GEO338-elips 370-385_7_

370

www.mustafayagci.com.tr 2013

Geometri Notları Mustafa YAĞCI, [email protected]

Elips Koniğin genel tanımını hatırlayarak derse başlaya-lım: Düzlemde bir F noktası ve F’den geçmeyen bir d doğrusu verildiğinde, F noktasına uzaklığının d doğrusuna uzaklığına oranı pozitif bir sabit olan noktaların geometrik yerine konik deniyordu. Bu oranı da e ile gösteriyorduk. İşte bu e sayısı (0, 1) aralığından seçilirse bu noktaların geometrik yeri bir elips oluyor. Şimdi bu tanıma göre bakalım elips nasıl bir şekil-miş? Tanımda söylendiği gibi; bir F noktası ve F’den geçmeyen bir d doğrusu çizelim.

F

d

Şimdi F’ye uzaklığı d’ye uzaklığının e katı olan noktaları işaretleyeceğiz. Anlama ve anlatma kolay-

lığı açısından e’yi şimdilik 1

2 alalım. e’nin

1

2 ol-

ması, öyle P noktaları bul ki

1

2

PF

Pd=

olsun, yani |Pd| = 2⋅|PF|

olsun demektir. Şimdi F’den d’ye bir dik indirelim. Dikme ayağına da T diyelim.

F

d

P1

k 2kT

Bu dikme üzerinde verilen şartı sağlayan bir P nok-tası aranırsa,

|P1d| = 2⋅|P1F|

olduğundan üstteki şekilde verilen P1 noktası bulu-nur. Bu dikme üzerinde başka bir P noktası bulu-namaz ama bu dikmenin uzantısında var mıdır?

F

d

PP 12

k 2k3kT

FT doğrusu üzerinde |P2F| = |FT| olacak şekilde bir P2 noktası alınırsa

|P2d| = 2⋅|P2F| olacağından P2 de aranan noktalardan biridir. Hatta FT üzerinde başka P noktası olamayacağını da keş-fedin. Şu halde elipsin geçtiği iki noktayı bulmuş olduk.

F

d

PP 12

P

PP

PP

3

45

6

7

m2mn

2n

k 2k3k

Şimdi de göz kararıyla P3, P4, P5, P6, P7 noktalarını bulalım.

F

d

PP 12

P

PP

PP

3

45

6

7

Üst şekilden de görüldüğü üzere, elips, ovalimsi bir şekle sahipmiş. Çemberin iki ayrı kutbundan biraz basık hali gibi bir şey. Yatık duran bir yumurta de-meyin ama. Çünkü yumurtanın tek simetri ekseni vardır, halbuki elipsin 2 tane.

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Elips

371

F

d

PP 12

d'

F'

Yine üst şekilden görebileceğiniz üzere, kaba şekli-ni çıkarttığımız elips P1P2 eksenine göre simetrik olduğundan, F noktası ve d doğrusu yardımıyla bu-lunan noktaların F′ noktası ve d′ doğrusu yardımıy-la da bulunabileceğini fark ediniz. İşte bu yüzden elipsin 2 tane odağı ve 2 tane doğrultman doğrusu vardır. Elipsin En Önemli Özelliği Elipsin birazdan vereceğimiz bir özelliği, o kadar önemlidir ki, çoğu kaynakta bu özelliği elipsin ta-nımı olarak görmek de mümkündür. F′ ve F odaklı, bu odaklara ait doğrultmanları da sı-rasıyla d′ ve d olan rastgele bir elips çizelim. Bu elipsin üzerinde yine rastgele iki farklı P ve Q nok-taları alalım. P’den d ve d′ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla M ve N, Q’den bu doğrulara inen dikme ayaklarıysa sırasıyla R ve S olsun.

OF' F

P

Qdd'

ueu

v

ev

yey

ez

z

MN

RS

Elipsin tanım gereğince

|PN| = u ise |PF′| = eu, |PM| = v ise |PF| = ev, |QS| = y ise |QF′| = ey, |QR| = z ise |QF| = ez

olacağını biliyoruz. Diğer yandan NSRM dörtgeni-nin bir dikdörtgen olduğu da ortada. O halde |NM| = |SR| olması gerektiğinden

u + v = y + z yazılabilir. Şimdi bu eşitliğin her iki yanını e ile çarpalım:

eu + ev = ey + ez olacağından

|PF ′| + |PF| = |QF ′| + |QF|

eşitliğine kavuştuk. P ve Q noktaları rastgele seçil-diğinden aslında şunu kanıtlamış olduk: Elips üzerinde alınan herhangi iki noktanın odak-lara olan uzaklıklarının toplamı birbirine eşittir. Aslında bu teorem şuna da özdeştir: Elips üzerinde alınan bir noktanın elipsin odak-larına olan uzaklıkları toplamı bir sabittir. Aşağıdaki yorum, bu önemli teoremin aklınızda yer etmesine yardımcı olacaktır: F′ ve F noktalarındaki direklerin gevşek bir iple birbirlerine bağlandıklarını hayal edin.

