FUNDAMENTOS DE FLUIDODINÁMICATexto en preparación

Fausto T. Gratton Profesor Titular Ordinario de la Universidad de Buenos Aires.

Investigador Superior del CONICET.

Académico Titular de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires.

Febrero 2004

Índice General

0.1 Al lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Nociones de la teoría de medios continuos 6

1 Elementos de cinemática y distribución de la materia. 71.1 La descripción material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Expresión vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Componentes cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Continuidad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 El determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 La descripción espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 La derivada total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 La operación y su significado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 El gradiente de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Relación entre las dos representaciones y su visualización . . . . . . . . . 131.4.1 Desde la representación material a la espacial . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Desde la representación espacial a la material . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4 Ejemplo de flujo no estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.5 Líneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 El teorema de la divergencia de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 La derivada total del jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Significado y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 La densidad en un medio incompresible . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.4 La ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 El teorema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Aplicaciones y formas alternativas de la ecuación del transporte. . . . . . 221.8 Ejercicios capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Dinámica de medios continuos 272.1 Descripción de la fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Los principios de la mecánica de medios continuos . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 El principio de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 El principio del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Las ecuaciones dinámicas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 El lema del tetraedro de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ÍNDICE GENERAL 3

2.3.2 Carácter tensorial de la matriz de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Fórmulas de transformación de integrales de superficie. . . . . . . 372.3.4 La ecuación indefinida de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.5 La simetría del tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Representación espectral y cuádrica asociada al tensor de esfuerzos . . . . 402.4.1 Descomposición espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2 Presión mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 Cuádrica asociada a un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Ejercicios capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Ecuaciones constitutivas 47

4 Termodinámica de fluidos en movimiento 48

II Fluidos ideales y sus aplicaciones 49

5 El equilibrio de los fluidos 505.1 El modelo de fluidos ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1 Magnetohidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3 La condición de barotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 Equilibrios barotrópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Equilibrio de líquidos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.1 Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.2 El empuje de flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 La teoría de equilibrio de las mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.6 Atmósfera politrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6.1 Atmósfera isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6.2 Atmósfera adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.7 Nociones sobre la estabilidad atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.8 Equilibrios autogravitatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.9 Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Flujos Irrotacionales 686.1 El potencial de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Teoremas de Bernouilli para flujos irrotacionales . . . . . . . . . . . . . . 706.3 El movimiento irrotacional de líquidos uniformes . . . . . . . . . . . . . . 71

III Fluidos viscosos 72

A Apéndice A: resumen de algunas nociones de algebra lineal 73A.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.4 Cambios de base y reglas de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Espacios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.6 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.7 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.8 Ejercicios del apéndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.9 Bibliografía del apéndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Al lector 4

B Apéndice B: propiedades de tensores de segundo rango 86B.1 Descomposición invariante del espacio ⊗2E . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2 Representación espectral de un tensor simétrico de rango 2 . . . . . . . . 86

B.2.1 Ecuación de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.2 Invariancia del polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2.3 Realidad de los autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2.4 Ortogonalidad de los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.5 Degeneración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.6 La matriz particionada de autovectores . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.7 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.2.8 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.3 Ejercicios del Apéndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

0.1 Al lector

Estas son notas de un texto, en preparación, sobre las bases teóricas de la dinámica defluidos. Se apoyan en un largo trajinar por la enseñanza universitaria de estos temas (másde treinta años) y en la experiencia de investigación en una área afín como la física delplasma. Durante muchos años dicté el curso anual de Mecánica II y luego, durante otrostantos, el curso cuatrimestral de Estructura de la Materia 1, ambos de la Licenciaturaen Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de BuenosAires. Un intento de redactar un manual para esta rama de la teoría física, que incluyóuna introducción a la magnetohidrodinámica, fueron mis notas (en inglés, reproducidasvia xerox en reducido número de ejemplares) de un curso anual, dictado en 1984 en laTechnishe Universität Graz, de la ciudad de Graz, Austria. El documento actual tiene otrocontenido y un objetivo distinto. El estado del trabajo y la ausencia de figuras reflejansólo una etapa de la elaboración, no una decisión del autor.

Existe ahora una excelente introducción a la mecánica de los fluidos en español,escrita muy recientemente por el Profesor Julio Gratton (accesible en documentos pdfen el sitio web del Instituto de Física del Plasma, http://www.lfp.uba.ar). Su manual,ilustrado por muchas figuras, pone mucha atención a los aspectos físicos de la dinámica delos fluidos y ciertamente ayuda a mejorar la intuición, tan necesaria en esta disciplina, envirtud de la claridad conceptual que caracteriza el estilo de física que cultiva el ProfesorJulio Gratton.

Mi texto se vuelca, aunque no exclusivamente, hacia los fundamentos de la teoríay sus aspectos físico - matemáticos. En algunos capítulos se acerca más a un cursode teoría clásica de campos que a la fenomenología de la física de fluidos. En verdad, elmaterial de algunos capítulos podría servir de introducción a la teoría de medios contínuosen general. Sólo más adelante aparece la orientación excluyente hacia la fluidodinámica.Los expertos advertirán influencias del magnífico artículo de Serrin (en la Encyclopedia ofPhysics) y del monumental texto de Batchelor. Lecturas de Truesdell, Coleman, Noll y suscolaboradores, también han dejado su marca. Todo sumado, mis notas complementan elmanual del Profesor Julio Gratton, ofreciendo una visión más detenida de ciertos aspectosteóricos de la disciplina, que allí están sólo esbozados. Al lector que se inicia en la materiarecomiendo la lectura del texto del Profesor Julio Gratton en paralelo con el estudio demis notas.

Los lectores que desean alcanzar el dominio de esta rama de la física deberánestudiar el texto de Batchelor ya mencionado, sobre todo los capítulos que exponen losfundamentos con mucha precisión. Los tomos de la célebre colección de Landau y Lifshitz,Mecánica de Fluidos y Teoría de la Elasticidad, son siempre una buena fuente de consulta,aunque con el pasar del tiempo un poco desactualizada. Contienen una excelente seriede problemas con breve descripción de las soluciones. Sin embargo, no los recomendaríacomo texto de cabecera para el principiante. Es muy importante comprender acabada-mente la fenomenología del movimiento de los fluidos y para ello todo buen estudiante

Bibliografía 5

debería familiarizarse con la maravillosa colección de fotografías publicada por Van Dyke,dedicando tiempo para observarlas con atención.

En los últimos años se han publicado muchos libros de fluidodinámica, con dis-tintas facetas y orientaciones: teoría pura, fundamentación matemática, ingeniería, apli-caciones geofísicas, métodos computacionales, física de los fluidos, etc.. No voy a dar aquíuna larga lista de textos (comentarios críticos se publican en Physics Today y en el AnnualReview of Fluid Mechanics). Sólo me limito a mencionar, como preferencia personal, unospocos que recomiendo a la atención de los lectores. Muy bien ilustrado y bien orientadohacia la enseñanza para físicos es el texto de Faber, quizás un poco elemental pero muyformativo. Más dotado de herramientas matemáticas se destaca, por la claridad de laredacción y la buena selección de temas y problemas, el pequeño texto de Acheson. Paraquienes la descripción de los fenómenos y la comprensión física deben ocupar el centro dela atención, recomiendo el manual de Tritton, que ya va por la segunda edición.

Fausto T. Gratton, marzo de 2004.

0.2 Bibliografía

[Ache] Acheson, D. J., Elementary Fluid Dynamics, Clarendon, Oxford, 1990.

[Batch] Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1970.

[Faber] Faber, T. E., Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge University Press, 1995.

[Gratt] Gratton, J., Estructura de la Materia 1, INFIP, 2001.

[L&L] Landau L. D., and E. M. Lifschitz, Fluid Mechanics, Pergamon , London 1959.

[L&L] Landau L. D., and E. M. Lifschitz, Theory of Elasticity, Pergamon , London 1959.

[Serrin] Serrin, J.,Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, in Encyclopedia of Physics,Vol. VIII/1, Springer Verlag, Berlin, 1959.

[Tritt] Tritton D. J., Physical Fluid |Dynamics, Clarendon, Oxford, 1988[Trues] Truesdell, C., and R. A. Toupin, The Classical Field Theories, in Encyclopedia of Physics,

Vol. III/1, Springer Verlag, Berlin, 1960.

[VanD] Van Dyke, M., An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford, 1982.

Parte I

Nociones de la teoría de medioscontinuos

6

Capítulo 1ELEMENTOS DE CINEMÁTICA Y DISTRIBUCIÓN DE LA MATERIA.

