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Curso de Especialização para Professores do
Ensino Médio de Matemática
Matem@tica na Pr@tica
Tópicos sobre
Funções Trigonométricas
Paulo Antonio Silvani Caetano
2
Seja bem-vindo a esta última etapa da disciplina de Funções Elementares do
Matem@tica na Pr@tica, em que vamos utilizar um software de geometria
dinâmica para trabalhar com gráficos de funções.
Para começar, pense nas seguintes questões:
Você se preocupa com a visualização de gráficos ou objetos
geométricos em suas aulas?
Usa giz colorido, régua, compasso, barbantes ou qualquer outro recurso
no dia a dia de sua sala de aula?
Você já usou o computador para construir gráficos ou objetos
geométricos?
Conhece algum software de geometria dinâmica?
Você conseguiria elaborar uma atividade com esse software que
auxiliasse o aluno na compreensão de um determinado conceito?
3
1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. Mas como?
Pensar em uma aula de Matemática no Ensino
Médio geralmente nos leva a imaginar uma sala
com carteiras enfileiradas, de frente a uma
grande mesa do professor, que se encontra em
pé escrevendo fórmulas no quadro negro.
Enquanto isso, os alunos o observam atentos,
tentando copiar tudo em seus cadernos, numa
velocidade que lhes permita acompanhar o
raciocínio do professor.
Essa cena tradicional aos poucos tem dado lugar
a uma nova imagem nas salas de aula de
Matemática, principalmente por conta do uso de
materiais concretos e de novas ferramentas
tecnológicas.
Mas que ferramentas são essas? Como e
quando utilizá-las?
Estas são perguntas frequentes de muitos
professores. Talvez por isso muitos ainda não
lancem mão desses recursos em suas aulas.
Nesta etapa da disciplina de Funções
Elementares, vamos apresentar a construção de
uma dessas ferramentas, com todos os detalhes
necessários para que você se sinta um artesão
dessa nova tecnologia, com segurança para usá-
la em suas aulas.
Fonte: www.flickr.com/photos/buson/3990571036 - Foto: Izaias Buson (Lousa)
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/990536 - Foto: Sigurd Decroos (ilustração da sala de aula)
Fonte: www.flickr.com/photos/ewout/2821470868 - Foto: Ewout (Sala de aula digital)
Fonte: www.sxc.hu/photo/286892 - Foto: Rajesh Sundaram (preocupado)
http://www.sxc.hu/photo/1238452 - Foto: Chris Baker
4
Vamos agora entrar no mundo do ensino informatizado da Matemática. E,
então, está animado?
2. GeoGebra, um programa de matemática dinâmica
O GeoGebra (o nome é uma mistura de GEOmetria e
álGEBRA) é um programa de computador que reúne
ferramentas de aritmética, geometria, álgebra e cálculo
num mesmo programa, para uso em todos os níveis
educacionais. Ele apresenta a Matemática de forma
dinâmica através da manipulação simultânea de objetos geométricos e de suas
respectivas equações algébricas. Do ponto de vista da geometria, permite
trabalhar com os objetos a partir de pontos, segmentos, retas, circunferências,
curvas e gráficos de funções. Do ponto de vista da álgebra, permite trabalhar
com os objetos a partir de suas equações e coordenadas. No GeoGebra, cada
expressão em sua janela algébrica corresponde a um objeto em sua janela
geométrica e vice-versa. Essa cumplicidade entre geometria e álgebra faz do
GeoGebra um ótimo recurso para realizar variadas atividades de Matemática
na escola. Você já teve contato com este programa? Isso está parecendo muito
confuso? Calma! Vamos aos poucos conhecer melhor o GeoGebra…
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GeoGebra_icon_geogebra.gif
Saiba Mais
O programa GeoGebra foi Idealizado em 2001, pelo jovem austríaco Markus
Hohenwarter, baseado no princípio de software livre, que permite a sua
instalação e uso sem fins lucrativos. Este princípio também garante o seu
desenvolvimento e atualização permanente, sem custos, através de uma
comunidade virtual mundial, que está sempre enriquecendo e melhorando o
GeoGebra.
Fim do Saiba Mais
E, então, que tal experimentar o GeoGebra? Mãos à obra?
Vamos começar instalando este programa em seu computador...
5
Atividade 1 – Instalando o GeoGebra
Instale a versão mais recente do GeoGebra em seu
computador a partir do sítio oficial www.geogebra.org,
seguindo os passos a seguir. Se você nunca instalou um
programa em seu computador ou sentir dificuldades durante a
instalação, peça ajuda a alguém com mais experiência neste
tipo de tarefa.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/763632 - Foto: Josep Altarriba
1. Após acessar o endereço www.geogebra.org, escolha a opção para
exibição da página na Língua Portuguesa.
2. Escolha a opção Download no topo da página.
6
3. Escolha a opção Instalações na parte superior direita da página, para ter
acesso aos programas instaladores do GeoGebra.
4. Escolha e salve o arquivo de instalação correspondente ao sistema
operacional de seu computador.
5. Execute o arquivo de instalação salvo em seu computador.
Fim da Atividade 1
7
Após finalizar a instalação, o ícone de acesso rápido ao GeoGebra fica
disponível na área de trabalho de seu computador. Ao clicar neste ícone, o
programa é iniciado com a seguinte janela padrão:
Figura 1: Janela padrão do GeoGebra
Observe, na parte superior da janela padrão, a barra de menu geral (Arquivo,
Editar, Exibir, Opções, ...) seguida da barra de menu de construções
geométricas.
