(Fundamentalna) Fizika Elementarnih estica

(Fundamentalna) FizikaElementarnih Čestica

Dan 10: Superstringovi kao teorija (više nego) svegai neke nove kosmološke ideje

Tristan HübschPrirodno-Matematički Fakultet

Univerzitet u Novom SaduDepartment of Physics and Astronomy

Howard University

Superstringovi i kosmologija

Fundamentalni paradoks XX vekaZašto je kvantna gravitacija tako teška?

StringoviPrva (naivna?) predodžba➾ Sigma-modeli

SuperstringoviIntegracija po istorijama à la Feynman & HibbsUjedinjenje svih mogućih Svetova

Novi “Svetonazor”2

Program za danas:

Superstringovi

Einstein-ove jednačine

3

Fundamentalni paradoks XX veka⇥

Rµ⌥ � 12 gµ⌥ R = Tµ⌥. (8.6)…znače da prisustvo

materije zakrivljuje prostor-vreme.

Stoga, za jednu česticu, postoji klasa koord. sistema gde ta čestica

• miruje• u koord. početku

Superstringovi

Heisenberg-ove relacije neodredjenosti

4

Fundamentalni paradoks XX veka

⇧x⇧px ⇤ 12 h

®I pozicija i momenat (tj. talasna dužina) se

ne mogu odrediti beskonačno precizno!

Kanonički konjugovane

veličine

UniverzalnaPlanck-ova konstanta

Protivurečnost?!

?????

Superstringovi

GravitacijaPrisustvo materije zakrivljuje prostor;U takvom prostoru sezna gde je k. početak;Ni k. početak (ni čestica)se ne pomeraju

Kvantna #zikaHeisenberg-ove relacije neodredjenosti važe;I mesto i brzina kretanja bilo kojeg objekta……se ne može znati savršeno precizno!

5

Fundamentalni paradoks XX veka

A vrlo dobro znamo da Prorida jestei kvantna, i da ima gravitaciju!

I da je jedna jedina.

Superstringovi

U klasičnoj mehaniciOpšti problem 3 tela nije rešiv

U Kvantnoj mehaniciOpršti problem 2 tela nije rešiv

U klasičnoj teoriji poljaOpršti problem 1 tela nije rešiv

U kvantnoj teoriji poljaOpršti problem 0 tela nije rešiv

6

Hmm...

— Haos

— Potencijali

— Povratna sprega

— Fluktuacije vakuma

digresij

a

Superstringovi

Zaključak:Tačkaste česticesu krive za sve.

I, onda?Pa, valja nam koristitistringove umestotačkastih čestica.(Džinovski korak unapred!)

7

Hmm… II

Don't Panic !

digresij

a

· · · ·

Superstringovi

U teoriji stringova (fundamentalnih struna, niti,…),…stringovi osciluju:

K. početak, za koje se zna savršeno tačno gde je i kako se (ne) kreće—označava mesto centra mase.

Oscilacioni modovi koje interpretiramo kao čestice nisu u k. početku a Heisenberg-ov princip za njih važi.

8

Razrešenje paradoksa

n=0 n=1 n=2 n=3

Superstringovi

U teoriji stringova (fundamentalnih struna, niti)Kvantna kompleksnost #zičkih procesa i parametara se pojednostavljuje.

9

Stringovi ☜☞ čestice

3.1. Stringovi, uvod –Fiat filum.

Osnovna je ideja vrlo jednostavna: ono sto smo dosad smatrali elementarnim cesticama,odsada zamenimo predmetima koji su ,,rasireni“ u prostoru, konkretnije, petljama. Tako,dok cestice ispisuju svoju ,,zivotnu liniju“24 kako vreme prolazi, string ispisuje cilindricnu,,zivotnu povrs“. Ako se cestica raspada u neke druge dve, njena zivotna linija ima bi-furkaciju u zivotne linije proizvedenih cestica (videti sliku 6). Valja primetiti da ovoproizvodi posebnu tacku u 1-dimenzionom prostoru (linija sa bifurkacijom) koji pred-stavlja raspad cestice; kakva god koordinata (svojstveno vreme) da se izabere na ovom1-dimenzionom prostoru, tacka bifurkacije ostaje jednoznacno odred-ena i posebna.

S druge strane, ako se string raspadne u dva stringa, njegova zivotna povrs se raz-dvoji u dve, kao nogavice pantalona, ili vodovodni Y -razdelnik (videti sliku 6). Na tom2-dimenzionom prostoru ne postoji specijalna tacka bifurkacije; cak, ne postoji ni speci-jalan 1-dimenzioni potprostor koji bi predstavljao specijalno mesto bifurkacije. Vremenskui prostornu koordinatu mozemo izabrati na neki odred-eni nacin, sto ce onda negde nazivotnoj povrsini stringa odrediti mesto gde se string preklopi kao broj 8, i posle kojeganastanu dva odvojena stringa. Med-utim, skoro svaki drugi izbor koordinata (prostora ivremena) duz zivotne povrsi ce pomeriti tu ,,osmicu“ negde drugde. Posto pojedini izborkoordinata nema nikakav svojstveni fizicki smisao (koordinate same nisu merljive, jedinorazmaci), relativnost nam garantuje da nema nista fizicko o ovoj ,,osmici“ gde nam se cinida string trpi bifurkaciju.

Vreme

bifurkacija

cestica

zivotna linijanije glatka

konacni rezultat raspada

dogad-aj raspada

pocetno stanje

nema bifurkacije

string (petlja)

zivotna povrsje svuda glatka

Slika 6: jednostavni proces gde se jedna cestica (string) raspada na dvoje.

Druga potvrda ove razlike je da 1-dimenzioni prostor Y -oblika sa bifurkacijom nijegladak, dok stringaski 2-dimenzioni prostor oblika pantalona jeste.

Bas zbog te glatkosti, doprinos virtuelnih stanja (cestica, stringova) u ova dva tipateorija je presudno razlicit. Setimo se da su virtuelna stanja ona cije je postojanje dozvol-jeno u toku vremena propisanog Heisenberg-ovim principom neodred-enosti. To jest, akoje karakteristicno vreme za proces kao sto je raspad na slici 6 !t, relacije neodred-enostiogranicavaju preciznost merenja energije na !E ≥ 1

2!/!t: brzi procesi dozvoljavaju do-

voljno ,,prostora“ u energiji da se stvore i brzo uniste masivnije i masivnije cestice. Ove

24 P.p.: originalni izraz ,,world-line“ doslovno znaci ,,svetska linija“. No, posto ta linija opisuje ,,zivotnu“istoriju cestice: gde je bila, kako brzo i kuda se kretala, itd., ,,zivotna linija“ se cini kao bolji opisni izraz.

– 18 –

Time se zaobilazi potreba za “renormalizacijom”,i za superstring teorije se veruje da su konačne.

Superstringovi

U teoriji stringova (fundamentalnih struna, niti)Kvantna kompleksnost #zičkih procesa i parametara se pojednostavljuje.

10

Stringovi ☜☞ čestice

privremeno stvorene i brzo unistene cestice se zovu virtuelne. Takve virtuelne cestice inter-aguju, sa ,,pocetnim“ i ,,krajnjim“ cesticama, bas kao obicne, samo sto je njihova interakcijaogranicena na kratko vreme postojanja.