1.1 La descripción material

1.1.1 Expresión vectorial

En la descripción material, llamada también Lagrangiana (porque cobró difusión a partirde la célebre Mecánica Analítica de Lagrange [1788] aunque ya había sido empleada antespor Euler [1760]) cada punto material se ubica en el espacio mediante el conocimiento desu posición inicial. La expresión matemática es

−→x = −→χ (−→X , t), (1.1)

la cual significa que la posición −→x de un punto material en el instante t es una función avalores vectoriales −→χ de cuatro argumentos: la posicíon

−→X en un tiempo de referencia,

que puede ser - aunque no necesariamente - el instante inicial t = 0, y el tiempo actual t.Cuando el tiempo de referencia es el instante inicial la 1.1 debe cumplir la condición

−→X = −→χ (−→X , 0), (1.2)

de modo que en t = 0 la función−→χ es la identidad. La interpretación de 1.1 es como sigue.Fijando un valor del argumento vectorial

−→X =

−→X 1, hemos elegido un punto material del

conjunto que forma un cuerpo en el cual la materia está distribuida con continuidad.Ahora sólo puede variar el tiempo y la función −→χ describe entonces la trayectoria −→x 1 (t)de ese particular punto material P1 en el espacio. Por otra parte, si mantenemos fijo eltiempo t y cambiamos el valor de

−→X , digamos

−→X =

−→X 2 6= −→X 1, hemos elegido un segundo

punto material P2, distinto de P1. La función −→χ provee ahora la posición actual de P2 y alvariar el tiempo la trayectoria −→x 2 (t) del segundo punto. En suma, la función−→χ respondea la pregunta: ¿donde está ubicado en el instante t el punto material que se encontraba en−→X en t = 0? La ecuación 1.1 contiene una cantidad enorme de información, equivalentea una infinidad de trayectorias, dado que los puntos materiales de un medio continuo soninfinitos.

1.1.2 Componentes cartesianas

A menudo será conveniente designar los vectores mediante sus componentes cartesianas.Emplearemos la siguiente notacíon,

−→x = xi−→E i, (1.3)

donde xi son las componentes de −→x , −→E i son los vectores de la base ortonormal, elsubíndice i toma los valores i = 1, 2, 3 y hemos adoptado la convención de Einstein, segúnla cual cuando dos índices están repetidos en un monomio una operación de suma está

sobreentendida (3Pi=1xi−→E i ≡ xi−→E i). Los vectores

−→E i satisfacen las ecuaciones

−→E i •−→E j = δij , (1.4)

donde δij es la delta de Kroenecker (o sea, δij son las componentes de la matriz identidad;δij = 0 si i 6= j, y δij = 1 si i = j). La ecuación 1.4 asegura que los vectores

−→E i tienen

La descripción material 8

módulo unidad¯−→E i

¯= 1 y son ortogonales entre si. Evidentemente, las componentes se

obtienen mediante los productos escalares xi = −→x •−→E i.Con esta notación la descripción material del movimiento se escribe mediante tres

funciones χixi = χi (Xj , t) , (1.5)

donde se sobreentiende que i = 1, 2, 3 y donde Xj (con j = 1, 2, 3) representa el vector−→X = Xi

−→E i, (1.6)

que da la posición inicial del punto material.1.1.3 Continuidad del movimiento

Dado que un punto material no pierde su identidad durante el movimiento, es decir, dospuntos materiales distintos no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio (impenetrabi-lidad de la materia) la 1.1, o la 1.5, deben representar relaciones uno a uno entre −→x y

−→X

y ser invertibles, es decir debe existir−→X =

−−→χ−1(−→x , t), Xi = χ−1i (xj , t) , (1.7)

donde−−→χ−1 es la función (a valores vectoriales) inversa de −→χ , siendo χ−1i sus componentes

cartesianas. La función−−→χ−1 informa acerca de la posición inicial de un punto material

que en el instante t ocupa la posición −→x . La relación entre −→X y −→x dada por 1.7 esnaturalmente también uno a uno y además vale

−→x = −−→χ−1(−→x , 0), xi = χ−1i (xj , 0) , (1.8)

es decir, cuando t = 0 la función−−→χ−1 es la identidad. La existencia de una relación biuni-

voca entre posición inicial y posición actual depende de la continuidad del movimiento (lospuntos materiales no aparecen o desaparecen durante la evolución del cuerpo) hipótesisbásica que subyace a esta representación del movimiento (hipótesis de continuidad). Laposibilidad de conocer en cada momento la trayectoria de un punto material y establecerasí su identidad mediante la posición de partida es una propiedad natural de la físicaclásica. Como es sabido, esta concepción se pierde en la mecánica cuántica, es decir en lamicrofísica.

En virtud de las hipótesis precedentes, durante el movimiento un volumen demateria queda siempre ocupando un volumen (aunque cambie de forma) una superficiematerial sigue siendo una superficie, una línea de materia permanece una línea. Estosignifica que algunos procesos quedan excluidos de este tratamiento, o por lo menos, queen ciertos casos el formalismo requiere una elaboración adicional. Por ejemplo, ondas dechoque, formación o cierre de cavidades, impactos de cuerpos, separaciónes o dislocacionesdel material, entre otros.1.1.4 El determinante jacobiano

Partimos de la matriz 3× 3 de las derivadas parciales, J ≡ [Jij ], cuyas componentes son

Jij ≡ ∂χi∂Xj

, (1.9)

donde i es el índice de filas, j el de columnas. Naturalmente estas derivadas se calculana t =const.. El jacobiano es el determinante de J,

J ≡ det(Jij), (1.10)

el cual es una funcíon escalar de X y t. La existencia de la inversa de χi se expresa mate-máticamente mediante el jacobiano: en todos los puntos ocupados por el medio continuodebe ser J 6= 0 y naturalmente J 6= ∞. La aparición de un cero o de una singularidadde J anuncia un quiebre en la descripción teórica del movimiento, una infraccíon a lahipótesis de continuidad, que puede suceder en algún punto, o sobre una superficie, en uncierto instante del tiempo.

La descripción espacial 9

1.1.5 Velocidad y aceleración

La velocidad −→v de un punto P en la descripción material se obtiene mediante la derivadaparcial de −→χ respecto del tiempo

−→v³−→X , t

´=

∂−→χ (−→X , t)∂t

, vi (Xj , t) =∂χi (Xj , t)

∂t, (1.11)

derivación que se ejecuta a Xj =const.. Del mismo modo, se obtiene la aceleraciónmediante la derivada parcial segunda

−→a³−→X , t

´=

∂2−→χ (−→X , t)∂t2

, ai (Xj , t) =∂2χi (Xj , t)

∂t2. (1.12)

En cambio, las derivadas parciales de −→χ con respecto al argumento−→X permiten explorar

el entorno de un punto material. Por ejemplo,

δxi =∂χi∂Xj

δXj , (1.13)

donde se suma sobre el índice j, nos da el elemento lineal de materia δxi en el instante ta partir de su valor inicial δXj . Es evidente que en base a esta fórmula podemos conocerla posición y la longitud actual de δxi. El elemento lineal se puede interpretar como ladiferencia de posición entre dos puntos materiales próximos δxi = x0i − xi. En este caso,con una derivada parcial de 1.13 respecto del tiempo se obtiene

v0i − vi = δvi =∂vi∂Xj

δXj , (1.14)

que representa la variación al tiempo t de la velocidad entre dos puntos materiales veci-nos que al tiempo t=0 estaban separados por el vector δXj . La notación vectorial (sincomponentes) para 1.13 es

δ−→x = Grad(−→χ ) • δ−→X , (1.15)

donde Grad(−→χ ) es el gradiente de −→χ respecto de−→X (así como grad denota la operación

gradiente respecto de −→x ) un tensor cartesiano de rango dos, tal que su producto internocon un vector produce otro vector; Grad(−→χ ) se puede interpretar como un operador linealsobre vectores, cuya expresión explícita es la matriz de componentes Jij .

La representación material se emplea generalmente para demostraciones teóricasy raramente para la solución de problemas, por la dificultad de resolver las ecuacionesescritas en las variables X, t. Sin embargo, con el auge adquirido por la solución numéricade ecuaciones en derivadas parciales y la simulación por computadora en la segundamitad del siglo XX, los métodos de cálculo llamados lagrangianos también han cobradoimportancia en la física computacional.

