58
 Geotehnica Partea II 1 12. EFORTURI ŞI DEFORMAŢII ÎN MASIVELE DE P ĂMÂNT EFORTURI UNITARE ÎNTR-UN PUNCT DIN MASIV Conven  ţ ie de semne Întrucât pământurile sunt materiale care nu au rezisten ţă la întindere sau au o rezisten ţă la întindere foarte mică, în Mecanica pământurilor eforturile unitare normale de compresiune se consideră cu semnul +. STAREA SPATIALA Fie un masiv de p ământ la suprafa ţa căruia se aplică o încărcare, de exemplu cea transmis ă la teren de fundaţia unui stâlp solicitat centric, reprezentat ă de presiune q uniform repartizat ă pe o suprafaţă dreptunghiulară. Se consideră un element de volum într-un punct din masiv. Efortul unitar total în punctul considerat este definit prin tensorul tensiunilor care, în sistemul de coordonate rectangulare  x, y, z se exprimă: ( ) , ,  x y z  x yz zx  xy y zy  xz yz z T σ σ τ τ τ σ τ τ τ σ =  Tensorului de tensiuni prin punctul considerat îi corespund 3 direc ţii perpendiculare în lungul c ărora acţionează numai tensiuni normale, numite direc  ţ ii principale. Eforturile respective sunt tensiuni principale  iar planele perpendiculare pe direc ţiile tensiunilor principale, plane caracterizate prin τ  = 0, sunt  plane principale. Tensorul tensiunilor principale : ( ) 1,2,3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 T σ σ σ σ =  

Geotehnica-Partea II

Embed Size (px)

Citation preview

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 1/58

Geotehnica Partea II

1

12. EFORTURI ŞI DEFORMAŢII ÎN MASIVELE DE PĂMÂNT

EFORTURI UNITARE ÎNTR-UN PUNCT DIN MASIVConven ţ ie de semneÎntrucât pământurile sunt materiale care nu au rezistenţă la întindere sau au o rezistenţă la întinderefoarte mică, în Mecanica pământurilor eforturile unitare normale de compresiune se consideră cusemnul +.

STAREA SPATIALAFie un masiv de pământ la suprafaţa căruia se aplică o încărcare, de exemplu cea transmisă la terende fundaţia unui stâlp solicitat centric, reprezentată de presiune q uniform repartizată pe o suprafaţă dreptunghiulară. Se consideră un element de volum într-un punct din masiv.

Efortul unitar total în punctul considerat este definit prin tensorul tensiunilor care, în sistemul decoordonate rectangulare x, y, z se exprimă:

( ), , x y z

 x yz zx

 xy y zy

 xz yz z

T σ 

σ τ τ 

τ σ τ 

τ τ σ 

Tensorului de tensiuni prin punctul considerat îi corespund 3 direcţii perpendiculare în lungul căroraacţionează numai tensiuni normale, numite direc ţ ii principale.Eforturile respective sunt tensiuni principale iar planele perpendiculare pe direcţiile tensiunilorprincipale, plane caracterizate prin τ = 0, sunt plane principale.

Tensorul tensiunilor principale :

( )1,2,3

1

2

3

0 0

0 0

0 0

T σ 

σ 

σ 

σ 

=  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 2/58

Geotehnica Partea II

2

oσ σ  - tensor sferic, producând modificări de volum, f ără modificarea formei;

 Dσ - tensor deviatoric, producând modificarea formei, f ără modificarea volumului.

( )1,2,3

0 1 01

o

2 0 2 0

3 0 2 0

0 0 0 00 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T T Dσ σ σ 

σ σ σ σ 

σ σ σ σ  

σ  σ σ σ 

= + = = + −

− 

Starea plană de deforma ţ ii.Fundaţii continue sub ziduri, al digurilor, al zidurilor de sprijin etc. la care lungimea suprafeţei princare se transmite încărcarea la teren este cu mult mai mare decât lăţimea, iar încărcarea nu variază înlungul axei paralelă cu latura lungă. Starea de tensiune este identică în orice secţiune normală peaceastă axă.

Cercul lui Mohr

Cercul lui Mohr exprimă variaţia stării de tensiuni pe diferitele plane care trec prin acel punct.

Pentru a construi cercul lui Mohr, apar două căi:a. Se cunosc tensiunile σ  x, σ  y şi τ  xy acţionând asupra planelor vertical şi orizontale care trec

printr-un punct. Se reprezintă punctele H (σ  y, τ  xy) şi K (σ  x, τ  xy) în diagrama (σ -τ ). Intersecţia drepteiKH cu axa σ determină centrul cercului (Fig. 4.10).

b. Se cunosc tensiunile σ 1  şi σ 3 pe două plane principale. Centrul cercului este situat ladistanţa (σ 1 + σ 3)/2.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 3/58

Geotehnica Partea II

3

Fig. 4.10

Există un punct particular pe cercul lui Mohr, numit pol, care are următoarea proprietate:O linie dusă din pol paralelă cu un plan din masivul de pământ trecând prin punctul din

masivul de pământ pentru care cercul descrie variaţia stării de efort, această paralelă intersectează cercul într-un punct ale cărui coordonate reprezintă componentele normală  şi tangenţială aleefortului total pe acel plan.

Pentru aflarea polului, se porneşte de la reciproca acestei proprietăţi. Se identifică în cercullui Mohr un punct care reprezintă efortul unitar total pe un plan de direcţii cunoscut. Ducând dinacel punct o paralelă cu direcţia cunoscută a planului, se obţine la intersecţia pe cercul polul.

13. SEMNIFICAŢIA NOŢIUNII DE EFORT UNITAR ÎN PĂMÂNTURI

Efortul unitar normal pe secţiunea unei bare:

( )lim 0 N   A A

σ ∆

= ∆ →∆

 

În pământuri, care sunt medii disperse alcătuite din două sau trei faze, nu se mai poate aplica aceeaşidefiniţie.

Noţiunea de efort unitar (tensiune) în pământuri are înţeles  statistic  şi trebuie luată în sens macroscopic.

Fie un punct din masivul de pământ prin care se duce un plan orizontal în care se consideră osecţiune a2 (Fig. 4.12). Planul secţionează atât particulele solide cât şi porii; totodată, este posibil cael să treacă prin unul sau mai multe de contact între particule. În fiecare punct în care planul treceprin partea solidă, forţele care sunt transmise prin scheletul mineral pot fi descompuse într-ocomponentă normală la plan,  N   şi o componentă tangenţială, T  faţă de plan. Componenta T  sedescompune după direcţiile x şi y în T  x şi T  y.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 4/58

Geotehnica Partea II

4

Fig. 4.12

Se defineşte drept efort unitar normal σ , acţionând asupra planului considerat, raportuldintre suma componentelor normale ale tuturor for  ţ elor  şi aria totală  , a2.În mod similar se definesc eforturile unitare tangenţiale τ  x şi τ  y:

2 2 2; ;  y x

 x y

T  N T 

a a aσ τ τ = = =

∑∑ ∑ 

Aria a2 trebuie să fie suficient de mare în raport cu dimensiunile particulelor dar suficient de mică   fa ţă  de masivul de pă mânt pentru ca efortul unitar astfel definit să reprezinte ca valoare statistică ,tensiunea din punctul şi de pe planul considerat din interiorul pământului.

Efortul unitar într-un punct din masiv poate fi definit şi prin considerarea unei suprafe ţ e vă lurite, S care trece numai prin punctele de contact, f ără a intersecta nici o particulă solidă. Efortul unitar carese exercită în punctul considerat din masiv este egal cu suma for ţelor de contact împărţită lamărimea întregii suprafeţe vălurite S. 

Aşadar în ambele definiţii, aria la care se face raportarea eforturilor este aria totală   şi nu sumasuprafeţelor de contact dintre particulele minerale care nu depăşesc 1% din aria totală. Efortul unitar

  în pământ definit în acest mod trebuie luat deci în sens macroscopic  şi nu trebuie confundat cuefortul unitar la contactul dintre particule; între ele există o diferenţă de ordin de mă rime.În timp ce, în mod obişnuit, în majoritatea problemelor întâlnite în practică, eforturile unitarenormale, de exemplu, în cuprinsul terenului de fundare, variază între 0,1 şi 100 daN/cm2  presiunilede contact dintre particulele minerale pot atinge 7.000 daN/cm2.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 5/58

Geotehnica Partea II

5

14. PRESIUNI EFECTIVE ŞI PRESIUNI ÎN PORII PĂMÂNTULUI Pă mânt saturat 

Fie un element de secţiune A dintr-un masiv de pământ saturat, asupra căruia se exercită unefort unitar normal σ .

O suprafaţă vălurită trecând prin element întâlneşte un număr de puncte de contact între

particulele solide, de arie totală  As, şi pori umpluţi cu apă, de arie Aw (Fig. 4.14). Punând condiţia deechilibru a elementului, se consideră că aria însumată a punctelor de contact  As se concentrează înmijlocul secţiunii considerate.

Fig. 4.14

Fie ps presiunea de contact între particulele solide şi pw presiunea în apa din pori.

3(1 ) 's ws w s w ef w

 A A p p p a p a p p σ  u

 A Aσ  = + = ⋅ + − = + = +  

 ps este foarte mare iar a este foarte mic, dar produsul lor este o mărime finită.

Întrucât raportul s Aa

 A= este foarte mic, în loc de (1 - a) se poate lua 1.

 pef  - efortul unitar preluat de scheletul mineral (faza solidă) numit efort unitar efectiv sau presiunea efectivă ; se notează cu σ ' .

u - presiune în pori; în cazul pământurilor saturate reprezintă presiunea apei dinpori sau presiunea neutrală .

 Pă mânt par ţ ial saturat Presiunea în pori u reprezintă efectul combinat al presiunii apei, pw, şi al presiunii aerului din pori,

 pa:

( )w au x p 1 x p= + −  

 în care x este un coeficient care exprimă mărimea relativă a presiunilor în aerul şi apa din pori.Evident, la pământul saturat x = 1, u = pw iar la pământul uscat x = 0, u = pa.

( )1 (1 )ef w w a w ef w a p p a p a T p x p x pσ  = + ⋅ + − − = + ⋅ + − ⋅  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 6/58

Geotehnica Partea II

6

15. PRINCIPIUL PRESIUNII EFECTIVE

Presiunea u din pori este o presiune hidrostatică, are aceeaşi intensitate în toate direcţiile. Caurmare a faptului că modulul de deformaţie al particulelor solide este foarte mare, deformaţiileacestora sub presiune hidrostatică sunt extrem de mici şi pot fi neglijate.

 Deformarea pă mânturilor sub solicit

ă ri este posibil 

ănumai dac

ăse produce o modificare

  în mă  rimea presiunii efective, a efortului unitar normal preluat de scheletul mineral . Acestconcept fundamental al mecanicii pământurilor, enunţat de Terzaghi, poartă numele de

 principiul presiunii efective.O verificare experimentală simplă a principiului presiunii efective, propusă de Terzaghi este

următoarea:Într-un vas se realizează un strat de nisip saturat de înălţime H , asupra căruia se aplică, prin

intermediul unui piston perforat, o presiune p (pistonul trebuie să fie perforat, altminteri s-ar crea unsistem închis în care apa n-ar putea fi evacuată, ceea ce ar împiedica deformarea probei de pământ)(Fig. 4.15). Presiunea p poate fi realizată şi prin aşternerea unui strat de alice de o anumită grosime.

