Geom Euclid

TriunghiulPatrulaterul

Cercul

Geometrie Euclidiana



Cercul

AsemanareRelatii metrice ın triunghi

Triunghiul

Definition

Se considera trei puncte necoliniare A,B ,C . Aceste punctedetermina doua cate doua trei segmente: [AB ], [AC ], [BC ]. Senumeste triunghi figura geometrica obtinuta prin reuniunea[AB ] ∪ [AC ] ∪ [BC ].



Cercul


Elementele triunghiului:

segmentele [AB ], [AC ], [BC ] se numesc laturile triunghiului;

punctele A,B ,C se numesc varfurile triunghiului;

unghiurile ∢BAC ,∢ABC ,∢ACB se numesc unghiuriletriunghiului;

un punct care apartine interiorului fiecarui unghi altriunghiului se spune ca este ın interiorul triunghiului;

un punct se spune ca se gaseste ın exteriorul triunghiului dacanu se gaseste ın interior si nici pe laturile lui.



Cercul


Perimetrul triunghiului

= suma lungimilor laturilor triunghiului

p = AB + BC + AC



Cercul


Clasificarea triunghiurilor:

un triunghi cu toate unghiurile ascutite (masura mai micadecat 90 grade) se numeste triunghi ascutitunghic;

un triunghi cu un unghi drept (cu masura de 90 grade) senumeste triunghi dreptunghic;

un triunghi care are un unghi obtuz (el nu poate avea ınca ununghi obtuz sau drept) se numeste triunghi obtuzunghic;

un triunghi cu laturi de lungimi diferite se numeste triunghioarecare;

un triunghi cu doua laturi congruente (cu aceeasi lungime) senumeste triunghi isoscel; Latura necongruenta a triunghiuluise numeste baza;

un triunghi cu toate laturile congruente se numeste triunghiechilateral.



Cercul


Linii importante in triunghi: fie triunghiul △ABC

Consideram, de exemplu, punctul A′ mijlocul segmentului[BC ] ([BA′] ≡ [A′C ]). Segmentul cu extremitatile A si A′ senumeste mediana corespunzatoare laturii [BC ].Uneori prin mediana se ıntelege dreapta AA′ alteorisemidreapta [AA′. Cand privim mediana ca segment putemvorbi de lungimea medianei.Un triunghi are trei mediane, concurente ın acelasi punctnumit centrul de greutate al triunghiului. Centrul degreutate este un punct interior triunghiului.



Cercul



Daca notam cu A1 punctul de intersectie dintre bisectoareaunghiului ∢BAC cu latura [BC ] vom spune ca [AA1] este obisectoare interioara a triunghiului △ABC . Cand privimbisectoarea ca segment putem vorbi de lungimea bisectoarei.Un triunghi are trei bisectoare interioare, concurente ın acelasipunct iar punctul lor de intersectie este centrul cercului

ınscris ın triunghiul △ABC . Centrul cercului ınscris ıntriunghiul △ABC este un punct interior triunghiului.



Cercul



Daca notam cu A2 intersectia perpendicularei din varful A altriunghiului cu latura [BC ], atunci segmentul de capete A siA2 se numeste ınaltimea din A a triunghiului. Cand privimınaltimea ca segment putem vorbi de lungimea ınaltimii.Un triunghi are trei ınaltimi, concurente ın acelasi punct numitortocentrul triunghiului.Ortocentrul este un punct interior triunghiului daca triunghiuleste ascutit unghic, coincide chiar cu varful unghiului dreptdaca este un triunghi dreptunghic si este un punct exteriortriunghiului daca este un triunghi obtuzunghic.



Cercul



Daca notam cu A′ mijlocul segmentului [BC ] si construim prinA′ dreapta da perpendiculara pe [BC ] obtinem mediatoarea

laturii [BC ].Un triunghi are trei mediatoare, toate trei concurente ınacelasi punct care este centrul cercului circumscris

triunghiului.Punctul de intersectie al mediatoarelor este un punct interiortriunghiului daca triunghiul este ascutit unghic, este un punctsituat pe cea mai mare dintre laturile lui daca triunghiul estedreptunghic si exterior triunghiului daca este un triunghiobtuzunghic.



Cercul


Cazuri de congruenta ın triunghiuri oarecare

Fie △ABC si △A′B ′C ′ doua triunghiuri oarecare.Vom nota congruenta celor doua triunghiuri prin△ABC ≡ △A′B ′C ′

si vom ıntelege sase congruente care au loc ın acelasi timp:

[AB ] ≡ [A′B ′], [BC ] ≡ [B ′C ′], [CA] ≡ [C ′A′];

∢A ≡ ∢A′;∢B ≡ ∢B ′;∢C ≡ ∢C ′.

