Embed Size (px)
Citation preview
Geometri R1
1
Geometri oppgaver
Innhold 1.1 Formlikhet ......................................................................................................................................... 2
Formlike trekanter ............................................................................................................................... 2
Kongruente trekanter .......................................................................................................................... 9
1.2 Pytagoras’ setning ........................................................................................................................... 10
1.3 Setningen om periferivinkler og Thales’ setning. ............................................................................ 11
1.4 Geometriske steder ......................................................................................................................... 15
1.5 Skjæringssetninger i trekanter ........................................................................................................ 17
Midtnormalene og den omskrevne sirkelen ..................................................................................... 17
Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen ......................................................................... 17
Høydene ............................................................................................................................................ 18
Medianene ........................................................................................................................................ 18
1.6 Vektorer ........................................................................................................................................... 19
Regning med vektorer ....................................................................................................................... 19
Addisjon av vektorer ......................................................................................................................... 22
Multiplikasjon av vektor med et tall .................................................................................................. 25
Skalarproduktet ................................................................................................................................. 28
1.7 Vektorer på koordinatform ............................................................................................................. 32
Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform .................................................................... 33
Multiplikasjon av vektor med et tall .................................................................................................. 34
1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger. ............................................................ 36
1.9 En sirkel i planet .............................................................................................................................. 38
Sirkelen beskrevet med funksjoner ................................................................................................... 40
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA ................................................................................... 41
Eksempelsett fra Udir ............................................................................................................................ 42
Øvingsoppgaver og løsninger
Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA
Geometri R1
2
1.1 Formlikhet
Formlike trekanter
1.1.1
ABC og DEF ovenfor er formlike. Finn lengdene som ikke er oppgitt.
1.1.2
Se på figuren ovenfor og forklar hvorfor BTS og ´ ´B T S er formlike.
Geometri R1
3
1.1.3
På figuren ovenfor er PQ parallell med RT .
Forklar hvorfor PQS og RST er formlike.
Hvilken side samsvarer med ST ? Hvor lang er denne siden?
1.1.4
Vis at de to trekantene ovenfor er formlike.
1.1.5
Norges høyeste tre skal være grantreet ”Goliat” i
Aurskog – Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet
er. Hun plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken
10 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra
toppen av treet gjennom toppen av staven. Linja
treffer bakken 0,50 m fra staven.
Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er.
Geometri R1
4
1.1.6
Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen, se skissen ovenfor.
Vi måler avstander og finner at 25m , 200 m og 2,5 mAB CD BC . 90B D .
Hva blir avstanden ut til Hatholmen?
Geometri R1
5
1.1.7
Rekrutter på førstegangstjeneste lærer forskjellige metoder for å bestemme avstander i terrenget. En
metode går ut på å bestemme avstanden til et objekt med en kjent høyde. Man lærer å bestemme
avstanden til for eksempel et hus som man vet er 10 m høyt, på følgende måte:
Ta en pinne eller et grasstrå og hold det fast i loddrett stilling mellom tommelfinger og
pekefinger.
Strekk armen ut, og se mot huset slik at du ser husets topp på linje med toppen av
grasstrået.
Juster tommelens feste på grasstrået slik at du ser bunnen av huset på linje med oversiden
av tommelen.
Mål lengden a til den delen av grasstrået som er over tommelen. Lengden måles i
centimeter.
Avstanden til huset (i meter) finner du ved først å dele huset høyde på 2. Svaret multipliseres
med 100. Dette tallet deles så på a , og du har avstanden til huset.
Beregn avstanden til et hus som er 10 m høyt når du måler a til å være 2 cm.
Forklar metoden. (Vi regner at en gjennomsnittlig armlengde til en rekrutt er 0,5 meter)
Geometri R1
6
1.1.8
Gitt trekanten ABC . Høyden fra C på AB treffer AB i D .
a) Vis at ABC CBD
b) Tegn trekantene ved siden av hverandre slik at du lett ser samsvarende sider og hjørner.
c) Sett opp tre forhold som gir det lineære forholdstallet.
d) Finn det lineære forholdstallet når 4,0CD og 5,0AC
e) Finn A (Tips: Bruk trigonometri).
f) Beregn CB (Tips: Bruk trigonometri).
g) Finn de ukjente sidene i de to trekantene.
h) Finn andre par av formlike trekanter på figuren.
1.1.9
Gitt trekanten ABC . E er midtpunkt på AC og F er midtpunkt på AB .
a) Forklar at trekantene ABC og AFE er
formlike.
b) Bestem forholdet mellom BC og EF .
c) Forklar at trekantene SBC og SEF er formlike.
d) Bestem forholdet mellom SC og SF og mellom
SB og SE .
Geometri R1
7
1.1.10
Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at 10
5 7
x .
1.1.11
Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at 3 11
7 x .
1.1.12
Bestem ved å bruke dynamisk programvare lengden av linjestykket x slik at 7
3
x
x .
1.1.13
Gitt et linjestykke AB med lengde 10 cm. Du skal ved konstruksjon finne et punkt C på AB slik at
3
7
AC
AB .
1.1.14
I den rettvinklede trekanten ABC halverer AD vinkel A .
DE står normalt på AB og DF står normalt på AF . Se
figuren.
a) Forklar at AEDF er et kvadrat.
Sett 4AC og 7AB .
b) Vis at 16
11CF .
c) Finn BE .
Sett AC a og AB b .
d) Vis at 2a
CFa b
.
e) Finn BE .
Geometri R1
8
1.1.15
I den rettvinklede trekanten ABC er BC dobbelt så lang som AC . AD halverer vinkel A . DE står
normalt på AB og DF står normalt på AF .
a) Hvor store er de spisse vinklene i trekanten
ABC ?
Sett 4AC og 8BC
b) Vis at 4 3AB og at 4
3 1CF
c) Finn BE .
Geometri R1
9
Kongruente trekanter
1.1.16
Vis at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram halverer diagonalene.
1.1.17
Gitt en rettvinklet trekant ABC . AD halverer vinkel
A . DE står normalt på AB og DF står normalt på
AF .
Hvor store må vinklene i trekanten ABC være for at
trekantene EBD og FDC skal være kongruente?
1.1.18
Figuren viser en sirkel med to tangenter som skjærer hverandre i
punktet B .
Forklar at trekantene ASB og DSB er kongruente.
Geometri R1
10
1.2 Pytagoras’ setning
1.2.1
Gitt en rettvinklet trekant ABC med sidelengder , og a b c . Normalen fra C treffer linjen gjennom AB
i D . Sett AD x og BD y . Se figuren.
a) Vis at trekant ABC er formlik med trekant ACD
b) Vis at trekant ABC er formlik med trekant BCD
c) Forklar at vi kan sette
c a
a y og
c b
b x
d) Vis at vi kan sette 2a c y og 2b c x
e) Vis at 2 2 2a b c .
1.2.2
Lag et geometrisk bevis for Pytagoras´ læresetning. Bruk gjerne GeoGebra.
1.2.3
Finn et bevis for Pytagoras´ setning på internett og skriv det inn her.
Geometri R1
11
1.3 Setningen om periferivinkler og Thales’ setning.
1.3.1
a) Finn de ukjente vinklene i trekantene , og ABC ASC BSC på
figuren. S er sentrum i sirkelen. Se figuren.
b) Firkanten ABCD er innskrevet i en sirkel der buen
77,0 , buen 63,0 og buen 114,0AB AD CD . Se figuren.
Finn vinklene i firkanten ABCD .
1.3.2
Gitt figuren til høyre. Punktet S er sentrum i sirkelen.
a) Finn buen AC uttrykt i grader.
b) Finn BSD .
c) Finn vinkelC .
d) Finn SDB
Geometri R1
12
1.3.3
På figuren er A sentrum i en sirkel og AB BJ
Bestem alle vinklene på figuren.
1.3.4
På figuren er AB diameter i en sirkel og punktet C ligger
på sirkelen. Bestem de ukjente vinklene på figuren.
1.3.5
På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem alle vinklene
på figuren.
Geometri R1
13
1.3.6
På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem ukjente vinkler på figuren.