Na parte inferior, vemos um campo para digitação de fórmulas seguido de
itens de seleção para escolha de operações matemáticas, letras gregas e
comandos específicos do GeoGebra.
Na parte central da janela padrão do GeoGebra, vemos ainda, à direita, uma
grande janela de geometria com um sistema de coordenadas; à esquerda
vemos uma janela de álgebra para armazenamento de objetos construídos.
8
Figura 2: Janela padrão do GeoGebra e seus componentes
Início do Saiba Mais
Além do GeoGebra, existem muitos outros
softwares de geometria dinâmica que
podem ser usados em aulas de
Matemática, como o Cabri-Géomètre
(www.cabri.com.br), Calques 3D
(www.uff.br/calques3d) e Régua e
Compasso (www.professores.uff.br/hjbortol/car). Alguns são mais conhecidos
e utilizados, outros nem tanto. Na verdade, não existe um software padrão que
seja considerado o mais adequado para uso em sala de aula. Escolhemos o
GeoGebra por ele ter sido idealizado tanto para uso no Ensino Médio, quanto
para uso no Ensino Superior. Mas fique à vontade para conhecer melhor
outros softwares!
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/987822 - Foto: Jay Lopez
Fim do Saiba Mais
Agora que você já foi apresentado ao GeoGebra, podemos iniciar os
trabalhos...
Barra de menu geral e barra de menu de construções geométricas
Entrada para expressões algébricas
Janela de
álgebra
Janela de
geometria
9
Você irá construir vários gráficos e utilizar o dinamismo do GeoGebra para
visualizar o efeito da mudança de parâmetros nesses gráficos.
Caso você seja uma pessoa com
dificuldades na manipulação de
programas computacionais, fique
tranquilo. As construções no GeoGebra
serão explicadas passo a passo, nos
mínimos detalhes, com imagens de tudo
o que está acontecendo, para facilitar
seu estudo ao máximo.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1260785 - Foto: Jakub Krechowicz
É muito importante que você faça as construções. Por isso, este material deve
ser estudado ao lado do seu computador, com o GeoGebra na tela, para que
você possa ler, fazer e verificar cada passo das construções solicitadas.
Vamos começar?
10
2. A dança dos gráficos
Você gosta de dançar? Que tal
convidarmos os gráficos das funções
elementares para uma dança no
GeoGebra. Você sabia que os
gráficos podem dançar? Pelo menos
no GeoGebra eles podem... Como
assim?
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1100360 - Foto: Samir Admane
Vamos construir gráficos de funções elementares introduzindo os parâmetros
a , b , c e visualizar a dança desses gráficos provocada pela mudança de
valores nos parâmetros. Vamos perceber como os parâmetros conduzem o
gráfico nesta dança, cada um com seus passos característicos. Fizemos algo
parecido na sequência didática que apresentamos para estudo das funções
quadráticas na Etapa 2 desta disciplina, lembra? Porém, desta vez, vamos
perceber no computador as mudanças provocadas pelos parâmetros sobre
gráficos de funções elementares. No computador, perceberemos estas
mudanças muito mais rapidamente, como em uma dança...
Mas, para isso, precisamos inicialmente aprender como construir um
parâmetro no Geogebra, não é mesmo?
Verbete
Parâmetro é todo elemento de um problema cuja alteração de valor modifica a
solução sem modificar a natureza do problema. Por exemplo, uma função
quadrática tem a forma geral 2( )f x ax bx c , onde os parâmetros são a , b
e c com 0a . Os gráficos das funções quadráticas são parábolas, e a
alteração de valores dos parâmetros muda o aspecto gráfico dessas
parábolas.
Fim do Verbete
11
Os parâmetros serão construídos à parte, porque o nosso interesse é que eles
possam ser alterados depois.
Utilizaremos o comando Seletor do GeoGebra, que permite a introdução e
seleção de valores para um parâmetro, como em uma barra de rolagem. Para
habilitar o comando Seletor, basta clicar sobre o ícone na barra de menu
do GeoGebra, que fica na parte superior da tela, como mostramos
anteriormente.
Figura 3: Ícone Seletor na barra de menu do Geogebra
Ao clicar neste ícone, a barra de menu irá mudar e aparecerá a seguinte
Figura:
Figura 4: Barra de menu do GeoGebra com a função Seletor habilitada
Observe que o entorno do ícone selecionado fica evidenciado em azul e é
exibida uma mensagem sobre a utilização do comando habilitado. No caso do
comando Seletor, a mensagem exibida é: Clique na área de trabalho para
especificar a posição do seletor. Isso permitirá que você finalmente crie um
parâmetro com a possibilidade de modificar seus valores na área de trabalho!
E aí? Já conseguiu chegar até aqui? Depois que você já tiver habilitado a
função Seletor na barra de
menu do GeoGebra, clique na área
de trabalho (janela com o sistema
de coordenadas) próxima do canto
superior esquerdo, para criar um
seletor neste canto da janela.
12
Irá, então, aparecer a janela de formatação de seletores, mostrada a seguir.
Nesta janela, é possível definir o nome do parâmetro, bem como se o mesmo
é um número ou um ângulo; na aba Intervalo, é possível definir seu valor
mínimo, máximo e incremento de variação, isto é, de quanto em quanto o valor
do seletor irá mudar; na aba Seletor, é possível fixar sua posição na janela de
visualização, definir seu tamanho, bem como sua disposição horizontal ou
vertical; na aba Animação, é possível definir a velocidade e a forma
(crescente, decrescente ou oscilante) de sua variação em uma animação.
