Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

Embed Size (px)

Text of Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    1/44

    GEOMETRIJA BRODAGEOMETRIJA BRODA

    12. 2D OPISIVANJE BRODSKIH FORMIB-SPLINE I NURB-SPLINE

    FUNKCIJAMA

    SVEUILITE U SPLITUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    2/44

    2

    SADRAJ:SADRAJ:1. POVIJESNI RAZVOJ,

    2. B-SPLINE,

    3. POVEZANOST BEZIEROVOG I B-SPLINE-,

    !. NURB-SPLINE.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    3/44

    3

    1. POIJESNI RA!OJ1. POIJESNI RA!OJ

    C. "# B$$%, 1&'2 (. G$%"$), R*+%" F. R*##)#/", 1&'!

    L%%0 L. S+#%, T$ L0+#, N*% D0).

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    4/44

    !

    ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    5/44

    4

    RACIONALNE BE!IEROE KRIULJERACIONALNE BE!IEROE KRIULJE

    BEZIEROVE KRIVULJE KOJIMA SU DODANI TE5INSKI

    KOEFICIJENTI wiKAO6

    TONO OPISUJU UNJOSJENICE 7KRIVULJE 2. STUPNJA8.

    ( ) 10,

    )(

    )(

    0

    0

    =

    =

    = t

    wtB

    wtBP

    tQ

    i

    n

    i

    ni

    n

    i

    inii

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    ( )

    ( )

    ( )

    10,

    1

    1

    0

    0

    =

    =

    =

    t

    wttin

    wtti

    nP

    tQn

    i

    iini

    n

    i

    iini

    i

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    6/44

    9

    2.2. BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

    BEZIEROVE KRIVULJE6

    ELEGANTNIJE SU, ALI ZAHTIJEVAJU PUNO KONTROLNIH TOAKA,

    VE:A GLATKOST ; VIE KONTROLNIH TOAKA ; VII STUPANJ POLINOMA,

    NEPO5ELJNO6 SVAKA KONTROLNA TOKA UTJEE NA CIJELU KRIVULJU.

    BASIS SPLINE6

    PROJEKTIRAN DA PONITI NEPO5ELJNA SVOJSTVA BEZIEROVIH KRIVULJA,

    GLATKE FUNKCIJE IZGLA

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    7/44

    '

    BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

    SVOJSTVA6

    POOP:ENJE 7GENERALIZACIJA8 BEZIEROVOG SPLINE-A,

    POTREBAN JE MANJI BROJ TOAKA NEGO KOD BEZIEROVOG SPLINE-A,

    OMOGU:UJE LOKALNU PROMJENU KRIVULJE,

    PRIJELAZ OPISIVANJA S KRIVULJA NA PLOHE JE JEDNOSTAVAN.

    =

    =m

    i

    ii puBup0

    )()(

    B-SPLINE FUNKCIJE IZGLAIVANJA, 2. REDA

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    8/44

    >

    MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

    MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

    STUPANJ BEZIEROVE KRIVULJE JE

    ODRE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    9/44

    &

    MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

    MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

    POVEZATI MNOGO BEZIEROVIH

    KRIVULJA NI5IH STUPNJEVA U CJELINU

    7SLIKA8

    ALI ZADR5AVANJE KONTINUIRANOSTI

    DERIVACIJA 5ELJENOG REDA U

    SPOJNIM TOKAMA NIJE LAKO I MO5E

    BITI TEKO IZVEDIVO I NEPO5ELJNO.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    10/44

    [email protected]

    MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

    MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

    POMICANJE KONTROLNE TOKE UTJEE

    NA OBLIK CIJELE KRIVULJE 7SVOJSTVO

    GLOBALNOG UTJECAJA8 TO JE

    NEPO5ELJNO.

