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Horst Steibl 1 Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Horst Steibl, TU Braunschweig GDM-Tagung Berlin 2007 Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten

Golden Elin i En

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Horst Steibl 1

Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck

Horst Steibl, TU Braunschweig

GDM-Tagung Berlin 2007

Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten

Page 2: Golden Elin i En

Horst Steibl 2

Die Aufgabe:

Falten Sie in einem quadratischen Blättchen die gezeichneten Linien exakt durch Punkt-auf-Punkt-Faltung und beweisen Sie, dass die gefärbten Dreiecke ägyptische Dreiecke sind.

Erlaubte Hilfsmittel: Winkelsumme im Dreieck, Strahlensätze, Ähnlichkeit,

A B

C

PM

Q

L

Page 3: Golden Elin i En

Horst Steibl 3

Die Diagonale im Doppelquadrat

Halbiere das Quadrat längs einer Mittellinie. Du erhältst zwei Rechtecke, deren lange Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. Man bezeichnet es auch als Doppelquadrat.

In Jedem Rechteck gilt:

Um die Diagonale zu falten, faltet man zunächst die Mittelsenkrechte der Diagonale. Bringt man dann die Endpunkte dieser Faltlinie aufeinander, so erhält man die Diagonale.

Die diagonale Raute im Rechteck

B

S

M

P

Page 4: Golden Elin i En

Horst Steibl 4

Die goldenen Linien im Quadrat

Dies Verbindungslinie eine Seitenmitte des Quadrates mit einem nicht benachbarten Eckpunkt bezeichne ich als goldene Linie im Quadrat.

Berechnet man die Länge dieser Strecke im Einheitsquadrat , so ergibt sich:

(1/2)²

5/4

g = ½*5

= ½ + ½*5

Somit lässt sich hiermit die Konstante des goldenen Schnittes konstruieren

= 1,618...

Page 5: Golden Elin i En

Horst Steibl 5

Das 3. Elementardreieck

Dieses Dreieck, dessen Katheten im Verhältnis 1 : 2 stehen heißt auch nach Platon: Elementardreieck Nr 3

Man kann sie zum Quadrat mit Loch umlegen und damit etwa ausgehen vom 10 * 10 Quadrat die Länge von g elementar berechnen ~:

5,2 cm 2,3 cm

A = (1 + ¼)Beim Versuch, solche Quadrate mit Loch zu legen (es gibt noch eine 2. Möglichkeit), kann sich folgendes ergeben:

Page 6: Golden Elin i En

Horst Steibl 6

Das goldene Rechteck

5,2 cm 2,3 cm

4,6 cm

Es entsteht ein Rechteck mit Loch, dessen Seiten im Verhältnis des goldenen Schnittes stehen. Für das Loch gilt das gleiche.

Hans Walser´s

goldene Spirale

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Horst Steibl 7

Figuren aus vier Dreiecken

Grundfiguren:

Quadrat, Rechteck.

Raute, Trapez

ParallelogrammSpiegelachsen

Figuren mit Loch

Drehsymmetrie

Page 8: Golden Elin i En

Horst Steibl 8

Die Knautsche Figur

Zeichnet (oder faltet) man alle 8 goldenen Linien im Quadrat, so entsteht eine ansprechende Sternfigur: die

Knaut´sche Figur

5,2 cm 2,3 cm

4,6 cm

Wie viele goldene Linien

sind das?

Page 9: Golden Elin i En

Horst Steibl 9

Die Knaut´sche Figur auf dem Geobrett

Page 10: Golden Elin i En

Horst Steibl 10

Das Parallelogramm und der Drachen als erzeugende Elemente der Knaut´schen Figur

Page 11: Golden Elin i En

Horst Steibl 11

Vierecke aus den goldenen Linien

1/5 1/3 1/4

1 – 3* 1/8 – 2* 4/20 = 9/40

½ - 1/12 –3/20= 4/15

½ - 1/12 –1/8 = 7/24

Page 12: Golden Elin i En

Horst Steibl 12

Diagonalen des Rechtecks

Es gibt drei Klassen von Schnittpunkten

Schnittpunkte

In welchem Verhältnis schneiden sich diese

goldenen Linien hier ?

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

y

Die Diagonalen im Trapez teilen einander im Verhältnis der parallelen Seiten

Das Verhältnis heißt hier 1 : 2

Der Punkt drittelt jede Querlinie , die von einer Seite zur Gegenseite geht

Damit können wir das Blatt in 9

Quadrate zerlegen-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x

y

1

2

Der Drittelpunkt

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Horst Steibl 13

g1 und g2 schneiden sich im rechten Winkel

5

10

5

10

1 2

4Im rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse dieses in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke

Sie teilt diese im Verhältnis der Quadrate der Katheten

3

Der Fünftel-Punkt

Falten Sie ein 5 + 5 Feld ohne aufzurollen! Nicht durch den Punkt, sondern auf den Punkt falten

3

4

5 Damit haben wir gezeigt, dass diese 3 g-Linien ein ägyptisches Dreieck bestimmen. Später dazu mehr.

Page 14: Golden Elin i En

Horst Steibl 14

Die Höhe im rechtwinkligen Dreieck

Der Höhensatz lautet:h² = p * q

q² + h² = a²; p² + h² = a²

q² + p*q = a²P² + p*q = b²

q(q + p) = a²p(p + q) = b²

q : p = a² : b²

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Horst Steibl 15

Das 25-er Feld

2´ 3´2´ 3´4

4

Der Schnittpunkt bestimmt lotrecht einen 2-er-

Streifen und einen 3-er-Streifen.