Figura 5: Janela de criação do seletor do GeoGebra
Não estamos interessados em analisar todas as potencialidades do
GeoGebra, deixando esta tarefa a cargo da sua curiosidade. No momento,
queremos apenas verificar como o Seletor, ou o parâmetro, influencia uma
função. Por isso, vamos finalizar a construção do seletor clicando no botão
Aplicar, sem nos preocuparmos com a sua formatação.
Observe na Figura 6 que os seletores são considerados objetos livres do
GeoGebra. Isto significa que o valor do seletor não depende de nenhum outro
valor ou objeto criado no aplicativo em construção.
13
Figura 6: Janela do GeoGebra após a construção do primeiro seletor
Para alterar o valor de um seletor, basta habilitar o comando Mover no ícone
mais à esquerda da barra de menu e arrastar, via mouse, a “bolinha” do
seletor ao longo de seu segmento de variação. Viu o ícone e a “bolinha” na
figura acima? E na tela de seu computador?
Altere o valor do seletor criado. Conseguiu? Veja que ele só assume valores
dentro do intervalo de sua definição. Para continuar a construção, coloque o
valor do seletor em 1a , como inicialmente.
Vamos agora construir mais dois seletores. Habilite novamente a função
seletor na barra de menu do GeoGebra, clique na área de trabalho logo
abaixo do último seletor construído e finalize a construção no botão Aplicar,
sem se preocupar com a formatação dos seletores. Você deverá ver três
seletores na tela do seu computador, como na figura a seguir.
14
Figura 7: Janela do GeoGebra após a construção dos seletores
Se necessário, podemos reposicionar os seletores na janela geométrica via
arrasto de mouse. Para isso, habilite o comando Mover no ícone da barra
de menu e arraste o segmento do seletor para movimentá-lo. Muita atenção
nesta hora, pois você deve arrastar o segmento de reta do seletor e não sua
“bolinha”. Com o comando Mover habilitado, se você arrastar a “bolinha” do
seletor, o valor do seletor é alterado e se você arrastar o segmento do seletor,
então sua posição na janela é alterada.
Tendo criado os seletores, vamos criar o gráfico de uma função tendo estes
seletores como parâmetros. Assim, iremos estudar como os valores destes
seletores irão influenciar a forma deste gráfico. Vamos construir o gráfico da
função ( ) cosf x a b x c . Para isso, basta digitar no campo de entrada, lá na
parte inferior da janela do GeoGebra, a expressão algébrica dessa função,
conforme ilustrado a seguir.
15
Figura 8: Expressão ( ) cosf x a b x c digitada no campo de entrada
Note que, após introduzir a expressão, o gráfico é perfeitamente esboçado no
sistema de coordenadas.
Figura 9: Gráfico da função ( ) cosf x a b x c
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Experimente alterar os valores dos parâmetros a , b e c habilitando o
comando Mover no ícone e arrastando as “bolinhas” dos seletores.
Perceba como a alteração dos parâmetros conduz o gráfico da função para
uma majestosa dança e como cada parâmetro possui passos bem
característicos. Divertido e bonito, não é mesmo?
Atividade 2 – Bailando com as funções elementares
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1155010 - Moi Cody
Vamos bailar com as funções elementares? Digite cada
uma das expressões abaixo no campo de entrada do
GeoGebra e altere os parâmetros a , b e c para visualizar
a dança dos gráficos dessas. Preste atenção na forma como essas funções
devem ser escritas no campo de entrada, conforme ilustramos nas imagens a
seguir. Perceba o que acontece em cada função quando os parâmetros
assumem valores positivos, nulos ou negativos. Não se esqueça de salvar
arquivos GeoGebra para cada uma das funções elementares da atividade, pois
esses arquivos deverão ser postados no ambiente virtual do Matem@tica na
Pr@tica para avaliação. Dê nome aos arquivos, de forma a identificar qual é a
função elementar em questão (por exemplo: cosseno.ggb. quadratica.ggb,
raiz.ggb, seno.ggb, exponencial.ggb, tangente.ggb, logaritmo.ggb).
2( )f x a x b x c
( )f x a b x c
( ) sen( )f x a b x c
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( ) eb xf x a c
( ) tg( )f x a b x c
( ) ln( )f x a b x c
Resposta Comentada
Esta atividade será avaliada no ambiente virtual. Você deve salvar arquivos
GeoGebra para cada uma das funções elementares da atividade e enviar
esses arquivos em tarefa específica do ambiente virtual.
Fim da Resposta Comentada
Fim da Atividade 2
Esperamos que você tenha apreciado a atividade anterior e tenha conseguido
perceber como os parâmetros influenciam os gráficos de diferentes funções.
Atividades como essas podem ser realizadas em escolas que possuem
laboratório de informática, sendo muito interessantes para os estudantes
perceberem e entenderem o significado matemático dos parâmetros das
funções elementares.
18
Janela pedagógica – O uso da informática na escola.
O uso do laboratório de informática da
escola ou de computadores na sala de aula
é bastante atrativo para os estudantes.