Slika 7 (na desnoj strani) prikazuje dve takve moguce interakcije sa virtualnimcesticama. Na krajnje levoj strani, interagujuci samo sa ,,pocetnom“ cesticom pre negoce se raspasti, a prema sredini slike 7, interagujuci sa sve tri, ,,realne“ cestice. Prilicno jejasno da su ove dve mogucnosti sustinski razlicite. Kako se ispostavi, ovaj prvi dijagramdoprinosi jednoj bezazlenoj redefiniciji matematicke funkcije koja opisuje pocetnu cesticu.Med-utim, drugi doprinosi redefiniciji konstante raspada (za graf na levoj strani slike 6).Sve bi bilo u redu da je ta redefinicija konvergentna velicina; problem je u tome, sto nije.Razlog za to se moze videti u cinjenici da velicina kruzne petlje po kojoj se virtuelna cesticakrece moze biti proizvoljno mala. Posto ne postoji nista da joj odredi velicinu, kontinu-alno mnogo velicina je moguce i posto se virtuelna cestica ne moze opaziti, moramo sabratidoprinos svih mogucih celicina; ova integracija tipicno proizvodi divergentan rezultat. Ukvantnim teorijama polja za elektro-slabe i jake interakcije (sa materijom), postoji nebro-jeno mnogo takvih divergentnih doprinosa, ali oni se, srecom, svi med-usobno poniste. Tose, med-utim, ne dogad-a u tackastim teorijama kvantne gravitacije.

Ove dvemodifikacijesu sasvimrazlicite

Prolaz virtuelnecestica (stringa)malom petljomje dozvoljen

Heisenberg-ovimprincipom neodred-enosti;ona interaguje sa ulaznim

i izlaznim stanjima

Ove dvemodifikacijepredstavljaju

isti proces, jerse daju glatkodeformisati

jedna u drugu

Slika 7: Ne moze se spreciti da virtuelne cestice (stringovi) promene ,,osnovne“diagrame kao sto su oni na Slici 6; ovde su prikazane dve jednostavne modifikacijesa jednom petljom. Sve takve modifikacije doprinose ukupnom procesu.

Zahvaljujuci glatkoci ,,patnalona“ dijagrama (na desnoj strani slike 6), njene stringkorekcije sa jednom petljom su skicirane na desnoj strani slike 7. Trebalo bi da je jasno da sezivotna povrs jednog dijagrama moze glatko razvuci da postane drugi. Posto takva (glatka)razvlacenja samo predstavljaju drugi izbor koordinata na zivotnoj povrsi (a te koordinatesu nefizicke, to jest, njih same nije moguce opaziti), dva dijagrama su u stvari jedan teisti. Dijagram na krajnje desnoj strani slike 7 predstavlja redefiniciju, sa jednom petljom,matematicke funkcije koja opisuje pocetni string, i ocigledno se dogad-a pre interakcije(raspada), pa ne menja konstantu raspada u dijagramu na desnoj strani slike 6. Istizakljucak onda vazi i za svaki drugi dijagram koji predstavlja isti potproces.

Ovaj prilicno intuitivni argument se dakako moze uciniti mnogo formalnijim i strozim,posto postoji dobro definisani recnik za prevod-enje ovih dijagrama i slika u konkretneracune, pa se intuitivni argumenti mogu potvrditi konkretnom matematikom.

– 19 –

Time se zaobilazi potreba za “renormalizacijom”,i za superstring teorije se veruje da su konačne.

Kvantna &zika= minimizacija

™

Superstringovi

Svaki sigma-model sadrži:Domenski prostor: XKodomenski (target) prostor: TPreslikavanje: ϕ : X → TFunkcional Hamiltonovog dejstva, S[ϕ;X,T],koje daje dinamiku preslikavanju ϕ, ograničava

S[ϕ;X,T] zavisi of geometrijskih svojstava X i T.Particioni funkcional Z[ϑ] = ∫D[ϕ] exp{i(S[ϕ;X,T] + ϑϕ)/ħ}Corelatori u n-tačke = n-ti momenti Z[ϑ]: G(x1,x2,… xn):= ∂ϑ(x1) ∂ϑ(x2) … ∂ϑ(xn) Z[ϑ]

11

Kvantni sigma-model

Klasična &zika= minimizacija

Superstringovi

Klasična mehanika česticaDomen: —1, za (sopstveno) vreme, τKodomen: —3, za “prostor”Preslikavanje: trajektorija čestice = Slika(ϕ: —1 → —3)Funkcional: Hamilton-ovo dejstvo

Parametrizacija —1 (vreme)Metrika u —3 (izbor generalisanih koordinata)Izabrana dinamika (dejstvo)

