GHICA - Risk Analysis with GH Distributions and ...sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc/events/Motzen/YChen-paper.pdf · GHICA - Risk Analysis with GH Distributions and Independent Components

GHICA - Risk Analysis with GH Distributions andIndependent Components

Ying Chen

Wolfgang Hardle

Vladimir Spokoiny

Institut fur Statistik and OkonometrieCASE - Center for Applied Statistics and EconomicsHumboldt-Universitat zu Berlin

Weierstraß-Institutfur Angewandte Analysis und Stochastik

http://ise.wiwi.hu-berlin.dehttp://www.case.hu-berlin.dehttp://www.wias-berlin.de

W e ie rstra ß -In stitu t fü r A n g e w a n d te A n a ly s is u n d S to ch a stik

http://ise.wiwi.hu-berlin.de

http://www.case.hu-berlin.de

http://www.wias-berlin.de

Motivation 1-1

Value at Risk (VaR) calculation

Rt = b>t xt = b>t Σ1/2t εt

Rt the portfolio returnbt the portfolio weightsxt ∈ Rd the individual returns with cov Σt

εt the stochastic term.

VaR at level 100a%: VaRa,t = F−1a,t (Rt),

F−1t equals the inverse of cdf of Rt .

Critical point: pdf of xt .

GHICA

Distribution comparison

-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y

NIGLaplaceNormalt(5)Cauchy

Motivation 1-2





RiskMetrics

εt ∼ N(0, Id)Σt = $Σt−1 + (1−$)xt−1x

>t−1 (Exponential Moving Average)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-3





T-deGARCH

εt ∼ t(df )Σt = $ + α1Σt−1 + β1xt−1x

>t−1 (GARCH(1,1))

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-4

A univariate story

Chen, Hardle and Jeong (2005), GHADA:Generalized Hyperbolic distribution + ADAptive volatilityThe Gaussian density (left) and GH density (right) fits of the devolatilized returns of

DEM/USD rates from 1979-12-01 to 1994-04-01 (black: nonparametric kernel density,

red: normal density, blue: GH density).

Gaussian density

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y

GH(1,1.74,-0.02,0.78,0.01)

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

4

Y

GARCH(1,1) + t(15) density

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-5

A univariate story

Chen, Hardle and Jeong (2005), GHADA:Generalized Hyperbolic distribution + ADAptive volatilityThe t(15) density (right) and GH density (left) fits of the devolatilized returns of

DEM/USD rates (black: nonparametric kernel density, green: t(15) density, blue: GH

density). GARCH(1,1) process: σ2t = 1.65e − 06 + 0.07x2

t−1 + 0.89σ2t−1.

Gaussian density

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y

GH(1,1.74,-0.02,0.78,0.01)

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

4

Y

GARCH(1,1) + t(15) density

-4 -2 0 2 4

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-6

Excursion to GHADA

X ∼ GH with density:

fGH(x ;λ, α, β, δ, µ) =(ι/δ)λ

√2πKλ(δι)

Kλ−1/2

{α√

δ2 + (x − µ)2}

{√δ2 + (x − µ)2

/α}1/2−λ

· eβ(x−µ)

Where ι2 = α2 − β2, Kλ(·) is the modified Bessel function of thethird kind with index λ: Kλ(x) = 1

2

∫∞0 yλ−1exp{− x

2 (y + y−1)} dy .

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-7

Subclass of GH distribution

The parameters (µ, δ, β, α)> can be interpreted as trend, riskiness,asymmetry and the likeliness of extreme events.Hyperbolic (HYP) distributions: λ = 1,

fHYP(x ;α, β, δ, µ) =ι

2αδK1(δι)e{−α

√δ2+(x−µ)2+β(x−µ)}, (1)

where x , µ ∈ R, 0 ≤ δ and |β| < α.Normal-inverse Gaussian (NIG) distributions: λ = −1/2,

fNIG (x ;α, β, δ, µ) =αδ

π

K1

{α√

δ2 + (x − µ)2}

√δ2 + (x − µ)2

e{δι+β(x−µ)}, (2)

where x , µ ∈ R, 0 < δ and |β| ≤ α.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-8

Adaptive Volatility Estimation

Volatility (and also θt = Cσγt ) is locally time homogeneous in a

short time interval [τ −m, τ), thus we can estimate:

σ2τ =

1

]{I}∑t∈I

R2t .

Time homogeneous: variables are constant and time independent.

1 2 3 τ −m τ − 1 T

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-9

Homogeneity test

TheoremIf R1, ...,Rτ obey the heteroscedastic model and volatilities σt satisfythe condition b ≤ σ2

t ≤ bB with b,B > 0, given a large value η:

P{|θI − θτ | >∆I (1 +ηsγ√]{I}

) + ηvI}

≤ 4√

eη(1 + logB) exp

{− η2

2aγ(1+ηsγ√]{I}

)2

}.

where ∆I measures the (local) bias: ∆2I = 1

]{I}∑

t∈I (θt − θτ )2 and

vI the volatility of θI .

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-10

Homogeneity test

Under homogeneity |θI − θτ | is bounded by ηvI provided that η issufficiently large.

|θI − θτ | < ηvI

|θI\J − θJ | < η(vI\J + vJ) = η′(

√θ2J/]{J}+

√θ2I\J/]{I\J}).

' $� �τ −m τ − 2/3m τ − 1/3m

J

J

τ − 1

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-11

Extension to the high-dimensional case

Independent component analysis (ICA)

Given xt = {x1t , · · · , xdt}>, find ICs yt :

yt = Wxt ,

where W is a d × d nonsingular matrix:

xt = W−1yt = Ayt

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-12

ICA example

IC1t : generalized hyperbolic variable GH(−0.5, 1.02,−0.11, 1, 0)IC2t : GH(−0.5, 1.29,−0.51, 1, 0)IC3t : GH(−0.5, 1.15,−0.35, 1, 0)

A = W−1 =

9 11 0.5−1 −8 212 −5 1

, xt = A

IC1t

IC2t

IC3t

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-13

ICA example

The Mahalanobis transformation:

cov(x)−1/2 =

0.19 0.22 −0.080.22 0.45 −0.14

−0.08 −0.14 0.12

6= W =

0.01 −0.04 0.080.07 0.01 −0.050.29 0.52 −0.18

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-14

Time plots of 3 independent GH variables (top), the linear transformation (middle)

and the estimated ICs (bottom).IC1: GH(-0.5,1.02,-0.11,1,0)

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

x1 = 9*y1 + 11*y2 +0.5*y3

-15.000.00

15.0030.00

250 500 750 1000

y1

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

IC2: GH(-0.5,1.66,-0.89,1,0)

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

x2 =-1*y1 - 8*y2 +2*y3

-15.000.00

15.0030.00

250 500 750 1000

y2

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

IC3: GH(-0.5,1.72,-0.95,1,0)

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

x3 = 12*y1 -5*y2 + y3

-15.000.00

15.0030.00

250 500 750 1000

y3

-4.00

0.00

4.00

8.00

250 500 750 1000

GHICAsim.xpl

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAsim.xpl

Motivation 1-15

What will ICA bring us?