1.3.7
a) Forklar at trekantene og IHJ GFJ på figuren er formlike.
b) Vis at JF IJ HJ JG
1.3.8
Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. To
linjer går gjennom A og skjærer sirkelen i
henholdsvis F og G og i H og I . Vi trekker
linjestykkene GH og IF . De skjærer hverandre i
J . Se figuren.
a) Forklar at trekantene AHG og AFI er
formlike
b) Vis at AF AG AH AI
Geometri R1
14
1.3.9
Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. Gjennom
A går det ei linje som tangerer sirkelen i F og ei linje
som skjærer sirkelen i og H I . Se figuren.
a) Forklar at 1
2HIF HSF
b) Forklar at vi kan skrive 90AFH HFS
c) Vis at 1
902
HFS HSF
d) Vis at AFH AIF
e) Forklar at trekantene og AFH AIF er formlike.
f) Vis at 2AF AH AI
g) Bruk det du viste i f) til å bestemme lengden av
BE på figuren til høyre. Linja gjennom og B E
er tangent til sirkelen, lengden til BC er 3 og
lengden til diameterenCD er 10.
h) Sjekk svaret i g) ved å bruke Pytagoras setning.
Geometri R1
15
1.4 Geometriske steder
1.4.1
Merk av et linjestykke 5 cmAB . Konstruer det geometriske sted for alle de punktene som ligger
like langt fra A som fra B. Hva kalles dette geometriske stedet?
1.4.2
Gitt to linjer og m n som skjærer hverandre. Finn mengden av alle de punktene som ligger like langt
fra og m n . Hva kalles dette geometriske stedet?
1.4.3
Konstruer samlingen av alle de punktene som ligger 3 cm fra et punkt P . Hva kalles dette
geometriske stedet?
1.4.4
Finn det geometriske sted for de punktene som ligger 4 cm fra en gitt linje l . Hva kalles dette
geometriske stedet?
1.4.5
En tangent til en sirkel er en linje som berører sirkelen i bare ett punkt. Tangenten står alltid normalt
på radien i tangeringspunktet.
Bruk setningen om periferivinkler og sentralvinkler til å konstruere tangentene til en sirkel fra et
punkt utenfor sirkelen.
Geometri R1
16
1.4.6
En trekant ABC er gitt ved at 7,0 cm, 90 og 3,0 cmAB ACB AC . Konstruer trekanten.
1.4.7
Per bor 4 km fra skolen og 2 km fra treningssenteret.
a) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra. Marker skolen og treningssenteret som to
punkt. Vis hvor Per kan bo i forhold til disse punktene.
Sett avstanden fra der Per bor til skolen som 2x og avstanden til treningssenteret som x .
b) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra og finn det geometriske stedet for hvor Per
nå kan bo.
Geometri R1
17
1.5 Skjæringssetninger i trekanter
Midtnormalene og den omskrevne sirkelen
1.5.1
Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den omskrevne sirkelen til trekanten.
1.5.2
Fortsett med trekanten fra oppgave 1.5.1. Dra i hjørnene til trekanten slik at sentrum i den
omskrevne sirkelen veksler mellom å ligge inne i trekanten, på en av sidene eller utenfor trekanten.
Kan du finne noe mønster når det gjelder vinklene i trekanten? Ser du noen sammenhenger med
setningen om periferivinkler og sentralvinkler?
Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen
1.5.3
Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten.
1.5.4
a) Konstruer den innskrevne sirkelen i en likesidet trekant ABC .
b) Finn et eksakt uttrykk for radien r i den innskrevne sirkelen når sidene i trekanten er lik 4 cm.
c) Vi setter nå lengden til sidene i trekanten ABC s . Finn et uttrykk for radien r i den innskrevne
sirkelen uttrykt ved s .
1.5.5
Gitt en trekant ABC med sider 3 cmAB , 4 cmBC og 5 cmAC .
a) Vis at trekant ABC er rettvinklet.
b) Konstruer den innskrevne sirkelen.
La S være sentrum i den innskrevne sirkelen og SD være avstanden fra S til linja gjennom AB. Videre
er E skjæringspunktet mellom vinkelhalvveringslinja gjennom C og linja gjennom AB.
c) Forklar at .EBC EDS
d) Vis at 18,45BCE .
e) Vis at lengden 1,33EB
f) Forklar at ED EB r
g) Regn ut radien i den innskrevne sirkelen.