F' F

Şimdi elinize bir çubuk alıp bu ipi gerin.

F' F

Şimdi de ip gergin kalmak kaydıyla çubuğu hareket ettirin. Çubuğun ucunun nasıl hareket ettiğini göz-lemleyin.

F' F

Çubuk yukardaki şekilde nokta nokta olarak göste-rilmiş bir eğri çizecektir. İşte bu eğri elipstir. Çubuk hangi konumda olursa olsun ip gergin olduğundan çubuğun bulunduğu noktanın direklere uzaklıkları toplamı ipin boyu kadardır. E ipin uzunluğu sabit olduğundan çubuğun geçtiği noktaların direğin di-kildiği noktalara uzaklıkları toplamının da sabit ol-duğunu anlarız. Odak kelimesinin İngilizcesi ‘focus’ olduğundan genelde odaklar F ve F′ diye gösterilir. Bundan sonra biz de öyle yapacağız.


372

Elipsin Merkezi ve Merkezil Elips [FF′] doğru parçasının orta noktasına elipsin mer-kezi denir. Genelde O ile gösterilir. Bir elips, merkezi analitik düzlemin orijiniyle çakı-şacak şekilde analitik düzlemde çizilirse bu elipse merkezil elips denir.

x

y

O AFF'A'

B

B'

ac-c-a

b

-b

0

Elipsin eksenleri kestiği noktalara elipsin köşeleri denir. Yukardaki elipsin köşeleri

A(a, 0) A′(−a, 0) B(0, b)

B′(0, −b) noktalarıdır. Odakları da

F(c, 0) F′(−c, 0)

noktalarıdır. Odakların üzerinde bulunduğu [AA′] doğru parçası-na elipsin asal ekseni, [BB′] doğru parçasına da elipsin yedek ekseni denir.

x

y

0 a

b

-a

-b

Asal Eksen

Yedek Eksen

Majör EksenBüyük Eksen

Minör EksenKüçük Eksen

Asal eksene majör eksen veya büyük eksen, ye-dek eksene de minör eksen veya küçük eksen de denir. Asal eksenin önemi, daha çok uzunluğunda yatar. Hani demiştik ya, elips üzerindeki herhangi bir noktanın elipsin odaklarına olan uzaklıklarının top-lamı bir sabittir, işte o sabit asal eksenin uzunluğu-dur yani üstteki gösterime göre 2a’dır.

Şimdi bunun nedenini açıklayalım:

x

y

O AFF'A'ac-c-a 0

a+c

a−c

Teorem, elips üzerindeki herhangi bir nokta için sağlandığından A noktası için de sağlanmalıdır. Şu durumda

|AF| + |AF′| toplamı aradığımız sabiti verecektir.

|AF| = a – c |AF′| = a + c

olduğundan |AF| + |AF′| = 2a

olduğu kanıtlanmış olur. Merkezil Elipsin Denklemi Şimdi hep birlikte bir merkezil elipsin denkleminin nasıl bir şey olduğunu bulacağız. F ve F′ noktaları orijine göre simetrik olduklarından F′ noktasının koordinatlarına (–c, 0) dersek, F noktasının koordi-natları da (c, 0) olur. Bu noktalara uzaklıkları top-lamı 2a br olan noktaların geometrik yer denklemi-ni bulacağız.

x

y

0F'(−c, 0) F(c, 0)

P(x, y)

Elips üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatla-rını (x, y) olarak alalım. Bu noktanın odaklara olan uzaklıkları toplamı 2a br olması gerektiğinden

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =

yani 2 2 2 2 2 22 2 2x cx c y x cx c y a+ + + + − + + =

eşitliği sağlanmalıdır. İşlem kolaylığı açısından x2 + c2 + y2 = m diyelim.

2 2 2m cx m cx a+ + − =


373

Şimdi her iki yanın karesini alalım.

2

2

2

2

4 2 2

2 2 2 4 2 2

2 2 4 2

2 2 4 2

2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 4

2 2 2

2 2 2

( 2 )( 2 ) 4 4

4 4 4

4 4 4

m cx m cx m cx m cx a

m m cx m cx a

m m cx m cx a

m cx m cx a m

m cx m cx a a m m

m c x a a m m

c x a a m

c x a a m

+ + − + + − =

+ + − =

+ + − =

+ − = −+ − = − +

− = − +− = −

− = −

Şimdi m yerine gerçek değerini tekrar yazıp düzen-leyelim.

2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) ( )

c x a a x a c a y

a c x a y a a c

a c x a y a a c

− = − − −− + = −

− + = −

Şimdi eşitliğin her iki yanını 2 2 2( )a a c− ’ye böle-lim.

