Geometric Mesh Processing: Mesh Generationvcg.isti.cnr.it/~cignoni/GMP2006/GMP_05_MeshGeneration.pdfMesh Generation Triangolazione di punti in 2D • Definizione del problema • Qualche

Geometric Mesh Processing:Mesh Generation

Fabio Ganovelli

[email protected] CNR

Tipi di mesh: mesh strutturate

Una mesh regolare è una decomposizione in elementi i cui vertici sono espressi come mapping di un dominio più semplice

• Richiedono poca memoria

• Facilità di applicazione del metodo alle differenze finite

• difficile determinare mapping che approssimino “bene” domini complessi• non sempre possibile

Introduzione

),(f 00

),(f 10

),(f 11

),(f 01

)(f' Γ=Γ

],[],[ 1010 ×=Γ'Γf

Tipi di mesh: mesh non strutturateDecomposizione in elementi finiti

• possibilità di approssimare domini arbitrariamente complessi

• Maggiore richiesta di memoria per la memorizzazione

Introduzione

Da dove vengono le mesh?

Mesh GenerationTriangolazione di punti in 2D• Definizione del problema• Qualche algoritmo

Superfici 2D embedded in 3D• Ricostruzione da sezioni planari (tiling)• Marching Cubes• Ball Pivoting

Mesh di volume• Misure di Qualità

– Poliedri non triangolabili – Punti di Steiner

• Triangolazione di poliedri– Advancing front approach– Medial axis transform– Bubble Meshing (ricostruzione di domini non manifold)

• Triangolazione di Point set– Alpha shapes

Definizioni

• Una mesh è una decomposizione di un sottoinsieme compatto di in celle.

• Un simplesso in n dimensioni è il luogo dei punti ottenuti come combinazione convessa di n+1 punti

• Un complesso simpliciale ΣΣΣΣ in n dimensioni è un insieme di simplessi tale che:

– 1. tutte le facce di ogni n-simplesso appartengono a ΣΣΣΣ– 2. per ogni coppia di simplessiσ e τ vale:

– 3. n è il massimo ordine dei simplessi di ΣΣΣΣ

nR

∅=

entrambidifacciaunaτσ I

Introduzione

Mesh simpliciali in

Input PoligonoSemplice

Poligonocon buchi

PSLG (PlanarStraight Line

Graph)

Point Set

Compl.in tempo O(n) O(n log h) O( n log n) O(n log n)

Problemi NP-completi:

– dire se un PSLG (con intersezioni) contiene una triangolazione [Lloyd77]

– dire se una collezione di triangoli contiene una triangolazione

2RMesh Generation in due dimensioni

Criteri di ottimalità

Un criterio di ottimalità si definisce con funzioni f: T → R, di tipo:

o

dove f (t) misura la bontà di un triangolo

perché f sia ben definita deve avere un solo minimo in corrispondenza del triangolo ideale (es: equilatero) e massimo non limitato

f (τ ) può basarsi sull’angolo minimo o massimo, sulla lunghezza del lato più lungo/corto, sull’area del più piccolo/grande cerchio inscritto/circoscritto, sull’aspect ratio tra tutti i triangoli della mesh

{ }Γ∈= ττ :)(fmax[min]f ∑Γ∈

=τ

τ )(ff

Mesh Generation in due dimensioni

Es: Aspect Ratio

a

cb

h

Def: L’aspect ratio è data dal rapporto tra il lato più lungo e l’altezza relativa a tale lato

h

a)t(f =

+∞≤≤ )t(f3

2a

h3

2=)t(f

a

h

+∞→)t(f

L’aspect ratio è legata all’angolo minimo θ :

θθ sin)t(f

sin

21 ≤≤


min

max

Triangolazione di Delaunay

• Def: Cella di Voronoi di un punto p∈ S:

• Def: Diagramma di Voronoi di un point set S:

