UEMACurso: Engenharia Agronômica

Disciplina: Cálculo e Álgebra LinearProfessor: José Antonio Costa

1° avaliação parte A

Tema:

Funções

Equipe : Amanda Letícia, Talita Reis, Waleska Simplicio.

São Luis, MA 15/04/2011

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Waleska Simplício, Amanda Letícia e Talita Reis.

Funções

Trabalho referente à disciplina de Cálculo e Álgebra Linear do 1º período do Curso de Engenharia Agronômica daUniversidade Estadual do Maranhão.

São Luís15/04/2011

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Sumário

Funções.................................................................................................................................5Função afim...........................................................................................................................9Função linear........................................................................................................................12Função quadrática.................................................................................................................14Função polinomial................................................................................................................25Função trigonométrica..........................................................................................................27Função exponencial..............................................................................................................30Função constante..................................................................................................................33Função logaritimica..............................................................................................................34Conclusão.............................................................................................................................36Bibliografia...........................................................................................................................37

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Introdução

Com o surgimento do conceito (individualizado apenas no século XVII) de função, também chamada de computacional, a matemática teve seu período de evolução e revolução. Entre a época grega e a idade moderna o pai da geometria, Euclides (330 a. C. - 260 a. C), com seus conhecimentos partia do ponto, reta e o plano no qual a partir daí surgiu o cálculo infinitesimal que acabaria por marcar o desenvolvimento da matemática moderna, perante as noções de função. O arremate desta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707-1783), substituindo quantidade por expressão analítica, e introduzindo a notação f(x).

Portanto, no decorrer do trabalho serão apresentados resumos teóricos e conseqüentemente aplicações diretas em exercícios resolvidos que mostram as etapas necessárias na resolução dos problemas práticos. .

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Função

1. Conceito: define-se como função de A em B a toda relação binária de A em B que satisfaz as propriedades.

I. Todo elemento do domínio possui um correspondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto de partida não existe elemento sem correspondente.

Ex 1 :

A BNão satisfaz a propriedade I.

Ex 2: A B

Satisfaz a propriedade I.

Ex 3: A B

Satisfaz a propriedade I.

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II. Cada elemento do domínio possui um único correspondente contra-domínio.

Ex 1: A B

Não satisfaz a propriedade II.

E2: A B

Satisfaz a propriedade II.

E3: A B

Satisfaz a propriedade II.

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1.1: Domínio de uma Função: o domínio de uma função é o conjunto formado por todo x, ou seja, por todas as abscissas dos pares ordenados da função. Assim, se considerarmos f: A → B, temos: D(f) = {x e A/ (x,y) e f} = A

O domínio é o conjunto de existência da função, isto é, o conjunto em que se define a função.

Em diagramas → domínio = conjunto de partidas das setas.

Em gráfico → domínio = conjunto das projeções de f sobre o eixo x.

1.2: Contradomínio e Imagens de uma função: Quando definimos uam função f: A → B, identificamos o conjunto B como conjunto que contém as possíveis respostas da função. Denominá-lo de contradomínio da função e representá-lo por CD(f). O contradomínio não pode ser identificado no gráfico da função, mas é facilmente determinado quando representamos uma função no diagrama ou mesmo quando fornecemos definição da função (f: A → B).

Quando definimos uma função, não é necessário que todos os elementos do contradomínio sejam usados. Para identificar os elementos do contradomínio que forem efetivamente usados pela função, criamos um conjunto formado por estes elementos que recebe o nome de Imagens da função e representamos por Im(f). A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas y dos pares ordenados que fazem parte da função. Note que a imagem de uma função é sempre subconjunto do seu contradomínio e que, para identificarmos a imagem, usamos os seguintes procedimentos:

Em diagramas → é o conjunto de chegada das setas. Em gráficos → é o conjunto das projeções de F sobre o eixo x.

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Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

1.3: Funções iguais: Duas funções, f de A em B e g de C em D, são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x) para todos x E A.