The portfolio return Rt can be calculated as:

Rt = b>t xt (3)

= b>t W−1yt (4)

= b>t W−1D1/2t εt (5)

where covariance of yt : Dt = diag(σ21t , · · · , σ2

dt) and εt i.i.d. shocks.Marginal pdf fyj and volatility σjt of IC yj , j = 1, · · · , d can beestimated univariately.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-16

What will ICA bring us?

The portfolio return Rt can be calculated as:

Rt = b>t xt (3)

= b>t W−1yt (4)

= b>t W−1D1/2t εt (5)

� Equation (4) is ICA that gives us approximately ICs.

� Dt and distributional parameters of εt in (5) can be estimatedapplying GHADA.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Motivation 1-17

VaR estimation procedure: GHICA

1. ICA to get independent components.

2. Apply the GHADA to estimate the local constant vola and fitthe marginal pdf of εt .

3. Determine VaR at level a via MC (d samples, M observationsand N repetitions) .

VaRa,t =1

N

N∑n=1

F−1a,t (R

(n)t )

=1

N

N∑n=1

F−1a,t {b>t W−1D

1/2t ε

(n)t }

4. Perform backtesting.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Outline

1. Motivation: ICA + GHADA = GHICA X

2. ICA: properties and estimation

3. Simulation study

4. Empirical study

5. Conclusion

ICA 2-1

Definition

ICA model: y1t...

ydt

=

w11 · · · w1d

· · · · ·wd1 · · · wdd

x1t

...xdt

yt = Wxt

equivalently xt = Ayt

where xt are d-dimensional observations, yt are ICs and W thenonsingular linear transforming matrix: W−1 = A.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-2

Properties of ICA

Scale identification: the scales of the ICs are not identifiable sinceboth yt and W are unknown.

x1t =d∑

j=1

a1jyjt =d∑

j=1

{ 1

cja1j}{cjyjt}

where cj are constants.Hence: prewhiten xt by the Mahalanobis transformation cov(x)−1/2

and assume that each IC has unit variance: E[y2j ] = 1. The matrix

W is then an orthogonal matrix.From now on xt is prewhitened!

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-3

Properties of ICA

Order identification: the order of the ICs is undetermined.

xt = Ayt = AP−1Pyt

where P is a permutation matrix and Pyt are the original ICs but ina different order.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-4

Properties of ICA

ICs are necessarily non-GaussianConsider two prewhitened Gaussian ICs y1 and y2 with pdf:

f (y1, y2) = |2πI|−12 exp(−y2

1 + y22

2) =

1

2πexp(−||y ||

2

2)

where ||y || is the norm of the vector (y1, y2)>.

The joint density of the observation x1 and x2 is given by:

f (x1, x2) = |2πI|−12 exp(−||Wx ||2

2)|detW | = 1

2πexp(−||x ||

2

2).

Since A is an orthogonal matrix after prewhitening.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-5

How to find the ICs?

CLT: Let (Y1, · · · ,Yd) be a set of d independent random variablesand each has an arbitrary probability distribution, their weightedsum has a limiting cdf that approaches a normal distribution.

yt = W xt = WW−1yt

yjt = w>j xt = w>

j W−1yt = (W−1>wj)>yt

LHS: yjt is expected to be identical to one IC (one variable)RHS: weighted sum of ICs (sum)

Find the maximal nongaussianity of yjt .

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-6


Non-Gaussianity measurement: Negentropy

J(y) = H(ygauss)− H(y)

entropy: H(y) = −∫

fy (η) log fy (η)dη.

Here ygauss is a Gaussian variable with cov(ygauss) = cov(y).Recall that for given variance Gaussian variable has maximal entropy:

H(ygauss) =1

2log |detΣ|+ d

2(1 + log 2π)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-7


Remark: Compared to kurtosis and excess kurtosis, negentropy isless sensitive to outliers.

Negentropy calculation however requires the knowledge of the pdfof yt .

Therefore, Hyvarinen (1998) proposes approximations of negentropythat are computationally feasible:

J(y) ≈ c1[E{G1(y)}]2 + c2{E[G2(y)]− E[G2{N(0, 1)}]}2.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-8


Negentropy approximationApproximation a: c1 = 36/(8

√3− 9) and ca

2 = 1/(2− 6/π)

J(y) ≈ c1[E{y exp(−y2/2)}]2 + ca2 [E{exp(−y2/2)} −

√1/2]2

G a1 (y) = y exp(−y2/2)

G a2 (y) = exp(−y2/2)

Approximation b: c1 = 36/(8√

3− 9) and cb2 = 24/(16

√3− 27/π)

J(y) ≈ c1[E{y exp(−y2/2)}]2 + cb2 [E{|y |} −

√2/π]2

Gb1 (y) = y exp(−y2/2)

Gb2 (y) = |y |

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-9


Comparison of the true negentropy (black) and its approximations (a: red, b:

blue) of simulated Gaussian mixture variable: pN(0, 1) + (1 − p)N(1, 4) for p ∈[0, 1]. GHICAnegentropyapp.xpl

Negentropy comparison

0 0.5 1

p

05

10

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAnegentropyapp.xpl

ICA 2-10

Negentropy approximations and FastICA

Assumption on Negentropy approximation: variable is symmetric.In this sense, G1 as an odd function disappears.

J(y) ≈ C{E[G (y)]− E[G{N(0, 1)}]}2.

G (y) =1

slog cosh(sy), 1 ≤ s ≤ 2 (6)

g(y)def= G ′(y) = tanh(sy) (7)

g ′(y) = s{1− tanh2(sy)} (8)

very often, s = 1 is taken in this approximation.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-11



J(y) ≈ C{E[G (y)]− E[G{N(0, 1)}]}2.

G (y) = − exp(−y2/2) (9)

g(y)def= G ′(y) = y exp(−y2/2) (10)

g ′(y) = (1− y2) exp(−y2/2) (11)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-12



J(y) ≈ C{E[G (y)]− E[G{N(0, 1)}]}2.

G (y) =1

4y4 (12)

g(y)def= G ′(y) = y3 (13)

g ′(y) = 3y2 (14)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-13

FastICA

Objective function

{E{G (WX )} − E[G{N(0, 1)}]}E{Xg(WX )} = 0 (15)

A fast gradient method can be formulated under the constraintW>W = Id :

E{Xg(WX )}+ χW = 0 (16)

The iteration of wj with respect to yj :

w(n+1)j = E[Xg(w

(n)j X )− E{g ′(w (n)

j X )}w (n)j ] (17)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-14

FastICA

Algorithm

1. Choose an initial vector wj of unit norm, W = (w1, · · · ,wd)>.

2. Let w(n)j = E[g(w

(n−1)j x)x ]− E[g ′(w

(n−1)j x)]w

(n−1)j . In

practice, the sample mean is used to calculate E[·].3. Orthogonalization (decorrelated):

w(n)j = w

(n)j −

∑k 6=j(w

(n)>j wk)wk .