• Def: Triangolazione di Delaunay di un point set S: triangolazione contenente tutti e soli i lati che connettono duepunti che condividono un lato della cella di Voronoi (duale del diagramma di Voronoi)

}Sp|xp||xp|:x{cV jjih

i ∈∀≤ℜ∈=


icVV U=

Qualche proprieta’ ….Dato un insieme di vertici, un edge {a,b} appartiene a DT sse esiste un cerchio passante per a e b non contenente nessun altro vertice

Dato un insieme di vertici, un triangolo {a,b,c} appartiene a DT sse il cerchio passante per a,b e c non contiene nessun altro vertice

a

b

a

b

a

bc

a

bc


Preview di domani

• Lift-transformation

• Proprieta’ incredibile:– La proiezione sul piano dell’intersezione dei piani tangenti ai punti

“lifted” produce in diagramma di Voronoi dei punti sul piano

),,(),(

,,,),,(

:

22

0

211

1

yxyxyx

xxxxxn

iinn

nn

+=

=

ℜ→ℜ

∑=

+

ψ

ψ

ψ

KK

Ottimizzazioni di DT

• Ottimizza :– massimizza il minimo angolo

– minimizza il massimo circumcircle

– minimizza il massimo min-containment circle


Ottimizzazione: algoritmo di flipping [Lawson77]

Procedura di ricerca locale

b

a

dc

)()()(

)()()'(

Tfacdfabcf

bcdfabdfTf

=+

Ottimi globali

Variando il criterio per decidere quando due triangoli adiacentidevono essere “flippati” si possono ottimizzare diverse misure, es.:

– max-min angle (Delaunay)

– min-max circumcircle (Delaunay) ….

– Min-max min containment circle (Delaunay)

Ci sono criteri per i quali l’algoritmo di flipping termina in un ottimo locale , es.:

– min-max angle

– minimum total edge length (MWT)


Edge insertion [Edelsbrunner92]Generalizzazione dell’algoritmo di flipping

Aggiunta di un lato candidato

Retriangolazione

migliore

Ripristinaprecedente

s

n

a b1T

2T

a b1T

2T


Anchor propertyDef: data T , un vertice a di un triangolo abc è un anchor vertex se ∀T’ : f(T’) < f(T), T’ contiene un lato ad che interseca il triangolo in bc

Def: vale la weak anchor property per f sse :∀ T, ∀ abc ∈ T : f(abc) = f(T), uno dei vertici è un anchor vertex. Se ∀abc ∈ T , uno dei vertici è un anchor vertex vale la strong anchorproperty


Es: f(T) = max-angle gode della Weak Anchor Property

Teorema : se f soddisfa la WAP ⇒ l’algoritmo Edge Insertiondetermina l’ottimo globale in O(n3)Se vale SAP la complessità scende a O(n2log n)

Poligoni Semplici:Programmazione dinamica

Sia un poligono P, una sua diagonale ab e siano T e T’ due triangolazioni delle due parti del poligono diviso da ab

Def: f(T) è decomponibile se:• monotona• g è calcolabile in O(1)• se T è un triangolo, f(T) è calcolabile in O(1)

)b,a),T(f),T(f(g)T(f:g 21=∃


a b1T

2T

Areamin)T(f =)f,fmax()b,a,f,f(g 2121 =

Una triangolazione di un poligono semplice che ottimizzi una funzione decomponibile può essere calcolata in O(n3) [Klincsek80]

MWT)T(f =abff)b,a,f,f(g −+= 2121


∞+=

= +

altrimenti

diagonaleunaèsudiottimo

verticidaiformatopoligonodati 1

)v,v(se)j,i(Pf)j,i(F

v,,v,v)j,i(P,v,v

ji

jiiji K

)v,v),j,k(F),v,v),k,i(F,)vvv(f(g(gmin)j,i(F

globaleottimo)k,(F

jkkikjijki 43421≤≤

==1

iv

jvkv

Nell’implementazione F(1,k) è calcolato iterativamente

fdiottimo)n,(F =1

nv

Un Problema aperto: Minimum WeightTriangulation

Esiste un algoritmo polinomiale per determinare la triangolazione di un point set che minimizzi la lunghezza totale dei lati (o che la approssimi per O(1))? O il problema è NP-completo ? [Garey & Johnson79]