Pentru a scrie cele sase congruente se tine seama ca: laturile siunghiurile celor doua triunghiuri se corespund ın ordinea data decongruenta celor doua triunghiuri; laturile si unghiurile celor douatriunghiuri congruente, care se corespund, sunt congruente.



Cercul


Cazuri de congruenta pentru doua triunghiuri oarecare

△ABC si △A′B ′C ′

Cazul 1: LUL

[AB ] ≡ [A′B ′],∢B ≡ ∢B ′, [BC ] ≡ [B ′C ′]

Cazul 2: ULU

∢B ≡ ∢B ′, [BC ] ≡ [B ′C ′],∢C ≡ ∢C ′

Cazul 3: LLL

[AB ] ≡ [A′B ′], [BC ] ≡ [B ′C ′], [AC ] ≡ [A′C ′]



Cercul


Cazuri de congruenta pentru doua triunghiuri dreptunghice

△ABC si △A′B ′C ′,m(∢BAC ) = m(∢B ′A′C ′) = 90.

Cazul 1: CC Catete congruente

[AB ] ≡ [A′B ′], [AC ] ≡ [A′C ′]

( provine din cazul LUL)

Cazul 2: CU Cateta si unghiul alaturat ascutit congruente

[AC ] ≡ [A′C ′],∢C ≡ ∢C ′

(provine din cazul ULU)

Cazul 3: IU Ipotenuza si un unghi ascutit congruente

[BC ] ≡ [B ′C ′],∢C ≡ ∢C ′

Cazul 4: IC Ipotenuza si o cateta congruente

[BC ] ≡ [B ′C ′], [AB ] ≡ [A′B ′]



Cercul


Triunghiul isoscel. Constructie. Proprietati

Constructie:

se deseneaza un segment oarecare [BC ] care va fi bazatriunghiului;

cu o deschidere a compasului, mai mare decat jumatatealungimii segmentului [BC ], se traseaza doua arce de cerc,pozitionand compasul cu acul ın B si apoi ın C ;

notam punctele de intersectie ale celor doua arce, de exemplucu A si A′;

triunghiurile formate: △ABC si △A′BC sunt ambele isosceledeoarece [AB ] ≡ [AC ] si [A′B ] ≡ [A′C ] (deschidereacompasului nemodificandu-se)



Cercul



Proprietati:

Daca un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilorcongruente sunt congruente si reciproc: daca un triunghi aredoua unghiuri congruente, atunci laturile opuse unghiurilorcongruente sunt congruente, adica triunghiul este isoscel.

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si ınaltimea corespunzatoare bazei si reciproc:daca un triunghi este isoscel, atunci ınaltimea corespunzatoarebazei este si bisectoarea unghiului de la varf.

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si mediana corespunzatoare bazei si reciproc: dacaun triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzatoare bazeieste si bisectoarea unghiului de la varf.



Cercul



Proprietati:

Daca un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului dela varf este si mediatoarea corespunzatoare bazei.

Daca un triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzatoarebazei este si ınaltimea corespunzatoare bazei.



Cercul


Triunghiul echilateral. Constructie. Proprietati

Constructie:

se deseneaza un segment oarecare [AB ], numit baza atriunghiului;

cu o deschidere a compasului egala cu lungimea segmentului[AB ], se traseaza doua arce de cerc, pozitionand compasul cuacul ın B si apoi ın A;

notam punctele de intersectie ale celor doua arce, de exemplucu C si C ′;

deoarece deschiderea compasului a ramas aceeasi pentrutrasarea celor doua cercuri, adica cercurile au aceeasi raza,rezulta AC = AB (raze ın cercul de centru A) si BA = BC(raze ın cercul de centru B). Astfel AC = AB = BC , ceea ceimplica △ABC echilateral.



Cercul



Proprietati:

Un triunghi este echilateral daca si numai daca unghiurile suntcongruente.

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si medianele laturilor triunghiuluisi reciproc: medianele laturilor triunghiului sunt si bisectoareleunghiurilor.

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si ınaltimile triunghiului sireciproc: ınaltimile triunghiului sunt si bisectoarele unghiurilortriunghiului.



Cercul



Proprietati:

Daca un triunghi este echilateral atunci bisectoareleunghiurilor triunghiului sunt si mediatoarele laturilortriunghiului ce se opun unghiurilor respective.

Daca un triunghi este echilateral atunci medianele laturilortriunghiului sunt si ınaltimile triunghiului.



