Nachtrag zu der Arbeit

Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe Von HE~Z HOPF, Ziirich

Die nachstehenden Bemerkungen setzen die Kenntnis der im Titel genannten Arbeitl), die ich kurz als , ,F." zitieren werde, nicht voraus. Der Untersuchung und Darstellung topologisch-gruppentheoretischer Zusammenh~nge, die den Hauptinhalt yon F. bilden (w 1 ; w 2 ; w 4 ohne Hr. 22; Anhang), habe ich nichts hinzuzufiigen; es soil aber zu einem Korollar der dort gewonnenen Si~tze ein elementarerer Zugang gezeigt werden. Dieses Korollar lautet: ,,Es seien : K, KI zwei Komplexe mit isomorphen Fundamentalgruppen ; ~2, !~ ihre zweiten Bettischen Gruppen ; ~2, ~ die Gruppen derjenigen Homologieklassen, welche stetige Bilder der Kugel/lache enthalten. Dann ist ~2/ ~ 2 ~ ~ / ~ .,, Von diesem Satz lassen sich zahlreiche Anwendungen machen (F., w 3; Hr. 25); sowohl aus diesem Grunde dfirfte der unten angegebene kurze Beweis Interesse verdienen, als auch darum, weft dieser Beweis sogleich einen allgemei- neren Satz liefert, der sich nicht nur auf die Dimensionszahl 2 bezieht. Dabei erh~lt man allerdings weder AlffschluB fiber die Art der gruppen- theoretischen Verwandtschaft zwischen !D2/~e und der Fundamental- gruppe (5, noch fiber die Art der geometrischen Beziehung zwischen zweidimensionalen Zyklen und eindimensionalen Wegen, welche den Zusammenhang zwischen ~ 2 / ~ 2 und (5 herstellt; die Kl~rung der beiden damit gestellten Fragen bildet gerade den Inhalt der w167 1 und 2 yon F . .

Die unten angewandte Methode geh5rt ganz in den Rahmen der Theorie der Deformationen yon Hurewicz, und zwar in deren elementar- sten Tell2); es wird eigentlich einem der dortigen Beweise nur eine Kleinigkeit - - im wesentlichen die Einfiihrung der Gruppe ~2 __ hinzu- geftigt. Daher wird manches, was nachher zu sagen ist, bekannt sein, und die Darstellung darf an diesen Stellen knapp geraint werden. Ftir neu halte ich den speziellen Satz am SchluB (Hr. 5.5); aber auch er wird durch Betrachtungen gewonnen, die solchen bei Hurewicz ahnlich sind.

In F. wurde auch gezeigt, dab und wie gewisse multiplikative Eigen- schaften in Mannigfaltigkeiten durch die Fundamentalgruppe bestimmt sind. Verzichtet man auf das ,,wie" und begniigt man sich mit dem Satz, daft diese Eigenschaften nur yon der Fundamentalgruppe abh~ngen, so

1) Comment. Math. Helvet. 14 (1942), S. 257. =) W. Hurewicz, Proe. Akad. Amsterdam 39 (1938), 215--224; besonders 217--218. --

Im folgenden als ,,H." zitiert.

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l~13t sieh dies - - samt einer Verallgemeinerung auf hOhere Dimensions- zahlen - - mit derselben elementaren Methodr beweisen; man muB dann - - was in F. nur angedeutet wurde (]Nr. 24) - - yon vornherein s tat t Mannigfaltigkeiten beliebige Komplexe und in diesen in erster Linie das (2ech-Whitneysehe , ,eap"-Produkt 3) betraehten. Ich will aber darauf hier nicht eingehen.

1. K sei ein Komplex beliebiger Dimension, K n d e r Komplex seiner h0chstens n-dimensionalen Simplexe, 3 n die Gruppe seiner n-dimen- sionalen Zyklen, ~n seine n-re Bettisehe Gruppe (in bezug auf ganz- zahlige Koeffizienten). Die Menge derjenigen z E 3 n, welche (simpliziale) Bilder einer n-dimensionalen Sphare S n sind, nennen wit ~n . Behaup- tung: ~n ist eine Gruppe.

