# Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

Embed Size (px)

### Text of Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

1/44

GEOMETRIJA BRODAGEOMETRIJA BRODA

12. 2D OPISIVANJE BRODSKIH FORMIB-SPLINE I NURB-SPLINE

FUNKCIJAMA

SVEUILITE U SPLITUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

2/44

2

SADRAJ:SADRAJ:1. POVIJESNI RAZVOJ,

2. B-SPLINE,

3. POVEZANOST BEZIEROVOG I B-SPLINE-,

!. NURB-SPLINE.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

3/44

3

1. POIJESNI RA!OJ1. POIJESNI RA!OJ

C. "# B\$\$%, 1&'2 (. G\$%"\$), R*+%" F. R*##)#/", 1&'!

L%%0 L. S+#%, T\$ L0+#, N*% D0).

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

4/44

!

ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

5/44

4

RACIONALNE BE!IEROE KRIULJERACIONALNE BE!IEROE KRIULJE

BEZIEROVE KRIVULJE KOJIMA SU DODANI TE5INSKI

KOEFICIJENTI wiKAO6

TONO OPISUJU UNJOSJENICE 7KRIVULJE 2. STUPNJA8.

( ) 10,

)(

)(

0

0

=

=

= t

wtB

wtBP

tQ

i

n

i

ni

n

i

inii

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

( )

( )

( )

10,

1

1

0

0

=

=

=

t

wttin

wtti

nP

tQn

i

iini

n

i

iini

i

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

6/44

9

2.2. BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

BEZIEROVE KRIVULJE6

ELEGANTNIJE SU, ALI ZAHTIJEVAJU PUNO KONTROLNIH TOAKA,

VE:A GLATKOST ; VIE KONTROLNIH TOAKA ; VII STUPANJ POLINOMA,

NEPO5ELJNO6 SVAKA KONTROLNA TOKA UTJEE NA CIJELU KRIVULJU.

BASIS SPLINE6

PROJEKTIRAN DA PONITI NEPO5ELJNA SVOJSTVA BEZIEROVIH KRIVULJA,

GLATKE FUNKCIJE IZGLA

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

7/44

'

BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)

SVOJSTVA6

POOP:ENJE 7GENERALIZACIJA8 BEZIEROVOG SPLINE-A,

POTREBAN JE MANJI BROJ TOAKA NEGO KOD BEZIEROVOG SPLINE-A,

OMOGU:UJE LOKALNU PROMJENU KRIVULJE,

PRIJELAZ OPISIVANJA S KRIVULJA NA PLOHE JE JEDNOSTAVAN.

=

=m

i

ii puBup0

)()(

B-SPLINE FUNKCIJE IZGLAIVANJA, 2. REDA

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

8/44

>

MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

STUPANJ BEZIEROVE KRIVULJE JE

ODRE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

9/44

&

MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

POVEZATI MNOGO BEZIEROVIH

KRIVULJA NI5IH STUPNJEVA U CJELINU

7SLIKA8

ALI ZADR5AVANJE KONTINUIRANOSTI

DERIVACIJA 5ELJENOG REDA U

SPOJNIM TOKAMA NIJE LAKO I MO5E

BITI TEKO IZVEDIVO I NEPO5ELJNO.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

10/44

[email protected]

MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86

POMICANJE KONTROLNE TOKE UTJEE

NA OBLIK CIJELE KRIVULJE 7SVOJSTVO

GLOBALNOG UTJECAJA8 TO JE

NEPO5ELJNO.

KOD B-SPLINE-A STUPANJ FUNKCIJE NEOVISI O BROJU KONTROLNIH TOAKA,

T.J., B-SPLINE KRIVULJA 3. STUPNJA JEODRE KONTROLNIH TOAKA.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

11/44

11

MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE

PRIMJER6

4 SEGMENATA BZIER-OVE KRIVULJE

3. STUPNJA ZAJEDNO TVORI B-SPLINE

KRIVULJU, ODRE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

12/44

12

DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

ZA DEFINIRANJE B-SPLINE KRIVULJE POTREBNO JE

ODREDITI6

SKUP KONTROLNIH TOAKA 7#)=. CONTROL POINTS8,

SKUP VOROVA 7#)=. KNOTS POINTS8, I

STUPANJ KRIVULJE 7#)=. CURVE DEGREE8.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

13/44

13

B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

DEFINICIJA6

(u0

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

14/44

1!

B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA

DEFINICIJA6

(u0

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

15/44

14

DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A

JEDNOLIKI RAZMAK 7#)=. UNIFORM8 VEKTORA VOROVA6

POJEDINANI VOR JE JEDNAKO RA!MAKNUT 7#)=.

EVENL SPACED8 KAO NPR.6

[email protected], 1, 2, 3, !8,

A ZATIM NORMALIZIRAN NA RASPON @, 16

[email protected], @.24, @.4, @.'4, [email protected]

NORMALIZACIJA6 DIJELJENJE VRIJEDNOSTI SKUPA S NEKOM 7NAJVE:OM8

VRIJEDNOSTI.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

16/44

19

TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA

NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8

PRVI I ZADNJI VOR SEPONAVLJAJU kPUTA6

NPR.6 [email protected],@,@,1,2,2,28

KRIVULJA PROLAZI KROZ PRVU IZADNJU KONTROLNU TOKU.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

PRVI I ZADNJI VOR SE NEPONAVLJAJU ? ISTI DOPRINOS6

NPR.6 [email protected], 1, 2, 38

KRIVULJA NE PROLAZI KROZ KRAJNJEKONTROLNE TOKE,

KORISTI SE ZA OPISIVANJEZATVORENIH KRIVULJA, KOD KOJIH JE

PRVA TOKA JEDNAKA ZADNJOJ.

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

17/44

1'

7ZATVORENI VOROVI8

TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8

PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

18/44

1>

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1,1

1

1,

, ++

+

+

+

+

=

iki

ki

ki

iki

ki

ikiuu

uNuu

uu

uNuuuN

0

1

11,

= +iiiuuu

N

GDJE SU6

VRIJEDNOSTI U NAZIVNIKU MOGU IMATI VRIJEDNOST @, A ZA

@@ SE UZIMA DA JE @,

AKO JE STUPANJ B-SPLINE- @, STUPANJ ODNi,1(u)JEJEDNAK 1 ZAuUNUTARi? \$= RASPONA VOROVA[ui, ui+1).

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

19/44

1&

NPR.6 ZA ! VORA u0= 0, u1= 1, u2= 2I u3= 3, RASPONI

IZME

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

20/44

[email protected]

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

21/44

21

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GLATKOST ; STUPANJ ? VIESTRUKOST

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

22/44

22

OSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOGOSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOG

B-SB-SPLINE-"PLINE-"

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

ZVONOLIKE FUNKCIJE ZA SVAKU KONTROLNUTOKU

PREKLAPAJU:E OSNOVNE FUNKCIJE KONTROLNE TOKE ODGOVARAJU TOKAMA VOROVA

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

23/44

23

ZA PRORAUNNi,k(u)ZA kVE:I OD 0, KORISTI SE TROKUTNA

7TRIANGULARNA8 PRORAUNSKA SHEMA,

TE REKURZIJA.

OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

24/44

2!

SOJSTASOJSTA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

APROKSIMACIJSKO SVOJSTVO6

NE INTERPOLIRA DE BOOR-\$# TOKE,

KONVEKSNOST,

AFINA INVARIJATNOST,

KONTROLA PROMJENJIVOSTI 7#)=. VARIATION DIMINISHING8,

C2? KONTINUIRANOST,

LOKALNA KONTROLA KRIVULJE6

ZA KUBNE OSNOVNE FUNKCIJE, SVAKI SEGMENT JE ODRE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

25/44

24

&. E!A I!ME'U RA!LI%ITI&. E!A I!ME'U RA!LI%ITITIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

ONI IMAJU RAZLIITA GRA

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

26/44

29

A-A-OKIRI I KONTINUIRANOSTOKIRI I KONTINUIRANOST

KONTINUITET IZME

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

27/44

2'

I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"

UMJESTO DEFINIRANJA BEZIEROVIH KONTROLNIH TOAKA,POTREBNO JE ODREDITI KUTEVE A-OKVIRA U SVRHUIZGRADNJE SPLINE- S C2KONTINUITETOM.

DOBIJAMO B-SPLINE. TOKE BiSE ZOVU DE BOOR-*+ TO%KE.

V0

V1 V2

V3

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

28/44

2>

KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-" ZA CIJELI B-SPLINE6

KOJE SU BEZIER-\$# KONTROLNE TOKE 7V8, DOBIVENE

POMO:U DE BOOR-\$* TOAKA 7B82/3 1/3

1/3 2/3

2/3 1/31/2 1/22/31/3

1/6 1/64/6

1/6 1/64/6

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

V0

V1 V2

V3

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

29/44

2&

KONSTRUIRANJE BEZIER-\$* TOAKA DOBIVENIH IZDE BOOR-\$* TOAKA SE MO5E PRIKAZATI KAO6

KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-"

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

V0

V1 V2

V3

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

30/44

[email protected]

KRAJEIKRAJEIB-B-SPLINE-"SPLINE-"

B-SPLINE NE INTERPOLIRA DE BOOR-\$# TOKE.

DA BI SE TO POSTIGLO KRAJNJE TOKE SE

PONAVLJAJU nPUTA, JEDNAKO STUPNJU OSNOVNE

FUNKCIJE 7ZA KUBINU FUNKCIJU 3 PUTA8.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

31/44

31

!ATARANJE KRIULJE!ATARANJE KRIULJE

AKO 5ELIMO ZATVORITI KRIVULJU POTREBNO JEKRU5NO PONOVITI nTOAKA OVISNO O STUPNJUOSNOVNE FUNKCIJE

B5=

B6= B7=

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

32/44

32

E!A I!ME'U RA!LI%ITIE!A I!ME'U RA!LI%ITI TIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH

PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,

ONI IMAJU RAZLIITA GRA

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

33/44

33

KOMPAKTNI PRIKA!KOMPAKTNI PRIKA!

PRIKAZ KOEFICIJENATA POLINOMA U MATRINOM OBLIKU6

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

34/44

3!

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!

CSE MO5E NAPISATI KAO UMNO5AK MATRICE OSNOVNIH

FUNKCIJA MI VEKTORA OBLIKAG (+. GEOMETR VECTOR8.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

35/44

34

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI BE!IER- KUBI%NI BE!IER

MBezier G

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

36/44

39

MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI B-SPLINE- KUBI%NI B-SPLINE

TRANSFORMACIJA B-SPLINE- U BEZIER-\$ SPLINE SEMO5E NAPISATI KAO6

BEZIER-\$ ZAPIS JE6

UVRTAVANJEM 718 U 728, DOBIJAMO B-SPLINE OPIS 6B0

B1

B2

B3

(1)

(2)

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

37/44

3'

MATRICA OSNONI FUNKCIJAMATRICA OSNONI FUNKCIJA B-B-SPLINE-"SPLINE-"

ZA KUBINI B-SPLINE FORMIRA SE 19

JEDNAD5BI S 19 NEPOZNANICA,

TIH 19 JEDNAD5BI OSIGURAVA C0, C1, I C2

KONTINUITET IZME

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

38/44

3>

B-SB-SPLINE U MATRI%NOM OBLIKUPLINE U MATRI%NOM OBLIKU

[ ]