Cercul


Unghiuri formate de doua drepte cu o secanta

Se dau dreptele distincte a si b intersectate de o a treia dreapta c .Dreapta c se numeste secanta sau transversala.a ∩ c = {M}; b ∩ c = {N}

a

b

c

M

N

12

3

4

56

7 8

Figure: Secanta c



Cercul



Secanta c si dreptele a si b, ın jurul punctelor de intersectie M siN, formeaza opt unghiuri numerotate ın desen cu:∢M1,∢M2,∢M3,∢M4 si ∢N5,∢N6,∢N7,∢N8. (vezi fig. “Secantac”) Aceste unghiuri sunt numite astfel:

unghiuri alterne daca unghiurile se gasesc de o parte si de altaa secantei c ;

unghiuri de aceeasi parte a secantei daca se gasesc de aceeasiparte a secantei c ;

unghiuri interne daca unghiurile se gasesc la intersectiasemiplanelor [aN si [bM;

unghiuri externe daca se gasesc ın afara intersectieisemiplanelor [aN si [bM;



Cercul



Astfel, ın fig.“Secanta c”avem unghiuri:

alterne interne: ∢M3,∢N5 si ∢M4,∢N6;

alterne externe: ∢M1,∢N7 si ∢M2,∢N8;

interne si de aceeasi parte a secantei: ∢M4,∢N5 si ∢M3,∢N6;

externe si de aceeasi parte a secantei: ∢M1,∢N8 si ∢M2,∢N7;

unghiuri corespondente: ∢M1,∢N5 si ∢M2,∢N6 si ∢M3,∢N7

si ∢M4,∢N8.



Cercul


Drepte paralele

Clasificarea dreptelor:

drepte identice sau confundate: doua drepte care au douapuncte comune, deci au toate punctele comune;

drepte concurente daca au un singur punct comun iar acestase va numi punct de intersectie;

Definition

Doua drepte continute ın acelasi plan care nu au niciun punctcomun se numesc drepte paralele.

Notatie pentru drepte paralele: a ‖ b



Cercul


Drepte paralele

Theorem (Teorema de existenta a dreptelor paralele)

Daca doua drepte intersectate cu o secanta formeaza o pereche deunghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

a

b

A

B



Cercul


Drepte paralele

Consecinte ale teoremei de existenta a dreptelor paralele

1. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri alterne externe congruente, atuncidreptele sunt paralele.

2. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri corespondente congruente, atuncidreptele sunt paralele.

3. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri interne si de aceeasi parte a secantei,suplementare, atunci dreptele sunt paralele.



Cercul


Drepte paralele

Consecinte ale teoremei de existenta a dreptelor paralele

4. Daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza opereche de unghiuri externe si de aceeasi parte a secanteisuplementare, atunci dreptele sunt paralele.

5. Doua drepte distincte perpendiculare pe o a treia suntparalele.



Cercul


Drepte paralele

AXIOMA PARALELELOR: Printr-un punct dat, exterior uneidrepte date, exista o singura paralela la dreapta data.

Consecinte ale axiomei paralelelor:

1. Doua drepte paralele cu o a treia sunt paralele ıntre ele.

2. Daca doua drepte sunt paralele, atunci orice dreapta care seintersecteaza cu una din ele se va intersecta si cu cealalta.



Cercul


Drepte paralele

Theorem (Reciproca teoremei de existenta a dreptelor paralele)

Daca sunt date doua drepte paralele, atunci unghiurile alterneinterne pe care acestea le formeaza cu o secanta sunt congruentedoua cate doua.



Cercul


Drepte paralele

Consecinte ale teoremei reciproce a dreptelor paralele

1. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile alterne externe care se formeazasunt congruente doua cate doua.

2. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile corespondente care se formeazasunt congruente doua cate doua.

3. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile interne si de aceeasi parte asecantei care se formeaza sunt suplementare.

4. Daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treiadreapta, atunci unghiurile externe si de aceeasi parte asecantei care se formeaza sunt suplementare.



Cercul


Suma masurilor unghiurilor unui triunghi

Theorem

Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800.

x yA

B C

Figure: Suma unghiurilor unui triunghi



Cercul



Consecinte

1. In triunghiul echilateral masura fiecarui unghi este de 600.

2. Intr-un triunghi dreptunghic ABC (m(∢A = 900) unghiurile Bsi C sunt complementare si ambele sunt unghiuri ascutite.Unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic isoscel aumasura de 450.

3. Intr-un triunghi isoscel, unghiurile de la baza sunt ascutite.

4. Un triunghi isoscel, ın care masura unuia dintre unghiuri estede 600, este triunghi echilateral.



Cercul



Definition

Unghiul care este adiacent si suplementar cu un unghi al unuitriunghi se numeste unghi exterior acelui triunghi.

Definition

Bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numestebisectoare exterioara a triunghiului corespunzatoare unghiuluirespectiv.



Cercul



Propozitie

In triunghiul ABC, bisectoarea interioara a unghiului ABC sibisectoarea exterioara a unghiului ABD sunt perpendiculare.