4. Normalization: w(n)j = w

(n)j /||w (n)

j ||.

5. If not converged, i.e. ||w (n)j − w

(n−1)j || 6= 0, go back to 2.

6. Set j = j + 1. For j ≤ d , go back to step 1.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


ICA 2-15

VaR estimation procedure: GHICA

1. ICA to get independent components.

2. Apply the GHADA to estimate the local constant vola and fitthe marginal pdf of εt .

3. Determine VaR at level a via MC (d samples, M observationsand N repetitions) .

VaRa,t =1

N

N∑n=1

F−1a,t (R

(n)t )

=1

N

N∑n=1

F−1a,t {b>t W−1D

1/2t ε

(n)t }

4. Perform backtesting.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Simulation study 3-1

Simulation study on 50 NIG RVs

Simulation design

� NIG distributional parameters:λ = −0.5, α ∼ U[1, 2],

δ = 1, β = arg{σ2(y) = 1√α2−β2

α2

α2−β2 = 1},

µ = 0.

� d = 50 samples, each has T = 1000 observations

� An orthogonal matrix W−1 is achieved via the Jordandecomposition of a square matrix (elements ∼ N(0, 1))

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y




Simulation procedure

� Generate 50 independent NIG random variables yt and W−1

� Calculate the input of ICA: xt = W−1yt

� Estimate yt and their distributional parameters (αj , βj , δj , µj)for j = 1, · · · , 50

Simulation goalCompare the pdfs of the generated and the estimated ICs. Thelargest mean absolute error (MAE) is 0.054.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y




Graphical comparisons of the pdfs of the estimated IC and the trueIC1 (dotted line). GHICAsimpdfcomp.xpl

ICest1

-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

50.

6

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAsimpdfcomp.xpl



Graphical comparisons of the pdfs of the estimated ICs and the trueICs (dotted line). GHICAsimpdfcomp.xpl

ICest1

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest11

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest21

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest31

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest41

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest2

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest12

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest22

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest32

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest42

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest3

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest13

-5 0 5

X

00.

20.

40.

60.

8

Y

ICest23

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest33

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest43

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest4

-5 0 5

X0

0.2

0.4

0.6

Y

ICest14

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest24

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest34

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest44

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest5

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest15

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest25

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest35

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest45

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest6

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest16

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest26

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

YICest36

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest46

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest7

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest17

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest27

-5 0 5

X

00.

20.

40.

60.

8

Y

ICest37

-5 0 5

X

00.

20.

40.

60.

8

Y

ICest47

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest8

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest18

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest28

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest38

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest48

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest9

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest19

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest29

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest39

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest49

-5 0 5

X

00.

51

Y

ICest10

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest20

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest30

-5 0 5

X

00.

5

Y

ICest40

-5 0 5

X

00.

20.

40.

6

Y

ICest50

-5 0 5

X

00.

51

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAsimpdfcomp.xpl

Empirical Study 4-1

Foreign exchange rate portfolio

Data: (DEM/USD, GBP/USD) daily rates from 1979-12-01 to1994-04-01 (3720 observations), available at FEDC.Trading strategies

b1 = (1, 1)>

b2 = (1, 2)>

b3 = (−1, 2)>

b4 = (−2, 1)>

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/

Empirical Study 4-2


ICA

W =

(207.93 −213.6377.72 73.29

)A =

(2.30e − 3 6.71e − 3

−2.44e − 3 6.53e − 0

)GH parameters estimation

IC1:HYP( 1.71, −0.17, 0.55, 0.13)NIG ( 1.22, −0.18, 1.11, 0.13)

IC2:HYP( 1.78, 0.03, 0.72, −0.02)NIG ( 1.37, 0.03, 1.28, −0.03)

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Empirical Study 4-3


Temporal dependence: ACF plots of the log returns: DEM/USDon the left and GBP/USD on the right.GHICAfxdescriptive.xpl

ACF plot of DEM/USD

0 5 10 15 20 25 30

lag

00.5

1

acf

ACF plot of GBP/USD

0 5 10 15 20 25 30

lag

00.5

1

acf

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAfxdescriptive.xpl


Empirical Study 4-4


Temporal dependence: ACF plots of the 2 independent series: IC1left and IC2 right. GHICAfxdescriptive.xpl

ACF plot of IC1

0 5 10 15 20 25 30

lag

00.5

1

acf

ACF plot of IC2

0 5 10 15 20 25 30

lag

00.5

1

acf

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y



Empirical Study 4-5


Linear dependenceScatterplots of the FX returns (left) and ICs (right) of the FXportfolio. GHICAfxdescriptive.xpl

FX DEM/USD & GBP/USD

-4 -2 0 2

DEM/USD*E-2

-4-2

02

4

GB

P/U

SD*E

-2

FX IC1 & IC2

-5 0 5

IC1

-50

IC2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y



Empirical Study 4-6


Joint density: Comparison of the nonparametric joint density(black) of the returns of the exchange rates and the product (blue)of the HYP marginal densities of two ICs. The red surface is theGaussian fitting with the same covariance as the returns of the ex-change rates.GHICAfxjointdensitycomp.xpl

Joint pdf of FX returns

-0.03

-0.01 0.00

0.02 0.04-0.04

-0.03-0.01

0.00 0.02

1610.16

3220.31

4830.47

6440.63

8050.79

Joint pdf of ICs

-3.99

-1.86 0.27

2.39 4.52-8.61

-5.71-2.82

0.07 2.97

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAfxjointdensitycomp.xpl

http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAfxjointdensitycomp.xpl

Empirical Study 4-7


Adaptive vola: GHICAfxdescriptive.xpl

FX Adaptive Vola of IC1

5 10 15 20 25 30 35X*E2

12

3

Y

FX Adaptive Vola of IC2

5 10 15 20 25 30 35X*E2

0.5

11.

