Funkcje analityczne

Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne?

Funkcje analityczne (rok akademicki 2018/2019)

Paweł MleczkoUniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

1. Sprawy organizacyjne

2. Czego będziemy się uczyć?

3. Kogo spotkamy podczas wykładów?

4. Co to są i do czego służą funkcje zespolone?

5. O co w tym chodzi?

6. Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?

Sprawy organizacyjne

Skąd czerpać wiedzę?

Co oznacza słowo „studiować”?| uczyć się na uczelni wyższej; być na studiach| uważnie czytać, zgłębiać temat| wpatrywać się uważnie

Wykład nie będzie udostępniony w formie elektronicznej. Na stroniehttp://students.wmi.amu.edu.pl/˜mleczko/ znajdzie się spisomówionego materiału.

T. H. Moore, E. H. HandlockComplex analysisLondyn 1991.

J. Bak, D. J. NewmanComplex analysisNew York 1997.J. ChądzyńskiWstęp do analizy zespolonejWydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999.

4

Zasady zaliczenia

Punkty przydzielane według zasady:| test końcowy – 50%| zaliczenie – 50%

Oceny (do zdobycia 100 pkt.):| 50–60 pkt. – dostateczny| 61–70 pkt. – dostateczny plus| 71–80 pkt. – dobry| 81–90 pkt. – dobry plus| 91–100 pkt. – bardzo dobry

5

Czego będziemy się uczyć?

Zakres materiału

1. Wiadomości wstępne2. Płaszczyzna zespolona3. Funkcje zespolone4. Wizualizacja funkcji zespolonych5. Pochodna funkcji zespolonej. Warunki Cauchy’ego–Riemanna6. Szeregi potęgowe7. Funkcje specjalne i ich szeregi potęgowe8. Wzór całkowy Cauchy’ego9. Twierdzenie Cauchy’ego

10. Twierdzenie Liouville’a. Zasada maksimum. Twierdzenieo jednoznaczności

11. Szeregi Laurenta12. Residua. Metody znajdowania residuów13. Zastosowanie w analizie rzeczywistej do znajdowania całek Riemanna,

całek niewłaściwych oraz sum szeregów

7

Kogo spotkamy podczas wykładów?

Postacie

Augustin LouisCauchy

(1789–1857)

Leonhard Euler(1707–1783)

Jacques SalomonHadamard

(1865–1963)

Zdjęcia za wikipedią.

9

Postacie

Joseph Liouville(1809–1882)

Georg FriedrichBernhard Riemann

(1826–1866)

Karl TheodorWilhelm Weierstrass

(1815–1897)

Zdjęcia za wikipedią.

10

Co to są i do czego służą funkcje zespolone?

Płaszczyzna zespolona. Liczby zespolone

| Liczby zespolone jako zbiórC = {x + iy : x , y ∈ R, i2 = −1} = {(x , y) : x , y ∈ R} = R2

| Liczby zespolone jako struktura algebraiczna(C,+, ·)

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x1) + i(y1 + y2)(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

| Liczby zespolone jako przestrzeń metrycznaFunkcja | · | : C→ [0,∞) dana wzorem

|x + iy | =√

x2 + y2

nazywana jest modułem liczby zespolonej. Funkcjad : C× C→ [0,∞) dana wzorem

d(x1 + iy1, x2 + iy2) = |(x1 + iy1)− (x2 + iy2)|jest odległością w C× C. 12

Liczby zespolone. Postać trygonometryczna

Re

Im

t

z = r(cos t + i sin t)

r

z1 = r1(cos t1 + i sin t1)z2 = r2(cos t2 + i sin t2)

Dodawanie liczb

z1 + z2 = r1 cos t1 + r2 cos t2

+ i(r1 sin t1 + r2 sin t2)

Mnożenie liczb

z1 · z2 = r1r2(cos(t1 + t2)

+ i sin(t1 + t2))

13

Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

Zajmować się będziemy funkcjami zespolonymi zmiennej rzeczywistej,czyli funkcjami

f = u + iv : A→ C, gdzie A ⊂ R.

Przykład

Funkcja f : [0, 2π)→ C

f (t) = cos t + i sin t.

Obrazem odcinka [0, 2π) za pomocą funkcji f jest okrąg jednostkowy.

14

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Zajmowac będziemy się funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej, czylifunkcjami

f = u + iv : A→ C, gdzie A ⊂ C.

Funkcję u : R2 → R nazywana jest częścią rzeczywistą funkcji f ,Funkcję v : R2 → R nazywana jest częścią urojoną funkcji f .

Przykład

Funkcja f : C→ C

f (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn, gdzie ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , n

jest zespolonym wielomianem.

15

Tematyka

# ciągłość

# całka krzywoliniowa

# szereg potęgowy

# szereg Taylora

# miejsca zerowe

# różniczkowalność

16

Obszary

Obszar – zbiór otwarty i spójny

Dysk jednostkowy

1

Pierścień

r2r1

r0, r1 ∈ (0,∞)

17

Motywacja: zastosowania w matematyce elementarnej

| Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych

ZadanieUzasadnić wzór na sumę kosinusów kątów, czyli

cosα + cos β = 2 cos α + β

2 cos α− β2 α, β ∈ R.

18

Motywacja: zastosowania w matematyce (trochę) wyższej

| Znajdowanie granic całek niewłaściwych, sum szeregów liczbowych,skomplikowanych całek Riemanna

ZadanieZnaleźć granicę do której zbieżna jest całka niewłaściwa∫ ∞

−∞

11 + x4 dx .