A

B CD

EF

Figure: Perpendicularitatea bisectoarelor



Cercul


Definition

Raportul a doua segmente=raportul lungimilor lor.

Theorem (Teorema paralelelor echidistante)

Daca mai multe paralele determina pe o secanta segmentecongruente, atunci ele determina pe oricare secanta segmentecongruente

a

b

c

d

A

B

C

C

A

B

C

M

N

P

Figure: Paralele echidistante



Cercul


Asemanare

Theorem (Thales)

O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelaltedoua laturi segmente proportionale.

A

B C

D E

Figure: Thales

Ipoteza: DE ||BC ; Concluzie: ADDB

= AEEC



Cercul


Demonstratia teoremei lui Thales:Caz 1: unul dintre cele doua rapoarte este rational.Caz 2: cazul general.



Cercul


Asemanarea. Cazuri de asemanare

Theorem (Teorema fundamentala a asemanarii)

O paralela la una din laturile unui triunghi formeaza cu celelaltelaturi un alt triunghi care are toate unghiurile respectiv congruentesi toate laturile respectiv proportionale cu ale celui initial

A

B C

PQ

1

12

2

Figure: Teorema asemanarii

Ipoteza: PQ||BC ; Concluzia:∢A ≡ ∢A;∢P1 ≡ ∢B1;∢Q2 ≡ ∢C2;

APAB

= AQAC

= PQBC



Cercul


Asemanarea. Cazuri de asemanare

Definition

Fie A,B ,C trei puncte necoliniare si A′,B ′,C ′ alte trei punctenecoliniare. Spunem ca triunghiurile sunt asemenea si notam△ABC ∼ △A′B ′C ′ daca ∢A ≡ ∢A′;∢B ≡ ∢B ′;∢C ≡ ∢C ′ siA′B′

AB= B′C ′

BC= C ′A′

AC

Cazuri de asemanare:

Caz 1. un unghi congruent si laturile ce-l formeaza proportionale(∢A ≡ ∢A′,

A′B′

AB= C ′A′

AC);

Caz 2. doua unghiuri congruente (∢A ≡ ∢A′,∢B ≡ ∢B ′);

Caz 3. cele trei laturi proportionale (A′B′

AB= B′C ′

BC= C ′A′

AC).



Cercul


Linia mijlocie ıntr-un triunghi

Definition

Intr-un triunghi, segmentul ale carui extremitati sunt mijloacele adoua laturi se numeste linie mijlocie.

Theorem

Linia mijlocie ıntr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia laturasi are ca lungime jumatate din lungimea acesteia.



Cercul


Relatii metrice ın triunghi

Theorem (Pitagora)

Intr-un triunghi dreptunghic △ABC ın care lungimile catetelor sunta si b iar lungimea ipotenuzei c are loc relatia:

c2 = a2 + b2.



Cercul


Geometric, teorema lui Pitagora spune ca aria patratului construitpe ipotenuza este egala cu suma ariilor patratelor construite pecele doua catete ale triunghiului.

a

b

c

A

B

C

Figure: Pitagora



Cercul


Un ε de istorie:

teorema poarta numele filozofului Pythagoras of Samos care atrait ın jurul anilor 500 I.H.;

nu se stie daca a avut o demostratie pentru teorema;

cu multe secole ınainte Babilonienii stiau aceasta teorema;

se cunosc foarte multe demonstratii; una dintre acestea ıiapartine celui de-al 20-lea presedinte al U.S.A, James AbramGarfield (n. 19 noiembrie 1831 d. 19 septembrie 1881).



Cercul


Theorem (Teorema lui Pitagora generalizata)

Daca triunghiul ABC este un triunghi oarecare, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 − 2AB AC cos(∢A)

Se tine cont de: cosinusul unui unghi obtuz este egal cu cosinusulsuplemenului, cu semn schimbat.



Cercul


Theorem (O alta formulare a teoremei lui Pitagora generalizata)

Daca triunghiul ABC este un triunghi oarecare, atunci:

daca unghiul A este ascutit unghic, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 − 2AB AD,

unde AD = ACcos(∢A)

daca unghiul A este obtuz unghic, atunci

BC 2 = AC 2 + AB2 + 2AB AD,

unde AD = −ACcos(∢A)



Cercul


Theorem (Teorema bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioara a unghiului A,D ∈ (BC ). Atunci DB

DC= AB

AC

A

BD C

Figure: Teorema bisectoarei



Cercul


Demonstratie: Se construieste BM||AD,M ∈ AC . Se aplica Thalesın △BCM : DC

DB= AC

AM

Folosind BM||AD si secantele AC si AB se obtin unghiurilecongruente: ∢CAD ≡ ∢CMB ;∢DAB ≡ ∢ABMDeoarece ∢CAD ≡ ∢DAB , se obtine ∢ABM ≡ ∢AMB , adica△BAM este isoscel ([AM] ≡ [AB ]). Se obtine astfel: DC

DB= AC

AB



Cercul


Theorem (Teorema reciproca a bisectoarei interioare)

Fie triunghiul ABC, D ∈ (BC ) asa ıncat DBDC

= ABAC

. Atunci (ADeste bisectoarea interioara a unghiului A.

