Geometría analítica Geometria analitica.pdf · b Llamamos P x, y) al simétrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P . Entonces: ' 5,12 5 12 2 2

1

Geometría analítica Ejercicio nº 1.-

a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).

b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2). Ejercicio nº 2.-

a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2).

b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4). Ejercicio nº 3.-

a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).

b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).

Ejercicio nº 4.-

Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea:

a El punto medio del segmento de extremos A y B.

b El simétrico de A con respecto a B. Ejercicio nº 5.-

Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):

a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.

b Halla el simétrico de B con respecto a C. Ejercicio nº 6.-

El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A,

sabiendo que B(3, 2). Ejercicio nº 7.-

Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados. Ejercicio nº 8.- Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que

A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3). Ejercicio nº 9.-

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, 3), B(4, 1)

y C(1, 2).

2

Ejercicio nº 10.- Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos

.PBAPBA 3 que tales partes dos en 3) (1, y4) (2,

Ejercicio nº 11.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P(3, 1) y es paralela a la recta:

ty

txs

4

32:

Ejercicio nº 12.- Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

A(2, 3) y B(1, 4). Ejercicio nº 13.-

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x y + 3 = 0 y que pasa por el punto P(4, 3). Ejercicio nº 14.-

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es

perpendicular a la recta de ecuación 3x 2y + 1 = 0. Ejercicio nº 15.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

P(1, 3) y Q(2, 8). Ejercicio nº 16.- Dadas las rectas:

ty

txs

ty

txr

62

31:

22

1:

averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte: Ejercicio nº 17.- Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):

ty

txs

ty

txr

21

83:

2

42:

3

Ejercicio nº 18.- Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:

ty

txx

ty

txr

3

5:

32

21:

Ejercicio nº 19.- Dadas las rectas:

ty

txs

ty

txr

82

24:

46

2:

averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto). Ejercicio nº 20.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:

ty

txs

ty

txr

4

35:

21

4:

Ejercicio nº 21.- Averigua el ángulo formado por las rectas:

ty

txs

ty

txr

21

2:

31

42:

Ejercicio nº 22.- Determina el ángulo que forman las rectas:

ty

tx:s

ty

txr

21

2

4

31:

Ejercicio nº 23.- Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:

ty

txs

ty

txr

5

24:

44

22:

Ejercicio nº 24.- Halla el ángulo que forman las rectas:

ty

tx:s

ty

txr

61

41

24

32:

4

Ejercicio nº 25.- Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:

ty

txs

ty

txr

62

43:

31

21:

Ejercicio nº 26.- Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos

P(3, 1) y Q(2, 4). Solución: Ejercicio nº 27.-

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es

.31, vector al paralela

v

Ejercicio nº 28.- Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el

punto P(1, 4). Ejercicio nº 29.- Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto

P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3. Ejercicio nº 30.- Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

ty

txr

31

23:

Ejercicio nº 31.-

Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y 3 = 0 que pasa por el punto P(1, 1). Ejercicio nº 32.- ¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?

x + 3y 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0 Ejercicio nº 33.-

Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a

3x y + 4 = 0.

5

Ejercicio nº 34.- Halla el valor de k para que las rectas

2x 3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0 sean perpendiculares. Ejercicio nº 35.- Dadas las rectas:

01:034: ykxsyxr

halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares. Ejercicio nº 36.-

Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x 3. Ejercicio nº 37.- Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:

P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x y + 6 = 0 Ejercicio nº 38.-

Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r: 2x + y 3 = 0; calcula la distancia: a) Entre P y Q. b) De P a r. Ejercicio nº 39.-

Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:

ty

txr

41

23:

Ejercicio nº 40.- Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta

.2sea03: yxr

Ejercicio nº 41.-

Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4) respecto a la recta

r : 3x + y + 2 = 0.

6

Ejercicio nº 42.- Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

0:0932:02: xtyxsyxr

Ejercicio nº 43.-

Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.

Ejercicio nº 44.-

Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y

calcula el baricentro punto de intersección de las medianas. Ejercicio nº 45.- Halla el área del triángulo de vértices:

A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4)

Soluciones Geometría analítica

Ejercicio nº 1.-

a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).

b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2). Solución:

a Llamamos A'x, y) al simétrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une A con A'. Entonces:

3,3'3

3

22

1

42

5

Ay

x

y

x

b El punto medio es:

7

2

3,

2

9

2

21,

2

45M

Ejercicio nº 2.-

a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2).

b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4). Solución:

a El punto medio es:

2

3,

2

1

2

25,

2

32M

b Llamamos A'(x, y) al simétrico de A con respecto a C. Entonces C es el punto medio del segmento que une A con A'. Por tanto:

3,0'

3

0

42

5

12

2

A

y

x

y

x

Ejercicio nº 3.-

a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).

b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5). Solución:


2

31

2

52

2

13,,M

b Llamamos P x, y) al simétrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P. Entonces:

12,5'

1252

2

512

3

P

yy

xx

Ejercicio nº 4.-

Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea:

a El punto medio del segmento de extremos A y B.

b El simétrico de A con respecto a B. Solución:


8

2

92

1

,2

9,

2

1

2

63,

2

21

y

xyx

b B será el punto medio del segmento que une A y C, entonces:

95

9

5

62

3

22

1

622

3

2

1,C

y

x

y

x

,y

,x

Ejercicio nº 5.-

Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):

a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.

b Halla el simétrico de B con respecto a C. Solución:


2

3,

2

1

2

41,

2

32M

b Llamamos B '(x, y) al simétrico de B con respecto a C. Si B ' es simétrico de B respecto de C, tiene que cumplirse que:

'CBBC

20

3

128

3:Entonces

8,0'

12,3

y

x

y

x

yxCB

BC

Por tanto:

B '3, 20)

Ejercicio nº 6.-

El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A,

sabiendo que B(3, 2). Solución:

9

Si llamamos A(x, y), tenemos que:

:decir es ,MBAM

3,51,2

12,231,2

yx

yx

4,7 :tanto Por431

752

A

yy

xx

Ejercicio nº 7.-

Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados. Solución:

:alesproporcion ser de han de y de scoordenada las alineados, estén puntos tres los que Para BCAB

7

4773

1

7

1

3

1,1

7,3

xx

xxBC

AB

Ejercicio nº 8.- Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que

A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3). Solución:

Llamamos D(x, y) al cuarto vértice. Ha de cumplirse que:

:decir es ,DCAB

033

314

31

34

yy

xx

y,xDC

,AB

Por tanto:

D(3, 0)

10

Ejercicio nº 9.-

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, 3), B(4, 1)

y C(1, 2). Solución:

Llamamos G(x, y) al baricentro y M(a, b) al punto medio del lado AC. Sabemos que:

BGGM 2 Hallamos M:

2

1

2

1

2

23

2

12,,M

Entonces:

1,421,21

1,42

1,

2

12

1,4

2

1,

2

1

yxyx

yxyx

yxBG

yxGM

030121

3

535421

yyyy

xxxx

El baricentro es:

0,

3

5G

Ejercicio nº 10.- Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos

.PBAPBA 3 que tales partes dos en 3) (1, y4) (2,

Solución: Si llamamos (x, y) a las coordenadas de P, se ha de cumplir que:

:decir es ,3PBAP

11

y,xy,x

y,xy,x

y,xPB

y,xAP

393342

31342

31

42

4

554394

4

114332

yyyy

xxxx

Por tanto:

4

5

4

1,P

Ejercicio nº 11.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P(3, 1) y es paralela a la recta:

ty

txs

4

32:

Solución:

ty

tx

,

,OP

1

33

:asparamétric Ecuaciones

13 :dirección Vector

13 :posición Vector

Ejercicio nº 12.- Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

A(2, 3) y B(1, 4). Solución:

ty

tx

,AB

,OA

73

32




Ejercicio nº 13.-

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x y + 3 = 0 y que pasa por el punto P(4, 3).

12

Solución:

ty

tx

.,

,yx,

,OP

23

4


21 vector el dirección vectorcomo

tomar podemos tanto, por 032 a larperpendicu es 12 vector El :dirección Vector


Ejercicio nº 14.-

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es

perpendicular a la recta de ecuación 3x 2y + 1 = 0. Solución:

ty

tx

yx,

,OP

21

32

:son asparamétric ecuaciones las tanto, Por

0123 a larperpendicu es 23 :dirección Vector


Ejercicio nº 15.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

P(1, 3) y Q(2, 8). Solución:

ty

tx

,PQ

,OP

53

1





ty

txs

ty

txr

62

31:

22

1:

averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte: Solución: Cambiamos el parámetro en la recta s:

13

ky

kxs

ty

txr

62

31:

22

1:

Igualamos:

kkkkk

kt

kt

kt

0062642623222

32

6222

311

Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden. Ejercicio nº 17.- Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):

ty

txs

ty

txr

21

83:

2

42:

Solución: Cambiamos el parámetro en la recta s:

ky

kxs

ty

txr

21

83:

2

42:

