Geometria algebraiczna

wykład prof. Mariusza Korasa, spisał Przemysław Ohrysko

20 lutego 2015

1 Geometria afiniczna

Oznaczenia 1. W czasie całego wykładu literą k będziemy oznaczać ciało, zaśk[x1, . . . , xn] będzie oznaczać pierścień wielomianów n zmiennych o współczyn-nikach z k.

Definicja 2. Niech fi ∈ k[x1, . . . , xn], i ∈ S będzie zbiorem wielomianów.Wprowadźmy podzbiór V przestrzeni kn

V = {(x1, . . . , xn) ∈ kn : fi(x1, . . . , xn) = 0 dla i ∈ S}.

Zbiorem afinicznym będziemy nazywać każdy podzbiór przestrzeni kn, któ-ry jest powyższej postaci. Niech J = (fi)i∈S będzie ideałem generowanym wk[x1, . . . , xn] przez wszystkie wielomiany fi. Wówczas będziemy pisać

V = V (J) = {(x1, . . . , xn) ∈ kn : ∀f∈J

f(x1, . . . , xn) = 0}.

Z klasycznego twierdzenia Hilberta o bazie otrzymujemy poniższy fakt.

Fakt 3. Wszystkie ideały w k[x1, . . . , xn] są skończenie generowane.

Wniosek 4. Każdy zbiór afiniczny można opisać przy pomocy skończenie wielurównań.

Definicja 5. Niech X ⊂ kn. Określmy I(X) = {f ∈ k[x1, . . . , xn] : f |X = 0}.Jest to oczywiście ideał w k[x1, . . . , xn].

Wprost z definicji wynika J ⊂ I(V (J)) dla dowolnego ideału J . Aby sfor-mułować dokładniej relację między tymi dwoma zbiorami wprowadzimy jeszczejedną definicję.

Definicja 6. Niech J będzie ideałem w pewnym pierścieniu przemiennym R.Określamy radykał ideału J (oznaczenie:

√J)

√J = {a ∈ R : ∃

n∈Nan ∈ J}.

Możemy już podać słynne twierdzenie.

1

Twierdzenie 7 (Hilbert Nullstellensatz). Załóżmy, że k = k (k jest algebra-icznie domknięte). Wówczas dla dowolnego ideału J w k[x1, . . . , xn] mamy

I(V (J)) =√J.

Głównym fragmentem dowodu twierdzenia Hilberta o zerach jest poniższyfakt.

Fakt 8. Niech k będzie ciałem i A = K[a1, . . . , an] będzie skończenie gene-rowaną k-algebrą. Wówczas, jeśli A jest ciałem, to rozszerzenie k ⊂ A jestalgebraiczne.

Odnotujmy jeszcze twierdzenie i wniosek z niego, które często bywają uży-teczne.

Twierdzenie 9. Niech k = k i niech J k[x1, . . . , xn]. Wówczas V (J) 6=∅. Równoważnie, jeśli V (J) = ∅, to istnieją g1, . . . , gs ∈ k[x1, . . . , xn] orazf1, . . . , fs ∈ J takie, że

g1f1 + . . . gsfs = 1.

Wniosek 10. Każdy ideał maksymalny m ⊂ k[x1, . . . , xn] jest postaci m =(x− a1, . . . , x− an) dla pewnego (a1, . . . , an) ∈ kn.

Wykażemy teraz równoważność ostatniego twierdzenia i wniosku.Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe. Wówczas istnieje punkt (a1, . . . , an) ∈kn taki, że (a1, . . . , an) ∈ V (m). Niech f ∈ m i znajdźmy wielomian g (pisze-my po prostu xi = xi − ai + ai i rozwijamy względem nowej zmiennej) taki,że g(x1 − a1, . . . , xn − an) = f(x1, . . . , xn). Z założenia f(a1, . . . , an) = 0, awięc wyraz wolny wielomianu g jest równy zeru, co dowodzi, iż f ∈ (x1 −a1, . . . , xn − an), czyli m ⊂ (x1 − a1, . . . , xn − an). Z maksymalności m mamym = (x1 − a1, . . . , xn − an).Załóżmy prawdziwość wniosku i weźmy ideał właściwy J w k[x1, . . . , xn]. Wów-czas J ⊂ m = (x1−a1, . . . , xn−an) dla pewnego (a1, . . . , an) ∈ kn. Stąd wynikałatwo (a1, . . . , an) ∈ V (J).Wywnioskujemy teraz twierdzenie Hilberta o zerach z ostatniego twierdzenia zapomocą słynnego tricku Rabinowitza.Niech J k[x1, . . . , xn] będzie ideałem (przypadek J = k[x1, . . . , xn] jest try-wialny) oraz weźmy f ∈ I(V (J)). Rozważmy pierścień k[x1, . . . , xn, t] i ideał(J, tf − 1) ⊂ k[x1, . . . , xn]. Załóżmy, że istnieje (a1, . . . , an, b) ∈ V (J, tf − 1).Wówczas (a1, . . . , an) ∈ V (J) i bf(a1, . . . , an)− 1 = 0, ale z definicji f |V (J) = 0,co jest sprzecznością. W takim razie V (J, tf − 1) = ∅. Z ostatniego twierdzeniaistnieją g1, . . . , gs+1 ∈ k[x1, . . . , xn, t] oraz f1, . . . , fs ∈ J takie, że

g1(x1, . . . , xn, t)f1(x1, . . . , xn) + . . .+ gs(x1, . . . , xn, t)fs(x1, . . . , xn)+

+gs+1(x1, . . . , xn, t)(tf(x1, . . . , xn)− 1) = 1.

Rozważając ostatnią równość w ciele funkcji wymiernych możemy podstawićt = 1

f . Wówczas

g1

(x1, . . . , xn,

1f

)f1 + . . .+ gs

(x1, . . . , xn,

1f

)fs = 1.

2

Mnożąc obustronnie przez odpowiednio dużą potęgę f otrzymujemy wielomianyh1, . . . , hs takie, że

h1(x1, . . . , xn)f1 + . . .+ hs(x1, . . . , xn)fs = f l.

Zatem f l ∈ J , czyli f ∈√J .

Korzystając z twierdzenia Hilberta o zerach możemy wprowadzić wzajemniejednoznaczną odpowiedniość pomiędzy ideałami radykalnymi w k[x1, . . . , xn] azbiorami afinicznymi.

Fakt 11. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas odwzo-rowanie W 7→ I(W ) przekształcające zbiory afiniczne na ideały radykalne jestwzajemnie jednoznaczne, którego przekształceniem odwrotnym jest J 7→ V (J).

Dowód. Niech W będzie zbiorem afinicznym. Wówczas V (I(W )) = W orazI(V (J)) =

√J = J z twierdzenia Hilberta o zerach i radykalności ideału J .

Odnotujmy jeszcze prosty fakt.

Fakt 12. Jeśli W1 ⊂ W2 ⊂ kn, to I(W2) ⊂ I(W1). Jeśli J1 ⊂ J2, to V (J2) ⊂V (J1).

Przechodzimy do wprowadzenia topologii na kn związanej z pojęciem zbioruafinicznego.

Stwierdzenie 13. Niech A będzie rodziną wszystkich zbiorów afinicznych w kn.Wówczas istnieje topologia (topologia Zariskiego) na kn taka, że rodzina A jestrodziną wszystkich zbiorów domkniętych względem tej topologii.

Dowód. Wystarczy sprawdzić standardowe warunki. Oczywiście ∅ oraz kn nale-żą do A. Niech (Vi)i∈I będzie rodziną zbiorów afinicznych. Wówczas przecięciewszystkich zbiorów Vi jest zbiorem afinicznym (wystarczy wziąć wszystkie wie-lomiany opisujące zbiory Vi). Jeśli zaś V,W są zbiorami afinicznymi to zbiórV ∪W jest opisany przez rodzinę wszystkich iloczynów wielomianów opisują-cych V i W , a więc jest afiniczny.

Definicja 14. Powiemy, że zbiór W ⊂ kn jest rozkładalny, gdy istnieją zbioryafiniczne (zbiory domknięte) W1,W2 W takie, że W = W1 ∪W2. W przeciw-nym wypadku powiemy, iż zbiór W jest nierozkładalny.

Przykład 15. kn jest nierozkładalne (dla k nieskończonego). Zbiór

{(x1, x2) ∈ k2 : x1x2 = 0}

jest rozkładalny.

Definicja 16. Jeśli W jest zbiorem afinicznym, to każdy otwarty podzbiórU ⊂W będziemy nazywać zbiorem quasi-afinicznym.

3

Definicja 17. Niech W będzie zbiorem afinicznym. Dla f ∈ k[x1, . . . , xn] wpro-wadzamy oznaczenie

Df = {x ∈W : f(x) 6= 0},

są to oczywiście otwarte podzbiory W .

Udowodnimy teraz wygodny w pracy z topologią Zariskiego lemat.

Lemat 18. Niech W będzie zbiorem algebraicznym. Wówczas rodzina {Df : f ∈k[x1, . . . , xn]} jest bazą topologii Zariskiego na W .

Dowód. Niech U będzie otwartym podzbiorem W . Wówczas W \U jest zbioremafinicznym, a więc jest opisany przez układ wielomianów {fi}1¬i¬n. Stąd

U = Df1 ∪ . . . ∪Dfn .

Stwierdzenie 19. W odniesieniu do topologii Zariskiego zachodzą następującefakty.

1. Każdy zbiór quasi-afiniczny jest quasi-zwarty.

2. Każdy zbiór quasi-afiniczny jest T1.

3. Każdy zbiór quasi-afiniczny jest noetherowski (tzn. każdy zstępujący ciągdomkniętych podzbiorów stabilizuje się).

4. Jeśli U jest quasi-afiniczny, A ⊂ U , A - nierozkładalny, to A ⊂ U jestnierozkładalny (domknięcie bierzemy w U).

Dowód. Niech W będzie zbiorem afinicznym oraz U ⊂ W jego otwartym pod-zbiorem oraz niech {Ut}t∈T będzie pokryciem otwartym tego zbioru. Z lematumożemy założyć, że Ut = Dft dla pewnych wielomianów ft, czyli

U =⋃t∈T

Dft .

Rozważmy ideał J = (ft)t∈T . Z twierdzenia Hilberta o bazie istnieje skończonyukład wielomianów {gk}nk=1 taki, że J = (gk)nk=1. Każdy wielomian gk nale-ży jednak do J , więc może zostać zapisany jako stosowna skończona kombi-nacja wielomianów ft ze współczynnikami z k[x1, . . . , xn]. Niech {fl}Nl=1 będąwszystkimi wielomianami z rodziny {ft}t∈T użytymi do zapisania wielomianów{gk}nk=1 w opisanej formie. Wówczas J = (fl)Nl=1. Z założenia, dla każdego x ∈ Uistnieje t ∈ T takie, że ft(x) 6= 0. Jednak ft ∈ J , a więc istnieje również indeksl ∈ {1, . . . , N} o własności fl(x) 6= 0. Zatem

U ⊂N⋃l=1

Dfl .

4

Przeciwna inkluzja jest oczywista, co kończy dowód pierwszej części.Punkt 2. wynika z dziedziczności aksjomatu T1 na podprzestrzenie (punkty wkn są domknięte).Zauważmy teraz, że wystarczy udowodnić punkt 3. dla kn. Istotnie, niech {Fi}i∈Nbędzie zstępującym ciągiem domkniętych podzbiorów U . Wówczas {Fi}i∈N jestzstępującym ciągiem domkniętych podzbiorów w kn. Załóżmy, że Fk = Fk+1 =. . .. Wówczas Fi = Fi ∩ U oraz Fk = Fk+1 = . . ., co kończy dowód tego wy-nikania. Niech więc Si będzie ciągiem zstępujących domkniętych podzbiorówkn. Wówczas I(S1) ⊂ I(S2) ⊂ . . . ⊂ k[x1, . . . , xn]. Pierścień k[x1, . . . , xn] jestnoetherowski, czyli istnieje k ∈ N takie, że I(Sk) = I(Sk+1) = . . .. JednakV (I(Sk)) = Sk, czyli ciąg Si stabilizuje się począwszy od k-tego miejsca.Przechodzimy do dowodu punktu 4. Załóżmy, że A = B1 ∪ B2 dla pewnychdomkniętych podzbiorów B1, B2 w A. Wówczas A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) izbiory A ∩ B1, A ∩ B2 są domknięte w A. Z nierozkładalności A otrzymujemyA ∩ B1 = A lub A ∩ B2 = A. Bez straty ogólności, przyjmijmy A ∩ B1 = A, awięc A ⊂ B1, co daje A ⊂ B1, czyli A jest nierozkładalny.

Możemy teraz udowodnić twierdzenie o rozkładzie zbioru afinicznego na nie-rozkładalne składowe.

Twierdzenie 20. Każdy zbiór afiniczny W jest skończoną sumą nierozkładal-nych składowych W = W1 ∪ . . . ∪Ws. Dodatkowo, jeśli założymy, że

Wi *⋃j 6=i

Wj ,

to ten rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Dowód. Jeśli zbiór W jest nierozkładalny, to kończymy. Jeśli jest rozkładalny, toW = W1∪W2 dla pewnych domkniętych, właściwych podzbiorów W . Jeżeli obasą nierozkładalne, to otrzymujemy żądane przedstawienie. W przeciwnym raziekontynuujemy procedurę. Musi się ona zakończyć w skończenie wielu krokach,gdyż inaczej otrzymalibyśmy nieskończony ciąg domkniętych podzbiorów W , coprzeczyłoby punktowi 3. ostatniego stwierdzenia.Przechodząc do dowodu jednoznaczności zauważmy, że założenie

Wi *⋃j 6=i

Wj

jest równoważne założeniu Wi *Wj dla i 6= j. Oczywiście, jeśli zachodzi pierw-szy warunek, to zachodzi drugi warunek. Przyjmijmy, że zachodzi drugi waruneka jednocześnie

Wi ⊂⋃j 6=i

Wj .

WówczasWi =

⋃j 6=i

(Wj ∩Wi).

5

Z nierozkładalności Wi mamy Wi ⊂Wj dla pewnego j 6= i, co jest sprzecznością.Niech więc W = W1 ∪ . . . ∪ Ws = X1 ∪ . . . ∪ Xt, gdzie wszystkie Wi, Xl sąnierozkładalne i parami się w sobie nie zawierające. Wówczas W1 ⊂ X1∪. . .∪Xt,a więc

W1 = (X1 ∩W1) ∪ . . . ∪ (Xt ∩W1).

Dla pewnego indeksu n1 ∈ {1, . . . , t} mamy więc ponownie W1 ⊂ Xn1 . Ro-zumując analogicznie dla pewnego indeksu k(n(1)) mamy Xn1 ⊂ Wk(n(1)). Zzałożenia pociąga to za sobą W1 = Wk(n(1)), a więc W1 = Xn1 . Kontynuując torozumowanie otrzymujemy tezę.

Odnotujmy jeszcze fakt wiążący pojęcie ideału pierwszego z nierozkładalny-mi zbiorami afinicznymi.

Fakt 21. Niech W ⊂ kn będzie zbiorem afinicznym. Wówczas W jest nieroz-kładalny wtedy i tylko wtedy, gdy I(W ) jest ideałem pierwszym.

Dowód. Załóżmy, że W jest nierozkładalny i weźmy f, g ∈ K[x1, . . . , xn] takie,że fg ∈ I(W ). Stąd W ⊂ V (fg) = V (f) ∪ V (g), a zatem

W = (W ∩ V (f)) ∪ (W ∩ V (g)).

Z nierozkładalności W możemy bez straty ogólności przyjąć, iż W ⊂ V (f). Dalejf ∈ I(V (f)) ⊂ I(W ), co kończy dowód pierwszej implikacji.Załóżmy teraz, że ideał I(W ) jest pierwszy i niech W = W1∪W2, gdzie W1,W2są domkniętymi podzbiorami W . Wówczas I(W ) = I(W1)∩I(W2). Przyjmijmy,iż I(W ) I(W1), I(W2) i weźmy fi ∈ I(Wi) \ I(W ) dla i = 1, 2. Wtedy jednakf1f2 ∈ I(W ), co przeczy pierwszości I(W ). Zatem bez straty ogólności I(W ) =I(W1), czyli W = W1.

Zobaczymy teraz, że topologia Zariskiego nie jest topologią produktową.

Fakt 22. Niech k będzie ciałem nieskończonym oraz k2 = k × k. Wówczastopologia Zariskiego na k2 jest istotnie bogatsza niż topologia produktowa.

Dowód. Sprawdzimy najpierw, że topologia produktowa jest słabsza niż topolo-gia Zariskiego. Ponieważ bazę zbiorów otwartych w topologii produktowej sta-nowią zbiory postaci A×B dla A,B otwartych w k, to przechodząc do dopełnieńwystarczy uzasadnić, iż (A′×k)∪(k×B′) jest domknięty w topologii Zariskiego.Teraz A′ jest domknięty w topologii Zariskiego na k, więc jest skończony. Zatembadany zbiór jest sumą skończenie wielu prostych poziomych bądź pionowych,a więc oczywiście jest domknięty w topologii Zariskiego na k2.Rozważmy L = {(x, y) ∈ k2 : x = y}. Jest to zbiór domknięty w topologii Zari-skiego na k2, a więc K2 \L jest zbiorem otwartym. Załóżmy, iż jest on równieżotwarty w topologii produktowej. Wówczas istnieją zbiory otwarte Ai, Bi ⊂ k,i ∈ T takie, że

K2 \ L =⋃i∈T

(Ai ×Bi).

