FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK...FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK petri atarrabiakoa dbhi - 4 - dbh matematika4 b aukera matematika departamentua ei · + 1 0 k . f(x) transformazioak

FUNTZIOAK

OINARRIZKO

TRANSFORMAZIOAK

DBH MATEMATIKA4 B AUKERA

Matematika Departamentua

Petri Atarrabiakoa DBHI

e i · + 1 = 0

AURKIBIDEA

OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK FUNTZIOEKIN .......................................... 1

-f(x) transformazioa: X ardatzarekiko biraketa .......................................................... 1

f(-x) transformazioa: Y ardatzarekiko biraketa .......................................................... 2

f(x) + k eta f(x) - k transformazioak: translazio bertikalak ................................ 2

f(x + k) eta f(x - k) transformazioak: translazio horizontalak ............................ 3

k · f(x) transformazioak ................................................................................................................ 4

FUNTZIOEN TRANSFORMAZIOAK GEOGEBRA PROGRAMAREKIN ............... 5

FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK

petri atarrabiakoa dbhi - 1 - dbh matematika4 b aukera

matematika departamentua ei · + 1 0

OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK FUNTZIOEKIN

Funtzio bat, ikusi dugun bezala, bi magnituderen arteko erlazio bat da. x -ri aldagai aske deitzen genion, eta

y-ri, menpeko aldagai.

yxxfyf ;)(

Gogoratu, bere oinarrizko propietateak aztertu genituela (eremua, ibiltartea, jarraitasuna, ...) baita bere adie-

razpen grafikoa ere.

Oraingo honetan, funtzio batean eragin ditzakegun transformazioak aztertuko ditugu. Transformazio hauek

biraketak izango dira (X eta Y ardatzekiko) baita translazioak ere, bertikalak zein horizontalak. Bakoitza

nondik sortu daitekeen ikusiko dugu, lehenik funtzioaren adierazpen aljebraikoan eta ondoren bere grafikoan

islatuta burututako transformazioa.

-f(x) transformazioa: X ardatzarekiko biraketa

X ardatzarekiko 180º biraketa bat burutuko dugu, y f(x) funtzioaren ordez bere aurkakoa adierazten ba-

dugu, hau da, y f(x). Adibide gisa bigarren eta hirugarren mailako funtzio polinomiko sinpleenak erabiliko

ditugu, y f(x) x2 eta y f(x) x3 hain zuzen ere.

Ordenatuen zeinu guztiak aldatzen direnez, honek eragiten du horrelako biraketa sortzea. Balio taulak ere

adierazgarriak dira zer gertatzen den ulertzeko.

x y f(x) x2 y f(x) x

2 x y f(x) x

3 y f(x) x

3

3 9 9 3 27 27

2 4 4 2 8 8

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 4 4 2 8 8

3 9 9 3 27 27




f(-x) transformazioa: Y ardatzarekiko biraketa

Y ardatzarekiko 180º biraketa bat burutuko dugu, y f(x) funtzioan abzisaren aurkakoa adierazten badugu,

hau da, y f(x)1.

x y f(x) x2 y f(x) x

2 x y f(x) x

3 y f(x) x

3

3 9 9 3 27 27

2 4 4 2 8 8

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 4 4 2 8 8

3 9 9 3 27 27

f(x) + k eta f(x) - k transformazioak: translazio bertikalak

y f(x) funtzio batean translazio bertikalak egiteko, jatorrizko ordenatuei k balio bat gehitu edo kendu

beharko diegu. k balio bat ordenatu guztiei gehituz gero, funtzioaren grafikoa k unitate transaldatuko dugu

bertikalean gorantz. k balio hori kentzen badiegu ordea, beherantz egingo du grafikoak k unitate. Aztertu on-

dorengo balio taula.

x y f(x) x2 y f(x) 2 x

2 2 y f(x) 1 x

2 1

3 9 11 8

2 4 6 3

1 1 3 0

0 0 2 1

1 1 3 0

2 4 6 3

3 9 11 8

1 y x

2 funtzioa Y ardatzarekiko simetrikoa denez, f(x) f(x) eta orduan ez dugu sumatzen biraketarik.