Demonstratie: Ideea demonstratiei: Se construieste paralelaBM||AD; se aplica Thales ın △BCM. Se demonstreaza ca △AMBeste isoscel.



Cercul


Theorem (Teorema bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC, AB 6= AC. Daca (AE este bisectoareaexterioara a unghiului A, E ∈ BC , atunci EB

EC= AB

AC

A

B CE

M

N

Figure: Teorema bisectoarei exterioare



Cercul


Demonstratie: Construim BN||AE si aplicam Thales ın triunghiulACE : EB

EC= AN

AC

Din BN||AE rezulta: ∢EAB ≡ ∢ABN, ∢BNA ≡ ∢EAM.

Folosim si ∢MAE ≡ ∢EAB si obtinem ∢ABN ≡ ∢ANB .

Rezulta triunghiul ABN isoscel ([AB ] ≡ [AN]), ceea ce implicaEBEC

= ABAC

.



Cercul


Theorem (Reciproca teoremei bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC, AB 6= AC , E ∈ BC astfel ıncat EBEC

= ABAC

.Atunci (AE este bisectoarea exterioara a unghiului A,

Demonstratie: Idee: se cobstruieste BN||AE , se aplica Thales ıntriunghiul AEC si rezulta triunghiul BAN isoscel. Se folosestecongruenta unghiurilor: ∢MAE ≡ ∢ANB si ∢EAB ≡ ∢ABN sirezulta concluzia.



Cercul


Theorem (Teorema lui Stewart-caz particular Teorema medianei)

Se da triunghiul ABC, M ∈ [BC ]. Atunci are loc relatia lui Stewart:

AM2 · BC = AB2 ·MC + AC 2 ·MB − BC · BM ·MC

A

B M C

Figure: Teorema Stewart



Cercul


Demonstratie: Se scrie teorema lui Pitagora generalizata ıntriunghiurile ABM si ABC :

AM2 = BM2 + BA2 − 2AB · BM · cos(∢B)

AC 2 = BC 2 + AB2 − 2AB · BC · cos(∢B)

Prima relatie se ınmulteste cu BC , a doua cu BM si se scad.

Teorema medianei

Daca M este mijlocul laturii BC , atunci din relatia lui Stewart seobtine caracterizarea medianei ın functie de laturile triunghiului:

AM2 =AB2 + AC 2

2−

BC 2

4



Cercul


Theorem (Teorema lui Menelaus)

Fie triunghiul ABC si A′ ∈ BC ,B ′ ∈ AC ,C ′ ∈ AB . Presupunem cadoua dintre aceste puncte sunt situate pe doua laturi aletriunghiului iar al treilea pe prelungirea unei laturi sau ca toatepunctele se afla pe prelungirile laturilor triunghiului. Atuncipunctele A′,B ′,C ′ sunt coliniare daca si numai daca are loc relatia:

A′B

A′C·B ′C

B ′A·C ′A

C ′B= 1

A

BC A

B

C

Figure: Teorema Menelaus



Cercul


Theorem (Teorema lui Ceva)

Fie triunghiul ABC si punctele A′ ∈ BC ,B ′ ∈ AC ,C ′ ∈ AB .

Dreptele AA′,BB ′,CC ′ sunt concurente daca si numai daca

A′B

A′C·B ′C

B ′A·C ′A

C ′B= 1

A

B BA

BC

Figure: Teorema Ceva



Cercul


Theorem (Teorema ınaltimii)

Fie triunghiul ABC. Se construieste AD ⊥ BC , D ∈ [BC ]. Atuncimasura unghiului A este de 900 daca si numai daca

AD2 = BD · DC .

Demonstratie: Idee: se foloseste asemanarea triunghiurilor ADC siADB .



Cercul


Theorem (Teorema catetei)

Fie triunghiul ABC. Se construieste AD ⊥ BC , D ∈ [BC ]. Atuncimasura unghiului A este de 900 daca si numai daca

AB2 = BD · BC

sauAC 2 = DC · BC

Demonstratie: Idee: se foloseste ori asemanarea dintre triunghiurileABC si ABD sau dintre triunghiurile ABC si ADC .