Fig. 4.15Sub efectul presiunii p se înregistrează o deformaţie ∆ H a probei de nisip.

Se repetă încercarea, dar în locul presiunii  p transmisă prin intermediul pistonului saustratului de alice se aşează deasupra probei o coloană de apă de înălţime h, care echivalează cupresiunea p.

w

 ph

γ =  

De data aceasta, proba nu se mai deformează.Explicaţia comportării diferite a pământului în cele două cazuri.

În primul caz, îndată după aplicarea încărcării, presiunea p este transmisă scheletului. Ca urmare a

modificării eforturilor unitare efective, proba se deformează.În cel de-al doilea caz greutatea coloanei de apă de înălţime h determină creşterea presiunii apei dinporii probei. Presiunea efectivă rămâne neschimbată, ceea ce explică faptul că proba nu sedeformează.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 7/58

Geotehnica Partea II

7

Se exprimă presiunea totală la baza vasului:

sat w H hσ γ γ = ⋅ + ⋅  Presiunea din pori la baza vasului:

( )wu h H γ = +  

Dar: ' uσ σ = +  ( ) ( ) '

sat sat' wh w wu H h h H H H  σ σ γ γ γ γ γ γ  = − = + ⋅ − + = − =  

' ' H σ γ =  Aşadar, presiunea efectivă este dată de greutatea coloanei de pământ, ţinând cont de

subpresiune, şi este independent ă de înă l ţ imea coloanei de apă .

16. CALCULUL ŞI DISTRIBUŢIA EFORTURILOR UNITARE(TENSIUNILOR) ÎN PĂMÂNT DATORATE ÎNCĂRCĂRILOREXTERIOARE

O problemă practică de maximă importanţă pe care trebuie să o rezolve mecanica pământurilor estecea a determină rii deforma ţ iilor probabile ale terenului de fundare, ca urmare a încărcărilortransmise de construcţii. În acest scop, trebuie să se cunoască mă rimea eforturilor unitare care sedezvoltă în cuprinsul masivului de pământ sub efectul presiunilor  ce se dezvolt ă pe talpa funda ţ iei. În stadiul actual al cunoştinţelor şi tehnicilor de calcul disponibile, repartizarea eforturilor înmasivele de pământ se calculează folosindu-se modelul corpului continuu, elastic, omogen, izotrop,modelul Hooke, studiat în Teoria Elasticităţii.

a)  Problema spa ţ ială (Boussinesq)

Sarcina concentrata Q aplicată la suprafaţa semispaţiului

2 zQK 

 zσ  = ⋅  

K este un coeficient intabulat în funcţie de r/z, unde r reprezinta distanta masurata in planul xOy(suprafaţa semispaţiului) dintre punctul in care se aplica forta Q si punctul in care se calculeazaefortul unitar vertical σz produs de Q; z reprezinta cota (adancimea) punctului in care se calculeazaσz masurata fata de suprafaţa semispaţiului.

Mai multe forţe concentrate la suprafaţa semispaţiului 

21

1 n

 z i ii

K Q z

σ =

= ∑  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 8/58

Geotehnica Partea II

8

Încărcare uniform distribuită pe o suprafaţă dreptunghiulară 

Dreptunghiul de dimensiuni l   x b reprezinta vederea in plan orizontal a bazei unei fundatii caretransmite incărcarea uniform distribuită  p la suprafaţa semispaţiului.

In punctul M, aflat la adancimea z, efortul unitar vertical σz produs de p se calculeaza cu relatia:σz = K p

K este coeficientul de repartizare care este dat în tabele în funcţie de raportul l  / b şi z / b. 

b) Problema plană (Flamant)

Încărcare uniform distribuită, q, pe o fâşie de lăţime constantă B si lungime infinita (mult maimare decat B) 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 9/58

Geotehnica Partea II

9

In punctul M, aflat la adancimea z, efortul unitar vertical σz produs de q se calculeaza curelatia:

1 z K qσ  = ⋅  

unde K 1 este un coeficient intabulat în funcţie de z /B şi x /B.

17. Diagrame de variaţie a eforturilor unitare σσσσz în interiorul masivului

a. Variatia eforturilor unitare σz in plan orizontal la diferite adancimi zb. Variatia eforturilor unitare σz in  plan vertical care trece prin mijlocul suprafetei de latime B cu adancimea z 

a. b.

c. Izobare - curbe de egal efort σ σσ σ  zSuprafaţa delimitată de fâşia de încărcare şi izobară poartă numele de bulb de presiune. Punctelesituate în bulbul de presiune au efortul mai mare decât cel corespunzător izobarei, iar cele situate înafara bulbului au un efort mai mic.

Studiul izobarelor efortului σ  z este important, deoarece permite să se aprecieze adâncimea până lacare se resimte efectul încărcărilor exterioare. Este evident că această adâncime depinde de lăţimeafâşiei de încărcare.

Izobara efortului σ  z = 0,2 p, de exemplu, se extinde până la adâncimea egală cu aproximativ 3 B.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 10/58

Geotehnica Partea II

10

c. 

Fie un teren neomogen caracterizat prin prezenţa la o anumită adâncime a unui strat de pământfoarte compresibil.La suprafaţa terenului se aplică două fâşii de încărcare, având aceeaşi sarcină  p, dar lăţimi diferire.Se consideră limita inferioară a izobarei σ  z = 0,2 p drept limită a zonei în care eforturile provenitedin încărcarea exterioară sunt susceptibile de a produce deformaţii semnificative ale terenului. După cum rezultă, izobara σ  z = 0,2 p a fâşiei înguste se opreşte deasupra stratului moale, aceeaşi izobară,dar a fâşiei late, interceptează din plin stratul moale.Fundaţia lată va avea tasări sensibil mai mari decât fundaţia îngustă.

Aşadar, mă rimea tasă rilor nu depinde numai de mă rimea încă rcă rilor, ci  şi de dimensiunilesuprafe ţ elor de transmitere a acestor încă rcă ri.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 11/58

Geotehnica Partea II

11

METODA APROXIMATIVA PENTRU CALCULUL REPARTIZĂRII EFORTURILOR ÎNMASIVELE DE PĂMÂNT- Încărcare uniform repartizată pe o fâşie de lăţime constantă (problema plană)Se consideră că tensiunile σ  z se difuzează în interiorul a două plane duse cu înclinarea de 55o faţă deverticala ce trece prin muchiile fâşiei de lăţime B .

Scriind condiţia de echilibru se obtine:

( )11 1 2 tg55 tg552

1 tg55

 z z z

 z

q B B z B z

q z

 B

σ σ σ 

σ 

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = +

=

+

o o

o

 

18. CALCULUL EFORTURILOR UNITARE DIN GREUTATEA PROPRIE APĂMÂNTULUI

Fie un masiv omogen (greutatea volumică areaceeaşi valoare în toate punctele masivului).Efortul unitar pe direcţie verticală laadâncimea  z dat de greutatea proprie apământului se notează σ gz şi se calculează curelaţia:

gz  zσ γ = ⋅  

Relaţia indică o variaţie liniară cu adâncimea aefortului σ gz.Efortul σ gz se mai numeşte şi sarcină  geologică sau presiune litologică .

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 12/58

Geotehnica Partea II

12

În cazul masivului alcătuit din mai multestrate, având greutăţi volumice diferite , sarcinageologică la baza stratului n se calculează curelaţia:

1

n

gz i ii

hσ γ =

= ⋅∑  

unde γ i hi reprezintă greutatea volumică  şi,respectiv grosimea stratelor de deasupra planuluide referinţă.Variaţia lui σ gz este liniară în cuprinsul fiecăruistrat, diagrama respectivă prezentând schimbăride pantă la orice modificare a lui γ .

În cazul în care în cuprinsul unui strat se află cantonată pânza de apă subterană, la calculul lui σ gz sub nivelul acestei pânze, se va lua greutatea volumică submersată γ '. La calculul sarcinii geologice

 în cuprinsul stratului impermeabil deasupra căruia este aşezat stratul purtător de apă freatică, se ia în considerare şi presiunea dată de coloana de apă de deasupra stratului impermeabil.

Masiv stratificat si apa subteranaLa baza stratului 1, în care se află pânza freatică:

' '1 1 1 1gz h hσ γ γ = +  

La   partea superioar ă  a stratului 2,impermeabil, la sarcina geologică calculată pentru baza stratului 1, seadaugă presiunea apei.Diagrama de sarcină geologică (Fig.4.41) marchează astfel un salt:

1

' ' '1 1 1 1 1gz wh h hσ γ γ γ  = + +  

19. FAZELE PROCESULUI DE DEFORMARE SUB SOLICITARE LAPĂMÂNTURI

 Principalele faze ale procesului de deformare sub solicitare la pă mânturi.În cazul cel mai general pe diagrama de încărcare - tasare obţinută printr-o încărcare pe teren se potdistinge trei zone, care corespund unor faze distincte ale procesului de deformare sub încărcare.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 13/58

Geotehnica Partea II

13

 Diagrama încă rcare – tasareZona I: 0 ≤≤≤≤ p < p1

Relaţia între presiunea  p şi tasarea s este cvasi-liniară; dacă s-ar examina două volume de pământsituate, de pildă, pe verticalele duse prin muchiile suprafeţei de încărcare, înainte şi după deformare,s-ar constata că se produce o modificare de volum, nu şi de formă, pe seama îndesării, micşorăriiporozităţii.Zona I corespunde aşadar unei faze în care predomină deformaţiile de îndesare, numită din acestmotiv faza de îndesare. Deformarea pământului este produsă în principal de acţiunea tensoruluisferic.Proprietatea care guvernează comportarea pământului în această fază este compresibilitatea.

Zona II: p1 < p < p2 

Dacă presiunea depăşeşte o anumită valoare p1, relaţia p - s devine în mod vădit neliniară, creştereatasărilor este mai accentuată decât creşterea presiunilor. Modificările de volum sunt însoţite şi demodifică ri de formă , ceea ce denotă apariţia unor deforma ţ ii de lunecare, determinate de creştereatensiunii tangen ţ iale.Ca urmare, la început, în punctele situate sub muchiile plăcii, iar apoi în zone numite zone plastice, efortul tangential τ devine egal cu rezisten ţ a la forfecare a pământului.

Zona II corespunde fazei de dezvoltare a zonelor plastice sau fazei lunecă rilor progresive.Deformarea pământului este produsă în acţiunea tensorului sferic peste care se suprapune acţiuneatensorului deviatoric.Proprietatile care guvernează comportarea pământului în această fază sunt compresibilitatea si rezisten ţ  a la forfecare. 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 14/58

Geotehnica Partea II

14

 Deforma ţ iile pă mântului în diferite stadii de încă rcare Zona I- faza de îndesare  Zona II- faza dezvolt ă rii zonelor plastice 

Zona III: p2 < p < p3 

Pentru valori p > p2 deformaţiile devin neamortizate.Pentru p = p3 se produce chiar ruperea sau cedarea  generala prin desprinderea unei părţi dinmasivul de pământ de restul masivului, ca urmare a depăşirii rezistenţei la forfecare de-a lungul uneisuprafeţe numită suprafa ţă de alunecare.Această  fază este de rupere sau fază de cedare in care predomină deforma ţ iile specifice de lunecare ca urmare a acţiunii tensorului deviatoric.Proprietatea care guvernează comportarea pământului este rezisten ţ  a la forfecare.

