1

1. FUNCŢII INJECTIVE

Considerăm funcţia şi .

Studiind diferenţa valorilor funcţiei în ,

se observă că:

- dacă atunci ,

- dacă atunci .

Aşadar, funcţia are urmatoarea proprietate: „oricăror argumente diferite le

corespund valori ale funcţiei diferite.“

Figura 1

Această proprietate este specifică unei clase importante de funcţii.

1.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie injectivă (sau

injecţie) dacă pentru oricare două elemente cu proprietatea că

rezultă că .

Revenind la funcţia de gradul întâi

putem spune că aceasta este injectivă.

2

Funcţia de gradul al doilea

nu este injectivă întrucât pentru orice avem .

Definiţia funcţiei injective este echivalentă cu propoziţia următoare.

1.2. Propoziţie. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă

oricare ar fi cu proprietatea că rezultă că .

Demonstraţie. Proprietatea de injectivitate a fost definită ca o implicaţie de

forma în care şi sunt propoziţiile următoare:

şi .

Propoziţia 1.2 rezultă din echivalenţa logică dintre propoziţia şi

contrara ei . ■

O condiţie suficientă ca o funcţie să fie injectivă este dată în propoziţia

următoare.

1.3. Propoziţie. Dacă funcţia este strict monotonă pe atunci

este funcţie injectivă.

Demonstraţie. Fie cu proprietatea că . Presupunem că

. Atunci dacă este strict crescătoare, respectiv

dacă este strict descrescătoare. Aşadar şi deci este

injectivă. ■

În propoziţia următoare este dată o caracterizare geometrică a funcţiilor

numerice injective (obţinută din definiţie).

1.4. Propoziţie. Funcţia cu este injectivă dacă şi

numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,

reprezentată pe axa , intersectează graficul lui în cel mult un punct.

În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice

injective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.

3

1.5. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă

pentru orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă

.

Demonstraţie. Presupunem că este injectivă şi că , adică

pentru orice . Funcţia fiind injectivă rezultă

pentru orice , ceea ce înseamnă că .

Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii

cu avem şi că nu este injectivă. Atunci există

, astfel încât . Pe mulţimea definim

funcţiile astfel , , . Atunci avem

şi

.

Înseamnă că şi , ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea de

mai sus. ■

2. FUNCŢII SURJECTIVE

Fie funcţiile şi date cu ajutorul

diagramelor:

Figura 2

4

Din studiul diagramelor se observă că fiecare element al mulţimii ,

codomeniul funcţiei , este valoare a funcţiei , în timp ce elementul nu este

valoare a funcţiei .

Proprietatea funcţiei ca fiecare element al codomeniului să fie valoare a

funcţiei, este caracteristică unei clase speciale de funcţii.

2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie surjectivă (sau

surjecţie) dacă pentru orice element y B există un element x A cu proprietatea

că .

Revenind la funcţiile f şi g definite prin diagramele din figura 1, rezultă că

funcţia este funcţie surjectivă, iar funcţia nu este funcţie surjectivă.

Funcţia de gradul întâi este funcţie

injectivă.

O funcţie nu este surjectivă dacă există y B cu proprietatea că

pentru orice x A avem .

Având o funcţie şi submulţimile , mulţimea

există astfel încât

se numeşte imaginea mulţimii prin , iar mulţimea

se numeşte preimaginea mulţimii .

Propoziţia următoare oferă caracterizări ale funcţiilor surjective.

2.2. Propoziţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Funcţia este surjectivă;

b) ;

c) Pentru orice y B ecuaţia cu necunoscuta are cel puţin o

soluţie în .

d) Pentru orice y B avem .

5

Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B

există un element x A cu proprietatea că , ceea ce înseamnă că

şi deci . Cum rezultă că şi am demonstrat implicaţia a)

b) .

Dacă atunci orice element din aparţine mullţimii şi deci

există x A încât . Astfel are loc implicaţia b) c) .

Din existenţa soluţiei ecuaţiei pentru orice y B rezultă că

şi deci c) d).

Mai trebuie demonstrat că d) a). Pentru aceasta considerăm un element y

B . Cum rezultă că există astfel încât ceea ce înseamnă

că este surjectivă. ■

O caracterizare geometrică a funcţiilor numerice surjective (obţinută din

definiţie) este dată în propoziţia următoare.

2.3. Propoziţie. Funcţia cu este surjectivă dacă şi

numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,

reprezentată pe axa , intersectează graficul lui în cel puţin un punct.

În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice

surjective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.

2.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă

pentru orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă

.

Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B

există un element x A cu proprietatea că . Atunci din

rezultă că pentru orice pentru orice y B avem , ceea ce înseamnă că

.

Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii

cu avem şi că nu este surjectivă. Atunci

există astfel încât . Presupunem că . Definim funcţiile

6

astfel şi . Atunci pentru

orice x A avem . Deci

şi , ceea ce constituie o contradicţie. Considerăm acum cazul

. Fie . Din rzultă că există două aplicaţii diferite

. Din avem , ceea ce reprezintă iarăşi o

contradicţie.

■

3. FUNCŢII BIJECTIVE

2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie bijectivă (sau

bijecţie) dacă este injectivă şi surjectivă.

Un exemplu de funcţie bijectivă este funcţia de gradul întâi

.

Caracterizarea geometrică a funcţiilor numerice bijective este dată în

propoziţia următoare.

3.2. Propoziţie. Funcţia cu este bijectivă dacă şi

numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,

reprezentată pe axa , intersectează graficul lui exact într-un punct.

Alte caracterizări ale funcţiilor injective, surjective, bijective sunt date în

teoremele următoare.

3.3. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă

există o funcţie astfel încât , unde este funcţia identică

a mulţimii .

Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât

. Fie două funcţii pentru care avem . Atunci

7

, adică . Rezultă că şi conform teoremei

1.5, este funcţie injectivă.

Invers, presupunem că este funcţie injectivă şi fie . Dfinim funcţia

astfel , pentru care

obţinem , adică . ■

Funcţia cu proprietate din teorema 3.3 se numeşte retractă (inversă la

stânga) a funcţiei .

3.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă

există o funcţie astfel încât , unde este funcţia identică a

mulţimii .

Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât

. Fie două funcţii pentru care avem . Atunci

, adică . Rezultă că şi conform teoremei

2.4, este funcţie surjectivă.

Invers, presupunem că este funcţie surjectivă. Pentru fiecare y B alegem

un astfel încât şi definim funcţia , . Pentru această

funcţie obţinem , adică . ■

Funcţia cu proprietate din teorema 3.4 se numeşte secţiune (inversă la

dreapta) a funcţiei .

3.5. Corolar. O funcţie este bijectivă dacă şi numai dacă are o

retractă şi o secţiune.

3.6. Corolar. a) O retractă a unei funcţii este surjectivă, iar o secţiune este

injectivă.

8

b) Dacă este funcţie bijectivă, este inversa lui ,

este retractă a lui şi este scţiune a lui , atunci .

3.7. Exemplu. Să se arate că funcţia , este

bijectivă.

Rezolvare. Considerăm cu . Atunci

şi mai departe deducem , ceea ce înseamnă că este

injectivă.

Fie acum . Determinăm încât . Deci trebuie să

avem . Rezolvând această ecuaţie în necunoscuta găsim .

Arătăm că , adică . În adevăr presupunând că am ajunge la

contradicţia . Înseamnă că este surjectivă.

În consecinţă este bijectivă. □

3.8. Exemplu de funcţie care este injectivă şi nu este surjectivă.

.

3.9. Exemplu de funcţie care este surjectivă şi nu este injectivă.

.