2 2

2 2 21

x y

a a c+ =

−

Sonuca ulaştık ama ufak bir hamle daha kaldı.

x

y

0F F'

aa b

c c

P

P noktasını elipsin en üst köşesi olarak alırsak F′PF ikizkenar üçgen olacağından |F′P| = |PF| = a br olur. Diğer yandan |FO| = |OF′| = c br olduğundan |OP|2 = b2 = a2 – c2 olur. Şu durumda elips denkle-mi

2 2

2 21

x y

a b+ =

halini alır. Uzun lafın kısası: x2’nin paydasına x eksenini kesti-ği noktaların apsislerinin karesini, y2’nin paydasına da y eksenini kestiği noktaların ordinatlarının kare-sini yazıp toplayıp 1’e eşitliyoruz.

Eğer bir merkezil elipsin odakları x ekseni üzerinde değil de y ekseni üzerindeyse, denklemi yine

2 2

2 21

x y

a b+ =

olur fakat bu sefer b2 = a2 + c2

eşitliği sağlanır. Zira bu sefer ipin boyu 2a değil, 2b olmaktadır.

a

b

-b

-a

c

-c

x

y

0

b

b

Genel olarak; a2 > b2 ise odaklar x ekseni üzerinde, b2 > a2 ise odaklar y ekseni üzerinde diyebiliriz. Alıştırmalar. Aşağıdaki tabloda boş bırakılan kutu-ları grafiğe bakarak doldurunuz.

x

y

5

3

0 Elipsin köşeleri

B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )

Asal eksen uzunluğu:

Yedek eksen uzunluğu:

Odaklar arası uzaklık:

Denklemi

|PF| + |PF '|

AA'

B

B'

F' F

P

x

y


B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )




Denklemi

|PF| + |PF '|

AA'

B

B'

F' F

P


374

x

y

8

10


B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )




Denklemi

|PF| + |PF '|

AA'

B

B'

F' F

P

Elipsin köşeleri

B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )

Asal eksen uzunluğuYedek eksen uzunluğu

Odaklar arası uzaklık

|PF| + |PF '|

x

y

0

Denklemi:

A

B

A'

B'

F

F'P

−3

−5

Elipsin köşeleri

B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )



|PF| + |PF '|

x

y

0

Denklemi:

A

B

A'

B'

F

F'P

3

2

Elipsin köşeleri

B( , ), B'( , )

A( , ), A'( , )

Elipsin odakları

F( , ), F '( , )



|PF| + |PF '|

x

y

0

Denklemi:

A

B

A'

B'

F

F'P

10

6

Örnek.

4x2 + 25y2 = 100 elipsinin odaklar arası uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: Öncelikle eşitliğin her iki yanını 100’e bö-lerek denklemi bildiğimiz formata getirelim:

2 2

125 4

x y+ =

olacağından anlıyoruz ki a = 5 ve b = 2’ymiş. Bu değerler c2 + b2 = a2 denkleminde yerlerine yazılır-

sa c2 = 21 bulunacağından 21c = olur. O halde

odaklar arası uzaklık 2 2 21c = olarak bulunur.

Örnek. (3, 4 2)P ve (6, 2 5)Q noktalarından geçen merkezil elipsin asal eksen uzunluğu kaç bi-rimdir?

Çözüm: Merkezi elipsin denklemi 2 2

2 21

x y

a b+ = ol-

sun. Üzerinden geçtiği söylenen noktaların denkle-mi sağlamasını bekleyelim. O halde

2 2

9 321

a b+ =

2 2

36 201

a b+ =

eşitlikleri birlikte sağlanmalıdır. Üstteki eşitliğin 4 katından alttaki eşitlik çıkartılırsa b2 = 36 bulunur. Bu değer de eşitliklerin herhangi birinde yerine ya-zılırsa a2 = 81 bulunur. Şu durumda a = 9 olacağın-dan asal eksen uzunluğu 2a = 18 birimdir. Örnek. A(8, 0) ve B(−8, 0) noktalarına uzaklıkları toplamı 20 br olan noktaların geometrik yer denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Verilmiş farklı iki noktaya uzaklıkları top-lamı sabit olan noktalar kümesinin elips olduğunu bilmekteyiz. Demek ki A ve B noktaları bu elipsin odaklarıdır. Yani c = 8’miş. Diğer yandan ipin uzunluğu 2a = 20 br olarak verildiğinden a = 10 çı-kar. c2 + b2 = a2 denkleminden de b = 6 bulunacağı için geometrik yer denklemi

2 2

1100 36

x y+ =

olmalıdır.


375

Elipsin Doğrultmanları ve Dışmerkezliği Merkezil bir elipsin denklemini bulduk, şimdi sıra bu elipsin doğrultmanlarının denklemi ile dışmer-kezliğini bulmaya geldi. Elipsin tanımı gereğince, elips üzerindeki her noktanın bir odağına olan uzak-lığının o odağa ait doğrultmana olan uzaklığına oran sabittir. Şu halde elips üzerinde iki farklı P ve Q noktası alıp bu oranları eşitleyelim. P ve Q noktalarını ale-lade alırsak işimiz zorlaşır. Bu yüzden bu noktaları köşelerden seçmekte fayda var. Önce P = A olsun.

x

y

0F' F

a

-a

b

-c c taA

B

A'

B'

-t

-b

D

L

D'

t

F odağına ait doğrultmana x = t doğrusu diyelim. Tanım gereği

PF AF a ce

PD AD t a

−= = =−

olur. Şimdi de Q = B olsun. Yine tanım gereği QF BF a

eQL BL t

= = =

olur. Şu durumda bu e değerleri birbirine eşittir.

