Fundamentos de Fluidodinamica

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  • FUNDAMENTOS DE FLUIDODINMICATexto en preparacin

    Fausto T. Gratton Profesor Titular Ordinario de la Universidad de Buenos Aires.Investigador Superior del CONICET.

    Acadmico Titular de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires.

    Febrero 2004

  • ndice General

    0.1 Al lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    I Nociones de la teora de medios continuos 6

    1 Elementos de cinemtica y distribucin de la materia. 71.1 La descripcin material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 Expresin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Componentes cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Continuidad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 El determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Velocidad y aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 La descripcin espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 La derivada total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 La operacin y su significado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 El gradiente de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Relacin entre las dos representaciones y su visualizacin . . . . . . . . . 131.4.1 Desde la representacin material a la espacial . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Desde la representacin espacial a la material . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Trayectorias y lneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4 Ejemplo de flujo no estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.5 Lneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 El teorema de la divergencia de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 La derivada total del jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Significado y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 La densidad en un medio incompresible . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.4 La ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.6 El teorema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Aplicaciones y formas alternativas de la ecuacin del transporte. . . . . . 221.8 Ejercicios captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Dinmica de medios continuos 272.1 Descripcin de la fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.1 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2 Los principios de la mecnica de medios continuos . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 El principio de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 El principio del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3 Las ecuaciones dinmicas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 El lema del tetraedro de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  • NDICE GENERAL 3

    2.3.2 Carcter tensorial de la matriz de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Frmulas de transformacin de integrales de superficie. . . . . . . 372.3.4 La ecuacin indefinida de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.5 La simetra del tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.4 Representacin espectral y cudrica asociada al tensor de esfuerzos . . . . 402.4.1 Descomposicin espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2 Presin mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 Cudrica asociada a un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.5 Ejercicios captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3 Ecuaciones constitutivas 47

    4 Termodinmica de fluidos en movimiento 48

    II Fluidos ideales y sus aplicaciones 49

    5 El equilibrio de los fluidos 505.1 El modelo de fluidos ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5.2.1 Magnetohidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3 La condicin de barotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    5.3.1 Equilibrios barotrpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Equilibrio de lquidos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5.4.1 Nociones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.2 El empuje de flotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5.5 La teora de equilibrio de las mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.6 Atmsfera politrpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.6.1 Atmsfera isotrmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6.2 Atmsfera adiabtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.7 Nociones sobre la estabilidad atmosfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.8 Equilibrios autogravitatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.9 Ejercicios del captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    6 Flujos Irrotacionales 686.1 El potencial de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Teoremas de Bernouilli para flujos irrotacionales . . . . . . . . . . . . . . 706.3 El movimiento irrotacional de lquidos uniformes . . . . . . . . . . . . . . 71

    III Fluidos viscosos 72

    A Apndice A: resumen de algunas nociones de algebra lineal 73A.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.4 Cambios de base y reglas de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Espacios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.6 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.7 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.8 Ejercicios del apndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.9 Bibliografa del apndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

  • Al lector 4

    B Apndice B: propiedades de tensores de segundo rango 86B.1 Descomposicin invariante del espacio 2E . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2 Representacin espectral de un tensor simtrico de rango 2 . . . . . . . . 86

    B.2.1 Ecuacin de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.2 Invariancia del polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2.3 Realidad de los autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2.4 Ortogonalidad de los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.5 Degeneracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.6 La matriz particionada de autovectores . . . . . . . . . . . . . . . 88B.2.7 Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.2.8 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    B.3 Ejercicios del Apndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    0.1 Al lector

    Estas son notas de un texto, en preparacin, sobre las bases tericas de la dinmica defluidos. Se apoyan en un largo trajinar por la enseanza universitaria de estos temas (msde treinta aos) y en la experiencia de investigacin en una rea afn como la fsica delplasma. Durante muchos aos dict el curso anual de Mecnica II y luego, durante otrostantos, el curso cuatrimestral de Estructura de la Materia 1, ambos de la Licenciaturaen Fsica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de BuenosAires. Un intento de redactar un manual para esta rama de la teora fsica, que incluyuna introduccin a la magnetohidrodinmica, fueron mis notas (en ingls, reproducidasvia xerox en reducido nmero de ejemplares) de un curso anual, dictado en 1984 en laTechnishe Universitt Graz, de la ciudad de Graz, Austria. El documento actual tiene otrocontenido y un objetivo distinto. El estado del trabajo y la ausencia de figuras reflejanslo una etapa de la elaboracin, no una decisin del autor.

    Existe ahora una excelente introduccin a la mecnica de los fluidos en espaol,escrita muy recientemente por el Profesor Julio Gratton (accesible en documentos pdfen el sitio web del Instituto de Fsica del Plasma, http://www.lfp.uba.ar). Su manual,ilustrado por muchas figuras, pone mucha atencin a los aspectos fsicos de la dinmica delos fluidos y ciertamente ayuda a mejorar la intuicin, tan necesaria en esta disciplina, envirtud de la claridad conceptual que caracteriza el estilo de fsica que cultiva el ProfesorJulio Gratton.

    Mi texto se vuelca, aunque no exclusivamente, hacia los fundamentos de la teoray sus aspectos fsico - matemticos. En algunos captulos se acerca ms a un cursode teora clsica de campos que a la fenomenologa de la fsica de fluidos. En verdad, elmaterial de algunos captulos podra servir de introduccin a la teora de medios contnuosen general. Slo ms adelante aparece la orientacin excluyente hacia la fluidodinmica.Los expertos advertirn influencias del magnfico artculo de Serrin (en la Encyclopedia ofPhysics) y del monumental texto de Batchelo