Se la funzione sui lati è generale, non correlata alla lunghezza, MWT è NP-completo [Lloyd77]

Qualunque triangolazione ha lunghezza totale O(n) volte l’ottimo[Kirkpatrik80]

La triangolazione di Delaunay può essere fino a Ω(n) volte l’ottimo [Manacher79]

Per poligoni convessi, la strategia greedy fornisce una approssimazione O(1) [Levcopoulus77]


Minimum Weight Triangulation: migliore approssimazione

1. Partizione del convex hull in poligoni convessi2. Triangolazione greedy dei poligoni

L’algoritmo fornisce una approssimazione O(log n) [Plaisted & Hong 87]


Mesh Generation in 3 dimensioni

Superfici 2D embedded in 3D• Ricostruzione da sezioni planari (tiling)• Marching Cubes• Ball Pivoting3D Mesh Generation• Misure di Qualità

– Poliedri non triangolabili

– Punti di Steiner

• Triangolazione di poliedri– Advancing front approach

– Medial axis transform

– Bubble Meshing (ricostruzione di domini non manifold)

• Triangolazione di Point set– Alpha shapes

Ricostruzione da sezioni planari [Bajaj96]

• Caso particolare di Point Set: i punti sono distribuiti su un insieme di piani paralleli (slices) • Input: insieme di slices, ognuna contenente un insieme di poligoniProblema : ricostruire la superficie dell’oggetto (degli oggetti) conoscendo i contorni su ogni slice

Slice 1

Slice 2

Generazione di Mesh Superficiali

Ricostruzione della superficie da sezioni planari

Criteri:1. La superficie ricostruita e le regioni sugli slices formano un insieme di

superfici chiuse2. L’intersezione tra una qualunque linea verticale passante per i due

slices e la superficie ricostruita è un punto, un lato o è vuota3. Il resampling della superficie ricostruita deve consistere nei contorni

originali


Il problema della corrispondenza

• Determinare in modo “corretto” (decidere in modo consistente) la corrispondenza tra i contorni


Il Problema della copertura (Tiling)

• Costruire le strisce di triangoli tra i contorni corrispondenti

Criteri:• minima superficie• minimo volume racchiuso• minima lunghezza dei lati

Problema di matching su grafi bipartiti


Il Problema della copertura (Tiling)

Esistono coppie poligoni per cui non è possibile effettuare un tiling


Il problema di branching

• Costruire la copertura (tiling) quando la corrispondenza tra i contorni non è 1:1

• Le tecniche adottate in c,d ed e violano il criterio (3)


Marching Cube:estrazione di isosuperfici da dataset volumetrici [Lorensen87] :

Output: superficie con valore αααα e con derivata lungo la normale non nulla (isosuperficie)

Input:- una griglia di punti regolare (quindi un insieme di celle cubiche) dove ad ogni punto (vertice) è associato un valore reale f (campo)- un valore scalare αααα

Il valore del campo in un punto p è ottenuto per interpolazione trilineare del valore nei vertici della cella che lo contiene

10 5

7 3

7.5 = α

57.f =

00p 10p

11p01p

∑=

=

−− −−⋅=1

0

11 11j,i

j,i

jjiiij y)y(x)x(f)y,x(f

y

x00,

1

1


Marching Cube: configurazioni


• Configurazioni possibili: 2^8=256, ma si riducono a quattordiciclassi di equivalenza considerando rotazioni mirroring e complemento

Marching Cube: LookUp Table


0 1

23

4 5

67

7 6 5 4 3 2 1 010000000

0 : nil1 : {e0,e4,e8}2 : ….3 : ….

…. …

255: nil

LookUpTable

Per ogni permutazione del valore del campo rispetto alla soglia, memorizza I triangoli della configurazione corrispondente

Marching Cubes: Implementazione

• “Marching”. L’algoritmo procede cella per cella, riga per riga, slice per slice. Da ogni cella si produce una triangolazione.

• Tranne che per le celle sul bordo della griglia considerare unanuova cella richiede solo valutare tre nuovi edges

• Se non si vuole duplicare i vertici occorre ricordarsi i verticicalcolati su edge condivisi da celle gia’ processate


Marching Cubes: pros/issues

• Pros:– Facile da implementare

– Veloce e non memory consuming

– Molto robusto

• Allora perche’ dall’87 ci hanno pubblicato fantastilioni di papers?


Issues:• Consistenza . Produrre una mesh C0 e manifold: casiambigui• Correttezza : Approssimare bene l’isosuperificie• Mesh complexity: il numero di triangoli prodotti da MC non dipende dalla forma della reale isosuperficie• Mesh quality: triangoli arbitrariamente brutti

Marching Cubes: casi ambigui

?



αα

Punti di sella

hzyyz)y,x,(f +++= gdc0

=⇒=+=∂

∂

=⇒=+=∂

∂

cg -y'0gc

0

cd

-z'0dc0

'yx

)'y,'x,(f

'zy

)'y,'x,(f

)'y,'x,(f 0

Valore del campo su una faccia


ELUT: Exhaustive LUT

…..

Face saddle pointsbody saddle point

ELUT:Per ogni configurazione ambigua determina la triangolazionecoerente in base ai valori dei punti di sella

Marching Tetrahedra

• Celle tetraedrali invece che cubiche• Solo 3 configurazioni (dalle 2^4 combinazioni di segno del vertice)• Risove le ambiguita’• ?


Marching Tetrahedra

• Approccio originale: le celle cubiche vengono divise in 5 (o 6) tetraedri.– La suddivisione determina la topologia

• Body centered cubic lattice: aggiunta di unvertice nel centro del cubo, suddivisionea diamanti– Suddivisione unica non ambigua

– Tutti tetraedri uguali

– Migliore superficie risultante


Adaptive triangulation

• Invece di fermarsi alla configurazione iniziale si puo’ raffinare(refine) selettivamente la superficie per approssimare megliol’isosuperficie


Extended MC

D2Y > 0

X

Y

D1X < 0D3X > 0

D1Y < 0

Surface

Exact intersectionpoint



MC

normaltangent element

normal

tangent element

Reconstructedsurface

Extended MC


Marching Cubes Extended Marching Cubes

Discretized Marching Cubes

• Il punto di attraversamento dell’isosuperficie e’ sempre il puntomedio

• Stesse configurazione del MC standard• Tutte le facce generate sono su un insieme si 13 piani• Dopo l’estrazione viene effettuato un passo di “merging” per

ottenere poligoni coplanari piu’ grandi


Dual Marching Cubes

• Un vertice per ogni patch generata da MC• Un quad per ogni edge intersecato (i 4 vertici associati alle

patch delle celle che condividono l’edge)• Tende ad eliminare triangoli brutti


Vertice del dual MC Vertice di MC

Generazione da punti: Ball Pivoting

• Una sfera di raggio ro “rotola” sui punti, ogni tripla di punti chetocca contemporaneamente forma un triangolo

• La superficie creata e’ interpolante• Raggio della sfera?


Generazione da punti: Ball Pivoting

• BPA puo’ essere usato come tecnica di remeshing– Distribuisci punti uniformemente su una superficie esistente

– Esegui BPA

• Quando e’ garantito che la topologia della mesh risultante e’ uguale alla mesh di partenza?

