Fyzika hudby z rýchlika

Andrej Liptaj

7. októbra 2015

1 Úvod

Hudba sprevádza ©udstvo od nepamäti a jej popularita neklesá ani v sú£asnosti, skôr naopak. V䣲ina z nás sme hudobníkonzumenti, men²ia skupina ©udí je viac £i menej hudobne vzdelaná. Skuto£nos´ je v²ak taká, ºe málokto hlb²ie rozumiefyzikálnej podstate zvuku a hudby a to aj medzi hudobne vzdelanými. Obvykle sa tieto fenomény chápu ako �akési� chvenievzduchu.

Obr. 1: Vývoj tlaku vzduchu na Slia£i (£ervená farba) v rozmedzí nieko©kých dní. (Zdroj: webová stránka SHMU.)

Ak zvyknete pozera´ predpove¤ po£asia, ur£ite Vás neprekvapí výraz �vývoj tlaku vzduchu� v danom mieste (Obr.1). Zvuk je jav úplne analogický, akurát na iných £asových a tlakových ²kálach. Pokia© zmeny tlaku v prípade po£asiatrvajú hodiny a dni, tak v prípade zvuku sa zmeny tlaku dejú na úrovni stotín a tisícin sekundy. Ak v prípade po£asia súbeºné zmeny na úrovni kilo-pascalov, v prípade zvuku sa jedná o ²irokú ²kálu tlakov od pribliºne dvoch stotisícin Pascalu(pri£om ve©mi hlasné zvuky zodpovedajú zmenám tlaku o tisícky Pascalov). Zvuky pouºívané v hudbe (tóny) sú ²peci�cké,a síce zmena tlaku vzduchu v £ase je opísaná periodickou funkciou. Znamená to, ºe nejaký motív grafu funkcie sa opakujeza sebou (Obr. 2) a dôsledkom je, ºe fyzika hudby je podmnoºinou fyziky zvuku ako takého.

Ak by ste ²li do hudobnej ²koly, niekde na za£iatku kurzu by ste sa dozvedeli, ºe tón moºno charakterizova´ nasledovnými²tyrmi vlastnos´ami: d¨ºkou, vý²kou, hlasitos´ou a farbou. Prvú vlastnos´ opomenieme, pretoºe £itate© zrejme intuitívnedobre chápe, £o znamená. �tvrtá vlastnos´ odkazuje na �nástroj�, ktorý je pôvodom zvuku. To jest, tón s danou vý²koumôºe by´ zahraný s rovnakou hlasitos´ou raz na klavíri a druhýkrát na �aute. Potom povieme, ºe tieto dva tóny salí²ia farbou. Prv neº sa za£neme jednotlivým vlastnostiam venova´ podotknime, ºe budeme pre jednoduchos´ za ú£elomilustrácie pouºíva´ tóny, ktoré zodpovedajú matematickej funkcii sínus. Takýto zvuk (pribliºne) vydáva kovová ladi£ka vtvare písmena Y (pouºívaná napr. na ladenie klavírov).

1

Obr. 2: Hudobný tón zodpovedá periodickej funkcii. Opakujúci sa motív je zvýraznený £ervenou farbou.

(a) Referen£ný tón. (b) Vy²²ie znejúci tón. (c) Hlasnej²í tón.

Obr. 3: Vý²ka a hlasitos´: vo£i referen£nému tónu a) je tón b) vy²²í a tón c) hlasnej²í.

2 Vlastnosti tónov

2.1 Vý²ka

Za£nime teda vý²kou tónu. Tá sa fyzikálne interpretuje jednoducho a síce ako frekvencia zmeny tlaku, £ím vy²²ia tým vy²²ítón. Ilustrujú to obrázky 3a) a 3b), kde si treba uvedomi´ vz´ah medzi periódou funkcie a zodpovedajúcou frekvenciou:£ím dlh²ia je perióda, tým niº²ia je frekvencia, alebo e²te inak, £ím dlh²í je jeden (opakujúci sa) motív, tým menej motívovsa vmestí do jednej £asovej sekundy. Takáto de�nícia vý²ky tónu je ve©mi dobrá, v skuto£nosti subjektívne vnímaná vý²katónu jemne závisí od hlasitosti. Konkrétne, ve©mi hlasné a nízke zvuky sa nám zdajú hlb²ie ako tiché zvuky s rovnakoufrekvenciou. Rozsah ©udským uchom po£ute©ných frekvencii sa udáva v rozmedzí 20Hz - 16000 Hz. U star²ích ©udí saobvykle zhor²uje schopnos´ po£u´ vy²²ie frekvencie, aj preto niekedy nepo£ujú zvon£ek alebo zvonenie mobilného telefónu.