Geometri R1
18
Høydene
1.5.6
a) Tegn en tilfeldig trekant og finn skjæringspunktet S mellom høydene ved konstruksjon.
b) Hva kan du si om trekantens vinkler hvis dette skjæringspunktet ligger
1. inne i trekanten?
2. i et av trekantens hjørner?
3. utenfor trekanten?
Medianene
1.5.7
a) En median deler alltid en trekant i to like store deler (arealer). Kan du vise dette ved hjelp av
arealsetningen eller på en annen måte?
b) Klipp ut en trekant av et stivt papir eller papp. Fest trekanten i et hjørne og la den henge fritt.
Finn loddlinjen gjennom opphengingspunktet. Hvor treffer loddlinjen den motsatte siden?
c) Skjæringspunktet mellom medianene i en trekant kalles også for trekantens tyngdepunkt. Kan du
forklare hvorfor?
d) Hvordan kan du få en trekantet metallplate til å balansere vannrett når du plasserer den på en
loddrett spiker?
Geometri R1
19
1.6 Vektorer
Regning med vektorer
1.6.1
Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser.
1.6.2
Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter.
En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene?
1.6.3
a) Hvilke vektorer har samme retning?
b) Hvilke vektorer har samme lengde?
c) Hvilke vektorer er like?
Geometri R1
20
1.6.4
Figuren viser en rombe ABCD . Tegn vektorer mellom hjørnene.
a) Hvilke vektorer er like?
b) Hvilke vektorer er motsatt rettet?
c) Hvilke vektorer er like lange? 1.6.5 a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidene er like lange) i for eksempel GeoGebra.
b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten.
c) Hvor mange ulike vektorer finnes det?
Geometri R1
21
1.6.6 Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene. Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem.
a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du?
b) La u og v være like. Hva observerer du?
c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du?
d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w ?
Geometri R1
22
Addisjon av vektorer
1.6.7
En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90mot nord og kjører 4 km i denne retningen.
Bilen dreier så 90 og kjører 8 km mot vest.
a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. Finn summen av forflytningene (resultantforflytningen).
b) Bestem lengden og retningen til resultantforflytningen.
c) Resultantforflytningen er summen av forflytningene. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på?
1.6.8
Vektorene AB , BC , CD , DE og EA danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig.
a) AB BC
b) DC CB BA
c) EA AB
d) EA AB BC
e) BE ED
f) AB CB
g) BA AE
Geometri R1
23
1.6.9
Gitt vektorene a og b .
Finn vektorene a b og b a . Hva oppdager du?
1.6.10
Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren.
Tegn vektorene
a) a b
b) c a
c) b c
Geometri R1
24
1.6.11
Gitt et rektangel ABCD .
Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig.
a) AB BC
b) AD DC
c) BC AC
d) DC AC
e) AB DC
Geometri R1
25
Multiplikasjon av vektor med et tall
1.6.12
Vi har gitt tre vektorer i et koordinatsystem. Se figuren.
Tegn vektorene
a) 1
22
a b
b) 1 2
2 3b c
c) 3
2a b c
1.6.13
Vektorene , , og a b c d er gitt i figuren.
Bruk for eksempel GeoGebra og finn
a) a b c d
b) 1
2a b c
c) 1
22
a b c
d) 1
22
a b c d
Geometri R1
26
1.6.14
Gitt vektorene nedenfor.
a) Uttrykk vektorene , ,c d e og f ved hjelp av vektorene a og b .
b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene og c d .
Geometri R1
27
1.6.15 Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra. a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD .
b) Finn av midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E , på BC for F , på CD for G
og på AD for H .
c) Tegn firkanten EFGH .
d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH .
e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD . Hva observerer du?
Vi setter nå , og AB a BC b CD c .
f) Vis at EF kan skrives som: 1
2EF a b .
g) Vis at HD kan skrives som: 1
2HD a b c .
h) Uttrykk HG ved hjelp av , og a b c .
i) Hva kan du si om vektorene EF og HG ?
j) Vis at EH FG .
Geometri R1
28
Skalarproduktet
1.6.16
Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1.
a) Finn de andre sidene i trekanten.
b) Bestem verdien til cos30 og cos60
1.6.17
Vi har gitt vektorene a og b . 5a , 4b og , 60a b .