2

2

2

a c a

t a t

at ct at a

ct a

at

c

− =−− = −=

=

demek ki elipsin doğrultmanlarının denklemleri 2a

xc

=

imiş. Şimdi de e’yi (dışmerkezliği) bulalım.

2

a a ce

at ac

= = = .

Bu değer elipsin çemberden ayrılış derecesini gös-terir. Elips; a sabitken c = 0 olduğunda çember olur, c = a olduğunda doğru parçası olur. Yani e’nin kü-çülmesi elipsi kalınlaştırır, büyümesi elipsi inceltir!

Örnek.

9x2 + 25y2 = 900

elipsinin doğrultmanlarının arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm: Öncelikle eşitliğin her iki yanını 900’e bö-lerek denklemi bildiğimiz formata getirelim:

2 2

1100 36

x y+ =

olacağından anlıyoruz ki a = 10 ve b = 6’ymış. Bu değerler c2 + b2 = a2 denkleminde yerlerine yazılır-sa c2 = 64 bulunacağından c = 8 olur. Diğer yandan doğrultmanlar arası uzaklık 2t olup

2 10012,5

8

at

c= = =

olduğundan 2t = 25 olarak bulunur. Örnek. F(4, 0) odağına ait doğrultmanının denk-lemi 4x = 25 olan merkezil elipsin dışmerkezliği kaçtır? Çözüm: Odağın koordinatlarından c = 4 olduğunu, doğrultman denkleminden de

2 25

4

at

c= =

olduğundan dolayı a = 5 olduğunu anlıyoruz. Şu durumda

4

5

ce

a= =

olarak bulunur. Örnek. Dışmerkezliği 0,5 ve F′ odağına ait doğ-rultmanının denklemi x = 12 olan merkezil elipsin yedek eksen uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: Dışmerkezliği veren formül olan

1

2

ce

a= =

eşitliğinden a = 2c olduğunu anlıyoruz. Diğer yan-dan

2 244 12

a ct c

c c= = = =

olduğundan dolayı c = 3 olduğunu anlıyoruz. O halde a = 6 olup c2 + b2 = a2 denkleminde yerlerine

yazılırsa b2 = 36 – 9 = 27 bulunacağından 3 3b =

olur. Yedek eksen uzunluğu da 2b yani 6 3 olur.


376

Elipsin Parametresi (Latus Rectum) Elipsin, çıkardığımız denkleminden de anlaşılacağı üzere, belirlenebilmesi için birbirinden bağımsız en az iki bilgiye ihtiyaç duyulur. Sadece odaklarını bilmekle bir elips belirlenemeyeceği gibi sadece dışmerkezliğiyle de belirlenemez. Şimdi bunların yanına bir de elipsin kalınlığını (şişkinliğini) anla-tan üç bilgi daha vereceğiz. Odakların birinden geçen ve asal eksene dik olan kirişin uzunluğuna elipsin parametresi denir. Tüm kaynaklarda latus rectum olarak geçer. Genel-de p ile gösterilir. Yarısına da semi-latus rectum denir. Bakalım bir merkezil elips için bu sayı kaça eşit-miş.

x

y

0F'(−c, 0) F(c, 0)

P(x, y)

a

b

-a

-b

F odağından çıkan dikmenin elipsi kestiği noktaya P diyelim. Elipsin parametresine p dersek

2

pPF =

olduğu aşikar. Diğer yandan ' 2PF PF a+ =

olduğunu da biliyoruz. O halde

' 22

pPF a= −

olur. ' 2F F c= eşitliğini kullanarak 'F FP dik

üçgeninde Pisagor teoremi yazalım.

( )2 2

2

2 22 2

2 2

2

2

2 22 2

4 4 24 4

2 4 4

2 4

2

p pc a

p pc a ap

ap a c

ap b

bp

a

+ = −

+ = − +

= −=

=

Elipsin Odaksal Parametresi Bir elipsin herhangi bir odağının o odağa ait doğ-rultman doğrusuna uzaklığına elipsin odaksal pa-rametresi denir. İngilizce’si focal parameter olarak bilinir. Genelde l ile gösterilir.

x

yb

−a 0 c tF D

l

Yukardaki şekilden de görüleceği üzere, odaksal parametrenin değeri |FD| olup

FD = l 2 2 2 2a a c b

t c cc c c

−= − = − = =

formülüyle hesaplanır. Not: Bir elipsin dışmerkezliğini daha önceden

ce

a=

bağıntısıyla vermiştik. Şimdi parametreleri cinsin-den de verebiliriz:

2

22

2

b pc pae

ba l lc

= = = =

olduğundan yarım parametrenin (semi-latus rec-tum) odaksal parametreye bölümünün de dışmer-kezliği verdiğini görmüş oluyoruz. Bir başka deyiş-le; aşağıda resmedildiği üzere

x

yb

−a 0 F Dl

Pp2 α

−c

θF'

B

A'

B'

hem

sinθe = hem de

tanαe = bağıntısı geçerlidir.