1.2 La descripción espacial

La descripción espacial, también llamada tradicionalmente Euleriana puesto que fue em-pleada por Euler en sus investigaciones hidrodinámicas (1760), corresponde a lo que en lafísica de hoy en día se denomina una descripción de campo. Esto significa que todas lasmagnitudes físicas de la teoría, escalares, vectoriales, etc., son funciones de los argumentos−→x y t, variables que se consideran independientes y dan la posición de qualquier lugaren el espacio y el tiempo en el cual se realiza la observacíon. Sea Ψ cualquier magnitudasociada a un medio continuo, por ejemplo, la densidad, la temperatura, la velocidad,etc., la descripción espacial corresponde a dar la distribucíon de valores de Ψ en el espacioy se denota con

Ψ = Ψ(−→x , t). (1.16)

La interpretación de esta relación es que da el valor de Ψ en el espacio ocupado por elmedio continuo, en cualquier instante del tiempo; −→x y t no están ligados (como sucede en

La descripción espacial 10

la representación material) y pueden elegirse arbitrariamente. Decimos que 1.16 define elcampo de la magnitud Ψ. La temperatura T = T (−→x , t) es un campo escalar, la velocidad−→v = −→v (−→x , t) es un campo vectorial, y así siguiendo. La descripción espacial es similar ala información de un censo de Ψ: elegido un tiempo t se describe como es Ψ en cada punto−→x del espacio. Cuando conocemos −→v (−→x , t), por cierto sabemos como es la distribuciónde velocidades de los puntos materiales en el instante t. Pero no conocemos, todavía,como es la velocidad de cualquier punto material P en función del tiempo. Para ello seríanecesario conocer la trayectoria de P , la cual no es un dato de la representación espacial.La descripción mediante campos no presta atención a la posición de los puntos materiales,ni a su evolución con el pasar del tiempo.

Euler reconoció la importancia de la descripción de campos y tuvo la novedosa ideade estudiar el movimiento de los fluidos directamente en esta representación, mediantela resolución de las ecuaciones en derivadas parciales de los campos de densidad y develocidad, sin pasar por la descripción de las trayectorias asociada con la concepciónnewtoniana dominante en su época. La descripción espacial es sin duda el tratamiento dela fluidodinámica más difundido en las aplicaciones.

En la dinámica de un medio continuo formado por una sóla substancia (porahora no consideramos las mezclas) la densidad de masa ρ = ρ(−→x , t), y la velocidad−→v = −→v (−→x , t) son dos campos fundamentales. Su conocimiento puede ser de origen expe-rimental, es decir deriva de mediciones detalladas realizadas en el transcurso del tiempo,o teórico, o sea de la solución analítica o numérica de las ecuaciones del movimiento.Podemos definir procedimientos ideales, que en línea de principio sinó en la práctica,permitirían determinar ρ y −→v en algún instante t.

1.2.1 Densidad

Comenzando por la densidad, fijado un tiempo, sea una sucesión de esferas con centro en−→x , y volúmenes decrecientes τL, L = 1, 2, 3..., e imaginemos medir la masa mL contenidaen cada volumen. La densidad en −→x - en el instante t - se define como

ρ(−→x , t) = limτL→0

mL

τL. (1.17)

Naturalmente, el límite es una idealizacíon. En la realidad detendríamos la sucesión enalgún volumen que fuera suficientemente pequeño como para ser considerado infinitesimalfrente al volumen finito de todo el medio continuo, pero al mismo tiempo no insignificante,como para contener todavía un buen número de componentes atómicas o moleculares. Elprimer requerimiento es a los efectos de poder asignar a un volumen pequeño, pero finito,la posición de un punto. La última condición es para que la masa mL sea consecuenciade una buena estadística. Si avanzamos demasiado en el microcosmos, finalmente τL vaa contener unos pocos átomos o ninguno, y el cociente 1.17 sufrirá fuertes fluctuacionesen lugar de tender a un valor límite. Dicho de otro modo, los volúmenes más pequeñoscon que opera la mecánica de medios continuos estan asociados a una escala intermediade longitudes l tal que

LÀ lÀ a0, (1.18)

donde L es el tamaño lineal del sistema que contiene el medio material y a0 indica unalongitud típica del mundo atómico, por ejemplo, el radio de Bohr en el caso de un sólido,mientras que en los gases a0 ∼ n−1/3 es la distancia media entre moléculas (n: número demoléculas por unidad de volumen). La segunda limitación, por lo tanto, es consecuenciade emplear una teoría del continuo sobre una realidad física de naturaleza atómica.

Con estas salvedades, podemos escribir como consecuencia de 1.17

dm = ρ(−→x , t)d3x, (1.19)

para la masa contenida, en el instante t, en un volumen infinitesimal d3x ≡ dx1dx2dx3centrado en el punto −→x . Por brevedad, podemos hablar de la masa de un elementomaterial o de una partícula del cuerpo, pero aquí las palabras elemento o partícula no

La derivada total 11

tienen ninguna relación con la física atómica, sólo se refieren a una pequeña porción demateria. La masa contenida en un volumen finito V se expresa como

M =

ZV

ρ(−→x , t)d3x, (1.20)

evidentemente M =M(t) es función sólo del tiempo una vez prefijado V .

1.2.2 Velocidad

Pasemos ahora a la consideración de −→v . Supongamos haber marcado con un color dis-tintivo la materia contenida en la esfera de volumen τL, L = 1, 2, 3..., cuyo radio decreceal aumentar L. La posición del baricentro en el instante t es

xiL (t) =

RτL

ρ(xj , t)xid3xR

τLρ(xj , t)d3x

. (1.21)

Dado que podemos observar el desplazamiento del volumen coloreado durante un intervalode tiempo ∆t, podemos, del mismo modo, calcular también xiL (t+∆t), el baricentro dela misma cantidad de materia en un instante sucesivo t+∆t. Es natural, entonces definirla velocidad media de esta porción de materia como

viL¡xjL, t

¢= lim∆t→0

xiL (t+∆t)− xiL (t)∆t

, (1.22)

la cual estará asociada con la posición del volumen marcado que hemos elegido al tiempot. La velocidad de la descripción espacial es el límite de esta magnitud para volúmenesinfinitesimales, o sea,

vi(xj , t) = limL→∞

viL¡xjL, t

¢. (1.23)

Podemos afirmar, entonces, que vi(xj , t) es la velocidad de un punto material −→x . Estadefinición operativa, sin duda un tanto formal, equivale al siguiente discurso: podemosimaginar vi(xj , t) como el cociente de la diferencia de posiciones y un incremento detiempo, para cualquier partícula de materia que sufre un pequeño desplazamiento durantesu movimiento. De hecho, con mayor o menor precisión según el dispositivo de laboratorio,en esto básicamente consiste la determinacíon experimental del campo de velocidades enun líquido. Los elementos materiales pueden marcarse con un liviano polvo de aluminio,cuyas partículas son arrastradas por el fluir del líquido, sin alterarlo significativamente.Un haz de luz, o mejor un laser, ilumina el flujo y el polvo dispersa la luz. Una fotografíacon tiempo de exposición finito, conocido, registra un conjunto de trazas luminosas. Elmódulo de la velocidad del elemento material es proporcional a la longitud de cada traza,la dirección de la traza completa la información acerca del vector velocidad. La ideade emplear marcadores para visualizar el movimiento de un fluido se menciona en losmanuscritos del genio del Renascimiento, Leonardo da Vinci (1452-1519).

1.3 La derivada total

1.3.1 La operación y su significado

Conocido el campo de velocidades se pueden calcular derivadas temporales siguiendo elmovimiento de puntos materiales, aún sin conocer la ecuación de las trayectorias 1.1.Esto es posible, naturalmente, porque para calcular dichas derivadas temporales sólo serequiere un conocimiento local (sobre un entorno) del movimiento. Supongamos que sequiere conocer la variación por unidad de tiempo de 1.16 vista por un observador que semueve junto con el elemento material. Por ejemplo, el incremento de temperatura porminuto, medido por un termómetro que se mueve junto con el líquido, nota bene, no porun termómetro en reposo. Debemos calcular la diferencia

∆Ψ = Ψ(xi +∆xi, t+∆t)−Ψ(xi, t), (1.24)

La derivada total 12

donde ∆xi es el desplazamiento del punto xi durante el intervalo ∆t. Empleando undesarrollo en serie de Taylor

∆Ψ =∂Ψ

∂xi∆xi +

∂Ψ

∂t∆t+ trm. 2o orden, (1.25)

donde hemos escrito explícitamente sólo los términos de primer orden. Además,

∆xi = vi(xj , t)∆t+ trm. 2o orden, (1.26)

o sea,

∆Ψ =

·∂Ψ

∂xivi(xj , t) +

∂Ψ

∂t

¸∆t+O ¡∆t2¢ , (1.27)

donde O ¡∆t2¢ indica la presencia de términos de orden superior al primero que no pre-cisamos calcular detalladamente. Ahora dividimos por ∆t y pasamos al límite ∆t→ 0, yqueda definida la derivada de Ψ siguiendo el movimiento

dΨ

dt≡ lim∆t→0

∆Ψ

∆t=

∂Ψ

∂t+

∂Ψ

∂xivi, (1.28)

operación que se denomina derivada total. El primer término se llama derivada local, esla variación de Ψ por unidad de tiempo medida por un observador inmovil (que ve pasarel fluido por un lugar fijo). El segundo término se llama derivada convectiva, y representael cambio por unidad de tiempo asociado con el desplazamiento. La derivada total es lasuma de estos dos tipos de cambio. El operador derivada total

d...

dt=

∂...