Finn skalarproduktet mellom a og b .
1.6.18
Vi har gitt vektorene p og q .
Lengden av er 7p , lengden av er 3q og vinkelen mellom vektorene er 30 .
a) Regn ut p q .
b) Regn ut q p .
c) Hva er skalarproduktet mellom p og q ?
d) Hva er prikkproduktet mellom p og q ?
e) Finn 2p .
f) Finn 2q .
Geometri R1
29
1.6.19
Gitt vektorene a og b der 12a og , 60a b . Skalarproduktet mellom a og b er 24.
Finn lengden til b .
1.6.20
Vi har gitt at 2 16u . Finn u .
1.6.21
Gitt vektorene a og b der 12a og 5b . Skalarproduktet mellom a og b er 30.
Finn vinkelen mellom vektorene a og b .
1.6.22
a) Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.
b) Finn lengden til hypotenusen.
c) Bestem cos45
Geometri R1
30
1.6.23
Gitt vektorene a og b der 3a og 8b .
Finn skalarproduktet mellom a og b når
a) , 0a b
b) , 45a b
c) , 90a b
d) , 135a b
e) , 180a b
Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven?
1.6.24
Vi har gitt vektorene F og s . 150F , 120s .
a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30 .
La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i
N(Newton), sier vi at 150 NF . Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m
eller at lengden til forflytningsvektoren, s , er 120 m, 120 ms . Magnus drar med en kraft som har
retning 30 i forhold til forflytningen.
Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s . b) Hvor stort arbeid utfører Magnus?
c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen.
d) Hva blir måleenheten for arbeidet?
Geometri R1
31
1.6.25
Gitt vektorene a og b der 5a , 4b og , 60a b .
Regn ut 2 2 3a a b a b .
1.6.26
Gitt vektorene og a b der 3 og 4a b . Vinkelen mellom vektorene er 60 .
Vektorene og u v er gitt ved 2 og 3 4u a b v a b .
a) Finn 2 2, og .a b a b
b) Finn u v .
c) Finn vinkelen mellom og u v .
1.6.27
La 5a , 3b og ( , ) 60a b .
Gitt u a b ogv a b .
a) Finn lengden til u og lengden til v .
b) Finn vinkelen mellom u ogv .
Geometri R1
32
1.7 Vektorer på koordinatform
1.7.1
a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform.
a) Hvilke vektorer er parallelle?
b) Hvilke vektorer er like?
1.7.2
Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem
2,5a
3,2b
5, 3c
4, 2d
3,0e
0, 6f
Geometri R1
33
1.7.3
Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.
a) 2,5
b) 3,2
c) 4,0
Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform
1.7.4
Gitt vektorene 2,3a , 3, 5b og 1, 6c .
Finn
a) a b
b) a b
c) a b c
d) c b a
1.7.5
a) Uttrykk a , b og c fra oppgave 1.7.4 ved hjelp av enhetsvektorene.
b) Gjør oppgave 1.7.4 a og c når vektorene skrives på denne formen.
Får du samme resultat som i oppgave 1.7.4?
1.7.6
Gjør oppgavene i 1.7.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar.
Geometri R1
34
Multiplikasjon av vektor med et tall
1.7.7
Gitt vektorene 2,3a , 3,5b og 1, 6c .
Regn ut
a) 3 2 4a b c
b) 5 3 4a c b
1.7.8
Gitt punktene 4,0 , 3,5 , 0,7 , 3,5 , 4,0 , 3, 5 og 3, 5A B C D E F G .
a) Bestem vektorene , , , , ogAB CD EF GC FA EC .
b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.
(For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.)
c) Finn lengdene til vektorene i a).
1.7.9
Gitt vektorene 3,2 og 1,4 .
a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.
b) Vis at 3 2 4x y x ye e e e kan skrives som 2 23 14 8x x y ye e e e .
c) Vis at skalarproduktet 2 21 og 1x x x y y ye e e e e e .
d) Vis at skalarproduktet 0x ye e .
e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b).
f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3,2 og 1,4 kan skrives som
3,2 1,4 3 1 2 4 3 8 11
Geometri R1
35
1.7.10
Vi har gitt vektorene 2,3a , 3, 5b .
a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.
b) Finn lengden til vektorene.
c) Finn vinkelen mellom vektorene.