Cedarea terenului de fundare

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 15/58

Geotehnica Partea II

15

COMPORTAREA FAZELOR COMPONENTE ALE PĂMÂNTURILORSUB ACŢIUNEA SOLICITĂRILOR DE COMPRESIUNE

Compresibilitatea reprezintă proprietatea pământurilor de a se deforma sub acţiunea unor solicităride compresiune, devenind mai îndesate, mai compacte.

După cum s-a arătat, compresibilitatea guvernează comportarea pământurilor în prima fază aprocesului de deformare sub încărcare, faţă de care relaţia încărcare - tasare poate fi considerată liniară. Se spune că pământul se comportă în această fază ca un mediu liniar - deformabil  şi nuelastic, deoarece în cazul ridicării încărcării tasarea nu se anulează  ci se înregistrează o tasareremanent ă  , sr .

Pentru a înţelege bazele fizice ale compresibilităţii, se va examina succesiv comportarea fazelorcomponente ale pământurilor sub acţiunea solicitărilor de compresiune.

Faza solid ă .

Ca urmare a aplicării încărcărilor exterioare, cresc presiunile la contactul dintre particule, ceea ceproduce comprimarea acestora. Deşi presiunile de contact sunt mari, rezistenţele mecanice aleparticulelor solide sunt de asemenea mari, astfel încât comprimarea acestora este foarte mică şi nupoate explica deformaţiile mari ale stratului de pământ. Această comprimare are în general uncaracter reversibil, particulele revenindu-şi elastic la ridicarea încărcării. În unele puncte de contactse pot produce şi striviri locale, al căror efect global asupra deformaţiei este de asemenea neglijabil.În schimb, strivirile locale constituie o explicaţie a deformaţiilor remanente.Legăturile dintre particule fiind mult mai slabe decât rezistenţele particulelor, sub acţiuneasolicitărilor de compresiune, se produce o rearanjare a particulelor, însoţită de o micşorare avolumului de goluri.

 Apa din pori.

Presiunile suplimentare care se dezvoltă în pământ sunt în primul moment preluate de apa din pori.Apa fiind practic incompresibilă, creşterea presiunii apei din pori nu poate explica deformaţiilepământului.Pe măsura drenării apei din pori, presiunea excedentară în apă se diminuează iar pe seama porilorcare rămân neocupaţi de apă se poate produce rearanjarea particulelor. În cazul pământurilorcoezive, sub efectul presiunilor suplimentare se produce trecerea unei părţi din apa legată în apă liberă, subţiindu-se astfel învelişul de apă legată. La descărcare, fenomenul se  produce în sens

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 16/58

Geotehnica Partea II

16

invers, existând tendinţa de refacere a grosimii iniţiale a învelişului de apă legată.

În concluzie, principala explicaţie a deformaţiilor sub solicitare de compresiune rezidă înrearanjarea particulelor .În cazul pământurilor saturate, rearanjarea particulelor este posibilă numai după evacuarea apei dinpori.Viteza de deformare este dictata de permeabilitatea pământului.

20. DETERMINAREA COMPRESIBILITĂŢII ÎN LABORATOR

Pentru studiul compresibilităţii în laborator se utilizează aparatul denumit edometru . Principalelecaracteristici ale încercării:- deformarea laterală a probei este împiedicată; în acest scop, proba cu diametrul de 2-3 cm esteintrodusă într-un inel de oţel;- trebuie asigurată posibilitatea evacuării apei din pori; proba este aşezată între două pietre poroase.

Încărcarea se aplică în trepte, prin intermediul unui sistem de pârghii. Sub fiecare încărcarese fac citiri la microcomparator, la diverse intervale de timp, până când se constată amortizareadeformaţiilor sub încărcarea dată (trei citiri succesive la interval de o oră să nu difere cu mai mult de0,01 mm).

Pentru fiecare încărcare N , căreia îi corespunde o presiune N 

 p A

= , unde A este aria probei,

egala cu aria inelului metalic, se înregistrează tasări ∆ h la diverşi timpi t :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 final

1 2 final

1 2 final

1

2

,,

,

t t t 

t t t 

n t t t 

 p H H H   p H H H  

 p H H H  

→ ∆ ∆ ∆→ ∆ ∆ ∆

→ ∆ ∆ ∆

K

K

M

K

 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 17/58

Geotehnica Partea II

17

Caracteristici de compresibilitate ob ţ inute din curba de compresiune - tasare

a) reprezentare simplă  b) reprezentare semilogaritmică  

 modulul de deforma ţ ie edometric, M (conf. Eurocod 7 se noteaza Goed )

 p M 

h

h

∆=

∆ ∆

, daN/cm2  

Pentru clasificarea pământurilor după criteriul compresibilităţii se determina modulul edometric corespunză tor intervalului de presiuni 2-3 daN/cm2:

( )2 3

3 2

3 2 100

% % p p

 M h h

h h

= =

− ⋅=

∆ ∆ −

 

Valori uzuale pentru M 2-3, daN/cm2:-  argilă plastic moale: 15 ... 50-  argilă plastic consistentă: 50 ... 100-  argilă plastic vârtoasă: 100 ... 200-  nisipuri afânate: 100 ... 200-  nisipuri de îndesare medie: 200 ... 500-  nisipuri îndesate, argile tari: > 500

 tasarea specifică  , ε  

ε = (∆h / h) x 100 (%) Pentru clasificarea pământurilor după criteriul compresibilităţii se determina tasarea specifică  corespunză toare presiunii p = 2 daN/cm2: ε  p=2 = (∆h / h) p=2 x 100 (%) 

ε  p=2 < 2%ε  p=2 = 2 - 6%ε  p=2 > 6%

pământ puţin compresibilpământuri compresibilepământ foarte compresibil

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 18/58

Geotehnica Partea II

18

 modulul de deforma ţ ie liniar ă  , E În condiţiile solicitării edometrice:

( )

0

1

 x y

 x y

 x y x y zE 

ε ε 

σ σ 

ε ε σ ν σ σ  

= =

=

= = − +

 

 x y zσ ν σ ν σ  − =  

( )

0

1

1

 x z

 x y z zK 

σ ν ν σ  

ν σ σ σ σ  

ν 

− =

= = =−

 

K 0 = 

1

ν 

ν −

 

K 0 - coeficient de împingere laterală în stare de repaus.

Relaţia între tensiunile normale în stadiul comportării pământului ca un mediu liniar -deformabil este:

0 x y zK σ σ σ = =  

( )2 21 1

2 11 1

 z z z z x y z zE E E E

σ σ ν ν ε σ ν σ σ σ σ β  

ν ν 

= − + = − = − = − −

 

dar: , z z

h phε σ 

∆= = ∆  

 pE M 

h

h

 β β ∆

= ⋅ = ⋅∆  

Întrucât β < 1, rezultă că teoretic E < M .

In practică se utilizează relaţia: 0E M M = ⋅  

unde M 0 este un coeficient de corecţie pentru trecerea de la modulul de deformaţie edometric la

modulul de deformaţie liniară, care la nisipuri este 1,0 iar la pământuri argiloase variază între 1,0 şi2,3.Valorile supraunitare ale lui  M 0, stabilite pe cale empirică prin compararea valorilor modulului E ,obţinute prin încercări pe teren, cu cele obţinute în funcţie de modulul edometric, se explică prinefectul de deranjare a structurii pământurilor coezive produs prin operaţiile de recoltare a probelorpe teren, de transport la laborator etc.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 19/58

Geotehnica Partea II

19

21. Caracteristici de compresibilitate obţinute din curba de compresiune –porozitate

Curba de compresiune - porozitate, pune în evidenţă micşorarea porozităţii odată cu creştereapresiunii.

Pentru a construi prin puncte curba de compresiune – porozitate, trebuie cunoscute valorile tasărilor∆h, pentru diferite trepte de încărcare pi, precum şi valoarea indicelui porilor iniţial e0.

( )

0

00 0

00 0 0 0 0

0

1 11

1

g gf 

s g s gf   f f s s

gs g

s

V A h h

V A h h

V V V V V V  V V e eV V V e

V V V V V e e

h eh e

∆ ⋅ ∆ ∆= =

−+ − +− −∆ ∆

= = = = =+ + +

+

∆ ∆=+

  coeficientul de compresibilitate, av:

,v

ea

 p

∆=

∆[cm2 /daN]

 coeficientul de compresibilitate volumică , mv:

0 01 1v

v

a ph em p

h e e

⋅ ∆∆ ∆= = = ⋅ ∆

+ + 

0

,1

vv

am

e=

+[cm2 /daN]

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 20/58

Geotehnica Partea II

20

Relatia dintre mv şi M:

v

v

 p 1 M 

h mh

1m  M 

∆= =

=

 

 Presiunea de consolidare, p c

Se defineşte drept presiune de consolidare, pc, presiunea maximă la care a fost supus în istoria sa unstrat de pământ argilos.Se defineşte drept   presiune geologică ,  pg, presiunea corespunzătoare greutăţii stratelor de pământaflate în prezent deasupra pământului considerat.

În funcţie de raportul între pc şi pg, se deosebesc:–   argile normal consolidate, la care pc = pg, pământuri care nu au fost supuse unei

 încărcări mai mari decât sarcina geologică actuală;–   argile supraconsolidate, la care  pc >  pg, pământuri care au fost supuse în trecut

unor presiuni mai mari decât actuala sarcină geologică, ca de exemplu cele datede greutatea unor gheţari sau a unor strate de pământ ulterior erodate sau supusemişcărilor tectonice etc.

 Determinarea presiunii de consolidare, pc (Metoda Casagrande)Se stabileşte punctul C de curbură maximă de pe diagrama e - log p;Din acest punct se duc două linii, una tangentă la curbă iar cealaltă paralelă cu axa absciselor;Se construieşte bisectoarea unghiului α definit de cele două linii;Intersecţia bisectoarei cu prelungirea porţiunii liniare a diagramelor e - log p se notează cu A;Abscisa punctului A reprezintă presiunea de consolidare.

Se compară  pc cu pg şi se stabileşte tipul de argilă.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 21/58

Geotehnica Partea II

21

Curbe e - log p caracteristice Argile foarte sensitive.La presiunea de consolidare, pc, panta curbei devine aproape verticală.Explicaţia acestei comportări se obţine dacă se încearcă o altă probă din acelaşi pământ, dar careeste în prealabil remaniată. Curba e - log p a probei remaniate este o linie dreaptă. Se constată că lapresiuni p > pc, cele două curbe practic se confundă.

Deci tasarea bruscă a probei cu structura naturală la  p =  pc denotă o prăbuşire a structurii prinruperea legăturilor structurale dintre particule.