2.2 Hlasitos´ alebo intenzita

Hlasitos´ zvuku je ©ahké pochopi´ intuitívne, komplikovanej²ie vhodne popísa´ fyzikálnymi jednotkami. Na obrázkoch 3a)a 3c) sú záznamy dvoch zvukov rovnakej vý²ky tónu, ale rôznej hlasitosti. Hlasnej²í zvuk je ten, kde dochádza k v䣲ímzmenám tlaku, £iºe ten, kde sa graf �viac� vlní vo zvislom smere. Fyzikálne je moºné hlasitos´ mera´ v jednotách výkonu naplochu. Hlasitos´ totiº nezávisí iba od výkonu zdroja (napr. reproduktoru) ale aj od vzdialenosti: £ím sme od zdroja ¤alej,tým slab²ie ho po£ujeme. Celková energia, ktorú zvuková vlna nesie ostáva rovnaká (ak zanedbáme straty), av²ak vlna sa²íry do priestoru (priestorovo rastie) a tak jej energetická hustota klesá. Detektory zvuku (ucho, mikrofón) zaznamenávajúzvuk na ploche (v prípade ucha je to povrch u²ného bubienka) a preto je prirodzené hlasitos´ popisova´ veli£inou rozmeruWatt na meter ²tvorcový (W/m2). Hoci takýmto spôsobom formálne získame dobrý fyzikálny popis hlasitosti, ukazuje sa,ºe je nevhodný vzh©adom k vlastnostiam ©udského ucha. Jedným z dôvodov je ve©mi ve©ký rozsah, ucho dokáºe po£u´zvuky ktoré za£ínajú pri 10−12W/m2, pri£om hlasné zvuky prekra£ujú 1W/m2 (rozdiel 12-tich rádov!). Tento �problém�môºeme odstráni´ pouºitím logaritmickej stupnice a zavedením jednotky s názvom �decibel� (dB), po£et decibelov priintenzite I (v jednotách W/m2) ur£íme pod©a vzorca 10 log10 (I/I0), kde log10 ozna£uje desiatkový logaritmus a I0 £íselnedanú intenzitu I0 = 10−12W/m2, ktorá zhruba zodpovedá prahu po£ute©nosti. Neºiadúcim dôsledkom takejto de�nície(vlastnos´ funkcie logaritmus) bude fakt, ºe ticho zodpovedá �mínus nekone£nu� decibelov, av²ak pre po£ute©né zvukysi vysta£íme s £íslami od 0 (prah po£ute©nosti) po 130. Hoci jednotka decibel sa pouºíva £asto, predsa len na¤alej mániektoré zlé vlastnosti. Tieto sa tykajú relatívne vnímanej hlasitosti dvoch zvukov. Ukazuje sa, ºe ak sa £loveku jeden tónzdá dvakrát hlasnej²í neº druhý, nemoºno jednoducho vynásobi´ po£et decibelov dvoma. Okrem toho v prípade hlasitostiplatí, ºe jej vnímanie silno závisí od frekvencie, to jest, ak máme dva tóny rovnakej hlasitosti (vyjadrenej v W/m2 alebodB) potom sa nám tieto tóny (spravidla) zdajú rôzne hlasné, ak majú inú vý²ku (frekvenciu). Z h©adiska vystihnutia

2

Obr. 4: Maskovanie tónov. Celý obrázok zodpovedá zvuku o frekvencii 1200 Hz. Môºeme sa pýta´ (napríklad): aké tónynebudeme po£u´ v prípade, ak má zvuk hlasitos´ 80 dB? Odpove¤ dáva £ervená krivka, tóny po¤ ¬ou po£u´ nebudeme,tóny nad ¬ou áno. Tak napríklad tón o frekvencii 2000 Hz a hlasitosti 40 dB (modrý krúºok) po£u´ nebudeme, budemev²ak po£u´ tón o frekvencii 2400 Hz a hlasitosti 50 dB (zelený krúºok). (Zdroj: Backus, John, The Acoustical Foundationsof Music, 2nd Ed, W W Norton, New York, 1977, upravované.)