1.4: Funções monótonas:1.4.1: Função estritamente crescente: uma função f(x) é dita estritamente crescente num intervalo contido em D(f) se para todos x¹ e x² desse intervalo ocorrer:

A x¹ > x² f(x¹) > f(x²)1.4.2: Função estritamente decrescente: uma função f(x) é dita estritamente decrescente num intervalo contido em D(f) se para todo x¹ e x² desse intervalo ocorrer:

A x¹ > x² f(x¹) < f(x²)

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2: Função Afim:2.1: Definição: Uma função f: R → R chama-se assim afim quando existem constantes a, b E R, tais que f(x) = ax + b para todo x E R.

OBSERVAÇÕES: - A função identidade f: R → R, definida por f(x) = x para todo x E R, é afim. Também são afins as translações f: R → R, f(x) = x + b.

São ainda casos particulares de funções afins lineares, f(x) = ax e as funções constantes f(x) = b.

A principal característica de duas grandezas relacionadas por uma função afim é a proporcionalidade da variação de seus valores correspondentes (Δ = y ~ Δx).

A taxa de variações da função Δy = f(x¹) – f(x²) é constante. Δx x¹- x²

2.2: Representação gráfica: o gráfico de uma função afim é uma reta. Assim, para traçarmos este gráfico basta determinarmos dois dos seus pontos. Por outro lado, podemos dar uma interpretação geométrica aos coeficientes da função do 1° grau para determinar o seu gráfico. Assim:

f(x) = a.x + b coeficiente linear: representa o valor da ordenada do ponto em que a reta toca o eixo “y”. O gráfico da função sempre passa pelo ponto (0, b).

coeficiente angular: indica a inclinação da reta. A = tg , em que = ângulo formado com eixo “x”.

Podemos, ainda, definir zero ou raiz de uma função como o valor de x no ponto em que a reta toca o eixo “x”. Note que, neste caso temos f(x) = 0, ou seja:

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(x1, 0) é o ponto em que o gráfico f toca o eixo x.

X¹ é raiz de uma função: f(x¹) = 0

Na função polinomial do 1° grau, a raiz é dada por: F(x) = ax + b = 0 → ax = -b → x = -b a2.3: Proporcionalidade e funções afins:2.3.1: Proporcionalidade: Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando existe uma correspondência x → y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições:

Quanto maior for x, maior será y. Em termos matemáticos x → y e x’ → y’ então x < x’ implica y < y’.

Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x, então o valor correspondente de y será dobrado ou triplicado etc. Na linguagem matemática: se x → y então nx → ny para todo n E N.

Nas condições acima, a correspondência x → y, chama-se proporcionalidade.

Exemplos :

1) Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

Solução: Podemos escrever: 5 = 2.a + b -10 = 3.a + bSubtraindo membro a membro, vem: 5-(-10) = 2.a + b – (3.a +b) 15 = -a/a = -15Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2.(-15) + b/b = 35Logo a função quadrática procurada é: Y= -15x + 35

2) Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com a raiz de patchouli. Um artesão paraense resolveu incrementar sua produção, investindo R$ 300,00 na compra de matéria prima para confeccioná-la ao preço de custo de R$ 10,00 reais a unidade. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas deverá vender para obter lucro?

a) mais de 8 e menos de 12 árvoresb) mais de 12 e menos de 15 árvores

10

c) mais de 15 e menos de 18 árvoresd) mais de 18 e menos de 20 árvorese) mais de 20 árvores

Solução:A função que representa o custo:f(x) = 10x + 300E a função de venda é:g(x) = 25xO problema exige que g(x) > f(x), então fazemos:25x > 10x + 30025x – 10x > 30015x > 300x > 300/15 x > 20 Resposta: letra e, mais de 20 árvores.

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3: Função linear: È possível provar que, se uma função f: R- → R+ é uma proporcionalidade, então f(x) = ax, em que a = f(1), para todo x positivo.

Por outro lado já vimos que função linear f: R → R é definida por f(x) = ax, em que a E R é uma constante.Quando a > 0,a função linear f(x) = ax transforma um numero real positivo x no numero positivo ax. Portanto, define, com essa restrição, uma proporcionalidade f: R+ → R-. O coeficiente a, chama-se fator de proporcionalidade ou constante de proporcionalidade.È por isso que dizemos que a função linear é o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade.

3.1: Proporcionalidade inversaExiste também a noção de proporcionalidade inversa. Diz-se que duas grandezas são inversamente proporcionais quando existe uma correspondência x→ y que associa cada valor x de uma delas , um valor bem definido y da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições:

Quanto maior for x, menor será y. Em termos matemáticos: se x→ y e x’ → y’ então x < x’ → y’ < y.