12

Kvantni sigma-model

Kodomenski

prostor je

dinamički

odredjen

Superstringovi

Klasična mehanika čestica—kao teorija poljaDomen: —1, za (sopstveno) vremePreslikavanje: r(τ)Funkcional: S[r; τ, gμν(r)] = ∫dτ ||∂τ r||2

Izbor τ (parametrizacije svetske linije)Izbor ||w||2 = gij wi wj = w·w (skalarnog proizvoda)

Kodomen: prostor (dozvoljenih) vrednosti r(τ).Razlika izmedju ovog i prethodnog vidjenja je u tome da li je kodomen zadat izvorno, ili kao prostor vrednosti r(τ) koju dozvoljava dinamika odredjena dejstvom S[r;…]

13

Kvantni sigma-model

umesto samo vremena, —1

Superstringovi

SuperstringoviDomen: Σg, svetska površ — Riemann-ova površKodomen: X1,(d–1) prostor vrednosti r(τ).

Preslikavanje: Xμ(τ,σ) : Σg → X1,(d–1)

Funkcional: S[Xμ; (τ,σ); gμν(X)]= ∫Σ Gμν(∂a Xμ)γab(∂b Xν)Zavisi od

topologije površi Σg i izbora (inverzne) metrike, γab na njojtopologije kodomena X1,(d–1) i izbora metrike, Gμν(X), na njemuizbora dejstva S[r; (τ,σ), gμν(r)] koje biramo da bude supersimetrično.

14

Kvantni sigma-model

Superstringovi

Domen: Σg, svetska (Riemann-ova) površGeometrija (metrika) Σg se ne da opaziti

Moramo da sumiramo/integralimo po njojGenus (broj “ručki”), g, površi Σg se ne da opaziti

Moramo da sumiramo po njemuStoga: &zički merljive/opažljive veličine moraju da budu očekivane vrednosti usrednjene po svim mogućim Σg

Deligne-Mumford “univerzalna kriva” & modularni prostorSuperstring teorija je de"nisana kao suma po svimstring-petljama (genusima, g = 0, 1, 2,…).

15

Kvantni sigma-model

perturbativ

no

Superstringovi

Dejstvo: S[Xμ; (τ, σ); gμν(X)]U prvoj aproksimaciji, Xμ je “harmonijsko preslikavanje”

generalizuje geodezijske linije (= preslikavanje —1 u X1,(d–1))simetrično u odnosu na opšte transformacije (τ, σ)→ (τ′, σ′)

➾ 1+1-dimenziona opšta teorija relativnosti, na sv. površiKonformno ekvivalentna Σg, daje istu &ziku

S mora da bude čak konformno-simetričnoTreba i supersimetrija zbog stabilnosti vakuma

Stoga je klasična superstring teorija de"nisana kaosuper-konformna teorija polja na Σg .

16

Kvantni sigma-model

Tu mi živimo.Superstringovi

Kodomen: X1,(d–1)

Mora (nekako) sadržati —1,3, bar u prvoj aproksimacijiIli je X1,(d–1) “&bracija” nad X1,3 ≈ —1,3 ,

Extra dimenzije su kompaktne i maleFibracija može da bude trivijalna X1,(d–1) = X1,3 × Y0,6

ili netrivijalna: X1,(d–1) je vektorski svežanj(…) nad X1,3.…gde onda moraju postojati “kosmičke strune”: ➾ jezgra za stvaranje galaksija!

ili je X1,3 ≈ —1,3 potprostor u X1,(d–1) : “Brane-World” slikaSa lokalizovanom “pravom” materijom i interakcijama na X1,3 ≈ —1,3,Moguće je objasniti hijerarhiju energija: MPl/MW ∼ 1017

Tako klasična superstring teorija dozvoljava sve prethodno poznate kosmologije……plus tuštu i tma novih, pa i neočekivanih.