 Pă mânturi loessoide Trăsătura distinctă a pământurilor loessoide o constituie sensibilitatea la umezire. Trecereapământului de la umiditatea naturală la umiditatea de saturaţie produce o prăbuşire a structuriipământului, manifestată prin tasări bruşte, suplimentare, f ără să crească şi presiunea aplicată asupraprobei.Evidenţierea sensibilităţii la umezire în laborator se face prin încercări în edometru.Proba cu umiditate naturală se încarcă în mod obişnuit până la o presiune de 3 daN/cm2; după consumarea tasării sub această presiune, se inundă proba.

Tasarea bruscă prin umezire se exprimă printr-un salt în diagrama de compresiune - tasare, a căreimărime se defineşte drept tasare specifică prin umezire 

Un criteriu de recunoaştere a sensibilităţii la umezire:im3 < 2 % pământul nu este sensibil la umezireim3 > 2 % pământul este sensibil la umezire

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 22/58

Geotehnica Partea II

22

22. CONSOLIDAREA ARGILELOR - MODELUL MECANIC ALCONSOLIDĂRII

Consolidarea reprezintă tasarea în timp, sub încărcare constantă, a pământurilor. Consolidarea estecaracteristică pământurilor argiloase la care drenarea apei din pori se face lent. În cazul nisipurilornu se poate vorbi, practic, de consolidare, deoarece datorită permeabilităţii lor mari, apa esteexpulzată din pori imediat după aplicarea încărcării, dând posibilitatea particulelor să ocupe poziţiacorespunzătoare noii stări de îndesare.

Pentru înţelegerea procesului de consolidare se poate folosi un model mecanic.

Fie un vas cu apă închis la partea superioară cu un piston prevăzut cu un orificiu şi legat de fundulvasului cu un arc.Un tub piezometric la partea inferioară a vasului permite măsurarea presiunii apei din vas (a).Asupra pistonului se aplică o presiune p.La timpul t  = 0, când apa nu a început să fie evacuată din vas deoarece orificiul din piston este

 închis, întreaga presiune p este preluată de apă.În tubul piezometric apa se ridică la înălţimea H = p / γ w (b).După deschiderea orificiului, apa începe să fie evacuată din vas.O parte din presiune se transmite arcului, iar cealaltă parte este preluată de apă.Procesul este încheiat atunci când întreaga presiune p este transmisă arcului (c).

În acest model, arcul simulează  scheletul solid al pământului, iar apa din vas, apa din pori. Notând presiunea în scheletul solid (în arc) cu pef , iar presiunea în apa cu u, se pot scrie, pentru celetrei momente caracteristice ale procesului de transfer al presiunii  p, următoarei relaţii intre  p, u si

 pef :Momentul iniţial t = 0  p = u0   pef = 0Momentul intermediar t = t i   p = pef,i + ui Momentul final t = t final   p = pef   u = 0Consolidarea este procesul de transfer al presiunii de la apă către scheletul solid.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 23/58

Geotehnica Partea II

23

23. TEORIA CONSOLIDĂRII. REPREZENTĂRI GRAFICE

Consolidarea unidimensională a fost studiată de Terzaghi.Se urmăreşte deducerea legii de variaţie a presiunii neutrale u= u(t,z) în timp şi pe grosimea unuistrat de argilă de grosime 2 H supus unei presiuni suplimentare ∆ p.

Drenarea apei se face numai pe direcţie verticală, către straturile permeabile (nisipoase) între care segăseşte stratul de argilă. 

Ipoteze de bază:–  pământul se consideră saturat, omogen, izotrop;–  apa din porii pământului se consideră incompresibilă;–  se admite valabilitatea legii lui Darcy;–  se admite o relaţie liniară între deformaţia pământului şi presiunea efectivă.

Ecuaţia consolidării unidimensionale demonstrata de Terzaghi :

2

2v

u uc

t z

∂ ∂=

∂ ∂ 

cv se numeşte coeficient de consolidare  şi este o proprietate a pă mântului care depinde decoeficientul de permeabilitate k  şi de coeficientul de compresibilitate volumică mv.

Soluţia ecuaţiei consolidării se obţine cu ajutorul seriilor Fourier.

u = f (z/H; T)

2vc t 

T  H 

= factor de timp, adimensional.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 24/58

Geotehnica Partea II

24

Gradul de consolidare:

i zt t i

u uV uU  V u u=∞ =∞

−∆ ∆= = =∆ ∆

 

  în care ui este presiunea neutrală imediat  după aplicarea presiunii∆ p şi u este presiunea neutrală latimpul t .

Gradul mediude consolidare U  H  = f (T )Faptul că soluţiaecuaţiei consolidării,pentru o problemă dată,se exprimă în funcţie de

o mărime adimensională T , permite utilizareaaceleiaşi soluţii la oricealtă problemă  având acelea şi condi ţ ii ini ţ iale şi pe contur , indiferentde mărimile geometrice( H ) şi fizice (k , mv) careintervin.

Utiliză ri ale curbei U  H = f (T )1. Se dă U  H %. Se cere timpul t .Se intră în ordonată cu U  H , se duce orizontala până la intersectarea curbei, se citeşte abscisa T , se

calculează t din relaţia2

vc t T 

 H = .

2. Se dă t , se cere U  H . Se procedează invers.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 25/58

Geotehnica Partea II

25

24. CALCULUL TASĂRILOR

Tasările se definesc drept deformaţii pe verticală ale terenului care pot fi produse de încărcăriletransmise de fundaţii sau chiar de eforturile din greutatea proprie a pământurilor.Tasarea totală s are trei componente:

s = s0

+ ss + s

unde s0 = tasarea imediată (primara);ss = tasarea secundara (prin consolidare);sc = tasarea prin curgere lentă sub efort efectiv constant (apare doar in cazul unor anumite

tipuri de pamanturi)

Calculul tasarii totale Metoda însumă rii tasă rilorprobabile pe straturi elementare

Este o metodă grafo-analitică.Se consideră o fundaţie de suprafaţă.  Se admite că deformaţia este unidimensională (deformaţia

laterală împiedicată) şi se datorează exclusiv eforturilor verticale σz.  Fundaţia având lăţimea  B  şiadâncimea D este acţionată de o încărcare verticală 

 N = P + G, unde P este încărcarea transmisă fundaţiei de structură, iar G este greutatea proprie afundaţiei şi pământului aflat deasupra fundaţiei.

Presiunea efectivă pe talpa fundaţiei avand suprafaţa A este:

ef  N ( P G )

 p A A

+= =  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 26/58

Geotehnica Partea II

26

Presiunea netă pe talpa fundaţiei este:

 pnet=pef – σ gD 

unde σ gD este presiunea geologică la adâncimea D.

Compresibilitatea diferitelor strate de pământ este definită prin modulul de deformaţie liniară E.

Etapele de calcul sunt următoarele:

a)  Se reprezintă o secţiune transversală prin fundaţie şi prin teren, cu indicarea limitelor întrestratele geologice. Terenul de sub fundaţie se împarte în strate elementare.Limitele dintre stratele geologice, inclusiv nivelul apei subterane, reprezintă limite obligate

 între stratele elementare. Grosimea hi a unui strat elementar nu trebuie să depăşească 0,4B şipoate varia de la un strat la altul.

b)  Se calculează tensiunile σz generate la diferite adâncimi de presiunea pnet şi tensiunilegeologice σgz, iar variaţia cu adâncimea a acestora se obţine reprezentând tensiunile, de o

parte şi de alta a axei z, normal fată de axă.Diagrama de variaţie cu adâncimea a tensiunii σg începe de la nivelul tălpii fundaţiei, în timpce diagrama de variaţie cu adâncimea a lui σgz începe la nivelul terenului.

c)  Pe baza diagramei lui σgz se defineşte  zona activă , acea zonă din teren în care tensiunile σz

sunt destul de mari pentru a fi luate în considerare la evaluarea tasărilor. După cum seconstată, cele două tensiuni σz şi σgz au tendinţe contrarii: în timp ce σz descreşte cuadâncimea, σgz creşte cu adâncimea.Pe de altă parte, în mod obişnuit modulul de deformaţie E creşte cu adâncimea, ca urmare acompactării pământului sub presiunea stratelor aflate deasupra.Rezultă, deci, că la o anumită adâncime tensiunile σz devin atât de mici în comparaţie cu σgz

 încât tasările pe care le induc sunt neglijabile.

Zona activă este limitată de adâncimea  z0 sub talpa fundaţiei la care se îndeplineşte condiţia:

0 00,2 z gzσ σ =  

Când limita inferioară a zonei active definită prin se află într-un strat având E < 5000 kPa,  z0 seextinde pentru a include acel strat sau până la îndeplinirea condiţiei:

0 0 z gz0,1σ σ =  

Când în cuprinsul zonei active definită prin se întâlneşte un strat practic incompresibil (E > 100.000kPa) zona activă se extinde doar până la limita superioară a stratului tare.

d)  Se consideră tasarea si a stratului elementar i.Se consideră că σz este constant în cuprinsul stratului elementar i şi are valoarea:

med 1( ) / 2i ii z z zσ σ σ 

−= +  

Această aproximaţie duce la înlocuirea diagramei teoretice de variaţie cu adâncimea a lui σz cu odiagramă în trepte.

Se înţelege de ce grosimea stratului elementar a trebuit limitată (hi ≤0,4 B).

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 27/58

Geotehnica Partea II

27

Se aplică legea lui Hooke: E σ ε =  

Pentru stratul „i” se considera:

medi zσ σ = ; E=E i; i is / hε =  

unde si este tasarea stratului „i” produsă de efortul constant medi zσ   

si = (med

) / i

 z i ih E σ  ⋅  

Tasarea s se obţine însumând tasările si ale tuturor stratelor elementare aflate în cuprinsul zoneiactive.

s = 0,8med

0,8 ) /  i

i z i is h E σ = ⋅∑ ∑  

Valoarea de 0,8 este un factor empiric de corecţie urmărind să reducă diferenţa dintre tasărilecalculate cu această metodă şi tasările observate.

25. CONDIŢIA DE RUPERE LA PĂMÂNTURI

Condiţia de cedare sau rupere a unui material poate fi exprimată în diferite moduri, de exemplu înfuncţie de tensiuni sau de deformaţii specifice, în termeni energetici etc. Valabilitatea unei teorii derupere pentru un material supus unui anumit tip de solicitări se stabileşte prin verificăriexperimentale.

La pământuri, criteriul de rupere cu cea mai largă aplicabilitate îl constituie criteriul Mohr -Coulomb, rezultat din asocierea a două teorii clasice de rezistenţă, datorate lui Mohr şi lui Coulomb.

Teoria de rezisten ţă  a lui Mohr arată că ruperea se produce atunci când pe un anumit plan,numit plan de rupere sau de alunecare, între tensiunea normală  şi cea tangenţială există o relaţie

funcţională: ( ) f   f τ σ =  

unde: τ  f  - tensiunea tangenţială pe planul de rupere;σ   - tensiunea normală pe planul de rupere.

Fie un masiv supus unei anumite încărcări.

Admitem că printr-un punct aflat în interiorulmasivului trece un plan pentru care se

 îndeplineşte condiţia de rupere: ( ) f   f τ σ = .

Efortul unitar total pe planul considerat, p,

reprezinta rezultanta eforturilor unitare σ si τ .