Se dobrarmos, triplicarmos etc., o valor de x, então o valor correspondente de y será dividido por dois, por três, etc. Na linguagem matemática: se x → y então nx → y/n para todo n E N.

Portanto, dizer que y inversamente proporcional a x equivale dizer que y é proporcional a 1/x. Segue-se então do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que se y é inversamente proporcional a x, então tem-se y = a/x, onde o fator de proporcionalidade a é o valor de y que corresponde a x = 1.

Exemplos: 1) Se o par ordenado (2, 5, p) é a solução da equação linear 6x – 7y + 2z = 5, qual o

valor de p?Solução: Teremos por simples substituição, observando que: x = 2, y = 5, e z = p, 6·2 - 7·5 + 2·p = 5 12 – 35 + 2p = 5 2p = 28 p = 14. Resposta: 14

2) Escreva a solução genérica para a equação linear 5x – 2y + z = 14 sabendo que o terno ordenado (α, β, γ) é solução.

Solução : Podemos escrever: 5α - 2β – γ = 14. Daí tiramos: γ = 14 – 15α + 2β. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α, β, 14 – 5α + 2β).Observe que arbitrando-se os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo: fazendo-se α = 1, β = 3, teremos:

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γ = 14 - 5α + 2β = 14 - 5·1 + 2·3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim sucessivamente. Verificamos pois, que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2 β) a solução genérica.

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4: Função quadrática: Conceito: Uma função f: R → R chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a ≠ 0, tais que f(x) = ax² + bx + c para todo x E R.

Exemplos de função quadrática: a) f(x) = 2x² - x + 4 c = 4

b = -1

a = 2

b) f(x) = x² - 2mx + m² - 1

c = m² - 1

b = -2

a = 1c) f(x) = x² - 15 → b = 0

c = -15 a = 1

d) f(x) = 2x² - 3x → c = 0

b = -3

a = 2

4.1: Raízes da função quadrática: Os valores de x para os quais a função: f(x) = ax² + bx + c se anula (f(x) = 0) são chamados de zeros ou raízes dessa função. Assim:

x1 = -b-√Δ ¯¯2a¯¯ f(x) = 0 → ax² + b + c = 0 x2 = -b-√Δ

¯¯2a¯¯

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Lembre-se: Δ > 0 → 2 raízes reais diferentesΔ = 0 → 2 raízes reais iguais Δ < 0 → 2 raízes complexas e conjugadas (não existem raízes reais)

Podemos ainda estabelecer as seguintes relações entre as raízes x1 e x2 de f(x).x1 + x2 = -b/ax1 . x2 = c/a|x1 . x2| = √Δ/ |a|

Toda função quadrática (f(x) = ax² + bx + c) pode ser fatorada desde que conheçamos as suas raízes. Assim, se x1 e x2 são raízes de f(x) = ax² + bx + c, então temos:

f(x) = ax² + bx + c → f(x) = a (x – x1) · (x – x2)

4.2: Gráfico de uma função quadrática: o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola.

Concavidade: é determinada pelo sinal de a (coeficiente de x²).

a > 0 = a concavidade é voltada para cima. a < 0 = a concavidade é voltada para baixo.

Raízes: determinam os pontos em que a parábola toca o eixo x.

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Coeficiente c ou termo independente : determina o ponto em que a parábola toca o eixo y.

Se f(x) = ax² + bx + c, então a parábola passa pelo ponto (0, c).

Valor de Δ : como o Δ indica o numero de raízes, concluímos que o seu valor

determina o numero de pontos em que a parábola toca o eixo x.

Δ > 0 = a parábola toca o eixo x em 2 pontos distintos.Δ = 0 = a parábola toca o eixo x em um único ponto; a parábola fica tangente ao eixo.Δ < 0 = a parábola não toca o eixo x.

Para caracterizar graficamente esta situação, temos:

Vértice: é o ponto extremo da parábola. Caracteriza-se como: Ponto máximo = quando a < 0. Ponto mínimo = quando a > 0.