Porém, uma aula com o auxílio da
informática necessita de um cuidado maior
em seu planejamento. O professor precisa
ter domínio dos recursos computacionais
que serão utilizados e planejar bem como os estudantes irão trabalhar no
computador. O computador pode servir para muitas coisas, inclusive para tirar
a concentração do estudante na análise e no aprendizado do conteúdo que se
quer trabalhar. Uma dica interessante é realizar avaliações frequentes ao longo
da aula, solicitando a realização de alguma atividade após cada etapa do
trabalho que está sendo feito. Isso aumenta a probabilidade da aula ser
produtiva e de todos aprenderem mais.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/311477 - Foto: Charis Tsevis
Fim da Janela pedagógica
Na próxima seção, vamos construir um aplicativo no GeoGebra um pouco mais
elaborado do que um simples gráfico com parâmetros. Vamos literalmente
desenrolar arcos em uma circunferência de raio unitário para obter o gráfico do
seno. Preparado para este desafio?
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1258336 - Foto: Jon Fletcher
19
3. Desenrolando o seno
Vamos começar esta seção com uma pergunta para você refletir:
Será que seus estudantes sabem trabalhar com ângulos em graus e em
radianos?
Faça o seguinte teste em sua sala de aula. Peça para a classe abrir os braços
formando um ângulo de 90º. Provavelmente a grande maioria irá abrir os
braços corretamente. O mesmo deverá ocorrer para 180º, 60º e 120º. Peça
agora para eles abrirem os braços formando um ângulo de 1 radiano. Será que
eles possuem a noção de quanto é essa abertura?
Pois bem, vamos ver como o GeoGebra pode ajudar você e seus estudantes
nessa questão. Vamos construir um aplicativo que permite relacionar graus
com radianos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para traçar o
gráfico do seno, como ilustrado a seguir.
Figura 10: Aplicativo Desenrolando arcos para traçar o gráfico do seno.
20
Imagine você, em sua sala de aula, movimentando o ponto P no aplicativo da
Figura 10 e observando, em movimento contínuo, a sequência de imagens a
seguir:
Imagine seus alunos observando o desenrolar do arco de circunferência no
eixo horizontal juntamente com o traçado do gráfico do seno. Quantos
aspectos interessantes sobre a trigonometria poderiam ser abordados na
visualização desse movimento, não acha?
Então, vamos aprender a construir o aplicativo da Figura 10?
21
Durante o processo, precisaremos construir e formatar doze objetos:
1. ponto (0,0)O : origem do sistema de coordenadas;
2. ponto ( 1,0)C : centro da circunferência de raio unitário;
3. circunferência 2 2: ( 1) 1c x y : centrada em C com raio unitário;
4. ponto P : ponto qualquer na circunferência c ;
5. ângulo a OCP
: ângulo com vértice em C enxergando o arco no
sentido anti-horário com origem O e extremidade em P ;
6. arco cc : arco no sentido anti-horário com origem P e extremidade em
O ;
7. ponto ( ,0)X a : ponto do eixo horizontal com distância à origem igual
ao comprimento do arco enxergado pelo ângulo a OCP
;
8. segmento s : com extremidades O e X ;
9. reta h : reta paralela ao eixo horizontal passando por P ;
10. reta v : reta perpendicular ao eixo horizontal passando por P ;
11. vetor u : vetor no eixo vertical com origem em O e extremidade
determinada pela ordenada de P ;
12. gráfico da função seno desde O até X .
Faremos a construção passo a passo, em 26
passos. Assim você pode indicar exatamente
o passo em que encontrou dificuldade, caso
necessite de ajuda.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/974922 - Foto: Zsuzsanna Kilián
Passo 1.1. Inicialize o GeoGebra clicando no ícone de acesso rápido
disponível na área de trabalho de seu computador. Este ícone ficou disponível
depois que você instalou o programa na Atividade 1, certo?
22
Passo 1.2. Antes mesmo de começar a montar o
aplicativo, salve-o na opção Gravar, disponível no
menu de Arquivo da barra de menu. Escolha um
nome de sua preferência; nós escolhemos o
nome desenrolando para este aplicativo.
Passo 1.3. Construa o ponto )0,0(O , via campo de entrada, digitando:
O = (0,0).
Atenção
Cuidado para não digitar “0” (zero) em vez da letra “O” para o nome do
ponto!
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos
Fim do Atenção
Passo 1.4. Clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto , na pasta de Objetos
Livres, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto. Nessa janela,
clique na opção , (a última opção)
para habilitar a janela de alteração das
propriedades do ponto.
Irá aparecer uma tela semelhante a
esta imagem ao lado. Viu? Nesta
janela de alteração das propriedades
do ponto O , você deve fixar o ponto,
habilitando a opção , e
finalizar a formatação desse ponto
no botão , como indicam as marcações em vermelho na imagem.
23
Após a realização desse passo, a sua área de trabalho no GeoGebra deverá
estar idêntica à da Figura 11 a seguir:
Figura 11: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.4
Passo 1.5. Construa o ponto )0,1(C , via campo de entrada, digitando:
C=(-1,0)
Passo 1.6. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto
na pasta de Objetos Livres, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto. Nessa janela clique na opção ,
para habilitar a janela de alteração das propriedades do ponto, da mesma
forma que foi feito para o ponto O . Procedendo como anteriormente, na janela
de alteração das propriedades do ponto C você deve fixar o ponto, habilitando
a opção , e finalizar a formatação desse ponto no botão .
Repare que na área de trabalho aparecem agora os pontos C e O .
24
Figura 12: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.6
Passo 1.7. Construa a circunferência c centrada no ponto C com raio unitário,
via campo de entrada, digitando c = círculo[C,1]
Atenção
Para funcionar, “C,1” deve ser digitado entre colchetes.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos
Fim do Atenção
25
Passo 1.8. Clique com o botão direito do
mouse sobre a circunferência
na pasta de Objetos
Dependentes, para habilitar a janela com
as propriedades básicas desse objeto.