Halbiere zuerst den 2-er-Streifen

Nun hast du ein Feld, das 4 Streifen breit ist. Halbiere dieses. Du bekommst zwei 2-er-Streifen. Halbiere zunächst den äußeren. Als letztes knickst du die Linie durch den Teilungspunkt (4-er-Streifen halbieren)!

Quer: Halbiere die Viererstreifen; dann den unteren 2-er-Streifen. Falte von oben auf die unteren Knick(4=2 +2). Halbiere den untere 2.er-Streifen. Die letzte Faltlinie geht wieder durch den Teilungspunkt.

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Horst Steibl 16

Bruchteile

1/6 * ½= 1/12 1/10 * ½= 1/201/3 * 1/4 = 1/12

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Horst Steibl 17

Lage im Punktgitter?

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

y

Woran erkennt man sie?

3 : 4 : 5 R; 3 : 4 R; 4 : 5

R und einen zweiten ägyptischen Winkel!!

arctan(4/3) = 53,130...°

arctan(3/4) = 36,869...°

Die ägyptischen Dreiecke

sehr krumm

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Horst Steibl 18

Tim und Tom in ihren Kammern

5, 11, 14 - Kammer

5, 10, 11 - KammerTom: Der spitzere Winkel im diagonal halbierten Doppelquadrat

Tim + Tom = ½ R

tan (Tom) = ½

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Horst Steibl 19

Die DoppelkammernTim hat einen Zwillingsbruder, Timm mit zwei m. Wenn der zu Besuch kommt, schlafen sie in der Tim-Timm Ecke.

Der Zwillingsbruder von Tom kommt auch ab und zu. Jetzt kann man gut sehen,dass sie etwas breitere Hüte haben als die Tims.

Das ist also die Tom-Tom-Ecke

m

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Horst Steibl 20

oiio

oi

iooi

o

ii

oiiooi

oo

oiioo

iio

ooi

NK

A

US A

T

I

R

P

I

P

A

N

K

R

A

T

U

S

Zerlege und du findest das Zauberwort

ES

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Horst Steibl 21

Die Winkel des ägyptischen Dreiecks

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

y

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

Das (10,11,11- Das (7,11,11)-

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y306,8699 °

53,1301 ° o i i

o

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

o

ii

o oi

io

ii

oo

Genau dann ist ein rechtwinliges Dreieck ein pythagoräisches 3,4,5 –Dreieck, wenn es einen oo-Winkel oder einen ii-winkel hat.

oo

ii

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Horst Steibl 22

Lösung unserer Aufgabe

Augenscheinlich!

Zwei lotrecht aufeinander stehende Geradenpaare schneiden sich unter gleichen Winkeln

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Horst Steibl 23

Trigonometrischer Einschub

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

o o

arc tan 4/3 = 2* arc tan 1/2

3

4

1

2

= arc tan (4/3)

o = arc tan (1/2)

= 2 * o

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Horst Steibl 24

Das pythagoräische Dreieck aus dem Doppelquadrat

Hier ist in einem Doppelquadrat, also einem Rechteck mit den

Seitenverhältnissen 1 : 2 eine Ecke auf die Gegenecke gefaltet. Damit haben wir die Mittelsenkrechte der Diagonale gefaltet.

Betrachten wir den Rechteckwinkel unten links:

Für den Dreieckswinkel bleibt ein Tim-Tim-Winkel übrig!

Also muss des blaue Dreieck ein ägyptisches Dreieck sein

Nach einem Vorschlag von Hans Walser

oo ii

o

Page 25: Golden Elin i En

Horst Steibl 25

Der Satz von HagaFaltet man in einem Quadrat eine Ecke auf eine gegenüberliegende Seitenmitte, so sind die drei überstehenden Dreiecke pythagoräische (3,4,5)-Dreiecke

ii

ii

oo

ii

ii

Falte die Mittelsenkrechte der Diagonale des rechten Doppel-quadrates und die Diagonale

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Horst Steibl 26

Pyth aus dem Doppelquadrat

2 : 1 = 1 : ½

4 : 2 = 2 : 1a

a= ½ (4 – 1) = 1 ½

8 : 4 = 4 : 2

´

a´ = ½ (8 – 2) = 3

b´= 4c´ = a´+ 2 = 5

c ´

Vertauschen der Funktion:

Diagonale Mittelsenkrechte

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Horst Steibl 27

Faltet man in einem Rechteck mit Seitenverhältnis u : v (u > v) die Diagonale und ihre Mittelsenkrechte (in umgekehrter Reihenfolge) und vertauscht ihre Funktion, so kommt man zu einem ähnlichen Rechteck.