• Due condizioni sul sampling (o, dualmente, sul raggio dellasfera)– L’intersezione di qualunque sfera di raggio ro con la superficie e’

omeomorfo a un disco

– Qualunque sfera di raggio ro centrata in un punto della superficiecontiene almeno un vertice


Mesh di Volume

Mesh Volumetriche• Visualizzazione di oggetti o

campi scalari nello spazio tridimensionale (es: applicazioni diagnostiche in medicina)

• Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali su domini non banali (analisi strutturale dei materiali, deformable objectmodeling)

Introduzione

Misure di qualità

• Geometrica:Def ( più comune) : L’Aspect Ratio di un tetraedro è il rapporto tra il raggio della sfera circoscritta e il raggio di quella inscritta

Generazione di Mesh di volume

• Topologica:

=

−1= ∑ =

tetraedri

triangoliD

Dn

n

it

12

6

0 ιδε

=

−1= ∑ =

tetraedri

triangoli.

A

R

rA

m

m

ii

ig

112

50

0ε

rR

Qualità geometrica: casi pessimi

Needle Sliver

Wedge Cap

non ottimizza l’Aspect Ratio

minimizza il raggio della min-containment sphere con raggio massimo

La Triangolazione di Delaunay 3D:


Triangolazione di Poliedri

Nessun vertice di un triangolo può essere collegato ad uno del triangolo opposto con un segmento che non intersechi una faccia [Schonhardt28]


Poliedri non triangolabili: es. di Schonhardt

Punti di Steiner

I punti di steiner sono punti aggiuntivi all’input che:• rendono possibile la triangolazione di ogni poliedro• rendono possibile ogni ottimizzazione Es: Il poliedro di Schonhardt può essere triangolato aggiungendo

un punto di Steiner

Si può costruire un poliedro semplice che necessita di puntidi Steiner per poter essere diviso in regioni convesse (lowerbound per la triangolazione) [Chazelle91]

Ogni poliedro può essere triangolato con punti di Steiner

È un problema NP-completo decidere se un poliedro è triangolabile senza aggiungere punti di Steiner[Garey&Johnson79]

2n

2n


Triangolazione di Poliedri

Input: Descrizione di un poliedro limitato: vertici, lati e facce

• Punti di Steiner necessari in ogni caso pratico

SvantaggioLa superficie della triangolazione da costruire è nota e quindi la triangolazione è constrained: più difficile e meno gradi di libertà nelle ottimizzazioni

VantaggioLa superficie della triangolazione da costruire è nota è può essere usata come base nella costruzione


Advancing Front Tetraedralization (AFT)

Idea: partire da una triangolazione della superficie (il fronte iniziale della triangolazione 3D) e “riempire” il poliedro

Control Background

Fronte iniziale

Scelta di una faccia

Selezione di un quarto vertice e costruzione di un tetraedro

Aggiornamento del fronte

Il fronte è vuotoN S

end


Advancing Front Tetraedralization

Offset front

Fronte iniziale

Costruzione fronte di offset

Triangolazione dello strato tra i fronti

Il fronte è vuotoN S

end

Costruzione del fronte di offset

Generazione di punti lungo le normali alle facce

+correzione del fronte di offset


Medial Axis Transform• Idea: suddividere l’oggetto in un insieme di sottodomini per i

quali è più semplice costruire una mesh• Def: Il medial axis di un poligono (poliedro) semplice è

l’insieme dei punti centro di un cerchio (una sfera) di diametromassimale tangente al poligono (poliedro)

medial axis

• def: Il medial axis transform è il medial axis + una funzione che assegna ad ogni punto il valore del raggio del corrispondente cerchio

• I medial vertices sono i punti di discontinuità del primo ordine del raggio

• Con un taglio su ogni medial edge si può partizionare qualunque dominio bi-dimensionale in regioni convesse


Medial Axis Transform

• I sottodomini convessi sono ulteriormente partizionati in regioni “meshabili” con mesh standard mediante Mid PointSubdivision