©udského vnemu hlasitosti sa teda stupnica v decibeloch nejaví ako ideálna a to bol aj dôvod pre£o boli zavedené inéjednotky ako napr. �són� a �fón� (v tomto texte sa zaobídeme bez ich de�nície). Jedná sa o jednotky do ve©kej miery�umelo u²ité� na ©udské ucho, ktoré v²ak majú svoju formálnu de�níciu. Jednotka fón rie²i problém vnemu hlasitosti, sjej pouºitím moºno preda´ informáciu o subjektívne vnímanej hlasitosti bez udania vý²ky tónu (to sa nedá, ak intenzituvyjadríme v W/m2 alebo dB). K tomu navy²e jednotka són dobre vyjadruje relatívne vnímanú hlasitos´: ak sa £lovekuzdá jeden zvuk dvakrát hlasnej²í ako druhý, potom platí, ºe má aj dvakrát viac sónov.

Maskovanie = hlasitos´ + vý²ka

Skúsenos´ nás u£í, ºe silný hluk (maskujúci) nám nedovo©uje vníma´ slab²ie zvuky (maskované). Tomuto hovoríme mas-kovanie a je to fenomén, ktorý závisí tak od hlasitosti ako aj frekvencie tónu. Nech je daná vý²ka (frekvencia) a hlasitos´(maskujúceho) tónu. Potom sa môºeme pýta´: aké iné tóny bude takýto zvuk maskova´? Ke¤ºe kaºdému maskovanémutónu vieme priradi´ frekvenciu a intenzitu, môºeme odpove¤ elegantne zobrazi´ do dvojrozmerného grafu (obrázok 4),kde je na osi x frekvencia a na osi y intenzita (v dB). Istá £as´ tónov (alebo bodov - £o bod, to tón) v tomto grafe budenepo£ute©ná, zvy²ok je po£ute©ný. Hranicu medzi týmito oblas´ami tvorí akási krivka - zvuky pod krivkou nie je moºnépo£u´, zvuky nad ¬ou je moºné. Do jedného obrázku v²ak môºeme takýchto kriviek nakresli´ viac, napr. pre rôzne intenzitymaskujúceho zvuku. Takºe kone£ný obrázok zodpovedá (ako celok) konkrétnej vý²ke maskujúceho zvuku (pre iné frek-vencie treba nakresli´ ¤al²ie obrázky), jedna vybraná krivka na obrázku zodpovedá hlasitosti maskujúceho zvuku a bodypod touto krivkou zodpovedajú maskovaným tónom, ktoré pri danej vý²ke a hlasitosti maskujúceho zvuku nedokáºemevníma´. Pre£o je tento jav zaujímavý? Napríklad preto, ºe sa vyuºíva pri zvukovom formáte mp3 a umoº¬uje kompresiuzvuku - z nahrávky sa vyhodia maskované zvuky, ktoré nemôºeme po£u´ a tým sa zmen²í ve©kos´ výsledného súboru.

2.3 Farba

Farbu tónu moºno ©ahko intuitívne zade�nova´: dva tóny rôznej farby sa lí²ia tvarom motívu, ktorý sa v zodpovedajúcomgrafe (tlak v závislosti od £asu) opakuje, obr 5. Tieto tóny môºu pri tom ma´ rovnakú vý²ku (rovnaký po£et opakovanýchmotívov v jednej sekunde) a rovnakú hlasitos´ (meranú nejakým z vy²²ie spomínaných spôsobov). Pri bliº²om poh©ade sav²ak veci trocha komplikujú. Ak totiº zahráme dva rôzne tóny (alebo viac), platí (v beºnom rozsahu hlasitostí), ºe nimivyvolané tlakové zmeny sa s£ítajú. A tak napríklad v prípade dvoch rôznych tónov na ladi£ke (kaºdý z nich sínusový),dostaneme tón, ktorý nemá sínusový priebeh (obrázok 6). Ak by sme sa presne drºali vyslovenej de�nície farby, musímepoveda´, ºe po£ujeme nový nástroj, ktorý má (vo v²eobecnosti) inú a novú vý²ku, neº dva pôvodne tóny. Faktom v²ak je,ºe obvykle takto farbu zvuku nevnímame. Výsledný zvuk nám stále znie ako ladi£ka, vnímame ho ako súzvuk dvoch tónov.Vzniká tak celkom zaujímavá otázka: kde je hranica, medzi zvukom viacerých tónov daného nástroja a zvukom novéhonástroja? Je moºné zahatím sínusového zvuku na viacerých rôznych ladi£kách s£ítaním �vysklada´� zvuk napr. klavíra?