6

Przechodząc do dopełnień

L =⋂i∈T

((A′i × k) ∪ (k ×B′i)).

ZatemL = ((A′i × k) ∩ L) ∪ ((k ×B′i) ∩ L).

L jest nierozkładalne, więc bez straty ogólności L ⊂ A′i× k. Jest to niemożliwe,bo L nie może być skończoną sumą prostych pionowych (poziomych).

Przechodzimy do określenia klasy dopuszczalnych w geometrii algebraicznejfunkcji określonych na zbiorach quasi-afinicznych (będziemy zakładać, że ciałok jest algebraicznie domknięte).

Definicja 23. Niech V ⊂ kn będzie zbiorem afinicznym oraz U ⊂ V jegootwartym podzbiorem. Powiemy, że f : U 7→ k jest regularna w punkcie a ∈ U ,gdy istnieje zbiór W otwarty w U taki, że a ∈W oraz

f(x) =g(x)h(x)

dla x ∈W , gdzie f, g ∈ k[x1, . . . , xn].

Powiemy, że f jest regularna na U , gdy jest regularna w każdym punkcie U .Zbiór wszystkich funkcji regularnych na U będziemy oznaczać przez OV (U). Znaturalnymi działaniami jest to k-algebra (przyjmujemy OV (∅) = 0).

Zauważmy, że gdy W ⊂ U ⊂ V , gdzie V jest zbiorem afinicznym, U jegootwartym podzbiorem, a W otwartym podzbiorem U , to mamy zadane obcięcieOV (U) 7→ OV (W ), które jest homomorfizmem k-algebr. Jeśli zaś T ⊂ W ⊂ U ,gdzie T jest otwartym podzbiorem W , to możemy wykonać obcięcie z OV (U) doOV (T ) na dwa sposoby (przechodząc pośrednio przez obcięcie do OV (W ) lubnie). Po wprowadzeniu formalnej definicji zobaczymy, że zdefiniowaliśmy snopk-algebr.

Definicja 24. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Załóżmy, że dla każ-dego zbioru otwartego U ⊂ X mamy zadaną k-algebrę F(U). Ponadto, niech dlakażdego otwartego podzbioru W ⊂ U będzie określony homomorfizm k-algebrrUW : F(U) 7→ F(W ) taki, że spełnione są następujące warunki:

1. rUU = id.

2. Dla każdego otwartego T ⊂W ⊂ U zachodzi rUT = rWT ◦ rUW .

3. Dla dowolnego pokrycia otwartego {Ui}i∈I zbioru U i s ∈ F(U) mamy

∀i∈I

rUUi(s) = 0⇒ s = 0.

4. Dla dowolnego pokrycia otwartego {Ui}i∈I zbioru U i elementów si ∈F(Ui) takich, że

rUiUi∩Uj (si) = rUjUi∩Uj (sj) istnieje s ∈ F(U) spełniające rUUi(s) = si dla i ∈ I.

7

Powiemy wówczas, że na X został określony snop k-algebr.

Możemy teraz wprowadzić kluczową definicję.

Definicja 25. Parę (V,OV ), gdzie V jest zbiorem afinicznym, a OV snopemfunkcji regularnych nazywamy afiniczną rozmaitością algebraiczną.

Udowodnimy teraz kilka faktów pomocniczych.

Fakt 26. Niech V będzie nierozkładalnym zbiorem afinicznym oraz U ⊂ V jegoniepustym otwartym podzbiorem. Wówczas U jest gęsty w V .

Dowód. Mamy V = U ∪ (V \ U). Z nierozkładalności V wynika, że V \ U = Vlub U = V . Pierwsza możliwość jest wykluczona, bo U jest niepusty, co kończydowód.

Fakt 27. Niech V będzie zbiorem afinicznym oraz niech f : V 7→ k będziefunkcją regularną. Wówczas f jest funkcją ciągłą w topologii Zariskiego.

Dowód. Będziemy pokazywać, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte.Wystarczy to robić na zbiorach bazowych więc weźmy dowolny wielomian p ∈k[x] i rozważmy

T = f−1(Dp) = {x ∈ V : f(x) ∈ Dp} = {x ∈ V : p(f(x)) 6= 0}

Z definicji dla każdego a ∈ V istnieje zbiór otwarty Va ⊂ V taki, że

f(x) =ga(x)ha(x)

dla x ∈ Va.

Dalej,

T =⋃a∈V{x ∈ Va : p(f(x)) 6= 0} =

⋃a∈V{x ∈ Va : p

(fa(x)ga(x)

)6= 0}.

Możemy teraz pomnożyć stronami przez występujące po rozwinięciu mianowni-ki, aby otrzymać

{x ∈ Va : p(fa(x)ga(x)

)6= 0} = {x ∈ Va : qa(x) 6= 0}.

Dla pewnego qa ∈ k[x]. Zatem

T =⋃a∈V{x ∈ Va : q(x) 6= 0} =

⋃a∈V

Dqa ∩ Va,

co kończy dowód.

Fakt 28. Niech f, g będą funkcjami regularnymi na afinicznym zbiorze V . Za-łóżmy, że f = g na pewnym gęstym podzbiorze T ⊂ V . Wówczas f = g naV .

8

Dowód. Niech4 = {(x, y) ∈ k2 : x− y = 0}.

Jest to domknięty podzbiór k2 w topologii Zariskiego. Rozważmy ϕ : V 7→ k2

zadane wzorem ϕ(x) = (f(x), g(x)). Ponieważ funkcje regularne są ciągłe w to-pologii Zariskiego ϕ−1(4) ⊂ V jest domknięte (formalnie należałoby sprawdzićciągłość ϕ, bo topologia Zariskiego nie jest produktowa, ale to się robi bardzopodobnie do dowodu poprzedniego faktu). Z drugiej strony T ⊂ ϕ−1(4), a więcϕ−1(4) = V , czyli f = g na V .

Korzystając z Faktu 26 oraz ostatniego wyniku otrzymujemy następującywniosek.

Wniosek 29. Niech V będzie nierozkładalnym zbiorem afinicznym i niech fbędzie funkcją regularną na V . Załóżmy, że f |U = 0, gdzie U ⊂ V jest otwarty.Wówczas f = 0 na V .

Stwierdzenie 30. Niech V będzie zbiorem afinicznym. Wówczas OV (V ) jestalgebrą wielomianów na V (są to obcięcia zwykłych wielomianów).

Dowód. Niech f : V 7→ k będzie funkcją regularną. Wówczas dla każdego a ∈ Vmożemy napisać

f(x) =ga(x)ha(x)

dla x z pewnego otoczenia a w V , ha(a) 6= 0, ga, ha ∈ k[x1, . . . , xn].

NiechV = {x ∈ kn : F1(x) = 0, . . . , Fm(x) = 0}.

Rozważmy ideał J = (F1, . . . , Fm, ha)a∈V . Wówczas V (J) = ∅, bo jeśli x ∈V (J), to x ∈ V , ale hx(x) 6= 0. Z twierdzenia Hilberta o zerach istnieją wielo-miany G1, . . . , Gm, p1, . . . , ps ∈ k[x1, . . . , xn] takie, że

G1F1 + . . .+GmFm + p1ha1 + . . .+ pshas = 1.

Obcinamy te wielomiany do V otrzymując

p1ha1 + . . .+ pshas = 1 na V . (1)

Dalej, z definicji dla każdego i ∈ {1, . . . , s} mamy f(x)hai(x) = gai(x) lokal-nie wokół ai. Załóżmy na razie, że V jest nierozkładalne. Wówczas z Faktu 26wszystkie omawiane równości są prawdziwe globalnie. Korzystając z (1) (mno-żymy i-te równanie przez pi i sumujemy) dostajemy

f(x) =s∑i=1

gai(x)pai(x) dla x ∈ V ,

co kończy dowód dla nierozkładalnego zbioru V .W ogólnym przypadku, niech

V = W1 ∪ . . .Wk, gdzie Wk są domknięte, właściwe i nierozkładalne.

9

Wówczas analogicznie jak wcześniej dla każdego a ∈ V istnieje zbiór otwartyVa 3 a taki, że

f(x)ha(x) = ga(x) dla x ∈ Va .

Niech Wl1 , . . .Wlk będą wszystkimi składowymi nierozkładalnymi, które nie za-wierają a. Istnieje wielomian Ha, który jest zerowy po obcięciu do każdej z tychskładowych, ale Ha(a) 6= 0. Zatem Va ∩DHa jest niepustym zbiorem otwartym.Mamy więc równość

f(x)ha(x)Ha(x) = ga(x)Ha(x) dla x ∈ Va ∩DHa .

Rozumując jak poprzednio dostajemy wielomiany p1, . . . , ps spełniające

p1ha1Ha1 + . . .+ pshasHas = 1 na V .

Rozważmy równania

f(x)hai(x)Hai(x) = ga(x)Hai(x) dla x ∈ Vai ∩DHai. (2)

Z definicji wielomianów Hai równanie i-te jest prawdziwe na składowych niezawierających punktu ai. Niech teraz pewna składowa Wt zawiera punkt ai.Wówczas ai ∈Wt∩Vai∩DHai

, czyli dostajemy równość na otwartym podzbiorzeWt, a stąd na całym Wt. W ten sposób tożsamości (2) są prawdziwe globalniei możemy je zsumować, aby zakończyć dowód.

Wprowadzimy teraz definicję.

Definicja 31. Pierścień współrzędnych k[V ] zbioru afinicznego V określamyjako OV (V ).

Z ostatniego stwierdzenia wynika ważny wniosek. Rozważamy tutaj obcięciewielomianów do V , czyli formalnie epimorfizm

k[x1, . . . , xn] = Okn(kn) 7→ Okn(V ) = OV (V ).

Wniosek 32. Dla zbioru afinicznego V ⊂ kn zachodzi

k[V ] = k[x1, . . . , xn]/I(V ).

Możemy już określić pojęcie funkcji regularnej między dwoma zbiorami afi-nicznymi.

Definicja 33. Funkcja F : V 7→ W jest regularna (jest morfizmem), gdy jestciągła oraz dla dowolnego otwartego U ⊂ W i dowolnej funkcji regularnej ϕ :U 7→ k funkcja ϕ ◦ F : F−1(U) 7→ k jest regularna.

W ogólnym przypadku przyjmujemy następującą definicję.

10

Definicja 34. Niech (X,F) oraz (Y,G) będą przestrzeniami topologicznymiwraz ze snopami k-algebr. Powiemy, że funkcja ciągła F : X 7→ Y jest regu-larna, gdy dla każdego otwartego U ⊂ Y mamy homomorfizm αU : G(U) 7→F(F−1(U)) taki, że dla każdego W ⊂ U łatwy do wymyślenia diagram jestprzemienny. Powiemy, że pary (X,F) oraz (Y,G) są izomorficzne, gdy istniejehomeomorfizm F : X 7→ Y taki, że wszystkie odwzorowania αU są izomorfizma-mi.

Powracając do naszego przypadku, łatwo sprawdzić, że funkcje F : V 7→ Wpostaci F = (f1, . . . , fn), gdzie fi ∈ k[V ] są regularne. Sformułujemy terazogólniejszy wniosek.

Wniosek 35. Niech V ⊂ kn, W ⊂ km będą zbiorami afinicznymi. Wówczaskażde odwzorowanie regularne F : V 7→ W jest postaci F = (f1, . . . , fm), gdziefi ∈ k[V ]. Z każdą funkcją regularną F : V 7→W możemy związać odwzorowanieF ∗ : k[W ] 7→ k[V ] za pomocą wzoru

F ∗(h)(v) = h(F (v)) dla h ∈ k[W ], v ∈ V .

Niech C oznacza kategorię afinicznych zbiorów algebraicznych z morfizmamioraz niech Alg oznacza kategorię skończenie generowanych k-algebr bez nilpo-tentów z k-homomorfizmami. W ten sposób S : A 7→ Alg zadane na obiektachpoprzez S(V ) = k[V ], a na morfizmach jako S(F ) = F ∗ jest funktorem kontra-wariantnym.

Twierdzenie 36. Wprowadzony przed chwilą funktor S jest równoważnościąkategorii, w szczególności istnieje funktor T : Alg 7→ C taki, że TS(V ) ' Voraz ST (A) ' A (tutaj V oznacza zbiór afiniczny, a A skończenie generowanąk-algebrę bez nilpotentów).

Dowód. Niech A = K[a1, . . . , an] będzie skończenie generowaną k-algebrą beznilpotentów. Mamy epimorfizm ϕ : k[x1, . . . , xn] 7→ A określony przez

(x1, . . . , xn) 7→ (a1, . . . , an).

Niech J = kerϕ. Wówczas J jest ideałem w k[x1, . . . , xn]. Algebra A nie zawieranietrywialnych nilpotentów, więc J jest ideałem radykalnym. Połóżmy V =V (I). Wówczas z twierdzenia Hilberta o zerach I(V ) = I(V (J)) =

√J = J .

Zatem I(V ) = J i z twierdzenia o izomorfizmie

k[V ] = k[x1, . . . , xn]/I(V ) = A.

Określamy więc T : Alg 7→ C jako T (A) = V , gdzie V zostało związane z Aprzy pomocy powyższej procedury. Wówczas ST (A) = S(V ) = k[V ] = A orazTS(V ) = T (k[V ]) = V dla dowolnego zbioru afinicznego V .

Wprowadzimy teraz pojęcie ogólnej rozmaitości algebraicznej.

11

Definicja 37. Niech X będzie przestrzenią topologiczną ze snopem F k-algebrskładających się z funkcji o wartościach w k o dodatkowej własności, iż dlakażdego U ⊂ X otwartego w X algebra F(U) składa się z funkcji na U . Powiemy,że (X,F) jest rozmaitością algebraiczną, gdy istnieje skończone pokrycie otwarte{Ui}ni=1 przestrzeni X takie, że dla każdego i ∈ {1, . . . , n} para (Ui,F|Ui) jestizomorficzna z pewną afiniczną rozmaitością algebraiczną (Vi,OVi).

Zobaczymy teraz, że twierdzenie Hilberta o zerach zachodzi w ogólniejszymprzypadku.

Fakt 38. Niech V ⊂ kn będzie afinicznym zbiorem algebraicznym. Załóżmy, żeI � k[V ] oraz

V (I) = {x ∈ V : ∀g∈I

g(x) = 0} = ∅.

Wówczas I = k[V ].

Dowód. Niech π : k[x1, . . . , xn] 7→ k[V ] będzie epimorfizmem kanonicznym.Wówczas I(V ) ⊂ π−1(I) / k[x1, . . . , xn]. Stąd V (π−1(I)) ⊂ V (I(V )) = V . TerazV (π−1(I)) = ∅. Istotnie, jeśli x ∈ V (π−1(I)), to x ∈ V . Ponadto x ∈ V (I), bojeśli f ∈ I, to dla każdego h ∈ π−1(f) mamy h(x) = 0 i dalej π(h) − f ∈ I(V )oraz π(h)(x) = 0. Z twierdzenia Hilberta o zerach π−1(I) = k[x1, . . . , xn]. Zatem

I = ππ−1(I) = k[V ].

Korzystając z ostatniego faktu udowodnimy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 39. Niech V będzie zbiorem afinicznym zawartym w kn i niechf ∈ k[V ]. Przyjmijmy

Df = {x ∈ V : f(x) 6= 0}.

Wówczas

OV (Df ) ={g

fk: g ∈ k[V ], k ∈ N ∪ {0}

}.

Dowód. Załóżmy najpierw, że V jest nierozkładalne i weźmy ϕ ∈ OV (Df ).Wówczas z definicji dla każdego a ∈ Df istnieje takie otoczenie Va 3 a, że

ϕ(x) =ga(x)ha(x)

dla x ∈ Va.

Z quasi-zwartości możemy wybrać skończenie wiele punktów ai tak, aby

n⋃i=1

Vai = Df . (3)

Mamy ϕ(x)ha(x) = ga(x) dla x ∈ Va, a więc w oparciu o nierozkładalność V tojest prawda dla wszystkich x ∈ Df . Z (3) dla każdego x ∈ Df istnieje i takie,że hai(x) 6= 0, czyli jeśli f(x) 6= 0, to istnieje i ∈ {1, . . . , n} takie, że hai(x) 6= 0.

12

Stąd gdy hai(x) = 0 dla wszystkich i, to f(x) = 0. Niech J = (hai)ni=1 / k[V ].

Z tego, co uzasadniliśmy dostajemy V (J) ⊂ V (f). Korzystając z twierdzeniaHilberta o zerach mamy

√(f) ⊂

√J . Istnieje więc k ∈ N takie, że fk ∈ J .

Możemy zatem dobrać elementy rai ∈ k[V ] takie, że

fk =n∑i=1

raihai .

Dalej,

ϕ(x)n∑i=1

rai(x)hai(x) =n∑i=1

gai(x)rai(x),

a więc

ϕ(x)fk(x) =n∑i=1

gai(x)rai(x).

Jeśli V jest rozkładalne, to trzeba zastosować wcześniejszy manewr.

Wprowadzimy teraz ważne pojęcie lokalizacji względem zbioru multiplika-tywnego.

Definicja 40. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. PodzbiórS ⊂ A nazywamy multiplikatywnym, gdy 0 /∈ S, 1 ∈ S oraz

s1, s2 ∈ S ⇒ s1s2 ∈ S.

Definicja 41. Lokalizacją pierścienia A względem podzbioru multiplikatywnegoS nazywamy zbiór klas równoważności

AS ={as

: a ∈ A, s ∈ S},

względem relacjia1s1∼ a2s2⇔ ∃

s∈S(a1s2 − a2s1)s = 0.