f(x + k) eta f(x - k) transformazioak: translazio horizontalak

y f(x) funtzio batean translazio horizontalak egiteko, jatorrizko abzisei k balio bat gehitu edo kendu be-

harko diegu. Horrela, k gehituta ezkerralderako eta k kenduta eskuinalderako translazioak burutuko di-

tugu. Aztertu balio taulak eta grafikoak.

x y f(x) x2 x 2

y f(x 2) (x 2)2

y f(x 2) x2 4x 4

x 3 y f(x 3) (x 2)

2

y f(x 3) x2 6x 9

3 9 5 9 0 9

2 4 4 4 1 4

1 1 3 1 2 1

0 0 2 0 3 0

1 1 1 1 4 1

2 4 0 4 5 4

3 9 1 9 6 9




k . f(x) transformazioak

Funtzio bat k balio batekin biderkatzen badugu, jatorrizko funtzioa baino beste bat "estuagoa" ala "zabala-

goa" lortuko dugu, k balio horren arabera. Alde batetik k>0 izan daiteke edo bestetik k<0. Guk lehen kasua

aztertuko dugu. Behin hau ikusita, k<0 den kasua X ardatzarekiko biraketa bat bezala aztertu ahal izango

dugu ondoren.

k > 0 bada, bi kasu aztertuko ditugu bi funtzio desberdinetan: lehena, bigarren mailako funtzio polinomikoa;

bigarrena, alderantzizko proportzionaltasun funtzioa. Zein ondorio atera daiteke?

0 < k <1

k > 1

FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK



FUNTZIOEN TRANSFORMAZIOAK GEOGEBRA PROGRAMAREKIN

GeoGebra programarekin aljebra eta geometria lantzeaz gain matematikaren analisia atala (funtzioen azter-

keta) jorratu daiteke. Dena dela Aljebra, CAS - Kalkulu Formala eta Ikuspegi Grafikoa erabiliko ditugu

modu bereizezinean.

Ikuspegia irekitzerakoan CAS-Kalkulu Formala eta ondoren Ikuspegia menu berean Aljebra ere aukeratu

eta honako ikuspegia izango duzu2. Nahi izanez gero, ezkuta daiteke leihoren bat eta gero berriz agerian jarri.

Hasiera emateko gure azterketari, orain arte erabili ez dugun tresna berezi batera joko dugu: Irristailua.

Tresna honen bitartez, parametro aldakor bat (edo gehiago) sar daiteke funtzio baten adierazpenean. Ikuspegi

leihoan marra zuzen botoidun bat (bere itxura eta ezaugarriak alda daiteke gerora) agertzen da eta bertan

eraginez kurtsoarekin funtzioa eta bere adierazpen grafikoa aldatzen doa, azterketari dinamismoa emanez.

2 Aurretik ikusi ditugun esku-liburuetan (Hizkera Aljebraikoa; Ekuazioak, Inekuazioak eta Sistemak) GeoGebra pro-

gramari buruzko lehen urratsak kontsulta ditzakezu.




Ikuspegi Grafikoa leihoan nahi dugun puntu batean klikatuz, honako koadro hau agertuko zaigu. Bertan irris-

tailuaren ezaugarriak ezarri daitezke baina osoagoa izango da behin Aplikatu botoian sakatuta, irristailuaren

gainean eskuineko botoiarekin Propietateak aukeratzen badugu. Hobespenak koadroa agertuko zaigu. Au-

kera batzuk ezagunak ditugu aurretik. Berriak eta interesgarrienak direnak komentatuko ditugu.

Irristailua aukeran, mugituko den tartea aukeratu daiteke, baita zein izango den bere gehikuntza.