1.7.11
Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren nedenfor. Du ser for eksempel at vektoren c har
koordinatene 4,3 .
a) Skriv alle vektorene på koordinatform.
b) Finn og ca b d .
c) Finn lengdene av og e g .
d) Sjekk ved regning om c d .
e) Sjekk ved regning om c e .
Geometri R1
36
1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger.
1.8.1
I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Gitt firkanten ABCD hvor 1,3A ,
7,4B , 8,6C og 2,5D .
Undersøk om firkanten ABCD er et parallellogram.
1.8.2
a) Finn koordinatene til punktet B når 2,3AB og A har koordinatene 4,5A
b) La C være midtpunktet på AB . Finn punktkoordinatene tilC .
1.8.3
Gitt trekanten ABC, der 2,2 , 4,6 og 4, 4A B C .
a) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av skalarproduktet.
b) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av cosinussetningen.
Geometri R1
37
1.8.4
Gitt punktene 1,4A , 4,1B og 7,6C .
a) Finn vinklene i trekanten ABC ved vektorregning.
La D være et punkt på linjen gjennom A og B slik at CD står vinkelrett på AB .
b) Bruk vektorregning og finn koordinatene til punktet D .
c) Bestem høyden DC i trekanten.
1.8.5
Vis ved vektorregning at diagonalene i en rombe alltid står vinkelrett på hverandre.
1.8.6 – utfordring!!
Du starter en fotballkamp i midtsirkelen (origo). I løpet av de første tre pasninger beveger fotballen
seg på følgende måte. Den går først 15 meter i retningen gitt ved vektoren 1,2 . Deretter beveger
den seg 30 meter i retningen 8,13 , for til slutt å bevege seg 12 meter i retningen 1, 4 .
a) Hvor befinner ballen seg etter tre pasninger? (Hvilken posisjon har den?). Her vil det være
naturlig å bruke et digitalt hjelpemiddel.
Tips. Lag en skisse av situasjonen
b) Hvor langt har ballen forflyttet seg?
Geometri R1
38
1.9 En sirkel i planet
1.9.1
Gitt en sirkel med sentrum i 1,2 og radius 3.
Finn likningen for sirkelen.
1.9.2
Gitt en sirkel med sentrum i 1, 2 og diameter 6.
Finn likningen for sirkelen.
1.9.3
Bestem sentrum og radius til sirklene:
a) Sirkel er gitt ved likningen 2 2 21 3 2x y
b) Sirkel er gitt ved likningen 2 2
2 6 9x y
c) Sirkel er gitt ved likningen 2 2 100x y
Geometri R1
39
1.9.4
Finn sentrum og radius i sirklene gitt ved likningene:
a) 2 24 2 4x x y y
b) 2 24 12x x y
c) 2 21 13 13
2 2x x y y
1.9.5
Undersøk om likningene representerer sirkler, og finn i så tilfelle sentrum og radius til sirkelen.
a) 2 24 9 14x y
b) 2 24 4 4 12 6 0x y x y
c) 2 28 2 18 0x x y y
d) 2 22 2 3 2 4x x y y
1.9.6
Vi har gitt punktene 4 , 5 og 6 , 11A B . En sirkel har AB som diameter.
Bestem likningen for sirkelen.
Geometri R1
40
Sirkelen beskrevet med funksjoner
1.9.7
a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x .
2 2 22 1 3x y
b) Tegn sirkelen.
1.9.8
a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x .
2 21 3
12 2
x y
b) Tegn sirkelen.
1.9.9
Gitt en rettvinklet trekant ABC der
0,0 , 3, 0 og 3,4A B C , se figur
a) Finn lengden AC .
Sett og AB x BC y
b) Finn y uttrykt ved x .
c) Tegn funksjonen du fant i b). Hva beskriver funksjonene?