Pelo vértice da parábola sempre passa uma reta vertical que funciona como eixo de simetria da parábola. A equação desse eixo de simetria da parábola é dada por:X = Xv em que Xv = abscissa do vértice da parábola.

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4.3: Coordenadas do vértice V (Xv, Yv): O vértice V da curva é o ponto pelo qual passa um eixo de simetria. No caso da função quadrática possuir duas raízes distintas (Δ > 0), podemos calcular as coordenadas (Xv, Yv) pela media aritmética das raízes x1 e x2. Veja:

Note que Xv é a media aritmética entre as raízes x1 e x2:

(I) Xv = x1 + x2 2

Da fórmula de Báskara, calculamos x2 e x2: x1 = -b-√Δ e x2 = -b-√ Δ 2a 2a

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Substituindo x1 e x2 em I temos:

Resumindo: O vértice V da coordenados(Xv, Yv) é um ponto da curva pelo qual passa o eixo de simetria de parábola e suas coordenadas são obtidas pelas expressões: Xv = -b Yv = - Δ 2a 4a 4.4: Valor máximo e ponto máximo de uma função quadrática:Uma função f(x) = ax² + bx + c, em que {a, b. c} R e a ≠ 0, admite máximo quando a < 0.

O valor máximo corresponde ao Yv = - Δ 4a

Ponto máximo da função é o Xv = -b 2a Graficamente, temos:

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4.5: Valor mínimo e ponto mínimo de uma função quadrática:Uma função f(x) = ax² + bx + c, em que {a, b, c} R e a ≠ 0, admite mínimo quando a > 0.

O valor mínimo corresponde ao Yv = = - Δ 4a

Ponto mínimo da função é o Xv = -b 2a Graficamente, temos:

4.6: Extremos da função quadrática e Imagem:

Toda função quadrática f(x) = ax² + bx + c possui apenas um ponto extremo, que dependendo do valor de “a”(coeficiente de x²) será ponto máximo ou ponto mínimo. Assim temos:

Ponto de mínimo: ocorre quando a > 0.Neste caso, a função atinge seu valor mínimo (mais baixo). Note que, quando pedimos o valor mínimo da função, indicamos o valor mínimo do y, que é o Yv.

Note ainda que o conjunto imagem da função é formado por todos os y maiores do que ou iguais a Yv. Logo:

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Im(f) = {y E R| y ≥ Yv} ou [Yv + ∞]

Ponto de máximo: ocorre quando a < 0.Neste caso, a função atinge seu valor máximo (mais alto). Note que, quando pedimos o valor máximo da função, indicamos o valor máximo do y, que é o Yv.

Note ainda que o conjunto imagem da função é formado por todos os y menores do que ou iguais a Yv. Logo: Im(f) = {y E R| y ≤ Yv} ou [-∞, Yv]

4.7: Estudo do sinal da função quadrática: Estudar o sinal de uma função quadrática, serve para determinar para quais valores reais de x a função é negativa, nula ou positiva.Para determinarmos o sinal de uma função do 2º grau, analisamos os valores do discriminante Δ e do coeficiente a. 1º caso: Δ < 0.Nesse caso, a função não admite raízes reais e, portanto, a parábola não toca o eixo x. Assim:

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2º caso: Δ = 0Nesse caso, a função admite raízes reais iguais e portanto, a parábola toca o eixo x em único ponto. Deste modo:

3º caso: Δ > 0Nesse caso, a função admite raízes reais e distintas e, portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos. Então:

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Exemplos:1) (UCSal)- Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:a) seu valor máximo é 1,25.b) seu valor mínimo é 1,25c) seu valor máximo é 0,25d) seu valor mínimo é 12,5e) o seu valor máximo é 12,5

Solução:Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:Y = a(x1 – x2)(x – x2), onde x1 e x2, são zeros ou raízes da função.Portanto, poderemos escrever: Y = a[x – (-2)](x – 3)] = a(x + 2)(x – 3)Como ponto (-1, 8) pertence ao gráfico da função, vem:8 = a(-1 + 2)(-1 -3)8 = a(1)(-4) = -4.aDaí vem: a = -2A função é então: y = -2(x + 2)(x – 3), ou y = (-2x -4)(x – 3)y = -2x² + 6x – 4x + 12y = -2x² + 2x + 12Temos então:a = -2, b = 2 e c = 12Como “a” é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo, o que já

elimina as alternativas b) e d).Vamos então, calcular o valor máximo da função.D = b² - 4ac = 2² - 4. (-2). 12 = 4 + 96 = 10Portanto, Yv = -100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Resposta: letra e