    KOD B-SPLINE-A STUPANJ FUNKCIJE NEOVISI O BROJU KONTROLNIH TOAKA,

    T.J., B-SPLINE KRIVULJA 3. STUPNJA JEODRE KONTROLNIH TOAKA.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    11/44

    11

    MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

    PRIMJER6

    4 SEGMENATA BZIER-OVE KRIVULJE

    3. STUPNJA ZAJEDNO TVORI B-SPLINE

    KRIVULJU, ODRE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    12/44

    12

    DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

    ZA DEFINIRANJE B-SPLINE KRIVULJE POTREBNO JE

    ODREDITI6

    SKUP KONTROLNIH TOAKA 7#)=. CONTROL POINTS8,

    SKUP VOROVA 7#)=. KNOTS POINTS8, I

    STUPANJ KRIVULJE 7#)=. CURVE DEGREE8.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    13/44

    13

    B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

    DEFINICIJA6

    (u0

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    14/44

    1!

    B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

    DEFINICIJA6

    (u0

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    15/44

    14

    DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

    JEDNOLIKI RAZMAK 7#)=. UNIFORM8 VEKTORA VOROVA6

    POJEDINANI VOR JE JEDNAKO RA!MAKNUT 7#)=.

    EVENL SPACED8 KAO NPR.6

    [email protected], 1, 2, 3, !8,

    A ZATIM NORMALIZIRAN NA RASPON @, 16

    [email protected], @.24, @.4, @.'4, [email protected]

    NORMALIZACIJA6 DIJELJENJE VRIJEDNOSTI SKUPA S NEKOM 7NAJVE:OM8

    VRIJEDNOSTI.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    16/44

    19

    TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA

    NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

    PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8

    PRVI I ZADNJI VOR SEPONAVLJAJU kPUTA6

    NPR.6 [email protected],@,@,1,2,2,28

    KRIVULJA PROLAZI KROZ PRVU IZADNJU KONTROLNU TOKU.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    PRVI I ZADNJI VOR SE NEPONAVLJAJU ? ISTI DOPRINOS6

    NPR.6 [email protected], 1, 2, 38

    KRIVULJA NE PROLAZI KROZ KRAJNJEKONTROLNE TOKE,

    KORISTI SE ZA OPISIVANJEZATVORENIH KRIVULJA, KOD KOJIH JE

    PRVA TOKA JEDNAKA ZADNJOJ.

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    17/44

    1'

    7ZATVORENI VOROVI8

    TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

    PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    18/44

    1>

    OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    1

    1,1

    1

    1,

    , ++

    +

    +

    +

    +

    =

    iki

    ki

    ki

    iki

    ki

    ikiuu

    uNuu

    uu

    uNuuuN

    0

    1

    11,

    = +iiiuuu

    N

    GDJE SU6

    VRIJEDNOSTI U NAZIVNIKU MOGU IMATI VRIJEDNOST @, A ZA

    @@ SE UZIMA DA JE @,

    AKO JE STUPANJ B-SPLINE- @, STUPANJ ODNi,1(u)JEJEDNAK 1 ZAuUNUTARi? $= RASPONA VOROVA[ui, ui+1).

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    19/44

    1&

    NPR.6 ZA ! VORA u0= 0, u1= 1, u2= 2I u3= 3, RASPONI

    IZME

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    20/44

    [email protected]

    OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    21/44

    21

    OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GLATKOST ; STUPANJ ? VIESTRUKOST

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    22/44

    22

    OSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOGOSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOG

    B-SB-SPLINE-"PLINE-"

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    ZVONOLIKE FUNKCIJE ZA SVAKU KONTROLNUTOKU

    PREKLAPAJU:E OSNOVNE FUNKCIJE KONTROLNE TOKE ODGOVARAJU TOKAMA VOROVA

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    23/44

    23

    ZA PRORAUNNi,k(u)ZA kVE:I OD 0, KORISTI SE TROKUTNA

    7TRIANGULARNA8 PRORAUNSKA SHEMA,

    TE REKURZIJA.

    OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    24/44

    2!

