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Resumo Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diversas formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, administradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratará, dessa forma, dos principais conceitos de matemática básica que são fundamentais para a sua formação. Fundamentos da Matemática Eduardo Araújo* Equação do 1.º grau Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. Vamos entender a definição? Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade. Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra). Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita. O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação. Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.

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  • Resumo

    Existem fundamentos de Matemtica que so imprescindveis nas diversas

    formaes profissionais. Mdicos, arquitetos, engenheiros, administradores,

    gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemtica para resolver,

    diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratar, dessa

    forma, dos principais conceitos de matemtica bsica que so fundamentais

    para a sua formao.

    Fundamentos da MatemticaEduardo Arajo*

    Equao do 1. grauChamamos de equao do 1. grau na incgnita x toda equao que pode ser escrita na forma

    ax=b, sendo a e b nmeros racionais, com a diferente de zero.

    Vamos entender a definio?

    Equao: toda sentena composta por uma (ou mais) incgnita(s) e uma igualdade.

    Incgnita: o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).

    Grau: dado pelo maior expoente da incgnita.

    O valor da incgnita, que torna uma equao verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equao.

    Mestre em Ensino de Cincias e Matemtica Ulbra. Especialista em Educao a Distncia Senac. Graduado em Matemtica Ulbra.

  • 8 Matemtica para Negcios e Finanas

    Em igualdades matemticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantm. claro, se fizermos as mesmas operaes, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos equaes do primeiro grau, utilizaremos operaes matemticas de ambos os lados da igualdade at que a incgnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:

    2x + 10 = 18

    Para isolarmos o termo 2x, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:

    2x + 10 - 10 = 18 - 10

    2x + 0 = 8

    2x = 8

    Para eliminarmos o valor 2 que multiplica nossa incgnita, dividiremos ambos os lados da igualdade por 2, e ficamos com:

    2x

    2=

    8

    2

    x = 4

    Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operaes em ambos os membros da igualdade com os mesmos valores, a igualdade permanecer verdadeira.

    Como nosso objetivo sempre isolar a incgnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa necessidade. Veja outro exemplo:

    y

    3+

    y

    2= 15

    2y+3y

    6=

    90

    6

    5y=90

    5y

    5=

    90

    5

    y=18

    (nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2)

    Uma maneira simplificada de resolver equaes dessa forma passando termos semelhantes de um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operao matemtica que est sendo realizada (lembre-se: adio o inverso de subtrao e multiplicao o inverso de diviso). Observe:

    Se 3x + 4 =19, qual o valor de x que resolve essa equao?

    Soluo:

    3x = 19 - 4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operao de adio)

    3x = 15 (resolvendo 19 - 4)

    x = 153

    (enviando o elemento 3 e invertendo a operao de multiplicao)

    x = 5

  • Fundamentos da Matemtica 9

    Veja outros exemplos:

    Ex: -3x + 5 = -7

    Soluo:

    -3x = -7 -5

    -3x = -12

    x = -12-3

    x = +4

    Testando a resposta encontrada:

    -3 . 4 + 5 = -7

    -12 + 5 = -7

    -7 = -7

    Ok!

    Ex: 4 - 2k = 4k - 8

    Soluo:

    -2k - 4k = -8 - 4

    -6k = -12

    k =-12

    -6 k = +2

    Como voc pode perceber, resolver equaes do primeiro grau bastante simples. O mtodo simplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operao que estamos realizando, at que tenhamos nossa incgnita isolada.

    RazoA palavra razo derivada do latim ratio e significa diviso. Ou seja, para obtermos a razo entre

    dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomnio com 40 apartamentos, 12 sejam de 3 dormitrios, 18 sejam de 2 dormitrios e 10 de 1 dormitrio. Qual ser a razo entre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios?

    Razo entre o nmero de apartamentos de 3 e de 2 dormitrios

    12: 6

    18: 6

    2

    3=

  • 10 Matemtica para Negcios e Finanas

    Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitrios, h 3 apartamentos de 2 dormitrios.

    Razo entre o nmero de apartamentos de 3 dormitrios e o total de apartamentos:

    12

    40=

    3

    10

    :

    :

    4

    4

    Portanto, essa razo ser: para cada 10 apartamentos do edifcio, 3 so de 3 dormitrios.

    Esse conceito de razo, que nada mais do que a diviso entre dois elementos, ser fundamental para que possamos entender o conceito de proporo que veremos a seguir.

    ProporoUma proporo uma igualdade entre duas razes. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo,

    formam uma proporo, pois representam uma mesma quantidade. Ento, quando falamos que duas coisas so proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporo entre si. Veja um outro exemplo:

    2

    8e

    3

    12 representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.

    Propriedade:

    Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios, ou seja:

    Se ab

    =c

    d (ou ainda, a b = c d), sempre ser verdadeiro que:

    a

    b=

    c

    d

    a . d = b . c

    Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?