∂t+

∂...

∂xivi, (1.29)

se aplica a campos escalares, vectoriales, etc., y produce nuevos campos escalares, vec-toriales, etc., todos, naturalmente, funciones de xi, t, como corresponde a la descripciónespacial. La derivada total en la descripción espacial es conceptualmente la misma mag-nitud que se obtiene con la derivada parcial respecto de t en la representación material.

Por ejemplo, la aceleración se calcula como

ai =dvidt=

∂vi∂t

+∂vi∂xk

vk. (1.30)

Esta fórmula para la derivada total de un vector, en este caso de la velocidad, es válidasólo en coordenadas cartesianas. Ello es así porque los vectores de base

−→Ei en coordenadas

cartesianas son constantes, mientras que en los sistemas de coordenadas curvilíneas lasbases ortonormales son moviles y en un desplazamiento cambian de dirección. El cálculo dela derivada total de vectores o tensores en coordenadas curvilíneas conduce a expresionesmás elaboradas.

1.3.2 El gradiente de la velocidad

La notación vectorial sin componentes de la derivada total es la siguiente

dΨ

dt≡ ∂Ψ

∂t+−→v • grad(Ψ), (1.31)

donde grad(Ψ) representa el conjunto de derivadas parciales de una magnitud cualquieraΨ

[grad(Ψ)]k ≡∂Ψ

∂xk. (1.32)

En el caso del vector aceleración

−→a = d−→vdt≡ ∂−→v

∂t+−→v • grad(−→v ), (1.33)

Relación entre las dos representaciones y su visualización 13

donde grad(−→v ) es el tensor de segundo rango cuyas componentes son las derivadas par-ciales

[grad(−→v )]ki ≡∂vi∂xk

, grad(−→v ) ≡ ∂vi∂xk

−→Ek ⊗−→Ei, (1.34)

En 1.34 se ha indicado con−→Ek⊗−→Ei un elemento genérico de la base del espacio de tensores

cartesianos de rango dos. El símbolo ⊗ denota el producto tensorial o externo. Nocionesacerca de tensores cartesianos se dan en el apéndice A. Por el momento, el lector nofamiliarizado puede limitarse a considerar la primera identidad de 1.34. En la ecuación1.33 el producto interno −→v •grad(−→v ) indica una suma sobre el primer indice de grad(−→v ),en este caso sobre el índice k. Otra notación equivalente, que aparece en la literatura, esla siguiente

−→a = d−→vdt≡ ∂−→v

∂t+−→v • ∂

−→v∂−→x , (1.35)

en la cual el operador ∂...∂−→x es tan sólo otra notación para grad(...) y el producto interno

se realiza entre −→v y ∂...∂−→x .Más claramente, la parte convectiva se escribe a veces como

(−→v • grad(−→v ))−→v , notación en la que no caben dudas acerca de los participantes delproducto interno.

1.4 Relación entre las dos representaciones y su visualización

1.4.1 Desde la representación material a la espacial

Partiendo de la representación material, 1.1, se puede pasar con relativa facilidad a ladescripción espacial, −→v = −→v (−→x , t), o en general pasar a Ψ(−→x , t) partiendo de Ψ(−→X , t)y 1.1. Para ello hay que calcular la función inversa

−→X =

−−→χ−1(−→x , t), 1.7, siendo esta la

parte más laboriosa de la tarea que, salvo en casos simples, requiere cálculo numérico.

Obtenida−−→χ−1, procedemos como sigue, en 1.11 ponemos

∂−→χ (−→X , t)∂t

= −→v (−→X , t) = −→v³−−→χ−1(−→x , t), t

´= −→v (−→x , t). (1.36)

Naturalmente, −→v (−→X , t) y −→v (−→x , t) son dos funciones diferentes, pero toman el mismovalor vectorial en los argumentos (

−→X , t) y (−→x , t), biunivocamente ligados.

Sea, por ejemplo, −→χ el siguiente movimiento en el plano (x, y):µxy

¶=

µX exp(γt)Y exp(−γt)

¶. (1.37)

La inversa−−→χ−1 es µ

XY

¶=

µx exp(−γt)y exp(γt)

¶. (1.38)

La velocidad material −→v (−→X , t) esµvxvy

¶=

µγX exp(γt)−γY exp(−γt)

¶, (1.39)

y empleando la inversa para eliminar (X,Y ), obtenemosµvxvy

¶=

µγx−γy

¶, (1.40)

el campo de velocidades−→v (−→x ); podemos observar que en este caso no depende del tiempo.La aceleración −→a (X, t) en la descripción material valeµ

axay

¶=

µγ2X exp(γt)γ2Y exp(−γt)

¶, (1.41)

Relación entre las dos representaciones y su visualización 14

mientras que pasando a la descripción espacial el campo de aceleraciones −→a (x)esµaxay

¶=

µγ2xγ2y

¶. (1.42)

Podemos comprobar el último resultado por otra via. Permanecemos en el ambito dela representación espacial y calculamos la aceleración mediante la derivada total de lavelocidad 1.40

d

dt

µvxvy

¶= [

∂...

∂t+ (−→v • grad)(...)]

µγx−γy

¶= (1.43)

[(−→v • grad)(...)]µ

γx−γy

¶= (vx

∂

∂x+ vy

∂

∂y)

µγx−γy

¶=

µγvx−γvy

¶=

µγ2xγ2y

¶.

1.4.2 Desde la representación espacial a la material

El pasaje en el otro sentido, desde la descripción espacial a la descripción material, estambién posible. Sin embargo, salvo algunos casos sencillos, suele ser un problema degran envergadura. En efecto, equivale a la determinación de una infinidad de trayectoriaspartiendo del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

dχidt

= vi(χj , t), i, j = 1, 2, 3. (1.44)

Cada solución χi(Xj , t) del sistema depende de un conjunto de valores χi = Xi dados ent = 0, con el cual se define la trayectoria de un punto material. Las ecuaciones 1.44, engeneral, tienen todas las dificultades de un sistema no lineal y no autónomo de ecuacionesdiferenciales acopladas. Puede ser resuelto numéricamente, pero aún así la exploracióndel conjunto de trayectorias no es una empresa menor, hay que clasificar los puntos sin-gulares, donde vi(χj , t) = 0, las orbitas de los elementos materiales pueden manifestarcaracterísticas caóticas. En suma, en general, hay que enfrentar toda la fenomenologíatípica de los problemas no lineales.

Para fijar ideas, examinemos el ejemplo precedente que es muy elemental. Parti-mos de 1.40, de modo que el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver es

dχxdt

= γχx, (1.45)

dχydt

= −γχy,

el cual equivale a

d ln(χx)

dt= γ, (1.46)

d ln(χy)

dt= −γ,

de manera que la solución se escribe como

ln(χx) = γt+A, (1.47)

ln(χy) = −γt+B.Aplicando valores iniciales χx = X, χy = Y , en t = 0, resulta A = ln(X) y B = ln(Y ), ypor lo tanto

ln(χxX) = γt, (1.48)

ln(χyY) = −γt,

de modo que tomando la inversa del logaritmo resulta 1.37.

Relación entre las dos representaciones y su visualización 15

1.4.3 Trayectorias y líneas de corriente

Mientras las trayectorias 1.1 son las líneas naturales de la descripción material (pathlines en la literatura en idioma inglés) a los fines de una visualización geométrica delmovimiento en la descripción espacial hay que introducir sistemas de líneas artificiales.Estas son las líneas de corriente, definidas a tiempo fijo, t = const., como curvas tales queen todos sus puntos la dirección del campo de velocidades coincide con la dirección de latangente (stream lines). El lector reconocerá en esta definición el concepto introducidopor Faraday de líneas de fuerza eléctrica o magnética y, en general, las líneas de un campovectorial cualquiera (field lines). Las ecuaciones de estas líneas se derivan de la condiciónde paralelismo entre un pequeño segmento de línea y la velocidad en esa posición

−→dx×−→v = 0, (1.49)

donde−→dx es un diferencial sobre la línea (tomado a t = const.). De aquí resultan las

ecuacionesdx1

v1(xj , t)=

dx2v2(xj , t)

