Índice

Definición Pag. 3

Definición de la transformada Z con un poco de historia para comenzar a empaparnos sobre el tema.

Tipos. Pag. 4

Aquí veremos los tipos de transformadas Z con los cual podemos trabajar. Veremos la transfor-mada unilateral, bilateral, inversa y geofísica.

ROC, Propiedades y Teoremas. Pag. 6

En esta sección podremos ver de que trata la región de convergencia y podremos aprender so-bre las propiedades básicas de la transformada Z asi como dos teoremas de gran importancia.

Tips. Pag. 7

En este apartado veremos una tabla de transformadas z que son comunes para que a la hora de resolver un problema las tengamos a la mano y no perdamos tiempo.

Ejemplo. Pag. 8

Veremos un ejemplo sencillo de como podemos usar la transformada Z en un ejercicio universi-tario.

Recreación Pag. 9

Crucigrama para entretenerse con palabras sobre el tópico de la revista.

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The Glitch es una revista digital dirigida a todos los

amantes de la ciencia de la eléctrica, informá�ca compu-

tación y control. Podrás encontrar desde no�cias hasta qui-

zás sobre estas ramas de la ciencia iniciando nuestro se-

gundo volumen enfocado sobre los sistemas puesta a �e-

rra.

Aquí en The Glitch Digital Magazine esperamos que

les sea ú�l y prac�co la información dada y que desde hoy

sean subscriptores de esta revista.

Atentamente:

Jorge Boscán

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TransformadasZ—De�inicion

En matemáticas y en procesamiento de señales, la transformada Z es un método para convertir una se-

ñal discreta en el dominio del tiempo, el cual es una secuencia de números complejos o reales, en una re-

presentación compleja en el dominio de la frecuencia. Esta puede ser considerada como una equivalente

discreta de la transformada de Laplace. Laplace tenía una idea básica de lo que hoy en día es la transfor-

mada Z, y fue reintroducida en 1947 por W. Hurewicz como una forma de resolver ecuaciones lineales de

constante-coeficiente diferenciales. Luego fue renombrada “La Transformada Z” por John R. Ragazzini y

Lotfi A. Zadeh en el grupo de control de data de muestreo en la universidad de Columbia en 1952. Más tar-

de fue modificada y se creó la Avanzada Transformada Z que fue desarrollada y popularizada por E.I. Jury.

La idea contenida en la Transformada Z es también conocida en la literatura matemática como el méto-

do de funciones generadas las cuales puede ser encontrada en los principios del año 1730 cuando fue pre-

sentada por de Moivre en conjunto con la teoría probabilística. Desde un punto de vista matemático la

transformada Z puede ser vista como una serie de Laurent donde uno ve las secuencias de números bajo

consideración como una expansión de una funciona analítica.

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Por: Jorge Boscán

TransformadasZ—Tipos

Transformada Z Bilateral

La bilateral o transformada Z de 2 lados en una señal discreta x[n] es la función X(z) definida como:

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo:

Donde A es la magnitud de z, j es la unidad imaginaria, y ɸ es el argumento complejo en radianes.

Transformada Z Unilateral

Como alternativa en caso donde x[n] este definida solo por n >= 0, la transformada unilateral o de 1 solo

lado es definida como:

En el procesamiento de señales, esta definición puede ser usada para evaluar la transformada Z de una

unidad de respuesta de impulso en un sistema casual discreto.

Un importante ejemplo de la transformada Z unilateral es la función probabilidad-generativa, donde el

componente x[n] es la probabilidad que una variable discreta aleatoria tome el valor de n, y la función X(z)

es usualmente escrita como X(s), en términos de que s = z – 1. La propiedades de la transformada Z tienen

una interpretación bastante útil en el contexto de la teoría probabilística.

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Por: Jorge Boscán

TransformadasZ—Tipos

Definición Geofísica

En geofísica, la definición usual de la transformada Z es un polinomio en z opuesto a z-1. Esta conver-

sión es usada por Robinson, Treitel y Kanasewich. La definición geofísica es:

Las dos definiciones son equivalente; sin embargo, la diferencia resulta en cambios numéricos. Por

ejemplo, la localización de los zeros y polos se mueven desde adentro del circulo unitario usando una defi-

nición, para afuera del circulo unitario usando otra definición.

Transformada Z Inversa

La transformada Z inversa es:

Donde C es un camino cerrado en sentido contrario que encierran el origen y completamente en la re-

gión de convergencia. El contorno o camino, C, debe encerrar todo los polos de X(z).

Un caso especial de este contorno integral ocurre cuando C es el circulo unitario.

La transformada Z inversa simplificada a la transformada inversa de Fourier discreta en el tiempo es:

La transformada Z con un rango finito de n y un número finito de uniformidad espacial, el valor z puede

ser computado efectivamente con el algoritmo FFT de Bluestein.

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TransformadasZ—ROC,PropiedadesyTeoremas

Region de Convergencia

La región de convergencia son los puntos en el plano complejo donde la sumatoria de la transformada Z

converge.

Propiedades y Teoremas:

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Por: Jorge Boscán

TransformadasZ—Tips

Tabla de Transformadas Z comunes

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Por: Jorge Boscán

TransformadasZ—Ejemplo

Ejemplo:

Determinar la transformada z de la siguiente señal:

Dibujamos la secuencia causal:

Aplicando la definición de la transformada z se tiene que:

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Por: Jorge Boscán

Recreacion:Crucigrama

Palabras a conseguir:

TRANSFORMADA INVERSA BILATERAL

UNILATERAL CONVERGENCIA RAGAZZINI

ZADEH FOURIER GEOFISICA

9

J N D U N I L A T E R A L X R

G Y I K P R F V R D H J U V A

C C L T F R D X E V N M H T G

O R G D R C B M I L P I Y R A

N D C V B A N M R S H K B R Z

V W H J S R N M U Z J K I U Z

E T G B J A L S O G A H L B I

R C V G R N Y I F E S Z A D N

G H R U D S H I R O I N T X I

E Z H K Y D R D X F R U E I O

N Q H J B X F K Y I J M R V H

C Z X C V R X B M S Y I A S E

I K P O Y R B I N I F Y L D D

A R G J K I Y V X C C J K U A

F N K I N V E R S A U O P L Z

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