Nessa janela, clique na opção
, para habilitar a janela de alteração das
propriedades da circunferência.
Na janela de alteração das propriedades da
circunferência c, na aba Básico, desabilite a
opção Exibir Rótulo, clicando no quadradinho
ao lado desta opção
para desfazer a marcação desse quadrinho.
Na aba Estilo, movimente o seletor da
Espessura da Linha para a posição 3
; escolha o Estilo da Linha
como pontilhado ; finalize
a formatação da circunferência no botão
.
Após fechar a formatação, aparecerá uma tela como esta a seguir. Observe a
circunferência que acabamos de criar!
26
Figura 13: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.8
Passo 1.9. Construa um ponto P na circunferência c , via campo de entrada,
digitando P=ponto[c].
Atenção, também “c” deve ser digitado entre colchetes.
Passo 1.10. Clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto na pasta de Objetos
Dependentes, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto. Nessa janela,
clique na opção , para habilitar a
janela de alteração das propriedades do ponto.
27
Na janela de alteração das propriedades do
ponto P , na aba Cor, escolha a cor
vermelha para o ponto
e finalize a
formatação do ponto no botão .
Experimente habilitar o comando Mover no ícone e movimentar o ponto
vermelho P via arrasto de mouse. Note que o ponto se movimenta sobre a
circunferência c . Para continuar, posicione o ponto P como na Figura a seguir.
Figura 14: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.10
Passo 1.11. Construa o ângulo a OCP
, via campo de entrada, digitando:
a = ângulo[O,C,P]
Atenção, “O,C,P” também deve ser digitado entre colchetes.
28
Passo 1.12. Clique, com o botão direito do mouse,
sobre o ângulo na pasta de Objetos
Dependentes, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto (não se
preocupe se o valor para o ângulo que apareceu no
seu computador é diferente deste que mostramos).
Nessa janela, clique na opção , para
habilitar a janela de alteração das propriedades do ângulo.
Na janela de alteração das propriedades do
ângulo a , na aba Básico, escolha em
Exibir Rótulo: a opção Valor
e finalize a
formatação do ângulo no botão .
Agora deve aparecer uma janela como a que está mostrada a seguir:
Figura 15: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.12
29
Passo 1.13. Construa o arco cc , desde P até O no sentido anti-horário, via
campo de entrada digitando cc=arco[c,P,O]
Atenção, “c,P,O” deve ser digitado entre colchetes e não se esqueça de que
você deve digitar a letra O e não o número zero.
Passo 1.14. Clique, com o botão direito do
mouse, sobre o arco na pasta de
Objetos Dependentes, para habilitar a janela com
as propriedades básicas desse objeto (não se
preocupe se o seu valor para o arco for diferente
do que colocamos aqui como exemplo). Nessa
janela, clique na opção , para
habilitar a janela de alteração das propriedades
do arco.
Na janela de alteração das propriedades
do arco cc , na aba Básico, desabilite a
opção Exibir Rótulo: clicando no
quadradinho ao lado desta opção.
Na aba Cor, escolha uma cor verde
escuro ;
30
Na aba Estilo, posicione o seletor da
Espessura da Linha em 9
; finalize a
formatação do arco cc ângulo no botão
.
Após ter realizado todos estes procedimentos do passo 1.14 e ter formatado o
arco, deve aparecer uma janela como a que está mostrada a seguir. Note que
agora, na área de trabalho, temos os pontos P, C e O; a circunferência, o
ângulo e o arco da circunferência representados.
Figura 16: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.14
31
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1278080 - Foto: Robert Linder
Depois de tudo isso, ainda há alguns passos para
chegarmos ao final do caminho e finalmente desenrolar
arcos no eixo horizontal, traçando o gráfico do seno...
Falta construirmos os eixos, novos pontos e os
segmentos de reta sobre os quais a circunferência irá se
desenrolar e formar o gráfico. Você já está cansado?
Calma, agora falta só um pouquinho...
O resultado, com certeza, valerá a pena!
Então, vamos aos próximos passos.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1278080 - Foto: Robert Linder
Passo 1.15. Construa o ponto )0,(aX no eixo horizontal, via campo de
entrada, digitando a expressão X = (a,0).
Atenção
Observe que o GeoGebra interpreta o valor do ângulo em radianos,
construindo um ponto no eixo horizontal, cuja distância à origem
corresponde à conversão do ângulo em radianos. Este é o ponto X que
aparecerá na área de trabalho do GeoGebra.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos
Fim do Atenção
Passo 1.16. Clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto na pasta de Objetos
Dependentes, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto (não se
preocupe, provavelmente o seu valor para a
abscissa do ponto será diferente). Nessa janela,
32
clique na opção , para habilitar a janela de alteração das
propriedades do ponto.
Na janela de alteração das
propriedades do ponto X , na aba Cor,
escolha uma cor verde escuro
; finalize a
formatação do ponto X no botão
.
Observe o ponto X na imagem a seguir, deve ser parecido com o que
apareceu na tela do seu computador.
Figura 17: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.16
33
Passo 1.17. Construa o segmento s com extremidades no ponto O e no ponto
X , via campo de entrada, digitando a expressão s = segmento [O,X].
E lembre-se que “O,X” deve ser digitado entre colchetes e que O não é o
número zero, e sim uma vogal maiúscula.