=dx3

v3(xj , t), (1.50)

que pueden ser escritas de maneras equivalentes, por ejemplo,

dx2dx1

=v2(xj , t)

v1(xj , t), (1.51)

dx3dx1

=v3(xj , t)

v1(xj , t),

en la cual se ha elegido x1 como variable independiente de integración. Descontandoel tiempo, que aquí es un parámetro fijo, quedan dos ecuaciones diferenciales ordinariasacopladas para las incógnitas x2, x3, en general no lineales y no autónomas. Las con-sideraciones sobre la dificultad del problema representado por 1.44 pueden ser repetidasaquí, aunque en 1.51 el número de ecuaciones se ha reducido en una. Las soluciones sonecuaciones de curvas tridimensionales del tipo

x2 = f(x1;x2R, x3R,t), (1.52)

x3 = g(x1;x2R, x3R,t),

donde la variable movil es x1, los demás argumentos quedan fijos sobre cada línea. Losparámetros x2R, x3R, son los datos necesarios para iniciar la integración de la línea decorriente y en este caso representan un punto sobre un plano arbitrario de referenciax = x1R = const.. La línea de corriente en cuestión pasa ese punto. Naturalmente, enflujos de cierta complejidad puede ser necesario introducir varios planos de referencia, yaque no todas las líneas de corriente han de pasar por un sólo plano. La forma 1.52 indicaclaramente que la variedad de líneas de corriente, en un instante t dado, es ∞2, o sea,depende de manera continua de dos parámetros. Esto es suficiente para concluir que, engeneral, las trayectorias 1.1 que constituyen una variedad ∞3 son distintas de las líneasde corriente. En general, las líneas de corriente cambian de forma con el tiempo. El lectorpuede probar, como ejercicio, que trayectorias y líneas de corriente coinciden cuando elmovimiento es estacionario, es decir, cuando la velocidad en la descripción espacial nodepende del tiempo−→v = −→v (−→x ). Otra manera, más simétrica, de escribir 1.50 es

dx1dλ

= v1(xj , t), (1.53)

dx2dλ

= v2(xj , t),

dx3dλ

= v3(xj , t),

siendo λ un parámetro arbitrario de integración. Las ecuaciones de líneas que son solucióndel sistema de ecuaciones diferenciales, esta vez autónomo, toma la forma paramétrica

xi = pi(λ;xj0, t), (1.54)

Relación entre las dos representaciones y su visualización 16

donde los datos xj0 representan la posición del punto de partida de la integración, al cualconvencionalmente se puede asignar λ = 0. Dado que hay siempre un plano que cortaun haz de líneas, podemos como antes poner x01 = x1R = const., para todas las líneasdel haz, mientras que las líneas individuales se distinguen mediante x02, x03; sería erradoentonces creer que la variedad de líneas es ∞3.

Se puede afianzar estos conceptos con algunos ejemplos. Partiendo del campo develocidades 1.40 podemos escribir la ecuación de las líneas de corriente 1.50 (en este casosobre el plano x, y)

dx

γx= −dy

γy, (1.55)

o seady

dx= −y

x, (1.56)

la cual muestra que el punto x = 0, y = 0, es un punto crítico del conjunto de líneas. Laúltima ecuación se puede escribir como

d ln(yx) = 0, (1.57)

de donde resultay = ±yR

x, (1.58)

según que tomemos x1R = ±1 junto con un valor arbitrario de yR ≶ 0 para fijar unpunto de referencia sobre cada línea. Las líneas de corriente son familias de hipérbolasequiláteras con los ejes coordenados por asíntotas. Evidentemente, x = 0, y = 0, es unpunto de ensilladura. Si empleamos, en cambio, la forma 1.53

dx

dλ= γx, (1.59)

dy

dλ= −γy,

se obtienen las ecuaciones paramétricas

x = A exp(γλ), (1.60)

y = B exp(−γλ).Si se desea, se puede identificar λ con un tiempo de recorrido t sobre las líneas, escribiendo

dλ

dt= 1, (1.61)

y elegir un punto de referencia X,Y en t = 0 de modo que las constantes de integración(A,B) = (X,Y ). Las ecuaciones paramétricas, entonces, quedan iguales a las ecuacionesde las trayectorias 1.37. Dado que el campo de velocidades es estacionario, trayectorias ylíneas de corriente coinciden.

1.4.4 Ejemplo de flujo no estacionario

Consideremos un sencillo movimiento no estacionario en un plano, definido por

vx = u0ax

1 + γt, (1.62)

vy = u0,

donde u0, a, γ, son constantes. Empleamos 1.51 para obtener las líneas de corriente

ay = (1 + γt) ln(ax) + ln(K), (1.63)

que podemos identificar mediante la ordenada y0 de intersección con la línea ax0 = 1, osea,

a(y − y0) = (1 + γt) ln(ax). (1.64)

Relación entre las dos representaciones y su visualización 17

Se trata de curvas logarítmicas cuya extensión en sentido vertical aumenta a medida quepasa el tiempo. Las trayectorias se obtienen con 1.44

x = X(1 + γt)n, (1.65)

y = Y + u0t,

donde hemos puesto n ≡ au0γ . Eliminando el tiempo tenemos la ecuación de las trayecto-

riasy = Y +

u0γ[(x

X)1n − 1], (1.66)

que son curvas distintas de las lineas de corriente. Veamos el caso particular n = 1,

y − Y = 1

aX(x−X), (1.67)

las trayectorias son rectas cuya pendiente 1/aX cambia de una línea a otra. Cada puntomaterial recorre la trayectoria con velocidad constante u0, sin embargo las líneas de co-rriente varían con el tiempo, segun hemos visto. El lector puede constatar que la tangentea una línea de corriente y a la trayectoria en la posición inicial, x = X = 1/a, coinciden(dy/dx = 1).

1.4.5 Líneas de traza

Un tercer tipo de línea suele ser de utilidad en algunas aplicaciones, son las llamadaslíneas de traza (streak line en inglés). La línea de traza que parte de un punto x en elinstante t, es el lugar geométrico al tiempo t de todas las partículas que en el pasadohan estado en x. Por ejemplo, una chimenea larga humo que es arrastrado por el viento,la humareda es un ejemplo de línea de traza asociada a la chimenea. La aplicación máscomún es la traza de contaminación de un fluido a partir de un punto que desprendeel contaminante. Para obtener la ecuación de la línea de traza partimos de 1.1 y 1.7,−→x = −→χ (−→X , t),−→X =

−−→χ−1(−→x , t), y obtenemos la posición −→r de la línea, en el instante t,

en forma paramétrica,

−→r = χ[−−→χ−1(−→x , τ), t], −∞ < τ ≤ t, (1.68)

donde τ representa todos los tiempos pasados, mientras x y t quedan fijos. El lector puededemostrar que en los movimientos estacionarios las líneas de traza, las trayectorias y laslíneas de corriente coinciden. En el ejemplo 1.65 buscamos la inversa

X = x(1 + γt)−n, (1.69)

Y = y − u0t,

y escribimos

rx = x

µ1 + γt

1 + γτ

¶n, (1.70)

ry = y + u0(t− τ),

para la ecuación paramétrica de la traza que pasa por (x, y) al tiempo t, −∞ < τ ≤ t.En el caso particular n = 1, eliminamos τ

ryrx − rx[y + u0(t+ γ−1)] + xu0(t+ γ−1) = 0, (1.71)

y obtenemos la ecuación de una hipérbola cuya posición varía con el tiempo.

El teorema de la divergencia de Euler 18

1.5 El teorema de la divergencia de Euler

1.5.1 La derivada total del jacobiano

Retornemos a las ecuaciones 1.9, 1.10, es bien sabido de los cursos de análisis que eljacobiano permite expresar el elemento de volumen en una transformación de variables,

d3x =∂(x1, x2, x3)

∂(X1,X2,X3)d3X = Jd3X. (1.72)

Por lo tanto las variaciones de J(t), para un elemento material prefijado, con el tiempot están ligadas a los cambios del volumen que ocupa una pequeña porción de materia.Puesto que la masa es un invariante del movimiento (en la mecanica no relativista) lasvariaciones de J(t) son también indicadores de los cambios de densidad. Por lo tanto,el conocimiento de la derivada temporal de J es de gran interés. De ello se ocupa unteorema debido a Euler, que vamos a considerar ahora.

El jacobiano 1.10, como cualquier determinante, puede ser calculado mediante sudesarrollo por filas. La forma compacta de escribir ese desarrollo es

Jδik = JilCkl, (1.73)

donde hay que notar la suma sobre l, el índice de columnas de Jil y donde Cil ≡cof.algeb.(Jil) es el cofactor algebraico de Jil. Esta cantidad se define como el deter-minante del menor formado a partir de Jil mediante la supresión de la fila i y de lacolumna l, multiplicado por (−1)i+l. La fórmula 1.73 se lee del siguiente modo, cuandoi = k tenemos precisamente el desarrollo de un determinante por la fila i-esima. Porotro lado, cuando i 6= k el resultado es cero porque estamos en presencia de un desarrollomediante cofactores ajenos a la fila elegida. En nuestro caso J es un determinante 3× 3,pero es obvio que la fórmula 1.73 es cierta para cualquier determinante n× n.