Z naturalnymi działaniami (jak na ułamkach) jest to pierścień.

Zauważmy, że mamy naturalny homomorfizm π : A 7→ AS określony zapomocą wzoru π(a) = a

1 . W ogólności jednak nie jest on różnowartościowy(jest, gdy S nie zawiera dzielników zera). Lokalizacja ma następującą własnośćuniwersalną.

Fakt 42. Niech ϕ : A 7→ B będzie homomorfizmem takim, że dla każdego s ∈ Selement ϕ(s) jest odwracalny w B. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomor-fizm α : AS 7→ B taki, że ϕ = α ◦ π.

Byliśmy blisko wykazania OV (Vf ) = k[V ]f , gdzie Vf = {x ∈ V : f(x) 6= 0},f ∈ k[V ] oraz k[V ]f oznacza lokalizację względem zbioru multiplikatywnego{fn : n ∈ N ∪ {0}} (szczegóły zostały zostawione jako zadanie domowe).

13

Stwierdzenie 43. Niech V będzie zbiorem afinicznym oraz niech f ∈ k[V ].Wówczas Vf jest izomorficzne z pewną afiniczną rozmaitością algebraiczną.

Dowód. Niech V ⊂ kn, f = F |V , gdzie F ∈ k[x1, . . . , xn]. Przyjmijmy

V = {x ∈ kn : Gi(x) = 0, i ∈ {1, . . . ,m}}.

W kn+1 rozważmy

W = {x ∈ kn+1 : Gi(x1, . . . , xn) = 0, i ∈ {1, . . . ,m}, xn+1F (x1, . . . , xn) = 1}.

Wówczas odwzorowanie ϕ : Vf 7→W zadane wzorem

ϕ(x1, . . . , xn) =(x1, . . . , xn,

1F (x1, . . . , xn)

)jest żądanym izomorfizmem.

Przechodzimy do omówienia odwzorowań wymiernych.

Definicja 44. Niech X,Y będą rozmaitościami algebraicznymi. W zbiorze par(U,ϕ), gdzie U jest zbiorem otwartym i gęstym w X, a ϕ : U 7→ k jest funk-cją regularną wprowadzamy relację równoważności (U1, ϕ1) ∼ (U2, ϕ2) wtedy itylko wtedy, gdy ϕ1|U1∩U2 = ϕ2|U1∩U2 . Odwzorowaniem wymiernym z X do Ybędziemy nazywać klasę równoważności tej relacji. Jeśli Y = k, to odwzorowa-nia wymierne będziemy nazywać funkcjami wymiernymi, a przez k(X) będziemyoznaczać k-algebrę wszystkich funkcji wymiernych na X.

Fakt 45. Jeśli X jest nierozkładalne, to k(X) jest ciałem.

Dowód. Niech 0 6= f ∈ k(X) i rozważmy U = {x ∈ X : f(x) 6= 0}. Wówczas Ujest niepustym zbiorem otwartym w X, a więc z nierozkładalności jest to zbiórgęsty. Zatem funkcja 1f jest regularna na U , co kończy dowód.

W przypadku gdy mamy do czynienia z rozmaitością afiniczną można podaćdokładniejszy opis algebry funkcji wymiernych.

Fakt 46. Jeśli X jest nierozkładalną rozmaitością afiniczną, to k(X) = Q(k[X])(ciało ułamków pierścienia k[X]).

Dowód. Niech fg ∈ Q(k[X]), gdzie f, g ∈ k[X], g 6= 0. Wówczas f

g ∈ k(X), bojest to funkcja regularna określona na zbiorze {g 6= 0}. Niech teraz ϕ ∈ k(X).Wtedy istnieje zbiór otwarty i gęsty U ⊂ X, na którym ϕ jest regularna. Z opisutopologii Zariskiego istnieje g ∈ k[X] taka, że

Xg = {x ∈ X : g(x) 6= 0} ⊂ U.

W szczególności ϕ|Xg jest regularna, więc z opisu podanego w Stwierdzeniu 39otrzymujemy ϕ = f

gkdla pewnych f ∈ k[X] oraz k ∈ N. Teraz należy sprawdzić,

że odwzorowanie ϕ 7→ fgk∈ Q(k[X]) jest dobrze określone (nie zależy od wyboru

g), co pozostawiamy jako nietrudne ćwiczenie.

14

Uwaga 47. Jeśli X jest nierozkładalne i U ⊂ X jest niepusty, otwarty, tok(V ) ' k(X).

Dowód. Uzasadniamy z łatwością, że odwzorowanie k(X) 3 ϕ 7→ ϕ|V jest izo-morfizmem.

Wprowadzimy teraz pojęcie biwymiernej równoważności.

Definicja 48. Niech X,Y będą rozmaitościami afinicznymi. Powiemy, że X iY są biwymiernie równoważne (biwymiernie izomorficzne), gdy istnieją odwzo-rowania wymierne ϕ : X 7→ Y , ψ : Y 7→ X takie, że ϕ(X) = Y , ψ(Y ) = Xspełniające ψ ◦ ϕ = id oraz ϕ ◦ ψ = id (tam, gdzie odpowiednie złożenia sąokreślone).Równoważnie, X oraz Y są biwymiernie równoważne, gdy istnieje U ⊂ X -otwarty i gęsty oraz W ⊂ Y - otwarty i gęsty oraz odwzorowanie wymierneϕ : U 7→W mające odwzorowanie wymierne odwrotne.

Równoważność dwóch podanych wyżej definicji nie jest bynajmniej sprawąoczywistą. Wynika ona z poniższego twierdzenia Chevalley’a, którego nie będzie-my dowodzić (dowód można znaleźć w książce profesora Andrzeja Białynickiego- Biruli).

Twierdzenie 49 (Chevalley). Niech F : X 7→ Y będzie morfizmem pomiędzyrozmaitościami algebraicznymi X i Y . Załóżmy, że F (X) = Y . Wówczas F (X)zawiera otwarty, gęsty podzbiór Y .

Omówimy teraz kilka przykładów.

Przykład 50. Niech X = {(x, y) ∈ k2 : x2 = y3}. Wówczas X jest biwymiernierównoważne z k1, ale nie jest izomorficzne z k1.x2 = y3 + 1 nie jest biwymiernie równoważne z k1, ale x2 = y3 + y2 jest biwy-miernie równoważne z k1.

Definicja 51. Jeśli X jest biwymiernie równoważne z kn, to X nazywa sięrozmaitością wymierną.

Niech ϕ : X 7→ Y , gdzie X oraz Y są nierozkładalne będzie odwzorowaniemwymiernym i dominującym, czyli ϕ(X) = Y . Jeśli f ∈ k(Y ), to f ◦ ϕ ma sensi jest funkcją wymierną na X. Analogicznie jak wcześniej, poprzez składanie,otrzymujemy więc homomorfizm ciał ϕ∗ : K(Y ) 7→ K(X). Na odwrót, każdy k-homomorfizm α : k(Y ) 7→ k(X) jest postaci α = ϕ∗ dla pewnego odwzorowaniawymiernego ϕ : X 7→ Y .

Fakt 52. X i Y są biwymiernie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy k(X) 'k(Y ).

Wniosek 53. Jeśli ϕ : k1 7→ X 6= {p} jest dominująca i regularna, to X jestwymierna.

15

Dowód. Homomorfizm ciał jest zawsze injekcją, a więc ϕ∗ : k(X) 7→ k(t) jestzanurzeniem i możemy pisać k k(X) ⊂ k(t). Z twierdzenia Lurotha k(X) 'k(u), gdzie u jest zmienną, co w myśl poprzedniego wniosku kończy dowód.

Omówimy teraz produkty rozmaitości algebraicznych.Niech X,Y będą rozmaitościami afinicznymi, X ⊂ kn, Y ⊂ km. WówczasX × Y ⊂ kn+m jest w naturalny sposób rozmaitością afiniczną, którą będziemynazywać produktem rozmaitości X i Y .W ogólnym przypadku mamy X =

⋃Ui oraz Y =

⋃Wj , gdzie

⋃Ui,

⋃Wj są

pokryciami otwartymi X oraz Y (odpowiednio) i każde z Ui,Wj jest izomor-ficzne z rozmaitością afiniczną. Określamy X × Y =

⋃(Ui × Wj) jako zbiór.

Wprowadzamy topologię za pomocą warunku

V ⊂ X × Y jest otwarte ⇔ ∀i,j

V ∩ (Ui ×Wj) są otwarte.

Teraz, jeśli V ⊂ X × Y jest zbiorem otwartym, to f : V 7→ k nazwiemy funkcjąregularną na V , gdy

∀i,j

f |V ∩(Ui×Wj) jest regularna.

W ten sposób (jak łatwo sprawdzić) wprowadziliśmy strukturę rozmaitości al-gebraicznej na X × Y .Niech X będzie rozmaitością afiniczną oraz niech 4 = {(x, x) : x ∈ X} (prze-kątna).

Definicja 54. Powiemy, że X jest separowalna, gdy4 jest domknięta w X×X.

Uwaga 55. Istnieją rozmaitości algebraiczne, które nie są separowalne (prostaz rozdwojonym punktem), ale każda rozmaitość afiniczna jest separowalna.

2 Geometria rzutowa

Przechodzimy teraz do rzutowej geometrii algebraicznej.

Definicja 56. n-wymiarową przestrzenią rzutową Pnk nad ciałem k nazywamyzbiór klas równoważności (kn+1 \ {0})/ ∼, gdzie

(x0, x1, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn)⇔ ∃λ∈k∗

(λx0, . . . , λxn) = (y0, . . . , yn).

Te klasy równoważności będziemy oznaczać przez [x0, . . . , xn] (współrzędne jed-norodne).

Określając Pni = {[x0, . . . , xi, . . . , xn] : xi 6= 0} dla i ∈ {0, 1, . . . , n} otrzymu-jemy

Pn =n⋃i=0

Pni .

16

Ponadto Pni ' kn, gdzie izomorfizm jest zadany poprzez odwzorowania

[x0, . . . , xi, . . . , xn] 7→(x0xi, . . . ,

xi−1xi

,xi+1xi

, . . . ,xnxi

),

(y1, . . . , yn) 7→ [y1, . . . , yi−1, 1, yi+1, . . . , yn].

Definicja 57. Zbiór X ⊂ Pn nazwiemy zbiorem rzutowym, gdy

X = {[x0, . . . , xn] ∈ Pn : Fi(x0, . . . , xn) = 0 dla i ∈ I},

gdzie Fi(x0, . . . , xn) są wielomianami jednorodnymi (sumami jednomianów tegosamego stopnia).

Podobnie jak w przypadku afinicznym określamy topologię Zariskiego, gdziezbiorami domkniętymi są teraz z definicji zbiory rzutowe. Jeśli X ⊂ Pn jestdowolnym podzbiorem, to przez I(X) oznaczamy zbiór tych wielomianów, któ-re są równe zeru w każdym punkcie X. Jak nietrudno sprawdzić są to ideałyjednorodne, czyli są generowane przez wielomiany jednorodne (formy).

Uwaga 58. Dla każdego i ∈ {1, . . . , n}, Pni jest homeomorficzne z kn oraz Pnijest otwarte w Pn.

Definicja 59. NiechX ⊂ Pn będzie zbiorem rzutowym oraz niech p = [x0, . . . , xn] ∈X i niech f będzie funkcją określoną na otoczeniu p w X. Powiemy, że f jestregularna w p, gdy lokalnie wokół p zachodzi

f([y0, . . . , yn]) =F (y0, . . . , yn)G(y0, . . . , yn)

,

gdzie F,G są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia. Analogiczniejak w przypadku afinicznym otrzymujemy snop funkcji regularnych OX .

Uwaga 60. Określony wcześniej izomorfizm Pni ' kn jest izomorfizmem prze-strzeni ze snopami, czyli (Pin,OPn|Pn

i' (kn,Okn), a więc (Pn,OPn) jest rozma-

itością algebraiczną. Co więcej, jeśli X ⊂ Pn jest zbiorem rzutowym, to również(X,OX) jest rozmaitością algebraiczną, co wynika z istnienia izomorfizmu

X ∩ Pni ' afiniczny domknięty w kn.

Definicja 61. Y jest quasi-rzutowe, gdy Y jest izomorficzne z otwartym pod-zbiorem w zbiorze rzutowym X ⊂ Pn.

Każda rozmaitość afiniczna, każdy zbiór quasi-afiniczny i rzutowy są quasi-rzutowe.Zauważmy, że jeśli X jest afiniczny, to X ↪→ kn ' Pn0 jako podzbiór domknię-ty, a więc X ⊂ Pn0 jest domknięty. Wówczas X jest otwarty w X ⊂ Pn, boX = X ∩ Pn0 .Niech X będzie afinicznym podzbiorem kn, X : fi(x0, . . . , xn) = 0, i ∈ I. Za-stanówmy się, jak wygląda domknięcie X w Pn. Z wielomianem fi możemy

17

związać wielomian jednorodny Fi o stopniu jednorodności równym stopniowi fiza pomocą wzoru

Fi(y0, . . . , yn) = ydegfi0 fi(y1y0, . . . ,

yny0

),

gdzie xi = yiy0

dla i = 1, . . . , n (ujednorodnienie lub homogenizacja). Jest jasne,

że X ⊂ {Fi(y0, . . . , yn) = 0, i ∈ I}, ale w ogólności nie ma tu równości.

Lemat 62. Niech X będzie zbiorem rzutowym oraz niech f : X 7→ Pn będziemorfizmem. Wówczas lokalnie

f(x) = [f0(x), . . . , fn(x)], gdzie fi − regularne.

Dowód. Niech Ui = f−1(Pni ) dla i = 0, . . . , n. Wówczas Ui jest otwartym pod-zbiorem X oraz X =

⋃ni=0 Ui. Rozważmy dla przykładu f |U0 : U0 7→ Pn0 ' kn.

Z definicji możemy teraz napisać

f |U0(x) = [1, f1(x), . . . , fn(x)], gdzie fi − regularne na U0.

Niech X ⊂ Pm będzie zbiorem rzutowym oraz niech f : X 7→ Pn będziemorfizmem. Wówczas, lokalnie f jest dane przez[

Fi(x0, . . . , xm)Gi(x0, . . . , xm)

]ni=1

= [H0(x0, . . . , xm), . . . ,Hn(x0, . . . , xm)],

gdzie wszystkie Hi są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia jedno-rodności (skorzystaliśmy tutaj z tego, że stopnie jednorodności Fi oraz Gi sątakie same).

Przykład 63. Rozpatrzmy przekształcenie ϕ : P 7→ P2 zadane wzorem

ϕ([x0, x1]) = [x20, x0x1, x21]

jest określonym wszędzie morfizmem. Jednak bardzo podobne przekształcenieψ : P1 7→ P2 określone poprzez

ψ([x0, x1]) = [x30, x20x1, x0x

21]

jest regularne tylko na P10.

Przechodzimy do omówienia produktów. Rozmaitości rzutowe są w szczegól-ności rozmaitościami algebraicznymi, więc możemy tak patrzeć na ich produkty.Tym nie mniej warto mieć inny opis produktu Pn × Pm otrzymany przez zanu-rzenie Segre ψn,m : Pnk × Pmk 7→ P(n+1)(m+1)−1k określone wzorem

([x0, . . . , xn], [y0, . . . , ym])→ [. . . , zi,j , . . .],

18

gdzie zi,j = xiyj . Wówczas

ψn,m(Pnk × Pmk ) = {zi,jzk,l = zi,lzk,j dla i, k = 0, . . . , n oraz j, l = 0, . . . ,m}.

ψn,m jest izomorfizmem na obraz i dlatego możemy zdefiniować alternatywnieprodukt Pn × Pm jako W := ψn,m(Pnk × Pmk ). Aby sprawdzić, że istotnie jestto produkt określamy rzutowania pr1 : W 7→ Pn, pr2 : W 7→ Pm za pomocąwzorów:

pr1([zi,j ]) = [z0,b, . . . , za,b, . . . , zn,b], o ile za,b 6= 0

pr2([zi,j ]) = [za,0, . . . , za,b, . . . , za,m], o ile za,b 6= 0.

Twierdzenie 64. Niech X będzie rozmaitością rzutową oraz niech Y będziedowolną rozmaitością algebraiczną. Wówczas rzutowanie X × Y 7→ Y jest od-wzorowaniem domkniętym.

Dowód. Niech Y =⋃Ui, gdzie Ui są otwarte i afiniczne i niech Z ⊂ X×Y będzie

zbiorem domkniętym. Wówczas z definicji topologii Z ∩ (X × Ui) są domkniętew X × Ui. Oznaczmy rozważane rzutowanie przez p. Wtedy

p(Z) =⋃i

p(Z ∩ (X × Ui)).

Ponownie, z definicji topologii na Y należy udowodnić, że dla każdego i zbiórp(Z) ∩ Ui jest domknięty w Ui. Dalej, p(Z) ∩ Ui = p(Z ∩ (X × Ui)) dla wszyst-kich i, a więc wystarczy wykazać, iż ten ostatni zbiór jest domknięty w Ui. Wten sposób sprowadziliśmy dowód do przypadku, gdy Y jest afiniczne. Terazstandardowo zanurzamy Y ⊂ kn jako podzbiór domknięty. Wówczas otrzymu-jemy zanurzenie X × Y w X × kn i oczywiście stosowny diagram komutuje,co uzasadnia, że wystarczy udowodnić tezę dla Y = kn. Zanurzając X w Pmwidzimy, iż wystarczy pokazać domkniętość rzutowania Pm × kn 7→ kn. Niechwięc Z ⊂ Pm × kn będzie domkniętym podzbiorem. i niech [x0, . . . , xm] oraz(y1, . . . , yn) będą współrzędnymi w Pm i kn (odpowiednio). Zatem

Z = {[x0, . . . , xm]× (y1, . . . , yn) : Fi(x0, . . . , xm, y1, . . . , yn), i ∈ I},

gdzie każdy z wielomianów Fi jest jednorodny względem (x0, . . . , xm). Pokaże-my, że kn\p(Z) jest otwarte. W tym celu weźmy y0 /∈ p(Z), y0 = (y(0)1 , . . . , y

(0)n ).

Z określenia zbioru Z oznacza to, że układ równań

Fi(x0, . . . , xm, y(0)1 , . . . , y(0)n ) = 0, i ∈ I

ma tylko zerowe rozwiązanie w zmiennych (x0, . . . , xm). Zatem

V (Fi(x, y0), i ∈ I) = V (x0, . . . , xm).

Z Nullstellensatz istnieje s ∈ N spełniające

(x0, . . . , xm)s ⊂ (Fi(x, y0), i ∈ I).

19

Oznacza to, że dla każdego układu liczb naturalnych i0, . . . , im o własnościi0+ . . .+ im = s istnieją wielomiany H(i0,...,im)i (x0, . . . , xm) jednorodne stopniadegHi = s− degFi(x, y0), dla których

xi00 · . . . ximm =∑i

H(i0,...,im)i (x0, . . . , xm)Fi(x0, . . . , xm, y0). (4)

Niech V będzie przestrzenią liniową jednorodnych stopnia s (w zmiennych (x0, . . . , xm)).Weźmy dowolną bazę V oraz wyraźmy H

(i0,...,im)i (x0, . . . , xm) · Fi(x, y0) jako

kombinację liniową elementów z bazy. W ten sposób otrzymujemy macierz A,która w i-tym wierszu ma współrzędne H(i0,...,im)i (x0, . . . , xm) · Fi(x, y0) wzglę-dem wybranej bazy V . Z drugiej strony (4) pokazuje, że wiersze macierzy Arozpinają kdimV . Stąd rząd tej macierzy jest równy dimV - liczba kolumn.Dalej, oznacza to, iż jeden z minorów dimV × dimV jest nieosobliwy. Teraznietrudno zaobserwować, że współczynniki tej macierzy są wielomianami od(y(0)1 , . . . , y

(0)n ). Rozszerzając ewentualnie zbiór wielomianów Hi możemy zało-

żyć, że nie zależą one od y0 (w razie czego można wziąć wszystkie jednomia-ny odpowiedniego stopnia). Ostatecznie, wyznacznik jest funkcją wielomianowąwspółczynników macierzy, więc y0 /∈ p(Z) wtedy i tylko wtedy, gdy pewna funk-cja wielomianowa jest niezerowa w y0, co kończy dowód.

Definicja 65. Powiemy, że rozmaitość algebraiczna X jest rozmaitością zupeł-ną, gdy ma własność z ostatniego twierdzenia.

Warto zwrócić uwagę, że istnieją proste rozmaitości afiniczne, które nie sązupełne.

Przykład 66. k1 × k1 7→ k1 nie jest domknięte, bo na przykład {xy = 1} ⊂k1 × k1 7→ k1 \ {0}.

Rozmaitości zupełne mają własność uniwersalną, której nie będziemy dowo-dzić.

Twierdzenie 67 (Nagata). Każdą rozmaitość algebraiczną można zanurzyć wrozmaitość zupełną jako podzbiór otwarty.

Przechodzimy teraz do wyciągnięcia wniosków z twierdzenia o zupełnościrozmaitości rzutowych.

Wniosek 68. Niech X będzie rozmaitością rzutową, a Y rozmaitością separo-walną. Wówczas każdy morfizm f : X 7→ Y jest odwzorowaniem domkniętym, aw szczególności f(X) jest domknięte w Y .

Dowód. Niech Γf ⊂ X × Y będzie wykresem f , czyli

Γf = {(x, f(x)) : x ∈ X}.

Wówczas Γf jest domknięte w X × Y , bo

Γf = (id× f)−1(4Y ),

20

a więc Γf jest domknięte jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy funkcji cią-głej (korzystamy z separowalności Y ). Dalej, f(X) = p(Γf ), gdzie p : X×Y 7→ Yi teza wynika z zupełności X. W ogólnym przypadku argument jest analogiczny,co domkniety podzbiór rozmaitości rzutowej jest rozmaitością rzutową.

Wniosek 69. Niech X będzie spójną rozmaitością rzutową oraz niech f ∈OX(X) (funkcja regularna na X). Wówczas f jest stała.

Dowód. Niech f : X 7→ k1 będzie funkcją regularną. Z poprzedniego wnioskuf(X) jest domknięte w k1 i oczywiście f(X) jest spójne w k1. Stąd f(X) jestpunktem lub f(X) = k1. Teraz zanurzamy k1 w P1 jako P10 i rozszerzamy fdo morfizmu X 7→ P1. Jeśliby f(X) = k1, to f(X) = k1 ' P10 ⊂ P1 byłobydomknięte, co jest oczywiście nieprawdą.

Wynika stąd jeszcze jeden użyteczny wniosek.

Wniosek 70. Jeśli X jest jednocześnie rozmaitością afiniczną i rzutową, to Xjest skończonym zbiorem punktów.

Omówimy teraz zanurzenie Veronese.Niech [x0, . . . , xn] będą współrzędnymi na Pn i rozważmy przestrzeń liniową wie-lomianów jednorodnych stopnia m (ma ona wymiar

(m+nm

)). Niech współrzędne

na P(n+mm )−1 będą postaci [. . . , wi0,...,in , . . .], gdzie i0 + . . .+ in = m (porządku-

jemy leksykograficznie). Określamy zanurzenie Veronese Φm : Pn 7→ P(n+mm )−1

wzoremΦm([x0, . . . , xn]) = (. . . , xi00 · . . . · xinn , . . .).

Wówczas obraz Φm(Pn) jest określony następująco

Φm(Pn) = {wi0,...,in · wj0,...,jn = wk0,...,kn · wl0,...,ln},

gdzie is + js = ks + ls dla s = 0, . . . , n. Bez trudu sprawdzamy, że Φm jestwłożeniem, czyli daje izomorfizm Pn ' Φm(Pn).Niech X ⊂ Pn będzie hiperprzestrzenią, czyli

X = {(x0, . . . , xn) : F (x0, . . . , xn) = 0,degF = m}.

WówczasF (x0, . . . , xn) =

∑i0+...+in=m

a(i0,...,in)xi00 · . . . · xinn .

Weźmy [x0, . . . , xm] ∈ X i zastosujmy zanurzenie Veronese. Wtedy punkt Φm([x0, . . . , xn])spełnia liniowe równanie ∑

i0+...+in=m

a(i0,...,in)wi0,...,in = 0.

Zatem Φm(X) = Φm(Pn) ∩ L, gdzie L jest hiperpłaszczyzną w P(n+mm )−1.

21

Wniosek 71. Niech X będzie hiperprzestrzenią w Pn stopnia m, X = {(x0, . . . , xn) :F (x0, . . . , xn) = 0}, degF = m. Wówczas Pn \X jest afiniczne.

Dowód. Połóżmy N :=(m+nm

)− 1. Mamy

Φm(Pn \X) = Φm(Pn) \ (Φm(Pn) ∩ L) = (PN \ L) ∩ Φm(Pn).

Zauważmy teraz, że PN \L ' kN (istotnie, gdy L : x0 = 0, to teza jest oczywista,a w ogólnym przypadku znajdziemy liniowy automorfizm przekształcający L na{x0 = 0}). Dalej,

(PN \ L) ∩ Φm(Pn)

jest domkniętym podzbiorem w PN \L ' kN , a więc jest to rozmaitość afiniczna.

Wniosek 72. Niech X,Y ⊂ P2 będą krzywymi w P2 (podzbiory domknięte opi-sane jednym równaniem). Wówczas X ∩ Y 6= ∅.

Dowód. Z poprzedniego wniosku P2 \ X jest afiniczne. Jeśliby Y ∩ X = ∅, toY ⊂ P2 \X. Stąd Y jest skończone, co oczywiście jest wykluczone.

3 Wymiar

Przechodzimy do zagadnień związanych z wymiarem. Przypomnijmy najpierwdefinicję.

Definicja 73. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał. Powiemy, że elementyt1, . . . , tn ∈ L są algebraicznie niezależne nad K, gdy nie istnieje wielomianF ∈ k[x1, . . . , xn] spełniający

F (t1, . . . , tn) = 0.

Wymiarem przestępnym L nad K nazywamy maksymalną liczbę elementów z Lalgebraicznie niezależnych nad K. Jeśli t1, . . . , tn ∈ L jest takim maksymalnymukładem, to:

1. K(t1, . . . , tn) jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych n zmiennychnad K.

2. K ⊂ K(t1, . . . , tn) ⊂ L jest wieżą ciał, w którym ostatnie rozszerzenie jestalgebraiczne.

Możemy już określić wymiar nierozkładalnej rozmaitości algebraicznej.

Definicja 74. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością algebraiczną. Wy-miarem X nazywamy wymiar przestępny k(X) nad k.

W szczególności, dimkn = n. Wprost z definicji otrzymujemy poniższy fakt.

Fakt 75. Jeśli dwie nierozkładalne rozmaitości afiniczne są biwymiernie rów-noważne, to dimX = dimY .

22

Rozszerzymy teraz pojęcie wymiaru na rozmaitości afiniczne, które nieko-niecznie są nierozkładalne oraz wprowadzimy pojęcie kowymiaru.

Definicja 76. Niech X będzie rozmaitością algebraiczną oraz niech X = X1 ∪. . . ∪Xk, gdzie Xi dla 1 ¬ i ¬ k są składowymi nierozkładalnymi X. Wówczasokreślamy

dimX = maxi∈{1,...,k}

dimXi.

Jeśli Y ⊂ X jest podzbiorem domkniętym, to określamy kowymiar Y w X jakocodimXY = dimX − dimY .

Udowodnimy teraz twierdzenie opisujące podstawowe własności pojęcia wy-miaru.

Twierdzenie 77. Niech X oraz Y będą rozmaitościami algebraicznymi. Wów-czas zachodzą następujące fakty.

1. Jeśli Y ⊂ X jest domkniętym podzbiorem, to dimX ­ dimY. Ponadto,gdy X oraz Y są nierozkładalne, to dimX = dimY wtedy i tylko wtedy,gdy X = Y .

2. dim(X × Y ) = dimX + dimY .

3. Jeśli X ⊂ kn jest nierozkładalnym podzbiorem domkniętym oraz codimX =1, to I(X) jest ideałem głównym (X jest opisane przez jedno równanie).Ta sama teza jest prawdziwa przy założeniu X ⊂ Pn - nierozkładalny idomknięty.

Dowód. 1. Możemy założyć, że X i Y są afiniczne, bo jeśli U ⊂ X jest otwar-ty i gęsty, to dimX = dimU oraz Y ∩ U 6= ∅, a więc dimY = dim(Y ∩ U).Niech k[X] = k[x1, . . . , xn] (to nie jest pierścień wielomianów!) oraz k[Y ] =k[x1, . . . , xn], gdzie xi = xi|Y dla 1 ¬ 1 ¬ n. Przyjmijmy dimY = s i niechx1, . . . , xs będą algebraicznie niezależne nad k. Wówczas oczywiście x1, . . . , xs ∈k[X] są algebraicznie niezależne, co daje dimX ­ dimY . Załóżmy teraz, że Xjest nierozkładalne oraz dimX = dimY = s. Weźmy f ∈ k[X], f |Y = 0. Wów-czas układ {x1, . . . , xs, f} jest algebraicznie zależny, a więc istnieje najmniejszek ∈ N oraz wielomiany a0, . . . , ak od s zmiennych , ak 6= 0 takie, że

ak(x1, . . . , xs)fk + ak−1(x1, . . . , xs)fk−1 + . . .+ a0(x1, . . . , xk) = 0.

Ograniczając do Y otrzymujemy a0(x1, . . . , xs) = 0, więc algebraicznej nieza-leżności elementów x1, . . . , xs dostajemy a0 = 0. Stąd

f ·(ak(x1, . . . , xs)fk−1 + . . .+ a1(x1, . . . , xs)

).

Z nierozkładalności X pierścień k[X] jest dziedziną, a więc minimalność k za-pewnia, że f = 0 jako element k[X]. W ten sposób wykazaliśmy równość X = Y(gdyby istniał punkt p ∈ X \ Y , to biorąc odpowiednie równanie określające Ymielibyśmy otrzymalibyśmy f ∈ k[X], f |Y = 0 oraz f(p) 6= 0).

23

2. Ponownie możemy założyć, żeX,Y są afiniczne. Niech więc k[X] = k[x1, . . . , xn],k[Y ] = k[y1, . . . , ym] oraz niech dimX = s, dimY = u i niech układy elementówx1, . . . , xs ∈ k[X] oraz y1, . . . , yu ∈ k[Y ] będą algebraicznie niezależne. Połóżmyrównież xi = xi ◦ prX , yj = yj ◦ prX dla 1 ¬ i ¬ s, 1 ¬ j ¬ u. Chcielibyśmywykazać, że układ

x1, . . . xs, y1, . . . , yu

jest algebraicznie niezależny w k[X × Y ] = k[X] ⊗k k[Y ]. Załóżmy przeciwnie,wówczas istnieją wielomiany s zmiennych aI (I jest tutaj odpowiednim multin-deksem) spełniające ∑

aI(x1, . . . , xs)y1i1 . . . yu

iu = 0.

Weźmy teraz dowolny punkt x0 ∈ X i zewaluujmy poprzednią tożsamość wpunkcie (x0, y), gdzie y ∈ Y jest dowolne∑

aI(x1(x0), . . . , xs(x0))yi11 . . . y

ikk = 0.

Z algebraicznej niezależności y1, . . . , yu oznacza to, że aI(x1, . . . , xs) = 0 i zalgebraicznej niezależności x1, . . . , xs otrzymujemy aI = 0. Zatem dim(X×Y ) ­dimX+ dimY . W celu wykazania nierówności przeciwnej weźmy h ∈ k[X×Y ].Pamiętając, że k[X × Y ] = k[X]⊗k k[Y ] możemy napisać

h(x, y) =∑i

fi(x)gi(y),

gdzie fi ∈ k[X] oraz gi ∈ k[Y ]. Teraz wszystkie fi są algebraiczne nad k(x1, . . . , xs)oraz wszystkie gi są algebraiczne nad k(y1, . . . , yu). Stąd, rzecz jasna, g jest al-gebraiczne nad k(x1, . . . , xs, y1, . . . , yu), co kończy dowód punktu 2.3. Niech X ⊂ kn będzie domkniętym i nierozkładalnym podzbiorem spełniają-cym dimX = n− 1. Weźmy f ∈ k[x1, . . . , xn], f 6= 0, f |X = 0 i rozłóżmy je naczynniki pierwsze f = f1 · . . . · fk. Wówczas

X ⊂k⋃i=1

V (fi),

a więc z nierozkładalności istnieje i ∈ {1, . . . , k} takie, że X ⊂ V (fi). Bezstraty ogólności możemy założyć, iż f jest wielomianem nierozkładalnym. Wten sposób otrzymujemy inkluzję

X ⊂ V (f) kn.

Zatem dimX ¬ dimV (f) < n, czyli dimV (f) = n − 1. Jeśli sprawdzimy, żeV (f) jest nierozkładalne, to teza będzie wynikała z punktu 1.. To jest jednakjasne, gdyż I(V (f)) =

√(f) = (f) i ideał (f) jest pierwszy (skorzystaliśmy z

Nullstellensatz), a więc nierozkładalność otrzymujemy z Faktu 21.

Analogicznie jak punkt 3. ostatniego twierdzenia można udowodnić nastę-pujący fakt.

24

Fakt 78. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną taką, że k[X] jest dziedziną z jedno-znacznością rozkładu, to Y ⊂ X jest domkniętym, nierozkładalnym podzbioremkowymiaru 1, to I(Y ) � k[X] jest ideałem głównym.

Wprowadzimy teraz inne pojęcie wymiaru.

Definicja 79. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością algebraiczną. Wy-miarem Krulla X nazwiemy największe n ∈ N takie, że istnieje ciąg

X0 := X ! X1 ! X2 ! . . . ! Xn

nierozkładalnych, domkniętych podzbiorów X.

Będziemy dążyć do dowodu równoważności dwóch wprowadzonych definicjiwymiaru. Będzie nam do tego jednak potrzebne przygotowanie algebraiczne.

Definicja 80. t Niech A ⊂ B będzie rozszerzeniem pierścieni. Powiemy, żeelement b ∈ B jest całkowity nad A, gdy istnieje wielomian unormowany (mo-niczny) f ∈ A[x], czyli o współczynniku przy najwyższej potędze równym 1,dla którego f(b) = 0. Pierścień B nazwiemy całkowitym nad A, gdy każdyb ∈ B jest całkowity nad A (mówimy wtedy również, iż A ⊂ B jest całkowitymrozszerzeniem pierścieni).

Przypominamy, że jeśli f : X 7→ Y jest dominującym morfizmem (f(X) =Y ), to f∗ : k[Y ] 7→ k[X] jest różnowartościowe. Wobec tego możemy traktowaćk[Y ] jako podpierścień w k[X].

Definicja 81. Dominujący morfizm f : X 7→ Y nazwiemy skończonym, gdyrozszerzenie k[Y ] ⊂ k[X] jest całkowite.

Wprowadzimy jeszcze jedną definicję z algebry.

Definicja 82. Niech A ⊂ B będzie rozszerzeniem pierścieni. Powiemy, że Bjest skończenie generowaną A - algebrą, gdy B = A[b1, . . . , bn] dla pewnychb1, . . . , bn ∈ B lub równoważnie, gdy istnieje A - epimorfizm f : A[x1, . . . , xn] 7→B.

Gdy A ⊂ B jest rozszerzeniem pierścieni, to na B możemy oczywiście wpro-wadzić strukturę A - modułu.

Stwierdzenie 83. Niech A ⊂ B będzie rozszerzeniem pierścieni. Załóżmy, żeB jest skończenie generowaną A - algebrą. Wówczas B jest całkowity nad Awtedy i tylko wtedy, gdy B jest skończenie generowanym A - modułem.

Dowód. ”⇒ ” Niech B będzie całkowity nad A i niech B = A[b1, . . . , bn], gdzieb1, . . . , bn ∈ B. Z założenia dla każdego i ∈ {1, . . . , n} istnieją liczby naturalneki ∈ N oraz elementy aili ∈ A, gdzie li ∈ {0, . . . ki−1} takie, że

bkii + aiki−1bki−1i + . . .+ ai0 = 0.

25

Zatem bkii ∈ A + Abi + . . . + Abki−1i . Stąd widzimy bez trudu, że dla każdegoN ∈ N

bNi ∈ A+Abi + . . .+Abki−1i .

Czyli dowolny jednomian postaci bs1i1 ·. . . bsrir

, gdzie i1 < . . . < ir ¬ n, s1, . . . , sr ∈N należy do jednego skończenie generowanego nad A modułu V (jego genera-torami są wszystkie iloczyny długości co najwyżej n elementów bsii , w którymkażde si jest mniejsze bądź równe od ki − 1). Dalej, każde b ∈ B można przed-stawić w postaci

b =∑

aIbi11 · . . . · binn .

Stąd b ∈ V i dowód pierwszej implikacji jest zakończony.”⇐ ” Niech B = Ab1+ . . .+Abn dla pewnych b1, . . . , bn ∈ B. Weźmy teraz do-wolne b ∈ B. Dla każdego i ∈ {1, . . . , n} możemy dobrać aij ∈ A, j ∈ {1, . . . , n}tak, aby

bbi =n∑j=1

aijbj dla i = 1, . . . , n.

W ten sposób określiliśmy macierz n×n o współczynnikach z A, którą oznaczy-my przez X. Niech Y oznacza wektor kolumnowy o współrzędnych b1, . . . , bn. Zokreślenia macierzy X mamy

(X − bI)Y = 0,

gdzie 0 po prawej stronie oznacza kolumnowy wektor zerowy. Niech (X − bI)D

będzie macierzą dołączoną macierzy X − bI. Wówczas jak pamiętamy z algebryliniowej (X − bI)D(X − bI) = det(X − bI)I. Zatem

det(X − bI)Y = 0, czyli det(X − bI)bj = 0 dla j = 1, . . . , n.

Jednak 1 ∈ B = Ab1 + . . . + Abn, a więc również det(X − bI) · 1 = 0. Stąddet(X − bI) = 0. Rozpisując wyznacznik otrzymamy równanie postaci

(−1)nbn +n−1∑i=1

aibi = 0.

To oczywiście wystarczy, aby stwierdzić, że b jest całkowity nad A.

Przykład 84. Niech X = {(x, y) : x2 = y3} ⊂ k2 oraz niech f : k1 7→ X będzieokreślone wzorem f(t) = (t3, t2). Uzasadnimy, że jest to skończony morfizm.Z definicji, odwzorowanie f∗ : k[X] 7→ k[t] jest zadane wzorem f∗(g(x, y)) =g(t3, t2). Teraz, t3 ∈ f∗(k[X]), a więc wielomian T 3−t3 o współczynnikach z k[X]jest wielomianem unormowanym, którego pierwiastkiem jest t. Rozumowaniekończy uwaga, iż zbiór elementów całkowitych względem podpierścienia tworzypodpierścień.Z drugiej strony, inkluzja k∗ ↪→ k1 nie jest, jak łatwo sprawdzić, skończonymmorfizmem.

26

Lemat 85. Niech f : X 7→ Y będzie skończone. Wówczas dla każdego y ∈ Ywłókno f−1({y}) jest skończone.

Dowód. Niech X ⊂ kn oraz Y ⊂ km i weźmy y0 ∈ Y . Rozważmy obcięciafunkcji współrzędnościowych xi = xi|X dla i = 1, . . . , n. Ustalmy i ∈ {1, . . . , n},z definicji xi jest całkowite nad f∗(k[Y ]). Istnieją więc funkcje gj ∈ k[Y ] orazN ∈ N takie, że

xiN + f∗(gN−1)xiN−1 + . . .+ f∗(g0) = 0.

Niech teraz x0 ∈ f−1({y0}). Pamiętając, że f∗(gj)(x0) = gj(f(x0)) = gj(y0)dostajemy

(xi(x0))N + gN−1(y0) (xi(x0))

N−1 + . . .+ g0(y0) = 0.

Stąd xi(x0) może przyjmować tylko skończenie wiele wartości, a skoro jest toprawdą dla wszystkich i ∈ {1, . . . , n}, dowód jest zakończony.

Twierdzenie 86. Niech A ⊂ B będzie rozszerzeniem całkowitym i niech Bbędzie skończenie generowaną A-algebrą. Wówczas jeśli I ⊂ A jest ideałem wła-ściwym, to IB ⊂ B jest również ideałem właściwym.

Dowód. Korzystając z Stwierdzenia 83 wiemy, że B jest skończenie generowa-nym A-modułem, a więc istnieją b1, . . . , bn ∈ B takie, że B = Ab1 + . . .+ Abn.Załóżmy teraz, iż teza jest fałszywa, czyli IB = B. Wówczas dla każdegoi ∈ {1, . . . , n} istnieją aij ∈ I spełniające

bi =n∑j=1

aijbj .

Definiując A = [aij ]ni,j=1 możemy analogicznie jak w dowodzie Stwierdzenia 83napisać det(A− I)bi = 0 dla i = 1, . . . , n. Jednak 1 jest kombinacją elementówbi, co pociąga za sobą det(A−I) = 0. Pamiętając, że współczynniki macierzy Apochodzą z I oraz rozpisując wyznacznik dostaniemy 1 ∈ I, wbrew założeniu.

Wniosek 87 (Going-up). Utrzymujemy notację z ostatniego twierdzenia. JeśliI ⊂ A jest ideałem maksymalnym, to istnieje ideał maksymalny J ⊂ B taki, żeJ ∩A = I.

Dowód. Rozważmy ideał IB ⊂ B. Z poprzedniego twierdzenia jest to ideałwłaściwy, a więc jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym J . Teraz I ⊂J ∩A, co w połączeniu z maksymalnością I daje I = J ∩A.

Odnotujmy jeszcze jeden wniosek, którego nie będziemy używać, więc dowódzostanie jedynie naszkicowany.

Wniosek 88. Jeśli p � A jest ideałem pierwszym, to istnieje q � B - ideałpierwszy taki, że q ∩A = p.

27

Dowód. Z definicji ideału pierwszego S = A \ p jest zbiorem multiplikatywnym.Rozważając teraz lokalizacje Ap i Bp otrzymamy homomorfizm indukowanyprzez inkluzję. Teraz nietrudno sprawdzić, że p generuje w Ap ideał maksy-malny, więc można posiłkować się poprzednim wnioskiem (trzeba wykazać, żeAp ⊂ Bp jest całkowite, a potem podnieść ideał).

Zanim przejdziemy do następnego stwierdzenia odnotujmy pewien fakt al-gebraiczny, którego dowód jest prostym ćwiczeniem.

Fakt 89. Jeśli f : X 7→ Y jest morfizmem oraz x0 ∈ X, y0 := f(x0), to ozna-czając przez mx0 ideał maksymalny funkcji z k[X], które zerują się w punkciex0 prawdą jest, iż k[Y ] ⊃ my0 = (f∗)−1 (mx0).

Stwierdzenie 90. Jeśli f : X 7→ Y jest skończone, to f(X) = Y .

Dowód. W myśl ostatniego Faktu f jest ”na” wtedy i tylko wtedy, gdy dlakażdego n ⊂ k[Y ] - ideału maksymalnego istnieje ideał maksymalny m ⊂ k[X]taki, że

(f∗)−1 (m) = n.

Pamiętając jednak, że w naszej sytuacji f∗ możemy traktować jako inkluzjęoznacza to dokładnie m ∩K[Y ] = n, a więc teza wynika z Wniosku 87.

Wniosek 91. Każdy skończony morfizm jest przekształceniem domkniętym.

Dowód opiera się na uzasadnieniu, iż jeśli Z ⊂ X jest domknięte, to f |Z :Z 7→ f(Z) jest skończone, lecz na razie go pomijamy.

Uwaga 92. Jeśli f : X 7→ Y jest skończony, to dimX = dimY .

Możemy teraz rozszerzyć definicję skończonego morfizmu.

Definicja 93. Niech X,Y będą dowolnymi rozmaitościami algebraicznymi iniech f : X 7→ Y będzie odwzorowaniem dominującym. Powiemy, że f jestskończone, gdy istnieje pokrycie afiniczne

Y =⋃i

Ui, gdzie Ui są otwarte i afiniczne

takie, że f−1(Ui) jest afiniczne oraz f : f−1(Ui) 7→ Ui jest skończone dla każdegoi.

Dążymy do dowodu twierdzenia mówiącego, iż zbiór zer funkcji regularnej nanierozkładalnej rozmaitości afinicznej jest pusty lub ma kowymiar 1. Zaczynamyjednak od przypadku rzutowego. Najpierw lemat pomocniczy.

Lemat 94. Niech f : X 7→ Ps będzie morfizmem zadanym wzorem

f(x) = [F0(x), . . . , Fs(x)], gdzie

F0, . . . , Fs są liniowo niezależnym formami tego samego stopnia bez wspólnychzer oraz X ⊂ Pn jest podzbiorem domkniętym. Wówczas f jest skończone.

28

Dowód. Niech m będzie stopniem form F0, . . . , Fs. Używając zanurzenia Vero-nese rzędu m, φm : Pn 7→ PN możemy założyć, że wszystkie formy F0, . . . , Fssą liniowe. Istotnie, mamy : φm : X 7→ φ(X) ⊂ PN i skończoność odwzorowaniaf jest równoważna skończoności morfizmu f : φ(X) 7→ Ps domykającego dia-gram, bo φ jest izomorfizmem na obraz. Dokonując liniowej zamiany zmiennychmożemy przyjąć, iż f : X 7→ f(X) ⊂ Ps jest następującej postaci

f([x0, . . . , xn]) = [x0, . . . , xs].

Zgodnie z definicją, musimy znaleźć otwarte pokrycie afiniczne, takie, że f ob-cięte do przeciwobrazów każdego elementu pokrycia jest skończone. Weźmy więcstandardowe pokrycie zbiorami Psi . Bez straty ogólności wystarczy udowodnić,że f : X ∩ Pn0 7→ f(X) ∩ Ps0 jest skończone. Każda funkcja regularna na X ∩ Pn0jest postaci

G(x0, . . . , xn)xk0

, gdzie G jest formą stopnia k.

Rozważmy przekształcenie ψ : Pn 7→ Ps+1 określony wzorem

ψ([x0, . . . , xn]) = [xk0 , . . . , xks , G(x0, . . . , xn)].

Jest ono dobrze określone na X i [0, . . . , 0, 1] /∈ ψ(X). Oznaczmy współrzędnew Ps+1 przez y0, . . . , ys, ys+1. Niech

F1 = 0, . . . , Fr = 0

będą równaniami ψ(X) (jest ono domknięte, boX jest rzutowe). Skoro [0, . . . , 0, 1] /∈ψ(X), to formy y0, . . . , yr, F1, . . . , Fr nie mają wspólnych zer na Ps+1. Zatem

V (y0, . . . , ys, F1, . . . , Fr) = (0, . . . , 0) ∈ ks+2.

Z twierdzenia Hilberta o zerach√(y0, . . . , ys, F1, . . . , Fr) = (y0, . . . , ys, ys+1).

Istnieje więc l ­ 1 takie, że yls+1 ∈ (y0, . . . , ys, F1, . . . , Fr), czyli możemy napisać

yls+1 =s∑j=0

yjGj +r∑i=1

FiHi, gdzie Gj , Hi są jednorodne.

Rozpatrując tę tożsamość na ψ(X) mamy

yls+1 =s∑j=1

yjGj , gdzie degGj = l − 1.

Porządkując to równanie względem potęg ys+1 dostajemy

yls+1 =l−1∑i=0

yis+1Ai(y0, . . . , ys), gdzie Ai są jednorodne.

29

Pamiętając o postaci ψ i biorąc [x0, . . . , xn] = x ∈ X ∩ Pn0 otrzymujemy na Xrównanie

Gl(x0, . . . , xn) =l−1∑i=0

Gi(x0, . . . , xn)Ai(xk0 , . . . , xks).

Dzieląc przez stronami przez xkl0 dostajemy(G(x0, . . . , xn)

xk0

)l=

l−1∑i=0

(G(x0, . . . , xn)

xk0

)iBi

(x1x0, . . . ,

xsx0

),

gdzie Bi są formami. Jak łatwo sprawdzić Bi ∈ f∗(k[f(X) ∩ Ps0]), co kończydowód.

Stwierdzenie 95. Niech X ⊂ Pn będzie domkniety i nierozkładalny oraz niechF (x0, . . . , xn) będzie formą niezerującą się tożsamościowo na X. Wówczas

dimV (F ) = dimX − 1.

Dowód. Połóżmy F0 = F , X0 = X, X1 = V (F ). Znajdziemy teraz formęF1(x0, . . . , xn) nie zerującą się tożsamościowo na żadnej składowej nierozkła-dalnej V (F0). Zdefiniujmy

X2 = {x ∈ X1 : F1(x) = 0}.

Jeśli degF0 = m, to naszą formę F1 możemy również wybrać stopnia m biorącna przykład F1 = Lm, gdzie L jest formą liniową. Kontynuując tę proceduręotrzymamy następujący ciąg domkniętych podzbiorów X:

X = X0 ) X1 ) X2 ) . . . ) Xs ) ∅.

Musi to być ciąg skończony, gdyż za każdym razem wymiar obniża się o conajmniej 1. W ten sposób formy F0, F1, . . . , Fs nie mają wspólnych zer (∅ =Xs+1 = {x ∈ Xs : Fs(x) = 0}). Zatem odwzorowanie ϕ : X 7→ Ps okre-ślone wzorem ϕ(x) = [F0(x), . . . , Fs(x)] jest dobrze określonym morfizmem. Zostatniego lematu jest to morfizm skończony, gdyż jeśliby formy F0, . . . , Fs byłyliniowo zależne, to dla pewnego k ∈ {0, . . . , s− 1} dostalibyśmy

Fk+1 ∈ lin(F0, . . . , Fk).

Wówczas jednak Fk+1 = 0 na Xk+1, co przeczy założeniom o Fk+1. Dalej,s = dimPs = dimϕ(X) = dimX. Przypominając sobie, iż przy przechodzeniudo kolejnych elementów ciągu wymiar się zmniejszał otrzymujemy dimXj =dimXj−1 − 1 dla j = 1, 2, . . . , s, a stąd

dimV (F ) = dimX1 = dimX − 1.

30

Dowód twierdzenia o wymiarze zbioru zer funkcji regularnej na nierozkła-dalnej rozmaitości afinicznej wymaga jeszcze kilku przygotowań. Przypomnimynajpierw definicję.

Definicja 96. Niech K ⊂ L będzie algebraicznym rozszerzeniem ciał. Powie-my, że jest to rozszerzenie rozdzielcze, gdy dla każdego a ∈ L nierozkładalnywielomian F ∈ K[x] spełniający F (a) = 0 ma wszystkie pierwiastki różne (walgebraicznym domknięciu).

Czas na lemat Noether o normalizacji (dowód zapewne pojawi się później)

Twierdzenie 97 (Lemat Noether o normalizacji). Niech A = k[a1, . . . , an]będzie skończenie generowaną k-algebrą. Wówczas, po ewentualnym przenume-rowaniu istnieje takie m ¬ n, że układ {a1, . . . , am} jest algebraicznie niezależnynad k oraz A jest całkowite nad k[a1, . . . , am]. Co więcej, jeśli założymy, iż Ajest dziedziną całkowitości, to rozszerzenie ciał ułamków K(a1, . . . , am) ⊂ (A)jest rozdzielcze.

W lemacie Noether algebra k[a1, . . . , am] jest więc po prostu algebrą wie-lomianów, co prowadzi do następującej interpretacji tego twierdzenia: jeśli Xjest nierozkładalną rozmaitością afiniczną, to istnieje skończony morfizm X 7→kdimX . Rzeczywiście, niech k[a1, . . . , am, . . . , an] będzie pierścieniem funkcji re-gularnych na X, gdzie m = dimX. Wówczas, z lematu Noether k[a1, . . . , am] ⊂k[X] jest rozszerzeniem całkowitym, a pamiętając, że k[a1, . . . , am] jest zwy-kłą algebrą wielomianów m-zmiennych dostajemy z definicji skończony morfizmX 7→ km.Odnotujmy jeszcze dwa proste fakty (ich dowody pozostawiamy jako ćwiczenia),których użyjemy w dowodzie głównego twierdzenia.

Fakt 98. Niech ϕ : X 7→ Y będzie morfizmem rozmaitości afinicznych i niechZ ⊂ X będzie podzbiorem domkniętym. Wówczas rozpatrując obcięcie ϕ|Z 7→ϕ(Z) mamy

I(ϕ(Z)) = (ϕ∗)−1(I(Z)).

Fakt 99. Jeśli f : kn 7→ k jest funkcją regularną, to dimV (f) = n− 1.

Twierdzenie 100. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną wy-miaru n oraz niech f : X 7→ k będzie funkcją regularną. Wówczas V (f) = ∅ lubdimV (f) = n− 1.

Dowód. Weźmy skończony morfizm ϕ : X 7→ kn z lematu Noether. Wówczasϕ∗(k[a1, . . . , an]) ⊂ k[X] jest całkowite, a skoro ϕ jest dominujące, to ϕ∗ jestróżnowartościowe, więc o ϕ∗ możemy myśleć jako inkluzji, co pozwala utożsamićk[a1, . . . , an] z podpierścieniem k[X]. Dla f ∈ k[X], całkowitość rozszerzeniazapewnia istnienie nierozkładalnego wielomianu F ∈ k[a1, . . . , an][T ]

F (T ) = Tm + bm−1Tm−1 + . . .+ b0, bi ∈ k[a1, . . . , an], i ∈ {0, . . . ,m− 1}

takiego, że F (f) = 0. Niech N(f) będzie normą f , czyli iloczynem wszystkichpierwiastków wielomianu F w odpowiednim algebraicznym domknięciu. Jak ła-two sprawdzić, z dokładnością do znaku N(f) = b0. Przyjmijmy f0 := b0, z

31

definicji f : kn 7→ k jest funkcją regularną. Twierdzimy, że ϕ indukuje skończo-ne odwzorowanie V (f) 7→ V (f0). W myśl Faktu 99 oraz własności całkowitychmorfizmów (zachowywanie wymiaru) to będzie koniec dowodu.Oczywiście V (f) ⊂ X jest domkniętym podzbiorem, więc rozpatrując ϕ|Vf :Vf 7→ ϕ(V (f)) wystarczy wykazać, że ϕ(V (f)) = V (f0) (zobacz komentarz poWniosku 91). Z twierdzenia Hilberta o zerach mamy od razu

I(V (f)) =√

(f) oraz I(V (f0)) =√

(f0).

Pamiętając, że ϕ∗ możemy traktować jako inkluzję stosujemy Fakt 98, aby otrzy-mać

I(ϕ(V (f))) = k[a1, . . . , an] ∩ I(V (f)).

Wobec tego, wystarczy uzasadnić

k[a1, . . . , an] ∩ I(V (f)) =√

(f0).

Zaczynamy od inkluzji ” ⊃ ”. Po pierwsze, uzasadnimy, że f0 ∈ k[a1, . . . , an].Przypominając sobie równanie

fm + bm−1fm−1 + . . .+ f0 = 0

otrzymujemyf(fm−1 + bm−1f

m−2 + . . .+ b1) = −f0,

a stąd f0 ∈ (f)�k[X], czyli f0 ∈ I(V (f)) oraz oczywiście f0 ∈ k[a1, . . . , an], bof0 = b0. Weźmy teraz g ∈

√(f0). Wówczas gN ∈ (f0) i z poprzedniego zdania

gN ∈ (f), a więc g ∈√

(f), co kończy dowód tej inkluzji, gdyż g ∈ k[a1, . . . , an]z definicji (ideał (f0) jest rozpatrywany właśnie w tym pierścieniu).Przechodzimy do ciekawszego zawierania ” ⊂ ”. Weźmy h ∈ k[a1, . . . , an] ∩I(V (f)). Wtedy istnieje M ∈ N takie, że hM = fg dla pewnego g ∈ k[X]. Ale gznów jest elementem całkowitym nad k[a1, . . . , an], więc jego norma N(g) należydo k[a1, . . . , an]. Korzystając teraz multiplikatywności normy dostajemy

hdM = f0N(g), czyli h ∈√

(f0),

gdzie d jest wymiarem k(X) nad k(a1, . . . , an).

Możemy teraz podać przydatny wniosek z ostatniego twierdzenia.

Wniosek 101. Niech X ⊂ kn będzie nierozkładalnym zbiorem domkniętym orazniech F będzie wielomianem takim, że F |X 6= 0 i XF = X∩V (F ) 6= ∅. Wówczaskażda składowa nierozkładalna XF ma wymiar dimX − 1 (mówimy, że XF jestczystego wymiaru dimX − 1.

Dowód. Niech XF = X1 ∪ . . . ∪ Xr będzie rozkładem XF na składowe nieroz-kładalne. Załóżmy nie wprost, iż codimXX1 ­ 2. Istnieje p ∈ X1 takie, że

p /∈k⋃i=2

Xi oraz p ∈ X \r⋃i=2

Xi jest zbiorem otwartym.

32

Istnieje więc otwarte otoczenie afiniczne U 3 p zawarte w tym drugim zbiorze(możemy za U wziąć odpowiedni zbiór bazowy). Oczywiście

(X ∩ U)F = XF ∩ U = X1 ∩ U,

a poza tym dimX1 ∩U = dimX1 (otwarty i niepusty podzbiór zbiór nierozkła-dalnego jest gęsty) oraz z nierozkładalności X, dimX ∩ U = dimX. Stąd

dim(X ∩ U)F = dim(X1 ∩ U) = dimX1 ¬ dimX − 2 = dimX ∩ U − 2,

ale zbiór X ∩ U jest afiniczny i nierozkładalny, więc ostatniego twierdzeniadim(X ∩ U)F = dimX ∩ U − 1, co jest oczekiwaną sprzecznością.

Twierdzenie 102. Niech f : X 7→ Y będzie dominującym morfizmem, gdzieX,Y są nierozkładalnymi rozmaitościami algebraicznymi. Przyjmijmy dimX =n, dimY = m. Wówczas zachodzą następujące fakty

1. n ­ m,

2. dla y ∈ f(X) jest dim f−1(y) ­ n−m,

3. istnieje niepusty zbiór otwarty U ⊂ Y taki, że dla y ∈ U zachodzi dim f−1(y) =n−m.

Dowód. Nietrudny dowód punktu 1. był zadany jako praca domowa.Korzystając ze standardowych argumentów możemy założyć, że X oraz Y sąafiniczne. Niech f1 ∈ k[Y ], f1(y) = 0, w szczególności Yf1 6= ∅ i niech Y1 oznaczasumę wszystkich składowych nierozkładalnych Yf1 przechodzących przez punkty. Dalej, weźmy f2 ∈ k[Y ], f2(y) = 0, które nie jest tożsamościowo równe zerona żadnej składowej Y1. Kontynuując tę procedurę otrzymamy f1, . . . , fk ∈ k[Y ]takie, że

{f1 = f2 = . . . = fk = 0} = {y}.

Za każdym razem wymiar spada dokładnie o 1, a więc k = m. Rozważmy f1 ◦f, . . . , fm ◦ f ∈ k[X]. Wówczas

{f1 ◦ f = 0, . . . , fm ◦ f = 0} = f−1(y),

a więc dim f−1(y) ­ n −m, bo tym razem wymiar nie musi spadać w każdymkroku.Niech k[X] = k[t1, . . . , tN ], k[Y ] = k[u1, . . . , uM ]. Możemy założyć, że

u1, . . . , um, t1, . . . , tn−m są algebraicznie niezależne oraz wszystkie ti są algebraiczne nad k(u1, . . . , um, t1, . . . , tn−m)

(utożsamiamy tutaj ui z funkcjami na X za pomocą f∗). Możemy więc dlakażdego i wybrać wielomiany a0, . . . , aki tak, aby

aki(u1, . . . , um, t1, . . . , tn−m)tkii + . . .+ a0(u1, . . . , um, t1, . . . , tn−m) = 0

33

oraz aki(u1, . . . , um, t1, . . . , tn−m) 6= 0 dla każdego i. Rozważmy zbiór U ⊂ Y

U =⋂i

{y : aki(u1(y), . . . , um(y), t1, . . . , tn−m) 6= 0}.

Jest on niepusty i otwarty jako przecięcie skończenie wielu niepustych zbiorówotwartych w rozmaitości nierozkładalnej. Biorąc y ∈ U i obcinając nasze tożsa-mości do f−1(y) otrzymujemy

aki(u1(y), . . . , um(y), t1, . . . , tn−m)tiki+. . .+a0(u1(y), . . . , um(y), t1, . . . , tn−m) = 0,

gdzie ti = ti|f−1(y). Jak łatwo sprawdzić nie wszystkie współczynniki w tymrównaniu są zerowe, a więc wszystkie ti są algebraiczne nad k(t1, . . . , tn−m),czyli trdegKK(t1, . . . , tn+m) ¬ n−m. Z poprzedniego punktu mamy nierównośćprzeciwną, a więc dowód kończy zauważenie, iż

k[f−1(y)] = k[t1, . . . , tn].

Przykład 103. Rozważmy przekształcenie (x, y, z) 7→ (xy, yz). Wówczas, jeślia 6= 0, b 6= 0, to

f−1(a, b) ={(

b

z,a

bz, z

)},

a więc dim f−1(a, b) = 1. Jednak

f−1(0, 0) = {0} × k2 ∪ k1 × {(0, 0)},

czyli dim f−1(0, 0) = 2.

4 Przestrzeń styczna i gładkość

Przechodzimy teraz do zagadnień związanych z przestrzenią styczną do rozma-itości oraz punktami osobliwymi i gładkimi.Zaczniemy od definicji.

Definicja 104. Niech X będzie rozmaitością algebraiczną oraz niech p ∈ X.Określamy kiełek w punkcie p jako klasę równoważności funkcji regularnych wpewnym otoczeniu p względem relacji

[f ] = [g]⇔ ∃p∈U−otwarte

f |U = g|U .

Zbiór kiełków w punkcie p z naturalnymi działaniami tworzy pierścień, którybędziemy oznaczać przez OX,p.

Odnotujmy prosty fakt algebraiczny.

34

Fakt 105. Pierścień OX,p ma dokładnie jeden ideał maksymalny (jest pierścieńlokalnym). Tym ideałem jest

mp = {[f ] : f(p) = 0}.

Dowód. Oczywiście mp jest ideałem maksymalnym bo jest jądrem epimorfizmuna k zadanego wzorem [f ] 7→ f(p). Weźmy teraz [g] ∈ OX,p \ mp. Wówczasg(p) = 0 i stąd 1g jest funkcją regularną określoną na pewnym zbiorze otwartym,czyli [ 1g ] = [g]−1 ∈ OX,p. Stąd każdy ideał właściwy jest zawarty w mp, a więcjest to jedyny ideał maksymalny.

Jak łatwo sprawdzić, gdy X jest afiniczne, to

OX,p = k[X]p ={f

g: f ∈ k[X], g /∈ p

},

gdzie p jest ideałem składającym się z tych funkcji z k[X], które zerują się wpunkcie p.

Definicja 106. Niech X będzie rozmaitością algebraiczną. Powiemy, że k-liniowe odwzorowanie D : OX,p 7→ k jest różniczkowaniem w p, gdy spełniaregułę Leibnitza:

D(fg) = f(p)Dg + g(p)Df dla f, g ∈ OX,p.

Wektorem stycznym w p będziemy nazywać różniczkowanie w p, a przez prze-strzeń styczną (oznaczenie TpX) w p będziemy rozumieć przestrzeń liniowąwszystkich różniczkowań w p.

Przypominamy, że

m2p = {∑i

figi, fi, gi ∈ mp}.

Stwierdzenie 107. TpX jest izomorficzne jako przestrzeń liniowa z(mp/m

2p

)∗.

Dowód. Weźmy D ∈ TpX. Po obcięciu do mp jest to k-liniowe odwzorowanie zmp do k, które na mocy reguły Leibnitza znika na m2p, a więc można je traktowaćjako element

(mp/m

2p

)∗. Weźmy teraz L ∈

(mp/m

2p

)∗i określmy D : OX,p 7→

k za pomocą wzoru D(f) = L([f − f(p)]). Sprawdzenie, że otrzymujemy wten sposób różniczkowanie oraz iż opisane odwzorowania liniowe i wzajemnieodwrotne pozostawiamy jako ćwiczenie.

Widać od razu, że przestrzeń mp/m2p jest skończenie wymiarowa, bo jeśli

X ⊂ kn jest afiniczne, to mp = (x1, . . . , xn) i stąd mp/m2p jest rozpięte przez

([x1], . . . , [xn]). W ten sposób otrzymujemy wniosek.

Wniosek 108. Przestrzeń styczna TpX jest skończenie wymiarowa.

35

Postaramy się teraz opisać nieco inaczej przestrzeń styczną. Niech X ⊂ kn

będzie afiniczne i niech I(X) = (F1, . . . , Fm), F1, . . . , Fm ∈ k[x1, . . . , xm]. Dlauproszczenia przyjmijmy p = 0. Powiemy, że prosta L = {ta : t ∈ k}, kn 3 a 6= 0jest styczna do X w punkcie 0, gdy każdy wielomian Fi(ta) (w zmiennej t) dlai = 1, . . . ,m ma w punkcie 0 pierwiastek wielokrotny. Inaczej, L jest styczna doX w 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Li(a) = 0 dla i = 1 . . . ,m, gdzie Li jest częściąliniową wielomianu Fi. Zatem suma wszystkich prostych stycznych w punkcie 0jest podprzestrzenią liniową w kn. Niech H będzie tą sumą. Wówczas

H = {a ∈ kn : LF (a) = 0}, gdzie F ∈ I(X) oraz LF − część liniowa F .

Udowodnimy teraz równoważność obu definicji przestrzeni stycznej.

Stwierdzenie 109. Przestrzeń liniowa H jest izomorficzna z przestrzenią stycz-ną w punkcie 0.

Dowód. Określmy odwzorowanie m/m2 7→ H∗ za pomocą wzoru (tutaj m ozna-cza ideał funkcji regularnych na X znikających w zerze)

m/m2 3 [f ] 7→ df |H .

Jest ono dobrze określone, gdyż jeśli f, g ∈ m, to

d(fg) = f(0)dg + g(0)df = 0.

Oczywiście badane odwzorowanie jest liniową surjekcją. Należy teraz uzasadnić,że jest różnowartościowe. Niech I(X) = (F1, . . . , Fk). Wówczas

H : dFi = 0, dla i = 1, . . . , k.

Załóżmy, że df |H = 0. Równania opisujące H prowadzą do

df =∑

cidFi ci ∈ k.

Zatem d(f −∑ciFi) = 0, czyli f −

∑ciFi ∈ (x1, . . . , xn)2. Stąd f |X ∈ m2, a

więc [f ] = 0 w m/m2.

Omówimy teraz funktorialność przestrzeni stycznej. Mając morfizm f : X 7→Y chcielibyśmy mieć przekształcenie liniowe (różniczkę) df : TpX 7→ Tf(p)Y .Aby je zdefiniować zauważmy, że f indukuje homomorfizm f∗ : Of(p),Y 7→ Op,X ,a ponadto f∗(mf(p)) ⊂ mp. W ten sposób mamy odwzorowanie liniowe f∗ :mf(p) 7→ mp, które przekształca m2f(p) w m2p. W związku z tym mamy naturalneprzekształcenie liniowe mf(p)/m

2f(p) 7→ mp/m

2p i możemy określić różniczkę jako

przekształcenie sprzężone

dfp :(mp/m

2p

)∗ 7→ (mf(p)/m

2f(p)

)∗.

W szczególnym przypadku, gdy X ⊂ Y jest domkniętym podzbiorem rozma-itości afinicznej Y dla każdego p ∈ X dostajemy zanurzenie TpY 7→ TpX, boodwzorowanie mp,X/m

2p,X 7→ mp,Y /m

2p,Y jest epimorfizmem.

36

Przykład 110. Rozważmy przekształcenie ϕ : k1 7→ kn określone ϕ(t) =(tn, tn+1, . . . , t2n−1). Wówczas X := ϕ(X) jest domkniętym podzbiorem za-nurzonym w kn. Sprawdzimy, że dimT0X = n. Istotnie, jeśli F ∈ I(X), toF = dF +F2 +F3 + . . ., gdzie Fi są formami stopnia i. Rozpatrując tę równośćna X dostajemy dla wszystkich t ∈ k

0 =n∑i=1

citn+1−i + F2(tn, . . . , t2n−1) + . . . .

Jednak stopień wyrażeń występujących w początkowej sumie jest nie większyod 2n − 1, a stopień pozostałych jest większy bądź równy 2n, więc ci = 0 dlai = 1, . . . , k. Wynika stąd, że nie można zanurzyć X w km dla m < n.

Stwierdzenie 111. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością algebraiczną,dimX = n. Wówczas dla każdego k zbiór {x ∈ X : dimTxX ­ k} jest domknię-ty.

Dowód. Możemy założyć, że X jest afiniczne oraz X ↪→ kN . Niech I(X) =(F1, . . . , Fk), y ∈ X. Wówczas przestrzeń styczna jest określona jako zbiór roz-wiązań układu równań

TyX :N∑j=1

∂Fi∂xj

(y)(xj − yj) = 0 dla i = 1, . . . , k.

Zatem dimTyX ­ k wtedy i tylko wtedy, gdyN−rk(∂Fi∂xj

)­ k, czyli rk

(∂Fi∂xj

)¬

N − k. Ten warunek jest równoważny zerowaniu się wszystkich minorów rzęduwiększego niż N − k, co prowadzi do stosownych równań wielomianowych.

Uzasadnimy teraz użyteczny fakt.

Fakt 112. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną wymiaru n.Wówczas X jest biwymiernie równoważne z pewną hiperpłaszczyzną w kn+1.

Dowód. Z lematu Noether istnieją elementy t1, . . . , tn ∈ k[X] takie, że k[t1, . . . , tn]jest pierścieniem wielomianów n zmiennych oraz rozszerzenie ciał k(t1, . . . , tn) ⊂k(X) jest rozdzielcze. Korzystając z twierdzenia Abela jest to rozszerzenie po-jedyncze, a więc dla pewnego F ∈ k[X] zachodzi

k(X) = k(t1, . . . , tn)(F ).

Mamy tu oczywiście do czynienia z rozszerzeniem algebraicznym, więc istniejewielomian nierozkładalny G taki, że G(t1, . . . , tn, F ) = 0. W kn+1 rozważmy hi-perpłaszczyznę Y opisaną równaniem G(x1, . . . , xn, xn+1) = 0. Wówczas k(Y ) =k(x1, . . . , xn)(xn+1), gdzie xn+1 = xn+1|Y . Stąd G(x1, . . . , xn, xn+1) = 0. Cia-ła k(Y ) oraz k(X) są wobec tego izomorficzne (rozszerzenia o pierwiastki tegosamego wielomianu nierozkładalnego).

37

Twierdzenie 113. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością algebraiczną.Połóżmy

s = minx∈X

dimTxX.

Wówczas s = dimX oraz zbiór Xs = {x ∈ X : dimxX = s} jest otwarty iniepusty.

Dowód. Druga część wynika natychmiast ze Stwierdzenia 111. Dla dowodu pierw-szej części załóżmy na początek, że X jest hiperpowierznią w kN . Jak wiemyI(X) = (F ) oraz

TpX :N∑i=1

∂F

∂xi(x)(xi − pi) = 0.

Jeśli ∂F∂xi

= 0 na X, to w charakterystyce zero F jest stałe na X, czyli F = 0,co jest wykluczone, a w charakterystyce p > 0 oznacza to, że F = (F1)p dlapewnego wielomianu F1, co przeczy nierozkładalności X. W związku z tymzbiór Xs jest niepusty i oczywiście otwarty jako suma zbiorów, na których niezeruje się pochodna cząstkowa po i-tej zmiennej. Jeśli wszystkie pochodne sąrówne 0, to rzecz jasna wymiar przestrzeni stycznej jest równy N , co kończydowód twierdzenia w tym przypadku.W sytuacji ogólnej skorzystamy z Faktu poprzedzającego twierdzenie. NiechdimX = n, istnieje wówczas przekształcenie biwymierne U ⊂ X (otwarty igęsty) na V ⊂ Y , gdzie Y jest hiperpowierzchnią w kn+1, a V jej otwartymi gęstym podzbiorem. Stąd dimTpX = dimTϕ(p)V = n dla p ∈ U , co kończydowód.

Definicja 114. Niech X będzie rozmaitością nierozkładalną. Powiemy, że p ∈X jest punktem nieosobliwym (gładkim), jeżeli dimTpX = dimX (to jest naj-mniejsza możliwa wartość). Dla dowolnej rozmaitości algebraicznej X powiemy,że p ∈ X jest nieosobliwy (gładki), gdy

dimTpX = dimpX = max wymiarów wszystkich składowych przechodzących przez p,

Odnotujmy teraz twierdzenie, którego dowodzić nie będziemy.

Twierdzenie 115. Jeśli x ∈ X jest nieosobliwy, to Ox,X jest dziedziną z jed-noznacznością rozkładu.

Wniosek 116. Jeśli x ∈ X jest nieosobliwy, to X jest lokalnie nierozkładalnew X, czyli istnieje tylko jedna składowa nierozkładalna przechodząca przez x.

Definicja 117. Niech x ∈ X będzie gładki, dimX = n. Powiemy, że funkcjeu1, . . . , un ∈ mx ⊂ OX,x są lokalnymi parametrami w X, gdy generują mx/m

2x

nad k.

Z lematu Nakayamy dowodzi się teraz następujące twierdzenie.

Twierdzenie 118. u1, . . . , un generują mx (przy założeniu, że ten ideał jestskończenie generowany).

38

Utrzymujemy notację.

Twierdzenie 119. Niech Yi : ui = 0 (zakładamy tutaj, że u1, . . . , un są okre-ślone na pewnym wspólnym otoczeniu X). Wówczas x ∈ Yi jest gładkie na Yi,

n⋂i=1

Yi = {x} lokalnie orazn⋂i=1

TxYi = {0}.

Dowód. Rozważmy I(Yi) ⊂ Ox,X , pamiętając, że TxX ⊃ TxYi : df = 0, f ∈I(Yi) otrzymujemy ui ∈ I(Yi), a więc TxYi ⊂ dui = 0. Jednak {dui}ni=1 jestbazą mx/m

2x i stąd

dim(dui = 0) = n− 1.

Dalej, dimTxyi ­ dimYi = n − 1, co prowadzi do dimTxYi = n − 1 = dimYi.Zatem x jest gładki na Yi oraz TxYi = (dui = 0). Resztę dowodu pozostawiamyjako ćwiczenie.

Omówimy teraz związek gładkości punktów z rozmaitościami małego kowy-miaru.

Twierdzenie 120. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną orazniech Y ⊂ X będzie jej nierozkładalną podrozmaitością kowymiaru 1. Załóżmy,że punkt p ∈ Y jest nieosobliwy względem X. Wówczas ideał Y jest główny wOX,p.

Dowód. Jak pamiętamy, w tej sytuacji OX,p jest dziedziną z jednoznacznościąrozkładu. Wobec tego dla 0 6= f ∈ OX,p, f |Y = 0 istnieje jednoznaczny rozkładf = f1 · . . . · fk, gdzie f1, . . . , fk ∈ OX,p są nierozkładalne. Z nierozkładalnościY wynika teraz, że dla któregoś z fi mamy fi|Y = 0. Możemy więc założyćnierozkładalność f . Mamy oczywiście Y ⊂ V (f) oraz V (f) jest kowymiaru1. Nasz dowód będzie zakończony, gdy pokażemy, że V (f) jest nierozkładalny.Załóżmy więc V (f) = Z1 ∪ Z2 i weźmy g1|Z1 = 0, g1|Z2 6= 0, g2|Z1 6= 0,g2|Z2 = 0. Stąd g1g2|V (f) = 0, czyli g1g2 ∈

√(f) = (f). Zatem f |g1 lub f |g2, co

daje g1(V (f)) = 0 albo g2(V (f)) = 0 i jest sprzecznością.

Czas na wnioski.

Wniosek 121. Jeśli p ∈ X jest gładki, p ∈ Y , gdzie Y jest nierozkładalnąpodrozmaitością X, codimY = 1, to istnieje afiniczne otoczenie U punktu ptakie, że I(Y ∩ U) w k[U ] jest główny.

Wniosek 122. Jeśli f : X 7→ Pn jest przekształceniem wymiernym, gdzie Xjest gładkie, to f jest regularna poza zbiorem domkniętym kowymiaru ­ 2.

Dowód. Niech p ∈ X i niech U 3 p będzie otoczeniem, na którym f jest zadanewzorem f = [f0, . . . , fn], gdzie fi ∈ OX,p. Z jednoznaczności rozkładu możemyzałożyć, że f0, . . . , fm nie mają wspólnych dzielników w OX,p. Przekształcenie fnie jest określone na zbiorze {f0 = 0, . . . , fn = 0}. Bez straty ogólności, możemyprzyjąć, że p należy do tego zbioru, czyli fi(p) = 0 dla i = 0, . . . , n. Niech p ∈

39

W ⊂ {f0 = . . . = fn = 0} będzie nierozkładalny i załóżmy, że ma on kowymiar 1.Z ostatniego twierdzenia oznacza to I(W ) = (ϕ) w OX,p dla pewnego ϕ ∈ OX,p.Stąd wszystkie fi są podzielne przez ϕ, co jest wykluczone. W takim raziewszystkie składowe {f0 = . . . = fn = 0}, które zawierają p mają kowymiarwiększy od 1. Ostatecznie, wniosek ma charakter lokalny, a wykazaliśmy, że wpewnym otoczeniu p ∈ U ′ ⊂ U przekształcenie f jest określone poza zbioremkowymiaru ­ 2.

Rozpatrując przykład przekształcenia f : k1 \ {0} 7→ k2, f(x) = 1x widzimy,

że założenie, iż przeciwdziedziną jest przestrzeń rzutowa, jest istotne.Odnotujmy jeszcze wnioski z wniosku.

Wniosek 123. Jeśli X jest krzywą gładką, to każde wymierne przekształcenief : X 7→ Pn jest regularne w każdym punkcie X.

Wniosek 124. Jeśli X i Y są gładkimi krzywymi rzutowymi, to X jest biwy-miernie równoważne z Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzne z Y .

Przykład 125. Niech E : y2 = f(x), degf(x) = oraz f ma trzy różne pierwiast-ki. Rozważając domknięcie w E ⊂ P2 otrzymujemy gładką krzywą E. JeślibyE było biwymierne z P1, to byłoby izomorficzne z P1, co (przynajmniej nad C)jest nieprawdą, bo nie są nawet homeomorficzne (torus i sfera).

Uwaga 126. Nie każda rozmaitość Y ⊂ X kowymiaru r jest dana przez rrównań wokół punktu gładkiego względem X.

Aby tę uwagę zilustrować rozważymy przykład.

Przykład 127. Niech Y ⊂ k3 będzie sumą prostych współrzędnych, codimk3Y =2. Wówczas ideał Y nie jest generowany przez dwa elementy (ćwiczenie).

Przy mocniejszych założeniach teza ostatniej uwagi jest prawdziwa.

Fakt 128. Niech p ∈ Y ⊂ X będzie gładki zarówno względem Y jak i względemX, codimXY = r. Wówczas istnieje układ parametrów u1, . . . , ur na X taki, żeI(Y ) = (u1, . . . , ur) w OX,p.

5 Rozmaitości normalne i dywizory

Przechodzimy teraz do rozmaitości normalnych.

Definicja 129. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną. Powie-my, że X jest normalna, gdy k[X] jest całkowicie domknięte w k(X), czyli każdyelement z k(X), który jest całkowity nad k[X] należy do k[X].X nazywamy rozmaitością faktorialną, gdy dla każdego p ∈ X pierścień lokalnyOX,p jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Normalność rozmaitości jest własnością lokalną.

40

Fakt 130. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną. Wówczas Xjest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego p ∈ X pierścień lokalny OX,pjest całkowicie domknięty w K(X) dla każdego p ∈ X.

Dowód. Udowodnimy tylko implikację z lewej do prawej (drugą uzasadniamypodobnie). Weźmy ϕ ∈ k(X), które jest całkowite nad OX,p, czyli istniejąun−1, . . . , u0 ∈ OX,p takie, że

ϕn + un−1ϕn−1 + . . .+ u0 = 0.

Pamiętając, iż jesteśmy w przypadku afinicznym, OX,p jest lokalizacją k[X],więc mnożąc przez mianowniki elementów un−1, . . . , u0 możemy napisać

vϕn + vn−1ϕn−1 + . . .+ v0 = 0, v(p) 6= 0.

Mnożymy teraz obustronnie przez vn−1 i dostajemy równanie postaci

(vϕ)n + vn−1(vϕ)n−1 + . . .+ v0vn−1 = 0.

Wobec tego element w := vϕ jest całkowity nad k[X], czyli z założenia należydo k[X]. Stąd ϕ = w

v jest elementem OX,p.

Możemy teraz uzasadnić ogólny fakt.

Fakt 131. Każda rozmaitość faktorialna jest normalna.

Dowód. Z ostatniego faktu wystarczy uzasadnić, że dla każdego p ∈ X pierścieńlokalny OX,p jest całkowicie domknięty. Weźmy więc f

g ∈ k(X), f, g ∈ OX,p,które jest całkowite nad OX,p. Z jednoznaczności rozkładu w OX,p możemyzałożyć, że (f, g) = 1. Teraz mamy równanie(

f

g

)N+ hN−1

(f

g

)N−1+ . . .+ h0 = 0,

gdzie hi ∈ OX,p. Mnożąc stronami przez gN uzyskujemy

fN + hN−1fN−1g + . . .+ gNh0 = 0.

Zatem g|fN , a więc z wcześniejszego założenia g musi być odwracalne, czylifg ∈ OX,p.

Podamy teraz ogólną definicję rozmaitości normalnej.

Definicja 132. Rozmaitość nierozkładalna X jest normalna, gdy wszystkiepierścienie lokalne są normalne (całkowicie domknięte w swoich ciałach ułam-ków).

Z naszych rozważań wynika, że każda rozmaitość gładka jest faktorialna, akażda rozmaitość faktorialna jest normalna.

41

Przykład 133. Niech {y2 = x3} ⊂ k2. Nie jest to rozmaitość normalna, gdyżyx jest całkowite nad k[X] (

(yx

)2 − x = 0), ale yx /∈ k[X].

Przykład 134. x2 + y2 + z2 = 0 ⊂ k3 jest normalna, ale nie faktorialna.

Odnotujmy jeszcze jedno twierdzenie.

Twierdzenie 135. Niech X będzie rozmaitością normalną, oraz niech Y ⊂ Xbędzie nierozkładalne, kowymiaru 1. Wówczas istnieje afiniczny otwarty podzbiórU ⊂ X taki, że U ∩ Y 6= ∅ i I(Y ∩ U) jest główny w k[U ].

Definicja 136. Niech X będzie nierozkładalną rozmaitością afiniczną orazniech Y ⊂ X będzie nierozkładalne. Określamy pierścień OX,Y jako

OX,Y = k[X]I(Y ) ={f

g: f, g ∈ k[X], g|Y 6= 0

}.

Jest to pierścień lokalny z ideałem maksymalnym I(Y )OX,Y .

Jak nietrudno sprawdzić, jeśli X jest rozmaitością normalną, to OX,Y jestnormalny. Co więcej każdy pierścień OX,Y ma wymiar Krulla równy 1. Tenostatni jest zdefiniowany jako największa liczba n ∈ N ∪ {0} taka, że istniejeciąg ideałów pierwszych

p0 p1 . . . pn.

Definicja 137. Jeśli A jest noetherowski, normalny i wymiaru Krulla 1, to Anazywamy pierścieniem Dedekinda.

Wobec tego OX,Y jest lokalnym pierścieniem Dedekinda. Zachodzi następu-jące twierdzenie.

Twierdzenie 138. Lokalny pierścień Dedekinda jest dziedziną ideałów głów-nych.

Odnotujmy jeszcze twierdzenie o rozszerzaniu analogiczne do twierdzeniaHartogsa z analizy zespolonej.

Twierdzenie 139. Jeśli X jest rozmaitością normalną oraz f : X \D 7→ k jestregularne, gdzie D jest domknięty podzbiorem kowymiaru co najmniej dwa, to frozszerza się do funkcji regularnej na X.

To ostatnie twierdzenie wynika wprost z następującego twierdzenia z algebryprzemiennej.

Twierdzenie 140. Niech A będzie normalny i noetherowki. Wówczas⋂p − pierwszy, ht(p)=1

Ap = A,

gdzie ht(p) jest wysokością ideału p zdefiniowaną jako największa liczba n, dlaktórej istnieje ciąg

p0 . . . pn = p.

42

Przypominamy, że zbiór punktów osobliwych rozmaitości jest domknięty.Najbliższe twierdzenie jest w skrócie wysławiane zdaniem: rozmaitości normalnesą gładkie w kowymiarze 1.

Twierdzenie 141. Jeśli X jest rozmaitością normalną, to codimsingX ­ 2.

Dowód. Niech dimX = n i załóżmy, że istnieje nierozkładalna podrozmaitośćW ⊂ singX wymiaru n−1. Wówczas istnieje zbiór otwarty U ⊂W o własności,iż dla każdego p ∈ U ideał mp ⊂ OX,p jest ideałem głównym. Ponadto, W jestokreślone przez jedno równanie w otoczeniu typowego punktu. Niech p ∈ Ubędzie punktem gładkim W . Wtedy ideał mW,p ⊂ OW,p jest generowany przezlokalne parametry f1, . . . , fn−1. Niech I(U) będzie generowane w OX,p przez f .Podnosimy teraz f do funkcji regularnej na otoczeniu p w X. Wówczas mX,p =(f, f1, f2, . . . , fn−1) (podnieśliśmy również lokalne parametry). Stąd

dimmX,p/m2X,p ¬ n.

Oznacza to jednak, że punkt p jest gładki dla X, co przeczy założeniu.

Wniosek 142. Jeśli X jest krzywą, to X jest normalna wtedy i tylko wtedy,gdy jest gładka.

Uwaga 143. Rozmaitość może być gładka w kowymiarze 1, ale nie być nor-malna.

Omówimy teraz normalizację nierozkładalnych rozmaitości.

Definicja 144. Morfizm h : X ′ 7→ X nazywamy normalizacją X, gdy h jestbiwymierne, skończone i X ′ jest normalne.

Opiszemy teraz dokładniej normalizację, gdy X jest afiniczne i nierozkładal-ne. Niech B będzie całkowitym domknięciem k[X] w k(X) (zbiór elementów zk(X) całkowitych nad k[X]). Wówczas algebra ogólna daje skończoną genero-walność B jako k-algebry, czyli również jako k[X]-modułu. Wobec tego możemyokreślić X ′ jako taką rozmaitość afiniczną X, że k[X ′] = B. Wówczas roz-szerzenie k[X] ⊂ B = k[X] jest całkowite, a więc inkluzja zadaje skończoneodwzorowanie h : X ′ 7→ X. Rzecz jasne k[X ′] jest całkowicie domknięte oraz hjest biwymierne.