377

Elipsin Basıklık Oranı Aynen parametre ve odaksal parametre gibi, elipsin şişkinliğini anlatan bir değer daha vardır. Diğerleri-ne göre pek önem taşımaz. Şimdi onu verelim: Büyük eksen uzunluğu ile küçük eksen uzunluğu farkının büyük eksen uzunluğuna oranı elipsin ba-sıklığı diye bilinir. Yani elipsin basıklığı,

2 21

2

a b a b bq

a a a

− −= = = −

sayısıdır. Alıştırmalar. Aşağıdaki tabloda boş bırakılan kutu-ları grafiğe bakarak doldurunuz.

x

y

5

3

0AA'

B

B'

F' F

P

Doğrultman

Dışmerkezliği

Parametresi

Denklemleri

Basıklık oranıOdaksal parametresi

Doğrultman

Dışmerkezliği

Parametresi

Denklemleri

x

y

17150AA'

B

B'

F' F

P


Doğrultman

Dışmerkezliği

Parametresi

Denklemleri

x

y

8

10

0AA'

B

B'

F' F

P


x

y

0A

B

A'

B'

F

F'P

−3

−5

Dışmerkezliği

Parametresi

Doğrultman Denklemleri

Odaksal parametresi

Basıklık oranı

x

y

0A

B

A'

B'

F

F'P

3

2

Dışmerkezliği

Parametresi


Odaksal parametresi

Basıklık oranı

x

y

0A

B

A'

B'

F

F'P

6

Dışmerkezliği

Parametresi


Odaksal parametresi

Basıklık oranı|PF| + |PF '|=10 Örnek.

9x2 + 25y2 = 225

elipsinin parametresini, odaksal parametresini ve basıklık oranını bulalım. Çözüm: Öncelikle eşitliğin her iki yanını 225’e bö-lerek denklemi bildiğimiz formata getirelim:

2 2

125 9

x y+ =

olacağından anlıyoruz ki a = 5 ve b = 3’müş. Bu değerler c2 + b2 = a2 denkleminde yerlerine yazılır-sa c2 = 16 bulunacağından c = 4 olur. O halde

22 18,

5

bp

a= = l

2 18 9

4 2

b

c= = = ve

2

5

a bq

a

−= =

olarak bulunur.


378

Yarım Elips Denklemleri

2 2

2 21

x y

a b+ =

elipsini oluşturan yaylarının aynen çemberde oldu-ğu gibi ayrı ayrı denklemleri vardır. Örneğin, yukardaki denklemi

2 2

2 21

y x

b a= −

diye, ardından da 2

2 22

1x

y ba

= −

diye düzenlersek grafikte hiçbir değişiklik olmaz. Fakat,

22

21

xy b

a

= −

dendiği anda grafik artık bir elips çizmez. Çizer de tam bir elips olmaz, yarım elipstir bunun grafiği. Çünkü bu denklemde y’ler hiçbir zaman negatif olamaz.

x

b

a0

y

−a

Yani merkezil bir elipsin üst yarısının denklemidir bu. Benzer şekilde

22

21

xy b

a

= − −

eşitliğini sağlayan y değerleri de hiçbir zaman pozi-tif olamaz.

x

b

a0

y

−a

−

Bu yüzden bu denklem de merkezil bir elipsin alt yarısının denklemidir. Eğer elips denklemini

2 2

2 21

x y

a b= − yani

22 2

21

yx a

b

= −

şeklinde düzenleyip

22

21

yx a

b

= ± −

eşitliği elde edilir ki, + ve − ifadelerinin birinin se-çimiyle bu denklem de bir tam elipsin değil bir ya-rım elipsin denklemi olur. Ama bu sefer üst-alt ya-rım elipslerinin değil de sağ-sol yarım elipslerinin! Çünkü

22

21

yx a

b

= −

eşitliğini sağlayan x değerleri hiçbir zaman negatif olamaz. Bu yüzden grafik

x

b

a0

y

−b

yukardaki gibi olur. Benzer şekilde

22

21

yx a

b

= − −

eşitliğini sağlayan x değerleri hiçbir zaman pozitif olamaz. Bu yüzden grafik

x

b

0

y

−b

−a

yukardaki gibi olur. Her bağıntı grafiği gibi, elips ve yarım elips grafik-leri de ötelenebilir, döndürülebilir. Eğer grafik a bi-rim sağa kayarsa x yerine x – a, sola kayarsa x yeri-ne x + a, yukarı kayarsa y yerine y – a, aşağı kayar-sa da y yerine y + a yazarız. Tabii döndürme olayı-nın uygulaması bu kadar basit değil diye o kısmı konunun sonuna sakladık. Merak edin biraz!

