of 20 /20
Geometria obrazu Wykład 2 Rozpoznawanie wielokątów 1. Dualizacja liniowa Problem prostej przecinającej 2. Transformata Hougha 3. Transformata Radona 4. Inne transformaty

Geometria obrazu Wykład 2

  • Author
    rasia

  • View
    48

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Geometria obrazu Wykład 2. Rozpoznawanie wielokątów 1. Dualizacja liniowa Problem prostej przecinającej 2. Transformata Hougha 3. Transformata Radona 4. Inne transformaty. Dualizacja liniowa. Definicja. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Geometria obrazu Wykład 2

  • Geometria obrazuWykad 2Rozpoznawanie wieloktw1. Dualizacja liniowaProblem prostej przecinajcej2. Transformata Hougha3. Transformata Radona4. Inne transformaty

  • Dualizacja liniowa.

    Definicja.Dualizacj liniow nazywamy przekszta-cenie D : R2 R2 przyporzdkowujce punktowi (a,b) prost o rwnaniu y = ax-b. Przestrze obrazw nazywamy przetrzeni dualn. Podobnie moemy zdefiniowa przekszta-cenie prostych (niepionowych) w zbir punktw paszczyzny.

    Przykad.Obrazem dualnym punktu p nalecego do paraboli y = 0,5x2 jest styczna do tej para-boli w punkcie p.

  • Wasnoci dualizacji liniowej:- Przeksztacenie D jest wzajemnie jedno-znaczne, tzn. D(D(x)) = x, gdzie x jest punktem lub prost (rn od pionowej) oraz rozrniamy przestrze pierwotn i dualn (gdybymy traktowali obie prze-strzenie jako R2, to np. podwjne zoenie przeksztacaoby punkt w pk prostych).- Punkty s przeksztacane na proste a pro-ste na punkty.- Punkt p naley do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy punkt D(k) naley do prostej D(p).- Punkty pi nale do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy proste D(pi) przecinaj si w punkcie D(k) (tworz pk prostych) - Jeli punkt p ley powyej prostej k, to prosta D(p) ley poniej punktu D(k) i vice versa.

  • Problem prostej przecinajcej (stabbing line) w R2.

    Definicja.Dany jest zbir n odcinkw na paszczynie. Problem: Czy istnieje prosta przecinajca wszystkie odcinki ? Jeli tak, to okrel zbir prostych przecinajcych.

  • Fakt.Zbir prostych przecinajcych odcinek ab w przestrzeni dualnej przyjmuje posta pod-wjnego klina, ktrego ramiona s wyzna-czane przez proste D(a) i D(b).

    Wniosek.Aby rozwiza problem wystarczy okreli w przestrzeni dualnej cz wspln klinw odpowiadajcych danym odcinkom.

    Fakt.Cz wsplna n podwjnych klinw od-powiadajcych danym odcinkom moe mie co najwyej n spjnych skadowych (utosa-miajc punkty w nieskoczonoci, otrzymu-jemy jedn skadow mniej). Skadowe s wypuke (co najwyej dwie nieskoczone).

  • Lemat.Liczba krawdzi wszystkich skadowych jest liniowa.Dowd.Podobny do dowodu twierdzenia strefo-wego. Dzielimy brzeg skadowych na co najwyej cztery zbiory wzgldem punk-tw skrajnych: NE, SE, SW, NW. Roz-patrzmy np. zbir NE. Analizujc ska-dowe od lewej strony stwierdzamy, e poza co najwyej jedn (pierwsz) kra-wdzi, pozostae pojawiaj si jako pierwsze na odpowiednich prostych. Zatem rozmiar zbioru NE szacuje si przez sum liczby skadowych i prostych, czyli 2n. Std liczba krawdzi wszystkich skadowych nie przekracza 8n.

  • Algorytm dziel i rzd

    podziel zbir S na mae podzbiory ;znajd w przestrzeni dualnej czci wsplne grup klinw odpowiadajcych podzbiorom zbioru S ;while nie znaleziono przecicia wszystkich klinw lub ktre z przeci jest puste do scalaj parami wyniki czastkowe zamiatajc kolejne spjne skadowe przeci dualnych obrazw podzbiorw S ; return przecicie wszystkich klinw ;

  • Lemat.Cz wspln przeci dwch grup stokw mona znale w czasie proporcjonalnym do sumy rozmiarw danych przeci.Dowd.Stoki s monotoniczne wzgldem osi x-w, wic ich przecicia rwnie. Dlatego atwo moemy okreli porzdek wierzchokw przeci wzdu osi x-w, czyli struktur zdarze. Do struktury stanu nalee bd aktu-alnie przecinane przez miot krawdzie danych przeci. Zatem rozmiar struktury stanu jest stay. Sprawdzenie, czy aktywne krawdzie krzyuj si wymaga czasu staego. Zatem algorytm bdzie dziaa w czasie liniowym wzgldem rozmiaru danych wejciowych.

    Lemat.Problem prostej przecinajcej mona rozwiza w czasie O(n log n).

  • Transformata Hougha.

    Prost o rwnaniu y = ax + b moemy zapisa w postaci y = (- cos /sin )x + (r/sin ), gdzie (r, ) s biegunowymi wsprzdnymi punktu (x,y) wzgldem punktu (0,0).Zatem r = x cos + y sin . Przestrze, ktr tworz pary (r, ), gdzie r R{0} i [0,2), nazywamy przestrzeni Hougha.Gdy ustalimy punkt (x0,y0), przez ktry przechodz badane proste otrzymamy rwnanie r() = Abs(x0 cos + y0 sin ).Zatem punktowi w przestrzeni Hougha odpowiada funkcja sinusoidalna. Transformat Hougha rozpoznajemy obrazy binarne.[http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform]

  • [http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform]Przykad.Dlaczego przez janiejsze punkty przechodzi ciemniejsza prosta ? (wiczenia)

  • [http://lapasoft.wordpress.com/2009/11/04/wykrywanie-linii-za-pomoca-transformaty-hougha/]Przykad.

  • Twierdzenie.Z pomoc transformaty Hougha mona jednoznacznie wyznaczy pooenie dowolnego wielokta wypukego (Rozenfeld, Weiss 95).Transformata Hougha nie okrela jednoznacznie pooenia wielokta niewypukego (Milanfar 96).

    Transformat Hougha mona wykorzysta rwnie do znajdywania np. okrgw o okrelonym promieniu.Wychodzc z rwnania (x-a)2 + (y-b)2 = r2 w przestrzeni Hougha odpowiadajcej parom (a,b) janiejsze bd rodki poszukiwanych okrgw i okrgi o tym samym rodku i dwa razy wikszym promieniu (wiczenia).

  • Przykad.[http://members.chello.pl/j.kaprzyk/cw2/Proj02.pdf ]

  • Transformata Radona.

    Transformata Radona podaje liczb pikseli obrazu binarnego w rzucie na prost umieszczon pod ktem wzgldem osi x-w. Transformacja jest dana wzorem

    , gdzie

    .

    Transformacj Radona stosuje si m.in.. w tomografii.

  • Przykad.

    Obraz kwadratu przy transformacji Radona.[http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/images/transfo9.html]Jaki jest obraz dwch odcinkw ((nie)rwnolegych, (nie)przecinajacych si) ? (wiczenia)

  • Inne transformacje.

    Transformata Fouriera dla dyskretnego sygnau dwuwymiarowego dana jest wzorem

    Stosuje si j m.in. do wyszukiwania elementw podobnych na obrazie.

    Dyskretna Transformata Cosinusowa ma zastosowanie w kompresji obrazw jpg oraz konwersji mpeg. Para transformat cosinusowych dana jest wzorami

  • Transformata falkowa (wavelet).

    Transformata Wignera-Villea.

    Transformata Gabora.

  • Przykad zastosowania transformaty Gabora.[http://sound.eti.pg.gda.pl/akmuz/index.php/Transformacja_Gabora]

  • Dzikuj za uwag.

  • wiczenia.

    1. Dlaczego w przykadzie dla transformaty Hougha przez janiejsze punkty przechodzi ciemniejsza prosta ?

    2. Dlaczego podczas znajdywania okrgw w przestrzeni Hougha odpowiadajcej parom (a,b) janiejsze bd rodki poszukiwanych okrgw i okrgi o tym samym rodku i dwa razy wikszym promieniu ?

    3. Jaki jest obraz dwch odcinkw ((nie)rwnolegych, (nie)przecinajcych si) przy transformacji Radona ?