2) Vértice de uma função quadrática (do segundo grau) da forma f(x) = ax² + bx + c pode ser obtido por: V = -b , - Δ 2a 4aonde Δ = b² - 4ac é o discriminante da função f. Para cada uma das funções abaixo, obtenha o vértice da parábola:a) f(x) = x² - 10x + 21b) g(x) = x² - 2xc) m(x) x² + 14x + 49

Solução:a) f(x) = x² - 10x + 21V= -b/2a → -10/2 = 5V= Δ/4a → 16/4 = 4 (Δ = (-10)² - 4. 1. 21 = 16)

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Resposta: (5, 4)

b) g(x) = x² - 2x V= -b/2a → -2/2 = -1 V= Δ/4a → 4/4 = 1 (Δ = (-2)² - 4. 1. 0 = 4) Resposta: (1, -1)

c) m(x) = x² + 14x + 49 V= -b/2a → -14/2 = -7 V= Δ/4a → 0/4 = 0 (Δ = (14)¹ - 4 1. 49 = 0) Resposta : (7, 0)

3) As seguintes funções são definidas em R. Vefique quais delas são funções quadráticas e identifiquei em cada uma os valores de a, b e c :a) f(X)=2x(3x-1)b)f(X)=(x+2)(x-2)-4c)f(X)=(1+x)(1-x)+x²d)f(X)=(x+2)²-x(x+1)

Solução: a) f(X) = 6x² - 2x => 6x² - 2x - f(X) = 0 ==> a = 6, b = -2, c = f(X)

b) f(X) = x² - 8 a = 1 , b = 0 c = - f(X) - 8c) f(X) = 1 - x² + x² = 1 não é quadráticad) f(X) = x² + 4x + 4 - x² - x = 3x + 4 não é quadrática

4) A função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax² + bx + c = 0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x² - sx + p = 0s = x´+ x´´p = x´* x´

Solução:x² - 5x + 4 = 0para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Báskara:

x² - 5x + 4 = 0Δ = (-5)² - 4 . 1 . 4 Δ = 25 - 16Δ = 9X =-(-5) ±√9/2X’ = 5 + 3/2 = 8/2 = 4X’’= 5 – 3/2 = 2/2 = 1 Resposta: (1, 4)

5) 1.f(X)=x²

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2.f(X)=-4 . x²

3.f(X)=x²-4x+3

4.f(X)=-x²+2x+7

Solução: 1) se x = 2f(x) = 2² = 4

2) se x = 1f(x) = -4.1.1² = -4

3) se x = 2f(x) = 4 – 4.2 + 3 = -1

4) se x = 1f(x) = 1 + 2 + 7 = 10

6) Determinar o ponto de máximo e mínimo relativo da função f(x) = 3x² - x – 1.

Solução: f’(x) = 6x – 1Raízes de f(x) = f(x) = 0 → 6x – 1 = 0 → x= 1 6A função de 2° grau apresenta apenas um ponto de máximo ou de mínimo relativo. Como f’(x) = 6 e portanto, f(x)(1/6) = 6 > 0, x = 1/6 é ponto de mínimo relativo. Perceba que a função F(X) = 3X² - X + 1 tem concavidade voltada para cima.

5: Função Polinomial: 5.1: Definição: define-se como função polinomial de grau n, a toda função f: ¢ → ¢ que associa a cada x E D(x) um número f(x) E CD(f) na forma:

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F(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0

a0, a1, a2, ... , an E ¢ e an ≠ 0

5.2: Elementos:Dada a função f(x) = anxn + an-1xn-1  + ... + a0:

X representa a variável do polinômio; a0, a1,...,na são os coeficientes.

Exemplos:

01) Conhecendo a função f(x) = x² - 5x +4, determinar os intervalos nos quais ela é crescente e decrescente.