379

MY GEO 3 KONİKLER TEST 155

Mustafa YAĞCI Elipsin merkezi, odakları, eksenleri CACECAA 1. Odakları F(−3, 2) ve F′(5, 6) olan elipsin merke-zinin koordinatları hangi şıkta verilmiştir? A) (0, 0) B) (1, 2) C) (1, 4)

D) (−1, 4) E) (1, 8)

2. Majör ekseninin boyu 10 br, minör ekseninin boyu 6 br olan merkezil elipsin denklemi aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 2 2

125 9

x y+ = B) 2 2

19 25

x y+ = C) 2 2

125 16

x y+ =

D) 2 2

116 25

x y+ = E) 2 2

19 16

x y+ =

3.

2

25

x+

2

16

y= 1

elipsi üzerindeki bir noktanın odaklara uzaklık-ları toplamı kaç birimdir? A) 25 B) 16 C) 10 D) 5 E) 4 4.

5x2 + 16y2 = 80 denklemli elipsin odaklarının arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 11 B) 13 C) 4 D) 21 E) 44

5. Odaklarından biri (−4, 0), köşelerinden biri de (0, 3) olan merkezil elips üzerin-de bir P noktası alınıyor. P noktasının elipsin odaklarına olan uzaklık-ları toplamı kaç br dir? A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14 6. F(−4, 0) ve F′(4, 0) noktalarına uzaklıkları top-lamı 10 br olan noktaların geometrik yer denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2

125 9

x y+ = B) 2 2

19 25

x y+ = C) 2 2

125 16

x y+ =

D) 2 2

116 25

x y+ = E) 2 2

19 16

x y+ =

7. Yandaki elipsin alt ve üst köşeleriyle odak noktaları-nın belirttiği dörtgenin çev-resi 52 br ve alanı 120 br2 dir. Buna göre elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 2 2

1169 25

x y+ = B) 2 2

1144 25

x y+ = C) 2 2

125 144

x y+ =

D) 2 2

113 5

x y+ = E) 2 2

1144 169

x y+ =

x

y

0-4

3P

x

y

0

380


Mustafa YAĞCI Elipsin merkezi, odakları, eksenleri EBABCA 1. Odak noktaları F ve F′,

denklemi de 2 2

125 9

x y+ =

olan yandaki elipsin üze-rinde bir P noktası alını-yor. Buna göre F′PF üçgensel bölgesinin alanı aşağı-dakilerden hangisi olamaz? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

2. Odak noktaları F ve F′ olan yandaki merkezil elipsin köşeleri şekilde görüldüğü üzere A, B, C ve D noktalarıdır. |AF| = 2 br |FO| = 5 br olduğuna göre |DF| = d kaç br dir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 3. Odaklarından birinin ori-jine uzaklığı 3 br, elipse en yakın uzaklığı da 1 br olan merkezil elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2

116 7

x y+ = B) 2 2

116 8

x y+ = C) 2 2

116 9

x y+ =

D) 2 2

116 10

x y+ = E) 2 2

116 12

x y+ =

4.

Denklemi 2 2

2 21

4

x y

a a+ =

olan yandaki elipsin odak-larıyla üst köşesinin belirt-tiği geniş açının ölçüsü α°’dir. Buna göre α kaçtır? A) 105 B) 120 C) 135 D) 150 E) 165 5. Büyük eksen köşeleri A(5, 0), A′(−5,0) olan ve D(−4, 12/5) noktasından geçen merkezil elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2

2 125

xy+ = B)

2 2

125 18

x y+ = C) 2 2

125 16

x y+ =

D)2

25

x+

2

25

y=1 E)

2

25

x+

2

12

y=1

6.

x

y

0F F'

P

Şekildeki merkezil elipsin denklemi

9x2 + 16y2 = 144 ise Ç(PFF′) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8 2 7+ B) 6 2 7+ C) 10 D) 6 E) 4

x

y

0F F'

P

x

y

0

α

x

y

2 5

d

F F'A

B

C

D

O

x

y

3 1

381


Mustafa YAĞCI Elipsin merkezi, odakları, eksenleri CCDEBDB 1.

x

y

0F F'

P

Şekilde F ve F′ noktaları 2 2

1169 144

x y+ = elipsinin

odaklarıdır. Ç(PFF’) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 E) 44 2. F ve F′ bir elipsin odak noktalarıdır. F′(−8, 0) ve F(8, 0) noktalarına uzaklıklarının toplamı 24 birim olan elipsin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 2 2