Passo 1.18. Clique, com o botão direito do
mouse, sobre o segmento na pasta
de Objetos Dependentes, para habilitar a janela
com as propriedades básicas desse objeto
(provavelmente o seu valor para o tamanho do
segmento será diferente). Nessa janela, clique na
opção , para habilitar a janela de
alteração das propriedades do segmento. Como
fizemos para os demais objetos, vamos formatar agora o segmento de reta.
Na janela de alteração das propriedades
do segmento s , na aba Básico, escolha
em Exibir Rótulo: a opção Valor
;
Na aba Cor, escolha uma cor verde
escuro ;
34
Na aba Estilo, posicione o seletor da
Espessura da Linha em 9
; finalize a formatação
do segmento s no botão .
Agora o segmento de reta entre o O e X apareceu, como você pode ver na
imagem a seguir.
Figura 18: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.18
Passo 1.19. Construa a reta horizontal h passando por P , via campo de
entrada, digitando a sua expressão h = reta[P,EixoX].
Novamente, repare que “P,EixoX” deve ser digitado entre colchetes.
35
Passo 1.20. Clique, com o botão direito do
mouse, sobre a reta na pasta de
Objetos Dependentes, para habilitar a janela
com as propriedades básicas desse objeto
(provavelmente o seu valor para a equação da
reta será diferente). Nessa janela, clique na
opção , para habilitar a janela de
alteração das propriedades da reta.
Na janela de alteração das propriedades
da reta h , na aba Básico, desabilite a
opção Exibir Rótulo:
;
Na aba Estilo, escolha o Estilo da Linha
como pontilhado ;
finalize a formatação do segmento s no
botão .
Veja na imagem a seguir e na tela de seu computador a reta horizontal bem
clara que está passando pelo ponto P . A interseção dessa reta com o eixo
vertical determina o valor do seno do ângulo a , certo?
36
Figura 19: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.20
Passo 1.21. Construa a reta vertical v passando por X , via campo de entrada,
digitando sua expressão v = reta[X,EixoY].
Atenção, “X,EixoY” deve ser digitado entre colchetes.
Passo 1.22. Clique com o botão direito do
mouse sobre a reta , na pasta de
Objetos Dependentes, para habilitar a janela
com as propriedades básicas desse objeto
(provavelmente o seu valor para a equação da
reta será diferente). Nessa janela, clique na
opção para habilitar a janela de
alteração das propriedades da reta.
37
Na janela de alteração das propriedades da
reta v , na aba Básico, desabilite a opção
Exibir Rótulo: ;
na aba Estilo, e escolha
Na aba Estilo, escolha o Estilo da Linha
como pontilhado ;
finalize a formatação do segmento s no
botão .
Aparecerá outra linha bem clara, mas desta vez na vertical, conforme a
imagem a seguir. A interseção destas linhas demarcará os pontos do gráfico do
seno ao mexermos no ponto P da circunferência.
Figura 20: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.22
38
Passo 1.23. Construa o vetor u no eixo vertical, com origem no ponto O e
extremidade no ponto ),0( Py , digitando u = vetor[O, (0,y(P))].
Atenção, “O,(0,y(P))” deve ser digitado entre colchetes.
Atenção
No GeoGebra, os comandos que determinam a abscissa e ordenada de
um ponto P são “x(P)” e “y(P)”, respectivamente.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos
Fim do Boxe de Atenção
39
Passo 1.24. Agora que o vetor foi criado, vamos
(como sempre) alterar sua formatação. Para
isso, clique com o botão direito do mouse sobre
o vetor , na pasta de Objetos
Dependentes, para habilitar a janela com as
propriedades básicas desse objeto
(provavelmente o seu valor para a segunda
coordenada do vetor será diferente). Nessa
janela, clique na opção para
habilitar a janela de alteração das propriedades
do vetor.
Na janela de alteração das propriedades
do vetor u , na aba Básico, desabilite a
opção Exibir Rótulo:
;
Na aba Cor, escolha a cor vermelha
para o vetor ;
40
Na aba Estilo, posicione o seletor de
Espessura da Linha em 5
; finalize a
formatação do vetor no botão .
Viu o vetor vermelho sobre o eixo vertical?
Figura 21: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.24
Agora estamos quase terminando... Vamos finalmente à construção do gráfico
do seno!
Passo 1.25. Construa o gráfico da função seno no intervalo ],0[ a , digitando a
expressão g = função[sin(x),0,a].
Atenção, “sin(x),0,a” deve ser digitado entre colchetes.
41
Passo 1.26. Clique com o botão direito do
mouse sobre a função , na
pasta de Objetos Dependentes, para
habilitar a janela com as propriedades
básicas desse objeto. Nessa janela, clique
na opção , para habilitar a
janela de alteração das propriedades da
função.
Na janela de alteração das propriedades
da função g , na aba Básico, desabilite a
opção Exibir Rótulo:
;
Na aba Cor, escolha a cor vermelha para
o vetor ;
Na aba Estilo, posicione o seletor de
Espessura da Linha em 9
; finalize a formatação
do segmento s no botão .
42
Agora você deve estar visualizando parte do gráfico do seno na área de
trabalho do GeoGebra.
Figura 22: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.26
Pronto! Conseguimos!
Após esta longa trajetória,
finalizamos a construção do
aplicativo.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1218723 - Foto: Shilder
Agora que já terminamos a construção do aplicativo, experimente habilitar o
comando Mover no ícone e movimentar o ponto vermelho P via arrasto de
mouse. Viu que divertido?