Naturalmente J = J(X, t), de modo, que fijado un elemento material X, el jaco-biano es una función del tiempo que describe sus variaciones a lo largo de la trayectoriaxi = χi(Xj , t). A este punto deseamos conocer la tasa de variación de J por unidad detiempo, o sea la derivada total dJ/dt. En los textos de analisis se explica que la derivadade un determinante n× n es igual a la suma de n determinantes, cada uno de los cualeses igual al determinante original excepto por la fila i-esima, la cual es substituida por lasderivadas de las componentes y el índice i naturalmente corre de 1 a n. Empleando 1.73como base, la regla para la derivación del jacobiano se escribe como

dJ

dt=dJildtCil, (1.74)

donde hay que notar dos sumas sobre i, l, la suma sobre i produce n determinantes, lasuma sobre l proviene del desarrollo por filas.

Vamos a llevar a cabo la derivada total en la derecha de 1.74 en la descripciónmaterial, puesto que los elementos de matriz Jil están definidos en esa representación1.9

dJildt

=∂

∂t

·∂χi(Xj , t)

∂Xl

¸Xj

=∂

∂Xl

·∂χi(Xj , t)

∂t

¸t

=∂vi(Xj , t)

∂Xl. (1.75)

En esta ecuación hemos intercambiado el orden de derivación y hemos empleado un subín-dice en el paréntesis cuadrado para subrayar cual es la variable que permanece constanteen la operación externa. Finalmente, hemos reconocido que el último paréntesis cuadra-do contiene la velocidad vi(Xj , t) (ver 1.11). Conviene ahora pasar a la representaciónespacial, 1.36,

dJildt

=∂vi(xk, t)

∂xk

∂xk∂Xl

=∂vi(xk, t)

∂xkJkl. (1.76)

Reemplazando 1.76 en 1.74 se obtiene

dJ

dt=

∂vi(xk, t)

∂xkJklCil =

∂vi(xk, t)

∂xkJδki = J

∂vi(xk, t)

∂xi= J div(−→v ), (1.77)

El teorema de la divergencia de Euler 19

donde div(−→v ) es la divergencia del campo de velocidad. El resultado, que se denominateorema de la divergencia de Euler, es que la variación relativa del jacobiano por unidadde tiempo siguiendo el movimiento es igual a la divergencia de la velocidad

1

J

dJ

dt=d

dtln(J) = div(−→v ) = ∂v1

∂x1+

∂v2∂x2

+∂v3∂x3

. (1.78)

1.5.2 Significado y aplicaciones

Apliquemos 1.72, en un tiempo t, a un pequeño volumen τ , ubicado en xi, que contieneuna cantidad de masa dm = ρτ (ver 1.19) la cual en en el tiempo t = 0 ocupaba elelemento de volumen τ0,

τ = Jτ0. (1.79)

Naturalmente ρ es la densidad en xi, t. Puesto que la masa contenida en el volumenmaterial movil no cambia

dm = ρ0τ0 = ρτ , (1.80)

donde ρ0 es la densidad en la posición inicial Xi. Por lo tanto,

ρ(Xj , t)J(Xj , t) = ρ0(Xj) (1.81)

es la ecuación de evolución de la densidad en la descripción material. Observamos quepara conocer ρ hace falta conocer J y la distribución inicial de densidad ρ0. Tomando laderivada logarítmica en 1.79 y teniendo presente 1.80 obtenemos

1

J

dJ

dt=1

τ

dτ

dt= −1

ρ

dρ

dt= div(−→v ), (1.82)

ecuación que podemos considerar escrita en la representación espacial si empleamos laexpresión 1.31 para la derivada total.

En primer lugar, notamos que la variación relativa de un pequeño volumen porunidad de tiempo, siguiendo el movimiento, es igual a la divergencia de la velocidad,calculada en la posición ocupada por el volumen material. La variación de relativa de unelemento de volumen, que se indica con θ ≡ dτ/τ , se denomina dilatación (o expansión).Es natural llamar tasa, o velocidad, de dilatación, a la variación relativa de volumen porunidad de tiempo y emplear la notación θ ≡ (1/τ) (dτ/dt) (el punto indica la derivadatemporal como en la antigua notación de Newton). Por lo tanto la tasa de dilataciónse calcula mediante la divergencia de la velocidad. El volumen de elementos materialesdonde div(−→v ) > 0 está creciendo y viceversa decrece donde div(−→v ) < 0. El volumen semantiene constante cuando div(−→v ) = 0. Sea, por ejemplo, el campo de velocidad definidopor 1.40, −→v = (γx,−γy), su divergencia es nula en todos los puntos (x, y), de maneraque el entero campo de movimiento conserva el volumen: la tasa de dilatación es nula entodas partes. En cambio, en el ejemplo 1.62, −→v = u0[ax/(1+ γt), 1], la tasa de dilataciónvale θ = u0a/(1 + γt), es decir que se trata de un movimiento con variación de volumenen todos sus puntos. Notemos, sin embargo, que si las constantes u0a y γ son positivasla expansión de volumen disminuye cada vez más a medida que pasa el tiempo.

Un movimiento de materia tal que θ = 0 en todo punto y a todo tiempo sedenomina isocórico, o sea, ocurre a volumen constante, aunque la forma del medio materialpuede variar arbitrariamente. En un movimiento isocórico

dJ

dt= 0, (1.83)

en todo momento y en todo lugar ocupado por el cuerpo. Ello significa que J es uninvariante del movimiento, o sea que se mantiene igual al valor inicial. Pero en t = 0, larelación entre −→x y

−→X es la identidad, o sea que J0 = 1, por lo tanto en un movimiento

a volumen constante J = 1 para todo x, t. Una substancia tal que cualquiera de sus mo-vimientos es isocórico se dice incompresible. Un fluido incompresible es una idealización,en los materiales reales esta propiedad es sólo una aproximación, a veces muy buena. Losliquidos, como el agua, son prácticamente incompresibles.

El teorema de la divergencia de Euler 20

1.5.3 La densidad en un medio incompresible

En segundo lugar, 1.82, nos da una ecuación para la evolución temporal de la densidad,que se denomina ecuación de continuidad

dρ

dt+ ρdiv(−→v ) = 0. (1.84)

Si el medio es incompresible, para todo x, t, se cumple

div(−→v ) = 0. (1.85)

En consecuencia, para todo x, t,

dρ

dt=

∂ρ

∂t+ v • grad(ρ) = 0, (1.86)

lo que significa que la densidad no puede variar siguiendo la trayectoria de cualquier puntomaterial. Luego ρ = ρ0(

−→X ), como se ve también de 1.79. Si la densidad en el estado inicial

es constante en todo el cuerpo, i.e., la masa está uniformemente distribuida, entonces ρ0 esuna constante y ρ permanece constante en todo tiempo y lugar. Sin embargo, ρ0(

−→X ) puede

variar de un lugar a otro del material, por ejemplo un líquido estratificado, más denso enel fondo y más liviano en la superficie. Por lo tanto, la densidad permanece constantesobre las trayectorias, cuando el material es incompresible y sin embargo puede variar deuna trayectoria a otra. Esto ocurre, como consecuencia del estado inicial no uniforme.No debe sorprender, entonces, que existan configuraciones de un medio incompresible congrad(ρ) 6= 0, en las cuales, de acuerdo con 1.86, ∂ρ/∂t 6= 0. En suma, para asegurar launiformidad de la densidad, ρ = const., para todo t, no alcanza con pedir 1.85 para todox, t, se requiere también que en algún momento del tiempo, digamos t = 0, sea ρ0 = const.en todo el material.

1.5.4 La ecuación de continuidad

Desarrollando la derivada total, en 1.84 resulta

∂ρ

∂t+−→v • grad(−→v ) + ρdiv(−→v ) = 0. (1.87)

Combinando los últimos dos términos resulta

∂ρ

∂t+ div(ρ−→v ) = 0, (1.88)

que es una ecuación equivalente a 1.84 y es la forma tradicional de la ecuación de continui-dad en la representación espacial, cuya interpretación física damos a continuación juntocon el motivo de la denominación.