Mid Point Subdivision

1. Aggiunta di un punto su ogni lato2. Aggiunta di un punto interno3. Nuovi lati tra i mid points sui lati e quello interno

Risultato : le regioni ottenute sono

quadrilateri


Condizioni per le mesh di una regione:

Medial Axis Transform

===

21

21

21

mp

pn

nm

Condizioni per la corrispondenza tra regioni adiacenti:

2121 MMmm +=+

L’insieme delle condizioni è un set di vincoli di un problema di ottimizzazione combinatoria



Bubble Meshing [Shimada-Gossard]

Physically-Based non-manifold meshing

Output: • una mesh triangolare hyrid-dimension

Input:• un dominio non-manifold• una funzione di distribuzione d(x,y,z)

Oss: un insieme di packedspheres è “simile” al diagramma di Voronoi dei centri delle sfere


Algoritmo:1) filling: riempire il dominio con sfere di raggio proporzionale alla

densità specificata2) relaxation: aggiustare la posizione delle sfere in modo da

minimizzare “overlapping” e “gap”

Filling (caso celle unidimensionali):

1x2x

)x(d 2)x(d 1

1x2x

due sfere di vengono posizionate agli estremi dell’elementose non c’è overlapping, una sfera viene aggiunta nel punto medio

L’algoritmo procede ricorsivamente fino al riempimento

3x

Il raggio delle sfere è determinato dalla funzione densità


Relaxation:La finale disposizione delle sfere è ottenuta stabilizzando la posizione delle sfere rispetto alla forza agente su di esse definita come:

0000

0

023

051

510

510

k)l(f,)l.(f)l(f

ll.

l.ldclblal)l(f

' −===

≤≤≤+++

=

L’equazione del moto:

)t(fdt

)t(dxc

dt

)t(xdm i

ii

ii =+2

2

È integrata sul tempo (metodo Runge-Kutta del IV ordine)


Controllo della popolazione:- sfere con un eccessivo grado di overlapping sono eliminate- vengono aggiunte sfere dove si sono creati dei “gap”

Alpha Shapes [Edelsbrunner94]

Il Convex Hull dei punti è una possibile definizione della superficie

Def: Convex hull di }ppp{ h,,, K10

'CHCHCHp,'HS'CH

CHp,HSCH

CH

j'i

ji

n

⊆⇒∈∀=∀

∈∀=ℜ∈

I

I

Def: Empty half-space EHS:Semispazio non contenente punti di S

EHS\CH n∞

ℜ= UDef: Convex hull di S


Problema: qual è la superficie di un oggetto espresso come insieme di punti?

Alpha Shapes

• Def: empty αααα-ball Palla di raggio α non contenente punti del point set S

• Def: αααα--Hull Complemento dell’unione di tutte le empty α-ball

• L’alpha-shape è un politopo non necessariamente convesso e non necessariamente connesso derivabile dalla triangolazione “pesata” di Delaunay con peso α∈[0,∞)


BallE\RH n αα∞

= U

Triang. Di Delaunay

Point Set

Diagramma di Voronoi

Alpha Diagram Alpha triangolazione


Delaunay Shape Alpha Shape

• Se α = 0 l’ α -shape è il point set• Se α →∞ l’ α -shape è il convex hull• Un numero finito di soglie definisce tutte

le shapes possibili (al più ) hαααα

Alpha Shapes: generalizzazioni• Scale density alpha-shape

α non è una costante ma una funzione della densità dei punti: migliora il risultato quando la densità di distribuzione dei punti nel dominio non è costante

• Anisotropic alpha-shapeellissoidi in luogo di sfere i.e. metrica definita da un ellissoide


alpha-shape scaled Scaled & anisotropic

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Geometric Mesh Processing: Mesh Generationvcg.isti.cnr.it/~cignoni/GMP2006/GMP_05_MeshGeneration.pdfMesh Generation Triangolazione di punti in 2D • Definizione del problema • Qualche