3

Obr. 5: Dva zvuky rovnakej vý²ky (frekvencie), ale rôznej farby.

3 Stupnice a ladenia

3.1 Dobré znejúce intervaly a oktáva

Pod intervalom medzi dvoma tónmi sa v hudbe rozumie vzdialenos´ týchto tónov, £o sa ich vý²ky týka. Takúto vzdialenos´by sme vo svetle uº povedaného mohli mera´ v jednotkách frekvencie Hz, tak napr. tóny o frekvenciách 900Hz a 1300Hzsú od seba �vzdialené� 400 Hz. Hudba vzniká kombináciou rôznych tónov a skúsenos´ nám ukazuje, ºe niektoré tónyzahrané sú£asne alebo krátko po sebe znejú pekne, iné nie. Vnímanie krásy je zrejme zloºitá psycho-biologická funkciamozgu, ktorú nemoºno jednoducho popísa´. Predsa v²ak jestvuje empirické pravidlo vnímania hudby: ©u¤om pekne znejútóny, ktorých frekvencie sú v pomere malých celých £ísel. Ak príjmeme toto tvrdenie ako axiómu, môºeme sa pusti´ dobudovania stupnice (rôznych stupníc), ktorú chápeme ako sled tónov rôznej vý²ky. Najjednoduch²ím pomerom dvoch(rôznych) celých £ísel je 1:2. A naozaj, ak k tónu danej vý²ky (teda frekvencie) zahráme druhý tón, ktorý má dvojnásobnúfrekvenciu, potom hovoríme, ºe druhý tón je o oktávu vy²²í (napr. tón s frekvenciou 2000 Hz je o oktávu vy²²í neº tón sfrekvenciou 1000 Hz). Ukazuje sa, ºe oktáva (pouºívanie tónov s frekvenciami v pomere 1:2) jestvuje takmer vo v²etkýchhudobných systémoch rôznych kultúr. V na²ej európskej kultúre povaºujeme takéto tóny za nato©ko previazané, ºe ichdokonca ozna£ujeme rovnakým písmenom (napr. tón c2 je o oktávu vy²²í neº tón c1).

3.2 Chromatická stupnica (rovnomerné temperované ladenie)

Tóny v oktáve sú od seba príli² vzdialené a je ich málo, na hudbu nesta£ia. Je potrebné doda´ medzi ne ¤al²ie tóny, aleako? Odpove¤ nazna£uje uº samotné rozmiestnenie tónov oktáv, kaºdý tón �o oktávu vy²²ie� má dvojnásobnú frekvenciuneº predo²lý, tóny tvoria tzv. geometrický rad vo frekvencii (napr. 1000 Hz, 2000 Hz, 4000 Hz, 8000 Hz...). Nie je tedaprekvapujúce, ºe ¤al²ie tóny by mali by´ usporiadané v geometrickom (frekven£nom) rade tieº. Moºno to podpori´ ajnasledujúcou úvahou: predstavme si, ºe chceme nejakú skladbu zahra´ vy²²ie, v hudobnej re£i transponova´ do vy²²ejtóniny. Potom kaºdý tón skladby posunieme vy²²ie. Ak chceme aby boli zachované frekven£né pomery medzi tónmi (t.j.aby po transponovaní skladba na¤alej dobre znela - na²a axióma) je potrebne vynásobi´ frekvencie jednotlivých tónov týmistým £íslom. Potom sa v pomere dané £íslo vykráti a pomer ostane zachovaný. Toto musí plati´ aj pre dva susedné tónyposunuté, kaºdý z nich, o jeden tón vy²²ie (najjednoduch²ia �skladba� - zahranie dvoch po sebe idúcich tónov). Majmeteda dva za sebou idúce tóny a a b a tón c, ktorý bezprostredne nasleduje. Ozna£me si pomer frekvencií prvých dvoch akoK = fb/fa. Následne, pri posunutí vy²²ie, sa z a sa stane b a z b sa stane tón c. Ak poºadujeme zachovanie frekven£néhopomeru, potom fc/fb sa musí rovna´ K. Inými slovami povedané, frekvencie za sebou idúcich tónov sú fa, fb = K × fa,fc = K×fb = K2×fa. Za takýchto podmienok (zachovanie frekven£ných pomerov) je usporiadanie tónov vo frekven£nomgeometrickom rade nevyhnutné.