17

Kvantni sigma-model

Calabi-Yaukompakti&kacija

A la Nordstrøm-Kałuża-Klein

Parcijalna kompaktifikacija prostor-vremena

18

1914: Gunnar Nordstrøm,(rana Einstein-‐ova konkurencija)1919: Theodor F.E. Kałuża1926: Oscar KleinNaše prostor-‐vreme je potprostorvećeg (5-‐dimenzionog!):Metrički tenzor jeds2 = gij dxidxj, gde i, j = 0,—,4se razlaže: ( gμν, gμ4, g44 )g04 igra ulogu Φ,gi4 igra ulogu Ai,…u elektromagnetizmu!

Einstein-‐ove proizvode Maxwell-‐ove…ako je x4 zamotano u krug:

x1

x2

x3

x4

x4

x4

x4

Torusi & levo-desno asimetrija

19

Za razliku od ostalih teorijskih modela, stringovi imaju svetsku površinu i abelovsku Lorentz-‐ovu grupu, Spin(1,1)…i karakteristične leve/desne koordinate i funkcije.

1984, D. Gross, J. Harvey, E. Martinec i R. Rohm:XLμ, za μ = 0, …, 9: ostaju “ravne i beskonačne”

XLμ, za μ = 10, …, 25: torus sa SO(32) ili E8×E8 korenskom rešetkom

XRμ, za μ = 0, …, 9: ostaju “ravne i beskonačne”

XRμ, za μ = 10, …, 25: zamenjeno sa 32 fermiona

Nema tahiona: zbog supersimetrije.Stanja bez mase:{Gμν, Bμν, Φ | Ψμα, χα } i { Aμa | λa }D. Friedan: kvantna stabilnost garantuje da ova polja proizvodeN = 1 supergravitaciju u 10-‐dimenzionom prostor-‐vremenuSupersimetričnu SO(32) ili E8×E8 kalibracionu simetriju


Calabi-Yau Manifolds & Bundles

20

1984, P. Candelas+ D. Reine u 11-‐dimenzionoj supergravitaciji+ G. Horowitz, A. Strominger i E. Witten u 10-‐d superstringovimaZnamo da δSS {Gμν, Bμν, p, Aμa } = f (Gμν,Bμν,p,Aμa| Ψμα,χα,λa)Pošto ⟨0|fermionska polja|0⟩= 0,…zahtevamo da je ⟨0| f (Gμν,Bμν,p,Aμa| Ψμα,χα,λa) |0⟩= 0…što daje uslove na δSS {Gμν, Bμν, Φ, Aμa }= f μα(Gμν,Bμν,p,Aμa)Ψμα+ f α(Gμν,Bμν,p,Aμa)χα+ f a(Gμν,Bμν,p,Aμa)λa:

—1,3 prostor-‐vreme Minkowskog + N=1 supersimetrijaSO(26)×U(1) ili E6×E8 kalibraciona simetrija…ako —1,9 heterotskog stringa zamenimo sa —1,3×Y

…gde je Y Calabi-‐Yau (Ricci-‐ravan) prostor.Svetska površ: Ricci-‐ravnost Y = potiranje anomalije traga

⇒ hiralni fermioni!

= Weyl (conformna) simetrija

(h2,1, h1,1)

(27, 27*)


ima geometrijski smisao nejedno-značnosti u prostoru opservabli

nad Hilbertovim prostorom.

Superstringovi

Fazni prostor klasične teorije polja na svetskoj površiima Poisson-ove zagradedozvoljava “polarizaciju” π(…), koja “organizuje”

π(X) je multiplikativni operator, a π(P) = iħ ∂⁄∂X, itd.Poisson-ove zagrade klasičnih observabli {A, B}PB

treba da se preslikaju u komutatore [π(A), π(B)]…kao i rezultati (vrednosi tih binarnih izraza) istih.