52

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y



Empirical Study 4-8


MC quantile estimation: Descriptive statistics of quantile esti-mates: b = (1, 1)>, MC simulation with M = 10000, N = 100,T = 1000. GHICAstatMCq.xpl

HYP a 5% a 1% a 0.5% a 0.25% a 0.1% NIG a 5% a 1% a 0.5% a 0.25% a 0.1%

Day mean STD% mean STD% mean STD% mean STD% mean STD% Day mean STD% mean STD% mean STD% mean STD% mean STD%

1 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.08 -0.02 0.14 1 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14

2 -0.01 0.01 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13 2 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.02 0.15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.03 0.07 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.34 -0.09 0.50 423 -0.04 0.06 -0.07 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.33 -0.10 0.45

425 -0.03 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.22 -0.08 0.27 -0.09 0.44 425 -0.04 0.06 -0.07 0.14 -0.07 0.24 -0.08 0.28 -0.10 0.46

426 -0.03 0.04 -0.05 0.11 -0.06 0.18 -0.06 0.25 -0.08 0.38 426 -0.03 0.05 -0.06 0.12 -0.06 0.18 -0.07 0.27 -0.08 0.53

597 -0.03 0.06 -0.06 0.16 -0.06 0.22 -0.07 0.30 -0.09 0.54 607 -0.04 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.32 -0.10 0.46

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14 622 -0.03 0.07 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.48

1000 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.10 -0.03 0.16 1000 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.03 0.11 -0.03 0.18

Tab. 4: Descriptive statistics of quantile estimates: b = (1, 1)>, MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAmcqstat.xpl



1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.13 -0.04 0.23 1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.04 0.14 -0.04 0.25

2 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.03 0.08 -0.03 0.11 -0.04 0.18 2 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.12 -0.04 0.19

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.05 0.10 -0.09 0.23 -0.10 0.31 -0.12 0.49 -0.14 0.74 325 -0.06 0.11 -0.10 0.22 -0.11 0.30 -0.13 0.39 -0.15 0.71

425 -0.05 0.10 -0.10 0.21 -0.10 0.33 -0.12 0.40 -0.14 0.66 423 -0.06 0.11 -0.10 0.25 -0.11 0.32 -0.12 0.46 -0.15 0.75

597 -0.05 0.09 -0.09 0.24 -0.10 0.33 -0.11 0.45 -0.13 0.81 424 -0.06 0.10 -0.10 0.22 -0.11 0.32 -0.13 0.45 -0.15 0.88

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.03 -0.03 0.07 -0.03 0.08 -0.04 0.13 -0.04 0.20 597 -0.05 0.09 -0.10 0.22 -0.10 0.34 -0.12 0.46 -0.14 0.71

1000 -0.02 0.03 -0.03 0.06 -0.03 0.10 -0.04 0.14 -0.05 0.26 1000 -0.02 0.03 -0.03 0.08 -0.04 0.11 -0.04 0.16 -0.05 0.27


19

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAstatMCq.xpl

Empirical Study 4-9





1 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.08 -0.02 0.14 1 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14

2 -0.01 0.01 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13 2 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.02 0.15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.03 0.07 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.34 -0.09 0.50 423 -0.04 0.06 -0.07 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.33 -0.10 0.45

425 -0.03 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.22 -0.08 0.27 -0.09 0.44 425 -0.04 0.06 -0.07 0.14 -0.07 0.24 -0.08 0.28 -0.10 0.46

426 -0.03 0.04 -0.05 0.11 -0.06 0.18 -0.06 0.25 -0.08 0.38 426 -0.03 0.05 -0.06 0.12 -0.06 0.18 -0.07 0.27 -0.08 0.53

597 -0.03 0.06 -0.06 0.16 -0.06 0.22 -0.07 0.30 -0.09 0.54 607 -0.04 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.32 -0.10 0.46

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14 622 -0.03 0.07 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.48

1000 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.10 -0.03 0.16 1000 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.03 0.11 -0.03 0.18




1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.13 -0.04 0.23 1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.04 0.14 -0.04 0.25

2 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.03 0.08 -0.03 0.11 -0.04 0.18 2 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.12 -0.04 0.19

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.05 0.10 -0.09 0.23 -0.10 0.31 -0.12 0.49 -0.14 0.74 325 -0.06 0.11 -0.10 0.22 -0.11 0.30 -0.13 0.39 -0.15 0.71

425 -0.05 0.10 -0.10 0.21 -0.10 0.33 -0.12 0.40 -0.14 0.66 423 -0.06 0.11 -0.10 0.25 -0.11 0.32 -0.12 0.46 -0.15 0.75

597 -0.05 0.09 -0.09 0.24 -0.10 0.33 -0.11 0.45 -0.13 0.81 424 -0.06 0.10 -0.10 0.22 -0.11 0.32 -0.13 0.45 -0.15 0.88

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.03 -0.03 0.07 -0.03 0.08 -0.04 0.13 -0.04 0.20 597 -0.05 0.09 -0.10 0.22 -0.10 0.34 -0.12 0.46 -0.14 0.71

1000 -0.02 0.03 -0.03 0.06 -0.03 0.10 -0.04 0.14 -0.05 0.26 1000 -0.02 0.03 -0.03 0.08 -0.04 0.11 -0.04 0.16 -0.05 0.27


19

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y



Empirical Study 4-10





1 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.08 -0.02 0.14 1 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14

2 -0.01 0.01 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13 2 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.02 0.15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.03 0.07 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.34 -0.09 0.50 423 -0.04 0.06 -0.07 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.33 -0.10 0.45

425 -0.03 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.22 -0.08 0.27 -0.09 0.44 425 -0.04 0.06 -0.07 0.14 -0.07 0.24 -0.08 0.28 -0.10 0.46

426 -0.03 0.04 -0.05 0.11 -0.06 0.18 -0.06 0.25 -0.08 0.38 426 -0.03 0.05 -0.06 0.12 -0.06 0.18 -0.07 0.27 -0.08 0.53

597 -0.03 0.06 -0.06 0.16 -0.06 0.22 -0.07 0.30 -0.09 0.54 607 -0.04 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.32 -0.10 0.46

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14 622 -0.03 0.07 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.48

1000 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.10 -0.03 0.16 1000 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.03 0.11 -0.03 0.18




1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.13 -0.04 0.23 1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.04 0.14 -0.04 0.25

2 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.03 0.08 -0.03 0.11 -0.04 0.18 2 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.12 -0.04 0.19

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.05 0.10 -0.09 0.23 -0.10 0.31 -0.12 0.49 -0.14 0.74 325 -0.06 0.11 -0.10 0.22 -0.11 0.30 -0.13 0.39 -0.15 0.71

425 -0.05 0.10 -0.10 0.21 -0.10 0.33 -0.12 0.40 -0.14 0.66 423 -0.06 0.11 -0.10 0.25 -0.11 0.32 -0.12 0.46 -0.15 0.75

597 -0.05 0.09 -0.09 0.24 -0.10 0.33 -0.11 0.45 -0.13 0.81 424 -0.06 0.10 -0.10 0.22 -0.11 0.32 -0.13 0.45 -0.15 0.88

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.03 -0.03 0.07 -0.03 0.08 -0.04 0.13 -0.04 0.20 597 -0.05 0.09 -0.10 0.22 -0.10 0.34 -0.12 0.46 -0.14 0.71