Zhr¬me si teda situáciu. Máme za sebou idúce tóny, ktoré tvoria geometrický rad (vo frekvencii), medzi nimi aj tónyo oktávu vzdialené. Ostáva uº len zvoli´ po£et tónov v oktáve a stupnica bude ur£ená jednozna£ne. Rozdelenie oktávy naN tónov za daných predpokladov implikuje, ºe násobiaci koe�cient geometrického radu je N -tá odmocnina z dvoch ( N

√2).

Naozaj, ak za£neme na niº²om tóne oktávy tak po N násobeniach (kaºdé vynásobenie nám ur£í frekvenciu nasledujúcehotónu) £íslom N

√2 sa dostaneme o oktávu vy²²ie, na tón s dvojnásobnou frekvenciou. Ako v²ak zvoli´ tento po£et (N)?

Na²a �axióma� nám dáva silný návod: po£et zvo©me tak, aby vzniklo £ím najviac tónov s frekvenciami v pomere malýchcelých £ísel. Matematiky znalý £itate© v²ak zbadá problém: £íslo N

√2 je pre kaºdé celé N (v䣲ie ako 1) iracionálne a

4

Obr. 6: Pre dva tóny zahrané sú£asne (modrá a £ervená krivka) sa ich tlakové prejavy s£ítajú (zelená krivka). Tak napríkladv bode nula má tlak vyvolaný prvým tónom hodnotu jeden (umelé jednotky), tlak vyvolaný druhým tónom hodnotu ²tyri,£iºe v sú£te vznikne tlak vzduchu s hodnotou pä´. Perióda (opakujúci sa motív) je pre kaºdú krivku znázornená hrubo avyzna£ená farebnými krúºkami. Vidíme, ºe dva sínusové (£asovo posunuté) tóny s rôznou frekvenciou (modrý 5, £ervený7.5) vedú k výslednému tónu, ktorý nie je sínusový (má zloºitej²iu ²truktúru) a má inú periódu (15, a teda aj inú frekvenciu),neº kaºdý z tónov z ktorých vzniká.

je nemoºné, aby sme získali, ak ním násobíme, racionálne £íslo (pomer dvoch celých £ísel). Teda, získa´ v rámci oktávy(okrem samotnej oktávy) dva tóny v pomere (frekvencií) malých celých £ísiel je nemoºné!

Teraz príde kúzelné rozuzlenie: ak oktávu rozdelíme na 12 tónov (tzv. chromatická stupnica, typická pre európskuhudbu) potom v rámci tejto stupnice moºno nájs´ ve©a tónov, ktoré majú frekvencie pribliºne v pomere malých celých£ísel, pri£om takéto priblíºenie pre hudbu sta£í. A naozaj, násobiaci faktor má hodnotu K = 12

√2 ≈ 1.0594631 a vedie

napr. k frekven£ným pomerom

K7 = 1.498307 . . . ≈ 3 : 2 = 1.5

K5 = 1.334840 . . . ≈ 4 : 3 = 1.333̄

K4 = 1.259921 . . . ≈ 5 : 4 = 1.25

vzh©adom k základnému tónu. Vzdialenos´ dvoch susedných tónov sa v takomto prípade ozna£uje ako poltón (dva poltónytvoria celý tón) a iné vzdialenosti majú tieº svoje názvy. V prípade vzdialenosti o 7 poltónov (pribliºný pomer frekvencií1.5) hovoríme o kvinte, vzdialenos´ o pä´ poltónov nazývame kvarta (pribliºný pomer frekvencií 4:3), interval medzi dvomatónmi vzdialenými o ²tyri poltóny nazývame (ve©ká) tercia (pribliºný pomer frekvencií 1.25). Delenie na 12 tónov vzniklosamozrejme prirodzene, historicky, na²ou optikou v²ak moºno porozumie´, pre£o tomu tak bolo. Chromatická stupnicana klavíri zodpovedá postupnému zahraniu dvanástich nasledujúcich tónov (biele aj £ierne klávesy bez vynechania) od©ubovo©ného miesta. Na absolútnej ²kále je vý²ka tónov de�novaná na základe tónu �komorné a�, ktorý má (©udskoudohodou) presne ur£enú frekvenciu o hodnote 440 Hz (a následne budujeme ¤al²ie, niº²ie a vy²²ie tóny delením a násobenímtejto frekvencie £íslom 12

√2).