Igualamos:

ktkt

kt

kt

kt

2121

841

212

8342

kkkkk 05884182141

No tiene solución Las rectas son paralelas. Ejercicio nº 18.- Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:

ty

txx

ty

txr

3

5:

32

21:


ky

kxs

ty

txr

3

5:

32

21:

Igualamos:

224

1

24332

24

332

521

k

t

tt

tk

kt

kt

Sustituyendo t = 1 en las ecuaciones de r (o bien k = 2 en las de s), obtenemos el punto de corte de las dos rectas:

14

.3,-1 punto el en cortan se rectas dos Las132

321

y

x


ty

txs

ty

txr

82

24:

46

2:

averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto). Solución: Cambiamos el parámetro en la recta s:

ky

kxs

ty

txr

82

24:

46

2:

Igualamos:

k

kk

kk

tk

kt

kt

00

82886

822246

22

8246

242

Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden. Ejercicio nº 20.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:

ty

txs

ty

txr

4

35:

21

4:


ky

kxs

ty

txr

4

35:

21

4:

Igualamos:

23131

1

77

4621

43121

31

421

354

kt

k

k

kk

kk

kt

kt

kt

15

Sustituimos t = 2 en las ecuaciones de r (o bien, k = 1 en las de s) para obtener el punto de corte de r y s:

).3 (2, punto el en cortan se y 341

224

sr

y

x

Ejercicio nº 21.- Averigua el ángulo formado por las rectas:

ty

txs

ty

txr

21

2:

31

42:

Solución: Hallamos el ángulo que forman los vectores dirección de las dos rectas:

Vector dirección de r (4, 3)

Vector dirección de s (1, 2)

''',

,,cos 4341791790

55

2

525

64

41169

2134

Ejercicio nº 22.- Determina el ángulo que forman las rectas:

ty

tx:s

ty

txr

21

2

4

31:

Solución:



Llamamos al ángulo que forman r y s:

''12'5281141,0

25

1

510

23

4119

2,11,3

cos

Ejercicio nº 23.- Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:

ty

txs

ty

txr

5

24:

44

22:

Solución:

16



Llamamos al ángulo que forman r y s:

900

520

44

14164

1242

,,cos

Es decir, las rectas son perpendiculares. Ejercicio nº 24.- Halla el ángulo que forman las rectas:

ty

tx:s

ty

txr

61

41

24

32:

Solución: El ángulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores dirección:



900

5213

1212

361649

6,42,3

cos

Es decir, r y s son perpendiculares. Ejercicio nº 25.- Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:

ty

txs

ty

txr

62

43:

31

21:

Solución:



Llamamos al ángulo formado:

lares).perpendicu son no (luego01

26

26

13213

26

5213

188

361694

6432

,,cos

Ejercicio nº 26.- Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos

P(3, 1) y Q(2, 4). Solución:

17

La pendiente de la recta es:

3

1

3

1

14

32

14

m

La ecuación será:

0103931331 yxxyxy

Ejercicio nº 27.-

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es

.31, vector al paralela

v

Solución: Las ecuaciones paramétricas son:

ty

tx

35

2

Multiplicamos por 3 la primera ecuación y sumamos:

13

35

363

yx

ty

tx

La ecuación implícita es 3x + y + 1 = 0. Ejercicio nº 28.- Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el

punto P(1, 4). Solución:

Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:

062224124 yxxyxy

Ejercicio nº 29.- Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto

P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3. Solución:

Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:

043632232 yxxyxy

18

Ejercicio nº 30.- Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

ty

txr

31

23:

Solución: Multiplicamos por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, y sumamos:

723

622

693

312

233

yx

ty

tx

ty

tx

La ecuación implícita es 3x + 2y + 7 = 0. Ejercicio nº 31.-

Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y 3 = 0 que pasa por el punto P(1, 1). Solución: Obtenemos la pendiente de la recta dada:

232032 pendientexyyx

La pendiente de la perpendicular es:

2

1

2

1

La ecuación de la recta buscada será:

01212212

11 yxxyxy

Ejercicio nº 32.- ¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?

x + 3y 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0 Solución: Despejamos y en cada ecuación para obtener la pendiente de cada recta:

22

3

232032

3

1

3

2

3

123023

kpendientex

kykxyykx

pendientexyxyyx

19

Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:

3

232

23

1 kk

k

Ejercicio nº 33.-

Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a

3x y + 4 = 0. Solución: Obtenemos la pendiente de la recta dada:

343043 pendientexyyx

La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuación será:

053332132 yxxyxy

Ejercicio nº 34.- Halla el valor de k para que las rectas

2x 3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0 sean perpendiculares. Solución: Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:

kpendiente

kx

kyxkykyx

pendientexyxyyx

31313013

3

2

3

4

3

24230432

Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:

22

3

32

13

k

k


01:034: ykxsyxr

halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.

20

Solución: Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:

kpendientekxyykx

pendientexyyx

101

434034

Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:

4

1k

Ejercicio nº 36.-

Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x 3. Solución: Expresamos la recta en forma implícita:

032:32: yxrxyr

Por tanto:

5

514

5

14

5

356

14

3532,

rPdist

Ejercicio nº 37.- Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:

P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x y + 6 = 0 Solución:

134923,22 PQQPdist

5

102

10

104

10

4

10

613

19

6113,

rPdist

Ejercicio nº 38.-

Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r: 2x + y 3 = 0; calcula la distancia: a) Entre P y Q. b) De P a r. Solución:

294252,5, a) PQQPdist

55

55

5

5

5

326

14

3232, b)

rPdist

21

Ejercicio nº 39.-

Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:

ty

txr

41

23:

Solución: Expresamos r en forma implícita:

1424

822

8124

412

234

yx

ty

tx

ty

tx

01424 yx

Hallamos la distancia de P a r :

265

256

20

2024

20

24

20

1428

416

141224,

rPdist

Ejercicio nº 40.- Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta

.2sea03: yxr

Solución:

2522

5

11

32,

k

kkrPdist

Hay dos posibilidades:

725

325

kk

kk

Ejercicio nº 41.-

Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4) respecto a la recta

r : 3x + y + 2 = 0. Solución

22

1.º) Hallamos la ecuación de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por P:

323023: pendientexyyxr

:tanto Por .3

1 será de pendiente La

s

093:

312333

14:

yxs

xyxys

2.º) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:

09233

23

093

023

xx

xy

yx

yx

10

292

10

9

10

3

310

0969

yx

x

xx

.10

29,

10

3 es punto El

M

3.º) Si llamamos P (x, y) al simétrico de P con respecto a r, M es el punto medio entre P y

P . Por tanto:

.5

9,

5

18' es buscado punto El

5

9

10

18581040

10

29

2

45

18

10

3661030

10

3

2

3

P

yyy

xxx

Ejercicio nº 42.- Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

0:0932:02: xtyxsyxr

Solución:

A

23

1.º Los vértices del triángulo son los puntos de corte de las rectas:

09322

2

0932

02

yy

yx

yx

yx

15509342 yyyy

3x

Punto B(3, 1)

2,0 Punto2

0

02

C

y

x

yx

3,0 Punto3

0

0932A

y

x

yx

2.º Tomamos el lado AC como base del triángulo:

5 ACbase

3.º La altura es la distancia de B a la recta que pasa por A y por C que es el eje Y. Por tanto:

altura 3

4.º El área del triángulo es:

2u 5,72

15

2

35

Área

Ejercicio nº 43.-

Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3. Solución:

1.º Tomamos como base el lado AB:

17116 ABbase

2.º La altura es la distancia del vértice C o del D a la recta que pasa por A y B. Obtengamos la ecuación de dicha recta.

4

1

15

12

pendiente

03414414

11: yxxyxyr

24

17

9

17

9

161

3164,

rCdistaltura

Así, el área es:

2u 917

917 alturabaseÁrea

Ejercicio nº 44.-

Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y

calcula el baricentro punto de intersección de las medianas. Solución:

1.º Hallamos los puntos medios de cada lado:

2

1,2 de

3,3 de

2

3,0 de

3

2

1

MAC

MBC

MAB

2.º Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:

La que pasa por A y M2:

14

4 pendiente

033313 : yxxyxyrecta

La que pasa por B y M3:

2

7

1

2/7

21

2/14

pendiente

01527778212

74 : yxxyxyrecta

La que pasa por C y M1:

10

1

5

2/1

05

2/32

pendiente

0151052010510

12: yxxyxyrecta

3.º Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:

25

3

5

9

1501590152701527

0

xxxx

yx

yx

yx

3

5,

3

5GBaricentro

Ejercicio nº 45.- Halla el área del triángulo de vértices:

A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4) Solución

1.º) Tomamos el lado BC como base del triángulo:

40436 BCbase

2.º) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la ecuación de dicha recta:

0123:1233

14

3

1

6

2

60

24

yxrxyxy

pendiente

Por tanto:

10

12

91

1233,

rAdistaltura

3.º) El área del triángulo es:

2u 122

10

1240

2

alturabase

Área

Documents

Geometría analítica Geometria analitica.pdf · b Llamamos P x, y) al simétrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P . Entonces: ' 5,12 5 12 2 2