Sea V un volumen fijo arbitrario, recortado dentro del volumen total VT del mediocontínuo por una superficie cerrada fija S, respecto de algún sistema de referencia, cuyanormal exterior −→n = (n1, n2, n3) = ni

−→Ei es tal que |−→n | = 1 y está bien definida en todo

punto. Las componentes de −→n son los cosenos directores de la normal, ni = cos(−→n ∠−→E i).Tanto V cuanto S son idealizaciones geométricas arbitrarias, cuya forma y tamaño son adlibitum y sirven sólo para demarcar una porción del sistema a los fines de argumentaciónteórica. Por lo tanto, el medio material entra y sale de V y atraviesa S durante elmovimiento. Usando una metáfora diremos que V y S son ”transparentes” para el fluido.Integrando 1.88 sobre todo V y empleando el teorema de la divergencia de Gauss, resulta(ver 1.20)

d

dtM(t) =

∂

∂t

ZV

ρd3x = −IS

ρ−→v •−→n dS. (1.89)

El miembro de la izquierda representa la variación por unidad de tiempo de la masacontenida en el volumen V . La integral de superficie en el miembro de la derecha es el

El teorema del transporte 21

flujo neto de masa a través de S. El símbolo circular que cruza la integral de superficie nosrecuerda que S es cerrada. La ecuación 1.89 establece un balance de materia: el aumento(o disminución) de masa que ocurre en V en la unidad de tiempo es exactamente iguala la ganancia (o pérdida) de masa ocasionada por el movimiento a través de S duranteel mismo intervalo de tiempo. No hay creación ni desaparición de materia durante elmovimiento y por lo tanto la ecuación 1.88 expresa simultáneamente la continuidad delmovimiento y la conservación de la masa. Dicho de otro modo: no hay dentro de Velementos u artificios ajenos al puro fluir del medio, es decir no hay fuentes o sumiderosde materia. Estos últimos, podrían ser, eventualmente, artefactos dispuestos ad hoc enV , con el propósito de introducir nuevo material, o de succionar el existente, mediantetubos, jeringas, u otros artificios. Nada de esto se admite en el balance establecido por laecuación 1.89.

El vector ρ−→v se denomina flujo de masa y representa la masa que pasa en launidad de tiempo por una superficie de área unidad, normal a la dirección de −→v . Elproducto ρ−→v • −→n dS es la masa contenida en un elemento de volumen barrido por laproyección dSn (del área dS sobre un plano perpendicular a −→v ) que se mueve con lavelocidad |−→v | durante la unidad de tiempo (dSn = dS× cos(−→v ∠−→n )). En otras palabras,ρ−→v • −→n dS es la cantidad de masa que en la unidad de tiempo atraviesa el elementode superficie dS y se considera que sale de V si cos(−→v ∠−→n ) > 0, que entra cuandocos(−→v ∠−→n ) < 0. La integral de superficie en 1.89 corresponde a la suma algebráica de lamasa contenida en estos volúmenes barridos. Cabe notar que ρ−→v es también la cantidadde movimiento (linear momentum) contenida en la unidad de volumen. La coincidenciadel flujo de masa con la cantidad de movimiento (por unidad de volumen) se debe arazones dimensionales: los conceptos son distintos y deben mantenerse separados aunqueentre ellos existan lazos de familia.

1.6 El teorema del transporte

En la sección 1.5.4 hemos introducido el concepto de volumen y superficie fijos respectode un sistema de referencia. Es necesario también operar con un volumen movil, V(t),elegido arbitrariamente, el cual se mueve junto con la materia. Naturalmente V(t) estárodeado por una superficie S(t), movil también. Como antes, S(t) posee una normalexterior, unitaria, −→n bien definida. Tanto V(t), cuanto S(t), están formados por puntosmateriales, de modo que, según lo discutido en la sección 1.1 contienen siempre la mismacantidad de masa y las mismas, idénticas, porciones del cuerpo. Para fijar el concepto: siescribimos ahora una ecuación parecida a 1.20

M =

ZV(t)

ρ(−→x , t)d3x, (1.90)

obtenemos una constante, las masa contenida en el volumen movil y no una función deltiempo como en la sección 1.2. La derivada de 1.90 respecto del tiempo es cero. Elvolumen V(t) puede cambiar de forma y tamaño durante el movimiento, pero contienesiempre los mismos puntos materiales que poseía al comienzo, en t = 0. Existe unarelación biunívoca entre los puntos de V(t), S(t), y los de V(0), S(0). Ningún puntomaterial se puede escapar del interior de V(t) y un punto perteneciente a S(t) permanecesiempre en la superficie (hipótesis de continuidad, ver sección 1.1) Un punto interior alvolumen permanece siempre en su interior, a lo sumo podría acercarse indefinidamente ala frontera. Hablando en sentido figurado: si un punto quisiera ”abandonar ” la superficiese llevaría el contorno consigo.

Sea Ψ(−→x , t) una magnitud física de interés, escalar, vectorial, o tensorial, definidapor unidad de volumen, de modo que en verdad tiene las dimensiones correspondientes ala densidad de una cantidad física cualquiera. Tiene sentido, por lo tanto, la integral

I(t) =

ZV(t)Ψ(−→x , t)d3x, (1.91)

Aplicaciones y formas alternativas de la ecuación del transporte. 22

que representa la suma de la magnitud física en cuestión sobre todo el volumen V(t). Engeneral I(t) varía con el tiempo. Los siguientes son ejemplos de magnitudes que Ψ puederepresentar y del significado de I: ρ−→v , cantidad de movimiento; 12ρ |−→v |

2, energía cinética;¯−→B¯2/8π, energía magnética, etc..

La cuestión es ahora el cálculo de la variación de I(t) en la unidad de tiempo,I(t), siguiendo el movimiento de V(t), naturalmente. Para ello escribimos 1.91 medianteun cambio de variables de xi a Xj (ecuaciónes 1.7 y 1.72) pasando del volumen V(t) aV(0)

I(t) =

ZV(0)Ψ³−→χ (−→X , t), t´J(−→X , t)d3X. (1.92)

Ahora podemos derivar respecto del tiempo bajo el signo de integral, puesto que el dominiode integración ya no depende del tiempo

I(t) =

ZV(0)

∂(ΨJ)

∂td3X =

ZV(0)

µ∂Ψ

∂tJ +Ψ

∂J

∂t

¶d3X. (1.93)

Volvemos a la posición actuale −→x y recordamos que la derivada parcial respecto de t enla representación material se reemplaza por la derivada total en la descripción espacial

I(t) =

ZV(t)

µdΨ

dt+Ψ

1

J

dJ

dt

¶d3x. (1.94)

Empleamos el teorema de Euler, 1.78, y tenemos el resultado

I(t) =

ZV(t)

µdΨ

dt+Ψdiv(−→v )

¶d3x. (1.95)

Esta fórmula representa el teorema del transporte, que se atribuye a Reynolds (1903).La variación temporal de I contiene no sólo la derivada total de Ψ, como cabe esperar,incluye también la tasa de dilatación del volumen, θ = div(−→v ) (ver sección 1.5). El lectordebe notar que este resultado es puramente cinemático, en su deducción no intervieneningún principio de la mecánica, sólo la hipótesis de la continuidad del movimiento. Valela pena notar también que en un movimiento incompresible vale

I(t) =

ZV(t)

dΨ

dtd3x. (1.96)

1.7 Aplicaciones y formas alternativas de la ecuación del transporte.

a) Si elegimos Ψ = 1, la integral 1.91 es igual a V(t) y obtenemosdV(t)dt

=

ZV(t)

div(−→v )d3x. (1.97)

Es decir, la variación temporal de un volumen finito es igual a la suma, sobre todo elvolumen, de las tasas de dilatación en cada punto.

b) Poniendo Ψ = ρ, I = M , la masa contenida en el volumen movil, entonces1.95 nos informa que M = 0, porque el integrando es nulo en virtud de 1.84. Podemos,también argumentar en sentido inverso. Supongamos que todavía no conocemos 1.84,pero sabemos que la masa M es un invariante. EntoncesZ

V(t)

µdρ

dt+ ρdiv(−→v )

¶d3x = 0, (1.98)

para cualquier elección del volumen V . Como la integral debe ser cero para una infinidadde V posibles, debemos concluir que el argumento de la integral es nulo para todo −→x , conlo cual queda probada la 1.84.

Aplicaciones y formas alternativas de la ecuación del transporte. 23

c) Sea Ψ = ρ−→v , la integral representa la cantidad de movimiento de la porcióndel medio continuo contenida en V

−−→P (t) =

ZV(t)

ρ−→v d3x. (1.99)

La fórmula del transporte 1.95 da

d−−→P (t)

dt=

ZV(t)

µd(ρ−→v )dt

+ ρ−→v div(−→v )¶d3x =

ZV(t)

ρd−→vdtd3x =

ZV(t)

ρ−→a d3x, (1.100)

donde hemos usado 1.84 en el pasaje de la segunda a la tercera igualdad. El resultado esque la variación temporal de la cantidad de movimiento es la suma (vectorial) de la masapor la aceleración de cada elemento de volumen contenido en V . Empleando la expresiónde D ’Alembert diríamos que la variación de la cantidad de movimiento es equivalente ala resultante de las fuerzas de inercia.

d) Consideremos ahora Ψ = ρ−→v ×−→x el momento de la cantidad de movimientopor unidad de volumen respecto del origen de coordenadas (momento angular), la integral

representa el momento angular total,−−→M(t), se obtiene

d−−→M(t)

dt=

ZV(t)

µdρ−→vdt

×−→x + ρ−→v ×−→v + ρ(−→v ×−→x )div(−→v )¶d3x = (1.101)Z

V(t)ρ−→a ×−→x d3x.