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 28/58

Geotehnica Partea II

28

În sistemul de coordonate (τ , σ ), eforturileunitare σ si τ definesc un punct care unit cuoriginea determină efortul unitar total  p peplanul de rupere.Unei alte stări de solicitare îi corespunde altplan de rupere care trece prin acelaşi punct, altvector p etc.Locul geometric al extremităţilor vectorilor  p reprezintă o curbă simetrică faţă de axa 0σ  numită înf ăşur ă toarea lui Mohr .

Fiecare stare de solicitare este caracterizată, în momentul ruperii, prin 3 eforturi principale ( σ 1, σ 2,σ 3 ) cu care se pot constitui 3 cercuri ale eforturilor.Se reprezintă cercul corespunzător tensiunilor principale extreme σ 1 şi σ 3.Unei alte stări de solicitare îi corespunde un alt cerc etc.Înf ăşurătoarea lui Mohr poate fi definită  şi drept înf ăşurătoarea cercurilor tensiunilor

corespunzătoare stării de rupere.Ea apare ca o proprietate a materialului independentă de tensiunile aplicate asupra acestuia.

O relaţie între σ   şi τ corespunzătoare ruperii a fost definită de Coulomb sub forma ecuatiei carereprezintă o dreaptă a cărei înclinare faţă de orizontală  ϕ  se defineşte drept unghi de frecareinterioar ă iar ordonata la origine drept coeziune.Această dreaptă este numită dreapta lui Coulomb sau dreapta intrinsecă sau dreapta caracteristică .Criteriul Mohr - Coulomb înseamnă adoptarea ca înf ăşur ă toare a cercurilor lui Mohr a dreptei luiCoulomb.Potrivit acestui criteriu, rezistenţa pământului este independentă de tensiunea principală intermediară σ 2.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 29/58

Geotehnica Partea II

29

Cum se apreciază dacă, pentru o stare de solicitare dată, într-un punct din masiv este îndeplinită condiţia de rupere ?

−  se reprezintă dreapta lui Coulomb (Fig. 6.4);−  se calculează tensiunile normale σ  şi tangenţiale τ pe unplan care trece prin punctul considerat;−  se reprezintă punctul M de coordonate (σ  , τ );−  dacă punctul se găseşte sub dreapta intrinsecă, planul pe

care acţionează σ  şi τ nu este plan de rupere.S-ar putea, însă, să existe un alt plan care să treacă prinacelaşi punct şi pentru care condiţia de rupere să fie

 îndeplinită.

Utilizarea cercului lui Mohr permite să se verifice dacă prinpunctul din masiv, a cărei variaţie de stare de eforturi estedescrisă de cerc, trece vreun plan pentru care se

 îndeplineşte condiţia de rupere.Pentru starea dată de solicitare se calculează direcţiileprincipale şi tensiunile principale corespunzătoare

punctului considerat din masiv şi se construieşte cercul luiMohr. Dacă  cercul lui Mohr se află  sub dreapta intrinsecă  se poate afirma că nu exist ă nici un plan pentru care condi ţ iade rupere să fie îndeplinit ă .

Condiţia de rupere este îndeplinită dacă punctul M (σ σσ σ  , τ ττ τ ) aparţine dreptei intrinseci sau dacă cercul lui Mohr este tangent la dreapta intrinsecă.

Întrucât dreapta intrinsecă exprimă condiţia de rupere, situaţiile în care efortul unitar total să se

găsească deasupra dreptei intrinseci sau în care cercul să fie secant cu dreapta intrinsecă, nureprezinta stari POSIBILE de eforturi din punct de vedere fizic.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 30/58

Geotehnica Partea II

30

26. Exprimarea condiţiei de rupere prin relaţii între eforturile principale σ σσ σ 1, σ σσ σ 3 

 Pă mânturi necoezive 

tg f τ σ φ = ⋅  

Se cere relaţia între σ 1 şi σ 

3 şi direcţia planelor de rupere.

În triunghiul OCT :

1 3

1 3

1 3 1 3

2sin

2

CT 

OC 

σ σ σ σ 

φ σ σ  σ σ 

−−

= = =+ +

 

3 1 1

1

1

2 21 1

1 sin sin 90 sin

1 sin sin 90 sin

90 90

2cos sin2 290 90

2sin cos2 2

90 90ctg tg

2 2

90tg tg 45

2 2

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

σ σ σ 

σ 

σ 

σ σ 

− −= = =

+ +

+ −

= =+ −

+ −= =

− = = −

o

o

o o

o o

o o

o

o

 

23 1tg 45

2

φσ σ 

= −

o  

Fie P polul cercului. Punctele T  şi T' fiind punctele de pe cerc pentru care este îndeplinită condiţiade rupere, unind polul cu aceste puncte se obţin direcţiile a două plane care sunt planele dealunecare.Unind polul cu punctele de intersecţie a cercului cu axa Oσ se obţin direcţiile planelor principale.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 31/58

Geotehnica Partea II

31

Planul de alunecare face cu planul pe care acţionează tensiunea principală maximă unghiul:

0 452

φα  = +o  

Fie un punct oarecare N 

pe cerc. Unind polul cu N 

se obţine direcţia planului pe care acţionează efortul unitar total ON uuur de componente σ , τ .Unghiul θ pe care îl face cu orizontala direcţia efortului unitar total încercul lui Mohr, poartă numele de unghi de deviere.În cazul pământurilor necoezive, valoarea maximă a unghiului dedeviere este chiar unghiul de frecare internă.Condiţia de rupere se poate formula deci şi:

max φθ  =  

 Pă mânturi coezive 

( ) ( )

ctg tg +

tgtg cotg tg

 f 

e

φ c φφ

φ c φ φ  H 

τ σ σ 

σ σ 

= ⋅ + = =

= + ⋅ = +

 

Principiul st ă rilor corespondente, prin care se face trecerea de la mediul necoeziv la un mediucoeziv:Un mediu coeziv este în echilibru dacă se poate face să-i corespundă un mediu necoeziv de aceia şi

 formă   şi frecare interioară în echilibru sub acţiunea încărcărilor exterioare ce ac ţ ionează  asupramediului coeziv completate de o presiune hidrostatică  H ε = c  ctg ϕ .

În triunghiul O1CT :

1 3

1 3

1 31 1 1 3

2sin2 cotgcotg

2

CT CT  φ

O C OC O O c φc φ

σ σ σ σ 

σ σ  σ σ 

−−

= = = =++ + + ⋅+ ⋅

 

1 3 1 3

cossin sin 2 sin

sin

φφ φ c φ

φσ σ σ σ  ⋅ + ⋅ + = −  

( ) ( )1 31 sin 1 sin 2 cosφ φ c φσ σ − = + + ⋅  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 32/58

Geotehnica Partea II

32

( )

22

3 1 1 2

21

1 sin1 sin cos2 tg 45 2

1 sin 1 sin 2 1 sin

tg 45 2 tg 452 2

φφ φ φc c

φ φ φ

φ φc

σ σ σ 

σ 

−− = − = ⋅ − − =

+ + +

= ⋅ − − ⋅ −

o

o o

 

Direcţiile planelor de alunecare nu se schimbă:

0 452

φα  = +o  

În cazul pământului coeziv θ max > θ .

Pentru punctul T care îndeplineşte condiţia de rupere:

tg cφτ σ = ⋅ +  

tg cφτ σ σ 

= +  

dar: maxtg φτ 

σ =  

deci: maxtg tgc

φ φσ 

= +  

27. METODICA DETERMINĂRII REZISTENŢEI LA FORFECARE

Rezistenţa la forfecare a pământurilor este exprimată prin dreapta lui Coulomb. Determinarearezistenţei la forfecare a pământurilor înseamnă, aşadar, determinarea parametrilor ϕ  şi c ai drepteiintrinseci. Condiţiile de solicitare a probei de pământ în cursul încercării pentru obţinerea drepteiintrinseci influenţează în măsură însemnată valorile lui ϕ  şi c.

De aici rezultă două concluzii:−  ϕ  şi c nu trebuie privite ca ni şte constante fizice ale pământului şi trebuie întotdeauna

corelate cu modul în care au fost obţinute;−  trebuie aleasă acea metodică de determinare a dreptei lui Coulomb care să apropie cât

mai mult condiţiile de solicitare din laborator cu cele din teren.

Principalele metode de laborator pentru determinarea rezistenţei la forfecare sunt: forfecarea directă şi comprimarea triaxială.Fiecare din ele cuprind câte două  faze care corespund tocmai ac ţ iunii tensorului sferic  şi, apoi, alcelui deviatoric.Metodicile determinării rezistenţei la forfecare se diferenţiază după mai multe criterii, dintre carecele mai importante sunt:

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 33/58

Geotehnica Partea II

33

a) Criteriul posibilit ăţ ilor de drenare a apei din porii pă mântului în diferitele faze ale încercă rii.

  Încercă ri neconsolidate - nedrenate (unconsolidated - undrained) - UU sau încercări rapide peprobe neconsolidate.

Atât în prima cât şi în cea de-a doua fază a încercării, drenarea apei este împiedicată.

  Încercă ri consolidate - drenate - CU, sau încercări rapide pe probe consolidate.În prima fază a încercării, la aplicarea tensiunilor normale, drenarea apei este permisă, producându-se consolidarea probei sub tensiunile aplicate.În faza solicitării deviatorice, drenarea apei este împiedicată (ritmul de solicitare este atât de rapid

 încât apa nu are timpul necesar pentru a se drena).

  Încercă ri consolidate - drenate - CD sau D sau încercări lente pe probe consolidate.În faza solicitării deviatorice ritmul de solicitare este atât de lent încât este posibilă drenarea apeidin pori.

b) Criteriul tipului de solicitare

Încercări cu solicitări statice Încercări cu solicitări ciclice Încercări cu solicitări dinamice

c) Criteriul raportului între eforturi  şi deforma ţ ii

Încercări cu efort impus (şi deformaţii măsurate), adică aplicarea solicitării deviatorice se face întrepte, cu măsurarea deformaţiilor sub fiecare treaptă.

Încercări cu deforma ţ ii impuse (şi eforturi măsurate) adică impunerea unui anumit ritm dedeformare sub solicitare deviatorică şi măsurarea în mod continuu a efortului care se aplică.

d) Criteriul drumului de efort („stress-path”)Reprezinta modul in care evolueaza starea de eforturi din momentul initial pana in momemtulruperii probei.

DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE PRIN FORFECARE DIRECTĂ   Încercarea de forfecare direct ă  seefectuează în aparatul de forfecaredirect ă alcătuit din două casete carese pot deplasa una faţă de cealaltă determinând forfecarea probeiaflată în interior după planul de

separaţie dintre casete.Încercarea se mai cheamă  şi

  Încercarea de forfecare cu planobligat .

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 34/58

Geotehnica Partea II

34

Încercarea de forfecare directă este o incercare de tipul deforma ţ ie impusă si efort mă surat .

În cazul încercărilor de tip UU sau CU, viteza impusă de forfecare este de 1 ... 1,5 mm/minut(forfecare rapidă) în timp ce la încercări de tip CD, la pământuri argiloase, viteza de forfecare estede 0,05 mm/minut sau mai mică (forfecare lentă).

