Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 7

23 de janeiro de 2013

Aula 7 Fundamentos de Matemática 1

O Segundo Princípio da Indução Finita

Aula 7 Fundamentos de Matemática 2

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

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O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 20

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 21

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 22

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 23

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 24

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 25

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 26

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 27

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 28

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 29

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 30

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 31

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 32

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 33

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 34

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 35

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 36

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 37

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 38

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 39

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 40

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 41

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 42

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 43

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 44

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 45

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 46

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 47

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 48

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 49

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 50

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 51

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 52

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

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Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 54

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 55

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 56

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 57

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 58

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 59

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 60

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 61

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 62

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 63

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 64

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 65

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 66

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 67

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 68

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 69

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 70

Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução

O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como

Princípio da Indução Completaou

Princípio da Indução Forte.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 71

Outras Aplicações

Aula 7 Fundamentos de Matemática 72

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 73

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 74

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 75

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 76

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 77

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 78

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 79

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 80

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 81

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 82

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 83

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 84

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 85

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 86

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 87

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

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1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 88

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 89

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 90

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 91

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 92

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 93

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 94

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 95

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 96

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 97

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 99

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 100

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 104

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 112

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 114

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 116

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 118

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 119

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 120

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 121

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 122

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 123

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 7 Fundamentos de Matemática 124

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 125

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 126

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 127

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 128

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 129

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 130

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 131

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 132

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 133

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 134

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

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Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 136

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 137

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 138

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 139

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 140

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 141

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 142

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 143

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 144

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 145

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 146

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 147

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 148

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 149

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 150

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 151

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 152

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 153

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 154

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 155

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 7 Fundamentos de Matemática 156

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 7 Fundamentos de Matemática 157

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 7 Fundamentos de Matemática 158

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 159

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 160

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 161

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 162

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 163

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 164

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 165

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 166

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 167

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 168

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 169

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 170

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 171

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 172

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 173

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 174

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 175

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 176

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 177

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 178

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 179

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

Aula 7 Fundamentos de Matemática 180

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 181

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

OK

Aula 7 Fundamentos de Matemática 182

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

Aula 7 Fundamentos de Matemática 183

Torre de Hanoi com 2 Anéis

2 1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 184

Torre de Hanoi com 2 Anéis

1 2

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 185

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 186

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

OK

Aula 7 Fundamentos de Matemática 187

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

Aula 7 Fundamentos de Matemática 188

Torre de Hanoi com 3 Anéis

32

1

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 189

Torre de Hanoi com 3 Anéis

3 2 1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 190

Torre de Hanoi com 3 Anéis

3 21

Anel transferido da torre C para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 191

Torre de Hanoi com 3 Anéis

21

3

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 192

Torre de Hanoi com 3 Anéis

1 2 3

Anel transferido da torre B para a torre A.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 193

Torre de Hanoi com 3 Anéis

1 32

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 194

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 195

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

OK

Aula 7 Fundamentos de Matemática 196

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

Aula 7 Fundamentos de Matemática 197

Torre de Hanoi com 4 Anéis

432

1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 198

Torre de Hanoi com 4 Anéis

43

1 2

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 199

Torre de Hanoi com 4 Anéis

43

21

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 200

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4 3 21

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 201

Torre de Hanoi com 4 Anéis

41

3 2

Anel transferido da torre C para a torre A.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 202

Torre de Hanoi com 4 Anéis

41

32

Anel transferido da torre C para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 203

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4 321

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 204

Torre de Hanoi com 4 Anéis

321

4

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 205

Torre de Hanoi com 4 Anéis

32

41

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 206

Torre de Hanoi com 4 Anéis

2 3 41

Anel transferido da torre B para a torre A.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 207

Torre de Hanoi com 4 Anéis

21

3 4

Anel transferido da torre C para a torre A.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 208

Torre de Hanoi com 4 Anéis

21

43

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 209

Torre de Hanoi com 4 Anéis

2 1 43

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 210

Torre de Hanoi com 4 Anéis

1 432

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 211

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 212

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

OK

Aula 7 Fundamentos de Matemática 213

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis.

Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 214

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1.

Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 215

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 216

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 217

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 218

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 219

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 220

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 221

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 222

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 223

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 224

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 225

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 226

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 227

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 228

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 229

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 230

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 231

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 232

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 233

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 234

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 235

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 236

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 237

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 238

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 239

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 240

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 7 Fundamentos de Matemática 241

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 7 Fundamentos de Matemática 242

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 7 Fundamentos de Matemática 243

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 7 Fundamentos de Matemática 244

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 245

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 246

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 247

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 248

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 249

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 250

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 251

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 252

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 253

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 254

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 255

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 256

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 257

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 258

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 259

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 260

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 261

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 262

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 263

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 264

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 265

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 266

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 267

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 268

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 269

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 270

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 271

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 272

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 273

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

∅ ∪ {c}, {a} ∪ {c}, {b} ∪ {c}, {a,b} ∪ {c}.

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 274

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

∅ ∪ {c} = {c}, {a} ∪ {c} = {a, c}, {b} ∪ {c} = {b, c}, {a,b} ∪ {c} = {a,b, c}.

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 275

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a,b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a,b},

∅ ∪ {c} = {c}, {a} ∪ {c} = {a, c}, {b} ∪ {c} = {b, c}, {a,b} ∪ {c} = {a,b, c}.

E o caso geral?

Aula 7 Fundamentos de Matemática 276

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 277

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 278

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 279

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 280

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 281

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 282

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 283

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 284

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 285

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 286

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 287

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 288

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 289

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 290

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 291

Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak ,ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak ,ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.

Aula 7 Fundamentos de Matemática 292

Seção de Exercícios

Aula 7 Fundamentos de Matemática 293