ZadanieZnaleźć sumę szeregu

∞∑n=0

11 + n2 .

19

Motywacja: lepsze zrozumienie fenomenów matematyki „rzeczywistej”

Re

Im

f (x) = 1x2+1

1−1

Rozważmy funkcję

f (x) = 1x2 + 1 , x ∈ R.

Jej szereg Taylora to

f (x) =∞∑

n=0(−1)nx2n, |x | < 1.

Jest on zbieżny tylko dla |x | < 1!W jaki sposób liczby ±1 związane sąz wykresem i wzorem funkcji f ?

Analiza zespolona daje odpowiedź!

20

Motywacja: analiza zespolona

żródło: http://itunes.apple.com

21

Motywacja: ważne zastosowania nie tylko matematyczne

Funkcje zespolone mają ważne zastosowania np. w:| matematyce (m.in. teorii liczb, geometrii algebraicznej)| fizyce (m.in. hydrodynamice, termodynamice)| naukach inżynierskich (m.in. mechanice, elektronice, lotnictwie)

22

O co w tym chodzi?

Pochodna funkcji f : R→ R

Niech f : A→ R, A ⊂ R, A będziezbiorem otwartym, x0, x0 + h ∈ A.Jeśli istnieje granica

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

istnieje i jest skończona tonazywamy ją pochodną funkcji fw punkcie x0 i oznaczamy f ′(x0).

x

yf

x0 x0 + h

f(x0 +h)−

f(x0 )

24

Pochodna funkcji f : R2 → R2

Niech f = (f1, f2) : A→ R2, A ⊂ R2, A będzie zbiorem otwartym,x0, x0 + h ∈ A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f , jeśli

lim‖h‖→0

‖f (x0 + h)− f (x0)− Dh∗‖‖h‖ = 0.

Jeśli f ma pochodną, to

D =

∂f1x1

(x0) ∂f1x2

(x0)

∂f2x1

(x0) ∂f2x2

(x0)

Przypomnijmy:

‖h‖ =√

h21 + h2

2, h = (h1, h2) ∈ R2.

Ponadto h∗ oznacza transpozycję wektora h.25

Pochodna zespolona

Niech f : A→ C, A ⊂ C, z , z0 ∈ A. Jeśli istnieje granica

limz→z0

f (z)− f (z0)z − z0

istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie z0.

Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie zbioru A, to mówimy,że jest holomorficzna w A.

Pochodną funkcji zespolonej można zdefiniować tak, jak pochodnąfunkcji rzeczywistej, gdyż w dziedzinie zespolonej można mnożyć (dzielić)elementy.

26

Zasadnicze twierdzenie

TwierdzenieFunkcja f : A→ C, gdzie A ⊂ C jest obszarem, ma pochodną w punkciez0 ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r > 0, że

f (z) =∞∑

n=0an(z − z0)n, |z − z0| < r .

Przykład

Zdefiniujmy funkcję f : R→ R wzorem

f (x) ={

e−1t2 , t 6= 0

0, t = 0.

Wówczas f ma pochodną dowolnego rzędu na prostej R, natomiast sze-reg Taylora funkcji f w zerze jest równy zero.

27

Warunki Cauchy’ego–Riemanna

TwierdzenieJeśli funkcja zespolona u + iv ma w punkcie x0 + iy0 pochodną, tospełnione są równania:

∂u∂x (x0, y0) = ∂v

∂y (x0, y0)

∂v∂x (x0, y0) = −∂u

∂y (x0, y0).

Uwaga!

Powyższe twierdzenie wskazuje na to, że jeśli istnieje pochodna funkcjizespolonej, to część rzeczywista oraz urojona funkcji są ściśle ze sobązwiązane.

28

Twierdzenie Liouville’a

TwierdzenieJeśli funkcja holomorficzna na C ma oganiczony moduł, to jest funkcjąstała.

Wniosek (Zasadnicze twierdzenie algebry)

Każdy wielomian zespolony ma pierwiastek.

Przykład

Funkcje sin : C→ C oraz cos : C→ C mają nieograniczone moduły.

29

Zasada maksimum

TwierdzenieNiech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze A ⊂ C. Jeśli istniejelokalne maksimum funkcji |f | w obszarze A, to f jest stała w A.

Twierdzenie (Weierstrass)

Jeśli funkcja f : A → C, A ⊂ C jest ciągłą natomiast A jest zbioremzwartym, to f osiąga na A swoje kresy.

Wniosek

Jeśli funkcja f : A → C jest holomorficzna w A oraz ciągłą na A, to |f |osiąga na A \ A wartość największą.

30

Twierdzenie o jednoznaczności

TwierdzenieNiech f , g : A→ C będą funkcjami holomorficznymi w obszarez A. Wów-czas jeśli

f (z) = g(z), dla z ∈ D,

oraz zbiór D ma punkt skupienia w A, to

f (z) = g(z) dla każdego z ∈ A.

Uwaga!

Zbiór D w powyższym twierdzeniu może być „mały”, np. może być cią-giem liczbowym mającym granicę należącą do zbioru A.

31

Co trzeba wiedzieć,żeby uczyć się funkcji analitycznych?

Oczekiwania

| Podstawowa wiedza z analizy rzeczywistej (w szczególności znajomośćpojęć całki Riemanna, pochodnej rzeczywistej oraz umiejętnośćliczenia całek i pochodnych rzeczywistych)

| Podstawowa wiedza z topologii

33