    SOJSTASOJSTA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

    APROKSIMACIJSKO SVOJSTVO6

    NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE,

    KONVEKSNOST,

    AFINA INVARIJATNOST,

    KONTROLA PROMJENJIVOSTI 7#)=. VARIATION DIMINISHING8,

    C2? KONTINUIRANOST,

    LOKALNA KONTROLA KRIVULJE6

    ZA KUBNE OSNOVNE FUNKCIJE, SVAKI SEGMENT JE ODRE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    25/44

    24

    &. E!A I!ME'U RA!LI%ITI&. E!A I!ME'U RA!LI%ITITIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

    PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

    ONI IMAJU RAZLIITA GRA

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    26/44

    29

    A-A-OKIRI I KONTINUIRANOSTOKIRI I KONTINUIRANOST

    KONTINUITET IZME

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    27/44

    2'

    I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"

    UMJESTO DEFINIRANJA BEZIEROVIH KONTROLNIH TOAKA,POTREBNO JE ODREDITI KUTEVE A-OKVIRA U SVRHUIZGRADNJE SPLINE- S C2KONTINUITETOM.

    DOBIJAMO B-SPLINE. TOKE BiSE ZOVU DE BOOR-*+ TO%KE.

    V0

    V1 V2

    V3

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    28/44

    2>

    KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-" ZA CIJELI B-SPLINE6

    KOJE SU BEZIER-$# KONTROLNE TOKE 7V8, DOBIVENE

    POMO:U DE BOOR-$* TOAKA 7B82/3 1/3

    1/3 2/3

    2/3 1/31/2 1/22/31/3

    1/6 1/64/6

    1/6 1/64/6

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    V0

    V1 V2

    V3

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    29/44

    2&

    KONSTRUIRANJE BEZIER-$* TOAKA DOBIVENIH IZDE BOOR-$* TOAKA SE MO5E PRIKAZATI KAO6

    KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-"

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    V0

    V1 V2

    V3

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    30/44

    [email protected]

    KRAJEIKRAJEIB-B-SPLINE-"SPLINE-"

    B-SPLINE NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE.

    DA BI SE TO POSTIGLO KRAJNJE TOKE SE

    PONAVLJAJU nPUTA, JEDNAKO STUPNJU OSNOVNE

    FUNKCIJE 7ZA KUBINU FUNKCIJU 3 PUTA8.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    31/44

    31

    !ATARANJE KRIULJE!ATARANJE KRIULJE

    AKO 5ELIMO ZATVORITI KRIVULJU POTREBNO JEKRU5NO PONOVITI nTOAKA OVISNO O STUPNJUOSNOVNE FUNKCIJE

    B5=

    B6= B7=

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    32/44

    32

    E!A I!ME'U RA!LI%ITIE!A I!ME'U RA!LI%ITI TIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

    PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

    ONI IMAJU RAZLIITA GRA

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    33/44

    33

    KOMPAKTNI PRIKA!KOMPAKTNI PRIKA!

    PRIKAZ KOEFICIJENATA POLINOMA U MATRINOM OBLIKU6

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    34/44

    3!

    MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!

    CSE MO5E NAPISATI KAO UMNO5AK MATRICE OSNOVNIH

    FUNKCIJA MI VEKTORA OBLIKAG (+. GEOMETR VECTOR8.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    35/44

    34

    MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI BE!IER- KUBI%NI BE!IER

    MBezier G

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    36/44

    39

    MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI B-SPLINE- KUBI%NI B-SPLINE

    TRANSFORMACIJA B-SPLINE- U BEZIER-$ SPLINE SEMO5E NAPISATI KAO6

    BEZIER-$ ZAPIS JE6

    UVRTAVANJEM 718 U 728, DOBIJAMO B-SPLINE OPIS 6B0

    B1

    B2

    B3

    (1)

    (2)

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    37/44

    3'

    MATRICA OSNONI FUNKCIJAMATRICA OSNONI FUNKCIJA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

    ZA KUBINI B-SPLINE FORMIRA SE 19

    JEDNAD5BI S 19 NEPOZNANICA,

    TIH 19 JEDNAD5BI OSIGURAVA C0, C1, I C2

    KONTINUITET IZME

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    38/44

    3>

    B-SB-SPLINE U MATRI%NOM OBLIKUPLINE U MATRI%NOM OBLIKU

    [ ]

