Géométrie Imaginaire 1

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    1/22

    Revue philosophique de la

    France et de l'tranger

    http://gallica.bnf.fr/http://www.bnf.fr/
  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    2/22

    Revue philosophique de la France et de l'tranger. 1876/07-1876/12.

    1 Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupartdes reproductions numriques d'oeuvres tombes dans ledomaine public provenant des collections de la BnF. Leurrutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n78-753 du 17 juillet1978 :- La rutilisation non commerciale de ces contenus est libre etgratuite dans le respect de la lgislation en vigueur et notammentdu maintien de la mention de source.- La rutilisation commerciale de ces contenus est payante et faitl'objet d'une licence. Est entendue par rutilisation commerciale larevente de contenus sous forme de produits labors ou de

    fourniture de service.

    CLIQUER ICI POUR ACCDER AUX TARIFS ET LA LICENCE

    2 Les contenus de Gallica sont la proprit de la BnF au sens del'article L.2112-1 du code gnral de la proprit des personnespubliques.

    3

    Quelques contenus sont soumis un rgime de rutilisationparticulier. Il s'agit :

    - des reproductions de documents protgs par un droit d'auteurappartenant un tiers. Ces documents ne peuvent tre rutiliss,sauf dans le cadre de la copie prive, sans l'autorisation pralabledu titulaire des droits.- des reproductions de documents conservs dans lesbibliothques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sontsignals par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothquemunicipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invit s'informer auprs de ces bibliothques de leurs conditions derutilisation.

    4 Gallica constitue une base de donnes, dont la BnF est le

    producteur, protge au sens des articles L341-1 et suivants ducode de la proprit intellectuelle.

    5 Les prsentes conditions d'utilisation des contenus de Gallicasont rgies par la loi franaise. En cas de rutilisation prvue dansun autre pays, il appartient chaque utilisateur de vrifier laconformit de son projet avec le droit de ce pays.

    6 L'utilisateur s'engage respecter les prsentes conditionsd'utilisation ainsi que la lgislation en vigueur, notamment enmatire de proprit intellectuelle. En cas de non respect de cesdispositions, il est notamment passible d'une amende prvue parla loi du 17 juillet 1978.

    7 Pour obtenir un document de Gallica en haute dfinition,contacterreutilisationcommerciale@bnf fr

    .

    http://www.bnf.fr/fr/collections_et_services/reproductions_document/a.repro_reutilisation_documents.htmlmailto:[email protected]:[email protected]://www.bnf.fr/fr/collections_et_services/reproductions_document/a.repro_reutilisation_documents.htmlhttp://gallica.bnf.fr/http://www.bnf.fr/
  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    3/22

    LA

    GEOMETRIE

    IMAGINAIRE

    ET

    LA

    NOTION D ESPACE

    i

    On

    confond

    souvent

    . tort,

    sous

    le

    nom

    de

    gomtrie

    ~nM~icwe)

    plusieurs

    thories essentiellement

    distinctes.

    Ecartons

    tout

    d abord

    la plus rcente,

    veux

    dire la

    gomtrie

    dimensions.

    Les

    mtaphysiciens

    y

    chercheraient

    en

    vain

    quelques

    lumires

    pour

    claircir

    la

    fameuse question L existence d espaces

    ayant

    plus

    de

    dimensions

    que

    le ntre

    est-ellepossible?

    Ce

    problme,

    pour

    long-

    temps encore, sinon pour toujours insoluble, ne

    peut tre

    raisonna-

    blement abord

    que

    du ct de la physiologie.

    Dans la

    nquvelle

    thorie mathmatique, il

    ne

    s agit

    nullement

    en

    fait de gomtrie,

    mais simplement

    d algbre

    pure.

    L objet thorique

    de

    l algbre

    est

    l tude

    des relations quations)

    qui

    peuvent

    exister

    entre

    diverses quantits

    variables. La

    constitu-

    tion,

    par

    Descartes,

    de

    la

    gomtrie analytique

    a

    respectivement

    ra-

    men

    l tude des problmes

    qui

    se

    prsentent,

    soit

    sur

    le

    plan,

    soit

    dans

    l espace,

    aux cas

    algbriques

    o

    les variables

    sont

    deux

    ou

    trois.

    Ceux o

    elles

    sont

    en

    nombre plus lev

    ne

    trouvent

    leur

    applicationpratique

    que

    dans

    les

    sciences

    dont l objet

    est

    moins abs-

    trait

    que

    celui de la gomtrie.

    Ds

    les

    commencements

    de la gomtrie analytique, il

    s est

    fait

    comme

    une

    fusion

    entre

    l algbre

    et

    la science de l espace.

    Ainsi,

    que

    l on

    convienne,

    avec

    Descartes,

    de dfinir

    la

    position

    d un point

    quelconque

    d un plan

    par ses

    distances

    coordonnes)

    deux

    droites

    fixes

    perpendiculaires

    entre

    elles,

    toute

    droite

    place

    sur

    le

    plan

    pourra se

    reprsenter

    par

    une

    quation

    du

    premier degr

    entre

    les

    coordonnes,

    et,

    rciproquement,

    toute

    quation

    du

    premier

    degr

    TOMEH.

    1S7G.

    ~8

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    4/22

    entre

    deux

    variables

    quelconques

    pourra se

    reprsenter

    par

    une

    droite du plan,

    si l'on

    convient de

    reprsenter

    chacune des

    variables

    par

    l'une

    des deux

    coordonnes.

    De

    l

    l'expression gomtrique

    quation

    linaire

    qui

    s'est

    introduite ds longtemps

    en

    algbre

    pour

    dsigner l'quation

    du premier

    degr.

    De mme, dans la

    gomtrie analytique

    trois

    dimensions, si,

    pour

    fixer les ides,

    on

    dtermine

    la'position d'un point

    de

    l'espace

    par ses

    distances

    trois plans

    perpendiculaires

    entre

    eux,

    il

    y aura

    reprsentation

    rciproque

    entre

    le plan,

    d'une

    part,

    l'quation

    du

    premier degr

    entre

    trois

    variables,

    de

    l'autre.

    Grce

    aux

    conventions

    faites,

    des

    propositions

    purement

    algbri-

    ques pourront s'noncer

    sous

    une

    forme

    gomtrique et rcipro-

    quement.

    Ainsi,

    que

    je dise

    a

    Trois

    plans

    se

    coupent

    en

    gnral

    en

    un

    point

    ,

    ou

    bien

    Un

    systme

    de

    trois

    quationsdu premier

    degr

    trois inconnues,

    admet

    en

    gnral

    une

    solution,

    et

    une

    seule

    ,

    j ur i

    nonc

    sous

    deux

    formes diverses,

    dans deux

    langues

    diff

    rentes,

    une

    seule

    et

    mme

    propositionlogique

    1.

    Remarquez

    que

    la

    premire formule

    est

    beaucoup

    plus

    courte

    que

    la

    seconde;

    vous

    comprendrez

    comment

    on

    a pu

    esprer simplifier,

    pour

    certaines tudes,

    le

    langage

    algbrique

    en

    le traduisant

    en

    un

    langage

    gomtrique,

    et comment,

    le

    nombre

    des

    variables

    en

    algbre tant

    indtermin,

    il

    a

    fallu,

    tout

    aussitt,

    parler de

    n

    dimen-

    sions.

    Je

    ne

    pourrais

    mieux

    continuer

    qu'en citant M.

    Camille

    Jordan

    2

    a

    Bien

    que ces

    recherches

    soient

    purement

    algbriques,

    nous

    avons

    cru

    utile

    d'emprunter, ainsi

    que

    nos

    devanciers, quelques

    expressions

    la

    gomtrie.

    Ainsi

    nous

    considrons

    un

    point

    comme

    dfini

    dans

    l'espace

    a, H.

    dimensions

    par

    les valeurs

    de

    )t

    K

    coordonnes.

    Une

    quation linaire

    entre

    ces

    coordonnes

    d-

    nira

    un

    plan; k quations

    linaires

    simultanes~

    un

    A-~aM;

    M.

    --1

    quations,

    une

    droite,

    etc.

    ?

    En

    rsum, la

    gomtrie

    n

    dimensions n'est

    que

    de l'algbre

    crite

    dans

    une

    nouvelle

    langue

    conventionnelle.

    Cette

    langue

    n'a

    pas

    encore

    ge

    d'homme,

    il

    est

    difficile

    de

    pr-

    voir

    son

    avenir.

    Le rel

    avantage

    des reprsentations

    gomtriques

    effectives dans les

    tudes

    algbriques consiste

    dans

    ce

    fait

    que

    des

    schmas

    s'y prtent

    l'intuition

    et

    soutiennent l'entendement,

    qui

    n'a

    pas

    tant

    de prise dans l'abstraction

    pure.

    Mais

    ici

    il

    n'y

    a

    plus,

    1.

    Inutile

    de dire

    que

    les

    cas

    d'exception se

    correspondent

    rigoureusement

    dans

    les

    deux langues.

    2.

    Bulletin (fe

    la

    Soetet

    .Maf/t

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    5/22

    en

    ralit,

    ni

    reprsentation, ni schma;

    il n y

    a que

    des

    mots et

    des

    notations,

    comme

    dans

    l algbre ordinaire.

    A la vrit,

    on a

    tout

    rcemment 1

    essay de constituer

    une re-

    prsentation gomtrique

    pour

    les

    termes

    du

    nouveau

    langage

    comme

    il pourrait

    en

    rsulter quelque

    illusion

    au

    point de

    vue

    mta-

    physique, j en dirai

    un

    mot.

    On sait

    que

    la

    gomtrie descriptive,

    par

    exemple, parvient,

    au

    moyen

    de certaines

    conventions,

    reprsenter

    sur un

    plan

    tout

    point

    de

    l espace;

    il

    est

    certainement

    possible,

    en

    faisant

    d autres

    conventions

    analogues,

    de

    reprsenter

    galement

    sur

    un

    plan,

    le

    gMCt~ecM~gMe

    dfini

    par

    autant

    de

    quanta

    que

    l on

    voudra,

    ou,

    en

    d autres

    termes,

    le point de

    l espace

    dimensions.

    Mais

    en

    go-

    mtrie descriptive,

    en

    raisonnant

    gomtriquement

    sur

    les lignes

    du tableau,

    si

    je

    puis

    arriver

    dmontrer quoi

    que

    ce

    soit relatif

    aux

    lignes de

    l espace

    reprsentes, c est

    que

    je suis

    soutenu

    par

    une

    intuition;

    je vois,

    comme on

    dit,

    ces

    lignes

    dans l espace;

    au-

    trement

    je

    ne

    pourrais sortir

    du tableau

    et

    ma

    dmonstration

    ne

    porterait

    que

    sur

    la

    figure

    qui

    y

    est

    trace.

    Or,

    au-del

    de

    trois

    dimensions,

    aucune

    intuition

    n est

    possible;

    dans

    ce que

    j ppelle

    reprsentation

    de l espace

    dimensions,

    je pourrai donc,

    tout

    au

    plus,

    arriver

    trouver

    certaines

    rgles

    de construction

    gom-

    trique

    reprsentant

    certaines

    oprations algbriques;

    mais si j rrive

    a

    quelque

    dmonstration

    en

    substituant

    les

    constructions

    aux

    op-

    rations correspondantes,

    je

    n aurai

    rien fait

    que

    dmontrer

    une pro-

    prit

    de

    figures planes correspondant,

    sous

    certaines conventions;

    certains thormes

    d algbre,

    et

    il

    est

    indubitable

    que

    cette

    pro-

    prit,

    d une

    part,

    ce

    thorme de l autre,

    auraient

    pu

    tre

    obtenus,

    sans

    parler

    d espace

    M

    dimensions,

    ni de rien de semblable,

    et

    peut-tre

    par

    des

    moyens

    plus

    directs

    et

    plus

    simples.

    Ainsi, quelque

    convention

    qui

    soit

    faite,

    nous

    devons

    nous

    garder

    de

    toute

    illusion

    sur

    l impossibilit d imaginer

    un espace

    K

    dimen-

    sions,

    et

    nous

    avons assez vu que

    la

    gomtrie

    ainsi

    dnomme

    n a

    rien

    d imaginaire

    en aucun

    sens.

    Mais ici

    nous

    devoas,

    avant

    tout,

    faire observer qu en

    mathmatiques,

    ce

    terme

    imaginaire

    a une

    signification

    toute

    spciale, parfaitement prcise, dont il

    ne

    devrait,

    en aucun

    cas,

    tre

    permis

    de

    le

    dtourner.

    On sait

    que ce

    terme

    s applique

    aux

    expressionsalgbriques

    dans

    t. M.

    Spottiswoode.

    CoM p

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    6/22

    lesquelles

    entre

    la

    notation

    ~1,

    notation

    qui n a,

    par

    elle-mme,

    aucun sens,

    mais qu on

    est

    convenu

    de traiter dans les calculs

    sui-

    vant

    des rgles

    dtermines

    et

    n impliquant

    pas

    contradiction:

    Examinons quel

    rle

    peuvent

    jouer

    ces

    expressions

    algbriques

    dans

    l applicationde

    l algbre

    la

    gomtrie,

    et

    spcialement

    en

    go-

    mtrie

    analytique.

    Si, dans

    un

    problme

    de

    gomtrie,

    on

    calcule

    une

    quantit

    inconnue, et

    que

    toutes

    rductions faites, elle

    se

    prsente

    sous

    la

    forme

    imaginaire,

    ce

    rsultat

    indique

    que

    cette

    quantit n existe

    pas

    en

    fait,

    et

    que

    c est

    tort

    qu on

    a pu

    faire l hypothse contraire.

    Supposonspar exemple que nous

    ayons,

    en gomtrie analytique

    deux dimensions,

    dterminer

    par

    leurs

    coordonnes

    les deux

    points d intersection de

    deux cercles

    donns dans

    un

    plan.

    Il

    peut

    videmment

    se

    faire

    que

    les

    donnes

    soient

    telles

    que

    les

    deux cercles

    ne se

    coupent

    pas;

    dans

    ce

    cas,

    les coordonnes

    se

    prsenteront

    sous une

    forme

    imaginaire.

    Mais

    convenons,en

    traitant

    dans

    le

    calcul

    ces

    quantits imagi-

    naires

    suivant les rgles

    algbriques,

    de leur

    faire

    subir

    les

    mmes

    oprations

    que

    si elles

    taient

    relles

    et

    que nous

    nous

    proposions

    de

    dterminer l quation

    de

    la

    droite

    passant

    par

    les deux points

    d intersection

    nous

    trouverons

    que

    cette

    quation

    n est

    pas

    com-

    plique d imaginaires.

    Que

    signifie

    un

    pareil rsultat?

    que

    deux

    cercles tant

    donns,

    il

    y a

    toujours

    une

    droite jouiss nt

    par

    rapport

    ces

    deux

    cercles,

    de

    certaines proprits

    1,

    et

    qui,

    d ailleurs,

    si

    les cercles se coupent,

    passe

    par

    les points

    d intersection. Rien de

    plus.

    Mais

    comme

    facilit de langage,

    on

    pourra

    dire

    que

    deux

    cercles

    se

    coupent

    toujours

    en

    deux points rels

    ou

    imaginaires)

    2,

    et

    que

    la droite

    passant

    par

    ces

    deux

    points

    est

    toujours relle

    et

    jouit

    de

    telle

    et

    telle

    proprit.

    Des exemples analogues

    d interprtations

    gomtriques de

    formes

    imaginaires

    peuvent

    se

    rencontrer

    dsles

    dbuts

    de

    la gomtrie

    ana-

    lytique. Il

    y

    avait l

    une

    consquence

    force de

    la

    correspondance

    tablie

    par

    Descartes

    entre

    l algbre

    et

    la gomtrie. Toutefois

    ce

    n est qu .

    une

    poque

    toute

    rcente

    que

    les

    conventionsncessaires

    pour

    systmatiser

    ces

    interprtations,

    ont

    reu

    leur

    entier dve-

    loppement,

    aujourd hui trs-complexe,

    et

    que

    nous

    ne

    pouvons

    exposer.

    Le

    point de dpart de

    ces

    conventionsconsiste,

    comme

    on

    le

    prs-

    1.

    Par

    exemple,

    que

    de

    chaque point de

    cette

    droite,

    on

    mne

    aux

    deux

    cercles

    des

    tangentes

    gales.

    2.

    Dans le

    cas

    de

    tangence,

    le point

    de

    contact

    est

    considr

    comme

    double.

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    7/22

    sent,

    admettre

    pour

    les coordonnes algbriques

    et

    pour

    les

    coffi-

    cients des quations

    la

    forme imaginaire,

    aussi

    bien

    que

    la forme

    relle,

    et

    parler

    ds lors de

    points

    imaginaires,

    de droites

    imagi-

    naires

    etc.

    C est uniquement

    aux

    thories

    reposant

    sur ces

    conventions

    que

    l on

    devrait,

    mon sens,

    rserver le

    nom

    de

    gomtrie

    imagi-

    naire.

    C est

    bien de

    gomtrie

    qu il s agit ici,

    et

    le

    but

    final

    est,

    bien

    en-

    tendu, d arriver

    tablir des thormes

    ou

    rsoudre des

    pro-

    blmes

    sur

    des

    figures

    relles. Les dmonstrations

    y

    sont

    souvent

    trs-brves, mais

    elles

    restent

    malheureusement incomprhensibles

    pour

    qui

    n est

    pas initi

    la

    vritable

    signification du

    langage

    con-

    ventionnel

    qu on

    y

    emploie.

    En

    tout

    cas,

    il n y

    a

    j m s

    l

    au

    fond,

    sous un

    dguisement plus

    ou

    moins pntrable,

    que

    de

    l algbre

    applique

    la

    gomtrie.

    Grce

    aux

    conventions

    qui

    ont

    t

    faites

    pour

    le

    langage,

    on

    vite d crire

    certaines

    quations

    et

    d oprer

    sur

    elles

    les

    dductions

    ncessaires

    au

    raisonnement. Mais,

    en

    fait,

    il

    y

    a

    toujours

    des

    relations

    entre

    quantits relles,

    qu on doit

    supposer

    tout

    d abord

    avoir t

    transcrites

    sous

    formes

    algbriques

    avec

    l em-

    ploi du

    signe

    \t,

    puis

    retraduites

    dans

    le

    langage

    conventionnel

    de la

    gomtrie

    imaginaire.

    Ce

    n est

    donc qu un artifice

    logique

    plus

    ou

    moins

    curieux;

    il

    n y

    a

    rien qui

    puisse,

    en

    ralit, intresser

    le

    mtaphysicien

    spculant

    sur

    la

    notion

    d espace.

    Mais

    avant

    d aborder

    un

    nouvel

    ordre

    d ides, il

    est

    indispensable

    que nous

    prcisions

    le

    rle

    des

    quantits

    imaginaires

    en

    algbre.

    Nous

    le ferons

    en

    exposant

    le

    principe

    de la

    reprsentation

    gom-

    trique

    des

    quantits

    imaginaires,

    principe

    essentiellement

    diffrent

    des

    conventions

    dont

    nous

    venons

    de

    parler. Ici

    ce

    n est

    plus

    une

    application

    de

    l algbre

    la

    gomtrie

    ce

    serait plutt

    l inverse.

    C est

    l emploi de

    schmas

    gomtriques spciaux

    comme

    support

    de

    raisonnements

    intuitifs

    sur

    des

    relations

    purement

    abstraites.

    Reprenons

    la

    conception

    fondamentale de Descartes;

    soit

    deux

    quantits,

    fonction

    l une

    de

    l autre,

    c est--dire telles

    que

    chacune

    d elles

    a,

    pour

    chaque

    valeur

    dtermine de

    l autre,

    une

    ou

    plu-

    sieurs

    valeurs

    galement

    dtermines.

    Nous

    pouvons

    nous

    reprsenter

    les

    variations

    d une

    quantit

    quel-

    conque

    par

    les

    changements

    de

    position d un

    point

    sur

    une

    droite

    indfinie

    partir

    d une

    origine

    fixe

    sur

    cette

    droite;

    en

    d autres

    termes,

    la

    longueur d une droite dtermine est pour nous

    le

    schma

    d une

    quantit

    dtermine

    quelconque.

    Si,

    de

    nos

    quantits U,

    V,

    fonctions

    l une

    de

    l autre,

    nous

    reprsentonsde la

    sorte

    la

    premire

    par

    une

    longueur

    abscisse)

    x

    porte

    sur une

    droite

    fixe

    ou

    axe

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    8/22

    partir

    d un

    point

    origine,

    et

    la

    secondepar

    une

    longueur

    (ordonne)

    y

    porte

    sur

    la

    perpendiculaire

    l axe

    l extrmit

    variable de

    l abscisse,

    nous

    obtiendronsainsi,

    aux

    extrmits

    des

    ordonnes,

    en

    supposant

    que

    U

    par

    exemple

    passe

    successivement

    et

    continment

    par

    toutes

    les

    valeurs

    possibles,

    une

    ligne gnralement courbe

    qui

    sera

    pour

    nous

    la

    reprsentation figure de la

    fonction qui lie U

    et

    V.

    Ce

    procd

    est

    bien

    connu

    et

    nous

    n avons

    pas

    pour

    le

    moment

    insister

    sur

    les

    avantages

    qu il

    offre

    en

    certains

    cas

    pour

    l tude

    des

    proprits

    purement

    abstraites

    des

    fonctions.

    Nous

    avons

    dit

    que

    le dplacement

    d un

    point

    sur

    une

    droite

    re-

    prsente

    la

    variation d une quantit. De mme

    le dplacement d un

    point de toutes manires possibles

    sur

    un plan, figurera

    la

    double

    variation

    de

    l abscisse

    x

    et

    de l ordonne

    y,

    considres ici

    comme

    indpendantes

    l une

    de

    l autre. Pour utiliser

    ce

    schma,

    nous con-

    viendrons,

    avec

    Argand

    s,

    d assigner

    le

    point d abscisse

    x

    et

    d or-

    donne

    y

    l expression imaginaire

    x

    -)-

    y

    I.

    Reprenons

    nos

    fonctions U, V. Posons

    U ==

    x

    -{-

    y

    l. D aprs

    la

    relation

    entre

    IJ

    et

    V,

    et

    les

    rgles de

    calcul

    convenues ou

    ta-

    blies,

    V

    se

    prsentera

    sous

    une

    forme telle

    que

    X

    -j-.Y

    ~l.

    Que

    faisons-nous

    en

    ralit? Nous

    ne

    considronsplus

    les

    quan-

    titsU

    et

    V,

    mais deux

    groupes

    binaires

    (x,

    y).

    (X,

    Y)

    lis

    entre

    eux

    par

    des

    relations

    telles

    que

    si

    x

    et

    y

    sont

    tous

    deux

    dtermins,

    X

    et

    Y

    le

    sont

    galement

    tous

    les

    deux

    et

    rciproquement.

    Mais

    nous

    d-

    nommons

    cette

    double

    relation

    sous

    le mme

    nom que

    la relation

    unique

    qui lie

    U

    et

    V;

    ce

    que nous pouvons

    faire,

    parce que,

    grce

    aux

    conventions

    faites

    pour

    le

    calcul, si

    nous supposons

    y

    nul,

    les

    deux

    groupes se

    rduisent

    respectivement

    U

    et

    V.

    Voil,

    au

    point de

    vue

    logique,

    tout le

    secret

    de

    l emploi

    des

    quan-

    tits

    imaginaires

    en

    algbre.

    Gomtriquement,

    les variations

    correspondantes

    ds

    quantits

    U

    et

    V

    ou

    des

    groupes

    (x,

    y), (X, Y),

    se

    reprsenteront

    par

    les d-

    pt ements orrespond nts

    sur

    le pl n

    des

    points

    de oordonnes

    (x,

    y),

    et

    (X,

    Y)

    si

    l un

    de

    ces

    points

    dcrit

    une

    certaine

    courbe d-

    termine, l autre

    dcrira de

    mme

    une

    autre

    courbe

    dtermine.

    Nous

    nous

    contenterons

    d ajouter

    que

    cette

    reprsentation,

    em-

    ploye

    par

    Cauchy,

    etc.,

    a

    permis l invention

    ou

    la

    dmonstration

    1.

    Pour

    simplifier

    l expos, ici

    comme

    dans

    ce

    qui

    suivra,

    nous ne.

    consid-rons qu une

    seule des

    diverses

    valeurs

    que

    peut prendre

    une

    fonction,

    dans

    le

    cas

    gnral,

    pour

    une

    valeur

    dtermine

    de

    la

    variable.

    2.

    Essai

    sur

    une

    manire de

    t epreseKte~

    les quantits

    imaginaires

    dans

    les

    constructions gomtriques,

    par

    R.

    Argand.

    2

    d.,

    avec

    prface

    de

    M. J. Hoel,

    Paris,

    Gauthier-Villars,

    1874..

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    9/22

    de

    thormes

    de

    pure

    algbre

    de la

    plus

    grande

    gnralit

    et

    de la

    plus

    haute

    importance.

    Nous

    nous

    proposions

    uniquement

    de faire

    sentir

    comment

    quand

    on

    parle

    de

    quantits

    imaginaires il

    n y

    a

    jamais l

    une

    sorte

    de

    non-tre

    soumis

    au

    calcul

    mais

    seulement

    des

    quantits bien

    relles

    entre

    lesquelles

    on

    a

    tabli

    une

    relation

    logique artificielle.

    La

    gomtrie

    de

    Lobatchewsky

    1

    diffre

    essentiellement

    de

    toutes

    les

    thories dont

    nous avons

    parl

    jusqu

    prsent.

    Son

    objet

    est

    de

    reconstituer

    entirement

    la

    science

    de l espace

    aprs

    avoir

    rejet

    la clbre

    proposition

    gnralement

    connue en

    France

    sous

    le

    nom

    de

    postulatum

    d Euclide

    et

    y

    avoir

    substitu

    une

    hypothse qui

    comprend

    celle

    d Euclide

    comme cas

    singulier.

    Soit

    une

    droite

    BC

    en

    un

    point

    D

    de laquelle j lve

    la

    perpendi-

    culaire

    DA

    de

    longueur

    dtermine

    a;

    par

    A

    je

    mne

    la

    perpendicu-

    laire EAF

    DA

    dans

    le plan

    ABDC; Euclide dmontre

    que

    EF

    ne

    rencontre

    pas

    BC il

    admet

    que

    c est

    la

    seule

    droite

    mene

    par

    A

    qui

    soit dans

    ce

    cas

    et

    on

    l appelle d aprs lui

    parallle

    BC.

    Lobatchewsky

    admet

    au

    contraire

    que par

    le point

    A

    on

    peut

    mener

    outre

    EF

    une

    infinit de droites du

    plan

    qui

    ne

    rencontrent

    pas

    BC;

    toutes

    ces

    droites

    sont

    comprises dans

    les

    angles

    aigus

    forms

    pour

    deux droites

    GH

    IK

    symtriques

    par

    rapport

    EF.

    La

    droite

    GH

    spare

    les

    droites

    qui

    rencontrent

    BC

    du

    ct

    de

    C

    de

    celles qui

    ne

    la

    rencontrent

    pas

    la

    droite

    KI

    spare les

    droites

    qui

    rencontrent

    BC

    du cot

    B

    de

    celles

    qui

    ne

    la

    rencontrent

    pas.

    Lobatchewsky appelle parallles

    BC

    ces

    deux

    droites

    limites

    GH

    IK.

    1..hi~M

    gomtriques

    SM~

    la

    thorie des

    parallles

    par

    N.

    J.

    Lobatchewsky

    traduit

    par

    J.

    Hoel

    suivi d un

    extrait

    de

    la

    correspondance

    de

    Gauss

    et

    de

    Schumacher. Paris.

    Ganthier-Villars 1866.

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    10/22

    Ainsi,

    par

    chaque

    point d'un

    plan,

    on

    peut

    mener

    toute

    droite

    de

    ce

    plan deux

    parallles,

    une pour

    chaque

    ct de

    la

    droite

    la

    position de chaque

    parallle

    sera

    dtermine

    par

    l'angle

    plus

    petit

    qu'un

    droit

    qu'elle fait

    avec

    la

    perpendiculaire

    abaisse du

    point

    donn

    sur

    la

    droite

    donne.

    Cet

    angle GAD, appel

    angle

    d

    paral-

    llisme, dpend de la

    distance

    AD

    ou

    a.

    Il tend

    vers

    l'angle droit

    lorsque

    a

    tend

    vers

    zro, il

    tend

    vers

    zro

    quand

    a

    augmente

    indfiniment.

    Voil le point

    de

    dpart

    de

    cette

    nouvelle

    gomtrie.

    Remarquons

    tout

    d'abord

    que

    les

    inventeurs

    n'ont nullement t

    pousss

    par

    des

    considrations

    philosophiques.Leur

    uvre

    est

    purement

    math-

    matique il

    s'agissait

    de

    combler une lacune dans la chane

    des

    rai-

    sonnements

    qui

    constitue

    la

    gomtrie.

    Il

    est

    impossible

    de

    restituer

    aujourd'hui, telle

    qu'Euclide

    a pu

    l'crire, la partie

    des lments

    qui prcde

    sa

    premire proposition.

    Dans

    les meilleurs

    manuscrits,

    on

    trouve

    d'abord

    1

    Trente-cinq

    dfinitions, (pot),

    dont les

    unes

    sont

    nominales,

    les

    autres

    relles Ces dernires

    ne

    servent

    pas

    comme

    prmisses

    dans les

    thormes,

    mais dterminent

    simplement

    l'intuition

    gom-

    trique,

    affirmant

    sans

    dduction. Si

    l'on

    voulait

    supprimer absolu-

    ment

    cette

    intuition

    et

    rduire

    la

    gomtrie

    une

    dduction

    pure-

    ment

    abstraite, il

    faudrait

    substituer

    ces

    dfinitions

    ou

    leur

    adjoindre

    des

    affirmations synthtiques,

    poses

    priori;

    indmon-

    trables,

    qu'Euclide

    et

    certainement,

    avec son

    matre Platon

    2,

    qua-

    lifies

    d'hypothses.

    2~

    Viennent

    en

    second lieu

    trois

    T~.o~,

    postulata.

    Ce

    dernier

    mot

    n'a

    pas

    prcisment le

    sens

    qu'on lui donne aujourd'hui.

    Il

    s'agit des

    trois

    constructions lmentaires

    desquelles dpendent

    toutes

    celles

    qu'on apprend

    faire dans

    la gomtrie d'Euclide.

    3

    Enfin

    douze notions

    communes

    (xo;~

    6'woKK),

    dont

    les

    sept

    pr*

    miressont

    des propositions applicables

    la grandeur

    abstraite,

    les

    deux

    suivantes

    sont

    ou

    reviennent

    des

    dfinitions

    nominales

    les

    trois

    dernires

    ont

    t,

    probablement

    longtemps

    aprsEuclide,

    tires

    du

    corps

    des lments,

    o

    on

    a

    remarqu

    qu'elles

    figuraient

    comme

    prmisses

    non

    dmontres. Le

    n

    X

    Tous les angles

    droits

    sont

    gaux

    entre

    eux,

    est

    un

    thorme parfaitement

    dmontrable,

    qui

    1.

    Nominales,

    comme

    celles du

    rhombe

    (losange)

    et

    du

    trapze

    relles

    comme

    celles de la ligne

    et

    du

    plan.

    Ce

    langage

    n'est

    pas

    parfaitement

    rigou-

    reux.

    Voir

    Des

    dfinitions gomtriqueset

    des

    dfinitionsempiriqttes,

    par

    Louis

    Liard.

    Paris.

    Ladrange,

    1873.

    Un bon nombre

    de

    ces

    diverses

    dfinitions

    ne

    sont

    certainement

    pas

    d'Eu*.

    clide.

    2.

    Rpublique

    de

    Platon, livre

    VI,

    la fin.

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    11/22

    tait

    peu

    prs inutile

    avec

    la marche d Euclide.Le

    n

    XII

    Deux

    droites

    ne

    peuvent

    limiter

    aucun

    espace,

    est

    au

    contraire

    absolu-

    ment

    indmontrable. Cette

    proposition

    est

    d ailleurs implicitement

    suppose

    d ns

    les

    dfinitions.

    Enfin le

    n

    XI

    est

    le

    fameux postula-

    tum

    des

    parallles.

    L habitude s est

    introduite depuis de

    dsigner

    sous

    le

    nom

    d axiomes

    les

    propositions

    primordiales de

    la gomtrie.

    Je

    rpte

    que,

    selon

    toute

    probabilit,

    le

    terme

    d hypothses

    et

    t

    ju

    plus convenable

    par

    Euclide.

    Quoi qu il

    en

    soit, il

    est

    remarquable que

    le

    rejet

    d un

    quelconque

    des axiomes, implicitement

    ou

    explicitement

    admis

    par

    Euclide,

    en

    dehors

    de l axiome XI

    (postulatum),

    arrterait

    ds le

    dbut

    la

    chane

    des propositions

    dmontres. Vingt-huit,

    au

    contraire,

    se

    suivent

    en

    toute

    rigueur,

    avant

    qu il soit besoin d invoquer

    cette

    affirmation

    spciale.

    Il tait donc

    permis de

    supposer que

    la dmonstration

    en

    tait

    possible,

    et

    la question restait

    pendante depuis

    l antiquit.

    Mais

    tout

    effort

    tait

    rest

    infructueux.

    La

    presque

    impossibilit d viter

    un

    cercle vicieux

    dans le raisonnement

    tait

    bien

    constate.

    Une

    seule

    voie

    restait

    ouverte

    au

    gomtre

    assez

    hardi

    pour

    l entreprendre.

    H

    s agissait

    de

    supposer que

    la proposition

    dmontrer n tait

    pas

    vraie

    et

    de

    pousser

    la nouvelle

    hypothse

    jusqu

    ses

    dernires

    con-

    squences, fallt-il

    refaire

    toute

    la

    gomtrie.

    Si

    la proposition

    tait dmontrable,

    c est--dire,

    pouvait

    tre

    ra-

    mene

    aux

    autres

    axiomes

    admis,

    on

    devait,

    en

    suivant

    cette

    voie,

    arriver

    une

    contradiction

    dans

    le

    cas

    contraire,

    il fallait

    avouer

    qu elle

    n tait

    pas

    dmontrable.

    C est

    ce

    dernier

    cas

    qui

    s est

    ralis

    le chemin

    complet avait

    d ailleurs

    t

    parcouru

    par Gauss ds 1792,

    mais il

    n a

    pas

    publi

    ses

    travaux

    ce

    fut

    sur

    des

    terres

    plus

    neuves,

    plus

    affranchies

    de

    la

    routine,

    que

    le

    germe

    de la

    pense

    du

    matre alla

    porter

    ses

    fruits.

    Enl832,WoIfgangBolyai,

    ancien

    camarade

    de Gauss

    Gttin-

    gue,

    professeur

    Maros-Vasarhely

    (Transylvanie),

    publiait dans

    un

    de

    ses

    traits,

    un

    mmoire

    o

    son

    fils,

    Johann

    Bolyai

    exposait

    dans

    tous

    ses

    dveloppements

    ncessaires

    ce

    que

    Gauss

    nommait la

    gomtrie

    non-euclidienne.

    Ds

    1829, Lobatchewsky(n

    en

    1793,

    mort

    en

    1856),

    professeur

    l universit

    de Kazan 2,

    o

    il

    avait fait

    ses

    tudes

    sous

    des

    matres

    1.

    La scieMce

    absolue

    de

    l espace,

    etc.,

    par

    Jean

    Bolyai

    (traduit

    par

    J.

    Houet).

    Paris, Gauthier-Villars,

    1868.

    2.

    Notice historique

    sur

    la vie

    et

    les

    travaux

    de

    Nicolas Ivanovitch

    Lobat-

    chewski,

    traduit du

    russe par

    S. Potocki,

    dans

    le Bulletino

    di

    biblioqrafia

    et

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    12/22

    allemands,

    notamment

    Bartels,

    ami

    de

    Gauss,

    avait

    commenc

    publier

    des

    essais

    sur

    les fondementsde la

    gomtrie. Sa Gomtrie

    imaginaire

    parut

    dans

    les

    mmoires

    de l universit

    de

    Kazan de

    1835

    1838.

    Par

    une

    mthode diffrant notablement de

    celle de

    Bolyai, il

    arrivait

    aux

    mmesrsultats.

    Le

    nom

    donn

    par

    Gauss

    la nouvelle

    thorie

    non-euclidienne

    est

    le plus clair

    mais il

    faut bien

    l entendre

    dans

    ce

    sens,

    que

    la

    gomtrie

    est

    refaite

    en

    substituant

    au

    postulatum

    d Euclide,

    un

    postulatumdiffrent

    plus gnral, qui comprend le

    premier

    comme

    cas

    singulier.

    Bolyai dit

    scientiam

    spatii

    absolute

    ~e)*o:M

    B

    emploi

    impropre

    d un

    terme

    mtaphysique. Le

    terme

    de gomtrie imagi-

    naire

    de

    Lobatchewsky est encore plus

    malheureux;

    si

    en

    effet,

    comme

    nous

    le

    verrons,

    l emploi

    du

    symbole

    i

    prsente

    cer-

    tains

    avantages

    dans les

    calculs

    de

    la

    nouvelle

    gomtrie,

    ce

    n est

    qu un

    accident,

    ce

    n est

    nullement

    le

    caractre

    fondamental de la

    thorie,

    qui

    n a

    mme,

    en

    ralit,

    nul

    besoin

    de

    ce

    symbole.

    Lobat-

    chewsky

    lui-mme

    renona

    finalement

    cette

    pithte

    malencon-

    treuse

    son

    dernier

    ouvrage

    est

    intitul :.Po N~otKet) M~.

    Depuis

    les

    travaux

    rcents,

    -on

    appelle

    sa

    gomtrie

    hyperbolique.

    Je

    ne

    parle

    pas

    du

    terme

    de

    gomtrie

    astrale,

    invent

    par

    Schweikart.

    Nous

    verrons

    ultrieurement

    quelles

    ides

    correspondent

    ces

    diS-

    rents

    termes.

    Nous

    n avons

    pas

    exposer

    ici

    l ordre

    des

    dductions

    de

    Lobat-

    chewsky

    ni de

    Bolyai, mais

    seulement

    les

    consquences

    les

    plus

    caractristiques de

    leur

    hypothse,

    afin

    de

    permettre

    d tablir

    une

    discussion

    mtaphysique

    sur

    un

    terrain

    suffisammentdblay.

    Pour

    plus

    de

    facilit de

    langage,

    nous

    dsignerons

    avec

    Bolyai

    par

    systme

    S

    le

    systme

    de la

    gomtrie

    euclidienne,

    par

    systme

    S;

    celui

    de

    la nouvellegomtrie.

    La gomtrie de la sphre,

    c est--dire

    celle

    des

    figures

    traces

    sur

    la

    surfacede

    la

    sphre

    avec

    des

    arcs

    de grandscercles,

    est

    iden-

    tique

    dans

    les

    deux systmes.

    Supposons

    une

    droite

    en

    un

    point de

    laquelle soit

    un

    cercle

    tan-

    gent

    que

    le

    centre

    du

    cercle

    s loigne

    de

    plus

    en

    plus

    indfiniment,

    le

    point de

    contact restant

    le

    mme, la circonfrence

    du

    cercl

    (systme

    1)

    se

    rapproche

    de plus

    en

    plus

    de la

    droite

    la droite

    est

    la

    limite de

    cette

    circonfrence,

    ce

    qu on exprime aussi

    parfois

    en

    disant

    qu elle

    est

    une

    circonfrence

    de

    rayon

    infini.

    di storia delle

    scienze

    inatematiche

    e

    fisiche

    (Tome

    U, mai

    1869)

    du

    prinee

    Boncompagni.

    1..Pa~sfOMMirte

    ou

    prcis

    de

    gomttie

    fonde

    sur

    une

    thorie

    gnr l

    et

    W

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    13/22

    Dans le systme

    S,

    la

    circonfrence tend

    non

    pas vers

    la droite,

    mais

    vers une

    courbe limite

    (horicycle~,

    distincte

    de la

    droite

    et

    lui

    restant,

    bien entendu,

    tangente.

    Les

    perpendiculaires

    au

    milieu

    des

    cercles de

    cette

    courbe,

    au

    lieu de

    se

    rencontrer,

    comme

    dans

    le

    cercle,

    en un

    mme point,

    sont

    parallles.

    Systme

    2.

    Il

    n y

    a que

    deux lignes uniformes,

    c est--dire

    telles

    qu une partie

    quelconque

    puisse parcourir

    la ligne

    tout

    entire

    sans

    dformation

    ce

    sont

    la

    ligne

    droite

    et

    le

    cercle.

    Systme

    S.

    Il

    y a

    quatre

    espces

    de lignes

    uniformes

    la

    ligne

    droite,

    le

    cercle,

    l horicycle; enfin

    une

    quelconque

    des

    courbes

    en

    nombre

    infini,

    qu on

    peut

    mener, avec

    cette

    condition

    d uniformit,

    entre

    la

    droite

    et

    l horicyele,

    tangentes

    au

    point

    de

    contact.

    Bolyai

    les

    appelle

    courbes parallles

    une

    droite. Si

    par

    tous

    les

    points

    d une

    droite,

    on

    lve du mme ct des

    perpendiculaires

    toutes

    gales

    entre

    elles,

    le lieu des extrmits de

    ces

    perpendiculaires

    est

    une

    telle

    courbe.

    (Dans

    le systme

    S,

    ce

    serait

    une

    droite

    parallle

    la

    premire).

    Les

    perpendiculaires

    leves

    au

    milieu

    des cordes de

    cette

    courbe

    (que

    nous

    nous

    figurons

    sous

    le schma

    d un

    cercle de

    trs-grand

    rayon

    du

    systme

    2)

    ne

    se

    rencontrent

    pas.

    Imaginons

    qu on

    fasse

    tourner toute

    la figure

    de

    la droite

    et

    du

    cercle

    tangent

    autour

    du

    rayon

    perpendiculaire

    la droite. Celle-ci

    engendre

    un

    plan,

    le

    cercle

    une

    sphre

    tangente;

    l horicycle

    en-

    gendre

    la

    surface

    appele

    horisphre,

    limite

    d une

    surface sphrique

    dont

    le

    centre

    s loigne

    indfiniment

    les courbes parallles

    a des

    droites

    engendreront

    de

    mme des surfaces

    de

    rvolution tangentes

    au

    plan.

    Systme

    2.

    Il n y

    a

    dans

    l espace

    que

    deux

    surfaces uniformes,

    c est--diredont

    un

    lment

    quelconque

    puisse

    se

    mouvoir

    sur

    toute

    la surface de

    toutes

    les

    manires possibles

    et

    sans aucune

    dforma-

    tion.

    Ce

    sont

    le

    plan

    et

    la

    sphre.

    SystmeS. Il

    y a

    quatre

    surfaces

    uniformes

    le plan,

    la

    sphre,

    l horisphre

    et

    les

    surfaces

    courbes parallles

    des

    plans.

    Toute

    proprit

    tablie

    dans le

    systme S

    entre

    droites

    sur

    un

    plan

    est

    vraie

    dans

    le systme

    S,

    entre

    horicycles

    sur une

    horisphre.

    Les

    relations

    mtriques

    les

    plus ordinaires

    sur

    le

    plan dans

    le

    systme 2

    ne

    sont

    pas

    conserves dans le

    systme S.

    En

    particulier

    rien

    de

    ce

    qui

    se

    rapporte

    la

    similitudedes figures

    ne

    subsiste.

    L angle de

    paralllisme

    G A D

    =

    M,

    pour

    la

    distance

    a

    est

    dfini

    dans

    le

    systme

    S

    par

    la

    relation

    q

    Tan?.

    M

    ==

    a

    a

    A;

    e

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    14/22

    dans

    laquelle

    la

    tangente

    de l angle

    u

    est

    le

    nombre

    dont

    on

    trouve

    le

    logarithme dans les

    Tables,

    e

    =

    2,71828 8.

    est

    la base

    du

    sys-

    tme

    de

    logarithmes

    npriens,

    k

    est

    un

    paramtre,

    une

    constante

    qui

    ne

    peut

    tre

    dtermine

    que

    par

    l exprience.

    Celle-ci

    nous

    apprend

    que ce

    paramtre

    est

    extrmement grand

    par

    rapport

    a.

    tout

    ce

    qui

    est

    mesurable

    pour nous.

    Si,

    dans

    les

    formules

    de

    la

    gomtrie de la sphre

    du

    systme

    S,

    o

    l on

    fait

    entrer

    la

    valeur

    du

    rayon,

    et

    qui diffrent

    ds

    lors

    de

    celles du

    systme

    S,

    on

    donne

    ce rayon

    la

    valeur imaginaire

    ~~1,

    on

    retrouve

    toutes

    les

    formulesde la

    planimtrie

    du sys-

    tme

    S.

    A

    ce

    point de

    vue,

    on

    a pu

    dire,

    en

    employant

    un

    langage

    qui

    est,

    proprement parler,

    celui de

    la gomtrieimaginaire,que

    le

    plan

    du systme

    S

    est

    une

    sphre

    imaginaire de

    rayon

    k

    ~i

    du

    systme

    S.

    Mais

    si

    curieux

    que

    soit

    ce

    rapprochement,

    nous

    avons

    suffisamment

    insist

    sur

    la

    notion

    des

    imaginaires,

    pour

    qu on

    sache

    qu il

    n y

    a-

    l

    rien

    autre

    chose

    qu une relation

    purement

    analytique.

    On

    peut

    d ailleurs

    viter

    l emploi des imaginaires

    par

    celui des

    lignes

    trigonomtriques

    hyperboliques t, qui

    se

    substituent

    dans

    les for-

    mules

    aux

    lignes

    trigonomtriques

    ordinaires des

    arcs

    de

    grand

    cercle traces

    sur

    la

    sphre. Il

    n y

    a

    qu

    supposer

    les longueurs

    rapportes

    au

    paramtre

    k,

    au

    lieu

    de les

    supposer

    rapportes

    au.

    rayon

    de

    la sphre

    pris

    comme

    unitainsi

    qu on le fait gnralement

    dans

    la

    trigonomtrie

    sphrique.

    Nous

    remettons

    une

    tude

    ultrieure

    l examen des

    dveloppe-

    ments

    qu a subis depuis

    vingt-cinq

    ans

    la

    thorie

    de Lobatchewsky,

    parles

    travaux

    de

    Riemann Beltrami

    3,

    Klein. Dans

    une matire

    de

    cette

    nature,

    on

    nous

    accordera

    qu il

    est

    prfrable de

    ne

    faire

    m r her

    l analyse

    que pas

    pas.

    III

    L accueil fait

    par

    les

    gomtres

    aux

    nouvelles

    thories n a

    pas

    toujours

    t

    trs-empress;

    celui des

    philosophes capables

    de

    juger

    la

    question

    a

    t

    nettement

    hostile.

    1. D o

    le

    terme

    de ~eotMetrte

    hyperbolique.Klein.

    2.

    Sur

    les

    hypothses

    qui

    set MK