Beweis: Es sei z 1 E a n, z2 ~ a n ; dann ist z 1 : / 1 ( S ~ ) , z2 - - - - /~ (S~) , wobei S~, S~ zwei zueinander fremde Sph~ren sind. Man verbinde einen Punkt a 1 c S~ dutch eine Strecke T mit einem Punkt a2 E S~ und bilde eine dritte Sphere S n so auf S[ ~ T ~- S~ ab, dab S~ mit dem Grade ~- 1, S Tmit dem Grade - -1 bedeckt wird; darauf fibe man /1 , /2 auf S~ bzw. S~ aus und bilde aul~erdem T auf einen Streckenzug in K ab, der / l ( a i ) mit /~(a~) verbindet. So entsteht eine Abbildung ] yon S n mit / (S n) -~ z 1 - - z~ ;

es ist also z~ - - z 2 E a n ; folglich ist a neine Gruppe. Wit setzen 3n/ a n ~ ~f~ n . Diejenigen z ~ 3 n, welche ~ 0 in K sind,

sind lineare Verbindungen yon R~ndern (n ~ 1)-dimensionaler Simplexe, also von n-dimensionalen Spharenbildern, also selbst in a n enthalten; daraus folgt: eine n-dimensionale Homologieklasse von K enth~lt ent- weder nur Sph~renbilder oder kein Sph~renbild. Die Homologieklassen, die Sph~renbilder enthalten, bilden eine Untergruppe a n yon ~n ; ordnet man jedem Zyklus die ihn enthaltende Homologieklasse zu, so entsteht eine homomorphe Abbildung yon 3 n auf !D n, bei welcher a n das Urbild yon a n ist; folglich ist

n/an.

Diese Isomorphie zeigt: Die Struktur yon !Dn/a n ist bereits durch K n

bestimmt (w~hrend !D n und a n erst durch K n+l bestimmt sind). - - Man sieht iibrigens leicht, dab a n und daher auch !Dn/a n topologische Inva- rianten yon K sind.

2. K heiBt ,,asph~risch" in der Dimension r, wenn in K jedes stetige Bild einer r-dimensionalen Sphare homotop 0 ist2). Wenn ein Komplex

a) H. Whitney, Annals of Math. 39 (1938), 397--432.

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asphirisch in aUen Dimensionen r mit 1 < r < n ist, so woUen wir sagen, da~ er die Eigenschaft An hat (n > 1). Man beachte, dab die Eigenschaft A~ nichtssagend ist, da~ also jeder Komplex die Eigenschaft A~ hat, und dab daher die nachstehenden S~tze fiir n -~ 2 eine besonders ein- fache Bedeutung und einen besonders allgemeinen Gfiltigkeitsbereich haben.

Es ist tibrigens klar, daB, falls K asphirisch in der Dimension r ist, ~r ~ 0 ist (die Umkehrung hiervon grit nicht).

3. Es seien: K, K 1 zwei Komplexe, jeder von ihnen zusammenhingend; K n, K'~ die Komplexe ihrer hOchstens n-dimensionalen Simplexe; ~ , (51 ihre Fundamentalgruppen. 3~, ~ , ~ , ~ , ~ sollen die gleichen Be- deutungen ftir K~ haben wie die analog bezeichneten Gruppen fiir K .

Eine Abbfldung / yon K ~ in K~, n > 1, bewirkt eine Homomorphis- menklasse 2) yon (5 in (5 i, sowie einen Homomorphismus yon 3 ~ in 3~ ;

- - - - n

ferner ist offenbar / (~n ) c ~ , und daher bewirkt / auch einen Homo- morphismus von ~n in ~ .

Wir setzen yon jetzt an voraus: K1 hat die Eigenschaft A n .

Dann gelten die folgenden drei Hflfssi~tze:

3 .1 . Zu jeder Homomorphismenklasse H yon ffi in (5 i gibt es eine Abbildung yon K n in K[ , welche H bewirkt.

3 .2 . /, g seien zwei Abbfldungen yon K n in K~, welche dieselbe Homomorphismenklasse yon ffi in (~1 bewirken; dann gibt es eine mit / homotope Abbildung f ' von K ~ in K~, welche ~uf K n-1 mit g identisch ist.

3 .3 . /, g seien zwei Abbildungen yon K ~ in K~, welche dieselbe Homo- morphismenklasse yon ffi in (5 i bewirken; dann bewirken sie auch den- selben Homomorphismus yon ~ in ~ .

Die Beweise von 3.1 und 3.2 diirfen als bekannt gelten~). - - Beweis yon 3.3: Ist ], die in 3.2 genannte Abbildung und ist x ein orientiertes n-dimensionales Simplex von K n, so i s t / ' ( x ) - if(x) ein Sph/~renbild in K~, also ein Element yon ~ ; daher ist auch /'(z) -- g(z) mod. ~ fiir jeden z e 3 ~, und da ], mit / homotop ist, ist / '(z) ---- /(z), also auch/(z) ~ g(z); das ist aber die Behauptung.

Aus 3.1 und 3.3 folgt: Unter der Voraussetzung, dai] K1 die Eigen- schaft A n besitzt, ist jeder Homomorphismenklasse H von ffi in (51 ein bestimmter Homomorphismus QR von ~ in ~ zugeordnet, n/imlich der dutch diejenigen Abbildungen von K ~ in K~ bewirkte, welche H bewirken.

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Folgendes ist klar: falls K ~-- K 1 und H die Klasse der identischen Abbil- dung yon ffi auf sich ist, so ist auch QR die identische Abbildung yon ~ auf sich; falls auch K~ ein Komplex ist, der die Eigenschaft A. besitzt, und fails H ~ eine Homomorphismenklasse yon ffi~ in die Fundamental- gruppe yon Ks und QB, der dadurch bewirkte Homomorphismus yon ~ ist, so gilt die Produktregel QH, R : QH, QR �9

4. Wit setzen jetzt voraus, dab sowohl K als auch K~ die Eigenschaft A, besitzen und dab die Fundamentalgruppen ffi und ffi~ miteinander isomorph sind. H sei eine Isomorphismenklasse von ffi auf ffi~, H -1 die Klasse der inversen Isomorphismen yon ffi I auf ffi. Nach den Bemer- kungen am SchluB yon Nr. 3 ist dann QH-~ QH der identische Isomorphis- mus von ~ und QBQH-~ der identische Isomorphismus yon ~ . Daraus folgt, dab Q~ ein Isomorphismus von ~ auf ~ [ ist; ~ und ~ ' sind also isomorph. Fassen wir dieses Ergebnis mit der Isomorphie (1) in Nr. 1 zusammen, so haben wir den folgenden Satz, der fiir n ~ 2 das ein- gangs zitierte Korollar aus F. ist:

K , K 1 seien Komplexe beliebiger Dimensionen, jeder von ihnen zusam- menh~ngend und asphdrisch in allen Dimensionen r mit 1 ~ r ~ n ; ihre Fundamentalgruppen seien i8omorph" dann ist auch !Dn/ ~ ~ !D 1 / ~ 1 �9

Mit anderen Worten: Far die zusammenhdngenden und in den Dimen- sionen r mit 1 ~ r < n asphdrischen Komplexe sind die Strukturen der Gruppen !Dn/ ~n dutch die Strukturen der Fundamentalffruppen bestimmt. 4)

Bezeichnen wit die zu einer Fundamentalgruppe ~ geh0rige Gruppe ~ n / ~ n mit ffi n - - beide Gruppen als abstrakte Gruppen aufgefal]t 5) - - , so erheben sich die folgenden beiden Fragen: 1. Wie ist der gruppen- theoretische Zusammenhang zwischen ffi und ffi n ? - - 2. Da ffi ~ durch ffi bestimmt ist, wird durch die Isomorphie ~ / ~ n ~ (~n ein Zusammen- hang zwischen n-dimensionalen Zyklen und eindimensionalen Wegen in K vermittelt; wie ist die geometrische Bedeutung dieses Zusammen- hanges ? - - Fiir den Fall n ~- 2 werden beide Fragen in den w167 1 und 2 yon F. beantwortet (die Gruppe ffi ~ heiBt dort ffi*); ftir n > 2 sind mir die Antworten nicht bekannt.

a) cf. H., 221. 5) Hier ware allerdings erst noch festzustellen, ob bei gegebenem n jede Gruppe (mit

endlich vielen Erzeugenden und Relationen) als Fundamenta lgruppe eines Komplexes auftr i t t , der die Eigenschaft A n hat. Im Fall n = 2, in dem die Bedingung A n leer ist, ist diese Frage bekanntl ich zu bejahen.

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5. Manche Gruppen (fi~ kann man dadurch ermitteln, dab man einen Komplex K findet, der die Fundamentalgruppe (fi hat, die Eigenschaft A~ besitzt und dessen Gruppe !Bn/~n sich bestimmen l~Bt; diese Gruppe ist dann isomorph mit (fin ; ferner ist in einem solchen Komplex ~r : 0, also !~ r ~ ( f i r fiir l < r < n .

Beispiele fiir n ---- 2 sind in 2'., Nr. 13, ausfiihrlich behandelt6). Wir fiigen hier noch einige einfache Beispiele mit speziellen Anwendungen hinzu.

5 .1 . Eine orientierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit M n, die von der Sphgre S n iiberlagert wird, m0ge ,,sph/~roidal" heiBen. Eine solche M n besitzt die Eigenschaft A~; 7) daher ist, wenn (fi die Fundamental- gruppe yon M n ist, !~n/~n ~ (fin. Nun ist erstens !D ~ die yon dem Grund- zyklus Z yon M ~ erzeugte unendliche zyklische Gruppe, und zweitens sieht man leieht, dal] ~n von dem Zyklus gZ erzeugt wird, wobei g die Ordnung von (fi ist. Daraus folgt : Ist die (endliche) Gruppe (fi Fundamental- gruppe einer sphdroidalen M n und von der Ordnung g, so ist (fin zyldisch und von der Ordnung g . Da ferner !D n-1 -- 0 ist (infolge der Endliehkeit von (fi und der Orientierbarkeit von Mn), folgt auBerdem : es ist (fi~-i ~ 0 .

5.2. Die zyklische Gruppe der Ordnung m soll immer !gm heiBen. Ffir jedes m > 1 und jedes ungerade n > 1 gibt es eine sph/~roidale M n mit der Fundamentalgruppe ~Im (n/imlich einen Linsenraum). Aus 5. 1 ergibt sich daher: ~I~ ~--~I~ / f r ungerades n , ~I~ = 0 /fir gerades n . (Fiir die unendliche zyklische Gruppe 9~ o gilt nattirlich 9~ ~ 0 bei beliebigem n ; man erkennt dies durch Betrachtung einer Kreislinie M1.)

5 .3 . Aus 5.2 folgt die (ftir die Linsenr~ume bekannte) Tatsaehe: Ist M ne ine sph/~roidale Mannigfaltigkeit mit zykliseher Fundamental- gruppe (fi, so ist !D r --~ (fi ffir die ungeraden r, !3 ~ = 0 ffir die geraden r ; (I ~ r < n ) .

5.4 . Ffir jede Abelsche Gruppe (fi (mit endlich vielen Erzeugenden) und ftir jedes n 1/~flt sich (fin folgendermai~en bestimmen: P sei ein solches topologisches Produkt von Kreislinien und Linsenr/~umen, dab es die Fundamentalgruppe (fi hat; dabei sei die Dimension der Linsenr/~ume n ' > n ; dann hat P die Eigenschaft A ~ , , und es ist !Bn___-- ~ (fin. Die Gruppe !D n aber l~Bt sich in bekannter Weise aus den Bettisehen Gruppen der topologischen Faktoren ermittelnS), und die Bettischen Gruppen der Linsenrgume sind nach 5.3 bekannt. Ohne das allgemeine Ergebnis zu

6) Man vgl. auch H., 222ff. ~) Cf. H., 215--216. 8) Alexandro]f-Hop], Topolog ie I (Berlin 1935), 308, Formel (12).

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formulieren, erw~hne ich nur die folgende spezielle Tatsache, die man auf die angegebene Weise leicht best~tigt: Wenn (~ ein direktes Produkt ~m • ~I~ ist, so enth~lt ffi n fiir n > 2 eine Untergruppe, die mit ~I~ • 9 ~ isomorph ist; ffi ~ ist also in diesem Falle gewiB nicht zyklisch.

5 .5 . Fiir eine Gruppe ffi, welche Fundamentalgruppe einer sph~roi- dalen M n ist, ist nach 5.1 ffi n zyklisch; nach 5.4 ist daher ~ nicht ein direktes Produkt ~Im • 9 ~ . Diese direkten Produkte treten also nicht als Fundamentalgruppen sph~roidaler Mannigfaltigkeiten auf. Da ferner einerseits jede endliche Abelsche Gruppe, welche nicht zyklisch ist, eine Untergruppe vom Typus ~ • ~m enth~lt, andererseits jede Unter- gruppe der Fundamentalgruppe einer sph~roidalen M n selbst Fundamen- talgruppe einer sph~roidalen Mannigfaltigkeit ist, gilt somit folgender Satz : Eine Gruppe, welche Fundamentalgruppe einer sph~roidalen Mannig- /altiglceit ist, hat keine anderen Abelschen Untergruppen als die zylclischen. 9) Insbesondere sind daher die zyklischen Gruppen die einzigen Abelschen Fundamentalgruppen sph~roidaler Mannigfaltigkeiten.

9) FOr die sph~rischen Raumformen, d .h . fOr diejenigen sph~roidalen M n , derelx Decktransformationen Drehungen der S n sind, ist dieser Satz sehr leicht auf algebraischem Wege zu best~tigen. Man weil] aber nicht, ob jede spharoidale M n einer Raumform hom6o- morph ist.

(Eingegangen den 19. Januar 1942.)

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