1000 -0.02 0.03 -0.03 0.06 -0.03 0.10 -0.04 0.14 -0.05 0.26 1000 -0.02 0.03 -0.03 0.08 -0.04 0.11 -0.04 0.16 -0.05 0.27


19

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








1 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.08 -0.02 0.14 1 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14

2 -0.01 0.01 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13 2 -0.01 0.01 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.02 0.15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.03 0.07 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.34 -0.09 0.50 423 -0.04 0.06 -0.07 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.33 -0.10 0.45

425 -0.03 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.22 -0.08 0.27 -0.09 0.44 425 -0.04 0.06 -0.07 0.14 -0.07 0.24 -0.08 0.28 -0.10 0.46

426 -0.03 0.04 -0.05 0.11 -0.06 0.18 -0.06 0.25 -0.08 0.38 426 -0.03 0.05 -0.06 0.12 -0.06 0.18 -0.07 0.27 -0.08 0.53

597 -0.03 0.06 -0.06 0.16 -0.06 0.22 -0.07 0.30 -0.09 0.54 607 -0.04 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.21 -0.08 0.32 -0.10 0.46

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 -0.03 0.14 622 -0.03 0.07 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.48

1000 -0.01 0.02 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.10 -0.03 0.16 1000 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.03 0.11 -0.03 0.18




1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.13 -0.04 0.23 1 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.04 0.14 -0.04 0.25

2 -0.01 0.02 -0.02 0.05 -0.03 0.08 -0.03 0.11 -0.04 0.18 2 -0.01 0.02 -0.03 0.06 -0.03 0.09 -0.03 0.12 -0.04 0.19

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·424 -0.05 0.10 -0.09 0.23 -0.10 0.31 -0.12 0.49 -0.14 0.74 325 -0.06 0.11 -0.10 0.22 -0.11 0.30 -0.13 0.39 -0.15 0.71

425 -0.05 0.10 -0.10 0.21 -0.10 0.33 -0.12 0.40 -0.14 0.66 423 -0.06 0.11 -0.10 0.25 -0.11 0.32 -0.12 0.46 -0.15 0.75

597 -0.05 0.09 -0.09 0.24 -0.10 0.33 -0.11 0.45 -0.13 0.81 424 -0.06 0.10 -0.10 0.22 -0.11 0.32 -0.13 0.45 -0.15 0.88

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.03 -0.03 0.07 -0.03 0.08 -0.04 0.13 -0.04 0.20 597 -0.05 0.09 -0.10 0.22 -0.10 0.34 -0.12 0.46 -0.14 0.71

1000 -0.02 0.03 -0.03 0.06 -0.03 0.10 -0.04 0.14 -0.05 0.26 1000 -0.02 0.03 -0.03 0.08 -0.04 0.11 -0.04 0.16 -0.05 0.27


19

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y





MC quantile estimation: Descriptive statistics of quantile esti-mates: b = (−1, 2)>, MC simulation with M = 10000, N = 100,T = 1000. GHICAstatMCq.xpl



1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.12 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.06 0.22 -0.07 0.28 -0.08 0.41 601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.47 606 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.30 -0.09 0.55

611 -0.03 0.06 -0.06 0.13 -0.06 0.20 -0.07 0.28 -0.08 0.43 607 -0.04 0.07 -0.07 0.13 -0.07 0.19 -0.08 0.26 -0.10 0.48

613 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.20 -0.08 0.27 -0.09 0.39 613 -0.04 0.06 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.27 -0.09 0.49

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10

Tab. 6: Descriptive statistics of quantile estimates: b = (−1, 2)>, MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAmcqstat.xpl



1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.10 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.12

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.25 -0.09 0.41 601 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.22 -0.08 0.30 -0.09 0.55

608 -0.03 0.05 -0.06 0.13 -0.06 0.19 -0.07 0.28 -0.09 0.40 605 -0.04 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

612 -0.03 0.05 -0.06 0.14 -0.07 0.21 -0.08 0.27 -0.09 0.47 612 -0.04 0.07 -0.07 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.27 -0.09 0.38

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 999 -0.01 0.01 -0.01 0.02 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10


20

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.12 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.06 0.22 -0.07 0.28 -0.08 0.41 601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.47 606 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.30 -0.09 0.55

611 -0.03 0.06 -0.06 0.13 -0.06 0.20 -0.07 0.28 -0.08 0.43 607 -0.04 0.07 -0.07 0.13 -0.07 0.19 -0.08 0.26 -0.10 0.48

613 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.20 -0.08 0.27 -0.09 0.39 613 -0.04 0.06 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.27 -0.09 0.49

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10




1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.10 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.12

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.25 -0.09 0.41 601 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.22 -0.08 0.30 -0.09 0.55

608 -0.03 0.05 -0.06 0.13 -0.06 0.19 -0.07 0.28 -0.09 0.40 605 -0.04 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

612 -0.03 0.05 -0.06 0.14 -0.07 0.21 -0.08 0.27 -0.09 0.47 612 -0.04 0.07 -0.07 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.27 -0.09 0.38

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 999 -0.01 0.01 -0.01 0.02 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10


20

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.12 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.06 0.22 -0.07 0.28 -0.08 0.41 601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.47 606 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.30 -0.09 0.55

611 -0.03 0.06 -0.06 0.13 -0.06 0.20 -0.07 0.28 -0.08 0.43 607 -0.04 0.07 -0.07 0.13 -0.07 0.19 -0.08 0.26 -0.10 0.48

613 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.20 -0.08 0.27 -0.09 0.39 613 -0.04 0.06 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.27 -0.09 0.49

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10




1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.10 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.12

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.25 -0.09 0.41 601 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.22 -0.08 0.30 -0.09 0.55

608 -0.03 0.05 -0.06 0.13 -0.06 0.19 -0.07 0.28 -0.09 0.40 605 -0.04 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

612 -0.03 0.05 -0.06 0.14 -0.07 0.21 -0.08 0.27 -0.09 0.47 612 -0.04 0.07 -0.07 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.27 -0.09 0.38

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 999 -0.01 0.01 -0.01 0.02 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10


20

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.12 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.13

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.06 0.22 -0.07 0.28 -0.08 0.41 601 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.26 -0.09 0.47 606 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.23 -0.08 0.30 -0.09 0.55

611 -0.03 0.06 -0.06 0.13 -0.06 0.20 -0.07 0.28 -0.08 0.43 607 -0.04 0.07 -0.07 0.13 -0.07 0.19 -0.08 0.26 -0.10 0.48

613 -0.03 0.05 -0.06 0.15 -0.07 0.20 -0.08 0.27 -0.09 0.39 613 -0.04 0.06 -0.06 0.12 -0.07 0.18 -0.08 0.27 -0.09 0.49

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.09 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.07 -0.02 0.10




1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11 1 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.07 -0.02 0.11

