persze, a két alapjelre szorítkozás egyes esetekben nehezíti az

áttekinthetőséget. Ezért a logika alkalmazásai során napjainkban rendszeresen használjuk (a két

alapjel mellett) az & , , szimbólumokat is. Egyébként ma már azt is tudjuk, hogy az említett két

alapjel (, ~) egyre redukálható: az (f) alatti ‘’ segítségével ugyanis mindkettő kifejezhető.

Továbbá: Nevezzük igazságfüggvényeknek állítások („megítélhető tartalmak”) minden olyan

összekapcsolását, amelyekben az összetétel igazságértékét (igaz vagy hamis voltát) egyértelműen

meghatározza a komponensek igazságértéke. Kimutatták, hogy minden igazságfüggvény

kifejezhető a negáció és a kondicionális (vagy akár az egyetlen ‘’) segítségével. E két művelet ún.

bázist alkot az igazságfüggvények számára.

Ugyanilyen alkalmas bázis persze a negáció-konjunkció pár is. A logikai nyelv és a természetes

nyelvek közötti kapcsolat szempontjából szemléletesebb lenne az ‘&’ választása a ‘’ helyett,

hiszen „(A & B)” meglehetősen egyértelműen fordítható mint „A és B” (míg „(A B)”-hez ilyen

egyértelmű és tömör fordítás nem adható.) Frege a következtetés egyszerűbb kifejezési

lehetőségével indokolja a ‘’ választását. Ez a motiváció helyes. Ha a ‘’ helyett az ‘&’-re

építenénk a logikát, a leválasztási szabály helyett a következő, kevésbé átlátszó szabályt kellene

fölvenni:

—~ (A & B), —A

—~ B

Ezen kívül megszűnne az egyéb lehetséges következtetési módok ítéletté való átalakításának az

az egyszerű formája, amelyet a 6. § utolsó bekezdésében említ Frege. További érveket nem

sorolva, a logikai elmélet fölépítése kevésbé egyszerű és elegáns lenne az ‘&’-re, mint a ‘’-ra

alapozva.

Terminológiai és jelöléstechnikai megjegyzések. Már említettük, hogy a kondicionálist gyakran

(materiális) implikációnak mondják, ugyanígy a bikondicionálist (materiális) ekvivalenciának is

nevezik. Amit (a) alatt alternációnak neveztünk, azt egyesek (helytelenül) diszjunkciónak mondják,

s a (d) alatti műveletet erős vagy szigorú diszjunkciónak nevezik. A ~, &, , szimbólumok

helyett rendre a , , , jeleket is használják. — A logikai műveletek, kapcsolatok stb.

megnevezésére többnyire latin eredetű szavakat használunk. Ezt indokolhatnánk azzal is, hogy a

modern logikában szinte világszerte ezt a gyakorlatot követik. Ténylegesen azonban azzal

indokoljuk, hogy a latin eredetű elnevezések magyar fordítása — különösen a kezdő számára — a

köznyelvi jelentés félrevezető asszociációi révén inkább nehezítené, mintsem könnyítené a szó

egzakt szakmai jelentésének megértését. Ezért mondunk pl. kondicionálist feltételes állítás helyett.

(A Frege-szöveg fordításában azonban a negáció és a kondicionális elnevezését

kivéveragaszkodtunk ahhoz, hogy a szerző német kifejezéseit magyar kifejezésekkel adjuk vissza.)

A TARTALOMAZONOSSÁG

8. §. A tartalomazonosság annyiban különbözik a feltételességtől és a

tagadástól, hogy nem tartalmakra, hanem nevekre vonatkozik. Egyéb esetekben a

jelek csupán tartalmuk képviselői, úgyhogy minden kapcsolat, amelybe valamivel

lépnek, csak tartalmuk valamilyen vonatkozását fejezi ki. Ha viszont a

tartalomazonosság jelével kötjük össze a jeleket, rögtön saját maguk lépnek

előtérbe; ugyanis ezzel azt a tényt fogjuk jelölni, hogy két névnek ugyanaz a

tartalma. Így tehát a tartalomazonosság jelének bevezetésével kettősség adódik

minden jel jelentésében, amennyiben azok hol tartalmukat, hol saját magukat

24

jelentik. Ez először azt a látszatot kelti, mintha itt olyasvalamiről lenne szó, ami

csak a kifejezéshez, nem pedig a gondolathoz tartozik, és hogy ugyanazon

tartalomhoz nincs is szükség különböző jelekre, s így a tartalomazonosság jele is

fölösleges. Hogy ennek a látszatnak a semmisségét megvilágítsam, a következő

geometriai példát választom: Feküdjék a rögzített A pont egy körvonalon, és

forogjon körülötte egy sugár. Amikor az utóbbi átmérőt képez, nevezzük annak A-

val ellentétes végét az ehhez a helyzethez tartozó B pontnak. Ezután nevezzük a

sugár mindenkori helyzetéhez tartozó B pontnak a kör és a sugár azon

metszéspontját, amelyik abból a szabályból adódik, hogy a sugár folytonos

helyzetváltozásainak a B pont folytonos helyzetváltozásai feleljenek meg. A B név

tehát mindaddig valami határozatlant jelöl, amíg a sugár hozzá tartozó helyzetét

meg nem adjuk. Feltehető a kérdés: melyik pont felel meg a sugár azon

helyzetének, amelyben az átmérőre merőlegesen áll? A válasz ez lesz: az A pont.

A B névnek tehát ez esetben ugyanaz a tartalma, mint az A-nak; mégsem lehetett

volna elejétől kezdve csak egy nevet használni, mivel ezt csak a válasz igazolta.

Ugyanazt a pontot két módon határoztuk meg:

(1) közvetlenül a szemlélet által,

(2) mint azt a B pontot, amely az átmérőre merőleges sugárhoz tartozik.

Mindkét meghatározási módnak külön név felel meg. A tartalomazonosság

jelének szükségessége tehát a következőkön alapszik: ugyanazt a tartalmat

különféleképpen is teljesen meg lehet határozni; az azonban, hogy egy különös

esetben két meghatározási móddal valóban ugyanazt adjuk meg, már egy ítélet

tartalma. Mielőtt ehhez eljutnánk, a két meghatározási módnak megfelelően két

különböző nevet kell adnunk annak, amit így meghatároztunk. Az ítélet

kifejezéséhez viszont szükség van a tartalomazonosság jelére, amely a két nevet

összeköti. Innen következik, hogy ugyanazon tartalom különböző nevei nem

mindig valami közömbös formát jelentenek, hanem ha különböző meghatározási

módokkal függenek össze, a dolog lényegét illetik. Ebben az esetben az az ítélet,

melynek tárgya a tartalomazonosság, kanti értelemben szintetikus. Egy

külsőségesebb ok a tartalomazonosság-jel bevezetésére az, hogy időnként célszerű

egy-egy hosszadalmas kifejezés helyére rövidítést bevezetni. Ilyenkor ki kell

fejezni az eredeti forma és a rövidítés tartalmi azonosságát.

Jelölje tehát

— (A = B)

azt, hogy az A és a B jel fogalmi tartalma ugyanaz, úgyhogy A helyére mindig B-t

lehet helyettesíteni és megfordítva.

Frege példáját az alábbi ábra szemlélteti:

(7. ábra, számozás nélkül)

Az A pont körül forog egy sugár (egyenes), melynek pillanatnyi helyzeteit az s0, s1, s2 sugarak, a

körrel való másik metszéspontjukat pedig a B0, B1, B2 pontok szemléltetik. Az s-sel jelölt sugár

merőleges a kör O középpontján áthaladó s0-ra. Legyen a forgásirány pl. a nyílnak megfelelő.

25

Amikor a forgó sugár az s helyzetbe ér, a B0, B1, B2, … pontoknak megfelelő B pont — a körrel

való „másik” metszéspont — azonos lesz az A ponttal.

A példa a tartalomazonosság fogalmának szükségességét szemlélteti. A B pont meghatározása

más, mint az A ponté, noha a két meghatározás tartalma egybeeső, azonos. Különböző

meghatározások tartalma néha különbözik, néha azonos, s annak eldöntése, hogy a két eset melyike

áll fenn, általában munkát igényel. Ezért „A = B” tartalmas állítás, ha A és B különböző

meghatározáshoz kapcsolódó nevek. Persze, „A = A” triviális (noha szükségszerűen igaz).

Ha úgy vélnénk, hogy az azonosság a nevek (jelek) mögötti tartalmakra vonatkozó reláció, akkor

furcsa paradoxonhoz jutnánk abban az esetben, amikor két (különböző) név tartalma azonos.

Nevezetesen: ha „A = B” igaz, akkor ugyanazt fejezi ki, mint a triviális „A = A”, hiszen mindkettő

egyazon tartalomról mondja, hogy azonos önmagával. Márpedig a megismerés, az

információtartalom szempontjából lényeges különbség van pl. a „Madrid = Madrid” és a „Madrid

= Spanyolország fővárosa” azonosságok között; ti. az első információtartalma nulla, a második

viszont informatív (azok számára, akik a benne kifejezett tényt nem ismerik). Ezt a paradoxont

Frege itt úgy kerüli el, hogy az azonosságot nevek közötti relációnak tekinti. Ezzel a megoldással

azonban furcsa diszharmónia lép föl a Fogalomírás logikai elméletében, hiszen az elméletben

bevezetett minden más összefüggés szigorúan és hangsúlyozottan nem a jelekre, hanem a

mögöttük levő tartalomra vonatkozik. A fregei elmélet lényeges továbbfejlesztése ennek a

diszharmóniának a megszüntetése a „tartalom” kétdimenziós voltának fölfedezésével: a jel

jelöletének (denotátumának) és jelentésének megkülönböztetésével. (Lásd [II] és [IV].)

A tartalomazonosság jelölésére e könyvében Frege ténylegesen a ‘’ szimbólumot használja,

későbbi írásaiban azonban visszatér a szokásos ‘=’ jelhez. Az egyöntetűség kedvéért már itt is a ‘=’

jelet használjuk, különös tekintettel arra, hogy a ‘’ a bikondicionális jelölésére is szolgál. (Lásd a

7. § végéhez csatlakozó kommentárt.)

A FÜGGVÉNY

9. §. Gondoljuk el, hogy formulanyelvünkön kifejeztük azt a körülményt,

miszerint a hidrogéngáz könnyebb, mint a szénsavgáz; ekkor a hidrogéngáz

jelének helyére az oxigén- vagy a nitrogéngáz jelét helyettesíthetjük. Ezzel az

értelem olyan módon változik meg, hogy az „oxigéngáz”, illetve a „nitrogéngáz”

lép azokba a kapcsolatokba, amelyekben előzőleg a „hidrogéngáz” volt. Ha egy

kifejezést ilyen módon megváltoztathatónak gondolunk el, az szétbomlik egy

maradandó alkotórészre, amely a kapcsolatok összességét ábrázolja, és arra a jelre,

amelyet mással helyettesíthetőnek gondolunk, és amely azt a tárgyat jelöli,

amelyre ezek a kapcsolatok vonatkoznak. Az előbbi alkotórészt nevezem

függvénynek, az utóbbit az argumentumának. Ennek a megkülönböztetésnek nincs

köze a fogalmi tartalomhoz, hanem csak felfogás kérdése. Amíg az előbb jelzett

tárgyalásmódban „hidrogéngáz” volt az argumentum és a „szénsavgáznál

könnyebbnek lenni” a függvény, ugyanazt a fogalmi tartalmat oly módon is

felfoghatnánk, hogy „szénsavgáz” az argumentum, és „a hidrogéngáznál

nehezebbnek lenni” a függvény. Ekkor a „szénsavgáz”-t más fogalmakkal — pl.

„sósavgáz”, „ammóniagáz” — helyettesíthetőknek kell gondolnunk.

„Az a körülmény, hogy a szénsavgáz nehezebb, mint a hidrogéngáz” és

„az a körülmény, hogy a szénsavgáz nehezebb, mint az oxigéngáz”

ugyanaz a függvény különböző argumentumokkal, ha a „hidrogéngáz”-t és az

26

„oxigéngáz”-t tekintjük argumentumoknak; azonban ha a „szénsavgáz”-t tekintjük

argumentumnak, akkor ugyanazon argumentum különböző függvényei.

Szolgáljon még példaként „az a körülmény, hogy ha csak a Naprendszer belső

erői hatnak, a Naprendszer tömegközéppontja nem gyorsul”. Itt a „Naprendszer”

két helyen fordul elő. Ezt tehát különbözőképpen tekinthetjük a „Naprendszer”

argumentum függvényének, aszerint, hogy a „Naprendszer”-t az első, a második,

avagy mindkét helyen mással — az utolsó esetben viszont mindkétszer ugyanazzal

— helyettesíthetőnek tekintjük. Ez a három függvény teljesen különböző.

Ugyanezt mutatja az a mondat is, hogy Cato megölte Catót. Ha itt „Cató”-t az első

helyen helyettesíthetőnek tekintjük, a függvény: „Cato gyilkosának lenni”; ha úgy

tekintjük, hogy a második helyen helyettesíthető, akkor „Cato ölésének áldozatul

esni”; ha végül úgy tekintjük, hogy „Cato” mindkét helyen helyettesíthető, akkor

pedig „öngyilkosnak lenni”.

Most általánosan kimondjuk a dolgot:

Ha egy kifejezésben, melynek tartalma nem feltétlenül megítélhető, egy

egyszerű vagy összetett jel egy vagy több helyen előfordul, és ezt a jelet az összes

vagy néhány helyen mással, azonban mindenütt ugyanazzal helyettesíthetőnek

tekintjük, akkor a kifejezés változatlanul maradó részét függvénynek, a

helyettesíthetőt a függvény argumentumának tekintjük.

Mivel ezek szerint előfordulhat valami egyszerre argumentumként és olyan

helyeken is, ahol nem tekintjük helyettesíthetőnek, a függvényben

megkülönböztetjük az argumentumhelyeket a többitől.

A dőltbetűs meghatározás szerint a függvények speciális nyelvi kifejezések. A megelőző

példákból viszont úgy tűnik, hogy a függvények fogalmi jellegű valamik, „tartalmak”, de persze

nem megítélhető tartalmak. Ténylegesen ez felel meg Frege álláspontjának. „A kifejezés

változatlanul maradó része” — ami a fenti meghatározásban szerepel — nem maga a függvény,

hanem a függvény neve, a függvény az a „valami”, amit ez a kifejezés jelöl. Annak tisztázásához,

hogy miféle dolgok a függvények, a későbbi Frege-művek visznek közelebb.

Itt figyelmeztethetünk egy tévedésre, amelyre a nyelvhasználat könnyen indíthat.

Hasonlítsuk össze ezt a két mondatot:

„a 20 szám előállítható négy négyzetszám összegeként”, és

„minden pozitív egész szám előállítható négy négyzetszám összegeként”.

Úgy tűnhet, hogy a „négy négyzetszám összegeként előállíthatónak lenni”

kifejezés olyan függvényként fogható fel, amelynek egyszer a „20 szám”, máskor

pedig a „minden pozitív egész szám” az argumentuma. Ennek a felfogásnak a

tévességét úgy ismerhetjük fel, ha megjegyezzük, hogy „a 20 szám” és a „minden

pozitív egész szám” nem egyenrangú fogalmak. Amit a 20 számról mondunk, azt

nem lehet ugyanabban az értelemben mondani a „minden pozitív egész szám”-ról,

habár esetleg mondható minden egyes pozitív egész számról. A „minden pozitív

egész szám” kifejezés nem ad úgy, mint a „20 szám” önmagában önálló képzetet,

hanem csak a mondat összefüggésében jut értelemhez.

27

Frege csak későbbi munkáiban dolgozta ki szabatosan azt a megkülönböztetést, amire itt utal. E

szerint „a 20 szám” egy tárgy neve, míg a „minden pozitív egész szám” egy másodfokú fogalom

neve. E kérdést részletesebben taglaljuk [II]-ben és a későbbiekben.

Azoknak a különböző módoknak, ahogyan ugyanaz a fogalmi tartalom egyik vagy

másik argumentum függvényeként felfogható, nincs fontossága számunkra

mindaddig, amíg függvény és argumentum teljesen meghatározottak. Ha azonban

az argumentum határozatlan, mint az „a ‘négy négyzetszám összegeként

előállíthatónak lenni’ argumentumának tetszőleges pozitív egész számot vehetsz,

az állítás mindig helyes marad” ítéletben, akkor a függvény és az argumentum

megkülönböztetésének tartalmi jelentősége van. Megfordítva, lehet az

argumentum határozott és a függvény határozatlan. Az egésznek a határozott és a

határozatlan, vagy az inkább és kevésbé meghatározott ellentéte révén való

felbontása függvénnyé és argumentummá mindkét esetben tartalom és nem csak

felfogás szerinti felbontás.

Tehát a függvénynek és argumentumának megkülönböztetése akkor lényeges, ha valamelyikük

határozatlan. Ez a megállapítás, amely itt még homályosnak tűnik, a 11. §-ban világosodik meg.

Ha egy függvényben valamilyen, addig nem helyettesíthetőnek tekintett jelet9

néhány, vagy minden olyan helyen, ahol előfordul, helyettesíthetőnek tekintünk,

ezzel a felfogással olyan függvényt kapunk, amelynek az eddigieken kívül még egy

argumentuma van. Így pl. az „az a körülmény, hogy a hidrogéngáz könnyebb,

mint a szénsavgáz”, a „hidrogéngáz” és a „szénsavgáz” argumentumpár

függvényeként is felfogható.

A beszélő szerint többnyire az alany a legfontosabb argumentum; a

fontosságban következő gyakran tárgyként jelenik meg. A nyelvnek megvan az a

szabadsága, hogy szavak és formák, mint

cselekvő — szenvedő

nehezebb — könnyebb

adni — kapni

megválasztásával tetszés szerint a mondatnak ezt vagy azt a részét jelentesse meg

legfontosabb argumentumként, bár ezt a szabadságot korlátozza a szavak hiánya.

10. §. Az A argumentum egy meghatározatlan függvényét úgy fejezzük ki, hogy

valamilyen betű után zárójelek közé írjuk A-t, pl.:

(A).

Ehhez hasonlóan, az A, B argumentumpár egy közelebbről meg nem határozott

függvényét

9 Lehetséges az is, hogy egy már korábban helvettesíthetőnek tekintett jelet

olyan helyeken, ahol eddig maradandónak tekintettük, most szintén

helyettesíthetőnek fogunk fel.

28

(A, B)

jelölheti. Itt A és B helye a zárójelek között azokat a helyeket képviseli, amelyeket

A és B a függvényben elfoglal, függetlenül attól, hogy ilyen egy-egy van, vagy

pedig A és B számára több is. Ezért

(A, B) és (B, A)

általában különbözőek.

Ennek megfelelően fejezünk ki több argumentumú határozatlan függvényeket

is.

„—(A)” így olvasható: „A rendelkezik a tulajdonsággal”. „—(A, B)”

pedig így fordítható: „B a vonatkozásban áll A-val”, vagy „a eljárásnak az A

tárgyra való alkalmazása B-t eredményezi”.

Az utolsó bekezdésben ajánlott kiolvasások persze csak akkor alkalmazhatók, ha (A), ill. (A,

B) megítélhető tartalmat fejez ki.

Határozatlanul hagyott függvények jelölésére Frege vastag (latin és görög) nagybetűket használ;

ezt változatlanul követjük.

Mivel a (A) kifejezésben a jel előfordul egy helyen, és mivel más jelekkel

— , X — helyettesíthetőnek gondolhatjuk — miáltal az A argumentum más

függvényeit fejezzük ki —, (A)-t fel lehet fogni, mint a argumentum

függvényét. Ebből különösen világosan látható, hogy az analízis függvényfogalma,

amelyhez általánosságban kapcsolódtam, sokkal korlátozottabb, mint az itt

kialakított.

A továbbfejlesztett fregei elméletben (A) másodfokú függvény, föltéve, hogy A határozott,

pedig határozatlan. E függvény argumentumhelyét jelöli, ez az argumentumhely elsőfokú

függvényekkel tölthető ki. Elsőfokú függvények pedig azok, amelyek argumentuma(i) tárgy(ak)

lehet(nek). Végül: tárgy mindaz, ami nem függvény. E fogalmak taglalására még visszatérünk.

Emeljük ki, hogy „~ A” felfogható mint a „~” függvény alkalmazása az A argumentumra, „(B

A)” pedig mint a „” függvény alkalmazása a B, A argumentumpárra. Általánosabban: a

Fogalomírás minden konstans szimbóluma (lásd a kommentárt az 1. § végén) — kivéve az ítélet

‘—’ jelét — egy-egy függvény jele (neve). Ez a szemléletmód alapvető jelentőségű a fregei mű

megértése szempontjából.

AZ ÁLTALÁNOSSÁG

11. §. Egy ítélet kifejezésében a —jeltől jobbra eső jelsorozat mindig

tekinthető valamely benne előforduló jel függvényének. Helyettesítsük ezt az

argumentumot egy latin kisbetűvel, s a —jel után iktassuk be az általánosság

szimbólumaként az jelet, melyet kövessen ugyanazon betű, amellyel az

argumentumot helyettesítettük; pl.:

29

—a (a).

Ez azt az ítéletet jelöli, hogy a benne szereplő függvény tény, bármit tekintünk is

argumentumának.

A „Helyettesítsük…” kezdetű mondat hű fordítása a következő: Helyettesítsük ezt az

argumentumot egy gót betűvel, és képezzünk a tartalomvonalban egy bemélyedést, melybe

ugyanazt a betűt írjuk, pl.:

(8.ábra, számozás nélkül)

Frege eredeti jelölését itt is a ma szokásos jelöléssel helyettesítettük. A gót betűk helyett latin

kisbetűket használunk. A jelöléstechnika okozta szövegmódosításokat a továbbiakban nem

említjük.

Illusztráció. Induljunk ki a következő ítéletből:

(a) Ha Ráró ló, akkor Ráró patás.

Az ítéletben szereplő mondatot tekintsük a „Ráró” mindkét előfordulása függvényének. Frege fönti

előírását követve képezhetjük a következő ítéletet:

(b) a (ha a ló, akkor a patás).

Frege magyarázata szerint ez azt az ítéletet jelöli, hogy bármi legyen is a, tény, hogy ha a ló,

akkor a patás. Ez persze tömörebben fejezhető ki a köznyelvben így:

(c) Minden, ami ló, az patás.

Vagy még egyszerűbben:

Minden ló patás.

Történetesen (d) helytálló ítélet, hiszen a benne szereplő mondat igaz állítást fejez ki. Vele együtt

(b) és (c) is helytállóak, hiszen csak stilárisan különböznek (d)-től. Mielőtt elhamarkodottan

magasztalnánk (d)-t tömörségéért és kárhoztatnánk (b)-t mesterkéltsége miatt, vegyük figyelembe

(b) azon előnyét, hogy belőle szemmel láthatóan következik (a): hiszen ami igaz, bármi legyen is a,

az abban a konkrét esetben is igaz, amikor a Rárót jelöli. Az viszont kevésbé átlátszó, hogy (d)-nek

következménye (a). Mivel a logika tudományának egyik alapvető feladata éppen a

megtámadhatatlanul helyes következtetés általános fogalmának megalkotása és törvényeinek

föltárása, érthető, hogy a logikai grammatika e feladat megoldásának, nem pedig valamely nemzeti

nyelv sajátságainak lehet alárendelt. Érthető, de Frege előtt legfeljebb Leibniz ábrándozott ilyen

logikai grammatikáról.

A (b) és (d) közé iktatott átmeneti (c) forma segít észrevenni, hogy (b)-ben az a betű valójában

névmáspótló. A névmáspótló betűket — Leibniz óta — változóknak nevezik (nem éppen

szerencsés elnevezés). A latin kisbetűk a Fogalomírás grammatikájának belső változói (szemben a

latin és görög nagybetűkkel, amelyek — az értelemszerű korlátozásokon belül — tetszőleges

„tartalommal” helyettesíthetők, s amelyek csak a jelek magyarázataihoz szükséges segédeszközök).

Közülük az f, g, h betűk a függvények számára fenntartott függvényváltozók, a többiek pedig —

Frege későbbi terminológiája szerint — tárgyváltozók. Utóbbiak bizonyos helyzetekben (de nem

mindig) csak „megítélhető tartalomra” utalhatnak.

Az szimbólum az univerzális kvantor jele, előfordulását mindig követi egy változó: a kvantor

változója. Ezután következik egy — rendszerint zárójelekkel közrefogott — kifejezés, melyben a

kvantor változója (hatásos alkalmazás esetén) szerepel, ez a kifejezés a kvantor hatóköre.

(Zárójelek híján a kvantor hatóköre a kvantort követő legrövidebb olyan kifejezés, amelyre a

kvantor értelemszerűen alkalmazható.) Egy kifejezésben (amely lehet egy nagyobb kifejezés része

30

is) egy változó valamely előfordulását kötöttnek mondjuk, ha közvetlenül követi -t, vagy ha a

kifejezésen belül egy vele egyező változójú kvantor hatókörébe esik; a változó egyéb előfordulását

szabadnak mondjuk. Szabad előfordulású változó mindig behelyettesíthető (megfelelő típusú)

névvel. A kvantorral lekötött változók viszont nem helyettesíthetők nevekkel. (Grammatikailag

értelmetlen lenne pl. (b)-ben az a változó helyére tulajdonnevet írni.)

Mivel egy függvényjelként használt betű, mint (A)-ban , maga is tekinthető

egy függvény argumentumának, ennek helyére is léphet latin kisbetű, a fent

meghatározott értelemben. Egy latin kisbetű jelentése csak annak a magától

értetődő korlátozásnak van alávetve, hogy az ítéletjel után következő jelsorozat

megítélhetőségének (§ 2.) érintetlenül kell maradnia, és ha a latin kisbetű

függvényjelként lép fel, számot kell vetnünk ezzel a körülménnyel. Minden

további feltétel, amelynek alá kell vetni azt, ami a latin kisbetű helyére

helyettesíthető, felveendő az ítéletbe. Ilyen ítéletből ennélfogva tetszőleges számú

kevésbé általános tartalmú ítélet vezethető le úgy, hogy a latin kisbetű helyére

minden alkalommal mást helyettesítünk, miközben aztán az jel az őt követő

betűvel újra eltűnik.

Abból, amit korábban az ítéletvonal jelentéséről mondtunk, könnyen látható,

mit jelent egy olyanféle kifejezés, mint aX(a). Ez előfordulhat olyan ítéletek

részeként, mint —~ aX(a) vagy —(aX(a) A). Világos, hogy ezekből az

ítéletekből nem lehet kevésbé általános ítéleteket levezetni oly módon, hogy a-t

valami meghatározottal helyettesítjük, ellentétben a —a(a) típusú ítéletekkel.

—~ aX(a) ugyanis tagadja, hogy X(a) mindig tény, bármit helyettesítünk is

a helyére. Ezzel egyáltalán nem tagadjuk, hogy a-nak lehet olyan a jelentést adni,

hogy X(a) tény legyen.

—(aX(a) A) azt jelenti, hogy az az eset, amikor „aX(a)”-t állítjuk, A-t

pedig tagadjuk, nem lép föl. Ezzel azonban egyáltalán nem tagadjuk, hogy

felléphet az az eset, amikor X(a)-t állítjuk, és A-t tagadjuk; hiszen, mint imént

láttuk, lehet X(a)-t állítani, és aX(a)-t mégis tagadni. Itt sem lehet tehát az ítélet

helyességének veszélyeztetése nélkül bármit helyettesíteni a helyére. Ez

megvilágítja, miért szükséges az általánosság jele és az azt követő kisbetű után

egyértelműen kijelölni (esetleg zárójel használatával) azt a hatáskört, amelyre a

betűvel jelölt általánosság vonatkozik. Az alkalmazott kisbetű csak ezen a

hatáskörön belül tartja meg jelentését; az ítéletben ugyanaz a kisbetű különböző

hatáskörökben is előfordulhat, anélkül, hogy azt a jelentést, amelyet az egyikben

tulajdonítunk neki, magával vinné a többibe is. Lehetséges, hogy egy kisbetű

hatásköre magában foglalja egy másik kisbetű hatáskörét, mint a

a(eB(a, e) A(a))

példa mutatja. Ebben az esetben a kisbetűket különbözőeknek kell választanunk;

nem szabad e helyett a-t írni. Természetesen megengedett, hogy egy kisbetűt a

hatáskörében mindenütt egy meghatározott másikkal helyettesítsünk, hacsak

azokra a helyekre, ahol előzőleg különböző betűk voltak, továbbra is különbözőek

kerülnek. Ez nem befolyásolja a tartalmat. Más helyettesítés csak akkor

megengedett, ha az általánosság hatásköre lefödi az ítélet egész tartalmát. Mivel

31

ez az eset kitüntetett, a következő rövidítést vezetem be jelölésére. Ha az

általánosság jele () az ítélet teljes tartalmára vonatkozik, akkor az őt követő

kisbetűvel együtt elhagyható, és a megmaradó kifejezésben ez a kisbetű mindig

helyettesíthető bármely másikkal, ha az utóbbi az ítéletben nem fordul elő.

Fordítva is: Ha egy ítéletben szerepel egy olyan kisbetű, mely az ítéleten belül

sehol sem szerepel az jel után, akkor ez a betű helyettesíthető olyan másikkal,

amely az ítéletben nem szerepel, és általánossága kifejezhető az ítélet egész

tartalmára vonatkozó jellel, melyet az utóbbi betű követ. Így pl. „—X(a)”

helyettesíthető „—bX(b)”-vel, föltéve, hogy X(a)-ban a csak az

argumentumhelyeken fordul elő.

A jelöléstechnika modernizálása miatt itt lényegesen el kellett térnünk az eredeti szövegtől (noha

a mondanivaló tartalmát egyáltalán nem módosítottuk). A legutóbbi kommentárt figyelembe véve,

a mondanivaló lényege a következő. Evidens, hogy egy ítéletben egyetlen változónak sem lehet

szabad előfordulása, hiszen a kvantorral le nem kötött változó a határozatlan tartalom szimbóluma,

az ítéletnek azonban egyértelmű, meghatározott tartalommal kell bírnia. De már az 1. §-ban említi

Frege, hogy a betűk „rendszerint az általánosság kifejezésére szolgálnak”, és ez valóban ősi

hagyomány a matematikai jelöléstechnikában. E hagyomány szellemében Frege megengedi a

változók szabad előfordulásait ítéletekben is, azzal, hogy ez mindig úgy értendő, hogy e változókat

az ítélet teljes tartalmára vonatkozó univerzális kvantor köti le. Így „—(a)” nem más, mint

„—a(a)” rövidítése, természetesen az a változó helyes (az értelmet nem módosító)

megválasztására vonatkozó kikötések betartása mellett. — Említettük, hogy Frege gót betűket

használt kvantifikált változókként. Most hozzáfűzzük, hogy az ítéletekben szereplő szabad

előfordulású változókként latin kisbetűket használt. Mi mindkét célra latin kisbetűket használunk,

mivel ez semmi zavart nem okoz. (Könyvében Frege nem használja a ‘változó’ kifejezést, hanem

mindig betűkről beszél.)

Az is világos, hogy ha A olyan kifejezés, amelyben a nem fordul elő, és (a)-

ban csak az argumentumhelyeken szerepel a, akkor

„—(A (a))”

-ból levezethető

„—(A a(a))”.

Ha a(a)-t tagadjuk, akkor meg kell tudnunk adni a számára egy olyan jelentést,

amely mellett (a)-t tagadjuk. Ha tehát a(a)-t tagadnánk és A-t állítanánk, meg

kellene tudnunk adni a számára egy olyan jelentést, amely mellett A-t állítjuk és

(a)-t tagadjuk. Ez azonban

—(A (a))

miatt nem lehetséges; mivel utóbbi éppen azt jelenti, hogy akármi is legyen a, ki

van zárva az az eset, hogy (a)-t tagadjuk és A-t állítjuk. Ezért tehát nem lehet

a(a)-t tagadni és A-t állítani: azaz:

32

—(A a(a)).

Ha A-ban és B-ben a nem fordul elő, továbbá (a) csak az

argumentumhelyeken tartalmazza a-t, akkor ugyanígy lehet

—(B A (a))

-ból

—(B A a(a))

-ra következtetni. Ez az eset visszavezethető az előzőre, mivel

—(B A (a))

helyére

—(~ (B ~ A) (a))

-t helyettesíthetünk, és

—(~ (B ~ A) a(a))

-t újra

—B A a(a))

-vá változtathatjuk. Hasonló érvényes, ha még több feltétel szerepel.

E példánkban elég azt kikötni, hogy a-nak ne legyen szabad előfordulása A-ban (és B-ben). A

második példa támaszkodik arra, hogy „(B C)” és „(~ (B ~ A) C)” szinonimák. Ugyanis

az 5. §-ban már tisztázódott, hogy —(B A C) tagadja azt az esetet, melyben B és A fönnáll.

C pedig nem, így a 7. §-ban mondottak szerint (lásd a hozzáfűzött kommentárt is) ugyanazt

mondja, mint —((B & A) C). Utóbbiban pedig „(B & A)” helyett „~ (B ~ A)” írható. Lásd

még a II. fejezet 14. §-ához csatlakozó kommentárt is, ahol a fölcserélhetőséget formálisan

levezetjük.

E §-ban Frege a következő két szabályt vezeti be:

(1) „—a (a)” és „—(a)” fölcserélhetők (szinonim ítéletek).

(2) Ha A-ban a nem szerepel szabadon, akkor —(A (a))”-ból levezethető „—(A a

(a))”.

Ezekre a szabályokra utaltunk a 6. §-t követő kommentárban.

12. §. Most néhány jelkapcsolatot tárgyalunk.

—~ aX(a) azt jelenti, hogy található valami, pl. , amelyre X()-t tagadjuk.

Ez tehát így fordítható: „van néhány dolog, amely nem X tulajdonságú”.

33

—a ~ X(a) értelme eltér ettől. Utóbbi azt jelenti, hogy „akármi is lehet a,

X(a)-t mindig tagadjuk”, vagy: „nincs semmi olyan, ami X tulajdonságú lenne”,

vagy, ha azokat a dolgokat, amelyek X tulajdonságúak, X-eknek nevezzük:

„nincsenek X-ek”.

„a ~ L(a)” tagadását így fejezzük ki: —~ a ~ L(a). Ezt tehát így lehet

fordítani: „léteznek L-ek”.10

—a(X(a) P(a)) ezt jelenti: „akármit helyettesítsünk is a helyére, az az

eset, hogy P(a)-t tagadni és X(a)-t állítani kellene, nem fordul elő”. Így tehát

lehetséges, hogy a némely jelentése mellett

P(a)-t állítjuk és X(a)-t állítjuk, mások mellett

P(a)-t állítjuk és X(a)-t tagadjuk, ismét mások mellett

P(a)-t tagadjuk és X(a)-t tagadjuk.

Tehát így fordíthatjuk: „ha valami X tulajdonságú, akkor P tulajdonságú is”,

vagyis „minden X P”.

Ezen a módon fejezhetők ki oksági kapcsolatok.

—a((a) ~ P(a)) ezt jelenti: „a-nak nem adható olyan jelentés, amely

mellett P(a)-t is, (a)-t is állítjuk”. Így fordítható tehát: „ami tulajdonságú, az

nem P tulajdonságú”, vagyis „egyetlen sem P”.

—~ a(L(a) P(a)) tagadja a(L(a) P(a))-t, tehát mint „némely L nem

P” adható vissza.

—~ a(M(a) ~ P(a)) tagadja, hogy egyetlen M sem P, és ezért azt jelenti,

hogy „néhány M–P”11

), vagy: „lehetséges, hogy valamely M egyben P”.

A fentiek alapján a logikai ellentétek táblázata a következő:

(9. ábra, számozás nélkül)

E §-ban Frege megadja a tradicionális logika ún. kategorikus ítéleteinek ábrázolási módját a

fogalomírásban, s ezzel befejezi annak kimutatását, hogy a fogalomírás három alapjele (, ~, )

segítségével a használatos logikai kötő- és módosító szavak mind kifejezhetők (ahogyan ezt már az

előszóban jelezte). (A negyedik alapjel — az azonosság '=' jele — főképp az aritmetika logikai

megalapozása szempontjából jelentős.) Különösen fontos a 'van legalább egy' kifejezése az

univerzális kvantor (plusz negáció) segítségével. A modern logikában a ‘a’ kifejezést használjuk

‘~ a ~’ rövidítésére, tehát pl. „~ a ~ (a)” helyett „a(a)”-t írunk [kiolvasása: „van olyan a,

hogy (a)”). Az szimbólumot egzisztenciális kvantornak nevezzük. Felhasználásával a fenti

„logikai négyszög” szubkontrárius sémái így írhatók: a(X(a) & P(a)), ill. a(X(a) & ~ P(a)).

10

Ez úgy értendő, hogy magában foglalja a „létezik L” esetet. Ha pl. L(x) azt a

körülményt jelenti, hogy x ház, akkor ~ a ~ L(a) ezt jelenti: „léteznek házak,

vagy legalább egy ház”. Lásd a 2. § 5. lábjegyzetét. 11

A „néhány” szó itt mindig úgy értendő, hogy az „egy” esetet is magában

foglalja. Hosszadalmasabban így mondhatnánk: „néhány, vagy legalább egy”.

34

II. A TISZTA GONDOLKODÁS NÉHÁNY ÍTÉLETÉNEK KIFEJTÉSE ÉS

LEVEZETÉSE

13. §. A gondolkodás néhány alaptételét már az első fejezetben felhasználtuk,

jeleink alkalmazásának szabályaivá alakítva őket. Ezen szabályok, és azok a

törvények, amelyeknek képmásai, azért nem fejezhetők ki a fogalomírásban, mert

annak alapját alkotják. Ebben a szakaszban a tiszta gondolkodás néhány olyan

ítéletét ábrázoljuk jelekkel, amelyek esetében ez lehetséges. Kézenfekvő, hogy

ezen ítéletek közül az összetettebbeket az egyszerűbbekből vezessük le, nem azért,

hogy bizonyosabbá tegyük őket — ami legtöbbször szükségtelen lenne —, hanem

hogy napvilágra hozzuk az ítéletek egymás közti kapcsolatait. Nyilvánvalóan nem

ugyanaz, ha csupán a törvényeket tudjuk, mint ha azt is, hogy hogyan lehet

némelyeket már mások kimondásával megadni. Ilyen módon eljuthatunk a

törvényeknek egy olyan kis csoportjához, amelyben — ha a szabályokban rejlő

törvényeket is hozzávesszük — az összesnek a tartalma, habár még kibontatlanul,

benne foglaltatik. És ez is a levezetéses kifejtési mód előnyei közé tartozik,

mivelhogy megismertet bennünket a törvények magvával. Mivel a felállítható

törvények áttekinthetetlen halmazát nem lehet teljességében fölsorolni, a teljesség

nem érhető el másképp, mint azoknak a fölkutatásával, amelyek erejüknél fogva az

összeset magukban foglalják. Persze, meg kell hagynunk, hogy a visszavezetés

nem csak ezen az egy módon érhető el. Ezért egy ilyen kifejtési mód nem teszi

világossá a gondolkodás törvényeinek összes kapcsolatát. Talán van más olyan

ítéletsorozat is, amelyből ugyanígy, a szabályokban rejlők hozzávételével, minden

gondolkodási törvény levezethető. Mindazonáltal az itt megadott visszavezetési

móddal a kapcsolatok olyan sokasága tárul fel, hogy ez nagyon megkönnyít

minden más levezetést.

Azon tételek száma, melyek a következő kifejtés magvát képezik, kilenc. Ezek

közül háromnak, az (1), a (2) és a (8) számú formulának a kifejezéséhez, a

betűktől eltekintve, csak a feltételesség jelére van szükség; háromban, a (28), a

(31) és a (41) számúban a tagadás jelét is használjuk; kettőben, az (52) és az (54)

számú formulában a tartalomazonosság, egy formulában, az (58)-asban pedig az

általánosság jelét is alkalmazzuk.

Ha az olvasó a következő levezetést minden részletében követni kívánja, akkor

fárasztónak találhatja; célja csak az, hogy előkészítse a választ minden olyan

kérdésre, amely egy törvény elrendezésére vonatkozik.

A következő szakaszokban Frege ismertet 9 alaptételt („axiómát”), és ezekből — az I. fejezetben

megfogalmazott szabályok segítségével — további tételeket vezet le. A későbbi kutatások során

kiderült, hogy a levezetésekhez szükséges alaptételek száma hatra csökkenthető. — A tételekben

az általánosságra utaló latin kisbetűk szerepelnek (lásd a 11. §-ban), amelyek univerzális

kvantorral lekötöttnek gondolhatók. A levezetés fölhasznált szabályai a következők: (1) Egy

formulában (amely lehet alaptétel vagy már korábban levezetett tétel) a latin kisbetűk helyettesítése

összetett kifejezésekkel vagy más betűkkel (pl. a helyettesítése „(b c d)”-vel vagy b-vel). E

szabályra kissé homályosan utal a 11. § azon megállapítása, amely szerint egy általános tartalmú

ítéletből „tetszőleges számú kevésbé általános tartalmú ítélet vezethető le úgy, hogy a latin kisbetű

helyére minden alkalommal mást helyettesítünk”. — (2) Ha „—(B A)” és „—B” már

35

levezetett formulák, ezekből a leválasztási szabály (6. §) segítségével kapjuk a „—A” formulát.

Megjegyezzük, hogy ez a szabály betű szerint nem azonos a 6. §-ban bevezetett leválasztási

szabállyal, mert ott A és B állítások, itt pedig sémák, amelyekből a betűk kvantifikálásával

lennének állítások. De persze az itt alkalmazott leválasztás is helyes: Ha „B A” és B olyan

sémák, melyekből a bennük szereplő latin kisbetűk minden (megengedett) helyettesítésével igaz

állítás keletkezik, akkor A is ilyen séma.

E §-ban Frege megkockáztatta azt a merész állítást, hogy abból a bizonyos „mag”-ból, melyet

alapsémái és levezetési szabályai alkotnak, a tiszta gondolkodás összes törvénye levezethető.

Meglepő, hogy e sejtés — az „összes” egy meghatározott (és így persze korlátozott) értelmében —

a későbbi kutatások fényében bizonyított tétellé lett. Erről a II. fejezet végén szólunk

részletesebben.

Az e fejezetben levezetett tételek nem csupán igazak, hanem logikai törvények. Ez mindenekelőtt

azt jelenti, hogy igazságuk logikailag megalapozott: kizárólag a bennük szereplő logikai

szimbólumok (, ~ stb.) jelentéséből következik, s független a betűk képviselte tartalomtól. Ebből

folyik e tételek általánossága: az, hogy a bennük szereplő betűk minden szabályos

behelyettesítésével igaz állítás keletkezik belőlük. Így e fejezetben (s a következőben is) a ‘—’ nem egyszerűen ítélést, hanem bizonyított vagy levezetett logikai törvényt jelez. Ilyen értelemben

használja e jelet a mai logikai irodalom is. Frege eredetileg (a 2. §-ban) ugyan tágabb jelentést ad a

‘—’ jelnek, de e fejezetben (és későbbi írásaiban is csaknem mindenütt) e szűkebb értelemben

használja.

14. §.

—(a b a) (1)

jelentése: „kizárt az az eset, hogy a-t tagadjuk, b-t állítjuk és a-t állítjuk”. Ez

világos, mivel nem lehet a-t egyszerre tagadni és állítani. Az ítéletet így is ki lehet

szavakban fejezni: „ha egy a tétel érvényes, úgy akkor is érvényes, ha egy

tetszőleges b tétel érvényes”. Jelentse pl.:

a azt a tételt, hogy az ABC háromszögben a szögek összege két derékszög;

b azt a tételt, hogy az ABC szög derékszög.

Ekkor a következő ítéletet kapjuk: „ha az ABC háromszögben a szögek összege

két derékszög, úgy ez arra az esetre is érvényes, ha az ABC szög derékszög.”

Az —(a b a)-tól jobbra álló (1) a formula száma.

A változók szabad előfordulásáról a 11. §-ban mondottak szerint az (1) formula tulajdonképpen

ezt rövidíti:

—ab (a b a).

Hozzágondolva még, hogy „a” jelentése itt: „Minden a állításra” (s hasonlóan „b”-é is), ez a

formula valóban ítélet. Egyszerűbb, és napjainkban elterjedtebb felfogás: (1) nem ítélet, hanem

séma, melyből helytálló ítélet keletkezik, ha a benne szereplő a, b betűket tetszőleges állításokkal

(„megítélhető tartalmakkal”) helyettesítjük. Ugyanez áll értelemszerűen az ezután következő

számozott formulákra is.

—((c b a) (c b) c a

jelentése:

Nem áll fenn az az eset, amelyben

36

„(c b) c a”-t tagadjuk és

„c b a”-t állítjuk.

De „c b a” azt a körülményt jelenti, hogy kizárt az az eset, amelyben a-t

tagadjuk, b-t állítjuk és c-t állítjuk. Továbbá „(c b) c a” tagadása azt jelenti,

hogy „c a”-t tagadjuk és „c b”-t állítjuk. „c a” tagadása azonban azt jelenti,

hogy a-t tagadjuk és c-t állítjuk. „(c b) c a” tagadása tehát azt jelenti, hogy

a-t tagadjuk, c-t állítjuk és „c b”-t állítjuk. c és „c b” állítása azonban maga

után vonja b állítását. Tehát „(c b) c a” tagadásának következménye a

tagadása és mind b-nek, mind c-nek állítása. „c b a” állítása viszont éppen ezt

az esetet zárja ki. Tehát az az eset, hogy „(c b) c a”-t tagadjuk és „c b

a”-t állítjuk, nem állhat fenn, és ez igazolja a

—((c b a) (c b) c a)

ítéletet. Abban az esetben, ha oksági kapcsolatok állnak fenn, ezt így is ki lehet

fejezni:

„ha egy tétel (a) két tétel (b és c) szükségszerű következménye (c b a), és

utóbbiak egyike (b) szintén szükségszerű következménye a másiknak (c-nek),

akkor a tétel (a) szükségszerű következménye az utoljára említettnek (c-nek)”.

Jelentse pl.

c azt, hogy egy Z számsorozatban minden tag nagyobb, mint az őt megelőző;

b azt, hogy az M tag nagyobb, mint L;

a azt, hogy az N tag nagyobb, mint L.Akkor a következő ítéletet kapjuk:

„ha abból a tételből, hogy a Z számsorozatban minden tag nagyobb, mint az őt

megelőző, és abból, hogy az M tag nagyobb, mint L, következtethetünk arra, hogy

az N tag nagyobb, mint L, és ha abból a tételből, hogy a Z számsorozatban minden

tag nagyobb, mint az őt megelőző, következik, hogy M nagyobb, mint L, akkor

arra, hogy N nagyobb, mint L, következtethetünk abból, hogy a Z számsorozatban

minden tag nagyobb, mint az őt megelőző”.

Az e §-ban szereplő (1) és (2) formulák alaptörvények, amelyek helyességét Frege közvetlenül a

jelnek az 5. §-ban bevezetett jelentésére (igazságfeltételére) vezeti vissza. A következő §-ban

már formális levezetéssel (a leválasztási szabály alkalmazásával) állítja elő e két alaptörvényből a

(3)…(7) törvényeket. Ma már tudjuk, hogy e két alaptörvényből (pusztán a leválasztási szabállyal)

minden olyan logikai törvény levezethető, amelyben a betűkön kívül csak a kondicionális jele ()

szerepel.

15. §.

(1):

a (c b a) (c b) c a

b b a

37

—((c b a (c b) c a) (2)

—((b a) (c b a) (c b) c a) (3)

E következtetés fő premisszája az (1) tétel (—(a b a)) azon esete,

melyben a helyén „(c b a) (c b) c a”, b helyén pedig „b a”

szerepel. Ezt a helyettesítést fejezi ki az

(1):

a (c b a) (c b) c a

b b a

jelölésforma, amelyet fent alkalmaztunk. Egyébként a 6. §-ban leírt rövidített

jelölést használtuk. A következtetés teljes részletességgel a következő lenne:

38

—([(c b a) (c b) c a] (b a) (c b a)

(c b) c a)

(1)

—((c b a) (c b) c a) (2)

— ((b a) (c b a) (c b) c a) (3)

Következik a (4) tétel levezetése:

(2): a (c b) c a

b c b a

c b a

— ((b a) (c b a) (c b) c a) (3)

—([(b a) c b a] (b a) (c b) c a) (4)

A ‘(2):’ jeltől jobbra levő helyettesítéseket végrehajtva a

—((c b a) (c b) c a) (2)

tételben, a következőt kapjuk:

—([(b a) (c b a) (c b) c a] [(b a) c b a] (b a)

(c b) c a).

Könnyen látható, hogy hogyan következik ebből és (3)-ból (4).

Az (5) tétel levezetése:

—([(b a) c b a] (b a) (c b) c a) (4)

(1) :: a b a

b c

—((b a) (c b) c a) (5)

A kettőzött kettőspont jelentését a 6. §-ban megmagyaráztuk. Példa (5)-höz:

Legyen

a az a körülmény, hogy az E vasdarab mágnesessé válik;

b az a körülmény, hogy a D huzalon galvanikus áram folyik;

c az a körülmény, hogy a T kapcsolót lenyomjuk.

Ekkor a következő ítéletet kapjuk:

„ha áll az a tétel, hogy E mágnesessé válik, hacsak D-n galvanikus áram folyik

át;

39

ha továbbá áll az a tétel, hogy D-n galvanikus áram folyik át, hacsak T-t

lenyomjuk;

akkor E mágnesessé válik, ha T-t lenyomjuk”.

Ha oksági kapcsolatokat tételezünk föl, (5)-öt így fogalmazhatjuk:

„Ha b elegendő feltétele a-nak, és ha c elegendő feltétele b-nek, akkor c

elegendő feltétele a-nak.”

A következő levezetésben mindkét premissza az (5) formula egy-egy speciális

esete:

(5): a (d b) d a

b b a

—((b a) (d b) d a) (5): c y d

—((c b a) c (d b) d a) (6)

A (7) tétel levezetése:

(6): a c a

b c b

c b a

—((b a) (c b) c a) (5)

—((b a) (d c b) d c a) (7)

Ez a tétel csak annyiban különbözik (5)-től, hogy az egyetlen c feltétel helyett

kettő, c és d, szerepel benne. ·

Példa (7)-hez: Jelentse:

d azt a körülményt, hogy egy légszivattyú K dugattyúja bal szélső helyzetéből

jobb szélső helyzetébe kerül;

c azt a körülményt, hogy a H csap az I helyzetben van;

b azt, hogy a levegő D sűrűsége a légszivattyú recipiensében a felére csökken;

a azt, hogy a recipiens belsejével összeköttetésben levő nyomásmérő H

higanyszintje a felére süllyed.

Ekkor a következő ítéletet kapjuk:

„Ha érvényes az a tétel, hogy a nyomásmérő H higanyszintje a felére süllyed,

hacsak a levegő D sűrűsége a felére csökken;

ha továbbá érvényes az a tétel, hogy a D levegősűrűség a felére csökken,

hacsak a K dugattyú a bal szélső helyzetéből a jobb szélső helyzetébe kerül, és a H

csap az I állásban van;

akkor az következik, hogy

a barométer H higanyszintje a felére süllyed, ha a K dugattyút bal szélső

helyzetéből jobb szélső helyzetébe visszük, miközben a H csap az I állásban van.”

16. §.

—((d b a) b d a) (8)

40

„d b a” azt jelenti, hogy az az eset, amelyben a-t tagadjuk, viszont b-t és d-

t állítjuk, nem áll fenn; „b d a” ugyanezt jelenti, és (8) azt állítja, hogy kizárt

az az eset, melyben „b d a”-t tagadjuk, „d b a”-t pedig állítjuk. Ezt így is

lehet mondani: „ha egy tétel két feltétel következménye, akkor a feltételek

sorrendje közömbös”.

Mint látjuk, Frege a (8) formulát alaptételként szerepelteti: nem vezeti le a már levezetett

formulákból, hanem szemantikailag bizonyítja. Ténylegesen (8) levezethető az (1), (2)

alaptételekből. A levezetés azonban meglehetősen hosszadalmas, ezért nem ismertetjük.

A (9) tétel levezetése:

(8): a c a

b c b

d b a

—((b a) (c b) c a) (5)

—((c b) (b a) c a) (9)

Ez a tétel nem különbözik lényegesen (5)-től. — A (10) tétel levezetése:

(9): b e d b

c d e b

—((d e b) e d b) (8): a y b, b y e

—([(e d b) a] (d e b) a) (10)

A (11) tétel levezetése:

(9): b c b

c b

—(b c b) (1): a y b, b y

c

—([(c b) a] b a) (11)

Ez a formula így fordítható: „ha az a tétel, hogy b fennáll vagy c nem áll fenn,

elegendő feltétele a-nak, akkor b egyedül is elegendő feltétele a-nak”.

A (12) tétel levezetése:

(5): a b c d

b c b a

e d

—((c b a) b c a) (8): d y c

41

—((d c b a) d b c a) (12)

A (12)…(17), (22) tételek azt mutatják, hogy több feltétel esetén a sorrend

megváltoztatható.

A (15) tétel levezetése ((13) és (14) közbeiktatásával):

(12): a c a

c d

d d c b a

— ((d c b a) d b c a) (12)

—((d c b a) b d c a) (13)

(5): a b d c a

b d c b a (13)

c e

—((e d c b a) e b d c a) (14)

(12): a d c a

c e (14)

d e d c b a

— ((e d c b a) b e d c a) (15)

A hátralevő részben a tételek levezetésének jelölését egyszerűsítjük. Az új tétel sorszámát — pl.

(m)-et — a tétel elé írjuk, a tétel után pedig szögletes zárójelek között „(n) (m) = (k)” alakú

magyarázatot helyezünk el, ami azt jelöli, hogy a (k) sorszámú tételben olyan kondicionális

szerepel, melynek előtagja az (n) számú tétel tartalma, utótagja pedig az (m) számú tétel tartalma;

így (m) leválasztással következik (k)-ból és (n)-ből. Ha valamelyik idézett tételben behelyettesítés

szükséges, ennek „szótárát” utólag megadjuk. Egyszerűbb behelyettesítéseket közvetlenül a

szögletes zárójelek között adunk meg.

(16) — ((e d c b a) e d b c a) [(12) (16) = (5)]

(5): a d b c a

b d c b a

c e

(17) — ((d c b a) c b d a) [(8) (17) = (16)]

(8): a b a

b c

(16): c d

d c

e d c b a

(18) — ((c b a) (d c) b d a) [(5) (18) (16)]

42

(5): a b a

b c

c d

(16): c d

d d c

e c b a

(19) — ((d c b) (b a) d c a) [(9) (19) = (18)]

(18): a c a

b b a

c c b

(20) — ((e d c b) (b a) e d c a) [(19) (20) = (18)]

(18): a d c a

b b a

c d c b

d e

(21) — ([(d b) a] (d c) (c b) a) [(9) (21) = (19)]

(9): a b

b c

c d

(19): b d b

c c b

d d c

(22) — ((f e d c b a) f e d b c a) [(16) (22) = (5)]

(5): a e d b c a

b e d c b a

c f

(23) — ((d c b a) (e d) c b e a) [(18) (23) = (22)]

(18): a b a

b c

c d

d e

(22): c e

d c

e e d

f d c b a

(24) — ((c a) c b a) [(1) (24) = (12)]

(1): a c a

(12): b c

c b

d c a

43

(25) — ((d c a) d c b a) [(24) (25) = (5)]

44

(5): a c b a

b c a

c d

(26) — (b a a) [(1) (26) = (8): d y a]

(27) — (a a) [(1) (27) = (26): b y a b a]

Nem lehet (egyszerre) a-t állítani és a-t tagadni.

17. §.

— ((b a) ~ a ~ b) (28)

jelentése: „Nem áll fenn az az eset, amelyben „~ a ~ b”-t tagadjuk és „b a”-t

állítjuk. „~ a ~ b” tagadása azt jelenti, hogy „~ a”-t állítjuk és „~ b”-t tagadjuk;

azaz hogy a-t tagadjuk és b-t állítjuk. Ezt az esetet „b a” kizárja. — Ez az ítélet

alapozza meg az átmenetet a modus ponensről a modus tollensre. Jelentse pl.

b azt a tételt, hogy az M ember él,

a azt, hogy M lélegzik.

Ekkor a következő ítéletet kapjuk:

„Ha abból a körülményből, hogy M él, következtetni lehet a lélegzésére, akkor

abból a körülményből, hogy nem lélegzik, következtetni lehet a halálára.”

A (28) tétel ugyancsak alaptétel, melyet a , ~ szimbólumok értelmezése alapján bizonyít Frege.

— Modus tollens: következtetés „A B” és „~ B” igazságából „~ A” igazságára.

(29) — ((c b a) c ~ a ~ b) [(28) (29) = (5)]

(5): a ~ a ~ b

b b a

Ha b és c együtt elegendő feltétele a-nak, akkor a tagadásából és az egyik

feltétel (c) állításából a másik feltétel tagadására lehet következtetni.

(30) — ((b c a) c ~ a ~ b) [(29) (30) = (10)]

(10): a c ~ a ~ b

b a

d b

e c

18. §.

— (~ ~ a a) (31)

45

„~ ~ a” nem más, mint a tagadásának tagadása, azaz a állítása. Tehát nem lehet

(egyszerre) a-t tagadni és „~ ~ a”-t állítani. Duplex negatio affirmat. [A kétszeres

tagadás állít.] A tagadás tagadása állítás.

Ez a tétel is alaptétel. A (28) és a (31) alaptételek azonban helyettesíthetők az egyetlen

(28.0) — ((~ a ~ b) b a)

tétellel, melynek helyessége hasonlóan alapozható meg, mint (28)-é. Megmutatjuk, hogy (28.0)

felhasználásával levezethető (28) és (31). A levezetésben természetesen csak az (1)…(27) tételekre

támaszkodhatunk. — Először (31)-et vezetjük le.

(i) ~ ~ a ~ a ~ ~ ~ a) [(1) (28.0) (i) = (9)]

(1): a a

b ~ ~ ~ ~ a

(28.0):

:

a ~ ~~a

b ~a

(9)

:

a ~a~ ~ ~a

b ~ ~ ~~a~ ~a

c ~ ~ a

(Ebben a sorban két leválasztást sűrítettünk. Ezt a fogást később is alkalmazzuk.)

(ii) — (~ ~ a ~ ~ a a) [(i) (28.0) (ii) = (9)]

(9): a ~ ~ a a

b ~ a ~ ~ ~ a

c ~ ~ a

(28.0): b y ~ ~ a

(31) —(~ ~ a a ) [(ii) (27) (31) = (2)]

(27): a y ~ ~

a

(2): c ~ ~ a

b ~ ~ a

Most levezetjük (28)-at.

(iii) — ((b a) ~ ~ b a [(31) (iii) = (9)]

(31): a y b; (9): c y ~ ~ b

(iv) — (a ~ ~ a) [(31) (iv) = (28.0)]

(31): a y~ a; (28.0): a y ~ ~ a, b y a

46

(v) — ((~~ b a) ~ ~ b ~ ~ a) [(iv) (v) = (5)]

(5): a y ~ ~

a,

b y a, c y ~ ~ b

(vi) — ((b a) ~ ~ b ~ ~ a) [(iii) (v) (vi) = (9)]

(9): a ~ ~ b ~ ~ a

b ~ ~ b a

c b a

(28) — ((b a) ~ a ~ b) [(vi) (28.0) (28) = (9)]

(9): a ~ a~ b

b ~ ~ b ~ ~ a

c b a

(28.0): a ~ b

b ~ a

(32) — ([(~ b a) ~ a ~ ~ b] (~ b a) ~ a b) [(31) (32) = (7)]

(7): a b

b ~ ~ b

c ~ a

d ~ b a

(31): a y b

(33) — ((~ b a) ~ a b) [(28) (33) = (32); (28): b y ~ b]

Ha a vagy b fennáll, akkor fennáll b vagy a is.

(34) — ((c ~ b a) c ~ a b) [(33) (34) = (5)]

(5): a y~ a b, b y~ b a

Ha a c körülmény föllépése a b akadály elesésével a fennállását vonja maga

után, úgy abból, hogy a nem áll fönn, c föllépése esetén a b akadály föllépésére

lehet következtetni.

(35) — ((c ~ b a) ~ a c b) [(34) (35) = (12)]

47

(12): a b

b ~ a

d c ~ b a

(36) — (a ~ a b) [(1) (36) = (34): c y a; (1): b y ~ b]

Nem lép fel az az eset, melyben b-t tagadjuk, ~ a-t állítjuk és a-t állítjuk. Ezt

így fogalmazhatjuk: „Ha a fellép, akkor fennáll a és b közül az egyik.”

(37) — ([(~ c b) a] c a) [(36) (37) = (9)]

(9): b y~ c b (36): a yc

Ha a szükségszerű következménye b vagy c fellépésének, akkor egyedül c

fellépésének is szükségszerű következménye. Legyen pl.

b az a körülmény, hogy a P szorzat első tényezője nulla;

c az a körülmény, hogy P második tényezője nulla;

a az a körülmény, hogy a P szorzat nulla.

Ekkor a következő ítéletet kapjuk:

„Ha a P szorzat nullává válik, midőn az első vagy a második tényező 0, akkor a

második tényező eltűnéséből a szorzat eltűnésére lehet következtetni.”

(38) — (~ a a b) [(36) (38) = (8): a y b, b y ~ a, c y a]

(39) — ((~ a a) ~ a b) [(38) (39) = (2): a y b, b y a, c y ~ a]

(40) — (~ b (~ a a) a) [(39) (40) = (35)]

(35): a yb, b ya, c y~ a a

19. §.

— (a ~ ~ a) (41)

Állítva a-t, tagadjuk a tagadását.

Ez az alaptétel is fölösleges, ha (28) helyett (28.0)-t vesszük föl alaptételnek. Az előző §

kommentárjában (iv) alatt levezettük.

(42) — ~ ~ (a a) [(27) (42) = (41): a y a a]

(43) — ((~ a a) a) [(42) (43) = (40): b y ~ (a a))

Ha csak a és a között választhatunk, akkor a fennáll. Pl. meg kell

különböztetnünk két esetet, melyek az összes lehetőséget kimerítik. Ha az elsőt

48

követjük nyomon, arra az eredményre jutunk, hogy a fennáll; ugyanerre, ha a

másodikat követjük nyomon. Ekkor az a tétel érvényes.

(44) — ((~ a c) (c a) a) [(43) (44) = (21): b y a, d y ~ a]

(45) — ([(~ c a) ~ a c] (~ c a) (c a) a) [(44) (45) = (5)]

(5): a (c a) a

b ~ a c

c ~ c a

(46) — ((~ c a) (c a) a) [(33) (46) = (45)]

(33): b yc

Ha a érvényes abban az esetben is, ha c fellép, és abban az esetben is, ha c nem

lép fel, akkor a érvényes. Másképp: „Ha a vagy c fellép, és a szükségszerű

következménye c fellépésének, akkor a fennáll.”

(47) — ((~ c b) (b a) (c a) a) [(46) (47) = (21)]

(21): a (c a) a

b a

c b

d ~c

Ezt a tételt így lehet fogalmazni: „Ha mind b, mind c elegendő feltétele a-nak,

és b vagy c fennáll, akkor az a tétel érvényes.” Ezt az ítéletet alkalmazzuk akkor,

ha egy bizonyításban két esetet kell megkülönböztetni. Ha több eset fordul elő, azt

mindig vissza lehet vezetni kettőre, amennyiben az esetek egyikét tekintjük az

első, a többi eset összességét pedig a második esetnek. Az utóbbit újból két esetre

bonthatjuk, és ezt mindaddig folytatjuk, amíg csak felbontás lehetséges.

(48) — ((d ~ c b) (b a) (c a) d a) [(47) (48) = (23)]

(23): b c a

c b a

d ~ c b

e d

Ha d elégséges feltétele annak, hogy b vagy c fennálljon, és ha mind b, mind c

elégséges feltétele a-nak, akkor d elegendő feltétele a-nak.

(49) — ((~ c b) (c a) (b a) a) [(47) (49) = (12)]

(12): b c a

49

c b a

d ~ c b

(50) — ((c a) (b a) (~ c b) a) [(49) (50) = (17)]

(17): b b a

c c a

d ~ c b

(51) — ((d c a) (b a) d (~ c b) a) [(50) (51) = (18)]

(18): a (~ c b) a

b b a

c c a

A 11. § végéhez csatlakozó kommentárban említettük, hogy „B A C” és „~ (B ~ A) C”

fölcserélhető. Ezt igazolja az alábbi levezetés.

(i) — ((c b a) c ~ a ~ b) [(i) = (29)]

(ii) — ((c ~ a ~ b) ~ a c ~ b) [(ii) = (8): a y~ b, b y~ a, d yc]

(iii) — ((~ a c ~ b) ~ (c ~ b) a) [= (33): b ya, a yc ~ b]

E háromból a (9) tétel kétszeri alkalmazásával kapjuk, hogy:

(iv) — ((c b a) ~ (c ~ b) a)

A fordított irányú kondicionális levezetése:

(v) — ([~ (c ~ b) a] ~ a c ~ b) [= (33): b yc ~ b]

(vi) — ((~ a c b) c ~ a ~ b) [= (8): a y~ b, b yc, d y~ a]

(vii) — ((c ~ a ~ b) ~ ~ b c a) [= (35): a y~ b, b ya]

(viii) — ((~ ~ b c a), b c a) [(41) (viii) = (9)]

(41): a yb, (9): a yc a, b y~ ~ b, c yb

(ix) — ((b c a) c b a) [= (8): b yc, d yb]

Az (v)…(ix) tételekből a (9) tétel négyszeri láncszerű alkalmazásával kapjuk a (x) tételt:

(x) — ([~ (c ~ b) a] c b a)

Az idézett helyen szereplő B, A, C betűknek levezetésünkben rendre a c, b, a változók felelnek meg.

20. §.

— ((c = d) f(c) f(d) (52)

Kizárt az az eset, hogy c tartalma azonos d tartalmával, és f(c)-t állítjuk, de f(d)-t

tagadjuk. Ez a tétel azt fejezi ki, hogy ha c = d, akkor c helyébe mindenütt d-t lehet

50

helyettesíteni. Itt f(c)-ben c másutt is előfordulhat, mint az argumentumhelyeken.

Ezért még f(d) is tartalmazhatja c-t.

(53) — (f(c) (c = d) f(d)) [(52) (53) = (8)]

(8): a yf(d), b yf(c), d y(c = d)

Az (52) alaptétel az azonosak fölcserélhetőségének Leibniztől származó törvénye. — Az Előszó

végén említi Frege, hogy a (31) és a (41) alaptételeket össze lehetne vonni a „— (~ ~ a = a)”

tételbe. Valóban, ebből és (52)-ből (31) és (41) levezethetők. (31) levezetéséhez válasszuk az f(A)

függvényt, „~~ a A”-nak:

(i) — ((~ ~ a = a) (~ ~ a ~ ~ a) ~ ~ a a)

[(52): c y~ ~ a, d ya, f(A) y~ ~ a A]

(ii) — (~ ~ a = a) [új alaptétel]

(iii) — (~ ~ a a) [(ii) (27) (iii) = (i); (27): a y~ ~ a]

Ha pedig f(A) szerepében az „A ~ ~ a” függvényt alkalmazzuk, hasonló módon levezethetjük

az „— (a ~ ~ a)” tételt is. — Ennek az egyszerűsítésnek azonban nincs különösebb jelentősége,

hiszen már említettük, hogy ha a (20) alaptétel helyett a (28.0) tételt választjuk „axiómának”, akkor

(31) és (41) is levezethető.

21. §.

— (c = c) (54)

c tartalma azonos c tartalmával.

(55) — ((c = d ) (d = c)) [(54) (55) = (53): f(A) y(A = c)]

(56) — ([(d = c) f(d) f(c)] (c = d) f(d) f(c)) [(55) (56) = (9)]

(9): b (d = c)

c (c = d)

a f(d) f(c)

(57) — ((c = d) f(d) f(c)) [(52) (57) = 56)]

(52): c yd, d yc

22. §.

— (a · f(a) f(c)) (58)

a · f(a) azt jelenti, hogy akármit is értünk a-n, f(a) fennáll. Ha tehát a ·f(a)-t

állítjuk, nem tagadhatjuk f(c)-t. Ezt fejezi ki tételünk. Itt a csak f

argumentumhelyein fordulhat elő, mivel ez a függvény az ítéletben a „a” kvantor

hatáskörén kívül is előfordul.

51

(59) — (g(b) ~ f(b) ~ a[g(a) f(a)]) [(58) (59) = (30)]

52

(58): f(A) g(A) f(A)

c b

(30): a f(b)

b a[g(a) f(a)]

c g(b)

Példa. Jelentsen

b egy struccmadarat, éspedig egy egyedi példányát ezen állatfajnak; továbbá

legyen

g(A): „A egy madár”;

f(A): „A tud repülni”.

Ezzel a következő ítéletet kapjuk:

„Ha ez a strucc madár és nem tud repülni, akkor néhány1 madár nem tud

repülni.”

Látható, hogyan helyettesít ez az ítélet egy következtetési módot, nevezetesen

Felaptont vagy Fesapot, melyek között itt nem teszünk különbséget, mivel az

alany kiemelése elesik.

Az (58) tétel a Fogalomírás utolsó alaptétele („axiómája”).

Az (59) tételnek a tradicionális logika Felapton (vagy Fesapo) következtetési módjaként való

interpretálása betű szerint nem helyes. A szöveges példa következő módosítása illusztrálná a

Felapton-sémát:

„Ha egyetlen strucc sem tud repülni, és minden strucc madár, akkor néhány madár nem tud

repülni.”

De az ennek megfelelő ítéletséma a Fogalomírásban nem vezethető le (s nyilván ezért alkalmaz

Frege általános állítások helyett szingulárisakat a példában). Ez azonban nem a Fogalomírás

hiányossága: a Felapton-séma (legalábbis a Fogalomírás szerinti rekonstrukciója) nem helyes. A

példa premisszái csak azt biztosítják, hogy nincsenek sem repülni tudó struccok, sem olyan

struccok, amelyek nem madarak, s ezekből nem következik (repülni nem tudó) madarak létezése

(amire a konklúzióban szereplő „néhány” kitétel utal).

(60) — (a[h(a) g(a) f(a)] g(b) h(b) f(b)) [(58) (60) = (12)]

1 Vö. 12. § 10. lábjegyzet.

(12): a f(b)

b g(b)

c h(b)

d a[h(a) g(a) f(a)]

(58): c b

f(A) h(A) g(A) f(A)

(61) — ((f(c) a) d · f(d) [(58) (61) = (9)]

(9): b yf(c), c yd · f(d)

(62) — (g(x) a[g(a) f(a)] f(x)) [(58) (62) = (8)]

53

(58): f(A) g(A) f(A)]

c x

(8): a f(x)

b g(x)

d a[g(a) f(a)]

Ez az ítélet pótolja a Barbara következtetési módot abban az esetben, amikor az

alsó tétel (g(x)) különös tartalmú [nem általános].

