FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

Ricordiamo che …Una funzione di due variabili è del tipo

z = f(x , y)

Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione che associa ad ogni coppia di numeri reali (x,y) appartenenti

al Dominio uno ed un solo numero reale z

Assegnando a x e y due valori del Dominio si ottiene il valore di z e, quindi, il punto P(x ; y ; z)

x

y

z

Esempio: z = 3x-y+9 Se x = 2 e y = 7 si ottiene z = 8 Il punto è P(2 ; 7 ; 8)

Questo punto può essere rappresentato nello “spazio”P(2 ; 7 ; 8)

2 7

8

P

Dominio di una funzione a due variabili

• Il Dominio è il sottoinsieme del prodotto cartesiano R X R costituito da tutte le coppie (x,y) di numeri reali che hanno per corrispondente un ed un solo numero reale Z

Dominio di una funzione a due variabili

Per determinare il dominio di una funzione a due variabili e’ necessario procedere alla sua classificazione:

• Funzione intera o Funzione Fratta

• Funzione razionale o irrazionale

• Funzione trascendente : logaritmica, esponenziale

Grafico di una funzione a due variabili

Rappresentare graficamente una funzione di due variabili è piuttosto complesso poiché si tratterebbe di tracciare il grafico di una superficie in sistema di assi cartesiani x,y,z e questo non è sempre agevole.

Esistono programmi svolti dal calcolatore che danno l'idea di queste immagini: sono molto suggestive, ma non sempre evidenziano certi comportamenti della funzione.

Piano di equazione z = -3x+2y+10

z = 2 x2 - y

z = xy

z = x2 + y2 - 25

z = y2 - x2

Linee di livelloE’ possibile avere delle informazioni sul grafico della funzione tracciando le sue

“linee o curve di livello”.Le linee di livello sono la proiezione

ortogonale sul piano x,y di tutti i punti aventi la stessa quota z = K

In pratica è come se si tagliasse la superficie con dei piani orizzontali a differenti quote e si

trasferisse il risultato di questo “taglio” sul piano x,y

Per costruire le linee di livello occore partire da un sistema:

kz

y)f(x,z

f(x,y) = k equazione della generica linea di livello

Assegnando dei valori alla quota z si identificano le varie linee di livello che sono quindi rappresentabili sul piano x,y ponendo accanto a ciascuna di esse la relativa quota z

x

y

rappresentazione delle linee di livello sul piano xy senza prospettiva

k1 k2 k3

Clicca per visualizzare le linee di livello

Clicca per visualizzare le linee di livello

X

Y

Z

piano xy

piano z = k

linea di livello

DERIVATE PARZIALI

Nello studio dell’analisi si incontra il concetto di derivata;data una funzione y = f(x) si definisce la sua derivata come:

derivatayh

xfhxfh

'

)()(lim

0

Il rapporto a fianco del simbolo del limite viene detto

RAPPORTO INCREMENTALE

Nel caso di una funzione a due variabili è necessario scrivere due definizioni

h

yxfyhxfh

),(),(lim

0

h

yxfhyxfh

),(),(lim

0

Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a x in quanto la y viene considerata costante

y’x

Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a y in quanto la x viene considerata costante y’y

Esempio :

z = x2 y +2x -y2

Z’x

= 2x+2

Z’y

= -1-2y

Ovviamente sono valide tutte le regole di derivazione applicate nello studio delle funzioni ad una sola variabile

y = f(x)

DERIVATE SUCCESSIVEAnche nel caso di funzioni a due variabili è possibile procedere al calcolo delle derivate successive.

Z’’x x significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla x

Z’’x y significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla y

Z’’ y x significa che a partire dalla z’y devo ancora derivare rispetto alla x

Z’’y y significa che a partire dalla z’ y devo ancora derivare rispetto alla y

Teorema di Schwarz

Esso afferma che le due derivate seconde z’’ x y e z’’ y x sono uguali

Z’’XY = Z’’ YX

Esempio.