Esta ecuación muestra que la variación temporal del momento angular es igual al momentoresultante de las fuerzas de inercia.

e) Si elegimos Ψ = 12ρ |−→v |

2 la integral I es la energía cinética, T , contenida en V. Para la variación de la energía cinética con el tiempo se obtiene

dT (t)

dt=

ZV(t)−→v •−→a d3x, (1.102)

es decir, equivale a la potencia realizada por las fuerzas de inercia.En varias magnitudes consideradas, Ψ ≡ ρΦ, donde Φ es alguna cantidad definida

por unidad de masa. El lector puede observar que, en virtud de 1.88, el teorema deltransporte se puede escribir como

I(t) =

ZV(t)

ρdΦ

dtd3x, (1.103)

cuando

I(t) =

ZV(t)

ρΦ(−→x , t)d3x, (1.104)

es decir que la derivada total entra en la integral afectando sólo a Φ.Volvamos a la ecuación 1.95, desarrollamos la derivada total y reagrupamos los

términos, obtenemos

I(t) =

ZV(t)

µ∂Ψ

∂t+ div(Ψ−→v )

¶d3x. (1.105)

Puesto que en el miembro de la derecha la derivada temporal ya ha sido realizada, podemoscalcular la integral sobre un volumen fijo V tal que en el instante t coincida exactamentecon la posición ocupada por el volumen movil V(t). Para decirlo de un modo no riguroso,aunque expresivo, dejamos que V siga su viaje y nos quedamos con su horma fija enV = V(t):

I(t) =

ZV

µ∂Ψ

∂t+ div(Ψ−→v )

¶d3x. (1.106)

Ejercicios capítulo 1 24

De aquí en más el volumen de integración es fijo (ver 1.5.4) así que podemos intercambiarlibremente la derivada parcial con respecto al tiempo y el signo de integral. Además vamosa emplear el teorema de la divergencia de Gauss. Resulta, entonces,

I(t) =∂

∂t

ZV

Ψd3x+

IS

Ψ−→v •−→n dS, (1.107)

donde hemos introducido la superficie cerrada que encierra el volumen y su normal, comoen la sección 1.5.4. Esta es una expresión alternativa del teorema del transporte, en la cualla derivada temporal de la integral I(t) (definido en 1.91) se expresa mediante cantidadescalculadas sobre un volumen fijo y su superficie. El significado de esta ecuación es claro:el primer término es la variación temporal de la magnitud Ψ contenida en el volumen,pero como este último es fijo, tenemos pérdidas y ganancias adicionales debidas al flujodel medio contínuo a través de la superficie que encierra V .

Por ejemplo, volvamos a la cantidad de movimiento 1.99, aplicando el últimoresultado resulta

d−−→P (t)

dt=

∂

∂t

ZV

ρ−→v d3x+IS

ρ−→v (−→v •−→n )dS, (1.108)

o bien, expresando mediante índices las componentes,

dPi(t)

dt=

∂

∂t

ZV

ρvid3x+

IS

ρvivknkdS. (1.109)

Comparando 1.109 con 1.100 podemos escribir

∂

∂t

ZV

ρvid3x =

ZV

ρ−→a d3x−IS

ρvivknkdS, (1.110)

fórmula que expresa la variación de la cantidad de movimiento contenida en un volumenfijo como debida a dos factores, a) la resultante de las fuerzas de inercia y la pérdida decantidad de movimiento por el flujo a través de la superficie.

Muchas otros fórmulas y propiedades pueden ser encontradas por esta via y lasvamos a deducir a medida que se necesiten.

1.8 Ejercicios capítulo 1

Ejercicio 1.1 a) Considerar el campo de velocidad (en dos dimensiones, vz = 0) dadopor 1.40 µ

vxvy

¶=

µγx−γy

¶, (1.111)

en el semiplano superior y ≥ 0. Hallar la densidad ρ = ρ(x, y, t) (descripciónespacial) sabiendo que en t = 0, la materia está estratificada según la distribución

ρ0(x, y) = ax2y, (1.112)

donde a es una constante. b) Calcular las líneas de corriente del campo de velocidadbidimensional µ

vxvy

¶=

µ −γyγx

¶, (1.113)

¿de que tipo de movimiento se trata?

Ejercicio 1.2 Sea un movimiento en una sola dimensión, paralelo al eje x, vx = u =u(x, t), vy = vz = 0 que se origina en t = 0. El medio continuo parte del reposo conaceleración constante, proporcional a la distancia al origen de coordenadas. En ladescripción material

ax = a = αX, (1.114)

en todo instante t, donde α es una constante. Hallar la velocidad y la aceleraciónen la representación material y obtener la ecuación de las trayectorias x = χ(X, t).

Ejercicios capítulo 1 25

Ejercicio 1.3 Probar que en todo flujo estacionario las trayectorias coinciden con laslíneas de corriente.

Ejercicio 1.4 Sea un sistema hamiltoniano con f grados de libertad, como los que tra-ta la mecánica analítica, donde q1, q2, ..., qf , son las coordenadas generalizadas, yp1, p2, ..., pf los momentos conjugados. Se denomina espacio de fase del sistema, elespacio de n = 2f dimensiones cuyos puntos se describen con −→x = (q1, q2, ..., qf ,p1, p2, ..., pf ). En t = 0 los puntos del espacio de fases representan todas las posiblescondiciones iniciales del sistema

−→X = (q01, q

02 , ..., q

0f , p

01, p

02, ..., p

0f ). (1.115)

Con el pasar del tiempo todo punto se mueve de acuerdo con las ecuaciones de Ha-milton, sujeto a un hamiltoniano H = H(q1, q2, ..., qf , p1, p2, ..., pf ). El movimientodel continuo de puntos se denomina flujo hamiltoniano. Puede ser imaginado comoel movimiento de un medio continuo abstracto. Aplicar el teorema de Euler de lasección 1.5 para demostrar que cualquier volumen del espacio de fase es un invarian-te temporal. En otras palabras, todo flujo hamiltoniano es isocoro. Este resultadose denomina teorema de Liouville y tiene una importante aplicación en la mecánicaestadística.

Ejercicio 1.5 En la mecánica de un sistema de puntos j = 1, 2, ..., la cantidad

V =X

jmj−→vj •−→xj (1.116)

se denomina virial y tiene aplicaciones significativas en la teoría cinética de los gases.En un medio continuo se puede definir el virial de todo el sistema, o el virial de unaparte

V(t) ≡ZV(t)

ρ−→v •−→x d3x. (1.117)

Demostrar (ver sección 1.6) el teorema del virial para un medio continuo arbitrario

∂

∂t

ZV

ρ−→v •−→x d3x+IS

ρ(−→v •−→x )(−→v •−→n )dS = 2T +ZV

ρ−→a •−→x d3x, (1.118)

donde T es la energía cinética contenida en el volumen V . El teorema del virial paramedios contínuos tiene importancia en la discusión del equilibrio de las estrellas

Ejercicio 1.6 El tensor de inercia de una porción arbitraria de un cuerpo deformable es

Iij(t) =

ZV(t)

ρxixjd3x. (1.119)

Utilizando el teorema del transporte para calcular la variación por unidad de tiempoIij demostrar que la mitad de la variación de la traza es igual al virial (ejercicio 1.5)

1

2Iii = V. (1.120)

Ejercicio 1.7 a) Considere el movimiento de un fluido incompresible

div(−→v ) = 0 (1.121)

en un tubo de paredes rígidas, perfil arbitrario, y sección A(s) lentamente variablecon la distancia s a lo largo del tubo, de manera que en todo lugar el movimiento sedesarrolla, con buena aproximación, en una sola dimensión, con velocidad uniformev(s, t) sobre A. Demostrar que en cualquier posición s y para todo t

A(s)v(s, t) = C(t), (1.122)

Ejercicios capítulo 1 26

donde C(t) no depende de s. b) En el mismo tubo del caso precedente fluye ahora unmedio compresible con densidad ρ. A diferencia de a) el movimiento es estacionario,i.e., v = v(s), ρ = ρ(s). Demostrar que en cualquier posición

A(s)v(s)ρ(s) = C, (1.123)

donde C es una constante.