(63) — (g(x) m a[g(a) f(a)] f(x)) [(62) (63) = (24)]

(24): a a[g(a) f(a)] f(x)

b m

c g(x)

(64) — ([h(y) g(x)] a[g(a) f(a)] h(y) f(x)) [(62) (64) = (18)]

(18): a f(x)

b a[g(a) f(a)]

c g(x)

d h(y)

(65) — (a[h(a) g(a)] a[g(a) f(a)] h(x) f(x)) [(64) (65) = (61)]

(64): y yx

(61): c x

f(A) h(A) g(A)

a a[g(a) f(a)] h(x) f(x)

Itt a két kvantifikáció hatáskörében fordul elő anélkül, hogy ez valamilyen

különös kapcsolatot jelentene. Az egyik hatáskörben a helyett c-t is írhatnánk. —

Ez az ítélet pótolja a Barbara következtetési módot abban az esetben, amikor az

alsó tétel (a[h(a) g(a)]) általános tartalmú. Az az olvasó, aki belegondolta

magát a Fogalomírás levezetési módjába, képes lesz levezetni azokat az ítéleteket

is, amelyek más következtetési módoknak felelnek meg. Itt elegendőek példaként

a fentiek.

A Barbara szokásos alakjának a (65) tétel azon módosítása felel meg, amelyben a „h(x) f(x)”

utótag helyén „a[h(a) f(a)]” szerepel. A 11. § végén említi Frege azt a következtetést, amely

lehetővé teszi az áttérést (65)-ről az említett módosításra. E szerint „— ( (a))”-ból

következtethetünk „— (A a(a))”-ra, feltéve, hogy A-ban a nem szerepel szabadon. Ezt a

szabályt Frege a Fogalomírásban sehol sem alkalmazza, noha alkalmazhatná pl. a (60), (65), (66),

(68) sémákra. A szabály ténylegesen nélkülözhetetlen a Frege kitűzte cél eléréséhez.

(66) — (a[g(a) f(a)] a[h(a) g(a)] h(x) f(x)) [(65) (66) = (8)]

54

(8): a h(x) f(x)

b a[g(a) f(a)]

d a[h(a) g(a)]

(67) — ([(a · f(a) = b) b a · f(a)] (a · f(a) = b) b

f(x))

[(58) (67) = (71)]

(7): a f(c)

b a · f(a)

c b

d (a · f(a) = b)

(68) —((a · f(a) = b) b f(c)) [(57) (68) = (67)]

(57): f(A) A

c a · f(a)

d b

A Fogalomírás és a modern logika. Annak érdekében, hogy Frege teljesítményét helyesen

értékeljük, vezessük be a Fogalomírás nyelvében a következő korlátozásokat:

(a) Az azonosságjel két oldalán, valamint a függvényváltozók argumentumaként előforduló

kifejezések csak individuális objektumokra utalhatnak. (Nem utalhatnak tehát „megítélhető

tartalmakra”, azaz állításokra.)

(b) A kvantifikált változók megengedett értékei csakis individuális objektumok lehetnek.

Következésképp függvényváltozók kvantifikálása tilos.

Ezenfelül megtartjuk Frege azon korlátozását, amely szerint egy ítélet tartalmának

megítélhetőnek, azaz állításnak kell lennie, s ennek következtében bizonyos betűk csakis

állításokkal helyettesíthetők. (Pl. az (1)…(51) tételekben szereplő összes betű csak állítással

helyettesíthető.)

E korlátozásokkal Frege alaptételei [(1), (2), (8), (28), (31), (41), (52), (54) és (58)] és két

levezetési szabálya (a leválasztás és az „— (A (a))”-ból „— (A a · (a))”-ra való

következtetés, ahol a nem szerepel A-ban) alkotják az ún. klasszikus elsőrendű logika első deduktív

rendszerét vagy kalkulusát. (Az „elsőrendű” jelző épp arra utal, hogy csak individuumokat szabad

kvantifikálni, függvényeket nem. A kvantifikációt függvényekre is kiterjesztve, jutunk az ún.

másodrendű logikához.)

Ez a kalkulus száz év távlatából visszatekintve is hibátlan. A leggondosabb felülvizsgálat is csak

annyi eleganciahibát talált benne, hogy az alaptételek száma némileg csökkenthető (elhagyható (8),

és a (28), (31), (41) tételek helyettesíthetők az egyetlen (28.0)-val; lásd a kommentárt a 18. §-ban).

Két további kvantifikációs alaptétel fölvételével pedig elég egyetlen levezetési szabály: a

leválasztás. Természetesen ma számos alternatív felépítési módot is ismerünk (ilyenek lehetőségére

utal Frege is a 13. §-ban), de bizonyos szempontból ma is a Frege-féle fölépítés (a mondott

egyszerűsítésekkel) a legegyszerűbb és legelegánsabb.

A levezetési technika persze sokat fejlődött száz év alatt, s ez lehetővé teszi, hogy Frege fárasztó

levezetéseit egyszerűbbekkel helyettesítsük.

Az eltelt száz év kutatásai bizonyították Frege sejtését logikai rendszerének komplettségéről.

Mindenekelőtt bizonyítást nyert, hogy a , ~ szimbólumpár segítségével minden igazságfüggvény

kifejezhető (lásd a kommentárt a 7. § végén). Ezekhez hozzávéve még az , = jeleket, minden

55

olyan állítás logikai szerkezete teljesen föltárható, amelyben intenzionális (pl. modális)

komponensek nem szerepelnek. (Erről később szólunk.) Így a Fogalomírás grammatikai

struktúrája (relatíve) komplett.

Az elsőrendű logika deduktív (levezetési) struktúrájának komplettségét először Kurt Gödel [62]

bizonyította. Ezek szerint: ha A olyan séma, hogy „— A” nem vezethető le az elsőrendű

logikában, akkor A-hoz szerkeszthető cáfoló interpretáció. Az interpretáció fogalmát — a

terjedelmes definíció megadása helyett — három példával érzékeltetjük.

1. példa. „— ((a b) ~ (b a))” nem vezethető le a Fogalomírásban (s így az elsőrendű

logikában sem). Helyettesítsük a-t és b-t tetszőleges hamis állítással. Ekkor, a értelmezése

alapján, „a b” és „b a” egyaránt igaz állítást képviselnek. Az utóbbi miatt „~ (b a)” hamis, s

így „((a b) ~ (b a))” is hamis állítást képvisel. Interpretációnk tehát cáfolja a kiinduló

formulát.

2. példa. „— (x[f(x) g(x)] ~ x[f(x) ~ g(x)])” nem vezethető le a Fogalomírásban.

Kössük ki, hogy a kvantifikált változók megengedett értékei emberek; interpretáljuk f(x)-et mint az

„x sellő” és g(x)-et mint az „x szőke” kifejezést. Ezzel f(x) hamis lesz az x minden megengedett

értékére (hiszen az emberek között nincsenek sellők), s így „f(x) g(x)” és „f(x) ~ g(x)”

egyaránt igaz az x minden megengedett értékére. Következésképp „x[f(x) g(x)]” és „x[f(x)

~ g( x)]” igaz állításokat reprezentálnak. Ebből már a negáció és a kondicionális értelmezése

alapján folyik, hogy „x[f(x) g(x)] ~ x[f(x) ~ g(x))” hamis állítást reprezentál. Ezzel

megadtuk a kiinduló formulát cáfoló interpretációt.

3. példa. „— (x ~ y ~ f(x, y) ~ y ~ x · f(x, y))” nem vezethető le a Fogalomírásban. A

cáfoló interpretáció szerkesztéséhez kössük ki, hogy a kvantifikált változók megengedett értékei

természetes számok, s jelentse f(x, y) azt, hogy x kisebb mint y (x < y). Ezen interpretáció mellett a

tételben szereplő kondicionális előtagja azt állítja, hogy minden természetes számnál van nagyobb

— s ez igaz —, az utótag szerint pedig van olyan természetes szám, amely minden számnál

nagyobb — de ez hamis. Így interpretációnk cáfolja a tételben szereplő kondicionálist.

A Fogalomírás tehát részként tartalmazza a klasszikus elsőrendű logikát, de annál bővebb, s

magában foglalja a másodrendű logika bizonyos elemeit is. Frege későbbi munkáiban (lásd főleg

[V]-öt) a másodrendű logika részletesebb kidolgozását is megtaláljuk.

56

III. RÉSZLETEK EGY ÁLTALÁNOS SOROZATELMÉLETBŐL

Az Előszóban Frege utal arra, hogy legközelebbi programja az aritmetika fogalmainak és

tételeinek megalapozása a fogalomírás segítségével. Könyvének III. fejezete már e program

megvalósításának keretébe tartozik. Röviden ismertetjük a fejezet fontosabb definícióit és tételeit,

különös tekintettel azokra, amelyek az aritmetika logikai megalapozása szempontjából fontosak. A

jelöléstechnikában nem követjük Fregét.

Definíciók. Azt mondjuk, hogy az F(x) predikátum öröklődő (hereditarius) az f(a, b) relációra

nézve, ha valahányszor F igaz a-ra, s a és b között fennáll az f reláció, úgy F igaz b-re is. Jelölése:

„Herf(F)”. E jelölés felhasználásával a definíciót a következő azonossággal fejezhetjük ki:

(69) — Herf(F) = x(F(x) y[f(x, y) F(y)]).

A bal szélen a ‘— ’ jel jelzi, hogy definiáló azonosságról van szó (azaz a tételt nem kell

levezetni). A tételek számozásában az eredetit követjük.

Azt mondjuk, hogy a f-megelőzője b-nek (vagy: b f-követője a-nak), ha b-re igaz minden olyan,

f-re nézve öröklődő predikátum, amely igaz azokra a dolgokra, amelyekkel a az f relációban áll.

Jelölése: „a <f b”. A definíció formalizált alakja:

(76) — [a <f b] = F(Herf (F) x[f(a, x) F(x)] F(b)).

Ha történetesen f(x, y) azt jelenti, hogy y gyermeke x-nek, akkor „a < fb” jelentése: „a őse b-nek”

vagy „b utóda a-nak”.

Az f-megelőzés néhány tétele (bizonyítás nélkül):

(81) — (F(a) Herf (F) (a <f b) F(b))

(87) — ((a <f b) x[f(a, x) F(x)] Herf (F) f(b, c) F(c))

(91) — (f(x, y) (x <f y))

(96) — ((x <f y) f(y, z) (x <f z))

Jelölje „(c <f)” azt az F predikátumot, melyre F(z) = (c <f z). E jelöléssel:

(97) — Herf (c <f ).

Ez a tétel azt mondja ki, hogy a „c f-követőjének lenni” predikátum öröklődő f-re nézve.

(98) — ((x <f y) (y <f z) (x <f z)) [A „<f” tranzitivitása.]

A következő definíció nem igényel kommentárt:

(99) — [x f y] = [(x = y) (x <f y)].

(Itt, a könnyebb áttekinthetőség kedvéért, a ‘’ (‘vagy’) jelet is használjuk.)

(106) — ((x <f y) (x f y))

(108) — ((x f y) f(y, z) (x f z))

(109) — Herf (c f )

Az f reláció egyértékű (univalens), ha adott a-hoz legfeljebb egy olyan b található, hogy f(a, b)

teljesül. Jelölése: „UN(f)”. Formalizált definíciója:

(115) — UN(f) = xy [f(x, y) z(f(x, z) (z = y))

Ha f egyértékű, akkor bármely elem f-követői (szemléletünk szerint) sorozatot alkotnak.

(124) — (UN(f) f(x, y) (x <f z) (y f z))

(126) — (UN(f) f(x, y) (x <f z) [(y <f z) (z f y)])

57

Ezeket a tételeket Frege később fölhasználta a természetes számok sorozatának definiálásához.

II

FÜGGVÉNY ÉS FOGALOM

(1891)

Az itt következő előadás (amelyet Frege a jénai orvos- és természettudományi társaság ülésén

tartott) a fregei logikai és matematikafilozófiai koncepció továbbfejlődésének lényeges elemeit

tartalmazza, és számos tekintetben pontosítja a Fogalomírásban [I] és Az aritmetika alapjaiban [9]

szereplő eszméket. A legfontosabb új vonások a következők:

(a) A függvényfogalom szabatosítása (a korabeli matematika függvényfogalmára is

támaszkodva), a függvény és a tárgy éles elkülönítése, a függvény értékmenete fogalmának

bevezetése, az értékmenetek tárgyakként való deklarálása.

(b) Az igazságértékek bevezetése és tárgyakként való deklarálása. A fogalomnak és a relációnak

olyan egy-, ill. kétargumentumú függvényként való értelmezése, melynek értékei igazságértékek.

A fogalom (mint függvény) értékmenetének azonosítása a fogalom terjedelmével. Az utóbbi

biztosítja, hogy a számosságok logikailag definiálhatók legyenek ( vö. Az aritmetika alapjai [9],

68. §.)

c) Igazságfüggvények explicit bevezetése. Annak hangsúlyozása, hogy a függvényeknek (az

igazságfüggvényeket is beleértve) minden lehetséges argumentumra értelmezve kell lenniök.

(d) Első- és másodfokú függvények megkülönböztetése.

(e) A jel (kifejezés, szó) mögötti, eddig „egydimenziósnak” tekintett tartalom „kétdimenziósra”

bontása. A jel jelöl valamit, ez a jelölete (Bedeutung), és valamilyen módon jelöli ezt, miáltal

kifejez egy jelentést vagy értelmet (Sinn).

A német köznyelvben a ‘Bedeutung’ és a ‘Sinn’ szavak többé-kevésbé szinonimák, csakúgy, mint

szótár szerinti magyar megfelelőik, a ‘jelentés’ és az ‘értelem’. Frege e szavakat

szakkifejezésekként és nem köznyelvi értelemben óhajtja használni; a kifejezések megválasztása

azonban — az említett szinonimitás miatt — nem szerencsés. A magyar olvasót is megzavarná —

alkalomadtán félre is vezetné —, ha a ‘jelentés’ és az ‘értelem’ szavakkal adnánk vissza azt, amit

Frege az említett német szavakkal ki akar fejezni. A logikai-szemantikai témákkal foglalkozó

magyar nyelvű irodalomban találkozunk olyan megoldással is, amely megelégszik a ‘jelentés’-

‘értelem’ tükörfordítással, mások a ‘Bedeutung’-ot a ‘jelölt’ vagy a ‘megjelölt’ kifejezéssel adják

vissza, ismét mások a latin eredetű (és tartalmilag pontos) ‘denotátum’ szóval helyettesítik. A

kommentátor itt a ‘jelölet’ szót választotta, amely nem szerepel a Magyar Értelmező Kéziszótárban

listázott szavak között, s így félreértés veszélye nélkül használható szakkifejezésként. (Egyébként e

szó tökéletes analogonja a ‘denotátum’-nak.) A fregei ‘Sinn’-t többnyire ‘jelentés’-nek, néha

‘értelem’-nek fordítjuk. Természetesen ott, ahol Frege a ‘Bedeutung’ szót nem szemantikai

szakkifejezésként használja, nem alkalmazzuk a fenti megoldást.

Az előadás előszavát elhagytuk. A csatlakozó kommentárokat itt megszámozzuk, a későbbi

visszautalás megkönnyítése érdekében.

58

Hosszabb idővel ezelőtt1 részem volt abban a megtiszteltetésben, hogy a jelen

társaságban előadást tarthattam arról a jelölésrendszerről, amelyet fogalomírásnak

neveztem el. Ma más oldaláról szeretném megvilágítani ezt a témát, továbbá

szeretnék bemutatni néhány kiegészítést és új felfogást, melynek szükségességét

azóta ismertem föl. Most nem lehet szó fogalomírásom teljes kifejtéséről, csak

arról, hogy néhány alapgondolatot megvilágítsak.

Abból indulok ki, amit a matematikában függvénynek neveznek. Ez a szó nem

bírt kezdettől fogva azzal a széles jelentéssel, amelyre később tett szert. Helyes

lesz, ha vizsgálatunkat eredeti használati módjával kezdjük, és csak ezután

vesszük szemügyre a későbbi kiterjesztéseket. Először csak egyargumentumú

függvényekről kívánok beszélni. Egy tudományos kifejezés akkor lép föl először

határozott jelentéssel, amikor valamely törvényszerűség kifejezéséhez van

szükségünk rá. Ez a helyzet a függvény esetében a felsőbb analízis fölfedezésekor

következett be. Ekkor volt szó először olyan törvények felállításáról, amelyek

függvényekre általánosan érvényesek. A felsőbb analízis felfedezésének korába

kell tehát visszamennünk, ha tudni akarjuk, hogy mit értettek a matematikában

eredetileg a „függvény” szón. Erre a kérdésre körülbelül a következő feleletet

kaphatjuk: „x egy függvényén olyan számtani kifejezést értünk, amely tartalmazza

x-et, olyan formulát, mely az x betűt magában foglalja.” Ezek szerint pl. a

2 · x3+x

kifejezés x függvénye, a

2 · 23+2

pedig a 2 függvénye lenne. Ez a felelet nem nyugtathat meg bennünket, mivel

benne forma és tartalom, jel és megjelölt nem különböződik meg, mely hibával

persze manapság matematikai írásokban, még neves szerzők esetén is, nagyon

gyakran találkozhatunk. Már régebben2 utaltam az aritmetikában elterjedt formális

elméleteknek erre a hiányosságára. Jelekről beszélnek itt, amelyeknek nincs, nem

is lehet tartalmuk, mégis olyan tulajdonságokkal ruházzák fel őket, amelyek

értelmesen csakis a jelek valamilyen tartalmát illethetnék meg. Ez a helyzet itt is: a

dolog lényege nem lehet egy puszta kifejezés, egy tartalom formája, hanem csak a

tartalom maga. Mi hát a „2 · 23+2” jelentése, tartalma? Ugyanaz, mint „18”-é vagy

„3 · 6”-é. A 2 · 23+2 = 18 egyenlőségben fejezzük ki, hogy a jobb oldalán levő

jelkapcsolat jelölete ugyanaz, mint a bal oldalán levőé. Szembe kell itt szállnom

azzal a nézettel, miszerint pl. 2+5 és 3+4 egyenlő ugyan, de nem ugyanaz. Ennek a

vélekedésnek az alapja szintén a forma és a tartalom, a jel és a megjelölt

összecserélése. Olyan ez, mintha az illatos ibolyát különbözőnek tekintenénk a

Viola odoratától, mivel a nevek különbözőképpen hangzanak. A jelölés

1 1879. január 10-én és 1882. január 27-én.

2 Az aritmetika alapjai, 94. § skk. és Sitzungsberichte der Jenaischen

Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, 1885. évf., július 17-i ülés.

59

különbözősége önmagában nem lehet elegendő alap a megjelöltek

különbözőségéhez. Itt csak azért kevésbé átlátszó dolog, mert amit a 7 számjel

jelöl, az nem valami érzékileg észlelhető. Az a ma nagyon elterjedt hajlam, hogy

semmit se ismerjenek el tárgynak, amit nem lehet érzékekkel észlelni, ahhoz vezet

aztán, hogy magukat a számjeleket tartsák számoknak, a vizsgálódás

tulajdonképpeni tárgyainak;3 és akkor persze hogy különböző lesz 7 és 2+5. Ez a

felfogás azonban nem tartható, mert egyáltalán nem lehet a számok valamely

aritmetikai tulajdonságáról beszélni a számjelek jelöletére való hivatkozás nélkül.

Pl. az 1-nek az a tulajdonsága, hogy önmagával szorozva újra önmagát adja,

puszta kitalálás volna; semmilyen, mégoly kiterjedt mikroszkopikus vagy kémiai

vizsgálat sem tudná ezt a tulajdonságot felfedezni azon az ártatlan ábrán, amelyet

az egy jelének nevezünk. Talán definícióról beszélhetnénk; de egy definíció sem

lehet teremtő, semminek sem kölcsönözhet olyan tulajdonságokat, amelyekkel az

illető dolog nem bír, kivéve azt az egyet, hogy kifejezze és jelölje azt, aminek

jeléül a definíció a dolgot bevezette.4 Viszont azoknak az ábráknak, amelyeket

számjeleknek nevezünk, olyan fizikai és kémiai tulajdonságaik vannak, amelyek

az íróeszköztől függenek. El lehetne képzelni, hogy valamikor új számjeleket

fognak bevezetni, mint ahogy pl. az arab számok kiszorították a rómaiakat. Senki

nem fogja komolyan venni, hogy ezáltal új számokat, az aritmetika egészen új

tárgyait kapnánk, mostanáig felderítetlen tulajdonságokkal. Ha tehát a

számjelektől meg kell különböztetnünk jelöletüket, akkor el kell ismernünk, hogy

a „2”, „1+1”, „3–1”, „6 : 3” kifejezéseknek ugyanaz a jelöletük; mert egyáltalán

nem lehet látni, hogy miben állhatna a különbség. Talán ezt mondják: 1+1 összeg,

6 : 3 viszont hányados. Mi azonban 6 : 3? — az a szám, amely 3-mal szorozva 6-ot

ad. Tehát „a szám”, nem „egy szám”; a határozott névelővel jelezzük, hogy csak

egy ilyen van. De hát

(1+1)+(1+1)+(1+1) = 6,

és így (1+1) éppen az a szám, amelyet 6 : 3-mal jelöltünk. A különböző

kifejezések különböző felfogásoknak és oldalaknak felelnek meg, de mindig

ugyanazon dolognak. Az x2 = 4 egyenletnek különben nemcsak 2 és –2 lennének a

gyökei, hanem 1+1 és számtalan más is, amelyek egymástól különbözők volnának,

ha bizonyos szempontból hasonlóak is. Amennyiben csak két valós gyököt

ismerünk el, elvetjük azt a szemléletet, hogy az egyenlőségjel nem teljes

egybeesést, hanem csak részleges megegyezést jelöl. Ha ehhez tartjuk magunkat,

látjuk, hogy a

3 Vö. a következő dolgozatokkal: H. v. Helmholtz: „Zählen und Messen

erkenntnistheoretisch betrachtet” és Leopold Kronecker: „Über den

Zahlenbegriff”. (Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen

Doctorjubiläum gewidmet, Leipzig, 1887.) 4 Itt mindig arról van szó, hogy egy jelhez valamilyen jelentést vagy jelöletet

kapcsoljunk. Ahol jelentés és jelölet teljesen hiányzik, tulajdonképpen sem jelről,

sem definícióról nem lehet szó.

60

„2 · 13+1”,

„2 · 23+2”,

„2 · 43+4”

kifejezések számokat jelölnek, nevezetesen 3-at, 18-at, 132-t. Ha tehát a függvény

valóban csak egy számtani kifejezés jelölete volna, akkor csupán szám volna; és

nem nyernénk vele valami újdonságot az aritmetika számára. A „függvény” szóval

persze csak olyan kifejezésekre szoktak gondolni, amelyekben egy számra csak

határozatlanul utalnak az x betűvel, mint pl.

„2 · x+x”;

de ezzel semmi sem változik; mivel akkor ez a kifejezés is csak meghatározatlanul

utal egy számra; és hogy azt írom-e oda vagy csak „x”-et, nem lényeges

különbség.

Mindazonáltal éppen a határozatlanul utaló „x”-szel való felírás vezet rá a

helyes felfogásra. x-et a függvény argumentumának nevezzük, és a

„2 · 13+1”,

„2 · 43+4”,

„2 · 53+5”

kifejezésekben felismerjük ugyanezt a függvényt, csak különböző

argumentumokkal, nevezetesen 1-gyel, 4-gyel, 5-tel. Ebből látható, hogy a

függvény tulajdonképpeni lényege abban van, ami ezekben a kifejezésekben

közös, azaz tehát abban, ami a

„2 · x3+x”

kifejezésben az „x”-en kívül még jelen van, amit valahogy így írhatnánk:

„2 · ( )3+( )”.

Eljutottam oda, hogy megmutassam, miszerint az argumentum nem tartozik a

függvényhez, hanem a függvénnyel együtt egy teljes egészet képez; mivel a

függvényt önmagában nem teljesnek, kiegészítésre szorulónak, kitöltetlennek kell

tekinteni. És ebben különböznek alapvetően a függvények a számoktól. És a

függvénynek ebből a lényegéből magyarázódik, hogy egyrészt „2 · 13+1”-ben és

„2 · 23+2”-ben felismerjük ugyanazt a függvényt, habár ezek a kifejezések

különböző számokat jelölnek, míg viszont „2 · 1+1”-ben és „4–1”-ben a közös

számérték ellenére nem találjuk meg ugyanazt a függvényt. Azt is látjuk, hogy

mennyire csábító a kifejezés formájában vélni a függvény lényegét. A kifejezésben

azáltal ismerjük fel a függvényt. hogy szétbontva gondoljuk; és egy ilyen

lehetséges szétbontás a képzés módjában kézenfekvően adódik.

61

Az a két rész, amelyre a számtani kifejezés így szétbomlik: az argumentum jele

és a függvény kifejezése, különböző fajtájúak, mivel az argumentum egy szám,

egy önmagában lezárt egész, míg a függvény nem az. Ezt össze lehet hasonlítani

azzal, amikor egy szakaszt egy ponttal felosztunk. Ilyenkor hajlamosak vagyunk

arra, hogy az osztópontot mindkét részszakaszhoz hozzászámítsuk. Ha azonban a

felosztást tisztán akarjuk elvégezni, nevezetesen úgy, hogy semmit sem számolunk

kétszeresen és semmit sem hagyunk ki, akkor az osztópontot csak az egyik

részszakaszhoz számíthatjuk. Ez a rész tehát teljesen lezárt, hasonlóan az

argumentumhoz, míg a másikból valami hiányzik. Ugyanis az osztópont, amelyet

végpontjának lehetne nevezni, nem tartozik hozzá. Csak úgy kapunk belőle valami

teljeset, ha kiegészítjük ezzel a végponttal, vagy egy zárt szakasszal. Ha tehát pl.

azt mondom, hogy „a 2 · x3+x függvény”, akkor az x-et nem lehet a függvényhez

tartozónak tekinteni, hanem ez a betű csak arra szolgál, hogy a kiegészítésre

szorulás módját jelezze, amennyiben felismerhetővé teszi azokat a helyeket, ahová

az argumentum jelének be kell lépnie.

Azt, amivé a függvény argumentumával kiegészül, a függvény ezen

argumentumhoz tartozó értékének nevezzük. Így pl. a 2 · x2+x függvény értéke az

1 argumentumra 3, mert 2 · 1 2+1 = 3.

Vannak olyan függvények, mint pl. 2+x–x vagy 2+0 · x, amelyeknek mindig

ugyanaz az értékük, akármi is az argumentumuk; 2+x–x = 2 és 2+0 · x = 2. Ha

tehát az argumentumot a függvényhez számítanánk, akkor a 2 számot tartanánk

ennek a függvénynek. Ez azonban helytelen. Habár itt a függvény értéke mindig 2,

a függvény maga mégis megkülönböztetendő a 2-től; mivel a függvény

kifejezésében mindig kell lennie egy vagy több olyan helynek, amely az

argumentum jelével való kitöltésre szolgál.

Az analitikus geometria módszere eszközt kínál ahhoz, hogy egy függvény

értékeit különböző argumentumokra szemléletessé tegyük. Amikor ugyanis az

argumentumot egy pont abszcisszája számértékének, a függvény hozzá tartozó

értékét pedig az ordináta számértékének tekintjük, a pontok egy olyan összességét

kapjuk, amely szemléletesen a szokásos esetekben görbét alkot. Minden görbepont

megfelel egy argumentumnak a hozzá tartozó függvényértékkel. Így pl.

y = x2–4x

parabolát ad, amikor is „y” a függvény értékére és egyúttal az ordináta

számértékére utal, „x” pedig az argumentumra és az abszcissza számértékére. Ha

összehasonlítjuk ezzel az

x(x –4)

függvényt, azt találjuk, hogy ez általánosan bármely argumentumra ugyanazt az

értéket adja, mint az előbbi. Általában

x2–4x = x(x–4),

akármilyen számot veszünk x-nek. Ezért az a görbe, amelyet

62

y = x2–4x

ad, ugyanaz, mint amelyhez

y = x(x–4)

révén jutunk. Ezt így fejezem ki: az x(x–4) függvény értékmenete ugyanaz, mint

az x2–4x függvényé.

Ha azt írjuk, hogy

x2– 4x = x(x – 4),

akkor nem egy függvényt azonosítottunk egy másikkal, hanem csak

függvényértékeket tettünk egyenlővé egymással. És ha ezt az egyenletet úgy

értjük, hogy érvényesnek kell lennie, akármilyen értékeket helyettesítünk is x

helyébe, akkor ezzel egy egyenlőség általánosságát fejeztük ki. De ebből a célból

azt is mondhatjuk, hogy „az x(x–4) függvény értékmenete megegyezik az x2–4x

függvényével”, és ez már értékmenetek azonosítása. Az, hogy egy

függvényértékek közötti egyenlet általánosságát azonosságként, nevezetesen

értékmenetek azonosságaként lehet felfogni, úgy vélem nem bizonyítható, hanem

logikai alaptörvénynek kell tekinteni.5

Be lehet vezetni egy rövid jelölésmódot a függvény értékmenetének jelölésére.

Ebből a célból a függvény kifejezésében az argumentum jelét valamely latin

kisbetűvel helyettesítem, az egészet zárójelbe teszem és elé teszem ugyanazt a

betűt circumflexszel. Ezek szerint pl.:

( )c c c2 4

az x2–4x függvény értékmenete és

$a a a( ( - ))4

az x(x–4) függvény értékmenete úgy, hogy

„ ( )c c c2 4 = $a a a( ( - ))4 ”

a kifejezésünk arra, hogy az első értékmenet ugyanaz, mint a második. A betűket

szándékosan választottam különbözőeknek, hogy jelezzem, semmiképp sem

szükséges ugyanazt választani. Bár

5 A szokásos matematikai beszédmód sok fordulatában a 'függvény' szó annak

felel meg, amit én itt a függvény értékmenetének neveztem. De a függvény a szó

itt használt értelmében a logikailag elsődleges.

63

„x2–4x = x(x–4)”

is ugyanazon értelmet fejezi ki, ha úgy értjük, ahogy fent, de más módon.

Utóbbiban az értelem egy egyenlet általánosságaként nyilvánul meg, míg az

újonnan bevezetett kifejezés egyszerűen egy azonosság, melynek mind jobb, mind

bal oldala önmagában lezárt jelentéssel bír. Az

„x2–4x = x(x–4)”

kifejezésben a bal oldal, önmagában tekintve, csak meghatározatlanul utal egy

számra, s ugyanígy a jobb oldal is. Ha csupán„x2–4x”-szel volna dolgunk, akkor

„y2–4y”-t is írhatnánk helyette, anélkül, hogy a jelentést megváltoztatnánk; hiszen

„.y”, éppúgy, mint „x”, csak meghatározatlanul utal egy számra. Ha azonban a két

oldalt egyenletté egyesítjük, akkor mindkét oldalon ugyanazt a betűt kell

választanunk, és ezáltal valami olyant fejezünk ki, amit sem a bal oldal

önmagában, sem a jobb oldal, sem az azonosságjel nem tartalmaz, nevezetesen

éppen az általánosságot, persze egy egyenlet általánosságát, de elsősorban mégis

egy általánosságot.

(1) Mint látjuk, Frege nem ad explicit definíciót arra, hogy mit értsünk egy függvény

értékmenetén, csupán azt definiálja, hogy két függvény értékmenete mikor tekintendő azonosnak.

Az [V]-ben bevezetett logikai nyelvben (amely a fogalomírás továbbfejlesztett változata)

axiómaként szerepel az, amit az utolsó előtti bekezdés végén Frege nem bizonyítható logikai

alaptörvénynek tekint, nevezetesen hogy „x(f(x) = g(x))” kifejezhető mint $c · f(c) = â · g(a).

A „ $c · f(c)” alakú kifejezésekben a circumflex szerepe hasonló az ‘’ kvantor szerepéhez a „c ·

f(c)” alakú kifejezésekben: a „ $c ” hatáskörében c előfordulásai kötöttnek számítanak (nem

helyettesíthetők be nevekkel). Ezért „ $c ” hatáskörét is egyértelműen ki kell jelölni (összetett

kifejezés esetén zárójelekkel közrefogni). (Lásd [I],11. §-t és a kommentárokat.) Természetesen c

helyett más betű (változó) is szerepelhet. — Ahogyan a kvantifikált változók jelölésére speciális

(nevezetesen: gót) betűket alkalmaz Frege, úgy a circumflexes változók jelölésére is extra betűket

használ: magánhangzókat jelölő görög kisbetűket (, ), s a circumflex helyett spiritus lenist tesz

föléjük (˘, ™). Mint a kvantifikáció esetén, itt sem indokolt a különleges betűk használata, ezért ezt

is mellőzzük. A circumflex használata B. Russelltől származik.

Ahogyan az általánosság kifejezésekor a betűvel utalunk határozatlanul a számra,

ugyanúgy szükségünk van arra is, hogy függvényre utaljunk határozatlanul egy

betűvel. Erre legtöbbször az f és az F betűket használjuk oly módon, hogy „f(x)”-

ben és „F(x)”-ben x az argumentumot képviseli. Itt a függvény kiegészítésre

szoruló volta úgy jut kifejezésre, hogy az f vagy az F betű zárójelpárral jár együtt,

amelynek belseje az argumentumjel felvételére szolgál. Ezek szerint

„â · f(a)”

egy meghatározatlanul hagyott függvény értékmenetére utal.

Hogyan szélesedett ki a függvény szó jelentése a tudomány előrehaladásával?

Itt két irányt különböztethetünk meg. Először ugyanis kiszélesedett azoknak a

64

számolási módoknak a köre, amelyek függvények képzéséhez vezettek. Az

összeadás, szorzás, hatványozás és megfordításaik mellett fölléptek még a

különböző fajta határátmenetek, anélkül azonban, hogy mindig világosan

tudatában lettek volna annak a lényeges újnak, amit ezáltal felvettek.

Továbbmentek, és szinte kényszerítve voltak a köznyelvhez menekülni, mivel az

analízis jelölésnyelve csődöt mondott, mikor pl. olyan függvényről volt szó,

amelynek értéke racionális argumentumokra 1, irracionálisakra 0.

Másodszor pedig kiszélesedett azoknak a dolgoknak a köre, amelyek

argumentumként és függvényértékként felléphetnek, a komplex számok

bevezetésével. Ezzel együtt tágabban kellett meghatározni az „összeg”, „szorzat”

stb. kifejezések értelmét is.

Én most mindkét irányban továbbmegyek. Először is a +, – stb. jelekhez,

melyek függvénykifejezések képzésére szolgálnak, még hozzáveszek olyan

jeleket, mint =, >, <, úgyhogy beszélhetek pl. az x2 = 1 függvényről, ahol x, mint

korábban, az argumentumot képviseli. Az első idevágó kérdés az, hogy mik ennek

a függvénynek az értékei különböző argumentumokra. Ha x-et egymás után a –l,

0,1, 2 számokkal helyettesítjük, rendre ezt kapjuk:

–12 = 1,

02 = 1,

12 = 1,

22 = 1.

Ezen azonosságok közül az első és a harmadik igaz, a többi hamis. Azt

mondom tehát: „függvényünk értéke egy igazságérték”, és megkülönböztetem az

igazság igazságértékét a hamisságétól. Az egyiket röviden az Igaznak, a másikat a

Hamisnak nevezem. Ezek szerint pl. „22 = 4” az Igazat jelöli, éppúgy, ahogy 2

2 a

4-et jelöli. És 22 = 1 a Hamisat jelöli. Ennélfogva

„22 = 4”, „2 > 1”, „2

4 = 4

2”,

ugyanazt jelölik, ti. az Igazat, tehát

(22 = 4) = (2 > 1)

helyes azonosság.

(2) Az igazságértékeket Frege (absztrakt) tárgyaknak tekinti, amelyeket a ‘das Wahre’, ‘das

Falsche’ tulajdonnevekkel jelöl; ezt a felfogást igyekszünk érzékeltetni e tulajdonneveknek ‘az

Igaz’, ‘a Hamis’ kifejezésekkel való fordításával. Minden igaz mondat megnevezi (jelöli) az

Igazat, s minden hamis mondat a Hamisat. Így két igaz mondat (s ugyanígy két hamis is)

összekapcsolható az azonosság jelével, amely, ezek szerint, a jelöletek azonosságának kifejezésére

szolgál, nem pedig — mint a Fogalomírásban — differenciálatlanul a „tartalom” azonosságának

kifejezésére. (Vö. [I] 8. §-ával.) Látható, hogy Frege a kijelentő mondatokat neveknek tekinti (az

igazságértékek neveinek). E szemlélet feladásával a mondatok nem kapcsolhatók össze

azonosságjellel (hanem csak a bikondicionális ‘’ jelével).

65

Kézenfekvő itt az az ellenvetés, hogy hiszen „22 = 4” és „2 > 1" egészen mást

mondanak, teljesen különböző gondolatokat fejeznek ki; de hiszen „24 = 4

2” és „4

· 4 = 42” is teljesen különböző gondolatokat fejeznek ki, és mégis lehetséges „2

4”-t

„4 · 4”-gyel helyettesíteni, mivel a két jelnek ugyanaz a jelölete. Innen látható;

hogy a jelölet azonosságának nem következménye a gondolat azonossága. Ha azt

mondjuk, hogy „az Alkonycsillag olyan bolygó, melynek keringési ideje kisebb a

Földénél”, akkor más gondolatot fejezünk ki, mint abban a mondatban, hogy „a

Hajnalcsillag olyan bolygó, melynek keringési ideje kisebb a Földénél”; hiszen aki

nem tudja, hogy az Alkonycsillag nem más, mint a Hajnalcsillag, az egyiket

igaznak, a másikat hamisnak vélheti; és a két mondatnak mégis ugyanazt kell

jelölnie, mert csak az „Alkonycsillag” és a „Hajnalcsillag” kifejezéseket cseréltük

föl, melyeknek ugyanaz a jelöletük, ti. egyazon égitest tulajdonnevei. Meg kell

különböztetni a jelentést (értelmet) és a jelöletet. „24” és „4

2” jelölete azonos, azaz

ugyanannak a számnak a tulajdonnevei; de nem ugyanaz a jelentésük; és ezért, bár

„24 = 4

2”-nek és „4 · 4 = 4

2”-nek ugyanaz a jelölete, de nem ugyanaz a jelentése;

azaz ebben az esetben: nem ugyanazt a gondolatot tartalmazzák.6

Tehát ugyanazon alapon, amelyen ezt írjuk:

„24 = 4 · 4”,

ezt is írhatjuk

„(24 = 4

2) = (4 · 4 = 4

2)”,

és

„(22 = 4) = (2 > 1)”.

(3) Itt találkozunk először a jelölet (Bedeutung) és a jelentés (vagy értelem, Sinn)

megkülönböztetésével (lásd e cikk elején a bevezető kommentárt is). A megkülönböztetés

finomabb kidolgozását találjuk [III]-ban, de főleg [IV]-ben. — Frege a tárgyak neveit

tulajdonnevekként aposztrofálja; helyesebb lenne az individuumnév kifejezés, azzal, hogy egy

individuumnév lehet tulajdonnév (amelynek jelöletét konvenció rögzíti) vagy leírás (deskripció),

amelynek jelöletét döntően a név jelentése határozza meg. Pl. ‘3’ tulajdonnév, viszont ‘a legkisebb

páratlan törzsszám’ leírás (jelöletük azonos).

Feltehető ezek után a kérdés, hogy mi célt szolgál az =, >, < jelek felvétele azok

körébe, amelyek függvénykifejezések képzésére szolgálnak. Úgy tűnik, egyre több

követőt talál az a nézet, mely szerint az aritmetika továbbfejlesztett logika, azaz

hogy az aritmetikai törvények szigorúbb megalapozása tisztán logikai

törvényekhez és csak ilyenekhez vezet vissza. Magam is ezen a véleményen

6 Nem lévesztem szem elől, hogy ez a megoldás első hallásra önkényesnek és

mesterkéltnek tűnhet, és behatóbb megalapozást igényel. Vö. a jelentésről és a

jelöletről szóló, a közeljövőben megjelenő dolgozatommal. [Lásd e kötetben [IV]

alatt.]

66

vagyok, és erre alapozom azt a követelést, hogy az aritmetikai jelölésnyelvet

logikaivá kell kiszélesíteni. Hogyan történjék ez esetünkben, arra fogok most

utalni.

(4) Ez a szöveg Frege ún. logicista matematikafilozófiájára utal.

Láttuk, hogy x2 = 1 függvényünk értéke mindig a két igazságérték valamelyike.

Amikor egy meghatározott argumentumra, pl. –1-re a függvényérték az Igaz, ezt

így fejezhetjük ki: „a –1 számnak megvan az a tulajdonsága, hogy a négyzete 1”,

vagy rövidebben: „–1 az 1-nek egy négyzetgyöke”, vagy „–1 az 1

négyzetgyökének fogalma alá esik”. Ha az x2 = 1 függvény értéke egy

argumentumra, pl. 2-re, a Hamis, ezt így fejezhetjük ki: „2 nem négyzetgyöke 1-

nek” vagy „2 nem esik az 1 négyzetgyökének fogalma alá”. Ebből láthatjuk,

milyen szorosan függ össze az, amit a logikában fogalomnak neveznek, azzal, amit

függvénynek nevezünk. Sőt éppenséggel ezt is mondhatjuk: a fogalom olyan

függvény, amelynek értéke mindig igazságérték. Az

(x+1)2 = 2(x+1)

függvény értéke is mindig igazságérték. Az Igazat kapjuk függvényértékként pl. a

–1 argumentumra, és ezt így is ki tudjuk fejezni: a –1 olyan szám, amely 1-gyel

kisebb egy olyan számnál, amelynek négyzete egyenlő a kétszeresével. Ezzel a –1

számnak egy fogalom alá esését fejeztük ki. Az

x2 =1 és az (x+1)

2 = 2(x+1)

függvényeknek ugyanarra az argumentumra mindig ugyanaz az értékük,

nevezetesen –1-re és 1-re az Igaz, minden más argumentumra a Hamis. A

korábban megállapítottak szerint azt fogjuk tehát mondani, hogy e függvényeknek

ugyanaz az értékmenetük, és ezt így fejezzük ki jelekben:

$c (c

2 = 1) = â((a+1)

2 = 2(a+1)).

A logikában ezt a fogalmak terjedelme azonosságának nevezik. Ezek szerint

fogalomterjedelemnek nevezhetjük egy olyan függvény értékmenetét, amelynek

értéke minden argumentumra igazságérték.

Nem állunk meg az azonosságoknál és egyenlőtlenségeknél. Az azonosságok

nyelvi formája kijelentő mondat. Egy kijelentő mondat jelentésként egy gondolatot

tartalmaz — vagy legalábbis igényt tart rá, hogy tartalmazzon egy gondolatot —;

és ez a gondolat általában igaz vagy hamis; azaz általában igazságértékkel bír,

amit ugyanúgy a mondat jelöletének kell felfogni, mint ahogyan a 4 szám a „2+2”

kifejezés jelölete, vagy mint London az „Anglia fővárosa kifejezés jelölete.

(5) Frege fogalomkoncepciója első hallásra különösnek tűnhet, ennek ellenére lényegében

megegyezik a korabeli „általános fogalom” tradicionális felfogásával. Megközelítésének újdonsága

az, hogy az általános fogalmakat az egyargumentumú függvények speciális esetének tekinti. Mivel

67

az ilyen függvények értékei igazságértékek, és mert utóbbiak száma kettő, egy ilyen függvény

értékmenetének ismeretéhez tökéletesen elegendő pl. azon argumentumok összességének ismerete,

amelyekre a függvény értéke az Igaz (hiszen ezzel azt is tudjuk, hogy az összes többi

argumentumra a függvény értéke a Hamis). Következésképp: Egy általános fogalomnak mint

függvénynek az értékmenete egyértelműen megadható azon tárgyak osztályával, amelyekre a

függvény értéke az Igaz. Ez az osztály azonban nem más, mint azon tárgyak osztálya, amelyek a

szóban forgó fogalom „alá esnek”, s éppen ezt nevezik az illető fogalom terjedelmének. Így, ha f(x)

fogalom (a Frege-féle értelemben), akkor

$x · f(x) = {x : f(x)},

ahol az azonosság jobb oldala, a modern halmazelméleti jelöléssel, azon x dolgok osztályát jelöli,

amelyekre f(x) igaz. Ha f(x) nem fogalom, hanem olyan függvény, melynek értékei nem (vagy nem

mindig) igazságértékek, akkor értékmenete azon rendezett párok osztályával adható meg,

melyekben az első tag argumentumérték, a második tag a hozzá tartozó (egyértelműen

meghatározott) függvényérték. Ekkor:

$x · f(x) = {<x, y> : f(x) = y},

ahol „<x, y>” azt a rendezett párt jelöli, melynek x az első, y pedig a második komponense; az

azonosság jobb oldala így olvasható: „azon <x, y> rendezett párok osztálya, amelyekre f(x) azonos

y-nal”. (A függvény fogalmába beletartozik, hogy egy argumentumértékhez egy és csak egy

függvényérték járul.)

A kijelentő mondatok általában — ugyanúgy, mint az azonosságok, vagy az

egyenlőtlenségek, vagy az analitikus kifejezések — felbonthatók két olyan részre,

melyek közül az egyik önmagában lezárt, a másik kiegészítésre szoruló,

kitöltetlen. Így pl. a

„Caesar meghódította Galliát”

mondatot felbonthatjuk a „Caesar” és a „meghódította Galliát” részekre. A

második rész kitöltetlen, üres hellyel jár együtt, és csak azáltal kerül napvilágra

egy lezárt értelem, ha ezt a helyet kitöltjük egy tulajdonnévvel vagy olyan

kifejezéssel, amely tulajdonnevet képvisel. Ennek a kitöltetlen résznek [vagyis a

„meghódította Galliát” kifejezésnek] a jelöletét itt is függvénynek nevezem. Ebben

az esetben az argumentum Caesar.

Látjuk, hogy itt egyúttal kiterjesztést hajtottunk végre a másik irányban is,

nevezetesen abban a tekintetben, hogy mi léphet föl argumentumként. Többé nem

csupán számokat engedünk meg, hanem tárgyakat általában, ahol mindenesetre a

személyeket is a tárgyakhoz számítom. Már előzetesen bevezettük lehetséges

függvényértékként a két igazságértéket. Tovább kell mennünk, és a tárgyakat

korlátozás nélkül meg kell engednünk függvényértékként. Hogy erre példát

lássunk, induljunk ki a következő kifejezésből:

„a német birodalom fővárosa”.

Ez nyilvánvalóan tulajdonnevet képvisel és egy tárgyat jelöl. Ha felbontjuk a

68

„fővárosa”

és „a német birodalom részekre, amikor is a birtokviszony formáját az első

részhez számítom, akkor az előbbi kitöltetlen, míg az utóbbi önmagában lezárt. A

korábbiaknak megfelelően az

„x fővárosa”

kifejezést függvénynek nevezem. Ha argumentumának a német birodalmat

vesszük, értéke Berlin.

Miután a tárgyakat korlátlanul megengedtük argumentumként és

függvényértékként, az a kérdés, hogy mit is nevezünk itt tárgynak. Lehetetlennek

tartok egy iskolás definíciót, mert itt valami olyannal van dolgunk, amely

egyszerűségénél fogva nem enged meg logikai felbontást. Csak utalni lehet arra,

amire gondolunk. Röviden csak ennyit lehet mondani: Tárgy minden, ami nem

függvény, tehát aminek a kifejezése nem jár együtt üres hellyel.

(6) Frege megközelítésmódjának grammatikai vetületét a modern logika teljes mértékben

akceptálja (sőt a természetes nyelvek logikai modellálását megkísérlő ún. kategoriális grammatika

s néhány más modern nyelvészeti irányzat is). Eszerint valamely nyelv kifejezéseinek tipizálásakor

megkülönböztetünk alapkategóriákat és funktorkategóriákat. Az alapkategóriák közül

legfontosabb az individuumnév és a kijelentő mondat kategóriája. Frege e két kategóriát egyesíti,

mert számára a kijelentő mondatok az igazságértékek nevei. (A modern logikusok közül ezt teszi

pl. A. Church, akinek nézetei talán legközelebb állnak Frege eszméihez. Lásd pl. [57],

Introduction, és [58].) Ez az összevonás mint technikai fogás akceptálható — saját keretei között

ezt Frege konzekvensen és konzisztensen csinálja —, de persze nem kötelező: szemantikai és

filozófiai megfontolások szólnak ellene. A funktorok különféle — igen változatos — kategóriáiba

éppen olyan nyelvi kifejezések tartoznak, amelyek jelöletét Frege függvényeknek nevezi. Tehát a

funktorok „kiegészítésre szoruló”, egy vagy több üres helyet tartalmazó nyelvi kifejezések,

amelyekből az üres helyek megfelelő kitöltése után rendszerint az alapkategóriák valamelyikébe

tartozó kifejezést kapunk. — Ez a grammatikai vetület — amely mögött persze szemantikai

anticipáció húzódik meg — alkotja Frege megközelítésmódjának maradandó értékét.

A kijelentő mondatok nem tartalmaznak üres helyet, így jelöletüket mindig

tárgynak lehet tekinteni. Ez a jelölet viszont egy igazságérték. Tehát a két

igazságérték is tárgy.

Korábban értékmenetek közötti azonosságokat írtunk föl, pl.

„ $c (c2–4c) = $a (a(a–4))”.

Ezt felbonthatjuk a „ $c (c2–4c) és a „( ) = $a (a(a–4))” részekre. Az utóbbi rész

kiegészítésre szorul, mivel az azonosságjeltől balra üres helyet tartalmaz. Az első

rész, „ $c (c2–4c)”, önmagában teljesen lezárt, tehát tárgyat jelöl. Függvények

értékmenetei tárgyak, habár a függvények maguk nem azok. $c (c2 = 1)-et

értékmenetnek neveztük, de mondhatjuk az 1 négyzetgyöke fogalom

terjedelmének is. Tehát a fogalomterjedelmek is tárgyak, habár a fogalmak maguk

nem azok.

69

(7) A fregei ontológia, amely már elismerte az igazságértékeket mint absztrakt tárgyakat, most

további absztrakt tárgyakkal bővül: a függvények értékmenetei s velük együtt a

fogalomterjedelmek is (absztrakt) tárgyak. Ha az utóbbiak osztályok, akkor tehát az osztályok is

tárgyak.

Miután kiterjesztettük az argumentumnak vehető dolgok körét, pontosabban kell

rögzítenünk a már használatban levő jelek jelöletét. Amíg a tárgyak köréből csak

az egész számokat vizsgáljuk az aritmetikában, amíg „a+b”-ben az a, b betűk csak

egész számokra utalnak, addig az összeadásjelet csak egész számokra kell

értelmezni. Ha kiterjesztjük azon tárgyak körét, amelyekre „a” és „b” utalhat,

szükségessé válik az összeadásjel új magyarázata is. A tudományos szigor olyan

intézkedéseket parancsol, amelyek biztosítják, hogy egyetlen kifejezés se lehessen

jelölet nélküli, hogy sohase számoljunk, anélkül hogy észrevennénk, üres jelekkel

abban a hiszemben, hogy tárgyakkal van dolgunk. Korábban rossz tapasztalatokat

szereztünk a divergens végtelen sorokkal. Szükséges tehát olyan

megállapodásokat tenni, amelyekből kiderül, hogy mit jelent pl.

„+l",

ha „” a Napot jelöli. Hogy milyenek ezek a megállapodások, az viszonylag

közömbös; lényeges azonban, hogy megtegyük őket, hogy „a+b”-nek legyen

jelölete, bármilyen meghatározott tárgy jelét helyettesítjük is „a” és „b” helyébe.

A fogalmakat illetően ahhoz a követelményhez jutunk, hogy minden

argumentumra legyen értékként igazságértékük, azaz minden tárgyra

meghatározott legyen, hogy a fogalom alá esik-e vagy sem; más szavakkal:

fogalmakra nézve az éles elhatárolás követelményéhez jutunk, ennek teljesítése

nélkül lehetetlen lenne logikai törvényeket fölállítani róluk. Az olyan x

argumentumokra, amelyekre „x+1” jelölet nélküli lenne, az x+1 = 10 függvénynek

sem volna értéke, tehát igazságértéke sem, így annak a fogalomnak, hogy

ami 1-gyel megnövelve 10-et ad,

nem lennének éles határai. A fogalmak éles elhatárolásának követelménye tehát

maga után vonja a függvényekre nézve általánosan azt, hogy minden

argumentumra legyen értékük.

(8) Frege itteni követelménye természetesen nem a köznyelvre, hanem a tudományok

szaknyelvére — mindenekelőtt az aritmetika nyelvére — vonatkozik. De még így is

teljesíthetetlenül szigorúnak bizonyult; ennek oka [VI] végén fog kiderülni. Meg kell elégednünk

azzal a szerényebb követelménnyel, hogy egy tudományos nyelv esetén rögzítjük azon dolgok

osztályát (ill. osztályait), amelyekre a nyelv kötött változói (ill. ezek különböző típusai) utalhatnak.

Az igazságértékeket eddig csak mint függvényértékeket és nem mint

argumentumokat vizsgáltuk. A most mondottak szerint egy függvénynek akkor is

értékkel kell bírnia, ha argumentumának igazságértéket veszünk; de e célból a

szokásos jeleket illetően akárhogyan megállapodhatunk anélkül, hogy

különösképpen tekintetbe vennénk, mit határozunk meg. Meg kell azonban

70

vizsgálnunk néhány olyan függvényt, amely éppen akkor fontos számunkra,

amikor argumentuma igazságérték.

Bevezetem ilyenként a

— x

függvényt, amennyiben rögzítem, hogy ennek a függvénynek az értéke az Igaz

legyen, amennyiben argumentumnak az Igazat vesszük, ezzel szemben minden

más esetben a függvény értéke a Hamis; tehát akkor is, ha az argumentum a

Hamis, és akkor is, ha nem igazságérték. Ezek szerint pl.

— 1+3=4

az Igaz, míg

— 1+3=5,

és

— 4

a Hamis. Ennek a függvénynek az értéke tehát maga az argumentum, amennyiben

az egy igazságérték. Ezt a vízszintes vonalat korábban tartalomvonalnak

neveztem, mely elnevezés ma már nem tűnik megfelelőnek. Most egyszerűen a

vízszintesnek szándékozom nevezni.

(9) A Fogalomírásban (lásd [I], 2. §) Frege még kiköti, hogy a tartalomvonal után következő

kifejezésnek mindig megítélhető tartalmat kell kifejeznie. Ez a korlátozás most elesik: a „—x”

függvényben az x változó tetszőleges névvel helyettesíthető. (A mondatok is nevek, tehát x

helyettesíthető (kijelentő) mondattal is.) Mindenesetre, a „ x” függvény értéke, x minden értékére, a

két igazságérték valamelyike.

E függvénnyel kezdődik az igazságfüggvények bevezetése. A mai logikában — Fregetől eltérően

— kikötik, hogy az igazságfüggvények argumentumai csakis igazságértékek lehetnek. Így az

igazságértékek, ha netán „tárgyak” is, másféle tárgyak, mint azok, amelyek a „közönséges”

függvények argumentumaiként szóba jöhetnek.

Továbbra is tartjuk azt a konvenciót, hogy az ítélet ‘—’ jelét felbontatlannak tekintjük. Ezért,

ha egy „ —A” alakú kifejezésre kell alkalmaznunk, így írjuk: „—(—A)”. Frege ehelyett

egyszerűen „—A”-t ír, hiszen számára a ‘—’ vízszintes része a most bevezetett függvény jele,

és csak a függőleges rész az ítélés jele. Viszont, ha A olyan kifejezés, amely már önmagában is

igazságértéket jelöl, akkor „—A” Frege-féle értelmezésében a vízszintes vonal redundáns. Mivel

az utóbbi eset a gyakoribb, a mi konvenciónk kevésbé redundáns.

Mivel „x = x” az x minden értékére az Igazat jelöli, azért „x = (x = x)” az Igazat jelöli, ha x-et az

Igazzal helyettesítjük, és a Hamisat jelöli, ha x-et bármi mással helyettesítjük. Így e függvény

értékmenete azonos a „—x” függvény értékmenetével; tehát az utóbbi bevezetése alighanem

fölösleges.

71

Ha egy azonosságot vagy egyenlőtlenséget írunk fel, pl. 5 > 4, ezzel rendszerint

egyúttal egy ítéletet is ki akarunk fejezni; esetünkben állítani akarjuk azt, hogy 5

nagyobb, mint 4. Az imént kifejtett felfogás szerint „5 > 4” vagy „1+3 = 5” csak

igazságértékek kifejezései, anélkül, hogy ezzel állítanánk valamit.

Elkerülhetetlennek látszik, hogy elválasszuk az ítéletet attól, amiről ítélünk, mert

különben nem tudnánk kifejezni a puszta feltevést, egy eset feltételezését anélkül,

hogy ne ítélnénk egyúttal a fennállásáról is. Szükségünk van tehát egy külön jelre,

hogy állíthassunk valamit. Ehhez egy függőleges vonalat alkalmazok a vízszintes

bal szélén; pl. azt, hogy 2+3 azonos 5-tel, így állítjuk:

„— 2+3 = 5”.

Ez nem pusztán jelöl egy igazságértéket, mint „2+3 = 5”, hanem azt is állítja róla,

hogy az az Igaz.7

Az ezután következő legegyszerűbb függvény az lehet, amelynek értéke éppen

azokra az argumentumokra a Hamis, amelyekre —x értéke az Igaz, és

megfordítva, azokra az argumentumokra, amelyekre —x értéke a Hamis, azokra

Igaz az értéke. Ezt így jelölöm:

~ x,

ahol a hullámvonal a tagadás jele. Ez felfogható olyan függvényként, melynek

argumentuma —x, mert

(~ x) = (~ (—x)).

Egyben

(—(~ x)) = (~ x),

mert ~ x értéke mindig igazságérték. Ezek szerint pl. „~ (22 = 5)” az Igazat jelöli,

és alkalmazhatjuk rá az ítélet jelét:

— ~ (22 = 5),

miáltal állítjuk, hogy 22 = 5 nem az Igaz, vagyis 2

2 nem 5. De „~ 2” is az Igaz,

mivel —2 a Hamis:

— ~ 2;

azaz 2 nem az Igaz.

7 Az ítélet jelét nem lehet függvénykifejezés képzéséhez felhasználni, mert az

nem szolgál a többi jellel együtt tárgy megjelölésére. „— 2+3 = 5” nem jelöl meg

semmit, hanem állít valamit.

72

(10) Mint a Fogalomírásban (lásd [I], 7. §), itt is ‘ ’ jelöli az eredetiben a negációt. A jel

kétféle módon is felbontottnak gondolható: ‘ ( )’ és ‘ ( )’; egyik felbontás sem

befolyásolja jelentését. A jelölés módosítása következtében itt némileg el kellett térnünk a szó

szerinti fordítástól. — Emeljük ki, hogy a „~ x” függvény is értelmezve van minden tárgyra.

Azt, hogy hogyan fejezem ki az általánosságot, egy példán láthatjuk legjobban.

Legyen feladatunk kifejezni, hogy minden tárgy önmagával azonos.

x = x

egy függvény, melynek argumentumára „x”-szel utalunk. Azt kell tehát

kimondanunk, hogy ennek a függvénynek az értéke mindig Igaz, bármit veszünk is

argumentumának. Nos,

„a · f(a)”

jelöletén az Igazat értem, ha az f(x) függvény értéke mindig az Igaz, bármi is az

argumentuma; minden más esetben jelölje „a · f(a)” a Hamisat. Az x = x

függvényt tekintve, az első esettel van dolgunk. Így tehát

„a(a = a)”

az Igaz, és ezt így írjuk

— a(a = a).

(11) Az eredeti jelölést illetően lásd [I], 11. §.

„a” helyett bármilyen más latin betűt is választhattunk volna azok kivételével,

amelyek, mint f, F, függvényjelként szolgálnak.

Ez a jelölésmód biztosítja azt a lehetőséget, hogy tagadjunk valamely

általánosságot, mint pl. ezt:

a(a2 = 1).

Ugyanis a(a2 = 1) a Hamis, mivel az x

2 = 1 függvény értéke nem minden

argumentumra az Igaz. Ugyanis pl. a 2 argumentumra 22 = 1; ez pedig a Hamis.

Ha viszont a(a2 = 1) a Hamis, akkor — aszerint, amit a tagadásjelről fent

leszögeztünk — ~ a(a2 = 1) az Igaz. Tehát

— ~ a(a2 = 1);

azaz: „nem minden tárgy négyzetgyöke 1-nek”, vagy „vannak tárgyak, amelyek

nem négyzetgyökei 1-nek”.

73

Ki lehet azt is fejezni, hogy 1-nek vannak négyzetgyökei? Nyilván! — csak az

x2 = 1 függvény helyett a ~ (x

2 = 1) függvényt kell vennünk.

„a ~ (a2 = 1)”

a Hamisat jelöli, mert a ~ (x2 = 1) függvény értéke nem minden argumentumra az

Igaz. Pl. ~ (12 = 1) a Hamis, mert 1

2 = 1 az Igaz. Mivel tehát a ~ (a

2 = 1) a

Hamis, így ~ a ~ (a2 = 1) az Igaz:

— ~ a ~ (a2 = 1),

azaz: „nem minden argumentumra lesz a ~ (x2 = 1) függvény értéke az Igaz”, vagy

„nem minden argumentumra lesz az x2 = 1 függvény értéke a Hamis”, vagy „1-nek

van legalább egy négyzetgyöke”.

Következzen itt még néhány példa jelekben és szavakban:

— ~ a ~ (a > 0),

létezik legalább egy pozitív szám;

— ~ a ~ (a < 0),

létezik legalább egy negatív szám;

— ~ a ~ (a3–3a

2+2a = 0),

az x3 – 3x

2+2x = 0 egyenletnek van legalább egy gyöke. Innen látható, hogyan

fejezhetők ki a fontos egzisztenciatételek. Ha egy fogalomra határozatlanul

utalunk az f függvénybetűvel, akkor

~ a ~ f(a)

az a forma, amely az előző példákat, az ítéletvonaltól eltekintve, tartalmazza.

Ebből a formából a

„~ a ~ (a2 = 1)”, „~ a ~ (a > 0)”,

„~ a ~ (a < 0)”, „~ a ~ (a3–3a

2+2a = 0)”

kifejezések hasonló módon jönnek létre mint pl. x2-ből „1

2”, „2

2”, „3

2”. Ahogyan

x2 esetében olyan függvénnyel van dolgunk, amelynek argumentumára „x” utal,

úgy „~ a ~ f(a)” olyan függvény kifejezése, melynek argumentumára az f utal.

Egy ilyen függvény nyilvánvalóan alapjában különbözik az eddig vizsgáltaktól;

mivel argumentumaként csak függvény szerepelhet. Ahogyan a függvények

alapjában különböznek a tárgyaktól, ugyanúgy azok a függvények, amelyeknek

argumentumai függvények és csakis függvények lehetnek, alapvetően

74

különböznek azoktól a függvényektől, amelyeknek argumentumai csakis tárgyak

lehetnek. Utóbbiakat elsőfokú, előbbieket másodfokú függvényeknek nevezem.

Ugyanígy megkülönböztetek első- és másodfokú fogalmakat is.8 Másodfokú

függvényeket tulajdonképpen régóta ismerünk az analízisben, pl. ilyenek a

határozott integrálok, amennyiben az integrálandó függvényt tekintjük

argumentumnak.

(12) Másodfokú fogalomra illusztrációként említhetjük azt, amire a „minden pozitív egész szám”

kifejezés utal. Ez a példa az [I] 9. §-ában szerepelt, ott még megoldás nélkül. Ha ez valóban

másodfokú fogalmat jelöl, akkor üres helyet kell tartalmaznia egy elsőfokú függvény számára.

Valóban, a kifejezés logikai szerkezete a fogalomírás jelrendszerével így adható vissza:

x (x pozitív egész szám f(x)).

Itt f(x) elsőfokú egyargumentumú függvényekkel helyettesíthető be, pl. azzal, hogy „x előállítható

négy négyzetszám összegeként”.

Az eddigiekhez hozzáfűzhetünk még néhány megjegyzést a kétargumentumú

függvényekről. Függvénykifejezéseket úgy kaptunk, hogy a tárgyak összetett jeleit

felbontottuk kitöltött és kitöltetlen részekre. Pl. az Igaz

„3 > 2”

jelét felbontjuk „3”-ra és „x > 2”-re. Az „x > 2” kitöltetlen részt tovább bonthatjuk

ugyanezen a módon „2”-re és „x > y”-ra, ahol y azt az üres helyet jelzi, amelyet

előzőleg a „2” töltött ki.

x > y

esetében kétargumentumú függvénnyel van dolgunk, az egyik argumentumra „x”,

a másikra „y” utal, és

3 > 2

ennek a függvénynek az értéke a 3 és a 2 argumentumokra. Itt olyan függvénnyel

van dolgunk, amelynek értéke mindig igazságérték. Az ilyen tulajdonságú

egyargumentumú függvényeket fogalmaknak neveztük; két argumentum esetén

relációknak nevezzük őket. Relációk pl.

x2+y

2 = 9

és

x2+y

2 > 9,

8 Vö. Az aritmetika alapjai c. írásommal, 53. § vége, ahol „másodfokú” helyett

„másodrendű”-t mondtam. Isten létezésének ontológiai bizonyítása abban a

hibában szenved, hogy a létezést elsőrendű fogalomként kezeli.

75

míg az

x2+y

2

függvény értékei számok. Tehát ez utóbbit nem fogjuk relációnak nevezni.

Megemlíthetünk itt egy nem aritmetikai jellegű függvényt is. Az

y x

függvény értéke legyen a Hamis, ha y-argumentumának az Igazat vesszük és

ugyanakkor x-argumentumának egy olyan tárgyat, amely nem az Igaz, minden más

esetben legyen a függvény értéke az Igaz. Ezen függvény argumentumainak

mindig vehetjük —x-et és —y-t is, azaz igazságértékeket.

(13) Az eredeti jelölés ugyanaz, mint a Fogalomírás 5. §-ában. Most e függvény argumentumai is

tetszőleges tárgyak lehetnek. Ha egyik argumentuma sem igazságérték, akkor a függvény értéke az

Igaz. Csak akkor kapjuk függvényértékként a Hamisat, ha az előtag az Igazat jelöli, az utótag pedig

valami mást (akár a Hamisat, akár olyan tárgyat, amely nem igazságérték).

Az egyargumentumú függvények között megkülönböztettünk első- és

másodfokúakat. Itt (ti. a kétargumentumú függvények körében) nagyobb

változatosság lehetséges. Egy kétargumentumú függvény a két argumentumára

nézve lehet egyező vagy eltérő fokú is: egyenlőfokú, egyenlőtlen fokú

függvények. Az eddig vizsgáltak egyenlőfokúak voltak. A differenciálhányados

például egyenlőtlenfokú függvény, ha argumentumaként a differenciálandó

függvényt és ennek azon argumentumát vesszük, amelyben differenciálandó; vagy

ilyen a határozott integrál is, amennyiben az integrálandó függvényt és a felső

határt vesszük argumentumnak. Az egyenlőfokú függvények újra feloszthatók

első- és másodfokúakra. Másodfokú pl.

F(f(1)),

ahol F és f az argumentumokra utalnak.

A másodfokú egyargumentumú függvények között különbséget kell tenni

aszerint, hogy az argumentum egy- vagy kétargumentumú függvény lehet-e; mivel

a kétargumentumú függvények annyira lényegesen különböznek az

egyargumentumúaktól, hogy az egyik nem léphet fel ugyanazon a helyen

argumentumként, mint a másik. Egyes másodfokú egyargumentumú függvények

egyargumentumú, mások kétargumentumú függvényt kívánnak meg

argumentumként, és ez a két osztály élesen elválik.

ed(f(e, d) a(f(e, a) (d = a)))

példa olyan egyargumentumú másodfokú függvényre, amely argumentumként

kétargumentumú függvényt kíván. Az f betű utal az argumentumra, és az „f”-et

76

követő zárójelen belül két, vesszővel elválasztott hely tünteti fel, hogy f

kétargumentumú függvényt képvisel.

Kétargumentumú függvények esetén a változatosság még nagyobb.

Ha most visszatekintünk az aritmetika fejlődésére, fokozatos haladást

figyelhetünk meg. Először egyedi számokkal számoltak, 1-gyel, 3-mal stb.

Idevágó tételek:

2+3 = 5, 2 · 3 = 6.

Ezután általánosabb tételek felé haladtak tovább, amelyek minden számra

érvényesek. Ennek jelölés tekintetében a betűszámtanra való átmenet felel meg. Pl.

(a+b) · c = a · c+b ·c

ilyen jellegű tétel. Ezáltal már egyes függvények vizsgálatához jutottak el, de még

anélkül, hogy matematikai értelemben használták volna ezt a szót és jelentését

felfogták volna. A következő magasabb lépcsőfok a függvényekről szóló általános

törvények megismerése és ezáltal a „függvény” műkifejezés kialakulása volt.

Ennek a jelölés tekintetében megfelelt a függvényekre határozatlanul utaló betűk,

mint f, F, bevezetése. Egy idevágó tétel pl.:

df x F x

dxF x

df x

dxf x

dF x

dx

( ) ( )( )

( )( )

( )

Itt már egyes másodfokú függvények szerepelnek, anélkül azonban, hogy

megragadták volna azt, amit mi másodfokú függvénynek neveztünk. Amennyiben

ezt megtesszük, megtesszük a következő lépést előre. Azt lehetne hinni, hogy ez

így folytatódik tovább. Valószínű azonban, hogy ez az utóbbi lépés nem olyan

nagy kihatású, mint az előzőek, mert, mint azt még más helyen ki kell mutatnunk,

a további előrehaladás során a másodfokú függvények helyett lehetséges lesz majd

elsőfokúakat alkalmazni. Ezzel azonban nem semmisül meg az első- és a

másodfokú függvények különbözősége, mert ezt nem önkényesen hoztuk létre,

hanem a dolgok természetében mélyen megalapozott.

Kétargumentumú függvények helyett lehet olyan függvényeket is használni,

amelyeknek csak egy argumentumuk van, de az komplex, azonban akkor is teljes

élességében megmarad a különbség az egy- és kétargumentumú függvények

között.