Data la funzione z = 3x2 +5xy-y3 verificare il Teorema di Schwarz

Z’x = 6x+5y Z’ y = 5x-3y2

Z’’x y = 5 Z’’y x = 5

PIANO TANGENTE

Nello studio dell’analisi matematica è stato più volte ricordato il significato geometrico della derivata prima, che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in un determinato punto alla funzione.

Assegnato un punto P(x0,y0) appartenente ad una funzione y = f(x) è possibile ricavare la retta tangente a partire dall’equazione del fascio proprio di rette passante per P

y-y0 = m·(x-x0)

dove è rappresentato dalla derivata prima della funzione f’(x0,y0)

Z = f(x0,y0)+f’x(x0,y0)·(x-x0) + f’y(x0,y0) ·(y-y0)

In analogia su quanto detto per le funzioni ad una variabile, è possibile scrivere l’equazione del piano tangente in un punto P(x0,y0,z0) ad una superficie:

Dove f’x e f’y sono le derivate prime parziali della funzione z = f(x,y) calcolate nel punto di tangenza P(x0,y0,z0)

Il piano tangente può esser utilizzato per approssimare la superficie nell’intorno dl punto di tangenza.

MASSIMI E MINIMI

Si ricorda la definizione di massimo relativo:Un punto M è di massimo relativo se esiste un suo intorno o intervallo I nel quale il punto M > P(x,y) per ogni punto P appartente all’intervalloAnaloga la definizione di minimo relativo.Se poi la disuguaglianza è valida per tutto il dominio, si avrà un massimo assoluto o minimo assoluto.

Min assoluto

Max assoluto

Max. relativo

Min relativo

MASSIMI E MINIMI LIBERI

Esistono due metodi per la ricerca dei massimi e minimi liberi:

A) Metodo delle derivate

B) Metodo delle linee di livello

Metodo delle derivate

0'

0'

yfx

f

Assegnata ala funzione z = f(x,y) si procede al calcolo delle derivate parziali prime che vengono poste uguali a zero:

CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE

I punti le cui coordinate sono le soluzioni del sistema sono detti PUNTI CRITICI O STAZIONARI: fra tali punti si devono ricercare i massimi ed i minimi della funzione. Per decidere se si tratta effettivamente di massimo o di minimo, occorre esaminare il determinante hessianodeterminante hessiano.

yy''f

yx''f

xy''f

xx''f

H

Ora occorre andare a verificare il valore di H nel o nei punti critici precedentemente ricavati.

Sia P(x 0, y 0) un punto critico

ƒ''XX(X0, Y0) > 0 in P si ha un minimo relativoSe H (x0, y0) > 0 e

ƒ''XX(X0, Y0) < 0 in P si ha un massimo relativo

.Se H (x0, y0) < 0 In P si ha un punto di sella

Se H (x0, y0) è dubbio il comportamento della funzione in P è dubbio e bisogna utilizzare un altro metodo o esaminare la funzione nell’intorno di P

Esempio:determinare gli eventuali massimi e minimi relativi della funzioneZ = x² – xy + 2y² + 3x + 2ycalcolo delle derivate parziali prime:

Z'X = 2x – y + 3 Z‘y = – x + 4y + 2

Le due derivate prime vengono messe a sistema ponendole uguali a zero:

Le soluzioni del sistema sono:

Abbiamo ottenuto dunque un solo punto critico o stazionario

Ora si procede al calcolo delle derivate seconde: Z''XX = 2 Z''YY = 4 Z''XY = Z''YX = – 1

024

032

yx

yx

1

2

y

x

Si procede quindi al calcolo del determinante Hessiano:

71841

12

In questo caso l’Hessiano ci fornisce già un valore numerico cioè è puntuale.

Poiché H >0 il nostro punto critico può essere un massimo o un minimo: Per arrivare alla conclusione si analizza la Z ’’xx che essendo uguale a 2 ci porta alla conclusione che il punto

P(-2,-1,-4) è un punto di minimo

Metodo delle linee di livello

Il metodo consiste nel tracciare le linee di livello della funzione z = f(x,y):

kz

y)f(x,z

Una volta tracciate le linee di livello si andrà ad analizzarle per capire se esse degenerano in un punto.