Przykład 145. Niech X : x2 = y3 ⊂ k2. Wówczas normalizacją jest k1, aodwzorowanie h z definicji jest zadane wzorem h(t) = (t3, t2).

Fakt 146. Normalizacja jest jedyna z dokładnością do izomorfizmu (na raziedla afinicznych).

Dowód. Niech h′ : X ′ 7→ X będzie normalizacją. Wówczas k[X ′] jest całkowitymdomknięciem h∗(k[X]) w k(X ′). Jeżeli mamy drugą normalizację h′′ : X ′′ 7→ X,to k[X ′] oraz k[X ′′] są całkowite nad k[X]. Z drugiej strony, definicja całkowitegodomknięcia daje od razu k[X ′] ⊂ k[X ′′] oraz k[X ′] ⊂ k[X ′′] zatem inkluzja wdowolną stronę daje żądany izomorfizm.

43

Jako ćwiczenie na zastosowanie normalizacji można obliczyć wszystkie au-tomorfizmy krzywej x2 = y3 (automorfizm podnosi się do normalizacji).

Definicja 147. Niech X będzie rozmaitością afiniczną. Jeśli istnieje X orazbiwymierny i właściwy morfizm X 7→ X, gdzie X jest gładkie, to X nazywamydesingularyzacją X.

Wiadomo, że obiekt opisany w definicji zawsze istnieje w charakterystyce 0oraz istnieje w dowolnej charakterystyce dla powierzchni.Wracamy do normalizacji. Niech X będzie dowolną nierozkładalną rozmaitością.Zaczniemy od lematu.

Lemat 148. Jeśli X jest afiniczne, U ⊂ X jest otwarty oraz h : X ′ 7→ X jestnormalizacją, to h : h−1(U) 7→ U jest normalizacją U .

Mając na uwadze powyższy lemat konstruujemy normalizację jak następuje.

Niech X =⋃i∈I

Ui, gdzie Ui są otwarte afiniczne.

Niech teraz hi : U ′i 7→ Ui będzie normalizacją Ui. Z lematu hi : h−1i (Ui ∩ Uj) 7→Ui ∩Uj oraz hj : h−1j (Ui ∩Uj) 7→ Ui ∩Uj są normalizacjami. Z jednoznacznościdostajemy izomorfizm ϕij : h−1i (Ui ∩ Uj) 7→ h−1j (Ui ∩ Uj). Teraz sklejamy U ′i zU ′j wzdłuż h−1i (Ui ∩Uj) oraz h−1j (Ui ∩Uj) za pomocą ϕij i dostajemy normali-zację X.Dążymy teraz do zdefiniowania grupy klas dywizorów i grupy Picarda rozmaito-ści. Niech X będzie gładka w kowymiarze 1 (na przykład normalna lub gładka).Niech Y ⊂ X będzie domkniętą podrozmaitością kowymiaru 1. Wówczas jakpamiętamy OX,Y jest lokalnym pierścieniem Y w X, o którym możemy myślećjako o pierścieniu funkcji wymiernych na X zdefiniowanych w typowym punkcieY . Weźmy f ∈ k(X)\{0}. Z założenia Y * SingX, a więc istnieje otwarty pod-zbiór U ⊂ X składający się z punktów gładkich dla X i taki, że U∩Y 6= ∅ i niechp ∈ Y ∩U . Wówczas I(Y ∩U) ⊂ k[U ] jest ideałem głównym, czyli I(Y ∩U) = (ϕ)dla pewnego ϕ ∈ k[U ]. Rozważmy f = g

h dla g, h ∈ k[U ]. Istnieją n,m ∈ N speł-niające g = ϕn · g1 oraz h = ϕm · h1 dla pewnych g1, h1 /∈ I(Y ∩U). Kładziemyv(f) = n−m. W ten sposób podrozmaitość Y określa waluację v : k(X) 7→ Z,która jak nietrudno sprawdzić nie zależy od wyboru punktu p i zbioru U . Funk-cja v ma dwie podstawowe własności:

1. v(f1 + f2) = v(f1) + v(f2),

2. v(f1 + f2) ­ min(v(f1), v(f2)) (gdy f1 + f2 6= 0).

Możemy już wprowadzić definicję grupy dywizorów X.

Definicja 149. DivX (grupa dywizorów X) to wolna grupa abelowa genero-wana przez wszystkie nierozkładalne, domknięte podrozmaitości kowymiaru 1.

44

Wobec tego każdy dywizor D ∈ DivX (dywizor Weila) jest formalną kombi-nacja postaci (tylko skończenie wiele współczynników jest niezerowych)

D =∑i

aiYi, gdzie wszystkie ai są całkowite.

Określamy teraz podgrupę Div0X ⊂ DivX dywizorów głównych, czyli grupęgenerowaną przez dywizory postaci (dywizory główne)

(f) =∑i

vYi(f)Yi dla f ∈ k(X) \ {0}.

Należy tutaj oczywiście sprawdzić, że tylko skończenie wiele współczynnikówvYi(f) jest różnych od zera. Możemy już wprowadzić podstawową definicję.

Definicja 150. Grupę Cl(X) = DivX/Div0X nazywamy grupą klas dywizorówX (dla gładkich X jest ona nazywana grupą Picarda).

Uzasadnimy teraz, że istotnie (f) jest dywizorem dla 0 6= f ∈ k(X). NiechU ⊂ X będzie afiniczne oraz niech f = g

h dla g, h ∈ k[U ]. Bez straty ogólnościg, h 6= 0, a więc g i h są odwracalne w k[U ]. Zatem, jeśli Y ∩U 6= ∅, to vY (g) =vY (h) = 0, czyli vY (f) = 0. Stąd

(f) =∑

Y⊂X\U

vY (f)Y.

Jednak z nierozkładalności X jest tylko skończenie wiele nierozkładalnych Ykowymiaru 1 spełniających warunek występujący w indeksie sumowania.

Definicja 151. Jeśli [D1] = [D2] w Cl(X), to mówimy, że D1 i D2 są linioworównoważne, co zapisujemy D1 ' D2. Liniowa równoważność jest równoważnaistnieniu ϕ takiego, że D1 −D2 = (ϕ).

Definicja 152. Powiemy, że dywizor D =∑KY Y jest efektywny, gdy KY ­ 0

dla wszystkich Y

Dla ϕ ∈ k(X) możemy napisać

(ϕ) =∑

vY (ϕ)>0

vY (ϕ)Y −∑

vY (ϕ)<0

(−vY )(ϕ)Y = (ϕ)0 − (ϕ)∞.

Wtedy (ϕ)0 oraz (ϕ)∞ są efektywne. Pierwszy z nich nazywamy dywizorem zerϕ, a drugi dywizorem biegunów ϕ.

Przykład 153. Niech ϕ(x, y) = x(x−y)2x2+y2 na k2 oraz niech Y1 : x = 0, Y2 :

x − y = 0, Y3 : x + iy = 0, Y4 : x − iy = 0. Wtedy (ϕ) = Y1 + 2Y2 − Y3 − Y4,czyli Y1 + 2Y2 jest dywizorem zer a Y3 + Y4 jest dywizorem biegunów.

Lemat 154. Jeśli X jest normalna, to (ϕ) ­ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jestregularna na X.

45

Dowód. ” ⇒ ”.Dla dowolnego Y funkcja ϕ jest regularna w typowym punkcieY , a więc zbiór punktów, w których nie jest regularna ma kowymiar ­ 2. SkoroX jest normalna, to ϕ jest określona wszędzie.W drugą stronę to wynika od razu z definicji.

Analogicznie dowodzimy kolejny lemat

Lemat 155. Jeśli X jest normalna, to (ϕ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ ∈k[X]∗.

Wniosek 156. Jeśli X jest rzutowa i normalna, to funkcja wymierna jest wy-znaczona przez dywizor z dokładnością do stałej.

Dowód. Jeśli (ϕ1) = (ϕ2), to (ϕ1) − (ϕ2) = 0, czyli(ϕ1ϕ2

)= 0. Zatem ϕ1

ϕ2jest

regularna na X i niezerowa, a stąd jest stała (bo X rzutowa).

Dywizory postaci Y dla Y ⊂ X, codimY = 1, Y - nierozkładalne, nazywamydywizorami pierwszymi.

Stwierdzenie 157. Niech X będzie rozmaitością afiniczną. Wówczas Cl(X) =0 wtedy i tylko wtedy, gdy k[X] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Dowód. ”⇐ ” Niech Y będzie dywizorem pierwszym i weźmy f ∈ k[X], f 6= 0,f |Y = 0. Możemy założyć, że f jest nierozkładalne. Wówczas jak już wielokrotnieliczyliśmy I(Y ) = (f). Zatem vY (f) = 1, a więc (f) = Y , co kończy dowód.Drugą implikację pozostawiamy jako ćwiczenie.

Lemat 158. Jeśli U ⊂ X jest niepustym podzbiorem otwartym i Cl(X) = 0, toCl(U) = 0.

Dowód. Niech Y ⊂ U będzie dywizorem pierwszym i weźmy jego domknięcieY . Wówczas Y = (f) dla pewnego f ∈ k[X] i stąd Y ∩ U = (f |U ).

Zmierzamy teraz do obliczenia Cl(Pn). Niech F (x0, x1, . . . , xn) będzie formąstopnia k. Wówczas F = F i11 · . . . · F iss , gdzie Fi są nierozkładalne. Niech Yi =V (Fi). Wówczas z podstawowego twierdzenia o zerach wielomianów wiemy, żeYi są nierozkładalne kowymiaru 1. Stąd

(F ) =s∑l=1

ilYl ∈ DivPn.

Jeśli G również jest formą rzędu k, to

(F )− (G) =(F

G

),

a więc (F ) i (G) są liniowo równoważne. Weźmy teraz dowolny dywizor D =D1 −D2, gdzie D1, D2 ­ 0 i niech D1 =

∑iKiYi, gdzie Yi są nierozkładalnymi

hiperpowierzchniami w Pn. Wówczas I(Yi) jest generowane przez pewną formę

46

Fi i stąd kładąc F =∏FKii dostajemy D1 = (F ). Analogicznie postępujemy dla

D2 otrzymując D = (F ) − (G). Zatem Cl(Pn) jest generowane przez dywizoryform. Niech teraz F będzie formą stopnia m. Wówczas (F ) ' (xm0 ) = m(x0) =m · H, gdzie H := (x0). Twierdzimy, że Cl(Pn) Cl(Pn) jest grupą cyklicznągenerowaną przez H. Wystarczy uzasadnić, że [mH] 6= 0 w Cl(Pn). Załóżmyprzeciwnie dla pewnego m > 0. Wtedy mH = (ϕ) dla funkcji wymiernej ϕ. AlemH jest dywizorem efektywnym, więc ϕ jest niezerową stałą, czyli 0 = (ϕ) =mH, co jest sprzecznością.Omówimy użyteczny ciąg dokładny.

Stwierdzenie 159. Niech U ⊂ X będzie otwarty. Wówczas mamy następującyciąg dokładny

L → Cl(X)→ Cl(U)→ 0,

gdzie L jest wolną grupą abelową generowaną przez nierozkładalne składowekowymiaru 1 w X \ U .

Dowód. Odwzorowanie L → Cl(X). Dalej, π : Cl(X) 7→ Cl(U) (obcięcie) jest”na”. Dokładniej jest ono postaci∑

KiDi 7→∑

Di:Di∩U 6=∅

Ki(Di ∩ U).

W ten sposób mamy przekształcenie DivX 7→ DivU oraz Div0X 3 (ϕ) 7→ (ϕ|U ),a więc π jest dobrze określone. Niech teraz [D] ∈ kerπ. Wówczas D|U = (ϕU ),gdzie ϕU jest funkcją wymierną na U . Zatem (ϕx) = (ϕU ) + D dla D ⊂ X \ U .Dalej, z definicji mamy D = D|U + D, gdzie D ⊂ X \ U . Stąd

D = D|U + D = (ϕU ) + D = (ϕx)− D + D.

Ostatecznie D ' −D + D ∈ Im(L).

Przykład 160. Niech Y będzie nierozkładalną hiperpowierzchnią w Pn stopniad. Wówczas Cl(Pn \ Y ) ' Zd. Istotnie, mamy ciąg dokładny

Z · Y 7→ Cl(Pn) 7→ Cl(Pn \ Y ) 7→ 0.

A zatem Cl(Pn \ Y ) = coker(Z · Y 7→ Z ·H) (pamiętamy, że Cl(Pn) = Z ·H).Dalej, dH ' Y |Pn\Y = 0 i stąd Cl(Pn \ Y ) =< H|Pn\Y > oraz d ·HPn\Y = 0 wCl(Pn \ Y ).

Przypominamy, że Pn \ Y jest afiniczne i wobec tego możemy zastosowaćStwierdzenie 157, aby otrzymać poniższy wniosek.

Wniosek 161. Algebra k[Pn\Y ] nie jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu,ale lokalnie jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, bo Pn \ Y jest gładkie.

Definicja 162. Niech D =∑kiDi będzie dywizorem. Określamy nośnik D

jakoSuppD =

⋃ki 6=0

Di.

47

Będziemy teraz rozszerzać pojęcie dywizora na ogólniejsze przypadki (do tejpory zakładaliśmy, że rozmaitość jest gładka w kowymiarze 1). Przyjmijmy narazie, iż X jest gładkie i niech D ∈ DivX. Wówczas dla p ∈ X lokalnie Di jestdane przez równanie fi = 0. Zatem dywizor f =

∏fkii jest równy D w pewnym

otoczeniu punktu p, czyli D jest lokalnie dywizorem głównym. Możemy terazwziąć skończone pokrycie X =

⋃Ui takie, że D|Ui = (ϕ)|Ui . Jeśli (ϕi) = (ψi)

na Ui, to(ϕiψi

)= 0 na Ui, czyli ϕiψi ∈ O

∗X(Ui). Dalej, widzimy iż rodziny (Ui, ϕi

oraz (Ui, ψi) dają ten sam dywizor, gdy ϕi = hiψi dla hi ∈ O∗X(Ui). Na Ui ∩Ujmamy (

ϕi|Ui∩Uj)

=(ϕj |Ui∩Uj

),

a zatem ϕ|Ui∩Uj = hijϕj |Ui∩Uj , gdzie hij ∈ O∗X(Ui ∩ Uj). W ten sposób każdydywizor Weila wyznacza układ (Ui, ϕi) o własności ϕiϕj ∈ O

∗X(Ui ∩Uj). Również

na odwrót - każda rodzina (Ui), ϕi) wyznacza dywizor Weila D. Niech terazD1 ' D2. Z definicji, istnieje funkcja wymierna ϕ taka, że D1 = D2 + (ϕ).Niech (Ui, ϕi) i (Ui, ψi) będą rodzinami odpowiadającymi dywizorom D1 i D2.Wówczas na Ui mamy (ϕi) = (ψi) + (ϕ) = (ψiϕ) i stąd ϕi = ψiϕhi, gdziehi ∈ O∗X(Ui).

Definicja 163. Dla dowolnego X określamy grupę dywizorów Cartier jako gru-pę obiektów (Ui, ϕi), ϕ 6= 0 z utożsamieniem jak wyżej. Jeśli mamy dwa dywi-zory Cartier (Ui, ϕi), (Wj , γj), to określamy ich sumę jako (Ui ∩Wj , ϕiγj).

Definicja 164. Grupą Picarda rozmaitości X nazywamy grupę ilorazową dywi-zorów Cartier przez relację liniowej równoważności określoną poprzez: (Ui, ϕi) '(Ui, ψϕi), gdzie 0 6= ψ jest funkcją wymierną.

Zgodnie z poprzednimi rozważaniami (widzimy, że relacje liniowej równo-ważności są zgodne) dostajemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 165. Jeśli X jest gładkie, to Cl(X) ' PicX.

Przykład 166. Niech X : xy = z2 w k3. Wówczas Cl(X) = Z2 oraz PicX = 0.

W ogólności mamy naturalny homomorfizm PicX 7→ Cl(X). Jeśli X jestnormalna, to jest on monomorfizmem. Istotnie, jeśli D → 0 ∈ Cl(X), to pewiendywizor Cartier (Ui, ϕ) przechodzi na dywizor główny (f) dla pewnego f 6= 0wymiernego. Niech p ∈ Ui, p ∈ Suppϕi. Wówczas (ϕi) = (f) na Ui i dalej(ϕif

)= 0 na Ui. Niech ϕi

f = ψi. Wtedy (ψi) = 0 i zbiór punktów nieokreśloności

ψi ma kowymiar ­ 2. Jeśli X jest normalna, to ϕif ∈ O∗X(U), co daje ϕi = f ·hi

dla pewnego hi ∈ O∗X(Ui). Stąd dywizor Cartier (Ui, ϕi) jest równy głównemu(Ui, f).

Przykład 167. Niech X : xy = z2, wtedy Cl(X) =< Y >, gdzie Y jestprostą wyznaczającą brzeg stożka. Twierdzimy, że Y nie należy do obrazu PicX.Istotnie, w przeciwnym razie istnieje dywizor Cartier, który daje Y . Dalej, 0 ∈U0 i stąd (ϕ0) = Y na U0. Stąd I(Y ) jest generowane przez ϕ0 w OX,0, co jestwykluczone, bo ten punkt jest osobliwy.

48