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Giovanni Sambin - Per una dinamica nei fondamenti (Un modo di concepire matematica e logica)

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Questa è una prova: ho raccolto tutti i miei scritti "senza formule" in italiano. L'idea è di farne un libro. I primi tre sono già stati pubblicati (nel 1987, nel 1991 e nel 1998), ma saranno da ripulire (in particolare, togliere tutti i commenti che li rendono legati alla situazione). Il quarto e una revisione e traduzione, fatta nel 2000, di Steps towards a dynamic constructivism. L'articolo che sento come piu importante ha dato il titolo al libro. Non cambierei nulla del contenuto, salvo forse lo stile di presentazione (ora sembra tutto troppo facile da leggere, ma in realtà è estremamente sintetico). Credo di introdurre delle idee davvero nuove, anche con rilevanza filosoca generale, e non solo per la matematica. Forse è da aggiungere una introduzione, per aiutare il lettore, fornirgli i "prerequisiti".Ma non credo sia facile. Oppure è da espandere qualche parte di Alla ricerca. . . fino a farlo diventare una introduzione al tema dei fondamenti. Forse e anche da espandere la parte sui teoremi di incompletezza (la settima rivoluzione). Se risulta comunque troppo corto, posso aggiungere altre cose che ho in mente: sulla basiclogic e l'unita della logica, sui diversi livelli di riferimento (linguaggio - metalinguaggio) come unico modo per spiegare il significato, sulla necessità di vari livelli di astrazione - dentro lo stesso sistema formale - anche per la matematica e per l'intelligenza articiale, ecc.Dovrei anche sistemare e tradurre la terza parte di Some points, a cui rimando per ora per una attuazione nella pratica matematica delle idee e principi qui introdotti.

Text of Giovanni Sambin - Per una dinamica nei fondamenti (Un modo di concepire matematica e logica)

  • Per una dinamicanei fondamenti

    Un modo di concepire matematica e logica

    Raccolta degli scritti senza formule, 1987-2000

    Giovanni Sambin

    29 maggio 2005

  • 2

  • Indice

    1 Alla ricerca della certezza perduta (forma - contenuto nei fondamenti dellamatematica) 5

    1.1 Le sette rivoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Il problema dei fondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3 Il programma di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4 La forma del formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.5 Brouwer e Hilbert, scontro di opposti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.6 Un tentativo di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.7 La settima rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.8 Epilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Per una dinamica nei fondamenti 27

    2.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2 Astrazione come attivita` biologica, mentale e sociale. . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.3 Intermezzo: definizione antropologica della matematica come scienza stabile. 53

    2.4 Il processo dinamico di creazione delle astrazioni matematiche. . . . . . . . . 55

    2.5 Verso unecologia della conoscenza matematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3 Matematica, logica e verita`, verso un risanamento 71

    4 Verso un costruttivismo dinamico 79

    4.1 Una tesi generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.2 Le domande familiari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.3 Il processo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.4 Un costruttivismo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.5 La logica di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.6 La basic picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    4.7 Commenti e problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    3

  • 4 INDICE

    AvvertenzaQuesta e` una prova: ho raccolto tutti i miei scritti senza formule in italiano. Lidea

    e` di farne un libro. I primi tre sono gia` stati pubblicati (nel 1987, nel 1991 e nel 1998),ma saranno da ripulire (in particolare, togliere tutti i commenti che li rendono legati allasituazione). Il quarto e` una revisione e traduzione, fatta nel 2000, di Steps towards a dynamicconstructivism. Larticolo che sento come piu` importante ha dato il titolo al libro.

    Non cambierei nulla del contenuto, salvo forse lo stile di presentazione (ora sembra tuttotroppo facile da leggere, ma in realta` e` estremamente sintetico). Credo di introdurre delleidee davvero nuove, anche con rilevanza filosofica generale, e non solo per la matematica.

    Forse e` da aggiungere una introduzione, per aiutare il lettore, fornirgli i prerequisiti.Ma non credo sia facile. Oppure e` da espandere qualche parte di Alla ricerca. . . fino a farlodiventare una introduzione al tema dei fondamenti. Forse e` anche da espandere la parte suiteoremi di incompletezza (la settima rivoluzione).

    Se risulta comunque troppo corto, posso aggiungere altre cose che ho in mente: sulla basiclogic e lunita` della logica, sui diversi livelli di riferimento ( linguaggio - metalinguaggio) comeunico modo per spiegare il significato, sulla necessita` di vari livelli di astrazione - dentro lostesso sistema formale - anche per la matematica e per lintelligenza artificiale, ecc.

    Dovrei anche sistemare e tradurre la terza parte di Some points, a cui rimando per oraper una attuazione nella pratica matematica delle idee e principi qui introdotti.

    Prima di leggere questo testo, controllare in rete al sito www.math.unipd.it/sambinche sia la versione piu` recente.

    Giovanni Sambin

    Padova, settembre 1998 - maggio 2005

  • Capitolo 1

    Alla ricerca della certezzaperduta (forma - contenuto neifondamenti della matematica)

    Agilulfo passava, attento, nervoso, altero: il corpo della gente che aveva un corpo gli davas` un disagio somigliante allinvidia, ma anche una stretta che era dorgoglio, di superiorita`sdegnosa.

