fundamentos de fluidodinamica

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Text of fundamentos de fluidodinamica

FUNDAMENTOS DE FLUIDODINMICA Texto en preparacinFausto T. GrattonProfesor Titular Ordinario de la Universidad de Buenos Aires. Investigador Superior del CONICET. Acadmico Titular de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires.

Febrero 2004

ndice General0.1 0.2 Al lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

I

Nociones de la teora de medios continuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 7 7 7 8 8 9 9 10 11 11 11 12 13 13 14 15 16 17 18 18 19 20 20 21 22 24 27 27 27 28 32 32 33 34 34 35

1 Elementos de cinemtica y distribucin de la materia. 1.1 La descripcin material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Expresin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Componentes cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Continuidad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 El determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Velocidad y aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La descripcin espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La derivada total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La operacin y su signicado . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 El gradiente de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Relacin entre las dos representaciones y su visualizacin . . . . 1.4.1 Desde la representacin material a la espacial . . . . . . . 1.4.2 Desde la representacin espacial a la material . . . . . . . 1.4.3 Trayectorias y lneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Ejemplo de ujo no estacionario . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Lneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 El teorema de la divergencia de Euler . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La derivada total del jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Signicado y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 La densidad en un medio incompresible . . . . . . . . . . 1.5.4 La ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 El teorema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Aplicaciones y formas alternativas de la ecuacin del transporte. 1.8 Ejercicios captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dinmica de medios continuos 2.1 Descripcin de la fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Fuerzas de supercie . . . . . . . . . . . . . 2.2 Los principios de la mecnica de medios continuos 2.2.1 Sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 El principio de la cantidad de movimiento . 2.2.3 El principio del momento angular . . . . . . 2.3 Las ecuaciones dinmicas locales . . . . . . . . . . 2.3.1 El lema del tetraedro de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NDICE GENERAL 2.3.2 Carcter tensorial de la matriz de esfuerzos . . . . . . . . . 2.3.3 Frmulas de transformacin de integrales de supercie. . . 2.3.4 La ecuacin indenida de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 La simetra del tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . Representacin espectral y cudrica asociada al tensor de esfuerzos 2.4.1 Descomposicin espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Presin mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Cudrica asociada a un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . . . . . . . . . 36 37 38 39 40 40 41 43 44 47 48

2.4

2.5

3 Ecuaciones constitutivas 4 Termodinmica de uidos en movimiento

II

Fluidos ideales y sus aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4950 50 51 51 52 52 53 53 54 55 57 60 61 62 63 65 68 68 70 71

5 El equilibrio de los uidos 5.1 El modelo de uidos ideales . . . . . . . . 5.2 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Magnetohidrosttica . . . . . . . . 5.3 La condicin de barotropa . . . . . . . . 5.3.1 Equilibrios barotrpicos . . . . . . 5.4 Equilibrio de lquidos pesados . . . . . . . 5.4.1 Nociones bsicas . . . . . . . . . . 5.4.2 El empuje de otacin . . . . . . . 5.5 La teora de equilibrio de las mareas . . . 5.6 Atmsfera politrpica . . . . . . . . . . . 5.6.1 Atmsfera isotrmica . . . . . . . . 5.6.2 Atmsfera adiabtica . . . . . . . . 5.7 Nociones sobre la estabilidad atmosfrica 5.8 Equilibrios autogravitatorios . . . . . . . . 5.9 Ejercicios del captulo 5 . . . . . . . . . .

6 Flujos Irrotacionales 6.1 El potencial de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Teoremas de Bernouilli para ujos irrotacionales . . . . . . . . . . . . . . 6.3 El movimiento irrotacional de lquidos uniformes . . . . . . . . . . . . . .

III

Fluidos viscosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7273 73 74 74 75 77 78 79 84 85

A Apndice A: resumen de algunas nociones de algebra lineal A.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Cambios de base y reglas de transformacin . . . . . . . . . . . A.5 Espacios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Ejercicios del apndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Bibliografa del apndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Al lector B Apndice B: propiedades de tensores de segundo rango B.1 Descomposicin invariante del espacio 2 E . . . . . . . . . B.2 Representacin espectral de un tensor simtrico de rango 2 B.2.1 Ecuacin de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.2 Invariancia del polinomio caracterstico . . . . . . . B.2.3 Realidad de los autovalores . . . . . . . . . . . . . . B.2.4 Ortogonalidad de los autovectores . . . . . . . . . . B.2.5 Degeneracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.6 La matriz particionada de autovectores . . . . . . . B.2.7 Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.8 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . B.3 Ejercicios del Apndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 Al lector

4 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 90 90

. . . . . . . . . . .

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Estas son notas de un texto, en preparacin, sobre las bases tericas de la dinmica de uidos. Se apoyan en un largo trajinar por la enseanza universitaria de estos temas (ms de treinta aos) y en la experiencia de investigacin en una rea afn como la fsica del plasma. Durante muchos aos dict el curso anual de Mecnica II y luego, durante otros tantos, el curso cuatrimestral de Estructura de la Materia 1, ambos de la Licenciatura en Fsica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Un intento de redactar un manual para esta rama de la teora fsica, que incluy una introduccin a la magnetohidrodinmica, fueron mis notas (en ingls, reproducidas via xerox en reducido nmero de ejemplares) de un curso anual, dictado en 1984 en la Technishe Universitt Graz, de la ciudad de Graz, Austria. El documento actual tiene otro contenido y un objetivo distinto. El estado del trabajo y la ausencia de guras reejan slo una etapa de la elaboracin, no una decisin del autor. Existe ahora una excelente introduccin a la mecnica de los uidos en espaol, escrita muy recientemente por el Profesor Julio Gratton (accesible en documentos pdf en el sitio web del Instituto de Fsica del Plasma, http://www.lfp.uba.ar). Su manual, ilustrado por muchas guras, pone mucha atencin a los aspectos fsicos de la dinmica de los uidos y ciertamente ayuda a mejorar la intuicin, tan necesaria en esta disciplina, en virtud de la claridad conceptual que caracteriza el estilo de fsica que cultiva el Profesor Julio Gratton. Mi texto se vuelca, aunque no exclusivamente, hacia los fundamentos de la teora y sus aspectos fsico - matemticos. En algunos captulos se acerca ms a un curso de teora clsica de campos que a la fenomenologa de la fsica de uidos. En verdad, el material de algunos captulos podra servir de introduccin a la teora de medios contnuos en general. Slo ms adelante aparece la orientacin excluyente hacia la uidodinmica. Los expertos advertirn inuencias del magnco artculo de Serrin (en la Encyclopedia of Physics) y del monumental texto de Batchelor