77

III

FOGALOM ÉS TÁRGY

(1892)

Benno Kerry e folyóiratban, a szemléletről és annak pszichikai feldolgozásáról

szóló cikkeiben több ízben, részben egyetértőleg, részben vitatkozva, hivatkozott

Az aritmetika alapjai című [9] és más írásaimra. Ez számomra csak örvendetes

lehet, és úgy gondolom, azzal mutathatom meg leginkább hálámat, ha vállalkozom

a vitatott pontok kifejtésére. Ez annál szükségesebbnek tűnik, mivel ellenvetései,

legalábbis részben, a fogalomról vallott nézeteim félreértésén nyugszanak, s ebben

mások is osztozhatnak; és mivel ez a kérdés eléggé fontos és nehéz ahhoz, hogy

akár e külön indítéktól eltekintve is behatóbban tárgyaljuk, mint ahogy azt Az

aritmetika alapjaiban alkalmasnak láttam.

A „fogalom” szó többféleképp használatos, részben pszichológiai, részben

logikai értelemben, részben talán e kettő valamilyen homályos keverékében. Ezt a

kezdeti szabadosságot természetes módon korlátozza az a követelmény, hogy az

egyszer elfogadott használati módhoz tartsuk magunkat. Én amellett döntöttem,

hogy szigorúan keresztülviszem a tisztán logikai használatot. Azt a kérdést, hogy

ez vagy az a célszerűbb-e, szeretném most, mint kevésbé fontosat, figyelmen kívül

hagyni. Könnyen megegyezhetünk a kifejezésmódban, ha egyszer elfogadjuk,

hogy valami olyanról van szó, ami érdemes a külön megnevezésre.

Úgy látom tehát, Kerry félreértését az váltotta ki, hogy a „fogalom” szót

illetően saját használati módját akaratlanul összekeverte az enyémmel. Innen

persze könnyen származnak ellentmondások, melyekben azonban nem az én

használati módom vétkes.

Kerry vitatja azt, amit az én fogalomdefiníciómnak nevez. Ezzel kapcsolatban

először is azt szeretném megjegyezni, hogy értelmezésemet nem szántam valódi

definíciónak. Éppúgy nem lehet megkívánni, hogy mindent definiáljunk, mint

ahogy a vegyésztől sem kívánhatjuk, hogy minden anyagot felbontson. Ami

egyszerű, az nem bontható fel, és ami logikailag egyszerű, annak nem adható

valódi definíciója. Ám a logikailag egyszerű, mint a legtöbb kémiai elem, távolról

sem eleve adott, hanem csak tudományos munkával nyerhető. Ha tehát találunk

valamit, ami egyszerű, vagy legalábbis a továbbiakig egyszerűnek tekintendő, arra

rögzítenünk kell egy megnevezést, mivel a nyelvnek eredetileg nincs rá pontosan

megfelelő kifejezése. A logikailag egyszerű nevének bevezetése definícióval nem

lehetséges. Nem marad tehát más lehetőség, mint hogy az olvasót vagy hallgatót

jelzésekkel vezessük rá arra, hogy a szón az elgondoltat értse.

Kerry a fogalom és a tárgy közötti különbséget nem kívánja abszolút

érvényűnek tekinteni. Ezt mondja: „Korábbi helyen magunk is kifejezésre juttattuk

azt a nézetet, hogy fogalmi tartalom és fogalomtárgy viszonya bizonyos

vonatkozásban sajátságos és irreducibilis; ehhez azonban semmiképp sem

kapcsolódott az a nézet, hogy fogalomnak lenni és tárgynak lenni egymást kizáró

78

tulajdonságok; az utóbbi nézet éppoly kevéssé következik az elsőből, mint

ahogyan például abból, hogy apa és fia viszonya tovább nem redukálható, nem

következik, hogy valaki ne lehetne egyszerre apa és (valakinek) fia (persze nem pl.

ugyanannak az apja, mint akinek a fia).”

Kapcsolódjunk ehhez a példához! Ha léteznének, vagy léteztek volna olyan

lények, amelyek apák lennének, de nem lehetnének fiak, akkor ezek a lények

nyilvánvalóan egészen másfajták lennének, mint azok az emberek, akik fiak.

Hasonló dolog fordul itt is elő. A fogalom — ahogy én ezt a szót értem —

predikatív.1 Ezzel szemben egy tárgynevet, egy tulajdonnevet nem lehet

grammatikai predikátumként használni. Ezt persze meg kell magyaráznunk,

nehogy hamisnak tűnjék. Miért ne lehetne éppúgy állítani valamiről, hogy az Nagy

Sándor, vagy négy, vagy a Vénusz bolygó, mint ahogy állíthatjuk valamiről, hogy

zöld, vagy emlősállat? Ha így gondolkodunk, nem teszünk különbséget az

összekapcsolás, a kopuláció két lényegesen különböző formája között. Az utolsó

két példában az összekapcsolás révén azt állítjuk, hogy valami egy fogalom alá

esik, és a grammatikai predikátum éppen ezt a fogalmat jelöli. Az első három

példában viszont az összekapcsolás ugyanolyan természetű, mint az aritmetikában

két kifejezés összekapcsolása az azonosság2 jelével. „A Hajnalcsillag a Vénusz”

mondatban ugyanazon tárgy két tulajdonnevével — „a Hajnalcsillag” és „a

Vénusz” — van dolgunk. „A Hajnalcsillag bolygó” mondatban egy tulajdonnevet

— „a Hajnalcsillag” — és egy fogalomszót, „bolygó” — találunk. Nyelvileg

ugyan nem történt más, mint hogy „a Vénusz”-t „bolygó”-val helyettesítettük;

tárgyilag azonban a kapcsolat egészen mássá vált. Egy azonosság mindig

megfordítható; egy tárgynak egy fogalom alá való esése meg nem fordítható

kapcsolat. „A Hajnalcsillag a Vénusz” mondatban az „a Vénusz” kifejezés nem

foglalja magában a teljes predikátumot. Ezt mondhatnánk helyette: „a

Hajnalcsillag nem más, mint a Vénusz”, és így három szóval fejeznénk ki azt, amit

előzőleg a puszta összekapcsolással jeleztünk. Tehát amit itt állítunk [a

Hajnalcsillagról], az nem a Vénusz, hanem a nem más, mint a Vénusz. Ezek a

szavak egy fogalmat jelölnek, amely alá persze csak egyetlenegy tárgy esik. De az

ilyen fogalmat még mindig meg kell különböztetnünk a tárgytól.

(1) Az indoeurópai nyelvek többségében — így a németben is — az állítmánynak mindig van igei

része. Ha az állítmány névszó, akkor speciális ige kapcsolja az alanyhoz. A németben ez a ‘sein’

ige megfelelő alakja; jelen időben és egyes szám 3. személyben az ‘ist’. (Latin és francia

megfelelője ‘est’, angol megfelelője ‘is’.) Az alany és a névszói állítmány összekapcsolását,

„kopulációját” tehát egy speciális kifejezés: a kopula jelöli. A magyar nyelvben, 3. személyű alany

esetén, a névszói állítmányhoz nem járul ige, a kopulációt nem jelöli külön kopulaszó. Ennek

következtében az a probléma, amelyet itt Frege tárgyal, grammatikailag eltérő a németben és a

magyarban (bár logikailag egyező). Frege az ‘ist’ szó kétféle használatáról beszél; a magyarban

1 Ti. egy grammatikai predikátum jelölete.

2 Az „azonos” szót és az „=” jelet az „ugyanaz, mint”, „nem más, mint”,

„identikus azzal, hogy” értelmében használom. Vö. E. Schröder: Vorlesungen über

die Algebra der Logik [67], 1. kötet 1. §, ahol azonban hibáztatandó, hogy nem

különbözteti meg egy tárgynak egy fogalom alá esését és egy fogalomnak egy

fogalom alá rendelését, melyek alapvetően különböző kapcsolatok.

79

ehelyett a névszói állítmány kétféle kapcsolásáról szólunk. Ha a névszói állítmány nem

individuumnév, az alany pedig individuumnév, akkor az összekapcsolás azt fejezi ki. hogy az

alany az állítmánnyal kifejezett (általános) fogalom „alá esik” (azaz a fogalom terjedelmébe

tartozik); ebben az esetben a nyelvtani állítmány logikailag is predikátum. Ha viszont az alany is,

az állítmány is individuumnév, akkor az összekapcsolás azt fejezi ki, hogy a két név egyvalamit

jelöl; ekkor a nyelvtani állítmány önmagában nem predikátum, nem ezt állítjuk az alanyról, hanem

azt, hogy nem más, mint az, amit az állítmány szerepében levő szó jelöl, vagyis hogy azonos az

utóbbival. „A Hajnalcsillag a Vénusz” logikailag és nyelvtanilag ugyanolyan szerkezetű állítás,

mint „háromnak a négyzete kilenc” (azzal a csekély eltéréssel, hogy utóbbiban az alany összetett

számnév; logikailag ez is individuumnév). Az utóbbit átfogalmazhatjuk így: „Háromnak a

négyzete nem más, mint kilenc”, vagy „Háromnak a négyzete azonos kilenccel”, s végül így

rövidíthetjük: „32 = 9”. Így világossá válik, hogy nem a kilencet, hanem a kilenccel való

azonosságot állítjuk háromnak a négyzetéről. Hasonlóan, „A Hajnalcsillag a Vénusz” mondatban

nem a Vénuszt, hanem a Vénusszal való azonosságot állítjuk a Hajnalcsillagról. A mondat logikai

struktúráját a „Hajnalcsillag = Vénusz” forma fejezi ki egyértelműen.

Szövegünk a logikai tartalom tekintetében hű visszaadása Frege gondolatainak, de természetesen

nem szó szerinti fordítás. Nem erőszakoltuk be a magyar szövegbe az ‘ist’ fordításaként a ‘van’

szót — még zárójelek közé téve sem —, és kihagytunk minden, az ‘ist’-re vonatkozó utalást. Az

általános fogalomnak mint predikátumnak az individuális alanyra való alkalmazása különböző

nyelvekben különböző formákban fejeződik ki; speciális ige föllépése valamely nyelvben

semmiképp sem tanúsítja ennek logikai funkcióját.

Az azonosságról mint kétargumentumú függvényről már szó volt [II]-ben is. De egy azonossági

állítás szétbontható predikátumra (függvényre) és argumentumra úgy is, hogy csak az első nevet

tekintjük argumentumnak. Így „A Hajnalcsillag nem más, mint a Vénusz” mondatot elemezhetjük

úgy, mint amelyben „a Hajnalcsillag” az argumentum, és a „nem más, mint a Vénusz” a

predikátum. És Frege jelen vitájában ez a felbontás a jelentős, mert az itt szereplő predikátum csak

egyetlen tárgyra lehet igaz, de azért ez a tárgy megkülönböztetendő a predikátum kifejezte

fogalomtól.

A „Vénusz” szó soha nem lehet valódi predikátum, ámbár részét képezheti

valamely predikátumnak. Tehát amit ez a szó jelöl,3 az soha nem léphet fel

fogalomként, hanem csak tárgyként. Hogy valami ilyesféle létezik, azt talán Kerry

sem vitatná. Ezzel azonban létrejön egy különbség — és ennek felismerése nagyon

fontos — aközött, ami csak tárgyként léphet föl, és minden egyéb között. És ezt a

különbséget még az sem törölné el, ha igaz volna, amit Kerry vél, hogy tudniillik

léteznek olyan fogalmak, amik tárgyak is lehetnek. Nos, valóban vannak olyan

esetek, amelyek alátámasztani látszanak ezt a nézetet. Magam is utaltam arra (Az

aritmetika alapjaiban, 53. § vége), hogy valamely fogalom egy magasabb fogalom

alá eshet, ami azonban nem cserélendő össze azzal, hogy egy fogalom alárendelt

egy másikhoz képest.

(2) Az első- és a másodfokú fogalmak szabatos megkülönböztetését lásd [II]-ben. Az

alárendeltség relációja csak azonos fokú fogalmak között állhat fönn. Egy fogalom alárendelt egy

másiknak, ha minden tárgy, amely az első terjedelmébe esik, a másiknak is terjedelmébe esik; pl. a

szilva fogalma alárendeltje a gyümölcs fogalmának, mert minden szilva gyümölcs.

Kerry erre nem hivatkozik, hanem a következő példát adja: „a ‘ló’ fogalom

3 Vö. a jelentésről és jelöletről szóló dolgozatommal, amely a közeljövőben fog

megjelenni. (Lásd [IV].)

80

könnyen nyerhető fogalom”, és úgy véli, a „ló” fogalom tárgy, mégpedig azon

tárgyak egyike, amelyek a „könnyen nyerhető fogalom” fogalma alá esnek. Így

helyes! Az a három szó, hogy „a ‘ló’ fogalom”, egy tárgyat jelöl meg, de éppen

ezért nem fogalom abban az értelemben, ahogy én ezt a szót használom. Ez

teljesen megfelel azon ismertetőjelemnek,4 miszerint egyes számban a határozott

névelő mindig tárgyra utal, míg a határozatlan névelő fogalomszót kísér. Kerry

ugyan úgy véli, hogy nyelvi megkülönböztetésekre nem lehet logikai

megállapításokat alapozni, de hozzám hasonlóan, senki sem kerülheti ezt el, aki

ilyen megállapításokat tesz, mert a nyelv nélkül nem tudjuk magunkat megértetni,

és ennélfogva végül is mindig bizakodnunk kell abban, hogy a másik a szavakat,

alakokat és a mondatképzést lényegében úgy érti, mint mi magunk. Mint már

említettem: nem akartam definiálni, csak rávezetést adni, és eközben az általános

német nyelvérzékre hivatkoztam. Ehhez kitűnően kapóra jön nekem, hogy a nyelvi

különbség ennyire megfelel a tárgyinak. A határozatlan névelőre úgyszólván

egyáltalán nincs olyan kivétel szabályunk alól, amit meg kellene jegyeznünk; csak

régies formulák lehetnének ilyenek, mint „egy nemes tanács”. Nem egészen ilyen

egyszerű az ügy a határozott névelővel, különösen többes számban; de erre az

esetre ismertetőjelem nem is vonatkozik. Úgy látom, egyes számban a dolog csak

akkor kétséges, ha az többes szám helyett szerepel, mint ezekben a mondatokban:

„a török ostromolta Bécset”, „a ló négylábú állat”. Ezen esetek különlegessége

olyan könnyen felismerhető, hogy szabályunk alig veszít értékéből előfordulásuk

következtében. Világos, hogy az első mondatban „a török” egy nép tulajdonneve.

A második mondatot a legmegfelelőbb általános ítélet kifejezésének felfogni:

„minden ló négylábú állat”, vagy „minden jól fejlett ló négylábú állat”, amiről

később még szó lesz.5 Amikor tehát Kerry ismertetőjelemet elhibázottnak mondja,

4 Az aritmetika alapjai, 68. §, 2. lábjegyzet.

5 Itt, úgy látszik, hajlamosak vagyunk arra, hogy eltúlozzuk azon tétel

horderejét, miszerint különböző nyelvi kifejezések sohasem teljesen

egyenértékűek, és egy szó sohasem adható vissza pontosan egy másik nyelven.

Talán még tovább is mehetnénk, és azt mondhatnánk, hogy még az egy nyelven

beszélő emberek sem egészen egyformán értik ugyanazt a szót. Nem akarom azt

vizsgálni, mennyi az igazság ezekben az állításokban, csak azt szeretném

hangsúlyozni, hogy mindazonáltal nem ritkán rejlik valami közös a különböző

kifejezésekben, amit én értelemnek, sajátosan a mondatok esetén pedig

gondolatnak nevezek; más szavakkal: nem szabad szem elől tévesztenünk, hogy

ugyanazt az értelmet, ugyanazt a gondolatot különféle módokon lehet kifejezni,

mikor is azonban a különbözőség nem az értelemben, hanem a felfogásban,

megvilágításban, árnyalatban van, és a logika számára nem képezi vizsgálat

tárgyát. Lehetséges az, hogy egy mondat nem ad sem több, sem kevesebb

felvilágosítást, mint egy tőle különböző; és a nyelvek minden sokfélesége ellenére

van az emberiségnek egy közös gondolatkincse. Ha meg akarnánk tiltani a

kifejezés minden átalakítását, azzal az ürüggyel, hogy akkor a tartalom is

megváltozik, a logika úgyszólván megbénulna; mivel feladata aligha oldható meg

azon fáradozás nélkül, hogy a gondolatot öltözeteinek sokfélesége mögött is

felismerjük. Többek között minden definíciót is el kellene vetnünk, mint hamisat.

81

azt állítván, hogy ebben a mondatban: „az a fogalom, amelyről éppen most

beszélek, egyedi fogalom”, az első hét szóból álló név bizonyosan egy fogalom,

akkor a „fogalom” szót nem ugyanabban az értelemben használja, mint én, és az

ellentmondás nem az én megállapításaimban van. Senki nem kívánhatja azonban,

hogy kifejezésmódom megegyezzék Kerryével.

(3) Frege álláspontja grammatikai-szintaktikai szinten világos és egyértelmű: Egy nyelvi kifejezés

nem lehet egyazon értelmében funktor is, individuumnév is (lásd [II]-ben a (6) kommentárt). Az

‘egyazon értelmében’ megszorítás persze lényeges, hiszen egyrészt a természetes nyelvekben

vannak többjelentésű szavak, másrészt olyan nyelvekben, amelyekben a határozott névelő hiányzik

(mint pl. az oroszban), előfordulhat, hogy egy olyan kifejezés, amely általában funktor, adott

kontextusban individuumnévként funkcionál. (A németben — és a magyarban is — ilyenkor a

határozott névelő föllépése grammatikailag is világossá teszi a kategóriaváltozást. ‘A Duna folyó’

mondatban a ‘folyó’ funktor; ‘A folyó kilépett medréből’ mondatban pedig az ‘a folyó’ kifejezés

individuumnévként funkcionál, melynek jelöletét a mondat kontextusa határozhatja meg. Olyan

nyelvben, amelyben nincs határozott névelő, a kategóriaváltozásnak esetleg nincs grammatikai jele,

és csak a kifejezést tartalmazó mondat struktúrájából derül ki, hogy adott esetben a kifejezés

melyik grammatikai kategóriába tartozik.)

Ebben a vitában olyan funktorokról van szó, amelyeket ma többnyire egyargumentumú

predikátumoknak neveznek. Ezek olyan (egyargumentumú) függvények kifejezői, amelyek értékei

igazságértékek — az ilyen függvényeket nevezi Frege fogalmaknak —, és terjedelmükbe nem

igazságértékek, hanem más tárgyak tartoznak. (A fregei meghatározás nem zárja ki az

igazságértékeket egy fogalom terjedelméből. Így az a grammatikai kategória, amelyet Frege néha a

„fogalomszó” kifejezéssel illet, valamivel tágabb, mint az egyargumentumú predikátumok

kategóriája. De a Kerryvel való vitában az utóbbiról van szó.)

Így a ‘ló’ kifejezés funktor (egyargumentumú predikátum), az ‘a ló fogalom’ kifejezés viszont

individuumnév. Eddig világos. De a grammatikai kategóriák mögött ontológiai kategóriák vannak.

Az individuumnevek tárgyakat jelölnek, a funktorok pedig — Frege szerint — függvényeket,

speciálisan az egyargumentumú predikátumok fogalmakat. Így a ‘ló’ jelölete egy fogalom, az ‘a ló

fogalom’ jelölete pedig egy absztrakt tárgy, tehát nem (általános) fogalom. Frege szóhasználata

ahhoz a meglepő eredményhez vezet, hogy a ló fogalma nem fogalom. Ez azért van így, mert Frege

szerint a fogalom predikatív természetű, egy olyan kifejezés pedig, mint ‘a ló fogalma’ már csak a

predikativitás tárgyiasítását, individualizálását fejezi ki. Nem szükséges Freget követnünk e

felfogásban, azt sem kell elfogadnunk, hogy a predikátumok fogalmakat jelölnek. (Ma elterjedtebb

az a felfogás, hogy az általános fogalmak a predikátumok jelentései [értelmei].) Tegyük át Frege

fejtegetéseit a jelöletekről a megfelelő grammatikai kategóriákra: így kapunk helytálló

megállapításokat.

Nyilvánvaló, hogy egy elkerülhetetlen nyelvi érdességről van itt szó, amikor azt

mondjuk: a ló fogalom nem fogalom,6 míg viszont pl. Berlin városa város, a

Vezúv vulkán pedig vulkán. A nyelv itt kényszerhelyzetben van, ami igazolja az

eltérést a szokásostól. Hogy esetünk különleges, azt Kerry maga is jelzi a „ló”

szónál az idézőjelek alkalmazásával; én ugyanerre a célra dőlt betűs írást

alkalmazok. Semmi nem indokolja, hogy a „Berlin” és a „Vezúv” szavakat

6 Hasonló a helyzet, amikor azzal a mondattal kapcsolatban, hogy „ez a rózsa

piros”, azt mondjuk: a „piros” grammatikai predikátum az „ez a rózsa”

szubjektumhoz tartozik. Ekkor „a 'piros' grammatikai predikátum” szavak nem

grammatikai predikátumot, hanem szubjektumot alkotnak. Éppen azáltal, hogy

kifejezetten predikátumnak nevezzük, fosztjuk meg ettől a tulajdonságától.

82

hasonló módon kiemeljük. Logikai vizsgálatokban gyakran van arra szükségünk,

hogy egy fogalomról állítsunk valamit, és ezt az állítások szokásos formájába

öltöztessük, hogy tudniillik az állítás a grammatikai predikátum tartalma legyen.

Ezek után azt várnánk, hogy a grammatikai szubjektum a fogalmat jelölje, de az,

predikatív természeténél fogva nem léphet fel minden további nélkül így, hanem

először tárggyá kell alakítanunk, vagy, pontosabban szólva, egy tárggyal kell

helyettesítenünk, amelyet a „fogalma” kifejezés beiktatásával jelölhetünk, pl.

„az ember fogalma nem üres”.

Itt az első három szót tulajdonnévként7 kell felfognunk, amelyet éppoly kevéssé

lehet predikatíve használni, mint pl. a „Berlin” vagy a „Vezúv” szavakat. Ha azt

mondjuk, hogy „Jézus az ember fogalma alá esik”, ebben az esetben a predikátum

„az ember fogalma alá eső”,

és ez ugyanazt jelenti, mint

„ember”

De ennek a predikátumnak

„az ember fogalma”

szókapcsolat csak egy része.

(4) Frege helyesen látja, hogy a vizsgált probléma forrása az a tény, hogy a nyelv és a

gondolkodás nemcsak a külső világra, hanem önmaga vizsgálatára is alkalmazható. Amíg a külső

világról gondolkodunk és beszélünk, nem mondunk ilyeneket, hogy „a Duna a folyó fogalma alá

esik” (vagy hogy „a Duna a folyó fogalmának terjedelmébe tartozik”), hanem egyszerűen azt

mondjuk, hogy „a Duna folyó”. Csak a gondolkodás és a nyelv vizsgálata kényszerít arra, hogy

egyáltalán fogalmakról beszéljünk, és pl. rögzítsük, mit értünk azon, hogy egy dolog egy fogalom

„alá esik”. Ennek érdekében kell néha valamely fogalmat „tárggyá átalakítanunk”, mint Frege

mondja. Persze, ezt nem kell feltétlenül úgy fogalmazni, hogy „a ló fogalma” nem fogalom; elég

lenne azt mondani, hogy ez a kifejezés nem predikátum, s nem úgy viszonylik a jelöletéhez, mint a

‘ló’ predikátum.

Frege itt közel jut ahhoz a gondolathoz, amit a modern logikában a tárgynyelv és a metanyelv

megkülönböztetése fejez ki. Ennek lényege az, hogy amikor valamely nyelv (a tárgynyelv)

kifejezéseiről s azok jelöletéről és jelentéséről beszélünk, akkor ezt gondosan el kell határolnunk

attól a nyelvtől, amelyen beszélünk (a metanyelv). Különösen zavart okozhat az elkülönítés

mellőzése, ha a tárgynyelv és a használt nyelv (a metanyelv) egyazon természetes nyelv részei. Itt

éppen erről van szó. A külső világról szóló állításokhoz viszonyítva a predikátumokról,

fogalmakról stb. szóló állítások metanyelviek, de a „tárgynyelv” és a „metanyelv” itt egyazon

természetes nyelv töredékei.

7 Tulajdonnévnek nevezek mindent, ami tárgyat jelöl meg.

83

A fogalom predikatív természetével szemben érvelni lehetne azzal, hogy hiszen

alanyfogalomról is lehet beszélni. De a fogalom predikatív természetét8 nem lehet

az olyan esetekben sem félreismerni, mint például ebben a mondatban:

„minden emlősállatnak vörös vére van”,

hiszen ezt mondhatjuk helyette

„ami emlősállat, annak vörös vére van”,

vagy

„ha valami emlősállat, akkor annak vörös vére van”.

Amikor Az aritmetika alapjait írtam, még nem tettem különbséget jelentés és

jelölet között,9 és ennélfogva a „megítélhető tartalom” kifejezésben foglaltam

össze azt, amit most megkülönböztetve, „gondolat”-nak és „igazságérték”-nek

mondok. Ezért az ott (a 77. oldalon) adott magyarázatot betű szerint már nem

tartom teljesen helyesnek, habár lényegében most is ugyanaz a véleményem.

Röviden ezt mondhatjuk, ha a „predikátum”-ot és a „szubjektum”-ot

grammatikailag értjük: fogalom egy predikátum jelölete, tárgy pedig az, ami soha

nem lehet egy predikátum teljes jelölete, lehet viszont egy szubjektum jelölete.

Ehhez megjegyezhetjük, hogy a „minden”, „mindegyik”, „semelyik, „néhány”

szavak fogalomszavak előtt állnak. Az általános és részleges állító és tagadó

tételekben fogalmak közötti kapcsolatokat állítunk, és ezeknek a kapcsolatoknak a

sajátos mivoltára olyan szavakkal utalunk, amelyek logikailag nem a rájuk

következő fogalomszavakhoz kötődnek szűkebben, hanem az egész mondatra

vonatkoztatandók. Ez könnyen belátható a tagadás esetén. Ha a

„minden emlősállat szárazföldi”

mondatban a „minden emlősállat” szókapcsolat a szárazföldi predikátum logikai

alanyát fejezné ki, akkor az egésznek a tagadásához a predikátumot kellene

tagadnunk: „nem szárazföldi”. Ehelyett viszont a „nem” a „minden” elé

helyezendő amiből az következik, hogy a „minden” logikailag a predikátumhoz

tartozik. Ezzel szemben azt a mondatot, hogy „az emlősállat fogalma alárendeltje

a szárazföldi fogalmának”, úgy tagadjuk, hogy a predikátumot tagadjuk: „nem

alárendeltje a szárazföldi fogalmának”.

8 Amit itt a fogalom predikatív természetének nevezek, csak különös esete a

kiegészítésre szorulásnak vagy kitöltetlenségnek, amit Függvény és fogalom című

írásomban (lásd [II]) a függvény lényeges jegyeként adtam meg. Ott sem volt

elkerülhető az „az f(x) függvény” kifejezés, és ott is előállt az az érdekesség, hogy

ezeknek a szavaknak a jelölete nem függvény. 9 Vö. a jelentésről és jelöletről szóló dolgozatommal.

84

Ha lerögzítjük, hogy az én beszédmódomban az olyan kifejezések, mint „az F

fogalom” nem fogalmakat, hanem tárgyakat jelölnek, Kerry ellenvetései jórészt

már elesnek. Amikor úgy véli (281. o.), hogy én azonosítom a fogalmat és a

fogalomterjedelmet, akkor téved. Én csak annak a véleményemnek adtam

kifejezést, hogy „az F fogalmat megillető számosság az F fogalommal egyenlő

számosságú fogalom terjedelme” kifejezésben a „fogalom terjedelme” szavak

helyettesíthetők „fogalom”-mal. Figyeljünk fel rá, hogy ez esetben ez a szó

határozott névelővel van összekapcsolva. Egyébként ez egy mellékes megjegyzés,

amire sehol nem hivatkoztam.

Míg Kerrynek ezek szerint nem sikerül a tárgy és a fogalom közti szakadékot

kitöltenie, az én kijelentéseimet ebben a tekintetben fel lehetne használni. Én azt

mondtam,10

hogy a számosság megadása egy fogalomról szóló kijelentést

tartalmaz; beszélek fogalmakról állítható tulajdonságokról és fogalmaknak

magasabbak alá eséséről. A létezést fogalmak tulajdonságának neveztem. Hogy

ezt hogyan értem, az legjobban egy példán világítható meg. A „4-nek van legalább

egy négyzetgyöke” mondatban nem a meghatározott 2 számról, s nem is a – 2-ről

állítunk valamit, hanem egy fogalomról, a négyzetgyöke 4-nek fogalmáról állítjuk,

hogy nem üres. Ha azonban ugyanezt a gondolatot így fejezem ki: „A 4

négyzetgyöke fogalomnak van tartalma”, úgy az első négy szó egy tárgy nevét

alkotja, és erről a tárgyról állítunk valamit. De vegyük észre, hogy amit állítunk,

az nem ugyanaz, mint amit a fogalomról állítottunk. Ez csak annak lehet különös,

aki nem ismeri fel, hogy egy gondolatot többféleképpen is fel lehet bontani, és

ezáltal hol ez, hol az jelenik meg szubjektumként, illetve predikátumként. A

gondolat maga még nem határozza meg, hogy mit kell szubjektumként felfognunk.

Ha azt mondjuk, „ennek az ítéletnek a szubjektuma”, ez csak akkor jelöl meg

valami meghatározottat, ha egyúttal a felbontás valamilyen meghatározott módjára

is utalunk. Ezt többnyire egy meghatározott szövegre vonatkoztatva tesszük.

Sohasem szabad azonban elfelejtenünk, hogy különböző mondatok is kifejezhetik

ugyanazt a gondolatot. Így az előbbi gondolatban egy a 4 számról szóló kijelentést

is találhatunk:

„a 4 számnak megvan az a tulajdonsága, hogy létezik valami,

aminek ő a négyzete”.

(5) A létezés mint fogalmak tulajdonsága, mint másodfokú fogalom, a következő logikai sémával

fejezhető ki:

x · f(x).

E kifejezésben f szabad változó, amely egyargumentumú predikátummal — Frege terminológiája

szerint: elsőfokú fogalmat jelölő kifejezéssel — tölthető ki. (A vizsgált példában f(x) szerepét az ‘x

négyzetgyöke 4-nek’ kifejezés tölti be.) Ebből világos, hogy sémánk olyan predikátumot fejez ki,

amely „fogalmakról állítható”.

A példában szereplő egyazon gondolat három kifejezési formáját illetően azt mondhatjuk, hogy

az első forma tárgynyelvi, a második pedig metanyelvi jellegű, s ebben áll különbségük (lásd a (4)

kommentárt). Viszont az első és a harmadik forma különbsége egyazon nyelvi szinten (tárgynyelvi

szinten) explicitté tehető az A. Church-től származó lambda-operátor alkalmazásával. Legyen A

10

Az aritmetika alapjai, 46. §.

85

olyan kifejezés, melyben valamely változó, mondjuk x, előfordul szabadon, jelöljön olyan

kifejezést, mellyel x behelyettesíthető, s tekintsük a „[xA]” kifejezést azon kifejezés

szinonimájának, mely A-ból x-nek a-val való behelyettesítésével keletkezik. E jelöléssel a „4-nek

van négyzetgyöke”, azaz a „x(x négyzetgyöke 4-nek)” mondat következő két szinonimáját

nyerhetjük:

[f(x · f(x))] (négyzetgyöke 4-nek),

[y · x (x négyzetgyöke y-nak)] 4.

Az első a „négyzetgyöke 4-nek” fogalmat, a második a 4 számot emeli ki alanyként.

A nyelvnek vannak arra eszközei, hogy a gondolatnak hol ezt, hol azt a részét

jelentesse meg szubjektumként. A legismertebbek egyike a cselekvő és a szenvedő

alakok megkülönböztetése. Ennélfogva nem lehetetlen, hogy ugyanaz a gondolat

egy felbontásban egyediként, egy másikban részlegesként, egy harmadikban

általánosként jelenjen meg. Ezek után nem szabad csodálkoznunk, hogy ugyanaz a

mondat felfogható fogalomról szóló állításként és tárgyról szóló állításként is, csak

arra kell ügyelnünk, hogy amit állítunk, az is különbözzön. A „4-nek van legalább

egy négyzetgyöke” mondatban nem lehet a „4-nek a négyzetgyöke” szavakat „a

négyzetgyöke 4-nek fogalom” kifejezéssel helyettesíteni; ti. az az állítás, ami a

fogalomra áll, nem áll a tárgyra. Habár mondatunkban a fogalom nem

szubjektumként jelenik meg, mégis arról mond ki valamit. Ezt úgy lehet felfogni,

hogy a fogalomnak egy magasabb alá való esése jut kifejezésre. De ez

semmiképpen sem törli el tárgy és fogalom különbözőségét. Először is

megjegyezzük, hogy a „4-nek van legalább egy négyzetgyöke” mondatban a

fogalom nem tagadja meg predikatív természetét. Azt mondhatnánk, hogy „van

valami, aminek megvan az a tulajdonsága, hogy önmagával megszorozva 4-et ad”.

Következésképp sohasem lehetne egy tárgyról azt állítani, amit a fogalomról

állítottunk; mivel egy tulajdonnév nem lehet predikátumkifejezés, habár lehet

annak része. Nem azt akarom mondani, hogy ha egy tárgyról állítanánk azt, amit

itt a fogalomról állítunk, az hamis lenne; hanem azt akarom mondani, hogy ez

lehetetlen lenne, értelmetlen lenne. Az a mondat, hogy „van Julius Caesar”, se

nem igaz, se nem hamis, hanem értelmetlen, míg az a mondat, hogy „van egy

ember, akinek Julius Caesar a neve”, értelmes, de itt újra fogalommal van

dolgunk, mint az a határozatlan névelőből felismerhető. Ugyanerről van szó a

„csak egy Bécs van” mondatban is. Nem szabad hagyni becsapni magunkat

azáltal, hogy a nyelv némelykor ugyanazt a szót részben tulajdonnévként, részben

fogalomszóként használja. Itt a számnév jelzi, hogy az utóbbi esettel van dolgunk.

„Bécs” itt ugyanúgy fogalomszó, mint „császárváros”. Ebben az értelemben lehet

mondani, hogy „Trieszt nem (egy) Bécs”. Ha ezzel szemben abban a mondatban,

hogy „a 4 négyzetgyöke fogalom tartalommal bír”, az első négy szó alkotta

tulajdonnevet „Julius Caesar”-ral helyettesítjük, akkor olyan mondatot kapunk,

amelynek van értelme, de hamis; ugyanis a tartalommal bírás, ahogyan itt értjük,

igaz módon csak egészen sajátos típusú tárgyakról állítható, tudniillik olyanokról,

amelyek „az F fogalom” alakú tulajdonnevekkel nevezhetők meg. Az „a 4

86

négyzetgyöke fogalom” szavak viszont helyettesíthetőség tekintetében lényegesen

eltérően viselkednek, mint a „4-nek egy négyzetgyöke” szavak eredeti

mondatunkban, azaz a két szókapcsolat jelentése lényegesen különböző.

Amit itt egy példán megmutattunk, az általánosan érvényes: a fogalom

lényegében predikatívan viselkedik akkor is, amikor róla mondunk ki valamit;

következésképp akkor is csak fogalommal lehet helyettesíteni, tárggyal soha. Az

az állítás tehát, amit egy fogalomról teszünk, egyáltalán nem illik egy tárgyra. A

másodfokú fogalmak, melyek alá fogalmak esnek, lényegesen különböznek az

elsőfokú fogalmaktól, melyek alá tárgyak esnek. Egy tárgy kapcsolata egy olyan

elsőfokú fogalommal, amely alá esik, különböző attól a kétségkívül hasonló

kapcsolattól, amelyben egy elsőfokú fogalom egy másodfokúval van. Hogy a

hasonlóságot és a különbözőséget is érvényre juttassuk, talán úgy mondhatnánk,

hogy egy tárgy egy elsőfokú fogalom alá esik, míg egy elsőfokú fogalom egy

másodfokú fogalomba esik. A tárgy és a fogalom különbözősége tehát teljes

élességében fennmarad.

Ezzel függ össze, amit Az aritmetika alapjai 53. §-ában arról mondtam, hogy

milyen, módon használom a „tulajdonság” és a „jegy” szavakat. Kerry fejtegetései

arra indítanak, hogy erre még egyszer visszatérjek. Ezek a szavak kapcsolatok

megjelölésére szolgálnak olyan mondatokban, mint „ tulajdonsága -nak” és „

jegye -nak”. Beszédmódom szerint lehet valami egyszerre tulajdonság és jegy,

de nem ugyanazé. Azokat a fogalmakat, amelyek alá egy tárgy esik, a tárgy

tulajdonságainak mondom úgy, hogy

„ egy tulajdonsága -nak”

csak más fordulat a

„ a fogalom alá esik”

kifejezés helyett. Ha egy tárgynak , X és tulajdonságai, ezeket

összefoglalhatom -ban, úgy, hogy ha azt mondom, hogy -tulajdonságú, ez

ugyanaz lesz, mintha azt mondanám, hogy a , X és tulajdonságokkal bír.

Ilyenkor -t, X-et, és -t az fogalom jegyeinek mondom, és egyúttal

tulajdonságainak. Világos, hogy kapcsolata -val egészen más, mint -val, és

ezért tanácsos különböző elnevezés használata. a fogalom alá esik; de ,

amely maga is fogalom, nem eshet az elsőfokú fogalom alá, hanem csak egy

másodfokú fogalommal lehetne hasonló kapcsolatban. Viszont alá van rendelve

-nek.

Vizsgáljunk meg ehhez egy példát! Ahelyett, hogy azt mondanánk:

„2 pozitív szám” és

„2 egész szám” és

„2 kisebb, mint 10”,

ezt is mondhatjuk

87

„2 10-nél kisebb pozitív egész szám”.

Itt

pozitív számnak lenni,

egész számnak lenni,

10-nél kisebbnek lenni

a 2 tárgy tulajdonságaiként jelennek meg, egyúttal azonban mint a

10-nél kisebb pozitív egész szám

fogalom jegyei. Ez utóbbi nem pozitív, nem is egész szám, sem pedig nem kisebb

10-nél. Alárendeltje ugyan az egész szám fogalomnak, de nem esik alá.

Hasonlítsuk össze ezzel azt, amit Kerry 2. cikkében a 424. oldalon mond: „A 4

számon 3 és 1 additív összekapcsolásának az eredményét értjük. Az ezzel

megadott fogalom fogalomtárgya a 4 számindividuum, a természetes számsorozat

egy teljesen meghatározott száma. Ez a tárgy nyilvánvalóan pontosan magán viseli

a fogalmában megadott jegyeket, és — hacsak, ahogy kénytelenek is vagyunk,

elállunk attól, hogy azt a végtelen sok kapcsolatot, amelyben a 4 az összes többi

számindividuummal áll, a propriumai (sajátságai) közé számítsuk — semmi

többet: ‘a’ 4 mindenképpen 3 és 1 additív összekapcsolásának az eredménye.”

Rögtön felismerhető, hogy itt teljesen elmosódik az a különbség, amit

tulajdonság és jegy között tettem. Kerry itt különbséget tesz a 4 szám és ‘a’ 4 szám

között. Meg kell vallanom, hogy ez a különbség számomra felfoghatatlan. A 4

számnak fogalomnak kell lennie; ‘a’ 4 számnak fogalomtárgynak és nem lehet

más, mint a 4 számindividuum. Nem szorul indokolásra, hogy itt nem arról a

különbségről van szó, amit fogalom és tárgy között tettem. Majdnem úgy tűnik,

mintha Kerry szeme előtt az a különbség lebegne, ha egész homályosan is — amit

én az „a 4 szám” szavak jelentése és jelölete között teszek.11

De azt mondani, hogy

3 és 1 additív összekapcsolásának eredménye, csak a jelöletről lehet.

Hogyan kell tehát az állítást értenünk ezekben a mondatokban, hogy „a 4 szám

3 és 1 additív összekapcsolásának az eredménye” és „‘a’ 4 szám 3 és 1 additív

összekapcsolásának az eredménye”? Az alanynak egy fogalom alá rendeléseként

vagy egy logikai azonosság kifejezéseként? Az első esetben az „eredménye” előtt

az „az”-nak hiányoznia kellene és a mondatok valahogy így hangzanának:

„a 4 szám 3 és 1 additív összekapcsolásának eredménye” és

„‘a’ 4 szám 3 és 1 additív összekapcsolásának eredménye”.

Így az volna a helyzet, hogy azok a tárgyak, amelyeket Kerry az

11

Vö. fent idézett dolgozatommal a jelentésről és a jelöletről.

88

„a 4 szám” és „‘a’ 4 szám”

kifejezésekkel nevez meg, a

3 és 1 additív összekapcsolásának eredménye

fogalom alá esnének. Ezután csak az volna kérdéses, hogy miben különböznek

ezek a tárgyak. Itt a „tárgy” és „fogalom” szavakat a számomra megszokott módon

használom. Amit — úgy látszik — Kerry mondani akar, azt én így fejezném ki:

„a 4 számnak azok és csak azok a tulajdonságai, amik jegyei a

3 és 1 additív összekapcsolásának eredménye

fogalomnak”.

Két mondatunk közül az elsőnek az értelmét én így fejezném ki:

„egy 4-es számnak lenni ugyanaz, mint 3 és 1 additív összekapcsolása

eredményének lenni”;

és ezután azt, ami — úgy vélem — Kerry véleménye, így is megadhatjuk:

„a 4 számnak azok és csak azok a tulajdonságai, amik a

4 szám

fogalom jegyei.”

Hogy ez így van-e, az most eldöntetlen maradhat. Az „‘a’ 4 szám” szavakban a

határozott névelő mellől így elhagyhatjuk a macskakörmöket. Ezekben az

értelmezési kísérletekben azonban feltételeztük, hogy az „eredménye” és a „4

szám” előtti határozott névelők a két mondat közül legalább az egyikben csak

figyelmetlenségből szerepeltek. Ha úgy vesszük a mondatokat, ahogy vannak,

akkor értelmüket csak logikai azonosságként foghatjuk fel, éspedig

„a 4 szám nem más, mint 3 és 1 additív összekapcsolásának az eredménye”.

Az „eredménye” előtt a határozott névelő logikailag csak akkor jogosult, ha

felismertük, hogy 1. létezik ilyen eredmény, 2. hogy nem létezik egynél több.

Akkor ez a szókapcsolat egy tárgyat nevez meg, és tulajdonnévként lehet felfogni.

Ha két mondatunk logikai azonosságként lett volna értendő, akkor az következne

belőlük, hogy mivel a jobb oldalak megegyeznek, a 4 szám ‘a’ 4 szám lenne, vagy,

ha úgy jobban tetszik, a 4 szám nem lenne más, mint ‘a’ 4 szám, miáltal Kerry

megkülönböztetése tárgytalannak bizonyulna. De nem az itt a feladatom, hogy az

ő fejtegetéseiben ellentmondásokat mutassak ki. Ahhoz, hogy ő mit ért a „tárgy”

és „fogalom” szavakon, itt tulajdonképpen nekem nincs közöm; és ezúttal csak azt

a módot akarom jobban megvilágítani, ahogy én ezeket a szavakat használom, és

így megmutatni, hogy az az övétől mindenképpen eltér, akár összefér önmagával

az utóbbi, akár nem.

Egyáltalán nem vitatom Kerrynek azt a jogát, hogy a maga módján használja a

„tárgy” és „fogalom” szavakat, azonban szeretném ezt a jogot a magam számára is

megőrizni és állítani, hogy szóhasználatommal egy nagy fontosságú különbséget

89

ragadtam meg. Annak, hogy megértsük egymást az olvasóval, sajátságos akadály

áll az útjában, hogy tudniillik egy bizonyos nyelvi kényszerből az én kifejezésem,

betű szerint véve, néha megtéveszti a gondolkodást, amennyiben egy tárgyat

nevezek meg, noha egy fogalomra gondolok. Teljesen tudatában vagyok annak,

hogy ilyen esetekben annak az olvasónak jóindulatú előzékenységére vagyok

utalva, aki egy csipetnyi sóval nem takarékoskodik.

Talán azt lehetne gondolni, hogy ez a nehézség mesterkélt, egyáltalán nem

kellene olyan ügyetlen dolgot tekintetbe venni, mint amit én fogalomnak

neveztem; és mint Kerry teszi, egy tárgynak egy fogalom alá esését olyan

kapcsolatnak tekinthetnénk, amelyben az, ami egyszer tárgyként jelenik meg, más

alkalommal fogalomként léphet föl. A „tárgy” és „fogalom” szavak így csak az

adott kapcsolatban elfoglalt különböző helyzetekre utalnának. Ezt meg lehet tenni;

azonban aki úgy gondolja, hogy ily módon elkerüli a nehézséget, az nagyon téved.

A nehézség csak áttolódik; mivel egy gondolatnak nem lehet minden része lezárt,

legalább az egyiknek kitöltetlennek vagy predikatívnak kell lennie, különben nem

kapcsolódhat egymáshoz. Így pl. az „a 2 szám” szókapcsolat értelme valamilyen

összekötőeszköz nélkül nem kapcsolódik az „a prímszám fogalma” kifejezéshez.

Ilyet alkalmazunk abban a mondatban, hogy „a 2 szám a prímszám fogalma alá

esik”. Az összekötőeszköz az „alá esik” kifejezés, kettős kitöltésre szorul: alannyal

(„a 2 szám”) és az állítmányt kiegészítő névszóval („a prímszám fogalma”) kell

kitölteni; és értelmének ezen kitöltetlensége teszi lehetővé összekötőeszközként

való használatát. Lezárt értelmet, gondolatot csak akkor kapunk, ha ezt a kettős

kiegészítést megtesszük. Ilyen szavakról vagy szókapcsolatokról azt mondom,

hogy viszonyt (relációt) jelölnek. De a viszonyban föllép ugyanaz a nehézség,

amit a fogalommal kapcsolatban el akartunk kerülni; mivel ezekkel a szavakkal:

„az a viszony, hogy egy tárgy egy fogalom alá esik”, nem kapcsolatot, hanem

tárgyat nevezünk meg, és az a három tulajdonnév, hogy „a 2 szám”, „a prímszám

fogalma”, „az a viszony, hogy egy tárgy egy fogalom alá esik”, éppolyan idegenül

viszonyulnak egymáshoz, mint a két első magában; akárhogyan is rakjuk össze

őket, nem kapunk mondatot. Így könnyen felismerhetjük, hogy az a nehézség,

amely egy gondolatrész kitöltetlenségében rejlik, áttolható ugyan, de nem

kerülhető el. „Lezárt” és „kitöltetlen” ugyan csak képletes kifejezések, de itt csak

rávezetéseket tudok adni hozzájuk.

Megkönnyítheti a megértést, ha az olvasó összeveti Függvény és fogalom című

írásommal. Ugyanis ha azt kérdezzük, hogy mit neveznek az analízisben

függvénynek, ugyanebbe az akadályba ütközünk; és beható vizsgálódás után azt

találjuk, hogy a dologban magában és nyelvünk természetében rejlik, hogy a

nyelvi kifejezés egy bizonyos alkalmatlansága nem kerülhető el, és nem marad

más hátra, mint ezt tudomásul venni és mindig számot vetni vele.

90

IV

JELENTÉS ÉS JELÖLET

(1892)

Az eredeti mű címe: Über Sinn und Bedeutung. A ‘Sinn’ és a ‘Bedeutung’ szavak fordítását

illetően a [II] cikk bevezető kommentárjának (c) pontjára utalunk. A fordításban támaszkodtunk e

tanulmány egy részletének korábban már publikált magyar fordítására, a fordító Kanyó Zoltán

szíves engedélyével. (Lásd [47].)

E cikkben Frege részletesen motiválja azt az álláspontját, hogy a mondatok jelölete

igazságértékük (ezt már [II]-ben deklarálta). Bevezeti a szavak szokásos és közvetett használatának

megkülönböztetését, és megállapítja, hogy a közvetett használat esetén a szavak jelölete

megegyezik a szokásos használat szerinti jelentésükkel. Így tudja védeni azon tételét, mely szerint

egy mondatrész fölcserélése vele egyező jelöletű mondatrésszel nem változtatja meg a mondat

igazságértékét (persze, ha a fölcserélt mondatrész közvetett előfordulású, akkor jelöletén a

közvetett jelölete, vagyis a szokásos jelentése értendő). A közvetett használat (előfordulás)

különböző eseteinek vizsgálata során fontos megállapításokat tesz a deskripciókról, továbbá

bizonyos típusú összetett mondatok másodlagos vagy járulékos jelentéséről.

A cikk kiinduló pontja az azonosság fogalmának elemzése. A probléma előzményeként lásd [I] 8.

§-át, a csatlakozó kommentárral együtt.

Az azonosság1 a hozzá kapcsolódó és nem egykönnyen megválaszolható

kérdések révén elgondolkodásra késztet: Reláció-e az azonosság, éspedig tárgyak,

vagy pedig a tárgyak nevei, illetőleg jelei közötti reláció-e? Fogalomírás c.

dolgozatomban az utóbbi nézetet fogadtam el. E felfogás mellett látszanak szólni a

következő okok: a = a és a = b nyilvánvalóan különböző ismeretértékkel

rendelkező mondatok: a = a a priori érvényes és Kant nyomán analitikusnak

nevezhető, míg az a = b alakú mondatok gyakorta ismereteink igen értékes

kibővítését tartalmazzák és nem mindig alapozhatók meg a priori. Az, hogy nem

minden reggel új Nap kel fel, hanem mindig ugyanaz, bizonyára egyike volt az

asztronómia legtermékenyebb felfedezéseinek. Egy kisebb bolygó vagy üstökös

azonosítása még ma sem mindig magától értetődő. Ha mármost az azonosságon

olyan relációt akarnánk érteni, amely azon dolgok között áll fenn, amelyeket az

„a” és a „b” nevek jelölnek, akkor abban az esetben, melyben a = b igaz, a = b és

a = a között nem lehetne különbség. Ilyen módon az azonosság csupán egy

dolognak önmagához való viszonyát fejezné ki, azt a relációt, amelyben minden

dolog saját magával áll, de amelyben egy dolog sem áll egy másikkal. Úgy látszik,

hogy a = b azt fejezi ki, hogy az „a” és a „b” név vagy jel ugyanazt jelöli, tehát

ezekről a jelekről szól; egy közöttük fennálló relációt állít. De ez a nevek vagy

jelek közötti reláció csak akkor állhat fenn, ha azok megneveznek, jelölnek

1 Az „a = b” kifejezést így értelmezem: „a ugyanaz, mint b”, vagy „a és b

egybeesik”.

91

valamit. Ez a reláció tehát közvetett lenne, a két jelnek ugyanazon megjelölthöz

való kapcsolódása révén. Ez azonban önkényes. Nem tilthatjuk meg senkinek sem,

hogy bármilyen önkényesen létrehozható eseményt vagy tárgyat valamely dolog

számára jelnek fogadjon el. Ám ezáltal egy a = b alakú mondat már nem magára a

dologra, hanem csupán jelölésmódunkra vonatkozna, s így nem fejeznénk ki vele

tulajdonképpeni ismeretet. Pedig sok esetben éppen ez utóbbit akarjuk. Ha az „a”

jel a „b” jeltől csak mint tárgy (jelen esetben az alak révén) különbözik, s nem

pedig mint jel, vagyis nem abban a módban, ahogyan jelöl valamit, akkor a = b

igazsága esetén a = a és a = b ismeretértéke lényegében azonos lenne. Eltérés csak

akkor jöhet létre, ha a jel különbözősége a megjelölt tárgy megadási módjában

levő különbségnek felel meg. Legyenek a, b, c azok az egyenesek, melyek egy

háromszög csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjaival összekötik. Ekkor a és b

metszéspontja ugyanaz, mint b és c metszéspontja. Tehát ugyanazt a pontot

különbözőképpen neveztük meg, és ezek a nevek („a és b metszéspontja”, „b és c

metszéspontja”) egyúttal a meghatározási módra is utalnak, s ezért az azonossági

állítás itt valódi ismeretet tartalmaz.

Kézenfekvő tehát, hogy egy jellel (névvel, szókapcsolattal, írásjeggyel) ne csak

azt kapcsoljuk össze, amit megjelöl, s amit a jel jelöletének hívhatunk, hanem ezen

kívül azt is, amit a jel jelentésének neveznék, és amely a meghatározás módját

foglalja magában. Így példánkban az „a és b metszéspontja”, valamint a „b és c

metszéspontja” kifejezések jelölete ugyan megegyezik, jelentésük azonban nem.

Az „Alkonycsillag” és a „Hajnalcsillag” jelölete azonos, jelentésük azonban nem.

Az összefüggésből kiviláglik, hogy „jelen” és „néven” itt valamiféle olyan

jelölést értek, amely tulajdonnevet helyettesít, amelynek jelölete tehát egy

meghatározott tárgy (a szó legtágabb értelmében), nem pedig fogalom vagy

reláció; utóbbiakkal egy másik tanulmányban szándékozom foglalkozni

behatóbban. Egy egyedi tárgy megjelölése több szóval vagy egyéb jellel is

történhet. A rövidség kedvéért nevezzünk minden ilyen megjelölést

tulajdonnévnek.

(1) ‘Tulajdonnév’ helyett pontosabb lenne az ‘individuumnév’ kifejezés használata. (Lásd [II]-

ben a (3) kommentárt.) Azok a kifejezések, amelyeket közönségesen tulajdonneveknek mondunk,

általában konvenció szerint jelölnek egy-egy individuális dolgot, anélkül, hogy meghatározást

adnának rá, s így nincs jelentésük (az imént vázolt fregei értelemben). A jelentéssel bíró

individuumnevek a leírások vagy deskripciók; Frege ténylegesen ezekre gondol. E problémakörre

még visszatérünk. — A tanulmány, melyre Frege itt utal, a [III] alatti.

Egy tulajdonnév jelentését mindenki felfogja, aki kellőképpen ismeri azt a

nyelvet, vagy a jelöléseknek azt a rendszerét, amelyhez a név tartozik;2 ezzel

2 Valódi tulajdonnév esetében, mint „Arisztotelész”, a vélemények a jelentésrőI

persze eltérőek lehetnek. El lehet fogadni pl. ezt: Platón tanítványa és Nagy

Sándor nevelője. Aki ezt teszi, az „Arisztotelész Sztageirából származott”

mondathoz más jelentést fog kapcsolni, mint aki a név jelentéséül ezt fogadja el:

Nagy Sándor Sztageirából származó nevelője. A jelentés ezen ingadozásai

elviselhetők mindaddig, amíg a jelölet ugyanaz marad, egy bizonyító

92

azonban a név jelöletét — ha egyáltalán van ilyen — csupán egyoldalúan

világítottuk meg. A jelölet teljes ismeretéhez hozzátartozna, hogy minden egyes

adott jelentésről azonnal meg tudjuk adni, vajon a jelölethez tartozik-e. Ezt

sohasem tudjuk elérni.

(2) A 2. lábjegyzet szerint Frege úgy véli, hogy a közönséges értelemben vett tulajdonneveknek is

van jelentésük, noha ez ingadozó lehet. E felfogást általában úgy szokták fogalmazni, hogy Frege

szerint a tulajdonnevek álcázott vagy rövidített deskripciók. A mai logikusok egy része is úgy

tartja, hogy a logika nyelvéből (s általában a formalizált nyelvekből) száműzni kell a

tulajdonneveket; igaz, hogy e felfogás hívei egyben a deskripciók kiküszöbölését is szükségesnek

tartják. (Lásd pl. Quine [65], 37. §.) Mások, főleg a modális és az intenzionális logika művelői, a

tulajdonnév és a deskripció megkülönböztetésének fontosságát hangsúlyozzák.

A jel és jelentése, valamint jelölete közötti szabályszerű kapcsolat olyan, hogy

a jelnek megfelel egy meghatározott jelentés, ennek pedig egy meghatározott

jelölet, ezzel szemben egy jelölethez (egy tárgyhoz) nemcsak egy jel tartozik.

Ugyanazt a jelentést különböző nyelveken, sőt ugyanazon a nyelven is

különbözőképpen lehet kifejezni. E szabályszerű viselkedésnek természetesen

vannak kivételei. Való igaz, hogy jeleknek egy tökéletes rendszerében minden

kifejezésnek egy meghatározott jelentés felelne meg; de a természetes nyelvek

távolról sem elégítik ki ezt a követelményt, és elégedettnek kell lennünk, ha

ugyanannak a szónak csak ugyanabban az összefüggésben mindig ugyanaz a

jelentése. Talán föltehetjük, hogy egy tulajdonnévként szereplő, nyelvtanilag

helyesen képzett kifejezésnek mindig van jelentése. De ez nem jelenti azt, hogy a

jelentésnek egy jelölet is megfelel. „A Földtől legtávolabb levő égitest”

kifejezésnek van jelentése; viszont nagyon kétséges, hogy van-e jelölete is. „A

leggyöngébben konvergáló sorozat” kifejezésnek van jelentése, de bizonyítható,

hogy jelölete nincs; ugyanis minden konvergens sorozathoz található egy

gyöngébben konvergáló, de még mindig konvergens sorozat. A jelentés megléte

még nem biztosítja a jelölet meglétét.

Ha a szavakat a szokásos módon használjuk, akkor a szavak jelölete az, amiről

beszélünk. De az is előfordulhat, hogy magukról a szavakról vagy a jelentésükről

akarunk beszélni. Az előbbire példa az, amikor valaki másnak a szavait szó szerint

idézzük. Saját szavaink ekkor közvetlenül a másik ember szavait jelölik, és csak az

utóbbiak jelölete a szokásos. Ilyenkor a jel jelével van dolgunk. Írásban ilyen

esetben a szavakat idézőjelek közé tesszük. Tehát egy idézőjelben levő

szócsoportot nem szabad a szokásos jelölete szerint érteni.

Ha egy ‘A’ kifejezés jelentéséről akarunk beszélni, ezt egyszerűen a következő

fordulat segítségével tehetjük meg: „az ‘A’ kifejezés jelentése”. Függő beszédben

beszélünk pl. annak a jelentéséről, amit valaki más mondott. Nyilvánvaló, hogy a

szavak jelölete ebben a beszédmódban sem a szokásos, hanem az, ami szokás

szerint a jelentésük. Röviden azt mondhatjuk, hogy a függő beszédben a szavakat

közvetett értelemben használjuk, vagy hogy a szavak jelölete itt közvetett. Ezek

tudományban azonban ezeket el kell kerülni, egy tökéletes nyelvben pedig nem

szabad előfordulniok.

93

szerint megkülönböztetjük a szavak szokásos jelöletét közvetett jelöletüktől, és

szokásos jelentésüket közvetett jelentésüktől. Egy szó közvetett jelölete tehát nem

más, mint a szokásos jelentése. Ha jel, jelentés és jelölet összekapcsolódásának

módját az egyes esetekben helyesen akarjuk felfogni, mindig szem előtt kell

tartanunk az ilyen kivételeket.

A jel jelöletétől és jelentésétől meg kell különböztetnünk a hozzá kapcsolódó

képzetet. Ha a jel jelölete érzékileg észlelhető tárgy, akkor a róla alkotott

képzetem egykori érzéki benyomásaimra és belső vagy külső cselekvéseimre való

emlékezésből létrejött belső kép.3 Ez a kép gyakran érzelmekkel telített; egyes

részeinek kivehetősége különböző és ingadozó. Még egy és ugyanannál az

embernél sem kapcsolódik ugyanaz a képzet mindig ugyanahhoz a jelentéshez. A

képzet szubjektív: az egyik ember képzete nem egyezik a másik ember képzetével.

Így az egyazon jelentéshez kötődő képzetekben eleve számos különbség adott.

Egy festő, egy lovas és egy zoológus valószínűleg nagyon eltérő képzeteket

kapcsol a „Bukephalosz” névhez. Tehát a képzet lényegesen különbözik valamely

jel jelentésétől, amely sokak közös tulajdona lehet, és így nem az egyes lélek része

vagy modusza; aligha lehet ugyanis kétségbe vonni, hogy az emberiség a

nemzedékről nemzedékre öröklődő gondolatok közös kincsével rendelkezik.4

Míg tehát nem lehet kifogásolni, hogy a jelentésről általánosságban beszéljünk,

addig a képzetről szólva valójában hozzá kell tennünk, hogy kihez is tartozik és

mikor. Azt mondhatnánk erre: éppen úgy, ahogy ugyanahhoz a szóhoz az egyik

ember ezt a képzetet, a másik ember amazt kapcsolja, ugyanúgy kapcsolhatja a

szóhoz az egyik az egyik, a másik a másik jelentést is. De ebben az esetben

különbség csak a kapcsolás módjában lehetséges. Ez pedig nem gátolhatja meg,

hogy mindketten ne ugyanazt a jelentést fogják fel; azonos képzetük viszont nem

lehet. Si duo idem faciunt, non est idem. [Ha ketten teszik ugyanazt, az nem

ugyanaz.] Ha ketten ugyanazt képzelik is, mégis mindegyiknek megvan a saját

képzete. Néha ugyan lehetséges a különböző emberek képzeteiben, sőt

érzelmeiben a különbözőségek megállapítása, de pontos összehasonlítás nem

lehetséges, mivel ezeket a képzeteket nem foghatjuk össze egyazon tudatban.

Egy tulajdonnév jelölete maga az a tárgy, amelyet a névvel jelölünk; a róla

alkotott képzetünk teljesen szubjektív; közbülső helyet foglal el a jelentés, amely

ugyan nem szubjektív, mint a képzet, de nem is maga a tárgy. A következő

hasonlat talán alkalmas ezen viszonyok megvilágításához. Valaki távcsövön

szemléli a Holdat. A Holdat magát a jelölethez hasonlítom; a Hold annak a

megfigyelésnek a tárgya, amelyet a távcső belsejében a tárgylencse alkotta valódi

kép, és a szemlélő recehártyáján kirajzolódó kép közvetít. Az előbbit a jelentéshez,

3 A képzetekkel egybefoglalhatjuk a szemléleteket ís, melyeknél maguk az

érzéki benyomások és cselekvések lépnek azoknak a nyomoknak a helyébe,

amelyeket a lélekben hátrahagytak. A különbség a mi szempontunkból

jelentéktelen, mivelhogy a szemléleti kép kialakítását az érzetek és tevékenységek

mellett mindig segítik ezek emlékei is. Szemléleten tárgyat is érthetünk,

amennyiben az érzékileg észlelhető vagy térbeli. 4 Ezért nem célszerű a „képzet” szóval ennyire alapvetően különböző dolgokat

jelölni.

94

az utóbbit a képzethez vagy szemlélethez hasonlítom. A távcsőben létrejövő kép

ugyan egyoldalú; függ a megfigyelés helyétől; mégis objektív, minthogy több

megfigyelő rendelkezésére áll. Mindenesetre megoldható, hogy egyidejűleg

többen használhassák. A recehártyán létrejövő kép azonban mégis mindenkinek

sajátja. A szemek különböző képalkotása folytán még a geometriai egybevágóság

is aligha érhető el, a tényleges egybeesés pedig eleve kizárt. A hasonlatot még

talán ki is terjeszthetjük, ha feltesszük, hogy B láthatja az A recehártyáján

kialakuló képet, vagy hogy A maga is láthatja egy tükörben a saját recehártyáján

létrejövő képet. Így talán meg lehetne mutatni, hogy bár maga a képzet is fölléphet

tárgyként, azonban mint ilyen a vizsgáló számára mégsem ugyanaz, mint ami

közvetlenül az elképzelő számára. De ez a hasonlat túlságosan messzire vezetne.

Szavak, kifejezések és mondatok különbözőségében három fokozatot tudunk

tehát megkülönböztetni. A különbség vagy csupán a képzetekre vonatkozik, vagy

a jelentésre is, de a jelöletre nem, vagy pedig végül a jelöletre is kiterjed. Az első

fokozattal kapcsolatban megjegyzendő, hogy a képzetek és szavak kapcsolatának

bizonytalansága folytán az egyik ember különbséget vélhet ott, ahol a másik nem

talál eltérést. A fordítás és az eredeti szöveg különbözősége tulajdonképpen nem

lépheti át ezt az első fokozatot. Az itt még lehetséges különbséghez tartoznak a

költészet és az ékesszólás törekvései a jelentés árnyaltabb és színesebb

kifejezésére. Ezek az árnyalatok és színezetek nem objektívak, minden olvasónak

vagy hallgatónak magának kell azokat a költő vagy szónok ösztönzései szerint

létrehoznia. Az emberi képzetalkotás rokon vonásai nélkül természetesen nem

lenne művészet, de hogy ilyenkor mennyiben felelünk meg a költő szándékainak,

azt soha nem lehet pontosan megállapítani.

A képzetekkel és szemléletekkel a továbbiakban nem foglalkozunk; csak azért

tettünk róluk említést, nehogy összetévesszük a képzetet, amit a szó a hallgatóban

kivált, a szó jelentésével vagy jelöletével.

A tömör és pontos kifejezés érdekében rögzítsük a következő fordulatokat:

Egy tulajdonnév (szó, jel, jelkapcsolat, kifejezés) kifejezi a jelentését, és jelöli

vagy megnevezi a jelöletét. Egy jellel annak jelentését fejezzük ki és a jelöletét

jelöljük.

Az idealisták és a szkeptikusok talán már régen megtették a következő

ellenvetést: „Te itt minden további nélkül úgy beszélsz a Holdról, mint egy

tárgyról; de honnan tudod, hogy a ‘Hold’ névnek van-e egyáltalán jelölete, honnan

tudod, hogy van-e egyáltalán bárminek is jelölete?” Erre azt válaszolom, hogy a

‘Hold’-ról szólva, nem az a szándékunk, hogy a Holdról alkotott képzetünkről

beszéljünk, sőt még a jelentéssel sem elégszünk meg, hanem föltételezzük a

jelöletet. Kifejezetten értelmi tévedés lenne, ha föltételeznénk, hogy „a Hold

kisebb, mint a Föld” mondatban a Hold képzetéről van szó. Ha a beszélő az

utóbbit akarná, akkor „a Holdról alkotott képzetem” kifejezést használná. Az

említett föltevésben ugyan tévedhetünk, és effajta tévedésekre volt már példa.

Megválaszolatlanul hagyhatjuk azonban itt azt a kérdést, hogy vajon nem

tévedünk-e esetleg mindig a jelölet föltételezésében; elegendő a beszéddel vagy a

gondolkodással kapcsolatos szándékunkra utalnunk annak jogosságához, hogy a

jelek jelöletéről beszéljünk, habár ezzel a fenntartással: amennyiben van jelöletük.

95

Eddig csak olyan kifejezések, szavak, jelek jelentését és jelöletét vizsgáltuk,

amelyeket tulajdonneveknek neveztünk. Vizsgáljuk most egy teljes kijelentő

mondat jelentését és jelöletét. Az ilyen mondat egy gondolatot tartalmaz.5 Vajon

ez a gondolat a mondat jelentésének vagy jelöletének tekintendő? Tegyük föl

először is, hogy a mondatnak van jelölete! Ha benne egy szót egy vele azonos

jelöletű, de eltérő jelentésű szóval helyettesítünk, ez nem lehet kihatással a mondat

jelöletére. Azt látjuk azonban, hogy a gondolat ilyenkor megváltozik: mert pl. „A

Hajnalcsillag a Nap által megvilágított égitest” mondatban más a gondolat, mint

ebben: „Az Alkonycsillag a Nap által megvilágított égitest”. Olyan valaki, aki nem

tudja, hogy az Alkonycsillag azonos a Hajnalcsillaggal, az egyik gondolatot

igaznak, a másikat hamisnak tarthatja. A gondolat tehát nem lehet a mondat

jelölete, viszont felfoghatjuk a mondat jelentéseként. De mi a helyzet a jelölettel?

Egyáltalán szabad-e utána érdeklődni? Talán a mondatnak mint egésznek csak

jelentése van, de nincs jelölete? Mindenesetre várható, hogy vannak olyan

mondatok, mint ahogy olyan mondatrészek is vannak, amelyeknek van ugyan

jelentésük, de jelöletük nincs. Az olyan mondatok, amelyek jelölet nélküli

tulajdonnevet tartalmaznak, valóban ilyenek. „A mélyen alvó Odüsszeuszt

Ithakában tették partra” mondatnak nyilvánvalóan van jelentése. Mivel azonban

kétséges, hogy a benne előforduló „Odüsszeusz” névnek van-e jelölete, így az is

kétséges, hogy az egész mondatnak van-e jelölete. Bizonyos azonban, hogy ha

valaki a mondatot komolyan hamisnak vagy igaznak tartja, az „Odüsszeusz”

névnek is jelöletet tulajdonít, nemcsak jelentést; hiszen e név jelöletéről állítjuk

vagy tagadjuk az állítmányt. Aki nem ismeri el a jelölet létezését, az se nem

állíthatja, se nem tagadhatja róla az állítmányt. De talán fölösleges is a név

jelöletéig előrehatolni; megelégedhetünk a jelentéssel, ha a gondolatnál nem

megyünk tovább. Ha csak a mondat jelentése, a gondolat érdekel minket,

szükségtelen egy mondatrész jelöletével törődni; a mondat jelentése

szempontjából a mondatrésznek csak a jelentése, s nem pedig a jelölete jöhet

számításba. A gondolat ugyanaz marad, akár van az „Odüsszeusz” névnek jelölete,

akár nincs. Az a tény, hogy egyáltalán foglalkozunk a mondatrész jelöletével, arra

utal, hogy általában magának a mondatnak is jelöletet tulajdonítunk, illetve

megköveteljük, hogy legyen jelölete. A gondolat veszít értékéből, mihelyt

felismerjük, hogy egyik részének nincs jelölete. Ez feljogosít bennünket arra, hogy

ne elégedjünk meg a mondat jelentésével, hanem jelöletével is foglalkozzunk. De

miért is kívánjuk meg azt, hogy minden tulajdonnévnek nemcsak jelentése, hanem

jelölete is legyen? Miért nem elég nekünk a gondolat? Azért és annyiban,

amennyiben a mondat igazságértéke érdekel bennünket. De nem mindig ez a

helyzet. Pl. egy eposz hallgatásakor a nyelv dallamosságán kívül csak a mondatok

jelentése és az ezáltal keltett képzetek és érzelmek ragadnak meg minket. Az

igazság után érdeklődve elhagynánk a műélvezetet és a tudományos

vizsgálódáshoz fordulnánk. Ezért közömbös számunkra, hogy pl. az „Odüsszeusz”

5 Gondolaton nem a gondolkodás szubjektív cselekedetét értem, hanem annak

objektív tartalmát, amely sokak közös tulajdona lehet.

96

névnek van-e jelölete mindaddig, amíg a költeményt műalkotásként fogjuk fel.6

Tehát az igazságra való törekvés az, ami bennünket mindenütt arra késztet, hogy a

jelentésen túl a jelöletig hatoljunk.

Láttuk, hogy egy mondathoz mindig csak akkor keresünk jelöletet, amikor az

alkotórészek jelölete lényeges; ez pedig akkor áll fenn, ha az igazságértéket

kutatjuk.