43
Atividade 3 – Usando o aplicativo em sala de aula
Visualizar o “desenrolar” do arco de circunferência no eixo horizontal e o
traçado simultâneo do gráfico do seno pode proporcionar uma aprendizagem
de trigonometria muito mais significativa. Faça um breve relato de como você
poderia usar este aplicativo em uma aula sobre trigonometria.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/488483 - Foto: Andrzej Pobiedziński
Resposta comentada
Uma primeira possibilidade seria você projetar o aplicativo em sala de aula
para exploração durante a aula; nesse caso, o aplicativo funcionaria como uma
lousa animada. Uma segunda possibilidade, e muito mais interessante, seria
utilizar o aplicativo em um laboratório de informática, para exploração de seus
alunos. Nesse caso, você poderia preparar, a priori, uma folha de atividades
para serem respondidas pelos alunos, com procedimentos a serem realizados
no Geogebra, perguntas relacionadas a uma determinada situação gráfica,
etc...
Fim da Resposta comentada
Fim da atividade 3
4. Um ajuste trigonométrico
Vamos finalizar esta última etapa da disciplina de funções elementares com
uma atividade para ser realizada no GeoGebra, envolvendo as
temperaturas médias mensais das capitais dos Estados brasileiros.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/733419 - Foto: Ove Topfer
Nós, da equipe do Matem@tica na Pr@tica, vamos usar as temperaturas
médias mensais da cidade de Brasília, enquanto você irá usar os dados da
capital de seu Estado. Se você é professor de Brasília, use os dados de
Goiânia, capital de Goiás.
44
Vamos recorrer à internet para buscar
os dados. Uma boa fonte de busca é o
Banco de Dados Climáticos da
Embrapa. Lá é possível resgatar as
temperaturas médias mensais de
várias cidades brasileiras, nas décadas
de 60 a 90.
Fonte: ww.bdclima.cnpm.embrapa.br
Atividade 4 – Pesquisando dados sobre temperaturas médias
Acesse o Banco de Dados Climáticos do Brasil da Embrapa, no endereço
eletrônico www.bdclima.cnpm.embrapa.br/resultados/index.php. Clique no
mapa do Brasil sobre o seu Estado e escolha, dentre os municípios
disponíveis, a capital do Estado. Processe a busca e resgate para a tabela
abaixo as temperaturas médias mensais correspondentes à coluna T (oC).
Lembre-se que nós fizemos a atividade com a cidade de Brasília.
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Sua capital
Brasília 21,6 21,8 22,0 21,4 20,2 19,1 19,1 21,2 22,5 22,1 21,7 21,5
Fim da atividade
De posse dos dados das temperaturas médias mensais, é hora de pôr a mão
na massa novamente.
Vamos construir juntos um aplicativo GeoGebra para ajustar uma curva
trigonométrica aos pontos tabelados. Nós vamos fazer o ajuste com os dados
da cidade de Brasília, enquanto você fará com os dados da capital de seu
Estado, certo? Novamente faremos a construção do aplicativo passo a passo,
em 13 passos, para que você possa indicar exatamente o passo onde
encontrou dificuldade no caso de necessidade de ajuda.
45
Passo 2.1. Inicialize o GeoGebra clicando no ícone de acesso rápido,
disponível na área de trabalho de seu computador;
Passo 2.2. Salve o aplicativo na opção Gravar
disponível no menu de Arquivo da barra de menus.
Escolha um nome de sua preferência; nós
escolhemos o nome brasilia para este aplicativo.
Passo 2.3. Habilite o ajuste da janela de trabalho
na opção Janela de Visualização disponível no
menu de Opções da barra de menus. Irá aparecer
a caixa de diálogo “Janela de Visualização” a
seguir.
Nesta caixa de diálogo, você deve definir a variação do eixo horizontal (EixoX)
de -1 a 13 e do eixo vertical (EixoY) de -2 a 50, conforme ilustrado aqui.
46
Passo 2.4. Construa pontos relacionados às temperaturas médias mensais
tabeladas para a capital de seu Estado, digitando cada um deles na caixa de
entrada de expressões algébricas do GeoGebra. No caso de Brasília, foi
preciso digitar M01 = (1,21.6) para janeiro, M02 = (2,21.8) para fevereiro, e
assim por diante, até M12 = (12,21.5) para dezembro, conforme ilustramos a
seguir:
e, assim por diante, até
Após construir estes pontos, clique com o botão direito do mouse sobre cada
um deles na pasta de Objetos Livres, em seguida, clique sobre
para habilitar a janela com as propriedades básicas de ponto, fixe a posição de
cada ponto construído habilitando a opção e finalize a formatação no
botão . Procedimentos parecidos com o que já fizemos antes. Agora
você é capaz de fazê-los bem mais rápido, não é mesmo? Já está se
acostumando com o uso do GeoGebra.
A área de trabalho que aparecerá na sua tela é semelhante à ilustrada na
Figura 23.
47
Figura 23: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.4
Passo 2.5. Construa um seletor “T”,
habilitando a função seletor na barra de
menu do GeoGebra e depois clicando na
área de trabalho. Você se lembra que a
primeira coisa que aprendemos foi construir
e configurar seletores para bailar com as
funções elementares? Agora é a sua vez de
construir e configurar o seletor como ilustrado ao lado.
Passo 2.6. Agora construa e configure um seletor “a” como ilustrado a seguir.
48
Passo 2.7. Construa e configure um seletor “b” como ilustrado a seguir.
Passo 2.8. Construa e configure um seletor “c” como ilustrado a seguir.