1121 40

x y+ = B) 2 2

1121 30

x y+ = C) 2 2

1144 80

x y+ =

D) 2 2

1144 30

x y+ = E) 2 2

1144 36

x y+ =

3. Aşağıdaki denklemlerden hangisi asal eksen uzunluğu 82 birim ve odaklar arası uzaklığı 18 birim olan elipse aittir?

A)2 2

182 18

x y+ = B) 2 2

141 9

x y+ = C) 2 2

141 40

x y+ =

D) 2 2

11681 1600

x y+ = E) 2 2

11600 81

x y+ =

4. F(−4, 0) ve F(4, 0) noktalarına olan uzaklıkları toplamı 10 birim olan noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2

19 16

x y+ = B) 2 2

116 9

x y+ = C) 2 2

125 10

x y+ =

D) 2 2

110 6

x y+ = E) 2 2

125 9

x y+ =

5. x eksenini asal eksen kabul eden ve asal eksen uzunluğu 10 birim, yedek eksen uzunluğu 8 bi-rim olan elipsin odaklar arası uzaklığı kaç bi-rimdir?

A) 6 5 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

6. Yedek ekseni y−ekseni olan merkezil elipste

M(−15, 0) ve N(0, 12) noktaları birer köşe koordinatıdır. Buna göre bu elipsin odaklarından birisinin ko-ordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 5) B) (0, 9) C) (5, 0) D) (9, 0) E) (3, 0) 7.

Odaklarından birisinin koordinatları F (3 2,0) olan merkezil elips P(2, 4) noktasından geçmektedir. Buna göre bu elipsin asal eksen uzunluğu kaç birimdir? A) 6 B) 12 C) 13 D) 15 E) 18

382

1.

( 5, 1)A ve 10

( , 2)2

B noktalarından geçen

merkezil elipsin denklemi aşağıdakilerden han-gisidir? A) 2x2 + 5y2 = 15 B) 3x2 + 5y2 = 15 C) 5x2 + 2y2 = 10 D) x2 + 5y2 = 10 E) 2x2 + y2 = 5 2. Çember için aşağıdakilerden hangisi söylenebi-lir? A) Dış merkezliği 1 olan elipstir. B) Doğrultmanı x ekseni olan elipstir. C) Doğrultmanı y ekseni olan elipstir. D) Odakları çakışık olan elipstir. E) Basıklık oranı 1 olan elipstir. 3. Odak noktaları F ve F′,

denklemi de 2 2

125 9

x y+ =

olan yandaki elipste F′ noktasından x eksenine çı-kılan dikme, elipsi P noktasında kesmektedir. Buna göre |PF′| kaç birimdir?

A) 1 B) 6

5 C)

7

5 D)

8

5 E)

9

5

4.

Denklemi 2 2

125 9

x y+ = olan

elipsin sağ köşesi olan A noktasından x eksenine çı-kılan dikme, denklemi

2 2

1100 36

x y+ = olan elipsi P noktasında kesmektedir.

Buna göre |PA| kaç birimdir?

A) 2 3 B) 13 C) 4 D) 3 2 E) 3 3

5. Denklemi 2 29 25 225x y+ = olan elipsin üst köşesi olan T noktasından elipse çizilen

teğet, denklemi 2 2

1100 36

x y+ =

olan elipsi P ve Q noktalarında kesmektedir. Buna göre |PQ| kaç birimdir?

A) 18 B) 10 3 C) 16 D) 8 3 E) 15 6. Yanda grafiği ve-rilen yarım elip-sin odaklarından biri (3, 0) nokta-sındadır. O halde yarım elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2324 2

5y x x= − − B) 24

24 25

y x x= − −

C) 2324 2

4y x x= − − D) 23

15 25

y x x= − −

E) 2415 2

5y x x= − −

7. Yanda grafiği ve-rilen yarım elip-sin denklemi aşa-ğıdakilerden han-gisidir?

A) 231 16

5y x= − − − B) 24

1 165

y x= − − −

C) 231 16

4y x= − − − D) 23

1 164

y x= − + −

E) 241 16

3y x= − − −


Mustafa YAĞCI Tam ve Yarım Elips Denklemleri ADEEBAA

x

y

0 A

P

x

y

0

P QT

x

y

0F F'

P

x40

y

−6 3

x0

y

−4

−4

4

−1

383

1.

2 2

181 45

x y+ =

elipsinin parametresi kaç birimdir? A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 15 2.

9x2 + 16y2 = 144 elipsinin parametresi kaçtır?

A) 3 B) 7

2 C) 4 D)

9

2 E) 5

3.

2 2

125 9

x y+ =

elipsinin dış merkezliği kaçtır?

A) 1

2 B)

2

3 C)

3

4 D)

4

5 E)

3

5

4.

2 2

136 324

x y+ =

elipsinin odaklarının birinden geçen en kısa kiri-şin boyu kaç br dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5. 2 2

1100 25

x y+ =

elipsinin odaklarının birinden geçen en kısa kiriş ile en uzun kirişin boylarının toplamı kaç birim-dir? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

6. x2 + 2y2 = 8

elipsinin doğrultmanlarından biri aşağıdakiler-den hangisidir? A) x = 4 B) x = 3 C) x = 2 D) y = 3 E) y = 4 7.