Ez arra késztet bennünket, hogy egy mondat jelöletének az igazságértékét

tekintsük. Egy mondat igazságértékén azt a körülményt értem, hogy a mondat

igaz, vagy hogy a mondat hamis. Több igazságérték nincs. A rövidség kedvéért az

egyik igazságértéket az Igaznak, a másikat a Hamisnak nevezem. Tehát minden

olyan kijelentő mondat, amelyben a szavak jelölete lényeges, tulajdonnévként

fogható föl, melynek a jelölete — föltéve, hogy van jelölete — az Igaz, vagy a

Hamis. Ezt a két tárgyat mindenki, aki egyáltalán ítél, aki valamit igaznak tart —

tehát még a szkeptikus is —, még ha csak hallgatólagosan is, de elismeri. Az, hogy

az igazságértékeket itt tárgyaknak nevezzük, önkényes ötletnek, vagy talán puszta

szójátéknak tűnhet, amelyből semmiféle mélyebb következtetést nem szabad

levonni. Hogy mit nevezek tárgynak, azt csak a fogalommal és a relációval

összefüggésben lehet pontosabban kifejteni. E kérdéssel egy másik tanulmányban

kívánok foglalkozni. De már itt is szeretnék utalni arra, hogy minden ítélet7 — ha

mégoly magától értetődő is — már magában foglalja az átlépést a gondolatok

szintjéről a jelöletek (az objektivitás) szintjére.

(3) Itt is [III]-ra hivatkozik Frege, bár a tárgy és a függvény megkülönböztetése már [II]-ben is

szerepel. — Azzal, hogy az igazságértékeket tárgyaknak minősíti, a kijelentő mondatokat

neveknek nyilvánítja; hiszen a mondatok jelölete valamely igazságérték, azaz tárgy, de aminek

tárgy a jelölete, az név. Erre utaltunk már [II]-ben is a (2) és a (6) kommentárban.

Megkísérelhetnénk, hogy a gondolatnak az Igazhoz való viszonyát ne mint a

jelentés és a jelölet, hanem mint az alany és az állítmány viszonyát fogjuk fel.

Hiszen azt is mondhatjuk: „Az a gondolat, hogy az 5 törzsszám, igaz”.

Pontosabban szemügyre véve, észrevesszük azonban, hogy ezzel voltaképpen nem

mondtunk többet, mint a következő egyszerű mondattal: „Az 5 törzsszám”. Az

igazság állítása mindkét esetben a kijelentő mondat formájában rejlik, és ott, ahol

e forma nem bír szokásos erejével, pl. egy színész előadásában a színpadon, az

olyan mondat, mint „az a gondolat, hogy az 5 törzsszám, igaz”, éppen úgy csak

egy gondolatot tartalmaz, éspedig ugyanazt a gondolatot, mint „az 5 törzsszám”

egyszerű mondat. Ebből látható, hogy a gondolat viszonya az Igazhoz mégsem

hasonlítható az alanynak az állítmányhoz való viszonyához. Az alany és az

állítmány (logikai értelemben véve) a gondolat részei; a megismerés ugyanazon

szintjéhez tartoznak. Alany és állítmány összekapcsolásával mindig egy

6 Kívánatos lenne az olyan jeleket, amelyek csak jelentéssel bírnak, külün

kifejezéssel illetni. Ha pl. képeknek neveznénk őket, akkor a színész szavai a

színpadon képek lennének, sőt maga a színész is kép lenne. 7 Az ítélet számomra nem csupán egy gondolat megragadása, hanem

igazságának elismerése is.

97

gondolathoz jutunk, de sohasem juthatunk el a jelentéstől annak jelöletéhez, a

gondolattól annak igazságértékéhez. Ugyanazon a szinten mozgunk, nem lépünk

előre egyik szintről a másikra. Az igazságérték éppúgy nem lehet a gondolat része,

mint ahogy például a Nap sem lehet az, hiszen nem jelentés, hanem tárgy.

Ha helyes az a vélekedésünk, hogy egy mondat jelölete az igazságértéke, akkor

az utóbbi nem változhat, ha egy mondatrészt azonos jelöletű, de eltérő jelentésű

kifejezéssel helyettesítünk. És valóban ez a helyzet. Leibniz kifejezetten így

fogalmaz: „Eadem sunt, quae sibi mutuo substitui possunt, salva veritate.” Van-e

még valami az igazságértéken kívül, ami általánosan minden olyan mondathoz

hozzátartozik, amelyben az alkotórészek jelölete egyáltalán lényeges, és ami a

fentiekben leírt helyettesítés esetén változatlan marad?

(4) Valószínűleg a következő Leibniz-szöveg pontatlan idézetéről van szó: „Eadem (vel

Coincidentia) sunt quae sibi ubique substitui possunt salva veritate. Diversa quae non possunt.”

Magyarul: Azonosak (vagy egybeesők) azok, amelyek mindenütt helyettesíthetők egymással az

igazság megsértése nélkül; különbözőek azok, amelyek nem. (Lásd [59], 264.) — Megjegyezzük,

hogy Frege felfogásában „a = b” a és b jelöletének azonosságát fejezi ki, míg Leibniz szövege

szerint az azonosság a jelentésegybeesést is magában foglalja (különben nem áll a mindenütt való

fölcserélhetőség).

Frege gondolatmenete a következő: Ha a mondatnak van jelölete, akkor ennek változatlannak kell

maradnia a mondatban szereplő nevek bármelyikének vele azonos jelöletű névvel való fölcserélése

esetén. Ám az, ami ilyen helyettesítések alkalmával változatlan marad, egyedül a mondat

igazságértéke. (Ha a név közvetett értelemben szerepel a mondatban, akkor az azonosság

szempontjából a közvetett jelölet, azaz a jelentés veendő figyelembe.)

Ettől eltekintve világos, hogy a jelölet fogalmának kiterjesztése a mondatokra némileg önkényes.

Az igaz, hogy (legalábbis egyszerű mondatok esetén) a mondat és az igazságértéke közötti

kapcsolatnak van egyező vonása az individuumnév és a jelölete közötti kapcsolattal: egy

alkotórészként szereplő névnek vele azonos jelöletű névvel való helyettesítése esetén a mondat

igazságértéke éppúgy változatlan marad, mint az összetett individuumnév jelölete. Ezen az alapon

tekinti Frege a mondatok jelöletének igazságértéküket. A logikai elmélet rendszeres fölépítése

szempontjából kétségtelenül hasznos egy olyan „értéknek” a bevezetése, amely a nyelvi

kifejezések különféle típusai esetén azt a valamit jelöli, ami nem változik, ha a komponenseket

azonos „értékűekkel” helyettesítjük. (Ez az „érték” az individuumnevek esetén a jelölet, mondatok

esetén az igazságérték, függvények esetén az értékmenet.) Ha kifogásoljuk, hogy Frege ezt az

„értéket” általánosan jelöletnek nevezi, kifogásunk főleg terminológiai jellegű. (R. Carnap ehelyett

az „extenzió” elnevezést használja; ez éppúgy kifogásolható, mint Frege megoldása, mert a szó

eredeti értelmében csakis a predikátumok azok a nyelvi kifejezések, amelyeknek extenziójuk

(terjedelmük) van.) Az individuumnevek valóban jelölhetnek egy-egy tárgyat, itt a jelölés a nyelvi

kifejezés és a külvilág kapcsolatát fejezi ki; a mondatok azonban nem jelölik analóg módon

igazságértéküket. — Frege mentségére még felhozhatjuk azonban, hogy a ‘Bedeutung’ szó, amit ő

használ, már a nevek jelöletének kifejezésére is műkifejezés, már itt sem köznyelvi értelmében

szerepel.

Ha mármost egy mondat igazságértéke a mondat jelölete, akkor egyrészt minden

igaz mondatnak, másrészt minden hamis mondatnak ugyanaz a jelölete. Ebből

látjuk, hogy a mondat jelöletében minden egyedi elmosódik. Ezért érdeklődésünk

tárgya sohasem pusztán a mondat jelölete; de önmagában a gondolat sem nyújt

ismeretet, hanem csak a jelöletével, azaz az igazságértékével együtt. Az ítélést úgy

foghatjuk fel, mint a gondolattól az igazságértékéhez való továbbhaladást. Ez

persze nem tekintendő definíciónak. Az ítélés valami egészen sajátos és mással

98

összehasonlíthatatlan dolog. Azt is mondhatnánk, hogy az ítélés részek

megkülönböztetése az igazságértéken belül. Ez a megkülönböztetés a gondolatra

való visszatéréssel történik. Adott igazságértékhez tartozó minden egyes jelentés a

szétbontás egy sajátos módjának felelne meg. A „rész” szót itt sajátos értelemben

használtam. Ugyanis a rész és az egész viszonyát átvittem a mondatról a jelöletére,

amennyiben egy szó jelöletét a mondat jelölete részének neveztem, feltéve hogy

maga a szó része a mondatnak. Ez a beszédmód természetesen támadható, mert a

jelölet esetében az egész és az egyik rész nem határozza meg a másikat, és mivel a

testek esetében a rész szót már más értelemben használjuk. A fenti célra külön

kifejezést kellene alkotni.

(5) Frege itt különös metaforát használ. Bontsuk föl a mondatot szavakra, s tekintsük a mondat

jelöletét (azaz igazságértékét) a szavak jelöleteiből komponált összetételnek. Az ítélés (a mondat

igazságának elfogadása) nem más, mint az Igaz felbontása ezen komponensekre.

Folytassuk azon föltevésünk vizsgálatát, hogy a mondat jelölete nem más, mint

az igazságértéke. Úgy találtuk, hogy egy mondat igazságértéke változatlan marad,

ha benne egy kifejezést azonos jelöletűvel helyettesítünk; de még nem vizsgáltuk

azt az esetet, amikor a helyettesítendő kifejezés maga is mondat. Ha nézetünk

helyes, akkor egy összetett mondat igazságértékének változatlannak kell maradnia

akkor is, ha egy részmondatát vele megegyező igazságértékű mondattal

helyettesítjük. Kivételek az esetben várhatók, amikor az egész mondat vagy a

részmondat egyenes vagy függő beszédben szerepel; hiszen ilyenkor, mint láttuk,

a szavak jelölete nem a szokásos. Egy mondat egyenes beszédben egy másik

mondatot jelöl, függő beszédben pedig egy gondolatot.

Rá kell térnünk a mellékmondatok vizsgálatára. Ezek olyan mondatszerkezet

részeként fordulnak elő, amelyet logikai szempontból ugyancsak mondatként,

éspedig összetett mondatként kell felfognunk. Itt vetődik föl az a kérdés, hogy

vajon a mellékmondatok jelölete is igazságértéke-e. A függő beszéd esetében már

tudjuk ennek az ellenkezőjét. A grammatikusok a mellékmondatokat

mondatrészek képviselőinek tekintik, és e szerint megkülönböztetnek alanyi,

jelzői, határozói mellékmondatokat. Ebből azt sejthetnénk, hogy a mellékmondat

jelölete nem igazságérték, hanem olyasmi, mint egy névszó, határozó vagy jelző

jelölete, vagyis mint egy olyan mondatrész jelölete, amelynek jelentése nem

gondolat, hanem csupán része egy gondolatnak. E kérdés tisztázásához beható

vizsgálat szükséges. Vizsgálódásainkban nem fogunk szigorúan ragaszkodni a

grammatikai vezérfonálhoz, hanem egybefoglaljuk azt, ami logikailag egynemű.

Lássunk először olyan eseteket, amelyekben a mellékmondat jelentése, mint imént

sejtettük, nem önálló gondolat.

A „hogy” kötőszóval bevezetett absztrakt alanyi mellékmondatok körébe

tartozik a függő beszéd is, amelyről már tudjuk, hogy benne a szavak közvetett

jelöletükkel szerepelnek, vagyis azt jelölik, ami szokásosan a jelentésük. Ebben az

esetben tehát a mellékmondat gondolatot, nem pedig igazságértéket jelöl; jelentése

pedig nem önálló gondolat, hanem az „az a gondolat, hogy…” szavak jelentése, ez

pedig csupán része az összetett mondat kifejezte gondolatnak. Ilyen

mellékmondatok szerepelnek a „mondotta”, „hallotta”, „véli”, „meg van

99

győződve”, „arra következtet”, és hasonló szavak után.8 Más a helyzet, éspedig

meglehetősen bonyolult az olyan szavak esetén, mint „felismeri”, „úgy tudja”,

„tévesen hiszi”; ezekkel később foglalkozunk.

Az, hogy a fenti esetekben a mellékmondat jelölete valóban a gondolat, abból is

látható, hogy az összetett mondat igazsága szempontjából közömbös, igaz-e a

kérdéses gondolat, vagy hamis. Hasonlítsuk össze pl. ezt a két mondatot:

„Kopernikusz úgy vélte, hogy a bolygók körpályán mozognak” és „Kopernikusz

úgy vélte, hogy a Nap mozgásának látszatát a Föld valóságos mozgása idézi elő”.

Itt az igazság megsértése nélkül helyettesíthető az egyik mellékmondat a másikkal.

A főmondatnak a mellékmondattal együtt egyetlen gondolat a jelentése, és az

egésznek az igazsága nem kötődik a mellékmondatnak sem az igazságához, sem a

hamisságához. Ilyen esetekben a mellékmondat egy kifejezését nem

helyettesíthetjük olyan kifejezéssel, amelynek ugyanaz a szokásos jelölete, hanem

csakis olyannal, amelynek közvetett jelölete, azaz a szokásos jelentése is

megegyezik a helyettesített kifejezésével. Ha valaki ebből arra következtetne,

hogy egy mondat jelölete mégsem az igazságértéke, „mivel akkor mindenütt

szabad lenne vele azonos igazságértékű mondattal helyettesíteni”, úgy túl sokat

bizonyítana: éppígy azt is lehetne állítani, hogy a „Hajnalcsillag” szó jelölete nem

a Vénusz; mivelhogy „Vénusz”-t sem lehet mindig mondani „Hajnalcsillag”

helyett. Jogosan csak arra lehet következtetni, hogy a mondat jelölete nem mindig

az igazságértéke, és hogy a „Hajnalcsillag” név nem mindig a Vénusz bolygót

jelöli, nevezetesen akkor nem, ha a szó közvetett jelöletével szerepel. Ilyen

kivételes esetről van szó a fenti mellékmondatokban is; ezek gondolatokat

jelölnek.

Ha azt mondjuk: „úgy látszik, hogy…”, akkor így gondoljuk: „számomra úgy

látszik, hogy…”, vagy „úgy vélem, hogy…”. Tehát újra az iménti esettel van

dolgunk. Hasonló a helyzet az olyan kifejezésekkel is, mint „örülök”, „sajnálom”,

„helyeslem”, „helytelenítem”, „remélem”, „attól tartok”. Ha Wellington a Belle-

Alliance-i csata vége felé örült, hogy a poroszok jönnek, örömének alapja egy

meggyőződés volt. Ha csalatkozott volna, akkor sem örült volna kevésbé

mindaddig, amíg tévedésére rá nem jött volna; és mielőtt arra a meggyőződésre

jutott, hogy jönnek a poroszok, nem tudott örülni e ténynek, noha a poroszok

ténylegesen már elindultak.

Ahogyan a meggyőződés vagy a hit alapja lehet egy érzésnek, ugyanúgy alapja

lehet egy másik meggyőződésnek is, éspedig következtetés révén. Ebben a

mondatban: „Kolumbus a Föld gömbölyűségéből arra következtetett, hogy Nyugat

felé hajózva el tudja érni Indiát”, a részek jelölete két gondolat: az, hogy a Föld

gömbölyű, és az, hogy Kolumbus Nyugat felé hajózva el tudja érni Indiát. Itt ismét

csak arról van szó, hogy Kolumbus mind az elsőről, mind a másodikról meg volt

győződve, és hogy az egyik meggyőződését a másikra alapozta. Hogy a Föld

valóban gömbölyű-e, és hogy Kolumbus Nyugat felé hajózva, valóban elérhette

volna-e Indiát, ahogyan gondolta, mondatunk igazsága szempontjából közömbös.

8 Az „,A azt hazudta, hogy látta B-t” mondatban a mellékmondat egy gondolatot

jelöl; a mondat szerint egyrészt A ezt a gondolatot igazként állította, másrészt A

meg volt győződve e gondolata hamisságáról.

100

Nem közömbös azonban, hogy „a Föld” helyett ezt tesszük-e: „az a bolygó,

amelyet a saját átmérője negyedénél nagyobb átmérőjű hold kísér”. Itt is a szavak

közvetett jelöletével van dolgunk.

A célhatározói mellékmondatok a „hogy” kötőszóval is ide tartoznak; lévén a

cél nyilvánvalóan egy gondolat; ezért a szavak közvetett jelentésűek, az ige

kötőmódban [a magyarban többnyire felszólító módban] áll.

A „parancsolja”, „kéri”, „megtiltja” után a „hogy” kötőszóval kapcsolt

mellékmondat egyenes beszédben felszólító módban szerepelne. Az ilyen

mondatnak nincs jelölete, csak jelentése. A parancs vagy a kérés nem gondolat

ugyan, de ugyanazon szinthez tartozik, mint a gondolat. Ezért a „parancsolja”,

„kéri” stb. igéktől függő mellékmondatokban is közvetett jelöletükkel szerepelnek

a szavak. Az ilyen mondat jelölete tehát nem igazságérték, hanem kérés, parancs

stb.

Hasonló a helyzet a függő kérdések esetében is, olyan fordulatokban, mint

„kétli, hogy”, „nem tudja, hogy”. Az, hogy a szavak itt is közvetett jelöletük

szerint veendők, könnyen látható. A kérdő mellékmondatok „ki”, „mi”, „hol”,

„mikor”, „hogyan”, „miáltal” stb. kérdőszavakkal néha közelinek tűnnek a

határozói mellékmondatokhoz, amelyekben a szavak szokásos jelöletükkel

szerepelnek. Nyelvileg ezek az esetek az igemódban különböznek. Kötőmód

esetén függő kérdéssel és a szavak indirekt jelöletével van dolgunk, ekkor a

tulajdonnév nem helyettesíthető korlátlanul ugyanazon tárgy egy másik nevével.

(6) Frege bizonyára arra a különbségre gondol, amely a következő két mondattal szemléltethető:

Albert odasietett, ahol a baleset történt.

Albert megtudakolta, hol történt a baleset

Az első példában helyhatározói mellékmondat szerepel, ebben a szavak szokásos értelmükben

funkcionálnak. A második példában a tradicionális grammatika szerint tárgyi mellékmondatot

találunk, igemódbeli különbség a magyarban nem lép föl, és csak a mellékmondat kérdő jellege

utal grammatikai különbségre. A logikai-szemantikai különbséget a főmondat episztemikus igéje

jelzi, ennek következtében az igéhez csatlakozó (grammatikai) tárgy egy kijelentés, Frege

terminológiája szerint egy gondolat. Ezért a második példában a szavak közvetett jelöletükkel

szerepelnek.

Az eddig vizsgált esetekben a mellékmondatokban a szavak közvetett

jelöletükkel szerepeltek, és ez érthetővé tette, hogy a mellékmondat jelölete is

közvetett, tehát nem igazságérték, hanem gondolat, kérés, parancs, vagy kérdés. A

mellékmondatot ezekben az esetekben névszóként lehet felfogni, annak a

gondolatnak, parancsnak stb. tulajdonneveként, amelyet az összetett mondatban

képvisel.

Térjünk rá most olyan mellékmondatokra, amelyekben a szavak ugyan

szokásos jelöletükkel szerepelnek, de a mellékmondat jelentése mégsem gondolat,

és így a jelölete sem igazságérték. Hogy ez miképp lehetséges, azt példákkal lehet

legjobban megvilágítani.

101

„Aki a bolygópályák elliptikus alakját felfedezte, nyomorban halt meg.”

Ha itt a mellékmondat jelentése egy gondolat lenne, azt kifejezhetnénk önálló

mondat segítségével is. Ez azonban nem sikerül, mert az „aki” grammatikai

alanynak nincs önálló jelentése, hanem csak a „nyomorban halt meg” főmondatra

való vonatkozást közvetíti. Ezért a mellékmondat jelentése nem teljes gondolat,

jelölete pedig nem igazságérték, hanem történetesen Kepler. Azt az ellenvetést

lehetne tenni, hogy a mellékmondat jelentése legalább részként mégis tartalmaz

egy gondolatot, nevezetesen azt, hogy volt valaki, aki először ismerte fel a

bolygópályák elliptikus alakját; hiszen aki az egészet igaznak tartja, ezt a részt

sem tagadhatja. Az utóbbi kétségtelen, de csak azért, mert különben az „aki a

bolygópályák elliptikus alakját felfedezte” mellékmondatnak nem volna jelölete.

Ha valaki állít valamit, magától értetődik az az előföltevés, hogy azok az egyszerű

vagy összetett tulajdonnevek, amelyeket használ, jelölettel bírnak. Ha tehát valaki

ezt állítja: „Kepler nyomorban halt meg”, akkor föltételezi, hogy a „Kepler” név

jelöl valamit; de azért még a „Kepler nyomorban halt meg” mondat jelentése nem

tartalmazza azt a gondolatot, hogy a „Kepler” név jelöl valamit. Mert ha

tartalmazná, akkor a mondat tagadása nem így hangzana:

„Kepler nem nyomorban halt meg”,

hanem így:

„Kepler nem nyomorban halt meg, vagy pedig a ‘Kepler’ névnek nincs jelölete.”

Az, hogy a „Kepler” név jelöl valamit, olyan előföltevés, amely a

„Kepler nyomorban halt meg”

állításhoz éppúgy hozzátartozik, mint a tagadásához. A nyelvek egyik

fogyatékossága, hogy képezhetők bennük olyan kifejezések, amelyek grammatikai

formájuk szerint kellően meghatározottnak tűnnek ahhoz, hogy egy tárgyat

jelöljenek, azonban ez a meghatározottság egyes esetekben mégsem teljesül, mert

függ egy bizonyos mondat igazságától. Így az, hogy a példánkban szereplő

„aki a bolygópályák elliptikus alakját fölfedezte”

mellékmondat valóban meghatározott tárgyat jelöl-e, vagy csak ezt a látszatot

kelti, és ténylegesen nincs jelölete, a következő mondat igazságán múlik:

(*) „Volt valaki, aki fölfedezte a bolygópályák elliptikus alakját.”

És úgy tűnhet, mintha mellékmondatunk tartalmazná jelentése részeként azt a

gondolatot, hogy volt egy bizonyos személy, aki fölfedezte a bolygópályák

102

elliptikus alakját. Ha ez helyes volna, akkor a teljes mondat tagadása így

hangzana:

„Aki a bolygópályák elliptikus alakját elsőként fölismerte, nem nyomorban halt

meg, vagy nem volt senki, aki a bolygópályák elliptikus alakját fölfedezte.”

Ez tehát a nyelv olyan fogyatékosságán múlik, melytől egyébként az analízis

jelnyelve sem teljesen mentes. Ott is előfordulhatnak olyan jelkapcsolatok,

amelyek azt a látszatot keltik, mintha jelölnének valamit, de legalábbis ez idáig

nincs jelöletük, ilyenek pl. a divergens végtelen sorok. Ezt el lehet kerülni pl. azzal

a külön megállapodással, hogy a végtelen divergens sorok jelöljék a 0 számot. Egy

logikailag tökéletes nyelv (fogalomírás) esetén indokolt követelmény, hogy

minden olyan kifejezés, amely a már bevezetett jelekből grammatikailag helyes

módon képezett tulajdonnév, ténylegesen is jelöljön egy meghatározott tárgyat, és

hogy semmilyen jelet ne lehessen új tulajdonnévként bevezetni úgy, hogy ne

legyen jelölete. A logikai művekben óvnak a kifejezések többértelműségétől mint

a logikai hibák egyik forrásától. Legalább ennyire szükséges óvakodni a jelölet

nélküli, látszólagos tulajdonnevektől. A matematika történetében bőven találunk

innen származó tévedéseket. A szavakkal való demagóg visszaélés is inkább ezen

alapszik, mintsem a szavak többértelműségén. „A nép akarata” például szolgálhat

ehhez; mivel könnyen megállapítható, hogy ennek a kifejezésnek nincs legalábbis

általánosan elfogadott jelölete. Tehát nem csekély a jelentősége annak, ha legalább

a tudományban egyszer s mindenkorra elrekesztjük az ilyen tévedések forrását.

Ezáltal lehetetlenné válnak az előbb tárgyalt ellenvetések, mert az, hogy egy

tulajdonnévnek van-e jelölete, nem függ többé egy gondolat igazságától.

(7) A tárgyalt példában szereplő alanyi mellékmondat — a logikai grammatika szerint — a

deskripciók (leírások) kategóriájába tartozik. Természetesen tárgyi és határozói mellékmondatok is

lehetnek deskripciók, erre Frege is utal a szöveg folytatásában. A deskripciók az individuumnevek

egyik alosztályát alkotják (lásd az (1) kommentárt). Logikai „szabványalakjuk”:

azon x, amely F(x),

ahol F(x) tetszőleges olyan kifejezés, melyből x-nek individuumnévvel való behelyettesítésével

mondat keletkezik. (Az ilyen kifejezéseket egyváltozós nyitott mondatoknak nevezzük.) Az ‘azon

x, amely’ kifejezést a ‘Ix’ szimbólummal helyettesítve, a deskripciók általános alakja a következő:

Ix · F(x).

Az ‘I’ szimbólum a deskriptor. Tehát a deskriptor (egyváltozós) nyitott mondatból

(„fogalomkifejezésből”) individuumnevet képez. E névnek akkor és csak akkor van jelölete, ha

F(x) egyetlenegy („egy és csak egy”) tárgyra igaz, azaz ha a

x · y(F(y) y = x)

103

mondat igaz. (Verbálisan: Legyen olyan x tárgy, hogy F(y) akkor és csak akkor legyen igaz

valamely y tárgyra, ha y azonos x-szel.) Ezt a feltételt pontosan megfogalmazta Frege már Az

aritmetika alapjai c. műve 74. §-ának 3. lábjegyzetében. Az itteni példában a (*) alatti

megfogalmazás nem egészen pontos: ha esetleg ketten egy időben ismerték volna föl a

bolygópályák elliptikus alakját, akkor nem tudnánk, hogy kiről van szó az „Aki a bolygópályák

elliptikus alakját fölfedezte…” kezdetű állításban. A „Volt valaki” szövegrész helyett „Egy és csak

egyvalaki volt” lenne a teljesen egyértelmű kifejezés. A deskriptort Frege formálisan is bevezeti a

fogalomírás kibővített formulanyelvébe [V]-ben.

A bemutatott szöveg három fontos elvi állásfoglalást tartalmaz az individuumneveknek

mondatokban való szerepével kapcsolatban:

(a) Az, hogy a mondatban szereplő névnek van jelölete, nem része, hanem előföltevése a mondat

állításának, s ez az előföltevés a mondat negációjára is vonatkozik.

Ezzel Frege elutasítja pl. a ‘Bertalan vadászik’ mondat ilyen logikai elemzését: „Van olyan x

tárgy, hogy a ‘Bertalan’ név x-et jelöli és x vadászik.” Ugyanis ha ezt az elemzést elfogadnánk,

akkor példamondatunk negációja így hangzana: „Bármi legyen is x, ha x vadászik, a ‘Bertalan’ név

nem jelöli x-et.” (Tömörebben: „Egyetlen vadászót sem jelöl a ‘Bertalan’ név.”) Ez nyitva hagyja

azt a kérdést, hogy a ‘Bertalan’ név jelöl-e valamit; ám Frege szerint akár állítjuk, akár tagadjuk

azt, hogy Bertalan vadászik, előföltételezzük, hogy a ‘Bertalan’ névnek van jelölete.

E kérdésben a Fregeével ellentétes álláspontot képviselt (legalábbis a deskripciókra

vonatkoztatva) B. Russell. Teljes egészében elutasítja Frege felfogását W. O. Quine és a mai

logika számos prominens képviselője. (Szerintük a mondatok végső logikai elemzésében az

individuumnevek teljesen kiküszöbölendők.) Az intenzionális logika művelői, valamint a

természetes nyelvek logikai struktúráit vizsgáló kutatók körében azonban Frege álláspontja a

népszerűbb, és nem véletlenül: az ellenkező álláspont mint a nyelvhasználat gyakorlatától való

messzemenő elrugaszkodás ezen a területen határozottan gátja az eredményes kutatásnak.

(b) Ha egy mondatban olyan név szerepel, amelynek nincs jelölete, akkor a mondatnak nincs

igazságértéke. Az (a) álláspont elutasítói ezt is elutasítják. Különösen a deskripciót tartalmazó

mondatokról elterjedt az a nézet, hogy akkor is van igazságértékük, ha a deskripciónak nincs

jelölete. Ez az álláspont a modális és az intenzionális logika területén okoz súlyos bonyodalmakat.

Igaz, hogy éppen ezen a területen Frege álláspontjának elfogadása is nehézségeket involvál, erről

(c) alatt lesz szó.

(c) Logikailag tökéletes nyelvben nem szabad megengedni jelölet nélküli neveket; a névképző

operációkat úgy kell szabályozni, akár önkényes konvenciók árán is, hogy minden szabatosan

formált névnek legyen jelölete. Ezt az álláspontot Frege következetesen megvalósítja a kibővített

fogalomírásban (lásd [V]). E tekintetben őt követte R. Carnap, A. Church és sokan mások a jelen

logikusai közül. De ez a megoldás mesterkéltséghez és nehézségekhez vezet a modális és az

intenzionális logika területén, csakúgy, mint a természetes nyelvek logikai modellálásában.

Helyesebb e követelményt a matematikai jellegű nyelvekre korlátozni, és az intenzionális logika

területén föladni. De akkor itt érvényesíteni kell a (b) álláspontot, melynek következtében

igazságérték nélküli mondatok is elkerülhetetlenül föllépnek. Ez az a nehézség, amelyre (b) végén

utaltunk. Leküzdéséhez a klasszikus logika fogalmainak újraátgondolása szükséges. De e téma

követése túl messze vezetne. (Az érdeklődő olvasó figyelmét felhívjuk a [68] tanulmányra.)

Ezekhez az alanyi mellékmondatokhoz a vizsgálódás során újabb típusként

csatolhatjuk a határozói és a jelzői mellékmondatokat, melyek logikailag szoros

rokonságban állnak velük.

Jelzői mellékmondatok segítségével is képezhetünk összetett tulajdonneveket,

habár — eltérően az alanyi mellékmondatoktól — önmagukban nem elegendők e

célra. Az ilyen mellékmondatokat jelzőkként kell figyelembe venni. Ahelyett,

104

hogy „4-nek az a négyzetgyöke, amely kisebb 0-nál”, azt is mondhatjuk, hogy „4-

nek a negatív négyzetgyöke”. Most arról van szó, hogy egy fogalomkifejezésből

határozott névelő segítségével képezünk tulajdonnevet. Ez csakis akkor

megengedett, ha a fogalom alá egy és csak egy tárgy esik.9 Fogalomkifejezéseket

viszont lehet úgy képezni, hogy a fogalom jegyeit jelzői mellékmondatok

segítségével adjuk meg, mint példánkban a „kisebb 0-nál” mellékmondattal.

Könnyen belátható, hogy egy ilyen mellékmondatnak éppoly kevéssé igazságérték

a jelölete és gondolat a jelentése, mint az előzőekben az alanyi mellékmondatnak,

hanem a jelentése — amelyet számos esetben ki lehet fejezni egyetlen jelzővel is

— csupán része egy gondolatnak. Itt is, mint az alanyi mellékmondatok esetében,

hiányzik az önálló alany, és ezért nem lehet a mellékmondat jelentését önálló

mondatban visszaadni.

(8) A jelzői mellékmondat a jelzett szóval — és annak esetleges többi jelzőjével együtt —

ugyancsak deskripciót alkothat, föltéve, hogy a grammatikai szerkezet határozott. (Utóbbit néha a

magyarban is elég egyértelműen jelzi a határozott névelő föllépése.)

Logikai szempontból a helyek, időpontok, időtartamok is tárgyak; ezért egy

meghatározott hely, időpont vagy időtartam nyelvi kifejezését is tulajdonnévként

kell felfogni. A hely- és időhatározói mellékmondatokat hasonló módon

használhatjuk ilyen tulajdonnevek képzésére, mint föntebb az alanyi és a jelzői

mellékmondatokat analóg célra. Hasonlóan lehet olyan fogalmakat is képezni,

melyek terjedelmébe helyek stb. tartoznak. Itt is megjegyezzük, hogy az ilyen

mellékmondatok jelentése nem adható vissza önálló mondatban, mert hiányzik egy

lényeges alkotórész, tudniillik a hely- vagy időmeghatározás, amelyet csak egy

vonatkozó névmás vagy kötőszó jelez.10

9 A föntebb mondottak szerint valójában külön megállapodással kellene

biztosítani, hogy az ilyen kifejezéseknek mindig legyen jelöletük, pl. azzal a

meghatározással, hogy ha a fogalom alá egyetlen tárgy sem esik, vagy ha több is

esik, akkor a 0 számot tekintjük a kifejezés jelöletének. 10

Ilyen mondatok esetében egyébként könnyen lehetségesek különböző

felfogások. Tekintsük ezt a mondatot: „Miután Schleswig-Holsteint elszakították

Dániától, Poroszország és Ausztria összekülönbözött.” Ezt így is érthetjük:

„Schleswig-Holstein Dániától való elszakítása után Poroszország és Ausztria

összekülönbözött.” Ebben a felfogásban eléggé világos, hogy azon gondolat,

miszerint Schleswig-Holsteint elszakították Dániától, nem része a mondat

jelentésének, hanem csupán szükséges előföltétele annak, hogy a „Schleswig-

Holstein Dániától való elszakítása után” kifejezés egyáltalán jelöljön valamit.

Persze, ezt a mondatot úgy is fel lehel fogni, hogy magában foglalja azt az állítást

is, hogy Schleswig-Holsteint valamikor elszakították Dániától. Ezt az esetet

később tárgyaljuk. Világosabb lesz a különbség, ha egy olyan kínai

gondolatvilágába képzeljük magunkat, aki az európai történelem hiányos ismerete

folytán hamisnak tartja azt, hogy Schleswig-Holsteint valaha is elszakították

Dániától. Ha mondatunkat az első módon értelmezi, sem igaznak, sem hamisnak

nem fogja tartani, hanem minden jelöletet el fog vitatni tőle, mivel a

105

Az alanyi, jelzői és határozói mellékmondatokhoz hasonlóan, a feltételes

mellékmondatokban is gyakran szerepel egy határozatlanul utaló alkotórész,

amelynek párja a főmondatban található. Ha ezek kölcsönösen egymásra

vonatkoznak, a két mondatot olyan egésszé kapcsolják össze, amely rendszerint

csak egyetlen gondolatot fejez ki. Tekintsük a következő mondatot:

„Ha egy szám kisebb, mint 1 és nagyobb, mint 0, akkor a négyzete is kisebb,

mint l, és nagyobb, mint 0.”

Ebben az említett alkotórész a feltételben az „egy szám”, a főmondatban pedig az

a határozatlan birtokos, amelyre a „négyzete” kifejezésben a birtokos személyrag

utal. Éppen e meghatározatlanság kölcsönzi a mondat jelentésének azt az

általánosságot, amelyet elvárunk egy törvénytől. De ez okozza azt is, hogy a

feltételes mellékmondat jelentése önmagában nem befejezett gondolat, hanem csak

a főmondat jelentésével együtt alkot egyetlen olyan gondolatot, amelynek részei

már nem gondolatok. Általánosságban nem áll az, hogy a hipotetikus ítéletben két

ítélet közötti vonatkozást állítunk. Amikor ilyet vagy effélét mondanak, az „ítélet”

szót ugyanabban az értelemben használják, mint én a „gondolat”-ot, így nekem

ehelyett ezt kellene mondanom: „a hipotetikus gondolat két gondolat közötti

vonatkozást tartalmaz.” Ez csak akkor igaz, ha a mondatban nincs határozatlanul

utaló alkotórész;11

de akkor nincs szó általánosságról sem.

(9) A szereplő példamondat logikai szerkezete a fogalomírás és az aritmetika jeleivel így

fejezhető ki:

x((x szám & 0 < x < 1) 0 < x2 < 1).

(Lásd [I],11. § és [II]-ban a (10) kommentárt követő részt.) Az élő nyelvben az x változó szerepét a

„határozatlanul utaló alkatrészek” töltik be, az univerzális kvantifikációt pedig gyakran

elhallgatjuk. A vizsgált mondat logikai jellemzéséhez a tradicionális grammatikai kategorizálás —

feltételes alárendelő összetétel — semmitmondó; ténylegesen egy nyitott feltételes mondat

univerzális kvantifikációjáról van szó.

Ha a feltételben és a főmondatban határozatlan időpontra utalunk, ezt rendszerint

az ige jelen ideje segítségével fejezzük ki. amely azonban ez esetben nem a jelent

jelöli. Ilyenkor ez a grammatikai forma a határozatlanul utaló alkotórész a fő- és a

mellékmondatban. Példa: „Ha a Nap a Ráktérítőn delel, az északi félgömbön a

leghosszabb a nappal.” Itt is lehetetlen a feltételes mellékmondat jelentését zárt

mondattal kifejezni, mert a jelentése nem önálló gondolat. Hiszen ha azt

mondanánk: „A Nap a Ráktérítőn delel”, ezzel az aktuális jelenre vonatkoztatnánk

mellékmondatnak nincs jelölete: csak látszólagos időmeghatározás. Ha ellenben a

második módon fogja fel mondatunkat, akkor talál benne egy gondolatot, amelyet

hamisnak tart, és mellette egy olyan részt, amely számára nem jelöl semmit. 11

Néha hiányzik a kifejezett nyelvi utalás, ilyenkor az egész összefüggést

figyelembe kell venni.

106

s így megváltoztatnánk jelentését. Éppígy nem gondolat a főmondat jelentése sem;

csak a fő- és a mellékmondat együttese fejez ki gondolatot. Egyébként a fő- és a

mellékmondatban több közös alkotórészre is utalhatunk határozatlanul.

Világos, hogy az „aki”, „ami”, „ahol”, „amikor”, „bárhol”, „bármikor”

kötőszavakkal föllépő alanyi, ill. határozói mellékmondatokat is gyakran feltételes

mellékmondatokként kell értelmezni jelentésük szerint. Pl.: „Aki szurokba nyúl,

beszennyezi magát.”

(10) Tehát az említett mondat átfogalmazható így: „Ha valaki szurokba nyúl, az beszennyezi

magát.” Az átfogalmazás segíthet a logikai szerkezet fölismerésében:

x (x szurokba nyúl x beszennyezi magát).

Jelzői mellékmondatok is helyettesíthetnek feltételes mellékmondatokat. Így a

korábbi példamondatunk jelentését kifejezhetjük ilyen formában is: „Az olyan

számnak, mely nagyobb 0-nál és kisebb 1-nél, a négyzete is nagyobb 0-nál és

kisebb 1-nél.”

Egészen más a helyzet, ha a fő- és a mellékmondat közös alkotórészét

tulajdonnév jelöli. Ebben a mondatban:

„Napóleon, aki felismerte, hogy jobb szárnya veszélyben van, személyesen

vezette gárdáját az ellenséges állások ellen”

két gondolatot fejezünk ki:

1. Napóleon felismerte, hogy jobb szárnya veszélyben van;

2. Napóleon személyesen vezette gárdáját az ellenséges állások ellen.

Hogy ez hol és mikor történt, az csak az összefüggésből ismerhető föl, de ezt most

tekintsük meghatározottnak. Ha az egész mondatot állítjuk, akkor ezzel egyúttal a

két részmondatot is állítjuk. Ha a részmondatok egyike hamis, akkor az egész is

hamis. Ebben az esetben a mellékmondatnak önmagában is teljes gondolat a

jelentése (ha kiegészítjük a hely- és időadatokkal). A mellékmondat jelölete ezek

szerint egy igazságérték. Azt várhatjuk tehát, hogy a mellékmondat fölcserélhető

egy azonos igazságértékű mondattal, az összetett mondat igazságának megsértése

nélkül. Ez így is van; csak arra kell ügyelni, hogy az alany „Napóleon” maradjon.

Ennek oka tisztán grammatikai: csak így hozható a „Napóleon”-ra vonatkozó

jelzői mellékmondat alakjára. Ha azonban eltekintünk attól a követelménytől,

hogy az eredeti alakban írjuk fel, és megengedjük az „és”-sel való mellérendelést

is, akkor ez a korlátozás elesik.

A „habár” kötőszóval bevezetett mellékmondatok is teljes gondolatot fejeznek

ki. Ennek a kötőszónak tulajdonképpen nincs jelentése, és nem változtatja meg a

107

mondat jelentését sem, hanem csak sajátos módon színezi azt.12

A megengedő

mellékmondatot helyettesíthetjük ugyan az igazság megsértése nélkül egy

ugyanolyan igazságértékűvel; de az említett árnyalat így könnyen oda nem illővé

válhat, olyanformán, mintha egy szomorú dalt vidáman énekelne valaki.

Az utóbbi esetekben az egész igazsága magában foglalta a részmondatuk

igazságát. Más a helyzet, ha a feltételes mellékmondat teljes gondolatot fejez ki,

amennyiben a határozatlanul utaló alkotórész helyén tulajdonnevet vagy annak

tekintendő kifejezést tartalmaz. Ebben a mondatban:

„ha jelenleg már fölkelt a Nap, akkor az ég erősen felhős”

— az idő a jelen, azaz meghatározott. Tekintsük a helyet meghatározottnak. Itt azt

lehet mondani, hogy a feltételt és a következményt kifejező mondatok

igazságértékei között állítunk egy összefüggést, nevezetesen azt, hogy nem áll

fenn az az eset, melyben a feltételmondat az Igazat, az utómondat pedig a Hamisat

jelöli. Eszerint mondatunk igaz, ha a Nap most még nem kelt föl, akár erősen

felhős az ég, akár nem, és igaz akkor is, ha a Nap már fölkelt és az ég erősen

felhős. Mivel itt csak az igazságértékek számítanak, bármelyik tagmondat

helyettesíthető azonos igazságértékűvel anélkül, hogy az egésznek az

igazságértéke megváltoznék. Igaz, hogy ezzel a jelentésárnyalat itt is többnyire

oda nem illővé válhat: a gondolat enyhén ízléstelennek tűnhet; de ennek nincs

köze az igazságértékéhez. Figyelembe kell venni, hogy olyan mellékgondolatok is

érződnek, amelyek nincsenek ténylegesen kifejezve, és ezért nem számíthatjuk

hozzá őket a mondat jelentéséhez: így ez a mondat igazságértékét sem érintheti.13

Ezzel befejeztük az egyszerű esetek tárgyalását. Tekintsük át az eredményeket:

Az alárendelt mellékmondat jelentése többnyire nem teljes gondolat, hanem

csak egy gondolatrész, következésképp a jelölete sem igazságérték. Ennek vagy az

az oka, hogy a mellékmondatban a szavak közvetett jelöletükkel szerepelnek,

úgyhogy a mellékmondatnak a jelölete, nem pedig a jelentése gondolat, vagy

pedig az, hogy a mellékmondat egy benne előforduló csak határozatlanul utaló

alkotórész miatt nem teljes, úgyhogy csak a főmondattal együtt fejez ki

gondolatot. Olyan esetek is előfordulnak azonban, hogy a mellékmondat jelentése

egy teljes gondolat, ilyenkor a mellékmondat az egész mondat igazságának

megsértése nélkül helyettesíthető egy másik, azonos igazságértékű

mellékmondattal, ha ennek grammatikai akadályai nincsenek.

(11) Nyilvánvaló, hogy a jelentés és a jelölet azon problémái, amelyeket Frege e tanulmányában

vizsgál, a matematika nyelve számára túlnyomó részben irrelevánsak, mindenekelőtt azért, mert a

matematikai állításokban a szavak sohasem szerepelnek közvetett értelemben. E problémák főleg a

modális és az intenzionális logika számára jelentősek (mint arra már korábbi kommentárokban is

utaltunk). Bár Frege explicit formában nem foglalkozott modális logikával, e tanulmánya a modális

12

Hasonló áll a „de”, „azonban” kötőszavakra is. 13

Mondatunk gondolatát így is ki lehet fejezni: „Vagy most még nem kelt föl a

Nap, vagy az ég erősen felhős.” Ebből látható, hogyan kell felfogni ezt a fajta

mondatkapcsolatot.

108

és az intenzionális logika szemantikája, valamint a természetes nyelvek szemantikája

szempontjából nagy jelentőségű.

A tanulmány most következő, s egyben utolsó témája az ún. másodlagos vagy járulékos jelentés

problémájával foglalkozik. Egyes (többnyire összetett) mondatok nyilvánvaló explicit

mondanivalójukon kívül még egy implicit vagy másodlagos gondolatot is tartalmaznak, illetve

több-kevesebb erővel sugalmaznak. Ennek következtében a grammatikai szerkezet és a tartalmi

struktúra között a korábbiaknál is nagyobb divergencia léphet föl.

Ha minden lehetséges mellékmondatot megvizsgálunk, hamarosan olyanokat

találunk, amelyek nem illenek ezekbe a típusokba. Ennek az oka — már

amennyire én látom — abban keresendő, hogy az ilyen mellékmondatoknak

egyáltalán nem ilyen egyszerű a jelentése. Úgy tűnik, a kimondott főgondolathoz

majdnem mindig mellékgondolatokat kapcsolunk, melyeket, bár nem mondtunk

ki, pszichológiai törvények alapján a hallgató is hozzákapcsol kimondott

szavainkhoz. És mivel ezek a mellékgondolatok maguktól majdnem olyan

összekapcsoltnak tűnnek szavainkkal, mint maga a főgondolat, valójában ki is

akarjuk fejezni vele a mellékgondolatot. Ezáltal a mondat jelentése gazdagabbá

válik, és az is megtörténhet, hogy több egyszerű gondolatot fejezünk ki, mint

mondatot. Némely esetben a mondatot így kell értenünk, más esetben kétséges

lehet, hogy a mellékgondolat hozzátartozik-e a mondat jelentéséhez, vagy csupán

kíséri azt.14

Például úgy vélhetjük, hogy a következő mondat

„Napóleon, aki felismerte, hogy jobb szárnya veszélyben van, személyesen

vezette gárdáját az ellenséges állások ellen”

nemcsak a föntebb megadott két gondolatot fejezi ki, hanem azt is, hogy a veszély

felismerése volt az az ok, ami miatt Napóleon a gárdát az ellenséges állások ellen

vezette. Valóban kétségeink lehetnek afelől, hogy ezt a gondolatot a mondat éppen

csak megpendíti, vagy valóban ki is fejezi. Gondoljuk meg, vajon hamis lenne-e

mondatunk, ha Napóleon már a veszély észlelése előtt így döntött volna. Ha

mondatunk így is igaz lenne, akkor a mellékgondolatot nem tekinthetjük

mondatunk jelentésének részeként. Valószínűleg emellett kell döntenünk.

Másképp a helyzet igen bonyolult lenne: több egyszerű gondolatunk lenne, mint

mondatunk. Ha mármost ezt a mondatot:

„Napóleon felismerte, hogy jobb szárnya veszélyben van”

— helyettesítenénk egy vele egyező igazságértékű másik mondattal, pl. ezzel:

„Napóleon már elmúlt 45 éves”,

— akkor ezáltal nemcsak első, hanem harmadik gondolatunk is megváltozna, és

14

Ez igen jelentős lehet annak eldöntésekor, hogy egy állítás hazugságnak, egy

eskü szándékos hamis eskünek minősíthető-e.

109

így igazságértéke is más lehetne; mégpedig akkor, ha nem az életkora miatt

döntött úgy, hogy a gárdát az ellenség ellen vezeti. Ebből látható, hogy miért nem

helyettesíthetők egymással mindig ilyen esetekben az azonos igazságértékű

mondatok. A mondat ilyenkor, egy másik mondattal való kapcsolata

következtében többet fejez ki, mint önmagában.

Vizsgáljunk meg most néhány olyan esetet, amikor az ilyesmi szabályszerűen

előfordul. A következő mondat:

„Bebel abban a tévhitben van, hogy Elzász-Lotharingia visszaadásával

Franciaország bosszúvágyát le lehet csillapítani”

— két gondolatot fejez ki, de nem úgy, hogy az egyik a fő-, a másik a

mellékmondathoz tartozik. Nevezetesen:

l. Bebel azt hiszi, hogy Elzász-Lotharingia visszaadásával Franciaország

bosszúvágyát le lehet csillapítani.

2. Elzász-Lotharingia visszaadásával Franciaország bosszúvágyát nem lehet

lecsillapítani.

Az első gondolat kifejezésében a mellékmondat szavai közvetett jelöletükkel

szerepelnek, a második gondolat kifejezésében viszont ugyanezek a szavak

szokásos jelöletükkel fordulnak elő. Ebből látható, hogy az eredeti

mondatszerkezetben szereplő mellékmondatot tulajdonképpen kétszer kell

vennünk, éspedig különböző jelölettel; ezek egyike egy gondolat, másika egy

igazságérték. Minthogy az igazságérték nem a teljes jelölete a mellékmondatnak,

ez a mellékmondat nem helyettesíthető egy másik, ugyanolyan igazságértékű

mondattal. Hasonló a helyzet az olyan kifejezések esetén is, mint „tudja”,

„felismeri”, „ismeretes”.

Egy okhatározói mellékmondattal és a hozzátartozó főmondattal több

gondolatot fejezünk ki, ezek azonban nem felelnek meg egyenként a

mondatuknak. A következő mondat:

„Mivel a jég fajsúlya kisebb, mint a vízé, úszik a vízen”

az alábbi gondolatokat tartalmazza:

1. a jég fajsúlya kisebb, mint a vízé;

2. ha valaminek a fajsúlya kisebb, mint a vízé, akkor az úszik a vízen;

3. a jég úszik a vízen.

A harmadik gondolatot esetleg nem szükséges külön említeni, minthogy az első

kettőben már benne van. Viszont sem az első és a harmadik, sem a második és a

harmadik együtt nem teszik ki mondatunk jelentését. Látható tehát, hogy ebben a

mellékmondatban:

„mivel a jég fajsúlya kisebb, mint a vízé”

110

kifejeződik első gondolatunk és azon kívül még a második egy része is. Ebből

következik, hogy mellékmondatunkat nem lehet tetszőleges másik, ugyanolyan

igazságértékű mondattal helyettesíteni; hiszen ezáltal második gondolatunk is

megváltozna, és ez könnyen kihathat igazságértékére is.

Hasonló a helyzet ebben a mondatban:

„Ha a vas fajsúlya kisebb volna, mint a vízé, akkor úszna a vízen.”

Itt az a két gondolat fejeződik ki, hogy a vas fajsúlya nem kisebb, mint a vízé, és

hogy ha valaminek a fajsúlya kisebb, mint a vízé, akkor az úszik a vízen. A

mellékmondat ismét az első gondolatot és a másodiknak egy részét fejezi ki.

(12) Az utolsó példákban ún. kontrafaktuális feltételes állítás szerepel, melynek előtagja

(feltétele) ellenkezik a tényekkel, hiszen a vas fajsúlya ténylegesen nem kisebb, mint a vízé. Az

utolsó két évtizedben sokat foglalkoztak az ilyen állítások logikai elemzésével is; ezekhez

viszonyítva Frege itteni magyarázata kissé elnagyoltnak tűnik.

A következő példa mondata előzőleg a 10. lábjegyzetben fordult elő.

Korábban említettük ezt a mondatot

„Miután Schleswig-Holsteint elszakították Dániától, Ausztria és Poroszország

összekülönbözött.”

Ha ezt úgy fogjuk fel, hogy kifejezi azt a gondolatot, hogy Schleswig-Holsteint

valamikor elszakították Dániától, akkor egyrészt ezzel a gondolattal van dolgunk,

másrészt pedig azzal, hogy egy bizonyos időpontban, amelyet a mellékmondat

határoz meg közelebbről, Poroszország és Ausztria összekülönböztek. A

mellékmondat itt sem csak egy gondolatot fejez ki, hanem egy másiknak egy

részét is. Ezért általában nem lehet más, ugyanolyan igazságértékű mondattal

helyettesíteni.

Nehéz kimeríteni a nyelvben rejlő összes lehetőséget; mégis remélem, hogy

lényegében megtaláltam annak az okát, hogy miért nem lehet mindig az összetett

mondat igazságának sérelme nélkül egy mellékmondatot más, ugyanolyan

igazságértékű mondattal helyettesíteni. Ezek:

1. A mellékmondat jelölete nem igazságérték, mivel nem teljes gondolatot,

hanem csak egy gondolatrészt fejez ki.

2. A mellékmondat ugyan igazságértéket jelöl, de nem korlátozódik erre,

amennyiben jelentése egy gondolaton kívül egy másik gondolat egy részét is

felöleli.

Az első eset fölléphet:

a) a szavak közvetett jelölete esetén.

b) ha egy mondatrész csak határozatlanul utal, ahelyett, hogy tulajdonnév

lenne.

A második esetben a mellékmondatot kétszeresen kell tekintetbe vennünk, ti.

egyszer szokásos, egyszer közvetett jelölete szerint; vagy pedig a mellékmondat

111

egy részének jelentése egyúttal egy másik gondolatnak is alkotórésze, amely

gondolat a mellékmondatban közvetlenül kifejezett gondolattal együtt alkotja az

összetett mondat teljes jelentését.

Ezekből nagy valószínűséggel következik, hogy azok az esetek, amelyekben

egy mellékmondat nem helyettesíthető egy másik, ugyanolyan igazságértékű

mondattal, semmit nem bizonyítanak azon nézetünkkel szemben, hogy ha egy

mondatnak a jelentése egy gondolat, akkor a jelölete nem más, mint az

igazságértéke.

Térjünk vissza kiindulópontunkhoz!

Ha „a = a” és „a = b” ismeretértékét általában különbözőnek tartjuk, ennek az a

magyarázata, hogy egy mondat ismeretértéke szempontjából a mondat jelentése,

azaz a benne kifejezett gondolat nem kevésbé számít, mint a mondat jelölete, azaz

igazságértéke. Ha tehát a = b, akkor ugyan „b” jelölete ugyanaz, mint „a”-é, s így

„a = b” és „a = a” igazságértéke is megegyezik; azonban „b” jelentése

különbözhet „a” jelentésétől, s így az „a = b” kifejezte gondolat különbözhet attól,

amit „a = a” fejez ki; ebben az esetben a két mondat ismeretértéke sem azonos.

Ha, mint föntebb, „ítéleten” a gondolattól az igazságértékhez való továbbhaladást

értjük, akkor azt is mondhatjuk, hogy az ítéletek különbözőek.

112

V

AZ ARITMETIKA ALAPTÖRVÉNYEI

I. KÖTET

(1893)

Részleteket adunk az Előszóból, kihagyás nélkül közöljük a Bevezetést, majd tartalmi ismertetést

nyújtunk a kötetből.

ELŐSZÓ

E könyvben az olvasó megtalálja az aritmetika alapjául szolgáló törvények

bizonyítását azon jelrendszer segítségével, amelyet fogalomírásnak nevezek. […]

Maguk a bizonyítások nem tartalmaznak szavakat, hanem kizárólag jelek

szerepelnek bennük. Külalakjuk szerint olyan formulák sorozatai, amelyeket

vastag vagy szaggatott vonalak vagy más jelek választanak el egymástól. Minden

egyes formula egy hiánytalanul teljes tétel, az érvényességéhez szükséges összes

feltétellel. Ezt a teljességet, mely nem tűr hallgatólag hozzágondolandó

előfeltevéseket, a bizonyítás szigorúsága szempontjából nélkülözhetetlennek

tartom. […]

A bizonyításokhoz szükséges alaptételek a 33. §-ban találhatók. A definíciók

nem sajátosan kreatívak, és, mint gondolom, nem is szabad ilyeneknek lenniük;

csak olyan rövidítő jelöléseket (neveket) vezetnek be, melyek nélkülözhetőek

volnának, ha a terjedelmesség nem támasztana ezáltal leküzdhetetlen külső

nehézségeket.

Az ún. teremtő definíciók ellen Frege már korábbi írásaiban is hadakozott. (Lásd pl. [II]-ben.) A

témára még a jelen előszóban is visszatér.

A matematikának azt a szigorúan tudományos módszerét, melyet itt megvalósítani

igyekeztem, és melyet bizonyára Eukleidészről nevezhetnénk el, a következőkkel

jellemezném. Azt, hogy mindent bebizonyítsunk, nem lehet ugyan megkívánni,

hiszen ez lehetetlenség; megkövetelhetjük azonban, hogy határozottan és nyíltan

felsoroljuk a bizonyítás nélkül felhasznált tételeket, s ezáltal világosan

felismerhetővé váljék, min alapszik az egész épület. Törekednünk kell arra, hogy

ezen őstörvények számát, amennyire csak lehet, csökkentsük, azaz bizonyítsunk

mindent, ami csak bizonyítható. Továbbá — és ez az, amiben továbbmegyek

Eukleidésznél — megkívánom, hogy minden alkalmazásra kerülő következtetési

és bizonyítási mód előzetesen megadott legyen. Enélkül az első követelmény

teljesülése sincs biztosítva. […]

113

A következtetésláncok hézagtalansága révén elérjük, hogy minden axióma,

minden föltevés, hipotézis, vagy akárhogy is nevezzük, amin egy bizonyítás

nyugszik, napvilágra kerül; és ezzel alapot nyerünk a bebizonyított tétel

ismeretelméleti természetének megítéléséhez. Sokszor kimondták már ugyan,

hogy az aritmetika nem más, mint továbbfejlesztett logika; de ez mindaddig

vitatható marad, míg a bizonyításokban előfordulnak olyan átmenetek, melyeket

nem támasztanak alá elismert logikai törvények, hanem csak szemléletes

megismerésen látszanak nyugodni. Csak akkor lehetünk meggyőződve, hogy

kizárólag a logika az alap, ha ezeket az átmeneteket egyszerű logikai lépésekre

bontjuk fel. Mindent összefoglaltam, ami megkönnyítheti annak megítélését, hogy

hiánytalanok-e a következtetésláncok, szilárdak-e a támasztékok. Ha netán valaki

hibásnak találna valamit, pontosan meg kell jelölnie, hol rejlik véleménye szerint a

hiba: az alaptörvényekben, a definíciókban, a szabályokban vagy egy

meghatározott helyen való alkalmazásukban. Ha pedig mindent rendben levőnek

találunk, úgy pontosan ismerjük azon alapokat, melyeken minden egyes tétel

nyugszik. Ahogy én látom, csak az értékmenetekről szóló (V) alaptörvényem lehet

vitatható; mivel ezt így talán még nem fogalmazták meg a logikusok, noha amikor

pl. a fogalmak terjedelméről beszélnek, eszerint gondolkodnak. Én ezt tiszta

logikai törvénynek tartom. Mindenesetre ez az a hely, ahol dönteni kell.

A könyv II. kötetének végén kiderül, hogy az (V) alaptörvény sokkal súlyosabb problémát okoz,

mint amire itt Frege gondol. E témára még visszatérünk.

Célom megköveteli, hogy néha eltérjek attól, ami a matematikában szokásos. A

bizonyítás szigorúságára vonatkozó követelmények elkerülhetetlen

következménye a nagyobb terjedelmesség. Aki ezt nem veszi figyelembe,

csodálkozni fog azon, hogy milyen körülményesen bizonyítunk itt gyakorta olyan

tételeket, melyeket ő egyetlen megismerési aktussal közvetlenül beláthatónak

gondol. Ez különösen feltűnő lesz, ha összehasonlítást teszünk Dedekind úr Was

sind und was sollen die Zahlen? című írásával, mely az aritmetika alapozásáról

szóló, s az utóbbi időkben kezembe került könyvek közül a legalaposabb. A jóval

kisebb terjedelmű könyv lényegesen messzebbre követi az aritmetika törvényeit,

mint jelen írásom. Ezt a rövidséget persze azáltal éri el, hogy sok mindent

tulajdonképpen egyáltalán nem bizonyít be. Dedekind úr gyakorta csak annyit

mond, hogy a bizonyítás ebből és ebből a tételből folyik; olyan kipontozásokat

használ, mint „M(A, B, C, …)”; sehol nem található nála a felhasznált logikai

vagy egyéb törvények valamilyen összeállítása, de ha lenne is, az sem nyújtana

lehetőséget annak ellenőrzésére, hogy valóban semmi mást nem használt-e föl;

mert ehhez nem elég jelezni a bizonyításokat, hanem mindet hiánytalanul végig is

kell vinni. Dedekind úr is azon a véleményen van, hogy a számok elmélete a

logika része; de írása alig járul hozzá ennek a nézetnek a megerősítéséhez, mivel

olyan kifejezései, mint „rendszer”, „valamely dolog egy dologhoz tartozik”, nem

szokásosak a logikában, és nincsenek visszavezetve elismert logikai fogalmakra.

Ezt nem szemrehányásképp mondom; számára az ő eljárása a legcélszerűbb

lehetett, csak azért említem, hogy az ellentét segítségével jobban megvilágítsam

saját szándékomat.

114

R. Dedekind könyve (lásd [60]) a szokásos matematikai stílust követi: a bizonyítások egyes

részleteinek átgondolását gyakran az olvasóra bízza. Megjegyezzük, hogy a mai matematikus is

általában megelégszik azzal, hogy bizonyításait le lehetne írni „fogalomírással”, azaz pusztán

logikai szimbólumokkal, ám ténylegesen csak igen kritikus esetekben folyamodnak a tiszta logikai

nyelv használatához. — Dedekind „rendszer” (System) fogalma csaknem azonos a halmaz Cantor-

féle fogalmával. A jelen Előszót követő Bevezetésben Frege visszatér Dedekind nézetének

bírálatára.

Egy bizonyítás hosszúságát nem szabad rőffel mérni. A bizonyítás rövid lehet a

papíron, ha a következtetésláncban sok közbülső tagot átugrunk és egyet s mást

csak jelzünk. Legtöbbnyire meg is elégszünk azzal, ha a bizonyítás minden

lépéséről belátjuk, hogy helyes, és ez valóban elegendő is, ha csak a bizonyítandó

tétel igazságáról akarunk meggyőződni. De ha arról van szó, hogy ennek a

belátásnak a természetébe szerezzünk betekintést, akkor ez az eljárás nem

kielégítő, hanem ki kell írnunk minden közbülső lépcsőfokot, hogy a tudatosság

teljes fényével világíthassuk meg. A matematikusnak rendszerint csak a tétel

tartalma és a bizonyítottság ténye fontos. A mi módszerünkben nem a tétel

tartalma az új, hanem az, ahogy a bizonyításokat végezzük, az, hogy milyen

alapokra épül. Nem lehet meglepő, hogy ez a lényegesen különböző nézőpont más

tárgyalásmódot is követel. Ha tételeink valamelyikét a megszokott módon

vezetjük le, könnyen átsiklunk egy-egy tételen, amely a bizonyításhoz

szükségtelennek látszik. De ha az olvasó pontosabban utánagondol

bizonyításaimnak, azt hiszem, be fogja látni ezek nélkülözhetetlenségét, hacsak

nem akar valami egészen más útnak nekivágni. Helyenként a tételeinkben is

találhatók olyan feltételek, melyek első látásra fölöslegesnek tűnnek, azonban

mégis szükségesnek bizonyulnak, vagy csak külön bizonyítandó tétel segítségével

távolíthatók el.

Itt azon szándékomat valósítom meg, amely már 1879-ben, Fogalomírásomban

szemem előtt lebegett, s amelyet 1884-ben, Az aritmetika alapjai c. könyvemben

[9] jeleztem. Most tényekkel akarom igazolni az utóbb említett könyvben kifejtett

nézetemet a számosságokról. Eredményeim alapvető részét ott a 46. §-ban úgy

fogalmaztam meg, hogy a számállítás fogalomról szóló kijelentést tartalmaz; és

ezen nyugszik az itteni kifejtés. Ha valaki más nézeten van, úgy kíséreljen meg

arra alapozni egy következetes és használható, jelekkel való kifejtést, és látni

fogja, hogy nem megy. A nyelvben természetesen nem ilyen áttekinthető a

tényállás; de ha pontosan utánanézünk, azt találjuk, hogy ott is így van:

számállításban mindig egy fogalmat nevezünk meg, nem egy csoportot,

összességet vagy valami ilyesfélét, és ha egyszer valahol mégis esetleg az utóbbi

fordul elő, úgy a csoportot vagy az összességet mindig egy fogalom határozza

meg, ti. azon tulajdonságok, amelyekkel egy tárgynak rendelkeznie kell ahhoz,

hogy a csoporthoz tartozzék, míg az, ami a csoportot csoporttá, a rendszert

rendszerré teszi, a tagok kapcsolata egymáshoz, a számosság szempontjából

teljesen közömbös.

Annak oka, hogy a kivitelezés ilyen későn jelenik meg a szándék jelzése után,

részben azokban a belső változtatásokban rejlik, amelyeket a fogalomírásban

eszközöltem, és amelyek következtében egy kéziratban már majdnem elkészült

115

munkát el kellett vetnem. Említsük itt meg röviden ezen változtatásokat. A

Fogalomírásban alkalmazott alapjelek, egy kivételével, itt is előfordulnak. A

három párhuzamos vízszintes vonal helyett ugyanis a szokásos egyenlőségjelet

választottam, mivel meggyőződtem arról, hogy utóbbinak az aritmetikában éppen

az a jelentése, melyet én is jelölni kívánok vele. Ugyanis az „egyenlő” szót az

„egybeeső”, vagy „azonos” értelmében használom és az aritmetikában is valóban

így használják az egyenlőségjelet. Az az ellenvetés, amely ezzel szemben

fölvetődhet, minden bizonnyal jel és megjelölt kellő megkülönböztetésének

hiányán alapszik. Persze a ‘22 = 2+2’ egyenlőségben a bal oldali jel különbözik a

jobb oldali jeltől; azonban mindkettő ugyanazon számot jelöli.1 A régi

alapjelekhez hozzájön még kettő: a circumflex a függvények értékmenetének

jelölésére, és egy jel, amely a nyelv határozott névelőjét képviseli.

Az azonosság jelölésére kezdettől fogva az ‘=’ jelet használtuk; lásd [I], 8. § kommentárját. A

circumflexes változókat (az eredetiben spiritus lenissel ellátott görög magánhangzókat) [II]-ban

vezette be Frege, lásd az ottani (1) kommentárt.

A nyelv határozott névelőjét képviselő új jel — amire Frege az imént utalt — az ún. deskriptor

(itt ‘I’-vel fogjuk jelölni); ismertetésére később kerül sor.

Lényeges előrelépés a függvények értékmenetének bevezetése, melynek a jóval

nagyobb hatékonyság köszönhető. Így a korábbi definiált jeleket egyszerűbbekkel

helyettesítjük; mindamellett egy reláció egyértelműségének, a sorozatbeli

rákövetkezésnek, a leképezésnek a definíciója lényegében ugyanaz marad,

ahogyan részben Fogalomírásomban, részben Az aritmetika alapjaiban megadtam.

Az értékmeneteknek viszont nagy és alapvető fontosságuk van; ugyanis magát a

számosságot is fogalomterjedelemként definiálom, és a fogalomterjedelmek

meghatározásom szerint értékmenetek. Enélkül tehát nem juthatnánk eredményre.

Az újra előforduló, külsőre változatlan régi alapjelekhez, melyeknek algoritmusa

is alig változott, most más értelmezéseket csatolok. A korábbi tartalomvonalat

most vízszintes vonalnak nevezem. Ezek logikai nézeteim beható fejlődésének

következményei. Korábban egy kijelentő mondat állításában két tényezőt

különböztettem meg: 1. az igazság elismerését, 2. a tartalmat, melyet igaznak

ismerünk el. A tartalmat neveztem megítélhető tartalomnak. Az utóbbit viszont ma

már felbontom gondolatra és igazságértékre. Ez következménye a jelek jelentése

és jelölete közötti megkülönböztetésemnek. Jelen esetben a mondat jelentése a

gondolat, jelölete pedig az igazságérték. Ehhez járul még a mondat állításakor

annak elismerése, hogy a mondat igazságértéke az Igaz. Ugyanis két

igazságértéket különböztetek meg: az Igazat és a Hamisat. Ezeket a jelentésről és a

jelöletről szóló említett dolgozatomban behatóan indokoltam. Itt csak annyit

említek meg, hogy a függő beszéd csak ily módon fogható fel helyesen. Ugyanis a

gondolat, amely különben a mondat jelentése, a függő beszédben a mondat

jelöletévé válik. Hogy mennyivel egyszerűbb és szabatosabb lesz minden az

1 Természetesen ezt is mondom: a jobb oldali jel jelentése más, mint a bal

oldali jelé; de a jelöletük ugyanaz. Vö. Jelentés és jelölet c. dolgozatommal. (Lásd

[IV].)

116

igazságértékek bevezetésével, azt csak a jelen könyv beható tanulmányozása

mutathatja meg. Már pusztán ezek az előnyök nagy súllyal eshetnek latba

felfogásom javára, mely első pillantásra idegenkedést kelthet. A Fogalomíráshoz

viszonyítva, pontosabban jellemzem a függvény lényegét is, a tárgytól való

különbözőségében. Ebből adódik továbbá az első és a másodfokú függvények

megkülönböztetése. Mint azt Függvény és fogalom című előadásomban (lásd [II])

kifejtettem, a fogalmak és a relációk a szó általam kiterjesztett értelmében

függvények, és így meg kell különböztetnünk első és másodfokú függvényeket,

egyenlőfokú és egyenlőtlenfokú relációkat.

Mint látható, Fogalomírás és Az aritmetika alapjai c. munkáim megjelenése óta

az évek nem teltek el hiába: érlelték a művet. De magam előtt sem titkolhatom,

hogy éppen az, amit én lényeges előrelépésnek tekintek, lényeges akadálya

könyvem elterjedésének és hatásának. És amit nem csekély értékének vélek — a

következtetések szigorú hézagtalansága —, attól tartok, kevés elismerést fog hozni

számára. Messze távolodtam a hagyományos felfogásmódoktól, és ezáltal

különcködő jelleget adtam nézeteimnek. Felületes átlapozásra egy itt vagy ott

szembeötlő kifejezés könnyen idegenkedést és kedvezőtlen előítéletet kelthet.

Némileg magam is föl tudom becsülni azt az idegenkedést, mellyel újításaim

találkozhatnak, mert hasonlót kellett saját magamban is legyőznöm ahhoz, hogy

megalkossam őket. Hiszen nem önkényesen és puszta újítási vágyból, hanem

magától a tárgytól kényszerítve jutottam el hozzájuk.

Ezzel már a késés második okára térek át: arra a kedvetlenségre, amely

időnként rám tört, látván említett írásaim hideg fogadtatását, jobban mondva a

fogadtatás hiányát a matematikusok között,2 továbbá azon tudományos irányzatok

rosszakaratát, melyek ellen könyvemnek küzdenie kell. Már az első benyomás

ijesztő: ismeretlen jelek, oldalakon keresztül csak idegenszerű formulák. […]

Könyvem kilátásai tehát kedvezőtlenek. Minden bizonnyal félretolják azok a

matematikusok, akik olyan logikai kifejezések felbukkanásakor, mint „fogalom”,

„reláció”; „ítélet”, ezt gondolják: metaphysica sunt, non leguntur! [metafizika

következik, nem olvasandó!), hasonlóképpen azok a filozófusok, akik, ha

megpillantanak egy formulát, így kiáltanak fel: mathematica sunt, non leguntur!;

és nagyon kevesen lehetnek, akik nem ilyenek. Talán együttvéve sem nagy azon

matematikusok száma, akik tudományuk megalapozásán fáradoznak, és úgy

látszik, még ők is sokszor túlzottan sietnek, hogy hátuk mögött hagyhassák a

kiinduló alapokat. És alig merem remélni, hogy indokaim a kínos szigorúságra és

az ezzel összefüggő terjedelmességre sokakat meggyőznének közülük. Nagy

hatalma van a lelkeken az egyszer megszokottnak. Ha az aritmetikát fához

hasonlítom, melynek lombozatát a módszerek és tételek sokasága alkotja, míg

gyökerei a mély felé törnek, akkor úgy tűnik, hogy a gyökérhajtás, legalábbis

Németországban, gyönge. Még egy olyan könyvben is, melyet ehhez az irányhoz

számíthatunk, mint E. Schröder úr Algebra der Logik c. műve, gyorsan

2 A Jahrb. über die Fortschritte der Math.-ban hiába keressük Az aritmetika

alapjai c. könyvemet. Úgy tűnik. hogy az ugyanezen területen kutatók: Dedekind,

Otto Stolz, v. Helmholtz urak sem ismerik munkáimat. Kronecker sem említi őket

a számfogalomról szóló dolgozatában.

117

felülkerekedik a csúcsok felé való törekvés, a módszerek és tételek kibontakozása

felé fordulás, mielőtt még elérne egy nagyobb mélységet.

Könyvem számára kedvezőtlen az a széles körben elterjedt törekvés is, hogy

csak az érzékit ismerjék el létezőnek. Ami az érzékekkel nem észlelhető, azt

megkísérlik tagadni, vagy legalábbis figyelmen kívül hagyni. Ámde az aritmetika

tárgyai, a számok nem érzékelhetőek, hogyan nyugodhatnánk ebbe bele?

Egyszerű! Számoknak nyilvánítjuk a számjegyeket. A jelekkel már valami

láthatóhoz jutottunk, és ez hát a fődolog. Persze a jeleknek egészen mások a

tulajdonságaik, mint a számoknak maguknak; de mi gondunk rá? Egyszerűen

hozzájuk költjük a megkívánt tulajdonságokat úgynevezett definíciókkal. Igazi

rejtély, hogy hogyan lehet helye definíciónak ott, ahol szóba se jön semmi

összefüggés jel és megjelölt között. Összegyúrunk jelet és megjelöltet, hogy a

lehető legkevésbé lehessen őket megkülönböztetni; a létezést, ha szükséges,

állíthatjuk az érzékelhetőségre hivatkozva,3 vagy a valóságos számtulajdonságokat

kihangsúlyozva. Néha úgy tűnik, a számjeleket sakkfiguráknak tekintik, az

úgynevezett definíciókat pedig játékszabályoknak. A jel ilyenkor semmit nem

jelöl, hanem ő maga a tárgy. Egy apróságot persze ilyenkor figyelmen kívül

hagynak, tudniillik, hogy ‘32+4

2 = 5

2’ egy gondolatot fejez ki, míg a sakkfigurák

állása nem mond ki semmit. Ahol megelégszenek ilyen felszínességekkel, ott

persze nincs talaja mélyebb felfogásnak.

Helyénvaló itt tisztáznunk, hogy mi a definiálás, és mit lehet vele elérni. Úgy

látszik, hogy sokszor teremtő erőt tulajdonítanak neki, ámbár semmi egyéb nem

történik, mint hogy valamit elhatárolva kiemelünk, és névvel jelöljük meg.

Ahogyan a geográfus sem teremt tengert, amikor határvonalakat húz és ezt

mondja: a vízfelszínnek ezen vonalakkal határolt részét Sárga-tengernek fogom

hívni, úgy a matematikus sem tud definiálásával semmit sem alkotni a valóságban.

Egy dolognak sem varázsolhatunk olyan tulajdonságokat pusztán definícióval,

amelyekkel az eleve nem bír, kivéve azt az egyet, hogy a neve az legyen, aminek

elneveztük. De hogy egy tojásdad ábra [a ‘0’], amelyet tintával a papírra rajzolnak,

a definíció révén olyan tulajdonsághoz jusson, hogy az 1-hez hozzáadva 1-et

adjon, ezt nem tudom másnak tartani, mint tudományos babonának. Éppígy

pusztán definiálás révén a lusta diákot szorgalmassá lehetne tenni. Könnyen

homály keletkezhet itt a tárgy és a fogalom megkülönböztetésének hiányából. Ha

ezt mondjuk: „a négyzet olyan téglalap, amelynek egymáshoz csatlakozó oldalai

egyenlőek:”, ezzel a négyzet fogalmát definiáljuk, amennyiben megadjuk, hogy

milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie valaminek ahhoz, hogy e fogalom alá

essék. Ezeket a tulajdonságokat a fogalom jegyeinek nevezem. De jobban

megnézve a fogalom jegyei nem tulajdonságai a fogalomnak. A négyzet fogalom

nem téglalap, csak azok a tárgyak téglalapok, melyek e fogalom alá esnek, mint

ahogy a fekete kendő fogalom se nem fekete, sem pedig kendő. Hogy vannak-e

ilyen tárgyak, az a definícióból közvetlenül még nem látható. Próbáljuk meg tehát

3 Vö. E. Heine: Die Elemente der Functionslehre. Crelle's Journal, Bd. 74. p.

173: „A definíció alkalmával a tisztán formális álláspontra helyezkedem,

amennyiben bizonyos érzékelhető jeleket számoknak nevezek, úgyhogy ezen

számok létezése nem kérdéses.”

118

pl. a nullát definiálni így: nulla az, ami 1-hez adva 1-et ad. Ezzel definiáltunk egy

fogalmat, amennyiben megadtuk, milyen tulajdonsággal kell bírnia egy tárgynak

ahhoz, hogy a fogalom alá essék. Ez a tulajdonság azonban nem a definiált

fogalom tulajdonsága. Úgy tűnik, gyakran azt hiszik, hogy a definícióval

létrehoztak valamit, ami 1-hez adva 1-et ad. Súlyos tévedés! Sem a definiált

fogalomnak nincs meg ez a tulajdonsága, sem azt nem biztosítja a definíció, hogy

a fogalomnak van tartalma. Ehhez előbb egy vizsgálatra van szükség. Csak ha

bebizonyítottuk, hogy van olyan tárgy, és csak egy olyan van, amely a megkívánt

tulajdonságú, akkor leszünk arra jogosultak, hogy ezt a tárgyat a „nulla”

tulajdonnévvel lássuk el. A nullát megteremteni tehát lehetetlen. Ilyesmiket már

ismételten kifejtettem, de, úgy látszik, sikertelenül.4

Az uralkodó logikában sem remélhető megértés a fogalom jegye és a tárgy

tulajdonsága közötti megkülönböztetésem iránt,5 mivel, úgy látszik, a logikát ma

teljesen megfertőzte a pszichológia. Ha a dolgok helyett csak szubjektív képeiket,

a képzeteket vizsgálják, természetesen minden finom tárgyi különbség veszendőbe

megy, és helyettük mások, logikailag teljesen értéktelenek lépnek fel. És ezzel

rátérek arra, hogy a logikusok körében mi áll könyvem hatásának útjában. Ez a

pszichológia kártékony betörése a logikába. Döntőnek kell lennie e tudomány [a

logika] szempontjából annak, hogy hogyan fogják fel a logikai törvényeket, ez

pedig azzal függ össze, hogy hogyan értik az „igaz” szót. Mindenki eleve elismeri

ugyan, hogy a logikai törvényeknek kell a gondolkodás vezérfonalainak lenniök az

igazság eléréséhez; de ez túl könnyen feledésbe merül. Végzetes itt a „törvény”

szó kétértelműsége. Egyik értelme szerint azt mondja ki, hogy mi van, másik

értelme szerint előírja, hogy minek kell lennie. Minden olyan törvény, amely azt

mondja ki, hogy mi van, felfogható, mint előírás, miszerint ezzel összhangban kell

gondolkodni, és ebben az értelemben gondolkodási törvény. Ez nem kevésbé

érvényes a geometriai és a fizikai, mint a logikai törvényekre. Utóbbiak csak

annyiban érdemlik meg inkább a „gondolkodási törvény" nevet, ha ezzel azt

akarjuk mondani, hogy a legáltalánosabbak, hogy amikor csak gondolkodunk,

mindig előírják, hogyan kell gondolkodni. Azonban a „gondolkodási törvény”

kifejezés arra a vélekedésre csábít, hogy ezek a törvények ugyanolyan módon

irányítják a gondolkodást, mint a természettörvények a külvilág folyamatait. Ez

esetben nem lehetnének mások, mint pszichológiai törvények; lévén a

gondolkodás lelki folyamat. És ha a logikának köze volna eme pszichológiai

törvényekhez, úgy része lenne a pszichológiának. És ténylegesen így is gondolják.

Ezen gondolkodási törvények aztán oly módon foghatók fel vezérfonalnak, mintha

a helyes középutat adnák meg, hasonlóképp, mint ahogy arról beszélhetünk,

hogyan folyik le az embernél az egészséges emésztés, vagy hogy hogyan

beszélünk grammatikailag helyesen, vagy hogy miként öltözködjünk modernül.

De akkor csak ennyit lehet mondani: ezek a törvények irányítják azt, hogy az

emberek átlagban mit tartanak igaznak, most és amennyire az embereket ismerjük;

ha tehát összhangban akarunk maradni az átlaggal, ehhez kell tartanunk magunkat.

4 Azon matematikusok, akik nem szívesen járják a filozófia útvesztőit, kéretnek

itt abbahagyni az olvasást. 5 B. Erdmann úr logikájában ezen fontos különbségnek nyomát sem találom.

119

Ám ahogyan az, ami ma modern, egy idő múlva már nem lesz modern, vagy a

kínaiaknál most nem is modern, a pszichológiai gondolkodási törvényeket is csak

korlátozásokkal tarthatjuk mértékadónak. Igen, ha a logikában az igaznak tartásról

volna szó, nem pedig magáról az igazságról! És ezt cserélik össze a pszichológiai

logikusok. Így például B. Erdmann úr Logikájának első kötetében6 (272–275. o.)

azonosítja az igazságot az általános érvényűséggel, utóbbit az ítélet tárgyára

vonatkozó általános bizonyosságra alapozza, ezt meg megint az ítélők általános

egyetértésére. Így tehát végül is az igazságot arra vezeti vissza, amit az egyedek

igaznak tartanak. Ezzel szemben csak azt tudom mondani: Igaznak lenni egészen

más, mint igaznak tartatni, akár egyesek, akár sokak, vagy akár mindenki részéről

is, és az előbbi semmi módon nem vezethető vissza az utóbbira. Az sem

ellentmondás, ha igaz valami, amit mindenki hamisnak tart. Logikai törvényeken

nem az igaznak tartás pszichológiai törvényeit értem, hanem az igazság törvényeit.

Ha igaz az, hogy én ezeket a sorokat 1893. július 13-án a szobámban írom,

miközben kinn süvölt a szél, akkor igaz is marad, még ha később minden ember

hamisnak is tartaná. De ha az igazság független attól, hogy valaki felismeri-e,

akkor az igazság törvényei sem pszichológiai törvények, hanem örök alapba

ágyazott határkövek, melyeket gondolkodásunk áthághat ugyan, de nem

módosíthat. És mivel ilyenek, azért mértékadóak gondolkodásunk számára, ha az

az igazságot akarja elérni. Nem abban a viszonyban állnak a gondolkodással, mint

a grammatikai törvények a nyelvvel, hogy gondolkodásunk lényegét juttatnák

kifejezésre és azzal együtt változnának. Erdmann úr számára természetesen

egészen más a logikai törvények felfogása. Ő kétli feltétlen és örök

érvényességüket, és jelenlegi gondolkodásunkra akarja őket korlátozni (375 skk.).

[…]

Amikor az „igaz” szó értelmébe belefoglalják az ítélőre való vonatkozást, ez

olyan hamisítás, amelyet már aligha lehet fokozni! Talán a szememre vetik, hogy

az „éhes vagyok” mondat egyvalaki számára igaz, másnak pedig hamis lehet? A

mondat valóban, de a gondolat nem; mivel az „én” szó más ember szájából más

embert jelent, és így a mondat is más gondolatot fejez ki, ha másvalaki mondja. A

hely, idő stb. minden meghatározottsága hozzátartozik a gondolathoz, melynek

igazságáról szó van; az igazság maga időtlen és helyhez nem kötött. Hogyan is

hangzik tulajdonképpen az azonosság törvénye? Talán így: „1893-ban minden

ember számára lehetetlen, hogy valamely tárgyat önmagától különbözőként

ismerjen föl”? Vagy így: „Minden tárgy azonos önmagával?” Az első törvény

emberekről szól és időmeghatározást tartalmaz, a másikban sem emberekről, sem

pedig időről nincsen szó. Az utóbbi az igazság törvénye, az előbbi arról szól, hogy

az emberek mit tartanak igaznak. Tartalmuk teljesen különböző, függetlenek

egymástól, úgyhogy egyikükből sem lehet a másikra következtetni. Ezért nagyon

megtévesztő mindkettőt ugyanazon a néven, az azonosság alaptörvényének

nevezni. Alapjukban különböző dolgok ilyesféle összekeverése az oka annak az

iszonyatos zavarosságnak, melyet a pszichológiai logikusoknál találunk. […]

Áttekintve az egészet, a vita eredetét az igazság felfogásának

különbözőségében látom. Számomra ez valami objektív, az ítélőtől független, a

6 Halle a. S. Max Niemeyer, 1892.

120

pszichológiai logikusok számára nem az. Amit B. Erdmann úr „objektív

bizonyosságnak” nevez, csak az ítélők általános felismerése, mely tehát tőlük nem

független, hanem lelki természetükkel együtt megváltozhat.

Ezt még általánosabban megfogalmazhatjuk: én elismerem az objektív nem

valós [értsd: nem materiális] egy területét, míg a pszichológiai logikusuk a nem

valósat minden további nélkül szubjektívnek tartják. Azonban egyáltalán nem

látható be, miért kell valaminek, ami az ítélőtől függetlenül fennáll, valósnak, azaz

arra képesnek lennie, hogy közvetlenül vagy közvetve hasson az érzékekre. A

fogalmak körében nem fedezhető fel ilyen összefüggés. Sőt, lehet idézni olyan

példákat, melyek az ellenkezőjét mutatják. Az 1 számot pl. nem könnyen lehetne

valósnak tekinteni, hacsak nem vagyunk J. S. Mill követői. Másfelől képtelenség

föltenni, hogy minden embernek megvan a saját 1-e; mert akkor először meg

kellene vizsgálni, hogy mennyiben egyeznek meg ezen 1-ek tulajdonságai. És ha

valaki azt mondaná: „1-szer 1 az 1”, másvalaki pedig: „1-szer 1 az 2”, ez esetben

csak a különbözőség megállapításáig tudnánk jutni, és ezt mondhatnánk: a te 1-ed

azzal a tulajdonsággal bír, az enyém ezzel. Vitáról vagy meggyőzési kísérletről

azzal kapcsolatban, hogy kinek van igaza, szó sem lehetne, mivel hiányozna hozzá

a tárgy közös volta. Ez nyilvánvalóan teljesen ellentétben áll az „1” szó és az „1-

szer 1 az 1” mondat értelmével. Mivel az 1 olyan dolog, ami mindenki számára

ugyanaz, mindenkivel ugyanúgy áll szemben, éppoly kevéssé kutatható

pszichológiai megfigyelés révén, mint a Hold. Ha mindamellett vannak képzetek

az egyes lelkekben az 1-ről, azok éppannyira különböznek az 1-től, mint a Holdról

alkotott képzetek a Holdtól. Mivel a pszichológiai logikusok nem ismerik el az

objektív nem valós lehetőségét, a fogalmakat képzeteknek tartják és ezáltal a

pszichológiához utalják őket. […] Így végül mindent a pszichológia területébe

vonnak; egyre inkább eltűnik a határvonal objektív és szubjektív között, és még a

valós [materiális] tárgyakat is pszichológiailag kezelik mint képzeteket. Mert mi

más a valós, mint predikátum? És mi mások a logikai predikátumok, mint

képzetek? Így minden az idealizmusba, nagyobb következetesség esetén a

szolipszizmusba torkollik. […]

Frege a ‘wirklich’ (valóságos, valódi) szót a ‘wirken’ (hatni, működni) ige

alapján használja: ‘wirklich’ mindaz, ami (közvetlenül vagy közvetve) hatni képes

érzékszerveinkre, és tőlünk függetlenül, objektíve létezik. (A ‘wirklich’ ilyen

értelmezése akkoriban elterjedt volt a német filozófiai és pszichológiai

irodalomban.) A fordításban a ‘wirklich’ ezen előfordulásait a ‘valós’ szóval adtuk

vissza, és szögletes zárójelek között jeleztük, hogy itt lényegében materiális,

anyagi létezőt jelöl. — Frege nem foglalkozik olyan filozófiai kérdésekkel,

amelyek a logika és a matematika filozófiai problémáin túl esnének; így munkái

alapján elég nehéz rekonstruálni általános filozófiai felfogását. Mindenesetre,

határozottan elismeri az érzékeléstől, gondolkodástól, képzetektől független,

objektív külső világot, mely érzékszerveinkre hat (wirklich), és szembeállítja ezzel

az egyének belső képzelet- és képzetvilágát (Vorstellungen). A logika (és a

matematika) filozófiai megalapozása aztán arra készteti, hogy e két tartomány (a

külső valóság és a képzetek világa) mellett egy harmadik tartományt is

121

posztuláljon: a gondolatok világát. Ezzel kapcsolatos nézeteit a [VII]

tanulmányban fejti ki részletesebben.

Nehogy azt a látszatot keltsem, mintha szélmalmok ellen harcolnék, meg

kívánom mutatni egy meghatározott könyvben a menthetetlen elmerülést az

idealizmusba. Ehhez B. Erdmann úr fent említett Logikáját választom, mint a

pszichológiai irányzat legújabb műveinek egyikét, melynek jelentőségét nem

fogják vitatni. Vegyük szemügyre a következő tételt: (I., 85.)

„Így a pszichológia bizonyossággal tanítja, hogy az emlékezés és a képzelet

tárgyai, nemkülönben a beteges hallucinációs és illuzórikus képzeteké is, ideális

természetűek. … Ideális továbbá a tulajdonképpeni matematikai képzetek egész

területe, a számsortól egészen a mechanika tárgyaiig.”

Micsoda összehasonlítás! Ezek szerint a 10 szám egy szinten áll a

hallucinációkkal! Itt nyilvánvalóan összekeveredik az objektív nem valós a

szubjektívvel. Némely objektív dolog valós, mások nem azok. Valós csak egy a

sok predikátum közül, és nincs több köze a logikához, mint ha például azt

mondjuk ki egy görbéről, hogy algebrai. Ezzel Erdmann úr természetesen

metafizikába bonyolódik, akármennyire is igyekszik attól távol tartani magát. […]

Nézzük még meg, hogyan mosnak el a pszichológiai logikusok finomabb tárgyi

különbségeket. Ezt már említettük a fogalom jegye és a tárgy tulajdonsága

kapcsán. Ezzel függnek össze az általam hangsúlyozott különbségek tárgy és

fogalom között, valamint első- és másodfokú fogalmak között. Ezek a

különbségek a pszichológiai logikusok számára természetesen felismerhetetlenek;

nekik éppen hogy minden képzet. Emiatt hiányzik náluk azon ítéletek helyes

felfogása, melyeket a „van olyan” kifejezéssel formulázunk. Ezt az egzisztenciát

B. Erdmann úr (Logika I., 311) összezavarja a valóssággal, melyet az

objektivitástól sem különböztet meg világosan, mint láttuk. Vajon mely dologról

állítjuk, hogy valós, amikor azt mondjuk, hogy a 4-nek van négyzetgyöke? Talán a

2-ről vagy a –2-ről? De hiszen itt egyiket sem neveztük meg semmilyen módon.

És ha azt akarnám mondani, hogy a 2 szám hat, vagy hatásos, vagy valós

[érzékelhető vagy materiális], úgy ez hamis volna, továbbá teljesen különböző

attól, amit a „4-nek van négyzetgyöke” mondattal mondani akarok. Ez az

összecserélés jószerivel a leggorombább, ami egyáltalán lehetséges; mivel nem

egyező fokú fogalmakat kevernek össze, hanem egy elsőfokú fogalmat egy

másodfokúval. Ez jellemző a pszichológiai logika tompaságára. Ha általánosabban

némileg nyitottabb nézőpontból tekintjük a dolgokat, elcsodálkozhatunk, hogy egy

logikai szakember ilyen hibát elkövethet; de hogy felmérhessük a hiba nagyságát,

előbb persze meg kell ragadnunk a különbséget az első- és a másodfokú fogalmak

között, erre pedig a pszichológiai logika teljesen képtelen. Ami itt leginkább az

útban áll, az, hogy képviselői csodákat tulajdonítanak a pszichológiai

elmélyedésnek, pedig az nem más, mint a logika pszichológiai meghamisítása. Így

jönnek tehát létre vastag logikakönyveink, felduzzasztva egészségtelen

pszichológiai hájjal, mely minden finomabb formát eltakar. Ez lehetetlenné teszi a

matematikusok és a logikusok termékeny együttműködését. Míg a matematikus

tárgyakat, fogalmakat, kapcsolatokat definiál, a pszichológiai logikus a képzetek

keletkezését és változását lesi, és a matematikus definiáló tevékenysége csak

122

balgaságnak tűnhet számára, mivel az nem adja vissza a képzet lényegét. Ő

belenéz a maga pszichológiai kandiszekrényébe, és azt mondja a matematikusnak:

az egészből, amit definiálsz, nem látok semmit sem. Az pedig csak ezt felelheti:

nem csoda, mert ahol keresed ott éppen nincs.

A logika pszichológiai irányzata ma már nem uralkodó, de utóhatásai filozófiai írásokban ma is

kimutathatók. Frege idejében ez az irányzat igen jelentős volt.

Ez bizonyára elegendő ahhoz, hogy az ellentét erejével jobban megvilágítsa az

én logikai álláspontomat. A pszichológiai logikától való irdatlan távolság folytán

teljesen kilátástalannak tűnik, hogy most már könyvemmel hassak rá. Úgy látszik,

hogy a fának, melyet ültettem, óriási kőtömegen kell áttörnie ahhoz, hogy fényt és

teret szerezzen magának. Mégsem szeretném föladni a reményt, hogy könyvem

idővel hozzá fog járulni a pszichológiai logika bukásához. Ehhez bizonnyal nem

fog hiányozni némi elismerés a matematikusok részéről, mely kényszeríteni fogja

a pszichológiai logikát, hogy beletörődjön ebbe. És úgy gondolom, erről az

oldalról némi segítséget is várhatok; hiszen a matematikusok alapjában véve

ugyanezen ügyben kerülnek szembe a pszichológiai logikusokkal. Ha az utóbbiak

le fognak ereszkedni odáig, hogy könyvemmel komolyan foglalkozzanak, hacsak a

cáfolás céljából is, úgy gondolom, hogy nyertem vele. Ugyanis a teljes II. rész

nem más, mint logikai nézeteim próbatétele. Eleve valószínűtlen, hogy egy ilyen

építmény kivitelezhető lenne bizonytalan, hibás alapokon. Mindenki, aki más

nézeteket vall, megkísérelheti, hogy azokra hasonló építményt emeljen, és úgy

gondolom, be fogja látni, hogy ez nem megy, vagy legalábbis nem olyan jól megy.

Cáfolatként csak azt tudnám elismerni, ha valaki tényekkel bizonyítaná, hogy

másféle alapvető nézetekre jobb, tartósabb épület emelhető, vagy ha valaki azt

bizonyítaná be nekem, hogy alaptételeim nyilvánvalóan hamis

következményekhez vezetnek. De ez senkinek nem fog sikerülni. És így ez a

könyv, ha talán később is, hozzájárulhat a logika megújulásához.

Jéna, 1893. július

G. Frege

BEVEZETÉS

Az aritmetika alapjai c. munkámban megkíséreltem valószínűsíteni, hogy az

aritmetika nem más, mint a logika egy ága, és nem szorul sem tapasztalati, sem

szemléleti megalapozásra. Ennek igazolásául ebben a könyvben levezetjük a

számosságok legegyszerűbb törvényeit tisztán logikai eszközökkel. A meggyőzés

érdekében azonban a bizonyítási móddal szemben lényegesen nagyobb

követelményeket kell támasztanunk, mint az az aritmetikában szokásos. Előre kell

bocsátanunk a következtetési szabályok egy szűk körét, és csakis olyan bizonyítási

lépést szabad elfogadnunk, amely megfelel e szabályok valamelyikének. Tehát egy

új ítéletre való áttéréskor nem szabad annyival megelégednünk, hogy — mint azt a

123

matematikusok eddig szinte kivétel nélkül tették — az áttérés helyessége

világosnak látsszék, hanem föl kell bontanunk azokra az egyszerű logikai

lépésekre, amelyek az átmenetet alkotják; és ezek száma gyakran nem is kevés.

Így egyetlen előfeltevés sem maradhat észrevétlen; felfedünk minden axiómát,

melyre szükségünk van. Éppen a hallgatólagos, világos tudatosság nélkül

fölhasznált előföltevések hátráltathat azt, hogy betekintést nyerjünk egy törvény

ismeretelméleti természetébe.

Hogy egy ilyen vállalkozás sikeres lehessen, természetesen a szükséges

fogalmakat élesen kell felfognunk. Ez különösképpen érvényes arra, amit a

matematikusok a „halmaz” szóval szeretnének jelölni. Dedekind1 a „rendszer” szót

ugyancsak ilyen szándékkal használja. Az ő könyvénél négy évvel korábban

megjelent Az aritmetika alapjai c. írásom fejtegetései ellenére, munkájában nem

található meg a dolog lényegébe való világos belátás, habár többször közel jut a

lényeghez, mint pl. itt (2. o.): „Egy ilyen S rendszer… teljesen meghatározott, ha

minden dologról meghatározott, hogy eleme-e S-nek, vagy nem. Ezek szerint az S

rendszer ugyanaz, mint a T rendszer, jelekben S = T; ha S minden eleme T-nek is

eleme, és T minden eleme S-nek is eleme.” Más helyek ellenben újra eltévelyedést

mutatnak, pl. a következő (1–2. o.): „Igen gyakran előfordul, hogy különböző a, b,

c… dolgokat valamilyen oknál fogva közös nézőpontban foglalunk össze, ill.

állítunk össze gondolatban, és ekkor azt mondjuk, hogy egy S rendszert alkotnak.”

Itt ugyan, a közös nézőponttal, felsejlik a helyes; de az említett összefoglalás,

illetőleg összeállítás nem objektív ismertetőjel. A kérdésem: kinek a

gondolatában? Rendszert alkotnak-e akkor is, ha valakinek a gondolatában össze

vannak állítva, valaki máséban pedig nem? Ami a gondolatomban van

összeállítva, annak bizonnyal a gondolatomban kell lennie. Tehát a rajtam kívüli

dolgok nem alkotnak rendszereket? A rendszer az egyes lelkekben levő szubjektív

ábra? Rendszer-e eszerint az Orion csillagkép? És mik az elemei? A csillagok, a

molekulák, vagy az atomok? Figyelemre méltó a következő hely (2. o.): „A

kifejezésmód egyöntetűsége szempontjából előnyös, ha megengedjük azt a

különös esetet, hogy az S rendszer egyetlen (egy és csak egy) a elemből álljon;

azaz a eleme S-nek, de egyetlen a-tól különböző dolog sem eleme S-nek.” Ezt

később (3. o.) úgy érti, hogy egy S rendszer minden egyes s elemét külön is fel

lehet fogni rendszerként. Mivel ez esetben elem és rendszer egybeesik, itt

különösen világos, hogy Dedekind szerint az elemek alkotják a rendszer

tulajdonképpeni lényegét. E. Schröder a logika algebrájáról szóló előadásaiban

egy lépéssel továbbmegy nála, amennyiben figyelmeztet arra, hogy összefüggés áll

fenn ezen rendszerek és a fogalmak között; ezt, úgy látszik, Dedekind figyelmen

kívül hagyta. Valójában amire Dedekind gondol, amikor valamely rendszert egy

másik rendszer részének nevez (2. o.), az vagy egy fogalomnak egy fogalom alá

való rendelése, vagy egy tárgynak egy fogalom alá való esése; ezen esetek között

éppoly kevéssé tesz különbséget, a felfogás egy közös hibája folytán, akár

Schröder, mivel Schröder is lényegében az elemeket tekinti azon dolgoknak,

amelyek az ő osztályait alkotják. Üres osztálynak valójában éppoly kevéssé

1 Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, 1888.

124

szabadna nála előfordulnia, mint üres rendszernek Dedekind felfogásában; de ez a

dolog lényegéből eredő szükséglet a két szerzőnél más-más módon jut érvényre.

Dedekind azon a helyen, ahol fent megszakítottuk, így folytatja: „Ezzel szemben

az üres rendszert, mely egyáltalán nem tartalmaz elemeket, bizonyos okokból

teljesen ki akarjuk zárni, habár más vizsgálatok szempontjából kényelmes lehet

ilyennek a kitalálása.”

Ezek szerint tehát egy ilyen kitalálás megengedett lenne, csak bizonyos

okokból lemondunk róla. Schröder megkockáztatja az üres osztály kitalálását.

Tehát, úgy látszik, mindketten egyetértenek abban sok matematikussal, hogy

tetszés szerint kitalálhatunk, költhetünk akármit, ami nem létezik, vagy akár el

sem gondolható; hiszen ha a rendszert az elemek alkotják, akkor az elemekkel

együtt megszűnik a rendszer is. Abban a kérdésben, hogy a költészet ezen

önkényének hol vannak a határai, illetve vannak-e egyáltalán, igencsak kevés a

világosság és az összhang; pedig egy bizonyítás helyessége ettől függhet. Úgy

gondolom, én ezt a kérdést Az aritmetika alapjaiban [9] (92. skk.) és Über formale

Theorien der Arithmetik c. előadásomban [11] minden tisztánlátó fő számára

elintéztem. Schröder kitalálja a maga nulláját, és ezáltal nagy nehézségekbe

bonyolódik. Bár ezek szerint mind Schröder, mind Dedekind felfogása homályos,

mégis, valahányszor egy rendszert kell meghatározni, érvényesül a valóságos

helyzet. Dedekind ilyen esetben tulajdonságokat említ, melyekkel egy dolognak

bírnia kell ahhoz, hogy a rendszerhez tartozzék; azaz egy fogalmat definiál jegyei

segítségével. Ha viszont a fogalom lényegét a fogalom jegyei alkotják, nem pedig

a fogalom alá eső tárgyak, úgy egy üres fogalom sem nehézségeket, sem

kételyeket nem okoz. Persze ez esetben egy tárgy sosem lehet egyúttal fogalom is;

és egy olyan fogalom, amely alá csak egy tárgy esik, nem cserélhető össze a

tárggyal. Így viszont végérvényesen amellett maradhatunk, hogy a számállítás

fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. A számosság fogalmát én az „egyenlő

számosságú” relációra vezettem vissza, utóbbit pedig az egyértelmű

hozzárendelésre. A „hozzárendelés” szóra vonatkozólag hasonlóak érvényesek,

mint a „halmaz”-ra. Gyakran használják ma mindkettőt a matematikában, de

legtöbbnyire hiányzik a mélyebb belátása annak, hogy mit is akarnak ezzel

tulajdonképpen megnevezni. Ha helyes az a gondolatom, hogy az aritmetika a

tiszta logika egy ága, akkor a „hozzárendelés” szó helyett egy tiszta logikai

kifejezést kell választanunk. Erre a ‘reláció’ szót választom. Fogalom és reláció —

ez építményem két alapköve.

De ha a fogalmakat élesen fogjuk is fel, sajátos segédeszközök nélkül még

mindig nehéz, sőt szinte lehetetlen volna a bizonyítási módra vonatkozó

követelményemnek eleget tenni. Ilyen segédeszköz az általam alkotott

fogalomírás, melynek kifejtése első feladatom lesz. Előzetesen azonban jegyezzük

még meg a következőt. Nem mindig lehetséges, hogy mindent szabályszerűen

definiáljunk, mivel éppen az a törekvésünk, hogy a logikailag egyszerűre

alapozzunk, s ez mint olyan, tulajdonképpen nem is definiálható. Ilyenkor meg

kell elégednem azzal, hogy célzásokkal utaljak arra, amire gondolok.

Mindenekelőtt arra kell törekednem, hogy megértsenek, ezért megkísérlem a

dolgot fokozatosan kifejteni, nem törekszem kezdettől fogva a teljes általánosságra

és a végleges kifejezésmódra. Talán csodálkozni fognak az idézőjel gyakori

125

használatán; ezzel megkülönböztetem azokat az eseteket, amikor a jelről magáról

beszélek, azoktól, amikor a jelöletéről. Akármilyen túlzott pedantériának tűnik is

ez, mégis szükségesnek tartom. Figyelemre méltó, hogy hogyan tudja egy

pontatlan beszéd- vagy írásmód, amelyet eredetileg talán csak a rövidség kedvéért,

kényelemből, de pontatlanságának teljes tudatában használtak, végül is

összezavarni a gondolkodást, ha egyszer a tudatosság eltűnik. Nem vitték-e

véghez, hogy ma a számjeleket számoknak, a nevet a megnevezettnek, a puszta

segédeszközt az aritmetika tulajdonképpeni tárgyának tartják? Ilyen tapasztalatok

tanítanak bennünket arra, mennyire szükséges a beszéd- és írásmód szabatossága

iránt a legmagasabb követelményeket állítani. Azon fáradoztam, hogy ennek

eleget tegyek legalábbis minden olyan helyen, ahol jelentőségét láttam.

I. A FOGALOMÍRÁS KIFEJTÉSE

l. AZ ALAPJELEK

Ebben a fejezetben Frege szemléletesen és fokozatosan kifejti a módosított és továbbfejlesztett

fogalomírást, vagyis [I]-nek azt a változatát, amely figyelembe veszi a [II] és a [IV]

tanulmányokban bevezetett új eszméket is.

2. DEFINÍCIÓK

Ebben és a következő fejezetben találjuk az 1. fejezet tartalmának most már nem szemléletes,

hanem absztrakt és szabatos-rendszeres kifejtését, egy sor kiegészítéssel együtt. Ismertetjük a

fontosabb részeket.

A fogalomírásban a következő grammatikai kategóriák szerepelnek:

(a) Tárgynevek.

(b) Függvénynevek.

(c) Változók.

(d) Sémák.

(e) Tételek.

(f) Definíciók.

Részletezzük e kategóriákat.

(a) A tárgynevek tárgyakat jelölnek; a fogalomírásban megnevezhető tárgyak az igazságértékek

és bizonyos függvények értékmenetei. Egyiküknek sincs primitív neve, azaz: a fogalomírásban

nincsenek primitív tárgynevek. A nem primitív tárgynevek képzési módjára visszatérünk.

126

(b) A függvénynevek nyilván függvényeket jelölnek; olyan kifejezések, amelyek kitöltetlen helyet

tartalmaznak az argumentum(ok) neve számára. Megkülönböztetünk első-, másod- és harmadfokú

függvényeket. (Csak egyetlen harmadfokú függvény szerepel a fogalomírásban).

Az elsőfokú függvények lehetnek egy- vagy kétargumentumúak, argumentumaik csakis tárgyak

lehetnek. Egy ilyen függvény nevének megadásakor az argumentum(ok) neve számára fenntartott

hely(ek)et kis görög betűkkel (kivéve a , , µ betűket és a magánhangzókat) jelöljük.

A másodfokú függvények ugyancsak lehetnek egy- és kétargumentumúak. Egyargumentumú

esetben az argumentum csakis elsőfokú függvény lehet, kétargumentumú esetben vagy mindkét

argumentum függvény, vagy az egyik függvény, a másik tárgy. Másodfokú függvény nevének

megadásakor a függvény-argumentum(ok) számára fenntartott hely(ek)et a , betűkkel jelöljük

(az esetleges tárgy-argumentum helyét ugyanúgy jelöljük, mint az elsőfokú függvénynevek

esetében).

A fogalomírásban szereplő egyetlen harmadfokú függvény egyargumentumú; argumentumai

csakis olyan egyargumentumú másodfokú függvények, melyek argumentumai egyargumentumú

elsőfokú függvények. E függvény nevében ‘µ’ jelöli az argumentum (egyargumentumú másodfokú

függvény) neve számára fönntartott helyet.

(A felsorolt görög kisbetűk tehát nem a fogalomírás belső változói, hanem csupán az

argumentumok neve számára fönntartott helyeket jelölik ki a függvénynevekben.)

A fogalomírásban nyolc primitív függvénynév szerepel, ezek a következők:

Elsőfokú egyargumentumú függvénynevek:

(1) —, ~, I.

Közülük az első kettőt már ismerjük [II]-ből. A harmadik a deskripciók képzésére szolgál,

jelentésére később visszatérünk.

Elsőfokú kétargumentumú függvénynevek:

(2) = .

Másodfokú egyargumentumú függvénynevek:

(3) x · (x), x · (x).

Ezeket is ismerjük [II]-ből. Ha a két utóbbiban az argumentum helyét jelölő ‘’-t be akarjuk

helyettesíteni, akkor választanunk kell egy elsőfokú egyargumentumú függvénynevet, ennek

argumentumhelyét az ‘x’ betűvel kell kitöltenünk, s így kell behelyettesítenünk ‘(x)’ helyére. Itt

‘x' a (c) alatt ismertetendő változók kategóriájába tartozó jel.

Végül az egyetlen harmadfokú függvénynév:

(4) f · (f()).

A ‘µ’ argumentumhely kitöltése: Választunk egy olyan másodfokú egyargumentumú

függvénynevet, melynek argumentumértékei elsőfokú egyargumentumú függvények. Ennek

127

argumentumhelyét kitöltjük az ‘f’ betűvel. Ezt helyettesítjük ‘µ(f())’ helyére. Itt ‘’ a másodfokú

függvénynévben argumentumként megengedett elsőfokú függvény argumentumára utal. Ha pl.

‘x · (x)’-et óhajtjuk behelyettesíteni µ helyére, ezt kapjuk:

f · x · f(x).

Itt ‘’ szerepét az ‘x’ változó tölti be. Az ‘f’ betű ugyancsak a változók kategóriájába tartozik.

A kétargumentumú függvénynevekből egyargumentumúakat képezhetünk az argumentumok

azonosításával. Pl. a ‘ = ’ kétargumentumú függvényből képezhetjük a ‘ = ’

egyargumentumú függvényt. Ezt behelyettesítve pl. a másodfokú ‘x · (x)’ függvénybe, a kapott

‘x(x = x)’ kifejezés már tárgynév, nevezetesen az Igaz igazságérték egy neve. A nyolc primitív

függvénynévből tehát tárgynevek és további függvénynevek képezhetők. Bármely függvénynévből

tárgynév keletkezik, ha argumentumhelyeit megengedett argumentumok nevével töltjük ki.

(c) A változók a nevekhez hasonlóan alkategóriákba sorolhatók. Másodfokú függvényváltozó

egyedül az ‘M’ betű. Elsőfokú függvényváltozók az f, g, h, F, G, H betűk. Tárgyváltozók a latin

kisbetűk, kivéve azokat, amelyek függvényváltozóként szerepelnek. (Harmadfokú

függvényváltozóra nincs szükség.) A változók mindenekelőtt a sémákban fordulhatnak elő, de

bizonyos speciális esetekben a tárgynevekben is szerepelhetnek. Ezek az esetek a következők:

(c1) A (3) alatti másodfokú függvénynevekben a ‘’-vel jelölt argumentumhelyet kitöltve olyan

tárgynevet kapunk, amelyben az ‘x’ tárgyváltozó előfordul. Az ilyen tárgyneveket két fő részből

összetett neveknek tekintjük. Az első rész az elején szereplő ‘x’, ill. ‘ x ’ kifejezés, amelyet

operátornak mondunk, a második rész a többi (a ‘(x)’ helyére került kifejezés), amelyet az

operátor hatókörének nevezünk. (A hatókört, ha az egyértelműség érdekében szükséges,

zárójelekkel határoljuk.) Azt mondjuk, hogy az operátor leköti x-nek a hatókörében levő

előfordulásait, és így az ilyen nevekben az x változó előfordulásait kötötteknek nevezzük. (Alább

látni fogjuk, hogy ‘x’ szerepét bármely tárgyváltozó betöltheti. Frege ‘x’-ben x helyett gót betűt,

‘ x ’-ben pedig görög magánhangzót használt kötött változóként; ezt tudjuk már [I]-ból, ill. [II]-

ből.)

(c2) A (4) alatti harmadfokú függvénynévben a ‘µ’-vel jelölt argumentumhelyet kitöltve olyan

tárgynevet kapunk, amelyben az ‘f’ függvényváltozó előfordul. E tárgynévben az elején levő ‘f’

ugyancsak operátor, az őt követő kifejezés pedig az operátor hatóköre. Mint (c1) alatt, az operátor

itt is leköti ‘f’-nek a hatókörében levő előfordulásait, és így az ilyen nevekben f előfordulásait

ugyancsak kötött előfordulásoknak mondjuk. (‘f’ szerepét bármely más elsőfokú függvényváltozó

betöltheti. Frege kötött függvényváltozói ugyancsak gót betűk.)

(c3) A (c1) és (c2) alatti típusokba tartozó tárgynevek alkatrészként előfordulhatnak összetett

tárgynevekben (pl. az (1) és a (2) alatti függvénynevek argumentumhelyei kitölthetők ilyen

tárgynevekkel.)

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy tárgynevekben a változók csak operátorban és operátor

hatókörében kötötten fordulhatnak elő. A sémákban viszont a változók más helyzetben is

előfordulhatnak, az ilyen előfordulásokat mondjuk szabad előfordulásoknak. Ezenkívül tetszőleges

kifejezésben (amely része lehet egy névnek vagy egy sémának) egy változó valamely előfordulását

szabadnak mondjuk, ha a szóban forgó kifejezésben ez az előfordulás nem tartozik egy olyan

operátor hatókörébe, amelynek változója azonos a kérdéses változóval.

Akár névben, akár sémában szerepel függvényváltozó — kivéve ha operátorban szerepel, azaz

közvetlenül követi az ‘’ kvantorjelet —, mindig követnie kell, zárójelek közé írva, a

függvényváltozó argumentumára. ill. argumentumaira utaló jelnek. Az argumentumok száma egy

vagy kettő lehet. Két argumentum esetén jelüket vessző választja el egymástól. A függvényváltozó

argumentumára utalhat a megengedett argumentumértéket megnevező név vagy az ennek

megfelelő típusú változó. Az argumentumok száma dönti el, hogy a függvényváltozó egy- vagy

128

kétargumentumú függvényre utal-e. Egyazon névben vagy sémában egy függvényváltozót nem

használunk különböző argumentumszámmal, azaz bármely függvényváltozó vagy minden

előfordulásában egyargumentumú, vagy minden előfordulásában kétargumentumú.

Mivel nincs olyan operátor, amely másodfokú függvényváltozót kötne le, az utóbbiak csak

sémákban fordulhatnak elő.

(A mai logikai gyakorlatban általában fölteszik, hogy valamennyi típusú változóból egy végtelen

sorozat áll rendelkezésre; jelölésükre számindexekkel ellátott betűket alkalmaznak. Frege

ügyeskedésekkel eléri, hogy könyvében véges sok változóval ki tud jönni. Ugyancsak ügyeskedés

eredménye, hogy kettőnél több argumentumú függvények explicit szerepeltetését el tudja kerülni.)

(d) Sémák. Ha egy tárgynévben valamely, benne előforduló tárgy- vagy függvénynevet megfelelő

típusú változóval pótolunk — úgy választva a változót, hogy a név helyére téve ne váljék kötötté

—, akkor a tárgynévből séma keletkezik. Sémát kaphatunk persze függvénynévből is, ha az

argumentumhelyeket megfelelő típusú változókkal töltjük ki. Így a nyolc primitív függvénynévből

képezhetők pl. a következő sémák:

—a, ~ a, Ia, a b, a = b,

xf(x), x y(x), f · M(f(a)).

(e) Tételek. Alakját tekintve egy tétel vagy törvény a fogalomírásban olyan kifejezés, amely az

ítélet jelével (— ) kezdődik, s ezt egy tárgynév vagy egy séma követi. De nem minden ilyen

kifejezés tétel. Tételek az [I]…[VI] alaptételek (felsorolásuk a következő fejezetben), továbbá

azok, amelyek a következő fejezetben megadott szabályok segítségével levezethetők az

alaptételekből. Ha egy tételben az ítéletjel után tárgynév szerepel, ennek az Igazat kell jelölnie. Ha

pedig az ítéletjel után séma következik, akkor e sémából a változók minden megengedett

behelyettesítésével olyan névnek kell keletkeznie, amely az Igazat jelöli.

(f) Definíciók. A fogalomírásban a definíciók —= alakú kifejezések ahol ‘’ helyén egy új

név (tárgy- vagy függvénynév), ‘ ’ helyén pedig egy ugyanolyan típusú név szerepel, ebben

azonban csak a korábban már bevezetett jelek fordulnak elő. Amennyiben az új név függvénynév,

az argumentumok helyét változók (s nem görög betűk) töltik ki. A definícióban az azonosságjel

jobb oldalán azok és csakis azok a változók fordulhatnak elő szabadon, amelyek a bal oldalon

szerepelnek. (Az eredetiben a két oldal szereposztása fordított.)

Jelölet és jelentés. Frege követelménye: a fogalomírásban minden névnek jelölnie kell valamit.

Egy függvénynév akkor jelöl egy függvényt, ha argumentumainak minden szabályos

behelyettesítésével olyan tárgynév keletkezik belőle, amely egy meghatározott tárgyat jelöl.

Tudjuk, hogy a

(5) — , ~ =

függvényekből a két igazságérték valamelyikét jelölő név keletkezik, ha ‘’-t és ‘’-t tárgynevekkel helyettesítjük, és annak föltételét is ismerjük, hogy a jelölet az Igaz legyen. A (3)

alatti függvények behelyettesítésével keletkező nevek jelöletét is ismerjük. Azt is tudjuk, hogy egy

‘ x . (x) = y . (y)’ alakú azonosság ugyanazt jelöli, mint ‘x(F(x) = (x))’. (Mindezekre

vonatkozóan lásd [II]-t.) Még tisztázatlan, hogy egy ‘ x . (x)’ alakú értékmenet-jel jelölhet-e

igazságértéket. (Ettől függ pl., hogy ‘— x · (x)’ és ‘x(x = x) = x · (x)’ jelölheti-e az Igazat a

(x) függvény alkalmas megválasztása mellett.) Ennek eldöntésére Frege először is megállapítja,

hogy a ‘—’ és a ‘ = ( = )‘ függvények értékmenete megegyezik. (Ez következik a kérdéses

129

függvények értelmezéséből és az értékmenetek azonosságára vonatkozó kritériumból; lásd [II].)

Továbbá Frege posztulálja, hogy ‘ x (—x)’ az Igazat, ‘ x (x = ~ y(y = y))’ pedig a Hamisat jelöli.

Mi indokolja e posztulátumokat? A ‘—’ függvény értékei igazságértékek, így Frege

terminológiája szerint, e függvény egy fogalom, tehát értékmenete ezen fogalom terjedelme. Ha

egy fogalom terjedelmét úgy értelmezzük, mint azon tárgyak osztályát, amelyek a fogalom „alá

esnek”, akkor a ‘—‘ fogalom terjedelmébe egyetlen tárgy tartozik; az Igaz (hiszen ‘—’ akkor

és csak akkor jelöli az Igazat, ha ‘ ’ az Igazat jelöli). Tehát eszmefuttatásunk szerint ‘—’ terjedelme az az osztály, melynek egyetlen eleme az Igaz, s ez motiválja Frege posztulátumát, mely

szerint

‘ x (—x)’ az Igazat jelöli. Halmazelméletileg ugyan nem azonosítjuk az egyelemű osztályt az

egyetlen elemével, és Frege is elutasítja azt, hogy tetszőleges tárgyat azonosítsunk az „ x (x =

)” értékmenettel; a két igazságérték esetén azonban kivételt tesz. — A ‘ = ~ y(y = y)’ függvény

is fogalom, melynek terjedelmébe egyedül a Hamis tartozik, s így az előbbivel analóg megfontolás

alapján posztulálja Frege, hogy az ‘ x (x= ~ y(y = y))’ értékmenet a Hamisat jelöli.

E posztulátumokból következik, hogy az ‘A = B’ azonosság jelölete mindig meghatározott akkor

is, ha A, B egyike ‘ x · (x)’ alakú, másika pedig nem ilyen); tehát a ‘ = ’ függvénynek van

jelölete. Innen adódik, hogy ‘— ’-nek is van jelölete (mert értékmenete megegyezik ‘ = ( = )’ értékmenetével). Ezeknek evidens folyománya, hogy az (5) alatti függvényeknek van jelöletük.

Mivel minden elsőfokú függvénynév ezek plusz ‘I’ kombinációjából jön létre (az utóbbi

vizsgálata a következő bekezdésben), azért a (3) alatti primitív másodfokú függvényekből a ‘' argumentumhely minden megengedett kitöltésével jelölettel bíró tárgynév keletkezik; tehát e

függvényeknek is van jelöletük. Minden másodfokú függvénynév az eddig említett primitív

függvénynevek kombinációjából jön létre. Ezért a (4) alatti primitív harmadfokú függvénynévből a

‘µ’ argumentumhely minden megengedett kitöltésével keletkező tárgynévnek van jelölete;

következésképp (4)-nek is van jelölete.

Hátra van még az ‘I’ függvény. Frege idevágó posztulátuma: ‘I x ( = x)’ ugyanazt jelöli, mint

(ahol tetszőleges tárgynév). Ha viszont B olyan tárgynév, melyhez nincs olyan , hogy B

ugyanazt jelölné, mint ‘ x ( = x)’, akkor ‘IB’ ugyanazt jelöli, mint B. Így ‘IB’-nek mindig van

jelölete, bármilyen tárgynév is B; tehát a ‘I´’ függvénynek van jelölete. Ezzel teljessé lett annak

igazolása, hogy a fogalomírásban minden tárgy- és függvénynévnek van jelölete.

Az ‘I’ deskriptor szerepe az, hogy ha (y) olyan fogalom, melynek terjedelmébe egyetlen tárgy

tartozik, akkor e fogalom terjedelmének nevéből a tárgy nevét képezze. Ebben az esetben

‘ x · (x)’ azonos ‘ x (x = )’-val, s így ‘I x · (x)’ ugyanazt jelöli, mint ‘I x (x = )’, az utóbbi

pedig, az előző bekezdés posztulátuma szerint, -t jelöli. Így ‘I x · (x)’ a fogalom

terjedelmébe eső egyetlen tárgyat jelöli meg, tehát valóban deskripció. Mint tudjuk, Frege

követelménye szerint a fogalomírásban minden névnek kell jelölnie valamit. Ha olyan fogalom,

melynek terjedelmébe nem egyetlen tárgy tartozik, ‘I x · (x)’-nek akkor is kell jelölnie valamit.

Mivel az aritmetika megalapozásához szükséges tételek bizonyítása szempontjából ez az eset

közömbös, önkényesen választhatjuk meg a jelöletet. (A lényeges esetekben úgyis bebizonyítjuk,

hogy terjedelme egyelemű.) Frege választása: ‘IB’ jelölje ugyanazt, mint B minden olyan

esetben, amikor B nem egyelemű fogalomterjedelem (tehát akkor is, amikor B ugyan ‘ x · (x)’

alakú, de nem egyelemű, vagy esetleg ‘()’ nem is fogalmat jelöl, hanem olyan függvényt,

melynek értékei nem mindig igazságértékek). Frege itt érvényesíti a deskripciókra vonatkozó azon

felfogását, amelyet [IV] (7) kommentárjában (c) alatt aposztrofáltunk. — Egyébként Frege a többi

függvény értelmezésében is szigorúan keresztülviszi azt az elvet, hogy az argumentum minden

megengedett behelyettesítésére kell jelölnie valamit. (Ezt a követelményt már korábbi írásaiban is

többször hangsúlyozta.)

Mivel a fogalomírásban minden név sajátságos módon jelöli a jelöletét, a jelöletek azonosságából

nem következik a jelentések azonossága. Minden névnek, amely igazságértéket jelöl, van jelentése

is — állapítja meg Frege. Ugyanis a név jelöletére vonatkozó posztulátumok előírják, hogy a név

milyen feltételek mellett jelöli az Igazat, ez pedig már egy gondolat. (Egy bonyolult összetett név

esetén lehetséges, hogy nem tudjuk eldönteni, mit jelöl, de a primitív függvények jelöletére

130

vonatkozó posztulátumok alapján tudjuk azokat a kritériumokat, amelyek a jelöletet

meghatározzák, s éppen ez alkotja a név jelentését vagy értelmét.) Hasonló áll minden tárgy- és

függvénynévre. Így a jelöletre vonatkozó szemantikai posztulátumok egyben a nevek jelentését is

biztosítják.

A definíciók nemcsak a jelölet, de a jelentés azonosságát is előírják: A rövidítésként bevezetett új

név nemcsak ugyanazt jelöli, mint az a név, amelynek rövidítésére bevezetjük, hanem átveszi

annak jelentését is.

Most felsoroljuk Frege azon formális definícióit, amelyek az aritmetika megalapozása

szempontjából fontosak.

(D1) —[u^a] = I x · g[(u = y . g(y)) & (g(a) = x)].

(A könnyebb kiolvasás érdekében az alapjeleken kívül az egzisztenciális kvantor () és a

konjunkció (&) jelét is használjuk.) Ez a definíció abban az esetben érdekes, amikor u szerepében

egy ' $x · (y)' értékmenet áll; nevezetesen:

[ x · (y)]^a = (a).

Ez a definíció lehetővé teszi, hogy az elsőfokú függvények helyett értékmeneteiket használjuk fel.

Ha egy elsőfokú függvényre vonatkozó állítást egy másodfokú függvény segítségével kell

kifejeznünk, akkor az elsőfokú függvényt az értékmenetével helyettesítve, a róla szóló állítást már

elsőfokú függvény segítségével fejezhetjük ki (hiszen az értékmenetek tárgyak, nem függvények).

Így a másodfokú és a még magasabb fokú függvények az aritmetika megalapozásához

nélkülözhetők lesznek, mint alább látni fogjuk. Pl. a ‘a · (a)’ másodfokú függvény

helyettesíthető a ‘a(^a)’ elsőfokú függvénnyel.

Ha kétváltozós függvény, akkor az előbbi definíció szerint:

— ( y · x · (x, y))^b = x · Y(x, b)

és

— y · $x · (x, y) ^b]^a = (a, b).

Tehát kétargumentumú elsőfokú függvények is kiküszöbölhetők (D1) segítségével.

(D2) —UN(p) = x· y((p^y)^x z((p^z)^x (y = z))).

Ez a definíció akkor érdekes, amikor p helyén egy ‘ y x · (x, y)’ alakú „kettős értékmenet”

szerepel; ekkor ‘UN[ y x · (x, y)]’ azt fejezi ki, hogy egyértékű reláció: adott A-hoz legföljebb

egy olyan B van, hogy (A, B) fennáll. (D2) megfelel a Fogalomírás [I] III. fejezete (115)

definíciójának.

(D3) — (p : u v) = y(u^y x(v^x & (p^x)^y)) & UNp)).

131

Ha p, u, v helyén rendre ‘ y x · (x, y)’, ‘ x F(x)’ és ‘ x G(x)’ szerepel, akkor „[p : u v]” azt

fejezi ki, hogy a reláció egyértelműen leképezi F terjedelmét G terjedelmére.

(D4) —Cnv(p) = x · y [(p^y)^x].

Ha p egy reláció kettős értékmenete, akkor ‘Cnv(p)’ e reláció konverzének kettős értékmenete.

Világos, hogy amennyiben p, u, v helyében az imént felsorolt értékmenetek szerepelnek, akkor

[p : u v) & [Cnv(p): v u]

azt fejezi ki, hogy kölcsönösen egyértelműen leképezi F terjedelmét G terjedelmére.

(D5) —Num(u) = x · q([q : u x] & [Cnv(q): x u]).

Ha u helyén egy F fogalom terjedelme szerepel, akkor ‘Num(u)’ azon fogalom terjedelme, amely

alá esik minden olyan fogalom terjedelme, amelyekre F terjedelme kölcsönösen egyértelműen

leképezhető. Ez pedig, Fregének már korábban, Az aritmetika alapjaiban kifejtett nézete szerint,

nem más, mint az F fogalom számossága. Frege Az aritmetika alapjai 72. §-ában adja meg az F

fogalom számosságának definícióját. Az ottani definíciót így formalizálhatjuk:

(D5’) — Num( x · Fx) = G · j[j : F G].

A lényeges különbség (D5) és (D5’) között az, hogy az előbbiben tárgyváltozó fölött, az utóbbiban

pedig függvényváltozó fölött szerepel a circumflex; azaz benne másodfokú függvény értékmenete

szerepel. Összehasonlításunk mutatja Frege lényeges előrehaladását annak fölfedezése révén, hogy

magasabb fokú függvények értékmenetei nélkülözhetők.

(D6) — Num[ x (x x)]

(D7) — 1 = Num[ x (x = 0)]

Ezek a definíciók már teljesen megfelelnek azoknak a nem formalizált definícióknak, melyeket

Frege Az aritmetika alapjai 74. és 76. §-ában adott.

(D8) — (m, n) = u · a[(Num(u) = n) & (u^a) &(m = Num[ y (u^y & y a)])].

Ennek verbális megfelelője Az aritmetika alapjai 75. §-ában szerepel. „(m, n)” jelentése: „m-et a

számsorban közvetlenül követi n”.

(D9) — [a < qb) = F[d(F(d) x((q^x)^d F(x)))x((q^x)^a F(x))

F(b)].

Ez az [I] III. fejezetében (76) alatt közölt definíció megfelelője a jelenlegi rendszerben.

132

(D10) — [a qb] = [(a = b) (a < q6)].

Vö. [I], III. fejezet, (99) definíciójával. A természetes szám fogalmának definíciója ezek után a

formalizálástól eltekintve megegyezik azzal, amit Az aritmetika alapjai 76.§-ában olvashatunk:

— [n természetes szám] = [0 n].

3. LEVEZETETT TÖRVÉNYEK

A levezetések alapját a következő alaptörvények alkotják:

(I) — a b a

(IIa) — x · f(x) f(a) (IIb) — f · M(f()) M(g())

(III) — g(a = b) g(f(f(b) f(a)))

(IV) — ~ (—a = ~ b) (—a = —b)

(V) — ( x · f(x) = y · g(y)) = x(f(x) = g(x))

(VI) — a = I x (a = x)

Az alaptörvényekből (vagy már levezetett tételekből) a levezetések a következő szabályok

alkalmazásával végezhetők.

(S1) A ‘~ ’, ‘ ’, ‘x · (x)’ függvényekben a függvény elé vagy bármelyik argumentum elé

beiktatható, ill. elhagyható a ‘—‘ vízszintes vonal mint függvényjel. (Pl. a ‘— ~ ’, ‘~ — ’, ‘~

’ függvények fölcserélhetők egymással.)

(S2) Egy ‘a1 a2 … an b’ alakú kondicionálisban az a1, …, an előtagok sorrendje

közömbös, tehát fölcserélhetők egymással.

(S3) Ugyanitt szabad valamely ai előtagot „~ b”-vel, s egyidejűleg a b utótagot „~ ai”-vel

helyettesíteni. (Kontraponálás.) Az esetleg föllépő ‘~ ~’ törölhető.

(S4) Ugyanitt: ha két előtag megegyezik, az egyik elhagyható.

(S5) Szabad előfordulású tárgy- és (elsőfokú) függvényváltozókat szabad kvantifikálni. Éspedig:

ha pl. c nem fordul elő B-ben, de előfordul A-ban, akkor „— B A” átalakítható mint „— B

c · A”, ha viszont c előfordul B-ben is, akkor csak „— c(B A)” alakba transzformálható.

(S6) Leválasztás: „— B”-ből és „— B A”-ból „— A”-ra következtethetünk.

(S7) Láncszabály: „— B1 … Bn A1”-ből és „— A1 … Ak C”-ből következtetés

„— B1 … Bn A2 … Ak C”-re.

133

(S8) „— A B”-ből és „— ~ A B”-ből következtetés „— B”-re.

(S9) Bármely levezetett tételben a szabad változók helyettesíthetők egyező kategóriájú nevekkel

vagy sémákkal.

(S10) Az operátorokkal lekötött változók bármelyike fölcserélhető olyan változóval, amely az

operátor hatókörében nem fordul elő.

(S11) Bármely definíciójel (—) helyettesíthető ítéletjellel (— ).

Összehasonlítva ezt a rendszert a Fogalomírás [I] levezetési rendszerével, a következő fő

eltéréseket találjuk.

(a) A szabályok közül [I]-ben csak az itteni (S5), (S6), (S9)…(S11) szerepelnek. A mostani

fölépítésben növekedett a szabályok és csökkent az alaptételek (axiómák) száma. Ez a módosítás a

levezetési technika egyszerűsítését célozza.

(b) Az igazságfüggvények elméletének összes tétele levezethető [I]-ben hat alaptételből az (S6),

(S9) szabályok segítségével. Ugyanezen célra itt egyetlen alaptétel, az (I) szolgál, a többi axiómát

az (S2)…(S4), (S7), (S8), szabályok pótolják.

(c) A kvantifikációra [I]-ben egyetlen axióma vonatkozik; ennek szerepét itt a (IIa), (IIb)

axiómapár veszi át. A megkettőzés szerepe annyi, hogy megkülönbözteti a tárgyváltozó és a

függvényváltozó kvantifikálását (a Fogalomírásban ez a kettő még összevontan,

megkülönböztetetlenül szerepelt).

(d) A Fogalomírásban az azonosságot két axióma szabályozza, itt pedig az egyetlen (III), amely

különös struktúrájú és igen erős tétel: Azt mondja ki, hogy bármit is állítunk az „a = b”

azonosságról, ugyanazt állíthatjuk a „f(f(b) f(a))” mondatról is. (A „bármit” a g függvény

képviseli.) Lássuk, hogyan következnek ebből az alaptételből az azonosság jellegzetes törvényei.

Helyettesítsük a (III) axiómában a g() függvényt ‘—’-val. Fölhasználva (S1)-et is, ezt kapjuk:

— (a = b) f(f(b) f(a)).

Ebből és a (IIb) axiómából az (S7) láncszabállyal következik

— a = b) F(b) F(a).

Itt azonban F helyett '~ F'-et is tehetünk, majd erre alkalmazhatjuk az (S3) kontraponálási szabályt.

Az eredmény:

— (a = b) F(a) és F(b).

Ez az azonosság (52) axiómája a Fogalomírásban.

Most helyettesítsük a (III) axiómában ‘g’-t a ‘~’ függvénnyel, b-t pedig a-val, és alkalmazzunk

kontraponálást:

— f(f(a) f(a)) (a = a).

Könnyen levezethető ‘— f(f(a) f(a))’, s így leválasztással megkapjuk az

134

— a = a

törvényt, amely az azonosság (54) axiómája a Fogalomírásban. Ezután az azonosság egyéb

törvényei ugyanúgy vezethetők le, mint a Fogalomírásban.

(e) A (IV) axióma szerepe a ‘—’ függvénnyel kapcsolatos (ez a Fogalomírásban még

hiányzik). A (III) és a (IV) axióma segítségével levezethető törvények közül kettőt említünk:

— (a b) ((—a) = (—b)),

— (a = b) = (b = a).

Az első tisztázza a bikondicionális és az azonosság kapcsolatát: Ha a és b igazságértékeket

jelölnek, akkor „a b” implikálja „a = b”-t. Mivel „a = b” és „b = a” mindig igazságértékeket

jelölnek, és mert kölcsönösen implikálják egymást, az előbbi szerint azonosaknak is kell lenniök, s

éppen ezt mondja ki a második tétel.

(f) Az (V) alaptörvény az értékmenetek azonosságának kritériumát adja meg, (VI) pedig a

deskripciók alaptétele. (Ezek teljesen újak a Fogalomíráshoz képest, hiszen ott még értékmenetek

és deskripciók nem szerepelnek). Egy fontos tétel a deskripciókról (amely (III), (V) és (VI)

segítségével vezethető le):

— x(f(x) = (x = a)) (a = I x · f(x)).

II. A SZÁMOSSÁG ALAPTÖRVÉNYEINEK BIZONYÍTÁSA

A kötet eme II. része — amely átnyúlik a könyv 10 évvel később megjelent 2. kötetébe is —

tartalmazza a természetes számok azon törvényeinek levezetését, amelyeket Frege — bizonyításuk

gondolatmenetének vázolásával együtt — már Az aritmetika alapjaiban megfogalmazott. Ezekhez

egyéb tételek bizonyítása is csatlakozik, így pl. a „természetes szám” fogalom (terjedelmének)

számosságára, -ra vonatkozó tételek is szerepelnek.

135

VI

AZ ARITMETIKA ALAPTÖRVÉNYEI

II. KÖTET

(1903)

A kötet az első kötetben megkezdett II. rész folytatásával kezdődik. Ezt követi a III. rész,

melynek címe: A valós számok. Ennek első fejezetében a valós számoknak a 19. század végén

bevezetett elméleteit elemzi és bírálja (G. Cantor, E. Heine, J. Thomae, R. Dedekind, H. Hankel,

O. Stolz, D. Weierstrass elméletei). A 2. fejezetben megkezdi saját elméletének kidolgozását, mely

szerint a valós számok bizonyos relációk osztályán definiált speciális „arányok”. Az elmélet

kidolgozása nincs befejezve (a könyv végén jelzi Frege a még hátralevő feladatokat). A befejezésre

Frege későbbi munkáiban sem került sor. Hogy miért nem, annak valószínű okát a kötet Utószava

tárja föl. Alább közöljük az Utószó fontosabb részleteit.

UTÓSZÓ

Tudományos szerzővel aligha történhet kellemetlenebb dolog, mint az, hogy

éppen befejezett munkája egyik alapját megrendítik.

Ebbe a helyzetbe hozott engem Bertrand Russell úr egyik levele, amikor már a

jelen kötet nyomtatása a végéhez közeledett. (V) alaptörvényemről van szó. Sosem

titkoltam magam előtt, hogy ez nem olyan magától értetődő, mint a többi, és mint

ahogy az egy logikai törvénytől megkövetelendő. Ezért is utaltam erre a

gyöngeségre az első kötet előszavában, a VII. oldalon. [Lásd e kötetben: 000. o.]

Szívesen lemondtam volna erről az alaptörvényről, ha tudtam volna pótolni

valamivel. Még most sem látom be, miként alapozható meg az aritmetika

tudományosan, miképp lehet a számokat logikai tárgyakként felfogni és a

vizsgálódásba bevezetni, ha nincs — legalábbis feltételesen — megengedve az

áttérés egy fogalomról annak terjedelmére. Beszélhetünk-e mindig egy fogalom

terjedelméről, egy osztályról? És ha nem, hogyan ismerhetők föl a kivételek?

Abból, hogy egy fogalom terjedelme egybeesik egy másikéval, lehet-e mindig arra

következtetni, hogy az első fogalom alá eső valamennyi tárgy a második alá is

esik? Ezek a kérdések Russell úr közlése nyomán vetődnek föl.

Solatium miseris, socios habuisse malorum. [A szerencsétlen vigasza, ha társai

vannak a bajban. — ‘Solatium’ helyett ‘solacium’ a helyes.] Ebben a vigaszban,

ha ugyan vigasznak mondható, én is részesülök; mivel mindenki, aki

bizonyításaiban fogalomterjedelmeket, osztályokat használ,1 ugyanebben a

1 R. Dedekind úr rendszerei is ide tartoznak.

136

helyzetben van. Itt nem sajátlag az én megalapozási módomról van szó, hanem

egyáltalán az aritmetika logikai megalapozásának lehetőségéről.

De térjünk a tárgyra! Russell úr egy ellentmondást lelt föl, melyet most ki

fogunk fejteni.

Az emberek osztályáról senki sem állítaná, hogy ember. Ez esetben olyan

osztállyal van dolgunk, amely nem tartozik saját magához. Ugyanis akkor

mondom valamiről, hogy egy osztályhoz tartozik, ha azon fogalom alá esik,

melynek terjedelme éppen az illető osztály. Vegyük szemügyre most ezt a

fogalmat: olyan osztály, mely saját magához nem tartozik. Ezen fogalom

terjedelme, ha egyáltalán szabad róla beszélnünk, az önmagukhoz nem tartozó

osztályok osztálya. Nevezzük ezt röviden a K osztálynak. Vessük fel most a

kérdést, hogy K saját magához tartozik-e! Tegyük föl először, hogy igen. Ha

valami egy osztályhoz tartozik, akkor azon fogalom alá esik, melynek terjedelme

az illető osztály. Ha tehát osztályunk saját magához tartozik, úgy olyan osztály,

mely nem tartozik saját magához. Tehát első feltevésünk ellentmondásra vezetett.

Tegyük föl másodjára, hogy K osztályunk nem tartozik saját magához; akkor

viszont azon fogalom alá esik, melynek terjedelme saját maga, tehát saját magához

tartozik. Itt is újra ellentmondást találtunk!

Megjegyezzük, hogy nemcsak a fogalomterjedelmek tárgyakként való korlátlan elismerése,

hanem a fogalmak (függvények, relációk) korlátlan tárgyiasítása is logikai ellentmondást

eredményez. E „tárgyiasítással” [III]-ban foglalkozik Frege: ha a függvényeket, általános

fogalmakat, relációkat logikai-szemantikai vizsgálat tárgyává kívánjuk tenni, előbb „tárggyá” kell

átalakítanunk őket. Ha pl. F általános fogalom, akkor ‘az F fogalom’ e tárgyiasítás megnevezése;

jelöljük F°-val. Frege szerint a függvényeknek minden tárgyra definiáltaknak kell lenniök, így F-

nek F°-ra is igaznak vagy hamisnak kell lennie. Ha pl. F a ‘ló’ predikátum, akkor F hamis F°-ra,

hiszen a ló fogalma nem ló. Ha viszont F azt jelenti, hogy ‘élettelen’, akkor F igaz F°-ra, hiszen az

élettelen fogalma maga is élettelen. Nevezzük az F fogalmat impredikábilisnak, ha hamis F°-ra.

‘Impr’-vel rövidítve az impredikabilitást, a definíciót Frege szimbólumaival így írhatnánk föl:

—Impr (F°) = ~ F(F°).

De az ‘Impr’ függvénynek is definiáltnak kell lennie minden tárgyra, így ‘Impr°’-ra, azaz az

impredikabilitás fogalmára is. Helyettesítsük tehát az iménti definícióban F-et ‘Impr’-vel (és

persze, F°-t ‘Impr°’-val):

— Impr(Impr°) = ~ Impr(Impr).

Szavakban: az impredikabilitás fogalma akkor és csak akkor impredikábilis, ha nem

impredikábilis. Ez Russell paradoxonának egy variánsa. — E paradoxon miatt nem tartható betű

szerint Frege azon, többször említett, követelménye, hogy a függvényeknek minden tárgyra

definiáltaknak kell lenniük — ha a tárgyak körében bármiféle absztrakt tárgyat megengedünk. Meg

kell elégednünk azzal a szerényebb kikötéssel, amelyet [II] (8) kommentárjában említettünk.

Hogyan foglaljunk állást? Tegyük fel, hogy az osztályokra nem érvényes a

kizárt harmadik törvénye? Vagy azt kell föltennünk hogy vannak esetek, amikor

egy kifogástalan fogalomnak nem felel meg semmilyen osztály, amely a

terjedelme lehetne? Az első eset arra kényszerítene, hogy lemondjunk az

osztályokról mint teljes jogú tárgyakról. Ugyanis ha az osztályok valódi tárgyak

137

volnának, a kizárt harmadik törvényének érvényesnek kellene lennie rájuk.

Másrészt semmi kitöltetlenségük, predikatív jellegük nincs, aminek alapján

függvényeknek, fogalmaknak vagy relációknak tekinthetnénk őket. Amiket szokás

szerint osztályok neveként szoktunk tekinteni, mint pl. „a törzsszámok osztálya”,

azok lényegében tulajdonnevek, nem léphetnek föl predikatívan, viszont

fölléphetnek szinguláris mondatok grammatikai alanyaként, mint pl. „a

prímszámok osztálya végtelen sok tárgyat foglal magában”. Ha a kizárt harmadik

törvényét az osztályok körében hatályon kívül akarnánk helyezni, arra

gondolhatnánk, hogy az osztályokat — és egyáltalán az értékmeneteket — nem

valódi tárgyakként fogjuk föl. Így azok nem léphetnének fel minden esetben

elsőfokú függvények argumentumaként. De lennének olyan függvények is, melyek

argumentumai lehetnek akár valódi, akár nem valódi tárgyak. Legalábbis az

egyenlőség (azonosság) viszonya ilyen lenne. Ezt megkísérelhetnénk oly módon

elkerülni, hogy nem valódi tárgyakra az azonosság egy sajátos fajtáját tételeznénk

fel. Ez azonban bizonnyal kizárt. Az azonosság annyira meghatározottan adott

reláció, hogy nem látható be, miként fordulhatnának elő különböző fajtái. De az

elsőfokú függvényeknek is tág sokfélesége jönne létre, éspedig először azok,

amelyeknek argumentumai csak valódi tárgyak lehetnek, másodszor azok,

amelyeknek argumentumai akár valódi, akár nem valódi tárgyak lehetnek, végül

azok, amelyeknek argumentumai csak nem valódi tárgyak lehetnek. Egy másik

felosztás adódna a függvények értékei szerint. Így megkülönböztetendők lennének

azok a függvények, melyeknek értékei csak valódi tárgyak lehetnek, másodszor

azok, melyeknek értékei akár valódi, akár nem valódi tárgyak lehetnek, végül

azok, melyeknek értékei csak nem valódi tárgyak lehetnek. Az elsőfokú

függvények mindkét felosztása egyidejűleg fennállna, úgyhogy kilenc fajtát

kapnánk. Ezeknek megfelelne újólag az értékmenetek mint nem valódi tárgyak

kilenc fajtája, melyek logikailag megkülönböztetendők lennének. Meg kellene

különböztetnünk a valódi tárgyak osztályait a valódi tárgyak osztályainak

osztályaitól, a valódi tárgyak közötti relációkat a valódi tárgyak osztályaitól és a

valódi tárgyak közötti relációk osztályaitól stb. Így a fajták áttekinthetetlen

sokaságát kapnánk; és általában azok a tárgyak, melyek különböző fajtához

tartoznak, nem léphetnének föl ugyanazon függvény argumentumaiként. Azonban

rendkívül nehéznek tűnik az általános rendszabályok fölállítása arra nézve, hogy

mely tárgyak mely függvények argumentumaiként léphetnek föl. .Ezen felül a nem

valódi tárgyak létjogosultsága kétségbe vonható.

Ha ezek a nehézségek elrettentenek attól, hogy az osztályokat és ezzel a

számokat nem valódi tárgyakként fogjuk föl, de mégsem akarjuk elismerni őket

valódi tárgyaknak, azaz olyanoknak. melyek minden elsőfokú függvény

argumentumaként fölléphetnek, akkor nem marad más hátra, mint hogy az

osztályneveket látszatneveknek tekintsük, melyeknek valójában nincs jelöletük. Ez

esetben olyan jelek részeinek tekintendők, melyeknek csak egészükben van

jelöletük. Bizonyos célokra valóban hasznosnak vélhetjük, ha úgy alkotunk

különböző jeleket, hogy részben megegyezzenek, anélkül azonban, hogy ezáltal

összetetté tennénk őket. Egy jel egyszerűsége valóban csak annyit kíván, hogy

azoknak a részeknek, melyek esetleg megkülönböztethetők benne, önállóan ne

legyen jelöletük. Ezáltal az sem volna igazi jel, amit számjelként szoktunk

138

felfogni, hanem csak egy jel nem önálló része. A „2” jel értelmezése lehetetlen

volna; ehelyett azon jelek sokaságát kellene értelmeznünk, melyek a „2”-t nem

önálló részként tartalmazzák, de logikailag nem tekinthetők a „2”-ből és egy másik

részből összetettnek. Ám akkor megengedhetetlen lenne az ilyen nem önálló

részek betűvel való képviseltetése; mert a tartalom tekintetében semmiféle

összetettség nem állna fenn. Az aritmetikai tételek általánossága ezzel veszendőbe

menne. Az sem érthető, hogy hogyan lehetne így osztályok számosságáról,

számosságok számosságáról beszélni.

Úgy gondolom, ennyi elegendő ahhoz, hogy ennek az útnak a járhatatlanságát

is belássuk. Tehát bizonnyal nem marad más hátra, mint hogy a

fogalomterjedelmeket vagy osztályokat a szó teljes és valódi értelmében

elismerjük, de egyúttal el kell ismernünk, hogy a „fogalom terjedelme” szavak

eddigi felfogása helyesbítésre szorul. […]

Ezzel persze beláttuk, hogy az, ahogyan az értékmeneteket az első kötet 3. §-

ában bevezettem, nem mindig megengedett. Nem állíthatjuk teljes

általánosságban, hogy ez a mondat:

„a () függvénynek ugyanaz az értékmenete, mint a () függvényé”

ugyanazt jelenti, mint a következő:

„a () és a () függvényeknek ugyanazon argumentumokra mindig ugyanaz

az értékük”,

és vizsgálat tárgyává kell tennünk azt a lehetőséget, hogy léteznek olyan

fogalmak, melyeknek — legalábbis a szó megszokott értelmében — nincsen

terjedelmük. Ez megrendíti az x · (x) másodfokú függvény létjogosultságát.

Pedig ez nélkülözhetetlen az aritmetika megalapozásához. […]

Alapos vizsgálódás után Frege azt a kiutat találja, hogy az (V) alaptörvényt a következő

gyöngített változatával kellene helyettesíteni:

(V') — ( x · f(x) = y · g(y)) = x([(x y — g(y)) & (x x · f(x))] [f(x) = g(x)]).

Szavakban: Az, hogy f és g terjedelme azonos, egyenértékű azzal, hogy f és g közös argumentumra

azonos értékűek, kivéve ha ez a közös argumentum valamelyikük terjedelme. Ez a kivétel lehetővé

teszi a Russell-féle ellentmondás elkerülését. Ma azonban már tudjuk, hogy (V') másfajta

ellentmondáshoz vezet. — Az Utószó a következő szavakkal zárul:

Az aritmetika ősproblémájának ezt a kérdést tekinthetjük: hogyan fogjuk fel a

logikai tárgyakat, különösképp a számokat? Mi jogosít bennünket arra, hogy a

számokat tárgyaknak tekintsük? Ha ez a probléma nincs is még oly

messzemenőkig megoldva, mint azt ezen kötet megfogalmazásakor gondoltam,

mégsem kétlem, hogy a megoldáshoz vezető út már megvan.

139

A Russell felfedezte logikai ellentmondás — az ún. Russell-paradoxon — elsődlegesen nem is

Frege elméletét, hanem Georg Cantor halmazelméletét érinti (eredetileg ebben fedezte fel Russell,

s csak utólag észlelte, hogy Frege elméletében is föllép). Az 1890-es években egyéb logikai

ellentmondásokat is fedeztek fel a halmazelméletben; maga Cantor volt az első, aki ilyenekre

bukkant (ezeket nem publikálta, csak levelezéséből tudunk idevágó felfedezéseiről). Valamennyi

halmazelméleti ellentmondás háttere lényegében Frege (V) posztulátumának elfogadása: Cantor is

fölteszi, hogy minden tulajdonság (Fregenél: fogalom) terjedelme tárgyként kezelhető halmaz,

amely tehát felléphet valamely tulajdonság terjedelmében elemként. Bár Cantor munkássága a

matematikusok lényegesen szélesebb körében volt ismert, mint Fregeé, a formalisták neki is sok

keserűséget okoztak életében. A századforduló táján azonban — elsősorban David Hilbert és a

köré csoportosult fiatal német matematikusok hatására a halmazelmélet a matematika olyan

elismert szakterületévé lépett elő, amely a matematika minden fejezetében hasznosan

alkalmazható, sőt számos esetben kifejezetten nélkülözhetetlen. Így aztán a halmazelméleti

ellentmondások felfedezése nem két-három tudós speciális elméletét érintette, hanem a matematika

egészét. Az ellentmondások széles körben való ismertté válása (századunk elején) válságot idézett

elő a matematika alapjainak felfogásában, s így a matematika filozófiájában. (Az első világháború

kitörése a válság kibontakozását áttolta a húszas évekre.)

Ahogyan az Utószóban Frege belátja, hogy nem minden fogalom terjedelme fogható fel

tárgyként, hasonlóan Cantor is elismeri — az ellentmondások felfedezése után —, hogy nem

minden sokaság tekinthető halmaznak (ti. abban az értelemben, hogy eleme lehet valamely

sokaságnak): léteznek „inkonzisztens sokaságok” is, ilyen pl. az összes halmaz vagy az összes

számosság sokasága. És mint Frege, úgy Cantor sem tud semmi határozottat mondani arról, hogy

miként lehetne általánosan megkülönböztetni a tárgyként felfogható fogalomterjedelmeket (a

halmazokat) az inkonzisztens sokaságoktól. Van-e valami garanciánk pl. arra, hogy a természetes

számok összessége nem inkonzisztens sokaság?

Sem Cantor, sem Frege erejéből nem futotta már arra, hogy szembenézzenek e problémával. A

matematika egészét érintő válság leküzdése a 20. század friss matematikus nemzedékeire hárult.

Frege esetében azonban nem csak, vagy talán nem is elsősorban az alkotói energia

megfogyatkozásáról van szó, hanem mély elvi fenntartásokról; ezekről még szó lesz.

Az eredményes kiútkeresők közül elsőként Russellt említhetjük. A logikai apparátus tekintetében

Russell annyiban tér el Fregétől, hogy bevezeti a tárgyak típusok szerinti osztályozását; ez az ún.

egyszerű típuselmélet. A nulladik típust primitív tárgyak egy összessége alkotja; e tárgyak között

sem az igazságértékek, sem fogalomterjedelmek (vagy másféle értékmenetek) nem szerepelnek.

(Russell az igazságértékeket egyáltalán nem tekinti tárgyaknak.) Az első típusba olyan fogalmak

terjedelmei tartoznak, amelyek alá csakis a 0. típusba tartozó tárgyak eshetnek. Vagy,

halmazelméletileg fogalmazva, az 1. típusba azok a halmazok tartoznak, amelyek elemei a 0.

típusból valók. A 2. típusba tartoznak aztán az olyan halmazok, amelyek elemei az 1. típus

halmazai lehetnek. És így tovább; általánosan: az n+1-edik típusban olyan halmazokat találunk,

amelyek elemei az n-edik típusból valók. A típusoknak ez a hierarchiája tehát végtelen.

Egy fogalom terjedelme csak akkor fogható fel tárgyként (a típuselmélet szerint), ha valamely

meghatározott típusba tartozik, és ha az n-edik típusba tartozik, akkor csakis valamely n+1-edik

típusú fogalom alá eshet, azaz csakis egy n+1-edik típusú halmaznak (fogalomterjedelemnek) lehet

eleme. Így pl. az „olyan osztály, mely nem tartozik saját magához” fogalom terjedelme egyik

típusba sem tartozik, tehát (a típuselméletben) nem tekinthető tárgynak, s ezzel együtt „tárgytalan”

a rá vonatkozó Russell-paradoxon is. Hasonló okok miatt nem jöhetnek szóba a típuselméletben a

halmazelmélet egyéb paradoxonai sem.

(Russell típuselméletét nem betűje, csak lényege szerint ismertettük. Russell az egyes típusokon

belül még belső tipizálást is bevezet; ez az elágaztatott típuselmélet. Az utóbbi azonban egy

túlfeszített óvatossági rendszabály terméke, s a későbbi kutatások fényében fölöslegesnek

bizonyult.)

Az aritmetika logikai felépítése a típuselméleti logikában is lehetséges, éspedig pontosan a Frege-

féle úton, azzal a megszorítással, hogy az első típusba tartozó osztályokra (fogalomterjedelmekre)

140

korlátozzuk a definíciókban szereplő tárgyak körét. Így maguk a természetes számok a 2. típusba

tartozó tárgyak lesznek. Ám annak érdekében, hogy minden természetes számot megkapjunk (és

ezek valóban különböző tárgyak legyenek), föl kell tételeznünk, hogy a 0. típusba végtelen sok

primitív tárgy tartozik. (Ha a 0. típusban, mondjuk, csak egymillió tárgy lenne, akkor az 1. típus

legnagyobb halmaza egymillió elemű lenne, s így a 2. típusban pl. az 1 000 001 elemű halmazok

halmaza üres lenne, tehát az 1 000 001 számosság — s minden nála „nagyobb” is — azonos lenne

az üres halmazzal.) — Mint láttuk, Fregenek semmiféle egzisztenciafeltevésre nem volt szüksége a

természetes számok definiálásához. Az önazonosság negációjából (x x) kiindulva, a logikai

apparátus automatikusan termeli az újabb és újabb fogalmakat, és mert a fogalomterjedelmek

tárgyak, az újabb és újabb tárgyakat is. Éppen ez a „semmiből teremtés”, a tiszta fogalmi

konstrukció alkotja elméletének szépségét. Csakhogy ezen a szépségen elviselhetetlen foltot ejt az

elmélet ellentmondásossága…

Filozófiai szempontból Russell „továbbfejleszti” Frege logicizmusát. Frege csupán az aritmetikát

tartja a logika részének vagy továbbfejlesztésének, ám a geometriát illetően elfogadja Kant nézetét,

miszerint az szintetikus a priori tudomány. Russell szerint az egész matematika tiszta logika. A. N.

Whiteheaddel közösen írt háromkötetes művükben, a Principia Mathematicában [70] bemutatják a

matematika típuselméleti fölépítését. Nem ismertethetjük itt a fölépítés azon mesterkélt vonásait,

amelyek miatt a matematikusok széles körében ez az elmélet nem népszerű.

Russell munkásságával, párhuzamosan egy másik irányzat is kibontakozott, amely közvetlenül

nem a logikára, hanem a halmazelméletre kívánja alapozni a matematikát; természetesen egy

ellentmondásmentes halmazelméletre. Az irányzat kezdeményezője Ernst Zermelo német

matematikus volt, folytatói és továbbfejlesztői közül Abraham Fraenkel, Neumann János, Paul

Bernays és Kurt Gödel nevét emelhetjük ki. A mai matematikában ez az irányzat a legelterjedtebb.

Az elmélet alapgondolata az a (Cantortól származó) felismerés, hogy az osztályok (a

fogalomterjedelmek) egy része felfogható tárgyként (más szóval: individualizálható), ezeket

nevezik halmazoknak, más részük viszont ellentmondás nélkül nem individualizálható, nem

tekinthető tárgynak, ezek az ún. valódi osztályok. (A valódi osztályokat úgy gondolhatjuk el, mint

a legátfogóbb fogalmak — a kategóriák — terjedelmeit.) A halmazok elemként szerepelhetnek az

osztályokban, míg a valódi osztályok semmiféle osztálynak nem lehetnek elemei. Példa valódi

osztályra az összes halmaz osztálya. A típusok végtelen hierarchiájára itt nincs szükség.

Az elmélet nem ad végső kritériumot arra, hogy mely osztályok individualizálhatók (és ezért nem

lenne elfogadható Frege számára). Egy negatív kritérium persze van: Ha az a föltevés, hogy egy

bizonyos osztály halmaz, logikai ellentmondáshoz vezet, akkor a kérdéses osztály nem halmaz

(hanem valódi osztály). E kritérium alapján tudjuk pl., hogy a Russell levelében említett osztály —

az önmagukat elemként nem tartalmazó halmazok osztálya — egyike a valódi osztályoknak.

Ez a negatív kritérium nyilván kevés ahhoz, hogy Cantor halmazelméletének akárcsak egy

valamire való töredékét rekonstruálni lehessen. Az elmélet hallgatólagos föltevése az, hogy

egyáltalán léteznek halmazok. (Ez a föltevés a logikai keretbe, az elsőrendű logika elméletébe van

beépítve.) Ehhez járul aztán néhány explicit föltevés (axióma) arról, hogy a halmazokon végzett

bizonyos műveletek eredménye is halmaz. E föltevések alapján a cantori halmazelmélet tekintélyes

része rekonstruálható, sőt az aritmetika elemei is.

Frege elméletében pl. az 5 szám nem más, mint az összes ötelemű osztály osztálya. A modern

halmazelméletben e helyett az 5-öt egyetlen ötelemű halmaz mint minta képviseli (ahogyan a

párizsi etalonok mint minták képviselik a fizikai mértékegységeket). A természetes számok ilyen

modellálásának ötlete Neumann Jánostól származik. Maguk a mintahalmazok azonban Frege

elméletében is szerepelnek (már Az aritmetika alapjaiban!), és nem ez az egyetlen logikai ötlet,

amelyet a mai matematika Fregétől kölcsönöz. Így a 0 azonos az üres osztállyal (Frege szerint: az

üres osztállyal egyenlő számosságú osztályok osztályával), az 1 az az osztály, melynek egyetlen

eleme a 0 (Frege: az utóbbi osztállyal egyenlő számosságú osztályok osztálya), s általában bármely

természetes szám az őt megelőző természetes számok osztálya (Frege: ezen osztállyal egyenlő

számosságú osztályok osztálya). Az alapföltevések biztosítják, hogy ezek az osztályok mind

141

halmazok. Így a modern elmélet elkerüli azt a kockázatot, hogy a számokat túlságosan átfogó,

ellentmondás nélkül aligha individualizálható osztályokkal reprezentálja.

A matematika magasabb fejezeteinek (köztük a végtelen számosságok cantori elméletének)

rekonstrukciójához nélkülözhetetlen az a föltevés, hogy maga a természetes számok osztálya is

individualizálható, azaz halmaz. Néhány más föltevéssel (axiómával) együtt ez az elmélet a

modern matematika egészének rekonstruálására alkalmas.

Az eddigi tapasztalatok alapján a Zermelo-irányzatú modern halmazelmélet ellentmondástalannak

tűnik. Ellentmondástalanságára azonban nincsenek végleges garanciáink, és Gödel egy nagy

jelentőségű tétele [63] alapján nem is reménykedhetünk ilyenekben. Ezek szerint matematikai

tudásunk éppen úgy nem abszolút és végleges, mint általában a világra vonatkozó ismereteink. A

korábbi platonisztikus elképzelésekkel ellentétben, a matematika sem kivétel az emberi tudás

egészére vonatkozó törvények alól.

A matematikusok túlnyomó többsége (az ún. intuicionista irányzat szélsőséges képviselőit

leszámítva) elismeri a logika rendkívül nagy szerepét a matematikában. Ám a többség úgy véli,

hogy a matematika mégsem tisztán logikai alapokon nyugszik, hanem bizonyos jellegzetes

„matematikai ideák” vagy (a kanti szemlélettől megkülönböztetett, mert sem tér-, sem időbeli,

hanem sajátosan matematikai) szemléletek teszik azzá, ami. Ezzel szemben a logicizmus a

matematikát (vagy legalább az aritmetikát) teljes egészében a logika részének vagy

továbbfejlesztésének tekinti. Frege volt az első, aki megkísérelte egzaktul bebizonyítani a

logicizmus tézisét. Érdeméből semmit sem von le, hogy kísérlete — betű szerint — kudarccal

végződött, hiszen csak az ő (és Russell) kísérletéből tudjuk, hogy mi az igazság a logicizmus

tézisében. Mert a tézis kétségtelenül tartalmazza az igazság egy mozzanatát, azt, amit a

diszciplínájának filozófiai alapjaival nem foglalkozó átlagmatematikus is érez, sőt ennél valamivel

többet is. Mindenekelőtt, Frege és Russell kutatásaiból világosan kiderült, hogy a logika és a

matematika között nem húzható abszolút éles határvonal (ahogyan a fizika és a kémia között sem).

Másodszor, bebizonyosodott, hogy a matematika fogalomkészletének egy része — elsősorban az

aritmetikai fogalmak — definiálható tiszta logikai fogalmak segítségével. Harmadszor,

tisztázódott, hogy a modern logika (Frege alkotása) képes produkálni a matematikai

bizonyításokhoz szükséges összes eszközt (pl. kiderült, hogy a matematikai indukció, amelyet

korábban jellegzetes intuitív matematikai módszernek véltek, redukálható tiszta logikai lépésekre).

Ezekkel szemben megdőlt az a tézis, hogy a matematika (vagy akárcsak az aritmetika) minden

tétele logikai igazság: bizonyos egzisztenciaföltevések nélkül az aritmetika — s még kevésbé a

matematika egésze — nem építhető föl.

A logika a fogalmak és az állítások általános törvényeivel foglalkozó tudomány, a definíciók és a

következtetések általános elmélete. A matematika viszont az emberi tevékenység és az anyagi világ

különféle területeiről absztrahált speciális struktúrák elmélete. (Minél általánosabb jellegű a forrás,

annál közelebb áll a matematikai elmélet a logikához, minél speciálisabb a forrás, annál több olyan

föltevésre támaszkodik az elmélet, amely nem logikai igazság.) A két diszciplínának ez a

hozzávetőleges elkülönítése nem mond ellent az imént jelzett összefüggésüknek, az éles határvonal

hiányának.

Mélységesen igaz Frege azon megállapítása, hogy a számosságokat kimondó állításokban

fogalmak terjedelméről teszünk állítást, azaz hogy a számosságok olyan fogalmak, amelyek

terjedelmébe egyenlő számosságú osztályok (fogalomterjedelmek) tartoznak. Filozófiailag ebből

semmit sem kell visszavonnunk. Más kérdés az, hogy e fogalmak (a számosságok) miként

kezelhetők az aritmetikában tárgyakként, individuumokként. Frege tévedett abban, hogy teljes

terjedelmükkel reprezentálhatók: ez ellentmondásokhoz vezet. Russell a teljes terjedelmet

helyettesíti az 1. típusba eső részével, ez a megoldás eléggé mesterkélt. A Zermelo-irányzatú

halmazelméletben a számosságokat a terjedelmükből kiválasztott egy-egy „minta” képviseli; ez a

megoldás tűnik természetesebbnek.

Frege belátta eredeti felfogásának tévességét. Életének utolsó évében egy kéziratában ezt írja:

„Föl kellett adnom azt a nézetet, hogy az aritmetika a logika egy ága, s hogy ennek megfelelően az

aritmetikában mindent tisztán logikailag kell bizonyítani.” (Lásd [38], 242.) Elismerte, hogy a

142

matematikai megismerésnek a logikain kívül más „szemléleti” forrása is van, de élete végéig

ragaszkodott ahhoz a — ma fundacionalizmusnak nevezett és sokak által bírált — eszméhez, hogy

a matematikát abszolút biztos végső alapokra kell építeni. Élete végén a geometriában vélte

fölfedezni az egész matematika egységes alapját. Az iménti idézet így folytatódik: „Másodszor, föl

kellett adnom azt a nézetet, hogy az aritmetikának a szemléletből sem kell alapokat merítenie.

Szemléleten a geometriai ismeretforrást értem, azt az ismeretforrást, melyből a geometria axiómái

folynak.” Sem az érzéki tapasztalat, sem a logikai megismerés nem vezet a számokhoz, s még

kevésbé a végtelenséghez, hangoztatja. Így ezek elérése érdekében a geometriai ismeretforrásra

vagyunk utalva. „Ez azért jelentős, mert ezáltal az aritmetika és a geometria, vagyis az egész

matematika, egyazon ismeretforrásból, nevezetesen a geometriaiból folyik, miáltal ez a sajátságos

matematikai ismeretforrás rangjára emelkedik, természetesen mindig a logikai ismeretforrás

részvételével.”

Ezekben a sorokban — és Frege egyéb késői jegyzeteiben is — a matematika kanti felfogásához

váló visszatérés körvonalai bontakoznak ki: a matematika a tér és az idő szemléletén alapuló

szintetikus a priori tudomány. Frege életéből már nem futotta új felfogásának részletes

kidolgozására; a mai matematikai alapkutatásokban pedig ennek az elképzelésnek nincs folytatása.

Ez nem véletlen: a geometriai szemléletből a halmazelmélet alighanem csak igen mesterkélt módon

(és pótaxiómákkal) volna kifejleszthető (egyéb nehézségekről nem szólva). A mai matematika

számára a logika és a halmazelmélet az egységes metodológiai keret, ám annak igénye nélkül,

hogy ez végleges és korrigálásra-továbbfejlesztésre soha nem szoruló tartalmi alapját is adná e

tudománynak. És ez a tudomány — az élete végéhez közeledő Frege elképzelései ellenére — az

alkotó Frege keze nyomát őrzi eltörölhetetlenül.

143

VII

LOGIKAI VIZSGÁLÓDÁSOK

ELSŐ RÉSZ: A GONDOLAT

(1918)

A Logikai vizsgálódások (Logische Untersuchungen) összefoglaló cím Fregének az

irodalomjegyzékben [29]–[31] szám alatt szereplő írásait jelöli; Frege a harmadik írás eredeti

címében tünteti csak fel, hogy ezeket egy sorozat részeinek tekinti. Hátrahagyott írásai között

szerepel egy „Logische Allgemeinheit” címet viselő töredék, amely a sorozat tervezett negyedik

részének, a kvantifikáció tárgyalásának kezdete.

Miként az esztétikában a „szép”, az etikában a „jó”, akképp a logikában az

„igaz” szó az iránymutató. Az igazság ugyan valamennyi tudománynak célja; ám a

logika mégis más módon foglalkozik vele: hasonlóan viszonyul az igazsághoz,

mint a fizika a nehézkedéshez vagy a hőhöz. Az igazságok fölfedezése minden

tudománynak feladata; a logika osztályrésze az igazság törvényeinek

megismerése. A „törvény” szó kettős értelemben használatos. Ha az erkölcs vagy

az állam törvényeiről beszélünk, olyan előírásokra gondolunk, amelyeket követni

kell, de amelyekkel az események nincsenek mindig összhangban. A

természettörvények a természeti események általánosságát jelentik; ami történik,

mindig megfelel nekik. Amikor az igazság törvényeiről beszélek, a szót inkább az

utóbbi értelemben használom. Természetesen itt nem történésről, hanem létről van

szó.

Értsd: Az igazság nem történik (mint egy esemény), hanem van. Amit egy igaz állítás kifejez, az

esetleg lehet történés, de az állítás igazsága nem történés.

Az igazság törvényeiből előírások folynak arra nézve, hogy mit tartsunk igaznak,

hogyan gondolkozzunk, ítéljünk, következtessünk. Így aztán a gondolkodás

törvényeiről is beszélnek. De itt az a veszély fenyeget, hogy összekeverünk

különböző dolgokat. A „gondolkodástörvény” szót úgy is értheti valaki, mint

„természettörvényt”, mint a gondolkodás lelki eseményének az általánosságát. A

gondolkodás törvényei ebben az értelemben pszichológiai törvények lennének. Ily

módon lehet arra a véleményre jutni, hogy a logika tárgya a gondolkodás lelki

folyamata és azon pszichológiai törvények, amelyek szerint e folyamat

végbemegy. De ezzel félreismernénk a logika feladatát; mert így az igazság nem

kapja meg az őt megillető helyet. A tévedésnek, a babonának éppúgy megvan a

maga oka, mint a helyes felismerésnek. Pszichológiai törvények szerint megy

végbe az is, amikor a hamisat, és az is, amikor az igazat tartják igaznak. Ha

ezekből a törvényekből vezetünk le és magyarázunk egy lelki folyamatot,

amelynek eredményeképpen valaki igaznak ismer el valamit, ez soha nem

helyettesítheti annak bizonyítását, aminek az igaznak tartásáról szó van. Nem

144

vitatom, hogy e lelki folyamatnak logikai törvények is részesei lehetnek; de

amikor az igazságról van szó, a lehetőség nem elégíthet ki. Hiszen lehetséges,

hogy nem logikai mozzanat is szerepel benne és eltérít az igazságtól. Ezt csak

akkor dönthetjük el, ha már megismertük az igazság törvényeit. Ehhez azonban

valószínűleg nélkülözhetjük a lelki folyamat levezetését és magyarázatát,

amennyiben azt kell eldöntenünk, hogy a folyamat eredménye, az igaznak tartás,

jogosult-e. Hogy minden félreértést kizárjak, és ne hagyjam elmosódni a határt

pszichológia és logika között, a logika feladataként nem a gondolkodás vagy az

igaznak tartás, hanem az igazság törvényeinek feltárását jelölöm meg. Az igazság

törvényeiből fog kialakulni az „igaz” szó jelentése.

Először azonban megkísérlem vázlatosan körvonalazni, hogy mit nevezek

ebben az összefüggésben igaznak. Ennek alapján el lehet utasítani a szónak a

tárgyunkhoz nem tartozó használati módjait. Nem használjuk itt az „igaz”-at abban

az értelemben, hogy „igazmondó” vagy „igazságszerető”, de még úgy sem, ahogy

gyakorta művészeti kérdések tárgyalásakor előfordul, pl. amikor a művészet

igazságáról van szó, amikor az igazságot célként állítják a művészet elé, amikor

egy műalkotás igazságáról vagy igaz érzésekről beszélnek. Néha azért tesszük az

„igaz” szót egy másik szó elé, hogy jelezzük: a szót valódi, hamisítatlan

értelmében akarjuk érteni. Ez a használati mód sem felel meg most nekünk; hanem

arra az igazságra kell gondolnunk, amelynek megismerését a tudomány tűzi ki

céljául.

Az „igaz” szó nyelvtanilag melléknév. Ebből ered az az igényünk, hogy

szorosabban lehatároljuk a területet, amelyen belül az igazság állítható, ahol az

igazság egyáltalán szóba jöhet. Az igazságot képekről, képzetekről, mondatokról

és gondolatokról is állítják. Feltűnő, hogy itt együtt szerepelnek látható és hallható

dolgok, és érzékekkel nem észlelhető dolgok. Ez arra utal, hogy a jelentés

időnként eltorzul. Valóban! Vajon egy kép igaz pusztán a maga látható, tapintható

mivoltában, egy kő, egy falevél pedig nem igaz? A képet nyilván nem lehet

igaznak nevezni, ha nincs vele együtt jelen a szándék is. A képnek ábrázolnia kell

valamit. A képzetet sem lehet önmagában igaznak nevezni, csak arra a szándékra

vonatkoztatva, amely szerint meg kell egyeznie valamivel. Ennek alapján azt

lehetne vélni, hogy az igazság nem más, mint egyfajta megegyezés kép és

leképezett között. A megegyezés reláció. Azonban az „igaz” szó használati módja

ennek ellentmond, mivel az „igaz” nem viszonyszó, semmiféle utalást nem

tartalmaz valami másra, amellyel valaminek meg kellene egyeznie. Ha nem tudom

egy képről, hogy a kölni dómot kívánja ábrázolni, akkor nem tudom, mivel

hasonlítsam össze, hogy eldöntsem az igazságát. Továbbá egy megegyezés csak

akkor lehet teljes, ha a megegyező dolgok egybeesnek, azaz egyáltalán nem

különböznek. Egy bankjegy valódiságát vizsgálhatjuk úgy, hogy sztereoszkóppal

fedésbe próbáljuk hozni egy valódival. De nevetséges volna megkísérelni egy

aranydarab fedésbe hozatalát egy húszmárkás bankóval. Képzetet dologgal

fedésbe hozni csak akkor volna lehetséges, ha a dolog is képzet volna. Ez esetben

viszont, ha az első a másodikkal tökéletesen megegyezik, úgy egybe is esnek. De

amikor az igazságot úgy határozzák meg, mint egy képzetnek valami valóssal való

megegyezését, kifejezetten nem erre gondolnak.

145

Frege ‘valós’ (wirklich) terminusát illetően ld. az [V]-höz fűzött kommentárt a 000. oldalon.

Ilyenkor éppen az a lényeges, hogy a valós különbözik a képzettől. De akkor nem

lehetséges teljes megegyezés, nem létezik teljes igazság. Így semmi sem lenne

igaz; mert ami csak félig igaz, az nem igaz. Az igazság nem tűri a többé vagy

kevésbét. Vagy mégis? Nem lehet esetleg megállapítani az igazság fennállását, ha

bizonyos szempontból megegyezés van? De milyen szempontból? És mit kell

tennünk annak eldöntéséhez, hogy valami igaz-e? Azt kellene megvizsgálnunk,

igaz-e, hogy — mondjuk egy képzet és egy valós dolog — az illető szempontból

megegyeznek. Ezzel újra ugyanolyan jellegű kérdés előtt állnánk és az egész

játékot újrakezdhetnénk.

Itt Frege nem utasítja el a valósággal való megegyezést mint az igazság kritériumát, hanem csupán

azt állítja, hogy e kritérium nem használható az igazság formálisan szabatos meghatározására

(definiálására), mert körbenforgó, vagy legalábbis végtelen regresszushoz vezet. Az, hogy adott

állítás információtartalma egyezik a valósággal, ismét egy állítás, amely csak úgy lehet igaz, ha

információtartalma egyezik a valósággal. De ez ismét egy állítás, amely… -- és így tovább, a

végtelenségig.

Ezzel meghiúsul az a kísérlet, hogy az igazságot úgy határozzuk meg, mint

megegyezést. És így hiúsul meg az igazság definiálására tett minden más kísérlet

is. Egy definícióban ugyanis bizonyos ismertetőjegyeket adunk meg. Ha a

definíciót alkalmazni akarjuk egy különös esetre, mindig azt kell megvizsgálnunk,

igaz-e, hogy ezek az ismertetőjegyek megvannak. Így mindig körben forognánk.

Ezek szerint valószínű, hogy az „igaz” szó tartalma egészen sajátos és

definiálhatatlan.

Frege e sejtését mélyebben megalapozta Alfred Tarski, aki kimutatta, hogy az igaz mondat

formálisan szabatos és a valósággal való megegyezés kritériumát kielégítő meghatározása csak

bizonyos töredék nyelvekre (formalizált nyelvekre) lehetséges, éspedig csakis egy másik (bizonyos

szempontból gazdagabb) nyelv, az. ún. metanyelv keretében. Természetes nyelvekben az igaz

mondat fogalma nem definiálható az említett kritériumoknak megfelelő módon. (Lásd A. Tarski:

Az igazság fogalma a formalizált nyelvekben, a [69] kötetben.]

Ha valaki egy képről azt állítja, hogy igaz, ezzel tulajdonképpen semmi olyan

tulajdonságot nem akar állítani róla, amely a képet minden mástól elválasztva is

megilletné, hanem még valami egészen más dologra is gondol, és azt akarja

mondani, hogy a kép azzal megegyezik. Az, hogy „a képzetem megegyezik a kölni

dómmal”, egy mondat, és így már ennek a mondatnak az igazságáról van szó. Ily

módon azt, amit — bizonnyal jogosulatlanul — képek és képzetek igazságának

mondanak, vissza lehet vezetni mondatok igazságára. Mit neveznek mondatnak?

Hangok sorozatát; de csak akkor, ha van értelme, amivel nem akarjuk azt is

mondani, hogy minden értelmes hangsor mondat. Ha viszont egy mondatot

igaznak nevezünk, tulajdonképpen a jelentésére gondolunk. Ezek szerint az,

amiről az igazság egyáltalán szóba jöhet, mindig egy mondat jelentése. Kérdés,

hogy a mondat jelentése képzet-e. Az igazság mindenesetre nem ennek a

146

jelentésnek valami mással való megegyezésében áll; mert különben az igazság

kérdése a végtelenségig ismétlődne.

Gondolatnak azt nevezem, amivel kapcsolatban az igazság kérdése egyáltalán

szóba jöhet, ezt azonban nem kívánom definíciónak tekinteni. Tehát azt, ami

hamis, éppúgy gondolatnak tekintem, mint azt, ami igaz.1 Így azt mondhatom: a

gondolat egy mondat jelentése, de ezzel nem állítom, hogy minden mondat

jelentése gondolat. Az önmagában nem érzéki gondolat a mondat érzéki köntösébe

öltözik, és ezzel megfoghatóbbá válik számunkra. Azt mondjuk, hogy a mondat

gondolatot fejez ki.

A gondolat nem érzéki: azon dolgok közül, amelyekkel kapcsolatban az igazság

kérdése egyáltalán szóba jöhet, ki kell zárni minden érzékileg észlelhetőt. Az

igazság nem olyan tulajdonság, amely az érzéki benyomások valamilyen sajátos

fajtájának felel meg. Ennyiben élesen különbözik azoktól a tulajdonságoktól,

amelyeket a „piros”, „keserű”, „orgonaillatú” szavakkal nevezünk meg. De nem

látjuk-e, hogy a Nap felkelt, és nem látjuk-e egyúttal azt is, hogy ez igaz? Az,

hogy a Nap felkelt, nem tárgy, amely a szemembe jutó sugarakat bocsát ki, nem

olyan látható dolog, mint maga a Nap. Azt, hogy a Nap felkelt, érzéki benyomások

alapján ismerjük el igaznak. Az igazság mégsem érzékileg észlelhető tulajdonság.

Egy dolog mágnesességét is érzéki benyomások alapján ismerjük fel, habár ez a

tulajdonság éppoly kevéssé felel meg érzéki benyomások egy sajátos fajtájának,

mint az igazság. Ennyiben ezek a tulajdonságok megegyeznek. De ahhoz, hogy

egy test mágnesességét felismerjük, szükségünk van érzéki benyomásokra. Ha

azonban igaznak találom azt, hogy ebben a pillanatban semmilyen szagot nem

érzek, ezt nem érzéki benyomások alapján teszem.

Mindamellett azt kell gondolnunk, nem lehetséges felismerni egy dolog

valamely tulajdonságát anélkül, hogy egyúttal igaznak ne találnánk azt a

gondolatot, mely szerint a dolog rendelkezik az illető tulajdonsággal. Így egy

dolog minden tulajdonságához kapcsolódik egy gondolat tulajdonsága, tudniillik

az igazsága.

A párhuzam félreérthető. Nem áll az, hogy egy dologhoz egy gondolat, s a dolog minden egyes

tulajdonságához e gondolatnak egy-egy tulajdonsága kapcsolódik. Csak annyit lehet mondani,

hogy a dolog minden tulajdonságához kapcsolódik egy igaz gondolat. A „gondolat” szót itt Frege

értelmezése szerint használjuk.

Figyelemre méltó az is, hogy az „ibolyaszagot érzek” mondatnak ugyanaz a

1 Hasonló módon mondják: „Ítélet az, ami vagy igaz, vagy hamis.” Ténylegesen

a „gondolat” szót nagyjából a logikusok írásaiban szereplő „ítélet” értelmében

használom. Remélhetőleg a következőkből kitűnik, miért részesítem előnyben a

„gondolat” szót. Ezt az értelmezést azért támadták, mert eleve adott bennük az

ítéletek felosztása igaz és hamis ítéletekre, ez a felosztás pedig az ítéletek összes

lehetséges felosztása közül talán a legkevésbé jelentős. Én nem ismerem el logikai

hibának, ha az értelmezés egyben felosztást is ad. Ami pedig a jelentőségét illeti,

azt mégsem szabad annyira lebecsülni, ha egyszer az „igaz” szó, amint mondtam,

iránymutató a logika számára.

147

tartalma, mint az „igaz, hogy ibolyaszagot érzek” mondatnak. Úgy tűnik tehát,

hogy a gondolathoz semmit sem teszünk hozzá azzal, hogy igazságot tulajdonítunk

neki. És mégis, nem nagy siker-e, ha a kutató, hosszas ingadozás és fáradságos

vizsgálatok után azt mondhatja: „igaz az, amit feltételeztem”? Az „igaz” szó

jelentése egészen sajátosnak látszik. Talán olyasmivel van dolgunk, amit

egyáltalán nem lehet az egyébként szokásos értelemben tulajdonságnak nevezni.

Ezen kétely ellenére, amíg valami találóbbra nem lelek, a nyelvhasználatot

követve úgy fogom kifejezni magam, mintha az igazság tulajdonság volna.

Hogy élesebben kidomborodjék, mit nevezek gondolatnak, különbséget fogok

tenni a mondatok fajtái között.2 Nem vitatható, hogy a felszólító mondatoknak van

jelentésük; de ez a jelentés nem olyan, hogy vele kapcsolatban szóba jöhetne az

igazság. Ezért a felszólító mondatok jelentését nem fogom gondolatnak nevezni.

Ugyanígy kizárandók az óhajtó és kérdő mondatok is. Azok a mondatok jöhetnek

számításba, amelyekben valamit közlünk vagy állítunk, De nem számítom ide az

olyan felkiáltásokat, amelyekkel valaki érzéseinek ad kifejezést, vagy a nyögést, a

sóhajt, a nevetést, még akkor sem ha valami külön megállapodás alapján

valaminek a közlésére szánták őket. Mi a helyzet a kérdő mondatokkal? A

kiegészítendő kérdések esetén egy nem teljes mondatot mondunk ki, amely csak

azzal a kiegészítéssel kap igazi jelentést, amelyre a kérdéssel felszólítunk. A

kiegészítendő kérdések ezért itt figyelmen kívül maradhatnak. Másképp áll a

dolog az eldöntendő kérdésekkel. Ezekre „igen”-t vagy „nem”-et várunk. Az

„igen” válasz ugyanannyit mond, mint egy kijelentő mondat; mert igaznak állítja

azt a gondolatot, amelyet már a kérdés teljes egészében tartalmazott. Így minden

kijelentő mondathoz képezhető egy eldöntendő kérdés. Egy felkiáltást azért nem

lehet közlésnek tekinteni mert nem képezhető neki megfelelő eldöntendő kérdés.

A kérdő és a kijelentő mondat ugyanazt a gondolatot tartalmazza; de a kijelentő

mondatban van még valami többlet is, tudniillik éppen a kijelentés. A kérdő

mondatban is van többlet: a felszólítás. A kijelentő mondatban tehát két dolgot

kell megkülönböztetni: a tartalmat, amely ugyanaz, mint a megfelelő eldöntendő

kérdésben, és az állítást. Az előbbi a gondolat, vagy legalábbis tartalmazza a

gondolatot. Ki lehet tehát fejezni a gondolatot anélkül, hogy állítanánk az

igazságát. A kijelentő mondatban ez a kettő úgy kapcsolódik össze, hogy könnyű

látni a szétválaszthatóságot. Ezek szerint megkülönböztetjük

1. a gondolat megragadását — a gondolkodást,

2. egy gondolat igazságának az elismerését — az ítélést,3

2 A „mondat” szót itt nem egészen abban az értelemben használom, mint a

nyelvtan, amely mellékmondatokat is ismer. Egy elkülönített mellékmondatnak

nincs mindig olyan jelentése, amellyel kapcsolatban az igazság szóbajöhet, míg az

összetett mondatnak, amelyhez tartozik, van ilyen jelentése. 3 Úgy tűnik, gondolat és ítélet között eddig nem tettek kellő különbséget. Ez

talán a nyelv hatásának következménye. A kijelentő mondatnak nincs külön

mondatrésze amely az állításnak felelne meg, hanem az, hogy állítunk valamit, a

kijelentő mondat formájában rejlik. A német nyelvben előnyt jelent, hogy a

szórend megkülönbözteti a főmondatot és a mellékmondatot. Ilyenkor persze

ügyelni kell arra, hogy a mellékmondat is tartalmazhat állítást, és hogy gyakran

148

3. ezen ítélet közlését — az állítást.

Amikor eldöntendő kérdést képzünk, az első lépést már megtettük. A

tudományos előrehaladás rendszerint úgy megy végbe, hogy először olyasformán

ragadnak meg egy gondolatot, ahogyan az egy eldöntendő kérdésben kifejezhető,

majd kutatások elvégzése után végül igaznak ismerik el. Az igazság elismerését a

kijelentő mondat formájában mondjuk ki. Nincs szükségünk ehhez az „igaz”

szóra. De még ha használjuk, akkor sem az „igaz” rejti magában a tulajdonképpeni

állító erőt, hanem a kijelentő mondat formája, és ahol utóbbi elveszti állító erejét,

ott azt az „igaz” szó sem tudja visszaállítani. Ez történik, amikor nem komolyan

beszélünk. Mint ahogy a színházi mennydörgés csak látszatmennydörgés, a

színházi csata csak látszatcsata, úgy a színházi állítás is csak látszatállítás. Nem

több, mint játék vagy költészet. A színész szerepe közben nem állít, nem is

hazudik, még akkor sem, ha meg van győződve annak hamisságáról, amit mond. A

költészetben az a helyzet, hogy gondolatokat fejeznek ki, amelyek igazságát

azonban nem állítják a kijelentő mondatforma ellenére sem, habár lehet, hogy a

hallgatónak sugalmazzák az egyetértő ítéletet. Tehát még ha valami kijelentő

mondat formájában jelenik is meg, akkor is kérdéses, hogy valóban állítást

tartalmaz-e. És ha ehhez a szükséges komolyság hiányzik, akkor a kérdésre tagadó

választ kell adni. Annak, hogy az „igaz” szót használják-e közben, nincs

jelentősége. Ez mutatja, hogy ha egy gondolatról az igazság tulajdonságát állítjuk,

ezzel semmit nem teszünk hozzá.

Egy kijelentő mondat a gondolaton és annak állításán kívül gyakran még egy

harmadik dolgot is tartalmaz, amelyre az állítás nem terjed ki. Utóbbi nemritkán a

hallgató érzéseire, hangulatára kíván hatni, vagy képzelőerejét kelti fel. Ide

tartoznak az olyan szavak, mint „sajnos”, „hál’ isten”. A költészetben gyakrabban

előfordulnak ilyen alkotórészek, de a próza sem mentes tőlük teljesen.

Matematikai, fizikai, kémiai leírásokban persze ritkábbak, mint a történelmiekben.

Amit szellemtudománynak neveznek, közelebb áll a költészethez, és ezért kevésbé

is tudományos, mint az egzakt tudományok, melyek annál szárazabbak, minél

egzaktabbak; mivel az egzakt tudomány az igazságra, és csakis az igazságra

irányul. Tehát a mondat minden olyan része, amelyre az állító erő nem terjed ki,

kívül esik a tudományos leíráson, de sokszor még az is nehezen kerüli el ezeket,

aki látja a veszélyt, amellyel járnak. Ahol arról van szó, hogy a gondolatilag

megfoghatatlant a sejtés útján közelítsük meg, az említett alkotórészek teljes

joggal szerepelnek. Minél szigorúbban tudományos egy leírás, annál kevésbé

érezhető rajta szerzőjének nemzetisége, annál könnyebben fordítható. Ezzel

szemben a nyelv azon alkotórészei, amelyeket most említettem, igen megnehezítik

a költemények fordítását, sőt a tökéletes fordítást csaknem mindig lehetetlenné

teszik. Hiszen a költői érték jórészt az ilyen kifejezéseken múlik, és éppen ezek

tekintetében különböznek leginkább az egyes nyelvek.

Attól, hogy a „ló”, a „paripa”, vagy a „gebe” szót használom, a gondolat nem

lesz különböző. Az állító erő nem terjed ki arra, amiben ezek a szavak

sem a főmondat, sem a mellékmondat nem fejez ki önmagában teljes gondolatot,

hanem csak az összetett mondat.

149

különböznek. Amit egy költemény hangulatának, árnyalatának, atmoszférájának

nevezhetünk, amit a hanglejtés és a ritmus lefest, az nem tartozik a gondolathoz.

A nyelvben sok minden arra szolgál, hogy megkönnyítse a hallgató számára a

megértést, így pl. ha a szórend vagy a hangsúly segítségével kiemelünk egy

mondatrészt. Gondoljunk továbbá olyan szavakra, mint „még” és „már”. Azzal a

mondattal, hogy „Alfréd még nem jött meg”, tulajdonképpen annyit mondunk,

hogy „Alfréd nem jött meg”, és emellett jelezzük, hogy várjuk a jövetelét; de

éppen csak jelezzük. Nem lehet azt mondani, hogy a mondat jelentése azért hamis,

mert Alfréd jövetelét nem várjuk. A „de” szó annyiban különbözik az „és”-től,

hogy jelezzük vele: a reá következő ellentétben áll azzal, ami a megelőzőek

alapján várható volt. A beszéd ilyen árnyalatai nem teszik különbözővé a

gondolatokat. A mondatokat lehet alakítani úgy, hogy az igét cselekvő alakból

szenvedőbe tesszük és egyúttal a tárgyat tesszük meg alanynak. Hasonlóképp

megtehetjük, hogy a szórend és a ragok megváltoztatásával az „ad” igét a „kap”

megfelelő alakjával helyettesítjük. Az ilyen átalakítások bizonyára nem minden

szempontból közömbösek; de nem érintik azt, ami igaz vagy hamis. Ha az ilyen

átalakításokat általánosan megengedhetetlennek tartanák, ez megakadályozna

minden mélyebb logikai vizsgálatot. Éppolyan fontos elhagyni a dolog magvát

nem érintő különbségeket, mint különbséget tenni ott, ahol az lényegbe vág. Az

azonban, hogy mi a lényeges, a céltól függ. A nyelv szépségére irányuló

törekvésnek esetleg éppen az tűnik fontosnak, ami a logikusnak közömbös.

Egy mondat tartalma tehát gyakran meghaladja a benne kifejezett gondolatot.

De ugyancsak gyakran előfordul a fordítottja, amikor az írásban vagy fonográffal

rögzíthető puszta szósor nem elegendő a gondolat kifejezéséhez. A jelen idő

kétféle módon használatos: először időmeghatározás céljából, másodszor annak

kifejezéséül, hogy a gondolat minden időbeli korlátozás nélkül való, időtlen vagy

örök. Gondoljunk pl. a matematika törvényeire. Hogy a két eset közül melyikről

van szó, az nem fejeződik ki, azt ki kell találni. Ha a jelen idő időmeghatározásul

szolgál, a gondolat helyes felfogásához tudnunk kell, mikor mondták ki a

mondatot. Ilyenkor tehát a beszéd időpontja része a gondolatkifejezésnek. Ha

valaki ma ugyanazt akarja mondani, amit tegnap a „ma” szó használatával fejezett

ki, akkor ezt a szót a „tegnap”-pal kell helyettesítenie. Habár a gondolat ugyanaz,

a szóbeli kifejezésnek ilyenkor különbözőnek kell lennie, hogy kiegyenlítsük azt a

jelentésváltozást, amit enélkül a beszéd időpontjának különbözősége okozna.

Hasonló a helyzet az olyan szavaknál, mint „itt”, „ott”. A puszta szósor, ahogyan

írásban rögzíthető, egyetlen ilyen esetben sem teljes kifejezése a gondolatnak,

hanem a helyes megértéshez szükséges még néhány, a beszédet kísérő körülmény

ismerete, melyeket ilyenkor a gondolatkifejezés eszközéül használnak. Ide

tartozhatnak még rámutatások, kézmozdulatok, pillantások is. Ugyanaz a szósor,

ha az „én” szót tartalmazza, különböző emberek szájából különböző gondolatokat

fejez ki, melyek közül némelyik igaz, némelyik pedig hamis lehet.

Az „én” szó mondatokban való előfordulása felvet még néhány kérdést. Legyen

a helyzet a következő. Dr. Gustav Lauben ezt mondja: „Engem megsértettek.” Leo

Peter hallja ezt, és néhány nap múlva így beszéli el: „Dr. Gustav Laubent

megsértették. Ugyanazt a gondolatot fejezi-e ki ez a mondat, mint amelyet dr.

Lauben mondott ki? Tegyük föl, hogy Rudolf Lingens ott volt, amikor dr. Lauben

150

beszélt, és hallja azt is, amit Leo Peter elbeszél. Ha dr. Lauben és Leo Peter

ugyanazt a gondolatot mondta ki, akkor Rudolf Lingensnek, aki jól érti a német

nyelvet, és emlékszik arra, amit dr. Lauben az ő jelenlétében mondott, rögtön

tudnia kell, hogy Leo Peter ugyanarról beszél. De a német nyelv ismerete,

amennyiben tulajdonnevekről van szó, sajátos kérdés. Könnyen megeshet, hogy a

„Dr. Laubent megsértették” mondathoz csak kevesen kapcsolnak egy

meghatározott gondolatot. A teljes megértéshez esetünkben hozzátartozik a „dr.

Gustav Lauben” szavak ismerete. Ha mármost Leo Peter és Rudolf Lingens

számára a „dr. Gustav Lauben” név egyaránt azt az orvost jelöli, aki egy

mindkettőjük által ismert lakásban egyedüli orvosként él, akkor mindketten

ugyanúgy értik azt a mondatot, hogy „Dr. Gustav Laubent megsértették”, vagyis

ugyanazt a gondolatot kapcsolják hozzá. Lehetséges azonban, hogy Rudolf

Lingens nem ismeri személyesen dr. Laubent és nem tudja, hogy dr. Lauben volt

az, aki a múltkor azt mondta: „Engem megsértettek.” Ekkor Rudolf Lingens nem

tudhatja, hogy ugyanarról a dologról van szó. Ezért ebben az esetben azt mondom:

az a gondolat, amelyet Leo Peter fejez ki, nem azonos azzal, amit dr. Lauben

kimondott.

Tegyük fel továbbá, hogy Herbert Garner tudja: dr. Gustav Lauben 1875

szeptember 13-án N. N.-ben született, és ez rajta kívül senki másra nem áll; nem

tudja ezzel szemben, hogy dr. Lauben most hol lakik, és semmi mást sem tud róla.

Másik föltevésünk: Leo Peter nem tudja, hogy dr. Gustav Lauben 1875 szeptember

13-án N. N.-ben született. Ekkor, a „dr. Gustav Lauben” tulajdonnév tekintetében

Herbert Garner és Leo Peter nem ugyanazt a nyelvet beszélik, habár valójában

ugyanazt az embert ugyanazon a néven nevezik meg; ugyanis nem tudják, hogy

ezt teszik. Tehát ahhoz a mondathoz, hogy „Gustav Laubent megsértették”,

Herbert Garner nem ugyanazt a gondolatot kapcsolja hozzá, amelyet Leo Peter ki

akart fejezni vele. Annak a visszás helyzetnek az elkerülése céljából, hogy Herbert

Garner és Leo Peter nem ugyanazt a nyelvet beszélik, feltételezem, hogy Leo Peter

a „dr. Lauben”, Herbert Garner viszont a „Gustav Lauben” tulajdonnevet

használja. Lehetséges, hogy Herbert Garner a „Dr. Laubent megsértették” mondat

jelentését igaznak, míg, hamis hírektől félrevezetve, a „Gustav Laubent

megsértették” mondat jelentését hamisnak tartja. Tehát a mondott föltevések

mellett ezek a gondolatok különbözőek.

Ha e példákban a szereplő személyek dr. I.aubent nem személynevével, hanem más-más

leírásokkal neveznék meg (pl. „háziorvosom”, „a fölöttem lakó férfi” stb.), akkor Frege

fejtegetései vitathatatlanul helytállók lennének: az „x-et megsértették” sémából más-más

gondolatot kifejező mondatokat kapunk, ha x-et egyazon személy különböző leírásaival

helyettesítjük. Frege azonban a különböző leírások helyett egyetlen tulajdonnevet szerepeltet, azzal

a föltevéssel, hogy a névhasználók (vagy az állítás hallgatói, befogadói) e név jelöletét különböző

meghatározások, leírások révén ismerik. Ezek szerint Frege felfogása az, hogy a tulajdonnevek

mindig leírásokat képviselnek (e nézetét egyéb írásaiban is kifejezésre juttatja). Ez a felfogás

azonban komoly nehézségekkel jár: a tulajdonnevet használó kommunikáló partnerek nem érthetik

meg teljesen egymás gondolatait, még akkor sem, ha ugyanazon tulajdonnévvel objektíve

mindketten ugyanazt az individuumot nevezik meg; hiszen nem ismerik azt a fogalmi leírást,

amelyet partnerük a szóban forgó individuumra használ. A tulajdonnevek leírásként való felfogását

ezért sokan elutasítják, és azzal a nézettel helyettesítik, hogy a tulajdonneveket az esetek

többségében éppúgy fogalmi karakter nélküli individuummegnevezésként használjuk, mint a

tárgyra való közvetlen rámutatás (mutatónévmás használatával kombinált) gesztusait, vagy mint a

151

személyes névmásokat. Azonban Frege felfogásának, ill. e felfogás továbbfejlesztett változatának

is vannak hívei a logikai-szemantikai irodalomban.

Ezek szerint tulajdonnév esetén az is számít, hogy miképp határozzák meg azt,

amit a név jelöl. Ez különböző módokon lehetséges, és a tulajdonnevet tartalmazó

mondatoknak minden ilyen módhoz más-más jelentésük tartozik. Az egyazon

mondatból ily módon adódó különböző gondolatok igazságértékükben

természetesen megegyeznek, azaz ha az egyik igaz, akkor az összes az, illetve ha

az egyik hamis, akkor az összes hamis. Ennek ellenére el kell ismerni

különbözőségüket. Tulajdonképpen meg kell tehát követelni, hogy minden

tulajdonnév jelölete egyetlen módon legyen meghatározott. Ennek a

követelménynek a teljesülése gyakran lényegtelen, de nem mindig az.

Mindenki olyan sajátos és eredeti módon meghatározott önmaga számára,

ahogyan ez senki más számára nem lehetséges. Ha mármost dr. Lauben arra

gondol, hogy őt megsértették, ezt ama bizonyos sajátos és eredeti

meghatározásmód alapján fogja érteni. Az így meghatározott gondolatot viszont

csak dr. Lauben ragadhatja meg. De tegyük fel, hogy közölni akarja valakivel.

Nem képes közölni olyan gondolatot, amit egyedül csak ő ragadhat meg. Így ha

azt mondja: „engem megsértettek”, az „én” szót olyan értelemben kell használnia,

ami mások számára is felfogható, mintegy ebben az értelemben: „az, aki ebben a

pillanatban hozzátok beszél”, a gondolatkifejezés szolgálatába állítva eközben a

beszédét kísérő körülményeket.4

Itt azonban felvetődik egy kétely. Egyáltalán ugyanaz a gondolat-e, amit előbb

ez, utóbb az az ember mond ki?

A filozófiától érintetlen ember először is olyan dolgokat ismer, amelyeket

láthat, tapinthat, egyszóval érzékeivel észlelhet, mint fákat, köveket, házakat; és

meg van győződve róla, hogy bárki más ugyanúgy láthatja és tapinthatja ugyanazt

a fát, ugyanazt a követ, amelyet ő lát és tapint. A gondolat nyilvánvalóan nem

tartozik e dolgok körébe. Lehetséges-e mégis, hogy ugyanúgy áll szemben az

emberrel, mint egy fa?

A nem filozófus is gyakran rákényszerül, hogy elismerje egy belső világ

létezését, amely különbözik a külvilágtól: az érzéki benyomásoknak, képzelőereje

alkotásainak, az érzeteknek, az érzéseknek és hangulatoknak világát, a vonzalmak,

kívánságok, elhatározások világát. A kifejezés rövidsége kedvéért ezeket, az

elhatározások kivételével, a „képzet” szóval foglalom össze.

4 Nem vagyok itt abban a szerencsés helyzetben, mint az ásványtan tudósa, aki

egy hegyikristályt mutat a hallgatóinak. Nem tudok olvasóimnak kezükbe adni egy

gondolatot, hogy nézzék meg jól minden oldaláról. Meg kell elégednem azzal,

hogy a nem érzékelhető gondolatot az érzékelhető nyelvi formában mutatom be az

olvasónak. Eközben a nyelv képszerűsége nehézségeket támaszt. Az érzéki mindig

beavatkozik, képszerűvé és ezzel nem valódivá téve a kifejezést. Emiatt meg kell

küzdenünk a nyelvvel, és ezért kényszerülök arra, hogy továbbra is foglalkozzam

vele, habár tulajdonképpen nem ez a feladatom. Remélhetőleg sikerült

megvilágítanom az olvasó számára, hogy mit kívánok gondolatnak nevezni.

152

Talán ehhez a belső világhoz tartoznak a gondolatok? Esetleg nem mások, mint

képzetek? Az elhatározásokhoz bizonyosan nem sorolhatók.

Miben különböznek a képzetek a külvilág tárgyaitól? Először:

A képzeteket nem lehet látni, tapintani, nem szagolhatók, nem ízlelhetők, nem

is hallhatók.

Sétálni megyek egy kísérővel. Látok egy zöld rétet; ekkor érzéki benyomásom

van a zöldről. Az utóbbit birtokolom, de nem látom.

Másodszor: A képzeteket birtokoljuk. Vannak érzeteink, érzéseink,

hangulataink, vonzalmaink, kívánságaink. A képzetek kinek-kinek a

tudattartalmához tartoznak.

A rét a békákkal, a Nap, amely rá süt, ott van, akár nézem, akár nem; de az

érzéki benyomásom a zöldről csak általam létezik; én vagyok a hordozója.

Értelmetlennek tűnik hordozó nélküli, a világban önállóan bolyongó fájdalomról,

hangulatról, kívánságról beszélni. Érzet nem lehetséges érző nélkül. A belső világ

előfeltételez valakit, akinek a belső világa.

Harmadszor: A képzetekhez szükség van hordozóra. A külvilág tárgyai ehhez

viszonyítva önállóak.

Kísérőmmel együtt meg vagyunk győződve, hogy mindketten ugyanazt a rétet

látjuk, de külön-külön saját érzéki benyomásunk van a zöldről. Megpillantok a

zöld eperlevelek között egy eperszemet. Kísérőm nem látja ugyanazt, mert

színvak. Az a benyomás, amit az eper színe tesz rá, nem különbözik észrevehetően

a levélszín keltette benyomástól. Vajon kísérőm a zöld levelet látja pirosnak, vagy

a piros eperszemet zöldnek, vagy mindkettőt valami olyan színnek látja, amit én

nem is ismerek? Ezek megválaszolhatatlan, sőt bizonyára értelmetlen kérdések.

Ugyanis ha a „piros” szó nem dolgok tulajdonságát adja meg, hanem a tudatomhoz

tartozó érzéki benyomásokat jellemzi, akkor csak a tudatom határain belül

használható; hiszen lehetetlen az én érzéki benyomásaimat valaki máséval

összevetni. Utóbbihoz szükséges volna, hogy egy érzéki benyomást, amely egy

meghatározott tudathoz tartozik, közös tudatban egyesítsünk egy másikkal, amely

egy másik tudathoz tartozik. Ha egyáltalán lehetséges volna egy tudatból eltüntetni

valamely képzetet, és egyúttal elérni, hogy egy képzet feltűnjék egy másik

tudatban, még akkor is megválaszolhatatlan lenne az a kérdés, hogy a két képzet

ugyanaz-e. Minden egyes képzetem lényegéhez annyira hozzátartozik, hogy

tudatom tartalma, hogy bárki másnak minden képzete épp mint ilyen különbözik

az enyémtől. De nem lehet-e, hogy képzeteim, tudatom egész tartalma egyúttal

egy átfogóbb, mondjuk isteni tudatnak is tartalma? Minden bizonnyal csak úgy, ha

én magam része lennék az isteni lénynek. De akkor tényleg az én képzeteimről

lenne szó? Én lennék a hordozójuk? Ez már olyan mértékben meghaladja az

emberi megismerés határait, hogy az ilyen lehetőséget ajánlatosabb figyelmen

kívül hagyni. Mindenesetre számunkra, emberek számára lehetetlenség mások

képzeteit a sajátunkkal összehasonlítani. Leszakítom az eperszemet és ujjaim közé

veszem. Most már kísérőm is látja, mégpedig ugyanazt az eperszemet; de

mindkettőnknek saját külön képzete van róla. Senki más nem bírhat az én

képzetemmel; de sokan láthatják ugyanazt a dolgot. Az én fájdalmam nem lehet

senki másnak a fájdalma. Lehet, hogy valaki részvétet érez irántam; de akkor is

153

enyém a fájdalom, övé a részvét érzése. Ő nem érzi az én fájdalmamat, és az ő

részvéte nem az enyém.

Negyedszer: Minden képzetnek csak egy hordozója van; két embernek nem

lehet közös képzete.

Különben a képzet fennállhatna függetlenül az egyiktől és függetlenül a

másiktól is. Vajon az a hárs az én képzetem? Amikor ebben a kérdésben az „az a

hárs” kifejezést használom, tulajdonképpen már eleve megadom a választ; mivel

ezzel a kifejezéssel olyasvalamit akarok megjelölni, amit látok, és amit mások is

szemügyre vehetnek és megérinthetnek. Két lehetőség van. Ha elértem a

szándékomat, ha az „az a hárs” kifejezéssel megjelölök valamit, akkor

nyilvánvalóan tagadnunk kell azt a gondolatot, amelyet az „az a hárs az én

képzetem” mondat fejez ki. Ha viszont szándékom kudarcot vallott, ha csak látni

vélek, de valójában nem látok, ha ily módon az „az a hárs” kifejezés üres, akkor

szándéktalanul és akaratlanul a költészet területére tévedtem. Ez esetben sem

annak a mondatnak, hogy „az a hárs az én képzetem”, sem annak a mondatnak,

hogy „az a hárs nem az én képzetem”, nem igaz a tartalma: mert mindkét

kijelentéshez hiányzik a tárgy, amelyről szól. Így csak azt tehetjük, hogy

elutasítjuk a kérdés megválaszolását azzal az indoklással, hogy az „az a hárs az én

képzetem” mondatnak a tartalma kitalálás, költészet. Persze a képzetem valóban

megvan; de az „az a hárs” szavakkal nem erre utalok. Megeshet, hogy valaki az

„az a hárs” szavakkal tényleg az egyik képzetét akarja jelölni; ekkor hordozója

annak, amit szavakkal jelölni akar, de akkor nem látja azt a hársat, és egyetlen más

ember sem láthatja és nem is lehet annak hordozója.

Visszatérek arra a kérdésre, hogy képzet-e a gondolat. Ha azt a gondolatot,

amelyet a Püthagorasz-tétellel kimondok, más is éppúgy igaznak tarthatja, mint én,

akkor nem tartozhat tudatom tartalmához, akkor nem vagyok a hordozója, és

mégis igaznak tarthatom. Ha azonban az a gondolat, amit én a Püthagorasz-tétel

tartalmának tekintek, és az, amit más annak tekint, nem lenne ugyanaz, akkor

tulajdonképpen nem használhatnánk a „Püthagorasz-tétel” kifejezést, hanem csak

azt mondhatnánk, hogy „az én Püthagorasz-tételem”; „az ő Püthagorasz-tétele” és

ezek különbözőek volnának; mivel a jelentés szükségszerűen hozzátartozik a

mondathoz. Így az én gondolatom az én tudatomnak, az övé az ő tudatának

tartalma lenne. Lehetséges volna így, hogy az én Püthagorasz-tételem jelentése

igaz, az övé viszont hamis? Azt állítottam, hogy ha a „piros” szó nem dolgok

tulajdonságát adja meg, hanem néhány érzéki benyomásomat jellemzi, akkor csak

tudatomra vonatkoztatva használható. Hasonlóképpen, ha az „igaz” és „hamis”

szavak, ahogy én értelmezem őket, nem valami olyasmire vonatkoznának,

amelynek nem én vagyok a hordozója, hanem az volna a rendeltetésük, hogy

tudatom tartalmait valamiképpen jellemezzék, akkor csak tudatomat illetően

volnának alkalmazhatóak. Tehát az igazság a tudatomra korlátozódna, és kétséges

maradna, hogy mások tudatában egyáltalán létezik-e valami hasonló.

Ha minden gondolatnak szüksége van hordozóra, akinek tudattartalmához

tartozik, akkor a gondolat csak hordozójának gondolata, és így nem létezhet sokak

számára közös, sokak együttműködésére lehetőséget adó tudomány; hanem nekem

megvan a magam tudománya — mármint gondolatoknak egy olyan összessége,

amelynek én vagyok a hordozója —, másnak pedig szintén megvan a maga

154

tudománya. Mindegyikünk saját tudatának tartalmaival foglalkozik. Így nem lehet

ellentmondás két tudomány között; igazságról vitatkozni pedig hiábavaló, éppoly

hiábavaló, sőt majdnem nevetséges, mint az, amikor két ember úgy vitatkozik egy

százmárkás valódiságáról, hogy közben mindkettő arra a bankjegyre gondol,

amelyik a saját zsebében van, a „valódi” szót pedig a saját egyéni értelmezésük

szerint értik. Ha valaki képzeteknek tartja a gondolatokat, akkor az, amit igaznak

tart, saját véleménye szerint tudatának a tartalma, és így valójában másnak semmi

köze nincs hozzá. És ha tőlem ezt a véleményt hallja, hogy a gondolat nem képzet,

ezt nem tudja elvitatni, mert ehhez meg neki nincs köze.

Látható tehát az eredmény: a gondolatok nem a külvilág dolgai, de nem is

képzetek.

El kell ismernünk egy harmadik tartományt. Ami ehhez tartozik, az megegyezik

a képzetekkel annyiban, hogy érzékileg nem észlelhető, a tárgyakkal pedig

annyiban, hogy nincs szüksége hordozóra, akinek a tudattartalmához tartozzék.