4 Ladenie a iné stupnice

Poh©ad v predo²lom odseku bol predsa len trocha zjednodu²ený. V skuto£nosti je rovnomerné temperované ladenie ibajedno z viacerých pouºívaných ladení. Je v²ak pouºívané naj£astej²ie, a to najmä pre nástroje s ve©kým rozsahom, kdeprichádza v úvahu transponovanie skladby do iných, vzdialených tónin. Ako príklad odli²ného ladenia moºno uvies´kvintové ladenie, kde sa kvinta presne naladí na frekven£ný pomer 3:2. Samozrejme, tým, ºe presne naladíme kvintupokazíme ostatné intervaly. Nie je moºné na jednom mieste získa´ bez toho, aby sme niekde inde stratili. Iným ladeniamsa ¤alej venova´ nebudeme, je v²ak zrejmé, ºe sa jedna o ve©mi bohatú tému.

Ako poslednú vec moºno spomenú´ iné stupnice (neº je chromatická). Tieto stupnice sú spravidla podmnoºinou chro-matickej stupnice a zaujímavé sú predov²etkým tým, ako znejú. Ak zahráme spolu so základným tónom (tón £íslo 1)postupne tóny £íslo 3, 5, 6, 8, 10 a 12 chromatickej stupnice, zahráme takzvanú durovú stupnicu s názvom najniº²iehotónu (t.j ak tón £íslo 1 je c, potom hráme stupnicu c-dur, ak je to tón ges, potom stupnicu ges-dur, at¤...). Tóny 1, 3,4, 6, 8, 9 a 11 zase zodpovedajú tzv. (aiolskej) mólovej stupnici (konkrétne táto mólová stupnica pouºíva tóny durovej

5

stupnice zahraté v inom poradí - od jej ²iesteho tónu). Je empirickým faktom, ºe durová stupnica ©udom znie veselo, tvrdo,mólová stupnica zase smutne a mäkko. Okrem dvoch spomenutých stupníc jestvuje ve©ké mnoºstvo iných stupníc, ktoréznejú kaºdá svojím spôsobom a vytvárajú u posluchá£a konkrétny hudobný vnem. Z tohto h©adiska moºno poveda´, ºeznalos´ stupníc musí by´ ve©mi dobrá predov²etkým u hudobných skladate©ov. Zvolenie vhodnej stupnice pomáha autorovidocieli´, aby skladba vyznievala pod©a jeho predstáv. Vo v²eobecnosti moºno poveda´, ºe stupnice (nech uº sú hocijaké)v sebe zvyknú obsahova´ pekne znejúce intervaly (kvinty, kvarty, tercie, sexty), hor²ie znejúce vynechávajú.

5 Domáca úloha namiesto záveru

• �o viete poveda´ o historickom pozadí merania tlaku (vzduchu)? Ako sú de�nované (historické) jednotky torr a bar?

• Aký je vo zvukovej vlne (a vlne v²eobecne) vz´ah medzi frekvenciou, vlnovou d¨ºkou (periódou) a rýchlos´ou (zvuku)?Aký je rozdiel medzi frekvenciou a uhlovou frekvenciou?

• Ako funguje ©udské ucho?

• Ako sú de�nované v texte spomínané jednotky són a fón?

• �o viete zisti´ o iných hudobných ladeniach?

• Ak platí s£ítanie tlakov, moºno naozaj vysklada´ zo zvukov viacerých ladi£iek zvuk klavíra? Pomôc´ by tomu mal ajfakt, ºe ucho je málo citlivé na fázy (£asové posuny sínusoviek), podstatná je predov²etkým ich intenzita. [pomôcka:Furierové rady. Experiment na po£íta£i s viacerými nezávislými reproduktormi.]

• Pre£o sa snaºíme zvuky vyjadrova´ ako sú£ty sínusových funkcií a nezvolíme si inú mnoºinu, napr. �pílkovité� zubatéfunkcie? Matematickým faktom je, ºe aj do týchto funkcií moºno vo v²eobecnosti periodické funkcie rozklada´.[pomôcka: Malé kmity.]

• Ako fungujú hudobné nástroje? �o sú to stojaté vlny?

Po¤akovanie

Tento text vznikol aj v¤aka podpore z grantov APVV-0463-12 a VEGA 1/0158/13.

Zdroje

1. Physics of Music, Lecture Notes. Instructor: Guy D. Moore. http://www.physics.mcgill.ca/~guymoore/ph224/lecnotes.pdf

2. Internet, predov²etkým Wikipédia

6