Odaklarından birisi F(4, 0) olan elipsin doğ-rultmanlarından birinin denklemi x = 9 ise dış merkezliği kaçtır?

A) 5

3 B)

4

3 C)

2

3 D) 1 E) 2

8. 2 2

1256 400

x y+ =

elipsinin bir odağının doğrultmanlardan birine uzaklığı kaç birim olabilir?

A) 64

3 B)

61

3 C) 19 D)

47

3 E) 13


Mustafa YAĞCI Elipsin Parametresi, Doğrultmanları, Dışmerkezliği DDDABACA

384

1.

2 2

125 9

x y+ =

elipsinin doğrultmanlarının denklemleri hangi şıkta verilmiştir?

A) 25

4x = ± B)

25

3x = ± C) 6x = ±

D) 25

9x = ± E)

29

6x = ±

2. Denklemi x2 + 4y2 = 64 olan elipsin doğrultman denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 16 3

3x = − B)

8 3

3x = − C)

4 3

3x = −

D) 4 3

3x = E)

8 3

3x =

3. Konumu bilinmeyen bir elipsin asal eksen uzunlu-ğunun 50 br, yedek eksen uzunluğunun da 14 br ol-duğu bilinmektedir. Buna göre bu elipsin dış merkezliği kaçtır?

A) 625

576 B)

24

25 C)

576

625 D)

7

24 E)

7

25

4. Odak noktaları x ekseni üzerinde ve büyük eksen uzunluğu 12 birim olan merkezil bir elipsin, odak-larının birinden büyük eksene çizilen dik kirişin uzunluğu 8 birimdir. Bu elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 2

136 4

x y+ = B) 2 2

125 64

x y+ = C) 2 2

15 16

x y+ =

D) 2 2

136 24

x y+ = E) 2 2

136 64

x y+ =

5. x = 4 doğrusuna uzaklığı, F(−2, 0) noktasına uzaklığının iki katına eşit olan noktaların geo-metrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) 2 2

14 3

x y+ = B) 2 2

181 64

x y+ = C) 2 2

19 12

x y+ =

D) 2 2( 4)

18 18

x y+ + = E) 2 2( 4)

116 12

x y+ + =

6. Yanda sağ köşesi (8, 0) ve üst köşesi (0, 6) olan bir merkezil elips ve bu nokta-lardaki teğetleri ve eksen-lerle oluşturulmuş bir dik-dörtgen bulunmaktadır. Dikdörtgenin köşegeninin elips içinde kalan kısmının boyu kaç br dir?

A) 4 B) 4 2 C) 5 D) 5 2 E) 6


Mustafa YAĞCI Elipsin Parametresi, Doğrultmanları, Dışmerkezliği AABDED

x

y

0 8

6

d

385

1. O merkezli, F ve F′ odaklı yandaki elipste d doğrultmanlardan biridir. F’nin apsisi 4, sağ köşenin apsisi 6, d’nin x eksenini kestiği noktanın apsisi de k’dir. Buna göre k kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 2. O merkezli, F ve F′ odaklı yandaki elipste d doğrultmanlardan biridir. BF ⊥ FC BC ⊥ d m(FCB) = 45° olduğuna göre

AD

AF oranı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3

2 D) 3 E) 2

3. O merkezli, F ve F′ odaklı yandaki elipste d doğrultmanlardan biridir. P noktası elips üzerinde olup PFKD bir dikdörtgendir. |PF| = 10 birim |PD| = 15 birim olduğuna göre |FA| kaç birimdir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. O merkezli yandaki elipste, F ve F′ odaklarına ait doğrultmanlar sırasıyla d ve d′ doğrularıdır. |PD′| = 5 birim |PF′| = 3 birim |PF| = 6 birim olduğuna göre |PD| kaç birimdir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15 5. O merkezli yandaki elipste, F ve F′ odaklarına ait doğrultmanlar sırasıyla d ve d′ doğrularıdır. |PD′| = 10 birim |PF′| = 6 birim |PL| = 5 birim olduğuna göre |AK| = x kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. O merkezli yandaki elipste, F ve F′ odaklarına ait doğrultmanlar sırasıyla d ve d′ doğrularıdır. PD ⊥ d Uzunluklar şekilde verildiği gibiyse |PD| kaç birimdir? A) 9 B) 10,8 C) 11 D) 12 E) 13


Mustafa YAĞCI Elipsin Parametresi, Doğrultmanları, Dışmerkezliği CBEACB

y

xOFF'

d

4 6 k

y

xO FF'

d

A

B C

D

45o

y

xO FF'

d

P D

A K

10

15

y

xO FF'

dd'P DD'

3

5

6

y

xO FF'

dd'P DD'

65

10

A K

BL

x

y

xO FF'

dd'

23

P D4,8

Documents

GEO338-elips 370-385_7_