    Se 2

    8e

    3

    12 formam uma proporo, ento 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e so, pois ambos

    geram o mesmo resultado, que 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma proporo, veja:

    Se x4

    =3

    2 ento:

    2x = 3 . 4

    2x = 12

    x =12

    2=6

    O conceito de razo foi importante para entendermos o de proporo. O conceito de proporo, que agora estudamos, ser a base para compreendermos o conceito de regra de trs, nosso prximo tema.

  • Fundamentos da Matemtica 11

    Regra de trsA regra de trs , possivelmente, um dos conceitos bsicos de Matemtica mais utilizados hoje

    em dia. Ela trata de uma simples relao linear na qual conhecemos trs elementos, relacionados entre si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporo. Como voc pode notar, regra de trs e propores so conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de trs nada mais do que uma proporo, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em uma regra de trs:

    :: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na mesma coluna;

    :: para analisarmos se a proporo direta ou inversa, seguiremos os seguintes critrios:

    :: se, ao aumentarmos o valor de uma varivel, a outra tambm aumentar seu valor (ou vice-versa), a relao ser direta e resolvemos o problema como em uma proporo: trata-se de uma regra de trs direta;

    :: se, ao aumentarmos o valor de uma varivel, a outra diminuir (ou vice-versa), a relao ser inversa. Nesse caso, invertemos a posio dos elementos de uma das razes e resolvemos o problema como em uma proporo: trata-se de uma regra de trs inversa.

    Para podermos aplicar as definies vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de trs utilizada?

    Ex: Se um corretor de imveis roda em mdia 60 quilmetros em 3 horas de trabalho, quanto, em mdia, ele dever ter rodado em 8 horas trabalhando?

    Soluo:

    Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodar, portanto, a regra direta:

    km h

    60 3

    x 8

    3x = 60 . 8

    x = 480

    3= 160 km

    Ex: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade mdia de 60 km/h, consiga percorrer certa distncia em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade ele dever dirigir?

    Soluo:

    Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relao inversa.

    Dados do problema:Vel. t

    60 20

    x 15

  • 12 Matemtica para Negcios e Finanas

    Invertendo uma das razes (j que a regra inversa):

    60

    x=

    15

    20

    15x = 60 . 20

    15x = 1200

    x =1200

    15= 80 km/h

    Como voc pode perceber, realizar clculos com regra de trs bastante simples: basta identificarmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relao direta ou inversa. No caso da direta, tratamos como uma proporo; no caso da inversa, invertemos uma das razes e tratamos, novamente, como uma proporo normal.

    Funo do 1. grauVeremos agora algumas noes de funo do primeiro grau. Para tanto, partiremos da definio

    e, em seguida, entenderemos cada um de seus elementos.

    Chama-se funo polinomial do 1. grau qualquer funo f de IR em IR, dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b so nmeros reais quaisquer e a 0.

    Na funo f(x) = ax + b, a chamado de coeficiente de x e o b chamado termo constante.

    Uma funo, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relao entre dois valores.

    Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1. grau:

    f(x) = 5x em que = 5 e b = 0

    f(x) = -2x -7 em que = -2 e b = -7

    As funes do primeiro grau so separadas em trs tipos: linear, afim e constante. Veja qual a definio de cada uma delas:

    Funo linear

    um tipo de funo do 1. grau em que o termo b nulo (y = ax). Um exemplo de funo linear a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).

    Funo afim

    um tipo de funo do 1. grau na qual o termo b no nulo (y = ax + b).

    Um exemplo de funo afim a segunda das anteriores f(x) = -2x - 7.

  • Fundamentos da Matemtica 13

    De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funes do primeiro grau arbitrando valores para a varivel x e calculando os correspondentes valores de y. Veja:

    y = 3x - 6

    Construindo uma tabela e arbitrando valores para x:

    x y = f(x)-2

    -1

    0

    1

    2

    A partir dos valores arbitrados para x (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valores), podemos obter os valores de y. Veja:

    x y = f(x)-2 y = 3 . (-2) - 6 = -6 - 6 = -12

    -1 y = 3 . (-1) - 6 = -3 - 6 = -9

    0 y = 3 . (0) - 6 = 0 - 6 = -6

    1 y = 3 . (1) - 6 = 3 - 6 = -3

    2 y = 3 . (2) - 6 = 6 - 6 = 0

    A tabela fica com o seguinte formato:

    x y = f(x)-2 -12

    -1 -9

    0 -6

    1 -3

    2 0

    E a representao grfica fica:

  • 14 Matemtica para Negcios e Finanas

    Podemos, ainda, arbitrar o valor zero para x e calcular y, arbitrar zero para y e calcular x, unindo esses pontos em uma reta. Veja:

    y = 3x - 6

    Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:

    y = 3 . 0 - 6 0 = 3x - 6

    y = 0 - 6 -3x = -6

    y = -6

    x = 2

    E, portanto, o ponto (0, -6) E, portanto, o ponto (2,0)

    -6

    2

    E, unindo estes pontos, teremos:

    a mesma representao grfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta em ambas as direes.

  • Fundamentos da Matemtica 15

    Atividades1. Uma secretria precisa digitar 26 pginas de um arquivo. Se, em duas horas de servio ela digitou

    8 pginas, quanto tempo dever levar para concluir sua tarefa?

