Géométrie Affine

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    1/68

    Universit Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

    Gomtrie affineJean-Marc Decauwert

    La gomtrie affine est ltude des proprits gomtriques qui sont conserves partoute transformation affine, comme lalignement, le paralllisme, les milieux, et plusgnralement les rapports de mesures algbriques pour des points aligns. Le cadrenaturel en est un espace affine, gnralisation en dimension quelconque du plan et delespace que vous avez dj tudis. Ses lments sont des points et un espace vectoriellui est attach, qui permet dassocier tout couple de points un vecteur. La notion debarycentre, issue de la mcanique, y joue un rle essentiel, analogue celui que jouela notion de combinaison linaire dans un espace vectoriel. Nous tudierons ensuiteles applications affines : ce sont celles qui conservent les barycentres. Leur importancevient de ce que la quasi-totalit des transformations gomtriques que vous avez purencontrer, en particulier les isomtries et plus gnralement les similitudes, sont affines.Mais ltude des notions spcifiquement euclidiennes, comme celles de distances etdangles, sera aborde dans un autre chapitre.

    Table des matires

    1 Cours 21.1 Espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Reprage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Le groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Homothties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9 Projections, symtries, affinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2 Entranement 352.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.3 QCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Corrig du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3 Complments 583.1 Notations de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Courbes de Bzier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    8 novembre 2011

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    2/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    3.3 Perspective centrale et gomtrie projective. . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Desargues dans le plan et dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6 La formule dEuler pour les polydres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.7 Le thorme fondamental de la gomtrie affine . . . . . . . . . . . . . 67

    1

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    3/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    1 Cours

    1.1 Espace affine

    Une fois quon a choisi un repre, le plan sidentifie R2 (resp. lespace R3),autrement dit un espace vectoriel de dimension 2 (resp. 3) sur Rmuni dune baseparticulire (la base canonique de R2 ou R3). On pourrait donc se contenter de faire de lagomtrie dans R2 ou dans R3. Mais cette identification repose sur le choix dun repreet il est souvent plus agrable et plus clair de raisonner de manire intrinsque. De plus,se fixer un repre une fois pour toutes nest souvent pas la meilleure solution : il estprfrable, mme quand on calcule en coordonnes, davoir la libert de choisir un reprebien adapt au problme pos. De fait, le cadre naturel pour faire de la gomtrie seraitun espace homogne, dont tous les points jouent le mme rle, ce qui nest pas le casdans un espace vectoriel, o le vecteur nul joue un rle particulier et tient naturellementlieu dorigine. Moralement, un espace affine nest rien dautre que cela : un espace

    vectoriel dont on a oubli o se trouve lorigine. Cette dfinition est naturellementbeaucoup trop vague pour tre utilisable telle quelle. Nous allons commencer par luidonner un sens prcis. Nous verrons alors que tout espace vectoriel est naturellementmuni dune structure despace affine et que, inversement, tout espace affine sidentifie un espace vectoriel ds quon y choisit une origine (mais cette identification dpenddu choix de lorigine). Mathmatiquement, la dfinition est la suivante :

    Dfinition 1. SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. Unespace affine de direction

    Eest un ensemble non videEmuni dune application(M, N)

    MNdeEEdans

    Evrifiant :

    1. pour tout triplet(M,N ,P) de points deE :

    MN+

    NP =

    MP (relation de Chasles) ;

    2. pour tout pointO deE, lapplicationM OM deE dans

    Eest bijective.

    Les lments deE sappellent despoints, ceux deE desvecteurs.

    On appelledimension de lespace affineE la dimension de lespace vectorielE.

    Dans le cadre de la gomtrie lmentaire usuelle, le corps de base est toujours lecorps Rdes nombres rels. On supposera donc toujours dans ce qui suit que K = R(cette hypothse sera mme indispensable ds quon abordera les notions de convexit),mais la plupart des rsultats restent vrais si Kest le corps des nombres complexes oumme un corps fini.

    Exemple fondamental. Tout espace vectoriel

    Eest muni dune structure naturelledespace affine sur lui-mme.

    Il suffit de prendre dans la dfinition E=Eet de dfinir lapplication de E E

    dansE par (u, v) v u.

    2

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    4/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Plus gnralement, limageF + v= { u + v| u

    F}dun sous-espace vectoriel

    F

    dun espace vectorielEpar une translation de vecteur v

    Eest un espace affine de

    directionF. Il suffit ici aussi de considrer lapplication (u1+ v, u2+ v) u2 u1.

    Rciproquement, le choix dune origine permet de munir un espace affine dunestructure despace vectoriel : si O est lorigine, il suffit didentifier un point M de Eet le vecteur

    OM. Maisattention: cette structure dpend du choix de lorigine; on ne

    peut dfinir la somme de deux points dun espace affine sans se rfrer explicitement une origine, cest pourquoi on nadditionnera jamais des points.

    Figure1 Laddition dpend de lorigine.

    Exemples en algbre et en analyse

    La structure despace affine ne se rencontre pas quen gomtrie : elle intervient

    de manire naturelle dans tous les problmes linaires. Lensemble des solutions dunsytme linaire avec second membre en constitue lexemple type : ce nest pas un es-pace vectoriel, mais cest un espace affine de direction lespace vectoriel des solutionsdu systme homogne associ. De mme lensemble des solutions dune quation diff-rentielle linaire avec second membre constitue un espace affine de direction lespacevectoriel des solutions du systme homogne associ, lensemble des suites vrifiant unerelation de rcurrence du type un+1 =aun+b constitue un espace affine de directionlespace vectoriel des suites vrifiant la relation de rcurrence un+1 = aun, lensembledes fonctionsfdune variable relle vrifiantf(0) = 1est un espace affine de directionlespace vectoriel des fonctions nulles en 0.

    Ce dernier exemple est un espace affine de dimension infinie. Nous ne nous intres-serons ici qu des espaces affines de dimension finie(principalement 2 ou 3). Danstoute la suite de ce chapitre, espace affine signifiera donc toujours espaceaffine de dimension finie.

    Dfinition 2. On appelledroite (resp.plan)affine tout espace affine de dimension 1(resp. 2).

    3

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    5/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    On emploiera parfois le terme espace (sans autre qualificatif) pour dsigner unespace affine de dimension 3, comme dans lexpression gomtrie dans lespace.

    Consquences immdiates de la dfinition

    Proposition 1. Pour tous pointsM, N, O deE, on a :1.

    MN= 0 si et seulement siM=N;

    2. NM=

    MN;

    3. MN=

    ON

    OM.

    Dmonstration : 1) En faisant N = M dans la relation de Chasles, on voit queMM+

    MP =

    MPpour tout point P, do

    MM =0. Rciproquement, si

    MN =0,

    il rsulte de la relationMN =

    MMet de linjectivit de lapplication N

    MNque

    N=M.2) En faisant P =Mdans la relation de Chasles, on obtient

    MN+

    N M=

    MM= 0

    doNM=

    MN.

    3) Par la relation de Chasles et la proprit prcdente

    MN=

    MO+

    ON=

    ON

    OM .

    Translations

    Soit Eun espace affine de direction E. Pour tout point M de E, lapplicationN

    MNest une bijection de Esur

    E. Pour tout vecteur ude

    E, il existe donc un

    point Nde Eet un seul tel queMN=u.

    Notation 1. Pour tout pointM deEet tout vecteuru deE, on noteM+ u lunique

    pointN deEvrifiantMN=u.

    Avec cette notation, la relation de Chasles scrit sous la forme suivante : pour toutpoint Met tout couple (u, v)de vecteurs, on a :

    (M+ u) + v= M+ (u + v).

    En effet, en posant N = M +u et P = N +v, on a MN = u, NP = v etMP =

    MN+

    NP =u + v.

    Dfinition 3. SoitEun espace affine de directionE. Pour tout vecteuru de

    E, on

    appelle translation de vecteuru, et on note tu, lapplication de E dans E qui toutpointMassocie le pointM+ u.

    4

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    6/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Proposition 2. LensembleTdes translations dun espace affineEest un sous-groupedu groupe des permutations deEet lapplicationutuest un isomorphisme du groupe

    additif deE surT.

    Dmonstration: La translation de vecteur nul est lidentit, qui appartient donc T.La relation de Chasles implique, comme on la vu

    tv tu = tu+v pour tout couple(u, v)de vecteurs. ()

    La compose de deux translations est donc une translation, et toute translation tuadmet une application rciproque, qui est la translation tu. Il en rsulte que toutetranslation est bijective et que T est un sous-groupe du groupe des permutations deE(applications bijectives de Esur E).

    La relation()montre que lapplicationutuest un morphisme du groupe additifde

    E sur T. Ce morphisme est surjectif par dfinition de Tet il est injectif car son

    noyau est rduit 0: la translation tuest lidentit si et seulement siu= 0.

    Remarque :la proposition prcdente montre que le groupe additif(E , +)opre sur

    lensembleEau moyen des translations ; cette opration est transitive et fidle.

    Bipoints, quipollence

    En gomtrie lmentaire classique, on commence par introduire les points et ondfinit ensuite les vecteurs partir des points. On suit donc la dmarche inverse de lantre.

    Dans ce cadre, les vecteurs sont introduits de la manire suivante. On appelle bipointun couple de deux points, i.e. un lment du produit cartsienEE, oEest le plan oulespace. On dit que deux bipoints (A, B)et (C, D)sont quipollentssi le quadrilatreABDCest un paralllogramme, i.e. si les bipoints (A, D)et (B, C)ont mme milieu.On verra plus loin que cette condition quivaut la relation

    AB=

    CD, qui signifie que

    cest la mme translation qui transforme Aen B et C en D. On montre alors que larelation dquipollence est une relation dquivalence sur E Eet on dfinit lensembleEdes vecteurs comme lensemble quotient de E Epar cette relation dquivalence.

    Dans notre approche, il est immdiat que la relationRdfinie sur lensemble E Epar (A, B)R(C, D)si et seulement si

    AB =

    CDest une relation dquivalence et que

    lensemble quotient deE Epar cette relation dquivalence est en bijection avecE :

    la classe dquivalence dun bipoint (A, B), on associe le vecteurAB.

    1.2 Barycentres

    La notion de barycentre est essentielle en gomtrie affine. Elle joue un rle identique celui que tient la notion de combinaison linaire en algbre linaire.

    5

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    7/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dfinition 4. Un systme de points pondrs dun espace affine E est une famillefinie(Ai, i)i=1,...,n de couples(Ai, i), o, pour touti,Ai est un lment deEeti un

    rel. Lepoids total du systme est le relni=1

    i.

    tout systme de points pondrs de E, on associe une fonction fde Edans E,appele fonction vectorielle de Leibnizdu systme, par :

    f(M) =ni=1

    iMAi .

    Proposition 3. Soit(Ai, i)i=1,...,n un sytme de points pondrs dun espace affineE.

    1. Si le poids total du systme est nul, la fonction vectorielle de Leibniz associe estconstante.

    2. Si le poids total du systme nest pas nul, la fonction vectorielle de Leibniz associe

    est une bijection deE surE. En particulier, il existe un point deEet un seulo cette fonction sannule.

    Dmonstration: SoitO un point fix de E. On a pour tout point Mde E :

    f(M) =ni=1

    iMAi =

    ni=1

    i(MO+

    OAi) =

    ni=1

    i

    MO+ f(O).

    Il en rsulte que si ni=1

    i= 0, alors f(M) = f(O)pour tout pointMdeE. Sinon, pour

    tout vecteur udeE, il existe un unique point M de Evrifiant f(M) = u, ce point

    tant dfini parOM= 1ni=1

    i

    f(O) u

    .

    Dfinition 5. Soit(Ai, i)i=1,...,n un systme de points pondrs dun espace affineE

    de poids total non nul :ni=1

    i = 0. On appellebarycentre de ce systme lunique point

    G deEvrifiantni=1

    iGAi= 0.

    Le barycentre dun systme de points pondrs nest donc dfini que si le poids

    total du systme nest pas nul.Proprits du barycentre

    Proposition 4. 1. Le barycentre ne dpend pas de lordre des points.

    2. Homognit :le barycentre dun systme de points pondrs ne change pas lorsquelon multiplie tous les poids par un mme rel non nul.

    6

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    8/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    3. Associativit :le barycentre dun systme de points pondrs ne change pas lorsquelon remplace certains de ces points par leur barycentre affect de la somme descoefficients correspondants ( condition naturellement que cette somme ne soitpas nulle).

    4. Si G est le barycentre du systme de points pondrs (Ai, i)i=1,...,n, on a, pourtout pointO deE :

    OG=

    ni=1

    iOAi

    ni=1

    i.

    Dmonstration : Les deux premires proprits sont videntes. Pour dmontrer latroisime, soit G le barycentre du systme pondr (Ai, i)1in. Il suffit de consid-rer (en rordonnant ventuellement les points) le cas o les points que lon regroupesont A1, . . . , Ap avec

    pi=1 i = 0. En notant H le barycentre du systme pondr

    (Ai, i)1ip, on a alors

    pi=1 iHAi= 0et pi=1

    i

    GH+

    ni=p+1

    iGAi=

    pi=1

    i(GAi+

    AiH) +

    ni=p+1

    iGAi

    =ni=1

    iGAi+

    pi=1

    iAiH

    = 0 pi=1

    iHAi

    = 0

    ce qui montre que G est le barycentre du systme pondr[(H,p

    i=1 i), (Ap+1, p+1), . . . ,(An, n)].

    La dernire proprit provient de la relation

    ni=1

    iGAi=

    ni=1

    i(GO+

    OAi) =

    ni=1

    i

    GO+

    ni=1

    iOAi = 0.

    Dfinition 6. On appelleisobarycentredune famille finieA1, . . ., An de points deEle barycentre des points de cette famille affects de poids tous gaux. En particulier, onappellemilieu dun couple de points lisobarycentre de ces deux points.

    La notion de milieu est donc purement affine et ne fait pas appel la notion dedistance, ce qui nempche naturellement pas le milieuIdun couple (A, B)de pointsdtre caractris, en gomtrie euclidienne, par la double galitI A= I B= AB/2.

    7

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    9/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Notations de Grassmann

    Si (Ai, i)i=1,...,n est un systme de points pondrs dun espace affine Ede poids

    total n

    i=1i = 1, le barycentreGde ce systme vrifie

    OG=

    n

    i=1i

    OAipour tout point

    OdeE. On le notera G=ni=1

    iAi.On dfinit ainsi sans se rfrer une origine un calcul sur les points qui satisfait aux

    rgles habituelles du calcul vectoriel. Par exemple, siGest lisobarycentre des sommetsdun triangle ABC, on peut crire

    G=1

    3A +

    1

    3B+

    1

    3C=

    1

    3A +

    2

    3

    1

    2B+

    1

    2C

    =1

    3A +

    2

    3A

    oA =1

    2B+

    1

    2Cest le milieu de BC(cette galit ne fait que reflter lassociativit

    du barycentre).

    Mais attention : cette notation (parfois appele notation de Grassmann) na desens que pour un systme de points pondrs de poids total 1. Lcriture A + Bou A(oA est un point) na pas de sens.

    On a par ailleurs vu, en tudiant la fonction vectorielle de Leibniz, que si(Ai, i)i=1,...,nest un systme de points pondrs de poids total nul :

    ni=1

    i= 0, le vecteurudfini par

    u=ni=1

    iOAine dpend pas du choix deO. On peut donc noter galement u=

    ni=1

    iAi.

    Par exemple, si n = 2, 1 = 1 et 2 = 1, A1 A2 est le vecteurA2A1. Mais une

    expression telle que2A 3B, ou A + B, ou1

    2A, ne reprsente ni un point ni un vecteur.

    1.3 Sous-espaces affines

    Dfinition 7. Une partieF dun espace affine Eest unsous-espace affine de E silexiste un pointA deF tel que

    F = {

    AM | M F} soit un sous-espace vectoriel de

    E.

    On a alors F ={A + u| uF}.

    Notation 2. Pour tout pointA deEet tout sous-espace vectorielF de

    E, lensemble

    Aff(A,F) ={ A + u| u

    F}

    est un sous-espace affine deE. On lappellera sous-espace affine deEpassant parA

    de direction

    F. Siu est un vecteur non nul deE, on noteraD(A, u) la droite affine

    passant parA et de direction la droite vectorielleRu. De mme, siu etv sont deuxvecteurs linairement indpendants, on noteraP(A, u, v) le plan affine passant parAet de direction le plan vectorielRu Rv engendr par les deux vecteursu etv.

    8

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    10/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Proposition 5. SoitF= Aff(A,F) un sous-espace affine deE. On a alors, pour tout

    pointB deF, {BM |MF}=

    F.

    Dmonstration: PuisqueB appartient F, le vecteurABappartient

    F. Or

    BM=

    AM ABet lapplication uu ABest une bijection de F surF, puisque F estun sous-espace vectoriel de

    E. Il en rsulte que

    {BM |MF}= {

    AM

    AB|MF}= {u

    AB| u

    F}=

    F .

    Le sous-espace vectorielF de

    Ene dpend donc pas du choix de Adans F. On

    lappelle directiondu sous-espace affine F. La restriction de lapplication (M, N)MN FF munit Fdune structure naturelle despace affine de direction

    F. Sa

    dimensiondim(F)est celle deF.

    Un sous-espace affine de dimension 0 est constitu dun point, un sous-espace affinede dimension 1 est une droite, un sous-espace affine de dimension 2 un plan.

    Dfinition 8. On appellehyperplandun espace affineEde dimension finie tout sous-espace affine deE de dimensiondim(E) 1.

    Caractrisation en termes de barycentres

    Proposition 6. Une partie non videFdun espace affineEest un sous-espace affinedeEsi et seulement si tout barycentre de points deF appartient F.

    Dmonstration: SiFest un sous-espace affine deE,Aun point deFet(Ai, i)i=1,...,nun systme de points pondrs de Fde poids total non nul, le barycentre G de ce

    systme vrifieAG=

    ni=1

    iAAi

    ni=1

    i. Il en rsulte que

    AGappartient

    F, puisque

    F est

    un sous-espace vectoriel deE, et donc que G appartient F.

    Rciproquement, soit F une partie non vide de E telle que tout barycentre depoints de Faffects de coefficients quelconques (de somme non nulle) appartient F,et Aun point de F. Pour tout couple (M, N)de points de Fet tout couple (, )de

    rels, le point P de Edfini parAP =

    AM+

    ANest le barycentre du systme de

    points pondrs [(A, 1 ),(M, ), (N, )]et appartient donc F. Il en rsulteque

    F ={

    AM |MF}est un sous-espace vectoriel de

    E (0 =

    AAappartient

    F,

    qui nest donc pas vide), et donc que Fest un sous-espace affine de E.

    9

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    11/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Paralllisme

    Dfinition 9. Deux sous-espaces affinesF etG dun mme espace affineEsont dits

    parallles sils ont mme direction :F =

    G .

    Le paralllisme est une relation dquivalence sur lensemble des sous-espaces af-fines de E. Deux sous-espaces affines parallles, au sens de cette dfinition, ont mmedimension.

    Si deux sous-espaces affines F et Gdun mme espace affine E vrifientF

    G ,

    on dit queFestparallle G (ou parfoisfaiblement parallle G) ; cette relation nestnaturellement pas symtrique.

    Intersection, sous-espace engendr

    Proposition 7. Lintersection de toute famille (finie ou infinie) de sous-espaces af-fines dun mme espace affine est soit vide, soit un sous-espace affine de direction

    lintersection des directions de ces sous-espaces affines.

    Dmonstration: Soit(Fi)iIune famille de sous-espaces affines de E. Si lintersectioniI

    Fide cette famille est vide, il ny a rien dmontrer. Sinon, soit Aun point de cette

    intersection. Pour tout i I, un point M de E appartient Fi si et seulement si levecteur

    AMappartient la direction

    Fi de Fi, puisqueAappartient Fi. Il en rsulte

    que M appartient iI

    Fi si et seulement siAMappartient au sous-espace vectoriel

    iI

    Fi de

    E, ce qui montre que

    iI

    Fiest un sous-espace affine deEde directioniI

    Fi .

    Cette stabilit par intersection permet de poser la dfinition suivante :

    Dfinition 10. SoitAune partie non vide dun espace affineE. On appellesous-espaceaffine engendr par A lintersection de tous les sous-espaces affines deE contenantA.

    Proposition 8. Le sous-espace affine engendr par une partie non videA dun espaceaffineEest le plus petit (au sens de linclusion) sous-espace affine deE contenantA.Cest aussi lensemble de tous les barycentres de tous les systmes de points pondrsdeA affects de coefficients quelconques (de somme non nulle).

    Dmonstration : Soit A une partie non vide de E et FA le sous-espace affine de E

    engendr par A. FA est non vide, car il contient A, et cest un sous-espace affine,comme intersection de sous-espaces affines . Par dfinition, il est inclus dans tout sous-espace affine de Econtenant A, cest donc bien le plus petit sous-espace affine de Econtenant A.

    Soit GAlensemble de tous les barycentres de tous les systmes de points pondrsdeAaffects de coefficients quelconques (de somme non nulle). GAnest pas vide, car il

    10

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    12/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    contient A (considrer un systme rduit un point), et tout barycentre dun systmede points pondrs de GA appartient encore GA par associativit du barycentre. Ilrsulte de la proposition6que GA est un sous-espace affine de E. Comme il contientA, il contientFA. MaisFAest un sous-espace affine de Eet tout point deAappartient

    FA. Il en rsulte que tout barycentre de points de Aappartient FA, donc que GAest inclus dans FA. On a donc FA= GA.

    Proposition 9. SoientF etG deux sous-espaces affines dun espace affineE, A unpoint de F etB un point deG. LintersectionF G est non vide si et seulement si

    le vecteurAB appartient la somme

    F +

    G des directions de ces deux sous-espaces.

    En particulier, si

    F et

    G sont deux sous-espaces vectoriels supplmentaires de

    E,lintersectionF G consiste en un point.

    Dmonstration: Si lintersectionF Gnest pas vide, soitIun point de cette intersec-tion. Le vecteur

    AIappartient

    Fet le vecteur

    IB

    G . Il en rsulte que le vecteur

    AB=AI+ IBappartient F + G .Rciproquement, si

    AB appartient

    F +

    G , il existe un vecteur u de

    F et un

    vecteurvdeG tels que

    AB=u + v. Soit Ile point de Edfini par

    AI=u. Le point

    Iappartient FpuisqueAIappartient

    F. Lgalit

    BI=

    AI

    AB=u (u + v) =v

    montre que BI appartient

    G et donc que I appartient G. Il en rsulte que I

    appartient lintersection de Fet de G, qui nest donc pas vide.Dans le cas o

    F et

    G sont des sous-espaces vectoriels supplmentaires de

    E, tout

    vecteur de E, en particulier le vecteur AB, appartient E =F + G . LintersectionF G nest donc pas vide, et sa direction est

    F

    G = {0} (proposition7). Cette

    intersection est donc rduite un point.

    1.4 Reprage

    1) Coordonnes cartsiennes

    Repres cartsiens

    On a dj remarqu que le choix dune origineOpermet didentifier un espace affine

    Ede dimension n sa directionE, cest--dire un espace vectoriel. Le choix dune

    base B = (e1, . . . , en) de

    Epermet didentifier cet espace vectoriel Rn. Le coupleR= (O, B) = (O, e1, . . . , en)est appel repre cartsiende E. Pour tout point M de

    E, il existe alors un unique n-uplet (x1, . . . , xn)de rels vrifiantOM =

    ni=1

    xiei. Ces

    nombres sont appels coordonnes cartsiennesde Mdans le repre R. Si n = 2, onnotera souvent ces coordonnes(x, y)et, si n = 3, (x,y,z).

    11

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    13/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Mesure algbrique

    Un repre cartsien dune droite affine Dest un couple (O, u), o O est un pointde D et uun vecteur non nul de

    D (on dit que uest un vecteur directeur de D). Si

    M et Nsont deux points de D, le vecteurMNscrit de manire unique

    MN = u

    pour un rel. Ce relest appelmesure algbriquede M Net not M N. La mesurealgbriqueMNdpend donc du choix dun vecteur directeur de D: si on remplace upar u, o est un rel non nul, toutes les mesures algbriques sur D sont divisespar . Mais le rapportMN/PQde mesures algbriques de couples de points de D nedpend pas du choix du vecteur directeur : il est donc dfini de manire intrinsque.

    Equation dun hyperplan

    Proposition 10. Soit E un espace affine de dimension n etR = (O, e1, . . . , en) unrepre cartsien deE. Tout hyperplanHdeEadmet dansR une quation de la forme

    a0 +n

    i=1

    aixi = 0, o les ai sont des rels vrifiant (a1, . . . , an) = (0, . . . , 0) ; cette

    quation est unique multiplication prs par un rel non nul. Rciproquement, toute

    quation de ce type reprsente un hyperplan. Lhyperplan vectorielH (direction deH)

    a pour quationni=1

    aixi = 0 dans la base(e1, . . . , en) deE.

    Il en rsulte que deux hyperplansHetH, dquations respectivesa0+ni=1

    aixi= 0et

    a0+ni=1

    aixi = 0, sont parallles si et seulement si lesn-uplets(a1, . . . , an)et(a1, . . . , a

    n)

    de rels sont proportionnels.

    Dmonstration: Soit Hun hyperplan de E, Bun point de Hde coordonnes(b1, . . . , bn)

    dans le repre R, et a1x1+ +anxn = 0, o les ai sont des rels non tous nuls, unequation de lhyperplan vectoriel

    Hdans la base (e1, . . . , en)de

    E. Un point MdeE

    de coordonnes (x1, . . . , xn) appartient H si et seulement si le vecteurBM appar-

    tient H, i.e. si et seulement si a1(x1 b1) + +an(xn bn) = 0. Il en rsulte que

    a0+ a1x1+ + anxn= 0, oa0 = a1b1 anbn, est une quation de Hdans lerepre R.

    Rciproquement, soient a0, a1, . . . , an des rels vrifiant (a1, . . . , an)= (0, . . . , 0)etBun point de coordonnes(b1, . . . , bn)vrifianta0 + a1b1 + + anbn= 0(un tel pointexiste puisque a1, . . . , anne sont pas tous nuls). Lquation a0+ a1x1+ + anxn= 0scrit encorea1(x1b1)+ +an(xnbn) = 0et signifie que le vecteur

    BMappartient

    lhyperplan vectoriel H dquation a1x1+ +anxn = 0. Cette quation est donccelle de lhyperplan affine passant par Bet de direction

    H.

    Deux hyperplans affines dquations a0 +a1x1 + + anxn = 0 et a0 +a1x1 +

    +anxn = 0sont parallles sils ont mme direction, i.e. si les hyperplans vectorielsdquationsa1x1+ + anxn= 0et a1x1+ + a

    nxn= 0sont confondus, ou encore si

    et seulement si les n-uplets(a1, . . . , an)et (a1, . . . , an)de rels sont proportionnels. Ils

    12

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    14/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    sont confondus si (a0, a1, . . . , an)et (a0, a1, . . . , a

    n)sont proportionnels, sinon ils sont

    strictement parallles.

    Equations de droites et de plans en dimensions 2 et 3

    Une droite a donc, dans un repre cartsien du plan, une quation de la formeax+by+c = 0, avec (a, b)= (0, 0), et un plan, dans un repre cartsien de lespace,une quation de la formeax + by+ cz+ d= 0, avec (a,b,c)= (0, 0, 0).

    Attention :une droite de lespace est reprsente par un systme de deuxquations(celles de deux plans distincts la contenant).

    2) Coordonnes barycentriques

    Une autre faon de reprer les points dans un espace affine consiste les crirecomme barycentres de points dun repre : par exemple, si A et B sont deux pointsdistincts dune droite D, tout point deD scrit comme barycentre de A et B , et cettecriture est unique condition de normaliser les coefficients en imposant leur somme

    de valoir 1.

    Proposition 11. SoientA0, A1, . . . , An n+1points dun espace affineEde dimensionn. Les deux proprits suivantes sont quivalentes :

    (i) les vecteursA0A1,

    A0A2, . . . ,

    A0An constituent une base de

    E;

    (ii) aucun des pointsA0, A1, . . . , Annappartient au sous-espace affine engendr parles autres.

    Dmonstration : Si (i) est vrifie, et si A0 appartenait au sous-espace affine en-gendr par A1, . . . , An, A0 serait barycentre des points A1, . . . , An affects de coeffi-

    cients 1, . . . , n de somme non nulle (proposition8), do

    ni=1 i

    A0Ai =0 ; la famille

    A0A1, . . . ,A0Anne serait donc pas libre, ce qui contredirait (i).

    De mme, si (i) tait vrifie, et si Ai appartenait au sous-espace affine engendrparA0, . . . , Ai1, Ai+1, . . . , An,Aiserait barycentre de ces points affects de coefficients0, . . . , i1, i+1, . . . , nde somme non nulle ; le vecteur

    A0Aiserait donc combinaison

    linaire des vecteursA0A1, . . . ,

    A0Ai1,

    A0Ai+1, . . . ,

    A0An et on conclut comme prc-

    demment.On a donc montr que (i) impliquait (ii).Si (i) nest pas vrifie, la famille de n vecteurs

    A0A1, . . . ,

    A0An ntant pas une

    base de Enest pas libre, puisque n est la dimension de E. Il existe donc des rels

    1, . . . , n non tous nuls tels que ni=1

    iA0Ai =0. Si ni=1

    i = 0, cette relation montreque A0 est barycentre des points A1, . . . , An et appartient donc au sous-espace affine

    engendr par ces points. Si ni=1

    i = 0, en supposant 1 = 0 pour fixer les ides, on

    13

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    15/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    aurait1= ni=2

    i, do

    n

    i=1i

    A0Ai =

    n

    i=2i(

    A0Ai

    A0A1) =

    n

    i=2i

    A1Ai = 0 ,

    ce qui montre que A1 est barycentre de A2, . . . , An (puisque ni=2

    i = 1 = 0) et

    appartient donc au sous-espace affine de Eengendr par ces points. On a donc montrpar contraposition que (ii) implique (i).

    Remarque :La condition (i) fait jouer un rle particulier au point A0; lquivalenceavec la seconde condition montre quen fait tous les points Ai jouent le mme rle :on aurait donc pu rajouter dans lnonc n conditions quivalentes la premire enpermutantA0 avec lun des points A1, . . . , An.

    Dfinition 11. On appellerepre affine deE toute famille(A0, . . . , An) de points deEvrifiant les conditions prcdentes.

    Attention :un repre affine dun espace affine Ede dimensionnest donc une familleden + 1points de E(2 points distincts pour une droite, les sommets dun triangle nonaplati pour un plan, les sommets dun ttradre non aplati pour lespace de dimension3).

    Proposition 12. Soit (A0, . . . , An) un repre affine dun espace affine E. Pour toutpointM deE, il existe une unique famille (0, 1, . . . , n) de rels de somme 1 tellequeM soit le barycentre de la famille pondre(Ai, i)i=0,1,...,n.

    Dmonstration : Soit(0, 1, . . . , n)une famille de rels de somme 1. Le point Mestbarycentre du systme pondr (Ai, i)i=0,1,...,n si et seulement si

    A0M =

    ni=1

    iA0Ai.

    Or la famille (A0A1, . . . ,

    A0An)tant une base de

    E, il existe un n-uplet (1, . . . , n)

    de rels et un seul tel queA0M =

    ni=1

    iA0Ai. Le point M est donc barycentre du

    systme pondr (Ai, i)i=0,1,...,n o 0 = 1 ni=1

    i. Si Mest barycentre du systme

    pondr (Ai, i)i=0,1,...,n avec ni=0

    i = 0, alorsA0M =

    ni=1

    iA0Ai, do i = i pour

    i= 1, . . . , net 0 = 1 n

    i=1

    i = 1 n

    i=1

    i= 0.

    Dfinition 12. Les coefficients (0, 1, . . . , n) dfinis dans la proposition 12 sontappelscoordonnes barycentriques deMdans le repre affine(A0, . . . , An).

    Le point Mscrit donc M =ni=0

    iAi, avec ni=0

    i = 1. Par homognit du bary-

    centre,Mest aussi barycentre du systme (Ai, i)i=0,...,npour tout rel non nul. On

    14

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    16/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    dit parfois que les i constituent un systme de coordonnes barycentriques homo-gnes de Mdans le repre affine (A0, . . . , An) ; les i sont alors appels coordonnesbarycentriques rduitesou normalisesde Mdans ce repre.

    La dmonstration de la proposition 12montre que lon passe trs facilement descoordonnes cartsiennes dans un repre (A0, A0A1, . . . , A0An) aux coordonnes ba-rycentriques dans le repre affine (A0, . . . , An) : si (x1, . . . , xn) sont les coordonnes

    cartsiennes de Mdans le repre (A0,A0A1, . . . ,

    A0An), alors (1

    ni=1

    xi, x1, . . . , xn)

    sont les coordonnes barycentriques de Mdans le repre affine (A0, . . . , An).Rciproquement, si(0, 1, . . . , n)sont les coordonnes barycentriques deMdans

    le repre affine(A0, . . . , An), les coordonnes cartsiennes deMdans le repre cartsien(A0,

    A0A1, . . . ,

    A0An)sont (1, . . . , n).

    On en dduit immdiatement lquation barycentrique dun hyperplan affine.

    Proposition 13. SoitEun espace affine de dimensionn rapport un repre affine(A0, . . . , An)et(0, 1, . . . , n)les coordonnes barycentriques dans ce repre dun pointgnrique M de E. Tout hyperplan affine deE admet une quation barycentrique de

    la formeni=0

    bii = 0, o(b0, b1, . . . , bn) est une famille de rels non tous gaux. Cette

    quation est unique multiplication prs par un rel non nul. Rciproquement, toutequation de ce type est celle dun hyperplan affine.

    Dmonstration: On a vu la proposition10que tout hyperplan affine admettait dans

    le repre cartsien(A0,A0A1, . . . ,

    A0An)une quation de la forme a0+

    ni=1

    aixi = 0, o

    a1, . . . , ansont des rels non tous nuls et (x1, . . . , xn)les coordonnes cartsiennes dunpoint gnrique M. En remarquant que i = xi pour i= 1, . . . , net ni=0

    i = 1, cette

    quation scrit

    a0ni=0

    i+ni=1

    aii =ni=0

    bii = 0

    en posant b0 = a0et bi = a0+aipour i = 1, . . . , n. La condition a1, . . . , annon tousnuls quivaut b0, b1, . . . , bnnon tous gaux .

    On remarque que cette quation est valable tant pour des coordonnes barycen-

    triques normalises ( n

    i=0i = 1) que pour des coordonnes barycentriques quelconques

    ( ni=0

    i= 0).

    15

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    17/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    1.5 Convexit

    Dfinition

    Dfinition 13. SoientA etB deux points dun espace affineE. LesegmentAB, not[AB], est lensemble des barycentres deA etB affects de coefficients tous deux positifs,i.e. [AB] ={A + (1 )B| [0, 1]}.

    Dfinition 14. Une partieCdun espace affineEest diteconvexesi pour tout couple(A, B) de points deC le segment [AB] est inclus dansC.

    Exemples : Tout sous-espace affine dun espace affine (en particulier lespace lui-mme) est

    convexe. Un segment, une demi-droite (ouverte ou ferme) sont convexes (si A est un

    point dun espace affine E et u un vecteur non nul de

    E, on appelle demi-droite ferme (resp. ouverte) dorigine A et de vecteur directeur u lensemble{ME|

    AM=u, 0}(resp.{ME|

    AM=u, >0})).

    Une fonction relle fdfinie sur un intervalle Ide Rest convexe si et seulementsi son pigraphe est convexe (on appellepigraphede f lensemble

    {(x, y) I R |y f(x)}

    des points situs au-dessus du graphe de f).

    Proposition 14. Une partieCdun espace affineEest convexe si et seulement si tout

    barycentre de points deCaffects de coefficients tous positifs appartient C.

    Dmonstration: Si tout barycentre de points deCaffects de coefficients tous positifsappartient C, pour tout couple(A, B)de points deCle segment[AB]est inclus dansCpuisque ce segment est lensemble des barycentres de A et B affects de coefficientstous deux positifs.Cest donc convexe.

    Rciproquement, siCest convexe, on dmontre par rcurrence surnque tout bary-centre denpoints deCaffects de coefficients tous positifs appartient C: la propritest vraie pourn = 2par hypothse ; si elle est vraie pournet siA1, . . . , An+1sontn +1points de Caffects des coefficients tous positifs 1, . . . , n+1, le barycentre G de cesystme de points pondrs est barycentre du systme[(G, 1+ +n), (An+1, n+1)]

    o G est le barycentre du systme (Ai, i)i=1,...,n;G appartient Cpar lhypothsede rcurrence et G appartient au segment [GAn+1] qui est inclus dans C car C estconvexe.

    Proposition 15. Toute intersection de convexes est convexe.

    16

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    18/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dmonstration : Soit Cune famille quelconque de convexes et =cC

    C. Pour tout

    couple(A, B)de points deet toutC C,Aet Bappartiennent C, donc le segment[A, B]est inclus dans C. Il en rsulte que [A, B]est inclus dans .

    Remarque :une intersection de convexes peut tre vide, mais avec la dfinition quenous avons choisie lensemble vide est convexe.

    Enveloppe convexe

    Cette stabilit par intersection permet, comme dans le cas des sous-espaces affines,de poser la dfinition suivante :

    Dfinition 15. SoitA une partie non vide dun espace affineE. On appelleenveloppeconvexe deA lintersection de tous les convexes deE contenantA.

    Proposition 16. Lenveloppe convexe dune partie non videA dun espace affineEestle plus petit convexe deE contenantA. Cest aussi lensemble de tous les barycentres

    de points deA affects de coefficients tous positifs.

    Dmonstration : SoitAune partie non vide dun espace affine Eet CA la famille detous les convexes de Econtenant A. Lenveloppe convexe Conv(A) =

    CCA

    Cde Aest

    convexe comme intersection de convexes et contient A. Tout convexe Ccontenant Aappartient CAet contient donc Conv(A), ce qui montre que Conv(A)est le plus petitconvexe deEcontenant A.

    Soit A lensemble de tous les barycentres de points de A affects de coefficientstous positifs. Tout point M de A est barycentre de la famille un lment (A, 1) etappartient donc A. Par ailleurs, Aest convexe par associativit du barycentre. Il en

    rsulte que Conv(A)est inclus dans A.Soit Cun convexe contenant A. Tout point de Aest barycentre coefficients tous

    positifs de points deC, donc appartient C. Il en rsulte que Aest inclus dansCpourtoutC CA, et est donc inclus dans Conv(A), do A= Conv(A).

    Exemples : lenveloppe convexe de deux points A et Best le segment[AB] ; lenveloppeconvexe de 3 points A, B , Cdu plan est le triangle plein ABC.

    Demi-espaces, rgionnement

    Lexemple des demi-droites nest quun cas particulier dun exemple fondamental deconvexes : les demi-espaces. SiEest un espace affine de dimensionnetHun hyperplan

    affine,Hspare lespace en deux, comme le montre la proposition suivante :

    Proposition 17. SoitEun espace affine etHun hyperplan affine deE. La relationRdfinie par ARB si et seulement si[AB] H= est une relation dquivalence surle complmentaireE\ H deH dansEqui partageE\ H en exactement deux classes.

    17

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    19/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Ces classes sont appels demi-espaces ouvertsdlimits par H. Les demi-espacesferms sont obtenus en prenant leurs runions avec H. Si deux points Aet B sont enrelation parR, on dit que A et B sont du mme ctde H.

    Dmonstration: Soit(O, e1, . . . , en)un repre cartsien de Edont lorigine Oappar-

    tient Het les vecteurs e1, . . . , en1 appartiennent lhyperplan vectoriel H. Lhy-perplan H admet xn = 0 comme quation cartsienne dans ce repre. Soient A etB deux points de Enappartenant pas H, de coordonnes respectives (a1, . . . , an)et (b1, . . . , bn) dans ce repre. On a donc anbn = 0. Tout point Mdu segment [AB]scrit A+ (1 )B pour un [0, 1]. Ce point appartient Hsi et seulement sian + (1 )bn = 0, soit encore (bnan) = bn. Cette quation en admet unesolution dans[0, 1]si et seulement si anetbnsont de signes opposs. Le segment [AB]rencontre donc Hsi et seulement si anbn 0}et {ME| xn < 0}.

    Si f(x1, . . . , xn) = a0+ni=1

    aixi = 0 est une quation cartsienne de H, ces demi-

    espaces sont dfinis par les inquations f(x1, . . . , xn)> 0 et f(x1, . . . , xn)< 0.

    Polydres convexes

    Dfinition 16. On appellepolydre convexe toute partie borne non vide dun espaceaffine qui peut scrire comme intersection dun nombre fini de demi-espaces ferms.

    Dans le plan, on retrouve la notion usuelle de polygone convexe plein. Dans lespacede dimension 3, un polydre est un solide convexe dintrieur non vide (sil nest pas

    contenu dans un plan). On remarque que cette dfinition exclut le cas des didres oudes tridres, qui sont intersection de deux ou trois demi-espaces ferms mais ne sontpas borns.

    On aurait pu donner une autre dfinition dun polydre convexe, comme le montrela proposition suivante, que nous ne dmontrerons pas :

    Proposition 18. Une partie dun espace affineEest un polydre convexe si et seule-ment si elle est lenveloppe convexe dun nombre fini de points deE.

    Il rsulte immdiatement de la dfinition que toute intersection dun polydreconvexe et dun sous-espace affine est vide ou est un polydre convexe (un sous-espaceaffine peut scrire comme intersection dun nombre fini dhyperplans affines et un hy-

    perplan affine est lintersection des deux demi-espaces ferms quil limite). De mmetoute intersection dun nombre fini de polydres convexes est vide ou est un polydreconvexe.

    Un exemple de polydre convexe en dimension quelconque est le n-simplexe

    n= {(x0, x1, . . . , xn) Rn+1 |

    ni=0

    xi= 1, xi 0 pour tout i = 0, . . . , n}.

    18

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    20/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    (n est une partie de Rn+1, mais il est inclus dans lhyperplan dquation ni=0

    xi = 1,

    si bien que sa dimension intrinsque est n.)

    Polydres dans lespace de dimension 3

    Thorme 1. Thorme de structure des polydres convexesPour tout polydre convexe dintrieur non videPde lespace de dimension 3, il existe

    une criture minimale (au sens du nombre de termes) P =mi=1

    P+i deP comme inter-

    section de demi-espaces ferms. Cette criture est unique lordre prs. LintersectiondePavec chacun des plansPi est un polygone convexe plein dintrieur non vide dansPi. Ces polygones sont appelsfacesdu polydre. Les cts de ces polygones sont appelsartes du polydre et leurs sommetssommets du polydre.

    Thorme 2. Formule dEulerPour tout polydre convexePde lespace de dimension 3, on a :

    s a + f= 2

    os est le nombre de sommets, a le nombre dartes etf le nombre de faces deP.

    Nous ne dmontrerons pas ces deux thormes (voir nanmoins la section3.6 dansla partie Complments), pas plus que la proposition suivante.

    Proposition 19. Tout polydre convexe est lenveloppe convexe de ses sommets.

    Dfinition 17. On appelle ttradre (plein) lenveloppe convexe de quatre points noncoplanaires.

    Un ttradre possde 4 sommets, 4 faces et 6 artes. Ses faces sont des triangles. Sices triangles sont tous quilatraux, le ttradre est dit rgulier. Un ttradre est doncrgulier si et seulement si toutes ses artes ont mme longueur (cette dfinition, commedautres qui suivront, suppose lespace affine muni dune structure euclidienne).

    Dfinition 18. Soit(A,i,j, k) un repre cartsien (non ncessairement orthonorm)de lespace. On appelle paralllpipde (plein) construit sur ce repre lensemble despoints de lespace dont les trois coordonnes dans ce repre appartiennent toutes lintervalle[0, 1].

    Un paralllpipde a 8 sommets, 6 faces et 12 artes. Ses faces sont des parall-logrammes. Les sommets du paralllpipde construit sur un repre cartsien sont lespoints de coordonnes toutes gales 0 ou 1 dans ce repre, ses faces sont portes parles plans dquations x= 0,x = 1,y = 0,y = 1,z= 0,z= 1.

    Un paralllpipde dont les faces sont des rectangles est appel paralllpipde rec-tangle.

    19

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    21/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Figure2 Paralllpipde

    Figure3 Pyramide et prisme

    Uncubeest un paralllpipde dont les faces sont des carrs.Unepyramideest lenveloppe convexe dun polygone plan convexe non aplati, appel

    basede la pyramide, et dun pointS(le sommetde la pyramide) nappartenant pas auplan de ce polygone.

    Une pyramide dont la base an sommets an + 1faces,2nartes et n + 1sommets.Un ttradre est une pyramide ayant pour base un triangle.

    Une pyramide rgulire est une pyramide dont la base est un polygone rgulier

    convexe et dont le sommet appartient la droite perpendiculaire la base mene parle centre de ce polygone.

    Unprismeest lenveloppe convexe de deux polygones plans convexes, appels basesdu prisme, dduits lun de lautre par une translation de vecteur nappartenant pas ladirection commune de leurs plans. Le prisme est dit droitsi le vecteur de la translation

    20

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    22/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    est orthogonal aux plans des bases.Un prisme dont les bases ont chacune n sommets a n+ 2 faces, 3n artes et 2n

    sommets. Toutes les faces dun prisme autres que les bases sont des paralllogrammes.Si le prisme est droit, ces faces sont des rectangles. Un paralllpipde est un prisme

    ayant pour base un paralllogramme.

    1.6 Applications affines

    Les transformations affines sont les transformations gomtriques les plus utilisesen gomtrie lmentaire. On verra en particulier au chapitre Gomtrie euclidienne que toute similitude (et en particulier toute isomtrie) est une transformation affine.On dira de fait quune proprit estaffinesi elle est conserve par toute transformationaffine. En particulier, lalignement, le paralllisme, le milieu sont des proprits affines.Par contre lorthogonalit, les angles, les longueurs ne sont pas des proprits affines,car elles ne sont pas conserves par toutes les transformations affines (bien quelles

    soient conserves par les isomtries).

    Dfinition et premires proprits

    Dfinition 19. SoientE etF deux espaces affines. Une applicationf deE dans F

    est diteaffine sil existe une application linaire f deE dans

    F telle que

    f(A)f(B) =

    f(AB) pour tout couple(A, B) de points deE.

    Cette proprit peut encore scrire f(M+u) =f(M) + f(u)pour tout point MdeEet tout vecteur u

    E.

    Lapplication fest alors uniquement dtermine, puisque pour tout vecteur u deE, il existe un (en fait une infinit de) couple (A, B)de points de Etel que AB=u.On lappelle application linaire associe f, oupartie linairede f.

    Une application affine est entirement dtermine par sa partie linaire et limagedun point, puisque f(B) =f(A) +

    f(A)f(B) =f(A) + f(

    AB)pour tout point B de

    E.Rciproquement, siEet Fsont deux espaces affines, Aun point de E,A un point

    deFet fune application linaire deEdans

    F, il existe une (et une seule) application

    affinefde Edans Fde partie linaire f vrifiant f(A) =A.

    Exemples : toute translation est une application affine dapplication linaire associe liden-

    tit; une application f de Rdans Rest affine si et seulement si elle est de la forme

    f(x) =ax + b, o a et bsont deux rels ; lapplication linaire associe fest alorsdonne par f(x) =ax ;

    plus gnralement, siEest un espace vectoriel, Eest muni dune structure natu-relle despace affine sur lui-mme ; toute application linaire de Edans lui-mme

    21

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    23/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    est alors affine, et gale sa partie linaire ; toute application affine de Edanslui-mme est compose dune application linaire et dune translation, puisque,si fest affine, on a f(u) = f(u) + f(0)pour tout vecteur ude E.

    Si fest une application quelconque de E dans F, on ne peut en gnral pas lui

    associer dapplication de

    Edans

    Findpendamment du choix dune origine : en effet,on peut bien dfinir, pour tout point O de E, une application fO de

    E dans

    F par

    fO(u) =f(O)f(M) pour tout vecteur ude

    E, o Mest lunique point de Etel que

    u =OM, mais cette application fO dpend en gnral du choix de O. Cependant, il

    suffit que cette application soit linaire pour unpoint O de Epour que fsoit affinecomme le montre la proposition suivante :

    Proposition 20. SoientE etF deux espaces affines etf une application deE dansF. On suppose quil existe un point O de E tel que lapplication fO prcdemmentdfinie soit linaire. Alorsfest affine et fO est lapplication linaire associe f. Enparticulier, fO ne dpend alors pas du choix deO.

    Dmonstration : On a, pour tout couple (A, B)de points de E :

    f(A)f(B) =

    f(O)f(B)

    f(O)f(A)

    = fO(OB) fO(

    OA)

    = fO(OB

    OA) car fO est linaire

    = fO(AB)

    ce qui montre que fest affine de partie linaire fO.

    Composition

    Proposition 21. Toute compose dapplications affines est une application affine, et

    la partie linaire de la compose est la compose des parties linaires :g f =g f.

    En particulier, on ne change pas la partie linaire dune application affine en lacomposant ( droite ou gauche) avec une translation.

    Dmonstration : Il suffit de remarquer que, pour tout couple (A, B) de points delespace de dpart de f

    g f(A)g f(B) =g(f(A)f(B)) =g( f(AB)) =g f(AB)

    et queg fest linaire.

    22

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    24/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Caractrisation en termes de barycentres

    Proposition 22. Une applicationfdun espace affineEdans un espace affineF estaffine si et seulement si elle conserve les barycentres, i.e. si et seulement si, pour toutsystme (Ai, i)i=1,...,n de points pondrs de E de poids total non nul, limage f(G)du barycentreG de ce systme parf est le barycentre du systme de points pondrs(f(Ai), i)i=1,...,n.

    Dmonstration : Si f est affine et si G est le barycentre du systme (Ai, i)i=1,...,n,lgalit

    ni=1

    if(G)f(Ai) =

    ni=1

    i f(GAi) = f

    ni=1

    iGAi

    = f(0

    E) = 0

    F

    montre que f(G)est le barycentre du systme (f(Ai), i)i=1,...,n.

    Rciproquement, montrons que sifconserve les barycentres, lapplication fOconsi-dre la proposition20est linaire pour tout point O de E. Soient donc uet vdeuxvecteurs de

    E,etdeux rels,MetNles points deEdfinis par

    OM=u,

    ON=v,

    et P le point de Edfini parOP = u+ v =

    OM+

    ON. Le point Pest le ba-

    rycentre du systme pondr[(O, 1 ), (M, ), (N, )]. Il en rsulte quef(P)estle barycentre du systme pondr[(f(O), 1 ), (f(M), ), (f(N), )], do

    fO( u + v) =f(O)f(P)

    =f(O)f(M) +

    f(O)f(N)

    =fO(u) + fO(v) ,

    ce qui montre, daprs la proposition20, que fO est linaire.

    Corollaire 1. Limage (resp. limage rciproque) dun convexe par une applicationaffine est un convexe.

    Dmonstration: Il suffit de remarquer que, daprs la proposition prcdente, limagepar une application affinefdun segment [AB]est le segment [f(A)f(B)].

    Image et image rciproque dun sous-espace affine

    Proposition 23. SoientEetFdeux espaces affines, etfune application affine deEdansF. Limagef(G) parfdun sous-espace affineG deEest un sous-espace affine

    deF, de direction limage f(G ) de

    G par f.

    De mme, limage rciproquef1(H) parf dun sous-espace affine H de F est, soit

    vide, soit un sous-espace affine deEde direction f1(H).

    23

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    25/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dmonstration : Soit G un sous-espace affine de E et A un point de G. LgalitG= {A + u| u

    G }implique

    f(G) ={f(M)| MG}

    ={f(A + u)| uG }

    ={f(A) + f(u)| uG }

    ={f(A) + v| v f(G )},

    ce qui montre que f(G) est le sous-espace affine de F passant par f(A) de directionf(

    G ).Soit Hun sous-espace affine de F. Si f1(H) nest pas vide, soit A un point de

    f1(H). Un pointMdeEappartient f1(H)si et seulement sif(M)appartient H,

    i.e. si et seulement sif(A)f(M) = f(

    AM)appartient

    H, ou encore si et seulement

    si

    AM appartient au sous-espace vectoriel f

    1

    (

    H) de

    E, ce qui montre que f1

    (H)est le sous-espace affine de Epassant par A et de direction f1(H).

    En particulier :

    Corollaire 2. Toute application affine conserve lalignement et le paralllisme (lesimages par une application affine de deux sous-espaces affines parallles sont deuxsous-espaces affines parallles).

    Proposition 24. Une application affine est injective (resp. surjective, bijective) si etseulement si sa partie linaire lest. Il en rsulte quune application affine dun espaceaffine E de dimension finie dans lui-mme est bijective si et seulement si elle est

    injective (resp. surjective).

    Dmonstration : Une application affinefdun espace affine Edans un espace affineFest injective si et seulement si pour tout couple (A, B)de points deE,f(A) =f(B)quivaut A = B. Mais f(A) = f(B) quivaut

    f(A)f(B) = f(

    AB) = 0, i.e.

    AB Ker( f) et A = B quivaut

    AB = 0. Il en rsulte que fest injective si et

    seulement si Ker( f) ={0}, i.e. si et seulement si fest injective.De mmefest surjective si et seulement sif(E) =F. Maisf(E)est un sous-espace

    affine de Fde direction f(E) = Im( f) ; cest donc Fsi et seulement si Im( f) =

    F,

    i.e. si et seulement si fest surjective.

    Expression dans un repre

    1) Repre cartsien

    Proposition 25. SoientEetE deux espaces affines, de dimensions respectivesnetm,R= (O, B) = (O, e1, . . . , en)un repre cartsien deE,R = (O, B) = (O, e 1, . . . , e m)un repre cartsien deE, etfune application affine deE dansE. Les coordonnes

    24

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    26/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    dansR de limagef(M) dun pointM deE parf sont donnes parX = AX+ B,

    o A est la matrice de f dans les bases B et B, X (resp. X) le vecteur colonnedes coordonnes de M (resp. f(M)) dansR (resp. R), et B le vecteur colonne descoordonnes def(O)dansR. Rciproquement, toute application deEdansE donne

    par de telles formules est affine.

    Dmonstration: Il suffit de remarquer queOf(M) =

    Of(O) +

    f(O)f(M) =

    Of(O) + f(

    OM).

    Changement de repre

    En appliquant cette formule au cas o E = E et f = idE, on obtient les for-mules de changement de repre : si R = (O, B) = (O, e1, . . . , en) et R = (O, B) =(O, e 1, . . . , e

    n) sont deux repres cartsiens de E, et si X (resp. X) est le vecteur

    colonne des coordonnes dun point Mdans le repre R (resp. R), on obtient X =AX +B, o A est la matrice de passage de la base B la base B et B le vecteurcolonne des coordonnes de lorigineO du nouveau repre R dans lancien repre R.Il suffit pour le voir dappliquer la formule prcdente en prenant f=idE, lespace Etant au dpart muni du repre R, et larrive du repre R. Les vecteurs colonnesde la matrice de passage sont obtenus en exprimant les vecteurs de la nouvelle base B

    deEdans lancienne base B.

    Formes affines et hyperplans

    Dfinition 20. On appelle forme affine (ou fonction affine) sur un espace affine E

    toute application affine deE dansR.Lapplication linaire associe une forme affine sur Eest donc une forme linaire

    surE. Une forme affine f sur Esexprime en coordonnes cartsiennes par : f(M) =

    a0+a1x1+ +anxn, o les ai sont des rels et les xi les coordonnes de M. Touteforme affine non constante est surjective et lensemble des points o une forme affinenon constante fsannule est un hyperplan affine Hde direction lhyperplan vectorielH = kerf. Plus gnralement, toutes les lignes de niveau de fsont des hyperplansaffines parallles Het les demi-espaces ferms (resp. ouverts) dlimits parHsont lesensembles{ME |f(M) 0}et {ME |f(M) 0}(resp. {ME|f(M)> 0}et{ME|f(M)< 0}).

    2) Repre affine

    Proposition 26. Soit E et F deux espaces affines, (A0, . . . , An) un repre affine deE, (A0, . . . , A

    n) une famille de n+ 1 points de F, o n = dim(E). Alors il existe

    une application affine f et une seule de E dans F qui vrifie f(Ai) = Ai pour touti= 0, 1, . . . , n. De plusfest bijective si et seulement si la famille(A0, . . . , A

    n) est un

    repre affine deF.

    25

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    27/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dmonstration : Lunicit est vidente : si(0, . . . , n)sont les coordonnes barycen-

    triques normalises ( ni=0

    i = 1) du pointMdeEdans le repre affine(A0, . . . , An), son

    image par fest le point f(M) =n

    i=0 iAi de Fpuisquune application affine conserve

    les barycentres.Pour dmontrer lexistence, il suffit de vrifier que lapplication fdeEdansFqui

    tout point M =ni=0

    iAi (o ni=0

    i = 1) associe le point f(M) =ni=0

    iAi de F est

    affine, et pour cela de vrifier quelle conserve les barycentres. Cette proprit rsultede lassociativit du barycentre.

    Lapplicationfest surjective si et seulement si tout point de Fpeut scrire commebarycentre des points A0, . . . , A

    n et elle est injective si et seulement si cette criture

    est unique. Ces deux conditions signifient que (A0, . . . , An)est un repre affine de F.

    En particulier deux applications affines qui concident sur un repre affine sontgales :

    Corollaire 3. Soient E et F deux espaces affines, f et g deux applications affinesde E dans F, et (A0, . . . , An) un repre affine de E. Si f(Ai) = g(Ai) pour touti= 0, 1, . . . , n, alorsf=g.

    1.7 Le groupe affine

    Dfinition 21. SoitEun espace affine. On appelletransformation affine deE touteapplication affine bijective de E dans lui-mme. Les transformations affines de Econstituent un sous-groupe (pour la composition) du groupe des permutations de E.Le groupe des transformations affines de E est appel groupe affine de E, et notGA(E).

    Proposition 27. Lapplication f f est un homomorphisme surjectif du groupe

    affineGA(E)dans le groupe linaireGL(E)(groupe des applications linaires bijectives

    deE dans lui-mme). Son noyau est le sous-groupe des translations deE.

    Il en rsulte que le groupe des translations de Eest un sous-groupe distingu deGA(E).

    Dmonstration : La premire assertion rsulte de la relationg f =g fpour tout

    couple dlments deGA(E)et du fait que pour tout fGL(E)et tout couple(O, O)de points de E, il existe une transformation affine f GA(E)et une seule de partielinaire fvrifiantf(O) =O. La seconde vient de ce quun lmentfde GA(E)est unetranslation si et seulement si sa partie linaire fest lidentit de

    E. En effet la relation

    f(A)f(B) =

    ABquivaut la relation

    Af(A) =

    Bf(B)(le quadrilatre ABf(B)f(A)

    26

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    28/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    est alors un paralllogramme). Elle est donc vraie pour tout couple (A, B) de points

    deEsi et seulement si le vecteurAf(A)ne dpend pas du point A.

    Stabilisateur dun point

    Le groupe affine GA(E) de E opre sur Epar lapplication (f, M) f(M).Rappelons quon appelle alorsstabilisateurdun pointO deEle sous-groupe Stab(O)deGA(E)constitu des transformations affines flaissant fixe le point O :

    Stab(O) ={fGA(E)| f(O) =O} .

    Proposition 28. Pour tout point O de E, la restriction de lapplication f f

    Stab(O) est un isomorphisme deStab(O) sur le groupe linaireGL(E).

    Dmonstration: Lapplication f fest un morphisme de groupes de GA(E)surGL(

    E) de noyau le groupe des translations de E (proposition27). Sa restriction

    Stab(O) est injective car une translation ayant un point fixe est lidentit et elle estsurjective (pour tout f in GL(E), lapplication fde Edans Edfinie par

    Of(M) =

    f(OM)est lunique lment de Stab(O)de partie linaire f).

    Points fixes dune transformation affine

    Proposition 29. LensembleFix(f)des points fixes dune transformation affinef de

    E est, soit vide, soit un sous-espace affine de direction ker( fidE

    ) (cest--dire le

    sous-espace propre de fassoci la valeur propre 1).

    Dmonstration: SoitO une origine dans E. Un pointA est fixe par fsi et seulementsi f(O)f(A) =

    f(O)A, i.e. si et seulement si f(

    OA) =

    f(O)O +

    OA, soit encore

    ( f idE

    )(OA) =

    f(O)O. Si le vecteur

    f(O)Onappartient pas limage de f id

    E,f

    nadmet pas de point fixe. Sif(O)Oappartient limage de f id

    E, il existe un point

    Afixe parf. Un pointMdeEest alors fixe par fsi et seulement siAf(M) =

    AM, i.e.

    f(A)f(M) = f(

    AM) =

    AM. Lensemble des points fixes de fest alors le sous-espace

    affine de Epassant par A de direction ker( f idE

    ).

    En particulier :

    Proposition 30. Soit f une transformation affine dun espace affine E. Les deuxproprits suivantes sont quivalentes :

    (i) fadmet un point fixe et un seul ;

    (ii) 1 nest pas valeur propre de f.

    Dmonstration: Limplication(i) (ii)rsulte immdiatement de la proposition29.Montrons que si 1 nest pas valeur propre de f, i.e. si fid

    Eest injective, alors f

    27

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    29/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    admet un point fixe et un seul. Lapplication linaire f idE

    tant injective et Ededimension finie, elle est bijective et il rsulte de la dmonstration de la proposition29quefadmet un point fixe et un seul.

    Toute transformation affine est compose dune transformation affine ayant un point

    fixe et dune translation. Plus prcisment, si fest une transformation affine de EetOun point quelconque de E, g = t

    f(O)O f laisse O fixe et lon a f = t

    Of(O) g. La

    proposition suivante tudie le cas o il existe une telle dcomposition commutative.

    Proposition 31. Soit fune transformation affine dun espace affine E telle que le

    noyau et limage de f idE

    soient des sous-espaces vectoriels supplmentaires deE.

    Alors il existe une transformation affineg deEadmettant un point fixe et une trans-lationt deE telles quef=t g= g t.

    Dmonstration : SoitOune origine dansE. Le vecteurOf(O)se dcompose en somme

    dun vecteur u Ker(f id

    E)et dun vecteur v Im(

    f id

    E). Soit Aun point de

    Etel que ( f idE

    )(OA) =v, i.e. f(

    OA) =

    OA v, t la translation de vecteur uet

    g= t1 f. Lgalit :

    g(A) =f(A)u= f(O)+ f(OA)u= O+

    Of(O)+ f(

    OA)u= O+u+v+

    OAvu= A

    montre que A est fixe par g . Par ailleurs, f=t get la relation

    f(M+ u) =f(M) + f(u) =f(M) + u pour tout pointMdeE

    montre que f, et donc g , commute avec t.

    1.8 Homothties et translations

    Dfinition 22. Soit E un espace affine, O un point de E et k un rel non nul.Lhomothtie hO,k de centre O et de rapport k est lapplication qui tout point M

    deEassocie le pointM =hO,k(M) dfini parOM =k

    OM.

    On vrifie immdiatement que hO,k est une transformation affine dapplication li-naire associe lhomothtie vectoriellek id

    Ede rapportk, i.e. lapplication linaire qui

    tout vecteurudeEassocie le vecteur ku, et que si k est diffrent de 1, O est le seul

    point fixe de hO,k (sik = 1, hO,k est lidentit).

    La proposition30montre que, rciproquement, toute transformation affine f departie linaire f = k idE

    , avec k = 1, admet un point fixe O et un seul; il en rsulteaussitt que fest lhomothtie de centre O et de rapport k .

    Proposition 32. Soit E un espace affine, et k un rel diffrent de 0 et de 1. Uneapplication affine deE dansEest une homothtie de rapportk si et seulement si sapartie linaire est une homothtie vectorielle de rapportk.

    28

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    30/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    On a obtenu la proposition27une caractrisation analogue des translations :

    Proposition 33. Une application affine dun espace affineEdans lui-mme est une

    translation si et seulement si sa partie linaire est lidentit deE.

    La proposition suivante se dduit immdiatement de ces deux caractrisations.Proposition 34. Lensemble des homothties et des translations dun espace affineE constitue un sous-groupe du groupe affine de E, appel groupe des homothties-translations.

    Plus prcisment, la compose de deux homothties de rapports k1 et k2 est unehomothtie de rapport k1k2 si k1k2 = 1, une translation si k1k2 = 1. La composedune homothtie de rapport k = 1et dune translation est une homothtie de rapportk. Lapplication rciproque dune homothtie de rapport k est lhomothtie de mmecentre et de rapport 1/k.

    Le groupe des homothties-translations est parfois aussi appel groupe des dilata-tions(mais il faut se mfier : ce terme a, pour certains auteurs, un autre sens).La proposition suivante caractrise gomtriquement les lments de ce sous-groupe :

    Proposition 35. Une transformation affine est une homothtie ou une translation siet seulement si elle transforme toute droite en une droite parallle.

    Dmonstration : Soitfune transformation affine deE. Pour tout vecteur non nul udeEet tout pointAde E, la droite de vecteur directeur upassant parAest transformeparfen la droite de vecteur directeur f(u)passant parf(A). La condition de lnoncquivaut donc ftransforme tout vecteur non nul de

    Een un vecteur colinaire .

    Cette condition est videmment vrifie si fest une homothtie ou une translation.Rciproquement, si cette condition est vrifie, il existe pour tout vecteur non nul

    u de

    E un rel (u) tel que f(u) = (u)u. Il faut montrer que (u) ne dpend pasde u, autrement dit que (u) = (v)pour tout couple (u, v) de vecteurs non nuls deE. Si v est colinaire u, il existe un rel tel que v = u et par linarit de ff(v) = f(u) = (u)u=(u)v, do (v) = (u). Si uet v ne sont pas colinaires,le systme (u, v)est libre et lgalit

    (u + v)u + (u + v)v= (u + v)[u + v] = f(u + v) = f(u) + f(v) =(u)u + (v)v

    montre que (u+ v) = (u) = (v). Le rel = (u) ne dpend donc pas de uet f

    est lhomothtie vectorielle de rapport . Il rsulte alors de la proposition32que festune homothtie si = 1 et de la proposition33que fest une translation si = 1.

    Il faut bien distinguer cette proprit de la conservation du paralllisme : toutetransformation affine transforme des droites parallles en des droites parallles ; maisseules les homothties et les translations transforment toute droite en une droite pa-rallle elle-mme.

    29

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    31/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    1.9 Projections, symtries, affinits

    SoitEun espace affine,Fun sous-espace affine deEetG un sous-espace vectoriel

    deE supplmentaire de

    F. Il rsulte de la proposition9que, pour tout point M de

    E, lintersection F

    Aff(M,

    G )de Fet du sous-espace affine Aff(M,

    G )de directionG passant par Mest constitue dun point M et dun seul (ce point M est luniquepoint de F vrifiant

    MM

    G). On peut donc dfinir une application p de Edans

    lui-mme parp(M) =M. Cette application est appeleprojection surFparalllement

    G ou dans la direction

    G .

    Figure4 Projection et symtrie dans le plan et dans lespace.

    Soit alors M le symtrique de Mpar rapport M : on a doncMM = 2

    MM.

    Lapplication s de Edans lui-mme qui M associe M est appele symtrie par

    rapport F paralllement G ou dans la directionG .Plus gnralement, pour tout rel, on dfinit laffinitde baseF, de direction

    G

    et de rapport comme lapplication qui au point M associe le point M dfini parMM =

    MM. La projection et la symtrie sont donc des cas particuliers daffinits

    correspondant respectivement = 0et = 1.

    Remarques :

    1. Si F = E,

    G = {0} ; la projection, la symtrie, et les affinits prcdemmentdfinies sont alors toutes gales lidentit. Si au contraire F est rduit unpoint,

    F = {0} et

    G =

    E. Il en rsulte que la projection p est lapplication

    constante envoyant tout point de E sur F, la symtrie s est lhomothtie decentre ce point et de rapport 1 (on parle alors de symtrie centrale) et, plusgnralement, laffinit de rapport est lhomothtie de rapport et de centrece point.

    2. Le sous-espace Fne suffit pas dterminer la projection : il faut en prciser ladirection. Si on remplace

    G par un autre supplmentaire de

    F, la projection p

    30

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    32/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    est radicalement change (quoique son imagep(E)soit toujours gale F). Dansle cas des espaces affines euclidiens, on verra quil existe une direction privilgie :celle de lorthogonal de

    F dans

    E ; on omettra alors de mentionner

    G , et on

    parlera simplement deprojection orthogonale. La mme remarque est valable pour

    les symtries et les affinits.Rappels dalgbre linaire : projections et symtries vectorielles.

    SoitEun espace vectoriel de dimension finie et

    E1et

    E2 deux sous-espaces vec-

    toriels supplmentaires deE. Tout vecteur ude

    Escrit de manire unique sous la

    formeu= u1+ u2, avec ui Ei (i= 1, 2). Les deux applications p1 et p2 de

    E dans

    lui-mme dfinies par pi(u) =ui (i= 1, 2) sont linaires et vrifient les relations : pi pi= pi(i= 1, 2) ; p1 p2= p2 p1 = 0, p1+p2= idE;

    Ker p1= Im p2 =E2, Ker p2= Im p1 =

    E1.

    Elles sont appeles projection sur

    E1 (resp.

    E2) dans la direction (ou paralllement)

    E2(resp.

    E1).

    Les deux applications s1 et s2 de

    Edans lui-mme dfinies par s1(u) = u1 u2,s2(u) =u2 u1 sont appeles symtrie par rapport

    E1 (resp.

    E2) de direction(ou

    paralllement )E2 (resp.

    E1).

    Elles sont linaires, bijectives et vrifient les relations : si si= idE (i= 1, 2) ; s1= p1 p2= 2p1 idE,s2 = p2 p1 = 2p2 idE; s1 s2 = s2 s1= idE,s1+ s2= 0.

    Rciproquement, si p est une application linaire de

    E dans lui-mme vrifiantp p= p, les deux sous-espaces vectoriels Im pet Ker pde E sont supplmentaires etpest la projection sur Im pparalllement Kerp.De mme, si sest une application linaire de

    E dans lui-mme vrifiant s s = id

    E

    (on dit que s est involutive), s admet exactement les deux valeurs propres +1 et -1(sauf si s = id

    E, auquel cas elle nadmet quune valeur propre), et les noyaux des

    applications linaires sidE

    et s+idE

    (i.e. les sous-espaces propres de scorrespondant

    ces deux valeurs propres) sont des sous-espaces vectoriels supplmentaires deE; s

    est alors la symtrie par rapport au premier paralllement au second.

    Proposition 36. Soit F un sous-espace affine dun espace affine E et

    G un sous-

    espace vectoriel supplmentaire de

    F dans

    E. La projection p sur F paralllement

    G (resp. la symtrie s par rapport F paralllement

    G ) est une application

    affine, dapplication linaire associe la projection vectoriellep surF paralllement

    G (resp. la symtrie vectorielles= 2pid

    Epar rapport

    Fparalllement

    G ). Plus

    gnralement, laffinitfde baseF, de directionG et de rapport est une application

    affine, dapplication linaire associe f=p + (idE

    p).

    31

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    33/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dmonstration : SoientMetNdeux points quelconques deE,M etN leurs projetssurFdans la direction

    G ,M etN leurs symtriques par rapport Fdans la direction

    G . Par la relation de Chasles, on a

    MN=

    MM+

    MN+

    NN. Mais le vecteur

    MN

    appartient

    F et le vecteur MM +

    NNappartient

    G comme somme de deux

    vecteurs de G . On a donc MN = p(MN)par dfinition de la projection vectoriellep, ce qui montre que p est affine de partie linaire p.

    De mme lgalit

    MN =

    MM+

    MN+

    N N

    =MN 2(

    MM +

    NN)

    =MN 2(

    MN p(

    MN))

    = (2p idE

    )(MN)

    =s(

    MN)montre que la symtrie sest affine de partie linaire la symtrie vectorielle s.

    La dmonstration pour laffinit est analogue.

    Une projection, tant affine, conserve les rapports de mesures algbriques sur unemme droite. La partie directe du thorme de Thalsne fait que traduire cette pro-prit :

    Thorme 3. (Thorme de Thals)Soient A, B, C trois droites parallles distinctes dun plan affine P coupant

    deux droitesD etD respectivement enA, B, C etA, B, C. Alors

    AB

    AC =

    AB

    AC . ()

    Rciproquement, soient A, B, C trois droites distinctes dun plan affine Pcoupant deux droitesD etD respectivement enA,B , CetA, B , C. On supposeAetB parallles, C etC distincts et

    AB

    AC =

    AB

    AC .

    AlorsCest parallle A etB.

    Dmonstration : La partie directe du thorme rsulte immdiatement du caractreaffine de la projection p sur D dans la direction commune des droites A,B,C : siuest un vecteur directeur deDet si les mesures algbriques surDsont dfinies partirde ce vecteur, les relations

    AB =AB u,

    AC=AC uimpliquent

    AB =

    p(A)p(B) =

    p(AB) =AB p(u),

    AC =

    p(A)p(C) =p(

    AC) =AC p(u). En dfinissant les mesures

    32

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    34/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Figure5 Le thorme de Thals dans le plan et dans lespace.

    algbriques sur D en prenant p(u)comme vecteur directeur (ce vecteur nest pas nul,

    et on rappelle que les rapports de mesures algbriques sur une droite ne dpendent pasdu choix du vecteur directeur), la relation()en rsulte immdiatement.Rciproquement, supposons la relation () vrifie. La parallle A mene par

    Ccoupe la droite D en un point C qui vrifie AB

    AC =

    AB

    ACpar la partie directe du

    thorme. Il en rsulte AB

    AC =

    AB

    AC, do AC = AC et C = C, ce qui montre

    queCest parallle A.

    La partie directe du thorme de Thals ne faisant que traduire le caractre af-fine des projections, on peut noncer un thorme analogue en toute dimension, enparticulier dans lespace de dimension 3 :

    Thorme 4. (Thorme de Thals dans lespace) Soient A, B, C trois plansparallles distincts de lespace coupant deux droitesD etD respectivement enA, B,C etA, B, C. Alors

    AB

    AC =

    AB

    AC . ()

    .

    Mais le thorme de Thals dans lespace nadmet pas de rciproque analogue celle du thorme de Thals dans le plan : si on suppose les plans Aet B parallleset la relation ()vrifie, on ne peut en dduire que Cest parallle A et B. Ona cependant :

    Proposition 37. SoientD etD deux droites de lespace, A, B, C trois points deD,A, B, C trois points deD, ces six points tant supposs tous distincts. Si

    AB

    AC =

    AB

    AC ,

    alors les trois droites(AA), (BB ), (CC) sont parallles un mme plan.

    33

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    35/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    Dmonstration : Si les droites(AA)et (BB )sont parallles, les droitesD etD sontcoplanaires et (CC)est parallle (AA)et (BB )par le thorme de Thals dans leplan.

    Sinon, soientA,B,Cles plans passant respectivement parA,B,Cde direction

    le plan vectoriel engendr par les vecteurs

    AA

    et

    BB

    . Ces trois plans sont parallles etla droite(AA)(resp.(BB )) est incluse dansA(resp.B) de sorte queA(resp.B)

    coupeD enA (resp.B ). Le planCcoupeD en un pointC qui vrifieAB

    AC =

    AB

    ACdaprs le thorme direct. Il en rsulte AC =AC, do C =C. La droite (CC)est donc incluse dans C.

    34

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    36/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    2 Entranement

    2.1 Vrai ou faux

    Vrai-Faux 1.Soit Eun espace affine et

    E lespace vectoriel associ. Parmi les affir-mations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

    1. Pour tout vecteurvdeE, il existe un couple (A, B)de points de Eet un seul

    tel queAB= v.

    2. Pour tout vecteur v de E, il existe un couple (A, B) de points de E tel queAB= v.

    3. Pour tout point Ade Eet tout vecteur vdeE, il existe un point Bde Eet

    un seul tel queAB= v.

    4. Pour tout couple(A, B)de points deE, il existe un unique vecteurvdeE tel

    quev=

    AB.5. Pour tout triplet (A,B,C)de points de E, on a

    BC=

    AB

    AC.

    6. Pour tout point B de Eet tout vecteur v deE, il existe un unique point A

    de Etel queAB= v.

    7. Pour tout couple (A, B)de points de E, il existe un unique point Cde Etelque

    CA=

    CB.

    Vrai-Faux 2.SoitEun espace affine etA,B,Ctrois points deE. Parmi les affirmationssuivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi?

    1. Le vecteurOA 2

    OB+

    OCne dpend pas du point OdeE.

    2. Le point Mdfini parOM=

    OA 2

    OB+

    OCne dpend pas du point O de

    E.

    3. Le point Mdfini parOM =

    OA

    OB +

    OCne dpend pas du point Ode

    E.

    4. Le point Mdfini par 4OM =

    OA+ 2

    OB +

    OCne dpend pas du point O

    de E.

    5. Le vecteurvdfini par3 v=OA +

    OB +

    OCne dpend pas du point O de E.

    Vrai-Faux 3.Soit Eun espace affine, n et m deux entiers strictement positifs, A1, . . . , An

    et B1, . . . , Bm des points de E, G lisobarycentre des points A1, . . . , An, H lisobary-centre des points B1, . . . , Bm, Klisobarycentre des n+m points A1, . . . , An, B1, . . . , Bm.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pour-quoi?

    1. Kest toujours le milieu du segment [GH].

    2. Kappartient toujours au segment [GH].

    35

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    37/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    3. nKG= m

    KH.

    4. nKG + m

    KH= 0.

    5. Happartient la droite (KG)(en supposant G =K).

    6.

    Happartient au segment [KG].7. n

    KG=

    ni=1

    KAi.

    8. K=Hsi et seulement si H=G.

    Vrai-Faux 4.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sontfausses, et pourquoi ?

    1. Tout segment est convexe.

    2. Une droite prive dun point est convexe.

    3. Un plan priv dun point est convexe.

    4. Le graphe dune fonction convexe de Rdans Rest convexe.5. Le graphe dune fonction affine de Rdans Rest convexe.

    6. Lenveloppe convexe de la runion de deux droites scantes est le plan conte-nant ces droites.

    7. Lenveloppe convexe dune partie borne du plan est borne.

    8. Lenveloppe convexe de la runion de deux droites non coplanaires de lespaceEde dimension 3 est E.

    Vrai-Faux 5.Soit, dans un espace affineE,hune homothtie de centre Aet de rapport= 1et fune transformation affine de Etelle que f(A)=A. Parmi les affirmations

    suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi?1. f h= h f.

    2. f h f1 est une homothtie de rapport .

    3. f h f1 est une homothtie de centre A.

    4. h1 est une homothtie de centre A.

    5. h f h1 est une homothtie de centre A.

    Vrai-Faux 6.Le cadre est un espace affine de dimension trois. Dire pour chacune desaffirmations suivantes si elle est vraie ou fausse (en justifiant votre rponse).

    1. Si deux droites sont parallles un mme plan, elles sont parallles entre elles.2. Si deux plans sont parallles, toute droite qui coupe lun coupe lautre.

    3. Si une droiteDest parallle un planP, tout plan non parallle PrencontreD.

    4. tant donns deux plans scants, toute droite parallle ces deux plans estparallle leur intersection.

    36

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    38/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    5. tant donnes deux droites non coplanaires, il existe toujours au moins unplan tel que ces deux droites soient parallles ce plan.

    6. tant donns deux plans scants, deux droites parallles chacun de ces deuxplans sont ncessairement parallles entre elles.

    7. Soient Det D deux droites non parallles de lespace ; il existe un planP etun seul contenant Dtel que D soit parallle P.

    Vrai-Faux 7.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sontfausses, et pourquoi ?

    1. Toute transformation affine qui transforme toute droite en une droite parallleest une homothtie ou une translation.

    2. Toute transformation affine dont la partie linaire est id est une symtriecentrale.

    3. Toute transformation affine admettant un point fixe et un seul est une homo-thtie.

    4. Toute transformation affine dont la partie linaire est lidentit est une trans-lation.

    5. Toute transformation affine qui transforme deux droites parallles quelconquesen deux droites parallles est une homothtie ou une translation.

    6. Toute transformation affine transforme un paralllogramme non aplati en unparalllogramme non aplati.

    Vrai-Faux 8.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sontfausses, et pourquoi ?

    1. Une figure borne du plan ne peut pas admettre deux centres de symtrie

    distincts.2. Une figure borne du plan ne peut pas admettre deux axes de symtrie dis-

    tincts.3. Toute transformation affine du plan conservant globalement une droite possde

    au moins un point fixe.4. Toute transformation affine du plan conservant globalement un ensemble fini

    de points possde au moins un point fixe.5. Toute application affine pdu plan dans lui-mme vrifiant p p = pest une

    projection.6. Toute application affine pdu plan dans lui-mme vrifiant p p = pest une

    projection.7. Si s est une symtrie de lespace par rapport une droite D dans la direction

    dun planP, pour tout couple(M, N)de points nappartenant pas Dles droites(Ms(M))et (N s(N))sont parallles.

    8. Toute application affine s de lespace affine Edans lui-mme vrifiant ss= idEest une symtrie affine .

    37

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    39/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    2.2 Exercices

    Exercice 1.On appellemdianesdun triangle non aplatiABCles trois droites(AA),(BB ), (CC)joignant un sommet de ce triangle au milieu du ct oppos.

    1. crire lisobarycentreGdun triangleABCcomme barycentre des points Aet A

    (resp.B et B , Cet C), o A, B , C sont les milieux respectifs de [BC],[CA],[AB]. Montrer que

    AA= 3

    AG,

    BB = 3

    BG,

    CC= 3

    CG.

    2. En dduire que lisobarycentre dun triangle non aplati appartient aux trois m-dianes de ce triangle, qui sont donc concourantes.

    Exercice 2.Soient A et Bdeux points dun espace affineEet Ile milieu du segment[AB]. Pour tout point MdeE, on note M lisobarycentre des trois points A, B , M.

    1. Comparer les vecteursIMet

    IM.

    2. En dduire la nature gomtrique de lapplication de EdansEqui tout pointMassocie le point M.

    Exercice 3. Triangle des milieuxSoit ABCun triangle, A, B, C les milieux des segments [BC], [CA], [AB], G

    lisobarycentre des pointsA, B ,C.

    1. Montrer que G est lisobarycentre des trois points A,B, C.

    2. En dduire que le triangle ABC (quon appelleratriangle des milieuxdu triangleABC) est limage du triangleABCpar une homothtie dont on prcisera le centreet le rapport.

    3. Montrer queBC=2

    BC,

    CA= 2

    CA,

    AB= 2

    AB.

    4. tant donn un triangle ABC, montrer quil existe un triangle ABCet un seuldont il est le triangle des milieux. Donner, dans le cas o le triangle ABC nestpas aplati, une construction du triangle ABCne faisant intervenir que des tracsde parallles.

    Exercice 4. Quadrilatre des milieuxSoit, dans un plan affine E,ABCDun quadrilatre, I,J, K,L,M, N les milieux

    respectifs des segments [AB],[BC],[CD], [DA], [AC],[BD].

    1. Montrer que les segments[IK],[JL]et[MN]ont tous pour milieu lisobarycentredes quatre pointsA,B,C, D.

    2. En dduire que IJKL, IMKNet JMLNsont des paralllogrammes.

    3. Retrouver ces rsultats en exprimant les vecteursIJ,

    LK,

    IM,

    NK,

    JM,

    N L

    en fonction des vecteursAC,

    BC,

    BA.

    Exercice 5.Soit dans lespaceABCDun ttradre non aplati. On appellebimdianesde ce ttradre les trois segments joignant les milieux de deux artes opposes et m-dianesles quatre segments[AA],[BB ],[CC],[DD]joignant un sommet lisobary-centre des trois autres sommets. Montrer que lisobarycentre G des pointsA,B ,C,D

    38

  • 7/25/2019 Gomtrie Affine

    40/68

    Maths en Ligne Gomtrie affine UJF Grenoble

    est le milieu des trois bimdianes et quil appartient aux quatre mdianes. Comparerles vecteurs

    AGet

    AA(resp.

    BGet

    BB,

    CGet

    CC,

    DGet

    DD).

    Exercice 6.Soit, dans lespace affine de dimension 3, D1 une droite dfinie par unpointAet un vecteur directeuruet D2une droite dfinie par un point B et un vecteurdirecteurv. Montrer queD1etD2sont coplanaires si et seulement si les trois vecteursu,vet

    ABsont lis.

    Exercice 7.Soit, dans lespace affine de dimension 3 rapport un repre cartsien,Pun plan dquationax + by + cz+ d= 0et Dune droite de vecteur directeuru(,, ).Donner une condition pour que D soit parallle P.

    Exercice 8.Lespace de dimension 3 est rapport un repre cartsien. crire lqua-tion du plan passant par le point(0, 1, 0)et parallle au plan dquationx+yz+3 = 0.

    Exercice 9.Soit, dans lespace affine de dimension 3 rapport un repre cartsien,Dla droite dquations x+y z+ 3 = 0, 2x+z 2 = 0. Donner lquation du plan Pcontenant D et passant par le point (1, 1, 1).

    Exercice 10.Soient P1,P2, P3trois plans de lespace de dimension trois, deux deuxnon parallles. Montrer que les trois droites D1= P2 P3,D2 = P3 P1,D3= P1 P2sont parallles ou concourantes.

    Exercice 11.Dans lespace affine de dimension 3 rapport un repre cartsien, soitDla droite de vecteur directeur (3, 1, 1)passant par le point de coordonnes(2, 0, 1),Ple plan passant par le point (1, 1, 1)et de vecteurs directeurs (2, 3, 1)et (1, 2, 0),P le plan passant par le point (5, 3, 0)et de vecteurs directeurs(1, 1, 1)et (0, 3, 1).DterminerP Det D P.

    Exercice 12. 1. Montrer que trois droites D, D, D du plan affine, dquationsrespectivesax + by+