Finkatua aukeratzen bada, zooma erabiltzen badugu (saguaren gurpilaren bitartez) gure ikuspegitik

desager daiteke. Horrelakoa saihesteko Finkatua desaktibatu eta Posizioa erlaitzean Posizio ab-

solutua pantailan aktibatuta izan (gauza bera gertatzen da txertatutako Testu batekin).




ARIKETA EBATZIA

1.- Bigarren mailako f(x) x2 funtzioan oinarrituz, osatu irristailuen bitartez edozein bigarren mailako funtzioa

lortzeko eraikuntza aztertu ditugun oinarrizko transformazioen erabiliz.

Prozedura

i. Eraiki behar dugun funtzioaren adierazpen orokorra honako hau izango da:

baxkxf 2

)(

Beraz, lehenik eta behin hiru irristailu sortu behar ditugu. Honako hauek izango dira bakoitzaren ezau-

garriak (koloreak eta lodiera zure aukeran):

k: Funtzioaren formako parametroa. Tartea: 5/5 ; Gehikuntza: 0.5 ; Posizio absolutua bai ; finka-

tua ez.

a: Desplazamendu horizontaleko parametroa. Tartea: 10/10 ; Gehikuntza: 0.25 ; Posizio abso-

lutua bai ; finkatu ez.

b: Desplazamendu bertikaleko parametroa. Tartea: 10/10 ; Gehikuntza: 0.25 ; Posizio absolu-

tua bai ; finkatu ez.

ii. Aljebra leihoko Sarrera eremuan, idatzi aurreko adierazpen orokorra: k (x+a)2+b. Enter sakatu bezain

pronto Ikuspegi Grafikoan funtzioaren adierazpen grafikoa agertuko zaigu (ondoren aldatu bere

forma-ezaugarriak).

iii. Orain, funtzioaren puntu bat adieraziko dugu. Puntu hau kurbaren gainean mugitu ahal izateko,

Puntua Objektuan aukeratuko dugu Puntuak botoi-menu multzokoa dena eta grafikoaren gainean kli-

katu egingo dugu.

Puntuaren koordenatuak Ikuspegi Grafikoa leihoan adieraziko ditugu orain. Horretarako Testua bo-toian sakatzen dugunean agertzen zaigun koadroan Editatu leihotxoan A idatzi eta ondoren Objek-tuak aukera-zerrenda zabaldu eta A aukeratu.




iv. Eraikuntza dinamikoagoa izateko funtzioaren adierazpen aljebraikoa agertaraziko dugu ondoren.

Bertan, irristailuetan burutzen ditugun aldaketak islatzeko.

Testuak txertatuko ditugu. Bi izango dira idatzi beharrekoak:

v. Azkenik, bigarren mailako funtzio baten adierazpen orokorra3 sortuko dugu. Adierazpen hau eza-

gunagoa egiten zaigu eta komenigarria da begi bistan izatea. Hau burutzeko, Sarrera eremuan Garatu

komandoa erabiliz hau idatziko dugu:

Garatu[ f ]

g(x) funtzioa sortuko du GeoGebrak. Ezkutatuko dugu bere adierazpen grafikoa eta ondoren Testua tresna aukeratuko dugu adierazpena agertzeko. Bukatzeko eraikuntzaren titulua txertatuko dugu.

3 Gogoratu: f(x) ax

2 + bx + c. Ez nahasi ekuazio honetan erabiltzen diren parametroen letrak aurretik erabili ditugune-

kin.




PROPOSATUTAKO ARIKETA

1.- Aurreko Ariketa Ebatzian oinarrituta eta Alderantzizko Proportzionaltasun funtziotik abiatuta burutu

itzazu egin beharreko transformazio multzoak Lehen Mailako Funtzio Arrazional adierazpen orokorra

lortzeko.

qpx

nmxb

ax

ky

xxfy

zioaktransforma

1)(

2.- Ariketa bera burutu errodun funtzioarentzako.

xxfy )(




Documents

FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK...FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK petri atarrabiakoa dbhi - 4 - dbh matematika4 b aukera matematika departamentua ei · + 1 0 k . f(x) transformazioak