CerculTipuri speciale de patrulatere

Patrulatere

Se dau patru puncte distincte, A,B ,C ,D, considerate ın ordineascrisa ce ındeplinesc urmatoarele conditii:

oricare trei puncte sunt necoliniare;

oricare doua dintre segmentele: [AB ] si [CD] sau [BC ] si [DA]nu au niciun punct interior comun.

Definition

Figura formata din reuniunea [AB ] ∪ [BC ] ∪ [CD] ∪ [DA] careındeplineste conditiile de mai sus este un patrulater si se noteazaABCD.




A

B

C

D

A

B

C

D

Figure: Patrulater

A

B C

D

A

B

C

D

AB

C

D

Figure: Figuri care nu sunt patrulatere




Elementele patrulaterului:

punctele A,B ,C ,D se numesc varfurile patrulaterului;

segmentele [AB ], [CD], [BC ], [DA] se numesc laturilepatrulaterului;

unghiurile ABC ,BCD,CDA,DAB se numesc unghiurilepatrulaterului;

laturile [AB ] si [BC ] (la fel [BC ] si [CD], etc) se numesc laturiconsecutive;

doua laturi care nu sunt consecutive se numesc laturi opuse;

unghiurile ABC si BCD (la fel BCD si CDA, etc) se numescunghiuri consecutive;




Elementele patrulaterului:

segmentele [AC ] si [BD] se numesc diagonalele patrulaterului;

suma lungimilor laturilor patrulaterului se numeste perimetrulpatrulaterului.




Definition

Un patrulater se numeste convex daca oricare ar fi o latura a sa,cele doua varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasiparte a dreptei ın care este inclusa latura respectiva.

Theorem

Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este 3600.

Demonstratie: Se construieste diagonala [AC ] si se obtin douatriunghiuri. Se foloseste faptul ca suma masurilor unghiurilor unuitriunghi este de 1800.

A

B

C

D




Tipuri speciale de patrulatere

Paralelogramul

Dreptunghiul

Rombul

Patratul

Trapezul




Paralelogramul

Definition

Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturileopuse paralele.

A B

CD

Figure: Paralelogram




Proprietati ale paralelogramului

Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua catedoua.Reciproc, daca ıntr-un patrulater convex laturile opuse suntcongruente doua cate doua, atunci patrulaterul esteparalelogram.Reciproc, daca ıntr-un patrulater convex doua laturi opusesunt congruente si paralele, atunci patrulaterul esteparalelogram.




Proprietati ale paralelogramului

Intr-un paralelogram oricare doua unghiuri opuse suntcongruente si oricare doua unghiuri consecutive suntsuplementare.Reciproc, daca ıntr-un patrulater convex unghiurile opuse suntcongruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza una pe altaın parti congruente.Reciproc, daca ıntr-un patrulater convex diagonalele seintersecteaza una pe alta ın parti congruente, atuncipatrulaterul este paralelogram.




Dreptunghiul

Definition

Se numeste dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept.

Proprietati ale dreptunghiului

Toate proprietatile paralelogramului sunt adevarate si pentrudreptunghi.

In plus, pentru ca dreptunghiul este un paralelogram particular (areun unghi drept), mai are si alte proprietati caracteristice numai lui.




Proprietati ale dreptunghiului

Un patrulater convex este dreptunghi daca si numai daca aretoate unghiurile congruente si deci toate sunt drepte.

Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.Reciproc, daca diagonalele unui paralelogram sunt congruente,atunci paralelogramul este dreptunghi.




Rombul

Definition

Se numeste romb un paralelogram care are doua laturi consecutivecongruente.

A

B C

D

Figure: Romb

AB ||CD;AD||BC , [AB ] ≡ [BC ].BD- diagonala mare; AC - diagonala mica.




Proprietatile rombului

Rombul fiind un paralelogram, proprietatile paralelogramului(teoremele directe) sunt adevarate si ın cazul rombului. Acesteasunt:

laturile opuse sunt congruente;

unghiurile opuse sunt congruente;

doua unghiuri consecutive sunt suplementare;

diagonalele au acelasi mijloc.

Deoarece este un paralelogram particular are si proprietati caresunt specifice numai rombului:




Proprietatile rombului

Un patrulater convex este romb daca si numai daca toatelaturile sunt congruente;

Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare ıntre ele si suntbisectoarele unghiurilor lui.

Daca un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunciel este romb.

Daca ıntr-un paralelogram o diagonala este bisectoarea unuiunghi, atunci paralelogramul este romb.




Patratul

Definition

Se numeste patrat un dreptunghi care are doua laturi consecutivecongruente.

Proprietatile patratului

Patratul, fiind dreptunghi si romb, are toate proprietatiledreptunghiului si toate proprietatile rombului (teoremele directe).