In tale punto ci sarà il massimo o il minimo a seconda dell’andamento del valore della z

MASSIMO E MINIMI VINCOLATI

In molte applicazioni sorge il problema di determinare gli eventuali massimi-minimi di una funzione le cui variabili non sono indipendenti ma devono soddisfare certe condizioni; si parla in tal caso di massimi-minimi vincolati. In economia ad esempio nell’ottimizzare la funzione dei profitti di un’impresa che produce e vende un prodotto si tiene conto del vincolo espresso dalla funzione di domanda del bene.

Dunque un problema di massimo-minimo vincolati si presenta in questo modo:

Z=f(x,y) da massimizzare – minimizzare con vincolo g(x,y) =0

Esempio

Determinare il massimo-minimo della funzione z = x2+y2 - 4 con il vincolo x + y-2=0

Massimi-minimi vincolati

Esistono sostanzialmente tre metodi di risoluzione

A) Metodo di sostituzione

B) Metodo della funzione Lagrangiana

C) Metodo delle linee di livello tangenti

Metodo di sostituzione

Procedimento :

• Si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile (x o y indifferentemente)• Si sostituisce l’espressione ricavata nella funzione iniziale eliminando dunque

una variabile• Si procede come per il calcolo di massimi-minimi in una funzione ad una

variabile

83

3

xyx

z 0122 xy

2

12x

y

6

483632 23

xxxz

Esempio: trovare max.-min della funzione:

con vincolo

Si esplicita nel vincolo rispetto ad y

E si sostituisce nella funzione z ottenendo così una funzione con una sola variabile:

62 xx'z

Il problema ora è diventato un problema di analisi di funzione ad una sola variabile. Si procede quindi al calcolo della derivata prima che viene posta uguale a zero:

32

06

21

2

xx

xx

Si sono ottenuti due punti critici. Ora si può procedere in due modi:

Con lo studio della crescenza/decrescenza o con lo studio della derivata seconda:

-3 2

+ 0 - - - - - - - 0 + +z’’= 2x+1

z’’(2) = 2 min (2,-5,2/3)

z’’(-3)=-5 Max(-3,-15/2,43/2)

Max min

Metodo della funzione Lagrangiana

Assegnata la funzione z=f(x,y) e il vincolo g(x,y) si costruisce una nuova funzione detta FUNZIONE LAGRANGIANA:

Z = f(x,y) + λ·g(X,Y)

λ è detto moltiplicatore di Lagrange e trasforma un problema di massimo – minimo vincolato in un problema di massimo – minimo libero vincolato.

La funzione Lagrangiana è una funzione a tre variabili: x, y, λ

Condizione necessaria, ma non sufficiente affinchè Z abbia un massimo

(minimo) vincolato è data dal contemporaneo annullamento delle derivate

parziali prime rispetto a (λ, x, y).

0'

0'

0'

Zy

Zx

ZLe soluzioni del sistema sono dette punti critici o punti stazionari

A questo punto si procede al calcolo di un determinante detto Hessiano Orlato:

yyZ

yxZ

yg

xyZ

xxZ

xg

yg

xg

H

""'

""'

''0

Per ogni punto critico p(x0,y0,λ0) deve essere calcolato il valore dell’Hessiano orlato e verificare se:H (X0, Y0, λ0) > 0 in P0 la funzione ha un massimo vincolatoH (X0, Y0, λ0) < 0 in P0 la funzione ha un minimo vincolatoH (X0, Y0, λ0) = 0 non si può dire nulla ed occorre studiare la

funzione nei punti del vincolo prossimi a P0

Dove g’x e g’y sono le derivati parziali del vincolo e Z’’xx Z’’xy Z’’yy le derivate parziali seconde della funzione Lagrangiana

Metodo delle linee di livello tangenti

• Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve

• Si rappresenta graficamente il vincolo (nello stesso sistema cartesiano)

• Si cercano, fra tutte le curve di livello che sono tangenti al vincolo: nei punti di tangenza, se ci sono, si avranno max-min vincolati