2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.05 -0.02 0.06 -0.02 0.10 2 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.05 -0.02 0.08 -0.02 0.12

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·607 -0.04 0.06 -0.06 0.13 -0.07 0.18 -0.08 0.25 -0.09 0.41 601 -0.03 0.06 -0.06 0.15 -0.07 0.22 -0.08 0.30 -0.09 0.55

608 -0.03 0.05 -0.06 0.13 -0.06 0.19 -0.07 0.28 -0.09 0.40 605 -0.04 0.06 -0.06 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.30 -0.09 0.48

612 -0.03 0.05 -0.06 0.14 -0.07 0.21 -0.08 0.27 -0.09 0.47 612 -0.04 0.07 -0.07 0.14 -0.07 0.19 -0.08 0.27 -0.09 0.38

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·999 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 999 -0.01 0.01 -0.01 0.02 -0.01 0.04 -0.02 0.05 -0.02 0.11

1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.01 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10 1000 -0.01 0.01 -0.01 0.03 -0.02 0.04 -0.02 0.06 -0.02 0.10


20

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y




VaR forecasts of exchange rate portfolio (DEM/USD and GBP/USD) for 1000 days to

1994-04-01, b = (1, 1)>. VaR forecasts and exceedances of the GHICA methodology

are marked in blue while those based on the RiskMetrics and T(16)-deGARCH are

marked in red and green respectively. GHICAfxVaRplot.xplVaR plot (hyp-alpha = 0.0500)

5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICAfxVaRplot.xpl






5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y




Backtesting

LR1 is the likelihood ratio w.r.t. the risk level test and LR2 w.r.t. the independence

test. * indicates the rejection at 99% level.

GHICA (HYP fit) GHICA (NIG fit) RiskMetrics Method T-deGARCH Methodb> a(10−2) n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2

(1,1) 5 6.7 5.52 *27.60 5.8 1.28 *28.82 10.8 *53.95 *19.84 11.0 *57.33 *26.05(1,1) 1 1.9 6.47 *16.29 1.4 1.43 *11.14 5.5 *99.59 *21.70 5.3 *92.67 *22.37(1,1) 0.5 0.9 2.59 5.58 0.7 0.71 0.00 5.0 *142.33 *23.44 4.2 *106.16 *18.96(1,1) 0.25 0.4 0.76 0.00 0.3 0.09 0.00 3.8 *137.10 *22.04 2.5 *70.64 *26.70(1,1) 0.1 0.2 0.77 0.00 0.1 0.00 0.00 2.3 *100.72 *27.74 1.2 *37.75 0.00

(1,2) 5 6.8 6.16 *27.23 5.4 0.32 *30.50 10.9 *55.63 *24.78 11.0 *57.33 *24.48(1,2) 1 1.6 3.07 *10.51 1.4 1.43 *11.14 5.3 *92.67 *22.37 4.9 *79.30 *23.81(1,2) 0.5 0.9 2.59 0.00 0.8 1.52 0.00 4.7 *128.43 *21.77 4.4 *114.93 *22.83(1,2) 0.25 0.5 1.93 0.00 0.5 1.93 0.00 4.0 *148.23 *24.40 2.8 *84.94 *22.67(1,2) 0.1 0.3 2.59 0.00 0.2 0.77 0.00 2.5 *113.53 *18.05 1.5 *53.43 *7.11

(-1,2) 5 6.4 3.80 *38.56 5.5 0.51 *28.17 12.0 *75.40 *35.66 12.0 *75.40 *35.66(-1,2) 1 1.4 1.43 *11.14 1.2 0.37 *11.86 6.0 *117.58 *25.86 5.5 *99.59 *23.40(-1,2) 0.5 1.2 *7.06 *11.86 1.1 5.38 *15.84 4.4 *114.93 *18.33 3.2 *65.54 *20.90(-1,2) 0.25 1.0 *12.78 *7.97 0.7 5.43 *8.76 3.1 *99.91 *21.26 2.5 *70.64 *23.81(-1,2) 0.1 0.6 *11.52 *9.11 0.3 2.59 *10.80 2.5 *113.53 *23.81 1.7 *64.58 *28.58

(-2,1) 5 6.5 4.34 *22.35 5.0 0.00 *20.34 12.7 *89.18 *18.41 12.7 *89.18 *18.41(-2,1) 1 1.6 3.07 0.00 1.1 0.09 0.00 5.6 *103.12 *14.79 4.7 *72.87 4.49(-2,1) 0.5 0.9 2.59 0.00 0.8 1.52 0.00 4.2 *106.16 2.40 3.2 *65.54 5.54(-2,1) 0.25 0.5 1.93 0.00 0.3 0.09 0.00 3.2 *105.05 5.54 2.3 *61.50 6.22(-2,1) 0.1 0.1 0.00 0.00 0.1 0.00 0.00 2.3 *100.72 6.22 1.6 *58.94 0.00

Tab. 8: Backtesting of the VaR forecast of the exchange portfolios: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000. * indicates themodel is rejected at 99% level.

GHICAfxVaRplot.xpl

22

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y







5 10

X*E2

-20

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-20

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-20

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-20

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-20

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y





1994-04-01, b = (−1, 2)>. VaR forecasts and exceedances of the GHICA methodology



5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y








5 10

X*E2

-15

-10

-50

5

Y*E

-2

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y




German stock portfolio

Data: 20 components (ALLIANZ, BASF, BAYER, BMW,COBANK, DAIMLER, DEUTSCHE BANK, DEGUSSA, DRESD-NER, HOECHST, KARSTADT, LINDE, MAN, MANNESMANN,PREUSSAG, RWE, SCHERING, SIEMENS, THYSSEN, VOLKSW)5748 observations from 1974-01-02 to 1996-12-30. Downloadedfrom MD*Base.Trading strategy: b = (1, · · · , 1)> ∈ IR20

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://www.quantlet.org/mdbase



Descriptive statistics: GHICASFMdescriptive.xpl

Returns 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mean 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Variance 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Skewness 0.07 -0.17 0.04 -0.01 -0.24 0.03 -0.30 -0.39 0.12 -0.12 -0.40 -0.24 -0.59 -0.27 0.13 -0.19 -0.03 -0.54 -0.05 -0.32

Kurtosis 32.40 8.65 9.60 17.02 10.03 26.67 13.77 19.12 8.82 9.98 20.43 14.56 18.03 13.69 10.34 16.72 9.57 10.30 6.10 10.23

ρ1 -0.06 -0.02 -0.02 -0.01 0.04 -0.02 0.03 0.02 0.06 0.01 0.00 -0.03 0.02 0.05 0.08 0.04 0.06 0.06 0.04 0.05

ρ2 -0.02 -0.04 -0.04 -0.01 -0.04 -0.01 -0.03 -0.01 -0.03 -0.04 0.00 -0.01 -0.01 -0.01 -0.05 -0.02 -0.01 -0.01 -0.05 -0.01