    =

    =

    3

    2

    1

    0

    23

    0141

    03030363

    1331

    611

    )(

    p

    pp

    p

    ttt

    GMTtP B

    3

    3

    2

    2

    1

    2

    0

    3

    3

    33

    3

    22

    3

    11

    3

    00

    )1(3)1(3)1(

    )()()()()(

    bbbb

    bbbbp

    tttttt

    tBtBtBtBt

    +++=

    +++=

    33

    3

    233

    2

    233

    1

    33

    0

    6

    1)(

    )1333(6

    1)(

    )463(6

    1)(

    )1(61)(

    ttB

    ttttB

    tttB

    ttB

    =

    +++=

    +=

    =

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    39/44

    3&

    UNIFORMNI B-SPLINE-*

    APROKSIMIRAJU:I SPLINE-$*,

    APROKSIMIRAJU n 1 KONTROLNU TOKU,

    P0, P1, , Pn, n

    KRIVULJA SE SASTOJI OD n? 2 KUBINA POLINOMSKA SEGMENTA6

    Q3, Q4, Qn

    VARIRA DU5 B-SPLINE- KAO Qi: uiui< ui+1

    ui7i? CJELOBROJNA VRIJEDNOST8 SU TOKE VOROVI KOJI SPAJAJU

    SEGMENTE QiDO Qi+1

    KRIVULJA JE UNIFORMNA ZATO TO SU VOROVI JEDNOLIKO

    RASPORE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    40/44

    [email protected]

    PROBLEMIPROBLEMI B-B-SPLINE OPISASPLINE OPISA

    POVE:ANJE STUPNJA OPISA,

    SMANJENJE STUPNJA OPISA,

    UMETANJE VOROVA,

    BRISANJE VOROVA.

    Gerald Farin, Cr!e" and #r$a%e" $&r C&'er *ided Ge&'eri% e"in, 4-ed, *%ade'i%Pre"" (16)

    /&nald . G&ld'an, &' %-e, edi&r", n& 5n"eri&n and elei&n *l&ri-'" $&r 7#line Cr!e" and #r$a%e", #5*8 (13)

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    41/44

    !1

    B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

    UMETANJE %OROAJE DODAVANJE NOVOG VORA U

    POSTOJE:I VEKTOR VOROVA BEZ PROMJENE OBLIKA

    KRIVULJE.

    NOVI VOR MO5E BITI JEDNAK POSTOJE:EM ?POVE:ANJE VIESTRUKOSTI ZA 16

    BROJ VOROVA ; ) 1

    AKO SE BROJ VOROVA POVE:A ZA 16 ILI STUPANJ ILI

    BROJ KONTROLNIH TOAKA MORA BITI MORA TAKO

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    42/44

    !2

    B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

    UMETANJE NOVOG VORA ZAHTIJEVA DODAVANJE NOVE

    KONTROLNE TOKE.

    NEKE KONTROLNE TOKE SE PRITOM BRIU I DODAJU NOVE.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    NOVI VORu= 0.9

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    43/44

    !3

    4.4. NURBSNURBS

    NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

    OSNOVNA DEFINICIJA NURB-SPLINE KRIVULJE6

    GDJE SU6

    - RACIONALNE OSNOVNE FUNKCIJE,

    Ni,k? OSNOVNE FUNKCIJE,

    Pi? KONTROLNE TOKE,

    wi? TE5INSKI KOEFICIJENTI.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

    ( ) ( )

    ==

    n

    i

    iki uRuC0

    , P

    ( ) ( )

    ( )=

    =

    n

    j

    jkj

    ikiki

    wuN

    wuNuR

    0

    ,

    ,,

    GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

  • 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

    44/44

    NURBSNURBS

    NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

    NEJEDNOLIKI 7NEUNIFORMNI, #)=. NON-UNIFORM8 RASPORED VOROVA,

    RACIONALNI POLINOM6

    POLINOM PODIJELJEN POLINOMOM, MO5E OPISIVATI KONINE KRIVULJE, TJ. KRIVULJE 2. STUPNJA

    7KRU5NICE, ELIPSE I HIPERBOLE8

    INVARIJATNI ZA PROJEKCIJSKE TRANSFORMACIJE.

    NAPOMENA

    UNIFORMNI B-SPLINE JE POSEBNI SLUAJ NEUNIFORMNOG B-SPLINE-,

    NERACIONALNI B-SPLINE JE SPECIJALNI SLUAJ RACIONANOG B-SPLINE-.

    GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE