Geometrie

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Petra Drápelová

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Trojúhelník - výšky a těžnice

VY_32_INOVACE_05_3_06_M2

1

ROZDĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ PODLE

ÚHLŮ

2

VÝŠKY V TROJÚHELNÍKU

Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na

protější stranu.

V každém trojúhelníku lze sestrojit 3výšky.

Výšky se protínají v jednom bodě…průsečík

výšek…ortocentrum

3

4

Příklady

1. Sestrojte trojúhelník, ve kterém jsou všechny

výšky stejně dlouhé. O jaký typ trojúhelníku se

jedná?

2. Existuje trojúhelník, který má dvě na sebe

kolmé výšky?

3. Který trojúhelník má právě dvě stejně dlouhé

výšky?

5

TĚŢNICE V TROJÚHELNÍKU

Těţnice je spojnice vrcholu a středu protější

strany.

V každém trojúhelníku existují tři těžnice.

Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá

TĚŢIŠTĚ.

6

Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1. (1 díl ke straně,

2 díly k vrcholu)

7

Příklady

1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku?

2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném

trojúhelníku?

3. Co platí pro těžiště a těžnice

rovnoramenném trojúhelníku?

4. Jsou dány tři různé body A; B; T, které neleží

v přímce. Sestrojte trojúhelník ABC, kde bod

T bude těžiště.

8

STŘEDNÍ PŘÍČKY V TROJÚHELNÍKU

Střední příčky jsou spojnice středů stran

trojúhelníku.

V každém trojúhelníku lze sestrojit tři střední příčky.

Střední příčka je rovnoběžná se svojí protilehlou

stranou a její velikost je rovna polovině velikosti

této strany.

9

Střední příčky rozdělují trojúhelník na čtyři shodné

trojúhelníky.

10

Příklad

1. Narýsujte libovolný ostroúhlý trojúhelník

KLM. V tomto trojúhelníku sestrojte všechny

jeho výšky, těžnice a střední příčky.

Vyznačte těžiště a ortocentrum.

2. Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC o

straně 4 cm. Sestrojte všechny jeho výšky a

těžnice. Co pro ně platí?

11

KRUŢNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU

Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi vrcholy

trojúhelníku.

Střed kružnice opsané leží

v průsečíku os stran.

Poloměr kružnice opsané je

roven délce úsečky průsečík os

stran a vrcholu trojúhelníku.

12

Příklad

Sestrojte kružnici k, která je kružnicí opsaná

trojúhelníku XYZ.

Řešení:

1) sestrojíme trojúhelník XYZ;

2) sestrojíme osy stran trojúhelníka o1, o2, o3;

3) průsečík os označíme jako bod O;

13

4) sestrojíme opsanou kružnici k, která je

určena průsečíkem os stran a poloměrem OX (

OY; OZ).

14

Příklady

1. Bude ležet střed kružnice opsané S vždy

uvnitř trojúhelníku?

2. Kde leží střed kružnice opsané u pravoúhlých

trojúhelníků?

15

KRUŢNICE VEPSANÁ

Kružnice se dotýká všech tří stran trojúhelníku.

Strany jsou tečny této kružnice.

Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os úhlů.

Poloměr kružnice vepsané je

kolmý ke stranám, jeho velikost

je rovna vzdálenosti průsečíku

od strany.

16

Příklady

1. Může se střed kružnice vepsané ležet vně

trojúhelníku?

2. Sestrojte libovolný pravoúhlý trojúhelník

ABC. Sestrojte kružnici opsanou a kružnici

vepsanou tomuto trojúhelníku.

17

3. Zvolte tři různé body A, B a C, které neleží v

přímce. Narýsujte kružnici m, která prochází

body A, B a C.

4. Zvolte tři různoběžné přímky p, q, r,

Narýsujte kružnici k, která se dotýká všech třech

přímek.