    2. Para se produzir 60 kg de uma certa liga metlica so necessrios 16 kg de cobre. Se voc tiver disponvel 20 kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguir produzir?

    3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em mdia, 16 minutos. Continuando nesse mesmo ritmo, em 20 minutos, ele dever produzir quantos estribos?

    4. Para construir uma ponte, 16 operrios trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse de 80 dias, quantos operrios seriam necessrios?

    5. Em um certo supermercado, o pacote de 2 kg de acar custa R$ 3,24. Quanto dever custar, no mximo, o pacote de 5 kg?

    6. Em geral, uma famlia de trs pessoas consome, por dia, 300 g de gs de cozinha. Considerando um botijo com 13 kg, podemos escrever: (obs.: 300 g = 0,3 kg):

    Dias consumindo gs (x) Quantidade de gs no botijo (y)0 dia 13 kg

    1 dia 12,7 kg

    2 dias 12,4 kg

    3 dias 12,1 kg

    4 dias 11,8 kg

    5 dias 11,5 kg

    Considerando x como a quantidade de dias consumindo gs e y a quantidade de gs no botijo, responda s questes que seguem:

    a) A funo matemtica que explica essa situao :

    b) No 12. dia de consumo, quantos kg de gs h no botijo?

  • 16 Matemtica para Negcios e Finanas

    c) Aps quantos dias consumindo gs a quantidade no botijo ser de 7 kg?

    d) A partir da instalao do botijo, aproximadamente quantos dias o gs dever durar?

    Ampliando conhecimentosOs conceitos vistos nesta unidade so fundamentais para sua formao. Dessa forma, procure retomar todos os conceitos estudados e s avanar aps dirimir todas as suas dvidas. importante entender, por exemplo, que o valor encontrado em uma equao do primeiro grau significa o nico nmero real que, ao ser substitudo na equao, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de trs, se a relao for direta tratamos como uma proporo e se for inversa, precisa ter a proporo invertida.

    Auto-avaliao 1. Caminhando a passos largos, uma pessoa leva, em mdia, 20 minutos para percorrer 2,5 km.

    Para percorrer 4 km, quanto tempo dever levar?

    2. Um automvel, andando a uma velocidade mdia de 80 km/h, leva 12 minutos para percorrer uma certa distncia. Se ele andasse a 60 km/h, que tempo levaria para percorrer a mesma distncia?

    3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$ 546,00. Se em uma nova venda do mesmo produto ele lucrou R$ 420,00, quantos exemplares ele vendeu?

    4. Um mdico leva, em mdia, 20 minutos para atender um paciente em sua clnica. Em um dia inteiro de trabalho, esse mdico consegue atender, no mximo, 24 pessoas. Para aumentar sua renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas durem quanto tempo?

    5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200 ml de sangue, uma mquina leva, em mdia, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma mquina levar para coletar 150 ml de sangue?

  • Fundamentos da Matemtica 17

    6. Associe cada funo com sua possvel representao grfica:a) y = 4x - 4 b) y = 4x + 4 c) y = -4x - 4 d) y = -4x + 4

    e) y = 4x f) y = -4x g) y = 4 h) y = -4

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x

    2

    4

    y

    -2

    -4

    -6

    -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x

    2

    y

    -2

    -4

    -6

    4

  • 18 Matemtica para Negcios e Finanas

    7. Suponha que a quantidade de gasolina mdia (y) em um tanque cheio de combustvel com relao quantidade de quilmetros rodados (x) de um automvel popular seja dado pela equao:

    y = 35 - 0,0625x

    a) Aps percorrer 200 km, quanto haver de gasolina no tanque?

    b) Estando com o tanque cheio, esse automvel conseguir percorrer 600 km? Por qu?

    c) Com que quilometragem dever acabar o combustvel?

    RefernciasARAJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Mrcia Elisa. Matemtica: 6. srie. Canoas: Editora da Ulbra, 2003.

    _____. Matemtica: 8. srie. Canoas: Editora da Ulbra, 2003.

    BIGODE, Antnio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 1989.

    DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, contexto e aplicaes. Livro 1. So Paulo: tica, 1999.

  • Fundamentos da Matemtica 19

    Gabarito

    Atividades1. 6,5h ou 6h 30min.

    2. 75 kg.

    3. 25 estribos.

    4. 24 operrios.

    5. R$ 8,10.

    6. a) y = 13 - 0,3x.

    b) 9,4 kg.

    c) 20 dias.

    d) 43 dias.

    Auto-avaliao1. 32 minutos.

    2. 16 minutos.

    3. 400 exemplares.

    4. 16 minutos.

    5. 18 minutos.

    6. ( c ) ( e )

  • 20 Matemtica para Negcios e Finanas

    ( h ) ( a )

    ( b ) ( f )

    ( d ) ( g )

    -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x

    2

    4

    y

    -2

    -4

    -6

    -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x

    2

    y

    -2

    -4

    -6

    4

    7. a) 22,5 l.

    b) No, pois ao substituirmos de x pelo valor 600, chegaramos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja, faltaria gasolina.

    c) 560 km, que quando o valor de y, gasolina, zero.