Es handelt sich um ein Drehstreckung = 90° und p = v/u.

Wie kann ich die Maße des Rechteckes aus den gegebenem Verhältnis berechnen? Geht das auch bei anderen Rechtecken? Ergeben sich da auch pythagoräische Dreiecke?

Maße des Rechtecks?

Die Seiten des entsprechenden Dreiecks stehen bei ganzzahligem Verhältnis der Rechteckseiten dann immer im Verhältnis eines pytagoräischen Zahlentripels.

Page 28: Golden Elin i En

Horst Steibl 28

Das indische Dreieck 3 : 2

3 : 2 = 2 : x

x = 4 / 3

3 : 2 = 2 : 4 / 3

9 / 6 = 6 / 4

xy

x + y

y = 5/2

18 : 12 = 12 : 8

(9 – 4)/2 = 5/2

Tauschen der Funktion: Diagonale - Mittelsenkrechte

a = 5b = 12

c = 5 + 8 = 13

Ist u : v das ganzzahlige Verhältnis der Rechteckseiten, u > v und u – v ungerade, so erweitere man die Verhältnisse der Rechtecke mit 2u. Auf diese Weise erhält man die Maße des gesuchten Rechteckes.

x ´= 8y´ = 5x´+y´= 13

25 + 144 = 169

Page 29: Golden Elin i En

Horst Steibl 29

Rechteck 7 : 4

7 : 4 = (7 * 2*7) : (4 * 2*7) = 98 : 56

56 * (4 /7) = 32(98 – 32) /2 = 33

32 + 33 = 65

33² + 56² = 65²1089 + 3136 = 4225

98

56

32

33

„erweitere“ mit 2 * u = 2 * 7

Rechtecksmaße

kurze S. kl. Re.

HypotenuseKathete

65

Sind u und v die Parameter des Seitenverhältnis mit u > v und u, v gekürzt und u – v nicht gerade so gilt

a : b : c = (u² - v²) : 2u : (u² - v²)

Page 30: Golden Elin i En

Horst Steibl 30

Berechnung der Zahlentripel: Verhältnis u : v

x y

v

u

z

Die kurze Seite x des drehgestreckten Rechtecks berechnet sich zu

x = v * v / u = v²/u

Damit ergibt sich für den Abschnitt y y = 1/2 ( u - x) = 1/2 ( u - v²/u)

Setzen wir die Seiten y, v und z des pythagoräischen Dreiecks ins Verhältnis: y : v : z = 1/2 ( u - v²/u)      :   v   :   (v²/u) + 1/2 ( u - v²/u)

"erweitern" wir diese Terme mit 2u so ergibt sich

y : v : z = (u² - v²)     :    (2*u*v )    :     (u² + v²)

Page 31: Golden Elin i En

Horst Steibl 31

Hans Walserhttp://www.math.unibas.ch/~walser/Miniaturen

Hans Walser, (20060812) Trigonometrie im Schachbrett,

Hans Walser, pythagoräische Dreiecke, 8th International Conferenc on Geometrie

Part 2´

Hans Walser, (20060408b) Falten von Rechtecken

Alfred Hoehn, Der wiedergefundene Schatz

Horst Steibl, Das Geobrett im Unterricht, Franzbecker, 2006

Horst Steibl, Geometrie aus dem Zettelkasten, Franzbecker, 1999

http://www.alfredhoehn.ch/wiedergefundene%20Schatz.pdf

http://www.madin.tu-bs.de/homepage/steibl/Startseite.html

http/Miniaturen/

Page 32: Golden Elin i En

Horst Steibl 32

Rechtecke mit irrationalen Seitenverhältnissen

1/4

2

1/2

2

1

3/4

2

Page 33: Golden Elin i En

Horst Steibl 33

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

Page 34: Golden Elin i En

Horst Steibl 34

Ein Achteck?

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

x

y

126,8699 °

3 cm

143,1301 °

3 cm

143,1301 °

126,8699 °

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

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15

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x

y

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3 cm

143,1301 °

3 cm

143,1301 °

126,8699 °

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

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x

y

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143,1301 °

126,8699 °

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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-2

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1

2

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x

y

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3 cm

143,1301 °

126,8699 °

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-3

-2

-1

1

2

3

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x

y

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3 cm

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3 cm

143,1301 °

126,8699 °

180°:

o

ii

oo

ii

o

Page 35: Golden Elin i En

Horst Steibl 35

Dreiecksmetamorphosens. Hans Walser