Determinando f’(x):f’(x) = 2x -5Determinando a raiz de f’(x):f’(x) = 0 → 2x – 5 = 0 → x = 5 2Estudando os sinais de f’(x), temos:

- + f(x) > 0 → 2x – 5 > 0 → x > 5 ; logo, f(x) é crescente. 2 5 2 f(x) < 0 → 2x – 5 < 0 → x < 5 ; logo. f(x) é

2decrescente.

Portanto, f(x) é crescente em [5/2, + ∞ [ e decrescente em ] - ∞, 5/2]

02) Conhecendo a função f(x) = x³ - 5x² + 8x – 4, determinar os intervalos nos quais ela é crescente e decrescente.f’(x) = 3x² - 10x + 8 x’ = 2f’(x) = 0 → 3x² - 10x + 8 = 0

x” = 4/3

Estudando os sinais de f’(x), temos: + - + f(x) > 0 → x < 4/3ou x > 2; logo, f(x) é crescente 4/3 2 f(x) < 0 → 4/3 < x < 2; logo, f(x) é decrescente.

Portanto, f(x) é crescente em ] - ∞, 4/3] ou ]2, + ∞[ e decrescente em [4/3, 2].

Funções iguais:

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Funções crescentes e decrescentes.F: A→ B A = CG: C→D B = D

- Função crescente : Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é crescente para f(x1) > f(x2), isto é aumentando valor de x, aumenta o valor de y.

- Função decrescente: Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é decrescente para f(x1) < f(x2), isso é aumentando x, diminui o valor de y.

6: Função trigonométrica: 6.1: Função seno:

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6.1.1:Definição: Define-se como função seno a toda função f: R → R que se associa a cada x E D(x) um numero f(x) E CD(x) na forma:

f(x) = senx6.1.2: Gráfico:

6.1.3:Propriedades:

a) Os valores máximos e mínimos da função seno são respectivamente iguais a 1 e -1.

b) A função seno é positiva no 1º e 2º quadrante e negativa no 3º e 4º quadrante.c) A função seno é periódica de período igual a 2π.

6.2: Função cosseno:6.2.1: Definição: Define-se como função cosseno a todo f: R → R que se associa a

cada x E D(f) um numero f(x) E CD(f) na forma: f(x) = cosx6.2.2: Gráfico:

6.2.3: Propriedades:

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a) Os valores máximos e mínimos da função cosseno são respectivamente iguais a 1 e -1.

b) A função cosseno é positiva no 1º e 4º quadrante e negativa no 2º e 3º quadrante.c) A função cosseno é periódica de período igual a 2π.

6.3: Função tangente: 6.3.1: Definição: Define-se como função tangente toda função f:{x E R| x ≠ π/2 + K π, com K E Z} → R que associa a cada x E D(f) um numero

f(x) na forma: f(x) = tgx6.3.2: Gráfico:

6.3.3: Propriedades: a) A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º e negativa nos quadrantes 2º e 4º.b) O período da função tangente é π. c) A imagem da função tangente é o conjunto dos reais.

Exemplos:

1) Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do chão, qual é a altura do prédio? (Considere sen 58o = 0,84 e cos 58o = 0,53) * Solução: Na figura a seguir, AB = CD = 1,7 é a altura do instrumento e CE = x + 1,7 é a altura do prédio.

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sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27.Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,84 / 0,53 = 84 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a proporção: x / 27 = 0,84 / 0,53 = 1,6

x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,7 = 44,9 m..

2) Qual o valor máximo da função

? Solução: A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x = 1 y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2.Portanto, o valor máximo da função é 5/2

3) Se x pertence ao segundo quadrante e sen(x)=1/√26, calcular o valor de tan(x).

Seja sen(x)=1/√26. Substituindo este dado na relação fundamental da trigonometria: sen²(x)+cos²(x)=1, obtemos:

(1/√26)²+cos²(x)=1

Como x pertence ao segundo quadrante, cos(x) é negativo e resolvendo a equação do segundo grau, segue que:

cos(x)=-5/√26

tan(x)=(1/√26)/(-5/√26)=-1/5

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7: Função exponencial:7.1: Definição: Uma equação dita exponencial contém icógnita no expoentede uma

ou mais potências dessa equação. A solução de uma equação exponencial é, quase sempre, uma aplicação das

propriedades das potências. Dado um número real “a”, tal que > 0 e a ≠ 1, denomina-se função exponecial de base “a” a função que: Y= f(x) = ax