Încercarea comportă două faze:Faza I Faza II

Proba este supusă unui efort normal  N ,căruia îi corespunde o tensiune normală:

 N 

 Aσ  =  

Se impune casetei de jos (inferioare) odeplasare crescatoare, δ, în raport cu caseta desus (blocata). La inelul dinamometric seinregistreză forţa T care creşte până la o valoareT max care corespunde forfecării probei:

max f 

 Aτ  =  

Definirea lui τ max pentru fiecare încărcare se face pe baza diagramei care leagă tensiunea tangenţială τ de deformate δ  (egală cu deplasarea relativă dintre casete).

Se disting trei situaţii:

  diagrama τ – δ pune în evidenţă cu claritate o valoare de vârf a lui τ, care se defineşte dreptτmax (a)

  diagrama τ – δ pune în evidenţă un τ pentru care deformaţia δ este neamortizată; τmax corespunde deformaţiei neamortizate (b)

  diagrama pune în evidenţă o creştere continuă a lui la creşterea lui τ; în acest caz τmax trebuiedefinit pentru o anumită deformaţie care, de regulă, se ia δ = 12,5 mm (c)

a) b) c)

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 35/58

Geotehnica Partea II

35

Perechile de valori (σ , τ max) se reprezintă în sistemul de coordonate σ 0τ .Pentru un pământ se fac cel puţin 3 încercări, diferite între ele prin mărimea efortului normal N  aplicat în faza I .

Prin prelucrarea statistică (cu metoda celor mai mici pătrate) sau pe cale geometrică se construieştedreapta medie care trece prin cele 3 sau mai multe puncte.Se măsoară înclinarea dreptei faţă de orizontală pentru aflarea unghiului de frecare interioară ϕ  şiordonata la origine pentru aflarea coeziunii c.Cercul lui Mohr nu poate fi obţinut direct pe baza valorilor experimentale (se cunosc σ   şi τ  peplanul de forfecare dar nu se cunosc tensiunile principale σ 1, σ 3).

28. DETERMINAREA REZISTENŢEI LA FORFECARE PRINCOMPRIMARE TRIAXIALĂ –EFECTUAREA ÎNCERCĂRII ŞI PRELUCRAREA REZULTATELOR 

Încercarea de comprimare triaxială se efectuează în aparatul triaxial, a cărui piesă de bază oconstituie o celulă cu pereţi rezistenţi în interiorul căreia se introduce o probă cilindrică de pământ,

având în mod obişnuit înălţimea de 8 cm şi diametrul de 3 cm.Proba este învelită cu o membrană subţire spre a fi protejată de fluidul din celulă.

Proba poate fi legată prin intermediul pietrei poroase de o biuretă în care se măsoară volumul de apă evacuat din probă în cursul încercării (egal cu variaţia de volum a probei saturate) precum şi de un

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 36/58

Geotehnica Partea II

36

dispozitiv pentru măsurarea presiunii apei din pori. Acesta funcţionează pe principiul aducerii lacoincidenţă. Se închid robinetele A şi C, robinetul B este deschis, iar conducta de legătură cu probaeste plină. În acest mod, orice creştere a presiunii apei din pori este însoţită de o denivelare înmanometrul cu mercur.Pentru readucerea la nivel a mercurului se învârte pistonul cu şurub din dreapta, realizând opresiune a cărei intensitate se măsoară la manometrul racordat la dispozitiv.Presiunea necesară pentru aducerea la nivel a manometrului cu mercur coincide cu presiuneaneutrală.

Încercarea comportă două faze:

I.  În celulă se introduce un fluid (apă, ulei, aer comprimat). Aplicând o presiune σ 0 asuprafluidului, proba este supusă unei solicitări hidrostatice. Dacă drenarea apei din probă estepermisă, modificarea de volum a probei saturate se face măsurându-se variaţia nivelului apei înbiureta legată cu celula.

Cercul tensiunilor corespunzător fazei I se reduce la un punct (σ 1 = σ 3 = σ 0). Pentru a duce

proba la rupere trebuie aplicată o solicitare deviatorică.

II.  Prin intermediul unui piston, proba este supusă unei presiuni verticale suplimentare∆σ care se măreşte treptat până la valoarea ∆σ  f  care duce la ruperea probei.

Faza ISolicitare

hidrostatica σ 0 (tensor sferic)

Faza IISolicitareverticala

suplimentara ∆σ (tensor deviatoric)

Starea deeforturi care

duce la rupereaprobei

Eforturile principale corespunzătoare ruperii:

1 0

3 2 0

1 3

 f 

 f  deviatorul de tensiuni

σ σ σ 

σ σ σ 

σ σ σ 

= + ∆

= =

∆ = − −

 

Mărimea deviatorului la rupere, ∆σ  f  , se precizează pe baza diagramei care leagă  ( )1 3σ σ σ − = ∆ de

deformaţia specifică axială ε 1.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 37/58

Geotehnica Partea II

37

Dacă ruperea este înso ţ it ă  de formarea unui plan de rupere în probă, valoarea de vârf (maxima) adeviatorului ∆σ  f clar definită.În cazul unor probe de consistenţă redusă, ruperea nu este înso ţ it ă de formarea unui plan de rupereiar deformaţiile cresc continuu odată cu creşterea deviatorului.Ruperea trebuie definită în funcţie de o anumită valoare a deformaţiei specifice

ε 1.

În acest caz , ∆σ  f  , corespunde lui ε 1 = 20%.

Ruperea definită prin ε εε ε 1 = 20% 

Determinarea grafica a modulului secant E 

Odată definit ∆σ  f  se construieşte cercul tensiunilor având ca diametru ∆σ  f .Pentru determinarea dreptei intrinseci, se repetă încercarea cu o altă probă din acelaşi pământ, carese supune de asemenea comprimării triaxiale, cu diferenţa că în faza I se aplică o altă presiunehidrostatică. Proba este dusă până la rupere construindu-se un nou cerc al lui Mohr cu noile tensiuni

principale. În mod obişnuit, se fac trei încercări.

DIAGRAME CARACTERISTICE

 Încercă ri de tip UU Probe de pă mânt saturat . Se supun succesiv mai multe probe din acelaşi pământ, la încercări încondiţii neconsolidate - nedrenate.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 38/58

Geotehnica Partea II

38

Se constată că deviatorul necesar pentru a duce probele la rupere este constant, adică toate cercurileMohr corespunzătoare stări limită au acelaşi diametru. Tangenta comună la aceste cercuri, dreaptalui Coulomb, este orizontală, caracterizată printr-un singur parametru care se notează cu (coeziune

 în condiţii nedrenate).

Probele fiind saturate iar încercarea efectuându-se în condiţii UU, presiunea hidrostatică esteintegral preluată de apa din pori. De la o probă la alta se modifică doar presiunea neutrală princreşterea lui σ 0, dar presiunea efectivă σ ' rămâne neschimbată.Aşadar, din punctul de vedere al presiunilor efective (cele care conform principiului lui Terzaghidefinesc răspunsul pământului sub solicitare) probele sunt identice. De aceea, rezistenţa lor laforfecare, exprimată prin mărimea deviatorului la rupere, este aceiaşi.

Pă mânt par  ţ ial saturat . În acest caz, pe seama volumului de pori neocupat de apă, probele seconsolidează treptat, odată cu creşterea presiunii hidrostatice. Ca urmare, deviatorul tensiunilor larupere este diferit de la o probă la alta. Totuşi, de la o anumită probă deviatorul începe să fieconstant, independent de mărimea presiunii hidrostatice.Înseamnă că la acea probă s-a atins starea de saturaţie, prin eliminarea porilor neocupaţi de apă.

 Încercarea de tip CD Parametrii rezistentei la forfecare determinatiprin incercari CD se noteaza:ϕ d şi cd

sauϕ ’ şi c’

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 39/58

Geotehnica Partea II

39

29. ECHILIBRUL LIMITĂ ÎN MASIVELE DE PĂMÂNTCazuri de echilibru limita

a)Capacitatea portant ă  a terenului de

fundare in cazul fundatiilor directe (desuprafata)

b)Stabilitatea terenurilor in panta(taluzurilor sau versantilor)

c) Impingerea pă mântului asupralucrarilor de sustinere (presiunilelaterale exercitate de pamant)

Suprafaţa după care se produce desprinderea unei părţi din masiv în fiecare din exemplele date, esteo suprafaţă în lungul căreia este îndeplinită condiţia de rupere, deci este atinsă starea de echilibrulimită.

ECHILIBRU LIMITĂ ÎN MASIVUL DE PĂMÂNT LIMITAT DE O SUPRAFAŢĂ ORIZONTALĂ – Teoria Rankine

Într-un punct  M  situat la adâncimea  z, eforturileunitare corespunzatoare STARII DE REPAOS(echilibrul elastic sau stadiul de comportare liniar ă a

pământului sunt:Efort vertical: σz = γ zEforturi orizontale: σx = σy = K0 σz

Efort principal maxim: σ1 = σz = γ zEfort principal minim: σ2 = σ3 = K0 σ1

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 40/58

Geotehnica Partea II

40

Trecerea de la starea de repaos catre o stare de echilibru limita se face prin:

a)  micşorarea progresivă a efortului principal pe direcţia orizontală, σ 3; starea de rupere la care seajunge poartă denumirea de stare activă de echilibru limită;

b)  mărirea progresivă a efortului principal pe direcţia orizontală, σ 3; starea de rupere la care seajunge poartă denumirea de stare pasivă de echilibru limită.

Pentru a face trecerea de la starea de repaos la una din cele două stări de echilibru limită, Rankineimaginează introducerea în masivul de pământ a unui perete fictiv, infinit de lung,  f ă r ă frecare.

Jumătatea din masiv aflată la stânga peretelui poate fi îndepărtată, dar starea de tensiuni din masivnu se modifică dacă asupra peretelui se exercită o presiune care creşte liniar cu adâncimea conform

relaţiei 3 0 1K σ σ = .

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 41/58

Geotehnica Partea II

41

Starea activă de tensiuni

Pământ necoeziv Deplasarea peretelui fictiv, în sensul îndepărtării de masivul de pământ aflat în spate, posibilă prinreducerea presiunilor orizontale asupra peretelui, produce o destindere (relaxare) în acest masiv.

Pentru o anumită mărime a deplasării δ a a peretelui tensiunea principală σ 3 atinge o valoare pentrucare se îndeplineşte condiţia de rupere pentru pământ necoeziv:

23 1tg 45

2

φ σ σ 

= −

o

 

Direcţiile planelor de alunecare se obţin unind polul cu punctele de tangenţă ale cercului tensiunilorla rupere la dreapta intrinsecă.

Pentru a afla polul trebuie cunoscut atât un efort total în cercul lui Mohr cât şi direcţia planului pecare acesta acţionează. Fie σ 1 efort unitar total pe planul orizontal. Paralela dusă prin extremitateavectorului σ 1 cu orizontala (care se confundă cu axa 0σ ) întâlneşte cercul în P, polul cercului.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 42/58

Geotehnica Partea II

42

Adâncimea z a fost aleasă arbitrar. Unei alte adâncimi z îi corespund alt cerc şi alte două plane dealunecare, care fac de asemenea cu orizontala unghiul α0.