ICs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mean 0.01 -0.00 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 -0.00 0.01 0.01 -0.00 -0.01 -0.03 -0.00 -0.01 -0.00 -0.02 -0.00 0.00

Variance 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Skewness -1.44 -0.81 0.71 0.8 1.01 -0.57 0.68 0.38 -0.84 0.48 0.52 -0.04 -0.04 -0.24 -0.17 -0.51 -0.05 -0.13 0.06 -0.32

Kurtosis 59.71 46.51 57.51 43.72 81.20 13.92 25.31 27.28 14.84 14.30 14.40 9.12 11.89 6.26 6.94 9.34 7.08 6.48 5.62 6.15

ρ1 0.00 -0.26 -0.26 -0.11 -0.12 0.10 -0.02 -0.13 -0.01 0.06 -0.12 0.08 0.04 0.04 0.08 0.08 0.08 0.05 -0.01 0.07

ρ2 -0.01 0.02 0.02 0.00 0.00 0.01 0.00 -0.01 -0.01 0.00 -0.01 0.01 0.02 -0.01 0.00 -0.03 0.02 0.00 0.00 0.00

Tab. 9: Descriptive statistics of the 20-dimensional German stock portfolio.GHICAsfmdescriptive.xpl

ICs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

HYP α 2.01 1.54 1.63 1.63 1.59 2.19 1.64 1.57 1.59 1.83 1.78 1.89 1.96 1.76 1.70 1.95 1.76 1.85 1.91 1.79

HYP β 0.07 -0.04 0.07 0.11 0.13 0.09 0.14 0.02 -0.10 0.04 0.07 0.09 -0.00 -0.12 -0.11 -0.21 -0.03 -0.07 -0.00 -0.20

HYP δ 1.12 0.42 0.38 0.35 0.30 1.34 0.38 0.30 0.41 0.77 0.61 0.91 0.96 0.72 0.53 0.91 0.65 0.81 0.90 0.72

HYP µ -0.05 0.02 -0.04 -0.10 -0.12 -0.08 -0.12 -0.01 0.10 -0.03 -0.06 -0.09 -0.01 0.09 0.11 0.17 0.02 0.04 -0.00 0.20

NIG α 1.63 0.97 0.98 0.95 0.90 1.83 0.95 0.90 1.00 1.34 1.21 1.45 1.54 1.29 1.15 1.55 1.25 1.35 1.44 1.34

NIG β 0.05 -0.03 0.06 0.10 0.11 0.06 0.12 0.02 -0.09 0.04 0.07 0.06 0.00 -0.10 -0.10 -0.22 -0.02 -0.06 -0.00 -0.19

NIG δ 1.56 1.00 0.90 0.86 0.83 1.73 0.86 0.85 0.97 1.24 1.07 1.37 1.42 1.23 1.05 1.38 1.15 1.26 1.34 1.23

NIG µ -0.03 0.02 -0.04 -0.09 -0.10 -0.04 -0.11 -0.01 0.09 -0.03 -0.06 -0.06 -0.02 0.07 0.10 0.18 0.01 0.02 -0.00 0.19

Tab. 10: HYP and NIG parameters estimates of the German stock portfolio.GHICAsfmdescriptive.xpl

25

Linear dependence: the smallest correlation (ALLIANZ -PREUSSAG) is 0.37

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICASFMdescriptive.xpl



ICA and GH: HYP and NIG parameters estimated of the ICs onthe basis of the German stock portfolio.GHICASFMdescriptive.xpl

ICs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · ·HYP α 2.01 1.54 1.63 1.63 1.59 2.19 1.64 1.57 1.59 1.83 · · ·HYP β 0.07 -0.04 0.07 0.11 0.13 0.09 0.14 0.02 -0.10 0.04 · · ·HYP δ 1.12 0.42 0.38 0.35 0.30 1.34 0.38 0.30 0.41 0.77 · · ·HYP µ -0.05 0.02 -0.04 -0.10 -0.12 -0.08 -0.12 -0.01 0.10 -0.03 · · ·NIG α 1.63 0.97 0.98 0.95 0.90 1.83 0.95 0.90 1.00 1.34 · · ·NIG β 0.05 -0.03 0.06 0.10 0.11 0.06 0.12 0.02 -0.09 0.04 · · ·NIG δ 1.56 1.00 0.90 0.86 0.83 1.73 0.86 0.85 0.97 1.24 · · ·NIG µ -0.03 0.02 -0.04 -0.09 -0.10 -0.04 -0.11 -0.01 0.09 -0.03 · · ·

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y






Density estimations: pdfs of the 20 ICs on the basis of the Germanstock portfolio. The HYP fit is displayed as a straight curve and thenonparametric density estimation is plotted by a dotted curve.GHICASFMdescriptive.xpl

Empirical density & hyp fitting - IC1

-5 0

X

00.1

0.20.3

0.4

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y






Density estimation: pdfs of the 20 ICs on the basis of the Germanstock portfolio. The NIG fit is displayed as a straight curve and thenonparametric density estimation is plotted by a dotted curve.GHICASFMdescriptive.xpl

Empirical density & nig fitting - IC1

-5 0

X

00.1

0.20.3

0.4

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y






MC quantile estimation: Descriptive statistics of quantile esti-mates: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAstatMCq.xpl



1 -0.28 0.36 -0.43 0.66 -0.45 0.92 -0.50 1.33 -0.56 1.91 1 -0.30 0.42 -0.47 0.82 -0.49 1.13 -0.55 1.55 -0.62 2.15

2 -0.27 0.35 -0.41 0.76 -0.43 0.93 -0.48 1.25 -0.54 2.04 2 -0.29 0.40 -0.44 0.79 -0.47 0.93 -0.52 1.35 -0.59 1.96

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·993 -0.38 0.48 -0.59 1.11 -0.63 1.41 -0.70 1.98 -0.80 3.34 993 -0.40 0.58 -0.64 1.17 -0.68 1.55 -0.76 2.15 -0.87 3.75

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·997 -0.4 0.54 -0.64 1.08 -0.67 1.58 -0.75 2.15 -0.84 3.18 997 -0.44 0.71 -0.69 1.55 -0.73 2.14 -0.81 2.61 -0.92 3.42

998 -0.38 0.55 -0.59 0.96 -0.63 1.56 -0.70 2.08 -0.79 3.22 998 -0.41 0.59 -0.64 1.20 -0.68 1.58 -0.76 1.91 -0.86 3.49

999 -0.32 0.46 -0.49 0.89 -0.52 1.39 -0.58 1.90 -0.65 2.75 999 -0.34 0.50 -0.53 0.96 -0.56 1.18 -0.62 1.71 -0.70 2.42