Medjutim, u opštem slučaju,

[π(A), π(B)] ≠ π({A, B})

[π(A), π(B)] – π({A, B}) = anomalija

21

Kvantni sigma-model

Superstringovi

Potiranje raznih animalija➾ d = 26 bez supersimetrije, d = 10 sa supersimetrijomNad X1,9, kalibraciona grupa (i vektorski svežanj) E8 × E8

Kompakti&kacijom X1,9 → X1,3 × X0,6

E8 × E8 → E6 (× SU(3)) × E8

A E6 ⊃ SO(10) ⊃ SU(5) ⊃ … je dovoljno velikai sadrži dovoljno “materije” i kalibracionih bozonaza “realan Svet”:248 → (78,1)⊕(27,3)⊕(27*,3*)⊕(1,8)

22

Kvantni sigma-model

Kalibracionibozoni

familijafermiona

anti-familijafermiona

neutralnifermioni

???

Superstringovi

Feynman-Hibbs-ova konstrukcijaTalasna funkcija Ψf(X(t))=∫D[X(τ)] e iS[X;Σ;X]Ψ0(X(t0))

zadovoljava Schrödinger-ovu jednačinu za koju se Hamiltonijan H da izvesti (iterativno) iz dejstva S[X;Σ;X].

Taj H de&niše novo jedno dejstvo, S′ = ∫(P·dX – HdX0) i sledeći nivo sigma-modela, gde je:

X1,(d–1) domentalasna funkcija Ψ je uronjavanjeS′ je dinamički funkcional za Ψprostor mogućih vrednosti Ψ je kodomenski prostor

Iterativno izvodjenje H i S′ de&nišeperturbativno de&nisani sigma-model 2. nivoaX1,3 kao prostor-vreme u kome mi živimo.

23

Kvantni sigma-model

Superstringovi

24

2-slojni sigma-model

{Σg;X(τ,σ);X1,(d–1);S[Xμ;γab;Gμν]}

{X1,(d–1);Ψ(Xμ);F;S′[Ψ;Gμν;e,me,mu,md,…]}

super-konformni σ-model = teorija polja na svetskoj površi

supersimetričan σ-model = teorija polja “realnom svetu”

{Σg;X(τ,σ);X1,(d–1);S[Xμ;γab;Gμν]}

{X1,(d–1);Ψ(Xμ);F;S′[Ψ;Gμν;e,me,mu,md,…]}

super-konformni σ-model = teorija polja na svetskoj površi

supersimetričan σ-model = teorija polja “realnom svetu”

Modularni prostori, … ?3

???

Akteri

Arena

Pre teorije relativnosti:Fundamentalna &zika je opisivala čestice i polja koja su se prostirala kroz prostor, dok vreme teče nezavisno.

Specijalnom teorijom relativnosti je:Prostor ujedinjen sa vremenom u prostor-vreme.

Opštom teorijom relativnosti:Prisustvo materije zakrivljuje prostor-vreme,koji onda utiče na to kako čestice i polja interaguju.

25

Privremeni zaključak

Superstringovi

Akordi oscilacija fundamentalnih stringova

Teorija stringova (fundamentalnih struna, niti)Može da se razume kao višestruka, hijerarhijska struktura teorija polja.Najosnovniji nivo ima:“Prostor-vreme” = svetska površ; dinamika u toj svetskoj površi generiše sve ostaloOscilacioni stepeni slobode stringova opisuju:

čestice i polja,ali i prostor-vremei njihova dinamika

26

Sekundarni, efektivni,rezultujući epifenomen

Privremeni zaključak

Superstringovi

27

Uzmimo E8E8 heterotski string model, čije je prostor-‐vreme parcijalno kompaktisikovano u —1,9 → —1,3 × YVeć standardnom Nordstrøm-‐Kałuża-‐Klein metodom analize:h2,1 gen. Standardnog Modelah1,1 ogl. Standardnog Modela+ dim H1(Y, EndTY ) “junk”

E, ali:

(n, w; R) ↔ (w, n; α′ħ2c2/R) dualnostSa šest realne kompaktne dimenzije,ima mnogo načina za dualizaciju.

