121
Geometrické zajímavosti Zbyn ˇ ek Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta

Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Geometrické zajímavosti

Zbynek Šír

Matematický ústav UKMatematicko-fyzikální fakulta

Page 2: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Motto

Matematika na pomezí strední a vysoké školymá schopnost ucinit (talentovaného) cloveka št’astným.

Page 3: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 4: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 5: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 6: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 7: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 8: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 9: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 10: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 11: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 12: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 13: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 14: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 15: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 16: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 17: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 18: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 19: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 20: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rezací dukaz Pythagorovy vety

Page 21: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Wallace-Bolyai-Gerwienova veta

Page 22: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Obdélník na ctverec

Page 23: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Obdélník na ctverec

Page 24: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Obdélník na ctverec

Page 25: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Eukleiduv dukaz - deduktivní hiearchie

Page 26: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Upravený citát

Dukazu Pythagorovy vety je dvakrát víc než matematiku,protože každý ctvrtý jich vymyslí osm.

podle D. Preisse

Page 27: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 28: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 29: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 30: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 31: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 32: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 33: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 34: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 35: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 36: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 37: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 38: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 39: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 40: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 41: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 42: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 43: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 44: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 45: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 46: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 47: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 48: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 49: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 50: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 51: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 52: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 53: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 54: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 55: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 56: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 57: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 58: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 59: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 60: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 61: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 62: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 63: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 64: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 65: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 66: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 67: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 68: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 69: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 70: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 71: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 72: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 73: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 74: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 75: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 76: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 77: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 78: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 79: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 80: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 81: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 82: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 83: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 84: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 85: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 86: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 87: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 88: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 89: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 90: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 91: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 92: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 93: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorova veta a podobnost

Page 94: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak krásná

Ekvivalence(γ =

π

2

)⇔ (obsah �+ obsah � = obsah �)

je fajn, ale ne úchvatná.

Navíc ale existence celocíselných pythagorejskýchtrojúhelníku, (napríklad 3,4,5).Díky tomu Pythagorova veta známá v mnoha kulturách,Babylónská tabulka cca 1800 pr. Kr.Navíc význam pravého úhlu pro (recké) geometricképoznání.

Page 95: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak krásná

Ekvivalence(γ =

π

2

)⇔ (obsah �+ obsah � = obsah �)

je fajn, ale ne úchvatná.Navíc ale existence celocíselných pythagorejskýchtrojúhelníku, (napríklad 3,4,5).

Díky tomu Pythagorova veta známá v mnoha kulturách,Babylónská tabulka cca 1800 pr. Kr.Navíc význam pravého úhlu pro (recké) geometricképoznání.

Page 96: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak krásná

Ekvivalence(γ =

π

2

)⇔ (obsah �+ obsah � = obsah �)

je fajn, ale ne úchvatná.Navíc ale existence celocíselných pythagorejskýchtrojúhelníku, (napríklad 3,4,5).Díky tomu Pythagorova veta známá v mnoha kulturách,Babylónská tabulka cca 1800 pr. Kr.

Navíc význam pravého úhlu pro (recké) geometricképoznání.

Page 97: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak krásná

Ekvivalence(γ =

π

2

)⇔ (obsah �+ obsah � = obsah �)

je fajn, ale ne úchvatná.Navíc ale existence celocíselných pythagorejskýchtrojúhelníku, (napríklad 3,4,5).Díky tomu Pythagorova veta známá v mnoha kulturách,Babylónská tabulka cca 1800 pr. Kr.Navíc význam pravého úhlu pro (recké) geometricképoznání.

Page 98: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.

Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 99: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.

Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 100: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.

Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 101: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.

Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 102: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.

Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 103: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Definice a postuláty o úhlech

Rovinný úhel je vzájemný sklon dvou car, které senavzájem stýkají v rovine a které neleží v prímce.Když jsou cáry svírající úhel prímé, nazývá se tento úhelprímocarý.Když prímá cára, která je postavena na prímou cáru,vytvárí navzájem stejne velké sousední úhly, je každýz techto stejne velkých úhlu pravý a postavená prímá cárase nazývá kolmá na tu, na kterou byla postavena.Tupý úhel je ten, který je vetší než pravý.Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.Necht’ se požaduje, aby si všechny pravé úhly bylynavzájem rovny.

Page 104: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak kráná

Pro celocíselné trojúhelníky

pravý úhel ⇔ a2 + b2 = c2

Hluboce propojuje základní pojmy dvou zcela odlišnýchsvetu.Podobný prípad v recké vede

kvinta ⇔ 3 : 2.

Moderní výsledky spojující topologii s geometrií, analýzou,algebrou. Napríklad pro plochu S, která vypadá jako sféraplatí Gauss-Bonnetova veta∫

SK dS = 2πχ = 4π.

Page 105: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak kráná

Pro celocíselné trojúhelníky

pravý úhel ⇔ a2 + b2 = c2

Hluboce propojuje základní pojmy dvou zcela odlišnýchsvetu.

Podobný prípad v recké vede

kvinta ⇔ 3 : 2.

Moderní výsledky spojující topologii s geometrií, analýzou,algebrou. Napríklad pro plochu S, která vypadá jako sféraplatí Gauss-Bonnetova veta∫

SK dS = 2πχ = 4π.

Page 106: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak kráná

Pro celocíselné trojúhelníky

pravý úhel ⇔ a2 + b2 = c2

Hluboce propojuje základní pojmy dvou zcela odlišnýchsvetu.Podobný prípad v recké vede

kvinta ⇔ 3 : 2.

Moderní výsledky spojující topologii s geometrií, analýzou,algebrou. Napríklad pro plochu S, která vypadá jako sféraplatí Gauss-Bonnetova veta∫

SK dS = 2πχ = 4π.

Page 107: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Proc je Pythagorova veta tak kráná

Pro celocíselné trojúhelníky

pravý úhel ⇔ a2 + b2 = c2

Hluboce propojuje základní pojmy dvou zcela odlišnýchsvetu.Podobný prípad v recké vede

kvinta ⇔ 3 : 2.

Moderní výsledky spojující topologii s geometrií, analýzou,algebrou. Napríklad pro plochu S, která vypadá jako sféraplatí Gauss-Bonnetova veta∫

SK dS = 2πχ = 4π.

Page 108: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorejské trojice

Všechny nesoudelné pythagorejské trojice lze získat zlibovolných prirozených císel q > p jako

a = q2 − p2

b = 2qpc = q2 + p2.

Prekvapive souvisí s komplexní mocninou

(q + pi)2 = (q2 − p2) + (2qp)i ,

tedy všechny pythagorejské trojúhelníky dostaneme jakodruhé mocniny Gaussových celých císel.

Page 109: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Pythagorejské trojice

Všechny nesoudelné pythagorejské trojice lze získat zlibovolných prirozených císel q > p jako

a = q2 − p2

b = 2qpc = q2 + p2.

Prekvapive souvisí s komplexní mocninou

(q + pi)2 = (q2 − p2) + (2qp)i ,

tedy všechny pythagorejské trojúhelníky dostaneme jakodruhé mocniny Gaussových celých císel.

Page 110: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Komplexní kvadratické rovnice

x2 − 3x + 2 = 0 (1)x2 − 4x + 5 = 0 (2)

x2 + (2 +√

3i)x − 14+

√3

2i = 0 (3)

x2 + (4 +√

5i)x + 1 + (2√

5− 6)i = 0 (4)

Page 111: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Parametrizace kružnice

Kružnici x2 + y2 = 1 obvykle parametrizujeme [cosα, sinα]

a

b

[cosα, sinα] =[

1−t2

1+t2, 2t

1+t2

]

αα

2

[0, t]

[−1, 0]

Souvislost t = tanα

2.

Page 112: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Racionální body na kružnici

c(t) =[

1−t2

1+t2 ,2t

1+t2

], jestliže t = p

q je racionální.

Dostáváme

c(pq) =

[q2 − p2

q2 + p2 ,2pq

q2 + p2

],

tedy vlastne pythagorejské trojice.Dobrá zpráva, úhlu s hezkým sinem a cosinem je hodne,bohužel tyto úhly nejsou hezké.Máme inverzní formuli

t =y

x + 1,

mužeme tedy najít p, q.

Page 113: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Lomené lineární funkce

Pro λ ∈ (0,∞) jsou funkce tvaru

f (x) =λx

(λ− 1)x + 1

krásné na intervalu x ∈ 〈0,1〉.

f (0) = 0, f (1) = 1.Jsou rostoucí a hladké.Krásne se skládají.Nepokazí nám parametrizaci kružnice.

Page 114: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Lomené lineární funkce

Pro λ ∈ (0,∞) jsou funkce tvaru

f (x) =λx

(λ− 1)x + 1

krásné na intervalu x ∈ 〈0,1〉.f (0) = 0, f (1) = 1.

Jsou rostoucí a hladké.Krásne se skládají.Nepokazí nám parametrizaci kružnice.

Page 115: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Lomené lineární funkce

Pro λ ∈ (0,∞) jsou funkce tvaru

f (x) =λx

(λ− 1)x + 1

krásné na intervalu x ∈ 〈0,1〉.f (0) = 0, f (1) = 1.Jsou rostoucí a hladké.

Krásne se skládají.Nepokazí nám parametrizaci kružnice.

Page 116: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Lomené lineární funkce

Pro λ ∈ (0,∞) jsou funkce tvaru

f (x) =λx

(λ− 1)x + 1

krásné na intervalu x ∈ 〈0,1〉.f (0) = 0, f (1) = 1.Jsou rostoucí a hladké.Krásne se skládají.

Nepokazí nám parametrizaci kružnice.

Page 117: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Lomené lineární funkce

Pro λ ∈ (0,∞) jsou funkce tvaru

f (x) =λx

(λ− 1)x + 1

krásné na intervalu x ∈ 〈0,1〉.f (0) = 0, f (1) = 1.Jsou rostoucí a hladké.Krásne se skládají.Nepokazí nám parametrizaci kružnice.

Page 118: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rotace v rovine

S

X

X ′

ϕ

AB

CA′

B′C ′

Jestliže stred otácení je pocátek [0,0], pak máme

x ′ = (cosφ)x − (sinφ)yy ′ = (sinφ)x + (cosφ)y .

Page 119: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rotace v prostoru - Rodriguesova formule

Jak spocítáme rotaci vektoru r ∈ R3 kolem jednotkovéhovektoru n o úhel θ proti smeru hodinových rucicek.

r = r1 + r2r1 projekce do n, r1 = (r · n)nr2 kolmý k n, r2 = r− r1

v kolmý k n, r2, v = n× r2 = n× r(r′)2 = r2 cos θ + v sin θ

(r′)1 = r1

r′ = (1− cos θ)(r ·n)n+ r cos θ+(n× r) sin θ

v r2(r′)2

θ

r1 = (r′)1

n

rr′

Page 120: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Rotace v prostoru

Page 121: Geometrické zajímavostimg.karlin.mff.cuni.cz/materialy/SIR_prednaska.pdf · Proc je Pythagorova vˇ eta tak krásnᡠEkvivalence = ˇ 2 , (obsah +obsah = obsah ) je fajn, ale

Záverecné motto

Studenti (zvlášte talentovaní) nám neodpustí,když nás matematika nebude bavit.