Stării active în spatele peretelui îi corespund deci două  familii de plane de alunecare care fac cuorizontala (planul de tensiune principală maximă) unghiul α0 = 45° + ϕ /2 (Fig. b pag.41).

Pământ coezivMărimea lui σ 3 se modifică dar direcţiile planurilor de alunecare sunt neschimbate.

23 1 tg 45 2 tg 45

2 2c

ϕ ϕ σ σ 

= − − ⋅ −

o o

 

Starea pasivă  de tensiuni Pământ necoeziv 

Deplasarea peretelui fictiv spre masivul de pământ din spate, posibilă prin cre şterea presiunilororizontale asupra peretelui, produce o compresiune a masivului.Pământul, după cum este ştiut, rezistă mult mai bine la solicitări de compresiune decât la cele detracţiune.De aceea deplasarea δ  p a peretelui necesară pentru atingerea stării limită pasive este cu mult maimare decât δ a.Pentru valoarea δ  p a deplasării, tensiunea principală σ  3 atinge valoarea pentru care se îndeplineştecondiţia de rupere.Relaţia dintre σ  3 şi σ  1 corespunzătoare st ă rii pasive de echilibru limit ă :

2

3 1

tg 452

ϕ σ σ 

= +

o

 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 43/58

Geotehnica Partea II

43

Pământ coezivRelaţia dintre σ  3 şi σ  1 corespunzătoare st ă rii pasive de echilibru limit ă :

23 1tg 45 2 tg 45

2 2cφ ϕ σ σ  = − + ⋅ +

o o 

Stării pasive îi corespund de asemenea două familii de alunecare care fac cu orizontala unghiulα0 = 45° - ϕ /2

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 44/58

Geotehnica Partea II

44

30. Calculul împingerii active si a rezistenţei pasive a pământului din spateleunui perete vertical, de înălţime H, utilizand Teoria lui Rankine 

 Impingerea activa Pământ necoeziv 

Exprimând eforturile principale la baza peretelui:

1  H σ γ = ⋅  

23 tg 45

2 H a p H ϕ 

σ γ 

= = ⋅ −

o

 

 în care paH - presiunea activă a pământului care variază liniar cu adâncimea.

Rezultanta diagramei de presiune activă 2 21 1tg 45

2 2 2 H a aP p H H  ϕ 

γ 

= = −

o

 

Pământ coeziv 

1  H σ γ = ⋅  

23 tg 45 2 tg 45

2 2 H a p H cϕ ϕ 

σ γ 

= = ⋅ − − ⋅ −

o o

 

Diagrama de presiuni active apare din suprapunerea a două diagrame.

Punctul de anulare a diagramei de presiuni se află la adâncimea z0:

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 45/58

Geotehnica Partea II

45

20tg 45 2 tg 45 0

2 2oazP z cφ φ 

γ 

= − − ⋅ − =

o o

 

NOTA: In relatia de mai sus, termenul din stanga este paz0 (presiunea la z0) si nu P. 

02

tg 452 22

tg 452tg 45

2

c c z

φ 

φ 

φ γ γ 

= ⋅ = ⋅ − −

o

o

Pe o adâncime egală cu 2 z0 = H cr, împingerea totală este nulă (triunghiul cu ordonate negative abc din diagrama rezultantă anulează un triunghi egal de ordonate pozitive cde).Înălţimea critică  H cr reprezintă înălţimea teoretică pe care un mal de pământ s-ar putea menţinenesprijinit la verticală.

 Împingerea totală se obţine prin însumarea presiunilor pe înălţimea peretelui.

−    în cazul în care s-ar lua în considerare capacitatea pământului coeziv de a prelua eforturi de întindere, împingerea totală este egală cu aria trapezului de presiuni defg;

−    în mod normal, pământul nu poate prelua în timp eforturi de întindere; în acest caz se ignor ă diagrama de eforturi de întindere abc iar împingerea totală se consideră ca arie a întregiidiagrame de compresiuni cfg. În acest caz se admite că înălţimea pe care nu se exercită 

 împingerea este z0.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 46/58

Geotehnica Partea II

46

 Rezisten ţ  a pasiva Pământ necoeziv 

1  H σ γ = ⋅  

2

3 tg 45 2 H  pP H 

ϕ 

σ γ 

= = ⋅ +

o

 

NOTA: In relatia de mai sus, termenul din stanga este ppH (rezistenţa pasivă la H) si nu P. 

Rezistenţa pasivă a pământului , p pH  , variază liniar cu adâncimea.

Rezultanta diagramei de rezistenţă pasivă:

2 21tg 45

2 2 pP H φ 

γ 

= +

Pământ coeziv 

1  H σ γ = ⋅  

23 tg 45 2 tg 45

2 2 H  p p H c

φ φ σ γ 

= = ⋅ + + ⋅ +

o o 

Rezultanta diagramei de rezistenţă pasivă:

2 21tg 45 2 tg 45

2 2 2 pP H c H  φ φ 

γ 

= ⋅ + + ⋅ ⋅ +

o o 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 47/58

Geotehnica Partea II

47

31. ECHILIBRU LIMITĂ ÎN MASIVUL DE PĂMÂNT LIMITAT DE OSUPRAFAŢĂ ÎNCLINATĂ – Teoria Rankine

Fie un masiv de pământ omogen, necoeziv, limitat de o suprafaţă înclinată. Dat fiind că taluzul esteinfinit, tensiunile acţionând pe un plan vertical care trece prin masiv vor fi aceleaşi ca pe oricare alt

plan vertical, iar efortul unitar total într-un punct al unui plan paralel cu suprafaţa terenului esteacelaşi ca pentru orice alt punct al planului respectiv.Fie un prism de pământ de lăţime 1, lungime 1 (problema plană de deformatii) şi înălţime z .Asupra prismului de pământ acţionează greutatea G, reacţiunea R pe faţa cd , paralelă cu suprafaţaterenului şi forţele laterale F pe cele două plane verticale.

−  din proiecţia pe direcţia paralelă cu suprafaţa terenului: S = 0−  din proiecţia pe direcţia verticală: V = G −  din condiţia de moment: T = 0.

Rezultă, aşadar, că efortul E pe planul vertical este paralel cu suprafaţa terenului, iar efortul total V  pe planul paralel cu suprafaţa terenului este vertical.În orice punct al masivului, planul vertical şi planul paralel cu suprafaţa terenului, sunt  planeconjugate iar eforturile acţionând pe aceste plane sunt eforturi conjugate.

Efortul unitar total, p, într-un punct la adâncimea z este:

cos1

cos

V V  p z i

 Ai

γ = = = ⋅ ⋅  

Componentele efortului unitar total, p, sunt:

cos z iσ γ = ⋅ ⋅  

sin cos z i iτ γ = ⋅ ⋅ ⋅  

sin costg

cos

 z i ii

 z i

τ γ 

σ γ 

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ 

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 48/58

Geotehnica Partea II

48

Pe planul paralel cu suprafaţa terenului, unghiul de deviere al efortului unitar total într-un punct(înclinarea faţă de normala la plan) este egal cu unghiul i de înclinare a suprafeţei terenului.Presiunile laterale pe feţele verticale ale prismului considerat sunt direct proporţionale cu presiunileverticale  p, variind între două valori extreme, corespunzătoare stării active sau stării pasive deechilibru limită.Acest lucru este pus în evidenţă de construirea cercurilor lui MohrÎn sistemul de coordonate (σ O τ ) efortul unitar total vertical într-un punct de cotă  z, este reprezentat

prin vectorul  p , înclinat faţă de orizontală cu i (deoarece θ = i).Se cunoaşte dreapta intrinsecă. Se pune problema determinării cercurilor tensiunilorcorespunzătoare echilibrului limită, care trebuie să îndeplinească trei condiţii:−  să aibă centrul pe axa O σ ;

−  să treacă prin punctul N , extremitatea vectorului p;−  să fie tangente la dreapta intrinsecă.− 

Sunt două cercuri care îndeplinesc aceste condiţii, ele corespund celor două stări limită: activă  şi pasivă .

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 49/58

Geotehnica Partea II

49

Starea activă 

Ducând din punctul  N , care exprimă în cercul tensiunilor efortul unitar total într-un punct alplanului de înclinare i, o paralelă cu direcţia acestui plan se obţine, la intersecţia paralelei cu cercul,polul P (paralela se confundă cu direcţia vectorului p).

Pentru aflarea efortului unitar total în punctul de adâncimea  z pe planul vertical, se duce din pol overticală care întâlneşte cercul în N '. Vectorul ON ' este efortul unitar pa căutat.

' , deci aON OP OP p= =  

Pentru a putea aplica teoria lui Rankine  trebuie admis că unghiul de frecare pământ - pereteeste i (δ δδ δ = i).

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 50/58

Geotehnica Partea II

50

32. Calculul împingerii active a pământului utilizand Teoria lui Coulomb 

Există trei moduri de manifestare a acţiunii pe care o exercită pământul asupra unei construcţii desusţinere în funcţie de posibilităţile de deplasare şi de deformare ale construcţiei supusă acesteiacţiuni.

a)   Împingerea în stare de repaos este împingerea pe care o exercită masivul de pământ aflat înstadiul de comportare liniar ă (echilibru elastic). S-a arătat că în acest stadiu între tensiunile normaledin greutatea proprie a pământului, pe direcţie orizontală şi verticală există relaţia:

0 0 x zK K zσ σ γ = ⋅ = ⋅ ⋅  

unde K 0 reprezintă coeficientul de împingere laterală în stare de repaus.

Această împingere se produce atunci când elementul supus ac ţiunii pământului este rigid, nu sedeplasează şi nu se roteşte sub această acţiune. De exemplu: pereţii diferitelor construcţii îngropate,ziduri de subsol etc.

b)   Împingerea activă  corespunde dezvoltării unei st ă ri active de tensiuni limită în masivul de

pământ aflat în spatele elementului de susţinere. Pentru dezvoltarea împingerii active trebuie caelementul de susţinere să admită deplasări sau rotiri în sensul îndepă rt ă rii de pământul pe care-lsusţine, provocând destinderea acestuia.

De exemplu, un zid de sprijin.

c) Rezisten ţ a pasivă corespunde dezvoltării unei stări pasive de tensiuni limită în masivul de pământaflat în spatele elementului de susţinere.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 51/58

Geotehnica Partea II

51

Pentru dezvoltarea rezistenţei pasive trebuie ca elementul de susţinere să admită deplasări sau rotirică tre masa de pământ, provocând comprimarea acesteia. De exemplu, fundaţia unui pod in forma dearc.

Mărimea deplasării δ a necesară pentru ca în spatele elementului de susţinere să se dezvolte osuprafaţă de cedare corespunzătoare stării active de echilibru limită este foarte mică, de ordinul acca 0,1% H , ceea ce este de înţeles deoarece în masa de pământ supusă destinderii apar eforturi de

tracţiune, ori pământul nu poate prelua, practic, asemenea eforturi.

În schimb, deplasarea δ  p necesară pentru mobilizarea rezistenţei pasive este mult mai mare, de altordin de mărime (1%  H ), ca urmare a faptului că pământul este capabil să preia eforturi decompresiune.