(mc

2)2 =n

2

h

2

c

2

R

2

+w

2

R

2

⇥⇤2 h

2

c

2

+2

⇥⇤�

N

L

+ N

R

� 2

�

(n = 3,w = 0)

(n = 0,w = 1)

Ogledalska SimetrijaCalabi-Yau prostori postoje u parovima

28

Uzmimo E8E8 heterotski string model, čije je prostor-‐vreme parcijalno kompaktisikovano u —1,9 → —1,3 × YVeć standardnom Nordstrøm-‐Kałuża-‐Klein metodom analize:h2,1 gen. Standardnog Modelah1,1 ogl. Standardnog Modela+ dim H1(Y, EndTY ) “junk”

E, ali:

(n, w; R) ↔ (w, n; α′ħ2c2/R) dualnostSa šest realne kompaktne dimenzije,ima mnogo načina za dualizaciju.

(mc

2)2 =n

2

h

2

c

2

R

2

+w

2

R

2

⇥⇤2 h

2

c

2

+2

⇥⇤�

N

L

+ N

R

� 2

�

Koristeći CY 3-‐prostor Z,superstring model imah2,1 gen. Standardnog Modelah1,1 ogl. Standardnog Modela+ dim H1(Z, EndTZ ) “junk”

B. Greene &R. Plesser


29

Otkud to? Matematičari nisu verovali, ali sizičari računaju. (1991)P. Candelas, X. de la Ossa, P. Green i L. Parkes su izračunali “težak” račun (odredjenu Yukawa spregu) za jednu (t-‐)familiju CY 3-‐prostora Y kao stepeni red

Ovo daje intenzitet te odredjene interakcije za svaki model u ovoj 1-‐parameterskij familiji.Ali: nk računaju broj uronjavanja ¬P1 (S2 – string instantona) stepena k u CY 3-‐prostoru Y. k = 2 rezultat je bio poznat u “klas. enumer. algebarskoj geom.”

Prepoznajete ?

5 +•

Âk=1

n

k

k

3

e

2⌅ikt

1 � e

2⌅ikt

= 5 + 2875 e

2⌅it + . . .

�

t

:= � 5

2⌅i

(log(5�)� 1

⌥0

(�)

•

Âm=1

(5m)!(m!)5(5�)5m

��(0)(1 + 5m)� �(0)(1 + m)

�)


30

Izračunavanje interakcija za “27” (standardni fermioni) je lako.Izračunavanje interakcija za “27*” (ogledalski fermioni) je teško.

Calabi-Yau prostori postoje u parovima

Ogledalska Simetrija

Exactly computable

Exactly computableHard to compute

Hard to compute

M Wogledalska dualnost

Pomalo, kao integralni transform.

31

Fundamentalni razlog za postojanje dualnosti u kvantnim teorijama, pa i (super)string teorijama:

Pošto je skup kvantnih opservabli (merljivih veličina) “pomeren” od “mentalnih karikatura” koje koristimo za desiniciju modela…vrlo različite “mentalne karikature” mogu da upute na istovetne konačne (merljive) rezultate.

String teorije

Dualnosti

=Kvantne string opservable Kvantne string opservable

Hilbert-ov prostor H [SX�! X ] Hilbert-ov prostor H 0[S

X0�! X 0]

Particioni funkcionalR

D[X ] eiS[X ]/h Particioni funkcionalR

D[X0 ] eiS[X 0 ]/h

Hamilton-ovo dejstvoS[X ] =

RS

L (X,.X, · · · ) za S

X�! X

Hamilton-ovo dejstvoS[X 0] =

RS

L (X0,.X0, · · · ) za S

X0�! X 0

Tristan HübschDepartment of Physics and Astronomy

Howard University, Washington DC, USADepartment of Physics, Faculty of Natural Sciences

University of Novi Sad, Serbia

Je li Realnost Matrica?




Je li Matrica Realnost?Nešto poput "lma




Je li Realnost Matrica?

Hvala na pažnji

Tristan HubschPrirodno-Matematički Fakultet

Univerzitet u Novom SaduDepartment of Physics and Astronomy

Howard University

http://homepage.mac.com/thubsch/http://physics1.howard.edu/~thubsch/

http://homepage.mac.com/thubsch/




Documents

(Fundamentalna) Fizika Elementarnih estica