Így pl. a Püthagorasz-tételben kimondott gondolat időtlenül igaz, igaz attól

függetlenül, hogy bárki is igaznak tartja-e. Nincs szüksége hordozóra. Nemcsak

azóta igaz, amióta felfedezték, mint ahogy bármely bolygó is kölcsönhatásban állt

más bolygókkal, még mielőtt bárki is látta volna.5

Hallani vélek azonban egy sajátos ellenvetést. Többször is feltételeztem, hogy

más is megszemlélheti ugyanazt a tárgyat, amit én látok. És ha mindez csak álom?

Ha csak álmodtam azt, hogy valakinek a kíséretében sétáltam, ha álom volt, hogy

a kísérőm éppúgy látta a zöld rétet, mint én, ha mindez csak színjáték volt tudatom

színpadán, akkor kétséges, hogy egyáltalán léteznek-e a külvilág tárgyai.

Lehetséges, hogy a tárgyak világa üres, és én nem látok tárgyakat, éppúgy

embereket sem, hanem talán csak képzeteim vannak, amelyeknek én magam

vagyok hordozójuk. Ha valami éppoly kevéssé létezhet tőlem függetlenül, mint

mondjuk a fáradtságérzetem, ha az a valami képzet, akkor nem lehet ember, nem

szemlélheti velem együtt ugyanazt a rétet, nem láthatja az eperszemet, amit a

kezemben tartok. De teljesen hihetetlen, hogy az egész külvilág helyett, amelyben

hitem szerint mozgok és tevékenykedem, lényegében csak a belső világom

létezzék. De ez elkerülhetetlenül következik abból a tételből, hogy vizsgálódásom

tárgya csak az lehet, ami az én képzetem. Mi következne ebből a tételből, ha igaz

volna? Léteznének-e rajtam kívül emberek? Ez ugyan lehetséges maradna; de

semmit nem tudnék róluk: mert egy ember nem válhat a képzetemmé,

következésképp, ha tételünk igaz volna, nem válhatna vizsgálódásom tárgyává

sem. És ezzel kihúznánk minden olyan gondolatmenet alól a talajt, amely közben

feltételeztem, hogy valami ugyanúgy tárgy lehet valaki más számára, mint az én

számomra; mert még ha így is lenne, nem tudnék róla. Képtelen volnék

megkülönböztetni azt, aminek én vagyok a hordozója, attól, amit nem én

hordozok. Ha úgy ítélnék, hogy valami nem az én képzetem, ezzel gondolkodásom

tárgyává és így képzetemmé tenném. Létezik e felfogás mellett a zöld rét?

5 A tárgyakat látjuk, a képzeteket birtokoljuk, a gondolatokat elgondoljuk vagy

megragadjuk. Amikor valaki megragad vagy elgondol egy gondolatot, akkor nem

alkotja azt, mert a gondolat már előzőleg is létezett, hanem csupán bizonyos, a

tárgyak látásától és a képzetek birtoklásától különböző kapcsolatba lép vele.

155

Lehetséges, hogy igen, de akkor sem látható számomra. Ugyanis, ha egy rét nem

az én képzetem, akkor tételünk szerint nem lehet szemlélődésem tárgya. Ha

azonban a képzetem, akkor nem látható; hiszen a képzetek nem láthatók. Lehet

ugyan, hogy képzetem van égy zöld rétről; de maga a képzet nem zöld; mivel zöld

képzetek nem léteznek. Létezik e nézet szerint l00 kg-os ágyúgolyó? Lehetséges;

de semmit nem tudhatok róla. Ha egy ágyúgolyó nem az én képzetem, akkor a

tétel szerint nem lehet szemlélődésem, gondolkodásom tárgya. Ha viszont egy

ágyúgolyó az én képzetem, akkor nincsen súlya. Lehet képzetem egy súlyos

lövedékről. Ez tartalmazhatja részképzetként a lövedék súlyosságát. Ez a

részképzet azonban éppoly kevéssé tulajdonsága a teljes képzetnek, mint ahogyan

Németország nem tulajdonsága Európának. Következésképp:

Vagy hamis az a tétel, hogy vizsgálódásom tárgya csak az én képzetem lehet;

vagy pedig összes tudásom és ismeretem képzeteim birodalmára, tudatom

színpadára korlátozódik. Az utóbbi esetben csak belső világomról van tudomásom,

és semmit sem tudok más emberekről.

Csodálatra méltó, hogyan csapnak át egymásba ilyen megfontolások közben az

ellentétek. Nézzük pl. az érzékek fiziológiáját. A tudós természetkutató, ahogy ez

hozzá illik, eleinte a legtávolabb áll attól, hogy a saját képzeteinek tartsa azokat a

dolgokat, amelyeket meggyőződése szerint lát és tapint. Épp ellenkezőleg, úgy

gondolja, hogy az érzéki benyomások a leghitelesebb bizonyságai azon

tárgyaknak, amelyek az ő érzéseitől, elképzeléseitől, gondolkodásától függetlenül

léteznek, amelyekhez nincs szükség az ő tudatára. Az idegszálakat, az idegsejteket

olyannyira kevéssé tartja tudata tartalmának, hogy inkább hajlamos, megfordítva,

a saját tudatát az idegszálaktól és idegsejtektől függőnek tekinteni. Megállapítja,

hogy a fénysugarak, a szemlencsében megtörve, a látóidegek végződéseihez

jutnak, és ott változást okoznak, ingerületet keltenek. Az idegszálak ebből valamit

továbbvezetnek az idegsejtekhez. Ezután valószínűleg az idegrendszer további

folyamatai következnek, színérzetek keletkeznek és ezek kapcsolódnak össze azzá,

amit egy fa képzetének nevezhetünk. A fa és képzetem közé fizikai, kémiai,

fiziológiai folyamatok furakodnak. De a tudatommal, úgy látszik, csak

idegrendszerem folyamatai kapcsolódnak össze közvetlenül; és a fa minden

nézőjének sajátos folyamatok játszódnak le az idegrendszerében. Lehetséges, hogy

a fénysugarak, mielőtt a szemembe kerültek, visszaverődtek egy tükörről, és úgy

terjednek tovább, mintha a tükör mögötti helyről indulnának ki. Ekkor a

látóidegekre gyakorolt hatás, és minden, ami erre következik, éppúgy játszódik le,

mintha a fénysugarak egy a tükör mögött levő fáról indultak volna ki és törés

nélkül terjedtek volna tovább a szemig. Így végül létrejön egy olyan fának a

képzete, amely valójában nem is létezik. A fény elhajlása következtében is

létrejöhet olyan képzet a szem és az idegrendszer közvetítésével, ami semminek

sem felel meg, sőt, a látóidegek ingerléséhez még arra sincs szükség, hogy

egyáltalán fényt lássunk. Ha mellettünk lecsap a villám, lángokat vélünk látni,

noha magát a villámot nem láthatjuk. A látóidegeket ilyenkor elektromos áramok

ingerlik, amelyek testünkben a villámcsapás következtében keletkeznek. Ha a

látóideg ezáltal éppúgy ingerlődik, mint ahogy a lángokból kiinduló fénysugarak

ingerelnék, akkor lángokat vélünk látni. Itt a látóidegek ingerlése a lényeg; hogy

hogyan jön ez létre, az közömbös.

156

Továbbmehetünk még egy lépéssel. A látóidegeknek ez az ingerlése

voltaképpen nem közvetlenül adott, hanem csupán föltevés. Úgy gondoljuk, hogy

valami tőlünk független dolog ingerel egy ideget, és ez okozza az érzéki

benyomást; de szigorúan véve csak a folyamat vége, a tudatunkba érkezés az, amit

tapasztalunk. Nem lehetséges-e vajon, hogy az az érzet, az az érzéki benyomás,

amit az idegek ingerlésére vezetünk vissza, más okból is származhat, éppúgy, mint

ahogy ugyanaz az idegi inger különböző módokon keletkezhet? Ha az előbbit

tudatunkba jutó képzetnek nevezzük is, amit tapasztalunk, az tulajdonképpen csak

a képzet, nem a képzet oka. És ha a kutató távol akar tartani magától mindent, ami

csak puszta feltevés, akkor csak a képzetek maradnak számára; minden feloldódik

a képzetekben, még az idegszálak és idegsejtek is, amelyekből a kutató kiindult.

Így végül is saját építményének alapjait ássa alá. Minden képzet? Mindennek

szüksége van hordozóra, aki nélkül nem létezhet? Saját magamat a képzeteim

hordozójának tekintem; de nem vagyok-e vajon magam is képzet? Úgy tűnik

nekem, mintha egy nyugágyban feküdnék, mintha látnék egy pár kifényesített

cipőorrot, egy nadrág elülső oldalát, egy mellényt, gombokat, egy kabát részeit, a

kabátujjakat, két kezet, néhány szálat egy szakállból, elmosódott körvonalakat egy

orrból. Ezeknek a látványoknak az összessége, ez az összképzet volnék én

magam? Olyan érzésem is van, mintha ott egy széket látnék. Ez egy képzet.

Voltaképpen egyáltalán nem különböztetem meg magamat lényegesen tőle; hiszen

nem vagyok-e magam is érzéki benyomások egy összessége, azaz képzet? De

akkor hol van ezeknek a képzeteknek a hordozója? Mi jogon emelek ki egyet ezen

képzetek közül, és teszem meg a többi hordozójává? És ez miért éppen az a

képzet, amelyet én én-nek szoktam nevezni? Nem választhatnám épp ennyi joggal

azt hordozónak, amelyet kísértésben lennék széknek nevezni? De miért szükséges

egyáltalán hordozó a képzetekhez? Egy ilyen hordozó a csupán hordozott

képzetektől lényegesen különböző, önálló, idegen hordozóra nem szoruló valami

lenne. Ha minden képzet, akkor a képzeteknek nincs hordozójuk. És itt ismét

tapasztaljuk az átcsapást az ellenkezőjébe. Ha a képzeteknek nincs hordozójuk,

úgy képzetek nem léteznek; mivel a képzeteknek szükségük van olyan hordozóra,

aki nélkül nem létezhetnek. Ha nincs uralkodó, nincsenek alattvalók sem. Ha nincs

többé hordozó, akkor eltűnik az érzeteknek az az önállótlansága, amelyet, az

érzővel szembeállítva, elismerni kényszerültem. Tehát amiket képzeteknek

neveztem, azok önálló tárgyak. Minden alap hiányzik ahhoz, hogy külön helyzetet

biztosítsak annak a tárgynak, amelyet én-nek nevezek.

De lehetséges-e ez? Lehetséges-e tapasztalat tapasztaló nélkül? Mivé válna ez

az egész színjáték néző nélkül? Létezhet-e fájdalom anélkül, hogy lenne valaki,

akinek fáj? A fájdalomhoz szükségszerűen hozzátartozik, hogy érzik, ha pedig

érzik, ebből adódik, hogy van, aki érzi. De akkor van valami, ami nem az én

képzetem, és mégis vizsgálódásom tárgya, éspedig én magam ilyen vagyok. Vagy

lehetséges az, hogy része vagyok tudatom tartalmának, egyéb részek, mondjuk a

Hold képzete mellett? Erről van-e szó, amikor úgy ítélem, hogy a Holdat

vizsgálom? Akkor az említett első résznek lenne tudata, és ennek a tudatnak egy

része újból én lennék. És így tovább. De elképzelhetetlen, hogy a végtelenségig

saját magamba legyek beskatulyázva; mert akkor nem egy énem lenne, hanem

végtelen sok. Nem vagyok a saját képzetem, és ha valamit megállapítok

157

magamról, pl. azt, hogy pillanatnyilag semmi fájdalmat nem érzek, akkor ez az

ítélet olyan tárgyra — nevezetesen énrám — vonatkozik, ami nem a tudatom

tartalma, nem a képzetem. Tehát az, amiről kijelentek valamit, nem szükségképpen

az én képzetem. A következő ellenvetés lehetséges: ha azt gondolom, hogy

pillanatnyilag semmi fájdalmat nem érzek, nem felel-e meg tudatomban valami az

„én” szónak? De, ez lehetséges. Az „én” szó képzetével összekapcsolódhat a

tudatomban egy bizonyos képzet. De akkor az egy képzet a többi képzet mellett,

én pedig éppúgy hordozója vagyok, mint többi képzetemnek. Van képzetem

magamról, de én nem vagyok azonos ezzel a képzettel. Éles különbséget kell tenni

aközött, ami a tudatom tartalma, ami a képzetem, és aközött, ami a

gondolkodásom tárgya. Tehát hamis az a tétel, miszerint csak az lehet

vizsgálódásom, gondolkodásom tárgya, ami tudatom tartalmához tartozik.

Ezzel szabaddá vált az út ahhoz, hogy más embereket is elismerhessek képzetek

önálló hordozójának. Van róluk képzetem; de azt nem cserélem össze az

emberekkel. És ha valamit kijelentek a fivéremről, akkor nem a fivéremről alkotott

képzetemről jelentek ki valamit.

Ha egy betegnek fájdalma van, hordozója ennek a fájdalomnak; de az őt kezelő

orvos, aki a fájdalom okát kutatja, nem hordozója annak. Nem hiszi azt, hogy

enyhítheti a beteg fájdalmát azzal, ha saját magát érzésteleníti. Az orvos agyában a

beteg fájdalmának megfelelhet egy képzet, de az nem a fájdalom, és nem az,

aminek a megszüntetésén az orvos fáradozik. Az orvos konzultálhat egy másik

orvossal. Ez esetben meg kell különböztetni először a fájdalmat, amelynek a beteg

a hordozója, másodszor az első orvos képzetét erről a fájdalomról, harmadszor a

második orvos képzetét a fájdalomról. Az utóbbi képzet hozzátartozik ugyan a

második orvos tudatának tartalmához, de nem tárgya megfontolásainak, bár lehet a

megfontolás segédeszköze, mint ahogy egy rajz is lehet ilyen segédeszköz.

Mindkét orvos gondolkodásának közös tárgya a beteg fájdalma, aminek egyikük

sem hordozója. Ebből látható, hogy az emberek gondolkodásának közös tárgya

nemcsak dolog lehet, hanem olyan képzet is, ami nem az ő képzetük.

Így válik szerintem érthetővé a dolog. Ha az ember nem tudna elgondolni és

gondolkodása tárgyává tenni olyan dolgot, aminek nem ő a hordozója, akkor belső

világa ugyan lehetne, de nem létezne számára külvilág. De nem lehetséges, hogy

az utóbbi tévedésen nyugszik? Meggyőződésem, hogy annak a képzetnek, amelyet

a „fivérem” szóhoz kapcsolok, megfelel valami, ami nem az én képzetem, és

amiről állíthatok valamit. De nem tévedhetek-e ebben? Ilyen tévedések

előfordulnak. Ez esetben szándékunk ellenére a költészet területére tévedünk.

Valóban! Azzal a lépéssel, amellyel meghódítom magam számára a külvilágot,

kiteszem magamat a tévedés veszélyének is. És itt egy újabb különbségbe

ütközöm, amely belső világom és a külvilág között fennáll. Az, hogy benyomásom

szerint zöldet látok, nem lehet számomra kétséges; de hogy hársfalevelet látok-e,

az nem olyan biztos. A széles körben elterjedt nézetekkel szemben tehát a belső

világ tekintetében bizonyosságot nyerhetünk, míg a külvilágba tett kirándulásaink

alkalmával sosem szabadulhatunk meg teljesen a kételyektől. Ennek ellenére sok

esetben az utóbbi területen is oly kevéssé különbözik a valószínűség a

bizonyosságtól, hogy vehetjük magunknak a bátorságot a külvilágról való

158

ítéléshez. És mernünk is kell ezt, a tévedés veszélyének ellenére, ha nem akarjuk

sokkal nagyobb veszélyeknek kitenni magunkat.

Az utóbbi vizsgálódások eredményeképpen a következőket állítom: Nem

minden képzet, ami megismerésem tárgya lehet. Én magam, mint képzetek

hordozója, nem vagyok magam is képzet. Semmi sem áll hát útjában annak, hogy

más embereket is, magamhoz hasonlóan, képzetek hordozójaként ismerjek el. És

ha egyszer adott ez a lehetőség, a valószínűség igen nagy, olyannyira, hogy

felfogásom szerint nem is különbözik a bizonyosságtól. Létezne különben

történettudomány? Nem volna különben tárgytalan minden erkölcstan, minden

jog? Mi maradna a vallásból? A természettudományokat sem lehetne másnak

értékelni, mint kitalálásnak, hasonlóan az asztrológiához és az alkímiához. Tehát

lényegében semmit nem vesztenek érvényükből azok a meggondolások, amelyeket

arra a feltevésre építettem, hogy léteznek rajtam kívül emberek, akik vizsgálatuk

tárgyává tehetik ugyanazon tárgyakat, amelyeket én.

Nem minden képzet. Ezért elismerhetem, hogy a gondolatok tőlem függetlenül

léteznek, és más emberek is éppúgy megragadhatják őket, mint én. Elismerhetem

olyan tudomány létezését, amelyet sokan kutathatnak. Nem vagyunk hordozói

gondolatainknak olyan értelemben, ahogyan képzeteinknek hordozói vagyunk.

Nem bírjuk a gondolatot, mint az érzéki benyomást; de nem is látjuk, mint a

csillagokat. Ezért tanácsos, hogy e célra külön kifejezést válasszunk, és ilyenként

kínálkozik a „megragadás”. A gondolatok megragadásának6 sajátos lelki képesség

felel meg, a gondolkodóerő. A gondolkodás során nem alkotjuk, hanem

megragadjuk a gondolatokat. Ugyanis amit gondolatnak neveztem, a legszorosabb

összefüggésben áll az igazsággal. Amit igaznak ismerek el, arról úgy ítélem, hogy

igaz, teljesen függetlenül attól, hogy elismerem az igazságát, függetlenül attól is,

hogy gondolok-e rá. Egy gondolat igazságához nem tartozik hozzá, hogy valaki

elgondolja. „Tényeket! Tényeket! Tényeket!” — sürget a természetkutató, ha a

tudomány biztos megalapozásának szükségességére akarja felhívni a figyelmet. De

mi a tény? A tény olyan gondolat, amely igaz. De a természetkutató biztosan nem

fog a tudomány szilárd alapjának elismerni olyasmit, ami az emberek változó

tudatállapotától függ. A tudomány feladata az igaz gondolatok megragadásában,

nem pedig azok megalkotásában áll. A csillagász egy matematikai igazság

alkalmazásával rég lezajlott eseményeket kutathat, amelyek akkor játszódtak le,

amikor legalábbis a földön még senki sem ismerte föl azt az igazságot. Teheti,

mert a gondolat igazsága időtlen. Tehát az az igazság nem a fölfedezésekor

keletkezett.

Nem minden képzet. Különben a pszichológia magában foglalna minden

tudományt, vagy legalábbis minden tudomány legfőbb bírája lenne. Különben a

pszichológia uralkodna a logika és a matematika felett is. Ám a matematika

végletes félreismerése lenne, ha a pszichológia alá rendelnénk. Sem a logikának,

sem a matematikának nem feladata, hogy a lelket kutassa, vagy olyan

6 A „megragadás” kifejezés éppúgy képletes, mint a „tudattartalom”. A nyelv

lényege nem engedi másképpen. Amit a kezemben tartok, azt tekinthetem a kezem

tartalmának, de egészen más értelemben tartalma kezemnek, és sokkal idegenebb

tőle, mint a kezemet alkotó csontok és izmok és az őket összetartó erők.

159

tudattartalmakat, amelyeknek az egyes ember a hordozója. Talán inkább azt lehet

feladatukul állítani, hogy a szellemet kutassák, a szellemet, nem pedig az egyes

szellemeket.

A gondolatok megragadása előfeltételez egy megragadót, egy gondolkodót. Ez

utóbbi akkor hordozója a gondolkodásnak, de nem a gondolatnak. Habár a

gondolat nem tartozik hozzá a gondolkodó tudatának tartalmához, a tudatban

mégis irányulnia kell valaminek a gondolatra. Ezt azonban nem szabad a

gondolattal magával összecserélni. Az Algol csillag is különbözik attól a

képzettől, amelyet valaki róla alkotott.

A gondolat nem tartozik sem belső világomhoz, mint a képzetek, sem a

külvilághoz, az érzékileg észlelhető dolgok világához.

Ezt az eredményt, bármilyen kényszerítően adódik is az eddigiekből, talán nem

fogják ellenállás nélkül elfogadni. Gondolom, sokan lehetetlennek tartják, hogy

valamiről, ami nem tartozik belső világukhoz, másképp is tudomást

szerezhessenek, mint érzéki észlelés útján. Valóban, ami nem tartozik belső

világunkhoz, arra nézve sokan a legbiztosabb, sőt az egyetlen ismeretforrásként az

érzéki észlelést ismerik el. De milyen alapon? Hiszen az érzéki észleléshez

szükségképpen hozzátartozik alkotórészként az érzéki benyomás, ez pedig a belső

világ része. Két ember érzéki benyomása semmi esetre sem lehet ugyanaz, még ha

hasonlók lehetnek is. Ezek magukban nem nyitják meg számunkra a külvilágot.

Talán van olyan lény is, akinek csak érzéki benyomásai vannak, anélkül, hogy

tárgyakat látna vagy tapintana. A látásbenyomás bírása még nem valaminek a

látása. Honnan van, hogy azt a fát éppen ott látom, ahol látom? Ennek nyilván

látás útján szerzett benyomás az alapja, éspedig látásomnak az a sajátsága, hogy

két szemmel látok. Mindkét recehártyán, fizikai értelemben véve, külön kép

keletkezik. Másvalaki ugyanazon a helyen látja a fát. Őneki is mindkét

recehártyáján keletkezik a kép, de ezek különböznek az enyéimtől. Föl kell

tételeznünk, hogy ezek a képek a recehártyákon meghatározzák benyomásainkat.

Ezek szerint látás útján nyert benyomásaink nemcsak hogy nem ugyanazok,

hanem észrevehetően különbözőek. És mégis ugyanabban a külvilágban mozgunk.

A látásbenyomások bírása szükséges ugyan a dolgok látásához, de nem elegendő.

Ami még hiányzik, az nem érzéki. És éppen ez az, aminek révén a külvilág feltárul

számunkra; mert enélkül a nem érzéki nélkül mindenki bezárva maradna a saját

belső világába. Mivel a döntő éppen a nem érzéki, azért valamely nem érzéki ott is

kivezethet belső világunkból, ahol érzéki benyomások egyáltalán nem hatnak, és

lehetővé teheti a gondolatok megragadását. Belső világunkon kívül meg kell

különböztetnünk az érzékileg észlelhető dolgok külvilágát és azon dolgok

birodalmát, amelyek az érzékekkel nem észlelhetőek. Mindkét birodalom

felismeréséhez szükségünk van valamire, ami nem érzéki; de amikor érzékileg

észlelünk tárgyakat, ezenkívül még érzéki benyomásokra is szükségünk van, és

ezek teljesen a belső világhoz tartoznak. Amiben eltér tehát az a mód, ahogyan egy

gondolat, illetve egy tárgy adott számunkra, ez a különbség olyasvalaminek

tulajdonítható, ami nem tartozik egyik birodalomhoz sem, hanem belső világunk

része. Ezért ezt a különbséget nem találom olyan nagynak, ami lehetetlenné tenné,

hogy a belső világunkhoz nem tartozó gondolatok adottak legyenek számunkra.

160

A gondolat persze nem olyasvalami, amit valósnak szokás nevezni. A valós

világa olyan világ, amelyben egyik dolog hat a másikra, változtat, maga is

ellenhatást szenved és ezáltal változik. Mindez időbeli történés. Nehezen ismerjük

el valósnak azt, ami időtlen és változhatatlan. Változhat-e a gondolat, avagy

időtlen? Az a gondolat, amit a Püthagorasz-tételben mondunk ki, minden

bizonnyal időtlen, örök, változhatatlan. De nincsenek-e olyan gondolatok, amelyek

ma igazak, fél év múlva viszont hamisak lesznek? Pl. az a gondolat, hogy ott

annak a fának zöld lombja van, fél év múlva bizonyára hamis lesz. Nem; mert nem

ugyanaz a gondolat lesz. Az „ott annak a fának zöld lombja van” szósor

önmagában nem elég a kifejezéséhez, hiszen a beszéd ideje is hozzátartozik. Az

ezzel adott időmeghatározás nélkül nem fejeztünk ki teljes gondolatot, azaz

egyáltalán semmilyen gondolatot sem. Csak az időmeghatározással kiegészített és

minden tekintetben teljes mondat fejez ki gondolatot. Utóbbi azonban,

amennyiben igaz, nemcsak ma vagy holnap, hanem időtlenül igaz. Tehát egy

mondat igazságának állítása jelen időben nem a beszélő jelenére utal, hanem, ha

elfogadjuk ezt a kifejezést, az időtlenség ideje. Ha az „igaz” szó elkerülése

céljából csak a kijelentő mondat formáját használjuk, meg kell különböztetnünk

két dolgot: a gondolat kifejezését és az állítását. Az időmeghatározás, amelyet a

mondat esetleg tartalmaz, csak a gondolat kifejezéséhez tartozik hozzá, az igazság

azonban, amelynek elismerését a kijelentő mondat formája hordozza magában,

időtlen. Ugyanaz a szósor más jelentést vehet föl a nyelv időbeli változása

következtében s így más gondolatot fog kifejezni; de a változás a nyelvet illeti.

És mégis! Milyen értéke lehet számunkra az örökre változhatatlannak, ha nem

hathat rá semmi, sem pedig ránk nem lehet hatással? Ami teljesen és minden

tekintetben hatás nélküli, az egyáltalán nem valóságos és nem létezik számunkra.

Még az időtlennek is össze kell fonódnia valahogy az időbeliséggel, amennyiben

valami számunkra létező. Mi volna számomra egy gondolat, ha sohasem tudnám

megragadni! De azáltal, hogy megragadok egy gondolatot, kapcsolatba lépek vele,

az pedig velem. Lehetséges, hogy azt a gondolatot, amit ma elgondolok, tegnap

nem gondoltam el. Ez mindenesetre megszünteti a gondolat szigorú időtlenségét.

De hajlamosak vagyunk különbséget tenni lényeges és lényegtelen tulajdonságok

között, és időtlennek tekinteni valamit, ha azok a változások amelyeket

elszenvedhet, csak a lényegtelen tulajdonságait érintik. Egy gondolat olyan

tulajdonságát pedig, ami abban áll vagy abból következik, hogy valaki

megragadja, lényegtelennek tekinthetjük.

Hogyan hat egy gondolat? Azáltal, hogy valaki megragadja és igaznak tartja.

Ez olyan folyamat, ami egy gondolkodó belső világában játszódik le, és további

következményekkel járhat erre a belső világra nézve, befolyásolhatja a szándékok

területét és így a külvilág számára is észlelhetővé válhat. Ha pl. megragadom azt a

gondolatot, amelyet a Püthagorasz-tételben mondunk ki, ennek az lehet a

következménye, hogy igaznak ismerem el, továbbá az is, hogy alkalmazom

tömegek gyorsítására vonatkozó elhatározásom kialakításakor. Tetteinket így

készíti elő rendszerint a gondolkodás és az ítélés. És így gyakorolhatnak közvetett

hatást a gondolatok a fizikai tömegek mozgására. Emberek egymásra gyakorolt

hatását többnyire gondolatok közvetítik. Valaki közöl egy gondolatot. Hogyan

történik ez? Az illető változásokat okoz a közös külvilágban, amelyeket a másik

161

észlelhet, s ennek következtében megragadhat és igaznak ismerhet el egy

gondolatot. Megtörténhettek volna-e a világtörténelem nagy eseményei másképp,

mint gondolatok közlése révén? Mégis hajlamosak vagyunk arra, hogy a

gondolatokat ne tekintsük valósnak, mert a folyamatok közben nem tevékenyek:

minden, amit tenni kell — a gondolkodás, az ítélés, a kimondás, a megértés —, az

ember dolga. Mennyire más folyamat egy kalapács átnyújtása, mint egy gondolat

közlése! A kalapács átkerül valakinek a kezéből a másikéba, megfogják, ezáltal

nyomást szenved, következésképp sűrűsége, részeinek elhelyezkedése kissé

megváltozik. A gondolattal mindebből semmi sem történik meg. A gondolat a

közlés során nem kerül el a közlő birtokából; mivel alapjában véve az ember nem

is birtokolja. Amikor a gondolatot megragadja valaki, az először csak a megragadó

belső világában okoz változásokat; a gondolat maga azonban, lényegét tekintve,

ettől érintetlen marad, az elszenvedett változások csak lényegtelen tulajdonságait

érintik. Itt hiányzik az, amit a természeti eseményekben mindig felismerhetünk: a

kölcsönhatás. Nem igaz az, hogy a gondolatok egyáltalán nem valósak, de valós

voltuk egészen más jellegű, mint a tárgyaké. Hatásukat a gondolkodó

tevékenysége váltja ki, amely nélkül, legalábbis úgy tűnik, hatástalanok lennének.

És mégsem a gondolkodó alkotja őket, hanem olyanoknak kell vennie, amilyenek.

Igazak lehetnek anélkül, hogy bármely gondolkodó megragadná őket, és akkor

sem teljesen hatástalanok, legalábbis annyiban nem, hogy lehetséges

megragadásuk és hatásossá tételük.

162

VIII

LOGIKAI VIZSGÁLÓDÁSOK

MÁSODIK RÉSZ:A TAGADÁS

(1918)

Az eldöntendő kérdés mindig felszólítást tartalmaz arra, hogy valamely

gondolatot vagy ismerjünk el mint igazat, vagy vessünk el mint hamisat. Ahhoz,

hogy ennek a felszólításnak megfelelően eleget lehessen tenni, meg kell követelni,

hogy a kérdés szavaiból kétséget kizáróan felismerhető legyen a szóban forgó

gondolat, továbbá, hogy ez a gondolat ne a költészethez tartozzék. A

következőkben mindig fölteszem, hogy ezek a kikötések teljesülnek. A válasz,

amit egy kérdésre1 adunk, mindig valamilyen állítás, amely egy ítélet alapját

képezi, éspedig akár ha igennel, akár ha nemmel válaszolunk.

Itt azonban fölbukkan egy kétely. Ha a gondolat léte annyi, mint igaz volta,

akkor a „hamis gondolat” éppúgy ellentmondásos kifejezés, mint a „nemlétező

gondolat”: ez esetben „az a gondolat, hogy három nagyobb mint öt” üres kifejezés

és így a tudományban egyáltalán nem használható, legföljebb idézőjelek között.

Nem mondhatjuk: „hamis az, hogy három nagyobb mint öt”, mert a nyelvtani

alany üres.

De azt mégiscsak meg lehet kérdezni, hogy valami igaz-e? A kérdésben meg

kell különböztetnünk az ítélésre való felszólítást attól a különös tartalomtól,

amelyről ítélnünk kell A következőkben ezt a különös tartalmat egyszerűen a

kérdés tartalmának, vagy a megfelelő kérdő mondat jelentésének fogom nevezni.

Ha egy gondolat léte annyi, mint igaz volta, van-e a

„Nagyobb-e három ötnél?”

kérdő mondatnak jelentése? A kérdés tartalma ez esetben nem lehet gondolat, és

arra kell hajlanunk, hogy a kérdő mondatnak egyáltalán nincs jelentése. De ez csak

azért van így, mert rögtön felismertük a hamisságot. Van-e jelentése a

„Nagyobb-e 21

20

100

, mint 102110 ?”

kérdő mondatnak? Ha valaki kideríti, hogy a válasz igenlő, akkor a kérdő

mondatot jelentéssel bírónak fogadhatja el, mert egy gondolat a jelentése. De mi a

1 Ha „kérdés”-t írok, itt és a következőkben mindig eldöntendő kérdésre

gondolok.

163

helyzet, ha a válasz tagadó? Föltevésünk szerint ekkor a jelentés nem lehet

gondolat. De valamilyen jelentésének mégis kell lennie, ha a kérdő mondat

egyáltalán kérdést tartalmaz. Hiszen valamit kérdezünk vele, és választ várunk rá.

Így tehát a választól függ, hogy elfogadunk-e a kérdés tartalmaként egy

gondolatot. De a kérdő mondat jelentésének már a megválaszolás előtt

felfoghatónak kell lennie, mert különben a megválaszolás egyáltalán nem volna

lehetséges. Tehát az, ami a kérdés megválaszolása előtt felfogható, mint a kérdő

mondat jelentése — és valójában csak ezt lehet a kérdő mondat jelentésének

nevezni —, nem lehet gondolat, ha egy gondolat léte annyi, mint igaz volta. De

nem igazság-e az, hogy a Nap nagyobb, mint a Hold? És egy igazság léte nem

annyi-e, mint igaz volta? Elismerhetünk-e hát a

„Nagyobb-e a Nap, mint a Hold?”

kérdő mondat jelentéseként egy igazságot, egy gondolatot, amelynek létezése

annyi, mint igaz volta. Nem! Egy kérdő mondat jelentéséhez nem tartozhat hozzá

igaz volta. Ez ellentmondana a kérdés lényegének. A kérdés tartalma az, amit meg

kell ítélnünk. Ezért a kérdés tartalmához nem tartozhat hozzá az igazsága. Ha

felteszem azt a kérdést, hogy nagyobb-e a Nap mint a Hold, ezzel elismerem, hogy

a

„Nagyobb-e a Nap mint a Hold?”

kérdő mondatnak van jelentése. Ha ez a jelentés egy gondolat volna, amelynek léte

annyi, mint igaz volta, akkor egyúttal elismerném ennek a jelentésnek az igaz

voltát is. Így a jelentés felfogása egyúttal már ítélés, a kérdés kimondása egyúttal

állítás, azaz a kérdés megválaszolása lenne. De a kérdő mondat nem állíthatja a

jelentéséről sem azt, hogy igaz, sem azt, hogy hamis. Ezért a kérdő mondat

jelentése nem lehet olyasvalami, aminek léte annyi, mint igaz volta. A kérdés

lényege megköveteli, hogy a jelentés felfogását elválasszuk az ítéléstől. És mivel

egy kérdő mondat jelentése mindig benne rejlik abban a kijelentő mondatban is,

amellyel választ adunk a kérdésre, ezt a szétválasztást a kijelentő mondatban is

végre kell hajtanunk. Így jutunk oda, hogy mit értünk a „gondolat” szón.

Mindenképp szükséges valamilyen rövid megnevezés arra, ami egy kérdő

mondatjelentése lehet. Én ezt gondolatnak nevezem. Ilyen szóhasználat mellett

nem minden gondolat igaz. Egy gondolat léte tehát nem annyi, mint igaz volta.

A 2. bekezdéstől mostanáig Frege a következő kérdést vizsgálta: Tartható-e az a nézet, hogy egy

gondolat léte annyi, mint igaz volta? Ha igen, akkor az eldöntendő kérdés tartalma, a kérdő mondat

jelentése nem lehet gondolat. De a kérdő mondat jelentése (legalább részként) a válaszban is benne

rejlik. Ez indokolja, hogy a kérdő mondat jelentését (is) gondolatnak minősítse. Így el kell

ismernie, hogy nem minden gondolat igaz. A föltett kérdésre tehát a válasz elutasító. -- A

'gondolat' szó itt ugyanazon speciális fregei értelemben szerepel, mint az első részben. Ha ott még

nyitott kérdésnek tűnhetett, hogy a „harmadik tartomány”, a gondolatok világa, csak az igaz

gondolatokat -- a tényeket -- foglalja-e magában, vagy pedig a hamisakat is, itt egyértelművé válik,

hogy e tartomány a hamis gondolatokat (az „antitényeket”) is magában foglalja. A mondat

jelentésének objektíve létező entitásként való elismerése így vezet e különös, platonista jellegű

konstrukcióhoz. (Vö. a [VII] tanulmányhoz fűzött kommentárral a 000. oldalon.

164

El kell ismernünk, hogy vannak ilyen értelemben vett gondolatok, mert a

tudományos munkában szükségünk van kérdésekre; mivel a kutatónak időnként

meg kell elégednie a kérdés föltevésével, amíg meg nem tudja válaszolni. Amikor

felteszi a kérdést, megragad egy gondolatot. Tehát így is mondhatom: a kutatónak

időnként meg kell elégednie egy gondolat megragadásával. Ez mindenesetre már

egy lépés a cél felé, ha még nem is ítélés. Tehát létezniök kell gondolatoknak az

általam megadott értelemben. A tudományban megvan a létjogosultságuk az olyan

gondolatoknak is, amelyek esetleg később hamisnak bizonyulnak; nem szabad

ezeket nemlétezőkként kezelni. Gondoljunk az indirekt bizonyításra. Itt az igazság

felismerése éppen úgy megy végbe, hogy megragadunk egy hamis gondolatot. A

tanár ezt mondja: „Tegyük fel, hogy a nem egyenlő b-vel.” A kezdő rögtön ezt

gondolja: „Micsoda értelmetlenség! Hiszen látom, hogy a egyenlő b-vel.”

Összetéveszti a mondat értelmetlenségét a benne kifejeződő gondolat

hamisságával.

Hamis gondolatból persze semmire nem lehet következtetni; de a hamis

gondolat része lehet egy igaznak, amelyből már lehet következtetéseket levonni.

Azt a gondolatot, amelyet a következő mondat tartalmaz:

„Ha a vádlott a cselekmény időpontjában Rómában volt, akkor nem követte el a

gyilkosságot”2

igaznak tarthatja valaki, aki sem azt nem tudja, hogy a vádlott Rómában volt-e a

cselekmény időpontjában, sem azt, hogy elkövette-e a gyilkosságot. Amikor az

egész gondolatot igaznak állítjuk, akkor a benne tartalmazott két részgondolat

közül sem a feltételt, sem a következményt nem mondjuk ki állító erővel.

A „ha p, akkor q” szerkezetű összetett mondat — a mai logikai szóhasználat szerint —

kondicionálist vagy feltételes állítást fejez ki, melynek p az előtagja és q az utótagja, föltéve hogy

p és q önálló állítást kifejező mondatok. A tradicionális logikában az ‘előtag’ helyett a ‘feltétel’, az

‘utótag’ helyett a ‘következmény’ kifejezéseket használták (némileg összekeverve ezzel a feltételes

állítás fogalmát a logikai következményrelációval). Itt Frege is e kifejezéseket (az eredetiben

természetesen a német megfelelőiket) használja.

Ez esetben csak egyetlen ítéléssel, viszont három gondolattal van dolgunk, ti. az

egésszel, a feltétellel és a következménnyel. Ha a részmondatok valamelyike

értelmetlen lenne, úgy értelmetlen lenne az egész is. Ebből felismerhető, miben

különbözik az, hogy egy mondat értelmetlen, attól, hogy hamis gondolatot fejez ki.

A feltételből és következményből álló mondatokra érvényes az a törvény, hogy az

igazság megsértése nélkül következménnyé tehetjük a feltétel ellenkezőjét,

egyúttal feltétellé téve a következmény ellenkezőjét. Az angolok ezt az átmenetet

contrapositionnak nevezik.

E törvény szerint a következő mondatról:

2 Itt fel kell tételeznünk, hogy a puszta szósor nem tartalmazza teljes egészében

a gondolatot, hanem a gondolat teljessé tételéhez szükséges kiegészítést azon

körülményekből kell vennünk, amelyek között kimondták.

165

„Ha 21

20

100

nagyobb, mint 102110 , akkor

21

20

1000

nagyobb, mint 1021”,

áttérhetünk erre:

„Ha 21

20

1000

nem nagyobb, mint 1021 , akkor

21

20

100

nem nagyobb, mint 102110 ”.

Ilyen átmenetekre pedig szükségünk van, mert az indirekt bizonyítások másképp

nem volnának lehetségesek.

Az itt hivatkozott kontrapozíció törvény, tömören, a következő: Ha p és q komplett állítások, és

„non-p”, ill. „non-q” jelöli p, ill. q negációját, akkor a „ha p, akkor q” és „ha non-q, akkor non-p”

összetett állítások mindig megegyező igazságértékűek (vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő

hamis).

Ha tehát az első összetett gondolat feltétele — azaz hogy 21

20

100

nagyobb,

mint 102110 — igaz, akkor a második összetett gondolat következménye — azaz

hogy21

20

100

nem nagyobb, mint 102110 — hamis. Tehát aki elismeri, hogy

megengedhető volt áttérésünk a modus ponensről a modus tollensre, annak el kell

ismernie létezőként egy hamis gondolatot is; hiszen különben vagy csak a

következmény maradna meg a modus ponensből, vagy csak a feltétel a modus

tollensből, de még ezek közül is az egyik, mint nemlétező, elesne.

Elutasítva a hamis gondolat létét, p hamissága esetén „ha p, akkor q”-ból csak q maradna meg, p

igazsága esetén pedig az előbbivel egyenértékű „ha non-q, akkor non-p”-ből csak „non-q” maradna

meg; de a két maradék (q és „non-q”) egyike is elesik, hiszen egyikük garantáltan hamis. Modus

ponens: következtetés p-bó1 és „ha p, akkor q”-ból q-ra. Modus tollens: ugyanez, fölcserélve a

második premisszát a kontraponáltjával („ha non-q, akkor non-p”-vel).

Egy gondolat létezésén azt is érthetjük, hogy ugyanaz a gondolat különböző

gondolkodók számára megragadható. Ekkor egy gondolat nemlétezése annyit

jelentene, hogy a mondathoz több gondolkodó mindegyike saját, külön jelentést

kapcsolna, mely saját külön tudatának tartalma lenne, s így a mondatnak nem

volna közös, többek számára megragadható jelentése. Vajon ebben az értelemben

nemlétező-e egy hamis gondolat? Ha igen, úgy azok a kutatók, akik megvitatták

egymás közt, hogy a szarvasmarha-gümőkór átvihető-e az emberre, és végül is

megegyeztek abban, hogy ez az átvihetőség nem áll fönn, olyan helyzetben

lennének, mint azok, akik beszélgetésükben az „ez a szivárvány” kifejezést

használták, majd belátták, hogy ezekkel a szavakkal nem jelöltek semmit, mert

mindegyikük olyan jelenségre gondolt, amelynek ő maga volt a hordozója. Az

említett kutatók úgy tűnnének föl, mint akiket becsapott egy hamis látszat, mert az

166

derülne ki, hogy az a föltevés, amely mellett vitájuknak értelme lett volna, nem

teljesült; a megtárgyalt kérdésnek nem lett volna olyan jelentése, amely közös

számukra.

E bekezdésben Frege amellett érvel, hogy a hamis gondolatokat akkor is létezőkként kell

elfogadnunk, ha a gondolat létén a sokak számára való felfoghatóságát értjük. Frege ebben és a

megelőző tanulmányban olyan álláspontot fejt ki, mely szerint a gondolatoknak — melyek az

igazság és a hamisság hordozói, s így a logika alapvető tárgyai — platóni értelemben vett, azaz

mindenfajta szubjektumtól független objektivitása van. Kortársai között is eléggé elterjedt volt az a

nézet, hogy a logika tárgyai nem szubjektív, pszichikus természetűek, de objektivitásuk pusztán

interszubjektivitást jelent; emellett érvelt Frege egyik mestere, Hermann Lotze, és ez volt a

jellemző álláspont annak az — újkantiánus irányzatú — folyóiratnak a körében is, ahol a Logikai

vizsgálódások megjelentek. Ezért tarthatta Frege szükségesnek felhívni a figyelmet arra, hogy fenti

érvelésének érvényessége nem függ az említett nézetkülönbségtől.Az érvelés alább még

folytatódik.

Lehetséges tehát olyan kérdés, amelyre az igazságnak megfelelően a válasz

tagadó. Az ilyen kérdés tartalma, szóhasználatom szerint, egy gondolat.

Lehetségesnek kell lennie, hogy több hallgató egyazon kérdésnek ugyanazon

jelentését fogja fel, és azt hamisnak ismerje el. Az esküdtbíróság balga intézmény

volna, ha nem lehetne feltételezni, hogy a feltett kérdést mindegyik esküdt

ugyanúgy érti. Ezek szerint a kérdő mondat jelentése olyasvalami, ami akkor is

többek számára felfogható, ha a kérdésre tagadó választ kell adni.

Mi következne még abból, ha egy gondolat igaz volta annyiban állna, hogy

többek számára megragadható, ezzel szemben egy olyan mondatnak, amely valami

hamisat fejez ki, nem volna többek számára közös jelentése?

Ha egy gondolat igaz, és olyan gondolatokból áll össze, amelyek valamelyike

hamis, az egész gondolat azonosan felfogható volna ugyan többek számára, a

hamis részgondolat azonban nem. Ilyen eset előfordulhat.

Ti. olyan eset, amikor az igaz gondolat valamely része hamis, azaz amikor egy igazságot kifejező

összetett mondat valamely részmondata hamis állítást fejez ki. Példát nyomban mond Frege.

Így pl. joggal állíthatja valaki egy esküdtszék előtt: „Ha a vádlott a cselekmény

időpontjában Rómában volt, akkor nem követte el a gyilkosságot”, miközben

hamis lehet az, hogy a vádlott a cselekmény időpontjában Rómában volt. Ez

esetben az esküdtek ezt a mondatot hallva: „Ha a vádlott a cselekmény

időpontjában Rómában volt, akkor nem követte el a gyilkosságot” — ugyanazt a

gondolatot ragadhatnák meg, habár a feltételmondathoz mindegyikük saját, egyéni

jelentést kapcsolna. Lehetséges ez? Lehet az, hogy egy gondolatnak, amely

azonosként áll szemben minden esküdttel, valamely alkotórésze nem közös

számukra? Ha az egész nem szorul hordozóra, egyik része sem szorulhat rá.

Ezek szerint a hamis gondolat nem nemlétező gondolat, akkor sem, ha

valaminek a létezésén azt értjük, hogy nem szorul hordozóra. Olykor, ha nem is

igaznak, de nélkülözhetetlennek kell elismernünk hamis gondolatokat; először

mint a kérdő mondatok jelentését, másodszor mint a feltételes

gondolatkapcsolatok alkotórészét, harmadszor a tagadás esetében. Lehetségesnek

167

kell lennie, hogy tagadjak egy hamis gondolatot, de hogy erre képes legyek,

szükségem van rá. Ami nincs, azt nem tudom tagadni. És aminek szüksége van

rám, mint hordozójára, azt azzal, hogy tagadom, nem változtathatom át olyanná,

aminek nem vagyok hordozója, és ami többek számára azonosként felfogható.

Talán egy gondolat tagadását úgy kellene felfognunk, mint a gondolat

alkotórészeire való felbontását? Az esküdtek a nekik feltett kérdésben kifejezett

gondolat állapotán semmit nem változtathatnak egy tagadó ítélettel. A gondolat

igaz vagy hamis, teljesen függetlenül attól, hogy ők helyesen ítélnek-e. És akkor is

gondolat, ha hamis. Ha az esküdtek ítélete után nincs jelen semmiféle gondolat,

hanem csak gondolattörmelékek, akkor ez az állapot állt fönn már megelőzőleg is;

a látszólagos kérdéssel nem gondolatokat, hanem csak gondolattörmelékeket

terjesztettek eléjük; semmi olyannal nem volt dolguk, amit megítélhettek volna.

Ítélésünkkel semmit nem változtathatunk a gondolat állapotán. Csak azt

ismerhetjük el, ami van. Egy igaz gondolatnak semmiben nem árthatunk azzal,

hogy ítélünk. A mondatba, amely kifejezi, beiktathatunk egy „nem”-et, és így

olyan mondatot kaphatunk, amely, mint kifejtettük, nem álgondolatot tartalmaz,

hanem teljes létjogosultsággal szerepelhet feltételként vagy következményként

egy hipotetikus mondatkapcsolatban. Csak nem szabad állító erővel kimondani,

mivel hamis. Az első gondolatot azonban ez az eljárás teljesen érintetlenül hagyja.

Ugyanúgy igaz marad, mint előzetesen.

Árthatunk-e egy hamis gondolatnak azzal, hogy tagadjuk? Ugyancsak nem;

mert a hamis gondolat mindig gondolat marad, és előfordulhat valamely igaz

gondolat részeként. Ha a

„3 nagyobb mint 5”

állító erő nélkül kimondott mondatba, melynek jelentése hamis, betoldunk egy

„nem”-et, azt kapjuk, hogy

„3 nem nagyobb mint 5”,

s ez egy állító erővel kimondható mondat. Itt sehol semmi nem vehető észre a

gondolat valamiféle felbontásából, részeinek elválasztásából.

Hogyan lehetne tehát felbontani egy gondolatot? Hogyan lehetne szétszakítani

részeinek összefüggését? A gondolatok világának megvan a képmása a mondatok,

kifejezések, szavak, jelek világában. A gondolat felépítésének megfelel a mondat

felépítése szavakból, és itt a sorrend általában nem közömbös. A gondolat

felbontása, szétrombolása eszerint mintegy megfelelője lesz a szavak olyan

szétszakításának, mint amikor egy papírra írt mondatot úgy vágunk szét, hogy a

papírszeletek mindegyikén egy gondolatrész kifejezése álljon. Ezek a szeletek

aztán tetszés szerint összekeverhetők, vagy szétviheti őket a szél. Az összefüggés

felbomlott, az eredeti elrendezés többé nem ismerhető fel. Ez történik, ha tagadunk

egy gondolatot? Nem! A gondolat, in effigie [képletesen], kétségkívül túlélné ezt a

kivégzését is. De csak a „nem” szót csúsztatjuk be a szavak egyébként változatlan

sorrendjébe.

168

A magyarban néha a szórend is módosulást szenved. Pl. „A főnök bent van” tagadása: „A főnök

nincs bent.”

Az eredeti szórend még felismerhető, az elrendezést nem szabad önkényesen

megváltoztatni. Ez vajon felbontás, szétválasztás? Ellenkezőleg! Az eredmény

szilárdan összekapcsolt épület.

A duplex negatio affirmat [a kettős tagadás állít] törvény vizsgálatából

különösen világosan felismerhető, hogy a tagadásnak nincs elválasztó, felbontó

hatása. Az

„A Schneekoppe magasabb, mint a Brocken”

mondatból indulok ki. Egy „nem” becsúsztatásával ezt kapom:

„A Schneekoppe nem magasabb, mint a Brocken”.

Mindkét mondatot állító erő nélkül kell kimondanunk. Egy második tagadás ezt a

mondatot eredményezné:

„Nem igaz, hogy a Schneekoppe nem magasabb, mint a Brocken”.

Már tudjuk: az első tagadástól nem bomolhat föl a mondat; de tegyük föl mégis

most az egyszer, hogy az első tagadás után csak gondolattörmelékeink maradtak.

Ez esetben fel kellene tételeznünk, hogy a második tagadás törmelékeinket újra

egybekapcsolja. A tagadás tehát olyan kardhoz hasonlítana, amely vissza is tudja

forrasztani helyükre a lemetszett tagokat. De akkor a legnagyobb elővigyázatosság

volna ajánlatos. A gondolatrészek ugyanis az első tagadás következtében teljesen

elveszítették minden összefüggésüket és kapcsolatukat. Ezért a tagadás gyógyító

erejének vigyázatlan alkalmazásával könnyen a következő mondatot kaphatnánk:

„A Brocken magasabb, mint a Schneekoppe”.

Ami nem gondolat, az akkor sem lesz az, ha tagadjuk, mint ahogy semmi nem

veszti el gondolatvoltát attól, hogy tagadjuk.

Ha egy mondat az állítmányban tartalmazza a „nem” szót, akkor is kifejezhet

olyan gondolatot, amely kérdés tartalmává tehető, és a kérdés, mint minden

eldöntendő kérdés, nyitva hagyja a döntést a válasz felől.

Milyen tárgyak választódhatnának el tehát a tagadás révén? Mondatrészek nem;

gondolatrészek ugyancsak nem. A külvilág dolgai? Azok keveset törődnek a mi

tagadásunkkal. Képzetek a tagadó belső világában? De honnan tudná az esküdt,

hogy adott körülmények között mely képzeteit kell szétválasztania? A kérdés, amit

feltettek neki, nem jelöli ki egyiket sem. Kelthet benne képzeteket. De azok a

képzetek, amelyeket az esküdtek belső világában kelt, különbözőek. És ez esetben

minden esküdt saját külön szétválasztását foganatosítaná saját külön világában, ez

pedig nem lenne ítélet.

169

Tehát úgy tűnik, nem lehet megmondani, hogy tulajdonképpen mi az, amit a

tagadás felbont, szétdarabol vagy elválaszt.

A tagadás szétválasztó, felbontó erejében való hittel áll kapcsolatban az is,

hogy egy tagadó gondolatot kevésbé tartanak használhatónak, mint egy állítót. De

azért mégsem lehet teljesen haszontalannak tartani. Vizsgáljuk meg ezt a

következtetést:

„Ha a vádlott a gyilkosság időpontjában nem volt Berlinben, nem követte el a

gyilkosságot; mármost a vádlott a gyilkosság időpontjában nem volt Berlinben;

tehát nem követte el a gyilkosságot”

és hasonlítsuk össze az alábbi következtetéssel:

„Ha a vádlott a gyilkosság időpontjában Rómában volt, nem követte el a

gyilkosságot; mármost a vádlott a gyilkosság időpontjában Rómában volt; tehát

nem követte el a gyilkosságot.”

A két következtetés formája megegyezik, és a legcsekélyebb tárgyi alap sincs arra,

hogy annak a következtetési törvénynek a kifejezésében, amely itt alapul szolgál,

különbséget tegyünk tagadó és állító premisszák között. Szokás beszélni állító és

tagadó ítéletekről. Kant is ezt teszi. Az én kifejezésmódomra lefordítva, állító és

tagadó gondolatokat különböztetnek meg. Ez a megkülönböztetés a logika

számára legalábbis teljesen szükségtelen, okát a logikán kívül kell keresni. Nem

ismerek egyetlen olyan logikai törvényt sem, amelynek megfogalmazásához

szükséges, vagy akárcsak előnyös volna ezen elnevezések használata.3 Minden

tudományban, amelyben egyáltalán szó lehet törvényszerűségről, fel kell tenni a

kérdést: Mely szakkifejezések szükségesek vagy legalább hasznosak e tudomány

törvényeinek pontos kifejezéséhez? Ami ezt a vizsgálatot nem állja ki, az káros.

Ehhez járul még, hogy egyáltalán nem könnyű megadni, mi is egy tagadó ítélet

(egy tagadó gondolat). Vizsgáljuk meg a „Krisztus halhatatlan”, „Krisztus örökké

él”, „Krisztus nem halhatatlan”, „Krisztus halandó”, „Krisztus nem él örökké”

mondatokat. Vajon melyik itt az állító, melyik a tagadó gondolat?

Hozzászoktunk ahhoz a föltételezéshez, hogy a tagadás akkor terjed ki az egész

gondolatra, ha a „nem” az állítmány igei részéhez kapcsolódik. De a tagadószó

néha az alany részét képezi, mint az „egyetlen ember sem lesz idősebb száz

évesnél” mondatban.

Itt a magyarban a tagadást két szó fejezi ki: „egyetlen… sem”'. A németben e helyett egyetlen szó

(„Keine”) szerepel.

3 Ezért A gondolat c. dolgozatomban [VII] nem is használtam a „tagadó

gondolat” kifejezést. Tagadó és állító gondolatok megkülönböztetése csak

összezavarta volna a kérdést. Sehol nem adódott volna alkalom arra, hogy valamit

kimondjunk az állító gondolatokról és kizárjuk belőle a tagadóakat, vagy valamit

kimondjunk a tagadóakból és kizárjuk belőle az állítóakat.

170

Rejtőzhet valahol tagadás egy mondatban anélkül, hogy a gondolat ezáltal

egyértelműen tagadóvá válna. Látható, milyen bonyodalmas kérdésekhez vezethet

a „tagadó ítélet” (tagadó gondolat) kifejezés. Elmecsillogtató, de lényegében

terméketlen végtelen vitákat eredményezhet. Ezért én amellett vagyok, hogy

mindaddig, amíg nincs olyan ismertetőjelünk, melynek segítségével minden

esetben biztonsággal meg tudjuk különböztetni a tagadó ítéletet az állítótól,

hagyjuk békében az állító és a tagadó ítéletek vagy gondolatok

megkülönböztetését. Hogy miféle haszon remélhető ettől a megkülönböztetéstől,

azt is csak akkor tudhatjuk meg, ha már lesz ilyen ismertetőjelünk. Én egyelőre

még abban is kételkedem, hogy az előbbi sikerülhetne. A nyelvből nem vehetünk

ilyen ismertetőjelet, mivel a nyelvek logikai kérdésekben megbízhatatlanok.

Rámutatni azokra a csapdákra, melyeket a nyelv állít a gondolkodónak: ez a

logikusoknak nem is a legkisebb feladatai közé tartozik.

Ha már megcáfoltunk valamilyen tévedést, hasznos lehet felkutatni eredetének

forrásait. Úgy látom, az egyik ilyen forrás az az igény, hogy definiáljuk a

fölhasznált fogalmakat. Az a törekvés, hogy lehetőség szerint világossá tegyük a

kifejezéshez kapcsolódó jelentést, nyilván dicséretre méltó. De közben nem szabad

elfelejtenünk, hogy nem lehet mindent definiálni. Ha valami olyat akarunk

meghatározni, ami lényege szerint nem definiálható, könnyen megragadhatunk

lényegtelen, mellékes kérdéseknél, és ezzel már eleve vakvágányra vezethetjük a

vizsgálatot. Így jártak jó néhányan, akik meg akarták határozni, hogy mi is egy

ítélet, amennyiben az összetettség kérdéséhez tévedtek.4 Az ítélet részekből

tevődik össze, melyeknek bizonyos rendje, összefüggése van. De van-e olyan

egész, amelyre ez nem áll?

4 Az élet szóhasználatának bizonyára akkor felelünk meg legjobban, ha egy

ítéleten az ítélés egyszeri megtételét értjük, mint ahogy egy ugrás az ugrás

egyszeri megtétele. Így felfogva a nehézség lényege persze feloldatlan marad; csak

most az „ítélés” szóban rejlik. Ítélni, mondhatjuk továbbá, annyi, mint valamit

igaznak elismerni. Amit igaznak ismerünk el, az csak egy gondolat lehet. Az

eredeti probléma ezzel megoszlik; egyik része a „gondolat”, másik része az „igaz”

szóban rejlik. ltt bizonyára meg kell állnunk. Arra, hogy nem lehet a végtelenségig

mindent definiálni, már eleve felkészülhettünk.

Ha az ítélet cselekedet, úgy egy meghatározott időben történik, és utána a

múlthoz tartozik. Egy cselekedethez cselekvő is tartozik, és amíg a cselekvőt nem

ismerjük, nem ismerjük teljes egészében a cselekedetet sem. Így nem lehet a

szokásos értelemben véve szintetikus ítéletről beszélni. Ha azt, hogy két pont

között csak egy egyenest lehet húzni, szintetikus ítéletnek mondjuk, akkor

„ítéleten” nem valami cselekedetet értünk, amit egy bizonyos ember bizonyos

időben végrehajtott, hanem valami olyat, ami időtlenül igaz, akkor is, ha igazságát

egyetlen ember sem ismeri föl. Ha ezt igazságnak nevezzük, akkor „szintetikus

ítélet” helyett talán helyesebb „szintetikus igazságot” mondanunk. Ha mégis a

„szintetikus ítélet” kifejezést részesítjük előnyben, akkor el kell tekintenünk az

„ítélni” ige jelentésétől.

171

Ehhez kapcsolódik egy másik hiba, ti. az a vélekedés, hogy a részek

összefüggését, rendjét az ítélő alkotja meg, és ezáltal hozza létre az ítéletet. Itt a

gondolat megragadását nem különítik el igazságának elismerésétől. Ezek a

tevékenységek sok esetben valóban közvetlenül követik egymást, s így látszatra

egyetlen aktusba ötvöződnek; de ez nem mindig van így. Egy gondolat

megragadását több éves fáradságos kutatás választhatja el igazságának

elismerésétől. Nyilvánvaló, hogy nem ez az ítélés alkotja meg a gondolatot, a

részek összefüggését, mivel az már előzőleg is megvolt. De a gondolat

megragadása sem azonos a gondolat megalkotásával, részei elrendezettségének

megteremtésével; mert a gondolat már megelőzőleg igaz volt, tehát részeinek

rendje már megragadása előtt fennállt. Ahogyan a hegységen áthaladó vándor e

tettével nem teremtője a hegységnek, ugyanígy az ítélő sem alkotja meg a

gondolatot azzal, hogy igaznak ismeri el. Ha ezt tenné, nem volna lehetséges, hogy

ugyanazt a gondolatot ma ez, holnap az ismerje el igaznak; még ugyanaz a

személy se tudná ugyanazt a gondolatot különböző időpontokban igaznak

elfogadni, föl kellene tételeznünk tehát, hogy a gondolat létezése megszakított.

Ha lehetséges volna, hogy azt, amit az ítélésben igaznak ismerünk el, maga az

ítélés alkotja meg azáltal, hogy létrehozza az összefüggést, a részek

elrendezettségét, akkor a megsemmisítés lehetősége is nyilvánvaló volna. A

tagadás látszat szerint ugyanúgy áll szemben az ítéléssel, mint ahogyan a rombolás

ellentéte a felépítésnek, a rend és az összefüggés létrehozásának; így könnyen

ahhoz a feltevéshez jutunk, hogy ahogyan az ítélés felépít, ugyanúgy a tagadás

révén megvalósul az összefüggések szétszakítása. Így az ítélés és a tagadás

ellentétes pólusok alkotta párnak látszik, melynek tagjai egyenrangúak, akár a

kémiában az oxidáció és a redukció. Ha azonban beláttuk, hogy az ítélés nem

teremt összefüggést, mert a gondolat részeinek elrendezettsége már az ítélés előtt

fennállt, akkor az egész más megvilágításba kerül. Újra és újra rá kell mutatnunk,

hogy egy gondolat megragadása még nem ítélés; hogy egy gondolatot ki lehet

fejezni mondatban anélkül, hogy igaznak állítanánk; hogy a mondat állítmánya

tartalmazhat tagadószót, melynek jelentése része a mondat jelentésének, része egy

gondolatnak; hogy ha „nem”-et kapcsolunk egy állító erő nélkül szánt mondat

állítmányához, a kapott mondat ugyanúgy gondolatot fejez ki, mint az eredeti. Ha

mármost egy gondolatról az ellentétesre való ilyen átmenetet nevezzük

tagadásnak, akkor ez a tagadás nem egyenrangú az ítéléssel, és egyáltalán nem

fogható föl azzal ellentétes pólusként. Ugyanis az ítéléskor mindig az igazságról

van szó, ezzel szemben egy gondolatról az ellentétesre áttérhetünk anélkül is, hogy

fölvetnénk az igazság kérdését. A félreértés kizárása érdekében tegyük még hozzá,

hogy bár ez az átmenet egy gondolkodó személy tudatában zajlik le, ám az a

gondolat, amelyről áttér, és az is, amelyre áttér, már az áttérés előtt létezett, tehát

ez a szellemi folyamat semmit nem változtat a gondolatok létezésén és egymáshoz

való viszonyán.

Az a tagadás, amely az ítélés ellenpólusaként tengeti kérdéses létét, talán olyan

kimérikus képződmény, amely az ítélésből és azon tagadásból nőtt össze, amelyet

én a gondolat lehetséges részének ismerek el, és amelynek a nyelvben a „nem” szó

mint az állítmány alkotórésze felelne meg; azért kimérikus, mert ez a két rész

teljesen különböző nemű. Ugyanis az ítélés mint szellemi folyamat hordozóra

172

szorul: az ítélőre; viszont a tagadás mint a gondolat alkotórésze éppúgy nem szorul

hordozóra, mint maga a gondolat; nem fogható fel tudattartalomként. Mégsem

teljesen érthetetlen, hogyan keletkezhet egy ilyen kimérikus alakzatnak legalább a

látszata. A nyelvnek ugyanis nincs külön szava, külön jele az állító erőre, hanem

az a kijelentő mondat formájában, s különösen az állítmányban fejeződik ki.

Másfelől a „nem” szó oly szoros kapcsolatban áll az állítmánnyal, hogy részének

tekinthető. Ez azt a látszatot keltheti, mintha a „nem” szó és az állító erő között,

mely utóbbi nyelvileg az ítélésnek felel meg, kapcsolat képződne.

De a tagadás két fajtájának megkülönböztetése kellemetlen. Az ítélés

ellenpólusát csupán azért vezettem be, hogy alkalmazkodjam egy számomra

idegen felfogáshoz. Ezek után visszatérek eredeti kifejezésmódomhoz. Amit

átmenetileg az ítélés ellenpólusának neveztem, azt most az ítélés második

módjának fogom tekinteni, anélkül, hogy elismerném ilyen második mód létezését.

Az előző két bekezdésben Frege megkülönbözteti (1) a tagadás azon felfogását, amely szerint a

tagadás az ítélés ellenpólusa (ezt elutasítja), és (2) a tagadást mint egy összetett gondolat

alkatrészét. A továbbiakban a tagadást kizárólag a (2) értelemben használja. Az (1) értelemben vett

tagadást az ítélés második (mondhatnánk: negatív) módjának fogja nevezni (de természetesen ezen

a néven is elutasítja).

Tehát a pólust és az ellenpólust az „ítélés” közös névvel foglalom egybe; ez

megtehető, hiszen pólus és ellenpólus összetartoznak. Ezek után így lehet feltenni

a kérdést:

Van-e az ítélésnek két különböző módja, melyek közül az egyiket akkor

használjuk, ha igenlő, a másikat akkor, ha tagadó választ adunk egy kérdésre?

Avagy az ítélés ugyanaz mindkét esetben? Az ítéléshez tartozik-e a tagadás? Vagy

a tagadás annak a gondolatnak a része, amely az ítélés alapjául szolgál? Vajon az

ítélés akkor is egy gondolat igazságának elismerése-e, amikor valamely kérdésre

tagadó választ adunk? Ha igen, akkor ez a gondolat nem az, amelyet a kérdés

közvetlenül tartalmaz, hanem annak az ellentéte.

Legyen pl. a kérdés ez: „Szándékosan gyújtotta-e föl a házát a vádlott?”

Hogyan hangzik a tagadó válasz mint kijelentő mondat? Ha létezik külön ítélési

mód a tagadás esetére, akkor lennie kell ennek megfelelő külön

kijelentésformának is. Mondjuk, ilyen esetben ezt mondom: „hamis az, hogy…”,

és leszögezem, hogy ez mindig állító erőhöz kötődik. Ezek után a válasz

ilyenformán hangzik: „Hamis az, hogy a vádlott szándékosan gyújtotta föl a

házát”. Ha viszont az ítélésnek csak egyetlen módja létezik, akkor ezt fogjuk

mondani állító erővel: „A vádlott nem szándékosan gyújtotta föl a házát.” Így

viszont azt a gondolatot állítjuk igaznak, amely ellentétes a kérdésben kifejezettel.

A „nem” szó itt ennek a gondolatnak a kifejezéséhez tartozik. Emlékeztetni

kívánok arra a két következtetésre, amelyeket a megelőzőkben összehasonlítottam

egymással. Az első következtetés második premisszája a „Berlinben volt-e a

vádlott a gyilkosság időpontjában?” kérdésre adott tagadó válasz volt, éspedig

azon esetnek megfelelő formában, amelyben az ítélésnek csak egy módja van. A

benne tartalmazott gondolatot az első premissza feltétele is tartalmazza, de állító

erő nélkül kimondva. A második következtetés második premisszája a „Rómában

173

volt-e a vádlott a gyilkosság időpontjában?” kérdésre adott igenlő válasz volt.

Ezek a következtetések egyazon következtetési szabályon alapulnak, és ez jól

egybehangzik azzal a véleménnyel, hogy akár tagadó, akár igenlő választ adunk

valamely kérdésre, az ítélés ugyanaz. Ha viszont a tagadás esetén az ítélés külön

módját kellene elismernünk, és ennek a szavak és mondatok világában külön

kijelentésforma felelne meg, másképp állna a dolog. Az első következtetés első

premisszája ugyanúgy hangzana mint eddig: „Ha a vádlott a gyilkosság

időpontjában nem volt Berlinben, akkor nem követte el a gyilkosságot.”

Itt nem mondhatnánk azt, hogy „Ha hamis az, hogy a vádlott a gyilkosság

időpontjában Berlinben volt”; mivel leszögeztük, hogy a „Hamis az, hogy” szavak

mindig állító erőhöz kötődnek; ezen első premissza igazságának elismerésével

azonban sem a benne foglalt feltételt, sem a következményt nem ismerjük el

igaznak. Ezzel szemben a második premisszának így kell hangzania: „Hamis az,

hogy a vádlott a gyilkosság időpontjában Berlinben volt”; mert ezt mint

premisszát állító erővel kell kimondanunk. Ezek után a következtetés nem

végezhető el úgy, mint korábban, mert a második premissza gondolata nem azonos

az első premissza feltételének gondolatával, hanem e helyett az a gondolat, hogy a

vádlott a gyilkosság időpontjában Berlinben volt.

A példa áttekinthetőbbé tétele érdekében rögzítsük a két premisszát:

(1) Ha a vádlott a gyilkosság időpontjában nem volt Berlinben, akkor nem követte el a

gyilkosságot.

(2) Hamis az, hogy a vádlott a gyilkosság időpontjában Berlinben volt.

Az (1) premissza előtagja (föltétele) a következő:

(3) A vádlott a gyilkosság időpontjában nem volt Berlinben.

Ez nem más, mint a következő állítás negációja:

(4) A vádlott a gyilkosság időpontjában Berlinben volt.

A következő konklúzióhoz szeretnénk eljutni:

(5) A vádlott nem követte el a gyilkosságot.

A modus ponens szerint (1) és (3) elfogadása kötelez (5) elfogadására. A (2) prémissza azonban

nem (3)-nak az elfogadása, hanem (4) elutasítása (ha elismerjük az ítélés második -- negatív --

módjának létezését). Így az (1) és a (2) premisszából a modus ponens révén nem kapjuk meg az (5)

alatti konklúziót, s még kevésbé ezt: „Hamis az, hogy a vádlott követte el a gyilkosságot”. Külön

szabályt kell bevezetni arra az esetre, amikor valamelyik premissza negatív ítélést fejez ki. Ez

fölösleges, ha lemondunk az ítélés negatív formájáról. Erről igyekszik meggyőzni Frege példája.

Ha mégis érvényben akarjuk hagyni a következtetést, ezzel elismerjük, hogy a

második premissza tartalmazza azt a gondolatot, miszerint a vádlott a gyilkosság

időpontjában nem volt Berlinben. Ily módon a tagadást elválasztjuk az ítéléstől,

kiemeljük a „Hamis az, hogy…” jelentéséből, és egyesítjük a gondolattal.