=

=

3

2

1

0

23

0141

03030363

1331

611

)(

p

pp

p

ttt

GMTtP B

3

3

2

2

1

2

0

3

3

33

3

22

3

11

3

00

)1(3)1(3)1(

)()()()()(

bbbb

bbbbp

tttttt

tBtBtBtBt

+++=

+++=

33

3

233

2

233

1

33

0

6

1)(

)1333(6

1)(

)463(6

1)(

)1(61)(

ttB

ttttB

tttB

ttB

=

+++=

+=

=

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

39/44

3&

UNIFORMNI B-SPLINE-*

APROKSIMIRAJU:I SPLINE-\$*,

APROKSIMIRAJU n 1 KONTROLNU TOKU,

P0, P1, , Pn, n

KRIVULJA SE SASTOJI OD n? 2 KUBINA POLINOMSKA SEGMENTA6

Q3, Q4, Qn

VARIRA DU5 B-SPLINE- KAO Qi: uiui< ui+1

ui7i? CJELOBROJNA VRIJEDNOST8 SU TOKE VOROVI KOJI SPAJAJU

SEGMENTE QiDO Qi+1

KRIVULJA JE UNIFORMNA ZATO TO SU VOROVI JEDNOLIKO

RASPORE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

40/44

[email protected]

PROBLEMIPROBLEMI B-B-SPLINE OPISASPLINE OPISA

POVE:ANJE STUPNJA OPISA,

SMANJENJE STUPNJA OPISA,

UMETANJE VOROVA,

BRISANJE VOROVA.

Gerald Farin, Cr!e" and #r\$a%e" \$&r C&'er *ided Ge&'eri% e"in, 4-ed, *%ade'i%Pre"" (16)

/&nald . G&ld'an, &' %-e, edi&r", n& 5n"eri&n and elei&n *l&ri-'" \$&r 7#line Cr!e" and #r\$a%e", #5*8 (13)

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

41/44

!1

B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

UMETANJE %OROAJE DODAVANJE NOVOG VORA U

POSTOJE:I VEKTOR VOROVA BEZ PROMJENE OBLIKA

KRIVULJE.

NOVI VOR MO5E BITI JEDNAK POSTOJE:EM ?POVE:ANJE VIESTRUKOSTI ZA 16

BROJ VOROVA ; ) 1

AKO SE BROJ VOROVA POVE:A ZA 16 ILI STUPANJ ILI

BROJ KONTROLNIH TOAKA MORA BITI MORA TAKO

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

42/44

!2

B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA

UMETANJE NOVOG VORA ZAHTIJEVA DODAVANJE NOVE

KONTROLNE TOKE.

NEKE KONTROLNE TOKE SE PRITOM BRIU I DODAJU NOVE.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

NOVI VORu= 0.9

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

43/44

!3

4.4. NURBSNURBS

NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

OSNOVNA DEFINICIJA NURB-SPLINE KRIVULJE6

GDJE SU6

- RACIONALNE OSNOVNE FUNKCIJE,

Ni,k? OSNOVNE FUNKCIJE,

Pi? KONTROLNE TOKE,

wi? TE5INSKI KOEFICIJENTI.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

( ) ( )

==

n

i

iki uRuC0

, P

( ) ( )

( )=

=

n

j

jkj

ikiki

wuN

wuNuR

0

,

,,

GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE

• 7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama

44/44

NURBSNURBS

NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES

NEJEDNOLIKI 7NEUNIFORMNI, #)=. NON-UNIFORM8 RASPORED VOROVA,

RACIONALNI POLINOM6

POLINOM PODIJELJEN POLINOMOM, MO5E OPISIVATI KONINE KRIVULJE, TJ. KRIVULJE 2. STUPNJA

7KRU5NICE, ELIPSE I HIPERBOLE8

INVARIJATNI ZA PROJEKCIJSKE TRANSFORMACIJE.

NAPOMENA

UNIFORMNI B-SPLINE JE POSEBNI SLUAJ NEUNIFORMNOG B-SPLINE-,

NERACIONALNI B-SPLINE JE SPECIJALNI SLUAJ RACIONANOG B-SPLINE-.

GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE

Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents