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7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
1/22
Revue philosophique de la
France et de l'tranger
http://gallica.bnf.fr/http://www.bnf.fr/7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
2/22
Revue philosophique de la France et de l'tranger. 1876/07-1876/12.
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3/22
LA
GEOMETRIE
IMAGINAIRE
ET
LA
NOTION D ESPACE
i
On
confond
souvent
. tort,
sous
le
nom
de
gomtrie
~nM~icwe)
plusieurs
thories essentiellement
distinctes.
Ecartons
tout
d abord
la plus rcente,
veux
dire la
gomtrie
dimensions.
Les
mtaphysiciens
y
chercheraient
en
vain
quelques
lumires
pour
claircir
la
fameuse question L existence d espaces
ayant
plus
de
dimensions
que
le ntre
est-ellepossible?
Ce
problme,
pour
long-
temps encore, sinon pour toujours insoluble, ne
peut tre
raisonna-
blement abord
que
du ct de la physiologie.
Dans la
nquvelle
thorie mathmatique, il
ne
s agit
nullement
en
fait de gomtrie,
mais simplement
d algbre
pure.
L objet thorique
de
l algbre
est
l tude
des relations quations)
qui
peuvent
exister
entre
diverses quantits
variables. La
constitu-
tion,
par
Descartes,
de
la
gomtrie analytique
a
respectivement
ra-
men
l tude des problmes
qui
se
prsentent,
soit
sur
le
plan,
soit
dans
l espace,
aux cas
algbriques
o
les variables
sont
deux
ou
trois.
Ceux o
elles
sont
en
nombre plus lev
ne
trouvent
leur
applicationpratique
que
dans
les
sciences
dont l objet
est
moins abs-
trait
que
celui de la gomtrie.
Ds
les
commencements
de la gomtrie analytique, il
s est
fait
comme
une
fusion
entre
l algbre
et
la science de l espace.
Ainsi,
que
l on
convienne,
avec
Descartes,
de dfinir
la
position
d un point
quelconque
d un plan
par ses
distances
coordonnes)
deux
droites
fixes
perpendiculaires
entre
elles,
toute
droite
place
sur
le
plan
pourra se
reprsenter
par
une
quation
du
premier degr
entre
les
coordonnes,
et,
rciproquement,
toute
quation
du
premier
degr
TOMEH.
1S7G.
~8
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4/22
entre
deux
variables
quelconques
pourra se
reprsenter
par
une
droite du plan,
si l'on
convient de
reprsenter
chacune des
variables
par
l'une
des deux
coordonnes.
De
l
l'expression gomtrique
quation
linaire
qui
s'est
introduite ds longtemps
en
algbre
pour
dsigner l'quation
du premier
degr.
De mme, dans la
gomtrie analytique
trois
dimensions, si,
pour
fixer les ides,
on
dtermine
la'position d'un point
de
l'espace
par ses
distances
trois plans
perpendiculaires
entre
eux,
il
y aura
reprsentation
rciproque
entre
le plan,
d'une
part,
l'quation
du
premier degr
entre
trois
variables,
de
l'autre.
Grce
aux
conventions
faites,
des
propositions
purement
algbri-
ques pourront s'noncer
sous
une
forme
gomtrique et rcipro-
quement.
Ainsi,
que
je dise
a
Trois
plans
se
coupent
en
gnral
en
un
point
,
ou
bien
Un
systme
de
trois
quationsdu premier
degr
trois inconnues,
admet
en
gnral
une
solution,
et
une
seule
,
j ur i
nonc
sous
deux
formes diverses,
dans deux
langues
diff
rentes,
une
seule
et
mme
propositionlogique
1.
Remarquez
que
la
premire formule
est
beaucoup
plus
courte
que
la
seconde;
vous
comprendrez
comment
on
a pu
esprer simplifier,
pour
certaines tudes,
le
langage
algbrique
en
le traduisant
en
un
langage
gomtrique,
et comment,
le
nombre
des
variables
en
algbre tant
indtermin,
il
a
fallu,
tout
aussitt,
parler de
n
dimen-
sions.
Je
ne
pourrais
mieux
continuer
qu'en citant M.
Camille
Jordan
2
a
Bien
que ces
recherches
soient
purement
algbriques,
nous
avons
cru
utile
d'emprunter, ainsi
que
nos
devanciers, quelques
expressions
la
gomtrie.
Ainsi
nous
considrons
un
point
comme
dfini
dans
l'espace
a, H.
dimensions
par
les valeurs
de
)t
K
coordonnes.
Une
quation linaire
entre
ces
coordonnes
d-
nira
un
plan; k quations
linaires
simultanes~
un
A-~aM;
M.
--1
quations,
une
droite,
etc.
?
En
rsum, la
gomtrie
n
dimensions n'est
que
de l'algbre
crite
dans
une
nouvelle
langue
conventionnelle.
Cette
langue
n'a
pas
encore
ge
d'homme,
il
est
difficile
de
pr-
voir
son
avenir.
Le rel
avantage
des reprsentations
gomtriques
effectives dans les
tudes
algbriques consiste
dans
ce
fait
que
des
schmas
s'y prtent
l'intuition
et
soutiennent l'entendement,
qui
n'a
pas
tant
de prise dans l'abstraction
pure.
Mais
ici
il
n'y
a
plus,
1.
Inutile
de dire
que
les
cas
d'exception se
correspondent
rigoureusement
dans
les
deux langues.
2.
Bulletin (fe
la
Soetet
.Maf/t
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5/22
en
ralit,
ni
reprsentation, ni schma;
il n y
a que
des
mots et
des
notations,
comme
dans
l algbre ordinaire.
A la vrit,
on a
tout
rcemment 1
essay de constituer
une re-
prsentation gomtrique
pour
les
termes
du
nouveau
langage
comme
il pourrait
en
rsulter quelque
illusion
au
point de
vue
mta-
physique, j en dirai
un
mot.
On sait
que
la
gomtrie descriptive,
par
exemple, parvient,
au
moyen
de certaines
conventions,
reprsenter
sur un
plan
tout
point
de
l espace;
il
est
certainement
possible,
en
faisant
d autres
conventions
analogues,
de
reprsenter
galement
sur
un
plan,
le
gMCt~ecM~gMe
dfini
par
autant
de
quanta
que
l on
voudra,
ou,
en
d autres
termes,
le point de
l espace
dimensions.
Mais
en
go-
mtrie descriptive,
en
raisonnant
gomtriquement
sur
les lignes
du tableau,
si
je
puis
arriver
dmontrer quoi
que
ce
soit relatif
aux
lignes de
l espace
reprsentes, c est
que
je suis
soutenu
par
une
intuition;
je vois,
comme on
dit,
ces
lignes
dans l espace;
au-
trement
je
ne
pourrais sortir
du tableau
et
ma
dmonstration
ne
porterait
que
sur
la
figure
qui
y
est
trace.
Or,
au-del
de
trois
dimensions,
aucune
intuition
n est
possible;
dans
ce que
j ppelle
reprsentation
de l espace
dimensions,
je pourrai donc,
tout
au
plus,
arriver
trouver
certaines
rgles
de construction
gom-
trique
reprsentant
certaines
oprations algbriques;
mais si j rrive
a
quelque
dmonstration
en
substituant
les
constructions
aux
op-
rations correspondantes,
je
n aurai
rien fait
que
dmontrer
une pro-
prit
de
figures planes correspondant,
sous
certaines conventions;
certains thormes
d algbre,
et
il
est
indubitable
que
cette
pro-
prit,
d une
part,
ce
thorme de l autre,
auraient
pu
tre
obtenus,
sans
parler
d espace
M
dimensions,
ni de rien de semblable,
et
peut-tre
par
des
moyens
plus
directs
et
plus
simples.
Ainsi, quelque
convention
qui
soit
faite,
nous
devons
nous
garder
de
toute
illusion
sur
l impossibilit d imaginer
un espace
K
dimen-
sions,
et
nous
avons assez vu que
la
gomtrie
ainsi
dnomme
n a
rien
d imaginaire
en aucun
sens.
Mais ici
nous
devoas,
avant
tout,
faire observer qu en
mathmatiques,
ce
terme
imaginaire
a une
signification
toute
spciale, parfaitement prcise, dont il
ne
devrait,
en aucun
cas,
tre
permis
de
le
dtourner.
On sait
que ce
terme
s applique
aux
expressionsalgbriques
dans
t. M.
Spottiswoode.
CoM p
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lesquelles
entre
la
notation
~1,
notation
qui n a,
par
elle-mme,
aucun sens,
mais qu on
est
convenu
de traiter dans les calculs
sui-
vant
des rgles
dtermines
et
n impliquant
pas
contradiction:
Examinons quel
rle
peuvent
jouer
ces
expressions
algbriques
dans
l applicationde
l algbre
la
gomtrie,
et
spcialement
en
go-
mtrie
analytique.
Si, dans
un
problme
de
gomtrie,
on
calcule
une
quantit
inconnue, et
que
toutes
rductions faites, elle
se
prsente
sous
la
forme
imaginaire,
ce
rsultat
indique
que
cette
quantit n existe
pas
en
fait,
et
que
c est
tort
qu on
a pu
faire l hypothse contraire.
Supposonspar exemple que nous
ayons,
en gomtrie analytique
deux dimensions,
dterminer
par
leurs
coordonnes
les deux
points d intersection de
deux cercles
donns dans
un
plan.
Il
peut
videmment
se
faire
que
les
donnes
soient
telles
que
les
deux cercles
ne se
coupent
pas;
dans
ce
cas,
les coordonnes
se
prsenteront
sous une
forme
imaginaire.
Mais
convenons,en
traitant
dans
le
calcul
ces
quantits imagi-
naires
suivant les rgles
algbriques,
de leur
faire
subir
les
mmes
oprations
que
si elles
taient
relles
et
que nous
nous
proposions
de
dterminer l quation
de
la
droite
passant
par
les deux points
d intersection
nous
trouverons
que
cette
quation
n est
pas
com-
plique d imaginaires.
Que
signifie
un
pareil rsultat?
que
deux
cercles tant
donns,
il
y a
toujours
une
droite jouiss nt
par
rapport
ces
deux
cercles,
de
certaines proprits
1,
et
qui,
d ailleurs,
si
les cercles se coupent,
passe
par
les points
d intersection. Rien de
plus.
Mais
comme
facilit de langage,
on
pourra
dire
que
deux
cercles
se
coupent
toujours
en
deux points rels
ou
imaginaires)
2,
et
que
la droite
passant
par
ces
deux
points
est
toujours relle
et
jouit
de
telle
et
telle
proprit.
Des exemples analogues
d interprtations
gomtriques de
formes
imaginaires
peuvent
se
rencontrer
dsles
dbuts
de
la gomtrie
ana-
lytique. Il
y
avait l
une
consquence
force de
la
correspondance
tablie
par
Descartes
entre
l algbre
et
la gomtrie. Toutefois
ce
n est qu .
une
poque
toute
rcente
que
les
conventionsncessaires
pour
systmatiser
ces
interprtations,
ont
reu
leur
entier dve-
loppement,
aujourd hui trs-complexe,
et
que
nous
ne
pouvons
exposer.
Le
point de dpart de
ces
conventionsconsiste,
comme
on
le
prs-
1.
Par
exemple,
que
de
chaque point de
cette
droite,
on
mne
aux
deux
cercles
des
tangentes
gales.
2.
Dans le
cas
de
tangence,
le point
de
contact
est
considr
comme
double.
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
7/22
sent,
admettre
pour
les coordonnes algbriques
et
pour
les
coffi-
cients des quations
la
forme imaginaire,
aussi
bien
que
la forme
relle,
et
parler
ds lors de
points
imaginaires,
de droites
imagi-
naires
etc.
C est uniquement
aux
thories
reposant
sur ces
conventions
que
l on
devrait,
mon sens,
rserver le
nom
de
gomtrie
imagi-
naire.
C est
bien de
gomtrie
qu il s agit ici,
et
le
but
final
est,
bien
en-
tendu, d arriver
tablir des thormes
ou
rsoudre des
pro-
blmes
sur
des
figures
relles. Les dmonstrations
y
sont
souvent
trs-brves, mais
elles
restent
malheureusement incomprhensibles
pour
qui
n est
pas initi
la
vritable
signification du
langage
con-
ventionnel
qu on
y
emploie.
En
tout
cas,
il n y
a
j m s
l
au
fond,
sous un
dguisement plus
ou
moins pntrable,
que
de
l algbre
applique
la
gomtrie.
Grce
aux
conventions
qui
ont
t
faites
pour
le
langage,
on
vite d crire
certaines
quations
et
d oprer
sur
elles
les
dductions
ncessaires
au
raisonnement. Mais,
en
fait,
il
y
a
toujours
des
relations
entre
quantits relles,
qu on doit
supposer
tout
d abord
avoir t
transcrites
sous
formes
algbriques
avec
l em-
ploi du
signe
\t,
puis
retraduites
dans
le
langage
conventionnel
de la
gomtrie
imaginaire.
Ce
n est
donc qu un artifice
logique
plus
ou
moins
curieux;
il
n y
a
rien qui
puisse,
en
ralit, intresser
le
mtaphysicien
spculant
sur
la
notion
d espace.
Mais
avant
d aborder
un
nouvel
ordre
d ides, il
est
indispensable
que nous
prcisions
le
rle
des
quantits
imaginaires
en
algbre.
Nous
le ferons
en
exposant
le
principe
de la
reprsentation
gom-
trique
des
quantits
imaginaires,
principe
essentiellement
diffrent
des
conventions
dont
nous
venons
de
parler. Ici
ce
n est
plus
une
application
de
l algbre
la
gomtrie
ce
serait plutt
l inverse.
C est
l emploi de
schmas
gomtriques spciaux
comme
support
de
raisonnements
intuitifs
sur
des
relations
purement
abstraites.
Reprenons
la
conception
fondamentale de Descartes;
soit
deux
quantits,
fonction
l une
de
l autre,
c est--dire telles
que
chacune
d elles
a,
pour
chaque
valeur
dtermine de
l autre,
une
ou
plu-
sieurs
valeurs
galement
dtermines.
Nous
pouvons
nous
reprsenter
les
variations
d une
quantit
quel-
conque
par
les
changements
de
position d un
point
sur
une
droite
indfinie
partir
d une
origine
fixe
sur
cette
droite;
en
d autres
termes,
la
longueur d une droite dtermine est pour nous
le
schma
d une
quantit
dtermine
quelconque.
Si,
de
nos
quantits U,
V,
fonctions
l une
de
l autre,
nous
reprsentonsde la
sorte
la
premire
par
une
longueur
abscisse)
x
porte
sur une
droite
fixe
ou
axe
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
8/22
partir
d un
point
origine,
et
la
secondepar
une
longueur
(ordonne)
y
porte
sur
la
perpendiculaire
l axe
l extrmit
variable de
l abscisse,
nous
obtiendronsainsi,
aux
extrmits
des
ordonnes,
en
supposant
que
U
par
exemple
passe
successivement
et
continment
par
toutes
les
valeurs
possibles,
une
ligne gnralement courbe
qui
sera
pour
nous
la
reprsentation figure de la
fonction qui lie U
et
V.
Ce
procd
est
bien
connu
et
nous
n avons
pas
pour
le
moment
insister
sur
les
avantages
qu il
offre
en
certains
cas
pour
l tude
des
proprits
purement
abstraites
des
fonctions.
Nous
avons
dit
que
le dplacement
d un
point
sur
une
droite
re-
prsente
la
variation d une quantit. De mme
le dplacement d un
point de toutes manires possibles
sur
un plan, figurera
la
double
variation
de
l abscisse
x
et
de l ordonne
y,
considres ici
comme
indpendantes
l une
de
l autre. Pour utiliser
ce
schma,
nous con-
viendrons,
avec
Argand
s,
d assigner
le
point d abscisse
x
et
d or-
donne
y
l expression imaginaire
x
-)-
y
I.
Reprenons
nos
fonctions U, V. Posons
U ==
x
-{-
y
l. D aprs
la
relation
entre
IJ
et
V,
et
les
rgles de
calcul
convenues ou
ta-
blies,
V
se
prsentera
sous
une
forme telle
que
X
-j-.Y
~l.
Que
faisons-nous
en
ralit? Nous
ne
considronsplus
les
quan-
titsU
et
V,
mais deux
groupes
binaires
(x,
y).
(X,
Y)
lis
entre
eux
par
des
relations
telles
que
si
x
et
y
sont
tous
deux
dtermins,
X
et
Y
le
sont
galement
tous
les
deux
et
rciproquement.
Mais
nous
d-
nommons
cette
double
relation
sous
le mme
nom que
la relation
unique
qui lie
U
et
V;
ce
que nous pouvons
faire,
parce que,
grce
aux
conventions
faites
pour
le
calcul, si
nous supposons
y
nul,
les
deux
groupes se
rduisent
respectivement
U
et
V.
Voil,
au
point de
vue
logique,
tout le
secret
de
l emploi
des
quan-
tits
imaginaires
en
algbre.
Gomtriquement,
les variations
correspondantes
ds
quantits
U
et
V
ou
des
groupes
(x,
y), (X, Y),
se
reprsenteront
par
les d-
pt ements orrespond nts
sur
le pl n
des
points
de oordonnes
(x,
y),
et
(X,
Y)
si
l un
de
ces
points
dcrit
une
certaine
courbe d-
termine, l autre
dcrira de
mme
une
autre
courbe
dtermine.
Nous
nous
contenterons
d ajouter
que
cette
reprsentation,
em-
ploye
par
Cauchy,
etc.,
a
permis l invention
ou
la
dmonstration
1.
Pour
simplifier
l expos, ici
comme
dans
ce
qui
suivra,
nous ne.
consid-rons qu une
seule des
diverses
valeurs
que
peut prendre
une
fonction,
dans
le
cas
gnral,
pour
une
valeur
dtermine
de
la
variable.
2.
Essai
sur
une
manire de
t epreseKte~
les quantits
imaginaires
dans
les
constructions gomtriques,
par
R.
Argand.
2
d.,
avec
prface
de
M. J. Hoel,
Paris,
Gauthier-Villars,
1874..
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
9/22
de
thormes
de
pure
algbre
de la
plus
grande
gnralit
et
de la
plus
haute
importance.
Nous
nous
proposions
uniquement
de faire
sentir
comment
quand
on
parle
de
quantits
imaginaires il
n y
a
jamais l
une
sorte
de
non-tre
soumis
au
calcul
mais
seulement
des
quantits bien
relles
entre
lesquelles
on
a
tabli
une
relation
logique artificielle.
La
gomtrie
de
Lobatchewsky
1
diffre
essentiellement
de
toutes
les
thories dont
nous avons
parl
jusqu
prsent.
Son
objet
est
de
reconstituer
entirement
la
science
de l espace
aprs
avoir
rejet
la clbre
proposition
gnralement
connue en
France
sous
le
nom
de
postulatum
d Euclide
et
y
avoir
substitu
une
hypothse qui
comprend
celle
d Euclide
comme cas
singulier.
Soit
une
droite
BC
en
un
point
D
de laquelle j lve
la
perpendi-
culaire
DA
de
longueur
dtermine
a;
par
A
je
mne
la
perpendicu-
laire EAF
DA
dans
le plan
ABDC; Euclide dmontre
que
EF
ne
rencontre
pas
BC il
admet
que
c est
la
seule
droite
mene
par
A
qui
soit dans
ce
cas
et
on
l appelle d aprs lui
parallle
BC.
Lobatchewsky
admet
au
contraire
que par
le point
A
on
peut
mener
outre
EF
une
infinit de droites du
plan
qui
ne
rencontrent
pas
BC;
toutes
ces
droites
sont
comprises dans
les
angles
aigus
forms
pour
deux droites
GH
IK
symtriques
par
rapport
EF.
La
droite
GH
spare
les
droites
qui
rencontrent
BC
du
ct
de
C
de
celles qui
ne
la
rencontrent
pas
la
droite
KI
spare les
droites
qui
rencontrent
BC
du cot
B
de
celles
qui
ne
la
rencontrent
pas.
Lobatchewsky appelle parallles
BC
ces
deux
droites
limites
GH
IK.
1..hi~M
gomtriques
SM~
la
thorie des
parallles
par
N.
J.
Lobatchewsky
traduit
par
J.
Hoel
suivi d un
extrait
de
la
correspondance
de
Gauss
et
de
Schumacher. Paris.
Ganthier-Villars 1866.
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
10/22
Ainsi,
par
chaque
point d'un
plan,
on
peut
mener
toute
droite
de
ce
plan deux
parallles,
une pour
chaque
ct de
la
droite
la
position de chaque
parallle
sera
dtermine
par
l'angle
plus
petit
qu'un
droit
qu'elle fait
avec
la
perpendiculaire
abaisse du
point
donn
sur
la
droite
donne.
Cet
angle GAD, appel
angle
d
paral-
llisme, dpend de la
distance
AD
ou
a.
Il tend
vers
l'angle droit
lorsque
a
tend
vers
zro, il
tend
vers
zro
quand
a
augmente
indfiniment.
Voil le point
de
dpart
de
cette
nouvelle
gomtrie.
Remarquons
tout
d'abord
que
les
inventeurs
n'ont nullement t
pousss
par
des
considrations
philosophiques.Leur
uvre
est
purement
math-
matique il
s'agissait
de
combler une lacune dans la chane
des
rai-
sonnements
qui
constitue
la
gomtrie.
Il
est
impossible
de
restituer
aujourd'hui, telle
qu'Euclide
a pu
l'crire, la partie
des lments
qui prcde
sa
premire proposition.
Dans
les meilleurs
manuscrits,
on
trouve
d'abord
1
Trente-cinq
dfinitions, (pot),
dont les
unes
sont
nominales,
les
autres
relles Ces dernires
ne
servent
pas
comme
prmisses
dans les
thormes,
mais dterminent
simplement
l'intuition
gom-
trique,
affirmant
sans
dduction. Si
l'on
voulait
supprimer absolu-
ment
cette
intuition
et
rduire
la
gomtrie
une
dduction
pure-
ment
abstraite, il
faudrait
substituer
ces
dfinitions
ou
leur
adjoindre
des
affirmations synthtiques,
poses
priori;
indmon-
trables,
qu'Euclide
et
certainement,
avec son
matre Platon
2,
qua-
lifies
d'hypothses.
2~
Viennent
en
second lieu
trois
T~.o~,
postulata.
Ce
dernier
mot
n'a
pas
prcisment le
sens
qu'on lui donne aujourd'hui.
Il
s'agit des
trois
constructions lmentaires
desquelles dpendent
toutes
celles
qu'on apprend
faire dans
la gomtrie d'Euclide.
3
Enfin
douze notions
communes
(xo;~
6'woKK),
dont
les
sept
pr*
miressont
des propositions applicables
la grandeur
abstraite,
les
deux
suivantes
sont
ou
reviennent
des
dfinitions
nominales
les
trois
dernires
ont
t,
probablement
longtemps
aprsEuclide,
tires
du
corps
des lments,
o
on
a
remarqu
qu'elles
figuraient
comme
prmisses
non
dmontres. Le
n
X
Tous les angles
droits
sont
gaux
entre
eux,
est
un
thorme parfaitement
dmontrable,
qui
1.
Nominales,
comme
celles du
rhombe
(losange)
et
du
trapze
relles
comme
celles de la ligne
et
du
plan.
Ce
langage
n'est
pas
parfaitement
rigou-
reux.
Voir
Des
dfinitions gomtriqueset
des
dfinitionsempiriqttes,
par
Louis
Liard.
Paris.
Ladrange,
1873.
Un bon nombre
de
ces
diverses
dfinitions
ne
sont
certainement
pas
d'Eu*.
clide.
2.
Rpublique
de
Platon, livre
VI,
la fin.
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
11/22
tait
peu
prs inutile
avec
la marche d Euclide.Le
n
XII
Deux
droites
ne
peuvent
limiter
aucun
espace,
est
au
contraire
absolu-
ment
indmontrable. Cette
proposition
est
d ailleurs implicitement
suppose
d ns
les
dfinitions.
Enfin le
n
XI
est
le
fameux postula-
tum
des
parallles.
L habitude s est
introduite depuis de
dsigner
sous
le
nom
d axiomes
les
propositions
primordiales de
la gomtrie.
Je
rpte
que,
selon
toute
probabilit,
le
terme
d hypothses
et
t
ju
plus convenable
par
Euclide.
Quoi qu il
en
soit, il
est
remarquable que
le
rejet
d un
quelconque
des axiomes, implicitement
ou
explicitement
admis
par
Euclide,
en
dehors
de l axiome XI
(postulatum),
arrterait
ds le
dbut
la
chane
des propositions
dmontres. Vingt-huit,
au
contraire,
se
suivent
en
toute
rigueur,
avant
qu il soit besoin d invoquer
cette
affirmation
spciale.
Il tait donc
permis de
supposer que
la dmonstration
en
tait
possible,
et
la question restait
pendante depuis
l antiquit.
Mais
tout
effort
tait
rest
infructueux.
La
presque
impossibilit d viter
un
cercle vicieux
dans le raisonnement
tait
bien
constate.
Une
seule
voie
restait
ouverte
au
gomtre
assez
hardi
pour
l entreprendre.
H
s agissait
de
supposer que
la proposition
dmontrer n tait
pas
vraie
et
de
pousser
la nouvelle
hypothse
jusqu
ses
dernires
con-
squences, fallt-il
refaire
toute
la
gomtrie.
Si
la proposition
tait dmontrable,
c est--dire,
pouvait
tre
ra-
mene
aux
autres
axiomes
admis,
on
devait,
en
suivant
cette
voie,
arriver
une
contradiction
dans
le
cas
contraire,
il fallait
avouer
qu elle
n tait
pas
dmontrable.
C est
ce
dernier
cas
qui
s est
ralis
le chemin
complet avait
d ailleurs
t
parcouru
par Gauss ds 1792,
mais il
n a
pas
publi
ses
travaux
ce
fut
sur
des
terres
plus
neuves,
plus
affranchies
de
la
routine,
que
le
germe
de la
pense
du
matre alla
porter
ses
fruits.
Enl832,WoIfgangBolyai,
ancien
camarade
de Gauss
Gttin-
gue,
professeur
Maros-Vasarhely
(Transylvanie),
publiait dans
un
de
ses
traits,
un
mmoire
o
son
fils,
Johann
Bolyai
exposait
dans
tous
ses
dveloppements
ncessaires
ce
que
Gauss
nommait la
gomtrie
non-euclidienne.
Ds
1829, Lobatchewsky(n
en
1793,
mort
en
1856),
professeur
l universit
de Kazan 2,
o
il
avait fait
ses
tudes
sous
des
matres
1.
La scieMce
absolue
de
l espace,
etc.,
par
Jean
Bolyai
(traduit
par
J.
Houet).
Paris, Gauthier-Villars,
1868.
2.
Notice historique
sur
la vie
et
les
travaux
de
Nicolas Ivanovitch
Lobat-
chewski,
traduit du
russe par
S. Potocki,
dans
le Bulletino
di
biblioqrafia
et
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
12/22
allemands,
notamment
Bartels,
ami
de
Gauss,
avait
commenc
publier
des
essais
sur
les fondementsde la
gomtrie. Sa Gomtrie
imaginaire
parut
dans
les
mmoires
de l universit
de
Kazan de
1835
1838.
Par
une
mthode diffrant notablement de
celle de
Bolyai, il
arrivait
aux
mmesrsultats.
Le
nom
donn
par
Gauss
la nouvelle
thorie
non-euclidienne
est
le plus clair
mais il
faut bien
l entendre
dans
ce
sens,
que
la
gomtrie
est
refaite
en
substituant
au
postulatum
d Euclide,
un
postulatumdiffrent
plus gnral, qui comprend le
premier
comme
cas
singulier.
Bolyai dit
scientiam
spatii
absolute
~e)*o:M
B
emploi
impropre
d un
terme
mtaphysique. Le
terme
de gomtrie imagi-
naire
de
Lobatchewsky est encore plus
malheureux;
si
en
effet,
comme
nous
le
verrons,
l emploi
du
symbole
i
prsente
cer-
tains
avantages
dans les
calculs
de
la
nouvelle
gomtrie,
ce
n est
qu un
accident,
ce
n est
nullement
le
caractre
fondamental de la
thorie,
qui
n a
mme,
en
ralit,
nul
besoin
de
ce
symbole.
Lobat-
chewsky
lui-mme
renona
finalement
cette
pithte
malencon-
treuse
son
dernier
ouvrage
est
intitul :.Po N~otKet) M~.
Depuis
les
travaux
rcents,
-on
appelle
sa
gomtrie
hyperbolique.
Je
ne
parle
pas
du
terme
de
gomtrie
astrale,
invent
par
Schweikart.
Nous
verrons
ultrieurement
quelles
ides
correspondent
ces
diS-
rents
termes.
Nous
n avons
pas
exposer
ici
l ordre
des
dductions
de
Lobat-
chewsky
ni de
Bolyai, mais
seulement
les
consquences
les
plus
caractristiques de
leur
hypothse,
afin
de
permettre
d tablir
une
discussion
mtaphysique
sur
un
terrain
suffisammentdblay.
Pour
plus
de
facilit de
langage,
nous
dsignerons
avec
Bolyai
par
systme
S
le
systme
de la
gomtrie
euclidienne,
par
systme
S;
celui
de
la nouvellegomtrie.
La gomtrie de la sphre,
c est--dire
celle
des
figures
traces
sur
la
surfacede
la
sphre
avec
des
arcs
de grandscercles,
est
iden-
tique
dans
les
deux systmes.
Supposons
une
droite
en
un
point de
laquelle soit
un
cercle
tan-
gent
que
le
centre
du
cercle
s loigne
de
plus
en
plus
indfiniment,
le
point de
contact restant
le
mme, la circonfrence
du
cercl
(systme
1)
se
rapproche
de plus
en
plus
de la
droite
la droite
est
la
limite de
cette
circonfrence,
ce
qu on exprime aussi
parfois
en
disant
qu elle
est
une
circonfrence
de
rayon
infini.
di storia delle
scienze
inatematiche
e
fisiche
(Tome
U, mai
1869)
du
prinee
Boncompagni.
1..Pa~sfOMMirte
ou
prcis
de
gomttie
fonde
sur
une
thorie
gnr l
et
W
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
13/22
Dans le systme
S,
la
circonfrence tend
non
pas vers
la droite,
mais
vers une
courbe limite
(horicycle~,
distincte
de la
droite
et
lui
restant,
bien entendu,
tangente.
Les
perpendiculaires
au
milieu
des
cercles de
cette
courbe,
au
lieu de
se
rencontrer,
comme
dans
le
cercle,
en un
mme point,
sont
parallles.
Systme
2.
Il
n y
a que
deux lignes uniformes,
c est--dire
telles
qu une partie
quelconque
puisse parcourir
la ligne
tout
entire
sans
dformation
ce
sont
la
ligne
droite
et
le
cercle.
Systme
S.
Il
y a
quatre
espces
de lignes
uniformes
la
ligne
droite,
le
cercle,
l horicycle; enfin
une
quelconque
des
courbes
en
nombre
infini,
qu on
peut
mener, avec
cette
condition
d uniformit,
entre
la
droite
et
l horicyele,
tangentes
au
point
de
contact.
Bolyai
les
appelle
courbes parallles
une
droite. Si
par
tous
les
points
d une
droite,
on
lve du mme ct des
perpendiculaires
toutes
gales
entre
elles,
le lieu des extrmits de
ces
perpendiculaires
est
une
telle
courbe.
(Dans
le systme
S,
ce
serait
une
droite
parallle
la
premire).
Les
perpendiculaires
leves
au
milieu
des cordes de
cette
courbe
(que
nous
nous
figurons
sous
le schma
d un
cercle de
trs-grand
rayon
du
systme
2)
ne
se
rencontrent
pas.
Imaginons
qu on
fasse
tourner toute
la figure
de
la droite
et
du
cercle
tangent
autour
du
rayon
perpendiculaire
la droite. Celle-ci
engendre
un
plan,
le
cercle
une
sphre
tangente;
l horicycle
en-
gendre
la
surface
appele
horisphre,
limite
d une
surface sphrique
dont
le
centre
s loigne
indfiniment
les courbes parallles
a des
droites
engendreront
de
mme des surfaces
de
rvolution tangentes
au
plan.
Systme
2.
Il n y
a
dans
l espace
que
deux
surfaces uniformes,
c est--diredont
un
lment
quelconque
puisse
se
mouvoir
sur
toute
la surface de
toutes
les
manires possibles
et
sans aucune
dforma-
tion.
Ce
sont
le
plan
et
la
sphre.
SystmeS. Il
y a
quatre
surfaces
uniformes
le plan,
la
sphre,
l horisphre
et
les
surfaces
courbes parallles
des
plans.
Toute
proprit
tablie
dans le
systme S
entre
droites
sur
un
plan
est
vraie
dans
le systme
S,
entre
horicycles
sur une
horisphre.
Les
relations
mtriques
les
plus ordinaires
sur
le
plan dans
le
systme 2
ne
sont
pas
conserves dans le
systme S.
En
particulier
rien
de
ce
qui
se
rapporte
la
similitudedes figures
ne
subsiste.
L angle de
paralllisme
G A D
=
M,
pour
la
distance
a
est
dfini
dans
le
systme
S
par
la
relation
q
Tan?.
M
==
a
a
A;
e
7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1
14/22
dans
laquelle
la
tangente
de l angle
u
est
le
nombre
dont
on
trouve
le
logarithme dans les
Tables,
e
=
2,71828 8.
est
la base
du
sys-
tme
de
logarithmes
npriens,
k
est
un
paramtre,
une
constante
qui
ne
peut
tre
dtermine
que
par
l exprience.
Celle-ci
nous
apprend
que ce
paramtre
est
extrmement grand
par
rapport
a.
tout
ce
qui
est
mesurable
pour nous.
Si,
dans
les
formules
de
la
gomtrie de la sphre
du
systme
S,
o
l on
fait
entrer
la
valeur
du
rayon,
et
qui diffrent
ds
lors
de
celles du
systme
S,
on
donne
ce rayon
la
valeur imaginaire
~~1,
on
retrouve
toutes
les
formulesde la
planimtrie
du sys-
tme
S.
A
ce
point de
vue,
on
a pu
dire,
en
employant
un
langage
qui
est,
proprement parler,
celui de
la gomtrieimaginaire,que
le
plan
du systme
S
est
une
sphre
imaginaire de
rayon
k
~i
du
systme
S.
Mais
si
curieux
que
soit
ce
rapprochement,
nous
avons
suffisamment
insist
sur
la
notion
des
imaginaires,
pour
qu on
sache
qu il
n y
a-
l
rien
autre
chose
qu une relation
purement
analytique.
On
peut
d ailleurs
viter
l emploi des imaginaires
par
celui des
lignes
trigonomtriques
hyperboliques t, qui
se
substituent
dans
les for-
mules
aux
lignes
trigonomtriques
ordinaires des
arcs
de
grand
cercle traces
sur
la
sphre. Il
n y
a
qu
supposer
les longueurs
rapportes
au
paramtre
k,
au
lieu
de les
supposer
rapportes
au.
rayon
de
la sphre
pris
comme
unitainsi
qu on le fait gnralement
dans
la
trigonomtrie
sphrique.
Nous
remettons
une
tude
ultrieure
l examen des
dveloppe-
ments
qu a subis depuis
vingt-cinq
ans
la
thorie
de Lobatchewsky,
parles
travaux
de
Riemann Beltrami
3,
Klein. Dans
une matire
de
cette
nature,
on
nous
accordera
qu il
est
prfrable de
ne
faire
m r her
l analyse
que pas
pas.
III
L accueil fait
par
les
gomtres
aux
nouvelles
thories n a
pas
toujours
t
trs-empress;
celui des
philosophes capables
de
juger
la
question
a
t
nettement
hostile.
1. D o
le
terme
de ~eotMetrte
hyperbolique.Klein.
2.
Sur
les
hypothses
qui
set MK