Passo 2.9. Habilite a função Mover no ícone da barra de menu do
GeoGebra e alinhe todos os seletores na parte superior do aplicativo, como
aparece na imagem a seguir.
Figura 24: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.9
49
Passo 2.10. Construa o gráfico da função cxbaTxf sen)( , via campo
de entrada, digitando f(x) = T + sin(bx+c).
Atenção, a função seno no GeoGebra é reconhecida pela expressão “sin(...)”.
Figura 25: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.10
Passo 2.11. Construa um segmento vertical d01, ligando M01 ao gráfico de
)(xf , via campo de entrada. Observe que este segmento liga os pontos M01 e
(1,f(1)). Para criar este segmento, digite d01 = segmento [M01,(1,f(1))].
Após construir este segmento, clique sobre ele na pasta de Objetos
Livres, clique sobre para habilitar a janela com as propriedades
básicas de ponto, desabilite a opção Exibir Rótulo na aba Básico
e escolha a cor
na aba Cor, finalizando a formatação do segmento no botão .
50
Veja como ficará a área de trabalho do GeoGebra.
Figura 26: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.11
Passo 2.12. Construa os segmentos verticais d02,...,d12 ligando M02,...,M12
ao gráfico de )(xf , via campo de entrada, repetindo o passo anterior.
⁞
Depois de realizar este passo, todos os pontos da temperatura estarão ligados
verticalmente ao gráfico, como mostra a imagem abaixo.
Figura 27: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.12
51
Passo 2.13. Vamos agora construir a soma das distâncias verticais dos pontos
M01, M02,...,M12 ao gráfico de )(xf . Para isso, digite na caixa de entrada a
expressão D=d01+d02+d03+d04+d05+d06+d07+d08+d09+d10+d11+d12
Observe que o valor da soma D irá
aparecer na pasta de Objetos Dependentes
da janela de trabalho do GeoGebra.
(Certamente o valor que vai aparecer na
tela de seu computador é diferente do valor
ilustrado na figura).
Pronto! Já temos um aplicativo que permite ajustar o gráfico de uma curva
trigonométrica do tipo cxbaTxf sen)( aos pontos indicativos das
temperaturas mensais médias da capital de seu Estado. A melhor curva nesse
tipo de ajuste é aquela que se aproxima mais desses pontos, no sentido de
tornar o valor da distância da curva aos pontos em questão no menor valor
possível.
Tudo o que temos a fazer para ajustar a curva no aplicativo é habilitar a função
Mover no ícone da barra de menu do GeoGebra e movimentar as
“bolinhas” nos seletores “T”, “a”, “b” e “c” até obter um valor mínimo para a
distância na pasta de Objetos Dependentes. Experimente!
Atividade 5 – Ajustando os valores dos parâmetros
Use o aplicativo para ajustar os valores dos parâmetros “T”, “a”, “b” e “c”, de
forma a obter uma curva cxbaTxf sen)( mais próxima possível das
temperaturas médias mensais da capital de seu Estado. Você deve ajustar
cada um dos parâmetros do aplicativo observando a variação do valor da soma
das distâncias desses pontos à curva, dada pela variável D na pasta de objetos
dependentes. Tente encontrar os valores para esses parâmetros que tornam
essa distância D a menor possível.
52
T a b c Dmin
Sua capital
Brasília 20,8 1,5 0,81 6,03 3,87
Figura 28: Valores encontrados para a cidade de Brasília
Início da resposta comentada
Os valores que mais aproximaram a curva dos dados de Brasília foram
8.20T , 5.1a , 81.0b , 03.6c , 87.3d . Esses valores foram obtidos
movimentando os respectivos seletores no aplicativo e observando a variação
do número D , correspondente à soma das distâncias dos pontos ao gráfico,
até encontrar um valor mínimo para D .
Fim da Resposta Comentada
Fim da Atividade 5
Chegamos ao final desta etapa da disciplina de Funções Elementares.
Esperamos que você tenha gostado de conhecer e de explorar o GeoGebra!
Fique à vontade para brincar e descobrir ainda mais as potencialidades desse
software de geometria dinâmica!
53
5. Conclusão
Nesta etapa, você foi apresentado ao GeoGebra, um software de geometria
dinâmica, e viu como é possível construir aplicativos específicos para
determinados conteúdos matemáticos nesse software. Nosso objetivo principal
neste momento foi que você se familiarizasse com este software, se sentindo
seguro para refletir sobre o potencial de seu uso na escola.
Esperamos que o GeoGebra possa fazer parte do ferramental de suas aulas de
Matemática a partir de agora. É mais uma metodologia que pode ajudar você a
pensar em aulas diferentes e em novas formas de desenvolver um
ensino/aprendizagem de Matemática mais significativo, especialmente sobre o
conteúdo de funções elementares.
Porém, é importante que você não pare por aqui. O uso do GeoGebra e de
outros recursos computacionais pode enriquecer muito suas aulas e
proporcionar um “upgrade” em sua prática docente. Que tal tentar?
6. Resumo
Nesta etapa, vimos:
Como instalar o GeoGebra, um software de geometria dinâmica;
Como construir aplicativos no GeoGebra para explorar a visualização dos
gráficos das funções elementares de forma dinâmica, a partir da modificação
dos valores dos parâmetros dessas funções;
Como construir um modelo de aplicativo no GeoGebra para ser utilizado no
ensino de trigonometria;
Como construir um modelo de aplicativo no GeoGebra para ser utilizado em
atividades exploratórias envolvendo ajuste de pontos.
54
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