Geometri R1
41
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA
Eksamen våren 2014 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5
Eksamen våren 2014 Del 2: Oppgave 1
Eksamen høsten 2013 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5, Oppgave 7
Eksamen høsten 2013 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 8
Eksamen våren 2013 Del 1: Oppgave 7, Oppgave 8
Eksamen våren 2013 Del 2: Oppgave 2
Eksamen høsten 2012 Del 1: Oppgave 5, Oppgave 7
Eksamen høsten 2012 Del 2: Oppgave 1, Oppgave 4. Oppgave 5
Eksamen våren 2012 Del 1:
Eksamen våren 2012 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 8, Oppgave 10
Eksamen høsten 2011 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1g
Eksamen høsten 2011 Del 2: Oppgave 3, Oppgave 4
Eksamen våren 2011 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2
Eksamen våren 2011 Del 2: Oppgave 5, Oppgave 8
Eksamen høsten 2010 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2
Eksamen høsten 2010 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 6 Alt 1, Oppgave 6 Alt 2
Eksamen våren 2010 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1f
Eksamen våren 2010 Del 2: Oppgave 5 Alt 2, Oppgave 6
Eksamen høsten 2009 Del 1: Oppgave 1g, Oppgave 2
Eksamen høsten 2009 Del 2: Oppgave 4 Alt 2
Eksamen våren 2009 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 2
Eksamen våren 2009 Del 2: Oppgave 3a, Oppgave 5
Geometri R1
42
Eksempelsett fra Udir
1.10.1 Eksempelsett R1, april 2007
APB , som spenner over buen AB , kaller vi en periferivinkel.
AOB , som spenner over buen AB,
kaller vi en sentralvinkel.
a) Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen AB.
En setning i geometrien sier:
For å bevise denne setningen tegner vi diameteren PQ.
b) Forklar at POA og POB er likebeinte.
c) Bruk b) til å forklare at
2
2
BOQ BPO
AOQ APO
d) Bruk c) til å bevise setningen ovenfor.
En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelen
som spenner over samme bue.
Geometri R1
43
1.10.2 Eksempelsett R1, desember 2007
Vi har gitt en trekant ABC . Punktet D ligger på AB , punktet
E ligger på BC , og punktet F ligger på AC . Se figuren.
Cevas setning sier:
Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Linjestykkene AE, BF og CD skjærer
hverandre i ett punkt hvis og bare hvis
1AD BE CF
DB EC FA
Geometri R1
44
1.10.3 Eksempelsett R1, desember 2007
Bildet til venstre viser to baller som ligger inntil
hverandre. Ballene har radiene R og r.
Berøringspunktet mellom ballene og bordet
kalles henholdsvis A og B. Berøringspunktet
mellom ballene kalles C.
I denne oppgaven skal vi undersøke
egenskaper ved ABC .
Figur 1 viser et snitt gjennom sentrene i ballene, M og N.
a) Forklar at 90BAM NBA , og at 180 .MNB AMC
b) Vis at 2AB Rr . (Tips: Bruk Pytagoras´ setning).
Vi setter , og AMC v BCN u ACM w .
c) Vis at 90u w , og at 90ACB .
I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med 4 cm og 1 cm.R r
d) Bruk b) til å finne lengden av AB.
e) Konstruer med passer og linjal figur 1 med 4 cmR og 1 cmr . Skriv en forklaring til
konstruksjonen.
f) Slå en halvsirkel med AB som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom C.
Geometri R1
45
1.10.4 Eksempelsett R1, april 2007
En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren.
a) Skriv opp vektorene , og AB AC BC .
1M er midtpunktet på siden AB, og 2M er midtpunktet på siden AC.
b) Vis ved regning at koordinatene til punktet 1M er 2,0 og til punktet 2M er 1
,22
.
Vi kaller skjæringspunktet mellom 1CM og 2BM for S . En metode for å finne koordinatene til S
består i å skrive CS på to måter. To ulike veier fra C til S gir
1 2ogCS k CM CS CB t BM Dette gir oss vektorlikningen
1 2k CM CB t BM
Geometri R1
46
c) Sett inn koordinatene til 1 2, og CM CB BM , og vis at vektorlikningen kan skrives som
7
, 4 3 , 4 22
tk k t
d) Løs vektorlikningen, og vis at 2 2
og 3 3
k t .
e) Bestem CS og koordinatene til punktet S .
3M er midtpunktet på BC.
f) Vis at den tredje medianen går gjennom punktet S .