    I. Calvino, Il cavaliere inesistente

    Derivati della parola forma compaiono spesso nella letteratura sui fondamenti della mate-matica: formula (cioe` piccola forma), formalizzazione, logica (sistema, teoria, ecc.) formale,ecc. Come vedremo, la stessa parola Formalismo e` il nome di una scuola sui fondamenti.Per questo motivo, quando fui invitato ad intervenire, come logico e matematico, ad uncongresso sulla forma1, dopo qualche dubbio accettai: nel caso peggiore, mi sarei limitato apresentare i principi del formalismo (come cerco di fare nel paragrafo 3), lasciando ad altri,come una domanda aperta, il compito di svelare la connessione tra la forma nei fondamen-ti della matematica e la forma in filosofia, in psicologia, in biologia, ecc. e nel linguaggioquotidiano.

    Ma ogni domanda chiaramente posta pretende risposta. Far emergere la mia risposta none` stato facile; e ancora meno facile e` ora cercare di comunicarla e sostenerla. Il linguaggioe la tradizione filosofici qui certamente sarebbero daiuto; ma nel mestiere di matematico,anche se come me specializzato in logic and foundations, la speculazione filosofica oggi trovaposto soltanto indirettamente, come ispirazione, spesso inconsapevole, per la costruzionedi teorie o la dimostrazione di teoremi. Sono cos` costretto ad affidarmi soltanto alla miaesperienza della matematica ed alla passione, di dilettante, per alcune questioni di naturafilosofica poste dai suoi fondamenti. Se nonostante queste difficolta` mi cimento nellimpresa(nei paragrafi 4, 5 e 6), e` perche ritengo che alcuni aspetti colti dal punto di osservazione,in un certo senso privilegiato, in cui mi trovo possano costituire materiale vivo per chi piu`di me ha disposizione per, e consuetudine con, la ricerca filosofica (ma con lavvertenza dinon considerare troppo semplice, oltre al linguaggio, anche la sostanza).

    Infine, per dar senso a quanto segue, e` necessario mettere in chiaro che, contrariamentead una opinione diffusa anche tra matematici, non solo esiste un problema dei fondamenti ma

    1Ringrazio dellinvito i promotori del congresso, in particolare Maria Grazia Ciani, Oddone Longo eGiuseppe Scorza.

    5

  • 6 ALLA RICERCA DELLA CERTEZZA PERDUTA

    il suo interesse, oggi in particolare, non e` soltanto teorico2. Un mito da sfatare e` la totalecertezza, chiarezza e staticita` dei concetti matematici, il cui corollario e` una affidabilita`assoluta che non prevede discussioni. Ma che la matematica poggi su basi ben ferme eindiscutibili e` unillusione in cui si puo` cadere solo da un punto di osservazione esternoo schiacciato al tempo presente. Se entrare nel regno della matematica, o dualmente -farla entrare in testa, e` un viaggio che non puo` essere narrato ma solo compiuto, e` invecepossibile esporne lo sviluppo, e cos` allargare il campo visivo fino ad includere lo sfondostorico. La seguente brevissima e personalissima panoramica sullevoluzione storica deiconcetti matematici ha il duplice scopo di solleticare eventuali curiosita` e di portarci per lavia piu` comoda alla definizione della questione che ci siamo posti.

    1.1 Le sette rivoluzioni

    Ripercorrendo sinteticamente la storia della matematica, nel susseguirsi di capovolgimenticoncettuali e inaspettate scoperte sembra di poter identificare sette avvenimenti che piu` pro-fondamente hanno inciso sul modo di concepire la matematica stessa, e che percio` possiamochiamare rivoluzioni.

    La prima vera, grande rivoluzione e` la nascita, nella Grecia antica, del concetto di di-mostrazione. Certo oggi la matematica e` talvolta addirittura definita come la scienza delledimostrazioni, e ogni matematico e` ad esse talmente assuefatto che a fatica immagina comesi possa farne a meno. Ma e` un fatto che le dimostrazioni compaiono in un periodo stori-co preciso: sono assenti in tutta la matematica preellenica, con Euclide raggiungono pienamaturita`.

    Una breve, semplice dimostrazione, quella dellimpossibilita` di commisurare lato e diago-nale dun quadrato, provoca la seconda rivoluzione. Crolla la fede di Pitagora in un ParadisoNumerico in cui tutto e` numero, e cominciano per i Greci i problemi con infinito e infinite-simo, continuo e discreto, uno e tutto, ecc. e` la prima cacciata dal paradiso. Alla fine diun lungo e acceso dibattito, linfinito e lirrazionale sono imbrigliati (ma non domati) nellanitida struttura logico-geometrica di Euclide. Per la seconda volta sembra di aver toccato ilparadiso, un Paradiso Geometrico in cui tutta la matematica greca e` espressa nel linguaggiounificante della geometria. Si dice che gli Elementi sia il libro che ha avuto piu` edizioni,dopo la Bibbia. Certamente, per il senso di assoluta precisione e forza intellettuale cheesso emana, e` considerato per circa due millenni il paradigma della verita` ed Euclide, comeAristotele per altri aspetti, venerato come un santo.

    Assieme al mondo antico, anche la raffinata struttura concettuale di Euclide si eclissa, ela terza inconsapevole rivoluzi

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