Proprietatile patratului

toate laturile sunt congruente;

toate unghiurile sunt congruente ceea ce implica, toateunghiurile sunt drepte;

diagonalele au acelasi mijloc;

diagonalele sunt congruente;

diagonalele sunt perpendiculare ıntre ele;

diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Patratul admite patru axe de simetrie si anume: doua suntmediatoarele laturilor lui si doua sunt dreptele care includdiagonalele lui.




Trapezul

Definition

Se numeste trapez un patrulater care are doua laturi paralele sicelelalte doua laturi neparalele.

A

B C

Dbaza mica

baza mareE

inaltime

Figure: Trapez




Cazuri particulare de trapez

trapez dreptunghic = trapez cu una dintre laturile neparaleleperpendiculara pe baze;

trapez isoscel = trapez cu laturile neparalele congruente.

trapez dreptunghic trapez isoscel

Figure: Trapez




Proprietati ale trapezului isoscel

Un trapez este isoscel daca si numai daca unghiurile alaturateunei baze sunt congruente.

Un trapez este isoscel daca si numai daca diagonalele suntcongruente.




Linia mijlocie ıntr-un trapez

Definition

Segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale unuitrapez se numeste linia mijlocie a trapezului.

Theorem

Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele si are ca lungimejumatate din suma lungimilor bazelor.



Cercul

Unghiuri ın cercPatrulater ınscris si circumscrisPuterea unui punct fata de un cerc

Cercul

Definition

Se numeste cerc multimea punctelor din plan egal departate de unpunct fixat O numit centrul cercului. Distanta egala fata decentrul cercului se numeste raza.

O-punct fix;Notatie: C(O, r);∀M ∈ C(O, r), d(O,M) = r ; r -raza cercului.

M

O

r

Figure: Cerc



Cercul


Definition

Doua cercuri sunt congruente daca razele sunt egale.

Theorem

Daca trei puncte sunt necoliniare, atunci ele determina un cerc sinumai unul.



Cercul


Definition

Coarda este segmentul cu capetele ın doua puncte ale cercului.Coarda care contine centrul cercului se numeste diametru.

O

A

B

coarda

diametru

Figure: Cerc



Cercul


Theorem

Lungimea unei coarde care nu contine centrul cercului este maimica decat dublul razei.Intr-un cerc diametrul este cea mai mare dintre coarde.

AB

O

C

Figure: Cerc

△AOB ,OA = OB = r ,OC = r ,AB < OA+ OB = 2r ,AB < AC .



Cercul


Unghiuri ın cerc

Definition

Unghi la centru = unghi cu varful ın centrul cercului.

Figure: Unghi la centru



Cercul


Definition

Fie A,B ∈ C(O, r). Se numeste arcul mic AB intersectiaC(O, r) ∩ Intr(∢AOB) ∪ {A,B}. Se numeste arcul mare AXB ,intersectia C(O, r) ∩ Ext(∢AOB) ∪ {A,B}.

A

B

O

arc mic

arc mare

X

Figure: Arc de cerc

Masura arcului mic AB = masura (∢AOB);Masura arcului mare AXB = 3600-masura (∢AOB)



Cercul


Definition

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc sau facand parte dincercuri congruente se numesc arce congruente daca au aceeasimasura.

Theorem

In acelasi cerc sau ın cercuri congruente, la arce congruentecorespund coarde congruente si reciproc, la coarde congruentecorespund arce congruente.

O

A

BC

D

Figure: Arce congruente ≈ coarde congruente



Cercul


Theorem

Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coarda a aceluias cerc oınjumatateste.Daca un diametru este perpendicular pe o coarda a aceluias cercatunci el determina, pe fiecare din arcele subıntinse de coarda, arcecongruente.

O

A

B



Cercul


Theorem

In acelas cerc sau ın cercuri congruente, daca doua coarde suntcongruente atunci ele sunt egal departate de centru si reciproc.Toate punctele unei coarde sunt, fata de centru, la distante maimici decat raza cercului.

A

B

C

D

O



Cercul


Unghi ınscris ın cerc= unghi cu varful pe cerc si laturile douacoarde ın cerc.

A

B

C

O

A

B

O

C

A

B

O

C



Cercul


Theorem

Masura unui unghi cu varful pe cerc care are una dintre laturisecanta iar cealalta tangenta este jumatate din masura arcului decerc cuprins ıntre laturile sale.

S

T

OPQ

A

Demonstratie: △AOT isoscel, OQ ⊥ AT , OQ ∩ C(O, r) = {P},

m(∢POT ) = m(∢POA) = m(∢TOA)2 = 1

2 masura arcului TPA.Unghiurile POT si STO au laturile perpendiculare, deci suntcongruente. Rezulta m(∢STO) = 1

2 masura arcului TPA.



Cercul


Theorem

Masura unui unghi ınscris ın cerc este jumatate din masura arculuide cerc cuprins ıntre laturile sale.

S

P

A

B

O

Demonstratie: Se construieste tangenta ın P la cerc si:m(∢APB) = m(∢SPB)−m(∢SPA) = 1

2 masura arc PAB- 12

masura arc AB .



Cercul


Definition

Un unghi cu varful ın interiorul cercului este un unghi al carui varfeste un punct ın interiorul cercului altul decat centrul cercului.

Theorem

Masura unui unghi cu varful ın interiorul cercului este egala cusemisuma masurilor arcelor cuprinse ıntre laturile unghiului siprelungirile lor.

A

B

C

D



Cercul


Definition

Un unghi al carui varf se afla ıntr-un punct exterior cercului iarlaturile lui sunt secante sau tangente se numeste unghi cu varful ınexteriorul cercului.

B

A

M

C

D



Cercul


Theorem

Masura unui unghi cu varful ın exteriorul cercului este egala cumodulul semidiferentei arcelor de cerc cuprinse ıntre laturileunghiului.m(∢BMD) = 1

2 (masura arc BD - masura arc AC)

Demonstratie:Caz 1. ambele laturi ale unghiului sunt secanteCaz 2. o latura este secanta si una tangentaCaz 3. laturile sunt tangente.

OO O

B

M

D

A

C X

A

M

A

P

B

E

C

C

B



Cercul


Pozitii relative ale unei drepte fata de un cerc

O dreapta poate avea cu un cerc:

doua puncte comune si atunci dreapta se numeste secanta;

un singur punct comun si atunci dreapta se numeste tangenta;

niciun punct comun si atunci dreapta se numeste exterioaracercului.

Theorem

Tangenta la un cerc este perpendiculara pe raza ın punctul decontact. Reciproc, daca T este un punct al unui cerc dat de centruO si ST tangenta sa ın punctul T , atunci raza OT esteperpendiculara pe aceasta tangenta.



Cercul


Proprietati ale tangentei

Dintr-un punct exterior A al unui cerc de centru O se potduce doua tangente la acest cerc si numai doua, fie acesteanotate [AT ] si [AT ′].

[AT ] ≡ [AT ′].

[OA] bisectoarea unghiului ∢TAT ′.



Cercul


Patrulater ınscris si circumscris

Definition

Un patrulater se numeste ınscris ın cerc daca varfurile sale apartincercului.Un patrulater se numeste circumscris unui cerc daca laturile salesunt tangente la cerc.

Patrulaterul ınscris ın cerc este patrulater convex.



Cercul


Theorem

Daca un patrulater convex este ınscris ın cerc atunci diagonalelesale formeaza cu doua laturi opuse, unghiuri congruente.

A

B

CD

Theorem

Un patrulater convex ınscris ıntr-un cerc are unghiurile opusesuplementare.



Cercul


Definition

Un patrulater se numeste inscriptibil daca toate varfurile sale segasesc pe cerc.

Theorem

(Reciproc) Un patrulater ın care unghiurile formate de diagonale cudoua laturi opuse ale lui sunt congruente este un patrulaterinscriptibil.

Lungimea cercului de raza r este L = 2πr .Aria cercului de raza r este A = πr2.



Cercul


Definition

Se numeste sector de cerc o portiune din interiorul unui cerccuprinsa ıntre doua raze ale sale.

Aria unui sector de cerc cu raza r ce corespunde unui arc cumasura u0 este S = πr2u0

3600.

u

O



Cercul


Definition

Se numeste segment circular o portiune din interiorul unui cerccuprinsa ıntre un arc de cerc si coarda care subıntinde acel arc decerc.

u

O



Cercul


Puterea unui punct fata de un cerc

Theorem

Daca dintr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem osecanta ce taie cercul ın A,B , atunci produsul MA ·MB esteaceeasi pentru toate secantele ce trec prin M.

Demonstratie:Cazul 1: M este ın interiorul cercului.Cazul 2: M este ın exteriorul cercului.

Cazul 1 Cazul 2

D

B

X

C

A

M

MA B

D

C

X



Cercul


Ambele cazuri rezulta din asemanarea triunghiurilor: MAC si MBD

Definition

Fie M un punct si C(O, r) un cerc.

1. Daca M este ın exteriorul cercului, numim puterea lui M fatade cerc valoarea MA ·MB , unde A si B sunt intersectiile uneidrepte oarecare ce trece prin M cu cercul, luata cu semnulplus.

2. Daca M este pe cerc, spunem ca puterea lui M fata de cerceste zero.

3. Daca M este ın interiorul cercului, numim puterea lui M fatade cerc valoarea MA ·MB , unde A si B sunt intersectiile uneidrepte oarecare ce trece prin M cu cercul, luata cu semnulminus.



Cercul



Documents

Geom Euclid