Így tehát elvethetjük azt a feltevést, miszerint az ítélésnek két különböző módja

lenne. De vajon milyen következményei vannak ennek a döntésnek? Amennyiben

nem jár megtakarítással a logikai alapelemekben és nyelvi megfelelőikben, akár

174

értéktelennek is tarthatnánk. Ha föltételezzük, hogy az ítélésnek két különböző

módja van, a következők szükségesek:

1. az állító erő az igenlés esetében,

2. az állító erő a tagadás esetében, mondjuk a „hamis” szóval való

felbonthatatlan kapcsolatban,

3. az állító erő nélkül kimondott mondatokban olyasféle tagadószó, mint a

„nem”.

Ha azonban az ítélésnek csak egyetlenegy módját tételezzük föl, akkor csak

1. az állító erő és

2. tagadószó szükséges.

Az ilyen megtakarítás mindig az elemzés továbbfolytatására és az így nyert

világosabb belátásra utal. Ezzel függ össze egy következtetési szabály

megtakarítása. Ott, ahol döntésünk szerint egy is elegendő, másképp kettőre lenne

szükség. Ha elegendő az ítélés egy módja, akkor be is kell érnünk ennyivel, és

nem tekinthetjük az ítélés egyik módját a rend és az összefüggés

megteremtésének, a másikat pedig a szétrombolásának.

Ezek szerint minden gondolathoz tartozik egy neki ellentmondó5 gondolat oly

módon, hogy ha az ellentmondót igaznak ismerjük el, ezzel az eredeti gondolatot

hamisnak nyilvánítjuk. Az ellentmondó gondolatot kifejező mondatot az eredeti

gondolat kifejezéséből valamely tagadószó segítségével képezzük.

Gyakran úgy látszik, mintha a tagadószó vagy tagadó szótag szorosabban

kapcsolódna valamely mondatrészhez, pl. az állítmányhoz. Innen származhat az a

vélekedés, hogy nem az egész mondatnak, hanem csupán ezen mondatrésznek a

tartalmát tagadjuk. Mondhatunk ismeretlennek egy férfit, és így hamisnak

nyilváníthatjuk azt a gondolatot, hogy az illető ismerős. Ez fölfogható tagadó

válaszként az „Ismerős-e ez a férfi?” kérdésre, s ebből látható, hogy ezzel nem

csak egy szó jelentését tagadjuk. Helytelen azt mondani, hogy „mivel a tagadó

szótag egy mondatrészhez kapcsolódik, nem az egész mondat jelentését tagadjuk.”

Ellenkezőleg: azzal, hogy a tagadó szótag egy mondatrészhez kapcsolódik, az

egész mondat tartalmát tagadjuk. Azaz: így keletkezik olyan mondat, amelynek

gondolata ellentmond az eredeti mondaténak.

Ezzel nem vitatjuk azt, hogy a tagadás néha a teljes gondolatnak csak egy

részére terjed ki.

Pl. összetett mondatban. Így a nemrég tárgyalt példában: „Ha a vádlott a gyilkosság időpontjában

nem volt Berlinben, akkor nem követte el a gyilkosságot.” Itt egyik tagadószó sem vonatkozik a

teljes föltételes állításra, hanem pl. az első csak az előtagban szereplő „A vádlott a gyilkosság

időpontjában Berlinben volt” mondat tartalmát tagadja.

Adott gondolatnak ellentmondó gondolat egy olyan mondat jelentése, amely

könnyen előállítható az előbbit kifejező mondatból. Ennek megfelelően az a

gondolat, amely ellentmond valamely gondolatnak, úgy jelenik meg, mint ami az

utóbbiból és a tagadásból tevődik össze. De itt tagadáson nem a tagadási

tevékenységet értem. Az „összetett”, „áll valamiből”, „alkotórész”, „rész” szavak

5 Azt is mondhatjuk: „ellentétes”.

175

könnyen csábíthatnak helytelen felfogásra. Ha itt részekről szólunk is, azok nem

olyan önállóak egymáshoz képest, mint azt egyébként valamely egésznek a

részeitől megszoktuk. Ugyanis a gondolatnak semmilyen kiegészítésre nincs

szüksége ahhoz, hogy fennálljon, mert önmagában teljes. Ezzel szemben a

tagadáshoz szükséges egy gondolat, mint kiegészítés.

A tagadószót tartalmazó mondat (Frege szerint) olyan gondolatot fejez ki, amely két részból

összetettnek fogható fel. Az egyik rész egy teljes, önálló gondolat, a másik rész a tagadás (a fregei

értelemben), amely nem gondolat, hanem „kiegészítésre szoruló” gondolat-alkatrész (ezt fejezi ki a

tagadószó). A tagadást, ezt a kiegészítésre szoruló gondolat-alkatrészt, egy teljes gondolattal

kiegészítve, eredményül teljes gondolatot nyerünk, amely nem más, mint a kiegészítő gondolatnak

ellentmondó gondolat.

A két alkotórész, ha használni akarjuk ezt a kifejezést, egészen különböző típusú,

és teljesen eltérő módon járul hozzá az egész képzéséhez. A gondolat kiegészít; a

tagadás kiegészül. És e kiegészülés tartja egyben az egészet. A kiegészítésre

szorulást nyelvileg is felismerhetővé tehetjük ezzel az írással: „…-nak a tagadása”,

vagy „annak a tagadása, (hogy)…”. A „tagadása” előtt (ill. után) a kipontozás

jelzi, hová kell a kiegészítő részt behelyettesíteni. Ugyanis a mondatok és

mondatrészek világában van valami hasonlatos megfelelője a gondolatok és

gondolatrészek világában levő kiegészítésnek. […]

A kihagyott mondatban Frege a tagadási sémában szereplő grammatikai birtokviszonynak a

német nyelvben való kétféle kifejezési formájáról szól.

A következő példa talán érthetőbbé teszi, mire gondolok.

Annak a gondolatnak,

hogy 21

20

100

egyenlő 102110 -vel,

az a gondolat mond ellent,

hogy 21

20

100

nem egyenlő 102110 -vel.

Ezt így is mondhatjuk:

„Az a gondolat,

hogy 21

20

100

nem egyenlő 102110 -vel,

azon gondolatnak a tagadása,

176

hogy 21

20

100

egyenlő 102110 -vel.”

Az utóbbi kifejezés — az ‘azon’-tól kezdve — felismerhetővé teszi, hogy a

gondolat egy kiegészítésre szoruló részből és egy azt kiegészítőből tevődik össze.

A következőkben a „tagadás” szót — esetleges idézőjeles előfordulásától

eltekintve — mindig határozott névelővel fogom használni. Az „a” határozott

névelő az

„azon gondolatnak a tagadása, hogy 3 nagyobb, mint 5”

kifejezésben felismerhetővé teszi, hogy ez a kifejezés meghatározott egyedi dolgot

hivatott megjelölni. Ez az egyedi itt egy gondolat. A határozott névelő az egész

kifejezést egyedi dolog nevévé, tulajdonnév megfelelőjévé teszi.

Egy gondolatnak egy és csak egy tagadása van; ezért pl. „Püthagorasz tételének (a) tagadása” egy

gondolat határozott leírása, logikailag individuumnév, szemben pl. a „Püthagorasz tételének egy

bizonyítása” kifejezéssel, amely nem individuumnév (az említett tételnek több bizonyítása is van).

A magyarban, a birtokos szerkezetre tekintettel, a határozott névelő szerepeltetése nem kötelező.

Tehát egy gondolatnak a tagadása maga is gondolat, és így ismét a tagadás

kiegészítéséül szolgálhat. Amennyiben a tagadás kiegészítéséül használom annak

a gondolatnak a tagadását, hogy 21

20

100

egyenlő 102110 -vel, megkapom azon

gondolat tagadásának a tagadását,hogy 21

20

100

egyenlő 102110 -vel. Ez újra egy

gondolat. Az így képzett gondolatok kifejezését az

„A tagadásának a tagadása”

minta szerint kapjuk, ahol „A” egy gondolat kifejezését képviseli. Egy ilyen

kifejezés elgondolható először is a

„…-nak a tagadása”

és az

„A tagadása”

részek összetételeként. De lehetséges az a felfogás is, hogy a

„… tagadásának a tagadása”

és „A”

részekből tevődik össze.

177

Itt a kifejezés középső részét először a tőle jobbra levővel egyesítettem, és amit

így nyertem, azt egyesítettem a tőle balra levő „A”-val, míg eredetileg a középső

részt egyesítettem A-val és az így kapott

„A tagadása”

kifejezést a tőle jobbra levővel. A kifejezés két különböző felfogásának a

kifejezett gondolat felépítésének két különböző felfogása felel meg.

Hasonlítsuk össze ezt a két kifejezést:

„A ‘21

20

100

egyenlő 102110 -vel’ mondattal kifejezett gondolat tagadásának a

tagadása.”

„Az ‘5 nagyobb mint 3’ mondattal kifejezett gondolat tagadásának a tagadása.”

Fölismerhetjük bennük a

„… tagadásának a tagadása”

közös alkotórészt, amely a kiegészítésre szoruló közös gondolatrész kifejezője. Ezt

mindkét esetben egy-egy gondolattal egészítettük ki, az első esetben azzal, hogy

21

20

100

egyenlő 102110 -vel, a másodikban azzal a gondolattal, hogy 5 nagyobb,

mint 3. A kiegészítés eredménye mindkét esetben egy-egy gondolat. A

kiegészítésre szoruló közös alkotórészt kettős tagadásnak nevezhetjük. Ez a példa

mutatja, hogyan olvadhat össze valami, ami kiegészítésre szorul, egy kiegészítésre

szorulóval olyanná, ami ugyancsak kiegészítésre szorul. Itt az a sajátos helyzet,

hogy valami — „… a tagadása” — saját magával olvad össze. Az érzékelhető

dolgok területéről vett képek most mindenesetre csődöt mondanak; mivel egy test

nem tud összeolvadni saját magával úgy, hogy ebből valami tőle különböző

keletkezzék. De a testek között nincsenek is a fenti értelemben kiegészítésre

szorulók. Összerakhatunk viszont egybevágó testeket, és most a kifejezések

tartományában is egybevágósággal van dolgunk. Egybevágó kifejezéseknek

azonban a jelöltek tartományában ugyanaz felel meg.

Képletes kifejezések, elővigyázatosan használva, mindenesetre valamelyest

hozzájárulhatnak a dolog megvilágításához. Hasonlítsuk a kiegészítésre szorulót

egy lepelhez, amely, mint mondjuk egy kabát, önmagában nem áll meg, hanem

szükséges hozzá valami, amit befed. A befedett magára vehet egy további leplet is,

pl. egy köpenyt. A két lepel egy lepellé egyesül. Ez esetben kétféle felfogás

lehetséges. Mondhatjuk, hogy azt, aki a kabátot viseli, még egy második lepel, egy

köpeny is fedi, vagy azt, hogy két lepelből — köpenyből és kabátból — álló

összetett öltözete van. Ezek a felfogások teljesen egyenrangúak. A járulékos lepel

mindig egyesül a már meglevővel egy újjá. Közben persze soha nem szabad

178

elfelejteni, hogy a befedés és az összetétel időbeli folyamatok, míg megfelelőik a

gondolatok tartományában időtlenek.

Ha A olyan gondolat, amely nem a költészethez tartozik, akkor A tagadása sem

tartozik a költészethez. E két gondolat — A és A tagadása — közül mindig az

egyik és csak az egyik igaz. Ugyanígy A tagadása és A tagadásának a tagadása

közül is mindig az egyik és csak az egyik igaz. Mármost A tagadása vagy igaz,

vagy nem igaz. Az első esetben sem A, sem A tagadásának a tagadása nem igaz. A

második esetben mind A, mind A tagadásának a tagadása igaz. A két gondolat —

A, és A tagadásának a tagadása — közül tehát vagy mindkettő igaz, vagy egyik

sem. Ezt így is kifejezhetem:

Ha egy gondolatot kettős tagadás fed, az nem változtatja meg a gondolat

igazságértékét.

179

IX

LOGIKAI VIZSGÁLÓDÁSOK

HARMADIK RÉSZ: ÖSSZETETT GONDOLATOK

(1923)

Csodálatos teljesítménye a nyelvnek, hogy néhány szótag segítségével végtelen

sok gondolatot fejez ki, sőt ha egy gondolatot első ízben fog föl egy halandó,

ehhez is képes olyan öltözetet találni, amelyben azok is felismerhetik, akik

számára teljesen új. Lehetetlen volna ez, ha a gondolatban nem tudnánk

megkülönböztetni olyan részeket, amelyeknek mondatrészek felelnek meg úgy,

hogy a mondat szerkezete a gondolat szerkezetének képeként szolgálhasson.

Persze, igazában metaforikusan beszélünk, amikor a rész és az egész viszonyát

kiterjesztjük a gondolatra. Ám a hasonlat annyira kézenfekvő és egészében olyan

találó, hogy alig érezzük zavarónak azt, hogy itt-ott sántít.

Így ha a gondolatokat egyszerű részekből összetetteknek tekintjük, és ezeknek

mondatrészeket feleltetünk meg, akkor érthetővé válik, hogy kevés mondatrészből

mondatok egész sokasága képezhető, ezeknek pedig gondolatok egész sokasága

felel meg. Kézenfekvő itt megkérdezni, hogyan épül föl a gondolat, és mi fűzi

össze a részeit úgy, hogy az egész több lesz, mint a különálló részek. A tagadás1 c.

dolgozatomban azt az esetet vizsgáltam, amikor egy gondolat úgy tevődik össze,

hogy egyik eleme egy olyan, kiegészítésre szoruló — másképpen szólva,

kitöltetlen — rész, amelynek nyelvileg a tagadószó felel meg, másik eleme pedig

egy gondolat. Nem tagadhatunk anélkül, hogy lenne valami, amit tagadunk, ez

pedig egy gondolat. Az egész összetartozása azáltal jön létre, hogy a gondolat a

kitöltetlen részt kitölti, másképpen szólva, a kiegészítésre szoruló részt kiegészíti.

És kézenfekvő az a feltevés, hogy a logikaiban az egésszé való összekapcsolás

általában mindig egy kitöltetlen rész kitöltésével megy végbe.2

A továbbiakban itt az ilyen összekapcsolás azon sajátos esetét vizsgáljuk,

amelyben két gondolat kapcsolódik össze egyetlen egésszé. A nyelv területén

ennek megfelel két mondat összekapcsolása egy egésszé, ami ugyancsak mondat.

A grammatika „összetett mondat” terminusának mintájára megalkotom az

„összetett gondolat” kifejezést, de ezzel nem kívánom azt mondani, hogy minden

összetett mondat jelentése egy összetett gondolat, sem azt, hogy minden összetett

gondolat egy összetett mondat jelentése.

1 Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus. Bd. 1. 1918--1919, S.

143--157. [Ld. [VII]] 2 Itt és a következőekben mindig szilárdan szem előtt kell tartani, hogy ez a

kitöltés, ez az összekapcsolás nem időbeli folyamat.

180

Németül Satzgefüge alárendelő összetett mondatot jelent a nyelvtani terminológiában; ennek

mintáját követi Frege a Gedankengefüge kifejezéssel

Összetett gondolaton olyan gondolatot kívánok érteni, amely gondolatokból, de

nem pusztán gondolatokból áll. Ugyanis egy gondolat teljes és kitöltött; nem

szorul kiegészítésre ahhoz, hogy létezhessék. Ezért a gondolatok nem tapadnak

egymáshoz, ha nincsenek valami olyasmivel egymáshoz kapcsolva, ami maga nem

gondolat. Gyaníthatjuk, hogy ez az összekapcsoló rész kitöltetlen. Az összetett

gondolatnak magának is gondolatnak kell lennie, vagyis olyannak, amire fennáll:

vagy igaz, vagy hamis, harmadik eshetőség nincsen.

Nem szolgálhat számunkra használható példaként minden olyan mondat, amely

nyelvtanilag mondatokból összefűzött; ugyanis a grammatika ismer olyan

mondatokat is, amelyeket a logika nem ismerhet el valódi mondatoknak, mert nem

fejeznek ki gondolatot. Ezt példázzák a vonatkozó mellékmondatok; hiszen a

főmondattól elkülönített vonatkozó mellékmondatban nem ismerhetjük fel azt,

amit a vonatkozó névmásnak kellene jelölnie. Az ilyen mondatnak nincs olyan

jelentése, amelynek az igazságára rákérdezhetnénk, más szóval: egy elkülönített

mellékmondat jelentése nem gondolat. Tehát azt sem várhatjuk, hogy a

főmondatból és vonatkozó mellékmondatból álló összetett mondatnak jelentésként

egy összetett gondolat feleljen meg.

Az összetett gondolatok első fajtája

Nyelvileg a legegyszerűbbnek az az eset tűnik, amikor egy főmondat „és”-sel

kötődik egy főmondathoz. Azonban a dolog nem olyan egyszerű, mint amilyennek

eleinte látszik; mert egy kijelentő mondatban két dolgot kell megkülönböztetni: a

kifejezett gondolatot és az állítást. Itt csak az előbbi jön számításba; hiszen nem

ítélési aktusokat kell összekötnünk.3 Ezért az „és”-sel összekötött mondatokat úgy

értem, hogy azok állító erő nélkül vannak kimondva. Az állító erőtől

legkönnyebben úgy szabadulhatunk, hogy az egész mondatot kérdéssé alakítjuk át;

hiszen a kérdésben kifejezhető ugyanaz a gondolat, mint a kijelentő mondatban,

azonban állítás nélkül. Ha két állító erő nélkül kifejezett mondatot „és-sel

összekötünk, akkor kérdezhető, hogy az így létrejövő egésznek egy gondolat-e a

jelentése. Ekkor nemcsak mind a két részmondatnak, hanem az egésznek is olyan

jelentéssel kell bírnia, amely egy kérdés tartalmává tehető. Ha az esküdteket

megkérdezik: „A vádlott szándékosan gyújtotta-e fel a farakást és szándékosan

okozott-e erdőtüzet?”, akkor ez attól függ, hogy ebben két kérdést vagy csupán

egyet kell-e érteni. Ha az esküdteknek jogukban áll a farakást érintő kérdésre

igennel felelni, az erdőtüzet érintőre pedig tagadólag, úgy két kérdéssel van

3 A logikusok, úgy tűnik, „ítélet”-en gyakran valami olyasmit értenek, amit én

gondolatnak nevezek. Szerintem akkor ítélünk, amikor egy gondolatot igaznak

ismerünk el. Ezen elismerés cselekedetét nevezem ítéletnek. Az ítélet egy állító

erővel kiejtett mondat segítségével nyilvánítható ki. Egy gondolat azonban

felfogható és kifejezhető anélkül, hogy elismerjük igaznak, azaz ítélés nélkül.

181

dolgunk, amelyek mindegyike egy-egy gondolatot foglal magában. De olyan

gondolat, mely e kettőből összetett, nincs a kérdésben. Ha viszont az esküdteknek

csak „igen”-nel és „nem”-mel szabad válaszolniuk, az egésznek részkérdésekre

bontása nélkül — és itt ezt feltételezem —, akkor ez az egész egyetlen kérdés, és

erre csak akkor adható igenlő válasz, ha a vádlott a farakást is szándékosan

gyújtotta fel, és erdőtüzet is szándékosan okozott. Minden más esetben a kérdésre

tagadó választ kell adni. Ha tehát egy esküdt úgy véli, hogy jóllehet a vádlott

szándékosan gyújtotta fel a farakást, ám a tűz azután a vádlott szándéka nélkül

terjedt tova és kerítette hatalmába az erdőt, akkor tagadóan kell válaszolnia a

kérdésre. Ezért a teljes kérdés gondolatát meg kell különböztetni mind a két

részgondolattól. Az előbbi a két részgondolaton kívül magában foglalja azt, ami

őket összekapcsolja, és ennek nyelvileg az „és” felel meg. Ezt a szót itt sajátos

módon használjuk. Csak valódi mondatok közötti kötőszóként jön számításba. Egy

mondatot akkor tekintek valódinak, ha gondolatot fejez ki. A gondolat pedig olyan

valami, amire érvényes, hogy vagy igaz, vagy hamis, harmadik eshetőség nincsen.

Az „és”, amiről itt szó van, csak állító erő nélkül kifejezett mondatokat köthet

össze. Ezzel nem zárjuk ki az ítélés lehetőségét, de ha ítélünk, annak az összetett

gondolatra kell vonatkoznia. Ha egy összetételt, amely a most tárgyalt első fajtába

tartozik, igaznak kívánunk állítani, akkor esetleg az „igaz, hogy…, és hogy…”

fordulatot használhatjuk.

Ez az „és” éppoly kevéssé köthet össze kérdő mondatokat, mint állító erővel

kifejezett mondatokat. Példánkban az esküdteknek csak egyetlenegy kérdést tettek

fel. Az a gondolat azonban, amit ez a kérdés megítélés tárgyává tesz, két

gondolatból van összekapcsolva. Az esküdtnek válaszában csak egyetlenegy

ítéletet kell tennie. Ez talán mesterkélt finomkodásnak tűnhet. Voltaképpen nem

ugyanaz-e, ha az esküdt előbb csak arra a kérdésre válaszol igennel, hogy „A

vádlott szándékosan gyújtotta-e fel a farakást?”, és aztán arra is, hogy „A vádlott

szándékosan okozott-e erdőtüzet?”, vagy ha egy csapásra az egész feltett kérdésre

igennel válaszol? Igenlő válasz esetén ez így tűnhet; a különbség világosabb abban

az esetben, amikor a kérdésre adott válasz tagadó. Ezért hasznos a gondolatot

kérdésben kifejezni: ekkor — ha a gondolatot helyesen akarjuk felfogni — a

tagadás esetét éppen úgy figyelembe kell venni, mint az igenlését.

A használati módjában ilyenképp pontosabban meghatározott „és” kétszeresen

kitöltetlennek bizonyul. Kitöltéséhez megkíván egy mondatot, amely megelőzi, és

egy mondatot, amely követi. Ami a jelentés tartományában megfelel az „és”-nek,

annak is kétszeresen kitöltetlennek kell lennie. Azáltal, hogy gondolatokkal

kitöltődik, összekapcsolja ezeket a gondolatokat.4 Pusztán dologként, persze, az

„és” betűcsoport éppen olyan kevéssé kitöltetlen, mint bármely más dolog. Ám

kitöltetlennek mondhatjuk arra való tekintettel, hogy jelként használjuk, amelynek

jelentést kell kifejeznie, és mint ilyen csak két mondat közötti helyzetben bírhat a

szándékolt jelentéssel. Jelként értve megkívánja, hogy egy megelőző és egy

követő mondattal egészítsük ki. A kitöltetlenség tulajdonképpen a jelentés

tartományában lép fel, és innen származik át a jelre.

4 Vö. a 2. jegyzettel.

182

Ha „A” egy valódi mondat, amelyet nem állító erővel és nem is kérdésként

mondunk ki, és ha ugyanez áll „B”-re, akkor „A és B” is valódi mondat, és

jelentése egy első fajtájú összetett gondolat. Ezt úgy is mondom: „A és B” egy első

fajtájú összetett gondolatot fejez ki.

Bizonyítás nélkül látható — pusztán azáltal, hogy a jelentésnek tudatában

vagyunk —, hogy „B és A” jelentése ugyanaz, mint „A és B”-é. Itt egy olyan

esettel van dolgunk, ahol nyelvileg különböző kifejezéseknek azonos jelentés felel

meg. A kifejező jelnek ez az eltérése a kifejezett gondolattól elkerülhetetlen

következménye a tér- és időbeli jelenségek és a gondolatok világa közötti

különbségnek.5

Végezetül utalhatunk egy itt érvényes következtetésre:

A igaz;6

B igaz;

tehát (A és B) igaz.

Az összetett gondolatok második fajtája

Gondolat és gondolat első fajtájú összetételének tagadása maga is egy

összetétele ugyanazon gondolatpárnak. Az ilyet fogom második fajtájú összetett

gondolatnak nevezni. Valahányszor két gondolat első fajtájú összetétele hamis,

ezen gondolatok második fajtájú összetétele igaz, és megfordítva. Egy második

fajtájú összetétel csak akkor hamis, ha az összekapcsolt gondolatok mindegyike

igaz. Egy második fajtájú összetett gondolat mindig igaz, ha az összekapcsolt

gondolatok közül legalább az egyik hamis. Közben mindig föltesszük, hogy a

gondolatok nem a költészethez tartoznak. Azzal, hogy egy második fajtájú

összetett gondolatot igaznak állítok, az összekapcsolt gondolatokat

összeférhetetleneknek jelentem ki.

Ez a kifejezés nem szerencsés; csak az összekapcsolt gondolatok együttes igazságát utasítjuk el

egy második fajtájú összetett gondolatban. Fregének a modalitásra utaló kifejezésekre vonatkozó

elképzeléseiről lásd pl. [I], 4. §, valamint a csatlakozó szerkesztői kommentárokat.

Annak ismerete nélkül, hogy

21

20

100

nagyobb-e, mint 102110 ,

és annak ismerete nélkül, hogy

5 Másik hasonló eset az, hogy „A és A” jelentése ugyanaz, mint „A”-é.

6 Amikor azt írom, hogy „A igaz”, pontosabban arra gondolok, hogy ‘az „A”

mondatban kifejezett gondolat igaz’. Ugyanígy a hasonló esetekben.

183

21

20

100

kisebb-e, mint 102110 ,

ezen két gondolat első fajtájú összetételéről mégis megállapíthatom, hogy hamis.

Eszerint, ezen gondolatok második fajtájú összetétele igaz. Az összekapcsolt

gondolatokon kívül van valami, ami összekapcsolja őket. Az összekapcsoló itt is

kétszeresen kitöltetlen. És az összetétel azáltal jön létre, hogy a részgondolatok

kitöltik az összekapcsolót.

Egy ilyen fajtájú összetett gondolat rövid kifejezése végett ezt írom:

„Nem [A és B]”,

ahol „A” és „B” az összekapcsolt gondolatoknak megfelelő mondatok. Ebben a

kifejezésben világosan előtűnik az összekapcsoló; ez annak a jelentése, ami a

kifejezésben az „A” és „B” betűkön kívül van. A két üres hely a

„Nem [… és …]”

kifejezésben felismerhetővé teszi a kétszeres kitöltetlenséget.

Frege üresen hagyott helyeit kipontozással tesszük jól láthatóvá.

Az összekapcsoló ennek a kétszeresen kitöltetlen kifejezésnek a jelentése, amely

szintén kétszeresen kitöltetlen. Ha az üres helyeket gondolatkifejezésekkel töltjük

ki, akkor egy második fajtájú összetett gondolat kifejezését képezzük.

Voltaképpen azonban nem mondható, hogy az összetett gondolat így keletkezik,

mivel ez egy gondolat, és a gondolatok nem keletkeznek.

Az első fajtájú összetett gondolatokban a két gondolat felcserélhető.

Ugyanennek a felcserélhetőségnek fenn kell állnia az első fajtájú összetett

gondolatok tagadásában, azaz a második fajtájú összetett gondolatokban is. Ha

tehát „Nem [A és B]” összetett gondolatot fejez ki, akkor „Nem [B és A]”

ugyanazon gondolatok ugyanazon összetételét fejezi ki. Ezt a fölcserélhetőséget itt

éppúgy nem kell tételként érteni, mint az első fajtájú összetétel esetén, hiszen a

jelentések birodalmában nincs köztük különbség. Tehát magától értetődő, hogy a

második összetett mondat jelentése igaz, ha az elsőé igaz, lévén ez ugyanaz a

jelentés.

Itt is említhető egy következtetés.

Nem [A és B] igaz;

A igaz;

tehát B hamis.

Az összetett gondolatok harmadik fajtája

184

Egy első gondolat tagadásának és egy második gondolat tagadásának első

fajtájú összetétele is egy összetétele az első gondolatnak a másodikkal. Ezt az első

és a második gondolat harmadik fajtájú összetételének nevezem. Legyen például

az első gondolat az, hogy Pál tud olvasni, a második gondolat az, hogy Pál tud

írni. Akkor ennek a két gondolatnak a harmadik fajtájú összetétele az a gondolat,

hogy Pál sem olvasni, sem írni nem tud. Ezen harmadik fajtájú összetett gondolat

csak akkor igaz, ha mind a két összekapcsolt gondolat hamis. Egy harmadik fajtájú

összetett gondolat hamis, ha az összekapcsolt gondolatok közül legalább az egyik

igaz. A két összekapcsolt gondolat a harmadik fajtájú összetett gondolatban is

fölcserélhető. Ha „A” egy gondolatot fejez ki, akkor fejezze ki „nem A” ennek a

gondolatnak a tagadását, és hasonlóan „B” esetén is. Ha ezután „A” és „B” valódi

mondatok, akkor

„(nem A) és (nem B)”,

amit így is írok:

„ sem A, sem B”

jelentése az „A” és „B” kifejezte két gondolat harmadik fajtájú összetétele.

Az összekapcsoló itt annak a jelentése, ami a kifejezésben az „A” és a „B”

betűkön kívül van. A két üres hely jelzi a

„(nem …) és (nem …)”,

illetve a

„sem …, sem … ”

kifejezés kétszeres kitöltetlenségét, ami megfelel az összekapcsoló kétszeres

kitöltetlenségének. Amikor ez az összekapcsoló kitöltődik gondolatokkal, létrejön

az illető gondolatok harmadik fajtájú összetétele.

Itt is említhető egy következtetés.

A hamis;

B hamis;

tehát (sem A, sem B) igaz.

A zárójel célja világossá tenni, hogy a benne foglaltnak, mint egésznek a jelentését

állítjuk igaznak.

Az összetett gondolatok negyedik fajtája

Két gondolat harmadik fajtájú összetételének a tagadása szintén két

gondolatnak egy összetétele; ezt negyedik fajtájú összetett gondolatnak

185

mondhatjuk. Két gondolat negyedik fajtájú összetétele e két gondolat tagadásának

a második fajtájú összetétele. Ha egy ilyen összetett gondolatot igaznak állítunk,

azzal azt mondjuk, hogy az összekapcsolt gondolatok közül legalább az egyik

igaz. Egy negyedik fajtájú összetett gondolat csak akkor hamis, ha az

összekapcsolt gondolatok mindegyike hamis. Ha „A” és „B” ismét valódi

mondatok, akkor

„nem [(nem A) és (nem B)]”

jelentése az „A” és „B” által kifejezett gondolatok negyedik fajtájú összetétele.

Ugyanez áll

„nem [sem A, sem B]”-re.

Még rövidebben ezt írjuk helyette:

„A vagy B”.

Az ebben az értelemben vett „vagy” csak mondatok, éspedig valódi mondatok

között áll. Amikor egy ilyen összetett gondolatot igaznak ismerek el, nem zárom

ki, hogy mindkét összekapcsolt gondolat igaz. Itt a nem kizáró „vagy”-gyal van

dolgunk. Az összekapcsoló annak a jelentése, ami az „A vagy B”-ben A-n és B-n

kívül előfordul, tehát a

„(… vagy …)”

kifejezésé, ahol a két üres hely a „vagy”-tól balra és jobbra az összekapcsoló

kétszeres kitöltetlenségére utal. A „vagy”-gyal összekapcsolt mondatokat csupán

gondolatkifejezésekként fogjuk föl, tehát egyenként nem járul hozzájuk állító erő.

Viszont az egész összetett gondolat elismerhető igaznak. A nyelvi kifejezésből ez

nem tűnik ki világosan. Ha állítjuk, hogy „5 kisebb, mint 4, vagy 5 nagyobb, mint

4”, akkor a részmondatok mindegyikének olyan a nyelvi formája, mint amikor

egyenként állító erővel mondjuk ki őket, noha most csak az egész összetételt

óhajtjuk igaznak állítani.

Valaki talán úgy találhatja, hogy a „vagy” szó itt megadott jelentése nincs

mindig összhangban a nyelvhasználattal. Ehhez mindenekelőtt jegyezzük meg,

hogy a tudományos kifejezések jelentésének rögzítése során nem lehet

követelmény az élet nyelvhasználatának pontos visszaadása; hiszen ez utóbbi

többnyire alkalmatlan olyan tudományos célokra, ahol a pontosabb megformálást

szükségesnek véljük. A természettudósnak meg kell engednünk, hogy a „fül” szó

használatában eltérjen az egyébként szokásostól. A logika területén zavaróak

lehetnek a csatlakozó mellékgondolatok. A „vagy” használatáról mondottak

szerint az igazságnak megfelelően állítható: „Nagy Frigyes győzött Rossbachnál,

vagy kettő nagyobb háromnál”. Valaki így véli: „Furcsa! Mi köze a Rossbachnál

aratott győzelemnek ahhoz az értelmetlenséghez, hogy kettő nagyobb háromnál?”

Az, hogy kettő nagyobb, mint három, hamis, de nem értelmetlen. A logika

186

számára közömbös, hogy egy gondolat hamisságát könnyű-e vagy nehéz belátni.

Hozzászoktunk annak feltételezéséhez, hogy a „vagy”-gyal összekapcsolt

mondatok esetén az egyik jelentésének van valami köze a másikéhoz, valamiféle

rokonság áll fenn közöttük. Adott esetben ilyen rokonság talán meg is adható; de

egy másik esetben valami más rokonság lesz, úgyhogy lehetetlen olyan

jelentésrokonságot megadni, ami mindig a „vagy”-hoz kapcsolódik, és ami

hozzászámítható e szó jelentéséhez. De miért kapcsolja hozzá a beszélő egyáltalán

a második mondatot? Ha azt akarja állítani, hogy Nagy Frigyes győzött

Rossbachnál, akkor elegendő az első mondat; hiszen föltehetjük, hogy a beszélő

nem akarja azt mondani, hogy kettő nagyobb háromnál. Ha a beszélő megelégedne

az első mondattal, kevesebb szóval többet mondana. Mire tehát ez a pazarlása a

szavaknak? Ezek a kérdések is csak mellékgondolatokra vezetnek. Hogy mi a

szándéka és indítéka a beszélőnek, amikor éppen ezt mondja és nem azt, az itt

egyáltalán nem érdekes, hanem csak az, amit mond.

Az első négy fajtába tartozó összetett gondolatokban közös az, hogy az

összekapcsolt gondolatok felcserélhetőek.

Itt is jöjjön még egy következtetés:

(A vagy B) igaz;

A hamis;

tehát B igaz.

Az összetett gondolatok ötödik fajtája

Ha egy gondolat tagadásából és egy másik gondolatból egy első fajtájú

összetételt képzünk, akkor az első gondolatnak a másodikkal való ötödik fajtájú

összetételét kapjuk. Ha „A” az első gondolatot, „B” a második gondolatot fejezi ki,

akkor

„(nem A) és B”

jelentése egy ilyen összetett gondolat. Az ilyen fajta összetétel akkor és csak akkor

igaz, ha az első összekapcsolt gondolat hamis, a második pedig igaz. Így pl. a

„(nem 32 = 2

3) és (2

4 = 4

2)”

által kifejezett összetett gondolat igaz. Ez az a gondolat, hogy 32 nem egyenlő 2

3-

mal, és 24 egyenlő 4

2-nel. Miután valaki felismerte, hogy 2

4 egyenlő 4

2-nel, talán

úgy sejtheti, hogy általában egy hatvány kitevője és alapja felcserélhetőek. Ezt a

tévedést másvalaki vissza kívánja utasítani azzal, hogy azt mondja: „24 egyenlő 4

2-

nel, de 23 nem egyenlő 3

2-nel”. Ha valaki megkérdezi, hogy mi a különbség az

„és”-sel és a „de”-vel való összekapcsolás között, akkor a válasz: Annak, amit

gondolatnak vagy a mondat jelentésének nevezek, teljesen mindegy, hogy az „és”

187

vagy a „de” fordulatot választjuk. Különbség csak abban van, amit a gondolat

megvilágításának7 nevezek; ez nem tartozik a logika területéhez.

Egy ötödik fajtájú összetett gondolatban az összekapcsoló a kétszeresen

kiegészítésre szoruló

„(nem …) és (…)”

kifejezés kétszeresen kiegészítésre szoruló jelentése. Itt az összekapcsolt

gondolatok nem cserélhetők föl, mivel

„(nem B) és A”

nem ugyanazt fejezi ki, mint

„(nem A) és B”.

Az első gondolat helye az összetételben nem ugyanolyan jellegű, mint a második

gondolaté. Nem kockáztatván új szó képzését, kénytelen vagyok a „hely” szót

átvitt értelemben használni. Ha leírt gondolatkifejezésekről beszélünk, akkor a

„hely”-et közönséges térbeli értelemben vesszük. A gondolatkifejezésbeli helynek

meg kell, hogy feleljen valami magában a gondolatban, és erre megtartom a „hely”

szót. Itt nem engedhetjük meg, hogy a gondolatok egyszerűen megcseréljék

helyüket; de az első gondolat helyére a második tagadását és egyúttal a második

helyére az első tagadását helyettesíthetjük. Amit, persze, szintén egy kis

megszorítással kell érteni, mivel nem térbeli és időbeli eljárásra gondolunk. Így

„(nem A) és B”

átalakítható, mint

„(nem (nem B)) és (nem A)”.

Minthogy azonban, „nem (nem B)” jelentése ugyanaz, mint „B”-é, ezt kapjuk:

„B és (nem A)”,

ami ugyanazt fejezi ki, mint

„(nem A) és B”.

Az összetett gondolatok hatodik fajtája

7 Vö. A gondolat c. cikkemmel ezen folyóirat első kötetében, 63. o. [VII,

000.o.].

188

Egy gondolat és egy másik ötödik fajtájú összetételének tagadása a hatodik

fajtájú összetétele az első gondolatnak a másodikkal. Így is mondhatjuk: Az első

gondolat tagadásának a második gondolattal való második fajtájú összetétele a

hatodik fajtájú összetétele az első gondolatnak a másodikkal. Az első gondolatnak

a másodikkal való ötödik fajtájú összetétele akkor és csak akkor igaz, ha az első

gondolat hamis, a második gondolat pedig igaz. Ebből következik, hogy az első

gondolatnak a másodikkal való hatodik fajtájú összetétele akkor és csak akkor

hamis, ha az első gondolat hamis, a második pedig igaz. Egy ilyen összetett

gondolat tehát igaz, ha az első gondolat igaz, mindegy, hogy a második gondolat

igaz-e vagy hamis. Egy ilyen összetett gondolat akkor is igaz, ha a második

gondolat hamis, függetlenül attól, hogy az első gondolat igaz-e vagy hamis.

Anélkül, hogy tudnám:

21

20

1002

nagyobb-e, mint 2

2,

és anélkül, hogy tudnám:

21

20

100

nagyobb-e, mint 2,

fölismerhetem, hogy az első gondolatnak a másodikkal való hatodik fajtájú

összetétele igaz. Az első gondolat tagadása és a második gondolat kizárják

egymást. Ezt kimondhatjuk így is:

„Ha 21

20

100

nagyobb 2-nél, akkor

21

20

1002

nagyobb 2

2-nél.”

„Hatodik fajtájú összetett gondolat” helyett „hipotetikus összetett gondolat”-ot is

mondok, és a hipotetikus összetett gondolatban az első gondolatot

„következmény”-nek, a másodikat „feltétel”-nek nevezem. Eszerint egy

hipotetikus összetett gondolat igaz, ha a következmény igaz. Egy hipotetikus

összetett gondolat igaz akkor is, ha a feltétel hamis; akár igaz a következmény,

akár hamis. Azonban a következménynek mindig gondolatnak kell lennie.

Legyenek „A” és „B” ismét valódi mondatok, akkor

„nem ((nem A) és B)”

egy olyan hipotetikus összetétel kifejezése, amelynek következménye „A”

jelentése (gondolati tartalma), és amelynek feltétele „B” jelentése. Helyette ezt is

írhatjuk:

„Ha B, akkor A”.

189

Persze itt kétségek léphetnek föl. Valaki úgy találhatja, hogy ez eltér a

nyelvhasználattól. Ezzel szemben mindig újra hangsúlyozni kell: a tudománynak

meg kell engedni, hogy sajátos nyelvhasználattal rendelkezzék, hogy ne legyen

mindig alárendelve az élet nyelvének. Éppen abban látom a filozófia legnagyobb

nehézségét, hogy munkájához kevéssé alkalmas eszközt talált, tudniillik az élet

nyelvét, amelynek kialakulásában teljesen más szükségletek játszottak közre, mint

a filozófia igényei. Hasonlóképpen a logika is rákényszerül, hogy abból, amit

készen talál, először is használható eszközt csiszoljon magának. E munka számára

kezdetben szintén csak kevéssé használható eszközöket talál.

A

„Ha 2 nagyobb, mint 3, akkor a 4 prímszám

mondatot bizonnyal sokan értelmetlennek fogják nyilvánítani, értelmezésem

szerint mégis igaz, mivel a feltétel hamis. Ami hamis, az még nem értelmetlen.

Annak ismerete nélkül, hogy

102110 nagyobb-e, mint 21

20

100

,

felismerhetjük, hogy

ha 102110 nagyobb, mint 21

20

100

,

akkor 1021102

nagyobb, mint 21

20

1002

;

és senki nem fog ebben értelmetlenséget látni. Nos, az, hogy

102110 nagyobb, mint 21

20

100

,

hamis. És ugyanígy hamis, hogy

1021102

nagyobb, mint 21

20

1002

.

Ha ez ugyanolyan könnyen látható lenne, mint annak hamissága, hogy 2 nagyobb,

mint 3, akkor a hipotetikus összetett gondolat ebben a példában ugyanúgy

értelmetlennek tűnne, mint az előzőben. A logikai vizsgálat számára semmit nem

190

jelent, hogy könnyű-e vagy nehéz belátni egy gondolat hamisságát, mivel a

különbség pszichológiai.

A következő összetett mondatban kifejezett gondolat is igaz:

„Ha van egy kakasom, amelyik ma tojásokat rakott, akkor a kölni dóm holnap

reggel összedől.”

Mondhatná valaki: „De hiszen itt a feltétel és a következmény között

semmilyen belső összefüggés sincs.” Nos semmi ilyen összefüggést nem

követeltem meg meghatározásomban, és kérem, hogy a „Ha B, akkor A” kifejezést

úgy értsék, ahogyan mondtam, és amit a

„nem ((nem A) és B)”

formában fejeztem ki. Persze, a hipotetikus összetett mondat ezen felfogása eleinte

megütközést kelt. Meghatározásomnak nem célja a megegyezés az élet

nyelvhasználatával, amely a logika céljaira többnyire túlzottan elmosódott és

ingadozó. Abba sok minden befurakodik, pl. az ok és az okozat viszonya, a

szándék, amellyel a beszélő egy „Ha B, akkor A” alakú mondatot kimond, az az

indok, amely miatt annak tartalmát igaznak tartja. A beszélő bizonyára ad némi

útmutatást a hallgatóban esetleg fölvetődő ilyen kérdések tekintetében. Ezek a

célzások azokhoz a járulékokhoz tartoznak, amelyek az élet nyelvében gyakran

körülszövik a gondolatot. Feladatom itt az, hogy a járulékok leválasztásával

logikai magként kihámozzam két gondolat azon összetételét, amelyet hipotetikus

összetett gondolatnak neveztem. A két gondolatból összetett gondolat felépítésébe

való bepillantásnak kell az alapot képeznie a többszörösen összetett gondolatok

vizsgálatához.

Amit a „Ha B, akkor A” kifejezésről mondtam, azt nem szabad úgy érteni, hogy

minden ilyen formájú összetett mondat egy hipotetikus összetett gondolatot fejez

ki. Ha „A” önmagában nem fejez ki teljes gondolatot, tehát nem valódi mondat,

vagy ha „B” önmagában nem valódi mondat, akkor más esettel van dolgunk.

Ebben az összetett mondatban:

„Ha valaki gyilkos, akkor gonosztevő”

sem a feltételmondat, sem a következménymondat önmagában véve nem fejez ki

gondolatot. Meghatározhatatlan, hogy az, amit az összefüggésből kiemelt „(ő)

gonosztevő” mondat kiegészítő utalás nélkül kifejez,

A német eredetiben: 'Er ist ein Verbrecher'. Zárójelben kitettük az 'er'-nek megfelelő 'ő' személyes

névmást, hogy a gondolatmenet folytatása ne szenvedjen törést.

igaz-e vagy hamis, mivel az „ő” szó nem tulajdonnév, és az összefüggésből

kiemelt mondatban, kiegészítő utalás nélkül, semmit sem jelöl. Következésképpen

utómondatunk nem fejez ki gondolatot, tehát nem is valódi mondat. Ugyanez áll

feltételmondatunkra; mivel tartalmaz egy alkotórészt — „valaki” —, amely

191

ugyancsak nem jelöl semmit. Ennek ellenére az összetett mondat kifejezhet egy

gondolatot. A „valaki” és az „ő” egymásra utalnak. Ezáltal, és a „ha __, akkor __”

révén a két mondat úgy kapcsolódik össze, hogy egy gondolatot fejeznek ki, míg a

hipotetikus összetett gondolatban három gondolatot különböztethetünk meg,

éspedig a feltételt, a következményt és a kettőből összetett gondolatot. Tehát egy

összetett mondat nem mindig fejez ki összetett gondolatot, és nagyon lényeges

megkülönböztetni azt a két esetet, amely egy

„Ha B, akkor A”

alakú összetett mondat esetén előfordulhat.

Itt is mellékelek egy következtetést:

[Ha B, akkor A] igaz;

B igaz;

tehát A igaz.

Talán ebben a következtetésben tűnik a leginkább szembe a feltételes összetett

gondolat jellegzetessége.

Figyelemre méltó még az alábbi következtetési mód:

[Ha C, akkor B] igaz;

[Ha B, akkor A] igaz;

tehát [Ha C, akkor A] igaz.

Megemlíthető itt egy félrevezető beszédmód. Egyes matematikus szerzők úgy

fejezik ki magukat, mintha olyan gondolatokból is lehetne konklúziót levonni,

amelynek igazsága még bizonytalan. Ha azt mondják: „B-ből A-ra következtetek”,

vagy „B-ből A igazságára következtetek”, akkor B-n a következtetés egyik vagy

egyetlen premisszáját értik. De amíg egy gondolat igazságát nem ismerjük föl,

nem használhatjuk azt következtetés premisszájaként, nem következtethetünk

belőle semmire. Ha mégis ezt vélik tenni, akkor úgy tűnik, összetévesztik a

hipotetikus összetett gondolat igazságának elismerését a következtetéssel, azáltal,

hogy ezen összetételben a feltételt premisszának tekintik. A

„Ha C, akkor A”

jelentésének igazként való elismerése kétségkívül alapulhat egy következtetésen,

mint az iménti példában, és emellett kétséges lehet, hogy C igaz-e;8 ez esetben

azonban a „C”-ben kifejezett gondolat egyáltalán nem premisszája a

következtetésnek, hanem a

„Ha C, akkor B”

8 Pontosabban, hogy a „C” kifejezte gondolat igaz-e.

192

mondat jelentése volt a premissza. Ha a „C” gondolati tartalma a következtetés

premisszája volna, akkor nem szerepelhetne a konklúzióban, hiszen éppen ebben

áll a következtetés hatása.

Láttuk, hogy egy ötödik fajtájú összetett gondolatban egyidejűleg

helyettesíthető az első gondolat a második tagadásával és a második gondolat az

első tagadásával, az egész jelentésének megváltozása nélkül. Mivel egy hatodik

fajtájú összetett gondolat egy ötödik fajtájú összetett gondolat tagadása, a hatodik

fajtájú összetett gondolatra is fennáll ugyanaz: egy hipotetikus összetételben, a

jelentés megváltozása nélkül, egyidejűleg helyettesíthető a feltétel a

következmény tagadásával és a következmény a feltétel tagadásával. (Átmenet a

modus ponenstől a modus tollenshez, kontrapozíció.)

A hat gondolat-összetétel áttekintése

I. A és B; II. nem (A és B);

III. (nem A) és (nem B); IV. nem ((nem A) és (nem B));

V. (nem A) és B; VI. nem ((nem A) és B).

Kézenfekvő lenne még hozzáfűzni ezt:

A és (nem B);

azonban

„A és (nem B)”

jelentése ugyanaz, mint

„(nem B) és A”

jelentése, hacsak „A” és „B” tetszőleges valódi mondatok. Mármost

„(nem B) és A”

ugyanolyan alakú, mint

„(nem A) és B”,

így ezzel semmi újat nem nyerünk, hanem csak újra egy ötödik fajtájú összetett

gondolat kifejezését kapjuk,

„nem (A és (nem B))”

pedig ismét egy hatodik fajtájú összetett gondolatot fejez ki. Az összetett

193

gondolatok hat fajtája így egy zárt egészet alkot; az ősalkotórészeknek itt az első

fajtájú összetett gondolat és a tagadás tűnnek. Ám az első fajtájú összetétel eme

látszólagos elsőbbsége a többihez képest, bármennyire elfogadható lehet a

pszichológusnak, logikailag nem indokolt. Ugyanis az összetett gondolatok hat

fajtája közül bármelyik vehető alapul, és belőle a tagadás segítségével a többi

három leszármaztatható; így a logika számára mind a hat fajta egyenrangú. Ha pl.

a

Ha B, akkor C

vagy

Nem ((nem C) és B)

hipotetikus összetételből indulunk ki; és „C”-t „nem A”-val helyettesítjük, ezt

kapjuk:

Ha B, akkor nem A,

vagy:

Nem (A és B).

Az egész tagadásával

Nem (ha B, akkor nem A)

vagy

A és B

adódik. Eszerint

Nem (ha B, akkor nem A)

ugyanazt mondja, mint

A és B,

és ez a hipotetikus összetételre és a tagadásra visszavezetett első fajtájú összetétel.

És minthogy az első fajtájú összetételből és a tagadásból a többi gondolat-

összetétel leszármaztatható, így mind a hat fajta gondolat-összetétel

leszármaztatható a hipotetikus összetételből és a tagadásból is. Az első és a

hatodik fajtájú összetételről mondottak általánosan érvényesek mind a hat fajta

gondolat-összetételre, úgyhogy ezen fajták egyikének sincs semmiféle elsőbbsége

194

a többihez képest. Bármelyikük szolgálhat alapul a többi származtatásához. A

választást a logikai tényállás nem szabja meg.

Valami hasonlóval van dolgunk a geometria megalapozásakor. Fel lehet építeni

két különböző geometriát úgy, hogy az első néhány tétele a másodikban

axiómaként, a második néhány tétele az elsőben axiómaként jelenik meg.

Most tekintsünk olyan eseteket, amelyekben nem különböző gondolatok

kapcsolódnak, hanem egy gondolat önmagával kapcsolódik össze. Ha „A” ismét

egy valódi mondat, akkor

„A és A”

gondolatot fejezi ki, mint „A”. Az előbbi nem többet és nem kevesebbet: az utóbbi.

Eszerint

„nem (A és A)”

ugyanazt fejezi ki, mint „nem A”. Ugyanígy

„(nem A) és (nem A)”

ugyanazt fejezi ki, mint „nem A. Következésképp

„nem [(nem A) és (nem A)]”

ugyanazt fejezi ki, mint „nem nem A”, azaz, mint „A”. Mármost

„nem [(nem A) és (nem A)]”

egy negyedik fajtájú összetételt fejez ki. Ezt így is mondhatjuk

„A vagy A”.

Ennélfogva nemcsak

„A és A”,

hanem

„A vagy A”

is ugyanazzal a jelentéssel bír, mint „A.”

Másképpen van az ötödik fajtájú összetétel esetén. A

„[(nem A) és A]”

kifejezte összetett gondolat hamis, mert két gondolat közül, amelyek egyike a

195

másiknak tagadása, az egyik mindig hamis, úgyhogy első fajtájú összetételük is

hamis. Eszerint egy gondolatnak önmagával való hatodik fajtájú összetétele, amit

„nem [(nem A) és A]”

fejez ki, igaz, ha A valódi mondat. Ezt az összetett gondolatot nyelvileg

„ha A, akkor A”

is kifejezheti, pl. „ha a Schneekoppe magasabb, mint a Brocken, akkor a

Schneekoppe magasabb, mint a Brocken”.

Ehhez kapcsolódó kézenfekvő kérdések: Egyáltalán gondolatot fejez ki ez a

mondat? Van valami tartalma? Mi újat tud meg az, aki hallja? — Nos, megeshet,

hogy valaki, mielőtt hallotta volna, egyáltalában nem ismerte ezt az igazságot, és

így nem is ismerhette el. Ennyiben bizonyos körülmények között, ennek révén

mégis megtudható valami, ami valakinek új. Hiszen tagadhatatlan igazság, hogy a

Schneekoppe magasabb, mint a Brocken, ha a Schneekoppe magasabb, mint a

Brocken. Minthogy csak gondolatok lehetnek igazak, ez az összetett mondat is egy

gondolatot fejez ki, és akkor ezen gondolat tagadása is egy gondolat, látszólagos

értelmetlensége dacára. Csupán mindig szem előtt kell tartanunk, hogy egy

gondolat kifejezhető anélkül, hogy állítanánk. Itt csak a gondolatról van szó. Az

értelmetlenség látszata csak az állító erő révén járul hozzá, amelyet önkéntelenül

hozzágondolunk a mondathoz. Azonban ki mondja azt, hogy bárki, aki állító erő

nélkül mond ki egy mondatot, ezt azért teszi, hogy tartalmát igaznak tüntesse föl?

Esetleg pontosan fordított szándékkal teszi ezt.

Ez általánosítható. Legyen „O” egy mondat, amellyel egy logikai törvény

valamely sajátos esetét fejezzük ki, azonban nem állítjuk igazként. Akkor „nem O”

könnyen értelmetlennek tűnik, azonban csak azért, mert állító erővel kimondottnak

gondoljuk. Egy olyan gondolat állítása, ami ellentmond egy logikai törvénynek,

valóban — ha nem is értelmetlennek, de — képtelenségnek tűnhet, mert egy

logikai törvény igazsága közvetlenül önmagából, kifejezésének jelentéséből

belátható. Kifejezni azonban szabad olyan gondolatot, amely ellentmond egy

logikai törvénynek, mivel tagadni szabad. „O” maga azonban csaknem

tartalmatlannak tűnik.

Minthogy minden összetett gondolat maga is gondolat, összekapcsolható más

gondolatokkal. Így az az összetétel, amit

„(A és B) és C”

fejez ki, az

„A és B” és a „C”

kifejezte gondolatokból kapcsolódik össze. Ezt érthetjük azonban úgy is, mint az

„A”, „B”, „C”

196

kifejezte gondolatokból összekapcsoltat. Így létrejöhet9 olyan összetett gondolat

is, amely három gondolatot tartalmaz. Három gondolat összetételét kifejező

további példák:

„nem [(nem A) és (B és C)]”, és

„nem [(nem A) és ((nem B) és (nem C))]”.

Ilyen módon találhatunk példákat négy, öt vagy több gondolatot tartalmazó

összetett gondolatra is.

Valamennyi ilyen összetétel képzéséhez elegendő az első fajtájú gondolat-

összetétel és a tagadás, ahol az első fajta helyett hat fajtánk bármelyike

választható. És idetolakszik a kérdés: vajon minden összetett gondolat ilyen

felépítésű-e? Ami a matematikát illeti, biztos vagyok abban, hogy ott másként

képzett gondolat-összetétel nem szerepel. A fizikában, a kémiában és az

asztronómiában is aligha lesz másként; azonban a célhatározói mondatok

óvatosságra intenek, és úgy tűnik, részletesebb vizsgálatot igényelnek. Ezt a

kérdést itt eldöntetlenül szándékozom hagyni. Mindamellett, azok a gondolat-

összetételek, amelyek az első fajtájú összetételből tagadás segítségével

képezhetőek, úgy tűnik, külön elnevezést érdemelnek. Matematikai gondolat-

összetételeknek nevezhetjük őket. Ezzel nem állítjuk, hogy vannak más gondolat-

összetételek is. A matematikai gondolat-összetételek még más vonatkozásban is

összetartozóaknak bizonyulnak. Ugyanis egy ilyenben valamely igaz gondolat

pótolható egy másik igaz gondolattal úgy, hogy az így képzett összetett gondolat

igaz vagy hamis aszerint, hogy az eredeti összetétel igaz-e vagy hamis. Ugyanez

áll akkor is, ha egy matematikai összetett gondolatban valamely hamis gondolatot

hamissal pótolunk. Azt mondom, hogy két gondolat megegyező igazságértékű, ha

vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Eszerint azt mondom, hogy az „A”-

val kifejezett gondolat igazságértéke ugyanaz, mint a „B”-vel kifejezetté, ha vagy

„A és B”

vagy

„(nem A) és (nem B)”

igaz gondolatot fejez ki. Miután ezt rögzítettük, szabályunk így mondható ki: „Egy

matematikai gondolat-összetételben valamely gondolatot egy vele megegyező

igazságértékű gondolattal pótolva, a kapott összetett gondolat igazságértéke

ugyanaz, mint az eredetié.”

9 Ez a keletkezés nem értendő időbeli folyamatként.

197

IRODALOMJEGYZÉK

A KÖTETÜNKBEN SZEREPLŐ FREGE-MŰVEK

[I] Fogalomírás, a tiszta gondolkodás formulanyelve, az aritmetika nyelvének

mintája szerint. — Fordítás [4] alapján.

[II] Függvény és fogalom. — [12] fordítása.

[III] Fogalom és tárgy. — [13] fordítása.

[IV] Jelentés és jelölet. — [14] fordítása.

[V] Az aritmetika alaptörvényei. I. kötet. Fordítás [15] alapján.

[VI] Az aritmetika alaptörvényei. II. kötet. Fordítás [21] alapján.

[VII] Logikai vizsgálódások I. rész: A gondolat — [29] fordítása

[VIII] Logikai vizsgálódások II. rész: A tagadás — [30] fordítása

[IX] Logikai vizsgálódások III. rész: Összetett gondolatok — [31] fordítása

A FONTOSABB EREDETI FREGE-MŰVEK

[1] Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene

(Doktori értekezés). Jena, 1873. — Utánnyomás [35]-ben.

[2] Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Grössenbegrffes

gründen (Magántanári habilitációs értekezés). Jena, 1874. — Utánnyomás [35]-

ben.

[3] Über eine Weise, die Gestalt eines Dreiecks als komplexe Grösse

aufzufassen. Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft, XII (1878), Supplement.

— Utánnyomás [35]-ben.

[4] Begriffsschrift, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des

reinen Denkens. Halle a. S., 1879, L. Nebert. — Utánnyomás [33]-ban. Magyar

fordítás: [I].

[5] Anwendungen der Begriffsschrift. Jenaische Zeitschrift für

Naturwissenschaft, XIII (1879), Supplement II, 29–33. — Utánnyomás [33]-ban.

[6] Über den Briefwechsel Leibnizens und Huygens mit Papin. Jenaische

Zeitschrift für Naturwissenschaft, XV (1882), Supplement, 29–32. — Utánnyomás

[33]-ban.

[7] Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift. Zeitschrift

für Philosophie und philosophische Kritik, LXXXI (1882), 48–56. —

Utánnyomás: [32] és [33].

[8] Über den Zweck der Begriffsschrift. Jenaische Zeitschrift für

Naturwissenschaft, XVI (1883), Supplement, 1–10. Utánnyomás [33]-ban.

198

[9] Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung

über den Begriff der Zahl. Breslau, 1884, W. Koebner. — Utánnyomás: Breslau,

1934, M. & H. Marcus; Darmstadt, 1961, Wissenschaftliche Buchgesellschaft; és

Hildesheim, 1961, G. Olms. Kritikai kiadás (hrsgg. Ch. Thiel): Felix Meiner,

Hamburg, 1986.

[10] Geometrie der Punktpaare in der Ebene. Jenaische Zeitschrift für

Naturwissenschaft, XVII (1884), Supplement, 98–102. — Utánnyomás [35]-ben.

[11] Über formale Theorien der Arithmetik. Jenaische Zeitschrift für

Naturwissenschaft, XIX (1886), Supplement, 94–104. — Utánnyomás [35]-ben.

[12] Funktion und Begriff. Jena, 1891, H. Pohle. — Utánnyomás: [32] és [35].

Magyar fordítás: [II].

[13] Über Begriff und Gegenstand. Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche

Philosophie, XVI (1892), 192–205. Utánnyomás: [32] és [35]. Magyar fordítás:

[III].

[14] Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische

Kritik, C (1892), 25–50. — Utánnyomás: [32] és [35]. Magyar fordítás: [IV].

[15] Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. I. Band. Jena,

1893, H. Pohle. — Utánnyomás: Darmstadt, 1962, Wissenschaftliche

Buchgesellschaft; és Hildesheim, 1962, G. Olms. Magyar szemelvények: [V].

[16] Rezension von Dr. E. G. Husserl: Philosophie der Arithmetik. Zeitschrift

für Philosophie und philosophische Kritik, CIII (1894), 313–332. — Utánnyomás

[35]-ben.

[17] Le nombre entier. Revue de Métaphysique et de Morale, III (1895), 73–78.

— Utánnyomás [35]-ben.

[18] Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über

die Algebra der Logik. Archiv für systematische Philosophie, I (1895), 433–456.

— Utánnyomás: [34] és [35].

[19] Über die Begriffsschrift des Herrn Peano und meine eigene. Berichte über

die Verhandlungen der K. S. Ges. der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. Klasse,

XLVIII (1897), 361–378. — Utánnyomás [32]-ben.

[20] Über die Zahlen des Herrn H. Schubert. Jena, 1899, H. Pohle.

Utánnyomás: [34] és [35].

[21] Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. II. Band. Jena,

1903, H. Pohle. — Utánnyomás: Darmstadt, 1962, Wissenschaftliche

Buchgesellschaft; és Hildesheim, 1962, G. Olms. Magyar szemelvény: [VI].

[22] Über die Grundlagen der Geometrie. Jahresbericht der Deutschen

Mathematiker-Vereinigung, XII (1903), 319–324. — Utánnyomás [35]-ben.

[23] Über die Grundlagen der Geometrie. II. Jahresbericht der Deutschen

Mathematiker-Vereinigung, XII (1903), 368–375. — Utánnyomás [35]-ben.

[24] Was ist eine Funktion? Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum

sechzigsten Geburtstage. Leipzig, 1904, J. A. Barth, 656–666. — Utánnyomás:

[32] és [35].

[25] Über die Grundlagen der Geometrie. I. Jahresbericht der Deutschen

Mathematiker-Vereinigung, XV (1906), 293–309. — Utánnyomás [35]-ben.

199

[26] Über die Grundlagen der Geometrie (Fortsetzung). II. Jahresbericht der

Deutschen Mathematiker-Vereinigung, XV (1906), 377–403. — Utánnyomás

[35]-ben.

[27] Über die Grundlagen der Geometrie (Schluss). III. Jahresbericht der

Deutschen Mathematiker-Vereinigung, XV (1906), 423–430. — Utánnyomás

[35]-ben.

[28] Anmerkungen zu Philip E. B. Jourdain: The Development of the Theories

of Mathematical Logic and the Principles of Mathematics: Gottlob Frege. The

Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLIII (1912), 237–269. —

Utánnyomás [35]-ben.

[29] Der Gedanke. Eine logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie des

deutschen Idealismus, I (1918), 58–77. — Utánnyomás: [34] és [35]. Magyar

fordítás: [VII]

[30] Die Verneinung. Eine logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie

des deutschen Idealismus, I (1918),143–157. — Utánnyomás: [34] és [35].

Magyar fordítás: [VIII]

[31] Logische Untersuchungen. Dritter Teil: Gedankengefúge. Beiträge zur

Philosophie des deutschen Idealismus, III (1923), 36–51. — Utánnyomás: [34] és

[35]. Magyar fordítás: [IX]

[32] Funktion, Begriff Bedeutung. Fünf logische Studien (Hrsgg. G. Patzig).

Göttingen, 1962, Vandenhoeck & Ruprecht; új kiadás 1966. — Tartalmazza a [7],

[12], [13], [14], [24] műveket.

[33] Begriffsschrift und andere Aufsätze (Hrsgg. I. Angelelli). Darmstadt, 1964,

Wissenschaftliche Buchgesellschaft; és Hildesheim, 1964, G. Olms. —

Tartalmazza a [4]…[8] műveket.

[34] Logische Untersuchungen (Hrsgg. G. Patzig). Göttingen, 1966,

Vanderhoeck & Ruprecht,. — Tartalmazza a [18], [20], [29], [30], [31] műveket.

[35] Kleine Schriften (Hrsgg. I. Angelelli). Darmstadt, 1967, Wissenschaftliche

Buchgesellschaft; és Hildesheim, 1967, G. Olms. — Tartalmazza az [1]…[3],

[10]…[14], [16]…[20], [22]…[31] cikkeket és egyebeket.

[36] Nachgelassene Schriften und wissenschaftlicher Briefwechsel. I. Band:

Nachgelassene Schriften (Hrsgg. H. Hermes, F. Kambartel, F. Kaulbach).

Hamburg, 1969, Felix Meiner Verlag. (2., bővített kiad.: uo., 1982)

[37] Schriften zur Logik und Sprachphilosophie. Aus dem Nachlass (Hrsgg. G.

Gabriel). Hamburg, 1971, Felix Meiner Verlag. — Válogatott cikkek a [36]

kötetből.

[38] Schriften zur Logik. Aus dem Nachlass (Einleitung: L. Kreiser). Berlin,

1973, Akademie-Verlag. — A [37] kötet, kiegészítve 4 további cikkel [36]-ból.

[39] Nachgelassene Schriften und wissenschaftlicher Brief wechsel. II. Band:

Wissenschaftlicher Briefwechsel (Hrsgg. H. Hermes, F. Kambartel, F. Kaulbach).

Hamburg, 1976, Felix Meiner Verlag.

FONTOSABB ANGOL FORDÍTÁSOK

200

[40] Die Grundlagen der Arithmetik — The Foundations of Arithmetic

(Kétnyelvű kiadás. Angol ford.: J. L. Austin). Első kiadás: Oxford, 1950, Basil

Blackwell. (Lásd [9]; számos új kiadása van, részben csak angol szöveggel.)

[41] Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege (P. Geach

& M. Black). Oxford, 1960, Basil Blackwell. — Tartalmazza [12], [13], [14], [18],

[24] és [30] fordítását, valamint részleteket [4], [15], [16] és [21] fordításából.

[42] The Basic Laws of Arithmetic. Berkeley–Los Angeles, 1972. — [15] és

[21] szemelvényes fordítása.

[43] Conceptual Notation and Related Articles. Oxford, 1972. — [4] és egyéb

cikkek fordítása.

[44] On Foundations of Geometry and Formal 7heories of Arithmetic. New

Haven–London, 1971. — [21]…[23], [24]…[27] és egyéb cikkek fordítása.

[45] Collected Papers on Mathematics, Logic and Philosophy. A [35]-be

felvett írások és néhány korai, újabban felfedezett cikk fordítása.

MAGYAR FORDÍTÁSOK

[46] Értelem és jelentés. Helikon Világirodalmi Figyelő, 1973/2–3, 310–312.

— Részlet [38]-ból, 84–92.

[47] Az értelem és a jelentés vizsgálata (Ford. Kanyó Zoltán). A jel tudománya.

Budapest, 1975, Gondolat, 135–150. — Részletek [14]-ből.

[48] Logikai vizsgálódások (Ford. Máté András). Magyar Filozófiai Szemle,

1980/1. — [29] és [30] fordítása, új kiadása jelen kötetben: [VII] és [VIII] .

[49] Logika, szemantika, matematika (Válogatott tanulmányok, ford. Máté

András, szerkesztette, a kommentárokat, a bevezetést és az utóhangot írta Ruzsa

Imre). Budapest, 1980, Gondolat. — Tartalmazza az [I]–[VI] fordításokat,

valamint [9] néhány részletének fordítását.

[50] Logikai vizsgálódások. Harmadik rész: Összetett gondolatok. (Ford.

Bimbó Katalin). Filozófiai Figyelő 88/1, 88–102. — [31] fordítása, a jelen

kötetben [IX].

[51] Az aritmetika alapjai (Fordította és az utószót írta Máté András).

Budapest, 1999, Áron.

NÉHÁNY FONTOS KÖNYV FREGÉRŐL

[52] M. Dummett: Frege: Philosophy of Language. London, 1973, Duckworth.

2. kiad.: uo., 1982.

[53] M. Schirn (hrsg.): Studien zu Frege/Studies on Frege (3 köt.) Stuttgart –

Bad Canstatt, 1976, fromann–holzboog.

[54] M. Dummett: Frege: Philosophy of Mathematics. London, 1992,

Duckworth.

EGYÉB IDÉZETT MŰVEK

201

[55] G. Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (1883).

In G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen

Inhalts (Hrsgg. E. Zermelo). Hildesheim, 1962, G. Olms, 165–208.

[56] G. Cantor: Die Grundlagen der Arithmetik (Recenzió [9]-ről, 1885). Az

[55] alatt idézett műben, 440–441.

[57] A. Church: Introduction to Mathematical Logic. I. Princeton, 1944.

[58] A. Church: A Formulation of the Logic of Sense and Denotation. In

Structure, Method and Meaning: Essays in Honor of H. F. Sheffer. New York

1951, 3–24.

[59] L. Couturat (ed.): Opuscules et fragments inédits de Leibniz. Hildesheim,

1966, G. Olms.

[60] R. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? — Stetigkeit und

Irrationale Zahlen. Berlin, 1967, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.

[61] B. Erdmann: Logik. Halle a. S., 1292, Max Niemeyer.

[62] K. Gödel: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen

Funktionenkalküls. Monatshefte für Mathematik und Physik, 37 (1930), 349–360.

[63] K. Gödel: On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems.

Princeton, 1934.

[64] E. Kossak: Die Elemente der Arithmetik. Berlin, 1872, Programm des

Friedrich-Werder'schen Gymnasiums.

[65] W. O. Quine: A logika módszerei. Budapest, 1968, Akadémiai.

[66] E. Schröder: Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Leipzig, 1873.

[67] E. Schröder: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Leipzig, 1890.

[68] Ruzsa I.: Klasszikus, modális és intenzionális logika. Budapest, 1984,

Akadémiai Kiadó.

[69] A. Tarski: Igazság és bizonyítás. Budapest, 1990, Gondolat.

[70] A. N. Whitehead – B. Russell: Principia Mathematica. Cambridge, 1910–

1913. 2. kiadás: 1925–1927.

202

FREGE SZAKKIFEJEZÉSEINEK

ÉS SZIMBÓLUMAINAK FORDÍTÁSA

Frege kifejezései

Anzahl

Bedeutung

Begriffsumfang

das Falsche

gewöhnliche (Bedeutung)

Gleichheit

Sinn

ungerade (Bedeutung)

ungesättigt

das Wahre

Wahrheitswert

Wertverlauf (einer Funktion)

wirklich

Forditás e kötetben

számosság

jelölet

fogalom terjedelme

a Hamis

szokásos (jelölet)

azonosság

jelentés (néha: értelem)

közvetett jelölet)

kitöltetlen

az Igaz

igazságérték

(függvény) értékmenete

ható valós materiális

Frege logikai szimbólumai Jelölés e kötetben

(10. ábra, számozás nélkül)