A cada número real x faz corresponder um único número real positivo ax. Assim:

Exemplo: 2x, π, 7x Exemplo: 1x, (0,8)x, 5x

5 2 7Em ambos os casos temos: D(f) = R, Im(f) = R*

+

7.1: Exemplo de função exponencial crescente: Crescente:

F: R → R X → 2x

Note que a = 2 → a > 1

Observamos que:

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D(f) = R CD(f) = R Im(f) = R*

+

F é crescente X tende a -∞ → f(x) tende a zero X = 0 → y = 1 .. (0,1) E gráf. (f) X tende a +∞ → f(x) tende a +∞

7.2: Exemplo de função exponencial descrescente Decrescente:

f: R → Rx → f(x) = 1 2Note que a = 1 2 → 0 < a < 1

Observamos que:

D(f) = R CD(f) = R Im(f) = R*

+

F é decrescente X tende a -∞ → f(x) tende a +∞ X = 0 → y = 1 .. (0,1) E gráf. (f) X tende a +∞ → f(x) tende a zero.

Exemplos:1) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu

valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = Vo * 2-0,2t, em que Vo é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12.000,00, então:

Solução: V(10) = v0 . 2-0,2*10

12.000 = v0 . 2-2

12 000 = v0 . ¼

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12 000 : ¼ = v0v0 = 12 000 . 4v0 = 48 000 Resposta: A máquina foi comprada pelo valor de R$48 000.

2)(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB de um país seja de 500 milhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2003, dado em bilhões de dólares ? Use 1,0320 , 1,80.

Solução:

P(x) = p0 (1 + i)P(x) = 500 . (1 + 0,03)P(x) = 500 . 1.03P(x) = 500 . 1,80P(x) = 900 Resposta: O PIB do país no ano de 2003 será igual a R$900 bilhões.

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8: Função constante:Consideremos a função constante f(x) = b, temos:

Δy = f(x + Δx) – f(x) = b – b = 0Δx Δx Δx

F’(x) = lim Δy = 0 Δx → 0 Δx

Logo: f(x) = b → f’(x) = 0

Exemplos: a. Se f(x) = √6, então f’(x) = 0b. Se f(x) = -2, então f’(x) = 0 5

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9) Função Logarítma9.1 Definição: Define-se como função logarítma toda função f de R*

+ em R que associa a cada x e D(f) um número f(x) e CF(f) que f(x) = log ax, com a > 0 e a ≠ 1.

9.2 Elementosa) Domínio de f:D(f) = R*

+

b) Contra-Domínio de f: CD (f) = Rc) Imagem de f : Im (f) = R

9.3 GráficosDada a função f(x) = log ax, em que a > 0 e a ≠ 1

Exemplos:

01) (Vunesp) Seja mx ey números reais, com x > y. Se log3(x – y) = m e (x + y) = 9,

determine:

a) o valor de log3(x + y);

b) log3(x2 – y2), em função de m.

Solução:

a) log3(x + y) = log39 = 2.

b) log3(x2 – y2) = log3 [(x + y) · (x – y)] =

log3 (x + y) + log3 (x – y) = m + 2.

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2) Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:

a) 2x + 3y

b) 3x + 2y

c) 3x – 2y

d) 2x – 3y

e) x + y

Solução:

log72 = log(23 · 32) = log23 + log32 =

= 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y

Resposta:B

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Conclusão

Levando-se em consideração todos os aspectos abordados, podemos inferir que na Matemática o conceito de funções é um dos mais importantes já vistos, principalmente quando se quer estudar os conceitos de Limites, Derivadas e Integrais. Cada um desses assuntos trata de uma análise e uma descrição do que acontece com as funções. Estas, por sua vez, garantem o domínio diversificado do cálculo das variáveis, onde sua abrangente aplicação é de importância central na concepção e no estudo de modelos independente da ciência em questão, padronizando a resolução de variáveis com poder explicativo de cálculos. Portanto, pode-se inferir que a função insere um argumento que segue uma regra de transformação e posteriormente fornece um resultado. Esperamos que o trabalho aqui apresentando, possa ser útil, mesmo que para críticas, pois só assim é possível aperfeiçoar. .

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Referências Bibliográficas

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