1000 -0.35 0.49 -0.54 0.94 -0.57 1.33 -0.63 1.75 -0.72 2.89 1000 -0.38 0.53 -0.59 0.99 -0.62 1.38 -0.69 1.90 -0.78 2.87

Tab. 11: Descriptive statistics of quantile estimates: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAstatMCq.xpl

28

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y






MC quantile estimation: Descriptive statistics of quantile esti-mates: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAstatMCq.xpl



1 -0.28 0.36 -0.43 0.66 -0.45 0.92 -0.50 1.33 -0.56 1.91 1 -0.30 0.42 -0.47 0.82 -0.49 1.13 -0.55 1.55 -0.62 2.15

2 -0.27 0.35 -0.41 0.76 -0.43 0.93 -0.48 1.25 -0.54 2.04 2 -0.29 0.40 -0.44 0.79 -0.47 0.93 -0.52 1.35 -0.59 1.96

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·993 -0.38 0.48 -0.59 1.11 -0.63 1.41 -0.70 1.98 -0.80 3.34 993 -0.40 0.58 -0.64 1.17 -0.68 1.55 -0.76 2.15 -0.87 3.75

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·997 -0.4 0.54 -0.64 1.08 -0.67 1.58 -0.75 2.15 -0.84 3.18 997 -0.44 0.71 -0.69 1.55 -0.73 2.14 -0.81 2.61 -0.92 3.42

998 -0.38 0.55 -0.59 0.96 -0.63 1.56 -0.70 2.08 -0.79 3.22 998 -0.41 0.59 -0.64 1.20 -0.68 1.58 -0.76 1.91 -0.86 3.49

999 -0.32 0.46 -0.49 0.89 -0.52 1.39 -0.58 1.90 -0.65 2.75 999 -0.34 0.50 -0.53 0.96 -0.56 1.18 -0.62 1.71 -0.70 2.42

1000 -0.35 0.49 -0.54 0.94 -0.57 1.33 -0.63 1.75 -0.72 2.89 1000 -0.38 0.53 -0.59 0.99 -0.62 1.38 -0.69 1.90 -0.78 2.87

Tab. 11: Descriptive statistics of quantile estimates: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000.GHICAstatMCq.xpl

28

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y





VaR time plots of the German stock portfolio with the equal weights. The dots are

the real portfolio returns, the RiskMetrics (red) and T(19)-deGRACH (green) results

are plotted as a dotted line and the GHICA as a straight line. The exceedances w.r.t.

the risk management models are displayed as cross on the bottom.

GHICASFMVaRplot.xplVaR plot (hyp-a =0.0500)

5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


http://ise.wiwi.hu-berlin.de/~ychen/GHICA/GHICASFMVaRplot.xpl








5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y






the real portfolio returns, the RiskMetrics (red) and T(19)-deGARCH (green) results



GHICASFMVaRplot.xplVaR plot (nig-a =0.0500)

5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y










5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y





Backtesting



a = 5% a = 1% a = 0.5% a = 0.25% a = 0.1%n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2 n/T% LR1 LR2

HYP 4.9 0.02 *16.76 1.7 4.09 0.13 1.2 *7.06 0.04 0.8 *7.64 0.03 0.7 *15.27 0.00NIG 3.8 3.29 *7.14 1.4 1.43 0.05 0.8 1.52 0.03 0.7 5.43 0.00 0.4 5.09 0.00RiskMetr. 10.4 *47.46 *18.29 5.4 *96.11 *7.28 3.5 *77.12 3.92 2.8 *84.94 0.42 2.0 *82.19 0.15T4-deGARCG 12.7 *89.18 *12.28 3.2 *30.93 4.27 1.7 *17.75 0.13 1.2 *18.73 0.04 0.2 0.77 0.00T5-deGARCH 12.2 *79.24 *14.25 3.3 *33.33 4.15 2.0 *25.67 0.15 1.3 *21.97 0.05 0.6 *11.52 0.00T6-deGARCH 11.7 *69.77 *16.40 3.5 *38.33 3.92 2.1 *28.53 0.16 1.3 *21.97 0.05 0.9 *23.61 0.00T7-deGARCH 11.4 *64.32 *13.82 3.7 *43.56 6.50 2.2 *31.48 0.17 1.4 *25.37 0.10 1.1 *32.85 0.04T8-deGARCH 11.2 *60.78 *15.24 4.1 *54.68 5.88 2.4 *37.65 0.18 1.6 *32.58 0.12 1.2 *37.75 0.04T9-deGARCH 11.0 *57.33 *15.71 4.2 *57.59 5.74 2.5 *40.87 0.19 1.7 *36.38 0.13 1.3 *42.83 0.05T14-deGARCH 10.6 *50.66 *16.70 4.5 *66.61 5.34 2.9 *54.53 0.44 2.0 *48.48 0.15 1.3 *42.83 0.05T19-deGARCH 10.6 *50.66 *16.70 4.9 *79.30 *8.04 2.9 *54.53 0.44 2.1 *52.73 0.16 1.5 *53.43 0.11T24-deGARCH 10.6 *50.66 *16.70 4.9 *79.30 *8.04 3.2 *65.54 4.27 2.2 *57.07 0.17 1.6 *58.94 0.12

Tab. 13: Backtesting of the VaR forecasts of the German stock portfolios: MC simulation with M = 10000, N = 100, T = 1000. *indicates the rejection at 99% level.

GHICASFMVaRplot.xpl

31

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y



Backtesting



T(4)-deGARCH (green).

VaR plot (nig-a =0.0010)

5 10

X*E2

-1.5

-1-0

.50

0.5

Y

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


Conclusion 5-1

Conclusion and Outlook

� GHICA X

� Advanced ICA 1:Gaussian ICs (∈ IRG ) + non-Gaussian ICs (∈ IRNG ) withG >> NG

� Advanced ICA 2:Localization of ICA: yt = Wtxt

� Further GHICA application: Portfolio including bond andderivatives

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


References 6-1

Reference

Back, A. and Weigend, A.A first application of independent component analysis toextracting structure from stock returns.International Journal of Neural Systems, 8: 473-484, 1998

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GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


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GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


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Cover, T. and Thomas, J.Elements of Information TheoryJohn Wiley & Sons, 1991.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

Y


References 6-4

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Duann, J., Jung, T., Kuo, W., Yeh, T., Makeig, S., Hsieh, J.and Sejnowski, T.Single-trial variability in event-related bold signals.NeuroImage, 15: 823-835, 2002.

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GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

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Y


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GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

5

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Jorion, P.Value at RiskMcGraw-Hill, 2001.

GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

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Y


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GHICA


-5 0 5

X

00.

10.

20.

30.

40.

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Y


Documents

GHICA - Risk Analysis with GH Distributions and ...sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc/events/Motzen/YChen-paper.pdf · GHICA - Risk Analysis with GH Distributions and Independent Components