Determinarea experimentală a relaţiei dintre mărimea împingerii şi deplasarea δ a elementului desusţinere a condus la diagramele urmatoare:

În condiţii identice în ceea ce priveşte înălţimea elementului de susţinere şi caracteristicile ϕ   şi c alerezistenţei la forfecare ale pământului, cele trei acţiuni pe care pământul le poate exercita asupraelementului de susţinere se află în următorul raport:

0a pP P P< <  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 52/58

Geotehnica Partea II

52

Coulomb a elaborat o teorie asupra împingerii active a pământului, care se poate aplica în cazul celmai general, pentru orice înclinare θ a peretelui şi orice formă a suprafeţei masivului de pământ.Teoria Coulomb este valabila in ipoteza problemei plane de deformatii. Se consideră că în spatele peretelui se află o masă de pământ omogen, necoeziv.Ca urmare a unei mici deplasări a peretelui, în masa de pământ se formează o suprafaţă de alunecarecare se consideră plană. Rezistenţa la forfecare a pământului, exprimată prin relaţia: tg f τ σ ϕ = ⋅ ,

este integral mobilizată în lungul suprafeţei plane.

Dintre toate suprafeţele plane care trec prin piciorul peretelui trebuie găsită acea suprafaţă căreia îicorespunde împingerea maximă, împingere pentru care sunt îndeplinite condiţiile de rezistenţă şi destabilitate ale peretelui.

Fie α înclinarea faţă de orizontală a suprafeţei de alunecare BC. Se examinează echilibrul prismeide pământ  ABC  delimitată de suprafaţa  AB a peretelui, suprafaţa de alunecare  BC   şi suprafaţaterenului. Prisma ABC trebuie să fie în echilibru sub acţiunea următoarelor forţe:

−  greutatea proprie, G ;−   împingerea P la contactul dintre perete şi pământ, egală şi de semn contrar cu împingerea

pe care pământul o exercită asupra peretelui; împingerea este înclinată cu unghiul δ faţă de normala la perete, δ fiind unghiul de frecare dintre perete şi pământ;

−  reacţiunea R pe suprafaţa de alunecare BC .

Dacă  N este forţa normală pe planul BC , în momentul desprinderii masei de pământ se dezvoltă înlungul planului  BC  o forţă tangenţială  N  tg ϕ , unde ϕ  este unghiul de frecare interioară alpământului.Reacţiunea R este aşadar înclinată cu ϕ faţă de normala la suprafaţa BC .

Forţa G este cunoscută ca mărime, direcţie, sens şi punct de aplicare.Forţele P şi R sunt cunoscute numai ca direcţie şi sens.Punand conditia ca fortele G, P si R sa fie in echilibru, se construieste poligonul fortelor.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 53/58

Geotehnica Partea II

53

Problema este static determinată şi revine la a descompune o forţă după două direcţii cunoscute.În triunghiul format de cele trei forţe se aplică teorema sinusurilor:

( ) ( ) ( )sin sinsin 180

P G G

α ϕ ψ α ϕ  ψ α ϕ = =

− + − − + − o

 

( )

( )

sin

sinP G

α ϕ 

ψ α ϕ 

−=

+ − 

S-a notat ψ θ δ = −  

Calculul se consideră efectuat pe un metru liniar de perete (normal pe planul desenului).Greutatea G se exprimă:

( ), , , ABC G S f H  γ γ θ α β  = ⋅ = ⋅ (1)

( )1 , , , , ,P f H γ θ α β ϕ δ  = ⋅ (2)

După Coulomb, împingerea activă corespunde acelui plan de înclinare α 0 care dă valoarea maximă a lui P.Din (2) rezultă că pentru γ , H , θ , β , ϕ  şi δ date, împingerea P depinde de o singură variabilă, α .

Calculând derivataP

α 

∂ şi egalând-o cu zero se obţine valoarea α  0.

Lui α  0 îi corespunde Pmax = Pa.

Se obişnuieşte să se exprime împingerea Pa sub forma:

212a aP H K γ = ⋅ ⋅  

unde K a este coeficientul de împingere activă, intabulat în funcţie de φ , δ , θ  şi β .

33. Epura Culmann. Determinarea diagramei distribuţiei presiunilor active

Pornind de la teoria lui Coulomb, Culmann a propus o metoda grafica care permite determinarea împingerii active, Pa.

Se construieşte dreapta BD înclinată cu unghiul ϕ faţă de orizontală.

Suprafaţa de alunecare nu se poate găsi decât în interiorul prismei  ABD, deoarece linia  BD reprezintă taluzul stabil al materialului cu unghi de frecare interioară ϕ .Se construieşte dreapta BE , numită dreapt ă de orientare, înclinată cu unghiul ψ  faţă de BD.Se propun succesiv diferite suprafeţe de alunecare posibile BC 1; BC 2; BC 3 ...., cărora le corespundprismele ABC 1, ABC 2, ABC 3 ..... etc.Fie greutatea G1 a prismului ABC 1.Din extremitatea vectorului G1 se duce o paralelă cu dreapta de orientare care întâlneşte linia BC 1 înpunctul P1.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 54/58

Geotehnica Partea II

54

Vectorul G1P1 reprezintă împingerea aferentă prismei  ABC 1 obţinându-se astfel triunghiul forţelorGPR, dar rotit în sus cu (90°+ϕ).Se repetă aceiaşi construcţie pentru prismele  ABC 2,  ABC 3 ....., obţinându-se grafic împingerile P2,P3 ......, aferente.

Se unesc printr-o curbă continuă extremităţile vectorilor ce reprezintă împingerile P1, P2, P3 .....Se duce o tangentă la curbă, paralelă cu dreapta BD.Punctul de tangenţă P corespunde împingerii maxime Pmax = Pa.Planul de alunecare se obţine unind B cu P.

Determinarea diagramei distribuţiei presiunilor active

Calculul analitic sau grafic al împingerii pământului prin metoda lui Coulomb conduce ladeterminarea mă rimii împingerii totale.Dacă pentru verificările de stabilitate la alunecare pe talpă sau la răsturnare sau pentru determinareapresiunilor pe talpa zidului cunoaşterea doar a împingerii totale Pa este suficientă, pentru verificareasecţiunilor zidului este necesară şi cunoaşterea distribuţiei presiunilor active în lungul zidului.

Direcţia împingerii depinde de valoarea adoptată pentru unghiul δ care caracterizează frecarea întrepământ şi perete.

În mod obişnuit:1 2

2 3δ ϕ 

=

LL  

Fie un zid având în spate un masiv de pământ limitat de o suprafaţă neregulată. Se împarte zidul întronsoane de înălţime ∆ H  şi se calculează succesiv, pe cale grafică, împingerile aferente porţiunilor

 AB1, AB2 .... ale peretelui.

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 55/58

Geotehnica Partea II

55

Se obţine:

2 1a a aP P P∆ = −  

Se admite că pe înălţimea ∆ H a unui tronson presiunea activă a pământului este constantă:1

1 1,a a

a a

P p p p

 H H 

∆= ∆ =

∆ ∆ 

Se obţine o diagramă de presiuni în trepte care aproximează diagrama reală, necunoscută.

La limită luând ∆ H foarte mic, diagrama în trepte devine o curbă.

Dacă suprafaţa terenului este plană, variaţia împingerii este liniară.Cunoscând Pa se poate determina ordonata

 H a p egalând suprafaţa triunghiulară de presiune ( ABD)

cu Pa:

Pentru: 0δ  = şi 90θ  = o  2

 H 

aa

P p

 H =  

În cazul particular al peretelui vertical (θ = 90o) limitat de o suprafaţă orizontală ( β  = 0) dacă seneglijează frecarea pământ - perete (δ = 0), aplicarea teoriei lui Coulomb conduce la:

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 56/58

Geotehnica Partea II

56

20

2 2

45 ; tg 452 2

1tg 45

2 2

a

 p

P H 

φ φ α 

φ γ 

= − = −

= ⋅ ⋅ ⋅ +

o o

o

 

Se regăsesc astfel soluţiile obţinute pentru acelaşi caz prin aplicarea teoriei lui Rankine.

34. ÎMPINGEREA PĂMÂNTULUI. CAZURI PARTICULARE

a) Suprasarcina uniform repartizata la suprafata terenului

Se considera ca la suprafata terenului exista o suprasarcina q uniform repartizata.Se analizeaza influenta acestei suprasarcini asupra împingerii active. 

Cazul general

Cazul particular

90 ; 0; 0θ β δ = = =o  

Pentru cazul particular, se noteaza

e

q H h

γ = = ,

unde H e se denumeşte înălţime echivalentă.

Sensul fizic al lui  H e rezultă astfel: suprasarcina q este înlocuită fictiv cu un strat de pământ, de

greutate volumică γ  şi înălţime H e; deci şi peretele are o înălţime mai mare, fictivă, egala cu H + H e.Pentru a se construi H e se duce o paralelă cu suprafaţa terenului la o distanţă h = q/ γ, care întâlneşteprelungirea feţei AB a zidului în A’.

Impingerea totala data de pamant si suprasarcina asupra peretelui de inaltime H este:

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 57/58

Geotehnica Partea II

57

2 2 2

2 2

1tg 45 tg 45

2 2 2

21tg 45 1

2 2

aq a a e

e

P P P H H H  

 H  H 

 H 

ϕ ϕ γ γ 

φ γ 

= + ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

o o

o

 

b) Masiv de pamant stratificat

Fie un perete vertical în spatele căruia se află un masiv alcătuit din două straturi geologice.Stratul 1: h1, γ 1, ϕ1.Stratul 2: h2, γ 2, ϕ2.

La suprafaţa terenului este aplicată o suprasarcină q.

Se utilizează următorul procedeu de calcul al diagramei de împingeri:

−  se începe cu stratul 1, de la suprafaţă; se transformă suprasarcina într-o înălţime depământ echivalentă  he având greutatea volumică a stratului 1, γ 1  şi se calculează impingerile la feţele de sus şi de jos ale stratului 1:

( )

1

1

sus 2 11

 jos 2 11 1

tg 452

tg 452

a e

a e

 p h

 p h h

ϕ γ 

ϕ γ 

= ⋅ −

= ⋅ + −

o

o

 

−  se trece la stratul  2, considerându-se greutatea primului strat, inclusiv a stratului de înălţime he (suprasarcina), drept suprasarcină pentru stratul 2; conform regulii cunoscute,această suprafaţă urmează a se transforma într-o înălţime de pământ cu greutateavolumică γ 2, care să i se substituie:

( )2

1 1

2

ea

h hh

γ 

γ 

+=  

5/12/2018 Geotehnica-Partea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/geotehnica-partea-ii 58/58

Geotehnica Partea II

58

( )

2

2

sus 2 22

 jos 2 22 2

tg 452

tg 452

a e

a e

 p h

 p h h

φ γ 

φ γ 

= ⋅ −

= ⋅ + −

o

o

 

Diagrama de presiune prezintă salturi în dreptul planelor de separaţie dintre straturi.

Salturile se datorează faptului că s-a presupus că fiecare strat are alte caracteristici, γ  şi ϕ . Dacă s-armodifica numai γ , ϕ rămânând constant, diagrama ar prezenta numai schimbă ri de pant ă  la trecereade la un strat la celălalt.